UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO" CAMPUS DE GUARATINGUETÁ TAÍS ALVES SILVA RIBEIRO Estudo das regiões estáveis e instáveis ao redor de corpos prolatos Guaratinguetá 2023 Taís Alves Silva Ribeiro Estudo das regiões estáveis e instáveis ao redor de corpos prolatos Tese apresentada ao Conselho de Pós-Graduação em Física e Astronomia da Faculdade de Engenharia e Ciências do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estatual Paulista, como parte dos requisitos para ob- tenção do título de Doutora em Física e Astronomia, na área de Astronomia Dinâmica Orientador: Prof. Dr. Othon Cabo Winter Guaratinguetá 2023 R484e Ribeiro, Taís Alves Silva Estudo das regiões estáveis e instáveis ao redor de corpos prolatos / Taís Alves Silva Ribeiro - Guaratinguetá, 2023. 117 f : il. Bibliografia: f. 109-113 Tese (Doutorado) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia e Ciências de Guaratinguetá, 2023. Orientador: Prof. Dr. Othon Cabo Winter 1. Mecânica celeste. 2.Órbitas. 3. Astronomia. 4. Elipsóide. I. Título. CDU 521.1(043) Luciana Máximo Bibliotecária/CRB-8/3595 unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE GUARATINGUETÁ TAÍS ALVES SILVA RIBEIRO ESTA DISSERTAÇÃO FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE “DOUTORA EM FÍSICA” PROGRAMA: FÍSICA CURSO: DOUTORADO APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO Prof. Dr. Ernesto Vieira Neto Coordenador B A N C A E X A M I N A D O R A: Prof. Dr. OTHON CABO WINTER Orientador - UNESP Profa. Dra. ROSANA APARECIDA NOGUEIRA DE ARAUJO UNESP Prof. Dr. BRUNO SICARDY Observatoire de Paris Prof. Dr. ANDRÉ AMARANTE LUIZ UNESP Prof. Dr. CARLOS TABARE GALLARDO CASTRO FCIEN / UDELAR/Montevideo DADOS CURRICULARES TAÍS ALVES SILVA RIBEIRO NASCIMENTO 04/01/1993 - Taubaté / SP FILIAÇÃO Lázaro Aparecido dos Reis Ribeiro Mariana Maria de Jesus 2013 / 2015 Licenciatura em Matemática Centro Universitário Salesiano de São Paulo 2016 / 2018 Mestrado em Física Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” Faculdade de Engenharia e Ciências de Guaratinguetá 2018 / 2023 Doutorado em Física e Astronomia Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” Faculdade de Engenharia e Ciências de Guaratinguetá Dedico este trabalho à minha família, por todo apoio demonstrado. AGRADECIMENTOS Eu me lembro do dia em que desejei que esse momento se tornasse realidade e desde então, muitas pessoas contribuíram para que esse sonho fosse possível. Em especial gostaria de agradecer: Ao meu orientador, Prof. Dr. Othon Cabo Winter, por todo o conhecimento compartilhado, que permitiu a concretização desse trabalho. Pelo apoio e suporte dados nos momentos mais difíceis. Agradeço aos meus pais, Mariana e Lázaro, por terem me ensinado desde criança que poderia mudar a minha vida através da educação. Obrigada por terem me incentivado a estudar. À minha irmã e ao meu cunhado, Elizabeth e Maykow, por sempre se fazerem presentes e pelo apoio dado nos momentos difíceis. Aos meus sobrinhos, Kauã e Pietro, por deixarem meus dias mais leves e divertidos. Ao meu namorado, Wesley Fioreze, por ser meu grande incentivador, por ter me acalmado e encorajado nos momentos em que achei que não conseguiria. Obrigada por todo amor, carinho e dedicação. Aos amigos/irmãos, Sávia e Júlio, pela sincera amizade e por sonharem comigo esse momento. Ao meu grande amigo, Eliézer Guisso, que não teve a oportunidade de presenciar a finalização desse trabalho, mas que, pelos 9 anos de amizade, sempre me incentivou a batalhar pelos meus sonhos. Tenho certeza que, do céu, ele está feliz por essa realização. Aos amigos da Pós-graduação, em especial à Jady Xavier, que se tornou uma grande companheira nessa jornada. Às professoras Dra. Sílvia, Dra. Daniela e Dra. Alessandra, por todas as contribuições realizadas durante esses anos. Aos colegas Gabriel Borderes, Gustavo Madeira, Gerson Barbosa, Jean Carvalho e Luiz Boldrin pelas colaborações nos trabalhos desenvolvidos. À banca de defesa composta por Dr. Othon Cabo Winter, Dr. André Amarante, Dra. Rosana Araújo, Dr. Bruno Sicardy e Dr. Tabaré Gallardo, por aceitarem a analisar os resultados dos trabalhos que desenvolvi nos últimos anos, que estão resumidos nesta tese. Por fim, agradeço a Deus pela realização desse sonho. Este trabalho contou com o apoio das seguintes entidades: CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoa de Nível Superior FAPESP - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo - Processo 2016/24561-0 “A persistência é o caminho do êxito.“ (Charles Chaplin) RESUMO A exploração dinâmica ao redor de corpos não esféricos tem aumentado nas últimas décadas devido ao interesse em estudar o movimento das órbitas de naves espaciais, luas e anéis de partículas ao redor desses corpos. A proposta desta tese é explorar a região em torno de corpos modelados por elipsoides prolatos, usando ferramentas computacionais para integrações numéricas das equações do problema gravitacional de N-corpos, a técnica da superfície de seção de Poincaré e o método de busca em grade. No âmbito de integrações numéricas para o estudo da dinâmica da região próxima a esses corpos elipsoidais, sabe-se que é necessário o uso de condições iniciais geométricas quando o objeto central é significativamente oblato. Assim, mostramos que para corpos alongados, há também a necessidade de adaptação da velocidade inicial (νC22) para que órbitas periódicas de primeira espécie em torno deste corpo tenham amplitudes de variações radiais menores, visto que a velocidade kepleriana produz elevada excentricidade osculadora e variação radial. Descrevemos um método empírico para obter a velocidade νC22 de um conjunto de simulações onde variamos os parâmetros físicos como massa, raio do primário, densidade, C22 e distancia radial. Com os dados obtidos, desenvolvemos novas equações que permitem o cálculo da excentricidade orbital, velocidade inicial e a Terceira Lei de Kepler em função do coeficiente de elipticidade, semieixo maior da órbita e raio do corpo central. Além disso, identificamos uma importante mudança da localização do corpo primário em relação a órbita elíptica. Em uma órbita kepleriana usual o objeto central ocupa um dos focos da elipse. No caso das órbitas com mínima variação radial encontradas em nosso estudo, o corpo passa a ocupar o centro da órbita elíptica. Por fim, incluímos a rotação do corpo central nos sistemas estudados e analisamos suas implicações na dinâmica dessas órbitas de baixa variação radial. A estrutura dinâmica em torno desses objetos é definida por regiões regulares e caóticas. A técnica de superfície de seção de Poincaré permite mapear essas regiões, identificando a localização de ressonâncias e o tamanho das zonas regulares e caóticas, assim, auxiliando a compreensão da dinâmica ao redor desses corpos. Portanto, usando essa técnica, mapeamos o espaço a − e das regiões estáveis e instáveis em torno de corpos elipsoidais, tais como o planeta anão Haumea, o centauro Chariklo e outros cinco corpos hipotéticos, nos quais mantemos parte dos parâmetros físicos de Haumea mas variamos seu período de rotação e elipticidade, a fim de analisarmos o impacto dessas alterações nas extensões das regiões estáveis e instáveis devido às órbitas periódicas de primeiro tipo e ressonâncias do tipo spin-órbita. Verificamos que as larguras das ressonâncias não são simétricas em relação ao centro da ressonância e identificamos uma grande região de estabilidade, em semieixo maior e excentricidade, devido às órbitas periódicas de primeiro tipo. As órbitas periódicas de primeiro tipo estão presentes em um grande intervalo de semieixo maior para todos os sistemas considerados e possuem excentricidade quase nula, enquanto que as órbitas ressonantes e as quase-periódicas apresentam excentricidades elevadas. Além disso, identificamos a bifurcação da ressonância 2:6 quando há redução do spin de um corpo com os mesmos parâmetros físicos de Haumea. Essa bifurcação gera uma região caótica, diminuindo a extensão da zona de estabilidade. Por fim, usando o método de busca em grade, identificamos e classificamos famílias de órbitas periódicas simétricas em torno de corpos prolatos. PALAVRAS-CHAVE: Mecânica Celeste. Pequenos corpos. Elipsoide triaxial. Evolução dinâmica e estabilidade. Família de órbitas periódicas simétricas. ABSTRACT Dynamic exploration around non-spherical bodies has increased in recent decades due to the interest in studying the motion of spacecraft orbits, moons and particle rings around these bodies. The purpose of this thesis is to explore the region around bodies modelled by prolate ellipsoids, using computational tools for numerical integrations of N-bodies, the Poincaré surface of section technique and the grid search method. In the context of numerical integrations for the study of the dynamics of the region close to these ellipsoidal bodies, it is known that it is necessary to use geometric initial conditions when the central object is significantly oblate. Thus, we show that for elongated bodies, there is also the need to adapt the initial velocity (νC22) so that periodic orbits of the first kind around this body have smaller amplitudes of radial variations since Keplerian velocity produces high osculating eccentricity and radial variation. We describe an empirical method to obtain the velocity νC22 from a set of simulations where we vary physical parameters such as mass, primary radius, density, C22 and radial distance, with the data obtained, we developed new equations that allow the calculation of orbital eccentricity, initial velocity and Kepler’s Third Law as a function of the ellipticity coefficient, the semi-major axis of the orbit and radius of the central body. Furthermore, we identified an important change in the location of the primary body in the elliptical orbit. In a usual Keplerian orbit the central object occupies one of the foci of the ellipse. In the case of orbits with the minimal radial variation found in our study, the body occupies the centre of the elliptical orbit. Finally, we include the rotation of the central body in the studied systems and analyze its implications on the dynamics of these low radial variation orbits. The dynamic structure around these objects is defined by regular and chaotic regions. The Poincaré surface of section technique allows mapping these regions, identifying the location of resonances and the size of regular and chaotic zones, thus helping to understand the dynamics around these bodies. Therefore, using this technique, we map the a− e space of stable and unstable regions around ellipsoidal bodies, such as the dwarf planet Haumea, the centaur Chariklo and five other hypothetical bodies, in which we maintain part of the physical parameters of Haumea but vary its period of rotation and ellipticity, to analyze the impact of these alterations on the extensions of the stable and unstable regions due to first kind periodic orbits and spin-orbit resonances. We verified that the widths of the resonances are not symmetrical about the center of the resonance and we identified a large region of stability, in semi-major axis and eccentricity, due to the first kind periodic orbits. Periodic orbits of the first kind are present in a large semi-major axis interval for all considered systems and have almost zero eccentricity, while resonant and quasi-periodic orbits have high eccentricities. Furthermore, we identified the bifurcation of the 2:6 resonance when there is a spin reduction of a body with the same physical parameters as Haumea. This bifurcation generates a chaotic region, reducing the extension of the stability zone. Finally, using the grid search method, we identify and classify families of symmetric periodic orbits around prolate bodies. KEYWORDS: Celestial Mechanics. Dynamic evolution and stability. Family of symmetric periodic orbits. LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1 Órbitas equatoriais em torno de corpos esféricos e achatados, por um período orbital. A linha cinza é uma órbita circular em torno de um corpo esférico (em cinza) com velocidade inicial kepleriana circular (νk). A linha verde representa uma órbita elíptica ao redor de um corpo oblato localizado em um dos focos da órbita e com velocidade inicial kepleriana circular. A trajetória roxa determina uma órbita com velocidade inicial geométrica circular (νg) ao redor de um corpo achatado. . . . . . 30 Figura 2 Evolução longitudinal, durante um período orbital, do raio orbital (gráfico superior) e a excentricidade (gráfico inferior) das órbitas em torno de um primário com a mesma massa de Haumea. No gráfico superior, a linha verde indica a órbita da partícula com velocidade inicial kepleriana circular igual a ν k = 1230, 7 km h −1 com ∆r = 203 km e a linha roxa indica a órbita da partícula com velocidade geométrica circular igual a νg = 1257, 6 km h−1. No gráfico inferior, temos duas excentricidades para cada valor de velocidade inicial. Para o caso de ν k , a linha verde aponta para a excentricidade calculada usando a equação 2, devido a geometria elíptica (eJ2 = 0, 047) e a linha tracejada verde é o valor da excentricidade osculadora (com ∆e = 0, 097). Para o caso de νg a linha roxa indica a excentricidade geométrica, que é aproximadamente zero, e a linha roxa tracejada representa a excentricidade osculadora (com e = 0, 044). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Figura 3 Evolução longitudinal do raio orbital das trajetórias em torno de um corpo com a mesma massa e coeficiente de elipticidade, C22 = 0, 049, de Haumea para o caso sem rotação do corpo central. A distância radial inicial de todas as órbitas ao centro de massa é de 2287 km. A linha verde indica a órbita com velocidade inicial kepleriana circular, ν k = 1230, 7 km h−1, a linha vermelha representa a órbita com velocidade inicial νC22 = 1248, 7 km h−1 e as linhas pretas são órbitas de velocidade: ν1 = 1236 km h−1, ν2 = 1243, 3 km h−1, ν3 = 1252, 8 km h−1, ν4 = 1256, 4 km h−1 e ν5 = 1260 km h−1. A excentricidade da órbita com velocidade ν k é ∆e ≈ 0, 3 e a variação radial é ∆r ≈ 104 km. Para o caso da órbita com velocidade inicial νC22 a excentricidade é ∆e ≈ 0, 15 e a amplitude da variação radial é ∆r ≈ 27, 5 km 33 Figura 4 Diagrama esquemático de órbitas em torno de corpos esféricos e prolatos. A linha tracejada cinza é uma órbita circular em torno de um corpo esférico (em cinza) com velocidade inicial kepleriana circular. A linha verde representa uma órbita altamente excêntrica ao redor de um corpo prolato localizado em um dos focos da órbita e com velocidade inicial kepleriana circular. A trajetória vermelha mostra uma órbita elíptica com baixa excentricidade ao redor do corpo prolato localizado no centro desta órbita. A velocidade inicial (νC22) dessa última órbita elíptica é diferente da velocidade circular kepleriana. O ângulo θ é a posição angular da partícula na órbita. As distâncias rmin e rmax indicam o menor e o maior raio da órbita em vermelho e a diferença entre esses valores define a variação radial ∆r. . . . . . . . . . . . . . . 34 Figura 5 Órbita de uma partícula com velocidade inicial kepleriana circular em torno de Haumea. O gráfico superior mostra a evolução longitudinal do raio orbital. No gráfico inferior está a órbita no plano Oxy. A escala de cores indica o valor da velocidade. A distância inicial da partícula ao centro de massa é 2287 km e a velocidade inicial kepleriana circular é igual a ν k = 1230, 7 km h−1. O corpo central está localizado em um dos focos da elipse e há um apocentro (P1 em r = 2287 km), um pericentro (P3 em r = 2183, 32 km) e dois intermediários pontos (P2 e P 4). . . 35 Figura 6 Órbita ao redor de Haumea. No topo do gráfico está a evolução longitudinal do raio orbital. No gráfico inferior está a órbita no plano Oxy. A escala de cores indica a variação na velocidade da órbita. A distância inicial da partícula ao centro de massa é 2287 km e a velocidade inicial é νC22 = 1248, 7 km h−1. O corpo primário está no centro da órbita elíptica e há dois apocentros (P1 e P2, ambos com r = 2287 km) e dois pericentros (P3 e P4, ambos com r = 2259, 52 km). . . . . . . . . . . . . . . . 37 Figura 7 Evolução da amplitude da variação radial ∆r, em km, em função da velocidade inicial da órbita, em km h−1. O sistema consiste em uma partícula com raio orbital inicial de 2287 km e um corpo central com a mesma massa (4, 006 × 1021 kg) e coeficiente de elipticidade (C22 = 0, 049) de Haumea, e sem sua rotação e coeficiente de achatamento. O ponto mínimo, em vermelho, indica o valor de νC22 que gera a menor amplitude de variação do raio orbital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Figura 8 Valores dos coeficientes α (equação 9) em função dos coeficientes de elipticidade C22. Os pontos indicam os valores medidos de α para cada caso. As linhas são geradas por ajustes a partir dos dados obtidos e as cores estão associadas às distâncias radiais iniciais da órbita ao centro de massa do sistema (em unidades do raio equivalente do corpo central, R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Figura 9 Valores de β (equação 10)em função da distância radial inicial das órbitas. Os pontos são os valores β medidos em cada caso e suas respectivas cores indicam as massas dos corpos. A linha azul mostra o ajuste para a equação 11 usando os coeficientes κ = 2, 354 e γ = 1, 958. A linha vermelha é gerada pela equação 11 mas adotando a aproximação dos coeficientes para κ = 2, 4 e γ = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Figura 10 Órbitas no plano Oxy em torno de um corpo alongado (elipse preta) com massa de 1, 13× 1022 kg, C22 = 0, 05, R = 1000 km e sem rotação o corpo central. As cores indicam a distância radial inicial das órbitas em unidades do raio do primário. As linhas cinzas sobrepostas às linhas coloridas, são gráficos de equações de elipses usando os valores dos semieixos aC22 e bC22 obtidos através da medição de rmax e rmin, respectivamente, para cada órbita correspondente. Os valores dos eixos e excentricidades podem ser encontrados na tabela 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Figura 11 Valores de δ em função do coeficiente de elipticidade C22. Os pontos referem-se ao valor de δ medido para cada C22. As linhas são ajustes de curva aplicados para cada distância radial inicial da órbita, que corresponde ao semieixo maior, indicado pelas cores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Figura 12 Valores do coeficiente τ em função do semieixo maior das órbitas em torno do corpo central. A curva vermelha é traçada usando a equação 16 com o coeficiente ζ = 2, 74 e η = 1, 94. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Figura 13 Valores de excentricidade em função do semieixo maior em unidades do raio equi- valente do corpo central. Os pontos são os valores de excentricidade medidos para cada caso. As curvas foram ajustadas entre os dois elementos. A excentricidade é independente da massa do corpo central. As cores das linhas indicam o valor do coeficiente de elipticidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Figura 14 Valores do coeficiente Λ em função do semieixo maior. Os pontos são os valores Λ medidos para cada caso do semieixo maior. As curvas coloridas correspondem aos ajustes feitos com os dados. As cores estão associadas aos períodos de rotação do corpo central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Figura 15 Valores de excentricidade em função do semieixo maior no sistema girante. Os pontos são os valores medidos de excentricidade para cada caso do semieixo maior. As curvas coloridas são os ajustes feitos com os dados coletados. As cores estão associadas aos períodos de rotação do corpo central. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Figura 16 Valores do período orbital TC22 em função do semieixo maior (em unidades do raio equivalente do corpo central) no sistema inercial. Os pontos são os valores medidos do período orbital para cada caso do semieixo maior e as cores são associadas aos períodos de rotação do corpo central. A curva vermelha é o ajuste feito com os dados coletados gerando a equação 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Figura 17 Diagrama esquemático do processo de distribuição de condições iniciais. . . . . . . 51 Figura 18 Variação temporal da distribuição de partículas ao redor de Haumea após 0, 1, 10, 100, 1000 e 10000 dias de integração numérica. A elipse central tem as dimensões equatoriais de Haumea e mostra a sua posição angular no tempo. No último quadro, a linha azul indica a posição da ressonância 2:6 e linha verde a borda interna da região estável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Figura 19 Diagrama esquemático de uma trajetória equatorial em torno de um elipsoide de Jacobi. O plano Oxy é fixo no corpo, x0 marca a posição inicial da trajetória e a seta indica a velocidade inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Figura 20 Superfícies de seção de Poincaré para um sistema considerando Haumea como um corpo oblato, ou seja, o coeficiente de elipticidade é nulo. As ilhas em vermelho são órbitas quase-periódicas associadas a uma família de órbitas periódicas, indicada pelo único ponto no centro de todas as ilhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Figura 21 Superfícies de seção de Poincaré para dois valores diferentes da constante de Jacobi (Cj). Na esquerda é mostrada as ilhas de estabilidade da ressonância 2:5, indicada pela cor azul, enquanto que na figura da direita são mostradas as ilhas duplas de estabilidade da ressonância 2:6, representadas por tons diferentes de verde. Em ambas as superfícies de seções de Poincaré, há a presença das ilhas das órbitas quase-periódicas associadas às órbitas periódicas de primeiro tipo, além da região instável, preenchida de forma aleatória por pontos vermelhos. . . . . . . . . . . . . 59 Figura 22 Superfícies de seção de Poincaré do sistema Haumead (consultar tabela 4) para quatro valores diferentes da constante de Jacobi (Cj), mostrando a evolução de duas famílias, de órbitas periódicas e quase-periódicas, indicadas pelas cores azul claro (F1) e azul escuro (F2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Figura 23 Órbitas periódicas das duas famílias F1 (a) e F2 (b). As cores indicam os quatro valores da constante de Jacobi, os mesmos da Figura 22. . . . . . . . . . . . . . . 61 Figura 24 Evolução temporal por um período orbital das duas famílias de órbitas periódicas F1 (a) e F2 (b). As cores indicam os quatro valores da constante de Jacobi, os mesmos da Figura 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Figura 25 Superfícies de seção de Poincaré do sistema Haumea para seis valores diferentes da constante de Jacobi (Cj), mostrando a evolução das ressonâncias 2:4, 2:5 e 2:6, respectivamente. As ilhas de estabilidade da ressonância 2:4 (plotes (a) e (b)) são duplicadas e estão representadas pelas cores rosa e lilás. O mesmo fenômeno ocorre com as ilhas da ressonância 2:6 (plotes (e) e (f)), indicadas pelos tons diferentes de verde. A ressonância 2:5 é mostrada pelas ilhas em azul nos plotes (c) e (d). As ilhas em vermelho são órbitas quase periódicas associadas a uma família de órbitas periódicas do primeiro tipo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Figura 26 Evolução das famílias associadas às ressonâncias 2:4, 2:5 e 2:6 nas superfícies da secção de Poincaré para o sistema Haumea. Para cada figura, tem-se uma amostra das maiores ilhas de estabilidade, uma ilha intermediária e os pontos internos que representam a órbita periódica, mostrando a estrutura para diferentes valores de Cj . As cores indicam os valores de Cj(km2 s−2) considerados. . . . . . . . . . . . . . 65 Figura 27 Superfícies de seção de Poincaré do sistema Haumeac para seis valores diferentes da constante de Jacobi (Cj), mostrando a evolução das ressonâncias 2:4, 2:5 e 2:6, respectivamente. As ilhas de estabilidade da ressonância 2:4 (plotes (a) e (b)) são duplicadas e estão representadas pelas cores rosa e lilás. O mesmo fenômeno ocorre com as ilhas da ressonância 2:6 (plotes (e) e (f)), indicadas pelos tons diferentes de verde. A ressonância 2:5 é mostrada pelas ilhas em azul nos plotes (c) e (d). As ilhas em vermelho são órbitas quase periódicas associadas a uma família de órbitas periódicas do primeiro tipo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Figura 28 Superfícies de seção de Poincaré do sistema Haumeae para oito valores diferentes da constante de Jacobi (Cj), mostrando a evolução das ressonâncias 4:7, 2:4, 2:5 e 2:6, respectivamente. As ilhas de estabilidade da ressonância 2:4 são duplicadas e estão representadas pelas cores rosa e lilás. O mesmo fenômeno ocorre com as ilhas da ressonância 2:6, indicadas pelos tons diferentes de verde. As ressonâncias 4:7 e 2:5 são representadas pelas ilhas em amarelo e azul, respectivamente. As ilhas em vermelho são órbitas quase periódicas associadas a uma família de órbitas periódicas do primeiro tipo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Figura 29 Zoom da Superfície de seção de Poincaré do sistema Haumeae para Cj = 2.6115× 10−1 km2s−2, mostrando a bifurcação de uma das famílias associadas à ressonância 2:6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Figura 30 Evolução das famílias associadas à ressonância 2:6 nas superfícies da secção de Poincaré para o sistema Haumeae. O plot apresenta uma amostra das maiores ilhas de estabilidade, uma ilha intermediária e os pontos internos que representam a órbita periódica, mostrando a estrutura para diferentes valores de Cj . As cores indicam os valores de Cj(km2 s−2) considerados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Figura 31 Superfícies de seção de Poincaré do sistema Chariklo para seis valores diferentes da constante de Jacobi (Cj), mostrando a evolução das ressonâncias 2:4, 2:5 e 2:6, respectivamente. As ilhas de estabilidade da ressonância 2:4 (plotes (a) e (b)) são duplicadas e estão representadas pelas cores rosa e lilás. O mesmo fenômeno ocorre com as ilhas da ressonância 2:6 (plotes (e) e (f)), indicadas pelos tons diferentes de verde. A ressonância 2:5 é mostrada pelas ilhas em azul nos plotes (c) e (d). As ilhas em vermelho são órbitas quase periódicas associadas a uma família de órbitas periódicas do primeiro tipo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Figura 32 Órbitas periódicas da ressonância 2:4 para Cj = 0.7903 km2 s−2 no sistema girante. A evolução temporal das órbitas é dada pelos pontos numerados que estão igualmente espaçados no tempo, enquanto a escala de cores fornece a velocidade no sistema inercial.(a) Órbita periódica da família representada pela cor rosa nas superfícies de seções de Poincaré da Figura 25a. (b) Órbita periódica da família representada pela cor lilás nas superfícies de seções de Poincaré da Figura 25a. . . . . . . . . . . . . 71 Figura 33 Órbita periódica da ressonância 2:5 para Cj = 0.8030 km2 s−2 no sistema girante. A evolução temporal da órbita é dada pelos pontos numerados que estão igualmente espaçados no tempo, enquanto a escala de cores fornece a velocidade no sistema inercial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Figura 34 Órbitas periódicas da ressonância 2:6 para Cj = 0.8200 km2 s−2 no sistema girante. A evolução temporal das órbitas é dada pelos pontos numerados que estão igualmente espaçados no tempo, enquanto a escala de cores fornece a velocidade no sistema inercial. (a) Órbita periódica da família representada pela cor verde claro nas superfícies de seções de Poincaré da Figura 25. (b) Órbita periódica da família representada pela cor verde escuro nas superfícies de seções de Poincaré da Figura 25 72 Figura 35 Órbita periódica da ressonância 4:7 do sisema Haumeae para Cj = 0.25536 km2 s−2 no sistema girante. A evolução temporal da órbita é dada pelos pontos numerados que estão igualmente espaçados no tempo, enquanto a escala de cores fornece a velocidade no sistema inercial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Figura 36 Evolução temporal da distância radial das órbitas periódicas associadas às resso- nâncias, para diferentes valores de Cj . O tempo é referente a um período orbital no sistema girante. As linhas tracejadas indicam a localização do semieixo das ressonâncias calculadas por dois métodos distintos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Figura 37 Diagrama da comparação da localização dos semieixos das ressonâncias 2:4, 2:5 e 2:6, calculados por três métodos distintos: problema de dois corpos, frequências epicíclicas (η e κ) e geometria da órbita. Os tipos de tracejados indicam qual método usado. As cores rosa, azul e verde estão relacionadas as ressonâncias e as regiões cinzas indicam a variação radial da órbita periódica menos excêntrica de cada ressonância considerada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Figura 38 Evolução temporal da variação radial das órbitas periódica (em rosa) e quase pe- riódica (em amarelo). A órbita quase periódica se refere a maior ilha associada a ressonância 2:4 para a constante de Jacobi Cj = 0.7912km2s−2. As linhas tracejadas e setas de cores amarela e cinza indicam os valores máximos e mínimos da distância radial usados para calcular os limites de semieixo maior e excentricidade das órbitas quase periódicas, enquanto que as linhas tracejadas e setas de cor rosa apontam para os valores máximos e mínimos da distância radial considerados para calcular o centro da ressonância. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Figura 39 Mapas das regiões estáveis e instáveis no espaço a − e dos sistema (a) Haumea, (b) Huameaa, (c) Huameab e (d) Huameac, obtidos a partir das superfícies de seção de Poincaré. As partículas com semieixo maior e excentricidade dentro da região cinza colidem com o corpo central ou são ejetadas. Nas demais regiões, as partículas permanecem estáveis por mais de 10000 órbitas. As regiões rosa, azul e verde estão relacionadas às ressonâncias 2:4, 2:5 e 2:6, respectivamente. As linhas tracejadas em preto indicam os centros de cada ressonâncias determinados pela geometria das órbitas ressonantes. A linha vermelha inferior corresponde ao semieixo maior e excentricidade das órbitas periódicas de primeiro tipo e a linha vermelha superior às órbitas quase periódicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Figura 40 Mapas das regiões estáveis e instáveis no espaço a− e dos sistema (a) Huamead e (b) Huameae, obtidos a partir das superfícies de seção de Poincaré. As partículas com semieixo maior e excentricidade dentro da região cinza colidem com o corpo central ou são ejetadas. Nas demais regiões, as partículas permanecem estáveis por mais de 10000 órbitas. As regiões amarela, rosa, azul e verde estão relacionadas às ressonâncias 4:7, 2:4, 2:5 e 2:6, respectivamente. A região roxa no plot (a) refere- se à família F1 e F2. As linhas tracejadas em preto indicam os centros de cada ressonância determinados pela geometria das órbitas ressonantes. A linha vermelha inferior corresponde ao semieixo maior e excentricidade das órbitas periódicas de primeiro tipo e a linha vermelha superior às órbitas quase periódicas. . . . . . . . . 80 Figura 41 Mapa das regiões estáveis e instáveis no espaço a− e do sistema Chariklo, obtido a partir das superfícies de seção de Poincaré. As partículas com semieixo maior e excentricidade dentro da região cinza colidem com o corpo central ou são ejetadas. Nas demais regiões, as partículas permanecem estáveis por mais de 10000 órbitas. As regiões rosa, azul e verde estão relacionadas as ressonâncias 2:4, 2:5 e 2:6, res- pectivamente. As linhas tracejadas em preto indicam os centros de cada ressonâncias determinados através da geometria das órbitas ressonantes. A linha vermelha inferior corresponde ao semieixo maior e excentricidade das órbitas periódicas de primeiro tipo e a linha vermelha superior as órbitas quase periódicas. . . . . . . . . . . . . . 81 Figura 42 Diagramas esquemáticos de órbitas periódicas e simétricas em relação ao eixos Ox e Oy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Figura 43 Mapa das condições iniciais das famílias de órbitas periódicas simétricas do caso J2 = 0.05 e C22 = 0.002. Os quadros inferiores são ampliações dos quadrantes próximos às regiões proibidas (em cinza). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Figura 44 Evolução da família m de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 05 e C22 = 0, 002. . . . . . . . . 91 Figura 45 Evolução da família l de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 05 e C22 = 0, 002. . . . . . . . . . . . 91 Figura 46 Evolução da família A1 de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 05 e C22 = 0, 002. . . . . . . . . 92 Figura 47 Evolução da família E1 de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 05 e C22 = 0, 002. . . . . . . . . 92 Figura 48 Evolução da família δ de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 05 e C22 = 0, 002. . . . . . . . . . . . 93 Figura 49 Evolução da família αb de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 05 e C22 = 0, 002. . . . . . . . . 94 Figura 50 Evolução da família βa de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 05 e C22 = 0, 002. . . . . . . . . 94 Figura 51 Evolução da família BD de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 05 e C22 = 0, 002. . . . . . . . . 95 Figura 52 Evolução da família F1 de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 05 e C22 = 0, 002. . . . . . . . . 96 Figura 53 Evolução da família F2 de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 05 e C22 = 0, 002. . . . . . . . . 96 Figura 54 Evolução da família de órbitas ressonantes 4 : 3 e simétricas em relação ao eixo Ox. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 05 e C22 = 0, 002. . . . . . . . . 97 Figura 55 Evolução da família L de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 05 e C22 = 0, 002. . . . . . . . . . . . 97 Figura 56 Evolução da família P de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 05 e C22 = 0, 002. . . . . . . . . 98 Figura 57 Mapa das condições iniciais das famílias de órbitas periódicas simétricas para J2 = 0.2 e C22 = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Figura 58 Evolução da família k de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 2 e C22 = 0, 05. . . . . . . . . . . . . . 99 Figura 59 Evolução da família ub de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 2 e C22 = 0, 05. . . . . . . . . . 100 Figura 60 Evolução da família va de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 2 e C22 = 0, 05. . . . . . . . . . 100 Figura 61 Mapa das condições iniciais das famílias de órbitas periódicas simétricas em torno de Chariklo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Figura 62 Evolução das famílias de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox em torno de Chariklo. Os quatro pontos pretos são os pontos de equilíbrio do sistema. . 102 Figura 63 Evolução das famílias de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox em torno de Chariklo. Os quatro pontos pretos são os pontos de equilíbrio do sistema. . 103 Figura 64 Mapa das condições iniciais das famílias de órbitas periódicas simétricas em torno de Haumea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Figura 65 Evolução das famílias de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox em torno de Haumea. Os quatro pontos pretos são os pontos de equilíbrio do sistema. . 104 Figura 66 Mapa das condições iniciais das famílias de órbitas periódicas simétricas para J2 = 0.05 e C22 = 0.002. Os quadros inferiores são ampliações dos quadrantes próximos às regiões proibidas (em cinza). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Figura 67 Mapa das condições iniciais das famílias de órbitas periódicas simétricas para J2 = 0.2 e C22 = 0.05. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Figura 68 Mapa das condições iniciais das famílias de órbitas periódicas simétricas em torno de Chariklo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Figura 69 Evolução das famílias de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Oy em torno de Chariklo. Os quatro pontos pretos são os pontos de equilíbrio do sistema. . 107 Figura 70 Mapa das condições iniciais das famílias de órbitas periódicas simétricas em torno de Haumea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Figura 71 Evolução das famílias de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Oy em torno de Haumea. Os quatro pontos pretos são os pontos de equilíbrio do sistema. . 108 Figura 72 Órbitas periódicas simétricas ao redor do asteroide Castália, com rotação lenta (1/7 do período de rotação real) . Os parâmetros físicos utilizados nas simulações numéri- cas foram: µ = 9, 4× 10−8 km3 s−2, C20 = −0, 07275 km2, C22 = 0, 02984 km2 e ω = 6, 13× 10−5 s−1 (HU; SCHEERES, 2008). O parâmetro de adimensionalização para distância aplicado no gráfico (b) é rs ≈ 2, 93 km. . . . . . . . . . . . . . . . 115 Figura 73 Evolução das famílias de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 2 e C22 = 0, 05. Os seis pontos pretos correspondem aos pontos de equilíbrio do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Figura 74 Evolução das famílias de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Oy. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 2 e C22 = 0, 05. Os seis pontos pretos correspondem aos pontos de equilíbrio do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Figura 75 Evolução das famílias de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Oy. Corpo central composto pelos coeficientes J2 = 0, 05 e C22 = 0, 002. Os quatro pontos pretos correspondem aos pontos de equilíbrio do sistema. . . . . . . . . . . . . . . 117 LISTA DE TABELAS Tabela 1 – Parâmetros físicos adotados de Haumea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Tabela 2 – Parâmetros físicos usados nas simulações numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Tabela 3 – Semieixos maiores (km), semieixo menores (km) e valores de excentricidades orbitais em torno de um corpo alongado com massa de 1, 13× 1022 kg, C22 = 0, 05, R = 1000 km e sem rotação. Os dados referem-se a dois tipos de posição do corpo central em relação à órbita: no centro (colunas 1 a 3) e em um dos focos (colunas 4 a 6) com velocidade inicial kepleriana. A distância radial inicial da órbita ao centro de massa é a mesma em ambos os casos. O índice C22 indica que os elementos foram calculados devido à geometria da órbita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Tabela 4 – Parâmetros físicos dos corpos centrais usados nas simulações numéricas. A unidade da massa de Chariklo é 1018 kg e de Haumea é 1021 kg. . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Tabela 5 – Classificação das famílias de órbitas periódicas simétricas . . . . . . . . . . . . . . . 88 Tabela 6 – Valores dos coeficientes adimensionalizados J2 e C22 e do parâmetro de adimensionali- zação rs. Os parâmetros físicos de Chariklo e Haumea que foram usados para calcular os coeficientes podem ser consultados nas tabela 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ÓRBITAS QUASE-CIRCULARES AO REDOR DE CORPOS PROLATOS . . . 27 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Escolha de condições iniciais para o caso de primários com achatamento . . . . . . . 28 2.3 Coeficiente de elipticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5 Órbita em torno de um corpo alongado sem rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6 Adaptação da Terceira Lei de Kepler para o caso da elipticidade do corpo central . . . 42 2.7 Rotação do corpo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.8 Borda interna da região estável em torno de Haumea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.8.1 Condições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.8.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.9 Comentários finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 DINÂMICA EM CORPOS SIMÉTRICOS E NÃO ESFÉRICOS . . . . . . . . . 55 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Sistema dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 Superfície de seção de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.1 Outras órbitas periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.2 Ressonância spin-órbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4 Órbitas periódicas ao redor de corpos prolatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.5 Largura das ressonâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.6 Aplicações: sondas, anéis e satélites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.7 Comentários finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4 FAMÍLIAS DE ÓRBITAS PERIÓDICAS SIMÉTRICAS . . . . . . . . . . . . . 83 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2 Equações do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3 Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.4.1 Famílias de órbitas periódicas simétricas em relação ao eixo Ox . . . . . . . . . . 89 4.4.1.1 Caso J2 = 0, 05 e C22 = 0, 002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.4.1.2 Caso J2 = 0, 2 e C22 = 0, 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.4.1.3 Chariklo e Haumea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.4.2 Simetria em relação ao eixo Oy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.5 Comentários finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 ANEXO A – COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS . . . . . . . . . . . . . . . . 115 ANEXO B – OUTRAS FAMÍLIAS DE ÓRBITAS PERIÓDICAS SIMÉTRICAS 116 ANEXO C – ARTIGO PUBLICADO - MNRAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 ANEXO D – ARTIGO ACEITO PARA PUBLICAÇÃO - MNRAS . . . . . . . . 130 24 1 INTRODUÇÃO Em geral, os corpos celestes do Sistema Solar não têm forma perfeitamente esférica. As formas desses objetos variam desde os mais arredondados como, por exemplo, os planetas, até corpos mais irregulares, como planetas anões, centauros, TNOs e asteroides. Essas irregularidades na forma dos corpos causam perturbações em seus campos gravitacionais. Para estudar a dinâmica em torno desses corpos, é necessário usar modelos físicos que representem satisfatoriamente suas formas. Para corpos não esféricos, a modelagem pode ser realizada usando elipsoides, como o triaxial e o de Jacobi ou o esferoide de Maclaurin. Este último, consiste em um corpo com raio equatorial A diferente do raio polar C, sendo A = B. O elipsoide triaxial é formado por três semieixos de tamanhos diferentes, A > B > C e o elipsoide de Jacobi é um elipsoide triaxial que gira em torno do menor eixo físico (CHANDRASEKHAR, 1942). Entretanto, para corpos com formatos disformes, como é o caso do asteroide Cleópatra, são necessários outros métodos de modelagem. O modelo de Mascons, desenvolvido por Geissler et al. (1996), e de Poliedros, criado por Werner (1994), são capazes de representar com melhor precisão os contornos da superfície desses objetos, entretanto, demandam maiores custos computacionais. Nas últimas décadas o interesse pelo estudo da dinâmica ao redor desses pequenos corpos e irregulares aumentou com o intuito de entender os tipos de composições, estruturas e processos de formação. Para isso, além das observações feitas com telescópios da Terra, algumas missões espaciais foram lançadas com o objetivo de criar imagens de asteroides em grande resolução como, por exemplo, a missão NEAR- Shoemaker (VEVERKA et al., 2000; PROCKTER et al., 2002), lançada pela NASA em 1996, que capturou imagens do asteroide (253) Mathilde, além de orbitar e pousar na superfície do asteroide (433) Eros. Em 2003 a Agência Espacial Japonesa lançou a espaçonave Hayabusa (FUJIWARA et al., 2006; YOSHIKAWA et al., 2015) destinada ao asteroide (25143) Itokawa. Esta foi a primeira missão que conseguiu coletar material de um asteroide e trazê-lo de volta à Terra para análise. Posteriormente, em 2014, foi lançada a missão Hayabusa 2 (KAWAGUCHI; FUJIWARA; UESUGI, 2008; MÜLLER et al., 2017), também pela Agência Espacial Japonesa. Assim como a missão Hayabusa, a Hayabusa 2 teve como objetivo coletar amostras do asteroide (162173) Ryugu e trazê-lo de volta à Terra. Posteriormente, em 2016, foi lançada a missão OSIRIS-Rex da NASA (LAURETTA et al., 2015; LAURETTA et al., 2017)), que coletou amostras do asteroide (101955) Bennu para trazê-lo à Terra. Observações feitas com telescópios terrestres também permitiram, além de estudos sobre as características físicas desses corpos, a descoberta de luas orbitando os asteroides. O primeiro caso conhecido foi o asteroide (243) Ida, que é orbitado por Dactly. A descoberta deste sistema binário de asteroide foi feita através da análise de imagens obtidas pela sonda Galileo em 1995 (CHAPMAN et al., 1995). Em 2001, o já conhecido asteroide (87) Sylvia teve sua primeira lua, Rômulo, detectada por imagens do telescópio Keck II (MARGOT; BROWN, 2001). Em 2004 foi descoberta a segunda lua, Remo, fazendo com que (87) Sylvia se tornasse o primeiro sistema triplo de asteroides conhecido (MARCHIS et al., 2005). Em 2014, através de ocultações estelares, 25 foi possível detectar pela primeira vez no Sistema Solar um corpo diferente de um planeta que possui um sistema de dois anéis de partículas (BRAGA-RIBAS et al., 2014). Esse corpo é o (10199) Chariklo, o segundo maior objeto dinamicamente classificado como um centauro. Seu período de rotação é de 7, 004 h (FORNASIER et al., 2014), e ainda não há consenso na literatura quanto ao seu tamanho e forma. Em Leiva et al. (2017), cinco ocultações estelares observadas entre 2013 e 2016 foram usadas para restringir o formato Chariklo, resultando em quatro modelos: uma esfera com raio de 129 km; um esferoide de Maclaurin com semieixo A = B = 143 km e C = 96 km; um elipsoide triaxial com semieixos A = 148 km, B = 132 km e C = 102 km; e um elipsoide de Jacobi com semieixos A = 157 km , B = 139 km, C = 86 km. Com esses possíveis modelos, Leiva et al. (2017) determinou que a faixa de massa do centauro é de 6 a 8 × 1018 kg, assumindo que o corpo é homogêneo e está em equilíbrio hidrostático. Usando esses dados, foi possível estabelecer que a ressonância 1:3 entre o período de rotação de Chariklo e o movimento médio das partículas está localizada no semieixo maior a1:3 = 408± 20 km, próximo dos raios orbitais dos dois anéis. Sicardy et al. (2019) discute a possibilidade do centauro ser esférico e possuir uma massa anômala em seu equador. Recentemente, o trabalho de Morgado et al. (2021) apresentou novos dados de ocultações estelares que ocorreram entre os anos de 2017 e 2020, possibilitando a determinação de uma nova solução para o formato de Chariklo, que consiste em um elipsoide triaxial com semieixos a = 143, 8 km, b = 135, 2 km e c = 99, 1 km. Além disso, os autores também determinaram os possíveis raios orbitais e larguras dos anéis, sendo eles: C1R está localizado em 385, 9 km com 4, 8− 9, 1 km de largura e C2R encontra-se a 399, 8 km do corpo central e com 0, 117 km de extensão. Em 2017, também por meio de ocultações estelares, foi detectado um anel denso ao redor do planeta anão (136108) Haumea (ORTIZ et al., 2017), que já possuía dois satélites conhecidos: Hi’iaka e Namaka. Haumea possui forma bem alongada, com semieixos A = 1161±30 km, B = 852±4 km e C = 513±16 km (ORTIZ et al., 2017), massa de 4, 006× 1021 kg (RAGOZZINE; BROWN, 2009) e um curto período de rotação de 3, 9155 h (RABINOWITZ et al., 2006). O anel encontrado tem cerca de 70 km de extensão e raio orbital de 2287+78 −45 km. Assim como em Chariko, a localização do anel de Haumea encontra-se próximo à ressonância spin-órbita 1 : 3 (a1:3 = 2285± 8 km), entre o movimento orbital das partículas do anel e o período de rotação do planeta anão (ORTIZ et al., 2017). Entretanto, através das seções de superfície de Poincaré e usando o potencial gravitacional de um elipsoide com os semieixos de Huamea, Winter, Borderes-Motta e Ribeiro (2019) mostram que órbitas na ressonância spin-órbita 1 : 3 têm excentricidades elevadas, impossibilitando a conservação de um anel circular e que órbitas periódicas de primeiro tipo definem regiões de estabilidade que compreendem a largura e a localização do anel de Haumea. A proposta deste estudo é explorar a região em torno de corpos prolatos usando integrações numéricas das equações do problema gravitacional de N-corpos e a técnica da superfície de seção de Poincaré. O primeiro trabalho desenvolvido com esse objetivo, descrito no capítulo 2, estuda as órbitas quase periódicas e obtém equações empíricas para os novos elementos orbitais relacionados à geometria da órbita. Esta parte do trabalho foi publicada em Ribeiro et al. (2021) e está reproduzida no anexo C. Além disso, aplicamos o método empírico para determinar a borda interna da região estável em torno do planeta anão 26 Haumea. No capítulo 3 é empregada a técnica da superfície de seção de Poincaré para mapear as larguras das ressonâncias ao redor de corpos como Haumea e Chariklo e delimitar as regiões estáveis e instáveis desses sistemas. Esta parte do trabalho foi submetida e aceita para publicação e está reproduzida no anexo D. No capítulo 4, identificamos e classificamos as famílias de órbitas periódicas simétricas em torno de corpos centrais modelados por elipsoides prolatos. Por fim, no capítulo 5 são apresentadas as conclusões finais, destacando os principais resultados. Cada um dos capítulos 2, 3 e 4 são auto suficientes, ou seja, todas as informações, parâmetros e equações necessárias são apresentadas de maneira independente em cada um deles. 27 2 ÓRBITAS QUASE-CIRCULARES AO REDOR DE CORPOS PROLATOS 2.1 INTRODUÇÃO No caso de corpos celestes que podem ser modelados usando elipsoides ou esferoides, o campo gravitacional pode ser estudado adicionando os coeficientes gravitacionais que calculam a perturbação em seu potencial. Para os esferoides, os termos Jn são incluídos como, por exemplo, J2, J4 e J6, que correspondem ao achatamento dos polos. Para elipsoides, além de Jn, também é adicionado o termo C22, que está relacionado à elipticidade na região equatorial do corpo. Devido aos inúmeros estudos sobre a dinâmica dos anéis planetários e das órbitas de satélites artificiais, os efeitos causados por um potencial gravitacional gerado por um corpo oblato são amplamente conhecidos, uma vez que os planetas do Sistema Solar que possuem anéis, como Saturno, são oblatos e no caso das órbitas de satélites artificiais próximos à Terra, é necessário levar em consideração o achatamento do planeta. Um dos efeitos conhecidos causados pelo coeficiente J2 é a precessão secular da longitude do pericentro das órbitas. Além disso, sabe-se que os elementos osculadores das órbitas em torno dos corpos oblatos apresentam grandes variações de curto período. Essa variação é corrigida pelo uso de elementos geométricos, que também oscilam, mas com amplitudes bem menores. Os elementos geométricos são obtidos através da teoria epicíclica que foi desenvolvida inicialmente por Chandrasekhar (1942) para a dinâmica estelar e envolve movimentos quase circulares e equatoriais submetidos ao potencial oblato. Greenberg (1981) foi um dos primeiros a desenvolver equações para obter a variação real dos elementos orbitais dos satélites em torno de corpos oblatos. Posteriormente,Borderies e Longaretti (1987), Longaretti e Borderies (1991), Borderies e Longaretti (1994) relacionaram os elementos geométricos da teoria epicíclica à elementos orbitais para a aplicação ao estudo de anéis planetários de baixa excentricidade e pouca inclinação. Renner e Sicardy (2006) descreveram o uso de elementos geométricos em simulações numéricas. Por meio de resultados numéricos, identifica-se que a inclusão de um termo C22 significativo no potencial gravitacional, causa um aumento considerável na excentricidade em órbitas circulares equatoriais de partículas cuja velocidade inicial é kepleriana. Portanto, supõe-se que esse aumento na excentricidade das órbitas obtidas por simulações numéricas seja semelhante ao efeito que ocorre ao se utilizar condições iniciais osculadoras para partículas que estão sujeitas à um potencial gravitacional de um corpo com achatamento. Isso sugere que é necessário encontrar um conjunto de condições iniciais adequadas para que as órbitas submetidas a potenciais com coeficiente de elipticidade C22 sejam circulares (ou quase circulares). Neste trabalho, exploramos as características dinâmicas de uma órbita quase circular em torno de um corpo prolato e discutimos as dificuldades em descrever essa trajetória usando elementos orbitais, além de apresentar uma proposta de solução empírica para este problema. Para isso, escolhemos os parâmetros físicos de Haumea para usar como exemplo na aplicação da nossa metodologia. Haumea foi escolhido por ser o corpo mais prolato conhecido no Sistema Solar, com parâmetros físicos bem definidos. Assim, as características dinâmicas de uma órbita quase circular em torno de um corpo altamente prolato 28 se destacam. No entanto, o estudo é geral; variamos os parâmetros físicos do corpo central para um conjunto de valores usados nas simulações numéricas. Na seção seguinte, é feita uma breve revisão sobre os efeitos devido ao achatamento; na seção 2.3, a dinâmica das órbitas equatoriais em torno de um corpo prolato é analisada. A abordagem desenvolvida para a correção das condições iniciais de órbitas sob a influência de um potencial de corpo prolato é detalhada na seção 2.4. Os resultados obtidos com essa correção nas órbitas em torno de um corpo não rotativo são expostos e discutidos na seção 2.5. Na seção 2.6, são apresentadas as equações para excentricidade e o movimento médio das órbitas, com variação radial mínima, em torno de um corpo alongado sem rotação. Na seção 2.7, são discutidas as implicações causadas pela rotação do corpo central. Finalmente, na seção 2.9, são apresentados os comentários finais. 2.2 ESCOLHA DE CONDIÇÕES INICIAIS PARA O CASO DE PRIMÁRIOS COM ACHATAMENTO Os efeitos devido ao J2 e suas consequências dinâmicas têm sido amplamente discutidos na literatura, em estudos sobre as órbitas de satélites artificiais e a dinâmica dos anéis planetários do Sistema Solar, uma vez que esses planetas que possuem anéis apresentam achatamento significativo. Sabe-se que as órbitas em torno dos corpos oblatos apresentam precessão secular da longitude do pericentro. Além disso, sabe-se que os elementos osculadores dessas órbitas apresentam grandes variações de curto período. Isso ocorre porque os elementos osculadores se referem a uma órbita kepleriana em torno de um corpo esférico, ou seja, são os elementos determinados exclusivamente a partir da posição e velocidade de um corpo em uma órbita que não leva em conta as forças perturbadoras que atuam no sistema (MURRAY; DERMOTT, 1999). Na prática, os elementos osculadores são os elementos que uma partícula teria se o achatamento do corpo central fosse suprimido instantaneamente. Portanto, a amplitude da variação dos elementos se elevam conforme o aumento do achatamento do corpo central. Para exemplificar, a Figura 1 apresenta integrações numérica de órbitas com uma distância radial inicial de 2287 km até o centro de massa de Haumea. Os parâmetros físicos adotados podem ser encontrados na tabela 1, exceto para o coeficiente de elipticidade, que nesse momento consideramos nulo. A órbita indicada pela cor cinza é a trajetória equatorial circular em torno de um corpo esférico (também em cinza) com velocidade inicial kepleriana, νk = 1230, 70 km h −1. A órbita equatorial excêntrica, em verde, tem a mesma velocidade inicial de νk = 1230, 70 km h −1, porém, ao redor do corpo com achatamento (em preto). Os corpos centrais cinza e preto têm a mesma massa; no entanto, o corpo cinza é uma esfera, enquanto que o corpo preto é achatado. Sendo assim, esse último é maior na região do equador do que no caso esférico, causando uma maior concentração de massa nessa região. Pode-se notar que ao usar a mesma velocidade circular kepleriana em ambos os sistemas, as órbitas resultantes são diferentes. Isso é justificado pela perturbação produzida pelo achatamento do corpo central. Na Figura 2, o gráfico superior mostra a evolução longitudinal do raio orbital da trajetória excêntrica (linha verde). Observe que a partícula não retorna à mesma distância inicial em θ = 360◦ devido à precessão do pericentro. No entanto, desprezando essa precessão e assumindo que essa órbita é uma elipse fechada, sua excentricidade 29 geométrica pode ser calculada usando as distâncias do pericentro (2083, 43 km) e apocentro (2287 km), que são a menor (rmin) e maior (rmax) distâncias radiais, respectivamente, por meio das equações: aJ2 = rmin + rmax 2 (1) eJ2 = 1− rmin aJ2 . (2) O índice J2 no semieixo maior e excentricidade indicam que se tratam dos elementos devido a geometria elíptica da orbita, cujos valores são aJ2 = 2185, 215 km e eJ2 = 0, 047, indicada pela linha verde no plot inferior da Figura 2. Porém, determinando a evolução longitudinal da excentricidade osculadora dessa órbita por um período orbital completo, linha verde tracejada no plot inferior da Figura 2, nota-se que há uma variação. Essa variação é explicada pelas equações de Lagrange, que para a excentricidade de uma órbita no plano equatorial é dada por (MURRAY; DERMOTT, 1999): de dt = (1− e2) na2e ∂FJ2 ∂M − √ 1− e2 na2e ∂FJ2 ∂ω (3) onde FJ2 é a função perturbadora devido ao achatamento (CARVALHO, 2017): FJ2 = 9 4 R2J2n 2 [ e2 cos 2M + e2 3 + 2e cosM 3 + 2 9 ] . (4) Portanto, a variação da excentricidade (equação 3) pode ser reescrita como de dt = − 9 2a2 (1− e2)nR2J2 [ e sin 2M + sinM 3 ] , (5) onde M é a anomalia média. Assim, quando um corpo achatado é considerado, a excentricidade oscila. Parece inconsistente para uma órbita elíptica com excentricidade fixa, como mostrado na Figura 1 e Figura 2, apresentar a alta variação de excentricidade dada pela equação 5. A explicação para essa inconsistência está no uso de elementos osculadores, que se baseiam no problema Kepleriano, para determinar a excentricidade de uma órbita que é perturbada pelo achatamento do corpo central. Voltando à Figura 1, observa-se que é possível obter uma órbita quase circular ao redor de um corpo achatado usando uma velocidade apropriada, que é diferente da velocidade kepleriana circular, como é o caso da órbita roxa. Essa trajetória tem uma velocidade inicial igual a νg = 1257, 65 km h−1. A evolução longitudinal do raio orbital desta órbita é constante, como mostrado no gráfico superior da Figura 2 (linha roxa). A excentricidade geométrica também é constante longitudinalmente e aproximadamente zero, como esperado. No entanto, como mostrado no gráfico inferior, observe que ao calcular a excentricidade osculadora dessa órbita (linha roxa tracejada), um valor constante de 0, 044 é obtido, embora a órbita seja quase circular. Esse fato evidencia a incompatibilidade do uso de elementos osculadores para esse tipo de sistema, ou seja, os elementos osculadores não descrevem a geometria real da órbita quando o corpo central é significativamente oblato. 30 Figura 1 – Órbitas equatoriais em torno de corpos esféricos e achatados, por um período orbital. A linha cinza é uma órbita circular em torno de um corpo esférico (em cinza) com velocidade inicial kepleriana circular (νk). A linha verde representa uma órbita elíptica ao redor de um corpo oblato localizado em um dos focos da órbita e com velocidade inicial kepleriana circular. A trajetória roxa determina uma órbita com velocidade inicial geométrica circular (νg) ao redor de um corpo achatado. fonte: Produção da própria autora. A velocidade adequada (νg), que produz órbitas quase circulares, é chamada de velocidade geométrica. Os elementos geométricos surgiram da necessidade de determinar um novo conjunto de elementos que não tratasse mais o achatamento do corpo central como uma perturbação, mas como uma característica do sistema, representando a geometria real da órbita. Para resolver esse problema, Greenberg (1981), Borderies e Longaretti (1987), Longaretti e Borderies (1991), Borderies e Longaretti (1994) desenvolveram os elementos geométricos, que são derivados da teoria epicíclica. As equações do movimento médio do problema Kepleriano são dadas por (MURRAY; DERMOTT, 1999): n = ( µ a3 ) 1 2 (6) e a equação do movimento médio do problema do corpo central com achatamento (BORDERIES; LONGARETTI, 1994): nJ2 = ( µ a3g ) 1 2 [ 1 + 3 4 ( R ag )2 J2 − 9 32 ( R ag )4 J2 2 + 27 128 ( R ag )6 J3 2 ] (7) 31 Figura 2 – Evolução longitudinal, durante um período orbital, do raio orbital (gráfico superior) e a ex- centricidade (gráfico inferior) das órbitas em torno de um primário com a mesma massa de Haumea. No gráfico superior, a linha verde indica a órbita da partícula com velocidade inicial kepleriana circular igual a ν k = 1230, 7 km h −1 com ∆r = 203 km e a linha roxa indica a órbita da partícula com velocidade geométrica circular igual a νg = 1257, 6 km h−1. No gráfico inferior, temos duas excentricidades para cada valor de velocidade inicial. Para o caso de ν k , a linha verde aponta para a excentricidade calculada usando a equação 2, devido a geome- tria elíptica (eJ2 = 0, 047) e a linha tracejada verde é o valor da excentricidade osculadora (com ∆e = 0, 097). Para o caso de νg a linha roxa indica a excentricidade geométrica, que é aproximadamente zero, e a linha roxa tracejada representa a excentricidade osculadora (com e = 0, 044). fonte: Produção da própria autora. 32 Tabela 1 – Parâmetros físicos adotados de Haumea. Massa1M 4, 006× 1021 kg Raio equivalente R 798 km Período de rotação2 3, 9155 h Semieixos3A×B × C 1161× 852× 513 km Coeficiente de achatamento4J2 0, 243 Coeficiente de elipticidade4C22 0, 049 Raio do anel3 2287 km 1 Ragozzine e Brown (2009). 2 Rabinowitz et al. (2006). 3 Ortiz et al. (2017). 4 Winter, Borderes-Motta e Ribeiro (2019). fonte: Produção da própria autora. considerando J4 = J6 = 0, e = I = 0, ag, o semieixo maior geométrico e µ = GM . Observe que o movimento médio de uma órbita em torno de um corpo achatado possui um incremento em comparação ao movimento médio do problema dos dois corpos. Desta forma, para estudos de dinâmica na região de corpos com alta achatamento, recomenda-se que os elementos osculadores, que se baseiam no problema de dois corpos, sejam descartados e, em seu lugar, sejam utilizados elementos geométricos que se baseiam no problema com corpo central oblato Portanto, conhecendo os efeitos dinâmicos causados por um corpo oblato, na seção seguinte são discutidas as implicações causadas por um corpo central prolato, considerando o coeficiente de elipticidade C22 no potencial gravitacional. 2.3 COEFICIENTE DE ELIPTICIDADE Nesta seção, as implicações geométricas das órbitas quando o corpo primário é prolato serão discutidas. Novamente, um corpo com parâmetros físicos iguais a Haumea (tabela 1) é usado como exemplo. No entanto, considerando nesse caso J2 = 0 e sem rotação do primário, integramos numericamente a órbita de uma partícula com distância radial inicial de 2287 km e com velocidade inicial kepleriana circular (linha verde na Figura 3). A amplitude de variação do raio orbital (∆r ≈ 104 km) ainda é significativa mesmo sendo menor se comparada a variação do caso discutido na seção anterior, quando apenas o coeficiente de achatamento J2 de Haumea foi considerado. Nesse caso, a excentricidade devido à geometria da órbita é de aproximadamente eC22 = 0, 023, considerando o raio da maior aproximação do centro de massa rmin = 2183, 32 km e de menor aproximação rmax = 2287 km. O valor de excentricidade para esse caso foi determinado usando as equações (1) e (2), mudando apenas o índice J2 por C22. No diagrama esquemático da Figura 4, o círculo em cinza ilustra um corpo esférico hipotético com mesma massa total do corpo com elipticidade representado em preto, como visto no plano Oxy. Note que há uma maior concentração de massa nos dois bojos do corpo (orientadas no eixo Ox) e menos material na região intermediária a esses bojos (orientadas no eixo Oy). Essa diferença na distribuição de massa em 33 Figura 3 – Evolução longitudinal do raio orbital das trajetórias em torno de um corpo com a mesma massa e coeficiente de elipticidade, C22 = 0, 049, de Haumea para o caso sem rotação do corpo central. A distância radial inicial de todas as órbitas ao centro de massa é de 2287 km. A linha verde indica a órbita com velocidade inicial kepleriana circular, ν k = 1230, 7 km h−1, a linha vermelha representa a órbita com velocidade inicial νC22 = 1248, 7 km h−1 e as linhas pretas são órbitas de velocidade: ν1 = 1236 km h−1, ν2 = 1243, 3 km h−1, ν3 = 1252, 8 km h−1, ν4 = 1256, 4 km h−1 e ν5 = 1260 km h−1. A excentricidade da órbita com velocidade ν k é ∆e ≈ 0, 3 e a variação radial é ∆r ≈ 104 km. Para o caso da órbita com velocidade inicial νC22 a excentricidade é ∆e ≈ 0, 15 e a amplitude da variação radial é ∆r ≈ 27, 5 km fonte: Produção da própria autora. um corpo elipsoidal causa variação azimutal no potencial gravitacional. A órbita circular (linha tracejada cinza na Figura 4), é a trajetória que a partícula com velocidade inicial kepleriana circular (ν k ) descreve em torno do corpo central esférico. A órbita excêntrica, indicada pela linha verde e com velocidade inicial kepleriana circular (ν k ), é gerada por uma partícula ao redor do corpo com elipticidade. Assim como ocorre quando o corpo é oblato, usar velocidade kepleriana como condição inicial de órbitas ao redor de corpos muito alongados, produz alta variação do raio orbital, como mostrado no gráfico da Figura 3. Isso se deve à diferença na distribuição da massa no corpo e a assimetria azimutal do equador. Para entender essa trajetória, podemos analisar a Figura 5, que mostra a evolução longitudinal do raio orbital (plot superior) e a variação do módulo de velocidade dessa órbita (plot inferior), visto no plano O xy. Embora pareça visualmente circular, essa órbita é excêntrica com o corpo central em um dos focos. No ponto de partida P1, a velocidade é kepleriana circular, calculada a partir de elementos osculadores que remetem ao problema de dois corpos, onde se considera o corpo um ponto de massa. No entanto, neste local, o corpo alongado tem mais massa; portanto, a velocidade kepleriana circular é 34 Figura 4 – Diagrama esquemático de órbitas em torno de corpos esféricos e prolatos. A linha tracejada cinza é uma órbita circular em torno de um corpo esférico (em cinza) com velocidade inicial kepleriana circular. A linha verde representa uma órbita altamente excêntrica ao redor de um corpo prolato localizado em um dos focos da órbita e com velocidade inicial kepleriana circular. A trajetória vermelha mostra uma órbita elíptica com baixa excentricidade ao redor do corpo prolato localizado no centro desta órbita. A velocidade inicial (νC22) dessa última órbita elíptica é diferente da velocidade circular kepleriana. O ângulo θ é a posição angular da partícula na órbita. As distâncias rmin e rmax indicam o menor e o maior raio da órbita em vermelho e a diferença entre esses valores define a variação radial ∆r. fonte: Produção da própria autora. menor que o necessário para manter a partícula em uma órbita circular. O potencial do corpo prolato é maior do que esférico em θ = 0◦ e menor em θ = 90◦. Portanto, a velocidade deve ser maior do que a kepleriana circular em θ = 0◦ e menor em θ = 90◦. Como a partícula evolui no sentido anti-horário em sua trajetória e é atraída pelo corpo central devido à baixa velocidade inicial, o corpo elíptico tem sua concentração de massa diminuindo até atingir o ponto intermediário entre as duas protuberâncias, P2. A partir deste segundo ponto, a concentração de massa do corpo central aumenta novamente, e a partícula ganha velocidade até atingir o segundo bojo, P3, atingindo a maior velocidade orbital e a menor distância do centro de massa (pericentro). Entre os pontos P3 e P4, a massa do corpo central diminui novamente, e a partícula se afasta do corpo e perde velocidade. Esse processo de perda de velocidade e distância do centro de massa continua até o ponto inicial da órbita, P1, quando a partícula atinge novamente a maior distância radial (apocentro). A grande amplitude de variação da excentricidade e do raio orbital pode ser reduzida ajustando a velocidade inicial, gerando uma órbita mais próxima da circular, como foi feito para o caso do primário 35 Figura 5 – Órbita de uma partícula com velocidade inicial kepleriana circular em torno de Haumea. O gráfico superior mostra a evolução longitudinal do raio orbital. No gráfico inferior está a órbita no plano Oxy. A escala de cores indica o valor da velocidade. A distância inicial da partícula ao centro de massa é 2287 km e a velocidade inicial kepleriana circular é igual a ν k = 1230, 7 km h−1. O corpo central está localizado em um dos focos da elipse e há um apocentro (P1 em r = 2287 km), um pericentro (P3 em r = 2183, 32 km) e dois intermediários pontos (P2 e P 4). fonte: Produção da própria autora. 36 oblato, discutido na seção 2.2. Portanto, ao aumentar a velocidade inicial da partícula, observa-se que a amplitude da variação do raio orbital diminui, como visto pelas duas linhas pretas (ν1 e ν2) da Figura 3. Conforme ilustrado na Figura 4, o menor raio ocorre alinhado com o menor semieixo do corpo (em θ = 90◦ e θ = 270◦) e o maior raio ocorre alinhado com o semieixo maior (em θ = 0◦ e θ = 180◦). A Figura 3 mostra que existe uma velocidade específica (νC22) que gera uma órbita com a menor variação radial, conforme indicado pela linha vermelha, com rmin = 2259, 51 km e rmax = 2287 km resultando em ∆r ≈ 27, 5 km, aproximadamente um quarto da variação radial da órbita com velocidade inicial kepleriana circular. À medida que a velocidade inicial continua a aumentar, a variação radial aumenta novamente, como pode ser visto nas outras três órbitas representadas pelas linhas pretas ν3, ν4 e ν5. A velocidade νC22 , encontrada empiricamente, além de reduzir consideravelmente a variação radial, também produz uma órbita simétrica. Porém, ao contrário do que ocorre quando se utiliza a velocidade geométrica para sistemas compostos por um corpo central achatado, em que a variação radial é quase nula, no caso de um corpo com elipticidade ainda há variação do raio, mesmo quando utilizada uma velocidade adequada. Isso se deve à assimetria do equador do corpo, conforme mencionado no início desta seção. Portanto, não é possível obter uma órbita circular, mas podemos conseguir reduzi-la a uma variação radial mínima, em casos de trajetórias próximas a corpos muito alongados. A Figura 6 mostra a evolução longitudinal do raio orbital (gráfico superior) e a variação na velocidade da órbita vista no plano Oxy (gráfico inferior). Observe que a órbita elíptica com velocidade inicial νC22 tem o corpo primário em seu centro e não em um dos focos. Consequentemente, há simetria na órbita, com dois pontos mais distantes do centro de massa (P1 e P3) e dois pontos mais próximos (P2 e P4). Os pontos P1 e P3 serão chamados de apocentro, e P2 e P4 serão chamados de pericentro. Devido a esta característica de descrever uma órbita elíptica centrada no corpo primário, que ocorre apenas para órbitas com uma velocidade inicial que produza a menor variação radial, a excentricidade da órbita com velocidade νC22 pode ser calculada usando o conceito de excentricidade de uma elipse; portanto, eC22 = 0, 15. Observe que a excentricidade é maior do que a da órbita com velocidade inicial kepleriana circular; entretanto, a variação radial é consideravelmente menor na órbita com velocidade inicial νC22 . Isso se deve a uma mudança na configuração da órbita; em um caso, o primário está no foco da elipse, enquanto que no outro caso está no centro da elipse. Portanto, o melhor parâmetro de comparação é a variação radial. Essa mudança na configuração da órbita em torno de um corpo alongado também causa mudanças nos elementos orbitais. Tais mudanças serão apresentadas e discutidas na seção 2.6. Portanto, sabendo que é possível diminuir a variação do raio orbital em torno dos corpos alongados ajustando a velocidade inicial, na seção seguinte é detalhada a abordagem utilizada nesse trabalho para determinar essa nova velocidade. 2.4 MÉTODO Para determinar a velocidade orbital que descreve uma órbita de mínima excentricidade levando em consideração o potencial gravitacional que considera o coeficiente C22, identificamos que ao aumentar o 37 Figura 6 – Órbita ao redor de Haumea. No topo do gráfico está a evolução longitudinal do raio orbital. No gráfico inferior está a órbita no plano Oxy. A escala de cores indica a variação na velocidade da órbita. A distância inicial da partícula ao centro de massa é 2287 km e a velocidade inicial é νC22 = 1248, 7 km h−1. O corpo primário está no centro da órbita elíptica e há dois apocentros (P1 e P2, ambos com r = 2287 km) e dois pericentros (P3 e P4, ambos com r = 2259, 52 km). fonte: Produção da própria autora. 38 Figura 7 – Evolução da amplitude da variação radial ∆r, em km, em função da velocidade inicial da órbita, em km h−1. O sistema consiste em uma partícula com raio orbital inicial de 2287 km e um corpo central com a mesma massa (4, 006 × 1021 kg) e coeficiente de elipticidade (C22 = 0, 049) de Haumea, e sem sua rotação e coeficiente de achatamento. O ponto mínimo, em vermelho, indica o valor de νC22 que gera a menor amplitude de variação do raio orbital. fonte: Produção da própria autora. valor da velocidade inicial, a amplitude da variação radial da órbita diminui, como mostrado na Figura 7. Nesse exemplo, o sistema consiste em uma partícula com raio orbital inicial de 2287 km e um corpo central com a mesma massa e coeficiente de elipticidade Haumea sem rotação. Aumentamos a velocidade inicial e integramos a órbita repetidamente e comparamos a amplitude da variação radial de cada trajetória. Como pode ser visto na Figura 7, a uma dada velocidade νC22 = 1248, 7 km h−1, tem-se a menor variação radial com ∆r = 27.5 km. Nesse trabalho, é realizado o processo descrito para encontrar o valor de νC22 para um conjunto de parâmetros físicos a fim de determinar uma equação empírica que permite que o valor aproximado dessa velocidade seja calculado como uma função do coeficiente de elipticidade, C22, e a distância radial inicial da partícula ao centro de massa do primário. Os parâmetros podem ser encontrados na tabela 2 e foram escolhidos para cobrir as ordens de quantidades de massa de corpos como asteroides, centauros e planetas anões. Para calcular as massas, foram usadas a densidade do gelo de água ρ = 917 kg m−3 e basalto ρ = 2700 kg m−3, pois são os materiais mais comuns encontrados nos pequenos corpos do Sistema Solar. Os coeficientes de elipticidade foram selecionados com base nos valores conhecidos de C22 para corpos como Haumea, que tem C22 = 0, 049 ou Chariklo, que pode assumir valores de C22 = 0.014 ou C22 = 0.018 para suas formas de elipsoides triaxial ou de Jacobi, respectivamente. Os coeficientes de elipticidade de Chariklo foram calculados usando os valores dos semieixos estimados por Leiva et 39 Tabela 2 – Parâmetros físicos usados nas simulações numéricas Massa (kg) R (km) ρ (km/m3) 3, 84× 1012 1 3, 84× 1018 100 917 3, 84× 1021 1000 1, 13× 1013 1 1, 13× 1019 100 2700 1, 13× 1022 1000 C22 0, 01 0, 02 0, 03 0, 04 0, 05 ri (km) rf (km) ∆r (km) r (km) 2R 5R 0, 2 fonte: Produção da própria autora. al. (2017) e adotando a mesma abordagem praticada em Winter, Borderes-Motta e Ribeiro (2019) para calcular o termo C22 para Haumea. O arranjo das simulações numéricas foi organizado de acordo com os parâmetros dados na tabela 2. Para cada combinação do coeficiente de massa e elipticidade, foram feitas simulações para distâncias radiais variando de 2R a 5R, onde R = (ABC)1/3 é o raio equivalente do corpo. As distâncias radiais neste trabalho são todas em unidades do raio equivalente do corpo central. O limite inferior de 2R é suficientemente próximo do corpo. Para distâncias mais curtas, seria necessário considerar outros harmônicos no potencial gravitacional para representar as possíveis características do corpo, como uma cratera. A escolha do limite superior de 5R também é apropriada para nossa análise, uma vez que para distâncias maiores o efeito de C22 torna-se desprezível. Além desses conjuntos de parâmetros, o corpo central é considerado sem rotação e J2 = 0. Na seção 2.7, discutimos o caso de adicionar a rotação do corpo central. Na seção seguinte, apresentamos e discutimos os resultados obtidos para os casos em que o corpo central não rotaciona. 2.5 ÓRBITA EM TORNO DE UM CORPO ALONGADO SEM ROTAÇÃO Um corpo, quando modelado por um elipsoide triaxial, tem seu potencial gravitacional de segunda ordem e grau descrito pela equação (HU; SCHEERES, 2004): U(r, θ) = −µ r [ 1 + 1 2 ( R r )2 J2 + 3 ( R r )2 C22 cos(2θ) ] (8) onde µ = GM , r = √ x2 + y2 é a distância radial e R é o raio equivalente do corpo. Usando as combinações de parâmetros físicos apresentados na tabela 2, integramos órbitas de partículas em torno de corpos elipsoidais usando o potencial da equação (8); entretanto, como nessa etapa estamos interessados em estudar apenas os efeitos da elipticidade do corpo, consideramos J2 = 0 para realizar a correção da velocidade inicial. O tempo de integração para cada simulação foi um período orbital. Consequentemente, este tempo é diferente para cada conjunto de parâmetros considerados nas simulações. 40 Figura 8 – Valores dos coeficientes α (equação 9) em função dos coeficientes de elipticidade C22. Os pontos indicam os valores medidos de α para cada caso. As linhas são geradas por ajustes a partir dos dados obtidos e as cores estão associadas às distâncias radiais iniciais da órbita ao centro de massa do sistema (em unidades do raio equivalente do corpo central, R). fonte: Produção da própria autora. A velocidade tangencial inicial νC22 pode ser escrita como uma função da velocidade kepleriana circular: νC22 = (α + 1)ν k . (9) onde (α + 1) é o coeficiente de ajuste que deve ser aplicado à velocidade kepleriana circular para obter a velocidade inicial que descreverá uma órbita com variação radial mínima, νC22 , em torno de um corpo prolato. Para determinar a velocidade νC22 , podemos encontrar uma expressão empírica para α, uma vez que ν k pode ser facilmente calculado pelo problema de dois corpos. Esse coeficiente α pode ser escrito de acordo com os parâmetros físicos do corpo central e, nesse caso, é pertinente escolher que α seja função de C22, portanto: νC22 = ν k (1 + βC22). (10) Assim, quando C22 é nulo, para o caso de um corpo esférico, α = 0 e, portanto, νC22 torna-se a velocidade kepleriana circular do problema de dois corpos , ν k . Para determinar os coeficientes β, fixamos a distância radial inicial r e ajustamos a curva entre (α− 1) e C22 para cada uma das distâncias radiais iniciais ao corpo central, como mostrado na Figura 8. 41 Figura 9 – Valores de β (equação 10)em função da distância radial inicial das órbitas. Os pontos são os valores β medidos em cada caso e suas respectivas cores indicam as massas dos corpos. A linha azul mostra o ajuste para a equação 11 usando os coeficientes κ = 2, 354 e γ = 1, 958. A linha vermelha é gerada pela equação 11 mas adotando a aproximação dos coeficientes para κ = 2, 4 e γ = 2. fonte: Produção da própria autora. Para uma equação mais completa, é interessante incluir a dependência da distância radial. Portanto, fixando novamente a massa e analisando os pontos dos gráficos dos coeficientes β em função de r (Figura 9) encontramos que a equação (11) ajusta-se bem aos dados. β = κ(r)−γ. (11) Na Figura 9 as cores das curvas referem-se à massa do corpo central. Os valores dos coeficientes κ e γ são aproximadamente constantes em todos os ajustes em torno dos valores médios de κ = 2, 354± 0, 023 e γ = 1, 958± 0, 009. A linha azul mostra o ajuste da equação 11 para esses valores. A linha vermelha indica o ajuste para os valores aproximados de κ = 2, 4 e γ = 2. Observe que os valores arredondados de κ e γ causam um pequeno descolamento do ajuste com maior precisão; no entanto, eles ainda preservam o bom ajuste para todas as simulações. Assim, a equação 10 pode ser reescrita como: ν C22 ≈ ν k [ 1 + 2.4r−2C22 ] . (12) Usando a equação 12 para calcular a velocidade tangencial inicial νC22 da órbita de uma partícula com 42 Tabela 3 – Semieixos maiores (km), semieixo menores (km) e valores de excentricidades orbitais em torno de um corpo alongado com massa de 1, 13× 1022 kg, C22 = 0, 05, R = 1000 km e sem rotação. Os dados referem-se a dois tipos de posição do corpo central em relação à órbita: no centro (colunas 1 a 3) e em um dos focos (colunas 4 a 6) com velocidade inicial kepleriana. A distância radial inicial da órbita ao centro de massa é a mesma em ambos os casos. O índice C22 indica que os elementos foram calculados devido à geometria da órbita. Centro Foco aC22 bC22 eC22 aC22 bC22 eC22 2000 1949, 04 0, 22 1889, 46 1886, 17 0, 059 3000 2969, 43 0, 15 2921, 00 2919, 94 0, 027 4000 3974, 90 0, 11 3939, 31 3939, 87 0, 015 5000 4979, 94 0, 09 4950, 76 4950, 52 0, 010 fonte: Produção da própria autora. r = 2287 km em torno de um corpo central sem rotação, com a mesma massa e coeficiente da elipticidade Haumea, encontra-se que νC22 = 1248, 7 km h−1, que é a mesma velocidade inicial determinada pela abordagem empírica. Isso mostra que a equação tem uma boa precisão para os casos estudados neste trabalho. Portanto, para problemas compostos por corpos muito alongados e sem rotação, recomenda-se que esta nova equação seja adotada a fim de determinar a velocidade adequada. Outro parâmetro importante a ser determinado é o movimento médio, nC22 , das órbitas em torno de um corpo central com coeficiente de elipticidade. Na seção seguinte, apresentamos essa discussão. 2.6 ADAPTAÇÃO DA TERCEIRA LEI DE KEPLER PARA O CASO DA ELIPTICIDADE DO CORPO CENTRAL Como mostrado anteriormente, as órbitas com velocidade inicial νC22 apresentam pouca variação radial devido à assimetria do corpo central. A Figura 10 apresenta uma amostra de quatro órbitas em torno de um corpo com massa de 1, 13× 1022 kg, C22 = 0, 05, R = 1000 km e sem rotação. Observe que visualmente, as trajetórias parecem ser circulares (linhas coloridas), mas há uma pequena diferença entre rmax e rmin, que agora chamaremos de semieixo maior aC22 e semieixo menor bC22 da órbita, respectivamente. Neste trabalho, o índice C22 nos elementos é empregado quando se considera a geometria real da órbita, ou seja, usando os valores de aC22 e bC22 para um sistema que possui o corpo central prolato. Na tabela 3, podemos comparar os valores dos semieixos maiores e menores e excentricidades no caso de νC22 , onde o corpo primário está no centro da órbita e νk, onde o corpo primário está localizado em um dos focos. Ajustando a velocidade inicial, usando a equação 12, diminui-se drasticamente a variação radial da órbita em comparação ao caso de uma órbita com velocidade inicial kepleriana circular. Em um sistema kepleriano usual, o corpo central está localizado em um dos focos das órbitas elípticas ao seu redor. No entanto, identificamos em nosso estudo que essa característica não é preservada quando o corpo primário é significativamente alongado e as órbitas são iniciadas com a velocidade νC22 . Nesse caso, as órbitas ainda são elípticas, com variação radial devido a assimetria do corpo central que ocupa o centro 43 Figura 10 – Órbitas no plano Oxy em torno de um corpo alongado (elipse preta) com massa de 1, 13×1022 kg, C22 = 0, 05, R = 1000 km e sem rotação o corpo central. As cores indicam a distância radial inicial das órbitas em unidades do raio do primário. As linhas cinzas sobrepostas às linhas coloridas, são gráficos de equações de elipses usando os valores dos semieixos aC22 e bC22 obtidos através da medição de rmax e rmin, respectivamente, para cada órbita correspondente. Os valores dos eixos e excentricidades podem ser encontrados na tabela 3. fonte: Produção da própria autora. dessas órbitas, conforme mostrado na Figura 10. Com os valores dos semieixos a e b das órbitas, traçamos elipses (linhas cinzas) correspondentes a cada órbita integrada numericamente (linhas coloridas). Observe que a órbita coincide com a elipse gerada usando os valores dos semieixos a e b. A diferença entre essas duas curvas pode ser desprezada. Isso mostra que a órbita em torno de um corpo alongado é uma elipse com o corpo no centro. Mudar a localização do corpo central em relação às órbitas, provoca mudanças nos elementos orbitais e na Terceira Lei de Kepler. Assim, a partir dos dados obtidos pelas simulações numéricas desse trabalho, pode-se determinar uma adaptação para a Terceira Lei de Kepler no caso de corpos com elipticidade. Para simplificar, apresentaremos os dados para sistemas com massas menores e maiores. No entanto, os resultados obtidos são válidos para os outros quatro valores de massa usados nesse trabalho. Primeiramente, a adaptação será feita por meio do coeficiente, a seguir: 44 n2 C22 a3C22 = ΓGM, (13) onde G = 6, 672× 10−11 m3 kg−1 s−2 e nC22 é o movimento médio das órbitas, calculado por nC22 = 2π TC22 . (14) O período orbital TC22 foi medido em cada uma das órbitas, computando o tempo necessário para a partícula retornar à posição inicial em que estava quando a integração numérica começou. O coeficiente Γ pode ser escrito de acordo com o coeficiente de elipticidade: n2 C22 a3C22 = (1 + δC22)GM. (15) Assim, quando C22 é nulo, a Terceira Lei de Kepler torna-se a lei usual. Para determinar δ, fixamos o semieixo maior e fizemos os ajustes entre δ e os coeficientes de elipticidade C22. Os resultados dos ajustes podem ser encontrados na Figura 11, onde as cores indicam o semieixo maior considerado. Observe que os resultados não dependem da massa do corpo central, mas apenas do semieixo maior da órbita, do raio do corpo e do coeficiente de elipticidade, pois para um dado aC22/R e C22 o valor de δ é o mesmo para as duas massas analisadas. Portanto, é interessante incluir na expressão Γ o parâmetro R/aC22 , além de C22. Então, é feito um ajuste de curva entre os coeficientes de cada uma das curvas na Figura 11 e o semieixo maior, como mostrado na Figura 12. A equação 16 é a que melhor se ajusta aos dados. Os valores dos coeficientes ζ e η são aproximadamente constantes em torno dos valores médios de κ = 2, 730± 0, 012 e γ = 1, 933 ± 0, 005. A linha vermelha corresponde à curva obtida pela equação com os coeficientes ζ = 2, 74 e η = 1, 94 aproximados. τ = ζ (aC22) −η (16) Assim, a expressão da Terceira Lei de Kepler adaptada para o caso de corpo central alongado, equação 13, pode ser reescrita como: n2 C22 a3C22 = [ 1 + 2.74a−1.94 C22 C22 ] GM. (17) Além da equação para o movimento médio, é determinada uma equação empírica para a excentricidade da órbita. Essa expressão também foi obtida por meio de ajustes de curvas, fixando-se C22 e ajustando-se a curva entre a excentricidade e o semieixo maior, conforme mostrado na Figura 13. A excentricidade foi calculada para cada órbita tendo os valores de aC22 e bC22 , que podem ser escritos como: eC22 = (0.11 + 9.6C22 − 57C2 22)a −1 C22 , 0.01 ≤ C22 ≤ 0.05. (18) O termo independente desta equação empírica varia em torno de 0, 11± 0, 007, o termo linear varia de 9, 629± 0, 553 e o termo quadrático com a maior variação de −57, 143± 9, 035. Conforme mostrado na 45 Figura 11 – Valores de δ em função do coeficiente de elipticidade C22. Os pontos referem-se ao valor de δ medido para cada C22. As linhas são ajustes de curva aplicados para cada distância radial inicial da órbita, que corresponde ao semieixo maior, indicado pelas cores. fonte: Produção da própria autora. Figura 13, o arredondamento feito nos coeficientes preserva o bom ajuste para todas as simulações. A excentricidade é independente da massa. Analisando a Figura 13, pode-se perceber que quanto mais longe do corpo, menor é a excentricidade das órbitas. Assim, a uma dada distância do corpo central, as órbitas serão circulares porque o efeito da elipticidade é muito pequeno. Desta distância, a usual Terceira Lei de Kepler torna-se válida novamente. 2.7 ROTAÇÃO DO CORPO CENTRAL Até o momento, todos os resultados e discussões apresentados estão relacionados aos sistemas nos quais o corpo central não gira. Nesta seção, é introduzido esse novo parâmetro nas simulações e determinado, empiricamente, a velocidade νC22 para cada órbita. Para entender a dependência da rotação, escolhemos apenas um caso, que se aproxima da massa Haumea, com parâmetros iguais a M = 3, 84 × 1021 kg, C22 = 0, 05 e R = 1000 km. Uma vez que Haumea tem um período de rotação de aproximadamente 3, 9155 h que é considerado alto, escolhemos o intervalo de rotação do corpo central variando de 4 h a 15 h. O semieixo maior varia de 3R a 11R. Distâncias inferiores a 3R causam colisões com o primário ou ejeções. Para distâncias maiores que 11R, o efeito da elipticidade do corpo torna-se muito pequeno, sem necessidade de correções na velocidade inicial; ou seja, a velocidade kepleriana circular é adequada para produzir órbitas com variação radial mínima. Incluindo a rotação do corpo central, é possível encontrar 46 Figura 12 – Valores do coeficiente τ em função do semieixo maior das órbitas em torno do corpo central. A curva vermelha é traçada usando a equação 16 com o coeficiente ζ = 2, 74 e η = 1, 94. fonte: Produção da própria autora. a velocidade νC22 em que a órbita tem uma variação radial mínima, como no caso sem rotação. No caso do corpo estático, o ajuste da velocidade foi feito somando-se pequenas quantias até encontrar νC22; entretanto, quando a rotação é adicionada, o ajuste é negativo, ou seja, a velocidade νC22 deve ser menor que a velocidade circular kepleriana, para os casos estudados nesse trabalho. Isso ocorre porque o corpo central gira mais rápido do que o período orbital da partícula. Assim, a velocidade νC22 pode ser escrita como uma função da velocidade circular kepleriana como νC22 = (1 − Λ)νk, onde (1 − Λ) é o coeficiente de ajuste. Na Figura 14 os pontos são os valores de Λ em função do semieixo maior (aC22) para cada período de rotação do corpo central (indicado pelas cores). Observe que Λ tende a 0 com um aumento no semieixo maior, o que é esperado, pois quanto mais longe do centro de massa, menor o efeito de elipticidade. As curvas na Figura 14 são obtidas fazendo ajustes de acordo com uma equação na forma de Λ = ϵa−ξ C22 . Essas curvas têm aproximadamente o mesmo comportamento, sofrendo apenas um deslocamento dependendo do período de rotação. Observe que as curvas não têm o mesmo número de pontos. Isso ocorre porque as colisões, ejeções e a região onde o efeito de elipticidade pode ser desprezado ocorrem em diferentes semieixos maiores para os períodos de rotação. Por exemplo, para o período de rotação de 4 h, as órbitas internas à 3R colidem ou são ejetadas e externas à 7R são órbitas nas quais a velocidade kepleriana circular é suficiente para descrever trajetórias com uma variação radial baixa. Não foi possível obter uma equação geral para a velocidade νC22 em função do período de rotação do corpo central, devido à complexidade do caso. Porém, identificamos o tipo de comportamento descrito pela 47 Figura 13 – Valores de excentricidade em função do semieixo maior em unidades do raio equivalente do corpo central. Os pontos são os valores de excentricidade medidos para cada caso. As curvas foram ajustadas entre os dois elementos. A excentricidade é independente da massa do corpo central. As cores das linhas indicam o valor do coeficiente de elipticidade. fonte: Produção da própria autora. velocidade adaptada. Conforme mostrado nas seções anteriores, a posição relativa entre a partícula em órbita e a forma do corpo central é importante para a compreensão da dinâmica da trajetória. Portanto, para obter a relação entre a excentricidade e o semieixo maior da órbita, utilizaremos o sistema girante (um plano que gira junto com o corpo central), assim, a posição relativa é preservada. Essa relação é mostrada na Figura 15. A excentricidade (pontos no gráfico) foi calculada para cada órbita pelo mesmo método utilizado no caso do corpo central sem rotação. As curvas são ajustes feitos a partir dos dados coletados usando uma função como eC22 = χa−Ψ C22 . Tal como acontece com a velocidade νC22 , o período de rotação (indicado pelas cores) provoca um descolamento entre as curvas. Devido à variação nos valores dos coeficientes χ e Ψ, não foi possível obter bons ajustes para uma equação geral de excentricidade que depende do semieixo maior e do período de rotação do corpo central. Porém, como mostrado na Figura 15, para um determinado período de rotação fixo, é possível obter uma equação entre a excentricidade e o semieixo maior. O período da órbita em torno de um corpo prolato (TC22), como mencionado anteriormente, muda em comparação com o período de uma órbita kepleriana circular em torno de um corpo esférico. Assim, medindo o período orbital de cada órbita considerada, conseguimos obter uma expressão em função do semieixo maior (em unidades de R) dada por: 48 Figura 14 – Valores do coeficiente Λ em função do semieixo maior. Os pontos são os valores Λ medidos para cada caso do semieixo maior. As curvas coloridas correspondem aos ajustes feitos com os dados. As cores estão associadas aos períodos de rotação do corpo central. fonte: Produção da própria autora. TC22 = 3.4a1.5C22 . (19) Esta equação é válida independente do período de rotação do corpo central, conforme mostrado na Figura 16. Os coeficientes são aproximadamente constantes, em torno dos valores médios: 3, 427± 0, 008, 1, 503± 0, 001. Observe que o arredondamento desses coeficientes adotados na equação 19 preserva um bom ajuste para todas as simulações. A equação 19 assemelha-se à Terceira Lei de Kepler, exceto pelo coeficiente de 3, 4. 2.8 BORDA INTERNA DA REGIÃO ESTÁVEL EM TORNO DE HAUMEA Por ser um corpo com elipticidade elevada e possuir um anel de partículas, Haumea se tornou um alvo interessante para estudos da dinâmica de partículas ao seu redor. Em Sumida et al. (2020) é feita a análise do limite inferior da região estável em torno de Haumea por meio de simulação numérica de N-corpos, com distribuição aleatória de partículas. O limite encontrado é ≈ 2069.73 km. As partículas inferiores a essa distância radial são ejetadas ou colidem com o corpo central. Entretanto, as velocidades iniciais atribuídas às partículas são velocidades keplerianas circulares. Como abordado nesse trabalho, a velocidade kepleriana para trajetórias ao redor de corpos prolatos causam um aumento na excentricidade e 49 Figura 15 – Valores de excentricidade em função do semieixo maior no sistema girante. Os pontos são os valores medidos de excentricidade para cada caso do semieixo maior. As curvas coloridas são os ajustes feitos com os dados coletados. As cores estão associadas aos períodos de rotação do corpo central. fonte: Produção da própria autora. esse fato pode influenciar a localização da borda interna da região de estabilidade do sistema. Nesta seção, determinamos a posição da borda interna da região estável, examinando a estabilidade do movimento das partículas girando em torno de Haumea. Para isso, consideramos apenas o campo gravitacional do corpo central, dado pela equação 8, ou seja, não há interação entre as partículas que giram em torno de Haumea. Ademais, utilizamos o método empírico para determinar a velocidade νC22 das partículas usadas na simulação numérica. A seguir explicamos como as condições iniciais da integração foram obtidas. 2.8.1 Condições iniciais Devido a limitação do método adotado, não podemos calcular diretamente a velocidade νC22 de uma distribuição angular de partículas ao redor da região equatorial de Haumea. Para fazer esse tipo de distribuição, foi necessário a utilização de algumas etapas de um processo que pode ser observado na Figura 17. Primeiramente, definimos qual a faixa radial desejada para que as partículas sejam distribuídas. Nesse estudo, essa faixa compreende as distâncias de 1811 km até 2700 km. Então, fazemos a primeira distribuição de condições iniciais apenas no eixo Ox, espaçadas igualmente com 25 km (ver etapa 1 na Figura 17). A velocidade νC22 é então determinada para cada uma das condições iniciais usando o método 50 Figura 16 – Valores do período orbital TC22 em função do semieixo maior (em unidades do raio equivalente do corpo central) no sistema inercial. Os pontos são os valores medidos do período orbital para cada caso do semieixo maior e as cores são associadas aos períodos de rotação do corpo central. A curva vermelh