UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Câmpus de Ilha Solteira - SP TAINÁ FERNANDA GARBELIM PASCOALATO UMA PROPOSTA DE REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICAS COM PLANO DE SIMETRIA VERTICAL DIRETAMENTE NO DOMÍNIO DO TEMPO, CONSIDERANDO APLICAÇÕES EM SIMULAÇÕES DE TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS Ilha Solteira 2020 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Câmpus de Ilha Solteira - SP TAINÁ FERNANDA GARBELIM PASCOALATO UMA PROPOSTA DE REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICAS COM PLANO DE SIMETRIA VERTICAL DIRETAMENTE NO DOMÍNIO DO TEMPO, CONSIDERANDO APLICAÇÕES EM SIMULAÇÕES DE TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS Dissertação apresentada no Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Estadual Paulista - UNESP - Câmpus de Ilha Solteira, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mes- tre em Engenharia Elétrica. Área do Co- nhecimento: Automação PROF. Dr. SÉRGIO KUROKAWA Orientador Dr. PABLO TORREZ CABALLERO Co-orientador Ilha Solteira 2020 PASCOALATOUMA PROPOSTA DE REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICAS COM PLANO DE SIMETRIA VERTICAL DIRETAMENTE NO DOMÍNIO DO TEMPO, CONSIDERANDO APLICAÇÕES EM SIMULAÇÕES DE TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOSIlha Solteira2020 95 Sim Dissertação (mestrado)Engenharia ElétricaAutomaçãoSim . . . FICHA CATALOGRÁFICA Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação Pascoalato, Tainá Fernanda Garbelim. Uma proposta de representação de linhas de transmissão trifásicas com plano de simetria vertical diretamente no domínio do tempo, considerando aplicações em simulações de transitórios eletromagnéticos / Tainá Fernanda Garbelim Pascoalato. -- Ilha Solteira: [s.n.], 2020 96 f. : il. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2020 Orientador: Sérgio Kurokawa Coorientador: Pablo Torrez Caballero Inclui bibliografia 1. Transitórios eletromagnéticos. 2. Linhas de transmissão. 3. Domínio da frequência. 4. Domínio do tempo. 5. Parâmetros concentrados. 6. Matriz de transformação modal de Clarke. P281p AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus por me dar forças nessa longa caminhada. Agradeço a minha família, em especial a minha mãe Maria Sueli por todo o amor e preocupação comigo. Aos meus primos Cleuza e Braz, pela recepção em Ilha Solteira, pelo apoio e os maravilho- sos almoços nesses anos. Ao meu namorado Wellington, por todo o amor, paciência, suporte, conforto, atenção, ca- rinho, preocupação e incentivo em todos os momentos. A minha sogra Neusa, por ser como uma mãe para mim e sempre querer o meu bem. As minhas amigas de moradia, Patrícia e Érika, pelas conversas e pelos momentos de des- contração, principalmente ao meu amigo irmão Gabriel, que esteve comigo em absolutamente todos os momentos, me apoiando e sendo meu braço direito. Agradeço aos meus amigos: Douglas, Thainara, Carol, Juliana, Júlia, Amanda e Brenda, por todas as conversas, intenso incentivo e principalmente amor e carinho. Aos membros do Grupo de Análise em Transitórios Eletromagnéticos (GATE) pelo apoio e disposição em ajudar, principalmente aos amigos Jaimis e Júlio pela companhia diária e ao meu querido amigo Anderson Ricardo que sempre fez tudo o que pode para me apoiar e incentivar. Ao meu co-orientador Pablo Torrez Caballero pelos diversos ensinamentos. Ao meu orientador Sérgio Kurokawa pelo acolhimento, aprendizado e exemplo de dedica- ção durante a orientação. Agradeço aos funcionários da UNESP, por todos os serviços prestados, especialmente a querida Sandra por todo o carinho e preocupação. Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pela oportu- nidade e apoio financeiro. À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001, e a Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) pelo suporte através do Auxílio a pesquisa no. 2019/14807-0. Aos membros da banca Prof. Dr. Ailton Akira Shinoda e Prof. Dr. Rodrigo Cleber da Silva pela disponibilidade e pela correção deste trabalho. RESUMO Este trabalho descreve um modelo alternativo para representar linhas de transmissão (LTs) tri- fásicas, com a análise podendo ser realizada diretamente no domínio do tempo ou no domínio da frequência. Neste modelo, uma LT trifásica com plano de simetria vertical e não idealmente transposta é decomposta em dois modos acoplados e um modo desacoplado usando a matriz de Clarke. O modo desacoplado é considerado como uma LT monofásica, enquanto os modos acoplados são considerados como uma LT bifásica sem plano de simetria vertical. Ambas as LTs são representadas pelo modelo a parâmetros concentrados composto por uma cascata de circuitos L. Uma vez que as LTs são adequadamente representadas, são calculadas correntes e tensões modais ao longo de cada linha. O processo de transformação para o domínio das fases é feito empregando novamente a matriz de Clarke. As correntes e tensões obtidas usando o modelo proposto são comparadas com as obtidas por um modelo encontrado na literatura deno- minado de clássico modal. Os resultados apresentados demonstram um excelente desempenho entre as respostas transitórias calculadas pelo modelo clássico e pelo modelo proposto. Baseado nos resultados, o modelo proposto mostra-se preciso e é uma eficiente e válida ferramenta para análise de transitórios eletromagnéticos para LT trifásicas com plano de simetria vertical. Palavras-chave: Transitórios eletromagnéticos. Linhas de transmissão. Domínio da frequên- cia. Domínio do tempo. Parâmetros concentrados. Matriz de transformação modal de Clarke. ABSTRACT This paper describes an alternative model to represent three-phase transmission lines (TL), which the electromagnetic transient analysis can be performed directly in the time or in the frequency domain. In this model, it is considered that a three-phase TL with a vertical sym- metry plane and not ideally transposed is represented by its propagation modes obtained by Clarke’s matrix. Applying this transformation, the three-phase TL is decomposed into a two- phase TL, without vertical symmetry plane, and a single-phase TL. Both TLs are represented by the lumped parameter line model which is composed of a large number of L-circuits con- nected in cascade. Once the TLs are properly represented, modal currents and voltages along the length are obtained for each line. The conversion process to return to the phase domain is carried out by employing the inverse Clarke transformation matrix . The currents and voltages obtained with the proposed model are compared with those obtained with a traditional model in the literature, named classical modal. The results show an excellent agreement between the transient responses from the classical and proposed model. Based on the results, the proposed model is developed correctly and it is an efficient and valid tool to analyze the electromagnetic transients for three-phase TLs with vertical symmetry plane in power systems. Keywords: Electromagnetic transients. Transmission lines. Frequency domain. Time domain. Lumped parameters. Clarke’s matrix. LISTA DE FIGURAS Figura 1 Condutores i e k, sobre o solo (considerado ideal), com suas imagens i’ e k’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Figura 2 Capacitâncias em um sistema de n condutores. . . . . . . . . . . . . . 28 Figura 3 LT bifásica genérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Figura 4 LT bifásica representada por uma cascata de pares de circuitos L aco- plados (análise no domínio do tempo). . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Figura 5 LT bifásica representada por um par de circuito L acoplado (análise no domínio do tempo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Figura 6 LT bifásica representada por uma cascata de pares de circuitos L aco- plados (análise no domínio da frequência). . . . . . . . . . . . . . . . 42 Figura 7 LT bifásica representada por um único par de circuito L acoplado (aná- lise no domínio da frequência). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Figura 8 LT bifásica sem plano de simetria vertical. . . . . . . . . . . . . . . . 47 Figura 9 Representação modal de uma LT bifásica utilizando matrizes de trans- formação exatas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Figura 10 LT bifásica com os terminais receptores em aberto. . . . . . . . . . . . 50 Figura 11 Tensão no terminal receptor da fase 1 (análise no domínio do tempo). . 50 Figura 12 Tensão no terminal receptor da fase 2 (análise no domínio do tempo). . 51 Figura 13 Módulo e ângulo da tensão no terminal receptor da fase 1 (análise no domínio da frequência). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Figura 14 Módulo e ângulo da tensão no terminal receptor da fase 2 (análise no domínio da frequência). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Figura 15 Decomposição modal exata de uma LT trifásica. . . . . . . . . . . . . 56 Figura 16 LT trifásica com plano de simetria vertical não idealmente transposta. . 56 Figura 17 Decomposição modal utilizando a matriz de Clarke de uma LT trifásica simétrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Figura 18 Decomposição modal em uma LT monofásica e uma LT bifásica. . . . 58 Figura 19 LT monofásica e LT bifásica sem plano de simetria vertical. . . . . . . 59 Figura 20 Processo realizado após a decomposição da LT trifásica. . . . . . . . . 61 Figura 21 Descrição do modelo proposto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Figura 22 Silhueta de uma LT trifásica de 440 kV. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Figura 23 Respostas transitórias obtidas para 5, 50, 100 e 150 circuitos do modelo proposto e comparação com modelo clássico modal. . . . . . . . . . . 64 Figura 24 LT trifásica com os terminais receptores em aberto. . . . . . . . . . . 65 Figura 25 LT trifásica com os terminais receptores em curto (fase-terra). . . . . . 66 Figura 26 Tensão no terminal receptor da fase 1 (análise no domínio do tempo). . 66 Figura 27 Tensão no terminal receptor das fases 2 e 3 (análise no domínio do tempo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Figura 28 Corrente no terminal receptor da fase 1 (análise no domínio do tempo). 67 Figura 29 Corrente no terminal receptor das fases 2 e 3 (análise no domínio do tempo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Figura 30 Módulo e ângulo da tensão no terminal receptor da fase 1 (análise no domínio da frequência). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Figura 31 Módulo e ângulo da tensão no terminal receptor das fases 2 e 3 (análise no domínio da frequência). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Figura 32 Módulo e ângulo da corrente no terminal receptor da fase 1 (análise no domínio da frequência). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Figura 33 Módulo e ângulo da corrente no terminal receptor das fases 2 e 3 (aná- lise no domínio da frequência). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Figura 34 Silhueta da LT trifásica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Figura 35 Comportamento da impedância externa em diferentes valores de frequên- cia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Figura 36 Comportamento da resistência interna em diferentes valores de frequên- cia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Figura 37 Comportamento da indutância interna em diferentes valores de frequên- cia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Figura 38 Comportamento da resistência do solo em diferentes valores de frequên- cia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Figura 39 Comportamento da indutância do solo em diferentes valores de frequên- cia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Figura 40 Comportamento da resistência total em diferentes valores de frequência. 84 Figura 41 Comportamento da indutância total em diferentes valores de frequência. 84 Figura 42 LT polifásica decomposta em seus n modos de propagação. . . . . . . 85 Figura 43 LT monofásica representada por dois circuitos L conectados em cascata (análise no domínio do tempo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Figura 44 LT monofásica representada por dois circuitos L conectados em cascata (análise no domínio da frequência). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Parâmetros longitudinais e transversais por unidade de comprimento. . 48 Tabela 2 Resistências e indutâncias longitudinais e capacitâncias transversais por unidade de comprimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tabela 3 Impedâncias longitudinais e admitâncias transversais por unidade de comprimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tabela 4 Valores da indutância externa (próprias e mútuas). . . . . . . . . . . . 79 Tabela 5 Valores da capacitância (próprias e mútuas). . . . . . . . . . . . . . . 83 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 13 2 PARÂMETROS DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO 18 2.1 Introdução 18 2.2 Parâmetros longitudinais 18 2.2.1 Indutância externa 19 2.2.2 Resistência e indutância interna 21 2.2.3 Resistência e indutância do solo 23 2.3 Parâmetros transversais 25 2.3.1 Capacitância 26 2.4 Considerações 29 3 MODELO A PARÂMETROS CONCENTRADOS: REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO BIFÁSICAS ANALISADAS NO DOMÍNIO DO TEMPO E DA FREQUÊNCIA 30 3.1 Introdução 30 3.2 Representação de LTs bifásicas através de circuitos L analisadas no domínio do tempo 30 3.3 Equacionamento das tensões e correntes da LT empregando variáveis de estado 33 3.4 Equacionamento para uma LT bifásica representada por meio de uma cascata de pares de circuitos L acoplados: Análise no domínio do tempo 34 3.5 Representação de LTs bifásicas através de peres de circuitos L acoplados: Aná- lise no domínio da frequência 41 3.6 Aplicação do equacionamento na LT bifásica representada por meio de uma cascata de pares de circuitos L acoplados: Análise no domínio da frequência 43 3.7 Análise do desempenho do modelo a parâmetros concentrados no domínio do tempo e da frequência 46 3.8 Simulações e resultados utilizando a regra de formação do modelo a parâme- tros concentrados com análise no domínio do tempo 49 3.9 Simulações e resultados utilizando a regra de formação do modelo a parâme- tros concentrados com análise no domínio da frequência 51 3.10 Considerações 53 4 MODELO ALTERNATIVO PARA REPRESENTAR LINHAS DE TRANS- MISSÃO TRIFÁSICAS SIMÉTRICAS 54 4.1 Introdução 54 4.2 Representação modal de LTs trifásicas 54 4.3 Representação modal de LTs trifásicas com plano de simetria vertical 56 4.4 Desenvolvimento do modelo proposto 59 4.5 Validação do modelo proposto 62 4.6 Considerações 70 5 CONCLUSÕES 72 5.1 Sugestões para trabalhos futuros 73 5.2 Trabalhos submetidos em revistas / anais de congressos 73 REFERÊNCIAS 75 APÊNDICE A - CÁLCULO DOS PARÂMETROS DA LT TRIFÁSICA COM PLANO DE SIMETRIA VERTICAL 78 A.1 Introdução 78 A.2 Simulações para os parâmetros da LT trifásica 78 A.3 Considerações 84 APÊNDICE B - DECOMPOSIÇÃO MODAL DE LINHAS DE TRANSMIS- SÃO POLIFÁSICAS 85 B.1 Introdução 85 B.2 Decomposição modal de linhas de transmissão 85 B.3 Considerações 89 APÊNDICE C - REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO MO- NOFÁSICAS UTILIZANDO PARÂMETROS CONCENTRADOS (ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO E DA FREQUÊNCIA) 90 C.1 Introdução 90 C.2 Representação de LTs monofásicas através de circuitos L: Análise no domínio do tempo 90 C.3 Representação de LTs monofásicas através de circuitos L: Análise no domínio da frequência 94 C.4 Considerações 96 13 1 INTRODUÇÃO O sistema de energia elétrica está dividido em três grandes setores: geração, transmissão e distribuição. A geração é responsável pela transformação da energia primária (água, energia solar, energia dos ventos, fóssil, nuclear, etc.) em energia elétrica. A transmissão tem como função a condução da grande quantidade de energia proveniente da geração, através de LTs de alta tensão até os centros consumidores. Por sua vez, a distribuição transporta a energia elétrica por redes elétricas, para que seja finalmente entregue aos consumidores finais que podem ser de médio ou pequeno porte. No setor da transmissão, existem as LTs, que constituem-se como o elemento do sistema elétrico de potência considerado de maior importância. São nessas LTs que ocorrem as descar- gas atmosféricas, as operações de manobras e os chaveamentos que resultam nos transitórios eletromagnéticos. Na literatura científica encontram-se inúmeros modelos para simular transitórios eletro- magnéticos nas LTs. A maioria desses modelos está categorizada no que se refere à técnica de simulação empregada, à representação utilizada e aos parâmetros considerados, sendo que cada um desses também é separado em dois grupos. Para a técnica de simulação empregada, os modelos são divididos entre os no domínio da frequência e os no domínio do tempo (FARIA et al., 2002). Já para a representação utilizada, tem-se que podem estar no domínio das fases ou no domínio modal (FARIA et al., 2002). Quanto aos parâmetros considerados podem ser variáveis em relação a frequência ou constantes. Os modelos que são desenvolvidos no domínio da frequência não são amplamente utilizados em sistemas de energia, devido ao fato de que tais modelos dificultam a inclusão de elementos não lineares (tais como pára-raios, chaves e disjuntores) no sistema (CHRYSOCHOS et al., 2015). Um outro detalhe nesses modelos é que as respostas são obtidas no domínio da frequên- cia, sendo que é necessária a utilização de transformadas inversas de Fourier e/ou Laplace para obter a resposta no domínio do tempo. Essas desvantagens encontradas ao se trabalhar com modelos desenvolvidos no domínio da frequência, não ocorre com os modelos desenvolvidos diretamente no domínio do tempo, e por conta disso, acabam sendo optados mais usualmente (MARTI, 1988). Além disso, os mais reconhecidos softwares de simulações de transitórios eletromagnéticos (Electromagnetic Transients Program (EMTP) e o Alternative Transients Programs (ATP)), são desenvolvidos diretamente no domínio do tempo. 1 INTRODUÇÃO 14 Os modelos no domínio das fases podem ser usados para representar a linha em situações em que a dissociação das fases é inadequada (SOUZA et al., 2013). São modelos precisos quando aplicados em LTs genéricas, sem restrições quanto à natureza ou configuração geomé- trica. São modelos que não necessitam de matrizes de transformação. Nos modelos desenvolvidos no domínio modal o acoplamento existente entre as fases da LT é eliminado, o que faz com que a obtenção das correntes e tensões seja mais simples. Desta maneira, uma LT polifásica pode ser decomposta em seus n modos de propagação, ou seja, n linhas monofásicas matematicamente desacopladas. Isso é possível a partir do procedimento de decomposição modal realizado com matrizes de transformação modal. Modelos que representam com maior precisão o fenômeno físico da propagação de ondas são os com os parâmetros variáveis em relação a frequência. Isso porque, consideram o efeito da frequência sobre os parâmetros, além de serem calculados para uma extensa faixa de frequência. Para a análise de transitórios eletromagnéticos, onde a energização e faltas em LTs são usu- almente fenômenos em que as frequências envolvidas são relativamente baixas, os parâmetros utilizados podem ser considerados invariáveis em relação a frequência, por consequência, os modelos utilizados são os com parâmetros constantes. (MACIAS et al., 2005). Alguns trabalhos que dispõem desses modelos e que contribuem para o atual estado da arte foram publicados ao longo do tempo. Um deles, foi o escrito por Dommel (1969) que constitui em associar o modelo de Berge- ron (também denominado método das características) com o método numérico de integração trapezoidal. Essa associação decorreu em um algoritmo que consegue simular transitórios ele- tromagnéticos em LTs cujos parâmetros são distribuídos ou concentrados. Hoje em dia esse algoritmo é conhecido por Eletromagnetic Transients Program - EMTP (DOMMEL, 1996). No ano de 1970, Budner (1970) propôs em seu trabalho, desacoplar uma LT bifásica em seus dois modos de propagação (duas LTs monofásicas independentes) empregando uma trans- formação modal. Utilizando quadripólos para representar cada LT monofásica, são resultadas as correntes e tensões no domínio da frequência. O processo de conversão para o domínio do tempo é realizado através de transformadas inversas de Fourier e do cálculo das integrais de convolução resultantes. No final dos anos 1990, especificamente em 1999, Morched et al. (1999) desenvolveram um modelo conhecido como Universal Line Model - ULM. Este modelo representa a LT por meio de seus parâmetros longitudinais e transversais distribuídos uniformemente ao longo de seu comprimento. Para obter as correntes e tensões ao longo da linha são usadas as equações 1 INTRODUÇÃO 15 diferenciais parciais no domínio do tempo. Porém, essas equações são convertidas para o do- mínio da frequência aplicando a Transformada de Laplace, por serem de difícil resolução. A partir do momento em que as soluções são encontradas no domínio da frequência, é empregada a Transformada Inversa de Laplace para obter a solução final no domínio do tempo. Também no ano de 1999, Tavares et al. (1999) apresentaram um modelo que desacopla uma LT trifásica com plano de simetria vertical (com e sem transposição) utilizando uma matriz de transformação com os elementos reais e constantes conhecida como matriz de transformação de Clarke, em seus modos e/ou quase-modos. Em análise de transitórios com frequências rela- tivamente baixas, é usual desconsiderar o acoplamento entre os quase-modos e considerar que a matriz de Clarke desacopla a linha em seus modos exatos. Desta maneira, cada modo foi repre- sentado por uma cascata de circuitos π , obtendo as correntes e tensões diretamente no domínio do tempo. Retornando ao domínio das fases por meio da matriz inversa de Clarke. Outro modelo encontrado na literatura é o modelo a parâmetros concentrados, proposto em trabalhos por diversos autores, tais como: Mamis (2003), Mamis e Meral (2005), Macias et al. (2005). Este modelo representa uma LT monofásica por meio de uma cascata de circuitos π (MACIAS et al., 2005) ou por circuitos L diretamente no domínio do tempo (MAMIS, 2003; MAMIS; MERAL, 2005). As equações obtidas para as correntes e tensões ao longo da linha são escritas sobre a forma de variáveis de estado, que podem ser resolvidas utilizando métodos numéricos de integração. Seguindo o mesmo tema que Tavares et al. (1999), Kurokawa et al. (2006, 2007) propôs um modelo alternativo de decomposição modal para linhas de transmissão trifásicas simétricas. O modelo utiliza duas matrizes para decompor a LT. A primeira matriz utilizada é a matriz de Clarke, a mesma usada por Tavares et al. (1999), que decompõem a LT em um modo exato e em dois quase-modos. O modo exato é representado como uma LT monofásica e os quase-modos por uma LT bifásica sem plano de simetria vertical. Em seguida esta LT bifásica é decomposta a partir de uma matriz de decomposição modal adequada de ordem 2 em seus modos exatos. As correntes e tensões modais foram calculadas através das soluções analíticas das equações diferenciais (BUDNER, 1970) no domínio da frequência. Sendo posteriormente convertidas para o domínio das fases utilizando primeiramente a matriz de decomposição de ordem 2 e depois a matriz de transformação de Clarke. Em 2008, Moreno e Ramirez (2008) desenvolveram um algoritmo que faz a transformação do domínio da frequência para o domínio do tempo, empregando a transformada inversa de La- place. Este algoritmo evita as integrais de convolução apresentadas por Budner, para o cálculo das correntes e tensões. Além de dar soluções para os erros causados pelas oscilações de Gibbs, 1 INTRODUÇÃO 16 pelos erros por aliasing, e pelo truncamento do intervalo de integração. A representação proposta por Kurokawa et al. (2006, 2007) de que com o uso da matriz de transformação de Clarke, uma LT trifásica simétrica pode ser decomposta em uma LT monofá- sica e uma LT bifásica sem plano de simetria vertical, apesar de validada, não foi utilizada para representar a linha não idealmente transposta diretamente no domínio do tempo. Desse modo, nesse estudo é utilizada essa mesma proposta, porém considerando que a LT bifásica não é novamente desacoplada, e sim, utilizada como uma linha de duas fases, tendo como objetivo simular os transitórios eletromagnéticos em uma LT trifásica com plano de si- metria vertical e sem transposição, e ainda retirar a dependência de matrizes de transformação modal com elementos dependentes da frequência. Para isso, o modelo proposto utiliza a matriz de Clarke empregada por Tavares et al. (1999) e Kurokawa et al. (2006, 2007) para decompor a LT trifásica em uma LT monofásica e em uma LT bifásica sem plano de simetria vertical. A LT monofásica é representada pelo modelo a parâmetros concentrados proposto por Mamis (2003), Mamis e Meral (2005) por meio de uma cascata de circuitos L. A LT bifásica, por sua vez, é representada por meio de uma cascata de pares de circuitos L acoplados que é apresentado no Capítulo 3 que foi aprimorado para LTs bifásicas sem plano de simetria vertical. A análise de ambas é dada tanto no domínio do tempo, quanto no da frequência. A validação acontece com simulações realizadas no domínio do tempo e da frequência que mostram as correntes e tensões ao longo da linha em condições transitórias, comparando os resultados adquiridos pelo modelo proposto com os obtidos pelo modelo clássico da literatura de decomposição modal. A dissertação foi desenvolvida na forma de cinco capítulos e três apêndices. O capítulo 2 faz uma abordagem referente aos parâmetros de LT, mostrando como calculá- los, a fim de entender como a frequência e a geometria da linha interfere em cada um. No capítulo 3 é mostrado um modelo a parâmetros concentrados que representa LT bifásicas por meio de uma cascata de pares de circuitos L acoplados, podendo ser analisado diretamente no domínio do tempo ou da frequência. Esse modelo obtêm regras de formação de fácil im- plementação para ambos os domínios, mostrando sua eficiência quando comparado ao modelo clássico modal encontrado na literatura. Esse modelo será usado posteriormente no modelo proposto. No capítulo 4 apresenta-se o desenvolvimento do modelo proposto, que consiste em repre- sentar uma LT trifásica simétrica e não idealmente transposta por meio de uma LT bifásica sem 1 INTRODUÇÃO 17 plano de simetria vertical e em uma LT monofásica através da decomposição modal, utilizando apenas a matriz de Clarke para isso. A LT bifásica é representada pelo modelo a parâmetros concentrados, mostrado no Capítulo 3, e a LT monofásica é representada pelo modelo a parâ- metros concentrados estudado extensivamente na literatura que será apresentado no Apêndice C. São realizadas simulações para a validação do modelo proposto, comparando-o ao clássico modal. O capítulo 5 apresenta as conclusões sobre o modelo proposto e são oferecidas sugestões para continuidade do trabalho que teve início nesta dissertação, seguido dos trabalhos sub- metidos para anais de congressos e revistas. Posteriormente são apresentadas as referências bibliográficas. No apêndice A são apresentadas simulações realizadas com os resultados de cada parâmetro da LT trifásica simétrica e não idealmente transposta. O desenvolvimento para se obter as equações que desacoplam uma LT polifásica em seus n modos de propagação é apresentado no apêndice B. O apêndice C faz a representação de linhas de transmissão monofásicas utilizando parâme- tros concentrados com a análise no domínio do tempo e da frequência por meio de cascata de circuitos L. A partir da sua análise são resultadas equações de correntes e tensões que escritas sob a forma de variáveis de estado compõem uma regra de formação. 18 2 PARÂMETROS DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO 2.1 Introdução Neste capítulo serão mostrados os quatro parâmetros que influenciam o comportamento de uma LT, sendo eles divididos em longitudinais: resistência e indutância, e transversais: capa- citância e condutância. Esses parâmetros estão distribuídos uniformemente por todo o compri- mento de linha. 2.2 Parâmetros longitudinais Os parâmetros longitudinais de uma LT são a resistência longitudinal e a indutância longi- tudinal. A resistência longitudinal é composta por duas resistências: • Resistência interna (Rint(ω)): Resistência do condutor (devido ao efeito pelicular). • Resistência do solo (Rsolo(ω)): Uma vez que o solo não é um condutor ideal, há corren- tes circulando no mesmo e perdas de energia. Estas perdas são representadas por uma resistência no condutor metálico. A soma dessas resistências resulta na resistência longitudinal como mostra (1). Rlong(ω) = Rint(ω)+Rsolo(ω)[Ω/km] (1) A indutância longitudinal é constituída por três tipos de indutâncias diferentes: • Indutância externa (Lext): Devido ao efeito do campo magnético externo ao condutor. • Indutância interna (Lint(ω)): Devido ao efeito do campo magnético interno ao condutor (efeito pelicular). • Indutância do solo (Lsolo(ω)): O fato do solo não ser um condutor ideal é representado por uma indutância no condutor metálico. A indutância longitudinal resulta da adição dessas três indutâncias como sendo: Llong(ω) = Lext +Lint(ω)+Lsolo(ω)[H/km] (2) 2.2 Parâmetros longitudinais 19 A partir da resistência e indutância longitudinal consegue-se calcular a impedância longitu- dinal pela equação (3). As impedâncias de uma LT são escritas de acordo com as propriedades físicas do sistema (ar, condutor e solo) e da frequência (HOFMANN, 2003). Zlong(ω) = Rlong(ω)+ jωLlong(ω)[Ω/km] (3) A impedância longitudinal é constituída por três componentes: • Zext(ω): Impedância externa. • Zint(ω): Impedância interna, devido ao efeito pelicular. • Zsolo(ω): Impedância do solo, devido ao retorno da corrente através do solo. A soma das três resulta na matriz de impedâncias longitudinais que pode ser escrita como sendo: [Zlong(ω)] = [Zext(ω)]+ [Zint(ω)]+ [Zsolo(ω)][Ω/km] (4) [Zlong(ω)] =  Z11 Z12 · · · Z1n Z21 Z22 · · · Z2n ... ... . . . ... Zn1 Zn2 · · · Znn  [Ω/km] (5) Cada elemento da matriz (5) é uma impedância composta por uma resistência longitudinal juntamente com uma indutância longitudinal. As resistências e indutâncias externa, interna e do solo são apresentadas a seguir. 2.2.1 Indutância externa Em uma LT o campo magnético é produzido pelas correntes que a percorrem longitudinal- mente. O campo magnético gerado por um dado condutor está concatenado com os condutores vizinhos. A indutância externa é calculada utilizando-se o método das imagens e considerando o solo com condutividade infinita, solo ideal (Rext = 0). Para tal, considere dois condutores genéricos i e k e as suas imagens i′ e k′ como mostrado na Figura 1. 2.2 Parâmetros longitudinais 20 Figura 1 - Condutores i e k, sobre o solo (considerado ideal), com suas imagens i’ e k’. Solo ideal hi hk dik Dik' i i' k k' θ ik Ar hi' hk' Fonte: Elaboração da própria autora. As indutâncias externas próprias dos condutores i e k são escritas por: Lext ii = µ0 2π ln ( 2hi ri ) [H/km] (6) Lextkk = µ0 2π ln ( 2hk rk ) [H/km] (7) E as indutâncias externas mútuas entre os condutores i e k são expressas por: Lext ik = µ0 2π ln ( Dik′ dik ) [H/km] (8) Nas equações (6), (7) e (8) ri e rk são os raios dos condutores i e k [m], hi e hk a altura dos condutores i e k em relação ao solo [m], dik a distância do condutor i ao condutor k [m] e Dik′ a distância do condutor i a imagem do condutor k [m], respectivamente. A permeabilidade magné- tica do ar é considerada igual à permeabilidade magnética do vácuo (µ = µ0 = 4π.10−4H/km). Assim, matricialmente a indutância externa em uma LT de n fases é representada como mostra (9) e (10). [Lext ] = µ0 2π  ln 2h1 r1 ln D12′ d12 · · · ln D1n′ d1n ln D21′ d21 ln 2h2 r2 · · · ln D2n′ d2n ... ... . . . ... ln Dn1′ dn1 ln Dn2′ dn2 · · · ln 2hn rn  [H/km] (9) 2.2 Parâmetros longitudinais 21 [Lext ] =  Lext11 Lext12 · · · Lext1n Lext21 Lext22 · · · Lext2n ... ... . . . ... Lextn1 Lextn2 · · · Lextnn  [H/km] (10) A partir da indutância externa consegue-se calcular a impedância externa própria e mútua entre os condutores i e k como sendo: Zext ii(ω) = jωLext ii [Ω/km] (11) Zextkk(ω) = jωLextkk [Ω/km] (12) Zext ik(ω) = jωLext ik [Ω/km] (13) Sendo que, ω = 2π f é a frequência angular em [rad/s] e f é a frequência da corrente alter- nada em [Hz]. De (11), (12) e (13) é possível descrever a impedância externa matricialmente em (14). [Zext(ω)] = jω  Lext11 Lext12 · · · Lext1n Lext21 Lext22 · · · Lext2n ... ... . . . ... Lextn1 Lextn2 · · · Lextnn  [Ω/km] (14) 2.2.2 Resistência e indutância interna A impedância interna está relacionada com a densidade superficial da corrente elétrica que percorre longitudinalmente um condutor metálico. Em baixas frequências, essa densidade é constante sobre toda a área transversal do condutor. Entretanto, à medida que a frequência de excitação aumenta e devido ao campo magnético variável, a densidade de corrente no centro do condutor diminui enquanto que há uma concentração dessa grandeza em uma dada espessura na borda (periferia) do condutor, caracterizando-se uma redução na área efetiva da corrente. Esse efeito é denominado de efeito pelicular ou Efeito Skin, e consequentemente, leva ao aumento da resistência efetiva e à diminuição da indutância interna do condutor (MINGLI; YU, 2004). A resistência efetiva juntamente com a indutância interna resulta na impedância interna, também denominada impedância devido ao efeito pelicular. Essa impedância interna possui 2.2 Parâmetros longitudinais 22 somente termos próprios e para seu cálculo com um condutor sólido e cilíndrico pode-se utilizar as funções de Bessel de primeira ordem ou funções modificadas de Bessel. Dessa maneira, deve-se considerar que a impedância interna é obtida como a razão entre a queda de tensão ao longo da superfície e a corrente total em um circuito fechado. Assim, a impedância interna pode ser calculada como (FUCHS, 1979; GATOUS, 2005): Zint(ω) = j ωµ 2πr [ ber(u)+ jbei(u) ( √ 2 m )ber′(u)+ jbei′(u) ] .103[Ω/km] (15) Sendo: m = √ 2ρ ωµ [m]; u = r √ 2 m [m] (16) Onde, ρ é a resistividade do condutor [Ω.m], r é o raio do condutor [m], µ é a permeabili- dade do condutor, µ = µrµ0; para um condutor não ferromagnético µ = µ0 = 4π.10−7H/m e a variável m é a profundidade de penetração nominal. As funções modificadas de Bessel ber(u) e bei(u) e as suas derivadas ber′(u) e bei′(u) são usualmente definidas como sendo: ber(u) = ∞ ∑ k=0 (m/2)2k k!Γ(k+1) cos ( 2kπ 4 ) (17) bei(u) = ∞ ∑ k=0 (m/2)2k k!Γ(k+1) sin ( 2kπ 4 ) (18) ber′(u) = ∞ ∑ k=0 2k(m/2)2k−1 k!Γ(k+1) cos ( 2kπ 4 ) (19) bei′(u) = ∞ ∑ k=0 2k(m/2)2k−1 k!Γ(k+1) sin ( 2kπ 4 ) (20) Onde: Γ(k) = (k−1)! (21) Portanto pode-se escrever a matriz de impedâncias internas [Zint(ω)] para uma linha de n 2.2 Parâmetros longitudinais 23 fases, considerando que cada fase é constituída de um único condutor como: [Zint(ω)] = jω  Zint11 0 · · · 0 0 Zint22 · · · 0 ... ... . . . ... 0 0 · · · Zintnn  [Ω/km] (22) Diante da impedância interna obtém-se a resistência e indutância interna matricialmente, como mostra (23), (24) e (25). [Zint(ω)] = [Rint(ω)]+ jω[Lint(ω)][Ω/km] (23) [Rint(ω)] =  Rint11 0 · · · 0 0 Rint22 · · · 0 ... ... . . . ... 0 0 · · · Rintnn  [Ω/km] (24) [Lint(ω)] =  Lint11 0 · · · 0 0 Lint22 · · · 0 ... ... . . . ... 0 0 · · · Lintnn  [H/km] (25) 2.2.3 Resistência e indutância do solo Por meio das equações de Carson e de Pollaczeck, os efeitos do retorno da corrente através do solo sobre os parâmetros longitudinais de uma LT podem ser calculados (DOMMEL, 1996; KUROKAWA et al., 2008). Carson (1926) definiu a resistividade do solo como uniforme e com extensão infinita e considerou que os condutores estão em paralelo com o solo. Adicionalmente, considerou que as impedâncias próprias e mútuas de circuitos com retorno pelo solo são iguais às impedân- cias próprias e mútuas para um circuito que envolve um solo ideal, acrescida de um fator de correção aplicável para as impedâncias (FUCHS, 1979). O termo de correção de Carson foi de- nominado impedância do solo. Por consequência deste efeito as impedâncias próprias e mútuas são representadas como sendo: Zsolo(ω) = ∆Rsolo(ω)+ j∆Xsolo(ω) (26) 2.2 Parâmetros longitudinais 24 Onde, ∆Rsolo(ω) é o fator de correção dos termos da resistência considerando o efeito do solo e ∆Xsolo(ω) é o fator de correção dos termos da indutância considerando o efeito do solo. Os termos de correção ∆Rsolo(ω) e ∆Xsolo(ω) são funções de um ângulo θ (θ = 0 para impedâncias próprias, e θ = θik para impedâncias mútuas) como mostra Figura 1 e também de um parâmetro α definido por (DOMMEL, 1996) como: α(ω) = 4π √ 5.10−4D √ ω 2πρ (27) Na equação (27), ρ é a resistividade do solo (Ω.m), D = Dik = Dki (m) para impedâncias mútuas Zik e Zki, D = 2hi (m) para a impedância própria Zii e D = 2hk (m) para a impedância própria Zkk. Para α ≤ 5, os termos de correção de Carson podem ser escritos como (DOMMEL, 1996): ∆Rsolo(ω)= 4ω.10−4 { π 8 −b1α cosθ +b2[(c2− lnα)α2 cos2θ +θα 2 sin2θ ]+b3α 3 cos3θ− d4α 4 cos4θ −b5α 5 cos5θ +b6[(c6− lnα)α6 cos6θ +θα 6 sin6θ ]+b7α 7 cos7θ −·· ·} (28) ∆Xsolo(ω) = 4ω.10−4 { 1 2 (0.6159315− lnα)+b1α cosθ −d2α 2 cos2θ +b3α 3 cos3θ −b4 (c4−lnα)α4 cos4θ +θα4 sin4θ +b5α5 cos5θ−d6α6 cos6θ +b7α7 cos7θ−b8[(c8−lnα) α 8 cos8θ +θα 8 sin8θ ]+ · · ·} (29) Os coeficientes bi, ci e di das equações (28) e (29) são valores constantes que são obtidos utilizando as seguintes expressões: bi = |bi−2| sign i(i+2) ; ci = ci−2 + 1 i + 1 i+2 ; di = π 4 bi (30) Os valores de início para as equações em (30) são b1 = √ 2 6 , b2 = 1 16 e c2 = 1,3659315. A função sign da equação (30) alterna de valor após quatro termos sucessivos (sign = +1 para i = 1,2,3,4; sign =−1 para i = 5,6,7,8, etc). Para α > 5, os termos de correção de Carson podem ser escritos como (DOMMEL, 1996): ∆Rsolo(ω) = 4ω.10−4 √ 2 ( cosθ α − √ 2cos2θ α2 + cos3θ α3 + 3cos5θ α5 + 5cos7θ α7 ) (31) 2.3 Parâmetros transversais 25 ∆Xsolo(ω) = 4ω.10−4 √ 2 ( cosθ α − cos3θ α3 + 3cos5θ α5 + 5cos7θ α7 ) (32) Baseado nos cálculos de Carson, a matriz para impedância do solo de uma LT representada por n fases é dada por: [Zsolo(ω)] =  Zsolo11 Zsolo12 · · · Zsolo1n Zsolo21 Zsolo22 · · · Zsolo2n ... ... . . . ... Zsolon1 Zsolon2 · · · Zsolonn  [Ω/km] (33) A partir das impedâncias do solo consegue-se obter as resistências e indutâncias do solo matricialmente, como mostra (34), (35) e (36). [Zsolo(ω)] = [Rsolo(ω)]+ jω[Lsolo(ω)][Ω/km] (34) [Rsolo(ω)] =  Rsolo11 Rsolo12 · · · Rsolo1n Rsolo21 Rsolo22 · · · Rsolo2n ... ... . . . ... Rsolon1 Rsolon2 · · · Rsolonn  [Ω/km] (35) [Lsolo(ω)] =  Lsolo11 Lsolo12 · · · Lsolo1n Lsolo21 Lsolo22 · · · Lsolo2n ... ... . . . ... Lsolon1 Lsolon2 · · · Lsolonn  [H/km] (36) 2.3 Parâmetros transversais A admitância de uma LT aérea é constituída de uma condutância (G) entre os condutores e o solo que é chamada de condutância de dispersão (STEVENSON, 1974), e por uma capacitância (C). Decorrente da junção desses dois parâmetros obtém-se a admitância transversal (Y ) de um único condutor paralelo ao solo como: Y (ω) = G+ jωC (37) Na forma matricial, considerando a definição de que em linhas aéreas de transmissão, a condutância transversal é muito pequena, portanto, o seu efeito é desprezado (MARTINEZ et 2.3 Parâmetros transversais 26 al., 2005), tem-se que a admitância é dada por: [Y (ω)] = jω[C][S/km] (38) Onde [Y (ω)] e [C] são matrizes para n condutores paralelos ao solo. 2.3.1 Capacitância A capacitância entre dois condutores de uma LT é definida pela quantidade de carga nos condutores por unidade de diferença de potencial entre eles. A distância de separação entre eles, e entre cada um deles e o solo, é do que esta diferença de potencial depende (STEVENSON, 1974). A capacitância é dada pela equação (39). C = Q V (39) Onde V é a diferença de potencial entre o solo e o condutor e Q a carga. Tendo em conta a estrutura da Figura 1 considera-se que os condutores i e k e seus con- dutores imagens i′ e k′ possuem cargas Qi, Qk, −Qi e −Qk, respectivamente. A diferença de potencial dos condutores i e k em relação ao solo são descritos como (FUCHS, 1979): Vi = Qi 2πε0 ln 2hi ri + Qk 2πε0 ln Dik′ dik (40) Vk = Qk 2πε0 ln 2hk rk + Qi 2πε0 ln Dik′ dik (41) Sendo, ε0 a permissividade elétrica do vácuo (ε0 = 8,8542.10−9F/km), ri e rk os raios dos condutores i e k. Para uma LT genérica de n condutores, a diferença de potencial entre eles com relação ao solo é dada por: V1 = 1 2πε0 ( Q1 ln 2hi ri +Q2 ln D12′ d12 + · · ·+Qn ln Din′ din ) (42) V2 = 1 2πε0 ( Q1 ln D12′ d12 +Q2 ln 2h2 r2 + · · ·+Qn ln D2n′ d2n ) (43) Vn = 1 2πε0 ( Q1 ln D1n′ d1n +Q2 ln D2n′ d2n + · · ·+Qn ln 2hn rn ) (44) 2.3 Parâmetros transversais 27 Onde, Q1, Q2,...Qn são as cargas dos condutores 1,2,...n. As equações (42)-(44) são escritas na forma matricial, considerando que as características geométricas Dik′ = Dki′ da Figura 1 são válidas.  V1 V2 ... Vn = 1 2πε0  ln 2h1 r1 ln D12′ d12 · · · ln D1n′ d1n ln D21′ d21 ln 2h2 r2 · · · ln D2n′ d2n ... ... . . . ... ln Dn1′ dn1 ln Dn2′ dn2 · · · ln 2hn rn   Q1 Q2 ... Qn  [H/km] (45) A equação matricial (45) é escrita como sendo: [V ] = [E][Q] (46) Sendo, [V ] o vetor com o potencial de cada condutor em relação ao solo, [Q] o vetor de carga dos condutores e [E] a matriz de coeficientes de potencial (ou matriz de coeficientes de campo elétrico). A partir da definição de capacitância na forma matricial, define-se que: [Q] = [C][V ] (47) Na equação (47), [C] é a matriz de capacitâncias aparentes da LT de n condutores. Dessa forma, a partir das equações (46) e (47) obtém-se em (48) a relação matricial. [C] = [E]−1 (48) Onde a matriz [C] é determinada como: [C] =  C11 C12 · · · C1n C21 C22 · · · C2n ... ... . . . ... Cn1 Cn2 · · · Cnn  (49) Para se compreender o significado das capacitâncias mostradas na equação matricial (49), considera-se um sistema de n condutores com suas respectivas capacitâncias (capacitâncias entre os condutores e entre cada um deles e o solo) conforme Figura 2. 2.3 Parâmetros transversais 28 Figura 2 - Capacitâncias em um sistema de n condutores. Solo C'10 C'20 C'n0 1 2 n C'12 C'2n C'1n Fonte: Elaboração da própria autora. Considerando que os condutores da Figura 2 possuem potenciais V1, V2,...e Vn com relação ao solo, as cargas elétricas armazenadas em cada um dos respectivos condutores são descritas como (FUCHS, 1979): Q1 =C′10V1 +C′12(V1−V2)+C′13(V1−V3)+ · · ·+C′1n(V1−Vn) (50a) Q2 =C′20V2 +C′21(V2−V1)+C′23(V2−V3)+ · · ·+C′2n(V2−Vn) (50b) Qn =C′n0Vn +C′n1(Vn−V1)+C′n2(Vn−V2)+ · · ·+C′n(n−1)(Vn−Vn−1) (50c) Escreve-se a equação (50) na forma matricial como: Q1 Q2 ... Qn =  (C′10 + · · ·+C′1n) −C′12 · · · −C′1n −C′12 (C′20 + · · ·+C′2n) · · · −C′2n ... ... . . . ... −C′1n −C′2n · · · (C′n0 + · · ·+C′n(n−1))   V1 V2 ... Vn  (51) De onde: [C] =  (C′10 + · · ·+C′1n) −C′12 · · · −C′1n −C′12 (C′20 + · · ·+C′2n) · · · −C′2n ... ... . . . ... −C′1n −C′2n · · · (C′n0 + · · ·+C′n(n−1))  (52) Relacionando (51) e (52) têm-se que o elemento Cii corresponde à soma das capacitâncias entre o i-ésimo condutor e o solo, além das capacitâncias entre o i-ésimo condutor e os demais condutores. O elemento com Ci j, corresponde à capacitância −Ci j, formada pelos condutores i e j. 2.4 Considerações 29 São realizadas simulações resultantes do desenvolvimento do cálculo de cada parâmetro mostrado nesse capítulo, para uma LT trifásica com plano de simetria vertical e não idealmente transposta no Apêndice A, com a finalidade de apresentar o comportamento de cada um em relação a frequência. 2.4 Considerações Neste capítulo, foram apresentados os parâmetros longitudinais e transversais de uma LT juntamente com o desenvolvimento de como calculá-los. Verificou-se então, que os parâmetros longitudinais são os parâmetros que variam em relação à frequência, enquanto que os parâme- tros transversais dependem apenas das características geométricas da linha. De posse de como obter os parâmetros da linha, é possível calcular as suas tensões e cor- rentes, como será apresentado nos capítulos seguintes. 30 3 MODELO A PARÂMETROS CONCENTRADOS: REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO BIFÁSICAS ANALISADAS NO DOMÍNIO DO TEMPO E DA FREQUÊNCIA 3.1 Introdução A proposta desse trabalho é obter um modelo de linha trifásica com plano de simetria ver- tical diretamente no domínio do tempo a partir da decomposição da LT em uma LT monofásica e em uma LT bifásica assimétrica. Portanto, será necessário representar a LT bifásica sem uti- lização de matrizes de decomposição modal. Para isso, as LTs monofásica e bifásica serão representadas por parâmetros concentrados. A representação de LTs monofásicas a parâmetros concentrados é um tema que já foi es- tudado extensivamente na literatura científica por diversos autores, dentre eles Nelms et al. (1989), Mamis e Meral (2005) e Macias et al. (2005). Da mesma maneira, já existem formula- ções para se determinar as correntes e tensões ao longo da LT por meio de variáveis de estado. A mesma representação pode ser implementada para as LTs bifásicas, com base nas mesmas hipóteses que são utilizadas quando se representa uma LT monofásica por meio de parâmetros concentrados, permitindo obter as equações de estado das tensões e correntes. Essa análise já foi realizada em estudos, entretanto as matrizes de estado apresentaram uma regra de formação complexa e complicada. Dessa maneira, visando-se além da representação da LT bifásica por parâmetros concentra- dos, desenvolver também uma regra de formação mais simples para LTs bifásicas de qualquer disposição geométrica, neste capítulo será demonstrado o equacionamento utilizado para essa representação. A análise será realizada tanto no domínio do tempo, quanto no domínio da frequência, apresentando as regras de formação das matrizes obtidas para cada domínio e as correntes e tensões resultantes do modelo. 3.2 Representação de LTs bifásicas através de circuitos L analisadas no domínio do tempo A Figura 3 mostra a representação de uma LT bifásica genérica, onde as fases 1 e 2 da linha possuem alturas h1 e h2, respectivamente, em relação ao solo. Em situações para análise de transitórios eletromagnéticos resultantes de operações de ma- nobras e chaveamentos, em que as frequências envolvidas são relativamente baixas, pode-se considerar que os parâmetros da LT são constantes. 3.2 Representação de LTs bifásicas através de circuitos L no domínio do tempo 31 Figura 3 - LT bifásica genérica. Fonte: Elaboração da própria autora. Dessa forma, na Figura 3 os parâmetros da LT são escritos matricialmente por unidade de comprimento, como: [R′] = [ R′1 R′12 R′12 R′2 ] [Ω/km] (53) [L′] = [ L′1 L′12 L′12 L′2 ] [H/km] (54) [C′] = [ C′1 +C′12 −C′12 −C′12 C′2 +C′12 ] [F/km] (55) Sendo R′1, R′2 e R′12 a resistência na fase 1, na fase 2 e nas mútuas por unidade de compri- mento, L′1, L′2 e L′12 a indutância na fase 1, na fase 2 e nas mútuas por unidade de comprimento, C′1, C′2 e C′12 a capacitância na fase 1, na fase 2 e nas mútuas por unidade de comprimento, respectivamente. Uma LT de comprimento d pode ser representada, de maneira aproximada e obedecendo a uma série de restrições, como sendo uma cascata de n circuitos L (MAMIS; MERAL, 2005). Dessa maneira, um pequeno segmento de uma linha bifásica é representado por um circuito constituído pelas resistências e indutâncias longitudinais próprias e mútuas e pelas capacitâncias entre cada uma das fases e o solo e entre as fases. Sendo assim, considera-se que a LT bifásica 3.2 Representação de LTs bifásicas através de circuitos L no domínio do tempo 32 mostrada na Figura 3, é representada por meio de uma cascata de pares de circuitos L, levando em consideração o acoplamento entre as fases, como é visto na Figura 4. Figura 4 - LT bifásica representada por uma cascata de pares de circuitos L acoplados (análise no domínio do tempo). R1 R2 L1 L2 C1 C12 C2 Fase 1 Fase 2 Terra R1 R2 L1 L2 Terra R12 C1 C12 C2 L12 Fase 1 Fase 2 L12R12 Fonte: Elaboração da própria autora. Na Figura 4 são mostrados os parâmetros longitudinais (R1, R2, R12, L1, L2 e L12) e os parâmetros transversais (C1, C2 e C12) de cada pequeno segmento de linha representado por um único par de circuito L acoplado. Em linhas aéreas de transmissão, a condutância transversal é muito pequena, portanto o seu efeito é desprezado (MARTINEZ et al., 2005). Tais parâmetros são descritos como sendo: R1 = R′1 d n ; R2 = R′2 d n ; R12 = R′12 d n (56) L1 = L′1 d n ; L2 = L′2 d n ; L12 = L′12 d n (57) C1 =C′1 d n ; C2 =C′2 d n ; C12 =C′12 d n (58) Onde d é o comprimento da linha e n o número de segmentos (pares de circuitos L acopla- dos). O acoplamento entre os condutores é representado pelos elementos de circuito R12 e L12 (SCHULZE et al., 2011). R12 e L12 representam, respectivamente, os componentes reais e imaginários da impedância mútua, sendo que a parte real é nomeada por diversos autores da literatura como "resistência mútua". L12 atua como um indutor acoplado, e R12 atua como um 3.3 Tensões e correntes da LT empregando variáveis de estado 33 resistor acoplado que causa uma queda de tensão, escrita como: ∆v1(t) = R12i2(t); ∆v2(t) = R12i1(t) (59) Onde ∆v1(t) é a queda de tensão na fase 1 devido à corrente no condutor 2 e ∆v2(t) é a queda de tensão na fase 2 devido à corrente no condutor 1. Com a aplicação deste modelo de representação, permite-se que as correntes e tensões ao longo da LT sejam calculadas diretamente no domínio do tempo, sem o uso de integrais de convolução, tendo como uma das possibilidades de resolução escrevê-las por meio de variáveis de estado e utilizar algum método de integração numérico para solucioná-las. As variáveis de estado podem ser empregadas em alguns tipos de estudos, um deles é o desenvolvido nesse trabalho, que se trata da simulação de transitórios eletromagnéticos em LTs que tenham elementos não lineares. 3.3 Equacionamento das tensões e correntes da LT empregando variáveis de estado A LT bifásica apresentada na Figura 4 pode ser representada utilizando variáveis de estado. Dessa maneira, as equações de correntes e tensões de estado ao longo da linha são escritas como: ∂ ∂ t [x] = [A][x]+ [B][u] (60a) [y] = [C][x]+ [D][u] (60b) Na equação (60), [A], [B], [C] e [D] são as matrizes de estado da LT. O vetor de estados constituído das correntes longitudinais e das tensões transversais de cada circuito conectado em cascata é o [x]. [u] são as tensões aplicadas nos terminais emissores da linha. [y] é o vetor constituído pelas tensões e correntes de saída. Decorrente desse sistema são resultadas equações diferenciais, cuja solução pode ser en- contrada com o uso de métodos de integração numérica. Neste trabalho, o método adotado foi a regra trapezoidal implícita, pois o sistema de equações de estado em (60) é linear. Portanto, na seção 3.4 será desenvolvido o equacionamento para a montagem do sistema, considerando que a LT bifásica possui cargas Rl1 e Rl2 em seus terminais receptores. 3.4 Equacionamento para uma LT bifásica: Análise no domínio do tempo 34 3.4 Equacionamento para uma LT bifásica representada por meio de uma cascata de pares de circuitos L acoplados: Análise no domínio do tempo Considerando uma LT bifásica com os terminais receptores com cargas Rl1 e Rl2, anali- sada diretamente no domínio do tempo, representada por uma quantidade genérica de pares de circuitos L acoplados, será realizado o desenvolvimento das equações de estado. Esse equaci- onamento será feito para um par de circuito L acoplado, e depois generalizado para n pares de circuitos L acoplados em cascata. Visando-se montar as matrizes de estado por inspeção e como resultado obter as correntes e tensões ao longo da linha. A Figura 5 apresenta uma LT bifásica com os terminais receptores com cargas Rl1 e Rl2, operando com um par de circuito L acoplado. Figura 5 - LT bifásica representada por um par de circuito L acoplado (análise no domínio do tempo). R1 R2 L1 L2 Fase 1 Fase 2 Terra L12 ic1(t) ic2(t) i(t) iin1(t) iin2(t)vin2(t) vin1(t) vf1(t) vf2(t) C1 C12 C2 R12 + + - - + - + - if1(t) if2(t) Rl1 Rl2 (1) (2) Fonte: Elaboração da própria autora. As tensões nos terminais emissores e receptores das fases 1 e 2 mostradas na Figura 5 são vin1(t), vin2(t), vf1(t) e vf2(t), respectivamente. As correntes nos terminais emissores das fases 1 e 2 são iin1(t) e iin2(t) e as correntes nos terminais receptores das fases 1 e 2 são if1(t) e if2(t). Operando com a segunda lei de Kirchhoff na Figura 5, consegue-se escrever as seguintes equações: Para a malha superior: vin1(t)−R1iin1(t)−L1 ∂ iin1(t) ∂ t −R12iin2(t)−L12 ∂ iin2(t) ∂ t − v f 1(t) = 0 (61) 3.4 Equacionamento para uma LT bifásica: Análise no domínio do tempo 35 Para a malha inferior: vin2(t)−R12iin1(t)−L12 ∂ iin1(t) ∂ t −R2iin2(t)−L2 ∂ iin2(t) ∂ t − v f 2(t) = 0 (62) Isola-se ∂ iin2(t) ∂ t das equações (61) e (62): ∂ iin2(t) ∂ t =− R1 L12 iin1(t)− R12 L12 iin2(t)− L1 L12 ∂ iin1(t) ∂ t − 1 L12 v f 1(t)+ 1 L12 vin1(t) (63) ∂ iin2(t) ∂ t =−R12 L2 iin1(t)− R2 L2 iin2(t)− L12 L2 ∂ iin1(t) ∂ t − 1 L2 v f 2(t)+ 1 L2 vin2(t) (64) Relacionando as equações (63) e (64), obtém-se: ∂ iin1(t) ∂ t =− ( L2R1−L12R12 L1L2− (L2 12) ) iin1(t)− ( L2R12−L12R2 L1L2− (L2 12) ) iin2(t)− ( L2 L1L2− (L2 12) ) v f 1(t)+( L12 L1L2− (L2 12) ) v f 2(t)+ ( L2 L1L2− (L2 12) ) vin1(t)− ( L12 L1L2− (L2 12) ) vin2(t) (65) A partir de (65), emprega-se as seguintes definições: E = ( L2R1−L12R12 L1L2− (L2 12) ) ;F = ( L2R12−L12R2 L1L2− (L2 12) ) ;H = ( L2 L1L2− (L2 12) ) ; M = ( L12 L1L2− (L2 12) ) (66) Realiza-se a substituição das definições contidas em (66) na equação (65) determinando-se a equação final da corrente na primeira fase para um par de circuito L acoplado em (67): ∂ iin1(t) ∂ t =−Eiin1(t)−Fiin2(t)−Hv f 1(t)+Mv f 2(t)+Hvin1(t)−Mvin2(t) (67) Isola-se ∂ iin1(t) ∂ t das equações (61) e (62): ∂ iin1(t) ∂ t =−R1 L1 iin1(t)− R12 L1 iin2(t)− L12 L1 ∂ iin2(t) ∂ t − 1 L1 v f 1(t)+ 1 L1 vin1(t) (68) ∂ iin1(t) ∂ t =−R12 L12 iin1(t)− R2 L12 iin2(t)− L2 L12 ∂ iin2(t) ∂ t − 1 L12 v f 2(t)+ 1 L12 vin2(t) (69) Associando as equações (68) e (69),obtém-se a seguinte relação: 3.4 Equacionamento para uma LT bifásica: Análise no domínio do tempo 36 ∂ iin2(t) ∂ t =− ( L1R12−L12R1 L1L2− (L2 12) ) iin1(t)− ( L1R2−L12R12 L1L2− (L2 12) ) iin2(t)+ ( L12 L1L2− (L2 12) ) v f 1(t)−( L1 L1L2− (L2 12) ) v f 2(t)− ( L12 L12L2− (L2 12) ) vin1(t)+ ( L1 L1L2− (L2 12) ) vin2(t) (70) Da equação (70), define-se E ′, F ′, H ′ e M′: E ′ = ( L1R12−L12R1 L1L2− (L2 12) ) ;F ′ = ( L1R2−L12R12 L1L2− (L2 12) ) ;H ′ = ( L12 L1L2− (L2 12) ) ; M′ = ( L1 L1L2− (L2 12) ) (71) Portanto, com a substituição das definições de (71) na equação (70), a equação da corrente na segunda fase para um par de circuito L acoplado resulta em: ∂ iin2(t) ∂ t =−E ′iin1(t)−F ′iin2(t)+H ′v f 1(t)−M′v f 2(t)−H ′vin1(t)+M′vin2(t) (72) Aplicando a primeira lei de Kirchhoff na Figura 5, começando pelo nó (1) e posteriormente indo para o nó (2), define-se que: Nó (1): iin1(t) = ic1(t)+ i(t)+ i f 1(t) (73a) iin1(t) = (C1 +C12) ∂v f 1(t) ∂ t −C12 ∂v f 2(t) ∂ t + v f 1(t) Rl1 (73b) Nó (2): iin2(t)+ i(t) = ic2(t)+ i f 2(t) (74a) iin2(t) = (C2 +C12) ∂v f 2(t) ∂ t −C12 ∂v f 1(t) ∂ t + v f 2(t) Rl2 (74b) Isola-se ∂v f 2(t) ∂ t de (73) e (74): ∂v f 2(t) ∂ t = ( C1 +C12 C12 ) ∂v f 1(t) ∂ t − 1 C12 iin1(t)+ v f 1(t) Rl1C12 (75) ∂v f 2(t) ∂ t = ( C12 C2 +C12 ) ∂v f 1(t) ∂ t + 1 C2 +C12 iin2(t)− v f 2(t) Rl2(C2 +C12) (76) Relacionando a equação (75) com a equação (76), obtém-se: 3.4 Equacionamento para uma LT bifásica: Análise no domínio do tempo 37 ∂v f 1(t) ∂ t = ( C2 +C12 C1C2 +(C1 +C2)C12 ) iin1(t)+ ( C12 C1C2 +(C1 +C2)C12 ) iin2(t)− 1 Rl1 ( C2 +C12 C1C2 +(C1 +C2)C12 ) v f 1(t)− 1 Rl2 ( C12 C1C2 +(C1 +C2)C12 ) v f 2(t) (77) Da equação (77), considera-se: P = ( C2 +C12 C1C2 +(C1 +C2)C12 ) ;T = ( C12 C1C2 +(C1 +C2)C12 ) (78) Substituem-se as definições contidas em (78) na equação (77) e obtém-se a equação da tensão na primeira fase para um par de circuito L acoplado: ∂v f 1(t) ∂ t = Piin1(t)+Tiin2(t)− 1 Rl1 Pv f 1(t)− 1 Rl2 T v f 2(t) (79) Isola-se ∂v f 1(t) ∂ t de (73) e (74): ∂v f 1(t) ∂ t = ( C12 C1 +C12 ) ∂v f 2(t) ∂ t + 1 C1 +C12 iin1(t)− v f 1(t) Rl1(C1 +C12) (80) ∂v f 1(t) ∂ t = ( C2 +C12 C12 ) ∂v f 2(t) ∂ t − 1 C12 iin2(t)+ v f 2(t) Rl2C12 (81) Relaciona-se a equação (80) com a (81): ∂v f 2(t) ∂ t = ( C12 C1C2 +(C1 +C2)C12 ) iin1(t)+ ( C1 +C12 C1C2 +(C1 +C2)C12 ) iin2(t)− 1 Rl1 ( C12 C1C2 +(C1 +C2)C12 ) v f 1(t)− 1 Rl2 ( C1 +C12 C1C2 +(C1 +C2)C12 ) v f 2(t) (82) Define-se P′ e T ′ a partir da equação (82): P′ = ( C12 C1C2 +(C1 +C2)C12 ) ;T ′ = ( C1 +C12 C1C2 +(C1 +C2)C12 ) (83) Com a substituição das definições (83) na equação (82) determina-se a equação final da tensão na segunda fase para um par de circuito L acoplado em (84): ∂v f 2(t) ∂ t = P′iin1(t)+T ′iin2(t)− 1 Rl1 P′v f 1(t)− 1 Rl2 T ′v f 2(t) (84) Emprega-se nas equações finais para um par circuito L acoplado (67), (72), (79) e (84) a 3.4 Equacionamento para uma LT bifásica: Análise no domínio do tempo 38 notação para a derivada, e descrevem-se as mesmas como: ˙iin1(t) =−Eiin1(t)−Fiin2(t)−Hv f 1(t)+Mv f 2(t)+Hvin1(t)−Mvin2(t) (85) ˙iin2(t) =−E ′iin1(t)−F ′iin2(t)+H ′v f 1(t)−M′v f 2(t)−H ′vin1(t)+M′vin2(t) (86) ˙v f 1(t) = Piin1(t)+Tiin2(t)− 1 Rl1 Pv f 1(t)− 1 Rl2 T v f 2(t) (87) ˙v f 2(t) = P′iin1(t)+T ′iin2(t)− 1 Rl1 P′v f 1(t)− 1 Rl2 T ′v f 2(t) (88) Escreve-se as equações (85) - (88) na forma de equação de estado: ˙iin1(t) ˙iin2(t) ˙v f 1(t) ˙v f 2(t) =  −E −F −H M −E ′ −F ′ H ′ −M′ P T −(1/Rl1)P −(1/Rl2)T P′ T ′ −(1/Rl1)P′ −(1/Rl2)T ′   iin1(t) iin2(t) v f 1(t) v f 2(t) +  H −M −H ′ M′ 0 0 0 0  [ vin1(t) vin2(t) ] (89a) iin1(t) iin2(t) v f 1(t) v f 2(t) i f 1(t) i f 2(t)  =  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1/Rl1 0 0 0 0 1/Rl2   iin1(t) iin2(t) v f 1(t) v f 2(t) +  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  [ vin1(t) vin2(t) ] (89b) Diante das equações matriciais contidas em (89) resultantes do desenvolvimento para um par de circuito L acoplado para representar uma LT bifásica com os terminais receptores com cargas Rl1 e Rl2, é possível generalizar essa representação para n pares de circuitos L acoplados conectados em cascata. Dessa forma, uma regra de formação é obtida onde as matrizes [A], [B], [C] e [D] são montadas por inspeção e os vetores [x], [u] e [y] são descritos como: [x]T = [ iin1 i12 ... i1n iin2 i22 ... i2n v11 v12 ... v f 1 v21 v22 ... v f 2 ] (90) [u] = [ vin1 vin2 ] (91) 3.4 Equacionamento para uma LT bifásica: Análise no domínio do tempo 39 [y]T = [ iin1 iin2 v f 1 v f 2 i f 1 i f 2 ] (92) O vetor de variáveis de estado [x] em (90) é 4n×1, constituído primeiramente por todas as correntes da fase um de cada par de circuito L acoplado, depois todas as correntes da fase dois de cada par de circuito L acoplado, posteriormente todas as tensões da fase um de cada par de circuito L acoplado e por último todas as tensões na fase dois de cada par de circuito L acoplado. O vetor de entrada [u] em (91) é 2×1 e contém as fontes de tensão aplicadas nos terminais emissores das fases 1 e 2. O vetor de saída [y] é 6×1 em (92) e contém as correntes de entrada e saída e as tensões de saída da LT. n é a quantidade de pares de circuitos L em cascata. A matriz [A] é 4n×4n e é constituída por 16 submatrizes quadradas com dimensões n×n. A matriz [B] é 4n×2 e é constituída por 4 submatrizes cujas dimensões são n×2. A matriz [C] é 6×4n e possui 12 submatrizes com dimensões de 2×n. A matriz [D] é 6×2 e é nula, pois [y] não depende de [u]. As matrizes estão dadas por: [A] =  [A1] · · · [A4] ... . . . ... [A13] · · · [A16]  ; [B] =  [B1] ... [B4]  ; [C] =  [C1] · · · [C4] ... . . . ... [C9] · · · [C12]  ; [D] =  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  , (93) sendo [A1] = diag{−E}; [A2] = diag{−F}; (94) [A3] =  −H 0 0 · · · 0 H −H 0 · · · 0 0 H −H · · · 0 ... ... . . . . . . ... 0 0 0 H −H  ; [A4] =  M 0 0 · · · 0 −M M 0 · · · 0 0 −M M · · · 0 ... ... . . . . . . ... 0 0 0 −M M  ; (95) [A5] = diag{−E ′}; [A6] = diag{−F ′}; (96) 3.4 Equacionamento para uma LT bifásica: Análise no domínio do tempo 40 [A7] =  H ′ 0 0 · · · 0 −H ′ H ′ 0 · · · 0 0 −H ′ H ′ · · · 0 ... ... . . . . . . ... 0 0 0 −H ′ H ′  ; [A8] =  −M′ 0 0 · · · 0 M′ −M′ 0 · · · 0 0 M′ −M′ · · · 0 ... ... . . . . . . ... 0 0 0 M′ −M′  ; (97) [A9] =  P −P 0 · · · 0 0 P −P · · · 0 0 0 P . . . 0 ... ... ... . . . −P 0 0 0 · · · P  ; [A10] =  T −T 0 · · · 0 0 T −T · · · 0 0 0 T . . . 0 ... ... ... . . . −T 0 0 0 · · · T  ; (98) [A11] =  0 · · · 0 ... . . . ... 0 · · · − 1 Rl1 P  ; [A12] =  0 · · · 0 ... . . . ... 0 · · · − 1 Rl2 T  ; (99) [A13] =  P′ −P′ 0 · · · 0 0 P′ −P′ · · · 0 0 0 P′ . . . 0 ... ... ... . . . −P′ 0 0 0 · · · P′  ; [A14] =  T ′ −T ′ 0 · · · 0 0 T ′ −T ′ · · · 0 0 0 T ′ . . . 0 ... ... ... . . . −T ′ 0 0 0 · · · T ′  ; (100) [A15] =  0 · · · 0 ... . . . ... 0 · · · − 1 Rl1 P′  ; [A16] =  0 · · · 0 ... . . . ... 0 · · · − 1 Rl2 T ′  ; (101) [B1] =  H −M 0 0 ... ... 0 0  ; [B2] =  −H ′ M′ 0 0 ... ... 0 0  ; (102) 3.5 Representação de LTs bifásicas: Análise no domínio da frequência 41 As submatrizes [B3] e [B4] são nulas. [C1] = [ 1 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ] ; [C2] = [ 0 0 · · · 0 1 0 · · · 0 ] ; (103) [C7] = [ 0 0 · · · 1 0 0 · · · 0 ] ; [C8] = [ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 1 ] ; (104) [C11] = [ 0 0 · · · 1/Rl1 0 0 · · · 0 ] ; [C12] = [ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 1/Rl2 ] ; (105) Rl1 e Rl2 são as cargas resistivas conectadas aos terminais receptores da LT. As submatrizes [C3], [C4], [C5], [C6], [C9] e [C10] são nulas. Portanto, as equações (90) - (105) constituem uma regra de formação para LTs bifásicas sob a forma de variáveis de estado. Tendo em conta esta regra de formação, é possível representar uma LT bifásica diretamente no domínio do tempo usando uma quantidade genérica de circuitos L. Decorrente do sistema de equações de estado, são resultadas equações diferenciais, cuja solução pode ser encontrada com o uso de métodos de integração numérica. Nesse trabalho o método adotado foi a regra trapezoidal implícita. 3.5 Representação de LTs bifásicas através de pares de circuitos L acoplados: Análise no domínio da frequência Quando uma LT bifásica sem plano de simetria vertical é decomposta, suas matrizes de transformação são matrizes que possuem elementos complexos que são variáveis em relação à frequência. Desse modo, assim como na seção anterior onde a análise da LT bifásica pode ser realizada diretamente no domínio do tempo, nessa seção a análise será feita no domínio da frequência, onde a linha mostrada na Figura 3 será representada por meio de impedâncias longitudinais e de admitâncias transversais, escritas matricialmente como: [Z′] = [ Z′1 Z′12 Z′12 Z′2 ] [Ω/km] (106) [Y ′] = [ Y ′1 +Y ′12 −Y ′12 −Y ′12 Y ′2 +Y ′12 ] [S/km] (107) 3.5 Representação de LTs bifásicas: Análise no domínio da frequência 42 Onde: Z′1 = R′1 + jωL′1; Z′2 = R′2 + jωL′2; Z′12 = R′12 + jωL′12 (108) Y ′1 = jωC′1; Y ′2 = jωC′2; Y ′12 = jωC′12 (109) Das equações (106) - (109) têm-se respectivamente que, Z′1, Z′2 e Z′12 são a impedância na fase 1, na fase 2 e nas mútuas por unidade de comprimento. Y ′1, Y ′2 e Y ′12 são a admitância na fase 1, na fase 2 e nas mútuas por unidade de comprimento. j é a variável imaginária. ω = 2π f , sendo f a frequência. Na Figura 6 encontra-se a representação da LT bifásica formada por n pares de circuitos L acoplados conectados em cascata, no qual, a análise é realizada no domínio da frequência. Figura 6 - LT bifásica representada por uma cascata de pares de circuitos L acoplados (análise no domínio da frequência). Fase 1 Fase 2 Terra Z1 Z1 Z12Z12 Z2 Z2 Y1 Y2 Y12 Y1 Y12 Y2 Terra Fase 1 Fase 2 Fonte: Elaboração da própria autora. As matrizes (110) e (111) contêm os parâmetros longitudinais (Z1, Z2 e Z12) e transver- sais (Y1, Y2 e Y12) de cada segmento de linha representado por um par de circuito L acoplado mostrado na Figura 6. [Z] = [ Z1 Z12 Z12 Z2 ] [Ω/km] (110) [Y ] = [ Y1 +Y12 −Y12 −Y12 Y2 +Y12 ] [F/km] (111) 3.6 Aplicação do equacionamento na LT bifásica 43 As impedâncias e as admitâncias contidas nessas matrizes são descritas como: Z1 = Z′1 d n ; Z2 = Z′2 d n ; Z12 = Z′12 d n (112) Y1 = Y ′1 d n ; Y2 = Y ′2 d n ; Y12 = Y ′12 d n (113) As equações de corrente e de tensão obtidas por meio do estudo da LT bifásica represen- tada por uma cascata de pares de circuitos L acoplados (análise no domínio da frequência) são escritas sob a forma matricial de um sistema linear, como mostrado em (114). [A][x] = [B] (114) Na equação (114), [A], [x] e [B] são matrizes, em que [A] é composta por coeficientes, a matriz [x] pelas incógnitas, que são as correntes e tensões que devem ser calculadas ao longo da LT e na matriz [B] estão presentes os termos independentes da equação linear, compostos pelas tensões de entrada. Como o que se quer calcular são as tensões e correntes ao longo da LT bifásica, coloca-se a matriz [x] da equação (114) em evidência, resultando em: [x] = [A]−1[B] (115) Desta forma, na seção 3.6 será realizado o desenvolvimento das equações para a montagem do sistema linear, considerando que a LT bifásica está com os terminais receptores com cargas Zl1 e Zl2. Visando além da solução do sistema, apresentar uma regra de formação (dessa vez com a análise no domínio da frequência). 3.6 Aplicação do equacionamento na LT bifásica representada por meio de uma cascata de pares de circuitos L acoplados: Análise no domínio da frequência Analogamente a LT bifásica analisada no domínio do tempo apresentada na seção 3.4, po- rém agora com a LT sendo analisada no domínio da frequência, será elaborado o equaciona- mento considerando que a LT será representada por um par de circuito L acoplado, e depois generalizado para n pares de circuitos L acoplados em cascata. Isso é feito para que seja possí- vel montar as matrizes [A] e [B] por inspeção, tendo em vista a obtenção das correntes e tensões ao longo da LT. A Figura 7 apresenta uma LT com os terminais receptores com cargas Zl1 e Zl2 representada utilizando um único par de circuito L acoplado. 3.6 Aplicação do equacionamento na LT bifásica 44 Figura 7 - LT bifásica representada por um único par de circuito L acoplado (análise no domí- nio da frequência). Z1 Z2 Fase 1 Fase 2 Terra Y1 Y12 Y2 Z12 + + - - + - + - Zl1 Zl2 Vin1(ω) Vin2(ω) Iin1(ω) Iin2(ω) IY1(ω) I(ω) IY2(ω) If1(ω) If2(ω) Vf2(ω) Vf1(ω) (1) (2) Fonte: Elaboração da própria autora. As tensões nos terminais emissores das fases 1 e 2 são representadas por Vin1(ω) e Vin2(ω) e nos terminais receptores das fases 1 e 2 por Vf 1(ω) e Vf 2(ω). As correntes nos terminais emissores e receptores das fases 1 e 2 são respectivamente Iin1(ω), Iin2(ω), I f 1(ω) e I f 2(ω). Empregando a segunda lei de Kirchhoff (lei das tensões) primeiro na malha superior e depois na malha inferior do circuito da Figura 7, obtém-se: Para a malha superior: Vin1(ω)−Z1Iin1(ω)−Z12Iin2(ω)−Vf 1(ω) = 0 (116) Para a malha inferior: Vin2(ω)−Z12Iin1(ω)−Z2Iin2(ω)−Vf 2(ω) = 0 (117) Da equação (116), isola-se Vin1(ω) e da (117), isola-se Vin2(ω), resultando em: Z1Iin1(ω)+Z12Iin2(ω)+Vf 1(ω) =Vin1(ω) (118) Z12Iin1(ω)+Z2Iin2(ω)+Vf 2(ω) =Vin2(ω) (119) Aplicando a primeira lei de Kirchhoff (lei das correntes) na Figura 7, começando pelo nó (1) e posteriormente indo para o nó (2), têm-se que: 3.6 Aplicação do equacionamento na LT bifásica 45 Nó (1): Iin1(ω) = IY 1(ω)+ I(ω)+ I f 1(ω) (120a) −Iin1(ω)+ ( (Y1 +Y12)+ 1 Zl1 ) Vf 1(ω)−Y12Vf 2(ω) = 0 (120b) Nó (2): Iin2(ω)+ I(ω) = IY 2(ω)+ I f 2(ω) (121a) −Iin2(ω)−Y12Vf 1(ω)+ ( (Y2 +Y12)+ 1 Zl2 ) Vf 2(ω) = 0 (121b) Escreve-se as equações (118), (119), (120) e (121) na forma matricial de [x] = [A]−1[B]: Iin1(ω) Iin2(ω) Vf 1(ω) Vf 2(ω) =  Z1 Z12 1 0 Z12 Z2 0 1 −1 0 ( (Y1 +Y12)+ 1 Zl1 ) −Y12 0 −1 −Y12 ( (Y2 +Y12)+ 1 Zl2 )  −1 Vin1(ω) Vin2(ω) 0 0  (122) Com base na representação da LT bifásica utilizando um par de circuito L acoplado em (122), pode-se generalizar essa representação para uma LT bifásica de comprimento d repre- sentada por meio de n pares de circuitos L acoplados conectados em cascata. Desse modo, uma regra de formação é obtida e é escrita como: [x]T = [ Iin1 I12 ... I1n Iin2 I22 ... I2n V11 V12 ... Vf 1 V21 V22 ... Vf 2 ] (123) Em (123), o vetor [x] tem dimensão 4n×1, cujos elementos são as correntes nas fases 1 e 2 de cada circuito L e as tensões nas fases 1 e 2 de cada circuito L ao longo da LT. Dessa forma, os elementos I1n(ω), I2n(ω) correspondem às correntes nas fases 1 e 2 no n-ésimo par de circuito L acoplado, respectivamente. n é a quantidade de pares de circuitos L em cascata. A matriz [A] é 4n×4n e é constituída por 16 submatrizes quadradas com dimensões n×n. A matriz [B] é 4n×1 e é constituída por 4 submatrizes cujas dimensões são n×1. As matrizes são escritas como: [A] =  [A1] · · · [A4] ... . . . ... [A13] · · · [A16]  ; [B] =  [B1] ... [B4]  , (124) sendo [A1] = diag{Z1}; [A6] = diag{Z2}; (125) 3.7 Análise do desempenho do modelo a parâmetros concentrados 46 [A2] = [A5] = diag{Z12}; (126) [A3] = [A8] =  1 0 · · · 0 −1 1 . . . ... ... . . . . . . 0 0 · · · −1 1  ; [A9] = [A14] =  −1 1 · · · 0 0 −1 . . . ... ... . . . . . . 1 0 · · · 0 −1  ; (127) [A12] = [A15] = diag−{Y12}; (128) [A11] =  Y1 +Y12 · · · 0 ... . . . ... 0 · · · ( (Y1 +Y12)+ 1 Zl1 )  ; (129) [A16] =  Y2 +Y12 · · · 0 ... . . . ... 0 · · · ( (Y2 +Y12)+ 1 Zl2 )  ; (130) As submatrizes [A4], [A7], [A10] e [A13] são nulas. [B1] =  Vin1 0 ... 0  ; [B2] =  Vin2 0 ... 0  (131) As submatrizes [B3] e [B4] são nulas. As equações (123) - (131) constituem uma regra de formação. Levando em considera- ção esta regra de formação, é factível representar uma LT bifásica, analisada no domínio da frequência usando uma quantidade genérica de pares de circuitos L acoplados. 3.7 Análise do desempenho do modelo a parâmetros concentrados no domínio do tempo e da frequência Nas seções 3.4 e 3.6, foram apresentados os desenvolvimentos do modelo a parâmetros concentrados para uma LT bifásica, analisado tanto no domínio do tempo, como no domínio da 3.7 Análise do desempenho do modelo a parâmetros concentrados 47 frequência. Esse modelo é utilizado para calcular as tensões e correntes ao longo de uma LT bifásica. Para verificar o desempenho desse modelo no domínio do tempo e no da frequência, são realizadas simulações considerando uma LT bifásica sem plano de simetria vertical, com o comprimento total igual a 100 km, conforme Figura 8. Cada fase contem 4 condutores do tipo grosbeak. Considerando-se que a quantidade de um circuito π por unidade de comprimento é uma boa abordagem para representar os transitórios eletromagnéticos na LT (ARAUJO et al., 2014a), que a LT que está sendo utilizada possui o comprimento de 100 km, e que assim como pode- se representar uma LT por circuitos π , também pode-se representar por circuitos em L, a LT bifásica da Figura 8 será representada pela quantidade de 100 pares de circuitos L acoplados conectados em cascata. Figura 8 - LT bifásica sem plano de simetria vertical. 0.4m 0 .4 m 2.74m 1 9 .5 5 m 2 3 .1 6 m Fase 1 Fase 2 GROSBEAK (raio = 0.01021m) Solo ρsolo = 1000 (ohm m) AR µ = 4π10-7 (H/m) ε0 = 8.8542 10-9 (F/km) Fonte: Elaboração da própria autora. Os parâmetros longitudinais e transversais são calculados a uma frequência fixa de 60 Hz e levam em conta o efeito do solo e o efeito pelicular (MARTI, 1983). Considerou-se que a condutância da LT é nula e os elementos da matriz de capacitância constantes (MARTINEZ et al., 2005). Esses parâmetros são apresentados na Tabela 1. 3.7 Análise do desempenho do modelo a parâmetros concentrados 48 Tabela 1 - Parâmetros longitudinais e transversais por unidade de comprimento. Resistência Indutância Capacitância (Ω/km) (mH/km) (ηF/km) R1 0,0784 L1 1,9441 C1 7,6946 R12 0,0582 L12 1,2058 C12 3,9228 R2 0,0786 L2 1,9435 C2 7,7179 Fonte: Elaboração da própria autora. Como a verificação do desempenho é realizada para o modelo tanto analisado no domínio do tempo como no da frequência, é necessário calcular também as impedâncias longitudinais e as admitâncias transversais. Sendo assim, a matriz de impedâncias para a LT bifásica é dada por: [Z] = [ R1 + jωL1 R12 + jωL12 R12 + jωL12 R2 + jωL2 ] [Ω/km] (132) [Z] = [ 0,0784+ j2π f 1,9441.10−3 0,0582+ j2π f 1,2058.10−3 0,0582+ j2π f 1,2058.10−3 0,0786+ j2π f 1,9435.10−3 ] [Ω/km] (133) E a matriz de admitâncias por: [Y ] = [ jω(C1 +C12) − jωC12 − jωC12 jω(C2 +C12) ] [S/km] (134) [Y ] = [ j2π f (7,6946.10−9 +3,9228.10−9) − j2π f 3,9228.10−9 − j2π f 3,9228.10−9 j2π f (7,7179.10−9 +3,9228.10−9) ] [S/km] (135) Onde f é a faixa de frequências que vai de 10−1 Hz a 2.103 Hz, pois os transitórios eletro- magnéticos que ocorrem na LT estão dentro desta faixa. Os resultados obtidos pelo modelo a parâmetros concentrados (analisado na frequência e no tempo) são comparados com os resultados obtidos por meio do modelo que é chamado de clássico modal. O modelo clássico modal consiste em decompor a LT bifásica em seus dois modos de pro- 3.8 Simulações e resultados utilizando a regra de formação do modelo 49 pagação (Apêndice B) com o uso de uma matriz de decomposição modal de ordem 2, obtida a partir do método de Newton-Raphson, os quais se comportam como duas LTs monofásicas desacopladas (Apêndice B). Cada LT monofásica é representada por uma cascata de 100 cir- cuitos L. As correntes e tensões de cada LT monofásica são calculadas e convertidas para o domínio das fases utilizando matrizes de transformação modal adequadas ([Ti]) (WEDEPOHL et al., 1996). Essas matrizes de transformação modal possuem seus elementos dependentes da frequência, dessa forma as correntes e tensões são calculadas no domínio da frequência, e em seguida, convertidas para o domínio do tempo utilizando a transformada numérica discreta in- versa de Laplace (IDNLT) (MORENO; RAMIREZ, 2008). A Figura 9 mostra a representação esquemática do processo de decomposição do modelo clássico modal. Já o modelo a parâmetros concentrados (analisado na frequência e no tempo), consistem em representar a LT bifásica por meio de uma cascata de pares de circuitos L acoplados com a análise diretamente no domínio das fases, sem utilização de matrizes de transformação. A partir dessa representação são obtidas as correntes e tensões ao longo da LT bifásica. Estes modelos foram implementados computacionalmente. Figura 9 - Representação modal de uma LT bifásica utilizando matrizes de transformação exa- tas. Fase 1 Fase 2 Fase 1 Fase 2 modo 1 modo 2 [Ti] [Ti] -1 Fonte: Elaboração da própria autora. 3.8 Simulações e resultados utilizando a regra de formação do modelo a parâmetros concentrados com análise no domínio do tempo Para analisar o comportamento das correntes e tensões ao longo da LT bifásica, considerou- se a estrutura da Figura 10. O terminal emissor da fase 1 da LT é conectado no instante t = 0 por uma fonte CC de 440 kV. Enquanto o terminal emissor da fase 2 está aterrado. Os terminais receptores estão em aberto. 3.8 Simulações e resultados utilizando a regra de formação do modelo 50 Figura 10 - LT bifásica com os terminais receptores em aberto. vf1(t) vf2(t) + + -- FASE 1 FASE 2 TERMINAIS RECEPTORES + -440kV iin1(t) iin2(t) TERMINAIS EMISSORES Terra Fonte: Elaboração da própria autora. Nessa seção, as simulações são realizadas com a LT bifásica representada por uma cascata de pares de circuitos L acoplados analisada no domínio do tempo. O comportamento da tensão nos terminais receptores das fases 1 e 2 para a estrutura da LT da Figura 10 durante condições transitórias é mostrado na Figura 11 e na Figura 12, respecti- vamente. As curvas vermelhas e azuis mostram os resultados obtidos com o modelo clássico modal nas fases 1 e 2 e com o modelo a parâmetros concentrados nas fases 1 e 2, respectiva- mente. Figura 11 - Tensão no terminal receptor da fase 1 (análise no domínio do tempo). Fonte: Elaboração da própria autora. As curvas das Figuras 11 e 12, apontam que os dois modelos possuem o mesmo com- 3.9 Simulações e resultados utilizando a regra de formação do modelo 51 Figura 12 - Tensão no terminal receptor da fase 2 (análise no domínio do tempo). Fonte: Elaboração da própria autora. portamento, ou seja, ambos possuem a mesma resposta transitória. O modelo a parâmetros concentrados e o modelo clássico modal possuem oscilações espúrias. Isso ocorre devido ao método a parâmetros concentrados que está sendo utilizado. Portanto, pode-se concluir que as considerações feitas durante a implementação do modelo a parâmetros concentrados, analisado diretamente no domínio do tempo mostram que o modelo foi desenvolvido corretamente. 3.9 Simulações e resultados utilizando a regra de formação do modelo a parâmetros concentrados com análise no domínio da frequência Para as simulações com o modelo a parâmetros concentrados analisado no domínio da frequência, considera-se que a estrutura da LT é a mesma utilizada na análise no domínio do tempo. Os resultados são obtidos considerando que a LT bifásica é representada por uma cascata de pares de circuitos L acoplados analisada no domínio da frequência. Esses resultados são comparados ao modelo clássico modal descrito na seção 3.7, porém com um passo a menos. Como a análise é no domínio da frequência, não é necessário utilizar a transformada numérica discreta inversa de Laplace. As Figuras 13 e 14 apresentam, respectivamente, o comportamento da tensão (módulo e ângulo) nos terminais receptores das fases 1 e 2 durante condições transitórias. As curvas ver- melhas mostram os resultados obtidos com o modelo clássico modal e as curvas azuis mostram 3.9 Simulações e resultados utilizando a regra de formação do modelo 52 os resultados obtidos com o modelo a parâmetros concentrados, ambos analisados no domínio da frequência. Figura 13 - Módulo e ângulo da tensão no terminal receptor da fase 1 (análise no domínio da frequência). Fonte: Elaboração da própria autora. As Figuras 13 e 14 mostram que os dois modelos, assim como no domínio do tempo, pos- suem a mesma resposta transitória. Dessa maneira, pode-se concluir que os resultados obtidos durante o desenvolvimento e implementação do modelo a parâmetros concentrados, analisado no domínio da frequência mostram um excelente desempenho. Figura 14 - Módulo e ângulo da tensão no terminal receptor da fase 2 (análise no domínio da frequência). Fonte: Elaboração da própria autora. 3.10 Considerações 53 3.10 Considerações Neste capítulo, foi mostrado um modelo para LT bifásica com simetria genérica a parâ- metros concentrados representada através de uma cascata de pares de circuitos L acoplados analisada no domínio do tempo e no da frequência. As equações obtidas no domínio do tempo e no da frequência são escritas respectivamente na forma de equação de estado e de sistemas lineares, permitindo dessa forma a montagem de ambas através de matrizes, de onde foi possí- vel encontrar uma regra de formação generalizada para cada uma e ainda obter as correntes e tensões ao longo da linha. Foram apresentadas as simulações realizadas para o modelo para LT bifásica a parâmetros concentrados no domínio do tempo e no da frequência que determina as correntes e tensões ao longo da LT. Para validar sua performance, seus resultados foram comparados ao modelo clássico modal. Para isso, foi considerada uma LT bifásica sem plano de simetria vertical com os terminais receptores em aberto. Com isso, verificou-se que o desempenho do modelo a parâmetros concentrados, desen- volvido e aplicado em uma LT bifásica assimétrica representada por uma cascata de pares de circuitos L acoplados analisada no domínio da frequência e no domínio do tempo, mostrou-se eficiente, pois os resultados obtidos possuem o mesmo comportamento dos obtidos com o mo- delo já existente na literatura, confirmando assim que o modelo foi desenvolvido corretamente. 54 4 MODELO ALTERNATIVO PARA REPRESENTAR LINHAS DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICAS SIMÉTRICAS 4.1 Introdução A partir do modelo proposto por Kurokawa et al. (2006, 2007) que tem como processo inicial desacoplar uma LT trifásica em uma LT monofásica e uma LT bifásica sem plano de simetria utilizando apenas a matriz de transformação de Clarke, foi desenvolvido o modelo proposto. No modelo proposto o mesmo processo inicial é realizado, porém diferente de Kurokawa et al. (2006, 2007) que posteriormente desacopla a LT bifásica em duas LTs monofásicas, va- lidando seu modelo, porém não utilizando de fato a LT bifásica, o proposto usa o modelo a parâmetros concentrados mostrado e desenvolvido no Capítulo 3 para representar a LT bifá- sica. Juntamente com o modelo a parâmetros concentrados para linhas monofásicas já estudado extensivamente na literatura e mostrado no Apêndice C a representação para a LT trifásica e consequentemente o modelo proposto são desenvolvidos. Decorrente dessas representações as correntes e tensões são obtidas no domínio modal para cada uma das LTs analisadas tanto no domínio do tempo quanto no da frequência, sendo que, para voltar ao domínio das fases, e assim resultar nas correntes e tensões para a LT trifásica é necessário empregar novamente a matriz de Clarke. A validação do modelo proposto será feita comparando seus resultados com os de um mo- delo já existente na literatura, denominado clássico modal. 4.2 Representação modal de LTs trifásicas A matriz de impedâncias longitudinais e admitâncias transversais de uma LT trifásica pode ser representada como mostra (136). [Z] =  Z11 Z12 Z13 Z21 Z22 Z23 Z31 Z32 Z33  ; [Y ] =  Y11 Y12 Y13 Y21 Y22 Y23 Y31 Y32 Y33  (136) Sabe-se que uma LT trifásica pode ser decomposta em seus 3 modos de propagação, ou seja, 3 linhas monofásicas totalmente desacopladas. Isso é possível a partir do procedimento de decomposição modal realizado com matrizes de transformação modal [TV ] e [TI] (Apêndice B). As matrizes [TV ] e [TI] possuem elementos complexos e variáveis em relação à frequência, 4.2 Representação modal de LTs trifásicas 55 tornando o desenvolvimento e a implementação das mesmas mais complicados, além de que necessitam de um método numérico para serem obtidas, um dos mais utilizados é o conhecido como método numérico de Newton-Raphson. As equações usadas para decompor a LT trifásica em seus 3 modos de propagação exatos como apresentado no Apêndice B são dadas por: [Zm] = [TV ] −1[Z][TI] (137) [Ym] = [TI] −1[Y ][TV ] (138) [Vm] = [TV ] −1[V ] (139) [Im] = [TI] −1[I] (140) Sendo que, [Z] e [Y ] são as matrizes de impedâncias e admitâncias da linha mostradas na equação (136), [V ] e [I] são as matrizes com as tensões e correntes e [TV ] e [TI] as matrizes de transformação modal. Resultantes da decomposição modal são obtidos a matriz de impedância modal ([Zm]), a matriz de admitância modal ([Ym]) e as matrizes de tensão e corrente modais ([Vm] e [Im]) con- forme equações (141) e (142). [Zm] =  Zm1 0 0 0 Zm2 0 0 0 Zm3  ; [Ym] =  Ym1 0 0 0 Ym2 0 0 0 Ym3  ; (141) [Vm] =  Vm1 Vm2 Vm3  ; [Im] =  Im1 Im2 Im3  (142) Como pode ser visto na equação (141), [Zm] e [Ym] são matrizes diagonais (WEDEPOHL et al., 1996), afirmando que a LT trifásica está realmente decomposta em seus modos exatos. Cada modo exato comporta-se como uma LT monofásica, de onde são calculadas as tensões e correntes de cada uma, convertendo-os posteriormente para o domínio das fases. A Figura 15 apresenta a decomposição de uma LT trifásica em seus 3 modos exatos. 4.3 Representação modal de LTs trifásicas com plano de simetria vertical 56 Figura 15 - Decomposição modal exata de uma LT trifásica. Fase 1 Fase 2 Fase 1 Fase 2 modo 1 modo 3 [TI] [TI] -1 Fase 3 Fase 3 modo 2 Fonte: Elaboração da própria autora. 4.3 Representação modal de LTs trifásicas com plano de simetria vertical Para uma LT trifásica com plano de simetria vertical e não idealmente transposta como mostra a Figura 16, Tavares et al. (1999) e Kurokawa et al. (2006, 2007) propuseram que sua decomposição fosse realizada por meio de uma matriz de transformação modal com seus ele- mentos reais e constantes, denominada como matriz de transformação de Clarke. Nestas condi- ções obtém-se a linha decomposta em seus modos e/ou quase-modos. Figura 16 - LT trifásica com plano de simetria vertical não idealmente transposta. Fase 1 Fase 2Fase 3 Fonte: Elaboração da própria autora. A matriz de Clarke é dada por: [TClarke] =  2/ √ 6 0 1/ √ 3 −1/ √ 6 1/ √ 2 1/ √ 3 −1/ √ 6 −1/ √ 2 1/ √ 3  (143) Como se trata de uma linha simétrica sem transposição, as matrizes de impedâncias e ad- 4.3 Representação modal de LTs trifásicas com plano de simetria vertical 57 mitâncias apresentam a seguinte configuração: [Z] =  ZA ZAB ZAB ZAB ZB ZBB ZAB ZBB ZB  ; [Y ] =  YA YAB YAB YAB YB YBB YAB YBB YB  (144) As equações utilizadas para decompor a LT trifásica em seus modos/quase-modos empre- gando a matriz de transformação de Clarke são as mesmas que decompõem a LT em seus modos exatos, ou seja, as equações (137)- (140), porém substituindo a matriz [TI] pela matriz de Clarke (TAVARES et al., 1999; KUROKAWA et al., 2006), resultando em: [Zαβ0] = [TClarke] T [Z][TClarke] (145) [Yαβ0] = [TClarke] −1[Y ][TClarke] −T (146) [Vαβ0] = [TClarke] T [V ] (147) [Iαβ0] = [TClarke] −1[I] (148) Desenvolvendo as equações (145) - (148) obtém-se (TAVARES et al., 1999; KUROKAWA et al., 2006): [Zαβ0] =  Zα 0 Zα0 0 Zβ 0 Zα0 0 Z0  ; [Yαβ0] =  Yα 0 Yα0 0 Yβ 0 Yα0 0 Y0  (149) [Vαβ0] =  Vα Vβ V0  ; [Iαβ0] =  Iα Iβ I0  (150) Onde: Zα = 1 3 (2ZA +ZB−4ZAB +ZBB) (151) Zβ = ZB−ZBB (152) 4.3 Representação modal de LTs trifásicas com plano de simetria vertical 58 Z0 = 1 3 (ZA +2ZB +4ZAB +2ZBB) (153) Zα0 = √ 2 3 (ZA−ZB +ZAB−ZBB) (154) Os elementos da matriz de admitâncias [Yαβ0] tem a mesma estrutura mostrada em (151) - (154). Nas equações (151)- (154), a componente β é um modo exato da linha, por não ter aco- plamento com as demais componentes. Já as componentes α e 0, são os quase-modos da linha por conta do acoplamento mútuo (TAVARES et al., 1999; KUROKAWA et al., 2006, 2007). A Figura 17 apresenta a representação esquemática da decomposição modal utilizando a matriz de Clarke. Figura 17 - Decomposição modal utilizando a matriz de Clarke de uma LT trifásica simétrica. Fase 1 Fase 2 Fase 1 Fase 2 quase-modo α [TClarke] [TClarke] -1 Fase 3 Fase 3 modo exato β quase-modo 0 Fonte: Elaboração da própria autora. A componente β (modo exato) é representada como sendo uma LT monofásica e as com- ponentes α e 0 (quase-modos) são representadas como sendo uma LT bifásica sem plano de simetria vertical (KUROKAWA et al., 2006, 2007) como apresenta a Figura 18. Figura 18 - Decomposição modal em uma LT monofásica e uma LT bifásica. Fase 1 Fase 2 Fase 1 Fase 2 modo β modo α modo 0 [TClarke] [TClarke] -1 Fase 3 Fase 3 LT monofásica LT bifásica sem plano de simetria vertical Fonte: Elaboração da própria autora. 4.4 Desenvolvimento do modelo proposto 59 Diversos autores (ARAUJO et al., 2014b; TAVARES et al., 1999) desconsideram o efeito das componentes α e 0 em alguns casos específicos. Nesses casos, as matrizes em (149) são escritas como uma aproximação por: [Zαβ0]≈  Zα 0 0 0 Zβ 0 0 0 Z0  ; [Yαβ0]≈  Yα 0 0 0 Yβ 0 0 0 Y0  (155) 4.4 Desenvolvimento do modelo proposto Como mostrado na seção 4.3, Kurokawa et al. (2006, 2007) afirma que uma LT decomposta a partir do uso da matriz de transformação de Clarke pode ser representada através de uma LT monofásica (modo exato da linha) e de uma LT bifásica sem plano de simetria vertical (quase- modos da linha) conforme Figura 19. Partindo dessa afirmação, utilizando o mesmo procedimento para decompor a LT trifásica simétrica, é desenvolvido o modelo proposto. Para a LT bifásica sem plano de simetria da Figura 19 as componentes α e 0 são representa- das pelos condutores 1 e 2, da mesma forma que o acoplamento entre α e 0 é representado pelo acoplamento entre 1 e 2. O condutor 1 encontra-se a uma altura genérica h, d12 é a distância genérica entre os condutores 1 e 2 e θ12 pode assumir quaisquer valores desde que θ12 6= π e θ12 6= 0. Figura 19 - LT monofásica e LT bifásica sem plano de simetria vertical. 2 1 Solo θ12 d12 h 1 Solo h Linha monofásica Linha bifásica sem plano de simetria vertical Fonte: Elaboração da própria autora. 4.4 Desenvolvimento do modelo proposto 60 Depois da decomposição da LT trifásica, o modelo proposto considera que a LT bifásica e a LT monofásica podem ser analisadas diretamente no domínio do tempo e dos modos, ou no domínio da frequência e dos modos. Considerando-se a representação do modelo proposto para a análise no domínio da frequên- cia, as matrizes de impedância, de admitância, de tensão, e de corrente no domínio modal para a LT bifásica sem plano de simetria da Figura 19 são dadas, respectivamente, por: [Z] = [ Zα Zα0 Zα0 Z0 ] ; [Y ] = [ Yα Yα0 Yα0 Y0 ] ; [V ] = [ Vα V0 ] ; [I] = [ Iα I0 ] (156) E para a linha monofásica da Figura 19 são dadas por: Z = Zβ ; Y = Yβ ; V =Vβ ; I = Iβ (157) Já para a análise realizada diretamente no domínio do tempo, as matrizes de resistência, indutância e capacitância no domínio modal para a LT bifásica sem plano de simetria e para a LT monofásica da Figura 19 são dadas por: [R] = [ Rα Rα0 Rα0 R0 ] ; [L] = [ Lα Lα0 Lα0 L0 ] ; [C] = [ Cα Cα0 Cα0 C0 ] (158) R = Rβ ; L = Lβ ; C =Cβ . (159) A LT bifásica (tanto no domínio do tempo como no da frequência) é representada por uma cascata de pares de circuitos L acoplados como apresentado no Capítulo 3 e a LT monofásica (tanto no domínio do tempo como no da frequência) é representada por uma cascata de circuitos L (Apêndice C). Depois de serem representadas por meio de uma cascata de circuitos L, para a obtenção das tensões e correntes ao longo da LT, a análise no domínio do tempo utiliza a regra trapezoidal implícita e a análise no domínio da frequência utiliza a forma de sistema linear ([x] = [A]−1[B]), conforme mostra o esquema da Figura 20. As tensões e correntes obtidas ao longo de ambas as LTs estão no domínio dos modos, para passar para o domínio das fases utiliza-se novamente a matriz de Clarke, substituindo-a na equação (179) como mostrado a seguir: [V ] = [TClarke] −T  Vα Vβ V0  ; [I] = [TClarke]  Iα Iβ I0  (160) 4.4 Desenvolvimento do modelo proposto 61 Figura 20 - Processo realizado após a decomposição da LT trifásica. MONOFÁSICA FREQUÊNCIA CASCATA DE CIRCUITOS L TEMPO CASCATA DE CIRCUITOS L SISTEMA LINEAR REGRA TRAPEZOIDAL IMPLÍCITA BIFÁSICA FREQUÊNCIA CASCATA DE PARES DE CIRCUITOS L ACOPLADOS TEMPO CASCATA DE PARES DE CIRCUITOS L ACOPLADOS SISTEMA LINEAR REGRA TRAPEZOIDAL IMPLÍCITA Fonte: Elaboração da própria autora. Portanto, se as componentes α e 0 da LT mostrada na Figura 16 forem representadas como sendo uma LT bifásica sem plano de simetria vertical, e a componente β como sendo uma LT monofásica, a LT trifásica com plano de simetria vertical pode ser desacoplada a partir do uso apenas da matriz de Clarke, não utilizando matrizes cujos elementos são dependentes da frequência e métodos numéricos (como o de Newton-Raphson), ou seja, apenas matrizes cujos elementos são reais e constantes. A Figura 21 apresenta a descrição do modelo proposto. Figura 21 - Descrição do modelo proposto. INÍCIO TRANSFORMAÇÃO MODAL USANDO CLARKE SIMULAR USANDO REPRESENTAÇÃO POR MEIO DE CASCATA DE CIRCUITOS L MONOFÁSICA (APÊNDICE B) SIMULAR USANDO REPRESENTAÇÃO POR MEIO DE CASCATA DE PARES DE CIRCUITOS L ACOPLADOS BIFÁSICA (CAPÍTULO 3) TRANSFORMAÇÃO MODAL INVERSA USANDO CLARKE FIM R, L, C ou Z,Y LT monofásica LT bifásica v(t), i(t) ou V(ω),I(ω) v(t), i(t) ou V(ω),I(ω) v(t), i(t) ou V(ω),I(ω) Fonte: Elaboração da própria autora. 4.5 Validação do modelo proposto 62 É possível notar que com o modelo proposto, as tensões e correntes podem ser obtidas dire- tamente no domínio do tempo, ou no domínio da frequência, sem a utilização de transformadas inversas de Fourier ou Laplace. Além disso, nesse modelo utiliza-se apenas uma matriz de transformação com elementos reais e constantes, sem a dependência de matrizes com elemen- tos variáveis em relação à frequência. E ainda, utiliza as representações por meio de cascata de circuitos L, que possuem regras de formação de fácil implementação, tanto para a análise no domínio do tempo, quanto para a análise no domínio da frequência. Na seção 4.5 será realizada a validação do modelo proposto apresentado nesta seção. 4.5 Validação do modelo proposto Na seção 4.4 foi desenvolvido um modelo alternativo a parâmetros concentrados para cal- cular as correntes e tensões de uma LT trifásica com plano de simetria vertical, não idealmente transposta. Para a obtenção dos resultados e, assim, a validação do modelo proposto, é conside- rada uma LT trifásica de 440 kV que possui plano de simetria vertical, cujo comprimento total é igual a 100 km, conforme mostra a Figura 22. Figura 22 - Silhueta de uma LT trifásica de 440 kV. Solo ρsolo = 1000 (ohm m) Fase 1 Fase 2Fase 3 0.4m 0 .4 m GROSBEAK (raio = 0.01021m) AR µ = 4π10-7 (H/m) ε0 = 8.8542 10-9 (F/km) 2 8 m 2 4 .4 m 9.27m Fonte: Elaboração da própria autora. A validação do modelo é feita com a análise tanto no domínio do tempo como no domínio da frequência. Dessa maneira, para a análise no domínio do tempo são calculados as resis- 4.5 Validação do modelo proposto 63 tências e indutâncias longitudinais e as capacitâncias transversais a 60Hz, considerando que a condutância transversal é nula. Esses parâmetros são mostrados na Tabela 2. Já para a aná- lise no domínio da frequência são calculadas as impedâncias longitudinais e as admitâncias transversais mostradas na Tabela 3. Tabela 2 - Resistências e indutâncias longitudinais e capacitâncias transversais por unidade de comprimento. Resistência Indutância Capacitância (Ω/km) (mH/km) (ηF/km) R1 = 0,07826 L1 = 1,94483 C1 = 5,60723 R12 = R21 = 0,05799 L12 = L21 = 1,12341 C12 = C21 = 2,83043 R13 = R31 = 0,05799 L13 = L31 = 1,12341 C13 = C31 = 2,83043 R2 = R3 = 0,07842 L2 = L3 = 1,94437 C2 = C3 = 6,92299 R23 = R32 = 0,05806 L23 = L32 = 0,99860 C23 = C32 = 1,16114 Fonte: Elaboração da própria autora. Tabela 3 - Impedâncias longitudinais e admitâncias transversais por unidade de comprimento. Impedância Admitância (Ω/km) (S/km) Z1 = 0,07826 + j2π f 1,94483.10−3 Y1 = j2π f 5,60723.10−9 Z12 = Z21 = 0,05799 + j2π f 1,12341.10−3 Y12 = Y21 = j2π f 2,83043.10−9 Z13 = Z31 = 0,05799 + j2π f 1,12341.10−3 Y13 = Y31 = j2π f 2,83043.10−9 Z2 = Z3 = 0,07842 + j2π f 1,94437.10−3 Y2 = Y3 = j2π f 6,92299.10−9 Z23 = Z32 = 0,05806 + j2π f 0,99860.10−3 Y23 = Y32 = j2π f 1,16114.10−9 Fonte: Elaboração da própria autora. Como o modelo proposto é utilizado para simular transitórios eletromagnéticos, a faixa de frequência ( f ) contida na Tabela 3 vai de 10−1 Hz a 2.103 Hz. A LT trifásica considerando a estrutura da Figura 24 foi representada por 5, 50, 100 e 150 circuitos do modelo proposto comparados com o modelo clássico modal conforme Figura 23. Isso foi realizado para verificar qual a melhor quantidade de circuitos L em cascata utilizados para representar a configuração da Figura 22. 4.5 Validação do modelo proposto 64 Figura 23 - Respostas transitórias obtidas para 5, 50, 100 e 150 circuitos do modelo proposto e comparação com modelo clássico modal. Fonte: Elaboração da própria autora. Na Figura 23 pode-se observar que as curvas com quantidades de 5 e 50 circuitos do mo- delo proposto (curvas rosa e azul) em comparação com o modelo clássico modal (curva preta) tem uma diferença, resultando em uma baixa eficiência diante das outras curvas. Já as curvas com as quantidades de 100 e 150 circuitos do modelo proposto (curvas vermelha e verde) tem o comportamento com o modelo de comparação clássico modal (curva preta) igualmente satis- fatório, sendo que, a simulação com 150 circuitos (curva verde) leva um tempo computacional maior. Portanto, considerar uma quantidade de 1 circuito por unidade de comprimento é uma boa abordagem para representar os transitórios na LT trifásica (ARAUJO et al., 2014a). Os resultados são obtidos e comparados utilizando os seguintes modelos: Modelo proposto: A LT trifásica é decomposta em uma LT monofásica e em uma LT bifá- sica sem plano de simetria vertical com o uso da matriz de transformação de Clarke como foi desenvolvido na seção 4.3. A LT monofásica é representada por uma cascata de 100 circuitos L (Apêndice C). E a LT bifásica é representada por meio de uma cascata de 100 pares de cir- cuitos L acoplados como foi mostrado no capítulo 3. As correntes e tensões são calculadas para ambas as linha