UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO" CAMPUS DE GUARATINGUETÁ HUDSON VINICIUS DE ALMEIDA SILVA Geradores do grupo de Poincaré para tensores e espinores-tensores de ordem arbitrária Guaratinguetá 2024 Hudson Vinicius de Almeida Silva Geradores do grupo de Poincaré para tensores e espinores-tensores de ordem arbitrária Trabalho de Graduação apresentado ao Con- selho de Curso de Graduação em Física Ba- charelado da Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Es- tatual Paulista, como parte dos requisitos para obtenção do diploma de Graduação em Fí- sica Bacharelado . Orientador: Profº Dr. Elias Leite Mendonça Guaratinguetá 2024 S586g Silva, Hudson Vinicius de Almeida Geradores do grupo de Poincaré para tensores e espinores-tensores de ordem arbitrária / Hudson Vinicius de Almeida - Guaratinguetá, 2024. 64 f : il. Bibliografia: f. 61-62 Trabalho de Graduação em Física – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia e Ciências de Guaratinguetá, 2025. Orientador: Prof. Dr. Elias Leite Mendonça 1. Física de spin elevado. 2. Mecânica clássica. 3. Poincaré, Séries de. I. Título. CDU 530.145 Luciana Máximo Bibliotecária/CRB-8 3595 DADOS CURRICULARES HUDSON VINICIUS DE ALMEIDA SILVA NASCIMENTO 10 de abril de 2000 - Guaratinguetá / SP FILIAÇÃO Edson Valdevino da Silva Geralda Sueli de Almeida 2021 / 2024 Bacharel em Física UNESP Dedico este trabalho aos meus pais. AGRADECIMENTOS Agradeço a minha mãe Sueli por sempre me apoiar e incentivar aos estudos, e ao meu pai Edson pelo apoio. Vocês tornaram tudo isso possível. Ao meu orientador Elias que me guia desde o início do curso, agraço não só por esse projeto, mas também por todas as oportunidades que me deu e por me mostrar o que é ser um bom pesquisador. Um agradecimento especial a todos os meus professores que contribuiram com a minha formação. Em particular agradeço aos professores Júlio Marny Hoff e Willian Chiappim pelas muitas horas de conversas e todos os conselhos, vocês são inspirações de profissionais para mim. Por fim, gostaria de agradecer a minha companheira de estudos Maria Isabel Iguti pelas muitas e muitas horas de estudos e por todas as conversas, com certeza aprendemos muito um com o outro. Este trabalho contou com o apoio da(s) seguinte(s) entidade(s): FAPESP - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (Projeto: 22/14185-1) “We are in the position of a little child entering a huge library whose walls are covered to the ceiling with books in many different tongues. The child does not understand the languages in which they are written. He notes a definite plan in the arrangement of books, a mysterious order which he does not comprehend, but only dimly suspect“ (Albert Einstein) RESUMO Neste trabalho, lidamos com duas frentes distintas das teorias de higher spin. Na primeira parte, nos concentramos em teorias spin alto massivas, nos valendo das propriedades algébricas do grupo de Poincaré. Derivamos as formas explicitas dos geradores do grupo de Poincaré ISO(3,1) e ISO(2,1), que atuam sobre tensores e espinores-tensores de ordem arbitrária, partindo de primeiros princípios. Com esses geradores conseguimos construir os operadores de casimir da álgebra de Poincaré, iso(3,1) e iso(2,1), e suas respectivas equações de autovalor. Das equações de autovalor, foi possível obter os vínculos de Fierz-Pauli, de maneira independente de modelo, em D = 3+1 dimensões para spin-5/2, 3 e 4, e em D = 2 + 1 dimensões para helicidades-5/2, 3 e 4. Já na segunda parte do trabalho, nos voltamos a teorias de spin alto não massivas. Apresentamos as equações de Fronsdal e Fang-Fronsdal, como generalizações das teorias de calibre de spin baixo, exibimos suas simetrias e construímos ações invariantes de calibre das quais pudéssemos derivar tais equações. Por fim, destacamos a formulação de Francia e Sagnotti para lidar com teorias de spin. Tal formalismo permite lidar com teorias de calibre sem restrições, diferente dos casos de Fang e Fronsdal, no qual há restrições sobre os campos e parâmetros de calibre. Por meio de uma proposta alternativa, conseguimos recuperar os resultados por eles obtidos para uma teoria de spin-5/2. PALAVRAS-CHAVE: Teorias de spin alto; Geradores do grupo de Poincaré; Vínculos de Fierz-Pauli; Equação de Fang-Fronsdal; Teorias não locais. ABSTRACT In this work, we deal with two distinct fronts of higher spin theories. In the first part, we focus on massive high spin theories, making use of the algebraic properties of the Poincaré group. We derive the explicit forms of the Poincaré group generators ISO(3,1) and ISO(2,1), which act on tensors and spinor-tensors of arbitrary order, starting from first principles. With these generators we were able to construct the Casimir operators of the Poincaré algebra, iso(3,1) and iso(2,1), and their respective eigenvalue equations. From the eigenvalue equations, it was possible to obtain the Fierz-Pauli constraints, in a model-independent way, in dimensions for spin-5/2, 3 and 4, and dimensions for helicities- 5/2, 3 and 4. In the works second part, we turn to non-massive high spin theories. We present the Fronsdal and Fang-Fronsdal equations as generalizations of low spin gauge theories, exhibit their symmetries, and construct gauge invariant actions from which we could derive such equations. Finally, we highlight Francia and Sagnotti’s formulation to deal with spin theories. Such formalism allows us to deal with gauge theories without restrictions, unlike the cases of Fang and Fronsdal, in which there are restrictions on gauge fields and parameters. Through an alternative proposal, we were able to recover the results they obtained for a spin-5/2 theory. KEYWORDS: Higher spin theorie; Poincaré group generators; Fierz-Pauli constraints; Fang-Fronsdal equation; Nonlocal theories. SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1 ONDE ESTÃO OS HIGHER SPIN? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 LINHA HISTÓRICA DA TEORIA DE HIGHER SPIN . . . . . . . . . 13 2 RELATIVIDADE RESTRITA: UMA BREVE REVISÃO . . . . . . 14 2.1 MECÂNICA CLÁSSICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 RELATIVIDADE RESTRITA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 Quadrivetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Transformações de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 GRUPO DE POINCARÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1 TEORIA DE GRUPOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 GRUPOS DE LIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.1 Grupo SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 GRUPO DE LORENTZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 GRUPO DE POINCARÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.5 REPRESENTAÇÃO ESPINORIAL DO GRUPO DE LORENTZ . . . 29 3.5.1 Equação de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5.2 Covariância da equação de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 GERADORES DO GRUPO DE POINCARÉ . . . . . . . . . . . . . 33 4.1 TENSOR ARBITRÁRIOS DE ORDEM S EM D = 3 + 1 . . . . . . . . 33 4.1.1 Translações espaço-temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.1.2 Transformações de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2 ESPINORES-TENSORES DE ORDEM S EM D = 3 + 1 . . . . . . . . 35 4.2.1 Translações espaço-temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2.2 Transformações de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3 OPERADORES DE CASIMIR DA ISO(3,1) . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3.1 Casimirs para tensores de ordem s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3.2 Casimirs para espinores-tensores de ordem s . . . . . . . . . . . . . 40 4.4 GRUPO DE POINCARÉ ISO(2,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4.1 Tensores e espinores-tensores de ordem s em D = 2 + 1 . . . . . . . . 42 4.4.2 Operadores de Casimir da iso(2,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5 VÍNCULOS DE FIERZ-PAULI A PARTIR DA ÁLGEBRA . . . . 45 5.1 SPIN-5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1.1 Spin-5/2 em D = 3 + 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.1.2 Helicidade-5/2 em D = 2 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.2 SPIN-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2.1 Spin-3 em D = 3 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2.2 Helicidade-3 em D = 2 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.3 SPIN-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.3.1 Spin-4 in D = 3 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.3.2 Helicidade-4 em D = 2 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6 UMA INTRODUÇÃO ÀS TEORIAS DE HIGHER SPIN NÃO MASSIVAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.1 FORMALISMO LAGRANGIANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.2 CAMPOS BOSÔNICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.2.1 Equação de Fronsdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.2.2 Ação de Fronsdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.3 CAMPOS FERMIÔNICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.4 TEORIAS DE HIGHER SPIN NÃO LOCAIS . . . . . . . . . . . . . . 58 6.4.1 Recuperando ações não locais - spin-5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 APÊNDICE A – CONTAGEM DE GRAUS DE LIBERDADE: CASO BOSÔNICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 12 1 INTRODUÇÃO O estudo de teorias de Higher Spin é algo que vai bem além de um trabalho de graduação, como o presente trabalho. Sendo assim, este trabalho segue um roteiro, o qual explicarei a seguir, com o intuito de mitigar lacunas relacionadas as teorias básicas. Iniciamos este trabalho falando sobre a não observação de partículas fundamentais de spins maiores que 3/2, mesmo havendo a possibilidade teórica de existência das mesmas. Damos então um panorama histórico sobre o estudo de teorias de spin mais altos ao longo do século vinte, desde sua primeira proposta dada por Dirac em 1936 até a incorporação de conceitos geométricos nas teorias de spin alto, iniciadas por de Wit e Freedman. No capítulo 2 se inicia uma revisão da mecânica clássica, para uma posterior introdução a relatividade restrita, na qual surgem naturalmente as transformações de Poincaré. Tais transformações constituem um grupo, sendo assim no capítulo 3 se inicia uma introdução à teoria de grupos e grupos de Lie, onde é feito inclusive um estudo do grupo SO(3) como exemplo elucidativo. Passamos então aos grupos de Lorentz SO(3,1) e Poincaré ISO(2,1), onde obtemos a álgebra de Lie do grupo de Poincaré iso(3,1). O capítulo 4 é dedicado à obtenção da forma explicita dos geradores do grupo de Poincaré, iniciando com os geradores que atuam sobre tensores de rank-s arbitrário, seguido da obtenção dos geradores que atuam sobre espinores-tensores de rank-s. Feito isso, introduzimos os operadores de Casimir do grupo de Poincaré, P 2 e W 2, assim como suas equações de autovalor e então obtemos suas formas explicitas tanto para o caso espinorial quanto para o caso tensorial. Até então tudo havia sido feito considerando um espaço-tempo de D = 3 + 1 dimensões, fizemos então uma readaptação dos resultados para D = 2 + 1 dimensões, onde todas as expressões obtidas anteriormente se simplificam consideravelmente. O capítulo 5 é motivado pelo trabalho (KOENIGSTEIN; GIACOSA; RISCHKE, 2016) no qual os autores obtém os chamados vínculos de Fierz-Pauli, diretamente das equações de autovalor dos Casimirs do grupo de Poincaré, para campos de spin- 1/2, 1, 3/2 e 2. Fazemos uma extensão desses resultados para os casos de spin- 5/2, 3 e 4, tanto em D = 3 + 1 como em D = 2 + 1 dimensões. Por fim, no capítulo 6 lidamos com teorias de calibre não massivas de spin alto. Começamos esse capítulo fazendo uma revisão do formalismo lagrangiano. Apresentamos então as teorias de Fronsdal e Fang-Fronsdal, como generalizações das teorias de calibre de spin baixo. Apresentamos suas simetrias de calibre e construímos ações invariantes de calibre, escritas em termos de objetos geométricos. Citamos então a formulação de Francia e Sagnotti para teorias de higher spin, na qual as teorias de Fronsdal e Fang-Fronsdal acabam sendo fixações de calibre dessas. Para finalizar, reobtemos uma lagrangiana não local de uma teoria de spin-5/2, originalmente obtida por Francia, por meio de redefinições de campos. 13 1.1 ONDE ESTÃO OS HIGHER SPIN? Um marco notável na fundamentação da teoria quântica de campos é dado pela conexão entre estados de uma partícula e as representações unitárias, irredutíveis do grupo de Poincaré, no contexto de um espaço-tempo plano, o espaço de Minkowski. Vamos analisar essas palavras uma a uma: a unitariedade é imprescindível para englobar um princípio básico da mecânica quântica, a conservação da probabilidade, a irredutibilidade se deve à natureza elementar da partícula e o grupo de Poincaré está presente para que os princípios da relatividade especial possam ser incorporados. Todas essas ideias são conectadas a partir de um teorema chave na fundamentação da teoria quântica de campos, o teorema de Wigner, no qual Wigner propõe uma maneira de classificar partículas elementares. Esse teorema atesta que os número quânticos básicos de uma partícula elementar são massa e spin, como consequência temos que as partículas/campos podem ser massivos ou não massivos, possuir spin-0, 1, 2,... para partículas bosônica e spin-1/2, 3/2, 5/2,... para partículas fermiônicas. A questão é que o modelo padrão da física de partículas requer apenas campos de spin-0, 1/2 e 1 para explicar toda a física, a exceção da gravidade que por exemplo nas equações de campo de Einstein é descrita por um campo de spin-2. Então surge naturalmente a pergunta "Onde estão os spin mais altos?", os chamados higher spins. 1.2 LINHA HISTÓRICA DA TEORIA DE HIGHER SPIN (DIRAC, 1936) Tentativa de generalização da celebre equação de spin-1/2 para spin arbitrário (FIERZ; PAULI, 1939) Extensão do trabalho Dirac; invariância por Lorentz e positividade da energia (E.P.WIGNER, 1939) Representações unitárias e irredutíveis do grupo de Poincaré (SINGH; HAGEN, 1974) Construção de lagrangianas para campos massivos de spin arbitrário (FANG; FRONSDAL, 1978) Limite de massa nula na teoria de Singh-Hagen (WIT; FREEDMAN, 1980) Uma abordagem da Teoria Fang-Fronsdal a partir de objetos geométricos Figura 2 – Linha histórica da teoria de higher spin. Imagem fornecida pelo próprio autor. 14 2 RELATIVIDADE RESTRITA: UMA BREVE REVISÃO 2.1 MECÂNICA CLÁSSICA Consideremos dois referencias S e S’, com S’ se movendo com velocidade constante u em relação a S com origens no mesmo ponto no instante t = 0. A relação entre as coordenadas dos referencias S e S’, serão dadas por: r′ = r − ut, (2.1) t′ = t. (2.2) As transformações (2.1) e (2.2), são conhecidas com transformações de Galileu, que desempenham um importante papel na mecânica newtoniana. Uma característica evidente dessas transformações é que o tempo é considerado uma grandeza absoluta, i.e., intervalos de tempo medidos em diferentes referencias são iguais. Diferenciando (2.1) com respeito ao tempo, resulta em: ṙ′ = ṙ − u, (2.3) e agora diferenciando esta última novamente em relação ao tempo, obtemos: r̈′ = r̈, (2.4) ou seja, as acelerações medidas em ambos os referencias são as mesmas. Com esse resultado em mãos, podemos olhar para a segunda lei de Newton. No referencial S: F =mr̈, (2.5) e no referencial S’: F′ =mr̈′ =mr̈ = F. (2.6) Concluímos portanto, que a segunda lei de Newton é invariante perante a transformações de Galileu. 2.2 RELATIVIDADE RESTRITA Na mecânica clássica é de costume escrever à força de interação em termos da energia potencial V como, F = −∇V . Em geral, a energia potencial é independente do tempo, só dependendo das coordenadas espacias, i.e, V = V (r). Logo, na mecânica newtoniana uma força pode mudar instantaneamente pela simples mudança na posição em um dado instante, o que está em desacordo com resultados experimentais que sugerem que nenhum 15 efeito pode se propagar mais rápido que a velocidade da luz no vácuo, c, e que esta, por sua vez, é uma constante universal que independe do referencial. Além disso, esse último resultado contradiz a lei de composição de velocidades (2.3). Um outro contraponto, é que diferente da mecânica clássica, as equações de Maxwell não são invariantes por transformações de Galileu. Com base nesses resultados, devemos buscar novas transformações de simetria e reformular a mecânica. Há um conjunto de transformações que garantem a invariância das equações de Maxwell. Considerando os mesmos sistemas de referência anteriores, S e S’, mas por facilidade tomando u = ûi, temos: x′ = x − ut √ 1 − u2 c2 ; y′ = y ; z′ = z ; t′ = t − v c2x√ 1 − v2 c2 ; (2.7) como sendo transformações que deixam as equações de Maxwell invariantes. Essas trans- formações são conhecidas como transformações de Lorentz. Perceba que no regime de baixas velocidades, i.e, para ∣v∣≪ c, recuperamos as transformações de Galileu. Ademais, essas transformações misturão espaço e tempo, ou seja, essas grandezas não são mais absolutas. Podemos agora introduzir a Relatividade Especial, com dois postulados: i. As leis físicas são as mesmas em todos os referencias inercias; ii. A velocidade da luz no vácuo, c, é a mesma em todos os referencias e em todas as direções. O postulado (i) é conhecido como princípio da relatividade e (ii) como princípio da constância da velocidade da luz. Vejamos quais as consequências desses postulados. Consideremos, no referencial S, um sinal enviado na velocidade da luz, de um ponto (x1, y1, z1) no instante t1 e recebido no ponto (x2, y2, z2) no instante t2. Como o sinal se propaga com velocidade c, temos: c2 = (x2 − x1) 2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 (t2 − t1)2 , (2.8) podemos a partir dessa expressão, escrever o seguinte intervalo no referencial S: ∆s = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 − c2(t2 − t1)2 = 0 . (2.9) 16 Esse mesmo sinal observado a partir do referencial S’, partiria do ponto (x′1, y′1, z′1) no instante t′1 e atingiria o ponto (x′2, y′2, z′2) no instante t′2. Logo, em S’ teremos o intervalo: ∆s′ = (x′2 − x′1)2 + (y′2 − y′1)2 + (z′2 − z′1)2 − c2(t′2 − t′1)2 = 0 . (2.10) Considerando os pontos muito próximos, o intervalo (2.9) se reduz a: ds2 = dx2 + dy2 + dz2 − c2dt2 . (2.11) Como vimos ds = 0 em S e ds′ = 0 em S’, logo ds2 = ads′2, onde a é uma constante de proporcionalidade, na verdade a = 1, como mostrado por (LANDAU, 2013). Portanto, ds′2 = ds2, i.e, o intervalo é invariante pela transformação que relaciona os referências. Podemos imaginar esse intervalo como sendo a distância entre dois pontos num espaço quadridimensional com coordenadas dadas por (ct, x, y, z) e denotá-las por xµ, com µ = 0,1,2,3, assim: x0 = ct x1 = x x2 = y x3 = z . (2.12) Vamos definir a seguinte matriz: η = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝ −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠ , (2.13) e denotar seus elementos por ηµν . Nessa nova notação, nosso intervalo ds2 pode ser escrito de maneira compacta: ds2 = 4 ∑ µ,ν=0 ηµνdx µdxν = −c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2. (2.14) Daqui em diante usaremos a notação de Einstein para soma, na qual índices repetidos em cima e em baixo indicam soma. Dessa maneira, podemos escrever ds2, simplesmente como sendo: ds2 = ηµνdxµdxν . (2.15) O conjunto das 4-upla (ct, x, y, z) ∈ R3+1 compõem um espaço vetorial real quadridimen- sional. Os elementos ηµν compõem a chamada métrica de Minkowski, o conjunto anterior endossado com essa métrica forma o chamado espaço de Minkowski. Esse é o espaço onde a relatividade especial se desenvolve. 17 2.2.1 Quadrivetores Consideremos uma transformação (não singular) de S para S’ que relacione xµ e x′µ, teremos assim: dx′µ = ∂x ′µ ∂xν dxν . (2.16) As quantidades que se transformam como (2.16) são chamadas de quadrivetores contra- variantes. Consideremos agora um campo escalar ϕ(x), onde x = (x0, x1, x2, x3). Uma característica desse tipo de campo é que ele apresenta o mesmo valor em qualquer sistema de referência, ou seja, ϕ′(x′) = ϕ(x) , (2.17) derivando este campo com relação a xµ: ∂ϕ′ ∂x′µ = ∂x ν ∂x′µ ∂ϕ ∂xν . (2.18) As quantidades transformadas como ∂ϕ′/∂x′µ são chamados de quadrivetores covarian- tes. Nesse sentido, quadrivetores contravariantes e covariantes, são quantidades que se transformam, respectivamente, como: V µ = ∂x′µ ∂xν V ν ; (2.19) Vµ = ∂xν ∂x′µ Vν . (2.20) Esses dois tipos de vetores são relacionados pela métrica: Vµ = ηµνV ν e V µ = ηµνVν (2.21) onde ηµν designa os elementos da matriz η−1 que é igual a própria matriz η. Em outras palavras, a métrica sobe e desce índices. Podemos também definir tensores contravariantes, covariantes e mistos. Considere os objetos transformados como: T µν = ∂x′µ ∂xα ∂x′µ ∂xβ Tαβ ; (2.22) Tµν = ∂xα ∂x′µ ∂xβ ∂x′ν Tαβ ; (2.23) T µ ν = ∂x′µ ∂xα ∂xβ ∂x′ν Tα β ; (2.24) esses são chamados, respectivamente, de tensores de segunda ordem contravariantes, covariantes e mistos (misturas ambos os tipos). Nesse sentido, podemos definir tensores de ordem arbitraria, T µν...ρ. Vamos citar algumas propriedades dos tensores que serão importantes no decorrer do 18 trabalho. Um tensor é dito simétrico se: T µν = T νµ , (2.25) e antissimétrico se: T µν = −T νµ . (2.26) Perceba que a métrica de Minkowski é um tensor simétrico, um outro tensor simétrico de suma importância é o chamado delta de Kronecker: δµν = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 1 se µ = ν 0 se µ ≠ ν (2.27) Note que ηµρηρν = δµν . Podemos também definir o produto escalar entre dois quadrivetores: V ⋅U = V µUµ = V 0U0 + V 1U1 + V 2U2 + V 3U3, (2.28) esse produto é um invariante pelas transformações de coordenada, pois: V ′µU ′µ = ∂x′µ ∂xα ∂xβ ∂x′µ V αUβ = ∂xβ ∂xα V αUβ = δβαV αUβ = V αUα . (2.29) 2.2.2 Transformações de Poincaré Voltemos ao nosso intervalo invariante ds′2 = ds2, no lado esquerdo temos que: ds′2 = ηαβdx′αdx′β = ηαβ ∂x′α ∂xµ ∂x′β ∂xν dxµdxν , (2.30) e no lado direito: ds2 = ηαβdxαdxβ = ηµνdxµdxν (2.31) logo, pela invariância do intervalo ηαβ ∂x′α ∂xµ ∂x′β ∂xν = ηµν . (2.32) Derivando (2.32) com relação a xρ: ηαβ ∂2x′α ∂xρ∂xµ ∂x′β ∂xν + ηαβ ∂x′α ∂xµ ∂2x′β ∂xρ∂xν = 0, (2.33) 19 como ηαβ é simétrico, podemos permutar os índices α e β no segundo termo: ηαβ ∂2x′α ∂xρ∂xµ ∂x′β ∂xν + ηαβ ∂x′β ∂xµ ∂2x′α ∂xρ∂xν = 0, (2.34) Sabemos de (2.32) que a expressão é simétrica nos índices µ e ν, podemos permutá-los no segundo membro da expressão acima. Feito isso, obteremos: 2ηαβ ∂2x′α ∂xµ∂xρ ∂x′β ∂xν = 0 , (2.35) como estamos interessados em transformações invertíveis, multipliquemos (2.35) pela transformação inversa e por ηαλ, obtemos assim: ∂2x′µ ∂xρ∂xν = 0 (2.36) a solução dessa equação diferencial é a tranformação linear: x′µ = Λµ νx ν + aµ (2.37) onde, ∂x′µ ∂xν = Λµ ν . (2.38) As transformações (2.37) são chamadas de transformações de Poincaré, sendo essas as transformações, não singulares, mais gerais possíveis que garantem a invariância de ds2. Perceba que aµ, representa uma translação no vetor xµ, na ausência de translações (aµ = 0), temos as chamadas transformações de Lorentz homogêneas ou simplesmente transformações de Lorentz. Retornando a (2.32) com (2.38), teremos: Λα µΛ β νηαβ = ηµν , (2.39) é possível observarmos uma estrutura de um produto matricial nessa expressão, dado por: Λ⊺ηΛ = η , (2.40) onde Λ⊺ denota a transposição da matriz Λ. Multiplicando (2.40) por η−1 à esquerda e por Λ−1 à direita, resulta em: Λ−1 = η−1Λ⊺η , (2.41) ou em componentes, (Λ−1)µν = ηµα(Λ⊺) β α ηβν = ηµαΛβ αηβν , (2.42) 20 usando a métrica para subir e descer os índices, temos: (Λ−1)µν = Λ µ ν , (2.43) ou seja, Λ µ ν representa a transformação de Lorentz inversa. Toda essa construção vista até aqui sugere uma estrutura de grupo, à qual iremos nos adentrar no próximo capítulo. 21 3 GRUPO DE POINCARÉ A teoria de grupos desempenha um papel fundamental na física, tendo em vista que as principais transformações de simetria constituem um grupo. Nesse capítulo iremos introduzir alguns conceitos das teorias de grupos e de representações que serão necessários no decorrer do trabalho. 3.1 TEORIA DE GRUPOS Comecemos com a definição de grupo: Definição 3.1.1. Um conjunto G não vazio, munido de uma operação ” ⋅ ” que associa qualquer par de elementos a, b ∈ G a um outro elemento de G, ou seja, a ⋅ b ∈ G, é denominado grupo se as seguintes propriedades são satisfeitas, para quaisquer a, b, c ∈ G i. Associatividade: a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c; ii. Existência da identidade: ∃ e ∈ G, tal que a ⋅ e = e ⋅ a = a; iii. Existência do inverso: ∀a ∈ G, ∃a−1, tal que a ⋅ a−1 = a−1 ⋅ a = e. Se além das propriedades anteriores, for cumprida a comutatividade, isto é, a ⋅ b = b ⋅ a ∀a, b ∈ G, o grupo é denominado grupo abeliano. Por questão de simplificação vamos omitir o símbolo da operação ” ⋅ ”, exceto quando necessário, isto é, escreveremos ab ao invés de a ⋅ b. Por exemplo, o conjunto de todas as matrizes n × n inversíveis formam um grupo com respeito ao produto de matrizes. Esse grupo é conhecido como grupo linear geral, denotado por GL(n,R) se as entradas da matrize forem reais e por GL(n,C) se forem complexas. De fato, a multiplicação de matrizes é associativa, a matriz identidade faz o papel de elemento neutro e por definição são matrizes inversíveis. Definição 3.1.2. Um subconjunto H do grupo G é dito um subgrupo de G, se H forma um grupo com respeito a mesma operação definida em G. Como exemplo temos o conjunto das matrizes n × n com determinante igual a um, que corresponde a um subgrupo do grupo linear geral. Esse grupo é conhecido como grupo linear especial, e é denotado por SL(n,R) para entradas reais e SL(n,C) para entradas complexas. De fato, SL é um grupo com respeito a multiplicação de matrizes. Uma vez que o determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes, isto é, det(M1M2) = det(M1)det(M2), teremos que se det(M1) = 1 e det(M2) = 1 então 22 det(M1M2) = 1. Além disso, como o determinante é não nulo, as matrizes são inversíveis e portanto pertencem a GL. Devemos falar também da possibilidade de mapeamento entre grupos, que nos leva aos conceitos de homomorfismo e isomorfismo: Definição 3.1.3. Um mapeamento de um grupo G em G’ é um homomorfismo se a estrutura multiplicativa de ambos os grupos for preservada. Em outras palavras, a função f ∶GÐ→ G′, deve cumprir: f(a)f(b) = f(ab), para quaisquer a, b ∈ G. Se a função f for injetora, então o homomorfismo torna-se um isomorfismo. Duas consequências imediatas da definição anterior são que f(e) = e′ (onde e′ é o elemento identidade de G’) e f(a−1) = [f(a)]−1 ≡ f−1(a). Os elementos do grupo são entes abstratos, porém podemos torna-los algo concreto como por exemplo mapeando esse grupo num grupo de matrizes. Essa é a ideia da teoria de representação. Se há um homomorfismo de um grupo G em um grupo de operadores lineares T (G) agindo sobre um espaço vetorial V, dizemos que T (G) forma uma representação de G, no espaço das representações V. Em outras palavras, temos o mapeamento: g ∈ G↦ T (g), de forma que, T (g1)T (g2) = T (g1g2), para todo g1, g2 ∈ G. A dimensão da representação é a mesma do espaço vetorial V. Se considerarmos um espaço vetorial de dimensão n, podemos utilizar matrizes D(g), n × n, ao invés dos operadores T (g). Perceba que um grupo pode ter inúmeras representações, uma vez que a mesma será determinada pela base do espaço vetorial. Seja {ei}ni=1 uma base de V, atuando T (g) nos elementos da base, temos um novo vetor que pode ser expandido na base, assim: T (g)ei = (tg)j iej, (3.1) (tg)j i é o elemento da j-ésima linha e i-ésima coluna, da matriz tg, que representa o operador T (g) na base {ei}ni=1. O conjunto das matrizes tg, constituei a representação matricial do grupo G. Como se trata de uma representação, as matrizes herdam a lei de composição do grupo, ou seja, tatb = tab. A partir de uma dada representação matricial, podemos construir outras representações por meio de transformações de similaridade, uma vez que tais transformações preservam o produto matricial, duas transformações que estão relacionadas por esse tipo de transforma- ção são ditas equivalentes. Considere por exemplo, D(g) e D′(g), duas representações matriciais do elemento g, podemos construir uma nova representação dada pela super 23 matriz: ⎛ ⎝ D(g) 0 0 D′(g) ⎞ ⎠ (3.2) se uma dada representação puder ser trazida para a forma (3.2), por uma transformação de similaridade, então ela é dita ser redutível, caso contrário é dita ser irredutível. Vale salien- tar que essa não é a definição precisa de irredutibilidade, mas seu reflexo na representação matricial. 3.2 GRUPOS DE LIE O grupo de Lie possui uma formulação muito sofisticada, já que junta as propriedades de grupos e variedades, a qual foge do escopo desse trabalho. Então vamos fazer uma discussão mais qualitativa desse grupo, nos guiando por meio de exemplos, para que possamos entender propriedades desse tipo de grupo. Basicamente, um grupo de Lie é um grupo infinito em que seus elementos dependem de um número finito de parâmetros, digamos r, que variam continuamente, de modo que a estrutura multiplicativa do grupo é diferenciável. Como vimos na seção anterior, o grupo pode ser mapeado num grupo de matrizes, ou melhor, representado e isso não é diferente com grupos de Lie. Há caso especial de grupo de Lie, chamado grupo de Lie conexo, no qual todos os elementos do grupo estão conectados ao elemento identidade por meio de um caminho contínuo no espaço do grupo. Seja M uma matriz pertencente a um grupo de Lie conexo, então essa matriz pode ser expressa na forma: M = eK = I +K + 1 2! K2 + 1 3! K3 + ... (3.3) onde K é uma matriz que não pertence necessariamente ao grupo. Contudo, o conjunto das matrizes quadradas de ordem N constitui um espaço vetorial de dimensão N2. Seja {Ja} uma base desse espaço, então qualquer matriz desse espaço pode ser escrito como uma combinação linear das matrizes Ja’s, i.e, K = raJa. Desse modo, qualquer matriz do grupo de Lie conexo pode ser parametrizada como: M = exp[raJa], (3.4) as matrizes Ja são chamadas de geradores do grupo. Há algo a mais sobre esses geradores, eles constituem um tipo especial de álgebra. Lembremos o que uma álgebra sobre um espaço vetorial: Seja V um espaço vetorial. Uma operação binária interna definida nesse espaço, ou seja, V ×V→ V faz de V uma álgebra. Por exemplo, no espaço vetorial das matrizes N ×N , o produto matricial constitui uma álgebra. A álgebra que estamos interessado é chamada de álgebra de Lie, vejamos a sua definição Definição 3.2.1. Uma álgebra de Lie consiste de um espaço vetorial g munido de uma 24 operação binária [, ] ∶ g × g→ g com as seguintes propriedades para todos X,Y,Z ∈ g, i. é bilinear: [αX + βY,Z] = α[X,Z] + β[Y,Z] [X,αY + βZ] = α[X,Y ] + β[X,Z] ∀α,β ∈ R ii. antissimétrica: [X,Y ] = −[Y,X] iii. satisfaz a identidade de Jacobi: [X, [Y,Z]] = [Z, [X,Y ]] = [Y, [Z,X]] = 0. Tais propriedade são satisfeitas pelo comutador [A,B] = AB − BA, ou seja, o co- mutador define uma álgebra de Lie no espaço de matrizes. Os elementos da base do espaço vetorial da álgebra de Lie em questão são chamados de geradores, sua relação de comutação resulta em um vetor que pode ser escrito como combinação linear dos mesmos: [Ja, Jb] = f c ab Jc, (3.5) os coeficientes f c ab são chamados de constantes de estrutura. 3.2.1 Grupo SO(3) Como exemplo elucidativo para o que vimos até agora, vamos olhar para o grupo de rotações em três dimensões espaciais, o grupo SO(3), esse grupo é constituído por matrizes R, 3 × 3, ortogonais, ou seja, RR⊺ = 1 com determinante igual a um. Por se tratar um grupo de Lie, podemos parametrizar seus elementos como1: R = exp[iθaJa], (3.6) onde Ja’s são os geradores do grupo. Vamos obter a forma explicita dos geradores e a álgebra de Lie associada aos mesmos. Partindo da condição de ortogonalidade: R⊺R = exp[iθaJ⊺ a ] exp[iθaJa] = (I + iαaJ⊺ a + ...)(I + iαaJa + ...) (3.7) = I + iαa(J⊺ a + Ja) + ... (3.8) para que se cumpra a condição de ortogonalidade é preciso que J⊺ a = −Ja, (3.9) 1 A presença da unidade imaginária é um mero comodismo, poderíamos incorpora-lá a Ja caso desejásse- mos. 25 portanto os geradores Ja são matrizes antissimétricas. Dessa maneira iαaJa deve assumir o seguinte formato, iαaJa = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 0 c −b −c 0 a b −a 0 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ ; (3.10) que pode ser escrito como a seguinte combinação linear, iαaJa = iaJ1 + ibJ2 + icJ3, (3.11) em (3.11) fica evidente a presença de três parâmetros (a, b, c) e três geradores (J1, J2, J3), podemos então obter a forma explicita dos geradores J1 = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 −i 0 i 0 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ ; J2 = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 0 0 i 0 0 0 −i 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ ; J3 = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 0 −i 0 i 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ . (3.12) Essa matrizes respeitam a seguinte álgebra de Lie [Ji, Jj] = iϵijkJk, (3.13) onde o símbolo de Levi-civita faz o papel da constante de estrutura. A álgebra (3.13) é também conhecida como álgebra do momento angular, pois é a mesma álgebra obedecida pelo operador momento angular na mecânica quântica. 3.3 GRUPO DE LORENTZ Vimos que se uma transformação é dita de Lorentz ela deve respeitar (2.40). Seja L o conjunto das transformações de Lorentz e sejam Λ1, Λ2 e Λ3 elementos desse conjunto, então: (Λ1Λ2)⊺η(Λ1Λ2) = Λ2 ⊺Λ1 ⊺ηΛ1Λ2 = Λ2 ⊺ηΛ2 = η (3.14) portanto, (Λ1Λ2) ∈ L. A matriz identidade I ∈ L, pois satisfaz (2.40). Tomando o determinante de (2.40), teremos: det(Λ⊺ηΛ) = det(η)⇒ det(Λ⊺)det(η)det(Λ) = det(η)⇒ det(Λ)2 = 1 ∴ det(Λ) = ±1 (3.15) sendo assim, existe Λ−1, devemos então verificar se a mesma é uma transformação de Lorentz. Aplicando (Λ⊺)−1 à esquerda de (2.40) e Λ−1 à direita, resulta em: (Λ−1)⊺ηΛ−1 = η (3.16) 26 ou seja, Λ−1 ∈ L. Por fim, lembrando que o produto matricial é associativo, concluímos que L forma um grupo, o chamado grupo de Lorentz, com respeito ao produto matricial. As matrizes pertencentes a L possuem 16 componentes, contudo a relação (2.39) impõem certas restrições as mesmas. Explicitando a soma em (2.39), temos: −Λ0 µΛ 0 ν +Λi µΛ i ν = ηµν (3.17) tomando µ = ν = 0, segue que: (Λ0 0)2 = 1 + 3 ∑ i=1 (Λi 0)2 (3.18) como os elementos de Λ são reais, concluímos que: Λ0 0 ≥ 1 ou Λ0 0 ≤ −1 (3.19) As condições (3.15) e (3.19), nos permite separar L em quatro conjuntos disjuntos, denotados por L↑+, L ↓ +, L ↑ − e L↓−. Os índices + e − se referem ao sinal do determinante de Λ e ↑↓ a Λ0 0 ≥ 1 e Λ0 0 ≤ −1, respectivamente. Dentre esses conjuntos, apenas L↑+ constitui um grupo, o chamado grupo ortócrono próprio, denotado por SO(3,1). 3.4 GRUPO DE POINCARÉ Vimos na seção anterior que o conjunto das transformações de Lorentz constituem o grupo de Lorentz. Quando englobamos a essas transformações as traslações espaço- temporais, temos as chamadas transformações de Poincaré. O conjunto das transformações de Poincaré, também constitui um grupo, o chamado grupo de Poincaré. Vamos denotar por P , o conjunto de todas as transformações de Poincaré. Vejamos então como P constitui um grupo. Como vimos, um elemento g(Λ, a), induz no quadrivetor xµ a transformação: xµ gÐ→ x′µ = Λµ νx ν + aµ. (3.20) A aplicação de uma segunda transformação g(Λ′, a′) levará a: x′µ g′Ð→ x′′µ = Λ′µν(Λν ρx ρ + aν) + a′µ = Λ′µνΛν ρx ρ +Λ′µνaν + a′µ, (3.21) Λ′Λ é uma transformação de Lorentz, assim como Λ′a + a′ é uma nova translação, ou seja, (3.21) também é uma transformação de Poincaré. Podemos então intuir a seguinte lei de composição: g(Λ′, a′)g(Λ, a) = g(Λ′Λ,Λ′a + a′) (3.22) que usaremos para constatar que P constitui um grupo. O elemento identidade de P é dado por g(1,0), onde 1 representa Λµ ν = δµν . Sendo 27 g−1(Λ, a) o inverso do elemento g(Λ, a), temos assim: g−1(Λ, a)g(Λ, a) = g(1,0), (3.23) pela lei de composição (3.22), concluímos que: g−1(Λ, a) = g(Λ−1,−Λ−1a). (3.24) Portanto, o conjunto de todas as transformações de Poincaré constituem um grupo, o chamado grupo de Poincaré, denotado por ISO(3,1) quando o subgrupo de Lorentz que o constitui é o ortócrono próprio. De um ponto de vista mais técnico, sobre a ótica da teoria de grupos, o grupo de Poin- caré ISO(3,1) é o produto semi-direto entre o grupo de Lorentz (homogêneo) SO(3,1) e o grupo de translações R3,1, denotado por ISO(3,1) = SO(3,1)⋊R3,1. Mais especifi- camente, o grupo de Poincaré é um grupo de Lie. A transformação identidade do grupo de Poincaré é dada tomando-se Λµ ν = δµν e aµ = 0, de modo que estamos interessados nas transformações com, Λµ ν = δµν − ωµ ν , aµ = ϵµ , (3.25) onde ωµ ν e ϵµ são parâmetros contínuos infinitesimais. Além disso, ωµ ν deve ser anti- simétrico, ou seja, ωµ ν = −ω µ ν para que a relação (2.39) seja satisfeita. Em D = 3 + 1 dimensões, um tensor anti-simétrico de segunda ordem possui 6 componentes indepen- dentes que somadas às 4 componentes do vetor ϵµ, nos dá os 10 parâmetros do grupo de Poincaré. Os 6 parâmetros mencionados a priori estão relacionados as transformações de Lorentz, sendo 3 deles relacionados aos ângulos de rotação e os outros 3 aos boosts. Logo, usando (3.25) podemos reescrever (2.37) como: xµ → x′µ = xµ − ωµ νx ν + ϵµ . (3.26) Como ISO(3,1) é um grupo de Lie conexo podemos escrever seus elementos como: Π(ω, ϵ) = exp [ i 2 ωµνJ µν − iϵµP µ] , (3.27) onde P µ é gerador do grupo de translações espaço-temporais e Jµν é o gerador do grupo de Lorentz, que pode ser tomada como antissimétrico, uma vez que ωµν é antissimétrico. Contudo, o escalar ωµνJµν será simétrico, por isso a presença do fator 1/2, para evitar as duplicidades. Infinitesimalmente teremos, Π(1 + ω, ϵ) = I + i 2 ωµνJ µν − iϵµP µ + ... . (3.28) Queremos saber como Jµν e P µ se comportam sob transformações de Poincarè. Vamos 28 verificar o seguinte produto: Π(Λ, a)Π(1 + ω, ϵ)Π−1(Λ, a) = Π(Λ(1 + ω)Λ−1,Λϵ −ΛωΛ−1a) (3.29) que obtivemos a partir da lei de composição (3.22). Logo, teremos que Π(Λ, a) [1 2 ωαβJ αβ − ϵαPα]Π−1(Λ, a) = 1 2 (ΛωΛ−1)µνJµν − (Λϵ −ΛωΛ−1a)µP µ, (3.30) igualando os coeficientes ωµν e ϵµ, temos que os geradores se transformam da seguinte forma: Π(Λ, a)JαβΠ−1(Λ, a) = Λ α µ Λ β ν (Jµν + aνP µ − aµP ν), (3.31) Π(Λ, a)PαΠ−1(Λ, a) = Λ α µ P µ, (3.32) Perceba que de (3.31) e (3.32) que se fizermos aµ = 0, isto é, uma transformação de Lorentz pura, temos que Jαβ se transforma como um tensor e Pα como um vetor. Agora, se tomarmos Λµ ν = δµν , ou seja, uma translação pura, teremos que Pα é invariante sobre translações, mas Jαβ não. Segundo (WEINBERG, 1995) uma mudança nas coordenas espacias de Jαβ perante a translações espaciais é apenas a mudança usual da origem relativa ao qual o momento angular é calculado. Vamos agora utilizar as transformações infinitesimais e nos reter a primeira ordem de ω e ϵ. O lado esquerdo da Eq.(3.31) ficará (I + i 2 ωµνJ µν − iϵµP µ)Jαβ(I − i 2 ωµνJ µν + iϵµP µ) = Jαβ − i 2 ωµν[Jαβ, Jµν] − iϵµ[P µ, Jαβ], (3.33) e lado direito da Eq.(3.31) ficará (δαµ + ω α µ )(δβν + ω β ν )(Jµν + ϵνP µ + ϵµP ν) = Jµν + ωµν(ηβνJαµ − ηανJβµ) + ϵµ(ηβµPα − ηαµP β). (3.34) Já para a Eq.(3.32), teremos (I + i 2 ωµνJ µν − iϵµP µ)Pα(I − i 2 ωµνJ µν + iϵµP µ) = (δαµ + ω α µ )P µ, −iωµν[Pα, Jµν] − iϵµ[Pα, P µ] = ωµν(ηανP µ − ηαµP ν). (3.35) Igualando os coeficientes ωµν e ϵµ nas equações (3.33) e (3.34) e na equação (3.35), 29 obtemos as seguintes relações de comutação: [Jαβ, Jµν] = i(ηαµJβν + ηβνJαµ − ηανJβµ − ηβµJαν); (3.36) [P µ, Jαβ] = i(ηµβPα − ηµαP β); (3.37) [Pα, P β] = 0; (3.38) está é a álgebra de Lie do grupo, muitas vezes chamada de álgebra de Poincaré, denotada por iso(3,1). 3.5 REPRESENTAÇÃO ESPINORIAL DO GRUPO DE LORENTZ 3.5.1 Equação de Dirac Vamos iniciar essa seção visitando os primórdios da mecânica quântica relativística. A evolução temporal dos estados na mecânica quântica, ψ(r, t), é descrita pela equação de Schrödinger: iℏ∂ψ ∂t =Hψ, (3.39) ondeH é o operador hamiltoniano. A hamiltoniana que descreve uma partícula relativística livre é dada por: H = √ m2c4 + p2c2, (3.40) onde m é a massa da partícula e p seu momento. Na mecânica quântica, o momento da paartícula é promovido ao operador momento, dado por p = −iℏ∇, de modo que o operador correspondente a hamiltoniana (3.40) será: H = √ m2c4 − ℏ2c2∇2. (3.41) Com o hamiltoniano (3.41), a equação de Schrödinger será: iℏ∂ψ ∂t = √ m2c4 − ℏ2c2∇2ψ (3.42) a qual apresenta a inconveniência de um operador dentro de uma raiz quadrada. Tal problema poderia ser facilmente resolvido aplicando novamente o operador hamiltoniano sobre essa equação, o que nos levaria a equação (□ − (mc ℏ ) 2 )ψ = 0, (3.43) chamada equação de Klein-Gordon. No contexto aqui apresentado essa equação apresenta alguns "problemas"de interpretação, o que na época levou Dirac a buscar uma outra equação para descrever as propriedades quânticas de partículas relativísticas, isso o levou a sua celebre equação. Vejamos como isso se deu. A ideia de Dirac foi partir de um 30 hamiltoniano sem raiz quadrada, dado por: H = cα ⋅ p + βmc2 (3.44) de modo que seu quadrado de a hamiltoniana da partícula livre, para que isso aconteça os coeficientes α = (α1, α,α3) e β devem satisfazer as seguintes condições: αiαj + αjαi = 2δij, (3.45) αiβ + βαi = 0, (3.46) β2 = 1. (3.47) Perceba então que αi e β não podem ser simplesmente números. No entanto, podem ser matriz. Nesse caso, teremos uma equação matricial, a chamda equação de Dirac: iℏ∂ψ ∂t = (−icℏα ⋅∇ + βmc2)ψ, (3.48) onde ψ é um n-vetor. Como H deve ser hermitiano, αi e β também o serão, i.e, αi = α† i e β = β†. Como essa matrizes são hermitianas, sabemos da álgebra linear que podemos diagonalizá-las por meio de uma transformação de similaridade. Logo, das condições (3.45) e (3.47), temos que seus são autovalores podem ser +1 ou −1. Segue dai que: tr(αi) = tr(αiβ 2) = tr(βαiβ) = −tr(αi)⇒ tr(αi) = 0, (3.49) tr(β) = tr(βα2 i ) = tr(αiβαi) = −tr(β)⇒ tr(β) = 0. (3.50) Logo, como a soma dos autovalores tem que ser nula e eles só podem assumir os valores ±1, podemos concluir que as matrizes só podem ser de ordem par. A primeira possibilidade são matrizes ordem 2, porém não há um conjunto de quatro matrizes 2 × 2 hermitianas, que anti-comutem. Portanto, a menor possibilidade se da com n = 4. Nesse caso há vários conjuntos de matrizes αi e β, uma possibilidade é dada escolhendo: β = ⎛ ⎝ 0 I I 0 ⎞ ⎠ ; αi = ⎛ ⎝ 0 σi σi 0 ⎞ ⎠ (3.51) onde I é um matriz identidade 2 × 2 e σi a i-ésima matriz de Pauli. 3.5.2 Covariância da equação de Dirac Na equação (3.48), espaço e tempo parecem desempenhar papeis distintos, contudo estamos em um contexto relativístico. Vamos então encontrar a forma covariante da equação de Dirac. Comecemos introduzindo as chamadas matrizes gama de Dirac γµ: γ0 = −iβ ; γi = −iβαi, (3.52) 31 a partir das relações (3.45), (3.46) e (3.47), podemos verificar que as matrizes γµ, satisfazem a relação: {γµ, γν} = γµγν + γνγµ = 2ηµν . (3.53) Multiplicando (3.48) por β à esquerda, podemos reescreve-la como: (ℏ��∂ +mc)ψ = 0, (3.54) onde ��∂ = γµ∂µ(x). Para que a equação (3.54) seja invariante por transformações de Lorentz, deve haver um referencial S′, tal que a equação de Dirac possa ser escrita como: (ℏγµ′∂′µ +mc)ψ′(x′) = 0. (3.55) Logo, deve haver uma matriz S(Λ) tal que ψ′(x′) = S(Λ)ψ(x) (3.56) ou seja, S(Λ) é a representação da transformação de Lorentz nesse espaço. Note que, ∂ ∂xµ′ = ∂x ν ∂xµ′ ∂ ∂xν = Λ ν µ ∂ν , (3.57) assim, retornando com esses resultados a (3.56) e multiplicando por S(Λ) à esquerda, teremos: (ℏS−1γµ′SΛ ν µ ∂ν +mc)ψ(x) = 0. (3.58) Multiplicando (3.53) por Λα µΛ β ν e usando (2.39), temos que: (Λα µγ µ)(Λβ νγ ν) + (Λβ νγ ν)(Λα µγ µ) = 2ηαβ. (3.59) Agora, multiplicando (3.53) por S à esquerda e S−1 à direita, teremos: (SγαS−1)(SγβS−1) + (SγβS−1)(SγαS−1) = 2ηαβ. (3.60) Segue de (3.59) e (3.60) que: S−1γµSΛ ν µ = γµ, (3.61) ou seja, γµ é invariante. Já que S(Λ) representa um elemento do grupo de Lorentz, vamos supor: S(Λ) = exp[ i 4 ωαβσ αβ], (3.62) onde ωαβ são os parâmetros da transformação de Lorentz, que como vimos anteriormente é antissimétrico. Devemos então encontrar quem são as matrizes σαβ . A presença do fator 1 4 é uma mera comodidade que ficará clara em breve. Considerando uma transformação 32 infinitesimal: Λ µ ν = δµν + ω µ ν , (3.63) S(Λ) = 1 + i 4 ωαβσ αβ, (3.64) levando esses resultados à (??), teremos: (δµν + ω µ ν )γν = (1 + i 4 ωαβσ αβ)γµ(1 − i 4 ωαβσ αβ) (3.65) desprezando termos de ordem O(ω2), obtemos i 4 ωαβ[σαβ , γµ] = ωµ ν γ ν (3.66) Levando em conta a antissimetria de ωαβ , podemos reescrever o resultado acima como i 4 [σαβ , γµ] = ηβµγα − ηαµγβ (3.67) perceba então que σαβ é antissimétrico. Isso já justifica um fator 1 2 em (??), para evitar duplicidade. Uma possibilidade para σαβ que está de acordo com esse resultado é: σαβ = − i 2 [γα, γβ]. (3.68) Acontece que: [1 2 σαβ, 1 2 σµν] = i(ηαµσβν + ηβνσαµ − ηανσβµ − ηβµσαν), (3.69) que é a álgebra de Lie do grupo de Lorentz. Portanto, 1 2σ αβ é o gerador do grupo de Lorentz na representação espinorial. E por fim está justifica do a presença do outro fator 1 2 em (??). 33 4 GERADORES DO GRUPO DE POINCARÉ 4.1 TENSOR ARBITRÁRIOS DE ORDEM S EM D = 3 + 1 Nesta seção iremos obter os geradores do grupo de Poincaré que agem sobre tensores T µ1µ2...µs(x) de ordem s. Consideraremos translações espaço-temporais e transformações de Lorentz separadamente e obteremos assim Pα e Jαβ , respectivamente. 4.1.1 Translações espaço-temporais Considerando uma translação espaço-temporal infinitesimal: x′µ = xµ + ϵµ, (4.1) como ∂x′µ/∂xν = δµν , temos que: T ′µ1µ2...µs(x′) = T µ1µ2...µs(x), (4.2) i.e, o tensor é invariante por translações espaço-temporais. Expandindo o lado esquerdo de (4.2), temos T ′µ1µ2...µs(x) + ϵα∂αT ′µ1µ2...µs(x) +O(ϵ2) = T µ1µ2...µs(x). (4.3) Para ordens O(ϵ2) é permitido a trocar ∂αT ′µ1µ2...µs(x) por ∂αT µ1µ2...µs(x). Assim, pode- mos reescrever (4.3), como: T ′µ1µ2...µs(x) = T µ1µ2...µs(x) − ϵα∂αT µ1µ2...µs(x) +O(ϵ2). (4.4) Por outro lado, podemos considerar um elemento de grupo agindo sobre o tensor original, ou seja, T ′µ1...µs(x) = [exp (−iϵαPα)]µ1...µs ν1...νs T ν1...νs(x). (4.5) Expandindo a exponencial, temos que T ′µ1...µs(x) = T µ1...µs(x) − iϵα(Pα)µ1...µs ν1...νsT ν1...νs(x) +O(ϵ2). (4.6) Igualando (4.4) com (4.6), obtemos: (Pα)µ1...µs ν1...νs = −i( s ∏ i=1 δµi νi )∂α, (4.7) que é o gerador de translações espaço-temporais que age sobre tensores de ordem s em D = 3 + 1. 34 4.1.2 Transformações de Lorentz Um tensor de ordem s se transforma sobre transformações de Lorentz da seguinte maneira: T ′µ1...µs(x′) = ( s ∏ i=1 Λµi νi )T ν1...νs(x). (4.8) Se considerarmos uma transformação de Lorentz infinitesimal (Λµ ν = δµν − ωµ ν) e despre- zarmos termos de ordem O(ω2), temos s ∏ i=1 Λµi νi = (δµ1 ν1 δ µ2 ν2 ...δ µs νs − ω µ1 ν1 δ µ2 ν2 δ µ3 ν3 ...δ µs νs − ω µ2 ν2 δ µ1 ν1 δ µ3 ν3 ...δ µs νs − ω µs νs δ µ1 ν1 ...δ µs−1 νs−1 δ µs νs ) = s ∏ i=1 δµi νi − s ∑ k=1 s ∏ i=1 i≠k δµi νi ωµk νk . (4.9) Inserindo (4.9) em (4.8) e ao mesmo tempo expandindo o lado esquerdo de (4.8) até primeira ordem de ω, tem-se: T ′µ1...µs(x) − ωγ αx α∂γT µ1...µs(x) = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ s ∏ i=1 δµi νi − s ∑ k=1 s ∏ i=1 i≠k δµi νi ωµk νk ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ T ν1...νs(x), (4.10) usando a antissimetria de ωµν , podemos reescrever está última equação como, T ′µ1...µs(x) = T µ1...µs(x)+ ωαβ 2 ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ (xβ∂α − xα∂β) s ∏ i=1 δµi νi − s ∑ k=1 s ∏ i=1 i≠k δµi νi (ηαµkδβνk − η βµkδανk) ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ T ν1...νs(x) (4.11) Fazendo agora um elemento de grupo atuar sobre o tensor original, temos: T ′µ1...µs(x) = exp( − i 2 ωαβJ αβ) µ1...µs ν1...νs T ν1...νs(x), = T µ1...µs(x) − i 2 ωαβ(Jαβ)µ1...µs ν1...νsT ν1...νs(x) +O(ω2), (4.12) comparando (4.12) com (4.11), obtemos: (Jαβ)µ1...µs ν1...νs = i( s ∏ i=1 δµi νi )(xβ∂α − xα∂β) − i s ∑ k=1 s ∏ i=1 i≠k δµi νi (ηαµkδβνk − η βµkδανk) (4.13) que é a forma explicita dos geradores do grupo Lorentz. Esse gerador pode ser decomposto em partes de momento angular orbital e spin, Jαβ = Lαβ + Sαβ , dadas por: (Lαβ)µ1...µs ν1...νs = i s ∏ i=1 δµi νi (xβ∂α − xα∂β), (4.14) (Sαβ)µ1...µs ν1...νs = i s ∑ k=1 s ∏ i=1 i≠k δµi νi (ηβµkδανk − η αµkδβνk). (4.15) Temos então, todos os geradores do grupo de Poincaré que agem sobre tensores de 35 ordem s, em D = 3 + 1. 4.2 ESPINORES-TENSORES DE ORDEM S EM D = 3 + 1 Nesta seção iremos obter os geradores do grupo de Poincaré que agem sobre espinores- tensores ψµ1µ2...µs(x) de ordem s. Vamos recorrer ao mesmo procedimento utilizado anteriormente. 4.2.1 Translações espaço-temporais Começamos requerendo a invariância do espinor-tensor perante a translações espaço- temporais, ou seja, ψ′µ1µ2...µs(x′) = ψµ1µ2...µs(x). (4.16) Expandindo o lado esquerdo de (4.16) até primeira ordem de ϵ, temos: ψ′µ1µ2...µs(x) = ψµ1µ2...µs(x) − ϵα∂αψµ1µ2...µs(x) +O(ϵ2). (4.17) Atuando um elemento de grupo sobre o espinor-tensor original, ψ′µ1µ2...µs(x) = [exp (−iϵαPα)]µ1...µs ν1...νs ψν1...νs(x) = ψµ1µ2...µs(x) − iϵα(Pα)µ1...µs ν1...νsψ ν1...νs(x) +O(ϵ2). (4.18) Comparando (4.18) e (4.17), obtemos a forma explicita do gerador Pα, dada por: (Pα)µ1...µs ν1...νs = −i s ∏ i=1 δµi νi ∂αI (4.19) em que I é uma matriz identidade (4 × 4) no espaço espinorial. Perceba que a menos da matriz I, o gerador de translações apresenta a mesma forma que no caso tensorial. 4.2.2 Transformações de Lorentz A transformação de Lorentz sobre um espinor-tensor é descrita como: ψ′µ1...µs(x′) = ( s ∏ i=1 Λµ1...µs ν1...νs) S ψ ν1...νs(x), (4.20) onde Λ representa as transformações de Lorentz sobre os índices do espaço de Minkowski, S é a representação espinorial da transformação de Lorentz, que é parametrizado por (3.62). 36 Expandindo o lado esquerdo de (4.20) e as exponenciais do lado direito, temos que: ψ′µ1...µs(x)−ωγ αx α∂γψ ′µ1...µs(x) = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ s ∏ i=1 δµi νi − s ∑ k=1 s ∏ i=1 i≠k δµi νi ωµk νk +⋯ ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ [I + i 4 ωαβσ αβ +⋯]ψν1...νs(x) , (4.21) considerando até primeira ordem em ω, esse último resultado pode ser reescrito como: ψ′µ1...µs(x) = ψµ1...µs(x) + ωαβ 2 [(xβ∂α − xα∂β) s ∏ i=1 δµi νi I − s ∑ k=1 s ∏ i=1 i≠k δµi νi (ηαµkδβνk − η βµkδανk)I + i 2 σαβ s ∏ i=1 δµi νi ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ψν1...νs(x). (4.22) Por outro lado, temos que: ψ′µ1...µs(x) = exp( − i 2 ωαβJ αβ) µ1...µs ν1...νs ψν1...νs(x) = ψµ1...µs(x) − i 2 ωαβ(Jαβ)µ1...µs ν1...νsψ ν1...νs(x). (4.23) Comparando (4.23) com (4.22), resulta que o gerador Iαβ é dado por: (Jαβ)µ1...µs ν1...νs = i s ∏ i=1 δµi νi (xβ∂α − xα∂β)I − i s ∑ k=1 s ∏ i=1 i≠k δµi νi (ηαµkδβνk − η βµkδανk)I − 1 2 σαβ s ∏ i=1 δµi νi . (4.24) que novamente pode ser decomposto nas partes de momento angular orbital e spin, Jαβ = Lαβ + Sαβ , dadas respectivamente por: (Lαβ)µ1...µs ν1...νs = i s ∏ i=1 δµi νi (xβ∂α − xα∂β)I, (4.25) (Sαβ)µ1...µs ν1...νs = i s ∑ k=1 s ∏ i=1 i≠k δµi νi (ηβµkδανk − η αµkδβνk)I − 1 2 σαβ s ∏ i=1 δµi νi , (4.26) perceba que na parta de spin (Sαβ), temos que o primeiro termo no lado direito de (4.26) está relacionado a "parte inteira", pois apresenta a mesma forma do gerador (4.15), já o segundo membro no lado direito de (4.26) está relacionado a "parte semi-inteira". Temos agora todos os geradores do grupo de Poincaré que atuam sobre espinores- tensores de ordem s, com s inteiro, em D = 3 + 1. 4.3 OPERADORES DE CASIMIR DA ISO(3,1) Os operadores de Casimir são aqueles que comutam com todos os geradores da álgebra de Lie. Por consequência esses operadores são invariantes pela transformação de simetria do grupo, sendo assim utilizados para classificar representações irredutíveis do grupo. De acordo com (E.P.WIGNER, 1939), massa e spin, são propriedades que caracterizam um 37 sistema que é invariante perante transformações de Poincaré, sendo estas as propriedades necessárias para classificar partículas elementares. A álgebra de Lie iso(3,1) é dada por (3.36),(3.37) e (3.38). Em D = 3 + 1 há dois operadores de Casimir, definidos como: C1 ≡ P 2 = PαP α, (4.27) C2 ≡W 2 = WαW α = −1 2 JαβJ αβP 2 + JγβJαβPαP γ, (4.28) em que Wα é o chamado pseudo-vetor de Pauli-Lubanski, dado por: Wα = 1 2 ϵαβγδPβJγδ, (4.29) e Jγσ é dado por (4.13), para tensores, e por (4.24), para espinores. Os casimirs P 2 e W 2 compõem as seguintes equações de autovalor: P 2ϕ = −m2ϕ , (4.30) W 2ϕ = −m2s(s + 1)ϕ , (4.31) onde m e s são, respectivamente, a massa e o spin da partícula elementar representada pelo campo arbitrário ϕ. 4.3.1 Casimirs para tensores de ordem s Para tensores de ordem s arbitrário, os quais representam partículas bosônicas, temos que o casimir C1 é construído utilizando (4.7), de modo que será dado por: (P 2)µ1...µs ν1...νs = −( s ∏ i=1 δµi νi )□, (4.32) utilizando esse resultado na equação de autovalor (4.30), obtemos a equação de Klein- Gordon: (□ −m2)T µ1...µs = 0. (4.33) Utilizando (4.7) e (4.13), podemos construir o operador C2. Mas antes, considerando a decomposição do gerador do grupo de Lorentz em Jαβ = Lαβ + Sαβ , perceba que (Lαβ)µ1...µs ρ1...ρs(P γ)ρ1...ρsν1...νs = − s ∏ i=1 δµi ρi (xα∂β − xβ∂α) s ∏ j=1 δ ρj νj ∂ γ, = s ∏ i=1 δµi νi (xβ∂α∂γ − xα∂β∂γ), devido a comutação das derivadas o tensor ∂α∂β é simétrico. Logo, ϵλαβγ(Lαβ)µ1...µs ρ1...ρs(P γ)ρ1...ρsν1...νs = 0 (4.34) 38 de modo que o pseudo-vetor de Pauli-Lubanski e consequentemente o casimir C2 se reduzem, respectivamente a: Wα = −1 2 ϵαβγδSβγPδ, (4.35) W 2 = −1 2 SαβS αβP 2 + SγβS αβPαP γ. (4.36) Primeiramente, usando (4.15), calculemos: (Sγβ)µ1...µs ν1...νs(S αβ)ν1...νsρ1...ρs = − s ∑ k=1 s ∏ i=1 i≠k δµi νi(δγµkηβνk−δβµkηγνk) s ∑ r=1 s ∏ j=1 j≠k δνiρi(ηανrδβρr−ηβνrδαρr), separemos esse resultado para k = r e k ≠ r, teremos assim: (Sγβ)µ1...µs ν1...νs(S αβ)ν1...νsρ1...ρs = − s ∑ k=1 s ∏ i=1 i≠k δµi ρi [δµk γ δαρk(2 −D) − δ µk ρk δαγ ] + − s ∑ k,r=1 r≠k δµr νr δ νk ρk s ∏ i=1 i≠k,r δµi ρi [δµk γ ηβνk(ηανrδβρr − η βνrδαρr) + + δµk β ηγνk(ηβνrδαρr − η ανrδβρr)] . (4.37) Vamos decompor a equação (4.37) da seguinte maneira (Sγβ)µ1...µs ν1...νs(Sαβ)ν1...νsρ1...ρs = [Aα γ + Bα γ] µ1...µs ρ1...ρs , onde: (Aα γ)µ1...µs ρ1...ρs = − s ∑ k,r=1 r≠k s ∏ i=1 i≠k,r δµi ρi [δαρr(η µkµrηγρk − δµk γ δµr ρk ) + ηαµr(ηρrρkδµk γ − ηγρkδµk ρr )];(4.38) (Bα γ)µ1...µs ρ1...ρs = − s ∑ k=1 s ∏ i=1,i≠k δµi ρi [δµk γ δαρk(2 −D) − δ µk ρk δαγ ] . (4.39) Calculemos agora (PαP γ)ρ1...ρsν1...νs: (PαP γ)ρ1...ρsν1...νs = − s ∏ i=1 δρiνi∂α∂ γ . (4.40) Contraindo (4.40) com (4.38), temos: (Aα γPαP γ)µ1...µs ν1...νs = s ∑ k,r=1 r≠k s ∏ i=1 i≠k,r δµi νi [δανr(η µkµrηγνk − δµk γ δµr νk ) + ηαµr(ηνrνkδµk γ − ηγνkδµk νr )]∂α∂ γ = 2 s ∑ k,r=1 k 2, precisamos impor que o parâmetro da transformação tenha traço nulo, a fim de que o tensor de Fronsdal seja invariante de calibre ξ′µ1...µs−3 = 0. (6.26) A fim de que o campo de calibre propague o número correto de graus de liberdade de um campo de spin-s não massivo, vamos impor que o campo tenha duplo traço nulo: ϕ′′µ1...µs−4 . (6.27) Para ver que essa condição garante o número de graus de liberdade correto vide apêndice-A. 56 6.2.2 Ação de Fronsdal Precisamos agora encontrar uma ação da qual possamos derivar essas equações de movimento e que ao mesmo tempo seja invariante de calibre. Comecemos notando que o tensor de Fronsdal satisfaz a seguinte identidade de Bianch: ∂ ⋅Fµ1...µs−1 − 1 2 ∂(µ1 F ′µ2...µs−1) = 0. (6.28) Definimos então o seguinte tensor de Einstein: Gµ1...µs = Fµ1...µs − 1 2 η(µ1µ2 F ′µ3...µs) (6.29) que é claramente um invariante de calibre. Note que a divergência do tensor de Einstein é proporcional a métrica ∂ ⋅ Gµ1...µs−1σ = − 1 2 η(µ1µ2 ∂ ⋅F ′µ3...µs−1). (6.30) Vamos propor então a seguinte densidade de lagragiana: L = 1 2 ϕµ1...µsGµ1...µs , (6.31) tomando sua variação de calibre, temos: δL = 1 2 δϕµ1...µsGµ1...µs + 1 2 ϕµ1...µsδGµ1...µs = 1 2 ∂(µ1 ξµ2...µs)Gµ1...µs = 1 2 ∂(µ1 (ξµ2...µs)Gµ1...µs) − 1 2 ξ(µ2...µs−1)∂ ⋅ Gµ2...µs , porém, de (6.30) vemos que o segundo termo é nulo, já que o divergente do tensor de Einstein é proporcional a métrica, o que acaba tomando o traço do parâmetro de calibre, portanto: δL = 1 2 ∂(µ1 (ξµ2...µs)Gµ1...µs), (6.32) isso nos leva a seguinte ação invariante de calibre: S = 1 2 ∫ dDxϕµ1...µsGµ1...µs . (6.33) Contudo, note que a equação de movimento advinda da ação (6.33) é Gµ1...µs = 0, (6.34) que não coincide coincide com a equação de Frondal (6.23). Porém se tomarmos o traço da mesma, temos que F ′µ1...µs−2 = 0, logo a equação (6.34) é equivalente a equação de 57 Fronsdal, já que o tensor de Einstein difere do tensor de Fronsdal, apenas pelo traço do tensor de Fronsdal. 6.3 CAMPOS FERMIÔNICOS Seguindo o mesmo caminho que na seção anterior podemos desenvolver uma teoria de calibre para campos fermiônicos de spin arbitrário. Dessa vez, tendo como base de generalização a teoria de spin-3/2, temos como ansatz a equação de Fang-Fronsdal: Fµ1...µs = ��∂ψµ1...µs − ∂(µ1��ψµ2...µs) = 0, (6.35) onde o campo de calibre ψµ1...µs é um espinor-tensor, cujo a transformação de calibre é dada por: δψµ1...µs = ∂(µ1 ζµ2...µs). (6.36) A variação do tensor de Fang-Fronsdal nos dá: δFµ1...µs = −2∂(µ1 ∂µ2��ζµ3...µs). (6.37) No caso de spin-3/2 (s = 1) o tensor de Fang-Fronsdal é invariante de calibre, para spin maiores ou iguais a 5/2 (s ≥ 2) precisamos impor que o parâmetro da transformação seja gama-traço nulo, a fim de que Fµ1...µs seja invariante, ou seja: ��ζµ1...µs−2 = 0. (6.38) Uma condição suficiente para que o campo ψµ1...µs propague o número correto de graus de liberdade de um campo não massiva de spin-(s + 1/2) é que seu triplo gama-traço seja nulo, i.e., ��ψ ′ µ1...µs−3 = 0. (6.39) Perceba que com a condição (6.39), o tensor de Fang-Fronsdal satisfaz a seguinte identidade de Bianchi: ∂ ⋅Fµ1...µs−1 − 1 2 ��∂��Fµ1...µs−1 − 1 2 ∂(µ1 F ′µ2...µs−1) = 0, (6.40) que como antes, nos leva a definir o seguinte tensor de Einstein: Gµ1...µs = Fµ1...µs − 1 2 γ(µ1��Fµ2...µs) − 1 2 η(µ1µ2 F ′µ3...µs), (6.41) que é claramente um invariante de calibre. A divergência do Tensor de Einstein é: ∂ ⋅ Gµ1...µs−1 = 1 2 γ(µ1 ∂ ⋅��Fµ2...µs−1) − 1 2 η(µ1µ2 ∂ ⋅F ′µ3...µs−1), (6.42) que é proporcional a matrizes gama, lembrando que a métrica está relacionada as matrizes gama pela álgebra de Clifford (3.53). 58 Propomos então a seguinte densidade de lagrangiana: L = −iψ̄µ1...µsGµ1...µs , (6.43) a unidade imaginária está presente para que nossa lagrangiana seja hermitiana. Tomando a variação de calibre da lagrangiana δL = −iδψ̄µ1...µsGµ1...µs − iψ̄µ1...µsδGµ1...µs = −i∂(µ1 ζ̄µ2...µs)Gµ1...µs = −i∂(µ1 (ζ̄µ2...µs)Gµ1...µs) − iζ(µ2...µs−1)∂ ⋅ Gµ2...µs , porém, de (6.42) vemos que o segundo termo e nulo, já que o divergente do tensor de Einstein é proporcional a matrizes gama, o que acaba tomando o gama-traço do parâmetro de calibre, portanto: δL = −i∂(µ1 (ζµ2...µs)Gµ1...µs). (6.44) Somos então levados a uma ação invariante de calibre, dada por: S = −i∫ dDx ψ̄µ1...µsGµ1...µs , (6.45) cujo a equação de movimento é Gµ1...µs = 0. (6.46) Tomando o gama-traço de (6.46), temos que��Fµ1...µs−1 = 0, consequentemente F ′µ1...µs−2 = 0, concluímos assim que essa equação de movimento é equivalente a equação de Fang- Fronsdal. 6.4 TEORIAS DE HIGHER SPIN NÃO LOCAIS Recentemente, uma formulação minimal (aqui, “minimal” refere-se à: Mínima quanti- dade de campos em uma teoria invariante por transformações de difeomorfismo irrestritas) foi proposta por Francia e Sagnotti, vide seleção de artigos (FRANCIA; SAGNOTTI, 2002), (FRANCIA; SAGNOTTI, 2003) e (FRANCIA; SAGNOTTI, 2005). Nesta for- mulação, voltada para teorias não massivas, o campo totalmente simétrico não possui as restrições usuais impostas pelos modelos de Fronsdal, no qual o campo é duplo traço nulo (6.27), e Fang-Fronsdal onde o campo é triplo gama-traço nulo (6.39). Além disso, o mesmo se aplica ao parâmetro de simetria de calibre que possui traço nulo no caso bosônico e gama-traço nulo no caso fermiônico. Decorre dessa proposta que o modelo traz em sua formulação campos compensadores de ordem-(n − 3) no caso bosônico e ordem-(n − 2) no caso fermiônico. Portanto, os autores investigaram a obtenção de modelos não locais de spin alto por meio de integrações funcionais sobre os compensadores, e a relação entre a formulação minimal (sem restrições) de Francia e Sagnotti e a formulação usual de Fang-Fronsdal pode ser investigada através de fixações de calibre adequadas. 59 Acreditamos que os resultados obtidos por Francia e Sagnotti podem ser alcançados por meio de redefinições nos campos, ou seja, trabalhando a nível da lagrangiana apenas e utilizando como ponto de partida a teoria de Fang-Fronsdal. Faremos isso para o caso de spin-5/2, na esperança de reobter a forma não local obtda por Francia em (FRANCIA, 2010). 6.4.1 Recuperando ações não locais - spin-5/2 A ação de Fang-Fronsdal para campos de spin-5/2, não massivos, é dada tomando s = 2 em (6.45), temos então: S[ ¯̃ψ] = −i∫ dDx ¯̃ψµνGµν(ψ̃). (6.47) Vamos considerar a seguinte redefinição no campo: ψ̃µν → ψµν +Λµν ; Λµν ≡ γ(µ∂ν)χ (6.48) onde nós introduzimos o campo compensador de ordem-(s − 2), nesse caso dado pelo espinor χ. Sob a redefinição (6.48) a ação (6.47) se torna: S[ψ,χ] = −i∫ dDx [ψ̄µνGµν(ψ) + ψ̄µνGµν(Λ) + Λ̄µνGµν(ψ) + Λ̄µνGµν(Λ)] . (6.49) A equação de movimento para ψ̄ é dada por: Gµν(ψ +Λ) = 0 ⇔ Fµν(ψ +Λ) = 0, (6.50) então, Fµν(ψ) = 2D∂µ∂νχ. (6.51) A ação (6.49) é invariante sob as transformações: δψµν = ∂(µζν) ; δχ = − 1 D��ζ (6.52) cujo o parâmetro de calibre, ζ , não apresenta nenhuma restrição. A relação (6.51) pode ser usada para eliminar o campo compensador χ, temos a seguinte ação não local1: S[ψ] = −i∫ dDx [ψ̄µνGµν(ψ) − ∂ ⋅ ¯��F ��∂ 2□2 ∂ ⋅��F] (6.53) que coincide com aquela obtida por Francia, vide equação (61) de (FRANCIA, 2010). 1 A não localidade se deve a presença do operador d’alembertiano no denominador, o motivo disso implicar em não localidade pode ser encontrado em (BENGTSSON, 2020) 60 7 CONCLUSÃO Esse trabalho foi dividido em duas grandes partes ligadas a diferentes ramos da teoria de higher spin. Na primeira parte lidamos com teorias de spin alto massivas em D = 3 + 1 e D = 2 + 1 dimensões. Começando com a obtenção dos geradores do grupo de Poincaré, conseguimos obter os gerados nas representações tensoriais e espinoriais de ordem arbitrária. Tais geradores nos possibilitaram construir os operadores de Casimir da álgebra so grupo de Poincaré iso(3,1) e iso(2,1) e suas respectivas equações de autovalor. Das equações de autovalor, foi possível obter os vínculos de Fierz-Pauli, ou seja, de maneira independente de modelo. Os vínculos de Fierz-Pauli, obtidos diretamente das equações de autovalor determinadas pelos operadores de Casimir dos grupos de Poincaré parecem ter sido obtidos pela primeira vez em (KOENIGSTEIN; GIACOSA; RISCHKE, 2016). Nesse trabalho os autores conjecturam a possibilidade de estender os resultados por eles obtidos para spin arbitrário. Tal conjectura motivou a publicação do trabalho (SILVA et al., 2024) por mim e meu orientador Elias Leite Mendonça, em colaboração com professor Denis Dalmazi (UNESP) e o pós-doutorando Rafael Robson Lino dos Santos (NCBJ-Polônia). Nessa publicação encontram-se os resultados originais do presente trabalho e ademais argumentamos sobre as dificuldades técnicas de se generalizar o procedimento, de obtenção das condições de Fierz-Pauli, para spin arbitrário. Então os vínculos de Fierz-Pauli não são restrições postas ad hoc sobre tensores e espinores-tensores para que os campos propaguem o número correto de graus de liberdade, elas são ditadas pela álgebra de Poincaré, sendo assim elas devem estar presentes em qualquer modelo construído para descrever partículas massivas de qualquer spin. Vale mencionar que com os resultados obtidos nesse trabalho é possível revisitar as equações de movimento dos modelos auto-duas de primeira ordem que descrevem partículas massivas com helicidade- 1 (TOWNSEND; PILCH; NIEUWENHUIZEN, 1984), 3/2 (DESER; KAY, 1983), 2 (ARAGONE; KHOUDEIR, 1986), 5/2 (ARAGONE; STEPHANY, 1984), 3 e 4 (ARAGONE; KHOUDEIR, 1993) em D = 2 + 1 dimensões, já que após obter as condições de Fierz-Pauli dinamicamente, tais equações de movimento se reduzem as equações de Klein-Gordon e Pauli-Lubanski. Diferente da primeira parte, que lidamos com teorias de spin alto massivas, nos valendo de aspectos algébricos do grupo de Poincaré e portanto de maneira independente de modelo, na segunda parte desse trabalho lidamos com teorias de spin alto não massivas, agora atreladas a um modelo. Em especial, apresentamos os modelos de Fronsdal e Fang- Fronsdal, como generalizações das teorias de calibre de spin baixos dos casos bosônicos e fermiônicos, respectivamente. A fim de que as equações de Fronsdal (6.23) e Fang- Fronsdal (6.35) sejam invariantes de calibre, foi preciso impor condições de traço nulo e gama-traço nulo sobre os parâmetros das transformações de calibre dassas teorias. Além 61 disso, com o intuito de que os campos propagassem os graus de liberdade corretos, fomos levados a impor condições de duplo traço nulo, sobre o campo bosônico, e triplo gama- traço nulo, sobre o campo fermiônico. Na busca por uma ação invariante de calibre, que fornecesse as equações de Fronsdal e Fang-Fronsdal, conseguimos construir generalizações do tensor de Einstein, e por fim obter ações escritas em termos desse objeto. Em formulações minimais para teorias de spin alto não massivas, propostas recen- temente por Francia e Sagnotti, os campos e os parâmetros de calibre não possuem as restrições usuais, presentes nos modelos de Frondasl e Fang-Fronsdal. Em tais formulações há presença de campos compensadores, de modo que ao integrar funcionalmente sobre os mesmos, os autores obtêm modelos não locais de spin alto. Na tentativa de reobter os resultados alcançados por Francia na teoria de spin-5/2, propomos uma redefinição sobre o campo de calibre, trabalhando a nível da lagrangiana e ao eliminar o campo compensador, adicionado em nossa redefinição, conseguimos recuperar o modelo não local obtido em (FRANCIA, 2010). Vale destacar, que no presente momento da finalização deste trabalho estamos traba- lhando na obtenção da teoria não local de spin-7/2. Diferentemente do que fizemos no caso de spin-5/2, o campo de calibre no caso de spin-7/2 é sujeito a condição de triplo gama traço-nulo (6.39), sendo assim devemos fazer uma transformação que expõe o triplo gama- traço do campo antes de adicionarmos o campo compensador, o que torna o procedimento mais difícil do ponto de vista computacional, já que teremos expressões consideravelmente maiores se comparadas ao caso de spin-5/2. Contudo, temos boas perspectivas, pois os resultados obtidos aqui puderam ser implementados, utilizando computação algébrica, no Wolfram Mathematica, com o auxilio do pacote FieldsX (FRÖB, 2020), que possibilita efetuar cálculos computacionais com férmions. A ideia é que possamos fazer o mesmo no caso de spin-7/2. 62 REFERÊNCIAS ARAGONE, C.; KHOUDEIR, A. Self-dual massive gravity. 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(A.3) Tomemos o traço do tensor de de Donder D′µ1...µs−3 = −1 2 ∂(µ1 ϕ′′µ2...µs−3) = 0 (A.4) ou seja, o mesmo possui traço nulo. Esse resultado será útil mais tarde. Calculemos então a variação do tensor de Dµ1...µs−1 , para isso é útil notar que ∂σδϕµ1...µs−1σ = □ξµ1...µs−1 + ∂σ∂(µ1 ξµ2...µs−1σ), (A.5) δϕ′µ1...µs−2 = 2∂σξµ1...µs−1σ, (A.6) segue dai e de (A.4), que Dµ1...µs−1 = □ξµ1...µs−1 (A.7) portanto, (A.4) não fixa o calibre completamente, para isso podemos fazer □ξµ1...µs−1 = 0. Note que ∂(µ1 Dµ1...µs) = ∂(µ1 ∂σϕµ2...µs)σ − ∂(µ1 ∂µ2ϕ ′ µ3...µs), (A.8) que coincide com os dois últimos termos de (6.23). Logo, no calibre de de Donder a equação de Fronsdal se reduz a: □ϕµ1...µs = 0, (A.9) cujo a solução é dada por ϕµ1...µs(x) = ∫ dDp eip⋅xaµ1...µs(p), (A.10) 65 com p2 = 0. Note que o tensor aµ1...µs , deve ser completamente simétrico e possuir traço nulo, sendo assim ele possui ⎛ ⎝ D − 1 + s s ⎞ ⎠ − ⎛ ⎝ D − 5 + s s − 4 ⎞ ⎠ , (A.11) componentes independentes. Além disso, algumas dessas componentes estão amarradas devido o calibre (A.4), como o tensor de de Donder é completamente simétrico e como vimos tem traço nulo, ⎛ ⎝ D − 2 + s s − 1 ⎞ ⎠ − ⎛ ⎝ D − 4 + s s − 3 ⎞ ⎠ , (A.12) condições, são impostas sobre aµ1...µs . Não podemos nos esquecer também da condição □ξµ1...µs−1 = 0, que possui solução ξµ1...µs−1(x) = ∫ dDp eip⋅xξ̃µ1...µs−1(p), (A.13) com p2 = 0. O parâmetro ξ̃µ1...µs−1 é totalmente simétrico e possui traço nulo, isso nos permite eliminar mais ⎛ ⎝ D − 2 + s s − 1 ⎞ ⎠ − ⎛ ⎝ D − 4 + s s − 3 ⎞ ⎠ , (A.14) componentes de aµ1...µs . Por fi