
UNESP

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá

Análise da estabilidade da região externa do sistema Plutão-Caronte após a
descoberta dos novos satélites Nix e Hidra: aplicação à sonda New Horizons

Pryscilla Maria Pires dos Santos

Guaratinguetá

2010


PRYSCILLA MARIA PIRES DOS SANTOS

ANÁLISE DA ESTABILIDADE DA REGIÃO EXTERNA DO SISTEMA

PLUTÃO-CARONTE APÓS A DESCOBERTA DOS NOVOS SATÉLITES NIX E HIDRA:

APLICAÇÃO À SONDA NEW HORIZONS

Dissertação apresentada à Faculdade de

Engenharia do Campus de Guaratinguetá,

Universidade Estadual Paulista, para a

obtenção do tı́tulo de Mestre em Fı́sica.

Orientadora: Profa Dra Silvia Maria Giuliatti Winter

Guaratinguetá

2010


DADOS CURRICULARES

PRYSCILLA MARIA PIRES DOS SANTOS

NASCIMENTO 23.03.1984 - GUARATINGUETÁ/SP

FILIAÇÃO Silvio Ananias dos Santos

Regina Pires dos Santos

2004 - 2007 Curso de Graduação

Licenciatura em Matemática- UNESP - Campus de Guaratinguetá


de modo especial, à minha mãe, pai, irmãos, sobrinho e avó Ana.


AGRADECIMENTOS

À minha orientadora, profa Silvia Maria Giuliatti Winter por todo incentivo, sabedoria e

compreensão.

Aos meus pais pelo apoio e paciência.

Aos meus irmãos e sobrinho em especial ao meu irmão Felipe por sua amizade.

Aos meus amigos e professores do Curso de Pós-graduação com os quais aprendi muito

durante os dois anos do curso, e em especial ao Rafael Sfair por todo conhecimento sobre

linguagem de programação e simulações numéricas comigo compartilhados.


Este trabalho contou com o apoio da

FAPESP - através do processo n◦ 2007/06275-0


SANTOS, P.M.P. Análise da estabilidade da região externa do Sistema Plutão-Caronte

após a descoberta dos novos satélites Nix e Hidra: aplicação à sonda New Horizons,

2010, 103 f., Dissertação (Mestrado em Fı́sica) - Faculdade de Engenharia do Campus de

Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2010.

RESUMO

Neste trabalho analisamos numericamente a região externa do sistema Plutão-Caronte através

da inserção de partı́culas-teste inicialmente em órbitas do tipo-P prógradas e retrógradas, no sis-

tema formado por Plutão, Caronte, Nix e Hidra. Destas integrações numéricas foram

geradas grades semi-eixo maior em função da excentricidade definindo-se regiões de partı́culas

em órbitas estáveis e regiões de colisão e escape. Na vizinhança dos satélites Nix e Hidra foram

identificadas regiões caóticas, em que partı́culas localizadas dentro desta região têm suas ex-

centricidades e semi-eixo maiores aumentados e escapam ou colidem com um corpo massivo

do sistema. Um conjunto de partı́culas permaneceram em regiões próximas das órbitas de Nix

e Hidra, possivelmente coorbitais de Nix e Hidra. Para ambos os casos, prógrado e retrógrado,

a região “estável” é maior na região externa do sistema, após a órbita de Hidra, dependendo

do valor da excentricidade. Também foram realizadas simulações numéricas inserindo satélites

hipotéticos massivos além da órbita de Caronte e os efeitos causados nas órbitas de Nix e Hidra

foram analisados. Um estudo numérico preliminar dos efeitos da Pressão de Radiação So-

lar em partı́culas com raios de 1μm, 3μm, 5μm e 10μm foi realizado. Este estudo mostrou

que partı́culas sob os efeitos do Arrasto de Poynting-Robertson decaı́ram em 1,45 × 106 anos

(partı́culas de 1μm de raio) e 1,45 × 107 anos (partı́culas de 10μm de raio), enquanto que a

Pressão de Radiação causou variações das excentricidades das partı́culas fazendo com que em

alguns casos houvesse colisões com o planeta.

Palavras-chave: Sistema de Plutão, efeitos gravitacionais, órbitas estáveis, pressão de radiação

solar, simulação numérica.


SANTOS, P.M.P. Análise da estabilidade da região externa do Sistema Plutão-Caronte

após a descoberta dos novos satélites Nix e Hidra: aplicação à sonda New Horizons,

2010, 103 f., Dissertação (Mestrado em Fı́sica) - Faculdade de Engenharia do Campus de

Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2010.

ABSTRACT

In this work we performed a numerical analysis of the the outer region of the Pluto-Charon

system by the insertion of a sample of test particles initially in P-type prograde and retrograde

orbits, in the system formed by Pluto, Charon, Nix and Hydra. These numerical integrations

generated diagrams of semi-major axis versus eccentricity which define regions of particles

in stable orbits and regions of collision and escape. In the vicinity of the satellites Nix and

Hydra were identified chaotic regions, where particles located in this region have their eccen-

tricities and semi-major axis increased provoking an ejection or collision with a massive body

of the system. A set of particles remained in regions near the orbits of Nix and Hydra, possibly

coorbitais with them. For both cases, prograde and retrograde, the “stable” region is larger in

the outer region of the system, after Hydra’s orbit, depending on the value of eccentricity.

Numerical simulations were also performed by inserting some massive hypothetical satellites

beyond the Charon’s orbit and the effects on the orbits of Nix and Hydra were analyzed. A

preliminary numerical study of the effects of the solar radiation force on a sample of particles

with radii of 1μm, 3μm, 5μm e 10μm was performed. This study showed that particles under

the effects of the Poynting-Robertson drag decay on a time scale between 1.45×106 years (par-

ticles of 1μm in radius) and 1.45×107 years (particles of 10μm in radius), while the radiation

pressure caused variations of the eccentricities of the particles causing in some cases collisions

with the planet.

Keywords: Pluto system, gravitacional effects, stable orbits, solar radiation pressure, nu-

merical simulation.


Lista de Figuras

2.1 Plutão e Caronte a frente e Nix e Hidra atrás. Imagem do sistema de Plutão em

15 de fevereiro de 2006, obtida através do Telescópio Espacial Hubble. (Ex-

traı́da de Hubble site/NASA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Trajetória da sonda New Horizons. As setas vermelhas indicam a posição da

sonda, as quais dependiam da data de lançamento. Adaptado de Stern (2008). . 29

3.1 Precessão do argumento do pericentro de Caronte por um perı́odo de 60 anos. . 38

3.2 Semi-eixo maior (km) em função do tempo (dias) de Nix por um perı́odo de

100 dias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Excentricidade em função do tempo (dias) de Nix por um perı́odo de 100 dias. . 39

3.4 Semi-eixo maior (km) em função do tempo (dias) de Hidra por um perı́odo de

100 dias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Excentricidade em função do tempo (dias) de Hidra por um perı́odo de 100 dias. 41

3.6 Semi-eixo maior (km) em função do tempo (dias) de Nix por um perı́odo de

100 dias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.7 Excentricidade em função do tempo (dias) de Nix por um perı́odo de 100 dias. . 43

3.8 Semi-eixo maior (km) em função do tempo (dias) de Hidra por um perı́odo de

100 dias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.9 Excentricidade em função do tempo (dias) de Hidra por um perı́odo de 100 dias. 43

4.1 Localização dos pontos de equilı́brio lagrangianos, L1, L2, L3, L4 e L5 em

relação as massas μ1 e μ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Semi-eixo maior (km) em função da excentricidade para o conjunto de partı́culas

no tempo inicial t=0. Nix e Hidra são indicados por pequenos quadrados pretos

em 49.240 km e 65.210 km, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10


4.3 Semi-eixo maior (km) em função da excentricidade por um perı́odo de∼103TP−C

(10.000 dias). Nix e Hidra são indicados por pequenos quadrados pretos em

49.240 km e 65.210 km, respectivamente. A localização aproximada dos semi-

eixo maiores ressonantes entre partı́cula-satélite Nix (parte superior) ou Hidra

(parte inferior) são indicadas por retas verticais tracejadas. As retas em preto

são uma aproximação do limite da região de caos. . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4 Semi-eixo maior (km) em função da excentricidade por um perı́odo de∼104TP−C

(70.000 dias). Nix e Hidra são indicados por pequenos quadrados pretos em

49.240 km e 65.210 km, respectivamente. A localização aproximada dos semi-

eixo maiores ressonantes entre partı́cula-satélite Nix (parte superior) ou Hidra

(parte inferior) são indicadas por retas verticais tracejadas. As retas em preto

são uma aproximação do limite da região de caos. . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.5 Semi-eixo maior (km) em função da excentricidade por um perı́odo de∼105TP−C

(650.000 dias). Nix e Hidra são indicados por pequenos quadrados pretos em

49.240 km e 65.210 km, respectivamente. A localização aproximada dos semi-

eixo maiores ressonantes entre partı́cula-satélite Nix (parte superior) ou Hidra

(parte inferior) são indicadas por retas verticais tracejadas. As retas em preto

são uma aproximação do limite da região de caos. . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.6 Partı́cula com semi-eixomaior inicial igual a 49.100 km, θ apresenta uma variação

de aproximadamente 155◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.7 Partı́cula com semi-eixomaior inicial igual a 49.200 km, θ apresenta uma variação

de aproximadamente 153◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.8 Partı́cula com semi-eixomaior inicial igual a 49.300 km, θ apresenta uma variação

de aproximadamente 155◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.9 Partı́cula com semi-eixomaior inicial igual a 65.100 km, θ apresenta uma variação

de aproximadamente 134◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.10 Partı́cula com semi-eixomaior inicial igual a 65.200 km, θ apresenta uma variação

de aproximadamente 140◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.11 Partı́cula com semi-eixomaior inicial igual a 65.300 km, θ apresenta uma variação

de aproximadamente 153◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

11


4.12 Semi-eixo maior (km) em função da excentricidade para o conjunto de partı́culas

no tempo inicial t=0. Nix e Hidra são indicados por pequenos quadrados pretos

em 49.240 km e 65.210 km, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.13 Semi-eixo maior (km) em função da excentricidade para um perı́odo de∼103TP−C

(10.000 dias). Nix e Hidra são indicados por pequenos quadrados pretos em

49.240 km e 65.210km, respectivamente. As retas contı́nuas são uma aproximação

dos limites das regiões colisionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.14 Semi-eixo maior (km) em função da excentricidade para um perı́odo de∼104TP−C

(70.000 dias). Nix e Hidra são indicados por pequenos quadrados pretos em

49.240 km e 65.210km, respectivamente. As retas contı́nuas são uma aproximação

dos limites das regiões colisionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.15 Semi-eixo maior (km) em função da excentricidade para um perı́odo de∼105TP−C

(650.000 dias). Nix e Hidra são indicados por pequenos quadrados pretos em

49.240 km e 65.210km, respectivamente. As retas contı́nuas são uma aproximação

dos limites das regiões colisionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1 Limite superior em raio (km) de um satélite hipotético em órbita ao redor do

baricentro do sistema, como função de seu semi-eixo maior inicial, que causa

somente uma variação negligenciável nos limites superiores das excentricidades

de Nix e Hidra daO (10−3). Nix e Hidra são indiciados por pequenos quadrados

em vermelho. A localização aproximada dos semi-eixo maiores ressonantes

entre satélite hipotético-Nix (parte superior) ou satélite hipotético-Hidra (parte

inferior) são indicadas por retas verticais tracejadas. . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2 Raio do satélite hipotético (km) em função do tempo de colisão ou ejeção

(x650.000 dias). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3 Raio do satélite hipotético (km) em função do tempo de colisão ou ejeção

(x650.000 dias). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

12


6.1 Cı́rculo unitário centrado no planeta. I é a inclinação do plano da órbita da

partı́cula em relação ao plano orbital do planeta. Ω, ω, γ, f são as variáveis

usuais. â é o versor na direção planeta-pericentro da órbita da partı́cula, b̂ é per-

pendicular a â, ĉ = â× b̂ e é paralelo ao vetor êN . Os versores radial, transversal

e normal localizados na partı́cula com anomalia verdadeira f são êR, êT e êN ,

respectivamente. O movimento solar é dado por λ = nst. (Adaptado de Burns

et al., 1979). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.2 Evolução temporal do semi-eixo maior (km) de partı́culas com raios 1μm, 3μm,

5μm, 10μm sob os efeitos do Arrasto de Poynting-Robertson. Δa = 0 corre-

sponde ao semi-eixo maior inicial da partı́cula. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.3 Evolução temporal da excentricidade de partı́culas com raios 1μm, 3μm, 5μm,

10μm sob os efeitos do Arrasto de Poynting-Robertson. . . . . . . . . . . . . . 82

6.4 Evolução temporal da excentricidade de partı́culas com raios 1μm, 3μm, 5μm,

10μm sob os efeitos da Pressão de Radiação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.5 Evolução temporal do semi-eixo maior (km) de uma partı́cula de 10μm de raio

sob os efeitos da Pressão de Radiação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.6 Valores dos parâmetros em função da distância em raios do planeta, A (maré

solar) e C (pressão de radiação). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.7 Distância da partı́cula ao planeta (Rp) em função do tempo de colisão (anos). . 85

6.8 Evolução temporal da excentricidade de partı́culas com raios iguais a 1μm,

3μm, 5μm e 10μm sob os efeitos do Arrasto de Poynting-Robertson e da

Pressão de Radiação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.9 Evolução temporal da excentricidade de partı́culas com raios iguais a 20μm,

30μm, 40μm sob os efeitos da Pressão de Radiação. . . . . . . . . . . . . . . 89

6.10 Evolução temporal da excentricidade de partı́culas com raios iguais a 50μm,

80μm, 100μm sob os efeitos da Pressão de Radiação. . . . . . . . . . . . . . . 90

6.11 Evolução temporal da excentricidade de partı́culas com raios iguais a 10μm

com diferentes valores para a obliquidade sob os efeitos da Pressão de Radiação. 91

6.12 Evolução temporal da excentricidade de partı́culas com raios iguais a 10μm

com diferentes valores para a obliquidade sob os efeitos da Pressão de Radiação. 91

6.13 Evolução temporal da excentricidade de partı́culas com raios iguais a 100μm

com diferentes valores para a obliquidade sob os efeitos da Pressão de Radiação. 92

13


6.14 Valores dos parâmetros em função da distância em raios do planeta, A (maré

solar) e C (pressão de radiação) para Marte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.15 Valores dos parâmetros em função da distância em raios do planeta, A (maré

solar) e C (pressão de radiação) para Júpiter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.16 Valores dos parâmetros em função da distância em raios do planeta, A (maré

solar) e C (pressão de radiação) para Saturno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.17 Valores dos parâmetros em função da distância em raios do planeta, A (maré

solar) e C (pressão de radiação) para Urano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

14


Lista de Tabelas

2.1 Massas, densidades e diâmetros dos corpos do Sistema de Plutão. Dados ex-

traı́dos de Tholen et al. (2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Elementos Orbitais Keplerianos extraı́dos de Tholen et al. (2008). Época JD

2452600,5 (J2000). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1 Condições iniciais, em unidades do Sistema Internacional (SI), utilizados nas

simulações numéricas, em relação a um referencial plutocêntrico. Valores ex-

traı́dos de Tholen et al. (2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Massa e raio dos corpos analisados, utilizados nas simulações numéricas. Val-

ores extraı́dos de Tholen et al. (2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1 Taxas de ejeção e colisão entre as partı́culas e os corpos massivos para o tempo

final de integração, 650.000 dias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2 Taxas de ejeção e colisão entre as partı́culas e os corpos massivos do sistema de

Plutão para o tempo final de integração, 650.000 dias. . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Taxas de ejeção e colisão entre as partı́culas e os corpos massivos para o tempo

final de integração, 650.000 dias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.1 Limites para satélites adicionais com 90% de confiança considerando um albedo

como o de Caronte (0,38) e um albedo comparável a um núcleo cometário

(0,04). Adaptado de Steffl et al. (2006). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.1 Variação do parâmetro C para diferentes planetas do Sistema Solar. . . . . . . 94

15


Sumário

1 Introdução 18

2 Revisão Bibliográfica 20

2.1 Plutão, Caronte, Nix e Hidra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Missão New Horizons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Simulações Numéricas 31

3.1 Integrador Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Sistema de 4-corpos: Plutão, Caronte, Nix e Hidra . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1 Problema de Dois Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Evolução Orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.1 Caronte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.2 Nix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.3 Hidra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.4 Nix e Hidra: perturbação mútua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Análise da região externa do Sistema Plutão-Caronte 44

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Estudo Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.1 Ressonâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.2 Caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.3 Órbitas girino e ferradura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.1 Órbitas prógradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.2 Partı́culas coorbitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.3 Órbitas retrógradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

16


5 Evolução orbital de Nix e Hidra após a inserção de satélites hipotéticos no sistema 70

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6 Efeitos da Pressão de Radiação Solar 75

6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2 Pressão de Radiação Solar para o caso planetocêntrico . . . . . . . . . . . . . 77

6.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.4 Análise dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7 Discussão Geral 97

17


Capı́tulo 1

Introdução

Após a descoberta de Netuno em 1846, alguns astrônomos começaram a procurar por um

nono planeta. Percival Lowell inspirado por irregularidades observadas na órbita de Netuno

iniciou sua busca por um novo planeta em 1905. Em 1930 Clyde Tombaugh descobriu Plutão

(atualmente classificado como um planeta-anão), porém Plutão era menor do que o esperado

(Tegler e Romanishin, 2001).

Caronte, o primeiro satélite de Plutão, descoberto por Christy e Harrington (1978), con-

tribuiu para que o estudo de Plutão fosse facilitado através do estudo dos eventos mútuos en-

tre os dois corpos (Buie et al., 2006). O diâmetro de Caronte é aproximadamente metade do

diâmetro de Plutão, o que faz com que seja o maior, em relação ao seu primário, de todos os

satélites planetários no Sistema Solar. Recentemente, Weaver et al. (2006) descobriram dois

novos satélites de Plutão, Nix e Hidra, através de imagens obtidas pelo Telescópio Espacial

Hubble realizadas em maio de 2005. Desta maneira, Plutão passou a ser o primeiro objeto

conhecido do Cinturão de Kuiper a ter múltiplos satélites. Os novos satélites orbitam o centro

de massa do sistema, o qual é localizado fora de Plutão.

A região onde estão localizados Plutão e seus satélites é muito distante para ser observada

em detalhes da Terra, assim a missão New Horizons-The first mission to Pluto and the Kuiper

Belt: exploring frontier worlds da National Aeronautics and Space Administration (NASA) foi

lançada em janeiro de 2006 com o objetivo de se aproximar de Plutão em julho de 2015. Essa

missão propiciará a oportunidade de obter uma maior quantidade de informações à respeito de

Plutão, Caronte, Nix e Hidra.

Para que a sondaNew Horizons possa passar pelo sistema sem sofrer danos causados por im-

pactos, os quais poderiam danificar seus equipamentos, é importante que se tenha o

18


conhecimento da região onde pode haver aglomerações de partı́culas. Materiais ejetados de co-

lisões entre pequenos detritos do Cinturão de Kuiper comNix e Hidra podem escapar destes cor-

pos, porém geralmente ficarão ligados gravitacionalmente a Plutão formando aneis, dependendo

de alguns fatores como seu tamanho e densidade (Steffl e Stern, 2007). Assim, é necessário

determinar as regiões dinamicamente instáveis, regiões estas recomendadas para a passagem

da sonda New Horizons. Além disso, a descoberta de Nix e Hidra reforça a importância do

conhecimento de órbitas estáveis no sistema, propı́cias a existência de corpos.

Neste trabalho analisamos a região externa do sistema Plutão-Caronte (além da órbita de

Caronte), no que tange a delimitação das regiões onde possam haver partı́culas que permaneçam

por longos perı́odos de tempo, e regiões de colisões e escape onde satélites não seriam espera-

dos. Também analisamos os efeitos gravitacionais causados por satélites hipotéticos massivos

em Nix e Hidra. Um estudo numérico preliminar da pressão de radiação solar também foi

realizado.

No capı́tulo 2 apresentamos uma revisão bibliográfica sobre Plutão, Caronte, Nix e Hidra,

além de um resumo sobre a Missão New Horizons.

No capı́tulo 3 apresentamos uma descrição do integrador numérico utilizado para realizar

as simulações numéricas, além de uma breve revisão do Problema de Dois Corpos. Também

apresentamos os resultados de simulações numéricas iniciais realizadas no sistema formado por

4-corpos.

No capı́tulo 4 são apresentados os resultados obtidos com a inserção de um conjunto de

partı́culas localizadas na região externa do sistema Plutão-Caronte.

No capı́tulo 5 é análisada a evolução orbital de Nix e Hidra após a inserção de satélites

hipotéticos no sistema.

No capı́tulo 6 é apresentado um estudo preliminar dos efeitos das componentes da Pressão

de Radiação Solar em partı́culas da ordem de mı́cronmetro.

No capı́tulo 7 é apresentada uma discussão geral.

19


Capı́tulo 2

Revisão Bibliográfica

2.1 Plutão, Caronte, Nix e Hidra

Em 1930 Plutão foi descoberto por Clyde Tombaugh. Ele possui três satélites conhecidos,

Caronte descoberto por Christy e Harrington (1978), e Nix e Hidra descobertos por Weaver

et al. (2006). Plutão e seu maior satélite Caronte formam um sistema binário. Esses objetos

pertencem ao Cinturão de Kuiper, um disco de corpos de gelo que orbita o Sol além da órbita

de Netuno, o nome foi dado em homenagem ao astronômo Gerard Kuiper. Atualmente, mais de

1.000 objetos já foram descobertos na região do Cinturão de Kuiper com diâmetros entre 50km

e 2.000 km (Stern et al., 2006a).

Em 24 de agosto de 2006 a International Astronomical Union (IAU) definiu o termo

planeta, segundo essa definição Plutão deixou de ser classificado como planeta e passou a per-

tencer a uma nova categoria, a dos planetas-anões, juntamente com Eris e Ceres (pertencente ao

Cinturão Principal de Asteróides), Makemake e Haumea. A definição de planeta-anão segundo

a IAU é a seguinte: é um objeto celeste que está em órbita ao redor do Sol, grande suficiente

para estar em equilı́brio hidrostático (se tornar redondo), tem massa insuficiente para dominar

gravitacionalmente a sua região (permite a formação ou estabilidade de outros corpos de tamanho

similar em sua vizinhança) e não é um satélite. Um objeto maior que Plutão foi descoberto no

Sistema Solar externo, hoje chamado de Eris. Eris possui um diâmetro de ∼2.400km (Brown
et al., 2006a), o diâmetro de Plutão estimado por Tholen et al. (2008) é 2.294km. Quase dois

anos após a criação da categoria Planeta-anão, foi criada pela IAU uma sub-categoria para os

planetas-anões trans-netunianos similares a Plutão, chamada Plutoides. Pertencem à essa nova

categoria os planetas-anões que possuem semi-eixo maiores maiores do que o de Netuno, são

20


eles Plutão, Eris, Makemake e Haumea. Segundo a IAU mais corpos desse tipo são esperados

para serem anunciados nos próximos anos.

Plutão é consideravelmente menor que os outros oito planetas do Sistema Solar, seu perı́odo

orbital é de aproximadamente 248 anos, com um semi-eixo maior de 39,482 UA (Murray e

Dermott, 1999). A excentricidade (e) e a inclinação (I) são maiores que as de qualquer outro

planeta no Sistema Solar, sendo e = 0,2488 e I = 17,16◦, elementos orbitais keplearianos, época

JD 2452600,5 (J2000). A alta excentricidade de Plutão faz com que ele atravesse a órbita

de Netuno e esteja em torno de 29,658 UA de distância do Sol no periélio, e em torno de

49,7 UA no afélio. Entre 1979 e 1999 Plutão estava mais próximo do Sol do que Netuno. Em

1989 Plutão teve seu encontro próximo com o Sol.

Plutão está em ressonância de movimento médio 3:2 com Netuno, ou seja, enquanto Plutão

realiza duas voltas ao redor do Sol, Netuno realiza três. Na época do descobrimento de Plutão

acreditava-se que o seu tempo de vida antes que um encontro próximo com Netuno alterasse

radicalmente a sua órbita era curto (Lyttleton, 1936), porém conforme mostrado por Cohen e

Hubbard (1965) a ressonância 3:2 com Netuno faz com que a distância entre Plutão e Netuno

seja grande no momento do cruzamento de suas órbitas. Levison e Stern (1995) afirmam que

os dois corpos não se aproximam menos do que aproximadamente 17UA. Segundo Murray e

Dermot (1999) essa distância não é inferior a aproximadamente 20 UA.

A alta excentricidade e inclinação de Plutão são caracterı́sticas dinâmicas únicas quando

comparadas com as dos planetas do Sistema Solar, uma alternativa para a origem da atual

órbita de Plutão foi desenvolvida por Malhotra (Malhotra, 1993, 1995). Malhotra (1993, 1995)

apresentou a primeira tentativa de explicação da estrutura orbital do Cinturão de Kuiper, neste

trabalho utilizando resultados de Fernandez e Ip (1984), foi proposto que um disco primor-

dial de planetesimais forçou os planetas maiores a migrar, em particular foi proposto que

Plutão foi capturado na ressonância 3:2 com Netuno enquanto a órbita de Netuno estava ex-

pandindo devida a troca de momento angular entre os planetas gigantes e os detritos que foram

espalhados, ou seja, a órbita excêntrica de Plutão pode ser o resultado da ressonância 3:2 var-

rendo o disco proto-planetário durante a migração de Netuno para a direção exterior do Sistema

Solar. A idéia utilizada porMalhotra (1993, 1995) em que a configuração do Cinturão de Kuiper

pode ser consequência de uma migração planetária primordial foi revisada por Gomes (2003)

utilizando uma quantidade maior de planetesimais compondo o disco. Em Gomes (2003) foi

simulado numericamente a evolução orbital dos quatro planetas gigantes e de um disco primor-

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dial massivo de planetesimais, conforme Netuno migrava devido a troca de energia e momento

angular com os planetesimais, um grande número de planetesimais eram espalhados. Durante a

migração muitos planetesimais localizados inicialmente na parte interna do disco ficaram pre-

sos na ressonância 3:2 com Netuno. Como resultado foi obtido que a maioria dos plutinos

teriam vindos das regiões interiores do disco primordial planetesimal, em especial o modelo

mostra que Plutão seria um objeto primordial espalhado ao invés de um produto do processo de

varredura de ressonância proposto por Malhotra (1995).

Caronte, o primeiro satélite descoberto de Plutão, tem aproximadamentemetade do diâmetro

e umamassa aproximadamente 10 vezes menor que massa de Plutão. A razão de massa Caronte-

Plutão é aproximadamente 0,1166 (Tholen et al., 2008), o centro de massa do binário localiza-

se fora do corpo principal. O perı́odo de rotação de Plutão é igual ao perı́odo de rotação e ao

perı́odo orbital de Caronte, cujo valor fornecido por Tholen et al. (2008) é 6,38720 dias. Com a

descoberta de Caronte o estudo de Plutão foi facilitado, pois foi possı́vel determinar com mais

precisão o valor da massa do planeta-anão.

Nix e Hidra foram identificados em imagens feitas com o Telescópio Espacial Hubble em

15 e 18 de maio de 2005, os objetos tinham sido fracamente identificados em imagens de

2002 (Weaver et al., 2006). Eles orbitam o centro de massa do sistema. Soluções orbitais

preliminares de Weaver et al. (2006) forneceram a=49.400 ± 600km e P = 25 ± 0,5 dias para
Nix, e a= 64.700± 850 km e P = 38,2± 0,8 dias para Hidra, medidos em relação a um sistema
baricêntrico, ambos os satélites se movendo no mesmo plano orbital de Caronte. Foi sugerido

que Nix pode estar na ressonância de movimento médio 4:1 com Caronte, enquanto Hidra pode

estar na ressonância 6:1, e Hidra e Nix podem estar na ressonância 3:2. Na figura (2.1) podem

ser vistos Plutão e seus satélites.

22


Figura 2.1: Plutão e Caronte a frente e Nix e Hidra atrás. Imagem do sistema de Plutão em

15 de fevereiro de 2006, obtida através do Telescópio Espacial Hubble. (Extraı́da de Hubble

site/NASA).

Stern et al. (1994) realizou um estudo com o objetivo de localizar regiões estáveis na região

interna (interior a órbita de Caronte) e externa (exterior a órbita de Caronte). O sistema era com-

posto por Plutão, Caronte e partı́culas. Plutão e Caronte estavam inicialmente em órbitas circu-

lares ao redor um do outro. Seus resultados mostraram que entre 1,8a0 e 2,4a0, havia órbitas

estáveis e instáveis, a0=19.580 km, efeito que Stern et al. (1994) acreditam estar associado

com ressonâncias de movimento médio. Para órbitas retrógradas, seus resultados mostraram

que a região de estabilidade é maior, sendo que o limite da região de instabilidade se move

para ∼1,6a0. Um segundo conjunto de simulações numéricas realizadas tinha como objetivo
verificar quão massivo um objeto pode ser estando localizado nas regiões estáveis do sistema

sem fazer com que a excentricidade de Caronte alcance valores maiores que 10−3 e 10−4. Nes-

sas simulações numéricas Caronte tinha uma órbita circular em torno de Plutão e os satélites

hipotéticos estavam no mesmo plano da órbita de Plutão-Caronte. Considerando a excentri-

cidade de Caronte igual a 10−3 encontraram que nenhum satélite com massa maior que uma

massa da ordem de 1017 e com raio maior que 85 km pode existir na região interna a órbita de

Caronte sem violar o limite para a excentricidade utilizado. Para 2a0 Stern et al. (1994) encon-

traram resultados similares, porém conforme o semi-eixo maior do satélite hipotético aumenta

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satélites maiores não são descartados. Para 5a0 os autores não excluem satélites com massas da

ordem de 1020. Estudo que está de acordo com valores atuais de semi-eixo maior e massa de

Nix e Hidra.

Holman e Wiegert (1999) seguindo a nomenclatura de Dvorak (1986) classificam as órbitas

dos binários em três categorias: órbitas do tipo-P, que são aquelas fora do binário em que

o terceiro corpo orbita o centro de massa do sistema; órbitas do tipo-S, em que o terceiro

corpo orbita um dos componentes do binário; e órbitas próximas aos pontos L4 ou L5 (pontos

Lagrangianos triangulares), os quais não são geralmente de interesse em sistema binários, pois

a razão de massa deve ser menor que ±0,04 para que o movimento em torno desses pontos
sejam linearmente estáveis.

A solução do problema de dois corpos (P2C) para Nix e Hidra foi realizada por Buie et

al. (2006) utilizando dados de imagens do sistema de Plutão no perı́odo 2002-2003, obtidas

com o Telescópio Espacial Hubble. Foram obtidas imagens de todos os corpos do sistema de

Plutão. Algumas das maiores conclusões de Buie et al. (2006) são: as órbitas de Nix e Hidra são

quase coplanares com a órbita de Caronte e são praticamente circulares, com excentricidades

de 0,0023 ± 0,0021 e 0,0052 ± 0,001, respectivamente, os perı́odos orbitais são 24,8562 ±
0,0013 dias para Nix, 38,2065 ± 0,0014 dias para Hidra e 6,3872304 ± 0,0000011 dias para
Caronte, as razões entre os perı́odos orbitais de Nix e Hidra com o perı́odo orbital de Caronte

diferem significativamente das razões exatas de 4:1 e 6:1, respectivamente. Desta maneira, eles

propõem que talvez não exista ressonâncias atuando entre os satélites.

Nagy et al. (2006) estudaram a estrutura dinâmica do espaço de fase do sistema Plutão-

Caronte, através do Problema Circular Restrito de três corpos espacial. Nesse estudo as órbitas

dos primários (Plutão e Caronte) eram circulares, e Nix e Hidra foram tratados como partı́culas-

teste. Seus resultados mostraram, para órbitas do tipo-P, que a região estável é mais larga para

órbitas retrógradas (I > 90◦) do que para órbitas prógradas (I < 90◦). Para órbitas retrógradas

o limite da região caótica para I > 160◦ se mantém em ∼1,7A, A=19.600 km, podendo ser
verificado em suas grades a por I. Para verificar se Nix e Hidra estavam em uma região estável

do espaço de fase, foi apresentada uma grade a por e para o caso I = 0◦ (em relação ao plano

dos primários). Nesta grade para a < 2,15A (∼42.000 km do baricentro) o sistema é instável
para todas as excentricidades, e para a ≥ 2,15A há uma região estável dependendo do valor da
excentricidade. De acordo com seus resultados Nix e Hidra estão em regiões estáveis do espaço

de fase do sistema, com excentricidades superiores limitadas a 0,31 para Nix e 0,17 para Hidra.

24


Com relação à ressonância concluı́ram que o semi-eixo maior de Nix e Hidra indicam que eles

estão próximos da ressonância de movimento médio 4:1 e 6:1 com Caronte, respectivamente,

porém acreditam que são necessárias mais observações do sistema para essa confirmação.

Tholen et al. (2008) obteve a “solução” do problema de quatro corpos utilizando dados

astrométricos de diversas fontes. Neste estudo as perturbações do Sol foram ignoradas devido

ao fato dos três satélites estarem fortemente ligados gravitacionalmente a Plutão. O objetivo

era determinar a massa de cada um dos membros do sistema. O valor obtido para a razão

de massa Caronte/Plutão foi 0,1166 ±0,0069, praticamente idêntico ao obtido por Buie et al.
(2006). Foram verificados que as excentricidades dos três satélites não são iguais a zero, porém

são pequenas quando medidas em um sistema de referência baricêntrico, e que Caronte, Nix e

Hidra não são coplanares. Com relação à ressonância, não foi identificado qualquer argumento

ressonante que indicasse a existência de ressonância de movimento médio entre qualquer um

dos pares de satélites. Na tabela (2.1) são apresentados os dados fı́sicos de Plutão e dos satélites,

e na tabela (2.2) são apresentados os elementos orbitais dos satélites, em que a é o semi-eixo

maior, e é a excentricidade, I é a inclinação, Ω é a longitudade do nodo ascendente, ω é o

argumento do pericentro, L é a longitude média da época e P é o perı́odo, os valores entre [ ]

são quantidades assumidas.

Massa (kg) Densidade (gm cm−3) Diâmetro (km)

Plutão 1,304 x 1022 2,06 [2.294]

Caronte 1,520 x 1021 1,63 1.212

Nix 5,8 x 1017 [1,63] 88

Hidra 3,2 x 1017 [1,63] 72

Total 1,456 x 1022 2,01 -

Tabela 2.1: Massas, densidades e diâmetros dos corpos do Sistema de Plutão. Dados extraı́dos

de Tholen et al. (2008).

Süli e Zsigmond (2009) apresentaram um estudo da estrutura dinâmica do espaço de fase

em torno das novas luas do sistema Plutão-Caronte, utilizando o Problema Elı́ptico Restrito

de três corpos. As condições inicias para Caronte foram extraı́das de Tholen et al. (2008). O

estudo na vizinhança de Nix e Hidra foi feito separadamente variando-se os elementos orbitais

das partı́culas teste mas mantendo a anomalia média constante. Foram apresentados mapas de

estabilidade a por e e a por I. Seus resultados mostraram que a estrutura do espaço de fase

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a(km) e I (graus) Ω (graus) ω (graus) L P (dias)

Carontea 19.570,3 0,0035 96,168 223,054 157,9 257,960 6,38720

Nixb 49.240 0,0119 96,190 223,202 244,3 122,7 25,49

Hidrab 65.210 0,0078 96,362 223,077 45,4 322,4 38,85

Tabela 2.2: Elementos Orbitais Keplerianos extraı́dos de Tholen et al. (2008). Época JD

2452600,5 (J2000).

Notas

Medidos em relação a um sistema de referência plutocêntricoa

Medidos em relação a um sistema de referência baricêntricob

para o caso elı́ptico e para o caso circular (Nagy et al., 2006) são qualitativamente diferentes, a

região instável é muito maior para o caso elı́ptico. O centro da ressonância 4:1 muda de∼2,544
para ∼2,564, enquanto que o centro da ressonância 6:1 se move para mais perto de Plutão e
tem sua forma mudada completamente. Também é mostrado que as presentes posições de Nix e

Hidra estão nas regiões estáveis em ambos os mapas (a-e) e (a-I), porém nenhuma das estruturas

relacionadas as ressonâncias de movimento médio 4:1 e 6:1 contêm os satélites.

Giuliatti Winter et al. (2009) utilizando o Problema Restrito de três corpos apresentaram

diagramas (a-e) para partı́culas teste inicialmente em órbitas do tipo-S ao redor de Plutão e

de Caronte. Neste trabalho foram determinadas regiões estáveis para partı́culas em órbitas ao

redor de Plutão e Caronte, para diferentes valores de excentricidade. Através da análise das

Superfı́cies de Seção de Poincaré foi verificado que nessas regiões estáveis as partı́culas estão

em órbitas periódicas e quase-periódicas. A famı́lia de cada órbita foi identificada.

A seguir apresentamos alguns estudos relacionados à formação dos satélites Nix e Hidra.

Stern et al. (2006b) sugeriram que Nix e Hidra, assim como Caronte, foram formados de

material ejetado em uma órbita ao redor de Plutão como resultado do impacto formador de

Caronte. A hipótese é baseada no fato das órbitas de Nix e Hidra serem circulares ou quase

circulares, deles aparentemente estarem próximos ou em ressonâncias de movimento médio de

alta ordem, e no mesmo plano da órbita de Caronte. Além disso, a partir das órbitas circulares

dos satélites, foi sugerido que eles provavelmente foram formados muito próximos de Plutão,

migrando posteriormente para sua posição atual durante a evolução, causada pelo efeito de

maré, de Caronte para sua atual órbita. Foi proposto que talvez outros pequenos satélites, podem

26


ter sido formados, porém se desestabilizaram dinamicamente e se acumularam sobre Caronte

ou Plutão, ou escaparam da detecção de telescópios. Na época do descobrimento de Nix e Hidra

suas magnitudes eram V = 23,38 ± 0,17 e V = 22,93 ± 0,12, respectivamente (Weaver et al.,
2006). Magnitude visual (V) é uma unidade de medida utilizada para medir o brilho de objetos

astronômicos, quanto menor o valor de V mais brilhante é o objeto.

Ward e Canup (2006) propuseram um cenário (Cenário de Migração Ressonante Forçada)

no qual Nix e Hidra foram formados a partir da colisão que formou Caronte, e migraram pos-

teriormente para suas posições atuais devido a interações ressonantes com o satélite, enquanto

que Caronte também migrava para sua posição atual. Lithwick e Wu (2008) mostraram que o

cenário de Ward e Canup (2006) só funciona para Nix ou Hidra se a excentricidade de Caronte

for corretamente escolhida, mas não para ambos simultaneamente. No trabalho também foram

discutidas mais duas possibilidades de como Nix e Hidra teriam evoluı́do para suas posições

atuais com baixas excentricidades, caso eles fossem produtos do referido impacto. Uma das

possibilidades é que os dois pequenos satélites teriam sido ejetados para os seus semi-eixo

maiores atuais com altas excentricidades, sendo posteriormente diminuı́das devido aos efeitos

de maré de Plutão, porém o tempo necessário para que houvesse a diminuição das excentrici-

dades é maior que a idade do Sistema Solar (Stern et al, 2006b); a segunda possibilidade era

que Nix e Hidra teriam sido ejetados como produtos do impacto formador de Caronte junto com

várias partı́culas, se essas partı́culas formassem um disco as excentricidades dos satélites pode-

riam ter sido diminuı́das devido as interações com o disco, porém um disco desse tipo não se

estenderia a distâncias tão grandes. Em contrapartida, Lithwick e Wu (2008) sugeriram que Nix

e Hidra foram formados em um disco plutocêntrico colisional composto por pequenos corpos

capturados em órbitas heliocêntricas.

Com o passar dos anos os parâmetros fı́sicos e orbitais dos corpos deste sistema quadrúplo

vêm sendo determinados com mais precisão, porém podemos verificar que existem diferentes

teorias para a formação destes corpos e que estudos vêm sendo realizados na tentativa de se

entender melhor esses objetos que ainda estão em fase inicial de conhecimento. Assim, a missão

New Horizons (a primeira missão lançada com destino a Plutão e o Cinturão de Kuiper) poderá

contribuir muito para a expansão do conhecimento e entendimento deste sistema e também da

história da região. A descoberta de Nix e Hidra acrescentaram mais objetivos e expectativas em

relação à missão.

Na próxima seção faremos uma introdução à Missão New Horizons.

27


2.2 Missão New Horizons

A missão New Horizons-The first mission to Pluto and the Kuiper Belt: exploring frontier

worlds é uma missão da NASA lançada em 19 de janeiro de 2006. É a primeira missão para

o sistema de Plutão e para o Cinturão de Kuiper e também a primeira da série de missões

New Frontiers. Existem diversas motivações para a realização da missão, entre elas a órbita de

Plutão, seu tamanho, por ser um tipo de objeto (anão de gelo) somente encontrado no Sistema

Solar externo, por formar um binário com Caronte (o único sistema binário conhecido no Sis-

tema Solar), pelo fato de que acredita-se que colisão similar a que formou Caronte possa ter

formado a Lua, podendo contribuir para se entender como o sistema Terra-Lua foi formado,

pelas recentes descobertas de mais dois satélites (Nix e Hidra), pelo sistema estar tão longe

da Terra dificultando a sua observação mesmo com os telescópios mais avançados tecnologica-

mente, e por possibilitar o conhecimento destes corpos tão distantes, estendendo o entendimento

dos anões de gelo, dos objetos do Cinturão de Kuiper e da origem e evolução do Sistema Solar

externo.

Desde a descoberta do primeiro objeto do Cinturão de Kuiper em 1992, astrônomos en-

contraram mais de 1.000 objetos no cinturão, com diâmetros entre 50 km e 2.000 km (Stern

et al., 2006a), portanto o sistema de Plutão pode ser somente o primeiro de uma série de

outros sistemas ainda desconhecidos. Foi apresentado por Brown et al. (2006b) o primeiro

satélite descoberto de Eris, Dysnomia.

A sonda também chamada New Horizons é a mais rápida já lançada, passou pela órbita da

Lua em apenas 9 horas e por Júpiter em apenas 13 meses depois do seu lançamento, e alcançará

Plutão em 9 anos e meio. As sondas Galileo e Cassini levaram 6 anos e 4 anos, respectivamente,

para alcançar Júpiter. Após passagem por Júpiter ela passará pelo sistema de Plutão (a sonda

não irá orbitá-lo).

Em 13 de junho de 2006, a New Horizons passou próximo a um pequeno asteróide (∼4 km
de diâmetro) com uma órbita do tipo-S chamado 2002 JF56, foram realizados testes com os

instrumentos de imagem da sonda (Stern, 2008).

O encontro com o sistema de Júpiter ocorreu no dia 28 de fevereiro de 2007. De janeiro

a junho de 2007 foi possı́vel realizar uma série de mais de 700 observações do sistema (Stern,

2008). Segundo Stern et al. (2006a) o objetivo da passagem pelo sistema de Júpiter foi aproveitar

a gravidade assistida para diminuir o tempo de viagem da sonda.

Para conseguir maximar a quantidade e qualidade dos dados obtidos a sonda carrega 7

28


instrumentos cientı́ficos, sendo 3 intrumentos ópticos, 2 instrumentos de plasma, 1 detector

de poeira e 1 experimento de rádio ciência.

Os objetivos cientı́ficos da missão são classificados em 3 categorias. Os objetivos da primeira

categoria são caracterizar a morfologia, geologia e mapear a composição da superfı́cie de

Plutão e Caronte, e caracterizar a atmosfera neutra e a taxa de escape da atmosfera de Plutão.

Na segunda e terceira categoria destacamos procurar por uma atmosfera em Caronte, refinar

parâmetros orbitais e fı́sicos (massa, densidade, raios) de Plutão e Caronte e procurar por

satélites e por um sistema de anéis, detectar ou possibilitar o estabelecimento de um valor

limite de J2 (coeficiente gravitacional) de Plutão e medir a interação do vento solar com Plutão

e Caronte. Os objetivos da primeira categoria são principais, os demais serão cumpridos caso

sejam possı́veis.

A figura (2.5) mostra a trajetória da sonda.

Figura 2.2: Trajetória da sonda New Horizons. As setas vermelhas indicam a posição da sonda,

as quais dependiam da data de lançamento. Adaptado de Stern (2008).

29


Se a extensão da missão for aprovada, os planos para a sonda New Horizons de 2016 a 2020,

incluem a realização de um ou dois encontros próximos com objetos do Cinturão de Kuiper

com diâmetros iguais ou superiores a 50 km. Os estudos a serem realizados com os objetos do

Cinturão de Kuiper serão similares aos realizados em Plutão e Caronte (Stern et al., 2006a).

Posteriormente, a sonda continuará sua trajetória para além do Cinturão de Kuiper, escapando

da gravidade solar.

30


Capı́tulo 3

Simulações Numéricas

3.1 Integrador Numérico

Para a realização das simulações numéricas utilizamos o pacote Mercury (Chambers, 1999).

Esse pacote foi desenvolvido para simular um conjunto de n-corpos, a evolução orbital de obje-

tos movendo-se no campo gravitacional de um corpo central muito massivo quando comparado

ao tamanho dos outros objetos. Este integrador numérico oferece os seguintes algoritmos de

integração escritos em linguagem FORTRAN: RADAU (RA15) (Everhart, 1985), algoritmos

Bulirsch-Stoer (Stoer e Bulirsch, 1980), Integrador simplético de variáveis mistas (MVS) (Wis-

dom e Holman, 1991; Wisdom et al. 1996) e um integrador hı́brido e simplético. O método

utilizado foi o Bulirsch-Stoer.

Os arquivos de entrada, os quais são alterados para descrever cada sistema estudado, são:

a) big.in: este arquivo contém as condições iniciais dos corpos massivos, exceto as do corpo

central. Um corpo massivo é definido como um corpo que perturba todos os outros objetos

durante a integração.

b) small.in: este arquivo contém as condições iniciais para todos os corpos pequenos

(partı́culas) da integração numérica. Um corpo pequeno é definido como aquele que perturba e

interage com os corpos massivos durante a integração, porém ignoram uns aos outros comple-

tamente (não perturbam uns aos outros e não podem colidir entre si).

c) param.in: este arquivo contém os parâmetros que controlam a integração numérica. Pode-

se escolher por exemplo o algoritmo da integração, tempo inicial e tempo final, intervalo de

saı́da dos dados, a opção de parar a integração após um encontro próximo, a opção de permitir

que ocorram colisões com os corpos massivos, inclusão de fragmentos colisionais, escolha do

31


valor da distância de ejeção, inclusão do raio e da massa do corpo central, a opção de inserir os

coeficientes gravitacionais: J2, J4 ou J6 do corpo central. Se o campo gravitacional do planeta

não é esfericamente simétrico, suas não-uniformidades produzem acelerações que são tratadas

como perturbações ao movimento Kepleriano de um satélite ou partı́culas de anéis. Os Jn’s

são constantes presentes na equação do potencial gravitacional externo de um corpo. Essas

constantes refletem a distribuição de massa de um corpo e são determinadas analiticamente

utilizando-se os Polinômios de Legendre de grau n.

d) element.in: este arquivo informa de que maneira devem ser gerados os dados de saı́da:

em relação a um sistema centrado no corpo central, no baricentro, ou em elementos Jacobianos.

Também se escolhe o formato de saı́da dos elementos (em elementos orbitais ou coordenadas

de posição e velocidade).

e) mercury.inc: este arquivo contém constantes e parâmetros gerais utilizados por subroti-

nas do pacote Mercury. As alterações foram no valor de K2 (quadrado da constante gravita-

cional gaussiana) e a unidade astronômica (UA) como sendo a distância de Caronte a Plutão,

UA=19.570,3km.

No pacote Mercury é possı́vel extender o tempo final de uma integração concluı́da.

3.2 Sistema de 4-corpos: Plutão, Caronte, Nix e Hidra

No primeiro conjunto de simulações numéricas realizadas, durante a fase de aprendiza-

gem do pacote Mercury, utilizamos as coordenadas de posição e velocidade apresentadas na

tabela (3.1) e simulamos numericamente o sistema formado por 4-corpos: Plutão (corpo cen-

tral), Caronte, Nix e Hidra, para fazermos uma comparação com os resultados obtidos (elemen-

tos orbitais no tempo inicial de Caronte, Nix e Hidra e variação temporal da excentricidade e

inclinação de Nix e Hidra) por Tholen et al. (2008). O objetivo dessas simulações numéricas

era inserir as condições iniciais do sistema de Plutão no pacote Mercury, aprender a utilizá-lo e

tentar reproduzir os resultados de Tholen et al. (2008).

Os elementos orbitais de Caronte em Tholen et al. (2008) são fornecidos com relação a um

referencial planetocêntrico, e os elementos orbitais de Nix e Hidra com relação a um referencial

baricêntrico. No pacote Mercury a integração é realizada em relação a um

referencial plutocêntrico, porém temos a opção para que os dados de saı́da sejam convertidos

para um referencial baricêntrico, mas verificamos que a rotina apresenta problemas no cálculo

32


das velocidades. Assim, utilizou-se um programa escrito em linguagem de programação C para

realizar a conversão entre os referenciais e a seguir fazermos as comparações dos resultados.

Os gráficos com os dados obtidos nas simulações numéricas foram gerados com o Gnuplot.

O programa barycenter.c faz a translação das coordenadas de posição e velocidade cen-

tradas em Plutão para coordenadas de posição e velocidade centradas no baricentro, a seguir

faz a transformação das coordenadas de posição e velocidade para elementos orbitais (agora

dados em relação ao baricentro) e possı́veis de serem comparados com os dados do artigo.

A translação do referencial plutocêntrico para o baricêntrico é feita utilizando-se as equações

(3.1), (3.2), (3.3), e (3.4):

A posição e velocidade do centro de massa em relação a Plutão:

xcm =
(mCxC + mNxN + mHxH)

(mP + mC + mN + mH)
(3.1)

ẋcm =
(mC ẋC + mN ẋN + mH ẋH)

(mP + mC + mN + mH)
(3.2)

análogo para ycm e zcm, ẏcm e żcm, em que x, y e z são as componentes da posição e ẋ, ẏ e ż

são as componentes da velocidade em relação a Plutão, m é a massa, os ı́ndices P , C, N e H

referem-se a Plutão, Caronte, Nix e Hidra, respectivamente.

x̄ = x− xcm (3.3)

análogo para ȳ e z̄.

˙̄x = ẋ− ẋcm (3.4)

análogo para ˙̄y e ˙̄z, em que x̄, ȳ, z̄ são as componentes da posição em relação ao baricentro, e

˙̄x, ˙̄y, ˙̄z são as componentes da velocidade em relação ao baricentro.

Após a translação, utilizando as equações do Problema de 2-corpos, transformamos as co-

ordenadas de posição e velocidade em relação ao baricentro (x̄, ȳ, z̄, ˙̄x, ˙̄y, ˙̄z) para elementos

orbitais. As equações utilizadas no barycenter.c para obter a transformação de coordenadas

de posição e velocidade para elementos orbitais são do Problema de 2-corpos, assim fez-se

necessária fazer uma revisão do Problema de 2-corpos, a qual apresentamos resumidamente a

seguir baseados em Murray e Dermott (1999).

3.2.1 Problema de Dois Corpos

O Problema de Dois Corpos (P2C) é um problema possı́vel de ser resolvido analitica-

mente. Trata da interação gravitacional de dois pontos de massa descrita pela Lei Universal

33


da Gravitação de Newton. O problema consiste de um corpo menor se movendo ao redor

de um corpo central muito maior, os efeitos dos outros corpos são usualmente tratados como

perturbações para o sistema de dois corpos.

Considerando o movimento de m1 e m2, com vetores de posição −→r1 e −→r2 referentes a uma

origem O fixada em um espaço inercial, pode-se escrever as forças gravitacionais e conse-

quentes acelerações experimentadas pelas duas massas. Considerando o movimento m2 com

relação am1 (movimento relativo), escrevemos:

d2−→r
dt2

+ μ
−→r
r3

=
−→
0 (3.5)

em que μ=G(m1+m2), G é a constante gravitacional. Determinando-se as constantes do movi-

mento conseguimos obter a órbita dem2 relativo am1 através de (3.5).

Fazendo o produto vetorial de −→r com a equação (3.5) obtemos −→r × −̈→r = −→0 , integrando
em seguida obtemos −→r × −̇→r =

−→
h .

Considerando a origem do sistema centrada em m1 e uma linha de referência em θ=0◦,

substituindo a definição do vetor aceleração em coordenadas polares na equação (3.5) e com-

parando as componentes na direção r̂ obtemos r̈ − rθ̇2 = − μ
r2 . Para resolver r=f(θ), pode-se

fazer a substituição u = 1
r
e eliminar o tempo fazendo uso da constante h = r2θ̇.

Diferenciando duas vezes com relação ao tempo r de u = 1
r
, e substituindo em r̈ − rθ̇2 =

− μ
r2 obtemos uma equação diferencial linear de segunda ordem para u. Substituindo r uti-

lizando a relação entre u e r na solução geral da equação diferencial, obtemos:

r =
p

1 + e cos (θ −�)
(3.6)

A equação (3.6) é a equação geral de uma cônica em coordenadas polares, onde e é a ex-

centricidade e p o semilatus rectum dado por p = h2

μ
.

Para o caso elı́ptico temos:

r =
a(1− e2)

1 + e cos (θ −�)
(3.7)

em que o ângulo θ é a longitudade verdadeira, f é a anomalia verdadeira e � = f + θ (� é a

longitudade do pericentro).

A velocidade angular “média”, ou movimento médio, n é definido como:

n =
2π

P
(3.8)

em que P é o perı́odo orbital.

34


Fazendo o produto escalar de −̇→r com a equação (3.5), substituindo as expressões para −→r e
−̇→r em coordenadas polares no produto escalar e integrando, obtemos:

1

2
v2 − μ

r
= C (3.9)

em que v2 = −̇→r · −̇→r , e C é uma constante do movimento.

O Problema de 2-corpos tem quatro constantes do movimento: a Energia integral C e as três

componentes da Integral do Momento Angular, −→h .
Na prática deseja-se calcular a localização de um corpo para um dado tempo e a solução

para o P2C, não contém o tempo explicitamente.

A a anomalia médiaM é definida comoM = n(t − τ), em que τ é o tempo de passagem

pelo pericentro. Através das projeções de r nas direções horizontal e vertical r pode ser escrito

como:

r = a(1− e cos E) (3.10)

e

cos f =
cos E − e

1− e cos E
(3.11)

r e f são determinados unicamente a partir das equações (3.10) e (3.11), desde queE (anomalia

excêntrica) e f estejam no mesmo semi-plano e E seja conhecido. No entanto, o tempo está

presente na equação da anomalida média. A relação entreM e E é dada pela equação:

M = E − esenE (3.12)

que é a equação de Kepler e sua solução é fundamental para determinar a posição orbital em

um dado tempo t.

Agora, passaremos a tratar do caso de fornecidas as componentes de posição e velocidade,

deseja-se obter os elementos orbitais correspondentes no tempo t.

Murray e Dermott (1999) consideram um plano tridimensional como representação de uma

órbita no espaço, e um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional no qual um ponto

arbitrário tem o vetor posição −→r = xx̂ + yŷ + zẑ. (X, Y, Z) e (Ẋ, Ẏ , Ż) são as coordenadas de

posição e velocidade de um objeto em uma órbita elı́ptica no plano de referência padrão em um

dado instante t, a, e, I , são o semi-eixo maior, a excentricidade e a inclinação da órbita, respec-

tivamente. A seguir apresentamos os procedimentos para calcular alguns elementos orbitais

extraı́dos de Murray e Dermott (1999).

35


1) Cálculo de a:

a =
( 2

R
− V 2

G(m1 + m2)

)
−1

(3.13)

2) Cálculo de e:

e =

√
1− h2

G(m1 + m2)a
(3.14)

3) Cálculo de I:

I = cos−1
(hz

h

)
(3.15)

em que

R =
√

X2 + Y 2 + Z2 (3.16)

V 2 = Ẋ2 + Ẏ 2 + Ż2 (3.17)

−→
h = (Y Ż − ZẎ , ZẊ −XŻ, XẎ − Y Ẋ) (3.18)

R = r representa o comprimento do raio vetor. As projeções de −→h são:

hz = h cos I (3.19)

±hx = hsenIsenΩ (3.20)

∓hy = hsenI cos Ω (3.21)

o sinal superior nas equações (3.20) e (3.21) é utilizado quando hz >0 e o sinal inferior é

utilizado quando hz <0.

3.3 Evolução Orbital

Na fase inicial deste trabalho, com o objetivo de reproduzir os gráficos (a por t) e (e por t)

e os elementos orbitais dos três satélites apresentados em Tholen et al. (2008), realizamos as

simulações numéricas descritas a seguir.

As coordenadas de posição (x, y, z) e velocidade (x’,y’,z’) de Caronte, Nix e Hidra foram

extraı́das da tabela (3.1). O valor deG assumido foiG = 6,67428x10−11 m3kg−1s−2. Os valores

referentes a massa e raios de cada um dos quatro corpos são apresentados na tabela (3.2).

O sistema de quatro corpos foi numericamente integrado em relação à um referencial iner-

cial fixo em Plutão por um tempo correspondente a 100 dias.

36


x (km) y (km) z (km) x’ (km dia−1) y’ (km dia−1) z’ (km dia−1)

Caronte -12.614 -10.150 11.061,1 6.842,2 8.715,1 15.699,2

Nix 8.450 1.020 -46.480 -7.930 -7.533 -542

Hidra 2.120 11.830 64.674 8.479 7.900 -132

Tabela 3.1: Condições iniciais, em unidades do Sistema Internacional (SI), utilizados nas

simulações numéricas, em relação a um referencial plutocêntrico. Valores extraı́dos de Tholen

et al. (2008).

Plutão Caronte Nix Hidra

Massa (kg) 1,304 x 1022 1,520 x 1021 5,8 x 1017 3,2 x 1017

Raio (km) 1.147 606 44 36

Tabela 3.2: Massa e raio dos corpos analisados, utilizados nas simulações numéricas. Valores

extraı́dos de Tholen et al. (2008).

3.3.1 Caronte

Os resultados obtidos foram que o semi-eixo maior a é igual a 19.574,80 ±2 km, valor que
difere em apenas ∼4 km do valor obtido por Tholen et al. (2008) (o valor esperado). A excen-
tricidade encontrada foi e = 0,0034 com variações da ordem de 3×10−5, o valor esperado era

0,0035 com variações de 2×10−5. A longitude do nodo ascendente (Ω) permaneceu constante

com o valor de Ω = 223,0565◦, com uma diferença de 0,0025 para o valor esperado. O argu-

mento do pericentro (ω) encontrado foi 154,575◦, valor esperado era 157,9◦. A inclinação de

Caronte calculada foi I = 96,168◦, com uma variação de 10−5, no artigo citado o valor é I =

96,168◦ ± 0,0002◦. O perı́odo calculado foi 6,38 dias, valor que está de acordo com o esperado.
Realizando a simulação numérica por um perı́odo de tempo maior, 60 anos, vemos que o

argumento do pericentro (ω), figura (3.1), de Caronte precessiona conforme previsto por Tholen

et al. (2008), com a mesma variação de 1,5◦ na amplitude, porém o valor inicial do argumento

do pericentro que obtivemos foi menor que o previsto.

37


Figura 3.1: Precessão do argumento do pericentro de Caronte por um perı́odo de 60 anos.

3.3.2 Nix

Para realizar as integrações numéricas para Nix foram inseridas as coordenadas de posição

e velocidade em relação ao referencial plutocêntrico. Após realizada a integração numérica, ob-

tivemos os elementos orbitais em relação ao baricentro, através do barycenter.c:

a = 49.232,216km, e = 0,011860, I = 96,194526◦, valores que diferem somente de ∼8km para
a e de 4× 10−5 e ∼4× 10−3 graus para e e I , respectivamente, em relação ao valor esperado.

Para o perı́odo de 100 dias, obtivemos que o semi-eixo maior, a, assume valores no intervalo

[48.576,220; 49.654,144] km, figura (3.2). A excentricidade, e, assume valores no intervalo

[0,001325; 0,024970], figura (3.3). A inclinação assume valores dentro do intervalo [96,020;

96,316] graus. O perı́odo de Nix obtido foi de aproximadamente 25,04 dias, valor esperado era

25,49 dias. Na simulação numérica por um perı́odo de 90 dias Tholen et al. (2008) encontraram

que a excentricidade de Nix assume valores no intervalo [0; 0,0272] e a inclinação assume

valores no intervalo [96,020; 96,320] graus. Portanto, concluı́mos que os valores encontrados

em nossas simulações numéricas estão de acordo com os apresentados no artigo citado.

Nas figuras (3.2) e (3.3) são apresentados os gráficos do semi-eixo maior em função do

tempo (a-t) e da excentricidade em função do tempo (e-t) de Nix, por um perı́odo de 100 dias.

Gráfico semelhante ao da variação da excentricidade em função do tempo foi encontrado por

Tholen et al. (2008).

38


Figura 3.2: Semi-eixo maior (km) em função do tempo (dias) de Nix por um perı́odo de 100

dias.

Figura 3.3: Excentricidade em função do tempo (dias) de Nix por um perı́odo de 100 dias.

3.3.3 Hidra

Para o caso do satélite Hidra foram realizadas as mesmas conversões necessárias para

obtenção dos elementos orbitais do satélite Nix em relação ao baricentro. Após realizada

a integração numérica, obtivemos os elementos orbitais em relação ao baricentro, através do

barycenter.c: a = 65.213,096 km, e = 0,007842, I = 96,349336◦, valores que diferem somente

de ∼3km para a e de 4 × 10−5 e ∼2 × 10−2 para e e I , respectivamente, em relação ao valor

esperado.

39


Para o perı́odo de 100 dias obtivemos que o semi-eixo maior assume valores no inter-

valo [64.827,964; 65.266,556] km, figura (3.4). A excentricidade assume valores no intervalo

[0,000339; 0,015198], figura (3.5). A inclinação assume valores dentro do intervalo [95,983;

96,352] graus. O perı́odo determinado através da simulação numérica foi 38,3957 dias, o valor

esperado era 38,85 dias. Na simulação numérica por um perı́odo de 90 dias Tholen et al.

(2008) encontraram que a excentricidade de Hidra assume valores no intervalo [0; 0,0179] e

a inclinação assume valores no intervalo [95,980; 96,340] graus. Portanto, concluı́mos que os

nossos resultados estão de acordo com os valores do referido artigo.

Nas figuras (3.4) e (3.5) são apresentados os gráficos do semi-eixo maior em função do

tempo (a-t) e da excentricidade em função do tempo (e-t) de Hidra por um perı́odo de 100 dias.

Gráfico semelhante ao da variação da excentricidade em função do tempo foi encontrado por

Tholen et al. (2008).

Figura 3.4: Semi-eixo maior (km) em função do tempo (dias) de Hidra por um perı́odo de 100

dias.

40


Figura 3.5: Excentricidade em função do tempo (dias) de Hidra por um perı́odo de 100 dias.

O estudo foi útil para verificarmos a funcionalidade do programa de conversão, o qual seria

utilizado nas próximas etapas deste trabalho.

Após a realização desta primeira etapa, fizemos novas integrações numéricas utilizando as

mesmas condições inicias para os quatros corpos, porém simulamos para um intervalo de tempo

maior, 50 anos. O objetivo era verificar a variação do semi-eixo maior (a) e excentricidade (e)

de Nix e Hidra em um intervalo de tempo maior.

Analisando os gráficos do semi-eixo maior e da excentricidade em funções do tempo, ambos

por um perı́odo de 50 anos, verificamos que o semi-eixo maior de Nix assume valores pratica-

mente iguais e tem a mesma variação de Δa∼1.000 km obtida para o perı́odo de 100 dias. A
excentricidade assume valores no intervalo [0,000103; 0,026610]. O perı́odo obtido para Nix

foi P∼25,3 dias. Para Hidra analisando os gráficos do semi-eixo maior e da excentricidade
em funções do tempo por um perı́odo de 50 anos, verificamos que o semi-eixo maior assume

praticamente os mesmos valores e tem a mesma variação de Δa∼430 km obtida para o perı́odo
de 100 dias. A excentricidade assume valores no intervalo [0,000020; 0,017461]. O perı́odo

encontrado para Hidra foi P∼38,36 dias. Os perı́odos de Nix e Hidra encontrados por Tholen
et al. (2008) na simulação por um perı́odo de 50 anos são P = 25,492 dias e P = 38,734 dias,

respectivamente. Valores próximos ao encontrado em nossas simulações. Concluı́mos que os

elementos a e e de Nix e Hidra mantêm praticamente as mesmas variações apresentadas para

um perı́odo de 100 dias. Verificamos também que como esperado Nix sofre mais os efeitos das

interações dinâmicas com Caronte do que Hidra.

41


3.3.4 Nix e Hidra: perturbação mútua

Com o objetivo de verificarmos a perturbação mútua entre Nix e Hidra, realizamos duas

simulações numéricas:

1a simulação numérica: no arquivo big.in inserimos somente as condições iniciais de Caronte

e Nix, portanto temos somente as perturbações causadas por Plutão e Caronte em Nix, sem o

acréscimo de eventuais efeitos gravitacionais de Hidra (sistema formado por três corpos).

2a simulação numérica: no arquivo big.in inserimos somente os dados de Caronte e Hidra,

portanto temos somente as perturbações causadas por Plutão e Caronte emHidra, sem o acréscimo

de eventuais efeitos gravitacionais de Nix (sistema formado por três corpos).

Após obtidos os gráficos, comparamos com os gráficos que mostravam a variação do a e

do e em função do tempo de Nix e Hidra nas simulações numéricas realizadas para o sistema

formado pelos quatro corpos.

1a simulação - Em relação aos resultados obtidos nas simulações numéricas com o sistema

formado por quatro corpos verificamos que o Δa é igual para os dois sistemas, mesmo fato

ocorreu com o valor de Δe. Logo, concluı́mos que Hidra não exerce um efeito significativo na

variação temporal dos elementos orbitais (a, e) de Nix.

2a simulação - O Δa obtido nesta simulação numérica é igual ao do sistema com quatro

corpos, mesmo fato ocorreu com a variação da excentricidade, Δe. Logo, concluı́mos que

Nix não exerce um efeito significativo no movimento de Hidra, sendo um resultado esperado,

visto que Nix e Hidra têm diâmetros de 88 km e 72 km, respectivamente, e estão separados

de Δa=15.970,0 km. Nas figuras de (3.6) a (3.9) apresentamos os gráficos obtidos no sistema

de 4-corpos e de 3-corpos para um perı́odo menor, 100 dias, pois a visualização de que as os

resultados obtidos nos dois sistemas são praticamente iguais fica mais fácil.

42


 48400

 48600

 48800

 49000

 49200

 49400

 49600

 49800

 0  20  40  60  80  100

se
m

i-e
ix

o 
m

ai
or

 (k
m

)

tempo (dias)

4-corpos
3-corpos

Figura 3.6: Semi-eixo maior (km) em

função do tempo (dias) de Nix por um

perı́odo de 100 dias.

 0

 0.005

 0.01

 0.015

 0.02

 0.025

 0  20  40  60  80  100

ex
ce

nt
ric

id
ad

e

tempo (dias)

4-corpos
3-corpos

Figura 3.7: Excentricidade em função do

tempo (dias) de Nix por um perı́odo de 100

dias.

 64800

 64850

 64900

 64950

 65000

 65050

 65100

 65150

 65200

 65250

 65300

 0  20  40  60  80  100

se
m

i-e
ix

o 
m

ai
or

 (k
m

)

tempo (dias)

4-corpos
3-corpos

Figura 3.8: Semi-eixo maior (km) em

função do tempo (dias) de Hidra por um

perı́odo de 100 dias.

 0

 0.002

 0.004

 0.006

 0.008

 0.01

 0.012

 0.014

 0.016

 0  20  40  60  80  100

ex
ce

nt
ric

id
ad

e

tempo (dias)

4-corpos
3-corpos

Figura 3.9: Excentricidade em função do

tempo (dias) de Hidra por um perı́odo de

100 dias.

43


Capı́tulo 4

Análise da região externa do Sistema

Plutão-Caronte

4.1 Introdução

A análise e determinação de regiões estáveis podem auxiliar a sonda New Horizons a detec-

tar possı́veis satélites e anéis pertencentes ao sistema Plutão-Caronte. Além disso, determinar

regiões onde partı́culas possam permanecer por longos perı́odos de tempo é importante para a

própria segurança da sonda, pois caso esta passe através de um sistema de aneis pouco tênue

poderá sofrer colisões com um número significativo de partı́culas que poderão causar prejuı́zos

à missão.

Thiessenhusen et al. (2002) sugerem que Plutão e Caronte estão dentro de um tênue anel de

poeira, e mostram que um anel de poeira pode existir em torno do binário. No trabalho foram

estudados a densidade deste possı́vel anel e as órbitas das partı́culas que o formam. As partı́culas

que compõem o anel seriam ejetadas de Plutão e, especialmente de Caronte, frutos de colisões

de micrometeoritos originários do Cinturão de Kuiper com as superfı́cies destes. Os efeitos

da atmosfera de Plutão em suas análises têm um efeito pequeno, pois a maior contribuição

vem de material ejetado de Caronte, não se sabe ainda se Caronte tem atmosfera. Segundo

Thiessenhusen et al. (2002) o possı́vel anel é denso o suficiente para ser detectado por uma

sonda espacial que passasse pelo sistema.

Com a descoberta de Nix e Hidra, a questão sobre a existência de uma sistema de aneis

originado de colisões entre pequenos detritos com esse corpos apareceu commais força. Através

do cálculo da velocidade de escape do material que seria ejetado dessas colisões, Steffl e Stern

44


(2007) concluı́ram que o material poderia ficar gravitacionalmente ligado a Plutão, dependendo

de algumas caracterı́sticas como tamanho e densidade, podendo formar aneis.

A profundidade óptica média (τ ) de um anel é uma medida do declı́nio exponencial da luz à

medida que penetra o anel, ela permite dizer se um anel é mais tênue ou mais denso. Baseados

em teorias que sugerem que pequenos corpos que colidem com os satélites Nix e Hidra são

capazes de gerar aneis no sistema de Plutão, Steffl e Stern (2007) realizaram um estudo sobre

a existência destes aneis, utilizando imagens obtidas com o Telescópio Espacial Hubble. Seus

resultados mostraram que não foram encontradas evidências observacionais de aneis no sistema

e que se o sistema de aneis de Plutão existir, ele é tão tênue quanto o sistema de aneis de Júpiter.

O valor de τ determinado por Stern et al. (2006b) é τ = 5×10−6.

Holman e Wiegert (1999) analisaram em quais regiões do espaço de fase próximo a um sis-

tema binário poderiam existir planetas. Eles simularam numericamente conjuntos de partı́culas

utilizando o Problema Elı́ptico Restrito de 3-corpos por um perı́odo de 104Tbinário. Valores para

a excentricidade dos binários foram adotados entre 0,0 ≤ e ≤ 0,8 e para a razão de massa entre
0,1 ≤ μ ≤ 0,9. Dos resultados foram derivadas expressões analı́ticas para o semi-eixo maior
crı́tico, o qual determina um limite para a região estável para o tempo de integração consider-

ado. Para o caso de partı́culas externas ao binário orbitando o centro de massa do sistema o

semi-eixo maior crı́tico (acrit) em unidades do semi-eixo maior do binário, é dado por:

acrit = (1, 60± 0, 04) + (5, 10± 0, 05)e (4.1)

+(−2, 22± 0, 11)e2 + (4, 12± 0, 09)μ (4.2)

+(−4, 27± 0, 17)eμ + (−5, 09± 0, 11)μ2 (4.3)

+(4, 61± 0, 36)e2μ2 (4.4)

Para o sistema Plutão-Caronte, em que e = 0,0035 e μ=mC

mP
= é 0,1166, temos acrit=39.674km.

Holman e Wiegert (1999) ressaltam que o limiar entre a região de estabilidade e a região de

instabilidade não é bem definido.

Nosso objetivo neste capı́tulo é obter diagramas semi-eixo maior em função da excentrici-

dade (a-e) para partı́culas em órbitas prógradas e retrógradas se movendo em órbitas do tipo-P

sob os efeitos gravitacionais de todos os corpos do sistema de Plutão na região externa do sis-

tema binário Plutão-Caronte, esta região é localizada além da órbita de Caronte. De acordo com

os resultados obtidos foram identificadas regiões caóticas próximas dos satélites Nix e Hidra.

45


Também foram identificadas partı́culas em ressonância de movimento médio com os satélites

Nix ou Hidra. Temos que partı́culas-teste localizadas inicialmente dentro da região de caos

sofrem um aumento em suas excentricidades podendo colidir com um dos corpos massivos do

sistema ou serem ejetadas. Partı́culas com semi-eixo maiores mais próximos aos dos satélites

são “refletidas” quando se aproximam destes e movem-se em órbitas ferradura ou girino. Para

entendermos esses regimes, os quais foram necessários para a análise dos gráficos obtidos,

faremos nas próximas seções considerações teóricas breves com relação a sobreposição de res-

sonâncias e caos e com relação a dinâmica de partı́culas coorbitais a um satélite.

4.2 Estudo Teórico

4.2.1 Ressonâncias

São os fenômenos de ressonância que determinam a estrutura dinâmica do Sistema So-

lar. Em anéis planetários, ressonâncias entre partes dos anéis e satélites são responsáveis pela

formação de várias estruturas nos aneis, como falhas e ondulações. No caso dos aneis de

Saturno, a maioria da estrutura do anel A pode ser entendida no contexto de ressonâncias entre

as partı́culas do anel e os satélites que orbitam próximos a ele, Prometeu, Pandora e Jano.

Em algumas situações o anel é confinado devido a ressonâncias com seus satélites pastores,

por exemplo, o anel ε é confinado devido a ressonância com Cordélia e Ofélia (Goldreich e

Tremaine, 1979) que orbitam interiormente e exteriormente o anel. Esta teoria foi confirmada

posteriormente através de imagens da Voyager 2 (Murray e Dermott, 1999).

O Sistema de Saturno apresenta uma enorme variedade de fenômenos causados por res-

sonância, alguns exemplos são Mimas e Tétis que estão em ressonância 4:2 e Enceladus e

Dione em ressonância 2:1 (Murray e Dermott, 1999). Estes são somente alguns exemplos da

grande quantidade de ressonâncias presentes no Sistema Solar.

Uma ressonância pode aparecer quando há uma relação numérica entre frequências ou

perı́odos, outros tipos de relação de ressonância mais complicadas também existem. Os perı́odos

podem ser rotacional ou orbital de um único corpo ou orbitais de dois ou mais corpos. A res-

sonância 1:1 (quando o perı́odo orbital é igual ao perı́odo rotacional) faz com que a Lua man-

tenha sempre a mesma face voltada para a Terra. Este tipo de ressonância está presente na

maioria dos satélites naturais do Sistema Solar (Murray e Dermott, 1999). O estudo dos efeitos

da ressonância em mecânica celeste começou com a dinâmica dos asteróides. Kirkwood em

46


1867 publicou um estudo que apontava falhas no Cinturão de Asteróides devido a importantes

ressonâncias com Júpiter (Kirkwood, 1867). Em um caso mais geral, considerando dois satélites

se movendo ao redor de um planeta em órbitas circulares e coplanares podemos assumir que:

n′

n
=

p

p + q
(4.5)

em que n e n′ são os movimentos médios dos satélites interno e externo, respectivamente, e

p e q são inteiros. Considerando dois satélites em conjunção no tempo t=0, então a próxima

conjunção ocorrerá quando:

nt− n′t = 2π (4.6)

e o perı́odo, Tcon, entre conjunções sucessivas é dado por:

Tcon =
2π

n− n′
(4.7)

De (4.5) temos que p(n − n′) = qn′ então (n − n′) = q
p
n′, e temos que p = (p+q)n′

n
,

substituindo (n− n′) em (4.7) obtemos:

Tcon =
p

q

2π

n′
=

p

q
T ′ =

p + q

q
T (4.8)

em que T e T ′ são os perı́odos orbitais dos dois satélites, interno e externo, respectivamente.

De (4.8) obtemos:

qTcon = pT ′ = (p + q)T (4.9)

Para q=1 sabemos o número de voltas completas realizadas por cada um dos satélites entre

sucessivas conjunções e cada conjunção ocorre na mesma longitude do espaço inercial. Se q=2,

cada segunda conjunção ocorre na mesma longitude.

Anteriormente consideramos o caso dos dois satélites em órbitas circulares, e =0 e e′=0,

agora vamos considerar o caso quando e=0 e e′ �= 0, e além disso �̇ �= 0, em que � é a

longitude do pericentro. Se a equação

(p + q)n′ − pn− q�̇′ = 0 (4.10)

é satisfeita, então podemos escrevê-la da seguinte forma:

47


(n′ − �̇′)q + (n′ − n)p + p�̇′ − p�̇′ = 0 (4.11)

(n′ − �̇′)q + (n′ − �̇′)p− pn + p�̇′ = 0 (4.12)

(n′ − �̇′)(p + q) = p(n− �̇′) (4.13)

(n′ − �̇′)

(n− �̇′)
=

p

p + q
(4.14)

em que n′ − �̇′ e n− �̇′ são os movimentos relativos, podendo ser considerado como o movi-

mento médio em um sistema de referência corotacional com o pericentro do satélite externo

(Murray e Dermott, 1999).

O argumento ressonante correspondente à equação (4.10) é

ϕ = (p + q)λ′ − pλ− q�′ (4.15)

O ângulo ϕ é a medida do deslocamento da longitude da conjunção em relação ao pericentro

do satélite externo. O Sistema Solar tem vários exemplos de objetos que orbitam um corpo

central e ambos estão presos em uma ressonância de movimentomédio. Este tipo de ressonância

também é conhecida como ressonância de dois-corpos, neste caso um ou mais argumentos da

expansão da função perturbadora está librando, por exemplo, Plutão está em ressonância de

movimento médio 3:2 com Netuno e o argumento do periélio de Plutão libra em torno de 90◦

(Levison e Stern, 1995).

No caso de Titã-Hipério, em que Titã está em uma ressonância 4:3 com Hipérion, de

observações foi obtido que ϕ = 4λ′ - 3λ - �′ libra em torno de 180◦. A conjunção entre os

dois satélites libra em torno do apocentro de Hipério.

4.2.2 Caos

O fenômeno conhecido como caos pode ser detectado em vários sistema dinâmicos, porém

não há ainda uma definição universalmente aceita de caos (Murray e Dermott, 1999). Um

sistema é dito determinı́stico quando o seu estado atual permite definir as condições de seus

estados passado e futuro conhecendo todas as forças que agem sobre ele, ou seja, dado um

estado inicial e as equações que descrevem tal sistema é possı́vel calcular a configuração do

48


sistema em qualquer instante de tempo. Em um sistema caótico existe uma dependência em

relação as condições iniciais, que faz com que um mesmo sistema com duas condições iniciais

próximas apresentem configurações bastante diferentes depois de um determinado perı́odo de

tempo. Sistemas caóticos são caracterizados pela extrema sensibilidade às condições iniciais e

pela imprevisibilidade a longo prazo. Um objeto no Sistema Solar exibe um movimento caótico

se o seu estado dinâmico final é sensivelmente dependente do seu estado inicial (Murray e

Dermott, 1999).

O movimento caótico também pode ser originário da sobreposição de ressonâncias adja-

centes. Considerando o caso do Problema Circular Restrito de 3-corpos em que temos dois

corpos com massas se movendo em órbitas circulares e coplanares ao redor do centro de massa

comum e uma partı́cula de massa negligenciável, de tal modo que a partı́cula não afeta as duas

massas embora seja afetada por elas, de acordo com a teoria de perturbações ressonantes desen-

volvida em Murray e Dermott (1999) na vizinhança de uma ressonância existe uma separatriz

bem definida e uma largura máxima para a ressonância. Em primeira aproximação neste tra-

balho é considerado um espaço de fase composto por uma sucessão de tais ressonâncias cada

uma tratada isoladamente, assim são definidas expressões para o cálculo da largura máxima de

libração de tais ressonâncias. Um exemplo são as ressonâncias interiores de primeira ordem

da forma p + 1 : p. Cada ressonância tem uma separação bem definida em semi-eixo maior

e conforme o perturbador se aproxima as separações entre ressonâncias adjacentes se tornam

menores, chegando a um ponto onde elas começam a se sobrepor (Murray e Dermott, 1999).

Utilizando o Problema Circular Restrito de 3-corpos Wisdom (1980) mostrou que para pe-

quenas excentricidades (e ≤ 0, 15) da partı́cula o ponto de sobreposição de ressonâncias é

alcançado quando:

ssobrep ≈ 0, 51μ
−2/7
2 (4.16)

em que μ2 = m2

m1+m2

, m2 é a massa do perturbador secundário e m1 é a massa do corpo central.

Murray e Dermott (1999) fornecem a separação em semi-eixo maior do satélite perturbador,

utilizando a terceira Lei de Kepler, pela equação:

Δasobrep ≈ 1, 3μ
2/7
2 a′ (4.17)

em que a′ é o semi-eixo maior do perturbador. É esperado que partı́culas na região a′±Δasobrep

estejam em órbitas caóticas, sendo removidas da região devido a encontros próximos com o

49


corpo perturbador. Utilizamos a equação (4.17) quando calculamos a localização aproximada

dos limites das regiões de caos de Nix e Hidra.

4.2.3 Órbitas girino e ferradura

O Problema Circular Restrito de 3-corpos não é integrável, porém é possı́vel encontrar

soluções particulares distintas. Elas podem ser encontradas buscando por pontos onde a partı́cula

tem velocidade e aceleração nulas em um sistema girante, estes pontos são chamados pontos de

equilı́brio do sistema.

Partı́culas de aneis, por exemplo, podem ser confinadas devido a perturbação de um satélite

imerso no anel fazendo com que as partı́culas descrevam em um sistema girante uma órbita do

tipo ferradura ou girino.

Dermott e Murray (1981a,1981b) apresentaram um estudo da dinâmica de órbitas do tipo

girino e ferradura para o Problema Restrito de 3-corpos circular e elı́ptico utilizando métodos

analı́ticos e numéricos. Em Dermott e Murray (1981a) são descritas as propriedades gerais de

órbitas girino e ferradura. Foi mostrado que a trajetória da partı́cula em um sistema girante

está relacionada a forma da curva de velocidade zero associada (as curvas de velocidade zero

delimitam regiões onde o movimento da partı́cula é excluı́do).

As localizações dos pontos de equilı́brio foram mostradas por Murray e Dermott (1999)

utilizando o Problema Circular Restrito de 3-corpos. Nesta seção apresentaremos considerações

teóricas breves visando o entendimento da dinâmica de órbitas do tipo ferradura e girino.

Considerando o movimento de uma partı́cula de massa negligenciável se movento sob os

efeitos gravitacionais de dois corpos com massas m1 e m2 que estão em órbitas circulares ao

redor de seu centro de massa comum e exercem uma força na partı́cula, a partı́cula não afeta

as duas massas. No sistema de referência inercial ξ, η e ζ são os eixos do sistema centrado no

centro de massa do sistema. O eixo ξ está ao longo de uma linha conectandom1 am2 no tempo

t =0, η é perpendicular a ξ, e ζ é perpendicular ao plano ξ − η. Assume-se que m1 e m2 tem

separação constante e mesma velocidade angular ao redor um do outro e do centro de massa

comum, quem1 > m2 e μ = m2

m1+m2

, μ1 = Gm1= 1− μ e μ2 = Gm2 = μ.

As equações do movimento da partı́cula são dadas por:

ξ̈ = μ1
ξ1 − ξ

r3
1

+ μ2
ξ2 − ξ

r3
2

(4.18)

50


η̈ = μ1
η1 − η

r3
1

+ μ2
η2 − η

r3
2

(4.19)

ζ̈ = μ1
ζ1 − ζ

r3
1

+ μ2
ζ2 − ζ

r3
2

(4.20)

em que

r2
1 = (ξ1 − ξ)2 + (η1 − η)2 + (ζ1 − ζ)2 (4.21)

r2
2 = (ξ2 − ξ)2 + (η2 − η)2 + (ζ2 − ζ)2 (4.22)

A distância entre as duas massas é fixa (órbitas circulares) e a velocidade angular n (movi-

mento médio) é fixa em torno do centro de massa, assim é interessante trabalharmos com um

sistema girante (x, y, z) no qual as duas massas são fixas e o sistema gira no sentido anti-horário

(positivo) a uma taxa constante n tendo a mesma origem do sistema inercial. No novo sistema

as duas massas têm coordenadas (x1, y1, z1) = (−μ2, 0, 0) e (x2, y2, z2) = (μ1, 0, 0). Da equação

(4.21) e (4.22) e das definições de μ1 e μ2 temos:

r2
1 = (x + μ2)

2 + y2 + z2 (4.23)

r2
2 = (x− μ1)

2 + y2 + z2 (4.24)

(x, y, z) são as coordenadas da partı́cula no sistema girante.

Através de matrizes de rotação é possı́vel relacionar os dois sistemas. No novo sistema as

acelerações podem ser escritas como o gradiente de uma função escalar U :

ẍ− 2nẏ =
∂U

∂x
(4.25)

ÿ + 2nẋ =
∂U

∂y
(4.26)

z̈ =
∂U

∂z
(4.27)

em que U = U(x, y, z) é dado da forma:

U =
n2

2
(x2 + y2) +

μ1

r1
+

μ2

r2
(4.28)

51


Vamos assumir que todo o movimento está confinado no plano x− y e n =1. Das equações

(4.23) e (4.24) e usando o fato que μ1 + μ2 =1, U pode ser escrito da seguinte forma:

U = μ1(
1

r1
+

r2
1

2
) + μ2(

1

r2
+

r2
2

2
)− 1

2
μ1μ2 (4.29)

Para determinar as localizações dos pontos de equilı́brio devemos resolver as equações:

∂U

∂x
= 0 (4.30)

∂U

∂y
= 0 (4.31)

usando U = U(r1, r2) dada em (4.29). Após a resolução das derivadas parcias obtém-se que

r1 = r2 = 1 no sistema de unidades considerado. Das equações (4.23) e (4.24), obtém-se:

x =
1

2
− μ2 (4.32)

y = ±
√

3

2
(4.33)

Temos que r1 = r2 = 1, logo cada um desses pontos denifidos pelas equações formam um

triângulo equilátero com massas μ1 e μ2, sendo chamados de pontos de equilı́brio Lagrangianos

triangulares (L4 e L5). Para y = 0 outra solução é obtida implicando que os pontos de equilı́brio

estão dispostos no eixo x, estes são chamados pontos de equilı́brio lagrangianos colineares (L1,

L2 e L3).

Além da determinação da quantidade de pontos de equilı́brio existentes em um sistema,

também é importante determinar a estabilidade dos mesmos. A verificação da estabilidade

dos pontos é feita analisando o movimento de uma partı́cula considerando um pequeno deslo-

camento de um ponto de equilı́brio, através da linearização das equações do movimento. A

solução geral das componentes dos vetores velocidade e posição relativos ao ponto de equilı́brio

envolvem uma combinação linear de termos da forma eλjt, sendo λ um autovalor complexo.

Para os pontos triangulares os autovalores são puramente imaginários o que resulta num movi-

mento da partı́cula oscilatório, ela permanece na vizinhança do ponto de equilı́brio e o movi-

mento é estável para μ2 ≤ 0,0385 (Murray e Dermott, 1999). Para os pontos colineares os au-
tovalores tem parte real e parte imaginária, assim há um crescimento exponencial nas variáveis

X, Y, Ẋ e Ẏ (X , Y denotam os pequenos deslocamentos) resultando nummovimento da partı́cula

se afastando do ponto de equilı́brio e no ponto ser linearmente instável.

52


Um esquema mostrando a localização dos pontos de equilı́brio é mostrado na figura (4.1)

em que L4 e L5 são pontos de equilı́brio estáveis e L1, L2 e L3 pontos de equilı́brio instáveis.

Figura 4.1: Localização dos pontos de equilı́brio lagrangianos, L1, L2, L3, L4 e L5 em relação

as massas μ1 e μ2.

Uma órbita é chamada de girino devido ao seu formato alongado ao redor dos pontos de

equilı́brio estáveis L4 e L5, e chamada de ferradura quando engloba os pontos L3, L4 e L5.

Esses formatos são visı́veis em um sistema rotacional. Em um sistema rotacional a partı́cula

libra em torno de 60◦ ou 300◦ (órbita girino) ou em torno de 180◦ (órbita ferradura).

A largura da região de órbitas de ferradura depende da razão de massa entre as massas do

satélite e do planeta (μ) e do semi-eixo maior do satélite (asat). Dermott e Murray (1981a)

fornecem a largura radial da região de ferradura dada pela equação:

δr ≈ 0, 5μ1/3asat (4.34)

Nix e Hidra possuem órbitas excêntricas, utilizando a equação (4.34) podemos calcular uma

aproximação para a largura da região de ferradura desses corpos. Assim obtemos:

Whs(Nix) = 1.680km (4.35)

Whs(Hidra) = 1.826km (4.36)

Os limites para a região coorbital são asat ± δr.

53


4.3 Resultados

4.3.1 Órbitas prógradas

Nosso sistema é formado por 5 corpos: Plutão (corpo central), Caronte, Nix e Hidra (cor-

pos massivos) e partı́cula-teste. Realizamos as integrações numéricas utilizando o integrador

Bulirsch-Stoer (Chambers, 1999). A distância Plutão-Caronte d foi tomada como unidade de

distância, o plano orbital dos primários foi considerado o plano de referência e a linha que os

conecta em t = 0 define um eixo de referência x. A razão de massa adotada

μ = m2/(m1+m2)=0,1166 (Tholen et al., 2008), sendo m1 a massa de Plutão e m2 a massa

de Caronte. As condições iniciais de Plutão, Caronte, Nix e Hidra foram extraı́das das tabelas

(3.1) e (3.2). Variamos os elementos orbitais iniciais das partı́culas testes da seguinte maneira:

• o semi-eixo maior a, medido em relação ao baricentro do sistema, assumiu valores de

∼2d (40.000 km) a ∼5d (100.000 km), com passo Δa=0,005d, em que d = 19.570,3 km;

• a excentricidade e assumiu valores de 0,0 a 0,20 com passoΔe = 0,05;

• assumimos que a linha dos nodos do plano orbital das partı́culas teste coincide com o eixo
x no tempo t = 0, logo Ω = 0◦;

• valores de ω foram escolhidos aleatoriamente entre 0◦ e 360◦, f = 0◦ (anomalia ver-

dadeira);

• I = 0◦ em relação ao plano orbital de Plutão-Caronte.

O sistema formado por Plutão, Caronte, Nix, Hidra e partı́culas foi integrado numericamente

por um perı́odo de∼105 perı́odos do binário (TP−C), ou 650.000 dias, com saı́da a cada 10.000

dias. No total foram integradas numericamente 303.505 partı́culas. A distância de ejeção ado-

tada foi 10d ou ∼200.000 km de Plutão, quando a distância da partı́cula a Plutão é maior que
esse valor uma ejeção é detectada. Quando a distância entre a partı́cula e um satélite ou entre

a partı́cula e o corpo central é menor que o raio desses corpos, uma colisão é detectada. No

caso de colisão e ejeção a partı́cula é removida do sistema e as coordenadas de posição e ve-

locidade são armazenadas. Os elementos orbitais acima referem-se a um sistema de referência

baricêntrico, em que a massa do baricentro é dada pela massa de Plutão somada a massa de

Caronte (mP +mC).

54


Realizamos integrações numéricas com a de 40.000 km a 100.000 km, pois resultados ante-

riores (Stern et al., 1994 e Nagy et al., 2006) mostraram que interações dinâmicas com Caronte

tornam as órbitas das partı́culas com a <42.000 km instáveis. Além disso, o nosso objetivo é

analisar as regiões de órbitas estáveis externas, próximas a Nix e Hidra. Optamos por obter

aleatoriamente um conjunto de 101 valores para o argumento do pericentro das partı́culas teste,

de modo que ficasse mais clara a visualização dos efeitos sofridos quando elas estivessem lo-

calizadas próximas ou nas posições de ressonância. Logo, para cada valor de a e e tı́nhamos um

pequeno conjunto de partı́culas.

Como dissemos anteriormente, no pacote Mercury a integração numérica é realizada em

relação a um referencial plutocêntrico, portanto através de um programa escrito em linguagem

C, transformamos os elementos orbitais das partı́culas em um referencial baricêntrico para co-

ordenadas de posição e velocidade no mesmo referencial. A seguir as coordenadas de posição

e velocidade foram transladadas do referencial baricêntrico para um referencial plutocêntrico.

Uma lista com estas coordenadas de posição e velocidade foi criada no arquivo small.in do

pacote Mercury. Após realizadas as integrações numéricas, transformamos as coordenadas de

posição e velocidade das partı́culas e de Nix e Hidra dos arquivos de saı́da em elementos orbitais

em relação ao baricentro.

A figura (4.2) apresenta o semi-eixo maior em função da excentricidade para todas as

partı́culas no tempo inicial (t = 0). Partı́culas com semi-eixo maior inicial entre 40.000 km

e 60.000 km estão em vermelho, entre 60.000 km e 80.000 km estão em verde e entre 80.000 km

e 100.000 km estão em azul.

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

2x104 3x104 4x104 5x104 6x104 7x104 8x104 9x104 1x105

ex
ce

nt
ric

id
ad

e

semi-eixo maior (km)

Figura 4.2: Semi-eixo maior (km) em função da excentricidade para o conjunto de partı́culas

no tempo inicial t=0. Nix e Hidra são indicados por pequenos quadrados pretos em 49.240 km

e 65.210 km, respectivamente.

55


A seguir apresentamos as grades (a-e) obtidas para ∼103TP−C (figura 4.3), ∼104TP−C

(figura 4.4) e ∼105TP−C (figura 4.5).

 0

 0.05

 0.1

 0.15

 0.2

 0.25

 0.3

 0.35

 0.4

 0.45

 0.5

4x104 5x104 6x104 7x104 8x104 9x104 1x105

6:
5

5:
4

3:
2

2:
1

5:
2

ex
ce

nt
ric

id
ad

e

semi-eixo maior (km)

3:
2

5:
4

6:
5

2:
3

6:
7

8:
5

9:
7

8:
7

9:
8

7:
5

11
:8

10
:7

4:
5

5:
6

7:
6

4:
3

Figura 4.3: Semi-eixo maior (km) em função da excentricidade por um perı́odo de ∼103TP−C

(10.000 dias). Nix e Hidra são indicados por pequenos quadrados pretos em 49.240 km e

65.210 km, respectivamente. A localização aproximada dos semi-eixo maiores ressonantes

entre partı́cula-satélite Nix (parte superior) ou Hidra (parte inferior) são indicadas por retas

verticais tracejadas. As retas em preto são uma aproximação do limite da região de caos.

Na tabela (4.1) apresentamos as taxas de ejeção e colisão entre as partı́culas e os corpos

massivos.

56


 0

 0.05

 0.1

 0.15

 0.2

 0.25

 0.3

 0.35

 0.4

 0.45

 0.5

4x104 5x104 6x104 7x104 8x104 9x104 1x105

6:
5

5:
4

3:
2

2:
1

5:
2

ex
ce

nt
ric

id
ad

e

semi-eixo maior (km)

3:
2

5:
4

6:
5

2:
3

6:
7

8:
5

9:
7

8:
7

9:
8

7:
5

11
:8

10
:7

4:
5

5:
6

7:
6

4:
3

Figura 4.4: Semi-eixo maior (km) em função da excentricidade por um perı́odo de ∼104TP−C

(70.000 dias). Nix e Hidra são indicados por pequenos quadrados pretos em 49.240 km e

65.210 km, respectivamente. A localização aproximada dos semi-eixo maiores ressonantes

entre partı́cula-satélite Nix (parte superior) ou Hidra (parte inferior) são indicadas por retas

verticais tracejadas. As retas em preto são uma aproximação do limite da região de caos.

 0

 0.05

 0.1

 0.15

 0.2

 0.25

 0.3

 0.35

 0.4

 0.45

 0.5

4x104 5x104 6x104 7x104 8x104 9x104 1x105

6:
5

5:
4

3:
2

2:
1

5:
2

ex
ce

nt
ric

id
ad

e

semi-eixo maior (km)

3:
2

5:
4

6:
5

2:
3

6:
7

8:
5

9:
7

8:
7

9:
8

7:
5

11
:8

10
:7

4:
5

5:
6

7:
6

4:
3

Figura 4.5: Semi-eixo maior (km) em função da excentricidade por um perı́odo de ∼105TP−C

(650.000 dias). Nix e Hidra são indicados por pequenos quadrados pretos em 49.240 km e

65.210 km, respectivamente. A localização aproximada dos semi-eixomaiores ressonantes entre

partı́cula-satélite Nix (parte superior) ou Hidra (parte inferior) são indicadas por retas verticais

tracejadas. As retas em preto são uma aproximação do limite da região de caos.

57


Plutão Caronte Nix Hidra Total

colisão 0,70% 1,07% 7,39% 7,11% 16,27%

ejeção - - - - 32,74%

total 49,02%

Tabela 4.1: Taxas de ejeção e colisão entre as partı́culas e os corpos massivos para o tempo final

de integração, 650.000 dias.

Aproximadamente 51% das partı́culas “sobreviveram” até o tempo final de integração, sendo

que a maior parte das partı́culas que sobreviveram são indicadas nos gráficos por pontos em

azul, após a órbita de Hidra, como pode ser verificado pelos valores das taxas de ejeção e co-

lisão com os corpos massivos do sistema em função da localização inicial da partı́cula na tabela

(4.2). Partı́culas com semi-eixo maior inicial entre 40.000 km e 60.000 km (em vermelho) con-

stituem o conjunto 1, entre 60.000 km e 80.000 km (em verde) constituem o conjunto 2 e entre

80.000 km e 100.000 km (em azul) constituem o conjunto 3.

conj. 1 conj. 2 conj. 3

colisão-Nix 17,18% colisão-Hidra 15,81% colisão-Hidra 0,84%

colisão-outros corpos 9,17% colisão-outros corpos 5,49% colisão-outros corpos 0,30%

ejeção 63,69% ejeção 32,67% ejeção 1,70%

total 90,03% total 53,97% total 2,85%

Tabela 4.2: Taxas de ejeção e colisão entre as partı́culas e os corpos massivos do sistema de

Plutão para o tempo final de integração, 650.000 dias.

Nas grades (a-e) é possı́vel ver os efeitos de Nix e e Hidra nas partı́culas. Os satélites

“limpam” a região em torno deles, permanecendo somente partı́culas com semi-eixo maior

próximo aos dos satélites (“coorbitais”) e com baixas excentricidades. Também vemos os

efeitos causados nas partı́culas, aumento das excentricidades, quando estas tem um semi-eixo

maior inicial próximo a uma ressonância p + q : q em que q é a ordem da ressonância, dada pela

fórmula para o corpo interno (Murray e Dermott, 1999):

a = (
p

p + q
)2/3a′ (4.37)

em que a′ é o semi-eixo maior do satélite, sendo similar para o corpo externo:

58


a = (
p + q

p
)2/3a′ (4.38)

Para calcular as localizações dos semi-eixo maiores ressonantes entre partı́cula-satélite (Nix

e Hidra) escrevemos um programa em C que nos forneceu esses valores utilizando as equações

(4.37) e (4.38) para diferentes valores de q.

Pela análise das figuras (4.3), (4.4) e (4.5) vemos que as interações gravitacionais das

partı́culas-teste com os corpos massivos do sistema podem causar um aumento na excentri-

cidade e no semi-eixo maior destes pequenos corpos. Desta forma, estes corpos podem ser

ejetados, colidir com Plutão ou com os seus satélites, ou ainda devido ao tempo de integração

não ser suficiente para que umas das duas opções anteriores ocorra, como pode ser verificado

nas figuras (4.3) e (4.4), os pequenos corpos podem ser espalhados pela região 1 (interior à

órbita de Nix) e 2 (entre as órbitas de Nix e Hidra) se movendo em direção a região mais ex-

terna do sistema.

Em torno dos satélites Nix e Hidra foram identificadas regiões caóticas, os limites inferiores

e exteriores dessas regiões são: a = 45.698 km e a = 52.781 km para Nix, e a = 61.253 km e

a = 69.167 km para Hidra, respectivamente, para e = 0. As regiões de caos aumentam à medida

que a excentricidade aumenta. Essas regiões têm a largura radial calculada através da equação

(4.39) (Murray e Dermott, 1999).

Δasobrep = 1, 3μ2/7a′ (4.39)

em que a′ é o semi-eixo maior do perturbador, μ = m