
Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, vol. 39, nº 3, e3505 (2017)
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DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0263

Produtos e Materiais Didáticos
cb

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Uso de um compressor de ar para aquário como marcador
de tempo em experimentos de cinemática

Using an aquarium air pump as a time marker in kinematic experiments

Roberto Hessel1, Bruno Marconi Riboldi1, Makoto Yoshida1, Agnaldo A. Freschi∗2

1Departamento de F́ısica, Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Rio Claro, SP, Brasil
2Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências Sociais Aplicadas, Universidade Federal do ABC, Santo André, SP,

Brasil

Recebido em 09 de Novembro, 2016. Aceito em 05 de Fevereiro, 2017.

Neste trabalho, mostramos como construir um marcador de tempo similar àquele adotado pelo
PSSC (Physical Science Study Committee) utilizando um compressor de ar para aquário e uma caneta
hidrográfica. Em seguida, mostramos, também, como esse marcador pode ser utilizado tanto para
registrar o movimento de um objeto a partir de pontos impressos sobre uma fita de papel presa ao
objeto, como para medir intervalos de tempo com aux́ılio de técnicas eletrônicas para iniciar/interromper
automaticamente seu funcionamento. Os experimentos sugeridos para ilustrar posśıveis aplicações do
dispositivo proposto permitem estudar não só as relações entre deslocamento, velocidade e tempo
associadas a um movimento uniformemente variado, como também questões relacionadas com a dinâmica
de translação e rotação.
Palavras-chave: Marcador de tempo, compressor de ar para aquário, caneta hidrográfica, plano
inclinado.

In this paper, we show how to construct a time marker similar to that adopted by the PSSC (Physical
Science Study Committee) using an aquarium air pump and a hydrographic pen. We also show how this
marker can be used either to register the motion of an object from the dots printed on a paper tape
attached to the object, or to measure time intervals with the aid of electronic techniques to automatically
start/stop its functioning. The suggested experiments allow students to learn the relationship between
displacement, velocity, and time associated with a uniformly varied motion, as well as studying the
physics related to translation and rotation dynamics.
Keywords: Time marker, aquarium air pump, hydrographic pen, inclined plane.

1. Introdução

Atividades experimentais relacionadas com cinemática
ou dinâmica requerem, normalmente, a utilização de
dispositivos para medir intervalos de tempo ou para
registrar a posição de um objeto em movimento a in-
tervalos regulares. Para medir, por exemplo, o tempo
necessário para um carrinho percorrer a distância
entre dois pontos, podemos usar cronômetros digi-
tais ou contadores eletrônicos alimentados por um
oscilador funcionando como base de tempo e asso-
ciados à chaves ópticas [1-3]. Por outro lado, para

∗Endereço de correspondência: agnaldo.freschi@ufabc.edu.br.

se registrar a posição de um objeto em movimento
a intervalos de tempo regulares podemos usar fais-
cadores eletrônicos e fitas de papel termo-senśıvel,
ou a fotografia estroboscópica [3-5], ou ainda re-
cursos mais modernos como câmeras fotográficas
ou filmadoras digitais [6,7]. Mas existem, também,
dispositivos mais simples como os marcadores de
tempo similares àqueles utilizados pelo ‘Physical Sci-
ence Study Committee’ (PSSC) [8] que se prestam
tanto para registrar o movimento de um objeto a
intervalos de tempo regulares, como para medir a
duração de um evento.

Marcadores de tempo do tipo PSSC são disposi-
tivos projetados para imprimir marcas sobre uma

Copyright by Sociedade Brasileira de F́ısica. Printed in Brazil.

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agnaldo.freschi@ufabc.edu.br


e3505-2 Uso de um compressor de ar para aquário como marcador de tempo em experimentos de cinemática

fita de papel em movimento por meio de um mar-
telinho vibrador (lâmina vibrante) e um disco de
papel carbono sob o qual corre a fita de papel. A Fig.
1 ilustra esquematicamente um modelo desse tipo
alimentado por uma fonte DC (pilhas ou baterias,
por exemplo).

Nesse modelo, o movimento do martelinho é ge-
rado às custas do abrir e fechar de um platinado (P,
na Fig. 1). Quando a lâmina flex́ıvel é atráıda pelo
núcleo (I) da bobina energizada, o platinado abre-se
e a corrente no circuito é interrompida. No retorno,
o platinado fecha-se e a corrente volta a circular,
estabelecendo-se, então, um movimento vibratório
que faz com que o martelinho imprima marcas so-
bre a fita que corre debaixo do disco de carbono. A
frequência de impressão sobre a fita é cerca de 50
Hz e depende principalmente do ajuste do platinado.
Em algumas aplicações, eles são utilizados para in-
vestigar o movimento de carrinhos em experiências
de cinemática e dinâmica. Neste caso, a fita é fi-
xada no próprio carrinho em movimento. A partir
dos pontos impressos na fita, pode-se então analisar
como varia a distância percorrida pelo carrinho ou
sua velocidade em função do tempo [8,9]. Em outras
aplicações, em vez da fita ser fixada no objeto em
movimento, ela é puxada pelo próprio aluno. Neste
caso, o marcador, que pode ser ligado/desligado

Figura 1: a) Representação esquemática do marcador de
tempo adotado pelo PSSC e b) Diagrama das conexões
elétricas.

manual ou automaticamente, faz o papel de um
cronômetro comum. Essa técnica tem sido empre-
gada para determinar, por exemplo, a velocidade de
uma esfera rolando sobre um plano horizontal [10]
ou para determinar a aceleração angular de discos
girantes visando o estudo da dinâmica da rotação
[11].

O objetivo principal deste trabalho é mostrar, pri-
meiramente, como um professor pode construir um
marcador de tempo do tipo PSSC de baixo custo
(cerca de R$ 50,00) a partir de um compressor de ar
para aquário e, num segundo momento, descrever al-
gumas aplicações não só para mostrar a versatilidade
do dispositivo proposto como também para suge-
rir como o professor poderá explorá-lo num curso
introdutório.

2. Marcador de tempo montado a partir
de um compressor de ar para aquário.

2.1. Funcionamento do compressor

Um compressor de ar para aquário t́ıpico vem mon-
tado dentro de uma caixinha plástica com tampa de
borracha. A Fig. 2 mostra esquematicamente a es-
trutura que se observa quando removemos a tampa;
é uma estrutura comum a modelos de diferentes fa-
bricantes. Ela consiste, essencialmente, num núcleo
de ferro no formato de um U, uma bobina alimen-
tada pela tensão da rede, uma câmara de borracha e
uma haste com uma extremidade fixa e a outra livre
para oscilar. Na dobra da extremidade livre dessa
haste existe um ı́mã colado; para efeito de descrição,
estamos supondo que é o polo norte do ı́mã que está
colado na haste. A figura mostra também que parte
de uma das laterais da caixinha foi removida para
permitir a introdução do suporte de uma caneta
hidrográfica que será descrito na seção seguinte.

Quando uma corrente alternada circula pela bo-
bina, o núcleo de ferro no formato de um U se
magnetiza ora num sentido ora no outro. Suponha-
mos que na metade positiva do ciclo da corrente, o
núcleo magnetizado tenha o polo sul na sua extremi-
dade superior e o polo norte na extremidade inferior,
como indicado na figura. Se, além disso, o polo sul
(S) do ı́mã estiver mais próximo dos polos do núcleo
que o polo norte, a força resultante sobre o ı́mã será
para baixo. Na metade negativa do ciclo da corrente,
os polos invertem as posições e a força resultante
sobre o ı́mã muda de sentido, isto é, aponta para
cima. A força resultante agindo na extremidade da

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Figura 2: Vista interna de um compressor de ar para aquário
t́ıpico.

haste é, portanto, uma força periódica, cujo peŕıodo
é o mesmo da corrente alternada que circula pela
bobina. Consequentemente, sob a ação dessa força,
a haste que movimenta o compressor de ar passa
a executar um movimento forçado de vai-e-vem na
mesma frequência da rede, ou seja, 60 Hz [1].

2.2. Descrição do marcador

Para transformar o compressor num marcador de
tempo, basta transferir o movimento da haste vi-
bratória que aciona a câmara de borracha para uma
caneta hidrográfica (Fig. 2) posicionada de tal modo
que possa imprimir marcas sobre uma fita de papel
em movimento. Para isso, o compressor e o suporte
da caneta podem ser montados numa peça de ma-
deira no formato de um L, como mostra a Fig. 3.

O suporte da caneta é fixado por meio de um
parafuso (P1) para facilitar a sua montagem ou a
sua remoção após o término de um experimento. O
compressor, por sua vez, é parafusado numa placa
de madeira que pode ser deslocada ligeiramente para
cima ou para baixo, pois o parafuso P2 corre den-
tro de um rasgo. Com isto, a ponta do parafuso
que prende a haste vibrante à câmara de borracha
pode ser ajustada com mais ou menos pressão sobre
o topo da caneta (Fig. 2), o que permite contro-
lar a intensidade das marcas impressas sobre a fita
de papel que corre debaixo da ponta da caneta. A
ponta acompanha o movimento oscilatório da haste
vibrante do compressor, porque a arruela colada
no topo da caneta apoia-se numa espuma que se
comporta como uma mola. A amplitude de seu mo-
vimento, contudo, tem um limite graças ao degrau
existente na extremidade inferior da caneta (Fig. 3).

Figura 3: Esquema do marcador de tempo constrúıdo a
partir de um compressor de ar para aquário e de uma caneta
hidrográfica.

Essa limitação protege a ponta da caneta contra
impactos violentos.

Como vimos na seção 2.1, a haste do compressor
vibra na frequência da rede (60 Hz), o que significa
que as marcas sobre a fita de papel são impres-
sas à razão de 60 marcas por segundo. Ou seja, o
tempo decorrido entre a impressão de uma marca e
a seguinte é igual a 1/60 s.

3. A análise das fitas

Se a fita for arrastada por um carrinho, as marcas
impressas sobre ela nos fornecerão uma boa descrição
sobre o seu movimento. Sua análise permite várias
abordagens.

3.1. Por inspeção

Observando-se o espaçamento entre as marcas im-
pressas, pode-se discutir com os alunos onde a ve-
locidade do carrinho foi maior ou menor, ou ainda

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e3505-4 Uso de um compressor de ar para aquário como marcador de tempo em experimentos de cinemática

em que trechos a velocidade cresceu, diminuiu ou
permaneceu constante.

3.2. Pelo gráfico d versus t ou v versus t

Escolhendo-se uma das marcas sobre a fita como
referência, mede-se a partir dela o deslocamento d
do carrinho em função do tempo t, tomando-se, por
exemplo, 1/12 s como unidade de tempo (u.t.), que
é o tempo necessário para a haste do compressor exe-
cutar 5 oscilações completas. A partir desses dados,
constrói-se, então, o gráfico d versus t. Verificando-se
qualitativamente o comportamento da inclinação da
tangente à curva em diferentes pontos dela, pode-se
ter uma ideia se houve trechos da trajetória onde o
movimento do carrinho foi acelerado, retardado ou
uniforme. Mas, pode-se, também, com um pouco de
paciência, determinar a inclinação da tangente em
diferentes pontos da curva [12,13]. A partir dessas
inclinações, constrói-se então o gráfico da velocidade
v do carrinho em função do tempo t.

3.3. Pelo gráfico v versus t obtido a partir
de v̄ versus t

Esta técnica, talvez a mais usual, consiste inici-
almente em determinar a velocidade média v̄ do
carrinho em intervalos de tempo sucessivos, iguais e
pequenos. Se, por exemplo, tomarmos 1/12 s como
nossa unidade de tempo, então o deslocamento do
carrinho durante uma unidade de tempo medido
diretamente na fita será numericamente igual à ve-
locidade média do carrinho naquele intervalo. Para
construir o gráfico da velocidade média v̄ em função
do tempo t, basta cortar a fita em pedaços com
comprimentos correspondentes à distância percor-
rida pelo carrinho em intervalos sucessivos e iguais
e colá-los um ao lado do outro sobre uma base co-
mum. O histograma assim constrúıdo é equivalente
ao gráfico v̄ versus t.

A partir desse gráfico podemos construir o gráfico
da velocidade instantânea v versus t, porque, para
um intervalo de tempo ∆t = t2 − t1 suficientemente
pequeno a velocidade média nesse intervalo é prati-
camente igual à velocidade instantânea no instante
médio do intervalo (t = t̄ = (t1 + t2)/2), ou seja,
v(t = t̄) = v̄ para ∆t suficientemente pequeno; geo-
metricamente, o instante t = t̄ corresponde ao ponto
médio do segmento que representa a velocidade
média em cada intervalo. Esta propriedade pode ser
justificada tanto geométrica como analiticamente.

Consideremos o intervalo de tempo ∆t = t2 − t1 sufi-
cientemente pequeno para que o trecho PQ da curva
correspondente a esse intervalo, num certo gráfico v
versus t,possa ser confundido com um segmento de
reta (Fig. 4).

Nessa figura, o segmento AB horizontal representa
a velocidade média do móvel no intervalo ∆t =
t2 − t1. Como a área sob a curva num gráfico v
versus t representa distância percorrida, a área sob
esse segmento (área do retângulo, t1ABt2) deve ser
igual à área sob o segmento PQ da curva (área do
trapézio t1PQt2). Mas, se PQ confunde-se com um
segmento de reta, a área do retângulo somente será
igual à área do trapézio se a intersecção de AB com
PQ ocorrer no ponto médio de AB (ou PQ), que
corresponde ao instante t = t̄ = (t1 + t2)/2.

Essa propriedade também pode ser demonstrada
analiticamente. De fato, partindo da definição v̄ =
(1/∆t)

∫ t2
t1
vdt, onde ∆t = t2 − t1, e expandindo o

integrando numa série de Taylor em torno de t = t̄,
é posśıvel mostrar que [14], v̄ = v(t̄) + 1

2 ȧ(t̄) (∆t)2

12 +
1
24

...
a (t̄) (∆t)4

80 + · · · , onde ȧ
(
t̄
)

= d2v
dt2

∣∣∣
t=t̄

, ...
a (t̄) =

d4v
dt4

∣∣∣
t=t̄

, etc.
Se o trecho PQ na Fig. 4 puder ser confundido

com um segmento de reta, a aceleração a do móvel
nesse intervalo será praticamente constante o que
significa que ȧ = ...

a = 0 e que portanto, v(t = t̄) = v̄.

4. Aplicações.

4.1. Experimento 0 – Medida da frequência
de operação do marcador.

A frequência de operação do marcador pode ser me-
dida de diversas maneiras. Do nosso ponto de vista,

Figura 4: Gráfico aleatório de velocidade versus tempo. O
segmento de reta AB representa a velocidade média num
pequeno intervalo de tempo ∆t = t2 − t1.

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Hessel e cols. e3505-5

a maneira mais simples e mais indicada para um
curso introdutório pode ser realizada utilizando um
relógio de pulso digital ou um cronômetro digital.
São necessários dois alunos para realizá-la; um deles
puxa a fita através do marcador enquanto o outro
controla, com uma das mãos, o cronômetro e, com
a outra, aciona a chave liga/desliga do marcador.
O experimento consiste em ligar simultaneamente
o marcador e o cronômetro logo depois que a fita
for posta em movimento. Num dos testes que rea-
lizamos, o marcador imprimiu 706 pontos na fita
(desprezando o primeiro ponto) num intervalo de
11,81 s, o que equivale a uma frequência de impressão
de 59,8 pontos/s ou 59,8 Hz, resultado que difere
menos de 0,5% do valor esperado. Este experimento
é interessante porque permite determinar não só a
frequência de operação do marcador como também
a frequência da rede e compará-la com o valor ofi-
cial. Mas, dependendo do grau de informação dos
alunos e do equipamento dispońıvel, a frequência
de operação do marcador também pode ser determi-
nada por meio de um osciloscópio [15] ou utilizando
dois contadores eletrônicos, como descrito na Ref.
1.

4.2. Experimento 1 – Análise do
movimento de um cilindro rolando
para baixo sobre um plano inclinado.

O objetivo deste experimento é analisar o movi-
mento de um cilindro rolando para baixo sobre um
plano inclinado. Para isso, prendemos a fita num
suporte leve atrelado ao cilindro (Fig. 5) e fixamos
o marcador no plano inclinado.

A Fig. 6 mostra os gráficos v̄ versus t e v versus t
obtidos a partir de uma fita puxada por um cilindro
de 702 g ao rolar sobre um plano com uma inclinação
de aproximadamente 6,5°, tomando como unidade
de tempo 1/12 s e desprezando os primeiros pontos

Figura 5: Esquema de um suporte leve atrelado a um
cilindro que rola num plano inclinado.

Figura 6: Velocidade de um cilindro rolando para baixo
sobre um plano inclinado em função do tempo. A linha
cheia representa a curva de velocidade instantânea obtida a
partir das velocidades médias do cilindro (linhas tracejadas)
medidas em intervalos de tempo de 1/12 s.

impressos sobre a fita. Ao construir o gráfico v versus
t, admitimos que a velocidade instantânea (v) no
instante médio de um intervalo de 1/12 s, que pode
ser considerado suficientemente pequeno neste caso,
coincide com a velocidade média (v̄) nesse intervalo
(ver seção 3.3.) Este gráfico nos diz que o movimento
desse cilindro é uniformemente acelerado.

A inclinação da reta nesse gráfico, igual a 0,448
cm/(u.t)2 = 64,5 cm/s2, corresponde à aceleração
do cilindro. Por outro lado, a ‘área’ do trapézio com
altura de 8,0 u.t., base menor de 1,6 cm/u.t. e base
maior de 5,2 cm/u.t. mede 27,2 cm, enquanto a
distância percorrida pelo carrinho desde t = 0 até o
instante t = 8,0 u.t., medida diretamente na fita, é
igual a 27,4 cm. Dentro do erro experimental esses
valores podem ser considerados praticamente iguais,
como se esperava.

Se, por alguma razão, suspeitarmos que o mo-
vimento do cilindro ao rolar sobre o plano incli-
nado é uniformemente acelerado, a análise dos da-
dos admitirá outra abordagem. De fato, da equação
d = v0t+ (1/2)at2 segue que d/t = v0 + (1/2)at [16].
Se a nossa suspeita estiver correta, o gráfico d/t
versus t deverá necessariamente resultar numa reta
cuja inclinação será igual à metade da aceleração
do cilindro; a distância percorrida pelo cilindro em
função do tempo é medida diretamente na fita de
papel. O gráfico mostrado na Fig. 7 confirma que o
movimento do cilindro rolando sobre o plano incli-
nado é de fato uniformemente acelerado. Além disso,
a inclinação da reta (33,2 cm/s2) é praticamente a
metade da aceleração (64,5 cm/s2) determinada a

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e3505-6 Uso de um compressor de ar para aquário como marcador de tempo em experimentos de cinemática

Figura 7: Evolução temporal da razão d/t (distância per-
corrida sobre o tempo) de um cilindro rolando para baixo
sobre um plano inclinado. Os pontos representam os dados
experimentais e a linha cheia corresponde ao ajuste linear.

partir do gráfico v versus t (Fig. 6) e a velocidade
v0 ∼= 20 cm/s coincide, dentro do erro experimental,
com aquela lida no mesmo gráfico, como se esperava.

A mesma montagem pode também ser utilizada
para analisar o movimento de um carrinho descendo
o plano inclinado. Neste caso, o aluno poderá ob-
servar que a aceleração do cilindro rolando sobre
o plano é menor que a aceleração do carrinho des-
cendo o mesmo plano e cerca de 2/3 da aceleração do
carrinho, como previsto pela teoria [17]. Por exem-
plo, usando um carrinho de aproximadamente 900 g,
obtivemos para a aceleração o valor de 95,1 cm/s2

enquanto a aceleração do cilindro rolando resultou
igual a 64,5 cm/s2. A razão 64,5/95,1 ∼= 0,68 ∼= 2/3.
Esse resultado é satisfatório, se considerarmos que
não levamos em conta i) a resistência que a fita opõe
ao movimento tanto do cilindro como do carrinho,
ii) o atrito dos rolamentos com os eixos do carrinho
e iii) o momento de inércia dos rolamentos, por
exemplo.

4.3. Experimento 2 – Medida da velocidade
de uma esfera rolando num plano
horizontal.

Nesta experiência, uma pequena esfera de aço passa
com velocidade v por duas chaves montadas sobre
uma superf́ıcie horizontal (Fig. 8) depois de ser
abandonada de certa altura numa rampa.

As chaves, feitas com tiras de papel alumı́nio,
estão representadas esquematicamente na Fig 9 e
podem ser coladas na superf́ıcie (retalho de forro de
PVC, por exemplo). Os terminais (fios cabinho) X,Y

Figura 8: Montagem para medir a velocidade de uma esfera
rolando sobre um plano horizontal.

Figura 9: Chave de papel aluḿınio quando vista de cima
(esquerda) e em perspectiva (direita).

e M,N são fixados sobre as tiras de papel alumı́nio
com fita adesiva.

O contato entre X e Y (ou M e N ) é feito quando
a esfera passa sobre as tiras. As extremidades livres
dos terminais são conectadas aos pontos correspon-
dentes indicados no circuito da Fig. 10.

Esse circuito é composto por dois blocos: I e II. O
bloco I contem o marcador alimentado pela tensão
da rede, um interruptor e um resistor variável (po-
tenciômetro de 5 kΩ) em paralelo com um relê que
dispõe de um contato normalmente fechado (NF) e
outro normalmente aberto (NA) acionados por uma
bobina alimentada por uma fonte de 5 V; para a
experiência descrita neste item, usamos apenas os
terminais correspondentes ao contato normalmente
aberto. A função do resistor variável é controlar a
amplitude de oscilação da lâmina vibrante do com-
pressor. Antes de iniciar o experimento, zeramos a
resistência do resistor e ajustamos a distância da
ponta da caneta (Fig. 3) em relação à fita de papel
até que a impressão das marcas sobre a fita alcance
a intensidade desejada. Em seguida, variamos a re-
sistência do resistor até que a impressão desapareça,
isto é, que a ponta da caneta não mais toque a
fita. Assim, com o contato do relê aberto (bobina
não energizada) a amplitude da vibração da lâmina
é pequena; com ele fechado (bobina energizada) o
resistor permanece curto-circuitado e a amplitude
volta para o seu valor original, pois a corrente pelo
marcador é máxima (33 mA, no nosso caso). Resu-
mindo: no ińıcio de um experimento, o marcador é
ligado, mas permanece vibrando com baixa ampli-

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Hessel e cols. e3505-7

Figura 10: Circuito utilizado para medir o tempo necessário
para uma esfera rolando num plano horizontal percorrer a
distância entre duas chaves de aluḿınio.

tude, isto é, em regime de espera. A impressão das
marcas sobre a fita só ocorrerá a partir do momento
em que o resistor limitador for curto-circuitado; com
o marcador funcionando em regime de espera, evi-
tamos o atraso na impressão da primeira marca na
fita, porque o esforço para vencer a inércia do com-
pressor de ar ao ser ligado é menor do que seria se
não procedêssemos dessa forma. Com esse artif́ıcio,
a qualidade dos dados melhora.

O dispositivo básico no bloco II da Fig. 10 é o SCR;
ele tem como caracteŕıstica só permitir a passagem
da corrente depois que o terminal G (“gate”) receber
um pulso de tensão. Uma vez estabelecida a corrente
através dele, ela só pode ser interrompida se a fonte
for desligada ou se os pontos A e K entrarem em
contato momentaneamente [18].

Quando a esfera passa pela primeira chave, os
terminais X e Y entram em contato momentanea-
mente e G recebe um pulso, porque o potencial de
Y é o mesmo do terminal positivo da fonte enquanto
não há corrente no circuito. Com isso, o SCR libera
a passagem da corrente, a bobina é energizada e
o campo magnético gerado no seu interior fecha o
contato que estava aberto, curto-circuitando o resis-
tor limitador. A caneta começa, então, a imprimir
marcas sobre a fita puxada por um dos componen-
tes da equipe. Quando a esfera passar pela segunda
chave, M e N entrarão em contato momentanea-
mente e o SCR interromperá a corrente que circula
pela bobina. Com isso, o contato do relê abre-se e a
impressão das marcas sobre a fita cessa; quando a
bobina é desenergizada surge nela uma força contra-

eletromotriz que pode prejudicar o SCR. Para evitar
que isso ocorra, instala-se um diodo em paralelo com
a bobina.

O número de intervalos entre as marcas impressas
na fita corresponde ao tempo t que a esfera leva para
percorrer a distância d entre as chaves de alumı́nio
da Fig. 8. A velocidade v da esfera será dada então
pela razão d/t. Essa montagem foi utilizada para
realizar a experiência descrita a seguir.

4.4. Experimento 3 – Velocidade adquirida
por uma esfera na base de um plano
inclinado em função da altura da qual
foi liberada.

Quando uma esfera de massa m e raio R é liberada
de uma altura h numa rampa, parte de sua energia
potencial gravitacional (mgh) é transformada em
energia associada ao movimento de translação de
seu centro de massa (energia cinética de translação)
e parte em energia associada a sua rotação (energia
cinética de rotação). Supondo que não haja escor-
regamento e que a energia total é conservada, vale
a relação mgh = mv2/2 + Iω2/2, onde h é o deslo-
camento vertical da esfera desde sua posição inicial
até a base do plano inclinado, v é a velocidade do
seu centro de massa, I = 2mR2/5 é o seu momento
de inércia e ω = v/R. Dessas expressões, resulta
v2 = 10/7gh ou

v2 = 10g sin θ
7 d (1)

uma vez que h = d sin θ, onde θ é a inclinação do
plano.

Esse resultado pode ser verificado experimental-
mente utilizando-se o circuito descrito no item 4.3
e a rampa da Fig. 11, constrúıda a partir de um
retalho de forro de PVC. O procedimento experi-
mental consiste em deslocar o bloco nessa figura
para diferentes posições e medir a velocidade da es-
fera em função da distância d indicada na figura. O
gráfico na Fig. 12 ilustra um dos resultados obtidos,
variando d entre 10 e 40 cent́ımetros. Se desprezar-
mos pequenas perdas de energia cinética durante
o movimento, podemos concluir que realmente v2

é proporcional a d, como previsto. Além disso, a
inclinação da reta (175,3 cm/s2) concorda razoa-
velmente bem com o valor determinado a partir da
expressão (10/7)g sin θ. De fato, considerando g =
976 cm/s2 e o valor medido para θ, que é igual a

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e3505-8 Uso de um compressor de ar para aquário como marcador de tempo em experimentos de cinemática

Figura 11: Arranjo experimental para medir a velocidade
alcançada por uma esfera na base de um plano inclinado
após ser liberada de uma altura h.

Figura 12: Quadrado da velocidade de uma esfera rolando
sobre um plano inclinado a partir do repouso em função da
distância percorrida sobre o plano. Os pontos representam
os dados experimentais e a linha cheia corresponde ao ajuste
linear.

(7,1 ±0,1) graus, obtemos 172,3 cm/s2; a diferença
entre os dois valores é cerca de 2%.

O objetivo deste experimento pode ser ampliado,
ou seja, não precisamos nos limitar a uma simples
confirmação da validade de uma expressão. O pro-
fessor pode, por exemplo, chamar a atenção de seus
alunos para o fato da inclinação da reta na Fig. 12
(ou a constante de proporcionalidade na Eq. (1)) ter
dimensão de aceleração. Consequentemente, o movi-
mento da esfera deve ser uniformemente acelerado
e obedecer à equação de Torricelli. Essa inclinação,
portanto, deve corresponder ao dobro da aceleração
da esfera, o que significa dizer que a aceleração da
esfera será igual a 5/7g sin θ. Essa conclusão poderá
ser confirmada posteriormente utilizando as leis da
dinâmica da rotação [17].

4.5. Experimento 4 – Análise do movimento
de uma esfera enquanto desce rolando
sobre um plano inclinado.

O objetivo desta experiência é mostrar que o mo-
vimento do centro de massa de uma esfera rolando
para baixo sobre um plano inclinado é uniforme-
mente acelerado. Para isso, diferentemente do que
fizemos no experimento anterior, vamos analisar a
distância percorrida e a velocidade alcançada pela
esfera em função do tempo de descida. A montagem
utilizada está mostrada na Fig. 13. A chave CH2,
feita com papel alumı́nio, é fixa e foi montada na
mesma posição que serviu de origem para medida
da distância d na Fig. 11. A chave CH1, por sua vez,
é montada num anteparo móvel e isolante.

A Fig. 14 mostra o anteparo visto de cima com
os dois parafusos que fazem o papel dos terminais
de CH1; a chave fecha quando a esfera metálica
encosta nos parafusos e abre quando ela abandona
o anteparo.

A experiência consiste em medir, para certa distância
d, o intervalo de tempo t indicado na Fig. 13. Para
isso, a impressão das marcas na fita deve começar
imediatamente após a esfera abandonar o anteparo e
ser interrompida quando passar por CH2. Isso pode
ser feito substituindo no circuito esquematizado na

Figura 13: Arranjo experimental para medir o tempo t
necessário para uma esfera percorrer a partir do repouso
uma distância d sobre o plano inclinado.

Figura 14: Vista de cima do anteparo a partir do qual a
esfera é liberada no plano inclinado.

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Hessel e cols. e3505-9

Fig. 10 o contato NA pelo contato NF, como mostra
a Fig. 15.

Os terminais de CH1 são conectados aos pontos
M e N indicados na Fig. 10, enquanto os terminais
de CH2 são conectados aos pontos X e Y.

O experimento começa com a esfera de aço encos-
tada no anteparo. Com isso, estabelece-se o contato
elétrico entre os pontos M e N (Fig. 10), curto-
circuitando o SCR. A corrente, inicialmente bloque-
ada pelo SCR, começa então a circular pela bobina.
Como consequência, o contato inicialmente fechado
do relê abre-se, o resistor limitador entra em ação e
o marcador passa a funcionar em regime de espera.
Quando a esfera é liberada, a corrente pela bobina
cessa, o contato do relê volta para sua condição ori-
ginal (NF) e o resistor limitador é curto-circuitado,
permitindo então que o marcador comece a impri-
mir marcas sobre a fita de papel em movimento .
Quando a chave CH2 é fechada momentaneamente
pela passagem da esfera sobre ela, o SCR dispara, a
bobina é energizada novamente, o contato do relê
abre-se e o marcador volta a trabalhar em regime
de espera.

Neste experimento, a distância d percorrida pela
esfera no plano inclinado variou entre 10 e 40 cent́ıme-
tros. O gráfico d versus t2 (Fig. 16) ilustra um dos
resultados obtidos. Enquanto nesta experiência me-
dimos o tempo gasto pela esfera para rolar até a base
do plano inclinado a partir de certa posição, na an-
terior, abandonando a esfera das mesmas posições,
determinamos a velocidade alcançada por ela na
base do plano. A Fig. 17 mostra o gráfico v versus
t constrúıdo a partir dos dados obtidos nos experi-
mentos 3 e 4. Se levarmos em conta pequenas perdas
de energia e a incerteza quanto ao posicionamento
da chave CH2 na parte curva da rampa, podemos
concluir a partir desses gráficos que as relações entre
d e t e entre v e t para o movimento do centro de
massa de uma esfera, partindo do repouso e rolando

Figura 15: Relê utilizado para medir o tempo de descida
de uma esfera rolando sobre um plano inclinado, onde o
contato normalmente aberto (NA) da Fig. 10 foi alterado
para contato normalmente fechado (NF).

Figura 16: Distância d percorrida por uma esfera rolando
sobre um plano inclinado a partir do repouso em função
do tempo ao quadrado. Os pontos representam os dados
experimentais enquanto a linha cheia corresponde ao ajuste
linear.

Figura 17: Velocidade v de uma esfera rolando sobre um
plano inclinado a partir do repouso em função do tempo t.
Os pontos representam os dados experimentais enquanto a
linha cheia corresponde ao ajuste linear.

para baixo sobre um plano inclinado, são do tipo
d = k1t2 e v = k2t. As constantes k1 e k2 determina-
das a partir das inclinações dessas retas são iguais
respectivamente a 45,4 cm/s2 e 89,7 cm/s2. Como
já era esperado, k2 é praticamente o dobro de k1 e
igual a metade da inclinação da reta no gráfico da
Fig. 12.

4.6. Experimento 5 – Medida da velocidade
de um carrinho num trilho de ar.

Em algumas situações é prefeŕıvel utilizar uma chave
óptica em vez do SCR para acionar o marcador.
Suponhamos, por exemplo, que se pretenda medir a
velocidade de um carrinho deslocando-se num trilho
de ar horizontal. Isso pode ser feito montando-se

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e3505-10 Uso de um compressor de ar para aquário como marcador de tempo em experimentos de cinemática

uma tela opaca sobre o carrinho e determinando-se
o tempo que ela gasta para passar através da chave
óptica. A partir desse tempo e do comprimento
da tela, determina-se a velocidade do carrinho. A
fig. 18 representa esquematicamente um circuito
apropriado para medir o intervalo de tempo em
experiências como essa; neste circuito, voltamos a
usar o contato NA do relê.

O funcionamento da chave óptica adotada está
descrito em detalhes na Ref. 1, item 4.1. No esquema
da Fig. 18, a corrente na bobina é controlada pelo
potencial do ponto Q, porque está conectado através
do resistor de 470 Ω à base do transistor BC548.
Quando Q está num ńıvel alto, o transistor conduz e
a bobina é energizada; quando está num ńıvel baixo,
a bobina permanece desenergizada porque não há
corrente atravessando o transistor. Por outro lado,
o potencial de Q depende do comportamento do
TIL78 (fototransistor); ele conduz enquanto há ra-
diação proveniente do LED incidindo em sua base e
deixa de conduzir quando a radiação é interrompida.
Enquanto conduz, o potencial de Q permanece num
ńıvel baixo e passa para um ńıvel alto quando a
condução cessa [1]. Resumidamente, o circuito fun-
ciona da seguinte maneira: i) enquanto a radiação
na base do fototransistor não for interrompida, o
potencial de Q permanecerá num ńıvel baixo e não
haverá corrente pela bobina porque o transistor não
conduz com Q num ńıvel baixo. Consequentemente,

Figura 18: Esquema de um circuito para medir o tempo de
passagem por uma chave óptica de um carrinho deslocando-
se sobre um trilho de ar.

o contato do relê continuará aberto e o marcador em
regime de espera, graças à ação do resistor limitador,
ii) ao passar pela chave óptica, a tela do carrinho
bloqueia a radiação incidente na base do fototran-
sistor, o potencial de Q vai para um ńıvel alto e o
BC548 começa a conduzir. A bobina é então energi-
zada e o contato do relê fecha-se, curto-circuitando
o resistor limitador. Como resultado, o marcador
começa a imprimir marcas sobre a fita de papel
em movimento e iii) a impressão é interrompida
imediatamente após a passagem da tela através da
chave óptica, pois o marcador passa a funcionar em
regime de espera.

É interessante destacar que em experiências como
essa o marcador pode fazer o papel de um cronômetro
com memória. Por exemplo, suponhamos que depois
de passar pela chave óptica o carrinho colida com
um anteparo e volte atravessando a chave óptica
novamente. Neste caso, a fita pode registrar tanto o
tempo de passagem na ida como na volta.

5. Conclusões

Descrevemos um marcador de tempo constrúıdo a
partir de um pequeno compressor de ar para aquário
e uma caneta hidrográfica, similar àquele utilizado
pelo ‘Physical Science Study Comittee’ (PSSC). É
um marcador de baixo custo (cerca de R$ 50,00),
de fácil construção, alimentado pela tensão da rede
elétrica e que opera numa frequência fixa de 60
Hz. O fato de ser alimentado pela rede e trabalhar
numa frequência conhecida é uma das vantagens
deste marcador quando comparado com o similar
do projeto PSCC. Outra vantagem está associada
à escolha da caneta hidrográfica em substituição
ao disco de papel carbono utilizado em marcadores
desse tipo. Descrevemos também várias experiências
para ilustrar como esse marcador pode ser utilizado,
quer para registrar posições de objetos em movi-
mento, quer para medir automaticamente a duração
de um evento. Dentre os experimentos propostos,
destacamos o estudo do movimento de um cilindro
que rola sobre um plano inclinado. A aplicação do
marcador é também ilustrada em três experimentos
clássicos, já bem conhecidos na literatura, utilizando
uma esfera. No primeiro caso, a fita sobre a qual
a caneta imprime marcas é puxada pelo cilindro
em movimento; no segundo, a fita é puxada por
um dos elementos da equipe que está realizando o
experimento. Acreditamos que a proposta é uma

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Hessel e cols. e3505-11

alternativa viável para aqueles que gostariam de
dispor de um dispositivo de baixo custo para usá-
lo em aulas de demonstração ou até mesmo num
laboratório didático de f́ısica básica. Os circuitos
utilizados em associação com o marcador que per-
mitiram realizar os vários experimentos sugeridos
são relativamente simples e podem ser reproduzidos
sem grande dificuldade.

Agradecimentos

Os autores agradecem à FAPESP (Fundação de
Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) e ao
CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Ci-
ent́ıfico e Tecnológico) pelo apoio financeiro. Agra-
decem também pelo apoio técnico ao servidor Lean-
dro Xavier Moreno do Departamento de F́ısica da
UNESP/Rio Claro.

Referências

[1] R. Hessel, C.S. de Oliveira, G.A. Santarine e D.R.
Vollet, Revista Brasileira de Ensino de F́ısica 30,
1501 (2008). Erratum 31, 4901 (2009).

[2] R. Hessel, C.S. de Oliveira, G.A. Santarine, D.R.
Vollet e A.C. Perinotto, Revista Brasileira de Ensino
de F́ısica 30, 1502 (2008).

[3] L.W. Taylor, Advanced Undergraduate Laboratory
Experiments in Physics (Addison-Wesley Publishing
Company, Inc., Massachussets, 1961).

[4] T.W. Willians, Experiments on an Air Track (Ealing
Corporation, Scotts Valley, 1969).

[5] H.C. Pupo e E.C. Ziemath, Caderno Brasileiro de
Ensino de F́ısica 19, 121 (2002).

[6] M.A. Dias, H.S. Amorin e S.S. Barros, Caderno
Brasileiro de Ensino de F́ısica 26, 492 (2009).

[7] B.N. Sismanoglu, J.S.E. Germano, J. Amorin e R.
Caetano, Revista Brasileira de Ensino de F́ısica 31,
1501 (2009).

[8] Physical Science Study Committee (org), F́ısica
(Edart, São Paulo, 1968), Parte I, p. 217 e (Edart,
São Paulo, 1967), Parte III, p. 162 e 184.

[9] F.D. Saad, K. Watanabe e P. Yamamura, FAI –
F́ısica Auto-Instrutiva (Editora Saraiva, São Paulo,
1973), v. 1, p. 155.

[10] R. Hessel e H.M. Gupta, Phys. Teach. 21, 172
(1983).

[11] R. Hessel, Revista de Ensino de F́ısica 5, 21 (1983).
[12] U. Ingard and W.L. Kraushaar, Introduction to Me-

chanics, Matter, and Waves (Addison-Wesley Pu-
blishing Company, Inc., Massachussets, 1960), item
1.4, p.18.

[13] Physical Science Study Committee (org), Guia do
Professor de F́ısica (Edart, São Paulo, 1967), Parte
I, p. 70.

[14] R. Hessel, S.R. Canola e D.R. Vollet, Revista Brasi-
leira de Ensino de F́ısica 35, 2504 (2013).

[15] J.S. Huebner, Phys. Teach. 23, 315 (1985).
[16] H. Cohen and D. Horvath, Am. J. Phys. 56, 950

(1988).
[17] D. Halliday, R. Resnick and J. Walker, Fundamen-

tals of Physics (John Wiley & Sons, Inc., Somerset,
2011), 9th ed., chapters 10 and 11.

[18] N.C. Braga, Curso Básico de Eletrônica (Ed. Saber
Ltda, São Paulo, 2001), 4ª ed., lição 11.

DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0263 Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, vol. 39, nº 3, e3505, 2017


	Introdução
	Marcador de tempo montado a partir de um compressor de ar para aquário.
	Funcionamento do compressor
	Descrição do marcador

	A análise das fitas
	Por inspeção
	Pelo gráfico d versus t ou v versus t
	Pelo gráfico v versus t obtido a partir de  versus t

	Aplicações.
	Experimento 0 – Medida da frequência de operação do marcador.
	Experimento 1 – Análise do movimento de um cilindro rolando para baixo sobre um plano inclinado.
	Experimento 2 – Medida da velocidade de uma esfera rolando num plano horizontal.
	Experimento 3 – Velocidade adquirida por uma esfera na base de um plano inclinado em função da altura da qual foi liberada.
	Experimento 4 – Análise do movimento de uma esfera enquanto desce rolando sobre um plano inclinado.
	Experimento 5 – Medida da velocidade de um carrinho num trilho de ar.

	Conclusões