% %% � � � , , ,, � �� �� e ee @ @@ l l l Q QQ HHPPP XXX hhhh (((( ��� IFT Instituto de F́ısica Teórica Universidade Estadual Paulista DISSERTAÇÃO DE MESTRADO IFT–M.005/98 Deflexão de Fótons pelo Sol no Contexto da Teoria de Gravitação R + R2 Abel Dionizio Azeredo Orientador: Prof. Dr. Antonio Accioly Agosto de 1998 Resumo Calcula-se a seção de choque para o espalhamento de fótons pelo campo gravitacional do Sol, tratado como campo externo, no contexto da teoria de gravitação R + R2. Encontra-se um valor para o ângulo de deflexão de um fóton que passa nas vizinhanças da superf́ıcie do Sol que é exatamente o mesmo que aquele fornecido pela relatividade geral. Discute-se o porquê da coincidência desses resultados. Palavras Chave: Teoria de Gravitação R + R2, Espalhamento de Fótons pelo Campo Gravita- cional do Sol, Teoria de Gravitação Renormalizável. Área de Conhecimento: 1.05.03.01-3 Abstract The cross-section for the scattering of a photon by the Sun’s gravitational field, treated as an external field, is computed in the framework of R +R2 gravity. It is found a value for the deflection angle of a photon passing near to the Sun which is exactly the same as that given by general relativity. An explanation for this strange coincidence is provided. Key Words: R + R2 Gravity, Scattering of Photons by the Sun’s Gravitational Field, Renor- malizable Gravity Theory. Para todas as mulheres bonitas, porque, (plagiando o poeta) beleza é fundamental. Agradecimentos (i) Ao meu orientador, Prof. Dr. Antonio Accioly, pela assistência e incentivo na elaboração deste trabalho e por auxiliar-me no começo de minha vida cient́ıfica. (ii) Ao IFT-UNESP pelos recursos técnicos e à CAPES pelo apoio financeiro. (iii) Ao Edgard C. de Rey Neto e a Hatsumi Mukai pela colaboração e discussões durante todo o desenvolvimento deste trabalho. (iv) Aos colegas do IFT (Cláudio, “Caverna”, “Medalha”, “Labrador”, “Anarquista”, · · ·), pela convivência (“Opção”, “Aurora”, etc.). Índice INTRODUÇÃO 8 1 O Potencial Efetivo 11 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 A Interação Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 A Amplitude M no Limite Não-Relativ́ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Cálculo do Potencial Efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 O Campo Gravitacional do Sol 19 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 O Campo gravitacional do Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Cálculo de h (~r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Cálculo de h00 (~r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.3 Cálculo de hij(~r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.4 Cálculo de hi0 (~r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Cálculo de hµν ( ~k ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Deflexão Gravitacional da Luz 27 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6 ÍNDICE 7 3.2 Seção de Choque para o Espalhamento de Fótons pelo Campo Gravitacional do Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Previsão da Teoria R + R2 para a Deflexão Gravitacional Solar . . . . . . . . . . 32 EPÍLOGO 33 A Quantização na Aproximação de Campo Fraco 36 A.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 A.2 Expressoẽs Úteis na Aproximação de Campo Fraco . . . . . . . . . . . . . . . . 37 A.2.1 A expansão de gµν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 A.2.2 A expansão de (−g)1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 A.3 A Ação Escrita em Termos do Campo hµν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 A.3.1 A forma Γ− Γ da ação de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 A.3.2 A ação de Einstein em função do campo hµν . . . . . . . . . . . . . . . . 41 A.4 O Propagador de Feynmam Para a Teoria de Gravi- tação R + R2 . . . . . . . . 42 A.4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 A.4.2 O termo proporcional a R2 em função do campo hµν . . . . . . . . . . . 43 A.4.3 A Lagrangeana de Fixação de Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 A.4.4 Cálculo do Inverso do Operador Pµν,αβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 A.4.5 O Propagador de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Bibliografia 48 INTRODUÇÃO Entre os testes fundamentais da teoria da relatividade geral, a deflexão da luz pelo Sol é sem dúvida o mais popular. De fato, a idéia da luz sendo defletida de sua trajetória clássica pela presença de matéria é de um apelo irresist́ıvel. Historicamente esta predição da teoria de Einstein foi testada pela primeira vez durante o eclipse solar ocorrido em 29 de março de 1919, por duas expedições organizadas por Eddington e Dyson, uma para a cidade de Sobral no Brasil e a outra para a ilha Pŕıncipe, na África portuguesa. Os resultados obtidos por estas duas expedições foram os seguintes θ =  1, 98± 0, 16′′ (Sobral) 1, 61± 0, 40′′ (Principe). Estes resultados ocuparam os cabeçalhos dos principais jornais da época. O verso que se segue foi enviado a Einstein em um cartão postal em 11 de outubro de 1919 pelos participantes de um colóquio de F́ısica realizado em Zurique (Debye, Weyl, · · ·) e mostra claramente o entusiasmo reinante na comunidade cient́ıfica de então : ,,Alle Zweifel sind entschwunden, “Então todas as dúvidas desapareceram, Endlich ist es nun gefunden: Finalmente foi descoberto: Das Licht, das läuft natürlich krumm A luz, naturalmente anda encurvada Zu Einsteins allergrösstem Ruhm! ” Para o máximo engrandecimento da fama de Einstein!” 8 Introdução 9 A partir dáı, numerosas medidas relativas ao desvio da luz estelar foram feitas durante os eclipses solares apresentando resultados bastante diferenciados. Com o advento da radioas- tronomia, em 1969, passou-se a estudar não mais o desvio da luz estelar pelo Sol, mas sim o das ondas de rádio. Os resultados mais precisos obtidos até o presente sendo os de Fomalont e Sramek [1], que encontram um valor para o ângulo de deflexão próximo àquele previsto pela teoria da relatividade geral. Por outro lado, sabe-se que a ação relativa à gravitação é determinada pela sua in- variância sob transformações de coordenadas gerais, e tem a forma [2] S = ∫ d4x √ −g [ 2R κ2 + α′R2 + β′RµνR µν + γ′RµνR νδR µ δ + · · · ] . Neste trabalho utilizamos o sistema natural de unidades (h̄ = c = 1). Em nossa notação a assinatura é (+ − − −). O tensor de curvatura é definido por Rα βγδ = −∂δΓ α βγ + · · ·, o tensor de Ricci por Rµν = Rα µνα, e o escalar de curvatura por R = gµνRµν , onde gµν é o tensor métrico. Aqui κ2 = 32πG, onde G é a contstante de Newton, e α′, β′, γ′, etc. , são parâmetros apropriados. A assim chamada teoria de gravitação mı́nima (relatividade geral) consiste em se consid- erar apenas o primeiro termo da ação precedente, o que não implica que exista algum prinćıpio conhecido que permita excluir potências mais elevadas de R. Assim sendo, concentremos nossa atenção na teoria de gravitação R + R2, que é definida pela ação [3] S = ∫ √ −gd4x [ 2R κ2 + α 2 R2 ] , onde α é um parâmetro adimensional. Como a quantidade R envolve derivadas segundas at- uando sobre a métrica e numa dada interação cada derivada torna-se um fator do momento transferido k, ou da escala do inverso da distância k ∼ 1 r , podemos dizer que R é da ordem de k2 ( 1 r2 ) , enquanto que R2 é da ordem de k4 ( 1 r4 ) . Portanto, para energias suficientemente Introdução 10 pequenas, ou para distâncias muito grandes, os termos quadráticos são negligenciáveis, e a teo- ria R + R2 reduz-se à teoria mı́nima. Podemos argumentar então que para valores pequenos da energia E da radiação incidente (E ∼ 0) as medidas da deflexão gravitacional solar devem estar em excelente concordância com a relatividade geral. De fato, na medida da deflexão grav- itacional solar utilizando ondas de rádio (E ∼ 1cm−1), Fomalont e Sramek [1] encontraram um valor de 1, 761 ± 0, 016 segundos de arco para a deflexão nas periferias do Sol (a predição da relatividade geral é 1, 75′′ ). Como consequência, devemos esperar uma contribuição não negli- genciável do termo quadrático para a deflexão gravitacional solar da luz estelar (E ∼ 105cm−1). É importante observar que o valor médio obtido para a deflexão gravitacional solar baseado em todas as expedições realizadas durante os eclipses até hoje é 2, 04′′. Nossa motivação neste trabalho é analisar, na base da teoria R + R2, a questão da deflexão de fótons pelo Sol, utilizando uma aproximação semiclássica. No Caṕıtulo 1 calculamos o potencial efetivo não relativ́ıstico, no contexto da gravitação R + R2, que descreve a interação gravitacional de dois bósons massivos idênticos de spin zero. Utilizando este resultado mostramos que esta teoria só admite limite newtoniano se o modo massivo nela presente for não-taquiônico. No Caṕıtulo 2 determinamos o campo gravitacional do Sol, tratado como campo fraco, no contexto da teoria R + R2. Mostramos no Caṕıtulo 3 que o ângulo de deflexão de um fóton que passa próximo ao Sol, coincide com aquele previsto pela teoria de Einstein. Reservamos o Eṕılogo para explicar a razão das duas teorias levarem ao mesmo resultado para a deflexão gravitacional solar. Caṕıtulo 1 O POTENCIAL EFETIVO NÃO-RELATIVÍSTICO PARA A GRAVITAÇÃO R + R2 1.1 Introdução Uma das mais simples e duradouras idéias para extender a relatividade geral é incluir na ação gravitacional termos envolvendo potências mais altas do tensor de curvatura. Se incluirmos apenas um termo proporcional a R2, a ação resultante toma a forma da eq.(A.2) S = ∫ d4x √ −g [ 2R κ2 + α 2 R2 ] , (1.1) onde α é um parâmetro adimensional e κ2 tem dimensão L2. Evidentemente, o termo quadrático representa uma correção à teoria de Einstein, não importando quão pequena ela possa ser. Isto suscita uma interessante questão: qual a predição da gravitação R+R2 para o desvio de um fóton passando nas proximidades do Sol? Obviamente, a resposta a esta questão não pode ser encontrada no âmbito clássico, pois isto exigiria que encontrassemos a solução estática e esfericamente simétrica das equações de campo da teoria da gravitação R + R2 − uma tarefa completamente imposśıvel na prática! O caminho a seguir, no contexto desta teoria, para obter a deflexão de um fóton pelo 11 1. O Potencial Efetivo 12 Sol, é usar um tratamento semiclássico. O campo gravitacional do Sol, um objeto clássico, deve ser tratado como um campo externo que interage com uma part́ıcula quântica, o fóton. Sendo assim, devemos começar obtendo o potencial efetivo não-relativ́ıstico para a gravitação R+R2. Obter este potencial é o objetivo deste caṕıtulo. 1.2 A Interação Gravitacional O potencial efetivo não-relativ́ıstico para a interação de dois bósons massivos e idênticos de spin zero (veja Fig. 1) é dado por U (~r) = 1 4m2 1 (2π)3 ∫ d3~kFN.R.e −i~k·~r , (1.2) com FN.R. = iMN.R. , onde MN.R. é o limite não-relativ́ıstico da amplitude de Feynman para o processo representado na figura 1. 1. O Potencial Efetivo 13 A densidade lagrangeana para a interação da gravitação com um campo escalar massivo livre φ, é Lint = √ −g 1 2 ( gµν∂µφ∂νφ−m2φ2 ) . (1.3) As flutuações quânticas do campo gravitacional podem ser expandidas em torno de uma métrica de fundo, que em nosso caso (aproximação de campo fraco) é o espaço-tempo plano gµν = ηµν + κhµν ηµν = diag(1,−1,−1,−1) . Usando as expansões para √ −g e gµν obtidas no Apêndice [eqs. (A.4) e (A.6)], obtemos Lint = ( 1 + 1 2 κh− · · · ) 1 2 [ (ηµν − κhµν + · · ·) ∂µφ∂νφ−m2φ2 ] = −κ 2 hµν [ ∂µφ∂νφ− 1 2 ηµν ( ∂αφ∂αφ−m2φ2 )] , (1.4) 1. O Potencial Efetivo 14 onde desprezamos os termos de ordem igual ou superior a κ2 e omitimos a densidade lagrangeana para o campo escalar livre. Da expressão precedente, as regras de Feynman para o vértice elementar mostrado na Fig. 2 podem ser deduzidas facilmente. O vértice de interação é dado, portanto, por Vµν(p, p ′) = i 2 κ [ pµp ′ ν + pνp ′ µ − ηµν ( p · p′ + m2 )] . (1.5) No espaço dos momentos, o propagador livre da gravitação R + R2, no gauge de de Donder (gauge harmônico), é (veja a eq. (A.26) do Apêndice) ∆F µν,λθ(k) = i 2k2 { − [ −2 + 2αk2κ2 −2 + 3αk2κ2 ] ηµνηλθ + (ηµληνθ + ηνληµθ) + + −2ακ2 2− 3k2κ2α [ ηµνkλkθ + ηλθkµkν + 2 k2 kµkνkλkθ ]} . (1.6) A amplitude de Feynman para o processo mostrado na Fig. 1 é dada por M = Vµν (p,−p′) ∆µν,λθ (k) Vλθ (q,−q′) . (1.7) Uma observação bastante útil e que nos faz poupar bastante trabalho na obtenção da amplitude de Feynman é notarmos que na eq. (1.4) Lint = −κ 2 hµνTµν , o tensor momento-energia Tµν do campo escalar massivo φ [4] se conserva, ou seja, ∂νT µν = 0. Transcrevendo isto para o espaço de momentos, temos T µνkν = 0. Isto significa que todos os termos do propagador livre da gravitação R + R2 proporcionais a kν não contribuirão para o cálculo da amplitude de Feynman. Feita esta observação, obtemos1 1Onde V (p,−p′) = ηµνVµν (p,−p′) = iκ ( p · p′ − 2m2 ) e V µν (p,−p′) Vµν (q,−q′) = −κ2 4 [(p · q) (p′ · q′) + (p · q′) (p′ · q)+ +p · p′ (m2 − q · q′)+ q · q′ (m2 − p · p′)+ 2 ( m2 − p · p′) (m2 − q · q′)] . 1. O Potencial Efetivo 15 M = iVµν (p,−p′) A [ Bηµνηλθ + ηµληνθ + ηνληµθ ] Vλθ (q,−q′) = iA [BV (p,−p′) V (q,−q′) + 2V µν (p,−p′) Vµν (q,−q′)] = iκ2A [ B ( p · p′ − 2m2 ) ( q · q′ − 2m2 ) + (p · q) (p′ · q′) + (p · q′) (p′ · q) + + (p · p′) ( m2 − q · q′ ) + (q · q′) ( m2 − p · p′ ) + 2 ( m2 − p · p′ ) ( m2 − q · q′ )] , (1.8) onde A ≡ 1 2k2 , B ≡ [ 2− 2αk2κ2 2− 3αk2κ2 ] . 1.3 A Amplitude M no Limite Não-Relativ́ıstico No limite não-relativ́ıstico temos que p2 = p2 0 − |~p|2 ' E2 = m2. Logo p2 = p′2 = q2 = q′2 = m2. Assim a amplitude de Feynmam dada pela eq. (1.8) se reduz a MN.R. = −iκ2Am4 (B + 2) , (1.9) onde, evidentemente, A e B também são tomados no limite não-relativ́ıstico;2 ou seja, A = − 1 2|~k|2 , B = − 2− 2α|~k|2κ2 2− 3α|~k|2κ2  . A expressão (1.9) pode ser escrita como MN.R. = −iκ2m4  ( 1 + ακ2|~k|2 ) ( 3ακ2|~k|2 + 2 ) |~k|2 − 1 |~k2|  = iκ2m4 |~k|2 1 + 2ακ2|~k|2 2 + 3ακ2|~k|2  . (1.10) 2Com k2 = k2 0 − |~k|2 ' −|~k|2. 1. O Potencial Efetivo 16 1.4 Cálculo do Potencial Efetivo Substituindo (1.10) em (1.2) obtemos U (~r) = − κ2m2 4(2π)3 ∫ d3~k e−i~k·~r |~k|2 1 + 2ακ2|~k|2 2 + 3ακ2|~k|2  . (1.11) A realização desta integral é que nos dará a expressão final para o potencial efetivo não-relativ́ıstico da teoria de gravitação R + R2. Com d3~k = |~k|2d|~k|senθdθdϕ (Vide Fig. 3), obtemos após integrar nos ângulos U (~r) = − κ2m2 2 (2π)2 ∫ ∞ 0 d|~k| sen(|~k| |~r|) |~k| |~r| 1 + 2ακ2|~k|2 2 + 3ακ2|~k|2  . Fazendo a mudança de variável |~k| = x/r, escrevemos U (~r) = − ( κm 4π )2 ∫ ∞ −∞ dxsenx rx 1 + 2ακ2 x2 r2 2 + 3ακ2 x2 r2  . A expressão anterior pode ser reescrita como U (~r) = −2 3 ( κm 4π )2 ∫ ∞ −∞ dxsenx rx [ x2 + 3 4 R2 x2 + R2 ] , 1. O Potencial Efetivo 17 onde R2 = 2 3 r2 ακ2 . Segue-se, que, U (~r) = − 1 6r ( κ2m 4π )2 [3π + I] , onde I ≡ ∫ ∞ −∞ dx xsenx x2 + M2 0 r2 , (1.12) e M2 0 ≡ 2 3ακ2 . Do ponto de vista matemático a integral (1.12) só faz sentido se α é positivo (M2 0 > 0), o que corresponde à ausencia de táquions no campo dinâmico. Supondo que α > 0, a integral em 1. O Potencial Efetivo 18 questão pode ser facilmente avaliada utilizando-se o contôrno de integração da Fig. 4. Usando o teorema dos reśıduos, obtemos imediatamente que I = πe−M0r. Logo, U (~r) = −κ2m2 32πr [ 1 + 1 3 e−M0r ] . (1.13) Lembrando que κ2 = 32πG, (1.13) pode ser escrita como U (~r) = −m2G [ 1 r + 1 3 e−M0r r ] . (1.14) O potecial efetivo não-relativ́ıstico é obtido de (1.14), que representa a energia poten- cial gravitacional, por meio da relação V (~r) = U (~r) m . Segue-se que o potencial efetivo não- relativistico relacionado à teoria de gravitação R + R2 é dado por V (~r) = Gm [ −1 r − 1 3 e−M0r r ] . (1.15) A eq. (1.15) fornece um limite newtoniano aceitável, no sentido que só existe uma exponencial decrescente e nenhum termo 1 r oscilatório no infinito. Note que isto é verdade somente na hipótese de α ser positivo (M2 0 > 0), o que implica no modo massivo da teoria ser não-taquiônico. Portanto, a teoria R+R2 admite limite newtoniano se e somente se o seu modo massivo for não taquiônico. Caṕıtulo 2 O CAMPO GRAVITACIONAL DO SOL NA APROXIMAÇÃO DE CAMPO FRACO E NO CONTEXTO DA TEORIA R + R2 2.1 Introdução No Caṕıtulo precedente mostramos que a teoria R +R2 só admite limite newtoniano se o seu modo massivo for não-taquiônico. Vamos supor então que esta teoria seja não-taquiônica, ou seja, que α > 0 (M0 > 0), e computar o campo gravitacional do Sol na aproximação de campo fraco. A ação para a teoria de gravitação R + R2 pode ser escrita como S = ∫ d4x √ −g [ 2R κ2 + α 2 R2 + Lm ] , (2.1) onde Lm é a densidade lagrangeana da matéria. As equações para o campo gravitacional são obtidas do prinćıpio da mı́nima ação , ou seja, δS = 0. Variando S em relação a gµν , obtemos[5] 2 κ2 Gµν + α 2 [ −1 2 R2gµν + 2RRµν + 2∇µ∇νR− 2gµν2R ] + 1 2 Tµν = 0 , (2.2) 19 2. O Campo Gravitacional do Sol 20 onde o tensor de energia-momento da matéria é definido por ∫ d4xδ (√ −gLm ) = ∫ d4x √ −g Tµν 2 δgµν . Na aproximação de campo fraco e no gauge de de Donder, as equações para o campo gravitacional tomam a forma 2 κ2 2γµν + α 2 2 (∂µ∂ν − ηµν2) h + 1 κ Tµν = 0 , (2.3) onde γµν ≡ hµν − 1 2 ηµνh . (2.4) Tomando o traço de (2.3), obtemos: 2 ( 2 κ2 + 3α2 ) h = T κ . (2.5) Estamos agora aptos a determinar o campo gravitacional do Sol na aproximação de campo fraco e no contexto da teoria R + R2. 2.2 O Campo gravitacional do Sol Imaginemos o Sol como sendo uma part́ıcula pontual de massa M, fixa na origem de coordenadas (Tµν = Mδ0 µδ 0 νδ 3 (~r)). 2.2.1 Cálculo de h (~r) De (2.5), chegamos à equação 2. O Campo Gravitacional do Sol 21 ∇2 [ − 2 κ2 + 3α∇2 ] h (~r) = M κ δ3 (~r) , que pode ser reescrita como ( 1− 3ακ2 2 ∇2 ) ∇2h (~r) = −κ 2 Mδ3 (~r) . (2.6) Como estamos supondo que a teoria seja não-taquiônica, ou seja, que α > 0, que é a mesma coisa que admitir que M2 0 ≡ 2 3ακ2 > 0, podemos escrever (2.6) como se segue ( 1− 1 M2 0 ∇2 ) ∇2h (~r) = −κ 2 Mδ3 (~r) . (2.7) Esta equação encontra-se resolvida em detalhe em [6], sendo sua solução dada por h (~r) = κM 8π 1− e−M0r r . (2.8) 2.2.2 Cálculo de h00 (~r) De (2.3), segue-se, que, ∇2 [ 2 κ2 γ00 + α∇2h ] = M κ δ3 (~r) . (2.9) A equação anterior pode ser escrita como ∇2f (~r) = M κ δ3 (~r) , (2.10) onde f (~r) ≡ 2 κ2 γ00 + α∇2h . 2. O Campo Gravitacional do Sol 22 A solução de (2.10) é f (~r) = − M 4πκr . Portanto, 2 κ2 γ00 + α∇2h = − M 4πκr . (2.11) Levando (2.8) em (2.11), obtemos: γ00 = Mκ 8πr [ 1− 1 3 e−M0r ] . (2.12) De (2.4) e (2.12), concluimos imediatamente que h00 (~r) = Mκ 16π [ −1 r − 1 3 e−M0r r ] . (2.13) É interessante notar que h00 (~r) = 2 κ V (~r) . (2.14) 2.2.3 Cálculo de hij(~r) Usando (2.3) podemos escrever ∇2 [ 2 κ2 γij + α ( ∂i∂j − δij∇2 ) h ] = 0 . (2.15) Logo γij = ακ2 2 ( ∂i∂j − δij∇2 ) h . (2.16) Porém h = h (r), mas r = r (xi), ou seja 2. O Campo Gravitacional do Sol 23 r = [ 3∑ i=1 ( xi )2 ]1/2 . Portanto ∂r ∂xj = 1 2 [ 3∑ i=1 ( xi )2 ]−1/2 3∑ i=1 ∂ (xi) 2 ∂xj = 1 2 1 r 2xi 3∑ i=1 ∂xi ∂xj = xi r 3∑ i=1 δij = xj r , ∂jh = ∂ ∂xj h = ∂r ∂xj ∂h ∂r = xj r ∂h ∂r , ∂i∂jh = ∂xj ∂xi ( 1 r ∂h ∂r ) + xj ∂r ∂xi ∂ ∂r ( 1 r ∂h ∂r ) = δij ( 1 r ∂h ∂r ) + xixj r ∂ ∂r ( 1 r ∂h ∂r ) . Assim (2.16) pode ser escrita como γij = − 1 3M2 0 [ δij ( 1 r ∂h ∂r ) + xixj r ∂ ∂r ( 1 r ∂h ∂r ) − δij 1 r2 ∂ ∂r ( r2∂h ∂r )] = 1 3M2 0 r ( δij + xixj r2 ) ∂h ∂r + 1 3M2 0 ( δij − xixj r2 ) ∂2h ∂r2 . (2.17) Com h (~r) dado pela expressão (2.8) temos: ∂h ∂r = κM 8π [ − 1 r2 + 1 r2 e−M0r + M0 r e−M0r ] , ∂2h ∂r2 = κM 8π [ 2 r3 − 2 r3 e−M0r − 2M0 r2 e−M0r − M2 0 r e−M0r ] . Com estes resultados (2.17) se escreve: γij = −4GM κb2 { δij 3 [ − 1 r3 ( 1− e−M0r ) + M0 r2 e−M0r + M2 0 r e−M0r ] + xixj r2 [ 1 r3 ( 1− e−M0r ) − M0 r2 e−M0r − M2 0 3r e−M0r ]} . (2.18) 2. O Campo Gravitacional do Sol 24 Logo, hij = γij − 4GM κM2 0 δij 3 [ 3M2 0 2r ( 1− e−M0r )] = −4GM κM2 0 { δij 3 [ − 1 r3 ( 1− e−M0r ) + M0 r2 e−M0r + M2 0 r e−M0r + 3M2 0 2r ( 1− e−M0r )] + xixj r2 [ 1 r3 ( 1− e−M0r ) − M0 r2 e−M0r − M0 3r e−M0r ]} . (2.19) 2.2.4 Cálculo de hi0 (~r) De (2.3) vem que ∇2γi0 = 0 . Portanto, γi0 = 0 . Como γi0 = hi0, concluimos que hi0 (~r) = 0. 2.2.5 Resumo Definindo Γ(r) ≡ 1 3r3 ( 1− e−M0r ) − M0 3r2 e−M0r − M2 0 3r e−M0r − M2 0 2r ( 1− e−M0r ) , Λ(r) ≡ − 1 r3 ( 1− e−M0r ) + M0 r2 e−M0r + M2 0 3r e−M0r , (2.20) podemos escrever as componentes de hµν (~r) como se segue 2. O Campo Gravitacional do Sol 25 hµν(~r) = κM 8πM2 0  −M2 0 2r ( 1 + 1 3 e−M0r ) 0 0 0 0 Γ(r) + x2 r2 Λ(r) xy r2 Λ(r) xz r2 Λ(r) 0 yx r2 Λ(r) Γ(r) + y2 r2 Λ(r) yz r2 Λ(r) 0 zx r2 Λ(r) zy r2 Λ(r) Γ(r) + z2 r2 Λ(r)  2.3 Cálculo de hµν ( ~k ) No próximo Caṕıtulo vamos calcular a deflexão de um fóton pelo campo gravitacional do Sol, tratado como campo externo. Como este cálculo envolve a transformada de Fourier do campo gravitacional, ou seja, hµν ( ~k ) = ∫ d3~re−i~k·~rhµν (~r) , vamos aproveitar esta seção para determinar hµν ( ~k ) . Algumas das integrais envolvidadas neste cálculo só existem como distribuições . Na tabela em anexo encontram-se listadas todas as integrais necessárias para o cálculo em questão . Utilizando a tabela mencionada, chegamos ao seguinte resultado hµν(~k) = −κM 4  1 k2 + 1 3 1 M2 0 + k2 0 0 0 0 1 k2 − 1 3 1 M2 0 + k2 0 0 0 0 1 k2 − 1 3 1 M2 0 + k2 0 0 0 0 1 k2 − 1 M2 0 + k2  com k ≡ |~k|. 2. O Campo Gravitacional do Sol 26 Integrais Envolvidas no Cálculo de hµν ( ~k ) 1. ∫ ∞ 0 e−M0rsenkrdr = k M2 0 + k2 2. ∫ ∞ 0 e−M0rsenkr r dr = arc tg k M0 3. ∫ ∞ 0 e−M0rsenkr r2 dr = k − b arc tg k M0 − k 2 ln ( M2 0 + k2 ) 4. ∫ ∞ 0 e−M0rsenkr r3 dr = 1 2 ( M2 0 − k2 ) arc tg k M0 − 3M0k 2 + M0k 2 ln ( M2 0 + k2 ) 5. ∫ ∞ 0 e−M0rsenkr r4 dr = −11k3 36 + 11M2 0 k 12 + M0 6 ( 3k2 −M2 0 ) arc tg k M0 + 1 12 ( k3 − 3M2 0 k ) ln ( M2 0 + k2 ) 6. ∫ ∞ 0 e−M0rcoskrdr = M0 M2 0 + k2 7. ∫ ∞ 0 e−M0rcoskr r dr = −1 2 ln ( M2 0 + k2 ) 8. ∫ ∞ 0 e−M0rcoskr r2 dr = −k arc tg k M0 + M0 2 ln ( M2 0 + k2 ) −M0 9. ∫ ∞ 0 e−M0rcoskr r3 dr = −3k2 4 + M0k arc tg k M0 + 1 4 ( k2 −M2 0 ) ln ( M2 0 + k2 ) + 3M2 0 4 10. ∫ ∞ 0 senkrdr = 1 k 11. ∫ ∞ 0 senkr r2 dr = k (1− lnk) 12. ∫ ∞ 0 senkr r4 dr = −11k3 36 + k3 6 lnk 13. ∫ ∞ 0 coskr r3 dr = k2 4 (−3 + 2lnk) Caṕıtulo 3 DEFLEXÃO GRAVITACIONAL DE FÓTONS NO CONTEXTO DA TEORIA R + R2 3.1 Introdução Vamos agora analisar o espalhamento de um fóton pelo campo gravitacional do Sol, tratado como um campo externo. A função lagrangeana para a interação do campo eletromagnético com o campo grav- itacional é L = − √ −ggµαgνβFαβFµν 4 , (3.1) onde Fµν = Aµ,ν − Aν,µ . Segue-se que a lagrangeana para a interação fóton-gráviton é dada por LI = −κ 8 [ hηµαηνβ − 4hµαηνβ ] FµνFαβ , (3.2) e o vértice correspondente por (vide Fig. 5) 27 3. Deflexão Gravitacional da Luz 28 Vµ,ν,λθ (p1, p2) = −i κ 2 [ηλθp1νp2µ − ηλθp1 · p2ηµν + ηµνp1θp2λ − ηνλp1θp2µ− − ηµθp1νp2λ + ηµθηνλp1 · p2 + ηµνp1λp2θ− − ηνθp1λp2µ − ηµλp1νp2θ + ηµληνθp1 · p2] . (3.3) No caso do campo gravitacional ser tratado como campo externo, o vértice é dado por (vide Fig. 6) Vµν (p, p′) = Vµ,ν,λθ (p,−p′) hλθ ext (k) = i κ 2 hλθ ext [ ηλθpνp ′ µ − ηλθηµνp · p′+ +2 ( ηµνpλp ′ θ − ηνθpλp ′ µ − ηµλpνp ′ θ + ηµληνθp · p′ )] . (3.4) 3. Deflexão Gravitacional da Luz 29 Passemos, então , ao cálculo da seção de choque para o espalhamento de fótons pelo campo gravitacional externo. 3.2 Seção de Choque para o Espalhamento de Fótons pelo Campo Gravitacional do Sol A amplitude de Feynmam para o processo mostrado na Fig. 6 com o campo estático obtido na Seção 2.3 é da forma Mrr′ = Mµνε µ r (~p) εν r′ (~p′) , (3.5) onde Mµν = i κ 2 hλθ ext ( ~k ) [ ηλθpνp ′ µ − ηλθηµνp · p′+ + 2 ( ηµνpλp ′ θ − ηνθpλp ′ µ − ηµλpνp ′ θ + ηµληνθp · p′ )] , (3.6) e εµ r (~p) e εν r′ (~p ′) são os vetores de polarização relativos aos fótons incidentes e espalhados, respectivamente. 3. Deflexão Gravitacional da Luz 30 A seção de choque não polarizada é proporcional a X = 1 2 2∑ r=1 2∑ r′=1 |Mrr′|2 , (3.7) onde estamos tomando a média sobre as polarizações iniciais e somando sobre as polarizações finais. Usando algumas propriedades bem conhecidas dos vetores de polarização [7], obtemos de pronto de (3.7) X = 1 2 MµνM∗ µν . Assim1 X = = κ2 8 [ 4 (p · p′)2 hµνh µν − 2h2 (p · p′)2 + 2 ( 4p · p′hhλθp λp′θ− − 8hθρh ρ λp λp′θp · p′ + 4hλθhρµp λpθp′ρp′µ )] . (3.8) A seção de choque não-polarizada para o processo em questão pode ser obtida da expressão [8] dσ dΩ = 1 4 X (2π)2 . Como M2 0 + |~k|2 ≈ M2 0 , podemos reescrever as componentes de hµν ( ~k ) encontradas na Seção 2.3 como h00 ( ~k ) = −κM 4 [ 1 k2 + 1 3 1 M2 0 ] , h11 ( ~k ) = h22 ( ~k ) = −κM 4 [ 1 k2 − 1 3 1 M2 0 ] , h33 ( ~k ) = −κM 4 [ 1 k2 − 1 M2 0 ] . 1Daqui em diante vamos denotar a transformada de Fourier do campo gravitacional externo (hext µν (~k)) sim- plesmente por hµν , a fim de facilitar a notação. 3. Deflexão Gravitacional da Luz 31 Logo X = κ2 8 { (p · p′)2 ( 4hµνh µν − 2h2 ) + 4k2 [ E2h00 (h− 2h00) + ( E2 − k2 4 ) h11 (h + 2h11) ] + + 8 [ E4 (h00 + h11) 2 + E2k2 2 (h33 − h11) (h00 + h11) ]} = κ4M2 32 [ 1 2 − 4 E2 k2 + 8 E4 k4 ] = κ4M2 32 [ k4 − 8E2k2 + 16E4 2k4 ] , (3.9) onde E é a energia do fóton incidente. Levando em conta que ~k = ~p ′ − ~p −→ ~k2 = 2|~p|2 − 2|~p|2cosθ = 2|~p|2 (1− cosθ) = 2E2 (1− cosθ) (3.10) obtemos X = κ4M2 32 [ 4E4 (1− cosθ)2 − 16E4 (1− cosθ) + 16E4 2k4 ] = κ4M2 16 E4 k4 (1 + cosθ)2 . (3.11) A seção de choque não polarizada para o espalhamento de fótons pelo campo gravita- cional do Sol é então dada por dσ dΩ = κ4M2 64 (2π)2 E4 k4 (1 + cosθ)2 = κ4m2 64 (2π)2 E4 (1 + cosθ)2 4E4 (1− cosθ)2 = κ4M2 256 (2π)2 ( 1 + cosθ 1− cosθ )2 (3.12) = κ4M2 256 (2π)2 cotg4 θ 2 . (3.13) 3. Deflexão Gravitacional da Luz 32 3.3 Previsão da Teoria R + R2 para a Deflexão Gravita- cional Solar Para θ pequeno, dσ dΩ = 16G2M2 θ4 . (3.14) Por outro lado [9], dσ dΩ = ∣∣∣∣∣ rdr senθdθ ∣∣∣∣∣ . (3.15) Para pequenos valores de θ, esta expressão se reduz a dσ dΩ = ∣∣∣∣∣rdr θdθ ∣∣∣∣∣ . (3.16) Combinando (3.14) e (3.16) resulta r2 = 16G2M2 θ2 . (3.17) Podemos concluir então que a deflexão sofrida por um fóton ao passar nas vizinhanças da superf́ıcie do Sol, no contexto da teoria R + R2, é dada por θ = 4GM r = 1, 75′′ . (3.18) Este valor é exatamente o mesmo que se obtem utilizando a teoria de Einstein. Em outras palavras, o termo quadrático em R não contribui para a deflexão gravitacional solar. Qual a origem deste paradoxo? Será ele apenas uma caracteristica da teoria R + R2? Discutiremos estas questões no próximo Caṕıtulo (Eṕılogo). EPÍLOGO Iniciamos este trabalho conjeturando que o termo quadrático da teoria R+R2 deveria apresentar uma contribuição não negligenciável para a deflexão gravitacional solar da luz estelar (E ∼ 105cm−1). Um cálculo cuidadoso, a ńıvel de árvore, mostrou, no entanto, que se a teoria R+R2 for não-taquiônica, o ângulo de deflexão de um fóton que passa próximo ao Sol, coincide com aquele previsto pela teoria de Einstein. Em outras palavras, a contribuição do termo quadrático para a deflexão gravitacional solar é nula. Como explicar este resultado inesperado? Para respondermos a esta indagação , comecemos notando que a ńıvel de árvore − visto que hµν ( ~k ) = h(E) µν ( ~k ) + h(R2) µν ( ~k ) , onde h(R2) µν ( ~k ) = κM 12M2 0 [ −ηµν + 2δ 3 µ δ 3 ν ] , h(E) µν ( ~k ) = ∫ d3~re−i~k·~rh(E) µν (~r) , e h(E) µν (~r) é solução das equações linearizadas de Einstein suplementadas pela condição de coor- denada harmônica usual ( γ(E) ,ν µν = 0, γ(E) µν ≡ h(E) µν − 1 2 h(E)ηµν ) - a amplitude de Feynman pode ser reescrita como Mµν = M(E) µν +M(R2) µν , 33 Eṕılogo 34 sendo M(R2) µν ≡ iκ 2 [ κM 12M2 0 ( −ηλρ + 2δ λ 3 δ ρ 3 )] [−ηµνηλρp · p′ + ηλρpνp ′ µ + 2 ( ηµνpλp ′ ρ − ηνρpλp ′ µ − ηµλpνp ′ ρ + ηµληνρp · p′ )] . Por outro lado, mostra-se trivialmente que M(R2) µν ≡ 0. Portanto, Mµν = M(E) µν , o que claramente explica o porquê das duas teorias levarem precisamente ao mesmo resultado para a deflexão gravitacional solar. A ńıvel clássico, por sua vez, a equação de campo da teoria R + R2, na aproximação de campo fraco, e no gauge Aµ ≡ −γ ,α µα + ακ2 2 R,µ = 0, onde γµν ≡ hµν − 1 2 ηµνh, se reduz a 2hµν − 1 3 Rηµν = κ [ Tηµν 6 − Tµν 2 ] onde R = 1 2 2h− γ ,µν µν , e os ı́ndices são levantados (abaixados) com o tensor ηµν(ηµν). É fácil mostrar que neste gauge o campo gravitacional do Sol é dado por hµν (~r) = h(E) µν (~r) + φ (~r) ηµν , onde φ (~r) ≡ −Mκ 48π e−M0r r . Como consequência, a métrica toma a forma gµν = [ h(E) µν + φηµν ] κ + ηµν = g(E) µν + κφηµν = (1 + κφ) g(E) µν , Eṕılogo 35 onde o produto de h(E) µν por φ foi negligenciado. Podemos então concluir que[10] Teorema. Na ausência de táquions (α > 0) e supondo que 1 + κφ > 0 (esta condição é necessária para que a transformação conforme não inverta a assinatura da métrica), a teoria de gravitação linearizada R+R2 é conformemente relacionada à teoria linearizada de Einstein. Como as duas teorias estão relacionadas por um mapeamento conforme e sob um tal mapeamento ângulos são preservados, chegamos a conclusão que o ângulo de deflexão fornecido pela teoria R + R2 é o mesmo que aquele dado pela teoria de Einstein. Para concluir, seria interessante especular como seria a deflexão gravitacional solar, se in- clúıssemos o próximo termo quadrático na ação gravitacional. Neste caso teriamos que repetir os cálculos realizados neste trabalho, usando a ação S = ∫ d4x √ −g [ 2R κ + α 2 R2 + β 2 RµνR µν ] . Evidentemente, o termo quadrático em R não vai contribuir. Pode-se mostrar que na ausência de táquions a deflexão gravitacional solar, ao contrário da teoria de Einstein, depende da energia da radiação incidente [11, 12]; o que, conforme hav́ıamos sugerido, explica a razão da teoria de Einstein estar em tão boa concordância com os resultados experimentais obtidos usando-se ondas de rádio (E ∼ 1cm−1). A teoria de gravitação de ordem superior, por sua vez, fornece um valor para o ângulo de desvio da luz estelar (E ∼ 105cm−1) próximo de 2, 04′′, que é o valor que se obtem tomando-se a média dos valores encontrados nos eclipses solares. Apesar da teoria de gravitação com derivadas de ordem mais alta ser uma “teoria assombrada”, com “ghosts” e “poltergeists”, é importante lembrar que esta é a única teoria de gravitação que se sabe ser renormalizável [13]; sendo, além disso, uma extensão natural da teoria da relatividade geral de Einstein. Apêndice A QUANTIZAÇÃO NA APROXI- MAÇÃO DE CAMPO FRACO A.1 Introdução A validade do prinćıpio da equivalência, que expressa a igualdade entre massa inercial e massa gravitacional e que também pode ser entendido como a afirmação de que todas as part́ıculas submetidas à mesma condição inicial, “caem” da mesma forma no campo gravita- cional, isto é, seguem as mesmas trajetórias, permite-nos supor que a gravitação seria apenas um efeito do espaço-tempo, no qual as part́ıculas se deslocam. Assim a métrica plana de Minkowski (Relatividade Restrita), ηµν , poderia ser generalizada para uma métrica mais geral, gµν , na forma: gµν = gµν ( x0, x1, x2, x3 ) . E esta generalização , feita por Einstein em 1916 na sua teoria da relatividade geral, leva-nos a seguinte forma para a ação S = 2 κ2 ∫ d4x √ −gR , (A.1) onde R é o escalar de curvatura, a contração do Tensor de Ricci, e κ é uma constante com dimensão de comprimento. 36 A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 37 A teoria de gravitação R + R2, com a qual trabalhamos é uma extensão natural da relatividade geral e se faz incluindo um termo quadrático em R, na ação de Einstein, ou seja, S = ∫ d4x √ −g [ 2R κ2 + α 2 R2 ] , (A.2) onde α é um parâmetro adimensional. Como já discutimos anteriormente, para o efeito que desejamos obter, o caminho a seguir é utilizar um tratamento semiclássico. Para isso, trabalhamos na aproximação de campo fraco onde expandimos gµν em torno de uma métrica de fundo ηµν , que é a métrica do espaço-tempo plano de Minkowski (ηµν = diag(1,−1,−1,−1)). Assim, gµν = ηµν + κhµν = ηµα (δα ν + κhα ν) . (A.3) É fundamental para o prosseguimento deste trabalho obter expressões para quantidades tais como gµν e √ −g em termos do novo campo hµν introduzido na aproximação de campo fraco, ou aproximação linear. Estas expressões, expansões em torno da métrica plana de fundo ηµν devido a perturbação causada pelo campo hµν , são obtidas na seção que se segue. A.2 Expressoẽs Úteis na Aproximação de Campo Fraco A.2.1 A expansão de gµν Nos será de muita valia obtermos uma expressão para gµν na aproximação de campo fraco. Utilizando a propriedade do cálculo matricial que diz que se uma matriz tem inversa, a inversa é única, escrevemos gµν ≡ [gµν ] −1 = ηµν + aκhµν + bκ2hµαhν α + O ( κ3 ) . Logo, gµνg νθ = δ θ µ = (ηµν + κhµν) ( ηνθ + aκhνθ + bκ2hναhθ α + ... ) A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 38 = δ θ µ + aκh θ µ + bκ2h α µ hθ α + κh θ µ + aκ2hµνh νθ + ... = δ θ µ + κ ( ah θ µ + h θ µ ) + κ2 ( bh α µ hθ α + ahµνh νθ ) + ... Para que a igualdade seja satisfeita, temos que ter a = −1, b = 1 e todos os outros coeficientes da expansão nulos. Portanto, obtemos gµν = ηµν − κhµν + κ2hµαhν α + O ( κ3 ) . (A.4) A.2.2 A expansão de (−g)1/2 Também nos será de grande utilidade obter uma expressão para √ −g na aproximação de campo fraco. Usando a relação det A = exp {Tr [ln A]} , (A.5) obtemos √ −g = exp 1 2 Tr ln (−gµν) = exp 1 2 Tr ln [(−ηµα) (δα ν + κhα ν)] = exp 1 2 Tr ln (−ηµα) exp 1 2 Tr ln (δα ν + κhα ν) = √ −η exp 1 2 Tr ( κhα ν − κ2 2 hβ νh α β + · · · ) = exp ( κh 2 − κ2 4 hµνh µν + · · · ) = 1 + ( κh 2 − κ2 4 hµνh µν + · · · ) + 1 2 ( hκ 2 − κ2 4 hµνh µν + · · · )2 + · · · Logo, √ −g = 1 + hκ 2 − κ2 4 hµνh µν + κ2h2 8 + O ( κ3 ) . (A.6) A.3 A Ação Escrita em Termos do Campo hµν A ação da teoria de gravitação R + R2 é, conforme a eq. (A.1), escrita em termos do escalar de curvatura R = gµνRµν , onde Rµν é o tensor de Ricci que, em termos dos śımbolos de Cristoffel, é dado por A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 39 Rµν = −Γα µν,α + Γα µα,ν − Γβ µνΓ α βα + Γβ µαΓα βν . (A.7) Os Γ’s (śımbolos de Cristoffel), escrevem-se em termos da métrica como, se segue: Γα µν = 1 2 gαθ [gµθ,ν + gνθ,µ − gµν,θ] . (A.8) Assim, todos os termos da ação S podem ser escritos em função do campo hµν presente na métrica de campo fraco [eq.(A.3)]. A.3.1 A forma Γ− Γ da ação de Einstein O primeiro termo da ação da gravitação quadrática R + R2 [eq. (A.1)] é justamente a ação de Einstein [eq. (A.1)]. Usando a definação de Γα µν acima [eq. (A.8)], a ação de Einstein fica S = 2 κ2 ∫ d4x √ −g R = 2 κ2 ∫ d4x √ −g gµν Rµν = 2 κ2 ∫ d4x √ −g gµν [ −Γα µν,α + Γα µα,ν − Γβ µνΓ α βα + Γβ µαΓα βν ] . (A.9) Nos dois primeiros termos de S comparecem derivadas segundas da métrica, enquanto que nos dois últimos, produtos das derivadas primeiras da métrica. A quantidade Hµν ≡ √ −g gµν , é uma densidade tensorial, e sua derivada é ∂α ( HµνΓα µν ) = Hµν ,αΓα µν + HµνΓα µν,α . A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 40 Segue-se que HµνΓα µν,α = −Hµν ,αΓα µν − ∂α ( HµνΓα µν ) , e a Ação de Einstein toma a forma S = 2 κ2 ∫ d4x { Hµν [ −Γβ µνΓ α βα + Γβ µαΓα βν ] + Hµν ,αΓα µν − −Hµν ,νΓ α µν + ∂α ( −HµνΓα µν + HµαΓν µν )} , onde o último termo vai a zero, pois é natural supor que hµν vá a zero no infinito. Com1 Hµν ;α = (√ −ggµν ) ;α ≡ 0 = Hµν ,α + Γµ βαHβν + Γν βαHµβ − Γβ βαHµν ≡ 0 , ou seja, Hµν ,α = HµνΓβ βα −HµβΓν βα −HνβΓµ βα , escrevemos S = 2 κ2 ∫ d4x { Hµν ( −Γβ µνΓ α βα + Γβ µαΓα βν ) + Hµν ,αΓα µν −Hµν ,νΓ α µα } = 2 κ2 ∫ d4x { −HµνΓβ µνΓ α βα + HµνΓβ µαΓα βν + ( HµνΓβ βα −HµβΓν βα− −HνβΓµ βα ) Γα µν − ( HµνΓβ βν −HµβΓν βν −HνβΓµ βν ) Γα µα } . Simplificando, encontramos a forma (Γ− Γ) da ação de Einstein S = 2 κ2 ∫ d4x { −HµνΓβ µαΓα βν + HνβΓµ βνΓ α µα } = 2 κ2 ∫ d4xHµν ( −Γβ µαΓα βν + Γβ µνΓ α βα ) = 2 κ2 ∫ d4x √ −ggµν ( −Γβ µαΓα βν + Γβ µνΓ α βα ) . (A.10) Esta equação contém somente produtos de derivadas primeiras da métrica. 1Onde “;” denota derivada covariante e “,” denota derivada comum. A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 41 A.3.2 A ação de Einstein em função do campo hµν Com os resultados das expansões para gµν [eq. (A.4)] e √ −g [eq. (A.6)] na aproximação de campo fraco, podemos escrever a ação S [eq. (A.10)] como função do campo de spin 2 hµν . Os Γ’s escritos em função da métrica de campo fraco são Γβ µν = 1 2 gβθ [gµθ,ν + gνθ,µ − gµν,θ] = 1 2 [ ηβθ − κhβθ + · · · ] κ [hµθ,ν + hνθ,µ − hµν,θ] = 1 2 κ [ h β µ ,ν + h β ν ,µ − h β µν, + O ( κ2 )] . Assim S = 1 2κ2 ∫ d4x ( 1 + 1 2 κh− · · · ) (ηµν − κhµν + · · ·) κ2 [ − ( h β µ ,α + h β α ,µ − h β µα, ) · · ( h α β ,ν + h α ν ,β − h α βν, ) + ( h β µ ,ν + h β ν ,µ − h β µν, ) ( h α β ,α + h α α ,β − h α βα, )] . Rearanjando os termos, fica, S = 1 2 ∫ d4x [ 2hνβ ,νh α β ,α + 2hνβ ,νh α α ,β − 2hνβ ,νh α βα, − hν β ν, h α α ,β+ +2hνβ ,αh α βν, + 2h β,ν α h α βν, − 2h β,ν α h α ν ,β − 2hνβ ,αh α ν ,β − h β,ν α h α β ,ν + · · · ] , ou seja, S = ∫ d4x [ −hνβ ,αh α ν ,β + hνβ ,νh,β + 1 2 ( hνα,βhνα,β − h,βh,β ) + · · · ] . (A.11) O integrando da eq. (A.11) é a lagrangeana de Einstein na aproximação de campo fraco, isto é, LE = −hνβ ,αh α ν ,β + hνβ ,νh,β + 1 2 ( hνα,βhνα,β − h,βh,β ) + · · · Vamos agora, a fim de facilitar o cálculo do propagador de Feynman que será feito na seção seguinte, escrever LE na forma hµν [operador]µν,αβ hαβ.Assim LE = −hνβ ,αh α ν ,β + hνβ ,νh,β + 1 2 ( hνα,βhνα,β − h,β h,β ) + ... A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 42 = hνβ∂α∂βh α ν − hνβ∂ν∂βhα α − 1 2 hνα∂β∂βhνα + 1 2 hν ν∂β∂βhα α + ... = ηµνhµβ∂α∂βhνα − hνβ∂ν∂βhα α − 1 2 ηµνηαβhµβ2hνα + 1 2 ηµνhµν2hβ β + ... = hµνη µβ∂α∂νhβα − hνα∂ν∂αhβ β − 1 2 hµνη µβηαν2hβα + 1 2 hµνη µνηαβ2hαβ + ... = hµν [ ηµα∂β∂ν − ηαβ∂µ∂ν − 1 2 ηµαηβν2 + 1 2 ηµνηαβ2 ] hαβ + · · · (A.12) A.4 O Propagador de Feynmam Para a Teoria de Gravi- tação R + R2 A.4.1 Introdução No formalismo da Teoria Quântica de Campos, o propagador de Feynmam é obtido, a partir da lagrangeana, por meio da seguinte relação LG = 1 2 hµνPµν,αβhαβ (A.13) onde o propagador de Feynman é simplesmente ∆F αβ,λθ ( ~k ) = iPαβ,λθ . (A.14) onde Pµν,αβPαβ,λθ = 1 2 (δµ λδ ν θ + δµ θδ ν λ) , (A.15) já que o produto do operador Pµν,αβ por seu inverso é o operador identidade. Sendo assim, precisamos colocar a lagrangeana da eq.(A.2) na forma (A.13). O primeiro termo da eq.(A.2) é exatamente a lagrangeana de Einstein que já está escrita em termos do campo hµν na eq.(A.12). Resta-nos então escrever o segundo termo de (A.2), aquele proporcional a R2, na aproximação de campo fraco. A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 43 A.4.2 O termo proporcional a R2 em função do campo hµν Como já hav́ıamos visto R = gµνRµν (A.16) Rµν = −Γα µν,α + Γα µα,ν − ΓΓ + ΓΓ , onde os produtos ΓΓ são da ordem de κ2 porque contém produtos das derivadas primeiras da métrica. Com Γα µν de acordo com a equação (A.11), o tensor de Ricci fica Rµν = 1 2 κ [ −h α µ ,να − h α ν ,µα + h α µν ,α + h α µ ,αν + h α α ,µν − h ,α µα ν ] + O ( κ2 ) = 1 2 κ [ −h α µ ,να − h α ν ,µα + 2hµν + h,µν ] + O ( κ2 ) ; (A.17) e sua contração, o escalar de curvatura, pode ser escrito como R = gµνRµν = [ηµν − κhµν ] 1 2 κ [ −h α µ ,να − h α ν ,µα + 2hµν + h,µν ] + · · · = 1 2 κ [ −2hµα ,µα + 22h ] + O ( κ2 ) = κ [ −hµα ,µα + 2h ] + O ( κ2 ) . (A.18) Desta forma R2 = κ2 [ −hµα ,µα + 2h ] [ −hνβ ,νβ + 2h ] + · · · = κ2 [ hµα ,µαhνβ ,νβ − 2hµα ,µα2h + 2h2h ] + · · · = κ2hµν [ ∂µ∂ν∂α∂β − 2ηαβ∂µ∂ν2 + ηµνηαβ22 ] hαβ + · · · (A.19) Assim, com os resultados das eqs. (A.12) e (A.19), podemos escrever a lagrangeana da teoria da gravitação R + R2 como L = √ −g [ 2R κ2 + α 2 R2 ] = 1 2 hµν { 2ηµα∂β∂ν − 2ηαβ∂µ∂ν − ηµαηβν2 + ηµνηαβ2+ + κ2α [ ∂µ∂ν∂α∂β − 2ηαβ∂µ∂ν2 + ηµνηαβ22 ]} hαβ + · · · (A.20) A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 44 A.4.3 A Lagrangeana de Fixação de Gauge A lagrangeana da teoria da gravitação R +R2 [eq. (A.20)] leva-nos a um operador que, no espaço de momentos, se escreve ηµαkβkν − ηαβkµkν + 1 2 ηµαηβνk2 − 1 2 ηµνηαβk2 + κ2α 2 [ kµkνkαkβ + 2ηαβkµkνk2 + ηµνηαβk4 ] e este operador não possue inverso. Para calcular o propagador de Feynman precisamos inverter este operador. A solução é adicionar um termo de fixação de gauge a esta lagrangeana, de modo que possamos invertê-la. Para fixar o gauge adicionamos a lagrangeana L da eq. (A.20), um termo de fixação de gauge, Lf.g., de modo que LG = L+ Lf.g. No gauge de de Donder (gauge harmônico), Lf.g. é Lf.g. = ( hµν ,ν − 1 2 h,µ )2 = ( hµν ,ν − 1 2 h,µ )( h ,α µα − 1 2 h,µ ) = hµν νh ,α µα − 1 2 hµν ,νh,µ − 1 2 h,µh ,α µα + 1 4 h,µh,µ = −hµν∂ν∂ αhµα + 1 2 hµν∂ν∂µh β β + 1 2 hν ν∂ µ∂αhµα − 1 4 hν ν∂ µ∂µh β β = −hα ν∂ ν∂βhαβ + 1 2 hµν∂ µ∂νηαβhαβ + 1 2 ηµνhµν∂ α∂βhαβ − 1 4 ηµνhµνη αβ2hαβ = 1 2 hµν [ −2ηαµ∂ν∂β + ηαβ∂µ∂ν + ηµν∂α∂β − 1 2 ηµνηαβ2 ] hαβ . (A.21) Assim, com L dado pela eq. (A.20) e Lf.g. pela eq. (A.21) acima, escrevemos LG = L+ Lf.g = 1 2 hµν [ 2ηµα∂β∂ν − 2ηαβ∂µ∂ν − ηµαηβν2 + ηµνηαβ2− 2ηαµ∂ν∂β + ηαβ∂µ∂ν+ + ηµν∂α∂β − 1 2 ηµνηαβ2 ] hαβ + κ2α 2 hµν [ ∂µ∂ν∂α∂β − 2ηαβ∂µ∂ν2 + ηµνηαβ22 ] hαβ = 1 2 hµν {[ −ηµαηνβ2 + 1 2 ηµνηαβ2 ] + κ2α [ ∂µ∂ν∂α∂β − 2ηαβ∂µ∂ν2 + ηµνηαβ22 ]} hαβ . A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 45 Para garantir a simetria da lagrangeana acima, nas trocas dos ı́ndices µ ↔ ν, α ↔ β e µν ↔ αβ escrevemos LG = 1 2 hµν {[ −ηµαηνβ − ηναηµβ + ηµνηαβ 2 ] 2 + κ2α [ ∂µ∂ν∂α∂β− − ( ηαβ∂µ∂ν + ηµν∂α∂β ) 2 + ηµνηαβ22 ]} hαβ . De acordo com a eq. (A.13), Pµν,αβ é, no espaço de momentos Pµν,αβ = ηµνηαβ [ −k2 2 + ακ2k4 ] + k2 2 [ ηµαηνβ + ηναηµβ ] + κ2αkµkνkαkβ − ακ2k2 [ ηαβkµkν + ηµνkαkβ ] . Ou, Pµν,αβ = Aηµνηαβ + B ( ηµαηνβ + ηναηµβ ) + Ckµkνkαkβ + D ( ηαβkµkν + ηµνkαkβ ) , com A = −k2 2 + ακ2k4 , B = k2 2 , C = ακ2 , D = −ακ2k2 . (A.22) A.4.4 Cálculo do Inverso do Operador Pµν,αβ Como Pαβ,λθ = A (k) ηαβηλθ + B (k) (ηαληβθ + ηβληαθ) + C (k) kαkβkλkθ +D (k) (ηαβkλkθ + ηλθkαkβ) , (A.23) segue-se que Pµν,αβPαβ,λθ = 4AAηµνηλθ + 2ABηµνηλθ + ACk2ηµνkλkθ + AD ( 4ηµνkλkθ + ηµνk2ηλθ ) A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 46 + 2BAηµνηλθ + 2BB (δµ λδ ν θ + δν λδ µ θ) + 2BCkµkνkλkθ + 2BD (ηµνkλkθ + ηλθk µkν) + CAkµkνk2ηλθ + CB2kµkνkλkθ + CCkµkνkλkθk 4 + CD ( kµkνk2kλkθ + kµkνk4ηλθ ) + DA ( 4kµkνηλθ + ηµνk2ηλθ ) + 2DB (kµkνηλθ + ηµνkλkθ) + DC ( k2kµkνkλkθ + ηµνk4kλkθ ) + DD ( 4kµkνkλkθ + ηλθk 2kµkν + ηµνk2kλkθ + ηµνηλθk 4 ) = 1 2 (δµ λδ ν θ + δµ θδ ν λ) . Reordenando os termos, obtemos Pµν,αβPαβ,λθ = ηµνηλθ ( 4AA+ 2AB + 2BA+ DAk2 + DDk4 + k2AD ) + (δµ λδ ν θ + δν λδ µ θ) 2BB + kµkνkλkθ ( 2BC + 2CB + CCk4 + CDk2 + DCk2 + 4DD) + ηµνkλkθ ( ACk2 + 4AD + 2BD + 2DB + DCk4 + DDk2 ) + kµkνηλθ ( 2BD + CAk2 + CDk4 + 4DA+ 2DB + DDk2 ) = 1 2 (δµ λδ ν θ + δµ θδ ν λ) . Consequentemente, 1) A (4A + 2B + Dk2) + 2BA +D (Dk4 + Ak2) = 0 2) 2BB = 1/2 3) 2CB + C (2B + Ck4 + Dk2) +D (Ck2 + 4D) = 0 4) 2BD + C (Ak2 + Dk4) +D (4A + k2D + 2B) = 0 5) A (Ck2 + 4D) + 2BD +D (2B + Ck4 + Dk2) = 0 . Substituindo A, B, C e D por seus respectivos valores, fica 1) [ −1 + 3ακ2k2 ] A+ [ −1 + 2ακ2k2 ] B − k2 2 D = 0 A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 47 2) 2k2B = 1 3) 2ακ2B + k2C − 3κ2k2αD = 0 4) −2κ2k2αB − k4 2 C + k2 [ −1 + 3ακ2k2 ] D = 0 5) −3κ2k2αA− 2κ2k2αB + k2D = 0 . O que leva ao seguinte resultado A = [ −−2 + 2ακ2k2 −2 + 3ακ2k2 ] B , B = 1 2k2 , C = 2 k2 D , D = − 2κ2α2 2− 3κ2k2α B .(A.24) A.4.5 O Propagador de Feynman O Propagador de Feynman é, de acordo com a eq.(A.14), simplesmente: ∆F µν,λθ(k) = iPµν,λθ , (A.25) com Pµν,λθ conforme a eq. (A.23). Portanto, ∆F µν,λθ(k) = i 2k2 { − [ −2 + 2αk2κ2 −2 + 3αk2κ2 ] ηµνηλθ + (ηµληνθ + ηνληµθ) + + −2ακ2 2− 3k2κ2α [ ηµνkλkθ + ηλθkµkν + 2 k2 kµkνkλkθ ]} . (A.26) Bibliografia [1] E. B. Fomalont and R. A. Sramek, Astrophys. J. 199, 749 (1975); Phys. Rev. Lett. 36, 1475 (1976); Comm. Astrophys. 7, 19 (1977). [2] John F. Douglas, Phys. Rev. Lett. 72, 2996 (1994). [3] J. H. Kung, Phys. Rev. D 52, 6922 (1995). [4] A. J. Accioly, A. D. Azeredo, C. M. L. Aragão, H. Mukai, Class. Quantum Grav. 14, 1163 (1997). [5] A. J. Accioly, Rev. Bras. de F́ısica 18, 4 (1988). [6] Antonio Accioly, Hatsumi Mukai, Braz. J. Phys. 28, 35 (1998). [7] F. Mandl e G. Shaw, Quantum Field Theory (John Wiley & Sons, 1994). [8] C. Quigg, Gauge Theories of the Strong, Weak, and Electromagnetic Interactions (Addison- Wesley Publishing Company, 1996). [9] H. Goldstein, Classical Mechanics (Addison-Wesley Publishing Company, 1980). [10] A. Accioly, A. D. Azeredo, E. C. de Rey Neto, Bending of light in the framework of R + R2 gravity (submetido à publicação); A. Accioly, S. Ragusa, E. C. de Rey Neto, H. Mukai, Prediction of R + R2 gravity for the deflection of a photon passing close to the Sun (submetido à publicação). 48 Bibliografia 49 [11] A. Accioly, E. C. de Rey Neto, H. Mukai, S. Ragusa, A phenomenological estimative of R + R2 gravity parameter from measurements of starlight deflection (a ser publicado). [12] A. Accioly, E. C. de Rey Neto, General Relativity as the ground state of quadratic gravity (a ser publicado). [13] K. S. Stelle, Phys. Rev. D 16, 953 (1977). FOLHA DE ROSTO RESUMO ABSTRACT DEDICATÓRIA AGRADECIMENTOS INDICE INTRODUÇÃO CAP. 1 O POTENCIAL EFETIVO NÃO-RELATIVÍSTICO PARA A GRAVITAÇÃO R +R2 1.1 Introdução 1.2 A Interação Gravitacional 1.3 A Amplitude M no Limite Não-Relativistico 1.4 Cálculo do Potencial Efetivo CAP. 2 O CAMPO GRAVITACIONAL DO SOL NA APROXIMAÇÃO DE CAMPO FRACO E NO CONTEXTO DA TEORIA R +R2 2.1 Introdução 2.2 O campo gravitacional do sol 2.3 Cálculo de huv CAP. 3 DEFLEXÃO GRAVITACIONAL DE FÓTONS NO CONTEXTO DA TEORIA R +R2 3.1 Introdução 3.2 Seção de choque para o espalhamento de fótons pelo campo gravitacional do sol 3.3 Previsão da teoria R + R2 para a deflexão gravitacional solar EPÍLOGO APENDICE A QUANTIZAÇÃO NA APROXIMAÇÃO DE CAMPO FRACO A.1 Introdução A.2 Expressões úteis na aproximação de campo fraco A.3 A ação escrita em termos do campo huv A.4 O propagador de Feynmam para a teoria de gravitação R+R2 BIBLIOGRAFIA