Orientador Prof. Dr. Rawlilson de Oliviera Araújo 2.016 Pontes, Rogério de Carvalho Geometria espacial : motivação para Olimpíadas de Matemática / Rogério de Carvalho Pontes. - Rio Claro, 2016 101 f. : il., figs., tabs. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Biociências de Rio Claro Orientador: Rawlilson de Oliveira Araújo 1. Geometria. 2. Poliedros. 3. Geometria espacial. 4. Deltaedros. 5. Bimedianas. 6. Vetores. 7. Combinatória. 8. Geometria analítica. I. Título. 516 P814m Ficha Catalográfica elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP Campus de Rio Claro/SP TERMO DE APROVAÇÃO Rogério de Carvalho Pontes Geometria Espacial: Motivação para Olimpíadas de Matemática Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre no Curso de Pós-Graduação Mestrado Profissional em Ma- temática em Rede Nacional do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, pela seguinte banca examinadora: Prof. Dr. Rawlilson de Oliveira Araújo Orientador Prof. Dr.Thiago de Melo Departamento de Matemática - IGCE - UNESP. Prof. Dr.Cristiano Torezzan Departamento de Matemática Aplicada- FCA - UNICAMP Rio Claro, 31 de Agosto Dedico este trabalho a minha querida esposa Maria Angélica, aos meus filhos Pedro Lucas e Pamela e aos meus sobrinhos Polyanna, Grabiely, Talita, Luciano, Marcelo Augusto e Paula Virgínia. Agradecimentos Agradeço primeiramente a DEUS pelo dom da vida, aos meus pais, Luciano e Lázara por me proporcionarem uma boa educação e ao meus queridos irmãos José Marcelo e Luciano por me apoiarem sempre.Agraço ainda, ao ex-aluno e amigo Eduardo Rocha Walchek pela ajuda prestada , a minha amada esposa Maria Angélica por estar comigo em todos os momentos difíceis, por ter me apoiado neste projeto sempre me motivando a seguir em frente. Acreditando que ninguém vence sozinho, agradeço a todos amigos ou colegas que tive o prazer de conviver, Gláucia, João Calixto, Alexandre, Antonio Lima,Luciano, Maria Cecília, Mariana, Sibeli, Paulo Ferrari, entre ouros... E finalmente agradeço aos professores do Departamento de Matemática da Unesp Rio Claro que, dedicando-se muito, tornaram o PROFMAT realidade, e através de suas aulas nos motivaram a ser matemáticos e professores melhores, especialmente ao ao meu orientador Professor Dr. Rawlilson de Oliveira Araújo, pela dedicação, atenção e paciência. Não podia deixar de citar a querida Profa. Dra. Suzinei Aparecida Siqueira Marconato pela imensa dedicação e atenção nessa jornada como discente. Ninguém vence sozinho...obrigado a todos! "A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho original." Albert Einstein Resumo Neste trabalho, exploramos as definições mais usuais de Geometria Espacial, apresentamos um resultado sobre o volume de um icosaedro regular e um resultado envolvendo as bimedianas de um poliedro de n vértices, com o objetivo de contribuir para preparação de alunos do 9o ano do ensino fundamental ao 3o do ensino médio para olimpíadas de matemática. Palavras-chave: Vetores, Combinatória, Geometria Espacial, Geometria Analítica. Abstract In this work , we explore the most common definitions of spatial geometry , we present a result for the volume of a regular icosahedron and a result involving bimedianas of a polyhedron with n vertices result in order to contribute to the preparation of students in the 9th year elementary school to 3th high school for mathematics Olympiads. Keywords: Vectors, Combinatorial, Space geometry, Analytic Geometry. Lista de Figuras 1.1 Orientação da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2 Coordenadas de um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3 Distância entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 Coordenadas do Baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 segmentos de reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6 Intersecção das diagonais do paralelogramo ABCD . . . . . . . . . . 25 1.7 Coincidência dos pontos médios de AD e BC . . . . . . . . . . . . . 25 1.8 Vetores equipolentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.9 Vetor tranportado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.10 Vetor posicionado na origem do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.11 Vetor soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.12 Soma de vetores 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.13 Soma de vetores 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.14 Produdo de um número (escalar) por um vetor . . . . . . . . . . . . . 30 1.15 Representação do produto de um número α por um vetor . . . . . . . 30 1.16 Diferença entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.17 Vetores ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.18 Produto interno 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.19 Produto interno 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.20 Princípio aditivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1 Poliedro convexo e Poliedro não convexo . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2 Região iluminada e região sombria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Poliedro com faces iluminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4 Poliedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5 Família dos deltaedros convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.6 Tabela 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.7 Vista superior do tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.8 Tetraedro regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.9 Vista superior do octaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.10 Octaedro Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.11 Tetraedro inscrito no icosaedro regular . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.12 Secções planas no icosaedro regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.13 Intersecção das secções planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.14 Segmento áureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.15 Tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1 As medianas de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 As medianas de um tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 As bimedianas de um tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4 Um octaedro regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Sumário 1 Alguns Resultados Matemáticos 19 1.1 Coordenadas no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2 Distância entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3 Cooerdenadas do baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 Vetores no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5 Operação com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6 O produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.7 Combinações e Permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.7.1 Princípios Aditivo e Multiplicativo . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.7.2 Permutações Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.7.3 Combinações Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2 Poliedros 39 2.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 As primeiras relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3 Desigualdades importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4 Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5 Poliedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6 Deltaedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.7 Construção do tetraedro regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.7.1 Volume do tetraedro regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.8 Construção do octaedro regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.8.1 Volume do Octaedro Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.9 Volume do icosaedro regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Bimedianas 57 3.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 A fórmula geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3 A demonstração da fórmula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.4 Exemplo: Octaedro regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4 Matemática Olímpica 75 Bibliografia 103 Introdução Estudando o artigo [2] e pensando em uma contribuição para a matemática olímpica, desenvolvemos minuciosamente as relações entre medianas e bimedianas num tetraedro regular, podendo estender-se a outros poliedros com n vértices. No primeiro capítulo nos apropriamos de alguns resultados matemáticos em Geo- metria Analítica (no espaço) e combinações simples, conceitos estes, que utilizamos nas demonstrações dos teoremas enunciados em [2]. No segundo capítulo apresentamos a dedução formal e detalhada da Relação de Euler e mostramos também, que são apenas cinco os poliedros regulares (de Platão), de modo detalhado, como uma motivação para as aulas de geometria espacial no ensino médio. Apresentamos a família dos deltaedros, fazendo algumas referências e comentários. Ainda neste capítulo, inspirado nas aulas de Olimpíadas de Matemática, no qual estamos envolvidos nos últimos anos, mostramos as fórmulas de se calcular alguns elementos importantes dos deltaedros Platônicos (tetraedros, octaedro e icosaedro), como a distância entre um vértice e uma face, área superficial e volume. No terceiro capítulo o nosso interesse foi estudar, analisar e provar as os resultados encontrados em [2] envolvendo conceitos de medianas e bimedianas num tetraedro regular e generalizando para um poliedro com n vértices. Por fim, no quarto capítulo apresentamos algumas questões de geometria espacial como sugestões para aplicação nas aulas preparatórias para Olimpíadas de Matemá- tica que contemplam alunos do 9o ano do Ensino Fundamental ao 3o ano do Ensino Médio. 17 1 Alguns Resultados Matemáticos Neste capítulo, apresentamos conceitos matemáticos importantes que vão nos auxiliar nas provas dos teoremas que serão apresentados nos capítulo 3. Estes resultados encontram-se em [1], [4] e [7]. 1.1 Coordenadas no espaço Partindo dos conceitos e fatos referentes à Geometria Espacial, introduziremos o método das coordenadas, segundo o qual os pontos do espaço são representados por ternos ordenados de números Uma reta orientada é uma reta na qual se escolheu um sentido de percurso, chamado positivo; o sentido inverso é chamado negativo. Numa reta orientada, diz-se que o ponto A está situado à esquerda do ponto B (e consequentemente, B está à direita de A) quando o sentido de A para B é positivo. Observação: Consideremos apenas os sistemas de eixos ortogonais no espaço. Figura 1.1: Orientação da reta Um sistema de eixos ortogonais OXY Z no espaço E determina, de modo natural, uma correspondência biunívoca entre os pontos do espaço e os ternos ordenados de números reais. A bijeção E → R3 é obtida associando-se cada ponto P o terno (x, y, z), formado pelas coordenadas de P relativas ao sistema OXY Z. A função inversa R3 → E associa cada terno (x, y, z) ∈ R3 o ponto P do espaço assim obtido: tomam-se, sobre os eixos OX,OY e OZ, respectivamente, os pontos A,B, e C cujas as coordenadas nesses eixos são x, y e z. Os segmentos não-colineares OA,OB e OC determinam um paralelepípedo (reto-retângulo). P é o vértice oposto a O nesse paralelepípedo. 19 20 Alguns Resultados Matemáticos Como estamos considerando apenas o sistema de eixos ortogonais OXY Z, escre- vemos P = (x, y, z) para significar que x, y e z são as coordenadas do ponto P . As coordenadas do ponto O são (0,0,0). Os pontos dos planos Πxy,Πxz e Πyz tem coordenadas (x, y, 0), (x, 0, y) e (0, y, z) respectivamente. Um plano chama-se vertical quando é paralelo a OZ. Figura 1.2: Coordenadas de um ponto Um plano Π, paralelo a Πxy, chama-se plano horizontal. Se Π intersecta o eixo OZ num ponto de coordenada c sobre esse eixo, os pontos de Π são todos da forma P = (x, y, c). Diz-se então que a equação do plano Π tem a forma z = c. De modo análogo, as equações dos planos paralelos a Πxz e Πyz são respectivamente das formas y = b e x = a 1.2 Distância entre dois pontos Seja OXY Z um sistema de eixos ortogonais no espaço E. Queremos obter uma fórmula que exprima a distância entre dois pontos de E em termos das coordenadas desses pontos no sistema OXY Z. Sejam P = (x1, y1, z1) e Q = (x2, y2, z2) os pontos dados, consideremos os pontos auxiliares R = (x1, y2, z1) e S = (x2, y2, z1). Como os segmentos de reta PR,RS e SQ são respectivamente paralelos aos eixos OY,OX e OZ vê-se imediatamente que d(P,R) = |y1 − y2|, d(R, S) = |x1 − x2| e d(S,Q) = |z1 − z2| . Além disso, os triângulos PRS e PQS são retângulos. Logo, d(P,Q)2 = d(P, S)2 + d(S,Q)2 Cooerdenadas do baricentro 21 Figura 1.3: Distância entre dois pontos d(P,Q)2 = d(P,R)2 + d(R, S)2 + d(S,Q)2 ou seja, d(P,Q)2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2. d(P,Q) = √ (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 para a distância entre dois pontos. Em particular, a distância do ponto P = (x, y, z) à origem O = (0, 0, 0) é√ x2 + y2 + z2. 1.3 Cooerdenadas do baricentro Da geometria plana, sabemos que o baricentro G de um triângulo é o encontro das três medianas e as divide na razão 2 para 1, sendo o segmento maior o que 22 Alguns Resultados Matemáticos possui extremidade no vértice do triângulo. Vamos considerar um sistema de eixos coordenados OXY ortogonais, isto é R2, e mostrar que as coordenadas do baricentro são xg = x1 + x2 + x3 3 e yg = y1 + y2 + y3 3 . Seja um triângulo ABC, cujas coordenadas dos vértices são respectivamente A(x1, y1);B(x2, y2) e C(x3, y3). Seja o ponto médio referente ao lado BC aqui representado por D(xd, yd). Sejam as coordenadas do baricentro representado por G(xg, yg) O ponto médio de um segmento é dado pela metade da soma das coordenadas de Figura 1.4: Coordenadas do Baricentro seus extremos. Assim, as coordenadas do ponto médio do lado BC são dadas por: xd = x2 + x3 2 yd = y2 + y3 2 (1.1) Como o ponto G divide uma mediana numa razão de dois para um, então temos a relação referente à mediana ao lado BC: AG GD = 2 1 (1.2) Vetores no espaço 23 Coordenadas da abscissas Considerando as abscissas dos pontos A,G e D em relação a igualdade (1.2), temos que: xg − x1 xd − xg = 2 1 ⇔ xg − x1 = 2xd − 2xg ⇔ 3xg = x1 + 2xd (1.3) Das relações (1.1) e (1.3), obtemos: 3xg = x1 + 2 ( x2 + x3 2 ) xg = x1 + x2 + x3 3 Coordenadas da ordenadas Analogamente ao que fizemos para encontrar a coordenada da abscissa do baricentro, a fazemos para a ordenada: yg − y1 yd − yg = 2 1 ⇔ yg − y1 = 2yd − 2yg ⇔ 3yg = y1 + 2yd (1.4) Das relações (1.1) e (1.4), obtemos: 3yg = y1 + 2 ( y2 + y3 2 ) yg = y1 + y2 + y3 3 1.4 Vetores no espaço Os vetores, que já se revelaram um instrumento muito útil no estudo da Geo- metria Analítica Plana, passam a tornar-se quase indispensáveis em três dimensões. Seu emprego facilita a compreensão, simplifica as fórmulas e dá mais eficácia aos cálculos. Por isso serão introduzidos logo de início. Eles serão definidos como classes 24 Alguns Resultados Matemáticos de equipolência de segmentos orientados. Deve-se observar que essa definição é intrínseca, isto é, apresenta os vetores como objetos que não dependem de um sistema de coordenadas. Usam-se as coordenadas para efetuar cálculos com vetores, mas as conclusões independem do sistema de eixos adotados. Diz-se que um segmento de reta está orientado quando nele foi escolhido um sentido de percurso, chamado sentido positivo. Quando nos referirmos ao segmento de reta orientado AB, esta notação significará que o sentido positivo de percurso é de A para B. Assim, o sentido positivo do segmento orientado BA é de B para A. Os segmentos de reta orientados AB e CD dizem-se equipolentes quando cumprem as seguintes condições: 1. Têm o mesmo comprimento; 2. São paralelos ou colineares; 3. Têm o mesmo sentido. Figura 1.5: segmentos de reta Quando AB e CD são equipolentes, escreve-se AB ≡ CD. A condição (1) significa que d(A,B) = d(C,D). Quanto a (2) segmentos colineares são aqueles que se situam sobre a mesma reta. Quanto ao paralelismo, isto significa que as retas que contém AB e CD são paralelas e nunca é demais lembrar que, retas paralelas são aquelas que estão sobre o mesmo plano e não têm pontos em comuns. Finalmente a condição (3) (que tem significado evidente se AB e CD são colineares), no caso de AB e CD paralelos significa que os sentidos de percurso em AB e CD são tais que não apenas AB é paralelo a CD, mas AC e BD também são paralelos. Noutras palavras, (3) quer dizer que o quadrilátero ABCD (vértices percorridos nesta ordem) é um paralelogramo. Uma caracterização útil e interessante da equipolência se baseia no fato de que um quadrilátero ABCD é um paralelogramo se, e somente se suas diagonais AD e BC intersectam mutuamente no meio, isto é, o ponto médio de AD coincide com o ponto médio de BC. Vetores no espaço 25 Assim, os segmentos de reta orientados AB e CD são equipolentes se, e Figura 1.6: Intersecção das diagonais do paralelogramo ABCD somemte se, o ponto médio de AD coincide com o ponto médio de BC. Quando AB e CD são colineares, a coincidência de seus pontos médios de AD e BC nada tem a ver com paralelogramos mas traduz exatamente o fato de que esses segmentos orientados têm o mesmo comprimento e o mesmo sentido. São as Figura 1.7: Coincidência dos pontos médios de AD e BC seguintes relações de equipolência AB ≡ CD: reflexiva, isto é, AB ≡ AB simétrica, isto é, AB ≡ CD ⇒ CD ≡ AB transitiva, isto é, se AB ≡ CD e CD ≡ EF ⇒ AB ≡ EF Quando dois segmentos de reta orientados AB e CD são equipolentes, diz-se que eles determinam o mesmo vetor. Indica-se com notação v = −→ AB o vetor determinado pelo segmento orientado AB. Assim, a equipolência AB ≡ CD significa a igualdade de vetores −→ AB = −−→ CD. Portanto, o vetor v = −→ AB é representado não somente pelo segmento orientado AB como também por qualquer segmento orientado CD equipolente a AB. Por extensão, é conveniente considerar o vetor zero (ou vetor nulo) 0 = −→ AA, representado por qualquer segmento degenerado AA, cuja origem coincide com a 26 Alguns Resultados Matemáticos Figura 1.8: Vetores equipolentes extremidade. O vetor nulo será indicado pelo mesmo símbolo 0 que denota o número zero. Isto não deve causar confusão. Dados um vetor v = −→ AB e um ponto P , existe um único ponto Q tal que o segmento orientado PQ é equipolente a AB, ou seja, tal que −→ PQ = −→ AB. Isto é óbvio quando P pertence a reta AB. Caso contrário, traça-se pelo ponto P a reta r paralela a AB e pelo ponto B a reta s, paralela a AP . O ponto procurado Q é a interseção das retas r e s. Este fato significa que, dado um vetor v, pode-se representá-lo, na forma v = −→ PQ, por um segmento de reta PQ cuja origem pode estar num ponto qualquer P do espaço. Neste sentido, diz-se que os vetores são livres: podem ter sua origem colocada em qualquer ponto. Outra interpretação é a seguinte: o vetor v transporta qualquer ponto P do espaço Figura 1.9: Vetor tranportado para um novo ponto Q, bem determinado a partir de P e v pela igualdade v = −→ PQ. Esta observação resgata o sentido original da palavra vetor (do Latim vehere = transportar). Por isso, usaremos às vezes a notação Q = P + v para significar v = −→ PQ. Observação. Um leitor mais exigente notaria que não foi explicitado o que é um vetor. Para satisfazê-lo, diríamos que o vetor v = −→ AB é o conjunto de todos segmentos orientados equipolentes ao segmento orientado AB. A seguir, caracterizaremos a equipolência em termos de coordenadas. Vetores no espaço 27 Em relação a um sistema de eixos ortogonais OXY Z tomado no espaço, sejam A = (x, y, z), B = (x1, y1, z1), C = (r, s, t) eD = (r1, s1, t1). Os segmentos de reta orientados AB e CD são equipolentes se, e somente se, x1 − x = r1 − r, y1 − y = s1 − s e z1 − z = t1 − t. Com efeito, os pontos médios de AD e BC têm coordenadas:(( x+ r1 2 ) , ( y + s1 2 ) , ( z + t1 2 )) e (( x1 + r 2 ) , ( y1 + s 2 )( z1 + t 2 )) respectivamente. A fim de que esses dois pontos médios coincidam, é necessário e suficiente que: x+ r1 2 = x1 + r 2 , y + s1 2 = y1 + s 2 e z + t1 2 = z1 + t 2 ou seja: x1 − x = r1 − r, y1 − y = s1 − s e z1 − z = t1 − t. Portanto as diferenças α = x1 − x , β = y1 − y e γ = z1 − z são iguais às diferenças de coordenadas das extremidades de qualquer segmento equipolente a AB. Por isso dizemos que esses números são as coordenadas do vetor v = −→ AB relativamente ao sistema OXY Z. Se escolhermos para representar o vetor v = −→ OP o segmento orientado OP com a origem coincidente com a origem do sistema OXY Z então, como O = (0, 0, 0), as coordenadas do vetor v = −→ OP coincidirão com as coordenadas (x, y, z) do ponto P . Figura 1.10: Vetor posicionado na origem do sistema 28 Alguns Resultados Matemáticos 1.5 Operação com vetores O que faz dos vetores um instrumento útil é principalmente o fato de que podemos efetuar operações entre eles, de forma que os resultados dessas operações não dependem de escolhas arbitrárias, como sistemas de eixos ou mesmo a fixação de uma origem. As coordenadas ocorrem como um importante auxiliar de cálculo, mas as respostas independem delas. A soma u + v de dois vetores u, v é definida assim: representam-se u = −→ AB e v = −−→ BC por segmentos orientados tais que o final do primeiro coincida com o começo do segundo e pôe-se simplesmente u+ v = −→ AC. Quando os vetores u e v não são colineares (ou não são paralelos, o que dá no Figura 1.11: Vetor soma mesmo já que se pode pôr a origem do vetor onde se quiser), há outra maneira de definir a soma u+v, com o mesmo resultado. Representam-se u = −→ AB e v = −→ AC por segmentos orientados com a mesma origem A. Toma-se um ponto D de tal modo que ABDC seja um paralelogramo e põe-se u+ v = −−→ AD. Figura 1.12: Soma de vetores 1 Operação com vetores 29 Figura 1.13: Soma de vetores 2 Fixado no espaço um sistema de eixos OXY Z, os vetores u, v passam a ser representados por suas coordenadas: u = (x, y, z), v = (x1, y1, z1). Afirmamos que a soma u+ v tem coordenadas u+ v = (x+ x1, y + y1, z + z1). Para verificar isto, adotamos as representações u = −→ OP, v = −→ OQ, onde O = (0, 0, 0), P = (x, y, z) e Q = (x1, y1, z1). Então u+v = −→ OR, sendo R o quarto vértice do paralelogramo que temOP eOQ como lados. Como o ponto médioM da diagonal PQ é também ponto médio da diagonal OR, se chamarmos de r, s, t as coordenadas de R teremos por um lado, M = ( r 2 , s 2 , t 2 ) . Portanto r = x+x1, s = y+y1, t = z+z1 são coordenadas de R. Noutras palavras, tem-se u+v = −→ OR = (x+x1, y+y1, z+z1), conforme alegado. O fato de que as coordenadas do vetor soma u + v = (x + x1, y + y1, z + z1) são as coordenadas de u = (x, y, z) e v = (x1, y1, z1) permite deduzir, de modo imediato, as propriedades da adição de vetores a partir das conhecidas propriedades de números reais. Elas são: Comutatividade: u+ v = v + u. Associatividade: (u+ v) + w = u+ (v + w). Elemento neutro: u+ 0 = u. Inverso aditivo: todo vetor possui um inverso aditivo −v, tal que −v + v = 0. O vetor u+ (−v) escreve-se u− v e chama-se diferença entre u e v. As propriedades acima são válidas para todos vetores u, v, w. O elemento neutro da adição é o vetor nulo 0. O inverso aditivo do vetor v = −→ AB é o vetor −v = −→ BA. Em termos de coordenadas, se v = (x, y, z)então− v = (−x,−y,−z). Definiremos agora a multiplicação de um vetor v por um número real α , dando como resultado o vetor α · v. Seja v = −→ AB. Se α = 0 ou v = 0, poremos α · v = 0 (vetor nulo). Se α > 0, definiremos α · v = −→ AC, onde C é o ponto da reta AB tal que os sentidos de A para B e de A para C coincidam e d(A,C) = α · d(A,B). Se α < 0 então α1 = −α será 30 Alguns Resultados Matemáticos Figura 1.14: Produdo de um número (escalar) por um vetor positivo e definiremos α · v = −α1 · v (inverso aditivo do α1 · v, já definido). Fixando no espaço o sistema de eixos ortogonais OXY Z, seja v = (x, y, z) a representação do vetor v por suas coordenadas. Afirmamos que α·v = (α·x, α·y, α·z) é a representação de α · v. Para verificar a validez dessa afirmação, seja v = −→ OP , onde O é a origem do Figura 1.15: Representação do produto de um número α por um vetor sistema de eixos e P = (x, y, z). Se α > 0, a figura acima ilustra que, escrevendo α · v = −→ OQ = (x1, y1, z1), tem-se x1 = α ·x, em virtude de um conhecido teorema de Geometria Plana. ("Toda paralela à base de um triângulo divide outros dois lados em segmentos proporcionais"). Figuras análogas mostram que y1 = α · y e z1 = α · z, portanto α · v = −→ OQ = (α · x, α · y, α · z). Se α < 0, então α1 = −α é positivo e α ·v = −(α1 ·v) = −(α1 ·x, α1 ·y, α1 ·z) = (−α1 ·x,−α1 ·y,−α1 ·z) = (α ·x, α ·y, α ·z). Analogamente ao caso da soma, a expressão das coordenadas de α · v em termos das coordenadas de v permite deduzir rapidamente as propriedades formais da multiplicação de um vetor por um número real, que são as seguintes: Operação com vetores 31 Associatividade: α · (β · v) = (α · β) · v. Elemento neutro: 1 · v = v. Distributividade: α · (u+ v) = α · u+ α · v ; (α + β) · v = α · v + β · v. Prova: Consideremos um sistema de eixos OXY Z na qual as coordenadas de u e v sejam u = (x, y, z) e v = (x1, y1, z1). Então u+ v = (x+ x1, y+ y1, z+ z1). Portanto α · (u+ v) = (α(x+ x1), α(y + y1), α(z + z1)) α · (u+ v) = (α · x+ α · x1, α · y + α · y1, α · z + α · z1) α · (u+ v) = (α · x, α · y, α · z) + (α · x1, α · y1, α · z1) = α · u+ α · v. Diz-se que o vetor v é múltiplo do vetor u quando existe um número real α tal que v = α · u. É conveniente caracterizar o fato de um vetor ser múltiplo do outro em termos de suas coordenadas. Para isto, tomamos um sistema de eixosOXY Z e consideremos os vetores v1 = (x1, y1, z1) e v2 = (x2, y2, z2), dados por suas coordenadas relativamente a esse sistema. Teorema 1.1. A fim de que um dos vetores v1 = (x1, y1, z1) e v2 = (x2, y2, z2) seja múltiplo um do outro é necessário e suficiente que x1 · y2−x2 · y1 = x1 · z2−x2 · z1 = y1 · z2 − y2 · z1 = 0. Demonstração. Se um dos vetores é zero, nada há para provar. Podemos então admitir que v1 6= 0 e v2 6= 0. Para prova que a condição é suficiente, supomos válidas as três igualdades do final do enunciado. Consideremos α = x2 x1 portanto x2 = α·x1. De x1 ·y2−x2 ·y1 = 0 deduzimos y2 = α·y1 e de x1 ·z2−x2 ·z1 = 0 deduzimos z2 = α · z1. Portanto v2 = α · v1. Reciprocamente se um dos vetores (digamos, v2) é múltiplo do outro, de v2 = α · v1 deduzimos x2 = α · x1, y2 = α · y1, z2 = α · z1 e daí resulta imediatamente que α · x1y2 = α · x2y1, α · x1z2 = α · x2z1 e α · y1z2 = α · y2z1. Se α = 0, então x2 = y2 = z2 = 0 Se α 6= 0, por cancelamento obtemos x1y2 − x2y1 = x1z2 − x2z1 = y1z2 − y2z1 = 0. Estas igualdades são óbvias, além de desconsiderarmos o caso em que v2 = 0. Observações: 1. Salvo o caso em que um desses vetores é zero, v2 é múltiplo de v1 se, e somente se, v1 é um múltiplo de v2. 2. Dados dois vetores não-nulos, se um deles é múltiplo do outro, diz-se que esses 32 Alguns Resultados Matemáticos vetores são colineares. Esta terminologia é correta porque se −→ AC = α · −→ AB então os pontos A,B e C estão sobre a mesma reta. E reciprocamente, se A,B,C são pontos distintos situados sobre a mesma reta então existe α ∈ R tal que −→ AC = α · −→ AB. Basta tomar α = ±d(A,C) d(A,B) , escolhendo o sinal positivo se B e C estiverem no mesmo sentido de A e negativo no caso contrário. 3. Como pode-se perceber na demonstração, quando x1 6= 0, as igualdades x1 · y2 − x2 · y1 = x1 · z2 − x2 · z1 = 0⇒ y1 · z2 − y2 · z1 = 0. 4. Os números x1 · y2 − x2 · y1 = x1 · z2 − x2 · z1 = 0 ⇒ y1 · z2 − y2 · z1 = 0 são os determinantes (2 × 2) que podem se formar com as colunas da matriz[ x1 y1 z1 x2 y2 z2 ] . O Teorema pode também ser lido assim: a fim que os vetores v1 e v2 sejam não-colineares (ou linearmente independentes) é necessário e suficiente que pelo menos um desses determinantes (2× 2) seja diferente de zero. Dados os números reais α1, . . . , αn e os vetores v1, . . . , vn, o vetor v = α1 · v1 + α2 · v2 + · · ·+ αn · vn chama-se uma combinação linear de v1, . . . , vn. 1.6 O produto interno O produto interno de dois vetores é um número, a partir do qual, se pode exprimir a distância entre dois pontos, o ângulo entre duas retas orientadas e, em particular, seu perpendicularismo. A dedução das propriedades do produto interno, assim como o seu cálculo, fica mais fácil quando ele é expresso por meio de coordenadas. Entretanto, como veremos, o produto interno depende apenas dos vetores dados e não do sistema de eixo que se escolheu. Seja, portanto, OXY Z um sistema de eixos ortogonais no espaço, em relação a qual se tomam as coordenadas dos vetores u = (x, y, z) e v = (x1, y1, z1). Chama-se produto interno desses dois vetores (denotamos por 〈u, v〉) ao número 〈u, v〉 = x · x1 + y · y1 + z · z1. Para quaisquer vetores u, v, w e todo λ ∈ R, todas as propriedades a seguir são válidas. 1. 〈u, v〉 = 〈v, u〉 O produto interno 33 2. 〈u+ v, w〉 = 〈u,w〉+ 〈v, w〉; 3. 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉; 4. 〈λ · u, v〉 = λ · 〈u, v〉; 5. 〈u, λ · v〉 = λ · 〈u, v〉; 6. 〈0, v〉 = 〈v, 0〉 = 0; 7. 〈u, u〉 > 0 se u 6= 0. Se u = −→ OP = (x, y, z) então √ 〈u, u〉 = √ x2 + y2 + z2 é a distância do ponto P à origem O. Escreve-se √ 〈u, u〉 = ‖u‖ e chama-se este número de módulo, norma ou comprimento do vetor u. Tem-se ‖u‖ = ‖ − u‖ e ‖u‖2 = 〈u, u〉. Quando ‖u‖ = 1, diz-se que u é um vetor um vetor unitário. Como segmentos equipolentes têm mesmo comprimento e se u = −→ AB, então ‖u‖ = d(A,B). Segue que o comprimento de ‖u‖ não depende do sistema de eixos adotado. Mais geralmente, se u = (x, y, z) e v = (x1, y1, z1)⇒ u− v = (x− x1, y − y1, z − z1), portanto: ‖u− v‖ = √ (x− x1)2 + (y − y1)2 + (z − z1)2. Figura 1.16: Diferença entre vetores Fazendo u = −→ OP e v = −→ OQ, vemos que |u−v| é a distância entre os pontos P e Q. Diz-se também que ‖u− v‖ é a distância do vetor u ao vetor v. Evidentemente, ‖u− v‖2 = 〈u− v, u− v〉 = d(P,Q). Sejam u e v vetores não-nulos. Diz-se que u e v são ortogonais ou perpendicu- lares , e escreve-se u ⊥ v, quando, sendo u = −→ AB e v = −→ AC, as retas AB e AC são perpendiculares. Lema 1.1. Se os vetores u e v são ortogonais, então 〈u, v〉=0. 34 Alguns Resultados Matemáticos Figura 1.17: Vetores ortogonais Demonstração. Sejam u = −→ OP e v = −→ OQ, logo v − u = −→ PQ. Como u e v são ortogonais, PQ é a hipotenusa do triângulo retângulo OPQ. Pelo Teorema de Pitágoras, d(P,Q)2 = d(O,P )2 + d(O,Q)2, ou seja : ‖v − u‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2. (∗) De acordo com as propriedades do produto interno, temos: ‖v − u‖2 = 〈v − u, v − u〉 = 〈v, v〉 − 〈v, u〉 − 〈u, v〉+ 〈u, u〉 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2 · 〈u, v〉. (∗∗) Comparando as igualdades (*) e (**) concluímos que 〈u, v〉 = 0. Sejam u = ‖AB‖ e v = ‖AC‖ vetores não-nulos. O ângulo θ entre esses vetores é o menor ângulo de que é preciso girar a semirreta AB para fazê-la coincidir com a semirreta AC num plano Π que contenha os pontos A,B e C. Se α > 0, nota-se que o ângulo entre α · u e v é igual ao ângulo entre u e v. Teorema 1.2. Seja θ o ângulo entre os vetores não-nulos u e v. Tem-se 〈u, v〉 = ‖u‖ · ‖v‖ · cos θ Demonstração. Suponhamos, inicialmente, que u e v sejam vetores unitários. Colo- cando u = −→ OA e v = −−→ OB. Num plano Π que contenha C,A e B, seja u∗ = −→ OA∗ um vetor unitário ortogonal a u (Figura 1.18). A definição de seno e cosseno assegura que O produto interno 35 Figura 1.18: Produto interno 1 v = cosθ · u+ senθ · u∗ . Tomando o produto interno de ambos os membros desta igualdade por u, levando em conta que 〈u, u〉 = 1 e 〈u, u∗〉 = 0 pelo Lema 1.1, concluímos que 〈u, v〉 = cosθ. No caso geral (em que u e v podem não se unitários), tomamos u1 = u ‖u‖ e v1 = v ‖v‖ . (Isto significa u1 = λ · u, v1 = µ · v com λ = 1 ‖u‖ e µ = 1 ‖v‖). Então u = ‖u‖ · u1 e v = ‖v‖ · v1 logo 〈u, v〉 = ‖u‖ · ‖v‖ · 〈u1, v1〉. Mas u1 e v1 são vetores unitários, portanto 〈u1, v1〉 = cos θ, donde 〈u, v〉 = ‖u‖ · ‖v‖ · cos θ. Três consequências resultam imediatamente do Teorema1.1. (i) Vale a recíproca do Lema1.2: se 〈u, v〉 = 0 então os vetores não-nulos u e v são ortogonais, pois cos θ obriga o ângulo entre u e v seja 90◦. Figura 1.19: Produto interno 2 (ii) O produto interno de dois vetores não depende do sistema de eixos ortogonais em relação ao qual as coordenadas desses vetores são tomados. 36 Alguns Resultados Matemáticos (iii) A desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ · ‖v‖, em que a igualdade vale se, e somente se, u e v são colineares. A desigualdade resulta de (1.5), juntamente com o fato de que |cosθ| ≤ 1. A observação adicional provém de que | cos θ| = 1 se, e somente se, θ = 0◦ ou θ=180◦, casos esses, em que os dois vetores u e v são colineares. 1.7 Combinações e Permutações 1.7.1 Princípios Aditivo e Multiplicativo A procura por técnicas de contagem está diretamente ligada à história da Matemática e à forma pela qual as pessoas tem primeiro contato com esse assunto. A primeira técnica matemática aprendida por uma criança é "contar", ou seja, enumerar os elementos de um conjunto de forma a determinar quantos são seus elementos. As operações aritméticas são também motivadas (e aprendida pelas crianças) através de sua aplicação a problemas de contagem. Por exemplo, a operação de adição é sempre introduzida em conexão com um problema de contagem: Figura 1.20: Princípio aditivo A figura 1.19 ilustra um princípio básico de contagem, que podemos chamar de "Princípio Aditivo" .Se A e B são dois conjuntos disjuntos, com p e q elementos, respectivamente, então A ∪B possui p+ q elementos. A seguir apresentamos o "Princípio Multiplicativo", que, ao lado do "Princípio Aditivo", constitui a ferramenta básica para resolver problemas de contagem abordados no ensino médio. Para ressaltar tal princípio, consideremos o seguinte Combinações e Permutações 37 exemplo: Numa sala há 3 homens e 4 mulheres. De quantos modos é possível selecionar um casal homem-mulher? Chamando os homens de h1, h2, h3 e as mulheres de m1,m2,m3,m4 é fácil ver que há 4 casais nos quais o homem é h1, e outros 4 nos quais o homem é h2 e outros 4 nos quais o homem é h3. O número de casais é portanto 4 + 4 + 4 = 3 · 4 = 12. O exemplo acima ilustra o Princípio da Multiplicação, o qual diz: Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e se, uma vez tomada a decisão d1, a decisão d2 puder ser tomada de y maneiras, então o número de maneiras de se tomarem as decisões d1 e d2 é x · y. Assim, no exemplo, para formar um casal devemos tomar as decisões d1 : escolha do homem; d2 : escolha da mulher. Como d1 pode ser tomada de 3 maneiras e, depois disso, d2 pode ser tomada de 4 maneiras, o número de maneiras de se formar um casal (isto é, de tomar as decisões d1 e d2) é 3 · 4 = 12. Note que o uso do Princípio Multiplicativo permite obter o número de elementos do conjunto {h1m1, h1m2, h1m3, h1m4, h2m1, h2m2, h2m3, h2m4, h3m1, h3m2, h3m3, h3m4} consti- tuído por todos os casais possíveis, sem que seja necessário enumerar seus elementos. 1.7.2 Permutações Simples Dados n objetos distintos a1, a2, ..., an, de quantos modos é possível ordená-los? Por exemplo, para os objetos 1,2,3 há 6 ordenações: 123, 132, 213, 231, 312, 321. No caso geral temos n modos de escolher o objeto que ocupará a primeira posição, (n−1) modos de escolher o que ocupará a segunda posição, ..., 1 modo de escolher o objeto que ocupará a última posição. Portanto, o número de modos de ordenar n objetos distintos é n · (n− 1) · (n− 2) · ... · 1 = n! Cada ordenação dos n objetos é chamada uma permutação simples de n objetos e o número de permutações simples de n objetos é representado por Pn. Assim, Pn = n! (já que 0!=1, define-se P0 = 1) 38 Alguns Resultados Matemáticos 1.7.3 Combinações Simples De quantos modos podemos escolher p objetos entre n objetos distintos dados? Ou, semelhantemente, quantos são os subconjuntos com p elementos do conjunto {a1, a2, a3, ..., an}? Cada subconjunto com p elementos é chamado de uma combinação simples de classe p dos n objetos a1, a2, a3, ..., an. Assim, por exemplo, as combinações simples de classe 3 objetos dos elementos do conjunto {a1, a2, a3, a4, a5} são : {a1, a2, a3}; {a1, a2, a4}; {a1, a2, a5}; {a1, a3, a4}; {a1, a3, a5}; {a1, a4, a5}; {a2, a3, a4}; {a2, a3, a5}; {a2, a4, a5}; {a3, a4, a5}. O número de combinações simples de classe p de n objetos é representado por Cp n = Cn,p = ( n p ) Assim, C5,3=10. Analisemos esta resposta: escolha do 1o elemento da combinação pode ser feita de 5 modos; a do 2o, de 4 modos e a do 3o, de 3 modos. A resposta parece ser (5×4×3 = 60). Entretanto, se pensarmos numa combinação, por exemplo {a1, a2, a3}, verificamos que as combinações {a1, a2, a3}; {a1, a3, a2}; {a2, a1, a3};...etc são idênticas e foram contadas como se fossem diferentes. Com efeito, se dissermos que há 5 modos de escolher o 1o elemento da combinação é porque estamos considerando as escolhas a1 e a2 como diferentes e, portanto, estamos contando {a1, a2, a3} como diferente de {a2, a1, a3}. Em suma, na resposta 60 estamos contando cada combinação uma vez para cada ordem de escrever seus elementos. Como em cada combinação foi encontrada 6 vezes, logo, a resposta é 60 6 = 10. No caso geral temos Cp n = n · (n− 1) · (n− 2) · . . . · (n− (p− 1)) p! , 0 < p ≤ n, e C0 n = 1 Uma expressão alternativa pode ser obtida multiplicando o numerador e o denomi- nador por (n− p)!. Obtemos Cp n = n · (n− 1) . . . (n− p+ 1) · (n− p)! (n− p)!· p! ⇔ Cp n = n! (n− p)! · p! , 0 ≤ p ≤ n. � 2 Poliedros Neste capítulo, apresentamos a dedução formal e detalhada da Relação de Euler e mostramos também que são apenas cinco os poliedros regulares (Poliedros de Platão), de modo detalhado como uma motivação para as aulas de geometria espacial no ensino médio. Apresentamos ainda, a família dos deltaedros , fazendo sucintas referências e comentários. Ainda neste capítulo, mostramos as fórmulas para se calcular alguns elementos importantes dos deltaedros Platônicos (tetraedros, octaedro e icosaedro), como a distância entre um vértice e uma face , área superficial e volumes. Estes resultados encontram-se em [3] , [5] e [6] 2.1 Definição De modo geral, vamos estudar os sólidos formados por faces, os chamados poliedros. Do grego poly (vários) + edros (faces). Definição 2.1. Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos chamados faces, onde: • Cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e apenas um, outro polígono. • A interseção de duas faces quaisquer ou é um lado comum ou é um vértice ou é vazia. • Cada lado de um polígono, comum a exatamente duas faces, é chamado aresta do poliedro e cada vértice de uma face é um vértice do poliedro. Em relação as definições dadas, todo poliedro limita uma região do espaço chamada de interior desse poliedro. Definição 2.2. Um conjunto C, do plano ou do espaço, diz-se convexo, quando qualquer segmento de reta que liga dois pontos pertencentes a C, está inteiramente 39 40 Poliedros contido em C. Definição 2.3. Um poliedro é convexo se qualquer reta não paralela a uma das faces o corta em, no máximo, dois pontos. Figura 2.1: Poliedro convexo e Poliedro não convexo 2.2 As primeiras relações Dado um poliedro, vamos contar o número de faces, vértices e arestas. Conside- remos:  A o número de arestas V o número de vértices F o número de faces. Ainda, como as faces podem ser de gêneros diferentes, representaremos Fn(n ≥ 3) o número de faces que possuem n lados. Da mesma forma como os vértices podem ser de gêneros diferentes, representaremos por Vn o número de vértices nos quais concorrem n arestas e pela definição de poliedro, cada vértice é um ponto comum a três ou mais arestas. Temos então, as seguintes relações: F = F3 + F4 + F5 . . . V = V3 + V4 + V5 . . . Imaginando a planificação do poliedro em questão, quantos lados todos esses polí- gonos possuem? Bom, basta multiplicar o número de triângulos por 3, o número de quadriláteros por 4, o número de Pentágonos por 5 e assim por diante, e depois somar os resultados. Mas, como cada aresta do poliedro é lado exatamente duas faces, a soma anterior é igual ao dobro do número de arestas, ou seja: 2A = 3F3 + 4F4 + 5F5 + . . . (2.1) De maneira análoga, podemos contar o número de arestas observando o número de vértices. Se em cada vértice, contarmos quantas são as arestas que nele concorrem, Desigualdades importantes 41 somando os resultados obteremos também o dobro do número de arestas, desta forma: 2A = 3V3 + 4V4 + 5V5 + . . . (2.2) 2.3 Desigualdades importantes Das relações (2.1) e (2.2) podemos deduzir duas desigualdades importantes: 2A ≥ 3F, (2.3) 2A ≥ 3V. (2.4) Justificando a desigualdade (2.3): 2A = 3F3 + 4F4 + 5F5 + . . . 2A = 3(F3 + F4 + F5 + . . .) + F4 + 2F5 + . . . 2A = 3F + F4 + 2F5 + . . . 2A ≥ 3F Notemos que a igualdade só vale se F4 = F5 = . . . = 0, ou seja, se o poliedro tiver apenas faces triangulares. Justificando a desigualdade (2.4) 2A = 3V3 + 4V4 + 5V5 + . . . 2A = 3(V3 + V4 + V5 + . . .) + V4 + 2V5 + . . . 2A = 3V + V4 + 2V5 + . . . 2A ≥ 3V 42 Poliedros E a igualdade só vale se V4 = V5 = . . . = 0, ou seja, se o poliedro for formado por vértices, onde concorrem apenas 3 arestas. Vejamos agora, um dos resultados clássicos da geometria espacial. 2.4 Teorema de Euler Teorema 2.1. Em todo poliedro convexo com A arestas, V vértices e F faces, é válida a relação: V − A+ F = 2. Demonstração. Iniciamos a demonstração calculando a soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo P . Enumerando-se as faces do poliedro de 1 até F e sendo nk o gênero da k-ésima face (1 ≤ k ≤ F ), usaremos o resultado em que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de gênero n, isto é, o polígono possui n vértice e n lados, é igual a (n− 2)π. Lembrando que, um poliedro convexo é formado por faces poligonais convexas. Logo, a soma S dos ângulos internos de todas faces de P é dada por: S = π(n1 − 2) + π(n2 − 2) + ...+ π(nF − 2) S = π[(n1 − 2) + (n2 − 2) + ...+ (nF − 2)] S = π[(n1 + n2 + ...+ nF )− (2 + 2 + ...+ 2)] Observamos que: (n1 + n2 + ...+ nF ) = 2A, −(2 + 2 + ...+ 2) = −2F Assim: S = π(2A− 2F ), S = 2π(A− F ) (2.5) Consideremos uma reta r que não seja paralela a nenhuma das faces de P . Tomamos também um plano Π, que não intersecta P e que seja perpendicular a r. Teorema de Euler 43 O plano Π será chamado plano horizontal e as retas paralelas a r (perpendiculares a Π) serão chamadas retas verticais. Π divide o espaço em dois semi-espaços, um dos quais contém o poliedro P . Este será chamado semi-espaço superior e diremos que seus pontos estão acima de Π. Para ilustrar melhor este raciocínio, imaginaremos o sol brilhando a pino sobre o semi-espaço superior de modo que seus raios sejam retas verticais. A cada ponto C do semi-espaço superior corresponde um ponto X ′ em Π, chamado sombra de X. A sombra de qualquer conjunto C, contido no semi-espaço superior é, por definição, o conjunto C ′, contido em Π, formado pelas sombras de C. Figura 2.2: Região iluminada e região sombria Consideremos então, a sombra P ′ do poliedro P . Como P é convexo, cada ponto de P ′ é sombra de um ou dois pontos de P . Ora, a sombra P ′ do poliedro P tem como contorno um polígono convexo K ′, sombra de uma poligonal fechada K formada por arestas de P . Cada ponto K ′ é sombra de um único ponto de P . A poligonal K é chamada de contorno aparente do poliedro P . Cada ponto do interior de P ′ (não pertence a K ′) é sombra de exatamente dois pontos de P . Dados dois pontos de P que têm a mesma sombra, ao mais alto (mais distante de Π) chamaremos de ponto iluminado e o mais baixo será chamado sombrio. Depois dessas considerações, vamos calcular novamente a soma de todos o ângulos das faces de P , observando que a soma dos ângulos internos de uma face é a mesma soma dos ângulos internos de sua sombra (ambos são polígonos de mesmo gênero). Sejam, V1 o número de vértices iluminados, V2 o número de vértices sombrios e V0 o número de vértice do contorno aparente de K. Então: V = V0 + V1 + V2 Notemos ainda, que V0 é o número de vértices (e de lados) da poligonal K ′, contorno de P ′. Consideremos então a sombra das faces iluminadas. A sombra das faces iluminadas é o polígono convexo com V0 vértices em seu contorno 44 Poliedros Figura 2.3: Poliedro com faces iluminadas e V1 pontos interiores, sombra dos vértices iluminados de P . A soma de todos os ângulos da figura anterior é: S1 = 2πV1 + π(V0 − 2) Por raciocínio inteiramente análogo, obteríamos para soma de todos os ângulos da sombra das faces sombrias, S2 = 2πV2 + π(V0 − 2) Somando essas duas igualdades, temos: S = 2πV1 + 2πV2 + 2π(V0 − 2) S = 2π(V1 + V2 + V0 − 2) Mas, V0 + V1 + V2 = V Portanto, S = 2π(V − 2) (2.6) Comparando as igualdades (2.5) e (2.6), temos: Poliedros regulares 45 S = 2π(A− F ) S = 2π(V − 2) 2π(A− F ) = 2π(V − 2) A− F = V − 2 V + F − A = 2 � 2.5 Poliedros regulares Definição 2.4. Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são polígonos regulares iguais e em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas. Teorema 2.2. Existem apenas cinco poliedros regulares convexos. Demosntração: Seja n o número de lados de cada face e seja p o número de arestas que concorrem em cada vértice. Temos então: 2A = n · F = p · V ou A = n · F 2 e V = n · F p Substituindo na relação de Euler, obtemos: V − A+ F = 2 n · F p − n · F 2 + F = 2 2n.F − n · F · p+ 2p · F = 4p 46 Poliedros F (2n− np+ 2p) = 4p F = 4p (2n− np+ 2p) Devemos ter 2p+ 2n− np > 0, ou seja: 2n > p(n− 2) 2n (n− 2) > p Como p ≥ 3, chegamos a n < 6. Temos então, as seguintes possibilidades: n = 3→ F = 4p 6− p →  p = 3→ F = 4 , (tetraedro), p = 4→ F = 8 , (octaedro), p = 5→ F = 20 , (icosaedro) n = 4→ F = 2p 4− p → p = 3→ F = 6 (cubo) n = 5→ F = 4p 10− 3p → p = 3→ F = 12 (dodecaedro) Portanto, só existem cinco poliedros regulares convexos, são eles: Figura 2.4: Poliedros regulares Deltaedros 47 2.6 Deltaedros A família dos deltaedros é formada por poliedros cujas faces são triângulos equi- láteros, chamam-se assim, porque a letra grega delta maiúscula (∆) tem o formato de um triângulo equilátero. Os deltaedros são em número infinito, pois podemos imaginar por exemplo um octaedro e depois colar numa das suas faces um tetraedro, e depois na face deste tetraedro outro tetraedro, e assim sucessivamente, obtendo assim tantos deltaedros quantos quisermos. Mas os matemáticos Freudenthal e Van der Waerden demonstraram em 1947, que existem apenas oito deltaedros convexos. Nas figuras a seguir apresentamos os oito deltaedros convexos. Figura 2.5: Família dos deltaedros convexos Em segundo lugar, os deltaedros convexos têm um número par de faces. A demonstração deste fato é bem simples: se for F o número de faces e A o número de arestas, como as faces são triângulos, A = 3F/2 pois cada aresta tem duas faces adjacentes. Logo o número de faces tem que ser par (pois F/2 tem que ser inteiro). Assim, ficamos reduzidos teoricamente a 9 possibilidades, com 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 e 20 lados. O fato de não existir o deltaedro com 18 faces, e portanto de existirem apenas 8 realmente, está demonstrado nas referências bibliográficas já indicadas. Julgamos que depois de encontrados os 8 deltaedros convexos, feitos 48 Poliedros com Criat-Ímã ou analisando as respectivas planificações, é interessante contar as suas faces, arestas e vértices e elaborar uma tabela. Nessa tabela, Vamos designar todos por Dn, sendo n o número de faces. Figura 2.6: Tabela 1 Construção do tetraedro regular 49 2.7 Construção do tetraedro regular Consideremos um triângulo equilátero ABC de lado L e marcamos o baricentro E. Sabemos que o raio R de uma circunferência circunscrita a um triângulo equilátero equivale a 2 3 de sua mediana. Portanto se a é o apótema do triângulo equilátero ABC, então, a medida da mediana é 3a e assim, calculamos a em função de L. façamos uma figura ilustrativa da situação. Figura 2.7: Vista superior do tetraedro Sabemos também, que em um triângulo equilátero as medianas, as alturas e as bissetrizes coincidem, assim, os triângulo ABH e ACH são retângulos congruentes. Aplicando-se o teorema de Pitágoras no triângulo ABH, temos: ( L 2 )2 + (3a)2 = L2 =⇒ 9a2 = ( 4L2 − L2 4 ) =⇒ a2 = ( 3L2 36 ) =⇒ a2 = L2 12 , Agora, aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo BEH, então: R2 = a2 + ( L 2 )2 . Fazendo a2 = L2 12 , temos: R2 = L2 12 + L2 4 =⇒ R2 = 4L2 12 =⇒ R2 = L2 3 =⇒ R = L√ 3 =⇒ R = L √ 3 3 . 50 Poliedros Como, no triângulo equilátero, o ortocentro coincide com o baricentro, podemos calcular o apótema a em função de L. Pelo baricentro E, equidistante de A,B e C, com medida R = L √ 3 3 . Traçamos o segmento ED, perpendicular ao plano que contém o triângulo ABC, de medida h conforme veremos a seguir: Figura 2.8: Tetraedro regular Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo AED, calculamos h em função de L, logo: L2 = R2 +h2 ⇒ h2 = L2− ( L √ 3 3 )2 ⇒ h2 = 9L2 9 − 3L2 9 ⇒ h2 = 6L2 9 ⇒ h = L √ 6 3 . � 2.7.1 Volume do tetraedro regular Como o volume de uma pirâmide é 1 3 do volume do prisma correspondente, que por sua vez tem o seu volume obtido pelo produto da área da sua base pela sua altura, e a área de um triângulo equilátero é obtida por L2 √ 3 4 , é só calcularmos o volume (VT ) do tetraedro regular em função da medida de sua aresta (L). VT = 1 3 · Ab · h⇔ VT = 1 3 · L 2 √ 3 4 · L √ 6 3 ⇔ VT = L3 · √ 18 36 ⇔ VT = L3 · √ 2 12 . � Construção do octaedro regular 51 2.8 Construção do octaedro regular Consideremos um quadrado ABCD de lado L e marcamos o centro E, intersecção de suas diagonais. Sabemos que o raio R de uma circunferência circunscrita a um quadrado equivale a L · √ 2 2 , ou seja, metade de sua diagonal. Figura 2.9: Vista superior do octaedro Traçamos os segmentos EF e EG, perpendiculares ao plano que contém o quadrado ABCD, de medida L √ 2 2 , conforme a figura: Figura 2.10: Octaedro Regular 52 Poliedros 2.8.1 Volume do Octaedro Regular O octaedro regular é formado por duas pirâmides de base quadrangular, de lado L e altura L √ 2 2 . Calculando-se o volume de uma das pirâmides e dobrando esse resultado, obtemos assim, o volume do octaedro regular. Então: V = 2 · 1 3 · Ab · h⇔ V = 2 3 · L2 · L √ 2 2 ⇔ V = L3 √ 2 3 . � 2.9 Volume do icosaedro regular Figura 2.11: Tetraedro inscrito no icosaedro regular Podemos inferir que o icosaedro é constituído por vinte tetraedros inscritos, porém, não regulares, com um triângulo equilátero de lado L na base. Nesse caso, restaria calcular a medida das arestas laterais e da altura para verificar se o cálculo levaria à fórmula do volume do icosaedro regular. Para que os tetraedros se encaixem perfeitamente, suas arestas laterais devem convergir no centro O do icosaedro. Assim, a diagonal maior d do icosaedro, partindo de um vértice F e chegando ao vértice oposto H, também passaria pelo centro O, e corresponderia a duas vezes a aresta lateral do tetraedro, apoiando-se na hipótese de simetria que, no caso do icosaedro regular, é bastante sugestiva para o aluno do Ensino Médio. Visualizando as figuras a seguir, podemos destacar duas secções planas no icosaedro. A primeira é um pentágono regular (mais uma vez apoiando-se na intuição de simetria e regularidade) que forma a base de uma pirâmide pentagonal cujo vértice é um vértice do icosaedro Volume do icosaedro regular 53 Figura 2.12: Secções planas no icosaedro regular (figura 2.12). A segunda secção, um hexágono, é determinada a partir de um corte que divide o icosaedro pela metade através de dois vértices opostos. Tal hexágono possui duas arestas L e quatro arestas h, sendo h a altura dos triângulos equiláteros que formam as faces do icosaedro regular (veja figura 2.12). A interseção entre as duas secções é o segmento i (figuras 2.13). Figura 2.13: Intersecção das secções planas O segmento áureo no pentágono regular O segmento i nada mais é do que a diagonal do pentágono regular. O triângulo isósceles ABC é semelhante ao triângulo BOA (figura 2.14) pelo caso (AA), logo: 54 Poliedros Figura 2.14: Segmento áureo L x = L+ x L ⇔ x2 + Lx− L2 = 0⇔ x = ( √ 5− 1)L 2 , x > 0 i = BC = (x+ L) = ( √ 5− 1)L 2 + 2L 2 = ( √ 5 + 1)L 2 Portando, i está na proporção áurea em relação ao lado L. Cálculo da diagonal maior do icosaedro e da aresta lateral do tetraedro Voltando ao hexágono, segue do Teorema de Pitágoras que a medida da diagonal maior do icosaedro d (ver figura 2.13): d2 = L2+ ( ( √ 5 + 1)L2 2 )2 ⇔ d2 = L2+ (6 + 2 √ 5)L2 4 ⇔ d2 = 4L2 4 + (6 + 2 √ 5)L2 4 ⇔ d2 = 10L2 + 2 √ 5L2 4 ⇔ d = L · √ 2(5 + √ 5) 2 . Volume do icosaedro regular 55 Conhecendo a diagonal d do icosaedro, é possível calcular a aresta a do tetraedro, uma vez que esta equivale à metade da diagonal (ver figura 2.11): a = d 2 = L · √ 2(5 + √ 5) 4 . Volume dos tetraedros Conhecendo a medida da aresta a e sabendo que a base do tetraedro (figura a seguir) é um triângulo equilátero de lado L, temos: Figura 2.15: Tetraedro HM = L √ 3 3 , MN = L √ 3 6 e HN = L √ 3 2 . Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo HMV , temos: a2 = HM 2 +MV 2 ⇔ ( L √ 5 + √ 5 4 )2 = ( L √ 3 3 )2 + h2 ⇔ 56 Poliedros 2L(5 + √ 5) 16 = h2 + 3L √ 3 9 ⇔ h2 = 18L2(5 + √ 5) 144 − 48L2 144 ⇔ h2 = (90 + 18 √ 5)L2 − 48L2 144 ⇔ h2 = (42 + 18 √ 5)L2 144 ⇔ h = √ (42 + 18 √ 5)L2 144 ⇔ h = L √ 6(7 + 3 √ 5) 12 . Conhecida a altura h e sabendo que a área da base do tetraedro (t) é L2 √ 3 4 , obtemos seu volume: Vt = 1 3 · L 2 √ 3 4 · L √ 6(7 + 3 √ 5) 12 ⇔ Vt = L3 √ 2(7 + 3 √ 5) 48 . O volume do icosaedro regular Finalmente, obtem-se o volume do icosaedro (Vi), multiplicando-se o volume do tetraedro (Vt) por vinte, logo: Vi = 20 · Vt ⇔ Vi = 20 · L3 √ 2(7 + 3 √ 5) 48 ⇔ Vi = 5 · L3 √ (14 + 6 √ 5) 12 ⇔ Vi = 5 · L3 √ 9 + 2 · 3 · √ 5 + ( √ 5)2 12 ⇔ Vi = 5 · L3 √ (3 + √ 5)2 12 ⇔ Vi = 5 · L 3(3 + √ 5) 12 . � 3 Bimedianas Neste capítulo vamos apresentar alguns resultados gerais envolvendo n pontos em um Espaço Euclidiano, generalizando a conhecida fórmula para medianas do triângulo e, por outro lado, duas outras fórmulas envolvendo tantos as medianas quanto as bimedianas do tetraedro. Estes resultados foram obtidos por Fonda [2]. 3.1 Motivação Proposição 3.1. Para qualquer triângulo, a soma dos quadrados das medidas de suas três medianas é igual a três quartos da soma dos quadrados das medidas de seus lados. Figura 3.1: As medianas de um triângulo Demonstração. De acordo com a figura 3.1, precisamos calcular a soma ‖ −−→ AM‖2 + ‖ −−→ BN‖2 + ‖ −→ CO‖2. Notemos que 57 58 Bimedianas • Como −−→ AM = −→ AB + −−→ BM e −−→ BM = 1 2 −−→ BC, então ‖ −−→ AM‖2 = ‖ −→ AB + −−→ BM‖2 = 〈 −→ AB + −−→ BM, −→ AB + −−→ BM〉 = ‖ −→ AB‖2 + ‖ −−→ BM‖2 + 2〈 −→ AB, −−→ BM〉 = ‖ −→ AB‖2 + 1 4 ‖ −−→ BC‖2 + 〈 −→ AB, −−→ BC〉 = ‖ −→ BA‖2 + 1 4 ‖ −−→ BC‖2 − 〈 −→ BA, −−→ BC〉 • Como −−→ BN = −−→ BC + −−→ CN e −−→ CN = 1 2 −→ CA, então ‖ −−→ BN‖2 = ‖ −−→ BC + −−→ CN‖2 = 〈 −−→ BC + −−→ CN, −−→ BC + −−→ CN〉 = ‖ −−→ BC‖2 + ‖ −−→ CN‖2 + 2〈 −−→ BC, −−→ CN〉 = ‖ −−→ BC‖2 + 1 4 ‖ −→ CA‖2 + 〈 −−→ BC, −→ CA〉 = ‖ −−→ CB‖2 + 1 4 ‖ −→ CA‖2 − 〈 −−→ CB, −→ CA〉 • Como −→ CO = −→ CA+ −→ AO e −→ AO = 1 2 −→ AB, então ‖ −→ CO‖2 = ‖ −→ CA+ −→ AO‖2 = 〈 −→ CA+ −→ AO, −→ CA+ −→ AO〉 = ‖ −→ CA‖2 + ‖ −→ AO‖2 + 2〈 −→ CA, −→ AO〉 = ‖ −→ CA‖2 + 1 4 ‖ −→ AB‖2 + 〈 −→ CA, −→ AB〉 = ‖ −→ AC‖2 + 1 4 ‖ −→ AB‖2 − 〈 −→ AC, −→ AB〉 Assim, ‖ −−→ AM‖2 + ‖ −−→ BN‖2 + ‖ −→ CO‖2 = ‖ −→ BA‖2 + 1 4 ‖ −−→ BC‖2 − 〈 −→ BA, −−→ BC〉+ + ‖ −−→ CB‖2 + 1 4 ‖ −→ CA‖2 − 〈 −−→ CB, −→ CA〉+ + ‖ −→ AC‖2 + 1 4 ‖ −→ AB‖2 − 〈 −→ AC, −→ AB〉 (3.1) Motivação 59 Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo ABC em cada um dos seus lados, temos: • Em relação ao lado BC: ‖ −−→ CB‖2 = ‖ −→ AC‖2 + ‖ −→ AB‖2 − 2‖ −→ AC‖‖ −→ AB‖ cos(Â) cos(Â) = ‖ −→ AC‖2 + ‖ −→ AB‖2 − ‖ −−→ CB‖2 2‖ −→ AC‖‖ −→ AB‖ • Em relação ao lado AC: ‖ −→ AC‖2 = ‖ −−→ BC‖2 + ‖ −→ BA‖2 − 2.‖ −−→ BC‖.‖ −→ BA‖. cos(B̂) cos(B̂) = ‖ −−→ BC‖2 + ‖ −→ BA‖2 − ‖ −→ AC‖2 2.‖ −−→ BC‖.‖ −→ BA‖ • Em relação ao lado AB: ‖ −→ AB‖2 = ‖ −−→ CB‖2 + ‖ −→ CA‖2 − 2.‖ −−→ CB‖.‖ −→ CA‖. cos(Ĉ) cos(Ĉ) = ‖ −−→ CB‖2 + ‖ −→ CA‖2 − ‖ −→ AB‖2 2.‖ −−→ CB‖.‖ −→ CA‖ Logo, • 〈 −→ AC, −→ AB〉 = ‖ −→ AC‖ · ‖ −→ AB‖ · cos(Â) = 1 2 ( ‖ −→ AC‖2 + ‖ −→ AB‖2 − ‖ −−→ CB‖2 ) • 〈 −→ BA, −−→ BC〉 = ‖ −→ BA‖ · ‖ −−→ BC‖ · cos(B̂) = 1 2 ( ‖ −−→ BC‖2 + ‖ −→ BA‖2 − ‖ −→ AC‖2 ) • 〈 −−→ CB, −→ CA〉 = ‖ −−→ CB‖ · ‖ −→ CA‖ · cos(Ĉ) = 1 2 ( ‖ −−→ CB‖2 + ‖ −→ CA‖2 − ‖ −→ AB‖2 ) e 〈 −→ AC, −→ AB〉+ 〈 −→ BA, −−→ BC〉+ 〈 −−→ CB, −→ CA〉 = 1 2 ( ‖ −→ AB‖2 + ‖ −−→ BC‖2 + ‖ −→ AC‖2 ) . (3.2) Portanto, das igualdades (3.1) e (3.2), obtemos ‖ −−→ AM‖2 + ‖ −−→ BN‖2 + ‖ −→ CO‖2 = ( ‖ −→ BA‖2 + 1 4 ‖ −→ AB‖2 ) + ( ‖ −−→ CB‖2 + 1 4 ‖ −−→ BC‖2 ) + + ( ‖ −→ AC‖2 + 1 4 ‖ −→ CA‖2 ) − 1 2 ( ‖ −→ AB‖2 + ‖ −−→ BC‖2 + ‖ −→ AC‖2 ) = ( 1 + 1 4 − 1 2 ) · ( ‖ −→ AB‖2 + ‖ −−→ BC‖2 + ‖ −→ AC‖2 ) = 3 4 · ( ‖ −→ AB‖2 + ‖ −−→ BC‖2 + ‖ −→ AC‖2 ) . Um pouco menos conhecidas são as fórmulas análogas para o tetraedro. Definição 3.1. Uma mediana de um tetraedro é o segmento que liga um vértice ao baricentro da face oposta a este vértice. 60 Bimedianas Figura 3.2: As medianas de um tetraedro Proposição 3.2. Para qualquer tetraedro, a soma dos quadrados das medidas de suas quatro medianas é igual a quatro nonos da soma dos quadrados das medidas de suas arestas. Demonstração. A distância do vértice A até o baricentro do triângulo BCD é: d ( A, (B + C +D) 3 )2 = 〈 A− ( B + C +D 3 ) , A− ( B + C +D 3 )〉 = 〈 A−B + 2B 3 − ( C +D 3 ) , A−B + 2B 3 − ( C +D 3 )〉 = 〈 (A−B) + 1 3 · (B − C) + 1 3 · (B −D), (A−B) + 1 3 · (B − C) + 1 3 · (B −D) 〉 = ‖A−B‖2+ 1 9 ·‖B−C‖2+ 1 9 ·‖B−D‖2+ 2 3 〈(A−B), (B−C)〉+ 2 3 〈(A−B), (B−D)〉+ + 2 9 〈(B − C), (B −D)〉. A distância do vértice B até o baricentro do triângulo ACD é: d ( B, (A+ C +D) 3 )2 = 〈 B − ( A+ C +D 3 ) , B − ( A+ C +D 3 )〉 = 〈 (B − C) + 1 3 · (C − A) + 1 3 · (C −D), (B − C) + 1 3 · (C − A) + 1 3 · (C −D) 〉 = ‖B−C‖2+1 9 ·‖C−A‖2+1 9 ·‖C−D‖2+2 3 ·〈(B−C), (C−A)〉+2 3 ·〈(B−C), (C−D)〉+ + 2 9 〈(C − A), (C −D)〉. A distância do vértice C até o baricentro do triângulo ABD é: d ( C, (A+B +D) 3 )2 = 〈 C − ( B + C +D 3 ) , C − ( B + C +D 3 )〉 Motivação 61 = 〈 (C − A) + 1 3 · (A−B) + 1 3 · (A−D), (C − A) + 1 3 · (A−B) + 1 3 · (A−D) 〉 = ‖C−A‖2+ 1 9 ·‖A−B‖2+ 1 9 ·‖A−D‖2+ 2 3 〈(C−A), (A−B)〉+ 2 3 〈(C−A), (A−D)〉+ + 2 9 〈(A−B), (A−D)〉. A distância do vértice D até o baricentro do triângulo ABC é: d ( D, (A+B + C) 3 )2 = 〈 D − ( A+B + C 3 ) , D − ( A+B + C 3 )〉 = 〈( (D − C) + 1 3 · (C − A) + 1 3 · (C −B) , (D − C) + 1 3 · (C − A) + 1 3 · (C −B) )〉 = ‖D−C‖2+ 1 9 ·‖C−A‖2+ 1 9 ·‖C−B‖2+ 2 3 〈(D−C), (C−A)〉+ 2 3 〈(D−C), (C−B)〉+ + 2 9 〈(C − A), (C −B)〉. Somando as distâncias temos: d ( A, (B + C +D) 3 )2 + d ( B, (A+ C +D) 3 )2 + d ( C, (A+B +D) 3 )2 + +d ( D, (A+B + C) 3 )2 = = 10 9 ‖A−B‖2+ 11 9 ‖B−C‖2+ 1 9 ‖B−D‖2+ 11 9 ‖C−A‖2+ 10 9 ‖C−D‖2+ 1 9 ‖A−D‖2+ + 2 3 〈(A−B), (B − C)〉+ 2 3 〈(A−B), (B −D)〉+ 2 9 〈(B − C), (B −D)〉+ + 2 3 〈(B − C), (C − A)〉+ 2 3 〈(B − C), (C −D)〉+ 2 9 〈(C − A), (C −D)〉+ + 2 3 〈(C − A), (A−B)〉+ 2 3 〈(C − A), (A−D)〉+ 2 9 〈(A−B), (A−D)〉+ + 2 3 〈(D − C), (C − A)〉+ 2 3 〈(D − C), (C −B)〉+ 2 9 〈(C − A), (C −B)〉 = 10 9 ‖A−B‖2+ 11 9 ‖B−C‖2+ 1 9 ‖B−D‖2+ 11 9 ‖C−A‖2+ 10 9 ‖C−D‖2+ 1 9 ‖A−D‖2+ −2 3 〈(A−B), (C −B)〉 − 2 3 〈(A−B), (D −B)〉+ 2 9 〈(C −B), (D −B)〉+ −2 3 〈(B − C), (A− C)〉 − 2 3 〈(B − C), (D − C)〉+ 2 9 〈(A−B), (A−D)〉+ 62 Bimedianas −2 3 〈(C − A), (B − A)〉 − 2 3 〈(C − A), (D − A)〉+ 2 9 〈(B − A), (D − A)〉+ −2 3 〈(D − C), (A− C)〉 − 2 3 〈(D − C), (B − C)〉+ 2 9 〈(A− C), (B − C)〉 = 10 9 ‖A−B‖2+ 11 9 ‖B−C‖2+ 1 9 ‖B−D‖2+ 11 9 ‖C−A‖2+ 10 9 ‖C−D‖2+ 1 9 ‖A−D‖2+ −2 3 〈(A−B), (C −B)〉 − 2 3 〈(A−B), (D −B)〉+ 2 9 〈(C −B), (D −B)〉+ −4 9 〈(B − C), (A− C)〉 − 4 3 〈(B − C), (D − C)〉 − 4 9 〈(A−B), (A−D)〉+ −2 3 〈(C − A), (B − A)〉 − 2 3 〈(C − A), (D − A)〉+ 2 9 〈(B − A), (D − A)〉. Aplicando a lei dos cossenos, obtemos: = 10 9 ‖A−B‖2+ 11 9 ‖B−C‖2+ 1 9 ‖B−D‖2+ 11 9 ‖C−A‖2+ 10 9 ‖C−D‖2+ 1 9 ‖A−D‖2+ + 1 3 ‖A−C‖2 − 1 3 ‖A−B‖2 − 1 3 ‖B −C‖2 + 1 3 ‖A−D‖2 − 1 3 ‖A−B‖2 − 1 3 ‖B −D‖2 −1 3 ‖C −D‖2 − 1 9 ‖B −C‖2 + 1 9 ‖B −D‖2 + 2 9 ‖A−B‖2 − 2 9 ‖A−C‖2 − 2 9 ‖A−C‖2 + 2 3 ‖B −D‖2 − 2 3 ‖B −C‖2 − 2 3 ‖C −D‖2 + 2 9 ‖A−D‖2 − 2 9 ‖A−C‖2 − 2 9 ‖C −D‖2 + 1 3 ‖B −C‖2 − 1 3 ‖A−C‖2 − 1 3 ‖A−B‖2 + 1 3 ‖C −D‖2 − 1 3 ‖A−C‖2 − 1 3 ‖A−D‖2 −1 3 ‖B −D‖2 + 1 9 ‖A−B‖2 + 1 3 ‖A−D‖2 = 10 9 ‖A−B‖2+ 11 9 ‖B−C‖2+ 1 9 ‖B−D‖2+ 11 9 ‖C−A‖2+ 10 9 ‖C−D‖2+ 1 9 ‖A−D‖2+ + ( −1 3 − 1 3 + 2 9 − 1 3 + 1 9 ) ‖A−B‖2 + ( 1 3 − 2 9 − 2 9 − 1 3 − 1 3 ) ‖A− C‖2+ + ( 1 3 + 2 9 − 1 3 + 1 9 ) ‖A−D‖2 + ( −1 3 + 1 9 − 2 9 − 2 3 + 1 3 ) ‖B − C‖2+ + ( −1 3 + 1 9 + 2 3 − 1 9 ) ‖B −D‖2 + ( −1 3 − 2 3 − 2 9 + 1 3 ) ‖C −D‖2 Motivação 63 = ( 10 9 − 6 9 ) ‖A−B‖2 + ( 11 9 − 7 9 ) ‖B − C‖2 + ( 1 9 + 3 9 ) ‖B −D‖2+ + ( 11 9 − 7 9 ) ‖C − A‖2 + ( 10 9 − 6 9 ) ‖C −D‖2 + ( 1 9 + 3 9 ) ‖A−D‖2+ = 4 9 (‖A−B‖2 + ‖B − C‖2 + ‖B −D‖2 + ‖C − A‖2 + ‖C −D‖2 + ‖A−D‖2) . Um resultado análogo é obtido se consideramos as bimedianas em vez das medianas. Definição 3.2. Uma bimediana é o segmento que liga os pontos médios de duas arestas opostas do tetraedro. Figura 3.3: As bimedianas de um tetraedro Proposição 3.3. Para qualquer tetraedro, a soma dos quadrados das medidas de suas três bimedianas é igual a um quarto da soma dos quadrados das medidas de suas arestas. Demonstração. Notemos que (i). ( A+B 2 , C +D 2 ) = 〈 1 2 (A− C) + 1 2 (B −D), 1 2 (A− C) + 1 2 (B −D) 〉 = 1 4 ‖A− C‖2 + 1 4 ‖B −D‖2 + 1 2 〈A− C,B −D〉 . (ii). d ( A+ C 2 , B +D 2 ) = 〈 1 2 (A−B) + 1 2 (C −D), 1 2 (A−B) + 1 2 (C −D) 〉 = 1 4 ‖A−B‖2 + 1 4 ‖C −D‖2 + 1 2 〈A−B,C −D〉 . 64 Bimedianas (iii). ( A+D 2 , B + C 2 ) = 〈 1 2 (A−B) + 1 2 (D − C), 1 2 (A−B) + 1 2 (D − C) 〉 = 1 4 ‖A−B‖2 + 1 4 ‖D − C‖2 + 1 2 〈A−B,D − C〉 . Observando que • 〈A−C,B−D〉 = 〈(A−C) + (B−B), B−D〉 = 〈(A−B) + (B−C), B−C〉 =〈A−B,B −D〉+ 〈B − C,B −D〉 = −〈A−B,B −D〉+ 〈C −B,D −B〉 = 1 2 (‖A−D‖2 − ‖A−B‖2 − ‖B −D‖2)+1 2 (−‖C −D‖2 + ‖B − C‖2 + ‖B −D‖2) = 1 2 (‖A−D‖2 − ‖A−B‖2 − ‖C −D‖2 + ‖B − C‖2) • 〈A−B,C −D〉+ 〈A−B,D − C〉=〈A+B, (C −D) + (D − C)〉 = 0, então somando (i), (ii) e (iii), temos: 1 4 ‖A− C‖2 + 1 4 ‖B −D‖2 + 1 4 (‖A−D‖2 − ‖A−B‖2 − ‖C −D‖2 + ‖B − C‖2) + 1 2 ‖A−B‖2 + 1 2 ‖C −D‖2 = 1 4 (‖A−B‖2 + ‖A− C‖2 + ‖A−D‖2 + ‖B − C‖2 + ‖B −D‖2 + ‖C −D‖2) . Nosso objetivo é apresentar uma generalização destas três proposições para um número arbitrário de pontos (vértices), isto é, denotando a distância euclidiana entre dois pontos A e B por d(A,B) = ‖A−B‖ = √ (A−B) · (A−B), vamos generalizar as seguintes fórmulas: 1. Sejam A, B e C os vértices de um triângulo. Então, d ( A, B + C 2 )2 +d ( B, A+ C 2 )2 +d ( C, A+B 2 )2 = 3 4 [ d(A,B)2 + d(A,C)2 + d(B,C)2 ] . A fórmula geral 65 2. Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro. Então, d ( A, B + C +D 3 )2 +d ( B, A+ C +D 3 )2 +d ( C, A+B +D 3 )2 +d ( D, A+B + C 3 )2 = 4 9 [ d(A,B)2 + d(A,C)2 + d(A,D)2 + d(B,C)2 + d(B,D)2 + d(C,D)2 ] . 3. Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro. Então, d ( A+B 2 , C +D 2 )2 + d ( A+ C 2 , B +D 2 )2 + d ( A+D 2 , B + C 2 )2 = 1 4 [ d(A,B)2 + d(A,C)2 + d(A,D)2 + d(B,C)2 + d(B,D)2 + d(C,D)2 ] . Observação: Nesta última fórmula, poderíamos ter considerado seis bimedianas, cada uma partindo de uma aresta até a aresta oposta. Nós escrevemos apenas três delas porque as outras coincidem com estas aos pares. Para evitar possíveis desentendimentos adiante, será preferível lidar com médias em vez de somas. Em geral, dado um conjunto finito de números reais S = {x1, . . . , xN}, usaremos a notação Média S = x1 + . . .+ xN N . 3.2 A fórmula geral A ideia da generalização das três proposições é a seguinte: Dado um conjunto de n pontos (a) fixamos os inteiros j e k satisfazendo j ≥ 1, k ≥ 1 e j + k ≤ n. (b) dos n pontos, tomamos dois subconjuntos distintos, um formado de j pontos e o outro formado de k pontos. (c) determinamos o baricentro de cada subconjunto e o quadrado da distância entre estes dois baricentros. (d) repetimos o item (c) para todas as possíveis escolhas dos dois subconjuntos. Concluímos que existe uma constante α com a seguinte propriedade: A média dos quadrados das distâncias entre os pares de baricentros assim obtidos é igual à constante α multiplicada pela média dos quadrados das medidas de todos os segmentos ligando os n pontos. 66 Bimedianas Teorema 3.1. Sejam n, j e k três inteiros tais que n ≥ 3, j ≥ 1, k ≥ 1, j+ k ≤ n e αj,k = j + k 2jk . Então, dados n pontos A1, A2, ..., An, Média  d ( Ai1 + · · ·+ Aij j , Aij+1 + · · ·+ Aij+k k )2 : 1 ≤ i1 < ... < ij ≤ n, 1 ≤ ij+1 < ... < ij+k ≤ n {i1, ..., ij} ∩ {ij+1, ..., ij+k} = ∅  = αj,k Média {d(Ap, Aq) 2 : 1 ≤ p < q ≤ n} Observação: A respeito da fórmula acima, notamos que a média aritmética no primeiro membro envolve termos da forma ( n j ) · ( n−j k ) , enquanto que no segundo membro temos a média quadrática das distâncias entre os pontos A1, ..., An tomados 2 a 2, que envolve termos da forma ( n 2 ) . Notemos que, a constante α não depende de n, mas apenas de j e k. Antes de apresentarmos a prova do teorema, consideremos alguns casos particu- lares. O caso n = 3, j = 1, k = 2 nos dá a Proposição 3.1. Por outro lado, tomando n = 4, j = 1, k = 3 temos a Proposição 3.2, enquanto que com n = 4, j = 2, k = 2 obtemos a Proposição 3.3. Nestes casos, temos que α1,2 = 3 4 , α1,3 = 2 3 , α2,2 = 1 2 . Definição 3.3. No caso geral de n pontos, uma mediana é um segmento que une um dos pontos ao baricentro dos (n− 1) pontos restantes. Assim, facilmente deduzimos a seguinte generalização das Proposições 3.1 e 3.2: Corolário 3.1. Dados n pontos, a soma dos quadrados das medidas das n medianas é igual a n/(n− 1)2 vezes a soma dos quadrados das medidas de todos os segmentos unindo os n pontos. Definição 3.4. No caso geral de n pontos, uma bimediana é um segmento que une o ponto médio de um segmento ao baricentro dos (n− 2) pontos restantes. Portanto, vale a seguinte generalização da Proposição 3.3: Corolário 3.2. Dados n pontos, a soma dos quadrados das medidas das n(n−1)/2 bimedianas é igual a n/(4n− 8) vezes a soma dos quadrados das medidas de todos os segmentos unindo os n pontos. A demonstração da fórmula 67 Observação: Notemos que, no caso n = 4, as seis bimedianas consideradas no Corolário 3.2 coincidem duas a duas. Por isso, tem-se a metade da soma dos quadrados das medidas das arestas, em vez de um quarto, como enunciado na Proposição 3.3. Vale mencionar que os resultados enunciados aqui valem em qualquer espaço com produto interno real ou complexo. 3.3 A demonstração da fórmula Lema 3.1. Para todo n ∈ N, n ≥ 3, ∑ 1≤p