Campus de Ilha Solteira PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA ESTUDO DE CAMPO ELÉTRICO EM LINHA DE TRANSMISSÃO UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO Elson Borges da Silva Filho Prof. Dr. Luiz Fernando Bovolato Orientador Dissertação de Mestrado Ilha Solteira – SP Abril de 2008 Campus de Ilha Solteira PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA “Estudo de Campo Elétrico em Linha de Transmissão Utilizando o Método dos Elementos de Contorno” ELSON BORGES DA SILVA FILHO Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Bovolato Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia - UNESP – Campus de Ilha Solteira, para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica. Área de Conhecimento: Automação. Ilha Solteira – SP Abril/2008 FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira. Silva Filho, Elson Borges da. S586e Estudo de campo elétrico em linha de transmissão utilizando o método dos elementos de contorno / Elson Borges da Silva Filho -- Ilha Solteira : [s.n.], 2008 207 f. : il. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2008 Orientador: Luiz Fernando Bovolato Bibliografia: p. 154-155 1. Métodos de elementos de contorno. 2. Linhas elétricas aéreas. 3. Campos elétricos. 4. Maxwell, Equações de. DEDICATORIA Dedico este trabalho aos meus pais, Elson Borges e Marieta Parreira e aos meus irmãos, Lívia e Vinícius. AGRADECIMENTOS Ao Prof. Luiz Fernando Bovolato pela atenção esclarecedora, transmitindo tranqüilidade e confiança para a continuidade do trabalho. A ele gostaria de expressar minha gratidão pela compreensão e amizade oferecidas e admiração pelo caráter e profissionalismo incontestável. Aos professores do Programa de Engenharia Elétrica e Matemática pela colaboração extra quando necessitei de seus conhecimentos. Aos amigos e companheiros Rogério Marcos, Fernando Brandão, Fábio Durão, Wilson Borges e Esrom Afonso pelos momentos compartilhados, pela amizade e pela ajuda prestada. A CAPES, pelo apoio financeiro desta pesquisa. Aos amigos que adquiri, como um prêmio extra. Aos meus pais Elson e Marieta e irmãos Lívia e Vinicius pela compreensão e estimulo fundamental a conclusão desta etapa na minha carreira profissional. A Deus que está nos abençoando com este projeto. OBJETIVO DESTE TRABALHO O objetivo deste trabalho é estudar o campo elétrico utilizando o método dos elementos de contorno e também desenvolver o método para o cálculo de potencial escalar elétrico e campo elétrico, que será utilizado para cálculo de campos em linhas de transmissão. Resumo Este trabalho analisa a aplicação em linhas de transmissão do método dos elementos de contorno para cálculo de potencial e campo elétrico, com um enfoque em eletrostática. O método dos elementos de contorno baseia-se numa formulação integral que elimina a discretização do domínio, restando apenas o contorno, permitindo o cálculo do potencial e do campo elétrico no contorno e na região estudada. O trabalho configura-se como uma revisão sobre eletrostática, ressaltando as equações de Laplace e Poisson, que serão utilizadas para encontrar as equações integrais do contorno. Há também vários tópicos relacionados ao campo elétrico de linhas de transmissão, bem como, ás normas brasileiras e recomendações internacionais que devem ser utilizadas no projeto de linhas de transmissão. O método dos elementos de contorno utiliza tais equações integrais para encontrar o potencial e o campo no contorno, e após conhecidos o potencial e o campo no contorno, pode-se aplicar o método em todo o domínio, obtendo o potencial e o campo. Para isso, apenas o contorno do domínio de interesse deve ser discretizado, o que trás uma enorme vantagem sobre os métodos que utilizam formulação diferencial. Neste trabalho, serão descritas as principais características do código computacional desenvolvido e suas sub-rotinas mais importantes. Para validar o programa, os resultados serão comparados com aqueles calculados por um procedimento analítico, sendo mostrada a eficiência da discretização do solo. São apresentados os resultados obtidos da análise do campo elétrico gerado por algumas silhuetas de linhas de transmissão. Os valores do campo elétrico gerado por estruturas compactas são comparados com estruturas convencionais e estruturas reduzidas (semi-compactas), também serão comparados os valores do gradiente de potencial na superfície dos condutores e suas capacitâncias equivalentes. Palavras-chave: Método dos Elementos de Contorno (MEC), linhas de transmissão, campo elétrico, potencial elétrico, linhas compactas, equações de Maxwell. Abstract This paper analyses the application in transmission lines of the Boundary Element Method (BEM) of the calculation of potential and electric field, with a focus on electrostatic. The Boundary Element Method is based on an integral formulation that eliminates the discretisation of the domain, remaining only the contour, allowing the calculation of the potential and the electric field in the contour and in the region studied. The work is configured as revision on electrostatic, underscoring the equations of Laplace and Poisson, which will be used to find the integral equations of the contour. There are also several topics related to the electric field of transmission lines, as well as to the standards Brazilian and international recommendations to be used in the design of transmission lines. The Boundary Element Method uses such integral equations for finding the potential and electric field in the contour, and after having known the potential and electric field in the contour, the BEM can be applied in the whole domain, and getting the potential and electric field. Therefore, only the contours of the domain of interest should just be discretized, which backward an enormous advantage on the methods that use formulation differential. This paper will describe the main characteristics of computer code developed and their sub-routines more important. To validate the program, the results will be compared with those calculated by an analytic procedure, being shown the efficiency of discretisation of the soil. The results obtained from analysis of the electric field generated by some silhouettes of transmission lines are presented. The values of the electric field generated by compact structures are compared with conventional structures and reduced structures, also will be compared the values of the gradient of potential on the surface of the conductors and their equivalents capacitances. Keywords: Boundary Element Method (BEM), transmission line, electric field, electric potential, compact line, Maxwell equation. LISTA DE SÍMBOLOS � � Operador nabla ou del 2� � Operador Laplaciano E � Derivada do potencial em relação à direção normal (intensidade do campo elétrico) D � Densidade de fluxo elétrico H � Intensidade de campo magnético J � Densidade de corrente elétrica B � Densidade de fluxo magnético o� � Constante de permissividade do vácuo ou absoluta, igual a 8,859e-12 F/m � � Constante de permissividade do meio r� � Constante de permissividade relativa ao meio V ou U � Diferença de potencial ou potencial � � Densidade de carga � � Domínio � � Contorno *V � Solução fundamental do potencial elétrico P � Ponto de observação i � Ponto de aplicação da função impulsiva ou ponto fonte Q ou q � Carga elétrica C � Capacitância h � Altura do condutor ao solo Du � Distância, em metros, numericamente igual a tensão a � Distância básica, em metros, obtida da Tabela (2.4) hs � Altura de segurança LISTA DE ABREVIAÇÕES E SIGLAS MEC � Método dos Elementos de Contorno MDF � Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo MEF � Método dos Elementos Finitos MSC � Método de Simulação de Carga TLM � Método Matricial das Linhas de Transmissão MoM � Método dos Momentos ICNIRP � International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection IRPA � International Radiation Protection Association ACGIH � American Conference of Governmental Industrial hygienists ABNT � Associação Brasileira de Normas Técnicas ABRICEM � Associação Brasileira de Compatibilidade Eletromagnética NBR � Norma Brasileira NR � Norma Regulamentadora do Ministério do Trabalho OMS � Organização Mundial da Saúde RI � Radio Interferência RA � Ruído Audível CAA � Cabo de Alumínio com Alma de Aço Dif. % � Diferença percentual SUMÁRIO CAPÍTULO 1: Introdução 1 1.1 Objetivo e justificativa 4 1.2 Idéia básica do Método dos Elementos de Contorno (MEC) 5 1.3 Organização do trabalho 9 CAPÍTULO 2: Campo elétrico em linhas de transmissão 11 2.1 Equações de Maxwell 11 2.2 Equações de Laplace e Poisson 13 2.3 Condições de contorno 15 2.4 Campo elétrico em uma linha de transmissão 17 2.5 Superfície eqüipotencial de uma linha de transmissão 20 2.6 Carga elétrica de uma linha de transmissão 22 2.7 Efeito da terra no campo elétrico de uma linha de transmissão 23 2.8 Nível de campo elétrico 27 2.8.1 Normas e recomendações brasileiras 28 2.8.2 Recomendações ICNIRP 29 2.8.3 Recomendações da IRPA 31 2.9 Alturas e distâncias de segurança 32 2.10 Medição de campo elétrico em linhas de transmissão 35 2.11 Revisão do capítulo 37 CAPÍTULO 3: Formulação da Equação Integral do Contorno 38 3.1 Método dos resíduos ponderados 39 3.1.1 Formulação fraca 44 3.2 Métodos de solução da equação integral 45 3.2.1 Método de contorno 46 3.3 Método dos pontos de colocação 47 3.4 Solução fundamental 49 3.4.1 Validade da solução fundamental 52 3.5 A equação integral para o cálculo de V e E 55 3.6 Revisão do capítulo 62 CAPÍTULO 4: O Método dos Elementos de Contorno 63 4.1 Discretização do contorno 63 4.1.1 Aproximação das variáveis do problema 68 4.1.1.1 Aproximação constante 69 4.1.1.2 Aproximação linear 70 4.1.1.3 Aproximação quadrática 72 4.1.2 Tratamento de vértices da geometria 74 4.2 Transformação das equações integrais em equações algébricas 77 4.3 Sistema de equações 79 4.4 Obtenção das variáveis no domínio 80 4.5 Domínios infinitos 81 4.6 Métodos de integração 82 4.6.1 Integração numérica 83 4.6.2 Integração analítica 85 4.6.2.1 Integração com aproximação constante do contorno 88 4.6.2.2 Integração com aproximação linear do contorno 89 4.6.3 Cálculo da integral de domínio 91 4.7 Revisão do capítulo 92 CAPÍTULO 5: Implementação computacional 93 5.1 Idéia básica do programa 93 5.2 Considerações sobre a implementação computacional 94 5.2.1 Domínio em estudo 94 5.2.2 Geometria do contorno 95 5.2.3 Discretização do contorno 95 5.2.3.1 Exemplo de discretização 96 5.2.4 Montagem das matrizes 98 5.2.5 Resolução do sistema de equações FAX � 98 5.2.6 Cálculo das incógnitas fora do contorno 99 5.3 Descrição do programa computacional 99 5.3.1 Definição do arquivo de entrada 100 5.3.2 Definição do arquivo de saída 101 5.4 Sub-rotinas 102 5.4.1 Sub-rotina CALCONT 105 5.4.2 Sub-rotina INTANALITICA 107 5.4.3 Sub-rotina INTNUMERICA 108 5.4.4 Sub-rotina METGAUSS 110 5.4.5 Sub-rotina CALCPOTCAMP 112 5.5 Revisão do capítulo 114 CAPÍTULO 6: Validação do programa 115 6.1 Método analítico do cálculo do potencial e campo elétrico 115 6.2 Linha bifilar 117 6.3 Linha de transmissão trifásica 126 6.3.1 Método das imagens e discretização do solo 131 6.3.2 Largura da faixa do solo a ser discretizada 133 6.4 Revisão do capítulo 134 CAPÍTULO 7: Linhas compactas 135 7.1 Justificativa a compactação 135 7.2 Estruturas convencionais e compactas 136 7.3 Resultado das comparações 140 7.3.1 Gradiente de potencial elétrico na superfície do condutor 141 7.3.2 Capacitância dos condutores 144 7.3.3 Campo elétrico ao nível do solo 146 7.3.4 Solo plano perfeito e solo irregular 149 7.4 Revisão do capítulo 150 CAPÍTULO 8: Conclusão 152 Referências Bibliográficas 154 APÊNDICES APÊNDICE A – Arquivo de entrada do programa CALCMEC 156 APÊNDICE B – Arquivo de saída do programa CALCMEC 163 APÊNDICE C – Silhuetas de estruturas 169 APÊNDICE D – Solução por meio do método de contorno 177 APÊNDICE E – Exemplo numérico do programa CALCMEC 181 APÊNDICE F – Programa em Matlab para discretização dos condutores 205 Capítulo 1 1 CAPÍTULO 1: Introdução A utilização de linhas de alta tensão dentro de áreas urbanas é um problema presente em todas as grandes cidades. Sendo assim, é muito importante conhecer o campo elétrico ao redor dos isoladores, da torre de transmissão e no nível do solo. A compactação de linhas de transmissão de 138 kV e 69 kV, além de considerável economia de investimento, justifica-se pelo crescente uso desse nível de tensão como tensão de subtransmissão em zonas urbanas e suburbanas, onde as faixas de servidão, fatores ambientais e limites de campos podem tornar-se fatores de grande importância. O campo elétrico gerado por linhas de transmissão aéreas deve ser estimado na fase de projeto da linha, sendo que a intensidade desse campo não deve exceder os valores máximos admissíveis para ambientes urbanos. A distribuição de tal campo depende dos parâmetros da linha de transmissão e podem também depender da região que envolve a linha. Outro fato que leva à necessidade do cálculo de campos eletromagnéticos é a interferência em elementos externos à linha, como linhas férreas, oleodutos, gasodutos, entre outros. A indução de tensão em tais elementos pode causar grandes danos e colocar vidas em risco. A maioria dos problemas que necessita do cálculo do campo elétrico apresenta complexidade geométrica, sendo esses problemas descritos por leis complexas. Assim sendo, as soluções analíticas dos mesmos, que correspondem às soluções exatas, são praticamente Capítulo 1 2 impossíveis de serem obtidas em decorrência da complexidade geométrica, sendo então necessária a obtenção de soluções aproximadas por meio de métodos numéricos, onde também são feitas simplificações nas leis constitutivas dos materiais e em suas geometrias. Os métodos numéricos empregados como ferramentas básicas na elaboração de modelos computacionais sempre foram os métodos das diferenças finitas e dos elementos finitos, desenvolvidos já há algum tempo. O método dos elementos de contorno e a sua aplicação como uma alternativa para a obtenção de soluções numéricas em quase todos os campos da engenharia representa um avanço significativo que ocorreu nessa área do conhecimento nos últimos anos. Em muitos problemas, comprovadamente, esse método é uma alternativa mais precisa que permite a obtenção de respostas mais confiáveis quando comparadas com os métodos usuais, sendo que em algumas aplicações as equações integrais são representações exatas do modelo matemático utilizado para representar o problema físico (BREBBIA; DOMINGUEZ, 1992). A resolução de problemas práticos de engenharia por meio da modelagem matemática dos fenômenos físicos envolvidos sempre foi uma tarefa de difícil implementação. Com o surgimento dos computadores, a análise e solução desses problemas foram profundamente modificadas pelo desenvolvimento dos computadores associado aos avanços das técnicas numéricas, tornando-se de grande auxilio nesse aspecto. Tornou-se mais barato e rápido analisar um modelo do que construir vários protótipos. Na engenharia, alguns dos principais métodos numéricos utilizados são (POUZADA, 1999): Método das Diferenças Finitas (MDF) e o Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (FDTD em Inglês); Capítulo 1 3 Método dos Elementos Finitos (MEF); Método Matricial das Linhas de Transmissão (TLM em Inglês); Método de Simulação de Carga (MSC); Método dos Elementos de Contorno (MEC); Todas essas técnicas podem ser vistas como versões particularizadas de uma abordagem bem mais geral do Método dos Resíduos Ponderados, ou ainda do Método dos Momentos (MoM) (POUZADA, 1999). Cada método foi aplicado inicialmente em diferentes campos da engenharia: FDTD e TLM surgiram na engenharia elétrica; MEF e MEC surgiram na engenharia mecânica e civil. As diferenças entre eles consistem na utilização de diferentes funções de ponderação e no número de integrais por partes efetuadas na equação do problema. Cada método tem sua particularidade, que pode torná-lo mais conveniente que o outro para uma determinada situação. Uma maneira de classificar esses métodos diz respeito à abordagem, que pode ser diferencial ou integral. Isso influi diretamente no tipo de discretização que é feita. Métodos diferenciais necessitam fazê-la em toda a região estudada. O método dos elementos de contorno que tem por sigla MEC, é um método de formulação integral. Em particular, para aplicações de engenharia elétrica, a literatura tem indicado o sucesso da utilização do MEF para problemas de domínio fechado e o MSC para os problemas de domínio aberto, e na grande maioria dos casos, para problemas onde apenas um material dielétrico é envolvido na modelagem. O MEC também tem sido aplicado na resolução de problemas da área elétrica de domínio aberto quando mais de um material dielétrico é envolvido (BECKER, 1992). Capítulo 1 4 1.1 – Objetivo e justificativa O objetivo deste trabalho é desenvolver um estudo da intensidade do campo elétrico de linhas de transmissão em zonas urbanas e suburbanas, fazendo uma comparação entre as estruturas convencionais e compactas utilizadas atualmente. Para isso, será utilizado o Método dos Elementos de Contorno (MEC) para obter numericamente o campo elétrico. Serão analisadas linhas de transmissão da classe de tensão 69 kV e 138 kV, considerando a menor altura dos condutores onde se encontra os maiores valores de campo elétrico. A necessidade de se calcular o campo elétrico no nível do solo se deve à utilização com maior freqüência, de estruturas compactas na construção das linhas mencionadas, muitas vezes com faixas de passagem reduzidas ou inexistentes. Também estudos que mostram se a intensidade do campo elétrico gerado por essas linhas compactas está dentro das normas brasileiras. Para essa análise serão consideradas várias configurações de condutores normalmente utilizados em estruturas compactas. Para esse fim, foi desenvolvida uma ferramenta computacional baseada no Método dos Elementos de Contorno. Isso permite sua aplicação a problemas bidimensionais. O Método dos Elementos de Contorno permite que o campo e o potencial elétrico gerado pelas linhas sejam encontrados por meio da resolução de integrais de forma numérica. A utilização do MEC nesse trabalho é justificada por tal método ser uma ferramenta nova e de pouca utilização na engenharia elétrica, mas que tem grandes vantagens quando aplicada a problemas que envolvam domínios infinitos ou semi-infinitos. Capítulo 1 5 1.2 – Idéia básica do MEC A maioria dos problemas de engenharia apresenta complexidade geométrica, sendo esses problemas descritos por leis bastante complexas. Os métodos numéricos empregados como ferramentas básicas na elaboração de modelos computacionais sempre foram os métodos das diferenças finitas e dos elementos finitos. O método dos elementos de contorno e a sua aplicação como uma alternativa para a obtenção de soluções numéricas em quase todos os campos da engenharia representa um avanço significativo que ocorreu nessa área do conhecimento nos últimos anos. Em muitos problemas, comprovadamente, esse método é uma alternativa mais precisa que permite a obtenção de respostas mais confiáveis quando comparadas com as dos métodos usuais, sendo que em algumas aplicações as equações integrais são representações exatas do modelo matemático utilizado para representar o problema físico (BREBBIA; DOMINGUEZ, 1992). Em aplicações que envolvam domínios não lineares, é necessário a discretização de todo o domínio de estudo. Mas, na grande maioria dos casos, não é necessário discretizar o domínio da estrutura, apenas o contorno da superfície estudada, simplificando com isso a malha da estrutura e facilitando eventuais modificações na malha e diminuindo o tempo de processamento do programa. Uma outra vantagem é que na maioria dos casos, são desnecessárias malhas muito refinadas para obtenção de respostas com boa precisão. O Método dos Elementos de Contorno (MEC) pode ser utilizado na solução de problemas de análise de temperatura, tensão, torção, difusão, escoamento de fluidos, acústica, eletrostática, dentre outros. Ele é particularmente mais indicado em casos de concentração de tensão ou outro tipo de variável, assim como nos casos em que o domínio em estudo estenda- se ao infinito ou semi-infinito. Nesse segundo caso, o uso do MEC facilita bastante a análise, Capítulo 1 6 já que no estudo de uma estrutura em contato com um meio infinito, não é necessário fazer a discretização do meio, mas somente da estrutura em questão (FERNANDES, 2005). O Método dos Elementos de Contorno (MEC), cuja formulação é baseada em equações integrais, surgiu há pouco mais de 30 anos. Porém, desde o início do século passado, a partir do trabalho de Fredholm (1903), as equações integrais são utilizadas para a solução de alguns problemas físicos. Na década de sessenta, surge à primeira formulação do método dos elementos de contorno dita indireta, de autoria de Kupradze (1965), aplicada a problemas potenciais elásticos, citado por Fernandes (2005). Somente a partir de 1967, com a publicação do primeiro artigo sobre a formulação direta do método das equações integrais de contorno, para problemas elásticos bidimensionais, de autoria de Rizzo (1967), é que os métodos integrais começam a despertar interesse na comunidade científica. A generalização do método para sua utilização ampla em problemas de engenharia ocorre com o trabalho de Lachat (1975), quando as técnicas de resolução das equações integrais começam a ser vistas como métodos numéricos (citado por FERNANDES, 2005). O método passa a ser conhecido como Método dos Elementos de Contorno, com a publicação do primeiro livro pelo professor Brebbia (1978), onde o autor formula o método a partir do método dos resíduos ponderados, usando uma função ponderada conveniente (FERNANDES, 2005). O método dos elementos de contorno é principalmente utilizado nas áreas da engenharia civil e da mecânica. Apesar do MEC se apresentar como uma formulação alternativa ao método dos elementos finitos, principalmente por causa de necessitar de discretizar apenas o contorno da região estudada, e com isso abaixar a ordem da dimensão do Capítulo 1 7 problema, ele ainda não é tão utilizado quanto o FEM. O MEC conta com um centro de pesquisas, o Wessex Institute of Technology, localizado em Southampton, Inglaterra, que atua como forte divulgador e patrocinador do assunto. Até o presente momento, a pesquisa bibliográfica não apresenta nenhuma dissertação de mestrado e tese de doutorado no Brasil relacionada à aplicação do MEC em linhas de transmissão. São encontrados alguns trabalhos com aplicação em guias de ondas e microondas. Krajewski (1997) apresenta um dos principais artigos dirigido ao cálculo do campo elétrico utilizando o MEC, sendo o método empregado para uma análise da vizinhança de linhas de transmissão de alta tensão em corrente alternada, considerando a influência de estruturas próximas à linha e irregularidades na superfície do solo. Zhao e Comber (2000) utilizaram o MEC para o cálculo do campo elétrico em isoladores de linhas de transmissão, considerando o efeito da torre, dos condutores e dos anéis de corona. Foram modelados separadamente os isoladores, sem levar em conta o efeito das torres e condutores. Zhang et al. (2006) utilizaram o MEC acoplado a outros métodos para o cálculo do campo elétrico em isoladores de linhas de transmissão de alta tensão. O MEC foi acoplado ao método de simulação de carga para o cálculo do campo elétrico na torre e nos isoladores. Para tanto, o MEC foi usado no cálculo dos isoladores e o MSC foi utilizado para o cálculo da estrutura da torre. Os métodos de contorno têm algumas vantagens importantes sobre os métodos de domínio (BREBBIA; DOMINGUEZ, 1992): Capítulo 1 8 Trabalha unicamente com o contorno do domínio de cálculo. É muito mais simples definir o contorno que definir o domínio completo. Em particular, o MEC só requer a discretização do contorno, trazendo uma redução da dimensão do problema com respeito ao MEF e MDF; Pode trabalhar muito mais facilmente com problemas que envolvem domínios infinitos; O mesmo grau de precisão é obtido nas duas variáveis duais do problema (por exemplo: deslocamentos e tensões, potenciais e fluxos, potenciais elétricos e campo elétrico, etc.). Por outro lado, os métodos de contorno trabalham com os valores das funções incógnitas no contorno. Então, para se calcular os valores em pontos do domínio, é necessário estabelecer um algoritmo complementar. Resumidamente, o MEC consiste em obter a solução das equações diferenciais que descrevem o comportamento de um corpo no seu domínio, por meio da solução de equações integrais sobre o contorno. Isso reduz de uma unidade as dimensões de problemas lineares analisados e resulta em uma menor quantidade de dados de entrada. Conseqüentemente, há uma menor quantidade de equações algébricas. Por outro lado, a matriz do sistema é geralmente cheia e não simétrica. Para obter a equação integral de contorno que possibilita a análise do problema, o MEC necessita de uma solução fundamental. Essa solução fundamental representa a resposta em um ponto do domínio infinito devido à aplicação de força unitária em outro ponto do mesmo domínio. A utilização de uma solução fundamental, que genericamente pode ser classificada como uma desvantagem, na verdade proporciona versatilidade e precisão ao método (BECKER, 1992). Capítulo 1 9 O MEC tem uma grande aplicação em problemas cujos domínios são estendidos ao espaço infinito (ou semi-infinito). Nesses casos, a rede de elementos utilizada pelo MEC na discretização do contorno necessita discretizar apenas um parte desse contorno, uma vez que a solução fundamental utilizada no método já contempla a influência do infinito ou semi- infinito. Ou seja, não é necessário considerar nos cálculos um contorno fictício para representar o domínio infinito, sendo que esse contorno fictício viria a influenciar nos cálculos. Outros métodos, como por exemplo, o Método dos Elementos Finitos (MEF), utilizam contornos fictícios para representar o domínio infinito. Isso pode causar sérios erros nos resultados numéricos, sobretudo em aplicações onde ondas podem ser refletidas por tais contornos. 1.3 – Organização do trabalho O capítulo 2 apresenta uma revisão bibliografia sobre eletromagnetismo com ênfase em eletrostática. Faz considerações e mostra como é feito o cálculo do campo e do potencial elétrico para uma linha de transmissão. Também apresenta vários tópicos relacionados às normas brasileiras e recomendações internacionais a respeito de limite de campo elétrico, voltadas para linhas de transmissão. No capítulo 3 é feita à formulação teórica do método para a obtenção da equação integral de contorno. Para isso é feita a abordagem de vários conceitos utilizados. O capítulo 4 aborda os métodos de discretização do contorno, mostrando como se obtêm o sistema de equações e os métodos para resolver esse sistema. Também trata de Capítulo 1 10 tópicos relacionados com o MEC. São apresentados os métodos de integração utilizados para resolver as integrais de contorno. O capítulo 5 apresenta o funcionamento do programa desenvolvido, mostrando as subrotinas utilizadas na implementação computacional do método dos elementos de contorno baseada na solução da equação integral de contorno. No capítulo 6 é feita a validação do programa desenvolvido, comparando os seus resultados com resultados obtidos com um procedimento analítico. Também são feitas comparações entre a aplicação do método das imagens com o método da discretização do solo. No capítulo 7 são apresentados alguns resultados das comparações entre as estruturas com espaçamento convencional e compacto, sendo analisadas a intensidades do campo elétrico, do gradiente de potencial na superfície do solo e da capacitância equivalente. No capítulo 8 são apresentadas as conclusões sobre o trabalho. Nos apêndices A, B e C são apresentados, respectivamente, os arquivos de entrada de dados, o arquivo de saída de dados e as silhuetas das estruturas analisadas. No apêndice D esta um exemplo de solução por meio do método de contorno. No apêndice E, há um exemplo de como o programa desenvolvido calcula o valor do campo elétrico em uma superfície. Nesse exemplo, foram mostrados passo a passo todos os cálculos efetuados pelo programa. No apêndice F, há um programa em Matlab para a discretização dos condutores para ser montado o arquivo de entrada. Capítulo 2 11 CAPÍTULO 2: Campo elétrico em linhas de transmissão Nesse capítulo, são apresentadas as equações de Maxwell, as equações de Laplace e as equações de Poisson (SHADIKU, 2004). Também vários tópicos relacionados ao campo elétrico em linhas de transmissão, as normas brasileiras e as recomendações internacionais que devem ser utilizadas no projeto de linhas de transmissão. Serão abordados tópicos relacionados ao cálculo do campo e potencial elétrico, limite de campo elétrico, altura e distâncias de segurança. O direcionamento será para a área de eletrostática, não sendo abordada a área de magnetostática. O cálculo de campo e potencial elétrico são utilizados durante o desenvolvimento de projetos de linhas de transmissão, devido à necessidade de se respeitar os limites estabelecidos dos níveis de campo e potencial elétricos nas vizinhanças de linhas e equipamentos. 2.1 – Equações de Maxwell Maxwell (1864) propôs uma das teorias mais importante dentro da história de ciência. Na Royal Society, ele apresentou novas equações que resumiam todas as leis conhecidas da eletricidade e do magnetismo. Seu postulado ainda é considerado uma teoria completa de eletromagnetismo macroscópico (SHADIKU, 2004). Capítulo 2 12 As equações de Maxwell, na forma diferencial, são escritas como sendo: t ���� B� (2.1) �� � D (2.2) t ���� JH 0� � B D (2.3) (2.4) Também podem ser introduzidas as equações para o meio homogêneo, isotrópico e linear: ED �� HB (2.5) �� EJ (2.6) �� (2.7) Assim, têm-se as relações de eletromagnetismo. No entanto, se forem consideradas condições quase estáticas, ou seja, campos senoidais de baixa freqüência é possível estudar separadamente a eletricidade do magnetismo. Nessas condições as equações de Maxwell podem ser reescritas da seguinte forma: (2.8) 0� ��� �� � D JH ��� 0� � B (2.9) (2.10) (2.11) Capítulo 2 13 As equações (2.8) e (2.9) definem o problema eletrostático, enquanto que as equações (2.10) e (2.11) caracterizam o problema magnetostático. Observa-se que o conjunto de equações são independentes. Isso só é possível em problemas de campos quase estacionários. Em problemas em que a variação do tempo é considerada, qualquer mudança no campo elétrico vai estar associada à outra no campo magnético e vice-versa. 2.2 – Equações de Laplace e Poisson As equações de Laplace e Poisson resultam em um método em que o potencial elétrico V pode ser encontrado, por meio das condições de contorno do condutor. Para a eletrostática, as leis que regem o campo e o potencial elétricos podem ser desenvolvidas a partir da relação entre a densidade de fluxo elétrico (equação (2.9)) e o campo elétrico (equação (2.5)). Substituindo a equação (2.5) na equação (2.9), obtém-se: � � � � E (2.12) Considerando um campo eletrostático conservativo � �0� ��� , no qual, o campo elétrico pode ser definido em termos de potencial escalar elétrico, tem-se (SHADIKU, 2004): (2.13) V���E Substituindo a equação (2.13) na equação (2.12), tem-se: � � �� ��� � V (2.14) Capítulo 2 14 A equação (2.14) é para um meio não homogêneo. Para um meio homogêneo, têm-se: � � � � ��� � V (2.15) � � ��� V2 (2.16) ou � � �� � � �� 2 2 2 2 2 2 2 z V y V x VV (2.17) Sendo que � pode representar uma distribuição linear, superficial ou volumétrica de carga. A equação (2.16) é a equação de Poisson que define a distribuição de potencial elétrico V. Para obter a solução dessa equação é necessário que as condições de contorno sejam conhecidas. Ou seja, os potenciais impostos nas fronteiras do domínio, bem como as cargas estáticas, devem ser conhecidas. Em situações em que não há carga estática � �0�� , a equação (2.9) torna-se: (2.18) 0� � D Considerando que � é constante em toda a região para a qual V é definido, a equação (2.18) torna-se: (2.19) 02 �� V A equação (2.19) é conhecida como equação de Laplace, sendo que nesse caso as fontes geradoras de campo elétrico são obrigatoriamente as condições de contorno. Capítulo 2 15 A equação de Laplace pode ser expressa em termos de derivadas parciais em coordenadas cartesianas: 02 2 2 2 2 2 � � � z V y V x V (2.20) As equações (2.17) e (2.20) mostram que as equações de Laplace e de Poisson são equações diferenciais de segunda ordem. Em situações que envolvem geometria complexa e diferentes materiais, a solução analítica dessa equação não pode ser encontrada, em decorrência dessas razões apresentadas. Nesse caso deve-se utilizar métodos numéricos para a obtenção das soluções (SHADIKU, 2004). A formulação da equação integral do contorno será feita levando em conta a equação de Poisson, mas após isto � será considerada nula (equação de Laplace), admitindo-se que o domínio está em uma região do espaço livre, sem fontes e que a região é homogênea, isotrópica e linear. Obtêm-se, então: (2.21) (2.22) 0� � D 02 �� V 2.3 – Condições de contorno Nesse item, serão mostradas as diferenças entre as condições de contorno existentes nas superfícies dos sólidos. Suponha um contorno qualquer onde em toda a sua extensão estejam disponíveis duas variáveis (campo e potencial elétricos). Divide-se o contorno � em duas partes � �21 e �� , Capítulo 2 16 admitindo que em 1� o valor do potencial elétrico seja conhecido e no o valor do campo elétrico E seja conhecido. V 2� Obrigatoriamente em todo o contorno pelo menos uma variável tem que ser conhecida em cada ponto, de modo que ao ser feita a discretização e os pontos nodais forem definidos, em cada ponto têm-se duas variáveis, sendo apenas uma incógnita (Figura 2.1). Dessa forma, tem-se: �� chamada de condição de contorno essencial ou de Dirichlet; � 1VV em ��� E � em n VE 2 chamada de condição de contorno natural ou de Neumann; Sendo que V representa o potencial elétrico conhecido e E o campo elétrico conhecido. Figura 2.1 - Definição das condições de contorno de Dirichlet e Neumann. Para melhor definir as condições de contorno, considere um capacitor de placas paralelas, estando suas placas separadas por um dielétrico que tem permissividade relativa r� . Fazendo a discretização do dielétrico, pode-se definir o potencial elétrico nos pontos alocados Capítulo 2 17 sobre as placas do capacitor e definir o campo elétrico na lateral do dielétrico, como sendo nulo, para isso considera-se que não há dispersão do campo nas bordas (Figura 2.2). Figura 2.2 – Condições de contorno em um capacitor de placas paralelas. 2.4 – Campo elétrico em uma linha de transmissão Os condutores das linhas de transmissão energizadas apresentam diferenças de potencial entre si e o solo. Quando as linhas são energizadas, os condutores absorvem da fonte a energia necessária para o seu carregamento, do mesmo modo que um capacitor. As linhas carregadas com cargas elétricas distribuídas ao longo dos condutores e sendo a tensão senoidal, a carga elétrica nos cabos em um ponto qualquer varia de acordo com valores instantâneos das diferenças de potencial aí existentes entre condutores ou entre o condutor e o solo (FUCHS, 1977). Para o estudo de uma linha de transmissão é importante mostrar uma formulação específica para uma distribuição de cargas em uma linha. Deve-se ressaltar que a linha de transmissão pode ser resumida a uma distribuição linear de carga infinita (SHADIKU, 2004). Apesar de o enfoque estar sendo dado à eletrostática, o mesmo estudo pode ser direcionado a uma linha de transmissão. Nesse caso, considera-se que a corrente elétrica que percorre a linha é uniforme e constante, ignorando-se o campo magnético que é produzido. Capítulo 2 18 Isso pode ser feito devido à baixa freqüência do sistema. Desse modo, pode-se considerar um momento qualquer para fazer uma análise do campo na linha (SHADIKU, 2004). Para o cálculo do campo, considere uma distribuição linear de carga ao longo do eixo x do condutor, em um sistema de coordenadas cartesianas. �tgyx xyR � �� 222 Figura 2.3 – Decomposição do campo elétrico de uma linha infinita R2 a 4 1 R dqd o�� �E (2.23) R22 a 4 1 xy Ldxd o � � � �� E (2.24) O vetor dE, como a Figura (2.3) mostra, tem as componentes: � � sen cos EEy EEx dd dd � �� (2.25) O valor negativo de dEx indica que que esta grandeza esta orientada no sentido negativo do eixo x. As componentes segundo os eixos x e y do vetor resultante E no ponto são dadas por: Capítulo 2 19 � � � � �� ��� �� ��� ��� ��� x x x x dsend dcosd EEyEy EExEx � � (2.26) A componente Ex deve ser nula porque cada elemento de carga, à direita da normal que passa pelo ponto, tem um elemento simétrico correspondente a esquerda tal que suas contribuições na direção do eixo x é igual e de sentido oposto, de modo que seus efeitos se anulam mutuamente. �� �� � �� ��� ��� x x x x dsendsen 0 2 EEEyE �� � � �� � �� � � � � � x x x xo LL o xy dxsen xy dxsen 0 y 0 22y22 a 2 a 4 12 � �� �� �� �E (2.27) Pela Figura (2.3), pode-se observar que x=y tg� e a derivada é igual à dx=y sec2� d�. y 2 0 22 22 0 y222 2 a )1(2 a 2 �� � � � � � � � � �� � �� � � ��� �� � � ��� �� � tgy dsecysen tgyy dsecysen o L o LE (2.28) 1;�tg�sec sendo 22 �� y 2 0y 2 0 y 2 0 y a)10( 2 |a 2 a 2 a 2 � � � � ��� � � � � � � �� y cos y dsen yy dsen o L o L o L o L �� �� �� ��� �� ��� �� � �� � �� � �� � E ���� � �� � a 2 a 2 y o L o L y ��E (2.29) Onde y é a distância perpendicular à linha da distribuição de carga até o ponto de interesse (raio), e em coordenadas cilíndricas é chamado de �. Observe que o ângulo � é que define a dimensão infinita da linha. Caso a linha fosse finita, haveria apenas alterações no ângulo � . Capítulo 2 20 Nota-se que o campo diminui inversamente com a distância, enquanto que para a carga pontual, o campo cai inversamente com o quadrado da distância. Ressalta-se ainda ao se deslocar uma carga puntiforme de um ponto de potencial mais baixo para um ponto de potencial mais elevado, realiza-se trabalho. O valor desse trabalho é numericamente igual à diferença de potencial entre os pontos considerados. A equação (2.29) foi obtida da Lei de Coulomb, mas ela poderia ter sido obtida por meio da lei de Gauss. 2.5 – Superfície eqüipotencial de uma linha de transmissão Uma superfície eqüipotencial nada mais é do que um trajeto em torno de uma carga sobre a qual todos os pontos estão ao mesmo potencial elétrico. A Figura (2.4a) mostra uma superfície eqüipotencial considerando duas cargas de mesmo sinal. A Figura (2.4b) mostra uma superfície eqüipotencial considerando duas cargas de sinal oposto. (a) (b) Figura 2.4 – Superfícies eqüipotenciais: (a) duas cargas iguais, de mesmo sinal; (b) duas cargas iguais, de sinais diferentes. Capítulo 2 21 A diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B, , é definida como o trabalho para se mover uma carga unitária positiva de A para B em um campo elétrico. ABV ����� Final Inicial l.W d Q VAB E (2.30) Ao dividir o trabalho pela carga na equação (2.30), resulta no valor do trabalho por unidade de carga, que pode ser expresso por joule/coulomb ou como é freqüentemente chamando, volt (V). Observe que se VAB é positivo, existe um ganho de energia ao se movimentar carga de prova entre os dois pontos imersos no campo elétrico da carga Q. Isso significa que o trabalho é feito por uma força externa. Caso VAB seja negativo, existe uma perda de energia e o trabalho é realizado pelo campo. Para uma distribuição contínua de cargas dlL� em uma linha infinita, a soma pode ser substituída por uma integração, tal que o potencial elétrico em r pode ser escrito como: � � �� Linha L dlrrV ' ')'( 2 1)( 0 rr � �� (2.31) Resolvendo a integral da equação (2.31), encontra-se a equação para a diferença de potencial no infinito. � �rln 2 )( 0�� �LrV �� (2.32) Caso seja adotado outro ponto de referencia, cujo potencial será considerado nulo, a equação (2.32) torna-se: Capítulo 2 22 � � CrV L ��� rln 2 )( 0�� � (2.33) Onde C é uma constante determinada pelo ponto de referência cujo potencial é considerado nulo. 2.6 – Carga elétrica de uma linha de transmissão No sistema trifásico, a seguinte condição é assegurada (FUCHS, 1977): 0��� CBA VVV (2.34) Sendo que, no instante em que tem seu valor máximo Vmax, a carga no condutor A também será máxima, isto é, Qmax, enquanto que nos condutores b e c, as tensões serão, respectivamente, aV max2 1VVV CB ��� e as cargas max2 1 QQQ CB ��� . Ao se considerar 120° elétricos depois, tem-se , logo maxVVB � maxQQB � e max2 1VVV BA ��� , e assim sucessivamente. A relação entre carga elétrica Q e tensão é dada por: VCQ � (2.35) Nesse caso, a capacitância depende apenas da estrutura da linha, ou seja, da disposição dos condutores, dos cabos pára-raios, das alturas e das distâncias entre condutores, do número de condutores e subcondutores, etc. (FUCHS, 1977). Capítulo 2 23 2.7 – Efeito do solo no campo elétrico de uma linha de transmissão Entenda solo e efeito do solo como a superfície do solo e o efeito que o mesmo causa no campo elétrico. O solo altera o campo elétrico da linha de transmissão, influenciando a capacitância. Então, considera-se que o solo é um condutor perfeito, com a forma de um plano de dimensões infinitas, cujos pontos estão a um mesmo potencial. A hipótese do solo representar um condutor plano infinito e eqüipotencial é limitada pelas irregularidades do terreno e pelo tipo de solo (STEVENSON, 1978). No entanto, essa hipótese nos permite entender o efeito de um solo condutor, sendo muito usada nos cálculos da capacitância de linhas de transmissão. A teoria das imagens estabelece que em uma dada configuração formada por uma carga próxima a um plano infinito considerado condutor perfeito de potencial nulo (Figura 2.5), o plano pode ser substituído pela própria imagem das cargas com sinal oposto (Figura 2.6). (SHADIKU, 2004) Figura 2.5 – Cargas sobre um plano infinito condutor perfeito de potencial nulo. Capítulo 2 24 Figura 2.6 – Cargas sobre um plano infinito condutor perfeito de potencial nulo. O Método das imagens consiste em considerar o efeito do solo em um condutor. O método é utilizado para calcular a capacitância da linha, visto que o solo altera o campo elétrico, alternado a capacitância da linha, e influenciando a carga da mesma. O método consiste em se considerar no cálculo da capacitância um condutor de carga igual a da linha, mas de sinal oposto e a uma profundidade da superfície do solo igual a altura do condutor. Tem-se, então, o condutor imagem. Os cálculos são efetuados considerando essa imagem. Esse método pode ser estendido para mais de um condutor. Se forem considerados condutores imagem para todos os condutores reais, o fluxo elétrico entre os condutores e o solo será perpendicular ao plano que substitui o solo, sendo esse plano uma superfície eqüipotencial. Na Figura (2.7), tem-se o desenho das linhas de campo elétrico sem considerar o efeito do solo em uma linha monofásica. E na Figura (2.8), tem-se a mesma linha considerando o efeito do solo na linha de transmissão. Capítulo 2 25 Figura 2.7 – Campo de uma linha sem considerar o efeito do solo. Figura 2.8 – Campo de uma linha considerando o efeito do solo. Capítulo 2 26 Na Figura (2.9), observa-se que as superfícies eqüipotenciais também são influenciadas pelo solo. Ao se levar em conta o efeito do solo no campo elétrico, consegue-se colocar o solo num potencial nulo entre as cargas, condutor e imagem, corrigindo o erro no cálculo do potencial elétrico. Assim na Figura (2.9), o potencial decresce até chegar ao solo e depois começa a aumentar novamente, mas com sinal oposto. Figura 2.9 – Superfície eqüipotencial em uma linha O método da teoria das imagens tem por objetivo reduzir o erro nos cálculos, considerando a solo uma superfície eqüipotencial. Em uma consideração mais próxima da realidade, a distância na qual se considera o condutor imagem pode ser bem mais profunda do que a altura da linha, devido as características do solo abaixo mesma. Capítulo 2 27 2.8 – Níveis de campo elétrico Desde que Wertheimer e Leeper em 1979 pretenderam associar mortalidade por câncer infantil e a proximidade de casas às linhas de distribuição de energia, a comunidade científica internacional iniciou uma cruzada para tentar comprovar essa tese, não alcançando nenhuma conclusão até o momento (ABRICEM, 1999). A preocupação com efeitos da exposição dos seres humanos a campos elétricos e magnéticos é antiga e muitas entidades têm se preocupado em avaliar o assunto, levando ao surgimento de muitas publicações e normas. A principal referência para o assunto no Brasil é a ABNT, na forma da NBR-5422 (ABNT, 1985), que trata de projetos de linhas de transmissão. Existem também as normas regulamentadoras como a NR-9 e NR-15 do Ministério do Trabalho (BRASIL, 1978), que determinam o limite de campo elétrico e magnético para exposição ocupacional. Sendo que hoje existem vários outros projetos de normas que vem sendo elaboradas pela ABNT em conjunto com as empresas. As normas brasileiras, atualmente, não determinam limites para campos magnéticos e pouco regulamentam sobre campos elétricos para o publico geral, sendo que a NBR-5422, norma relativa a projetos de linhas aéreas de transmissão de energia elétrica, determina apenas o limite de campo elétrico no limite da faixa de servidão. Devido a esse fato, nos projetos de linhas de transmissão, são utilizadas recomendações internacionais como as dadas pela International Radiation Protection Association (IRPA). Capítulo 2 28 2.8.1 – Normas e recomendações Brasileiras Como dito anteriormente, a NBR-5422, elaborada em 1985, limita o nível do campo elétrico no limite da faixa de servidão de linhas de transmissão em 5 kV/m, não fazendo qualquer outra referência. Atualmente, a ABNT já tem projeto de outras normas, que deverão regulamentar não só os limites de campo elétrico, como o magnético, de uma forma muito mais completa, atendendo as recomendações da International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection (ICNIRP). Além da NBR-5422, têm-se as Normas Regulamentadoras de Segurança e Saúde no Trabalho (NRs), a NR 9 – Programa de Prevenção de Riscos Ambientais, do Ministério do Trabalho e Emprego (BRASIL, 1978a). Tal norma, no item 9.2.5.1.c, estabelece que para as avaliações quantitativas da exposição dos trabalhadores a riscos ambientais, deverão ser considerados os valores dos limites previstos na NR 15 (BRASIL, 1978b) ou, na ausência desses, os valores limites de exposição ocupacional adotados pela American Conference of Governmental Industrial Hygienists- ACGIH. Como a NR 15, que trata de atividades e operações insalubres, não considera as atividades desenvolvidas pelos trabalhadores nas redes e subestações elétricas como insalubres e não fixa valores limites para campos elétricos e magnéticos para a freqüência de 60 Hz, os valores limites a serem observados para exposições ocupacionais são os da ACGIH conforme estabelecido na NR 9. Tabela 2.1 – Limites de exposição estabelecidos por normas brasileiras. Valores Limites para 60 Hz Campo Elétrico (kV/m) Densidade de Fluxo Magnético (�T) Exposição ocupacional 25(2) 1000(2) Público em Geral 5(1)(2) - (1) – Limite estabelecido pela NBR-5422. (2) – Limite estabelecido pela ACGIH. Capítulo 2 29 Deve-se entender por exposição ocupacional as populações expostas e os trabalhadores da área de energia elétrica que estão, em geral, submetidos a condições conhecidas e preestabelecidas e deverão estar treinados para enfrentar o risco em potencial e adotar as precauções apropriadas. Os valores são considerados para uma exposição máxima durante a jornada de trabalho de 8 horas diárias. O público em geral é constituído por pessoas de todas as faixas etárias e condições distintas de saúde, podendo inclusive incluir grupos ou indivíduos particularmente mais susceptíveis. Na maioria dos casos esse público não tem consciência de sua exposição aos campos elétricos e magnéticos. Então, adota-se restrições mais rigorosas para o público em geral do que em relação a população ocupacional exposta. 2.8.2 – Recomendações da ICNIRP A ICNIRP (International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection) foi criada em maio de 1992, durante o Oitavo Congresso Internacional da IRPA (International Radiation Protection Association) como uma organização científica internacional independente. Essa organização, sucedeu a INIRP (International Non-Ionizing Radiation Committee), que havia sido criada em 1977. Desde esta época, ela vinha desenvolvendo estudos e publicando documentos em colaboração com a Divisão de Saúde Ambiental da Organização Mundial da Saúde (OMS). Esses documentos contêm critérios de saúde e fazem parte do Programa de Critérios de Saúde Ambiental da OMS Capítulo 2 30 As funções da ICNIRP são: investigar os perigos que podem ser associados com as diferentes formas de radiações não ionizantes, desenvolver diretrizes internacionais sobre limites de exposição a radiações não ionizantes e tratar de todos os aspectos de proteção a essas radiações. Em 1998, a ICNIRP revisou estudos anteriores e publicou seu Guidelines for Limiting Exposure to Time-Varying Electric, Magnetic and Electromagnetic Fields (up to 300 GHz) (ICNIRP, 1998), que são diretrizes que estabelecem limites para a exposição humana a campos elétricos e magnéticos para freqüência até 300 GHz. Essas diretrizes foram estabelecidas tomando como base uma detalhada revisão de toda literatura científica publicada sobre efeitos biológicos provocados pela exposição de seres vivos, não apenas humanos, a campos elétricos e magnéticos, incluindo efeitos térmicos e não térmicos. Em 2001, após uma nova revisão de toda literatura científica publicada a ICNIRP manteve os limites publicados. A Organização Mundial da Saúde (OMS) reconhece oficialmente a ICNIRP, e as principais conclusões feitas pela OMS são de que a exposição a campos com intensidades inferiores aos limites recomendados nas diretrizes internacionais dessa comissão não aparenta ter qualquer conseqüência conhecida para a saúde. Os limites de campo elétrico e magnético estão apresentados na Tabela (2.2) para a freqüência de 60 Hz: Tabela 2.2 – Limites de exposição estabelecidos pelo ICNIRP (ICNIRP, 1998). Valores Limites para 60 Hz Campo Elétrico (kV/m) Densidade de Fluxo Magnético (�T) Ocupacional 8,33 417 Público em Geral 4,17 83,3 Capítulo 2 31 2.8.3 – Recomendações da IRPA A IRPA (International Radiation Protection Association), recomenda limites de exposição a campos elétricos e magnéticos de 50 e 60 Hz em função do tempo e tipo de exposição, conforme a Tabela (2.3). Tabela 2.3 – Limites de exposição estabelecidos pela IRPA (TEIXEIRA, 2001). Características de exposição Intensidade de Campo Elétrico (kV/m) Densidade de Fluxo Magnético (�T) Ocupacional Período de Trabalho Integral Períodos Curtos Partes do Corpo 10 30(1) 500 5000(2) 25000 Público em Geral Até 24 horas / dia(3) Poucas Horas por dia(4) 5 10 100 1000 (1) – a duração máxima da exposição ao campo entre 10 e 30 kV/m, pode ser calculada a partir da fórmula t<80/E, onde: t – duração em horas de trabalho, E – intensidade do campo em kV/m. (2) – a máxima duração de exposição é de 2 horas por dia. (3) – restrição aplicável a espaços abertos nos quais os indivíduos do publico em geral possam passar parte do tempo durante o dia. (4) – esses valores podem ser ultrapassados em poucos minutos ao dia, tomadas as precauções com relação às induções indiretas. Capítulo 2 32 2.9 – Alturas e distâncias de segurança As distâncias de segurança são os afastamentos mínimos recomendados que os condutores e acessórios energizados devam manter das demais partes da própria linha de transmissão, do terreno ou dos obstáculos próximos. As distâncias de segurança objetivam evitar a ocorrência de curto-circuito, causado pela aproximação excessiva com os cabos energizados das linhas de transmissão. A altura dos cabos ao solo depende do comprimento das cadeias de isoladores, do valor das flechas máximas dos condutores e das alturas de segurança necessárias. O comprimento da cadeia de isoladores é função do tipo, do número de isoladores e das ferragens que as compõem. As flechas máximas são determinadas em função do vão médio entre as torres da linha, bem como, do tipo de cabo condutor utilizado. A tração a ser usada deve ser calculada para a condição de máxima temperatura, como recomenda a NBR-5422 em seu item 5.2.2. As alturas de segurança (hs) mostradas na Figura (2.10) representam a menor distância admissível entre condutores e o solo em qualquer momento da vida da linha. São fixadas igualmente pela NBR-5422, em seu item 10.2.1.1. Dependendo da classe de tensão da linha e da natureza do terreno ou dos obstáculos por ela cruzados, a referida norma apresenta dois métodos de cálculo dessas distâncias. Um método designado como convencional e um método alternativo, que para sua aplicação depende de uma análise probabilística dos valores máximos das sobretensões a que a linha poderá ser submetida. Capítulo 2 33 Figura 2.10 – Menor distância do condutor ao solo (ABNT, 1985). Para evitar problemas, o projeto das linhas leva em consideração condições especiais que possam implicar em aproximação dos cabos elétricos, como travessias, presença de veículos agrícolas, árvores etc. Tabela 2.4 – Distância básica (ABNT, 1985). Região ou obstáculo atravessado pela linha ou que ela se aproxime Distância básica (a) Locais acessíveis apenas a pedestres 6,0 Locais onde circulam maquinas agrícolas 6,5 Rodovias, ruas e avenidas 8,0 Ferrovias não eletrificadas 9,0 Ferrovias eletrificadas ou com previsão de eletrificação 12,0 Suporte de linha pertencente a ferrovia 4,0 Águas navegáveis H +2,0 Águas não navegáveis 6,0 Linhas de energia elétrica 1,2 Linhas de telecomunicação 1,8 Telhados e terraços 4,0 Paredes 3,0 Instalações transportadoras 3,0 Veículos rodoviários e ferroviários 3,0 Capítulo 2 34 Para cálculo da altura mínima dos suportes, pode-se empregar o método convencional descrito na NBR-5422: 87kVa V parhs ou 87kV V para50 3 Du0,01hs �� �� � � � � � ��� a, ,a (2.36) Sendo: V – tensão máxima de operação da linha, valor eficaz, fase-fase, em kV; Du – distância, em metros, numericamente igual a V; a – distância básica, em metros, obtida da Tabela (2.4), seu valor depende do tipo de obstáculo. Observações: Para altitudes superiores a 1000 metros em relação ao nível do mar, o valor da segunda parcela de hs deve ser acrescido de 3% para cada 300 metros de altitude acima de 1000 metros; Em locais acessíveis somente a pessoal autorizado, podem ser utilizadas distâncias menores que as calculadas pela fórmula básica; No cálculo das distâncias dos condutores à superfície de água navegáveis, H corresponde a altura, em metros, do maior mastro e deve ser fixado pela autoridade responsável pela navegação da via considerada, levando-se em conta o nível máximo de cheia ocorrido nos últimos 10 anos; No cálculo de distâncias verticais de partes de uma linha às de outra linha de transmissão, o valor de Du, na fórmula básica, corresponde a tensão mais elevada das Capítulo 2 35 duas linhas consideradas. Se ambas forem superiores a 87 kV, deve-se calcular a parcela � �50301,0 �Du para ambas e somar-se o resultado das duas tensões ao valor básico de a; As distâncias indicadas para telhados e terraços são validas para os casos em que os mesmo não sejam acessíveis a pedestres. Caso contrário, o espaçamento deve ser de seis metros (6 m). As distâncias devem ainda ser aumentadas convenientemente, se isso se fizer necessário, em vista da existência de equipamentos como guindastes ou andaimes, piscinas, jardins, ou da execução de trabalhos de conservação, extinção de incêndios, etc; No cálculo da distância dos condutores a paredes cegas (equação 2.37), nas quais por acordo entre as partes interessadas, não for permitida a abertura de janelas, portas, etc., ressalvadas as disposições legais pertinentes, a distância mínima pode ser calculada pela fórmula a seguir, adotando-se 0,5 m como o valor mínimo: 150 Duhs � (2.37) A altura mínima dos condutores ao solo tem grande importância não só para a segurança, mas também para o nível do campo elétrico, visto que conforme a altura dminui, a intensidade do campo elétrico aumenta. No caso de linhas que atravessem ruas e avenidas, essa altura torna-se ainda mais importante, devido ao grande fluxo de pessoas. 2.10 – Medição de campo elétrico em linha de transmissão Os locais para medição de níveis de campos elétricos deverão ser previamente selecionados, por meio de avaliação da planta, de forma que seja mapeada a distribuição Capítulo 2 36 desses campos na área a ser avaliada, levando-se em consideração as regiões onde teoricamente se apresentam campos em níveis mais elevados. Esses locais deverão ainda, quando possível, apresentar fácil acesso e localização afastada de outras fontes emissoras eletromagnéticas. Especialmente na avaliação de níveis de campos elétricos, recomenda-se que os pontos de medição apresentem localização afastada de árvores e massas metálicas, que interferem no resultado das medições. Na impossibilidade de se atender a tal premissa, todos os agentes interferentes citados deverão ser identificados e discriminados com suas respectivas características, geometria e locação em relação aos respectivos pontos de medição, para que sejam considerados na avaliação final dos trabalhos (ABRICEM, 2007). Além dos critérios acima, os pontos para mapeamento das linhas citadas deverão ser selecionados em regiões preferencialmente afastadas de ângulos fortes (superiores a trinta graus), transposições ou cruzamentos com outras linhas, que igualmente interferem no resultado das medições. Na impossibilidade do atendimento a essa recomendação, ou quando é desejável a obtenção de níveis máximos de intensidade de campo no ponto selecionado, considerando-se a influência dos agentes citados e a presença de múltiplas fontes geradoras de campos, todos deverão ser também identificados e caracterizados na forma acima citada, para que sejam considerados na avaliação final dos trabalhos. Nesse caso, se necessário, recomenda-se que as medições sejam complementadas por uma avaliação espectral, para que sejam especificamente identificadas e quantificadas as contribuições não pertinentes à fonte avaliada. Sugere-se preferencialmente que os pontos para medição sejam selecionados no meio dos vãos das linhas, onde os campos apresentam magnitudes importantes e não são influenciados por estruturas metálicas que suportam os respectivos condutores. Os campos elétricos e magnéticos deverão ser medidos a uma altura de um metro (1 m) acima do nível do solo, para comparação com os níveis de segurança recomendados. Capítulo 2 37 Eventualmente, poderão ser realizadas medições a 1,70 m acima do solo, altura compatível com os membros superiores da escala humana. Em áreas urbanas e regiões habitadas ou com circulação, bem como, com concentração de público, contíguas às linhas de transmissão e subtransmissão, os pontos para mapeamento das áreas citadas deverão ser selecionados considerando-se as condições mencionadas dos locais, tais como praças, avenidas, etc., além de residências, escolas, clubes, hospitais, igrejas, etc. 2.11 – Revisão do capítulo Nesse capítulo, foram apresentadas expressões matemáticas para a modelagem de fenômenos eletromagnéticos, sendo utilizadas as equações de Maxwell para a condição estática, consideradas nos próximos capítulos. Apresentou-se a diferença entre as duas condições de contorno (Dirichlet e Neumann). Apresentou-se ainda os cálculos do campo e do potencial elétrico de linhas de transmissão e as normas brasileiras, bem como, as recomendações internacionais sobre os limites de campo elétrico. Foram mostradas as alturas e distâncias de segurança de condutores ao solo, nos diversos obstáculos e regiões percorridas pela linha de transmissão. Capítulo 3 38 CAPÍTULO 3: Formulação da equação integral do contorno O Método dos Elementos de Contorno utiliza um método de solução de equações diferenciais parciais. A sua formulação transforma as equações diferenciais em equações integrais sobre o contorno da região em estudo. Essas equações integrais são resolvidas analítica e numericamente com a integração feita ao longo do contorno, sendo este percurso dividido em segmentos, chamados de elementos de contorno, nos quais as condições de contorno do problema são aplicadas. Neste capítulo, o Método dos Resíduos Ponderados será aplicado à equação de Poisson, obtendo-se as respectivas equações integrais escritas em termos de resíduos ponderados. A partir dessa equação, dependendo do tipo de técnica de resíduos ponderados que se utiliza, pode ser obtida a equação integral tanto para o método dos elementos finitos como para o método dos elementos de contorno. Neste trabalho, será utilizado o Método de Pontos de Colocação, sendo que também poderia ser utilizado o Método de Galerkin (HARTMANN, 1989). Outra forma de se obter as equações integrais é através do teorema de Green ou do teorema de reciprocidade de Betti (BECKER, 1992). Capítulo 3 39 3.1 – Método dos resíduos ponderados O Método dos Resíduos Ponderados são procedimentos numéricos para a solução de um conjunto de equações diferenciáveis. Considerando a equação de Poisson, que define a distribuição de potencial elétrico em um domínio bidimensional: (3.1) onde : bV ��2 � � � � y V x VV �� 2 2 � 2 , sendo � � � � � � yx � � � 22 2 o operador de Laplace. Onde V é a função que governa a equação e cujo valor se quer determinar. Já E é a sua derivada em relação a normal, sendo também uma incógnita e b é uma função de � �yx, conhecida. Isto é ����b . Quando aplicado à eletrostática, representa o potencial escalar elétrico no ponto i , sendo chamado neste trabalho de potencial elétrico. Sua derivada em relação a normal, iV � � � � � � � n VE , em problemas elétricos representa a intensidade do campo elétrico na direção normal. Na maioria dos problemas de engenharia, a solução exata da grande maioria de suas equações não pode ser conhecida devido a sua complexidade da geometria envolvida. A solução se dá apenas de forma aproximada. Chamado de a solução exata da equação (3.1), pode-se expressar uma solução aproximada de por: 0V 0V (3.2) oVV Capítulo 3 40 com ! � � NN K kkV 1 "# (3.3) Sendo que: k# – coeficientes a determinar, podendo ser associados aos valores nodais da variávelV ; k" – funções linearmente independentes e conhecidas, definidas no domínio �; NN – número de nós. Quando necessário, pode-se somar ao membro direito da equação (3.3) uma parcela constante o# a fim de acomodar a porção não homogênea da equação diferencial em estudo. Como a variável V é aproximada no domínio � , pode-se dizer que a equação (3.1) não é mais satisfeita de forma exata. Ou seja: (3.4) Desse modo, é introduzido um erro para a aproximação de V , igual a: 02 $�� bV (3.5) O Método dos Resíduos Ponderados consiste em minimizar o erro da aproximação fazendo com que o erro ponderado no domínio seja nulo. Ou seja: bVR ��� 2 (3.6) A equação acima pode ser reescrita como: � � 02 ����� � wdbV Capítulo 3 41 � � 02 2 2 2 2 ���� � � �� � � � � ���� �� �� dwb y V x VdwbV (3.7) Sendo w uma função de ponderação, que deve ser contínua até a segunda derivada. A restrição da função deve ser contínua até a segunda derivada se deve do fato de ter que se integrar por partes duas vezes, impondo que seja contínua, pelo menos por trecho, até a segunda derivada. Isto também significa que a ordem de continuidade da função V pode ser relaxada, daí a designação de formulação fraca. Observa-se que esta mesma imposição já estava aplicada ao potencial elétrico pelo operador laplaciano. w w A fim de determinar qual seria o erro ponderado no contorno, serão feitas quatro integrações por partes da equação (3.6). Efetuando as duas primeiras integrações, tem-se: 02 2 2 2 �� �� ���� � � �� � � � � ��� ��� d n wVd n Vwdbw y wV x wV (3.8) Sendo que: n un y Vn x V x y � � e n wn y wn x w yx � � , � é o contorno do domínio e é o vetor normal definido sobre � n� � na direção indicada pela Figura (3.1). �� Figura 3.1 - Definição do vetor normal ao contorno � do domínio . � Capítulo 3 42 Note que na Figura (3.1), o vetor n� está definido no sentido de dentro para fora do domínio, sendo que se ele estivesse definido para dentro do contorno, estaria indicando um buraco de contorno � de domínio infinito �� . Na equação (3.8), pode-se observar a atuação do operador laplaciano sobre a função : w � � 02 �� �� ����� ���� ���� d n wVd n VwdwbdwV (3.9) Sendo que, na equação (3.6), w atuava sobre a função de aproximação em V . Como essas expressões são iguais, pode-se reescrever a equação (3.9), igualandoa com a equação (3.6): � � � � � �� ��������� ����� ����� d n wVd n VwdwbdwVdwbV 22 (3.10) A parcela � �bw� aparece nos dois termos, podendo ser cancelada. Logo: � � � � � �� ������ ���� ���� d n wVd n VwdwVwdV 22 (3.11) Reescrevendo a equação (3.11), verifica-se que ele representa o teorema de Green. Isto é: � � � �% & �� �� �� � � � � � � ����� d n wV n VwdVwwV 22 (3.12) A equação (3.8) pode ser escrita considerando as condições de contorno. Então, com a divisão do contorno em duas partes, � �21 ����� , tem-se: Capítulo 3 43 0 2121 2 2 2 2 �� �� �������� � � �� � � � � ����� ����� d n wVd n wVdwdwdbw y wV x wV EE (3.13) Integrando-se mais uma vez por partes, tem-se: 0 2121 �� �� ������ � ���� � � �� � � � � � ����� � ����� � d n wVd n wVdwdwd n wV dbw y w y V x w x V EE (3.14) Separando a primeira integral do contorno � em duas partes � �21 e �� , tem-se: 0 1211 �� ������ ���� � � �� � � � � � ����� ����� d n wVdwdwd n wVdbw y w y V x w x V EE (3.15) Integrando se uma última vez, tem-se: 0 1211 2 2 2 2 �� ������ ��� ���� � � �� � � � � ����� � ����� � d n wVdwdwd n wVdw dbw y Vw x Vw EEE (3.16) Separando a primeira integral do contorno em duas partes � �21 e �� .tem-se: 0 1212 2 2 2 2 �� ���� ������ � � �� � � � � ����� ����� d n wVdwd n wVdwdbw y Vw x Vw EE (3.17) Juntando os termos iguais em 21 e �� , tem-se: � � � � � � 0 12 2 �� �������� ��� ��� d n wVVdwdwbV EE (3.18) A equação (3.18) pode ser igualada a equação (3.6): � � � � � � � ����� ���� � ������������ 12 22 d n wVVdwdwbVdwbV EE (3.19) Da equação (3.19), o erro ponderado no domínio e no contorno é deduzido por: Capítulo 3 44 �� erro no domínio �� bVR 2 � ; ��� VVR1 erro no contorno 1� ; ��� EE2R erro do contorno 2� . Substituindo-se os erros definidos pelas expressões anteriores na equação (3.19), tem- se: 0 1 2 2 1 �� ���� ��� ��� d n wRdRwdwR (3.20) Apesar da equação (3.19) ter sido deduzida para o caso de V e serem aproximados, ela é válida caso sejam exatos, apresentando, então, erro nulo. E 3.1.1 – Formulação fraca O processo para obtenção da equação integral pode ser considerado como uma combinação do método dos resíduos ponderados com um processo de integração por partes que reduz ou enfraquece a ordem de continuidade exigida para a função em V . Então, a equação integral para a formulação com o MEC é obtida integrando-se a equação (3.18) duas vezes por parte, enfraquecendo a continuidade exigida para a função em . Assim, integrando-se a equação (3.18) por partes duas vezes, tem-se: V � � � � � � 0 12 2 �� ������ �� ����� ������ ������ d n wVVdwd n wVd n VwdwbdwV EE (3.21) A equação (3.21) pode ser reescrita como: Capítulo 3 45 � � 02 �� �� ����� ���� ���� d n wVd n VwdwbdwV (3.22) A partir da equação (3.22), obtém-se a formulação da integral de contorno para problemas Laplacianos com o MEC. Essa mesma equação também poderia ser obtida diretamente a partir da equação (3.6), que após integrada por partes duas vezes, resulta na equação (3.9). 3.2 – Métodos de solução da equação integral Há três tipos de métodos de solução para a equação integral, dependendo do tipo de técnica de resíduo ponderado utilizado (BREBBIA; DOMINGUEZ, 1992): Método do Domínio. Quando a solução aproximada de V satisfaz somente as condições de contorno, sendo 0e0,0 2 21 $��������� bVRRVVR EE , ou seja, as incógnitas do problema são definidas no domínio �. Com esse método admiti- se uma aproximação para V ; Método de Contorno. A função em V satisfaz somente a equação diferencial no domínio, sendo as incógnitas do problema definidas apenas ao longo do contorno. No caso da equação (3.19), adota-se V de tal forma que 02 �� V . As incógnitas do problema ficam exclusivamente na fronteira; Método Misto. Quando não são satisfeitas nem as condições de contorno, nem a equação diferencial no domínio. Capítulo 3 46 3.2.1 – Método de contorno Observa-se que o Método dos Elementos de Contorno se enquadra na segunda classificação. Uma importante observação: durante o processo de dupla integração por partes da seção anterior, o operador associado à equação em estudo foi transferido e passou a atuar sobre a função de ponderação . Um Método de Contorno poderá, então, ser aplicado escolhendo uma função que satisfaça identicamente a equação em estudo e não mais suas condições de contorno. Em outras palavras, a equação (3.22) poderá ser resolvida apenas com as integrações no contorno, desde que a integração sobre o domínio � possa ser: w w Reduzida à zero. Nesse caso, w satisfaz a equação diferencial na sua forma homogênea, ou seja, no caso da equação de Poisson, tem-se 02 �� w ; 0�� �� ��� ��� ��� d n wVd n uwdwb (3.23) Calculada facilmente. Nesse caso, w satisfaz a equação diferencial no domínio sobre observação de tal modo que seja possível obter uma equação integral que tenha variáveis definidas apenas em integrais ao longo do contorno � . Na formulação com o MEC, usualmente se emprega uma função w que satisfaça essa condição.Assim, a função de ponderação w é igual a solução fundamental da equação governante. Capítulo 3 47 3.3 – Método de pontos de colocação Com o objetivo de satisfazer a segunda condição citada no item (3.3.1), utiliza-se o Método de Pontos de Colocação para obter a função de ponderação. O Método de Pontos de Colocação pode ser considerado como uma variação do Método dos Resíduos Ponderados, na qual a função delta de Dirac é aplicada. Além do Método de Pontos de Colocação, há também o Método de Galerkin e ambos podem ser considerados como variação do Método dos Resíduos Ponderados. No Método de Pontos de Colocação, N pontos são escolhidos no contorno, fazendo o resíduo ser nulo nesses pontos. A função de ponderação é dada pela função delta de Dirac � �� �oxx �' . A função delta é definida, em uma dimensão, por: � � o o o xxse xxse xx $ �� (�� 0 ' � �� �� �� 1)( dxxx o' (3.24) Isso pode ser compreendido, de uma forma elementar, como o limite de uma função contínua ordinária. Assim, a função delta de Dirac é singular no ponto . Considerando as propriedades da função delta de Dirac, pode-se dizer que: ox )()()( 00 xFdxxxxF a a ��� � � ' (3.25) Onde � representa o valor da função �xF F no ponto . ox Capítulo 3 48 Em qualquer equação envolvendo a função delta de Dirac, o domínio de integração pode ser reduzido a qualquer intervalo que contenha o ponto onde o argumento da função delta de Dirac se anula. Depois de definida a função delta de Dirac � �� �rr )� ��' , ela deve ser aplicada a uma função de ponderação, onde r� é o vetor de posição associado ao ponto de observação, e r )� é o vetor posição associado ao ponto de aplicação da função impulsiva delta de Dirac. O conceito da distribuição delta de Dirac é muito importante para a formulação do Método dos Elementos de Contorno. Considerando: NNw *+*+*+ ���� �2211 E sendo i+ coeficientes arbitrários e i* funções de forma linearmente independente. Onde: � ��� ii rr )�� '* Ni ��1 Considerando as propriedades da função delta de Dirac, pode-se dizer que: (3.26) Com � representando o valor da função em V no ponto indicado pelo vetor � � � ii rVdrrV )��)�� � ���' �irV )� � ir ) � . Considerando a equação de Poisson � �bw ��2 , para se obter a equação de contorno utilizando a função delta de Dirac, adota-se � �irrb )��� ��' , chegando-se à seguinte equação diferencial: (3.27) Com isso, a função é obtida de tal forma que satisfaz a equação (3.27). � irrw )���� ��'2 � w Capítulo 3 49 � �rrVw )� ��,* Sendo denominado como solução fundamental. Considerando-se as equações (3.26) e (3.27), bem com, a solução fundamental como função de ponderação, tem-se: *V � � � � � � iii VrVdrrVdVV ��)���)����� �� �� ���'*2 (3.28) Reescrevendo a equação (3.28): (3.29) O índice i está associado ao ponto de aplicação da função impulsiva. � � iVdVV ����� � *2 No apêndice D foi feito um exemplo, aplicando a teoria até aqui apresentada, considerando um domínio unidimensional. 3.4 – Solução fundamental A solução fundamental satisfaz a equação de Laplace e representa o campo gerado por uma carga unitária concentrada que age em um ponto i . O efeito dessa carga se propaga desde o ponto de i até o infinito sem qualquer consideração de condições de contorno (FERNANDES, 2005). *V O desenvolvimento apresentado acima permite reescrever a equação (3.22), como: Capítulo 3 50 � �� ���� ��� ��� d n wVd n VVdVbVi ** (3.30) Uma vez calculado o valor de � �*Vww � , o valor de n w pode ser facilmente calculado por: * * E� � n V n w A equação (3.30) pode ser reescrita, levando em conta as condições de contorno: ����� ����� ���������� 2 * 1 * 2 * 1 ** dVdVdVdVdVbVi EEEE (3.31) Ou de forma compacta: (3.32) A equação (3.32) é utilizada como ponto de partida para a aplicação do MEC, note que as equações (3.23) e (3.30) são representações integrais exatas, isto é, ainda não foi introduzida nenhuma aproximação na formulação. A solução do problema passa a ser aproximada quando se faz necessário discretizar o contorno do sólido em elementos nos quais as variáveis V e são aproximadas. ��� ��� ������ dVdVdVbVi EE *** E De acordo com as equações (3.24) e (3.25), a resultante do carregamento definido pela função delta de Dirac � irr )� ���' num domínio � é a força unitária aplicada no ponto indicado pelo vetor r )� . Assim, seja o domínio � , onde é válida a equação diferencial que governa o problema físico estudado, de contorno � , contido em um domínio infinito , cujo contorno é , (Figura 3.2). Designando-se de carregamento fundamental, a carga unitária não precisa necessariamente ser aplicada em um ponto do domínio finito � , onde está definido o �� �� *b *b Capítulo 3 51 problema físico que se quer estudar. Ela pode ser aplicada em qualquer ponto do domínio infinito , sendo que o ponto de colocação será aqui designado de i . Observa-se que pontos de colocação muito afastados do contorno �� � ou muito próximos, não produzem resultados numéricos confiáveis (BREBBIA; DOMINGUEZ, 1992). No caso da equação (3.32), o problema real é aquele relativo a uma fonte b qualquer distribuída em uma área de domínio b� , contida no domínio finito � (Figura 3.2), que provocará em um ponto p do domínio � os seguintes valores de potencial e campo elétrico: . No problema potencial representado pela equação de Laplace, obtida para b=0 na equação de Poisson, o problema real corresponde ao potencial e campo elétrico prescritos ao longo do contorno , que provocarão em um ponto p do domínio um potencial � � �epV �pE � � �pV e um campo elétrico . O problema fundamental é aquele provocado pela fonte unitária aplicada em um ponto. Essa fonte provocará em um ponto p qualquer do domínio �pE � *b *b � um potencial e um campo elétrico �i, �p � �p,V * i*E . (FERNANDES, 2005) Figura 3.2 – Contorno de Domínio infinito. Capítulo 3 52 3.4.1 – Validade da solução fundamental Na validação da expressão da solução fundamental , será usado o sistema de coordenadas cilíndricas, pois é o mais conveniente para representar as respostas devido a cargas pontuais, como é o caso do carregamento fundamental. *V Na seção de formulações fracas apresentou-se a limitação que a função de ponderação , agora aplicada como solução fundamental, devia ter derivadas contínuas até a segunda ordem. Pelas propriedades da função impulsiva, têm-se: w (3.33) (3.34) Utilizando a integração por partes na equação acima, tem-se: � rrV )���� ��'*2 1*2 ����� � dV � 1 * ��� � � d n V (3.35) Na equação (3.35) mostra-se constante o campo elétrico que atravessa o contorno � . Considerando-se o domínio � como sendo representado por uma circunferência de domínio , centrada no ponto de aplicação da função impulsiva, tem-se que a direção radial e a direção normal ao contorno da circunferência são as mesmas. Também, por simetria, a derivada de na direção radial é constante, isto é: C� *V ��� ��� ��� ���� CCC dCd r Vd n V ** 1 (3.36) Onde: é o perímetro de C� C� . Capítulo 3 53 A grandeza C é uma constante de cálculo imediato. r C �2 1� � Pois � é a área da circunferência e � � C d rrr )�� �� é a distância do ponto de aplicação da função impulsiva até o ponto de observação. Pela natureza do problema, é evidente que a solução fundamental terá simetria radial a partir de seu ponto de aplicação. (POUZADA, 1999) Na situação apresentada, a solução fundamental é obtida por derivação: rr V �2 1* � � (3.37) � �rV ln 2 1* � � (3.38) A solução fundamental, na equação (3.38), satisfaz a equação (3.33), desde que 0$r . Para provar que a equação (3.38) satisfaz a equação (3.33), considera-se que é apenas função de *V r em um sistema de coordenadas cilíndricas � zr ,, �, , e impondo 00 ** - - z VeV , , tem-se: r V rr V r Vr rr V � ��� � � �� � � �� * 2 *2* *2 11 (3.39) A partir da equação (3.37), calcula-se: Capítulo 3 54 22 *2 2 1 rr V � � (3.40) Substituindo as equações (3.37) e (3.40) na equação (3.39), tem-se: 0,0 2 11 2 1 2 *2 $-�� � � �� � � � ��� r rrr V �� (3.41) A equação (3.40) confirma que a equação (3.38) e é a solução fundamental da equação de Laplace no caso bidimensional de uma circunferência. Uma vez constatada a validade da solução fundamental , usada como função de ponderação, calcula-se facilmente o valor de *V nw . Então: * * E� � n V n w (3.42) Ou seja: (3.43) � � nVgradrr ˆ, ** �) ��E A equação (3.43) é a projeção do gradiente da solução fundamental sobre a normal ao contorno no ponto, associado ao vetor de posição r� calculado. Devido à simetria da solução, tem-se: � � n r Vrrr ˆˆ, * * �) ��E (3.44) Onde: r̂ é o versor radial aplicado a partir da localização da função impulsiva, isto é: 0,ˆ .�)� rrrrr �� (3.45) O resultado para a situação bidimensional citado acima é: Capítulo 3 55 � � � �# �� cos 2 1 2 1,* rn r r rr �� ��) ��E (3.46) Sendo: � � )(cosˆ,ˆcos #�� nr n r ; # é o ângulo formado entre os versores radial e normal no ponto de observação. 3.5 – A equação integral para o cálculo de V e E O desenvolvimento apresentado nas seções anteriores permitiu encontrar a equação (3.32), que é o ponto de partida para aplicações do MEC. Para a determinação dos valores de e E , ainda desconhecidos em parte do contorno, torna-se necessário aplicar a função impulsiva sobre o contorno. Então, ocorrerá o aparecimento de singularidades nos integrandos das expressões de e , como conseqüência da situação: V *V *E jelementoaoirrr /�0)� 0�� (3.47) rrr )�� �� (3.48) Nesse caso, realiza-se um estudo particular a fim de eliminar tal singularidade. Além disso, para integrar o elemento do contorno ao qual o ponto i pertence, a integração analítica devido à singularidade existente. Considerando o caso bidimensional, torna-se o ponto i como interno ao domínio � , aproximando tal ponto do contorno � por um processo de limite (Figura 3.3). Capítulo 3 56 Figura 3.3 – Aplicação da função impulsiva sobre o contorno � . Para representar os integrandos das integrais de contorno acima como função da distância r, isto é, , foi considerada uma pequena seção circular de raio � �rf � . Ou seja, equivalente a uma seção de cilindro com eixo normal ao plano do papel centrado no ponto . Assim, é o contorno da seção circular, i �� ��� a porção de contorno do problema original e �� é o domínio associado a (Figura 3.4). �� Figura 3.4 – Condução do ponto i ao contorno por um processo de limite. Capítulo 3 57 Então: (3.50) � � � � � � � � � ������ � � ������ ���� 1 2 3 4 5 6 ����� � � ��� drfdrfdrfdrfdrf 00 limlim A primeira integral do membro direito não mais apresenta singularidade. Este artifício será utilizado na equação (3.32). Aplicando o processo de limite na integração do membro da equação (3.32) e considerando as Figuras (3.3) e (3.4), têm-se: �� � � �� � � �� � dV E* �� �� � � � � � ��� �� � � � � ��� � � � � � � � 2 1 0 * 0 0 * 0 1ln 2 1limlim 1ln 2 1limlim � � �� �� �� �� �� dqdV dqdV E E � � 01ln 2 1limlim 120 * 0 ��� � � � � ��� �� � ��� ���� qdV E � (3.51) A equação (3.51) mostra não haver alteração no seu lado direito de quando o ponto i é deslocado para o contorno. Assim, 21 e �� são, respectivamente, os ângulos formados entre uma referência arbitrária e o versor tangente ao contorno antes e depois do ponto i , respeitado seu sentido de percurso. Aplicando a integral de contorno em outro membro da equação (3.32) e sendo o membro , têm-se: �� � � �� � � �� � dV *E �� � � � � � �� d n VVdV * 0 * 0 limlim �� E Capítulo 3 58 � 12 2 1 0 * 0 2 1 2 1limlim �� � �� �� � � �� ����� � � �� � � � �� �� � � � VdVdV E � (3.52) Na Figura (3.5), o ponto i está localizado numa porção suave de contorno; portanto ��� �� 12 radianos. Na Figura (3.6), o ponto está localizado sobre uma ponta do contorno, em um vértice, e, conseqüentemente i ��� $�2 1 radianos. Figura 3.5 – Ponto de aplicação sobre região suave do contorno. Figura 3.6 – Ponto de aplicação sobre região do contorno descontínua. Capítulo 3 59 Por raciocínio semelhante ao utilizado para a equação (3.51), a integral de domínio da equação (3.32) leva a: 01ln 2 1limlim 2 1 0 0 * 0 �� � � � � ��� � �� � � � � � � � � � ��� �� ddbdVb (3.53) Os resultados acima permitem generalizar a equação (3.32) tomando como base a equação (3.50). Então: � � ��� ��� �������� dVVdVdVbV ii EE * 12 ** 2 1 �� � (3.54) Sendo: � � � � iiiii KVVVV �7 8 9 : ; < � ���� � ���� � 2 1 2 1 12 12 (3.55) � � � � � � � ��� � �� 22 2 2 1 int1212 � �� �7 8 9 : ; < � ��iK (3.56) (3.57) ��� ��� ������ dVdVdVbVK ii EE *** O fator atua como um coeficiente dependente da localização do ponto i . Este valor de foi formulado para o ponto sobre a fronteira, iK iK i �/i . Capítulo 3 60 Figura 3.7 – Medição do ângulo interno na região de contorno descontínuo. A equação (3.57) é a equação integral de contorno para problemas envolvendo a equação de Poisson e no caso de não haver fontes de excitação, tem-se . A equação (3.57) é a equação integral de contorno para problemas envolvendo a equação de Laplace. 0-b No caso de , a integral de domínio na equação (3.57) é reescrita como integral de contorno utilizando formulações mais avançadas do MEC, como o Método de Reciprocidade Dupla (MRD), o Método de Reciprocidade Múltipla (MRM), ou simplesmente calculando-a numericamente. Nesse ultimo caso, perde-se a grande vantagem do MEC que é equacionar todo o problema exclusivamente com valores do contorno. 0$b Uma vez conhecido todos os valores de V e no contorno, a equação (3.57) pode ser utilizada para o cálculo de interno e externo ao domínio E iV � . Nesses casos terá os seguintes valores: iK �� � � 2 int iK se o ponto i for sobre o contorno, �/i ; �� 1i se o ponto i for interno ao domínio, K �/i ; Capítulo 3 61 �� 0i se o ponto i for externo ao domínio, K �=i . Para contornos suaves, o valor de é igual a 0,5. iK Antes de discretizar a região, a equação integral do contorno (3.57) vai ser reescrita com os respectivos índices. A fonte b será considerada nula. Para o cálculo do potencial em pontos sobre o contorno, têm-se e �/i � � 2 int�iK . Reescrevendo a equação (3.57), tem-se: � � � � � � � � � � � ��� �� ���� dPPiVdPiPViViK EE ,, ** (3.58) Para o cálculo do potencial em pontos no domínio interno, têm-se �/$ iePi e . Reescrevendo a equação (3.57), tem-se: 1�iK � � � � � � � � � ��� �� ���� dPPiVdPiPViV EE ,, ** (3.59) O índice i , indica o ponto de aplicação da função impulsiva, sendo chamado de ponto fonte ou ponto de colocação. O ponto P indico sobre o contorno é chamado de ponto campo. Para se resolver o problema proposto com o MEC, primeiro resolve-se problema para pontos sobre o contorno, encontrado as incógnitas da equação (3.58). Depois, o potencial para pontos fora do contorno é determinado. Capítulo 3 62 3.6 – Revisão do capítulo Neste capítulo foram estudadas as equações para o Método dos Elemento de Contorno, sendo que para tanto foi utilizado o Método dos Resíduos Ponderados para transformar a equação diferencial de Poisson/Laplace em uma equação integral com incógnitas apenas no contorno. Para tanto, foi utilizada da função delta de Dirac para localizar as incógnitas exclusivamente no contorno. Uma solução fundamental que contempla a influência do infinito, foi utilizada como função de ponderação. Capítulo 4 63 CAPÍTULO 4: Método dos Elementos de Contorno Neste capítulo, serão mostrados vários tópicos relacionados com o MEC. Inicialmente, serão mostrados os vários métodos de discretização ao qual o contorno pode ser submetido. Em seguida, será mostrado como montar e resolver o sistema de equações para a obtenção das incógnitas do problema. Além desses dois tópicos citados, serão tratados alguns tópicos relacionados ao MEC, como: domínio infinito e formulação indireta do MEC. Também será mostrado o método de integração numérica e analítica que pode ser utilizado para resolver as integrais. 4.1 – Discretização do contorno As integrais sobre o contorno das equações (3.58) e (3.59) são calculadas, de maneira aproximada, por meio da discretização do contorno em elementos. A geometria do elemento pode ser aproximada por uma função qualquer, sendo que o número e a forma dos elementos devem ser escolhidos de tal forma que representem adequadamente o contorno real estudado, podendo ser de maneira exata ou aproximada. A Figura (4.1) mostra a discretização de um contorno genérico. Os pontos indicados na Figura (4.1) são chamados de nós, pontos nodais ou pontos funcionais. Nesses pontos, são definidas duas variáveis: V e E. Porém, como uma das variáveis é dada pela condição de Capítulo 4 64 contorno, tem-se apenas uma incógnita em cada nó. Observa-se na Figura (4.1) vértices que contém dois nós e outros vértices com apenas um nó. A adoção de dois nós em um mesmo vértice ocorre quando há incógnitas nesse ponto, devido à descontinuidade no valor do campo elétrico � .�E Figura 4.1 – Discretização de um contorno genérico. Para se obter a solução numérica da equação integral de contorno é necessário que o mesmo seja discretizado em elementos que sejam capazes de aproximar bem a geometria ao longo do contorno. Ou seja, que os valores de V e E no contorno são interpolados nos elementos. Diferentes tipos de elementos podem ser utilizados para discretizações em duas dimensões, tais como elemento constante, linear ou quadrático. Para discretizações em três dimensões, se faz necessário outros tipos de elementos (BREBBIA; DOMINGUEZ, 1992). E necessário observar o sentido de integração, pois esse sentido irá definir a normal do contorno. Considerando a Figura (4.1), para que o domínio de interesse seja o domínio fechado pelo contorno � , chamado na Figura (4.1) de � , o domínio é integrado no sentido anti-horário, tomado como sentido positivo. Desse modo, o domínio � é chamado de domínio interno. Caso o domínio de interesse seja a região exterior ao contorno � ��� , o sentido de integração deve ser no sentido horário e o domínio �� passa a ser chamado de Capítulo 4 65 domínio interno e a normal ao contorno passa a apontar para o interior do contorno, sendo chamado de buraco de contorno. O sentido de discretização deve ter o mesmo sentido da integração. Figura 4.2 – Discretização de um contorno com elemento constante. No elemento constante mostrado na Figura (4.2), as variáveis de contorno V e , denominadas prescritas e incógnitas, respectivamente, são consideradas constantes em cada elemento e iguais ao seu valor no ponto funcional localizado no meio do elemento. E Figura 4.3 – Discretização de um contorno com elemento Linear. Já para o elemento linear mostrado na Figura (4.3), V e E variam linearmente dentro de cada elemento em função dos valores nos dois nós funcionais localizados nos pontos extremos do elemento. Capítulo 4 66 No elemento quadrático mostrado na Figura (4.4), tanto a geometria quanto os valores de e no contorno são representados utilizando-se as funções de interpolação para dois nós extremos e um nó central. V E Figura 4.4 – Discretização de um contorno com elemento quadrático. Uma vez discretizado o contorno, a geometria e também as variáveis V e E do contorno são equacionadas. Os métodos numéricos costumam fazer uso de uma coordenada local adimensional em cada elemento, representada por � �11 ��� >> , sendo que a variação da coordenada local provoca a varredura de todo o elemento j . Figura 4.5 – Geometria do elemento aproximado por função linear. Capítulo 4 67 No caso da função escolhida para aproximar a geometria ser linear, os elementos serão retos, sendo necessário apenas dois nós para representar sua geometria. Na figura 4.5, os nós nó I e nó F são respectivamente, o nó inicial e nó final. Para se obterem elementos curvos, uma adotada uma função de aproximação quadrática é adotada, sendo necessário três nós no elemento. Na Figura (4.5), o nó I é o nó inicial, o nó F é o nó final, M é o ponto do meio do elemento, é o comprimento do elemento jL j e n� é a direção normal ao contorno j� . No caso, tem-se: 22 jjj LL ���� . Se o ponto de colocação i não pertencer ao elemento que está sendo integrado, as integrais serão resolvidas numericamente. Por isso, é conveniente expressar a variável j� em coordenadas cartesianas de um ponto � �pP yxP , qualquer do elemento e em função de sua coordenada local homogênea > . Da Figura (4.5), são deduzidas as equações: >> d L d L j j j j 22 ����� (4.1) (4.2.a) (4.2.b) Onde: são as coordenadas nas direções x e y, respectivamente, do ponto P; são as coordenadas nas direções x e y, respectivamente, do ponto M. Assim, tem-se: � � axxx MP >> �� � � ayyy MP >> �� Pp yex MyM ex � � 2/FnóInóM xxx �� (4.3.a) � � 2/FnóInóM yyy �� (4.3.b) � � 2/InóFnó xxax �� (4.4.a) � � 2/InóFnó yyay �� (4.4.b) Capítulo 4 68 As equações (4.2) podem ser escritas numa só equação matricial, onde os valores das coordenadas do ponto são dados em função das coordenadas dos nós I e F: P 1 2 , (4.5) Onde: ? ? 1 ? ? 2 3 ? ? 4 ? ? 5 6 7 8 9 : ; < � 1 2 3 4 5 6 Fnó Inó Fnó Inó P P y y x x y x 2 1 00 00 , ,, @ AFnóInónó yyxx FnóI são os vetores dos valores nodais das coordenadas e k, são as funções de interpolação lineares, que são dadas de forma geral para o caso linear por: � � � �11 ��P 2, > (4.6.a) � � � �12 ��P 2, > (4.6.b) Sendo > a coordenada local homogênea do ponto P. Portando, a integral ao longo do contorno � é calculada de forma aproximada, fazendo-se a discretização do contorno em elementos e a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas homogêneas. Ou seja: Ne � � � � � �! �! �� � �� � L L j 1� ������ Ne j Ne j jj dFdFdF j 1 1 1 2 2 >> (4.7) 4.1.1 – Aproximação das variáveis do problema A aproximação das variáveis é feita para os três tipos de problemas em duas dimensões: constante, linear e quadrática. A aproximação das variáveis no elemento é feita para expressar o valor da variável V ou E em um ponto P qualquer de um elemento j em função dos seus valores nodais e das funções de interpolação. As variáveis são escritas em Capítulo 4 69 termos de coordenadas homogêneas para viabilizar a integração numérica. Com isso, � �PV e são dados por: � �PE (4.8.a) (4.8.b) Onde: �, é o vetor que contém as funções de interpolação ou funções de forma, escritas em termos de coordenadas homogêneas; e são os vetores com os valores nodais de V e E , respectivamente, do elemento j. � � � � j T VPPV ,� � � � � j T PP EE ,� �PT jV jE O número de nós a ser definido no elemento, assim como a definição das funções de forma, dependerá do tipo de aproximação adotada. 4.1.1.1 – Aproximação constante No caso da aproximação adotada para as variáveis ser constante, necessita-se de apenas um nó em cada elemento. Os valores de V e , em qualquer ponto do elemento E j , são iguais ao do nó 1 � �1 jNO , que é definido no meio do elemento j (Figura 4.6). Nesse caso, a função de forma � �1, assume um valor constante igual a um, e a equações (4.8) assume a forma: � � 11 �P, (4.9) (4.10.a) (4.10.b) � � 1PV ,� � � 1PE ,� � � 1 jVP � � 1 jP E Capítulo 4 70 Sendo: ; são os valores de V e no nó 1 do elemento j jP elemento ao / 11 e jjV E E � �1 jNO . Figura 4.6 – Aproximação constate das variáveis. � � � �PEPV e Após definir as funções de , é possível reescrever a equação (3.58) com auxílio das funções de forma para o cálculo de V e no contorno: E � � � ��! �� � dPiV Ne j j ,* 1 1 E � �� � �� dPiViV , 2 1 *! � � Ne j j 1 1E E (4.11) Pelo fato dos valores de V e serem definidos no meio do elemento, o contorno é obrigatoriamente suave nos pontos de aplicação da função impulsiva e, portanto: � � 2 1 �iK . 4.1.1.2 – Aproximação linear No caso da aproximação adotada para as variáveis ser linear, necessita-se de dois nós em cada elemento, um em cada extremidade do elemento (Figura 4.7). Para a aproximação Capítulo 4 71 linear as funções de forma ficam iguais às equações (4.6), e as equações (4.8) para V e assumem a seguinte forma: E (4.12.a) (4.12.b) Sendo: ; são os valores de V e E no nó do elemento j � � � � � �% & 7 7 8 9 : : ; < � 2 1 21 j j V V PPPV ,, � � � � � �% & 7 7 8 9 : : ; < � 2 1 21 j jPPP E E E ,, jP elemento ao / NS j NS jV E e NS � �NS jNO � � � �PP 21 e ; ,, são iguais a, respectivamente, � � � �>,>, 21 e nas equações (4.6). As funções de forma � � � �P2 eP1 ,, devem ser definidas de tal maneira que, para o cálculo de V e nos pontos nodais sejam iguais a um e nula para o restante do elemento j. E Figura 4.7 – Aproximação linear das variáveis.