RESSALVA Atendendo a solicitação do autor, o texto completo desta tese será disponibilizado somente a partir de 05/08/2024. Ilha SolteiraIlha Solteira UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA IGOR THIAGO MINARI RAMOS PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS PARA SISTEMAS NÃO LINEARES BASEADOS NA DECOMPOSIÇÃO EM SOMA DE QUADRADOS CONSIDERANDO A SATURAÇÃO DOS ATUADORES Ilha Solteira 2022 IGOR THIAGO MINARI RAMOS PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS PARA SISTEMAS NÃO LINEARES BASEADOS NA DECOMPOSIÇÃO EM SOMA DE QUADRADOS CONSIDERANDO A SATURAÇÃO DOS ATUADORES Tese apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Engenharia Elétrica da Uni- versidade Estadual Paulista - UNESP - Campus de Ilha Solteira, como parte dos requisitos necessários para obtenção do tí- tulo de Doutor em Engenharia Elétrica. Área de Concentração: Automação. Prof. Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira Orientador Ilha Solteira 2022 Ramos PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS PARA SISTEMAS NÃO LINEARES BASEADOS NA DECOMPOSIÇÃO EM SOMA DE QUADRADOS CONSIDERANDO A SATURAÇÃO DOS ATUADORESIlha Solteira2022 90 Sim Tese (doutorado)Engenharia ElétricaÁrea de conhecimento: AutomaçãoSim . . FICHA CATALOGRÁFICA Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação Ramos, Igor Thiago Minari. Projeto de controladores robustos chaveados para sistemas não lineares baseados na decomposição em soma de quadrados considerando a saturação dos atuadores / Igor Thiago Minari Ramos. -- Ilha Solteira: [s.n.], 2022 90 f. : il. Tese (doutorado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2022 Orientador: Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira Inclui bibliografia 1. Controlador chaveado. 2. Modelos fuzzy polinomiais. 3. Sistemas não lineares incertos. 4. Soma de quadrados. 5. Saturação nos atuadores. R175p À todos que acreditaram em mim e me ajudaram a encontrar o caminho. AGRADECIMENTOS Durante o doutorado experimentei vários desafios, tanto pessoais quanto profissionais. Atra- vés da ajuda de vários amigos posso dizer que superei diversos desses obstáculos, e sou grato pela ajuda e confiança de todos. Em especial, agradeço a todos os meus alunos, que no início tiveram paciência comigo, me deram feedbacks e me ajudaram a ser o professor que me tornei.Agradeço também a todos os alunos que orientei e ajudei na orientação, foi muito bom trabalhar com todos. Fico feliz por saber que construímos algo juntos e pude contribuir para a formação de excelentes profissionais. Agradeço também ao meu orientador, pelos conselhos, confiança e incentivo. Eu admiro o seu esforço e dedicação como professor, pesquisador e amigo. Admiro a sua bondade e desejo de ajudar a todos. Não posso deixar de agradecer ao Uiliam, um amigo que me aconselhou, motivou e me ajudou em muitos desafios. Agradeço a ele por me ajudar em vários trabalhos, que sem a sua ajuda e o seu esforço, não conseguiria finalizá-los. Agradeço aos colegas e amigos de república, com quem tive muitos momentos felizes e almoços animados. Durante a elaboração deste trabalho fiz vários amigos e colegas em Ilha Solteira, tanto do meu laboratório quanto de outros. Cada pessoa teve a sua importância neste trabalho e sou grato pela convivência, paciência e convívioque tive com todos. Agradeço a UNESP pela oportunidade que tive de lecionar as matérias de Instalações Elé- tricas, a Unitoledo pela confiança no meu trabalho como professor e pesquisador. Agradeço também a Avibras, pela oportunidade de colocar em prática osmeus conhecimentos e também adquirir novos na área de guiamento, controle e navegação. O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pes- soal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001. “Tudo pode ser tirado de uma pessoa, exceto uma coisa: a liberdade de escolher sua atitude em qualquer circunstância da vida.” Viktor Frankl “Um, lembre-se de olhar para as estrelas e não para baixo, para seus pés. Dois, nunca desista do trabalho. Trabalho dá significado e propósito, e a vida está vazia sem eles. Três, se você tiver sorte o suficiente para encontrar o amor, não o deixe ir embora.” Stephen Hawking RESUMO Neste trabalho são propostos novos métodos de projeto de controladores robustos chaveados para uma classe de sistemas não lineares descrita por modelos fuzzypolinomiais considerando funções de pertinência desconhecidas. Inicialmente é apresentada uma revisão sobre os mo- delos fuzzyTakagi-Sugeno (TS) e polinomiais, descrevendo uma comparação entre algumas metodologias de projeto dos controladores chaveados robustos para sistemas não lineares des- critos por esses modelos. As análises da estabilidade e estabilização de sistemas não lineares descritos através de modelosfuzzypolinomiais são realizadas considerando uma candidata à função de Lyapunov polinomial e as restrições são descritasatravés da decomposição em soma de quadrados (do inglês,Sum of Squares- SOS). Os resultados obtidos utilizando esta meto- dologia são menos conservadores e apresentam uma região de factibilidade maior do que os modelosfuzzyTS com as restrições descritas através de desigualdades matriciais lineares (do inglês,Linear Matrix Inequalities- LMIs). Podemos observar que os modelosfuzzypolinomi- ais e as restrições de projeto descritas em SOS são uma extensão, respectivamente, dos modelos fuzzyTS e das restrições descritas em LMIs. A primeira metodologia proposta teve como ob- jetivo minimizar um limitante superior de um índice quadrático (custo garantido) baseado na saída e no sinal de controle do sistema. A minimização do custo garantido pode assegurar que a resposta do sistema seja rápida, sem muitas oscilações e com um sinal de controle adequado para a implementação dos controladores. A seguir, considerando que atualmente muitos con- troladores são implementados através de hardwares, foram propostos projetos de controladores robustos chaveados para sistemas não lineares descritos por modelosfuzzybaseado em SOS, cujos controladores não são compostos por funções complexas dependentes das variáveis de estados. Desta forma, tem-se a redução da complexidade na implementação dos controladores. Além disso, pode-se observar que muitos sistemas estão sujeitos a distúrbios ou incertezas no sinal de controle e a saturação dos atuadores. Dessa forma, foram propostos procedimentos para o projeto de controladores robustos chaveados que consideram estes requisitos. Através dos resultados obtidos das análises teóricas e exemplos numéricos, foi possível mostrar as van- tagens das metodologias propostas. Palavras-chave: Controlador chaveado. Modelosfuzzypolinomiais. Sistemas não lineares incertos. Soma de quadrados (SOS). Saturação nos atuadores. ABSTRACT In this thesis, new design methods for robust switched controllers are proposed for a class of nonlinear systems described by fuzzy polynomial models considering that the membership functions are unknown. Initially, a review of the fuzzy TS and polynomial models is presen- ted, describing a comparison between the design of robust switched controllers for nonlinear systems described by these models. The analysis of the stability and stabilization of nonli- near systems described by polynomial fuzzy models is realized considering a candidate for the polynomial Lyapunov function and the constraints are described through the sum of squares decomposition (SOS). The results obtained using this methodology are less conservative and present a greater region of feasibility than the fuzzy TS models with the constraints described by linear matrix inequalities (LMIs). We can see that the polynomial fuzzy models and the constraints described by SOS are an extension, respectively, of the TS fuzzy models and the constraints described by LMIs. The first proposed methodology aimed to minimize an upper bound of a quadratic index (guaranteed cost) based on the output and the control signal of the system. Guaranteed cost minimization can ensure that the system response is fast, without too many oscillations and with a control signal suitable for thecontrollers implementation. Next, considering that currently many controllers are implemented through hardware, designs of ro- bust switched controllers were proposed for nonlinear systems described by polynomialfuzzy models based on SOS whose controllers are not complex functions dependent on state varia- bles. In this way, the complexity of controllers implementation is reduced. In addition, it can be observed that many systems are subject to disturbances or uncertainties in the control signal and the saturation of the actuators. In this way, a design of robust switched controllers was proposed that consider these requirements. Through the results obtained through theoretical analyzes and numerical examples, it was possible to show the advantages of the proposed methodology. Keywords: Switched controller. Polinomial fuzzy models. Uncertain nonlinear systems. Sum of Squares (SOS). Actuator saturation. LISTA DE FIGURAS Figura 1 Setor não linear do sistema (35) representado pelosmodelosfuzzyTakagi- Sugeno (36) e polinomiais (37). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Figura 2 Região de factibilidade do sistema (38) descrito por ModelosfuzzyTS utilizando o Teorema 1, considerando|x2| ≤ 20. . . . . . . . . . . . . . 31 Figura 3 Plano de fase do sistema (38) considerando a lei de controle chaveada (22) com os ganhos (43), sendo a condição inicial representado por um círculo (◦) e a final por um quadrado (�). . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Figura 4 Variáveis de estado do sistema (65) e a lei de controle chaveada (45) (sinal de controleuσ (t) e o índice de chaveamentoσ(t)). . . . . . . . . 41 Figura 5 A trajetória de estado do sistema (97) em malha aberta. A condição inicial e final são indicadas por um círculo azul (◦) e por um quadrado azul (�), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Figura 6 A trajetória de estado do sistema (97) em malha fechada. A condição inicial e final são indicadas por um círculo azul (◦) e por um quadrado azul (�), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Figura 7 Trajetória de estado do sistema (169) em malha fechada. a condição inicial e final são indicadas por um círculo azul (◦) e um quadrado azul (�), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Figura 8 Trajetória de estado do sistema (169) e a função de Lyapunov, conside- rando o parâmetro incertocb = 0,76, ex̂(x(0)) = [−7 4]T . Sistema em malha fechada utilizando a lei de controle chaveado (92) e (102). . . . . 56 Figura 9 Sinal de controleu(t), a regra de chaveamentoσ(t) e ϕ(t), conside- rando o parâmetro incertocb = 0,76, ex̂(x(0)) = [−7 4]T . O sistema em malha fechada utilizando a lei de controle chaveada (92) e(102). . . 56 Figura 10 Sinal de controle saturado satl (ul(t)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Figura 11 Representação de possíveis trajetórias de estadoe das regiõesX (124), L (Hk) (112) eE (MP(x)MT ,δ ) (113) no planox1(t)×x2(t). . . . . . . 70 Figura 12 Levitador Magnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 73 Figura 13 Região de factibilidade obtida com o Teorema 9 sem termos polinomiais (◦) e a metodologia de controladores chaveados proposta em (ALVES et al., 2016) (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Figura 14 Os conjuntosX , L (Hk) eE (MP(x)MT), para o levitador magnético. . 77 Figura 15 Posição ( ˇx1(t)= y(t)), sinal de controle (u(t)= i2(t)− i20), índicesσ eϕ da simulação do levitador magnético (160), utilizando a leide controle chaveado (109) e (158). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Figura 16 Trajetória do sistema (169) em malha fechada. As condições iniciais e finais são indicadas por um círculo azul (◦) e um quadrado azul (�), respectivamente. Os conjuntosX , L (Hk(x)) eE (MP(x)MT). . . . . . 80 Figura 17 Trajetória das variáveis de estadox1 ex2, sinal de controleu(t) e os ín- dices de chaveamentoσ eϕ do sistema não linear incerto (152), usando a lei de controle robusto chaveado (109) e (158). . . . . . . . . . .. . 80 LISTA DE SÍMBOLOS R Conjunto dos números reais. R n Conjunto dos vetoresn×1 com elementos reais. R n×m Conjunto das matrizesn×m com elementos reais. N Conjunto dos números naturais. Kr Conjuntos dos números{1,2, . . . , r}. MT Transposta da matriz realM. M > (≥)0 M é uma matriz simétrica e definida (semidefinida) positiva. M < (≤)0 M é uma matriz simétrica e definida (semidefinida) negativa. I Matriz identidade. |z| Valor absoluto de um número realz. ||x|| Norma euclidiana do vetorx∈ R n : ||x||= √ xTx. argmin i∈Kr ∗{hi} Menor índicej ∈ Kr tal que, para o conjunto{h1,h2, . . . ,hr}, h j = min i∈Kr {hi}; por exemplo, dado um conjuntoH = {h1 = 3,h2 = 1,h3 = 6,h4 = 3,h5 = 1}, sendo r = 5, então argmin i∈Kr ∗{hi}= min{2,5}= 2. SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 10 1.1 CONTROLE DE SISTEMAS NÃO LINEARES 10 1.2 OBJETIVOS 14 1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 14 2 MODELOS FUZZY POLINOMIAIS E DECOMPOSIÇÃO EM SOMA DE QUADRADOS 16 2.1 DECOMPOSIÇÃO EM SOMA DE QUADRADOS 16 2.2 MODELOSFUZZYTAKAGI-SUGENO 20 2.3 MODELOSFUZZYPOLINOMIAIS 22 2.4 EXEMPLO NUMÉRICO COMPARANDO OS MODELOSFUZZY 28 2.5 EXEMPLO NUMÉRICO DE CONTROLE CHAVEADO 30 2.6 CONCLUSÕES PARCIAIS 33 3 CONTROLE ROBUSTO CHAVEADO PARA MINIMIZAR O CUSTO GA- RANTIDO 34 3.1 PROJETO DE CONTROLE CHAVEADO 34 3.2 EXEMPLO NUMÉRICO CONSIDERANDO O CUSTO GARANTIDO 39 3.3 CONCLUSÕES PARCIAIS 41 4 CONDIÇÕES RELAXADAS PARA O PROJETO DE CONTROLADORES CHAVEADOS 43 4.1 PROJETO DE CONTROLE CHAVEADO RELAXADO 43 4.2 DISTÚRBIOS E/OU INCERTEZAS NO SINAL DE CONTROLE 49 4.3 EXEMPLOS NUMÉRICOS 50 4.3.1 Exemplo numérico 1 50 4.3.2 Exemplo numérico 2 53 4.4 CONCLUSÕES PARCIAIS 57 5 CONTROLE ROBUSTO DE MODELOS FUZZY POLINOMIAIS INCER- TOS SUJEITO A SATURAÇÃO DOS ATUADORES 58 5.1 CONTROLE CHAVEADO CONSIDERANDO A SATURAÇÃO DOS ATUA- DORES 58 5.2 CONSIDERANDO DISTÚRBIOS E/OU INCERTEZAS NO SINAL DE CON- TROLE 70 5.3 EXEMPLOS NUMÉRICOS CONSIDERANDO A SATURAÇÃO DOS ATUA- DORES 72 5.3.1 Exemplo numérico 3 72 5.3.2 Exemplo numérico 4 78 5.4 CONCLUSÕES PARCIAIS 81 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 82 REFERÊNCIAIS 86 10 1 INTRODUÇÃO Neste capítulo é apresentada a motivação e os objetivos desejados com este trabalho. Ao final deste capítulo, apresenta-se a organização do texto. 1.1 CONTROLE DE SISTEMAS NÃO LINEARES Com o crescimento de novas tecnologias e a complexidade dos novos sistemas dinâmicos a serem controlados, tem-se aumentado a necessidade e a procura por controladores que garan- tem índices de desempenho desejado e a precisão da operação ou processo. Como exemplo de sistemas dinâmicos com dinâmica complexa e que envolvem tecnologias atuais, tem-se os heli- cópteros não tripulados (KENDOUL, 2012), sistemas aeroespaciais (NAIDU; CALISE, 2001), manipuladores robóticos (SAGE; MATHELIN; OSTERTAG, 1999)e entre outros sistemas. A maioria dos sistemas dinâmicos encontrados no mundo real enão idealizado, tem na- tureza não linear, são incertos e estão sujeitos a distúrbios (SLOTINE; LI et al., 1991; GUO; CAO, 2014; ALVES et al., 2016; OLIVEIRA et al., 2018b). Deve-se observar que, mesmo com o avanço nas pesquisas na área de controle, a análise e o projeto dos controladores para sistemas não lineares incertos estão entre os problemas mais desafiadores da teoria de controle, sendo que ainda não há uma metodologia universal para a análise da estabilidade, desempenho e projeto de controladores para tais sistemas (PRAJNA; PAPACHRISTODOULOU; WU, 2004; GUO; CAO, 2014; HUNG; GAO; HUNG, 1993; GUERRA; SALA; TANAKA,2015). Na área de controle, houve um grande avanço na análise da estabilidade e no projeto de con- troladores para tais sistemas com a teoria introduzida pelomatemático russo Alexandr Mikhai- lovich Lyapunov. O método proposto determina as propriedades de estabilidade do sistema não linear pela construção e análise ao longo do tempo de uma função “energia”, não havendo, por- tanto a necessidade de resolver as equações diferenciais que descrevem o sistema (SLOTINE; LI et al., 1991). A estabilidade e estabilização de muitos sistemas de controle pode ser garantida através da utilização de uma candidata a função de Lyapunov (SLOTINE; LI et al., 1991; BOYD et al., 1994; TANAKA et al., 2009). O projeto de controladores utilizando uma candidata a função de Lyapunov pode ser utilizado considerando sistemas lineares ou não lineares. Considerando a análise da estabilidade e o projeto de controladores para sistemas lineares e não lineares descritos por modelosfuzzyTS, comumente são utilizadas candidatas a função de Lyapunov quadráticas (BOYD et al., 1994; TANAKA; IKEDA; WANG, 1998; TANAKA; 1.1 CONTROLE DE SISTEMAS NÃO LINEARES 11 WANG, 2004; TEIXEIRA; ASSUNÇÃO; AVELLAR, 2003). Desta forma, as restrições da aná- lise da estabilidade e o projeto dos controladores pode ser formulado através de desigualdades matriciais lineares (do inglês,Linear Matrix Inequalities- LMIs). Através dos modelosfuzzyTS e da metodologia apresentada por Taniguchi et al. (2001), os sistemas não lineares podem ser exatamente representados em uma região de operação por subsistemas lineares combinados através das funções de pertinência. Portanto, os controlado- res são projetados considerando uma determinada região de operação, mas fora desta região não pode-se garantir a estabilidade do sistema e os índices de desempenho requeridos (TA- NAKA; IKEDA; WANG, 1998; TANAKA; WANG, 2004; TEIXEIRA; ASSUNÇÃO; AVEL- LAR, 2003; SOUZA et al., 2014b; ALVES et al., 2016; OLIVEIRA et al., 2018b; OLIVEIRA et al., 2018a). Desta forma, torna-se adequado considerar no projeto dos controladores a região de opera- ção do sistema. Além disso, pode-se considerar que se a condição inicial do sistema pertence a região de operação especificada, durante o transitório o sistema permanecerá na região de operação (ALVES et al., 2016; OLIVEIRA et al., 2018b). Deve-se ter em mente que esta consi- deração aumenta a complexidade no projeto dos controladores, podendo ser utilizados métodos que flexibilizem as condições de projeto. Com o objetivo de reduzir o conservadorismo na análise da estabilidade e no projeto de controladores para sistemas não lineares descritos por modelosfuzzyTS, os modelosfuzzypoli- nomiais foram propostos como uma extensão (TANAKA et al., 2009). Sabendo-se que os mo- delosfuzzypolinomiais possuem modelos locais polinomiais dependentes do vetor de estado do sistema, o número de subsistemas necessários para descrever um sistema não linear será igual ou menor se comparado com os modelosfuzzyTS. Além disso, o setor não linear do modelo fuzzypolinomial fica mais próximo da função não linear, o que diminui o conservadorismo no projeto dos controladores (RAMOS et al., 2019). Conhecendo-se os valores de máximo e mínimo das não linearidades e incertezas, pode-se descrever os sistemas não lineares de forma exata através demodelosfuzzypolinomiais, como a combinação de modelos locais polinomiais dependente das funções de pertinência, sem a necessidade de limitar o projeto a uma determinada região deoperação (RAMOS et al., 2019; TANAKA et al., 2009; KIM; PARK; JOO, 2016; GUELTON et al., 2013; CAO et al., 2014). Desta forma, o projeto dos controladores para sistemas não lineares descritos por modelosfuzzy polinomiais pode tornar o sistema globalmente assintoticamente estável, resultado difícil de ser alcançado considerando os modelosfuzzyTS (RAMOS et al., 2019; TANAKA et al., 2009). Deve-se destacar que o projeto de controladores para sistemas descritos por modelosfuzzy polinomiais não pode ser solucionado diretamente através de LMIs. Utilizando a metodologia apresentada em Parrilo (2000), pode-se decompor polinômios multivariados em uma soma de quadrados. Está metodologia é uma extensão das LMIs, pois permite que as restrições dos 1.1 CONTROLE DE SISTEMAS NÃO LINEARES 12 projetos de controladores possuam termos polinomiais e nãoapenas constantes (TANAKA et al., 2009; KIM; PARK; JOO, 2016; TANAKA et al., 2016; RAMOS etal., 2019). Portanto, as restrições do projeto dos controladores descritas como uma decomposição em soma de quadrados possibilita a utilização de candidatas a função de Lyapunov polinomiais, que são mais complexas que as quadráticas e diminuem o conservadorismo no projeto dos controladores, obtendo desta forma maiores regiões de factibilidade e/ou melhores índices de desempenho (RAMOS et al., 2018; BIZARRO, 2021). Considerando as vantagens descritas anteriormente sobre os modelosfuzzypolinomiais e a decomposição em soma de quadrados, em Tanaka et al. (2016), os autores propuseram uma nova metodologia para o projeto de controladores e apresentaramimportantes resultados para evitar o problema do conservadorismo. Em Kim, Park e Joo (2016), os autores apresentaram o projeto de controladores robustos considerando funções de pertinência imperfeitas. Em Ramos et al. (2019), os autores apresentaram o projeto de controladoresrobustos considerando incertezas politópicas e a minimização do limitante superior de um custo garantido. Em Gassara, Hajjaji e Chaabane (2016) os autores propuseramcontroladores robustos con- siderando que os atuadores do sistema estão sujeitos a saturação. Em Yum e Wang (2013) e Ramos et al. (2018) os autores consideraram, no projeto dos controladores, a utilização da taxa de decaimento com o objetivo de reduzir o tempo de transitório do sistema. Devemos observar que as funções de pertinência dos modelosfuzzypolinomiais utilizadas para descrever os sistemas não lineares podem ser incertas,complexas ou difíceis de serem obtidas (SOUZA et al., 2014b; ALVES et al., 2016; OLIVEIRA etal., 2018b; OLIVEIRA et al., 2018a). A metodologia de controladores chaveados robustos, proposta neste trabalho, não depende das funções de pertinência para compor o sinal de controle, como os controladores baseados na compensação paralela distribuída (CPD) (TANAKA et al., 2009). Desta forma, caso as funções de pertinência sejam incertas, não se pode utilizar diretamente os controladores baseados na CPD (RAMOS et al., 2019). Projetos de controladores chaveados similares considerando sistemas não lineares incertos descritos por modelosfuzzyTS são apresentados na literatura. Em Souza et al. (2014b) foi verificado o aumento da região de factibilidade utilizando controladores chaveados. Em Alves et al. (2016) foi proposto o projeto de controladores chaveados robustos sujeito a saturação dos atuadores, neste trabalho também foi possível observar queos controladores chaveados podem reduzir o sinal de controle. Em Oliveira et al. (2018b) foi proposta uma extensão do trabalho anterior considerando a minimização do índiceH∞. Estes controladores chaveados propostos na literatura apresentam maior região de factibilidade que oscontroladores com um único ganho. Recentemente estão sendo realizadas pesquisas envolvendoo projeto de controladores cha- veados para sistemas não lineares descritos por modelosfuzzypolinomiais (RAMOS et al., 1.1 CONTROLE DE SISTEMAS NÃO LINEARES 13 2019; RAMOS et al., 2019). Sendo que a descrição dos sistemasnão lineares em modelosfuzzy polinomiais, o estudo da estabilidade e projeto de controladores baseado na CPD foi apresen- tado inicialmente em (TANAKA et al., 2009). Após a metodologia apresentada neste trabalho, foi realizado o desenvolvimento de projeto de controladores considerando índices de desempe- nho, robustez entre outros requisitos de projeto de controladores. Em Tanaka, Ohtake e Wang (2009) são propostos controladorespara sistemas não lineares descritos por modelosfuzzypolinomiais considerando a minimização de um limitante superior do custo garantido. Em Li e Wang (2012) utilizando a metologia proposta em Tanaka, Oh- take e Wang (2009), são projetados controladores robustos para sistemas não lineares. O custo garantido utilizado é um versátil índice quadrático, que usualmente proporciona um bom de- sempenho do sistema de controle, baseado na minimização dasvariáveis de estado e do sinal de controle do sistema (CAUN et al., 2018). Esta teoria também é aplicada para o projeto de servos sistemas, em que se pode especificar as condições inicias do controlador (TEIXEIRA et al., 2006). Desta forma, baseado em Ramos et al. (2018), em (RAMOS et al.,2019) são propostos controladores chaveados robustos para sistemas não lineares descritos por modelosfuzzypoli- nomiais considerando a minimização do limitante superior de um índice quadrático, obtendo dessa forma um custo garantido. Através da utilização dos controladores chaveados, não será necessário o conhecimento ou estimativa das funções de pertinência para compor o sinal de controle sinal de controle. Técnicas como a compensação paralela distribuída (CPD) fazem uso das funções de pertinência para compor o sinal de controle (TANAKA; WANG, 2004). Observando que em muitos trabalhos que utilizam candidatasa função de Lyapunov poli- nomiais, os controladores podem depender de funções racionais, dificultando a implementação desses controladores (PRAJNA; PAPACHRISTODOULOU; WU, 2004; JENNAWASIN; NA- RIKIYO; KAWANISHI, 2010; TANAKA et al., 2012; KIM; PARK; JOO, 2016). Em Kim, Park e Joo (2016) é proposto um projeto de controlares robustos para sistemas não lineares descritos por modelosfuzzypolinomiais considerando variáveis de folga, que reduzem oconservado- rismo no projeto dos controladores, além disso, é considerado que os controladores dependem apenas de funções polinomiais. Portanto, baseado em Kim, Park e Joo (2016), serão propostoscontroladores polinomiais chaveados robustos para sistemas não lineares descritos por modelosfuzzypolinomiais, con- siderando variáveis de folga no projeto dos controladores.E também, baseado em Alves et al. (2016) serão propostos controladores que garantem a robustez do sistema na presença de distúrbios ou incertezas no sinal de controle. Sabendo que em aplicações práticas o sinal de controle deve ser limitado, baseado em Gassara, Hajjaji e Chaabane (2016), Alves et al. (2016), Oliveira et al. (2018a), neste trabalho também será considerada a saturação dos atuadores no projeto dos controladores. 1.2 OBJETIVOS 14 Dos resultados obtidos em (GUERRA; VERMEIREN, 2004; TANAKAet al., 2009; OLI- VEIRA et al., 2018a), pode-se observar que a complexidade dacandidata a função de Lyapunov pode aumentar a região de factibilidade. Portanto, será proposta uma nova candidata a função de Lyapunov com o objetivo de expandir a região de factibilidade no projeto dos controladores. 1.2 OBJETIVOS O objetivo principal deste trabalho é propor novas leis de controle chaveado, considerando uma classe de sistemas não lineares e incertos descritos de forma exata por modelosfuzzypo- linomiais. Serão considerados como requisitos no projeto dos controladores, a minimização do limitante superior de um índice quadrático, distúrbios ou incertezas no sinal de controle e que os atuadores estão sujeitos a saturação. Para atingir estesobjetivos, são propostos os seguintes objetivos secundários: • Descrever de forma exata um sistema não linear com incertezas politópicas utilizando modelosfuzzypolinomiais, sendo conhecidas as não linearidades e tambémos valores de máximo e mínimo das incertezas. • Propor projetos de controladores para os sistemas descritos anteriormente com as restri- ções baseadas na decomposição em soma de quadrados. Será considerado que o sinal de controle não dependa das funções de pertinência, que podem ser incertas ou difíceis de serem obtidas. • Apresentar exemplos e simulações que demonstrem as vantagens dos métodos propostos. 1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO Para uma apresentação adequada do tema e dos resultados obtidos, esse trabalho está orga- nizado da seguinte forma: • No Capítulo 2 serão apresentados os conceitos gerais sobremodelosfuzzyTS e polino- miais, estabelecendo os conceitos necessários para o desenvolvimento e compreensão do trabalho. Além disso, será possível comparar e diferenciaro projeto de controladores com restrições descritas em termos de LMIs e SOS. • No Capítulo 3 será proposto o projeto de controladores robustos chaveados para uma classe de sistemas não lineares descritos por modelosfuzzypolinomiais considerando as funções de pertinência desconhecidas e, como requisito do projeto de controle, a minimi- zação de um limitante superior de um índice quadrático (custo garantido) relacionado a 1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 15 saída e ao sinal de controle do sistema. Essa abordagem tem como objetivo diminuir o tempo de transitório e as oscilações do sistema, com um sinalde controle adequado. • No Capítulo 4 serão propostos controladores chaveados robustos para a mesma classe de sistemas não lineares do capítulo anterior considerando que os controladores não depen- derão de funções racionais, mas apenas de funções polinomiais. Deve ser observado que em implementações práticas, funções racionais presentes na lei de controle levam a um alto esforço computacional do hardware. Além disso, serão consideradas nas restrições dos projetos de controladores, variáveis de folga com o objetivo de aumentar a região de factibilidade. Como requisito no projeto dos controladores, será considerado que o sinal de controle está sujeito a distúrbios ou incertezas. • No Capítulo 5, além dos projetos de controladores chaveados robustos propostos consi- derarem a mesma metodologia e requisitos de projeto do capítulo anterior, também será considerado que os atuadores estarão sujeito a saturação dos atuadores, com o objetivo de aproximar os resultados obtidos de implementações práticas reais. • No Capítulo 6 serão apresentadas as conclusões sobre o trabalho proposto. Diante dos resultados obtidos e o estado da arte do problema estudado, serão descritas as perspectivas para trabalhos futuros. Neste trabalho, as implementações computacionais foram feitas no MATLAB. Problemas sintetizados a partir de LMIs foram implementadas através da interface YALMIP (LOFBERG, 2004), com o solver SeDuMi (STURM, 1999). Para os problemas sintetizados com SOS, foram implementados através da interface SOSTOOLS (PAPACHRISTODOULOU; PRAJNA, 2002) com o solver SeDuMi. Será utilizada a seguinte notação:Kr ={1,2, · · · , r}, r ∈ N. Y(α,x) representa uma matriz genérica tal queY(α,x) = r ∑ i=1 αiYi(x), sendo queαi ≥ 0,∀i ∈Kr , e r ∑ i=1 αi = 1. O menor índice σ ∈ Kr , tal que, para o conjunto de números reaisH = {h1, · · · ,hr}, hσ = min i∈Kr {hi} é denotado por arg∗ min i∈Kr {hi}. A notaçãoHe{•} é uma forma resumida para(•)+ (•)T . Inu representa a matriz identidade com ordemnu. Por simplicidade, considereαi(z(t)) = αi ,∀i ∈Kr , x(t) = x e u(t) = u. 82 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho foram apresentados resultados sobre o controle chaveado para uma classe de sistemas não lineares incertos com saturação no atuador e distúrbios ou incertezas no sinal de controle. Os resultados foram obtidos considerando a representação exata destes sistemas por modelosfuzzypolinomiais incertos, que são uma extensão dos modelosfuzzyTS, considerando uma combinação convexa de modelos locais polinomiais, sendo portanto, não lineares. Utili- zando esta metodologia para a representação de sistemas nãolineares, as funções de pertinência podem ser incertas e/ou desconhecidas. Inicialmente, no Capítulo 2, foi comparado o projeto de controladores robustos chaveados para sistemas não lineares descritos por modelosfuzzyTS e polinomiais, demonstrando que o projeto desses controladores para sistemas descritos pormodelosfuzzypolinomiais são uma extensão dos modelosfuzzyTS, podendo obter uma região de factibilidade igual ou maior. Além disso, o projeto de controladores chaveados para sistemas não lineares incertos des- critos por modelosfuzzypolinomiais que possuem as restrições de projeto descritaspor soma de quadrados, é uma metodologia flexível, podendo ser considerado nas restrições várias matrizes polinomiais e a minimização de índices de desempenho desejados, como descrito no Capítulo 3. As restrições de projeto descritas em termos de soma de quadrados é uma extensão das res- trições descritas como LMIs, podendo obter uma região de factibilidade maior e/ou melhores índices de desempenho. A partir da descrição de sistemas não lineares em modelosfuzzypolinomiais, o sistema pode ser descrito globalmente ou localmente de forma exata. Observando que na grande maioria das aplicações de controladores os sistemas possuem limitações físicas e saturação nos atuadores, desta forma as variáveis de estado serão limitadas. Portanto, no Capítulo 5 foi apresentado o projeto de controladores considerando a saturação nos atuadores e a representação local do sistema não linear incerto por modelosfuzzypolinomiais. Através dos exemplos numéricos deste trabalho, pode-se observar que os resultados obtidos para o projeto de controladores chaveados para sistemas nãolineares incertos obtiveram mai- ores regiões de factibilidade se comparando com aqueles considerando modelosfuzzyTS com as restrições descritas em termos de LMIs. Deste modo, este trabalho trouxe resultados impor- tantes para a flexibilizar as restrições de projeto dos controladores para sistemas não lineares 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 83 incertos. De modo geral, os resultados obtidos neste trabalho podem ser estendidos ao controle cha- veado de sistemas polinomiais incertos, ou seja, representado por polinômios dependentes das variáveis de estado, não necessitando da descrição deste sistemas utilizando modelosfuzzypo- linomiais, um exemplo desse tipo de sistema foi abordado em (RAMOS et al., 2018). Além disso, considerando que a utilização de candidatas a funçãode Lyapunov mais complexas e a utilização de ganhos polinomiais podem flexibilizar as condições de projeto do controlador, os resultados também podem ser estendidos para sistemas lineares com incertezas politópicas. De acordo com os resultados obtidos neste trabalho e baseadona metodologia proposta em Oliveira et al. (2018b) pretende-se projetar controladores chaveados robustos com a minimi- zação da normaH∞ para a mesma classe de sistemas considerada neste trabalho.Além disso, como em muitas aplicações de controladores não possuíram todas as variáveis de estado dis- ponível, baseado em Bocca et al. (2022) e Carniato et al. (2020) será considerado o projeto de controladores chaveados robustos com realimentação de saída para a mesma classe de sistemas descrita nesse trabalho. Baseado em Oliveira et al. (2018a) e Santos (2020), a metodologia de projeto de contro- ladores robustos chaveados apresentado neste trabalho também serão estendidos para a classe de sistemas não lineares e discretos no tempo descritos por modelosfuzzypolinomiais conside- rando a saturação dos atuadores. Da pesquisa realizada originaram-se os seguintes trabalhos: • RAMOS, IGOR THIAGO MINARI; ALVES, UILIAM NELSON LENDZION TOMAZ; TEIXEIRA, MARCELO CARVALHO MINHOTO; ASSUNÇÃO, EDVALDO; CAR- DIM, RODRIGO; LAZARINI, ADALBERTO ZANATTA NEDER. On RobustSwitched Controller Design to Minimize the Guaranteed Cost of Polynomial Fuzzy Systems. In: 2019 IEEE International Conference on Fuzzy Systems 2019, New Orleans: [s.n.], 2019. p. na/na. • RAMOS, IGOR THIAGO MINARI; TEIXEIRA, MARCELO CARVALHO MINHOTO; ASSUNÇÃO, EDVALDO; CARDIM, RODRIGO;ALVES, UILIAM NELSON LEND- ZION TOMAZ. Comparação do controle chaveado de sistemas nãolineares descritos por modelos fuzzy Takagi-Sugeno e Polinomiais. In:XIV Conferência Brasileira de Dinâ- mica, Controle e Aplicações 2019, São Carlos: Escola de Engenharia de São Carlos - USP: [s.n.], 2019. p. na/na. • PERES, JADY CARDONA; RAMOS, IGOR THIAGO MINARI; TEIXEIRA,MAR- CELO CARVALHO MINHOTO; ASSUNÇÃO, EDVALDO; CARDIM, RODRIGO. 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