Universidade Estadual Paulista Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Interferometria Óptica Aplicada à Medição de Amplitudes de Vibração Nanométricas em Piezoatuadores Flextensionais José Vital Ferraz Leão Orientador: Prof. Dr. Cláudio Kitano Dissertação de mestrado submetida à Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista, como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de mestre em Engenharia Elétrica. Área de Concentração: Automação Ilha Solteira (SP) Dezembro – 2004 i Índice Geral Índice Geral i Índice de Figuras iv Índice de Tabelas xii Lista de Símbolos xiii Lista de Abreviatura xvi Resumo xvii Abstract xviii Agradecimento xix Dedicatória xxi Capitulo 1 – Introdução 1 1.1 Potencialidade da Interferometria Óptica 2 1.2 Algumas aplicações dos Piezoatuadores 5 1.3 Organização do Texto 8 Capítulo 2 – Interferometria Óptica e Métodos de Detecção de Sinal 9 2.1 Interferômetro de Young com Duas Fontes de Luz 9 2.2 Franjas de Interferência 13 2.3 Visibilidade 16 2.4 Interferômetro de Mach-Zehnder 18 2.5 Interferômetro de Mach-Zehnder Modificado para Medição de Deslocamentos 21 2.6 Interferômetro de Michelson 23 2.7 Modificação do Interferômetro de Michelson para Corrigir o Problema de Retorno do ii Feixe de Luz ao Laser 24 2.8 Problemas de Desvanecimento 25 2.9 Métodos de Detecção de Sinais Interferométricos 28 2.9.1 Método de Baixo Índice de Modulação 28 2.9.2 Métodos de Contagem de Franjas de Interferência 33 2.9.3 Aprimoramento da exatidão do Método de Contagem de Franjas de Interferência 39 2.10 Técnicas de Detecção Homodinas Passivas 41 2.10.1 Método do 1J Máximo 42 2.10.2 Método do 1J Nulo 44 2.10.3 Método do 21 / JJ 45 2.10.4 Método do 31 / JJ 46 2.10.5 Método do 41....JJ 47 Capitulo 3 – Piezeletricidade e Atuadores Piezoelétricos Flextensionais 49 3.1 Efeito Piezoelétrico 49 3.2 Equações Constitutivas da Elasticidade para Meios não Piezoelétricos 52 3.2.1 Deformação Mecânica ou Strain 54 3.2.2 Tensão Mecânica ou Stress 56 3.2.3 Lei de Hooke 57 3.3 Equações Constitutivas para Meios Piezoelétricos 60 3.4 Modelo Circuital Equivalente de Mason 65 3.5 Atuadores Piezoelétricos 80 3.5.1 Atuador Piezoelétrico Bilaminar 82 iii 3.5.2 Atuador Piezoelétrico Flextensional 84 3.5.3 Freqüências de Ressonância do Atuador Piezoelétrico 86 Capitulo 4 – Resultados Experimentais 91 4.1 Descrição dos Interferômetros Implementados 91 4.2 Obtenção das Franjas de Interferência 95 4.2.1 Franja de Ordem Zero e Grau de Alinhamento do Interferômetro 97 4.3 Instrumentação Eletrônica 99 4.4 Testes Preliminares no Interferômetro de Michelson em Medidas de Amplitudes de Vibração Micrométricas 104 4.4.1 – Transdutor Piezoelétrico Bilaminar do Tipo Bender 104 4.4.2 – Análise da Linearidade do Transdutor Bilaminar 106 4.4.3 – Análise da Resposta em Freqüência do Transdutor Piezoelétrico do tipo Bender 123 4.5 – Análise do Piezoatuador Flextensional f1b820 127 4.5.1 – A Piezocerâmica com PZT – 5A 127 4.5.2 – Inserção do Piezoatuador f1b820 no Interferômetro Óptico 130 4.5.3 – Testes de Linearidade 132 4.5.4 – Resposta em Freqüência do Piezoatuador Flextensional f1b820 146 Capítulo 5 – Conclusão 152 Referências Bibliográficas 155 iv Índice de Figuras Figura 1.1 Pipetas de borosilicato durante o processo de microinjeção. 6 Figura 1.2 Processo de microinjeção. (a) Ovócito não perfurado pela pipeta de injeção. (b) Ovócito perfurado pela pipeta de injeção na inserção de uma célula espermática. 7 Figura 2.1 Representação do interferômetro de Young para duas fontes de luz. 10 Figura 2.2 Representação da onda estacionária na direção x sobre o anteparo. 15 Figura 2.3 Figura de franjas no anteparo. 16 Figura 2.4 Franjas de interferência. (a) Com visibilidade próxima da unidade. b-) Com visibilidade próxima de zero. 17 Figura 2.5 Configuração do interferômetro de Mach-Zenhder em óptica volumétrica. 18 Figura 2.6 Interferômetro de Mach-Zehnder para medir deslocamentos. 22 Figura 2.7 Interferômetro de Michelson na sua forma original. 23 Figura 2.8 Interferômetro de Michelson modificado para corrigir o retorno do feixe de luz ao laser. 24 Figura 2.9 Curva de transferência da intensidade óptica para regime de sub-franjas. 26 Figura 2.10 Sinais interferométricos somados a uma perturbação de 200 Hz. a) Com freqüência de excitação de 5 kHz e período de aquisição de 0,2 ms. b) Com freqüência de excitação de 500 Hz e período de aquisição de 2 ms. 27 Figura 2.11 Formas de ondas interferométricas distorcidas adquiridas pelo osciloscópio digital. No canal 1 está o sinal na saída do interferômetro e no canal 2 o sinal modulador. (a) Sinal de excitação triangular; (b) Sinal de excitação senoidal. 30 Figura 2.12 Formas de onda com operação na condição de quadratura de fase e com amplitudes suficientemente pequenas, garantindo a operação na região linear da curva de transferência: (a) Sinal de excitação triangular. (b) Sinal de excitação senoidal. 30 Figura 2.13 Curva de transferência da intensidade óptica para uma excitação com forma de onda triangular e índice de modulação um pouco maior que π / 2. 31 v Figura 2.14 Curva de transferência da intensidade óptica para uma excitação com forma de onda triangular e índice de modulação igual a π / 2. 32 Figura 2.15 Curva de transferência da intensidade óptica para uma excitação com forma de onda triangular e índice de modulação igual a π / 8. 32 Figura 2.16 Excursão do sinal modulador do tipo Att =∆ )(φ sobre a curva de transferência e resultado da intensidade para operação em regime de multi- franjas. 34 Figura 2.17 Gráfico da intensidade óptica para regime de multi-franjas com 2/0 πφ −= e sinal modulador do tipo Att =∆ )(φ . 35 Figura 2.18 Excursão do sinal modulador senoidal sobre a curva de transferência e resultado da intensidade óptica para operação em regime de multi-franjas. 36 Figura 2.19 Gráfico da intensidade óptica para regime de multi-franjas com 2/0 πφ = e sinal modulador senoidal. 37 Figura 2.20 Gráfico da intensidade óptica para regime de multi-franjas com πφ =0 e sinal modulador senoidal. 38 Figura 2.21 Gráfico da intensidade óptica para regime de multi-franjas com 4/0 πφ = e sinal modulador senoidal. 38 Figura 2.22 Formas de onda de intensidade óptica obtidas para diferentes números de picos (N) num período. (a) N = 1; (b) N = 1,5; (c) N = 2; (d) N = 2,5; (e) N = 3; (f) N = 3,5. 40 Figura 2.23 Tela do analisador de espectros. (a) Mostrando todas as componentes. (b) Com as linhas pares anuladas. 43 Figura 2.24 Reta que passa pelo ponto zero e pelo ponto onde 0)(1 =Φ sJ . 45 Figura 3.1 Efeito piezoelétrico no quartzo para forças aplicadas na direção X. a) Estado natural. b) Efeito da compressão. c) Efeito da tração. 51 Figura 3.2 Procedimento de poling para alinhamento dos domínios microscópicos. 51 Figura 3.3 Modos de vibração das piezocerâmicas. a) Modo de expansão em espessura; b) Modo transversal à espessura; c) Modo transversal à face. 52 Figura 3.4 Vibração longitudinal 53 Figura 3.5 Vibração transversal. a) Polarização na direção x2. b) Polarização na direção x3. 53 Figura 3.6 Tipos de deformação. (a) deformação longitudinal, (b) deformação de cisalhamento puro. 54 vi Figura 3.7 Grandezas para a definição de stress. 56 Figura 3.8 Força aplicada a um sólido, dando origem a três componentes de stress. 57 Figura 3.9 Deformação em uma haste delgada. 58 Figura 3.10 Piezocerâmica polarizada. (a) campo elétrico com sentido oposto ao da polarização elétrica. (b) campo elétrico com o mesmo sentido ao da polarização elétrica. (c) campo elétrico perpendicular à direção da polarização elétrica. 64 Figura 3.11 Estrutura do transdutor piezoelétrico. a) Aplicando-se uma tensão aos eletrodos excita-se uma onda acústica. b) Modelo analítico. 66 Figura 3.12 Circuito equivalente mecânico para um transdutor não-piezoelétrico. 69 Figura 3.13 Transformador eletromecânico levando-se em conta o efeito piezoelétrico. 72 Figura 3.14 Circuito equivalente eletromecânico para o transdutor piezoelétrico. 7 Figura 3.15 Circuito equivalente completo para o transdutor piezoelétrico prático. 74 Figura 3.16 Resposta em freqüência da impedância de entrada do transdutor. 76 Figura 3.17 Resposta em freqüência da admitância de entrada do transdutor. a) Gráfico de amplitude. b) Gráfico de fase. 77 Figura 3.18 Gráfico do deslocamento um função da freqüência π2/Ω . 79 Figura 3.19 Configuração bilaminar. a) Sem tensão aplicada. b) Com tensão aplicada. 83 Figura 3.20 Tweeter piezoelétrico. (a) PZT bilaminar com cone ancorado em seu perímetro. (b) Modo de vibração fundamental (c) Modo de vibração na freqüência tripla (d) Modo de vibração na freqüência quíntupla. 84 Figura 3.21 Piezoatuadores Flextensionais típicos: (a) moonies; (b) cymbals. 85 Figura 3.22 Atuadores Piezoelétricos Flextensionais comerciais. (a) Com curso de 145 µm. (b) Com curso de 450 µm. 85 Figura 3.23 Atuador piezoelétrico.a) Estrutura física. b-) Circuito RLC equivalente. 86 Figura 3.24 Curva de Resposta em freqüência da impedância elétrica, Rf é a freqüência de ressonância e af é a freqüência de anti-ressonância. (a) Curva do módulo da impedância. (b) Curva de fase elétrica. 87 Figura 3.25 Curva de resposta em freqüência da admitância elétrica, indicando as freqüências de ressonância e anti-ressonância em Rf e af respectivamente. (a) Módulo da admitância. (b) Curva da fase elétrica . 88 Figura 3.26 Piezoatuadores flextensionais com diferentes topologias dependendo do ponto em que deseja-se amplificar a vibração. 89 vii Figura 3.27 Piezoatuador flextensional com cerâmica de 3 mm de espessura. 89 Figura 4.1 Interferômetro de Michelson com o ramo sensor modificado para inserir o atuador piezoelétrico. 92 Figura 4.2 Foto do interferômetro modificado sobre a mesa do laboratório de óptica: 1 = laser, 2 = divisor de feixes, 3 e 4 = prismas, 5 e 7 = espelhos, 6 = piezoatuador, 8 = fotodiodo. 93 Figura 4.3 Desalinhamento do interferômetro causado pela mudança de direção do feixe de luz. 93 Figura 4.4 Foto do interferômetro de Michelson em sua forma tradicional sobre a mesa do laboratório de óptica: 1 = laser, 2 = divisor de feixes, 3 = espelho, 4 = piezoatuador, 5 = fotodiodo. 94 Figura 4.5 Franjas de interferência, com visibilidade razoável, formadas na saída do interferômetro da figura 4.2. 96 Figura 4.6 Franjas de interferência, com boa visibilidade, formadas na saída do interferômetro da figura 4.4. 96 Figura 4.7 Incidência de franjas sobre a área A do fotodiodo. a) Período espacial das franjas pequeno em comparação a dimensão do fotodetector. b) Período espacial das franjas grande suficiente para isolar a franja de ordem zero. 97 Figura 4.8 Franja de ordem zero formada na saída do interferômetro da figura 4.4. 98 Figura 4.9 Esquema da instrumentação utilizada no interferômetro de Michelson em sua forma tradicional. 99 Figura 4.10 Esquema da instrumentação utilizada no interferômetro de Michelson modificado para inserção do atuador piezoelétrico. 100 Figura 4.11 Sinal com simetria de meia onda adquirido pelo osciloscópio digital (a senóide mostrada na porção inferior refere-se simplesmente ao sinal de excitação do atuador). 101 Figura 4.12 Formas de onda adquiridas por um osciloscópio digital. (a) Presença do desvanecimento resultando ausência de periodicidade. (b) Ausência do desvanecimento devido a aquisição de poucos ciclos do sinal. 102 Figura 4.13 Instrumentação eletrônica utilizada na realização das medições. 103 Figura 4.14 Analisador de impedâncias da HP modelo 4192A. 103 viii Figura 4.15 Transdutor piezoelétrico do tipo bender extraído de um tweeter comercial: (a) foto frontal onde observa-se o eletrodo à esquerda conectado no metal entre as duas cerâmicas. (b) foto da parte posterior mostrada em (a). 105 Figura 4.16 Transdutor piezoelétrico do tipo bender colado a um cone de material plástico. 106 Figura 4.17 Formas de onda triangular obtidas através do método de baixo índice de modulação ao excitar o transdutor bilaminar com freqüência de 1 kHz e com amplitudes de pico iguais a: (a) 2 volts, (b) 3 volts, (c) 4 volts, (d)5 volts, (e) 6 volts e (f) 7 volts. 108 Figura 4.18 Resultado gráfico do transdutor do tipo bender sem o cone de material plástico, utilizando o método de baixo índice de modulação, para uma excitação triangular com freqüência igual à 1 kHz (formas de onda da figura 4.17). 109 Figura 4.19 Na coluna esquerda encontram-se formas de onda de excitação (1 kHz) e detectada adquiridas pelo osciloscópio digital e na coluna da direita encontram-se simulações que auxiliam na determinação da quantidade de picos por período do sinal detectado. As tensões de excitação de pico e o resultado do número de picos são respectivamente: (a) 0,5 volt e 1 pico, (b) 0,75 volt e 1,5 pico, (c) 1 volts e 2 picos, (d) 1,25 volts e 3 picos, (e) 1,5 volts e 3 picos, (f) 1,75 volts e 4 picos, (g) 2 volts e 4,5 picos, (h) 2,25 volts e 5 picos, (i) 2,5 volts e 5,5 picos, (j) 2,75 volts e 6 picos, (k) 3 volts e 6,5 picos, (l) 3,25 volts e 7 picos e (m) 3,5 volts e 8 picos. 113 Figura 4.20 Gráfico de linearidade do transdutor do tipo bender, utilizando o método de contagem de picos, para uma excitação senoidal com freqüência igual a 1 kHz (formas de onda da figura 4.19). 114 Figura 4.21 Formas de onda detectadas na saída do interferômetro sob excitação com forma de onda senoidal em 7 kHz e amplitudes de pico iguais à: (a) 1,5 volts, (b) 2 volts, (c) 2,5 volts, (d) 3 volts, (e) 3,5 volts, (f) 4 volts, (g) 4,5 volts, (h) 5 volts, (i) 5,5 volts e (j) 6 volts. 117 Figura 4.22 Gráfico de linearidade do transdutor do tipo bender, utilizando o método de contagem de picos, para uma excitação senoidal com freqüência igual a 7 kHz (formas de onda da figura 4.21). 117 ix Figura 4.23 Espectros gerados pelo osciloscópio digital das formas de onda detectadas na saída do interferômetro sob excitação com forma de onda senoidal em 7 kHz e amplitudes de pico iguais à: (a) 325 mvolts, (b) 375 mvolts, (c) 425 mvolts, (d) 475 mvolts, (e) 525 mvolts, (f) 575 mvolts e (g) 625 mvolts. 119 Figura 4.24 Gráficos da função ( )sf Φ . (a) para solução sΦ = 0,5933 e (b) para solução sΦ = 1,1258. 120 Figura 4.25 Resultado gráfico do transdutor do tipo bender, utilizando o método 31 / JJ , para uma excitação senoidal com freqüência igual à 7 kHz (formas de onda da figura 4.23). 121 Figura 4.26 Gráfico comparativo entre os métodos de contagem de picos e 31 / JJ para freqüência de excitação igual à 7 kHz. 122 Figura 4.27 Gráfico da resposta em freqüência do transdutor do tipo bender utilizando o método de contagem de picos. 124 Figura 4.28 Gráficos da admitância elétrica do transdutor o tipo bender de c.c. à 70 kHz adquirido através do analisador de impedâncias. (a) real e imaginário e (b) módulo e fase. 125 Figura 4.29 Gráfico da admitância elétrica do transdutor o tipo bender de c.c. à 8 kHz adquirido através do analisador de impedâncias. 126 Figura 4.30 Piezocerâmica retangular em PZT – 5A 128 Figura 4.31 Gráfico da admitância elétrica da piezocerâmica em PZT – 5A obtido através da fórmula (4.3). 129 Figura 4.32 Respostas elétricas da cerâmica de 3mm de espessura medidas com analisador de impedâncias e simuladas com o software ANSYS. (a) curva da admitância elétrica e (b) curva da fase elétrica. 129 Figura 4.33 Gráfico dos deslocamentos 31L∆ e 33L∆ , em módulo, para a piezocerâmica PZT – 5A. 130 Figura 4.34 Fotos do suporte onde foi fixado o atuador flextensional f1b820. (a) vista em perspectiva. (b) Tipo de engaste utilizado. (c) Vista frontal. (d) Vista lateral. 131 x Figura 4.35 Formas de onda de excitação em azul e detectada em amarelo adquiridas pelo osciloscópio digital utilizando o piezoatuador flextensional f1b820 com amplitudes de excitação iguais a: (a) 5 volts, (b) 6 volts, (c) 7 volts, (d) 8 volts. 132 Figura 4.36 Resultado gráfico do piezoatuador flextensional f1b820, utilizando o método, de baixo índice de modulação para excitações senoidais com freqüências iguais à 2 kHz (formas de onda da figura 4.35) e 10 kHz. 133 Figura 4.37 Formas de onda triangular obtidas através do método de baixo índice de modulação ao excitar o piezoatuador flextensional f1b820 com freqüência de 700 Hz e com amplitudes de pico iguais a: (a) 4 volts, (b) 6 volts, (c) 8 volts e (d) 10 volts. 135 Figura 4.38 Resultado gráfico do piezoatuador flextensional f1b820, utilizando o método de baixo índice de modulação para excitação triangular com freqüência igual a 700 Hz. (formas de onda da figura 4.37). 135 Figura 4.39 Formas de onda triangular obtidas através do método de baixo índice de modulação ao excitar o piezoatuador flextensional f1b820 com freqüência de 270 Hz e com amplitudes de pico iguais a: (a) 3 volts, (b) 5,2 volts, (c) 7,2 volts, (d) 10 volts, (e) 12,4 volts e (f) 20,8 volts. 137 Figura 4.40 Resultado gráfico da linearidade, em valores absolutos, do piezoatuador flextensional f1b820, utilizando o método de baixo índice de modulação para excitação triangular com freqüência igual à 270 Hz. (formas de onda da figura 4.39 ). 137 Figura 4.41 Formas de onda triangular com problema de trajetória (tracking error) para freqüências de: (a) 815 Hz, (b) 1,8 kHz e (c) 2,8 kHz. 139 Figura 4.42 Simulação em Matlab do problema de tracking error. (a) Forma de onda triangular superposta à uma componente senoidal de alta freqüência. (b) resultado da superposição evidenciando o problema. 140 Figura 4.43 Formas de onda detectadas na saída do interferômetro sob excitação com forma de onda quadrada nas freqüências de: (a) 1 kHz, (b) 700 Hz e (c) 290 Hz. 141 xi Figura 4.44 Espectros gerados pelo osciloscópio digital das formas de onda detectadas na saída do interferômetro sob excitação com forma de onda quadrada nas freqüências de: (a) 1 kHz, (b) 700 Hz e (c) 290 Hz. 142 Figura 4.45 Resultado gráfico do piezoatuador flextensional f1b820, utilizando o método 31 / JJ para excitação senoidal com freqüência igual à 4,45 kHz. 143 Figura 4.46 Espectros gerados pelo osciloscópio digital das formas de onda detectadas na saída do interferômetro sob excitação com forma de onda senoidal em 23 kHz e amplitudes de pico à pico iguais à: (a) 650 mvolts, (b) 750 mvolts, (c) 850 mvolts, (d) 950 mvolts, (e) 1050 mvolts, (f) 1150 mvolts e (g) 1250 mvolts. 145 Figura 4.47 Resultado gráfico do piezoatuador flextensional f1b820, utilizando o método 41....JJ para excitação senoidal com freqüência igual à 23 kHz. 145 Figura 4.48 Gráfico da resposta em freqüência do piezoatuador flextensional f1b820 utilizando o método de contagem de picos. 147 Figura 4.49 Formas de onda detectadas na saída do interferômetro para freqüências próxima da ressonância em 14 kHz. (a) f = 13 kHz, (b) f = 14,4 kHz e (c) f = 15 kHz 148 Figura 4.50 Sinal detectado na freqüência de ressonância em 23 kHz. 148 Figura 4.51 Gráficos da admitância elétrica do piezoatuador flextensional f1b820 de c.c. à 70 kHz adquirido através do analisador de impedâncias. (a) real e imaginário e (b) módulo e fase. 150 Figura 4.52 Gráfico da admitância elétrica do piezoatuador flextensional f1b820 de c.c à 20 kHz adquirido através do analisador de impedâncias. 151 xii Índice de Tabelas Tabela 1.1 Deslocamentos necessários para produzir um desvio de 1º na fase da luz para freqüências distintas. 4 Tabela 1.2 Variações do índice de refração do meio necessárias para produzir um desvio de 1º na fase da luz para freqüências distintas. 5 xiii Lista de Símbolos λ Comprimento de onda da luz no vácuo φ∆ Variação na diferença de fase óptica L∆ Variação no comprimento do ramo sensor n∆ Variação no índice de refração L Comprimento do ramo sensor n Índice de refração do meio f Freqüência óptica c Velocidade da luz no vácuo )(xJn Função de Bessel de primeira espécie e ordem n 2d Distância entre os planos α e β ),( tre ii rr Campo elétrico i variante no tempo na forma temporal propagando-se na direção ir r ω Freqüência angular da fonte de luz iE0 r Campo elétrico i no plano r = 0. rr Vetor que descreve a frente de onda k r Vetor de onda que está na direção de propagação ),( trE ii rr Campo elétrico i variante no tempo na forma fasorial propagando-se na direção ir r ),( trI Intensidade óptica ou irradiância variante no tempo e em função de r. DCI Intensidade óptica constante 0I Intensidade óptica constante para o caso particular onde 2 02 2 01 EE rr = máxI Intensidade óptica máxima )(tI∆ Variação de intensidade óptica no tempo F Freqüência espacial das franjas de interferência m Associado a ordem da franja V Visibilidade rφ Fase total do ramo de referência xiv sφ Fase total do ramo sensor )(tφ∆ Variação no tempo da diferença de fase óptica entre os ramos do interferômetro N Número de picos num período com valor superior a 0,5 0φ Termo de fase associado ao desvanecimento )(tΦ Variação de fase total entre os braços do interferômetro no tempo sΦ Índice de modulação PM Q Ponto quiescente pt Instante onde )(tI∆ passa por um pico picoφ Índice de modulação de pico )(tφ Fase variante no tempo sω Freqüência angular do sinal modulante 321 ,, xxx Componentes cartesianas ak r Vetor de onda da onda elástica ur Vetor de deslocamento de partículas ijS Componente de deformação mecânica ijT Componente de tensão mecânica iF Componente de força jA∆ Elemento de área K Constante elástica do material l∆ Deformação na direção longitudinal ijklc Componente elástica de rigidez ijkls Componente elástica de flexibilidade ρ Densidade de massa E r Campo elétrico D r Deslocamento elétrico ijε Tensor permissividade dielétrica ijke Tensor piezoelétrico ijkh Tensor piezoelétrico que relaciona campo elétrico / deformação ijkd Tensor piezoelétrico que relaciona deformação / campo elétrico xv ikβ Tensor impermeabilidade dielétrica E (sobrescrito) a campo elétrico constante S (sobrescrito) a deformação mecânica constante D (sobrescrito) a deslocamento elétrico constante T (sobrescrito) a tensão mecânica constante 0U Amplitude do vetor deslocamento de partículas no plano x = 0 Ω Freqüência angular da onda acústica d Espessura da amostra do transdutor piezelétrico citado no modelo circuital de Mason fV Velocidade de fase da onda acústica u& Velocidade de partículas Z Impedância acústica h S eh ε = J Densidade de corrente de deslocamento 0C Capacitância do transdutor rigidamente preso f Tensão no secundário do transformador eletromecânico Z1 e Z2 Impedâncias acústicas dos acessos mecânicos Ze e Zg Impedâncias mecânicas dos eletrodos externo e ground inZ Impedância elétrica de entrada Zf Impedância da bobina κ Coeficiente de acoplamento eletromecânico af Freqüência de anti-ressonância rf Freqüência de ressonância 0L Comprimento inicial da amostra numa dada direção aλ Comprimento de onda acústico 111 ,, RLC Elementos capacitivo, indutivo e resistivo relacionados a natureza eletromecânica e associados a parte de movimento do atuador piezoelétrico Λ Período espacial das franjas de interferência l Comprimento da piezocerâmica w Largura da piezocerâmica t Espessura da piezocerâmica xvi Lista de abreviaturas EPUSP Engenharia Politécnica da Universidade de São Paulo PM Modulação em fase (Phase Modulation) ISCI Injeção intracitoplasmática de células espermáticas BS Divisor de feixes (Beam Splitter) BS1 Divisor de feixes 1 BS2 Divisor de feixes 2 M Espelho (mirror) M1 Espelho 1 M2 Espelho 2 1S Fonte pontual 1 de luz coerente do interferômetro de Young 2S Fonte pontual 2 de luz coerente do interferômetro de Young α Plano que contém as fontes pontuais de luz coerente do interferômetro de Young β Plano que contém o ponto A onde se superpõe os feixes de luz irradiados pelas fontes pontuais de luz coerente. A Ponto onde os feixes de luz se superpõe no plano β. SiO2 Cristais de Quartzo PZT Titanato Zirconato de Chumbo PbTiO2 Titanato de Chumbo PbZrO3 Zirconato de Chumbo BaTiO3 Titanato de Bário c.c. Corrente contínua c.a. Corrente alternada HeNe Hélio Neônio FFT Transformada Rápida de Fourrier (Fourrier Fast Transform) SLP Nível de pressão sonora DEE Departamento de Engenharia Elétrica FEIS Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira xvii RESUMO Os atuadores piezoelétricos convertem energia da forma elétrica para a forma mecânica. Tais dispositivos são amplamente utilizados em sistemas de ajuste de posição que exigem elevada resolução como, por exemplo, em microscopia de varredura, estágios de translação de espelhos, cabeças magnéticas de disco rígido, cancelamento de vibrações em mecânica de precisão, manipulação celular em biologia, etc. Neste trabalho, um atuador piezoelétrico flextensional, projetado pelo Grupo de Sensores e Atuadores da EPUSP / Mecatrônica empregando o método de otimização topológica, é caracterizado experimentalmente através de medições de deslocamentos nanométricos, utilizando-se um interferômetro de Michelson homódino em malha aberta. O princípio básico do interferômetro de Michelson é que um estímulo aplicado ao braço sensor induz um deslocamento de fase em relação ao braço de referência. Ambos os feixes são superpostos paralelamente no espaço, e a intensidade óptica resultante é convertida para uma tensão elétrica utilizando-se um fotodiodo, o qual é processada para obter um sinal proporcional ao estímulo. No presente trabalho, a demodulação do sinal é realizada aplicando-se três métodos diferentes: o de baixo índice de modulação, 31 / JJ passivo e a técnica de contagem de franjas. Idealmente, o termo de polarização de fase no interferômetro deveria permanecer constante, contudo, na prática, ocorrem problemas de desvanecimento, ou seja, flutuações ao longo de ampla faixa e durante breves períodos de tempo, devido a deriva aleatória induzida por perturbações ambientais. Com isso, a aplicação de uma quarta técnica, denominada 41....JJ , proporciona uma medição linear do deslocamento de fase dinâmico no interferômetro homódino, independentemente das derivas de fase aleatórias devido a flutuações na temperatura e pressão ambientes, instabilidade da fonte laser e variações na visibilidade. Em geral, o atuador flextensional é projetado para ser usado sob excitação elétrica em regimes estático ou quase-estático, com excitação harmônica abaixo da primeira freqüência de ressonância mecânica. Contudo, quando empregada com sinais arbitrários, como em sistemas de posicionamentos nanométricos, freqüências de ordem superior podem ser excitadas, e a linearidade entre o sinal de controle e o deslocamento correspondente é prejudicada. Por isso, é importante determinar a resposta em freqüência do piezoatuador, a fim de determinar suas freqüências de ressonância. Neste trabalho, as freqüências de ressonância são estabelecidas com o método interferométrico e são comparadas com as curvas de admitância obtidas com um analisador de impedâncias. xviii ABSTRACT Piezoelectric actuators can convert electrical energy to mechanical form. These devices are widely used in positioning systems which demand high resolution, such as scanning microscopy, fast mirror scanners, disk drive magnetic head, microelectronic microlithography, vibration cancellation in precision mechanics technology, cell manipulation for biology applications, and others. In the present work a flextensional piezoactuator designed by the Group of Sensor and Actuators of the EPUSP/Mechatronics, using the topology optimization method, is experimentally characterized by the measurement of its nanometric displacements using an open loop homodine Michelson interferometer. The basic principle in the Michelson interferometer is that an applied stimulus in one of its arm (the sensor arm) induces a phase shift relative to the other arm (the reference arm). Both beams are parallel superposed in space, and the resulting optical intensity is converted to electrical form by a photodiode, which is then processed to obtain a signal proportional to the stimulus. In the present work, the demodulation of this signal is realized by applying three different methods: low-index phase modulation, the passive 31 / JJ , and the fringe counting techniques. Ideally, the bias phase term in the interferometer should remain constant, but in practice it suffers from fading, that is, it can fluctuate in a wide range and during brief periods of time due to random drifts, induced by environment perturbations. So the application of a fourth technique, the 41....JJ method provides a linear, self-consistent and direct readout of the dynamic phase shift in the homodine interferometer, irrespective of random phase drifts due to ambient temperature and pressure fluctuations, source instabilities, and changes in visibility. Generally, the flextensional actuator is designed to be used under electrical excitation in static regime, or in quasi-static regime, with harmonic excitation below the first mechanical resonance frequency. However, when employed with arbitrary signals, as in micrometric or nanometric positioning systems, higher resonance frequencies can be excited, and the linearity between the control signal and corresponding displacement is lost, causing tracking-errors. Thus it is important to know the piezoactuator frequency response, in order to determine its resonance frequencies. In this work, the resonance frequencies are obtained with the interferometric method which are also compared to the admittance curves obtained with an impedance analyzer. xix Agradecimentos Dificilmente conseguirei enumerar todas as pessoas que me ajudaram na conclusão deste trabalho, porém, devo citar aquelas que foram fundamentais e inesquecíveis durante todos esses anos. Primeiramente devo agradecer a minha futura esposa Tatiana Andréia Silva Gonçalves por compartilhar todos os momentos de minha vida, fazendo o possível e o impossível para estar sempre perto de mim quando eu mais precisava. Aos meus pais Wanda e Vital e aos meus irmãos João e Leandra por todos os momentos felizes que passamos juntos. Devo agradecer em especial a minha mãe no qual ofereceu seu colo nas horas de desespero. À todas as pessoas da família da minha namorada Tatiana que rezaram por mim. Ao meu orientador Prof.Dr. Cláudio Kitano que mudou a minha vida, me ensinou, educou, disciplinou e mostrou ser um grande amigo. Jamais esquecerei de todos os momentos que passamos, desde o primeiro dia no qual perdeu horas para apresentar os laboratórios, a biblioteca, o Departamento de Engenharia Elétrica e o Campus da Unesp. Muitíssimo Obrigado! Ao Prof.Dr. Ricardo Tokio no qual muito me ajudou no desenvolvimento do trabalho através de contatos com o Grupo de Sensores e Atuadores da EPUSP e de sugestões importantes que contribuíram enormemente na finalização do meu mestrado. Ao Prof.Dr. Gilder Nader e ao Prof. Dr. Emílio Neli no qual me receberam em São Paulo e cederam gentilmente o atuador que foi caracterizado no laboratório da FEIS. Ao Prof. Dr. Aparecido A. de Carvalho pelos equipamentos cedidos e pelas contribuições importantes e ao amigo Prof. Dr. Origa que várias vezes me ajudou, inclusive abrindo as portas de sua casa para me hospedar. A minha tia Nara e ao meu primo André que me acolheram nos momentos mais difíceis. xx Aos meus amigos (as) Silvano Rossi (me ajudou muito no começo do mestrado), Tony Inácio, Marçal, Vander, Sakamoto, Éden, Vlademir, Adriano, Jurandir, Lídia, Carlão, Wesley e todos que convivi nestes anos. À todos Professores e alunos do Laboratório de Caracterização elétrica do Grupo de Polímeros do DFQ da FEIS que me ajudaram na realizações de medidas com o medidor de Impedância. Ao aluno Thiago que desenvolveu o software em Matlab para aquisição da forma de onda na tela do osciloscópio digital. Aos técnicos Valdemir Chaves que desenvolveu todas as peças mecânicas de posicionamento dos interferômetros, ao Everaldo no qual me ajudou em todos os problemas quando se tratava da parte prática de eletrônica, ao José Aderson, ao Adilson e ao Hidemassa pela paciência quando precisei utilizar o laboratório de ensino. As faculdades que leciono pela compreensão e ajuda financeira nas minhas viagens. E principalmente à Deus. xxi Dedicatória Aos meus pais, à minha namorada Tatiana, ao meu irmão João, a minha cunhada Leandra e ao meu orientador Cláudio Kitano. 1 Capítulo 1 Introdução A utilização do laser para caracterizar, de forma não destrutiva, propriedades mecânicas em sólidos, evidencia, em várias situações, vantagens significativas, relativamente a outras técnicas convencionais [1]. Uma dessas vantagens, muito expressiva, decorre da ausência de contato físico entre a instrumentação envolvida e o material ou dispositivo a ser caracterizado. A invenção do laser em 1960, como fonte de elevada coerência, permitiu aplicar as técnicas utilizadas em microondas e telecomunicações, em óptica, estabelecendo-se a área hoje conhecida como optoeletrônica. Com isso, conceitos como modulação PM (phase modulation), interferência entre ondas eletromagnéticas e detecção por lei quadrática puderam ser aplicados a sensores ópticos como, por exemplo, o sensor interferométrico [2], [3]. Desde o princípio a interferometria óptica esteve associada à medição de grandezas físicas que demandam grande precisão. Um interferômetro óptico é um instrumento no qual dois ou mais comprimentos de caminho óptico podem ser comparados e medidos, na escala do comprimento de onda da luz, tipicamente de 1 µm. Quando feixes de luz mutuamente coerentes, propagando-se em dois ramos diferentes, incidem sobre um fotodetector de lei quadrática, a intensidade óptica resultante varia de acordo com a diferença relativa entre esses caminhos ópticos. Porém, esta dependência é não-linear [4]. Esta pesquisa tem por objetivo aplicar a técnica de interferometria óptica para análise de piezoatuadores flextensionais operando em regime harmônico. Estes dispositivos eletromecânicos são amplamente empregados em micro-manipuladores biológicos, em mecanismos de disk drive, em sistemas de alinhamento de microscópios, etc [5]. Portanto, operam como sistemas de posicionamento micrométrico e sub-micrométrico, tornando o interferômetro óptico um instrumento extremamente adequado para sua caracterização. Na seção a seguir, justifica-se de forma mais contundente a potencialidade da interferometria óptica em aplicações dessa natureza. 2 1.1 – Potencialidade da interferometria Óptica Nos primeiros anos do século XX, as fontes de luz utilizadas em interferometria óptica eram constituídas de lâmpadas de vapor de mercúrio, acrescidas de filtros ópticos que isolavam a linha verde ( λ = 0,546 µm ) de seu espectro de emissão. Atualmente, utiliza-se o laser, que possui elevado grau de coerência temporal e espacial, bem como de monocromaticidade, direcionalidade e brilho, aprimorando-se cada vez mais as técnicas de medição. Entretanto, pergunta-se: qual seria a grande vantagem em usar laser ao invés de Rádio Freqüência (RF) ou microondas em interferometria? Nesta seção pretende-se discutir esta questão. Encontram-se na literatura várias aplicações práticas da interferometria óptica como, por exemplo, em medições de grandezas físicas de natureza variada, na caracterização de materiais e em medições de deslocamentos e vibrações [1],[6],[7]-[9]. Quando usados como sensores são extremamente sensíveis a pequenas variações dos parâmetros físicos, relativamente aos demais sensores convencionais. Os interferômetros mais conhecidos são o de Young, Mach-Zehnder, Michelson, Sagnac, Polarimétrico, Intermodal, Fabry-Perrot entre outros [7]. Nesta pesquisa, ênfase especial é dada ao estudo do interferômetro de Michelson, implementado em óptica volumétrica. Em geral os sensores interferométricos possuem no mínimo dois ramos ou braços: um ramo sensor e um de referência. O ramo sensor será perturbado, induzindo-se assim uma variação na diferença de fase óptica φ∆ entre os dois ramos. As perturbações podem ocorrer devido a deslocamentos L∆ ou de índice de refração n∆ do meio, provocando a seguinte variação de fase óptica: )(2 LnLn ∆⋅+⋅∆⋅ ⋅ =∆ λ πφ , (1.1) onde n é o índice de refração do meio do ramo sensor, L é o comprimento do ramo sensor e λ é o comprimento de onda da luz no vácuo. 3 Portanto, variações de fase óptica extremamente reduzidas podem ser detectadas, uma vez que λ é muito pequeno, da ordem de 1 µm. Os próximos parágrafos justificam esta afirmação. Supõe-se, inicialmente, o caso hipotético de um sensor interferométrico usado para medir deslocamentos; portanto, a variação de fase ocorrerá devido à diferença de comprimento relativo entre os ramos. Com o objetivo de justificar a potencialidade da interferometria com laser, analisa-se qual o deslocamento necessário capaz de introduzir um desvio de apenas 1º na fase da luz para diversas freqüências de trabalho. Cita-se de antemão, que tal variação de fase óptica pode ser demodulada sem grandes dificuldades através de eletrônica convencional [7]. A título de ilustração, calcula-se este deslocamento para as seguintes freqüências: 1 MHz, 100 MHz, 1 GHz, 100 GHz e 10 THz, correspondentes às regiões de RF (as duas primeiras), microondas, ondas milimétricas e infravermelho, respectivamente. Por simplicidade, considera-se que o meio de propagação seja o vácuo (ou ar), ou seja, que 1=n . Isolando-se somente a contribuição da diferença entre os comprimentos dos ramos, L∆ , sobre a variação da fase dada por (1.1), obtém-se: L∆⋅ ⋅ =∆ λ πφ 2 . (1.2) Porém, sabe-se que o comprimento de onda da luz no vácuo é ff c 8103 ⋅ ==λ [m/s], onde f é a freqüência óptica, portanto, a equação (1.2) conduz a: f L ⋅⋅ ⋅⋅∆ =∆ π φ 2 103 8 . (1.3) Um desvio de 1º na fase da luz corresponde a 180 πφ =∆ rad, e assim, substituindo- se as freqüências de 1 MHz, 100 MHz, 1 GHz, 100 GHz e 10 THz em (1.3) têm-se os resultados mostrados na Tabela 1.1. 4 Tabela 1.1 – Deslocamentos necessários para produzir um desvio de 1º na fase da luz para freqüências distintas. Freqüências Deslocamentos 1 MHz 0,833 m 100 MHz 8,33 mm 1 GHz 0,833 mm 100 GHz 8,33 µm 10 THz 0,0833 µm Analisando-se a Tabela 1.1 observa-se que, quando se trabalha com uma freqüência de 1 MHz, para conseguir um desvio de 1º na fase da luz é necessário haver um deslocamento relativo entre os braços do interferômetro de 0,833 m. Por outro lado, quando se trabalha com uma freqüência de 10 THz (onda óptica) é necessário apenas um pequeno deslocamento de 0,0833 µm. Portanto, operando-se o interferômetro na faixa óptica, torna-se possível detectar deslocamentos extremamente reduzidos, e assim, sensores de deslocamentos muito sensíveis podem ser implementados. De forma similar, pode-se determinar também a variação do índice de refração do meio, necessária para produzir um desvio na fase da luz na ordem de 1º. Neste caso, considerando-se L constante para os dois ramos, observa-se que (1.1) torna-se: Ln ⋅∆⋅ ⋅ =∆ λ πφ 2 (1.4) Supondo, a título de ilustração, um comprimento de ramo sensor igual a L = 1 m, obtêm-se os resultados mostrados na tabela 1.2. 5 Tabela 1.2 – Variações do índice de refração do meio necessárias para produzir um desvio de 1º na fase da luz para freqüências distintas. Freqüências Variações do índice de refração do meio 1 MHz 0,833 100 MHz 0,008 1 GHz 410333,8 −⋅ 100 GHz 610333,8 −⋅ 10 THz 810333,8 −⋅ Conclui-se que, usando-se radiação óptica no interferômetro, pequenas variações no índice de refração do meio, da ordem de uma parte por bilhão, podem ser detectadas empregando-se interferometria óptica. Assim, por exemplo, podem ser implementados sensores de temperatura com grande sensibilidade, uma vez que variações de temperatura alteram o índice de refração do meio e, conseqüentemente, a fase da luz. 1.2 – Algumas Aplicações dos Piezoatuadores Conforme observado anteriormente, os piezoatuadores são utilizados com regularidade em sistemas de posicionamento onde exige-se elevada resolução, tais como: sistemas de varredura de microscópio, controle de posicionamento de espelhos de interferômetros, teste da cabeça de leitura magnética em disk drive, nano-metrologia, entre outros. A fim de adquirir noções sobre as ordens das grandezas envolvidas, dedica-se ênfase especial à discussão do piezoatuador em biotecnologia. Aplicações em biotecnologia envolvem procedimentos como injeção pró-nuclear, injeção de blastocistos, injeção intracitoplasmática de células espérmicas (ISCI, Intracytoplasmatic Sperm) e transferência nuclear [10], [11], [12]. Nestes sistemas, a manipulação celular exige movimentos de pipetas rápidos, porém, suaves, para penetrar nas membranas celulares. Além disso, após a penetração, necessita-se de respostas rápidas do manipulador a variações na estrutura interna da célula, sem a necessidade de compensações freqüentes devido a atraso ou sobre-sinal (overshoot); ou seja, a eficiência da microinjeção depende do grau de fidelidade entre o comando manual (joystick) e o movimento da pipeta. 6 Tecnologias convencionais normalmente apresentam problemas de atrasos e drift dos estágios atuados hidraulicamente, ou de vibração e overshoot nos parafusos acionados por motores de passo. A maior parte dessas tecnologias, apresentam problemas associados a vazamento, ricochete, aquiescência e deriva, o que não ocorre quando são usados piezoatuadores. Sistemas comerciais típicos produzem velocidades de até 1,5 mm/s (isto é, um curso de 300 µm em aproximadamente 200 ms) [10]. A faixa operacional de deslocamento se estende entre 150 e 300 µm, com resolução mínima de 60 nm. Nos parágrafos a seguir, discute-se o caso da ISCI, correspondente ao processo de inserção mecânica de um espermatozóide inteiro ou do núcleo espermático isolado dentro do ooplasma, para aplicações em produção de transgênicos, multiplicação de animais com risco de extinção, inseminação artificial dentre outras [11]. Na figura 1.1 ilustram-se as pipetas de borosilicato, ferramentas que manipulam os ovócitos e espermatozóides durante o processo de microinjeção. Fig 1.1 – Pipetas de borosilicato durante o processo de microinjeção [11]. A extremidade da pipeta de injeção de espermatozóides tem diâmetro interno entre 6 e 7 µm, e externos entre 8 e 9 µm, cuja ponta é clivada com ângulo de 450. A pipeta de fixação dos ovócitos tem diâmetros externo e interno de 120 µm e 30 µm, respectivamente. Tipicamente, a micro-manipulação é conduzida em microscópio invertido, equipado com dois micro-manipuladores de movimentos grosseiros, com controle elétrico (parafuso micrométrico acionado por motor de passo), e dois micro-manipuladores hidráulicos de três dimensões, de controle manual e movimentos suaves. Nos micro-manipuladores são acopladas as pipetas de micro-manipulação, sendo uma para segurar o ovócito e outra para injetar o espermatozóide dentro do citoplasma do ovócito. Para fixação do ovócito e para 7 microinjeção do espermatozóide normalmente é utilizado um sistema hidráulico. Para microinjeção, um ovócito é fixado na pipeta usando leve sucção, conforme ilustrado na Figura 1.2 a). A pipeta de injeção é empurrada firmemente contra a zona pelúcida até perfurá-la e estar bem dentro do ovócito, no qual é injetada a célula espermática, tal qual ilustra a Figura 1.2 b). (a) (b) Fig 1.2 – Processo de microinjeção. (a) Ovócito não perfurado pela pipeta de injeção. (b) Ovócito perfurado pela pipeta de injeção na inserção de uma célula espermática. Contudo, os procedimentos acima exigem grande habilidade manual do operador, tipicamente, sendo necessário um ano de treinamento [12]. Mesmo assim, a taxa de sucesso é muito baixa, sendo dependente da habilidade no controle da força e velocidade da manipulação. Manipuladores hidráulicos convencionais causam grande deformação na célula, devido à grande elasticidade da membrana, o que pode destruir o núcleo, sem mencionar o grau de contaminação da inserção quando se usa intervenção humana [13]. Segundo a referência [11], a utilização de métodos menos agressivos ao ovócito, como a utilização de micro-manipuladores piezoelétricos pode aumentar a taxa de sucesso das microinjeções. Proporcionando-se ajustes quantitativos de força e velocidade, pode-se automatizar a injeção celular a fim de ser altamente reprodutível, além de se eliminarem as contaminações. Aplicações denominadas de grande velocidade, como a técnica de solution switching, exigem desempenhos que somente os atuadores piezoelétricos podem alcançar: deslocamentos entre 100 µm e 300 µm, em intervalos de tempo inferiores a 1 ms, e com tensões de alimentação da ordem de 150 V [14]. Sabe-se, da teoria de sinais e sistemas lineares, que uma forma de onda triangular com amplitude A e tempos de subida e descida iguais a τ, apresenta espectro com amplitude máxima na freqüência f=0, igual a Aτ, e largura de banda 1/τ. Isto significa que se for aplicado um sinal de tensão de controle com forma triangular de duração total 2τ = 1 ms, exige-se que o sistema tenha capacidade de resposta a 8 componentes espectrais de até 1 kHz, isto é, a magnitude do espectro deve ser plana e a fase deve variar linearmente com f. Características adicionais desses manipuladores são: não- linearidade inferior a 6%, histerese inferior a 20% e primeira freqüência de ressonância elevada (acima de algumas centenas de Hz). 1.3 – Organização do Texto O presente texto consiste de cinco capítulos incluindo este. No capítulo dois encontra-se a teoria de interferometria óptica, o qual contém as descrições dos interferômetros de Young, Mach-Zehnder e Michelson. Destacam-se também as técnicas de detecção de sinais como o método de contagem de franjas de interferência, o método de baixo índice de modulação e algumas técnicas de detecção homodinas passivas, no qual se incluem os métodos de 1J máximo, 1J nulo, 21 / JJ , 31 / JJ e o 41....JJ . No capítulo três trata-se da teoria da piezeletricidade e dos atuadores piezoelétricos. Nesse capítulo são apresentadas as equações constitutivas da elasticidade em meios piezoelétricos, o circuito equivalente de Mason e um resumo dos atuadores flextensionais. No capítulo quatro apresentam-se os resultados experimentais envolvendo um transdutor piezoelétrico bilaminar e um atuador flextensional, caracterizados com os métodos interferométricos descritos no capítulo dois. Os interferômetros implementados são discutidos em detalhes, bem como, a obtenção de franjas de interferência. No capítulo cinco encontra-se a conclusão do trabalho e as perspectivas futuras. 9 Capítulo 2 Interferometria Óptica e Métodos Interferométricos de Detecção de Sinal Neste capítulo será abordada a teoria básica da interferometria óptica, descrevendo a formação de franjas de interferência e destacando algumas técnicas de detecção de sinal. Apesar de não ser usual a utilização prática do interferômetro de Young, sua análise constitui uma importante etapa para a compreensão de arranjos interferométricos mais complicados como os interferômetros de Mach-Zehnder, Michelson e outros. Por isso, tal tipo de interferômetro será discutido primeiramente. Após a análise do interferômetro de Young, serão estudados interferômetros de dois feixes como os interferômetros de Mach-Zehnder e o de Michelson dedicados à medição de deslocamentos e vibrações. Outros tipos de interferômetros, embora não menos importantes, não serão abordados neste trabalho. Por fim, o texto retrata algumas técnicas de detecção utilizadas nos resultados experimentais desta dissertação. Destacam-se os métodos interferométricos de contagem de franjas de interferência, 31 / JJ , 41....JJ e o de baixo índice de modulação. 2.1 – Interferômetro de Young com Duas Fontes de Luz A representação esquemática do interferômetro de Young é mostrada na figura 2.1. Esta configuração corresponde a duas fontes pontuais de luz coerente, 1S e 2S , localizadas sobre um plano α e com uma distância 1d entre si. Estas fontes irradiam feixes de luz 10 conforme mostrados na figura 2.1, que se superpõem no ponto A pertencente ao plano β, a uma distância 2d do plano α. Fig 2.1 – Representação do interferômetro de Young para duas fontes de luz. Tendo como base a teoria de ondas eletromagnéticas propagando-se no espaço livre, pode-se realizar a análise do interferômetro de Young partindo-se do processo de formação de franjas de interferência entre as duas fontes ópticas. O fenômeno de propagação do laser pode ser estudado a partir da sua componente de campo elétrico [15], admitindo-se uma variação harmônica no tempo. Embora as ondas irradiadas pelas fontes 1S e 2S tenham formas esféricas no campo próximo, no campo distante elas podem ser aproximadas por ondas planas devido ao pequeno valor de 1d em comparação a 2d . Assim, o campo elétrico é denotado por: )cos(),( 0 rktEtre rrrrr •−= ω (2.1) para uma onda plana onde 0E r é o vetor que fornece a amplitude e a polarização, ω é a freqüência da fonte de luz, rr é o vetor que descreve a frente de onda e k r é um vetor de onda que está na direção de propagação. O símbolo “ • ” denota produto escalar entre vetores. O módulo de k r representa a constante de fase da onda plana e é dado por k = 2π / λ (admitindo- se propagação no ar), onde λ é o comprimento de onda da luz no vácuo. 11 Numa situação genérica admite-se que as fontes ópticas correspondam a freqüências diferentes, 1ω e 2ω , e assim, os feixes podem ser descritos no ponto A da figura 2.1 como: )cos(),( 1110111 rktEtre rrrrr •−= ω (2.2) )cos(),( 2220222 rktEtre rrrrr •−= ω . (2.3) Na configuração da figura 2.1 supõe-se que a distância 1d é pequena em relação a 2d , satisfazendo assim a aproximação de paralelismo entre 1k r e 1r r , e também entre 2k r e 2r r quando as ondas atingirem o ponto A. Portanto, os produtos escalares em (2.2) e (2.3) são aproximados por: 1111 rkrk ≅• rr e 2212 rkrk ≅• rr . (2.4) O campo total no ponto A da figura 2.1 é a soma vetorial dos campos produzidos pelas fontes 1S e 2S . Devido à aproximação dos produtos escalares em (2.4) a função superposição ),( tre rr será denotada simplesmente por ),( trer . Substituindo (2.4) em (2.2) e (2.3) e executando-se a superposição, resulta: )cos()cos(),( 2220211101 rktErktEtret −+−= ωω rrr . (2.5) Os cálculos simplificam-se quando é feita uma mudança na representação dos campos das fontes (2.2) e (2.3), da forma temporal para a fasorial: )( 0111 111),( rktjeEtrE −= ω rr (2.6) )( 0222 222),( rktjeEtrE −= ω rr . (2.7) tal que { }),(),( trEetre iiii r ℜ= , i = 1, 2. Assim, pode-se escrever o campo total (2.5) conforme a notação fasorial equivalente: 12 ),( trEt r )( 02 )( 01 222111 rktjrktj eEeE −− += ωω rr . (2.8) A intensidade óptica, ou irradiância [ W / m 2 ], é proporcional ao valor médio do vetor de Poynting, isto é, ao produto escalar do campo total pelo seu complexo conjugado (válido no caso de onda plana): 2 ),(),(),( trEtrEtrI tt ∗ • = rr (2.9) Substituindo (2.8) em (2.9) e executando o produto escalar, obtém-se (supondo-se que 01E r e 02E r sejam vetores puramente reais, sem fase inicial): =),(2 trI +++ −−− • )( 02 )( 01 2 02 2 01 222111 rktjrktj eEeEEE ωω rrrr )( 02 )( 01 222111 rktjrktj eEeE −−− • ωω rr +++= −+− • ])[( 0201 2 02 2 01 112221 rkrktjeEEEE ωω rrrr ])[( 0201 112221 rkrktjeEE −+−− • ωω rr (2.10) Através da relação trigonométrica 2 )cos( jaja eea −+ = a equação (2.10) torna-se: ]})cos[(2{ 2 1),( 1122210201 2 02 2 01 rkrktEEEEtrI −+−++= • ωω rrrr . (2.11) As duas primeiras parcelas no lado direito da equação (2.11) referem-se às intensidades das fontes individuais e sua soma é denominada de intensidade c.c. ou “Bias”, enquanto a terceira parcela é proporcional ao produto de campos e refere-se ao termo de interferência. Esta parcela pode ser interpretada como uma distribuição espacial senoidal denominada figura de franjas, a qual será estudada em detalhes na próxima seção. Caso os feixes ópticos tenham polarizações ortogonais, a terceira parcela da equação (2.11) se anula, restando apenas uma intensidade constante. Nesta situação, a intensidade óptica não conterá nenhuma informação relevante. Por outro lado, no caso dos feixes serem polarizados paralelamente, a terceira parcela será máxima. Qualquer informação relevante estará associada a esta variação de intensidade óptica. 13 2.2 – Franjas de Interferência Um caso particular, embora muito importante, ocorre quando: 2 2 02 2 01 IoEE == rr , ou seja, quando as potências irradiadas das fontes forem iguais e possuírem mesma polarização. Nesta situação, (2.11) tornar-se-á: ]})cos[(1{ 2 1),( 112221 rkrkt Io trI −+−+= ωω . (2.12) Da figura 2.1 pode ser extraída a seguinte relação geométrica: 2 22 2 )(1 d x d r += . (2.13) onde x é a altura do ponto A. Usando a expansão binomial 2 11 2 2 xx +≅+ , para 1 2 > 1) Ch 1: 100 mVolt 250 us 2) Ch 2: 10 Volt 250 us dY: 463 mVolt Y: -201 mVolt (a) (b) Fig 2.11 – Formas de ondas interferométricas distorcidas adquiridas pelo osciloscópio digital. No canal 1 está o sinal na saída do interferômetro e no canal 2 o sinal modulador. (a) Sinal de excitação triangular; (b) Sinal de excitação senoidal. 1 > 2 > 1) Ch 1: 100 mVolt 250 us 2) Ch 2: 5 Volt 250 us dY: 130 mVolt Y: -68.0 mVolt 1 > 2 > 1) Ch 1: 5 Volt 25 us 2) Ch 2: 5 mVolt 25 us (a) (b) Fig 2.12 – Formas de onda com operação na condição de quadratura de fase e com amplitudes suficientemente pequenas, garantindo a operação na região linear da curva de transferência: (a) Sinal de excitação triangular. (b) Sinal de excitação senoidal. A calibração do método para obtenção do índice de modulação pode ser realizada através dos seguintes passos: 1-) Ajustar o interferômetro para a condição de quadratura de fase ( 2/0 πφ = ) obtendo, através de (2.34), a equação: ( )[ ])(sen 2 )( 0 tVItI φ∆=∆ (2.36) 31 2-) Aplicar um sinal )(tφ∆ com forma de onda triangular e aumentar sua amplitude até atingir um valor de pico igual a π / 2. Nesta situação, e a equação (2.36) conduz a uma intensidade máxima de pico igual a: ( )[ ] 22 sen 2 )(sen 2 )(Im 000 VIVItVItáx pPicop =           == πφ (2.37) onde pt é o instante onde )(tI∆ passa por pico. Para garantir que a amplitude do sinal atinja um valor de pico igual a π / 2 deve-se aumentar a tensão de excitação e observar, através do osciloscópio, o surgimento de uma de uma pequena reentrância próxima ao pico (e ao zero) conforme ilustrado na figura 2.13. Após a realização do procedimento descrito acima, diminuir gradativamente a amplitude do sinal até que o resultado da intensidade óptica )(tI∆ , vista através do osciloscópio, tenha forma de onda semelhante à uma senóide, como pode ser observado na figura 2.14 (senóide de cor azul). Fig 2.13 – Curva de transferência da intensidade óptica para uma excitação com forma de onda triangular e índice de modulação um pouco maior que π / 2. 32 Fig 2.14 – Curva de transferência da intensidade óptica para uma excitação com forma de onda triangular e índice de modulação igual a π / 2. 3-) Medindo-se o valor de )(Im ptáx pelo osciloscópio, determina-se o fator 2/0VI (conforme estabelece (2.37)) que relaciona a amplitude da intensidade óptica com a amplitude do índice de modulação através de (2.35). 4-) Estando o sistema calibrado, realizam-se medições de índices de modulação para outras amplitudes de sinal de excitação. Ressalta-se porém, que as amplitudes do sinal )(tφ∆ devem ser pequenas o suficiente para garantir proporcionalidade com )(tI∆ , conforme ilustrado na figura 2.15. Fig 2.15 – Curva de transferência da intensidade óptica para uma excitação com forma de onda triangular e índice de modulação igual a π / 8. 33 2.9.2 – Método de Contagem de Franjas de Interferência Nos casos em que se utilizam os interferômetros para medição de deslocamentos superiores a aproximadamente 2500 Α& , o valor de )(tφ∆ poderá ser muito grande, operando além da região linear da curva de transferência. Este é o caso conhecido como regime de multi-franjas. Evidentemente, não existe mais uma relação de proporcionalidade entre )(tφ∆ , no domínio óptico, e )(tI∆ no domínio elétrico. Sendo assim, é conveniente recorrer ao método de contagem de franjas de interferência, onde conta-se o número de picos resultantes do sinal )(tI referente ao deslocamento ou vibração que se quer medir. Considere-se, primeiramente, o caso particular onde o interferômetro é hipoteticamente usado para medição de fases proporcionais aos deslocamentos de espelhos. A representação da variação da diferença de fase entre os dois ramos pode ser dada pela equação (uma possibilidade para gerar tal dependência será discutida no capítulo 3): Att =∆ )(φ (2.38) onde A é constante. Neste caso, a curva de transferência, o sinal modulador e a intensidade óptica resultante, aplicando-se (2.30), são representados na figura 2.16, a título de exemplo. Na figura adotou-se 2/0 πφ −= , tal que, substituindo-se (2.38) em (2.30) obtém-se: ( )[ ]At I tI sen1 2 1)( 0 += . (2.39) O sinal modulador é uma reta entre -π / 2 e 6π para o tempo entre 0 e 7 ms. A figura 2.17 corresponde a uma vista em detalhe da intensidade óptica obtida da figura anterior. Conforme se observa, o deslocamento das franjas de interferência ocorre num único sentido, e )(tI varia temporalmente segundo uma senóide, tal que, toda vez que o deslocamento produza uma fase φ∆ que seja múltiplo de π2 , a intensidade )(tI passa por um pico. No exemplo em questão, o resultado do número de picos é igual a 3. 34 Fig 2.16 – Excursão do sinal modulador do tipo Att =∆ )(φ sobre a curva de transferência e resultado da intensidade para operação em regime de multi-franjas. Para obter o resultado do deslocamento em micrometros a partir do número de picos da função intensidade óptica, recorre-se a equação (2.32) supondo a luz se propagando no ar (n=1) e considerando o laser com comprimento de onda conforme visto na seção 2.5. Tanto para o interferômetro de Mach-Zehnder quanto para o de Michelson, o deslocamento medido corresponde à metade do deslocamento óptico da luz, portanto: NL 2 λ =∆ (2.40) onde N é o número de picos. 35 Fig 2.17 – Gráfico da intensidade óptica para regime de multi-franjas com 2/0 πφ −= e sinal modulador do tipo Att =∆ )(φ . Por outro lado, no caso de um sinal triangular positivo e periódico, além da rampa de subida deve-se considerar também a rampa de descida. Em tal situação, o número de picos por período de sinal triangular seria o dobro daquele obtido nas figuras 2.16 ou 2.17, porém, a amplitude do deslocamento medido ainda seria a mesma da rampa. Com isso, (2.40) precisa ser corrigido, sendo divido por 2, ou seja, 4/NL λ=∆ . Algo semelhante se aplica para um sinal senoidal, o qual será discutido a seguir. Para um sinal de modulação senoidal a fase )(tφ tem forma geral: tt ss ωφ sen)( Φ= (2.41) onde sΦ é o valor de pico de )(tφ , denominado de índice de modulação e sω é a freqüência angular. Na figura 2.18 mostram-se simulações de formas de onda do sinal modulador em vermelho, da curva de transferência em verde e do resultado obtido da intensidade óptica normalizada em azul, aplicando-se (2.30), para uma excitação senoidal com amplitude π2=Φ s . Neste exemplo ilustrativo, a quantidade de picos com valor superior a 0,5, num período de sinal de excitação, é igual a 4. A cor vermelha sobre a curva de transferência 36 indica a excursão do sinal modulador, que neste caso, produz uma variação na fase da luz bem maior em comparação ao do regime em sub-franjas. A figura 2.19 corresponde a uma ampliação do gráfico da intensidade óptica (normalizada) da figura 2.18 onde estão indicados, em cores diferentes, os números de picos com valor superior a 0,5 referentes a cada sentido do deslocamento. Ressalta-se que este resultado foi obtido em regime de quadratura de fase. Fig 2.18 – Excursão do sinal modulador senoidal sobre a curva de transferência e resultado da intensidade óptica para operação em regime de multi-franjas. À luz do que foi discutido anteriormente, e considerando que o sinal senoidal apresenta semi-ciclos positivo e negativo, o valor do deslocamento (valor de pico) a ser medido relaciona-se com o número de picos (com amplitudes superiores a 0,5), contados por período de )(tI , por: 8 λNLpico =∆ (2.42) Para o exemplo mostrado na figura 2.19, conta-se N = 4 por período, e assim, 2/8/4 λλ ==∆ picoL . Se for utilizado um laser de He-Ne ( 6328,0=λ µm), obtém-se )3164,0(=∆ picoL µm para a amplitude de vibração. 37 Fig 2.19 – Gráfico da intensidade óptica para regime de multi-franjas com 2/0 πφ = e sinal modulador senoidal. A grande vantagem do método de contagem de franjas ocorre quando a quantidade de picos é grande, pois o sinal modulador não precisa necessariamente estar em quadratura de fase. O máximo erro previsto neste caso é de um pico (com intensidade acima do valor de 0,5). As figuras 2.19, 2.20 e 2.21 mostram exemplos da intensidade óptica resultante de um mesmo sinal modulador, para 2/0 πφ = (quadratura), πφ =0 e 4/0 πφ = respectivamente. Nos dois primeiros casos apresentados, o resultado do número de picos (por período) com valor superior a 0,5 é o mesmo, porém, para o terceiro caso é diferente em um pico. Neste exemplo, o erro de um pico pode ser significativo, mas, em se tratando de contagem de centenas de franjas o erro passa a ser muito pequeno. A título de ilustração, um erro de um pico (com valor superior a 0,5), segundo (2.42) é de apenas 8/λ . No caso de laser de He-Ne, é igual a 0,6328 µm / 8 ≅ 0,08 µm. Se a medição envolver, por exemplo, deslocamentos da ordem de dezenas ou centenas de micrometros, tal erro seria desprezível. 38 Fig 2.20 – Gráfico da intensidade óptica para regime de multi-franjas com πφ =0 e sinal modulador senoidal. Fig 2.21 – Gráfico da intensidade óptica para regime de multi-franjas com 4/0 πφ = e sinal modulador senoidal. Para conseguir uma boa exatidão com o método de contagem de franjas de interferência, é conveniente que o número de picos detectados seja grande, devido a melhor resolução deste tipo de medida ser de um pico. Porém, em se tratando de óptica volumétrica 39 esta pode se tornar um fator limitante devido ao desalinhamento do interferômetro nos casos de medições de amplitudes elevadas, conforme será discutido no capítulo 4. Neste capítulo será discutido também que uma solução para este problema seria a implementação de um interferômetro em fibra óptica, onde se possibilitaria medir uma grande quantidade de picos sem a preocupação com desalinhamento do sistema. Outra limitação refere-se à resposta em freqüência do fotodetector. Com o aumento do número de picos num período do sinal modulador, implica em se aumentar a freqüência do sinal detectado. Por exemplo, na figura 2.19, o sinal interferométrico detectado encontra-se numa freqüência de aproximadamente 5 vezes a do sinal de modulação. Caso o fotodetector não tenha banda suficiente para operar com um número excessivo de picos, ocorrem distorções, dificultando a interpretação do sinal interferométrico. Tendo em vista esses problemas, no próximo item propõe-se uma solução para melhorar a exatidão do método quando não se tem um número muito elevado de picos num período de sinal. 2.9.3 – Aprimoramento da Exatidão do Método de Contagem de Franjas de Interferência Conforme visto na seção anterior, o método de contagem de franjas de interferência torna-se mais viável quando o número de franjas deslocadas é grande. No entanto, pode-se definir valores intermediários para o número de franjas analisando a forma de onda detectada. Para que isso ocorra é preciso que o interferômetro opere necessariamente em regime de quadratura de fase, para que haja simetria na forma de onda. A fim de esclarecer melhor a definição de valores intermediários de franjas de interferência, foi desenvolvido um programa em Matlab que simula a forma de onda de um sinal interferométrico a partir do fornecimento da quantidade de picos, num período de sinal de excitação, desejada pelo usuário. Após a obtenção da forma de onda simulada, compara-se com a obtida experimentalmente, adquirida pelo osciloscópio digital. Neste caso, pode-se obter uma sensibilidade de meio pico (com valor acima de 0,5). A figura 2.22 mostra diversas formas de ondas simuladas no Matlab para diferentes quantidades de picos num período, na condição de quadratura de fase. As curvas em vermelho correspondem ao sinal de excitação, e as azuis ao sinal interferométrico detectado. 40 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10-3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Tempo [s] In te ns id ad e [u .a .] o o (a) 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10-3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Tempo [s] In te ns id ad e [u .a .] o o (c) 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10-3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Tempo [s] In te ns id ad e [u .a .] o o (e) 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10-3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Tempo [s] In te ns id ad e [u .a .] o o (b) 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10-3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Tempo [s] In te ns id ad e [u .a .] o o (d) 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10-3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Tempo [s] In te ns id ad e [u .a .] o o (f) Fig 2.22 – Formas de onda de intensidade óptica obtidas para diferentes números de picos (N) num período. (a) N = 1; (b) N = 1,5; (c) N = 2; (d) N = 2,5; (e) N = 3; (f) N = 3,5. Para amplitudes do sinal modulador muito pequenas, tem-se a condição de baixo nível de modulação, na qual o sinal detectado tem forma de senóide pura e, portanto, um só pico com valor maior que 0,5. Na figura 2.22a tem-se o caso N = 1 exatamente. Trata-se de uma função semelhante à senóide, porém, achatada nos pico e zeros. Assim, para qualquer 41 forma de onda com aparência senoidal, a menos que seja achatada nos extremos, adota-se 0 < N < 0,5, com um erro de 0,5 pico. Para a condição onde o número de picos (com valor superior a 0,5) é tal que <1 N 2< , tem-se um gráfico semelhante ao da figura 2.22b, onde se observa uma reentrância próximo ao pico (e ao zero) que torna-se mais profunda à medida que N aumenta. Quando N 2= exatamente, as reentrâncias atingem o valor 0,5. Assim, para qualquer gráfico cuja aparência se encontre entre as das figuras 2.22a e 2.22c, adota-se que N = 1,5. Observa-se que, embora existam dois picos (com valor maior que 0,5), considera-se N = 1,5. Novamente, o erro máximo será de 0,5 pico. Na condição 2 < N < 3 tem-se o gráfico da figura 2.22d, onde o número de picos (com valor maior que 0,5) se eleva para 3 por período de sinal modulador. Na figura 2.22e tem-se o caso N = 3 exatamente. Para quaisquer gráficos cujos aspectos encontram-se entre os das figuras 2.22c e 2.22e considera-se que N = 2,5. E assim sucessivamente. Somente nas condições N inteiro, os pontos de máximo ou mínimos dos gráficos só podem assumir valores 0, 1/2 ou 1. O mesmo não acontece com valores de N intermediários. Ao observar as formas de onda simuladas, pode-se dizer que o número de picos num período tem valor inteiro ( N ) somente quando se está na iminência do surgimento de mais um pico com valor acima de 0,5; caso contrário tem-se que o número de picos (N) vale N 5,0− . O próximo item trata das técnicas de detecção homodinas passivas, dentre as quais encontram-se os métodos: 1J máximo, 1J nulo, 21 / JJ , 31 / JJ e 41....JJ . Estes métodos são usados para detecção de sinais com amplitudes intermediárias (entre Α&300 e Α&2500 aproximadamente, para o laser de He-Ne). 2.10 – Técnicas de Detecção Homodinas Passivas Na linguagem dos sistemas de comunicação, na interferometria óptica ocorre modulação PM (phase-modulation), na qual a portadora é a luz e, portanto, pode ser analisada usando-se conceitos clássicos de comunicação. Supõe-se, por simplicidade, que a intensidade óptica c.a. de um interferômetro, em função da fase total, seja representada pela equação abaixo: 42 )](cos[)( tAtI Φ= (2.43) onde A é uma constante que contém informações sobre a visibilidade, potência óptica da fonte e responsividade do fotodiodo. O )(tΦ é a fase total em função do tempo, representada pela seguinte equação: 0)sen()( φω +Φ=Φ tt ss . (2.44) onde sΦ é o índice de modulação, 0φ é a diferença de fase estática e sω é a freqüência do sinal de excitação. A intensidade óptica (2.43), modulada em PM, pode ser expandida em série de funções como [18]: ∑ ∞ = ⋅ Φ+Φ= 1 200 )]2cos()(2)()[{cos()( n ssns tnJJAtI ωφ ∑ ∞ = +⋅ +Φ− 0 120 )]})12sen(()(2)[sen( n ssn tnJ ωφ (2.45) onde )(xJn é uma função de Bessel de 1ª espécie e ordem n. A partir da equação (2.45) aplicam-se os métodos de detecção descritos a seguir. 2.10.1 – Método do 1J Máximo O método conhecido como 1J máximo consiste nos seguintes passos: a-) Ajustar a condição 0)cos( 0 =φ e, conseqüentemente, 1)sen( 0 =φ . Esta etapa pode ser realizada variando-se o caminho óptico de um dos ramos e observando-se a intensidade óptica detectada, com o auxílio de um analisador de espectros, o cancelamento de todas as linhas espectrais com ordem n par. Na figura 2.23 mostra-se esquematicamente a tela do analisador com estas linhas anuladas. O ajuste pode ser feito variando o caminho óptico do interferômetro (por exemplo, atuando sobre um dos espelhos) a fim de obter a condição 20 πφ m= , onde m é ímpar. 43 (a) (b) Fig 2.23 – Tela do analisador de espectros. (a) Mostrando todas as componentes. (b) Com as linhas pares anuladas. b-) Filtrar a componente fundamental ( freqüência sω ) e ajustar sΦ até atingir )(1 tI máximo. Nesta situação, após ajustada a condição 0)cos( 0 =φ e filtrada a componente fundamental, extrai-se da equação (2.45) a seguinte componente fundamental (fazendo n=0): )sen()(2)( 11 tAJtI ss ωΦ−= . (2.46) Sabe-se, porém, que )(1 sJ Φ é máximo para 8,1=Φ s rad e vale 5819,0)8,1(1 =J . Assim, a equação (2.46) torna-se: )sen()( 11 tItI s máx ω−= (2.47) sendo )5819,0(21 AI máx = . O valor de máxI1 pode ser medido num osciloscópio e, por conseqüência, determina- se o valor da constante A, a partir do qual o sistema encontrar-se-á calibrado. Uma vez determinado A, procede-se a medição de sΦ para o caso de interesse, fazendo: )sen()sen()(2)( 11 tBtAJtI sss ωω =Φ−= (2.48) 44 onde B é a medida da amplitude da componente fundamental na condição de quadratura de fase . Portanto, (2.48) conduz a seguinte equação transcendental: A BJ s 2 )(1 − =Φ . (2.49) na qual o valor de sΦ pode ser extraído das tabelas das funções de Bessel. Os problemas deste método estão em ajustar sΦ para obter máxI1 , e assim calibrar o sistema, bem como, em controlar as condições ambientais a fim de manter 0φ na quadratura. 2.10.2 – Método do 1J nulo O método conhecido como 1J nulo parte da hipótese que um estímulo externo aplicado a um dos braços do interferômetro, por exemplo, uma tensão 1V que se relaciona ao ajuste de um dos espelhos, cause uma variação de fase óptica proporcional. O método do 1J nulo consiste nos seguintes passos: a-) Independentemente de 0φ , ajustar a tensão 1V aplicada de modo que sΦ conduza a 0)(1 =Φ sJ . Ou seja, filtrar a raia na freqüência fundamental, sω , tal que: 0)sen()(2)( 11 =Φ−= tAJtI ss ω (2.50) Isto ocorre quando 832,3=Φ s , que corresponde a um deslocamento, para o laser de He-Ne, de : 97,192 41 =Φ=∆ sL π λ nm (2.51) b-) Admitir que exista linearidade entre 1V e 1L∆ . 45 Nesta situação, define-se uma reta que passa pela origem e pelo ponto onde 0)(1 =Φ sJ , como mostra a figura 2.24. Fig 2.24 – Re