unesp UNESP - UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “ JÚLIO DE MESQUITA FILHO” CAMPUS DE GUARATINGUETÁ ANEIRSON FRANCISCO DA SILVA OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO NO PLANEJAMENTO AGREGADO DA PRODUÇÃO E NA COGERAÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA DE USINA DO SETOR SUCROENERGÉTICO Guaratinguetá 2013 ANEIRSON FRANCISCO DA SILVA OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO NO PLANEJAMENTO AGREGADO DA PRODUÇÃO E NA COGERAÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA DE USINA DO SETOR SUCROENERGÉTICO Tese apresentada à Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista para obtenção do título de Doutor em Engenharia Mecânica, na área de Gestão e Otimização. Linha de Pesquisa: Gestão e Otimização Orientador: Prof. Dr. Fernando Augusto Silva Marins (UNESP) Coorientador: Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi (UNIFEI) Guaratinguetá 2013 Silva, Aneirson Francisco da Otimização multiobjetivo no planejamento agregado da produção e na cogeração de energia elétrica de usina do setor sucroenergético / Aneirson Francisco da Silva - Guaratinguetá : [s.n.], 2013. 123 f. : il. Bibliografia: f. 96 Tese (doutorado) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2013. Orientador: Prof. Dr. Fernando Augusto Silva Marins Coorientador: Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi 1. Planejamento da produção 2. Engenharia de produção I. Título CDU 658.5(043) DADOS CURRICULARES ANEIRSON FRANCISCO DA SILVA NASCIMENTO 22.11.1982 – CAMPINA VERDE / MG FILIAÇÃO Neirton Francisco da Silva Ana Lúcia José da Silva 2001/2004 Curso de Graduação em Administração Centro Universitário do Triângulo 2005/2006 Especialização em Finanças e Planejamento Empresarial Universidade Federal de Uberlândia 2007/2009 Curso de Pós-Graduação em Engenharia de Produção, nível de Mestrado Universidade Federal de Itajubá A minha família, pela dedicação e pelo apoio durante toda minha formação, em especial para aos meus avós (in memoriam) Manoel Francisco da Silva e Maria Batista. AGRADECIMENTOS À Deus, que me concedeu saúde, força de vontade e muita sorte para estar aqui, atingindo mais esta importante etapa da minha vida. Aos meus pais, por todas as conversas e conselhos durante minha formação, e por toda educação, devoção e carinho. Não teria conseguido nada sem vocês. Ao meu orientador Professor Dr. Fernando Augusto Silva Marins, por toda a motivação e disponibilidade para ajudar na realização desta tese. Aos meus companheiros e amigos obrigado por toda ajuda, pelo apoio e pela amizade construída durante todo esse tempo. Às usinas que abriram as portas para as visitas técnicas realizadas durante esta pesquisa, meu muito obrigado. Este trabalho contou com apoio das seguintes entidades - CAPES: Edital Pró-Engenharias, Processo PE 024/2008. - CNPq: Edital Universal, Processo 500726/2010-8. SILVA, A. F. Otimização Multiobjetivo no Planejamento Agregado da Produção e na Cogeração de Energia Elétrica de Usina do Setor Sucroenergético. 2013. 119 f. Tese (Doutorado em Engenharia Mecânica) – Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2013. RESUMO Nesta tese foram desenvolvidos modelos multiobjetivos de Programação por Metas, para auxiliarem no planejamento de colheita de cana de açúcar, e no planejamento agregado da produção, incluindo a cogeração de energia elétrica, de uma usina sucroalcooleira. O desenvolvimento dos modelos baseou-se nos métodos clássicos de seleção de processos e dimensionamento de lotes, representando o sistema de produção de açúcar, álcool, melaço e derivados. Os modelos determinístico e sob incerteza da Programação por Metas contemplam decisões da etapa agrícola, das fases de dimensionamento da frente de corte, escolhas de talhões, carregamento e transporte de cana e, principalmente, decisões de moagem, escolha do processo produtivo, incluindo a cogeração de energia elétrica. As decisões são tomadas em períodos semanais e o horizonte de planejamento são as semanas de safra e entressafra. Além disso, esta tese explora a aplicação de modelos de Programação por Metas sob incerteza para tratar incertezas inerentes aos parâmetros utilizados no processo decisório da usina, que foi o objeto da pesquisa, realizando, desta forma, uma análise de sensibilidade nas limitações e na matriz tecnológica. Para tratar os modelos de Programação por Metas, determinística e sob incerteza, utilizou-se uma linguagem de modelagem algébrica e um solver de última geração de Programação Matemática. Os testes e validações dos modelos foram realizados com a colaboração de profissionais da usina estudada que está localizada no Estado de Minas Gerais. Nesta tese foi possível verificar a adequação dos modelos propostos quando aplicados para apoiar decisões envolvidas no planejamento de colheita e no planejamento agregado da produção, incluindo a cogeração de energia elétrica. Os resultados computacionais são apresentados e analisados, comparando o planejamento executado pela empresa e os resultados obtidos com os modelos. PALAVRAS-CHAVES: Planejamento agregado da produção. Programação multiobjetivo. Programação por metas. Modelos Determinísticos e sob incerteza. Usinas de açúcar e álcool. SILVA, A. F. Multiobjective Optimization in Planning Aggregate Production and Cogeneration of Electric Energy in Sugarcane Milling Companies. 2013. 119 f. Thesis (Doctorate in Mechanical Engineering) - Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2013 ABSTRACT For this thesis, multi-objective models from Goal Programming were applied in order to assist in planning the harvesting of sugarcane and aggregate production planning, including electrical cogeneration in sugarcane milling companies. Model development was based on classical methods of process selection and plot dimensions, representing the sugar, alcohol, molasses and derivatives production processes. While considering levels of uncertainty, the deterministic models cover decisions regarding the agricultural and plot dimensioning stages of the front cut, stands, loading and transportation of sugar cane – especially milling decisions– and choice of production processes including the cogeneration of electricity. Decisions are made on a weekly basis and the planning horizons are the weeks of harvest and season. In addition, this thesis explores the application of Goal Programming models to deal with the uncertainties inherent to the parameters used in the decision making process for the plant covered by this investigation, thus making a sensitivity analysis on the limitations and the technological matrix. To solve the Goal Programming models under certainty and uncertainty, an algebraic modeling language and a solver of last generation of Mathematical Programming was used. A study was conducted at the plant located in the southeastern Brazilian state of Minas Gerais. In this thesis, the adequacy of the proposed models was verified when applied to support decisions involved in planning the harvest and aggregate production planning, including cogeneration of electricity. Computational results are presented and analyzed, comparing the planning performed by the company and the results obtained with the models. Keywords: Aggregate production planning, Multiobjective programming. Goal programming. Deterministic and under uncertainty model. Sugar and ethanol industries. LISTA DE FIGURAS Figura 1- Produção de etanol dos dez Países lideres mundiais ....................................................... 19 Figura 2- Etapas da pesquisa. ........................................................................................................ 23 Figura 3- Resultados esperados. .................................................................................................... 24 Figura 4- � � ~ kk gxG � ..................................................................................................................... 39 Figura 5- � � ~ kk gxG � ..................................................................................................................... 39 Figura 6- � � kk gxG � ..................................................................................................................... 39 Figura 7-Exemplo do modelo MC-GP .......................................................................................... 43 Figura 8- Fluxograma das atividades que compõem a etapa agrícola ............................................. 49 Figura 9- Fluxograma das operações que compõem a etapa CCT. ................................................. 50 Figura 10- Mapa dos talhões de cana de uma fazenda. .................................................................. 51 Figura 11- Curva de Maturação. .................................................................................................... 52 Figura 12- Modelos de maturação de cana de açúcar. .................................................................... 53 Figura 13- Fluxograma industrial de fabricação de açúcar, álcool, melaço e subprodutos .............. 56 Figura 14- Fluxograma dos processos de produção dos açúcares, álcoois e melaços. ..................... 59 Figura 15- Tempo de resolução do modelo ELGP-PCPCE em função da variação do parâmetro λ. 73 Figura 16- Função de pertinência 1Z ............................................................................................ 81 Figura 17- Função de pertinência 2Z ............................................................................................ 81 Figura 18- Função de pertinência 3Z ............................................................................................ 81 Figura 19- Função de pertinência 4Z ............................................................................................ 81 Figura 20- Função de Pertinência 5Z ........................................................................................... 81 Figura 21- Função de pertinência 6Z ............................................................................................ 82 Figura 22- Função de pertinência 7Z ............................................................................................ 82 Figura 23- Função de pertinência 8Z ............................................................................................ 82 Figura 24 - Função de pertinência 9Z ........................................................................................... 83 Figura 25- Função de pertinência 10Z ........................................................................................... 83 LISTA DE TABELAS Tabela 1- Exemplo de múltiplos níveis de aspiração dos coeficientes tecnológicos. ...................... 45 Tabela 2- Valores das metas de custos .......................................................................................... 73 Tabela 3- Valor da meta de produção do ATR .............................................................................. 73 Tabela 4- Valor da Meta de Energia Exportada ............................................................................. 73 Tabela 5- Valor da meta de produção do VHP. ............................................................................. 74 Tabela 6- Valores das metas de produção dos álcoois. .................................................................. 74 Tabela 7- Dimensionamento semanal de uma Frente de corte j na semana t. ................................. 74 Tabela 8- Quantidade de cana processada no processo u na semana t. ........................................... 75 Tabela 9- Comparações dos resultados globais. ............................................................................. 76 Tabela 10- Comparações dos resultados globais para os modelos FGP-PCPCE. ............................ 89 Tabela 11- Dimensionamento da frente de corte j na semana t pelo modelo FGP-PCPCE ............. 90 Tabela 12- Comparações dos resultados globais para o modelo RMGP-PCPCE. ........................... 90 Tabela 13- Exemplo de composição tecnológica da cana ............................................................ 121 Tabela 14- Tipos de açúcares cristalizados de acordo com o teor de sacarose e a umidade .......... 123 LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS AEAC Álcool Etílico Anidro Carburante AEHC Álcool Etílico Hidratado Carburante AEI Álcool Etílico Industrial AEN Álcool Etílico Neutro AR Açúcares Redutores ART Açúcares Redutores Totais ATR Açúcares Totais Recuperáveis ºBrix Grau de brix - unidade de medida de sólidos solúveis em uma solução açucarada BGP Binary Goal Programming C/S Centro/Sul CCT Corte, Carregamento e Transporte DLSP Discrete Lot-Sizing and Scheduling Problem EGP Extended Goal Programming ELGP Extended Lexicographic Goal Programming ERP Enterprise Resource Planning Eprop Estoque próprio de produtos finais Eterc Estoque de terceiros de produtos finais Fprop Frota própria de transporte de cana Fterc Frota terceirizada de transporte de cana FGP Fuzzy Goal Programming GAMS General Algebraic Modeling System GP Goal Programming GLSP General Lot-Sizing and Scheduling Problem GPDEA Goal Programming & Data Envelopment Analysis IAA Instituto de Açúcar e Álcool IGP Integer Goal Programming ºINPM Grau do Instituto Nacional de Pesos e Medidas - unidade de medida do teor alcoólico LGP Lexicographic Goal Programming LM Linguagem de Modelagem LPM System for constructing Linear Programming Models MGP Minmax Goal Programming MCGP Multi-Choice Goal Programming MSGP Multi-Segment Goal Programming NLGP Nonlinear Goal Programming Pol Pol da Cana - porcentagem em massa de sacarose aparente contida em uma solução açucarada de peso normal determinada pelo desvio provocado pela solução no plano de vibração da luz polarizada. PCPCE Planejamento da Colheita Produção e Cogeração de Energia PCTS Pagamento de Cana pelo Teor de Sacarose PI Programação Linear Inteira PIM Programação Linear Inteira Mista PL Programação Linear PLSP Proportional Lot-Sizing and Scheduling Problem PNL Programação Não-Linear Procu Processo u prop Cana própria PZA Pureza em Pol PZAART Pureza em ART SGP Stochastic Goal Programming Semt Semana t ton toneladas u.m. Unidade monetária VHP Very high polarization VVHP Very very high polarization WGP Weighted Goal Programming Z Grau de Zugar - unidade de medida do teor de sacarose SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 18 1.1 Considerações Iniciais ................................................................................................... 18 1.2 Objetivos e Delimitação do Problema ............................................................................ 21 1.3 Justificativas.................................................................................................................. 21 1.4 Materiais e Métodos ...................................................................................................... 22 1.5 Organização da Tese ..................................................................................................... 24 2. MODELOS DE PROGRAMAÇÃO POR METAS DETERMINÍSTICA ........................... 26 2.1 Considerações Iniciais ................................................................................................... 26 2.2 Programação Por Metas Ponderada - WGP .................................................................... 27 2.3 Programação por Metas com Priorização - LGP ............................................................ 28 2.4 Programação por Metas MINMAX (MINIMAX Goal Programming - MA) .................... 29 2.5 Programação por Metas Inteira - IGP ............................................................................ 31 2.6 Programação Por Metas Binária- BGP ........................................................................... 32 2.7 Programação Por Metas Estendida................................................................................. 33 2.8 Programação Não Linear Por Metas .............................................................................. 34 2.9 Considerações Finais ..................................................................................................... 35 3. MODELOS DE PROGRAMAÇÃO POR METAS SOB INCERTEZA........................... 37 3.1 Considerações Iniciais ................................................................................................... 37 3.2 Programação Por Metas Fuzzy - FGP ............................................................................ 38 3.3 Modelo Multiescolha da Programação por Metas - MCGP ............................................ 42 3.4 Modelo Multissegmento da Programação por Metas - MSGP ........................................ 44 3.5 Programação Por Metas Estocástica - SGP .................................................................... 46 3.6 Considerações Finais ..................................................................................................... 47 4. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA ........................................................................................ 48 4.1 Processo de Produção de Açúcar, Etanol e Energia Elétrica ........................................... 48 4.2 Etapa Agrícola .............................................................................................................. 48 4.3 Etapa de Corte, Carregamento e Transporte - CCT ........................................................ 50 4.4 Curvas de Maturação ..................................................................................................... 52 4.5 Etapa Industrial ............................................................................................................. 54 5. MODELO DETERMINÍSTICO PROPOSTO .................................................................. 59 5.1 Considerações Iniciais ................................................................................................... 59 5.2 Desenvolvimento do Modelo Auxiliar para Obtenção das Matrizes de Rendimentos e de Custos Industriais ......................................................................................................................... 59 5.3 Desenvolvimento do Modelo Determinístico ELGP-PCPCE ......................................... 64 5.4 Solução do Modelo e Análise dos Resultados ................................................................ 71 5.5 Considerações finais ...................................................................................................... 77 6. MODELOS SOB INCERTEZA PROPOSTOS ................................................................. 79 6.1 Considerações Iniciais ................................................................................................... 79 6.2 Desenvolvimento do Modelo sob incerteza FGP-PCPCE ............................................... 79 6.3 Desenvolvimento do Modelo sob Incerteza RMCGP - PCPCE ...................................... 85 6.4 Solução dos Modelos e Análise dos Resultados ............................................................. 88 6.5 Considerações finais ...................................................................................................... 91 7. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES PARA FUTURAS PESQUISAS ..................... 93 7.1 Verificação dos objetivos .............................................................................................. 93 7.2 Recomendações para Futuras Pesquisas ......................................................................... 94 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................................... 96 ANEXO 1- PUBLICAÇÕES EM PERIÓDICOS .................................................................... 107 ANEXO 2- PUBLICAÇÕES EM CONGRESSOS .................................................................. 109 ANEXO 3- SUBMISSÕES ....................................................................................................... 115 ANEXO 4- OUTRAS PUBLICAÇÕES E PRODUÇÕES TÉCNICAS .................................. 118 GLOSSÁRIO ............................................................................................................................ 120 18 1. INTRODUÇÃO Este capítulo apresenta as considerações iniciais, os objetivos, a justificativa, materiais e métodos e por fim, a estrutura da tese. 1.1 Considerações Iniciais No período 1939-2000, o mercado sucroalcooleiro brasileiro foi afetado por diversas variáveis, tanto externas quanto internas. Szmrecsányi e Moreira (1991); Veiga Filho e Ramos (2006) abordam algumas dessas variáveis. Uma delas foi a segunda Guerra Mundial e os seus efeitos (1939-1949), as tentativas de reinserção no mercado mundial (1950-1968), a concentração e modernização do setor (1969-1974), ênfase na produção do açúcar para o álcool e vice-versa (1975- 1989), a concentração da indústria e retração da produção de álcool hidratado sob a desregulamentação parcial, período em que houve uma crise no setor devido a greve de fornecedores (1990-1999) e a retomada do Proálcool (pós 2000). Na década de 90 ocorreram algumas mudanças no setor sucroalcooleiro, podendo-se citar a criação do plano real, o contrachoque do petróleo, o fechamento do Instituto de Açúcar e Álcool (IAA) em 1990, conscientização dos países desenvolvidos com relação ao aquecimento global e o desenvolvimento de carros híbridos, dentre outros. Conforme Veiga Filho e Ramos (2006), a saída do Governo brasileiro, como gestor do setor sucroalcooleiro, implicou em profundas mudanças. O setor sucroalcooleiro do Brasil é um dos pioneiros no que diz respeito ao aproveitamento, em larga escala, da agroenergia, sendo que se destaca a utilização do bagaço como combustível para geração de energia elétrica e a produção do álcool combustível, utilizado como substituto da gasolina desde as crises do petróleo na década de 1970 (PAIVA, 2009). Este pioneirismo tem proporcionado uma crescente visibilidade para os produtos brasileiros no mercado internacional, principalmente com uma preocupação maior com o aquecimento global e o aumento da demanda por energias renováveis. Desta forma, a agroindústria brasileira da cana tem enfrentado uma grande mudança organizacional. Aspectos de gestão nesta indústria estão mudando, devido à importância de seus produtos, especialmente o etanol e eletricidade, que crescem em nível nacional e internacional (PAIVA e MORABITO, 2009; PAIVA e MORABITO, 2011). O Brasil é um dos maiores produtores de açúcar do mundo, sendo o segundo maior produtor de álcool, ficando atrás apenas dos Estados Unidos (EUA), e o maior exportador dos dois produtos. Segundo dados apresentados pelo Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento - MAPA, o 19 setor canavieiro processou, na safra 1998/1999, o equivalente a 315,6 milhões de toneladas de cana, que geraram 17,96 milhões de toneladas de açúcar e 13,9 milhões de metros cúbicos de álcool (MAPA, 2008a). Na safra 2007/2008 foram processadas 493,4 milhões de toneladas de cana, com produção de 31,1 milhões de toneladas de açúcar e 22,4 milhões de metros cúbicos de álcool (MAPA, 2008b). Estes dados mostram um crescimento acelerado de 56,3% na quantidade de cana processada em apenas dez safras. De acordo com a Companhia Nacional de Abastecimento (CONAB, 2011), para as safras 2008/2009; 2009/2010 e 2010/2011 as quantidades processadas foram de 571,4 milhões; 612,2 milhões e 651,5 milhões de toneladas, respectivamente. Segundo Licht (2010) o Brasil é o segundo maior produtor de etanol do mundo, conforme Figura 1. Contudo, tal cenário é explicado pelo fato do Brasil nesta última década centralizar suas produções nos açúcares, devido principalmente a alta do preço no mercado mundial. 57% 34% 3% < 1% < 1% < 1% < 1%1%1%1% Estados Unidos Brasil China Colômbia Bélgica Tailândia Espanha Alemanha Canadá França Figura 1- Produção de etanol dos dez Países lideres mundiais. Fonte: Licht (2010). Desta forma, o mercado sucroalcooleiro é um dos mais dinâmicos da economia brasileira. Além das informações, expostas acima, é interessante mencionar que a agroindústria sucroenergética possui algumas particularidades que influenciam significativamente no planejamento de produção (PAIVA, 2009; PAIVA e MORABITO, 2009). Dentre estas particularidades destacam-se: - A sazonalidade; - O alto custo relativo à matéria-prima (cerca de 60% do custo dos produtos finais); 20 - A perecibilidade da matéria-prima após a colheita e a dificuldade de determinar a forma exata e os parâmetros utilizados em um modelo de planejamento. A abertura do mercado de açúcar e álcool, no Brasil, a partir da década de 90, e o aumento da competitividade dentro do setor e os avanços da informática, favoreceram o surgimento de estudos sobre a aplicação de métodos de Pesquisa Operacional (PAIVA e MORABITO, 2009; PAIVA, 2009). Alguns importantes desenvolvimentos são relatados brevemente a seguir. Barata (1992) utilizou a Programação Linear (PL) para desenvolver um modelo econômico aplicado às questões de corte e reforma de canaviais. Mathew e Rajendran (1993) utilizaram a Simulação a Eventos Discretos, com o objetivo de avaliar a programação de manutenções de uma usina, visando estabelecer intervalos razoáveis entre essas paradas. Costa e Moll (1999) utilizaram o Método Analytic Hierarchy Process (AHP) para selecionar variedades de cana para o plantio, objetivando aumentar a produtividade. Yoshizaki, Muscat e Biazzi (1996) aplicaram um modelo de Programação Matemática (PM) para abordar o problema da distribuição de álcool no sudeste do Brasil. Cock, Luna e Palma (2000) desenvolveram uma metodologia para escolha de variedades de cana por meio da análise de custo total de processamento dessas variedades. Por meio da simulação, Higgins e Davies (2005) realizaram um estudo que visava à melhoria do planejamento logístico de transporte de cana. Iannoni e Morabito (2006) investigaram um sistema de recepção de cana de açúcar de uma usina, por meio da simulação a eventos discretos, cujo objetivo foi avaliar a logística de transporte. Kawamura, Ronconi e Yoshizaki (2006) utilizaram a PL Multiperíodo para auxiliar nas decisões relacionadas a transporte de produtos e armazenagens em uma cooperativa de produtores de açúcar e álcool. Paiva e Morabito (2009) desenvolveram um modelo monobjetivo, que integrava as etapas agrícolas e industriais, auxiliando nas decisões de safra. Higgins et al. (2004), Higgins (2006), Milan, Fernandez e Aragones (2006), Higgins et al. (2004) e Paiva e Morabito (2009) aplicaram modelos monobjetivos em problemas reais sucroalcooleiros. Piewthongngam, Pathumnakul e Setthanan (2009) utilizaram a simulação objetivando reduzir a quantidade de estoque de cana, cortada durante o pico da safra, no nordeste da Tailândia, visto que a cana cortada não deve ultrapassar mais de 48 horas para ser processada. O que pode ser percebido na pesquisa bibliográfica realizada nas principais bases de dados disponíveis (Web of Knowledge, Direct, Elsevier, dentre outras) que há poucos trabalhos, voltados para o setor industrial sucroenergético, que se preocupam em abordar problemas reais com múltiplos objetivos e com a ocorrência da incerteza nos seus parâmetros. 21 Assim, esta tese procurou contribuir focando nas lacunas da literatura, observadas no tratamento de problemas reais e complexos com múltiplos objetivos em planejamento agregado para a indústria sucroenergética por meio de modelos determinísticos e sob incerteza da Programação por Metas (Goal Programming - GP) que foi proposta por Charnes e Cooper (1961). 1.2 Objetivos e Delimitação do Problema O objetivo geral desta tese foi desenvolver modelos multiobjetivos determinísticos e sob incerteza da Programação Por Metas para auxiliar nas decisões de planejamento agregado da produção, distribuição e na cogeração de energia elétrica em empresas do setor sucroenergético. Como objetivos específicos buscou-se: � Desenvolver aplicações dos modelos determinísticos e sob incerteza da GP em problemas reais de uma empresa do setor sucroenergético. � Integrar as etapas agrícolas e industriais com a cogeração de energia elétrica, em um único modelo matemático multiobjetivo, determinístico e sob incerteza. � Incluir no modelo as incertezas presentes nos processos sucroenergéticos. Como delimitação dos modelos desenvolvidos nesta tese, eles podem ser classificados como sendo monoestágio, multiprodutos, multiprocessos, dinâmicos e capacitados combinando decisões de dimensionamento e sequenciamento de lotes (FERREIRA, MORABITO e RANGEL, 2009; ZIAEE e SADJADI, 2007). A pressuposição principal nestes tipos de modelos, é que, em um período de análise, só poderá ser utilizado um lote de produção, ou seja, tem-se um modelo de produção do tipo “tudo ou nada” (Small Bucket). Nestes modelos só ocorre custo de preparação (setup) quando a produção de um novo lote for iniciada (PAIVA, 2006; PAIVA e MORABITO, 2007; PAIVA e MORABITO, 2009; PAIVA, 2009). 1.3 Justificativas Aouni e Kettani (2001) comentam que, ao longo dos 40 após a criação da GP, há relatos de aplicações com sucesso em diversas áreas do conhecimento, no entanto, não foi relatada nenhuma aplicação em problemas reais sucroenergéticos. Uría et al. (2002) comentaram que a GP é o mais antigo e mais amplamente utilizado método por múltiplos critérios, com inúmeros casos de sucesso, incluindo um vasto leque de áreas de aplicações e, novamente, não se constatou aplicações em usina de açúcar e etanol. 22 Paiva e Morabito (2009) comentam que não estavam disponíveis na literatura aplicações de métodos quantitativos em problemas da etapa industrial das usinas de açúcar e álcool, embora essa etapa do complexo industrial sucroalcooleiro seja responsável por importantes decisões. Caballero, Gómez e Ruiz (2009) desenvolveram uma pesquisa, tipo survey, sobre a GP investigando os problemas e os tipos de variáveis aos quais se aplica esse método. Os autores verificaram que há uma maior aplicação dos modelos Weighted Goal Programming (WGP) e Minmax Goal Programming (MGP). Este estudo mostrou que os modelos de GP são aplicados, com maior frequência, na indústria, com aplicações em recursos naturais e em negócios. No Capítulo 2 comenta-se, com detalhes, estes modelos que serão aproveitados nesta tese. Outro ponto que merece destaque é a carência da aplicação de modelos de GP em problemas reais e de grande porte de usinas do setor sucroenergético. Assim, no Brasil pouco se tem explorado a aplicação de modelos de GP, mas podem ser destacados alguns trabalhos recentes como: Munhoz e Morabito (2001); Munhoz e Morabito (2010), Cunha e Caixeta Filho (2002); Silva (2009); Silva et al. (2010) e Silva et al. (2011). Bellman e Zadeh (1970) descrevem a natureza da tomada de decisão como “a maioria das decisões são feitas em um ambiente de incerteza, sendo que as funções objetivo e as restrições, em geral, não estão completamente definidas”. Tal contexto mostra a relevância e a importância desta tese que incorpora novas e valiosas contribuições na literatura científica, para a solução de problemas multiobjetivos reais e complexos, inclusive com a ocorrência de incerteza em seus dados e parâmetros, tais como: � Gerar novas aplicações para a literatura de GP determinística; � Gerar novas aplicações para a literatura de GP sob incerteza; � Desenvolvimento de novas abordagens da GP abordando a incerteza na matriz tecnológica das restrições de modelos de GP; � Empregar modelos de GP, determinísticos e sob incerteza, em problemas reais sucroenergéticos de grande porte propiciando aos gestores, novas e importantes ferramentas para a tomada de decisão em tempo real. 1.4 Materiais e Métodos A presente pesquisa realizada é justificada pela sua relevância e expressividade para as usinas sucroenergéticas, visto que, tais usinas também contribuem para o aumento da riqueza e geração de empregos para o País. Como contribuição científica cita-se a geração de novos modelos de GP sob incerteza, e a A Figura 2 ilustra as fases da pesquisa realizada, que são comentadas adiante. 23 Figura 2- Etapas da pesquisa. Fonte: Silva et al. (2013). 1. Identificação do problema – modelos multiobjetivos determinísticos e sob incerteza podem gerar soluções aderentes à realidade das usinas sucroenergéticas? Para responder está questão de pesquisa, foram realizadas visitas a algumas usinas e foi escolhida como objeto do estudo uma usina sucroenergética localizada no Estado de Minas Gerais. O problema escolhido foi o do planejamento agregado de todas as etapas agrícola, industrial, logística e de cogeração de energia. Com a utilização de técnicas de Mapeamento de Processos (ADAIR e MURRAY, 1996), foi possível identificar os parâmetros que deveriam compor o modelo. 2. Coleta de dados – Utilizou-se os relatórios internos de produção e foram entrevistados alguns gerentes da usina que foi o objeto do estudo, bem como foram consultados relatórios gerais com informações agrícolas disponíveis na literatura da área. 3. Modelagem – Foram desenvolvidos modelos da Programação por Metas determinísticos e sob incerteza para tratar o planejamento agregado de todas as etapas agrícola, industrial, logística e de cogeração de energia. As modelagens incluíram decisões de safra e entressafra (52 semanas). 4. Solução do modelo – Utilizou-se a linguagem de modelagem General Algebraic Modeling System GAMS 23.6.5 e o Solver CPLEX 12.2.1 para resolver os modelos propostos. Não Sim Sim Não Identificação do problema Coleta dos dados Validado? Modelagem Validação dos resultados? Solução do modelo Implementação 24 5. Validação dos resultados – Foi feita com o apoio dos gestores da usina estudada, principalmente com a comparação dos resultados do modelo com os resultados obtidos pela usina com o mesmo conjunto de dados de entrada de safra e entressafra. 6. Implementação – Foge do escopo desta tese, mas os gestores da usina estudada manifestaram interesse em realizar a implementação dos modelos aqui descritos. Em resumo, esta tese pretendeu responder as questões dispostas na Figura 3, com relação a cada etapa de planejamento. Quanto colher de cada variedade de cana semanalmente? Quanto colher semanalmente utilizando a frente mecanizada e manual? Qual frota agrícola utilizar semanalmente? Qual foi o rendimento por toneladas de Açúcares Totais Recuperáveis (ATR) semanal? Quanto produzir e estocar semanalmente? Quanto gerar e exportar de energia semanalmente? Figura 3- Resultados esperados. De acordo com Bertrand e Fransoo (2002) e Miguel et al. (2010) este trabalho pode ser classificado como uma pesquisa aplicada, com objetivos empíricos descritos. De fato, os modelos desenvolvidos descrevem, de forma adequada, as relações causais que podem existir na realidade, favorecendo a compreensão de processos reais. A forma de abordar o problema é quantitativa, sendo a Modelagem utilizada como Método de Pesquisa. 1.5 Organização da Tese Esta tese está organizada em 7 capítulos, incluindo este capítulo introdutório. No Capítulo 2 aborda-se os principais modelos determinísticos de GP, seguido pelo Capítulo 3 que contempla a fundamentação teórica sobre os modelos sob incerteza de GP. Já o Capítulo 4 aborda a descrição do problema real tratado, apresentando as principais etapas produtivas das usinas sucroenergéticas. O Capítulo 5 descreve o modelo determinístico de GP proposto e o Capítulo 6 mostra os modelos de Etapa Agrícola Logística Logística Etapa Industrial Etapa Industrial Cogeração de Energia 25 GP desenvolvidos e otimizados que consideram as incertezas. No Capítulo 7 estão as conclusões e recomendações para futuras pesquisas, seguidas pelas referências bibliográficas e os anexos. Os Capítulos 3 e 4 possibilitaram a elaboração do artigo Silva et al. (2013) que abordou uma revisão da literatura sobre os modelos de Programação por Metas Determinística e Sob Incerteza, conforme consta no Anexo 1. O Anexo 2 relaciona publicações e apresentações em eventos científicos nacionais e internacionais. O Anexo 3 contempla outras submissões feitas. 26 2. MODELOS DE PROGRAMAÇÃO POR METAS DETERMINÍSTICA 2.1 Considerações Iniciais Conforme Goldbarg e Luna (2005), os modelos de Programação Matemática (PM) podem ser caracterizados pelas seguintes dicotomias: determinístico ou probabilístico; restrito ou irrestrito; monocritério ou multicritério; contínuo ou discreto; unidecisor ou multidecisor; univariável ou multivariável; linear ou não linear e monobjetivo ou multiobjetivo. Tradicionalmente, os analistas utilizam modelos lineares, restritos, monocritérios, contínuos e determinísticos para tratar problemas típicos de planejamento em usinas sucroalcooleiras. O que se faz, usualmente, é dividir o problema agregado de planejamento em fases, como, plantio, colheita, transporte, produção, logística e geração de energia, considerando a otimização de uma função objetivo associada à maximização da margem de contribuição. Outra possibilidade, bastante comum, é fazer uso de modelos de simulação e, por meio de análise de cenários, tenta-se encontrar uma solução que atenda aos requisitos estabelecidos pela empresa em questão. Tanto uma opção quanto a outra podem levar, muitas vezes, o decisor a dispor de uma ferramenta limitada para ajudá-lo na difícil tarefa de tomada de decisão com respeito ao planejamento agregado de todas as fases citadas. A Goal Programming (GP) ou Programação por Metas é uma técnica de Programação Multiobjetivo (TAMIZ, JONES e ROMERO, 1998), que procura uma solução, de forma a atender ao máximo possível de metas, sendo uma técnica diferente dos modelos de otimização clássica (IGNIZIO, 1985). Inicialmente, a GP foi desenvolvida por Charnes e Cooper e estudada mais profundamente pelos mesmos autores durante 1961, e por Ijiri em 1960 (TAMIZ, JONES e EL-DARZI, 1995; TAMIZ, JONES e ROMERO, 1998). Conforme Chang (2007), a GP é uma técnica importante para auxiliar nas decisões, resolvendo problemas complexos multiobjetivos. Nessa técnica nem todas as restrições são consideradas rígidas ou fixas, como em modelos de otimização clássica. Desta forma, algumas restrições são flexíveis, ou seja, dependendo do cenário, pode-se subutilizar ou utilizar recursos acima do inicialmente previsto, dependendo das variáveis que serão incorporadas ao modelo e que estão associadas às metas escolhidas para as funções objetivo originais. 27 A GP possui muitos modelos, dentre eles a Programação por Metas com Priorização (Lexicographic Goal Programming - LGP ou Preemptive Goal Programming). A Programação por Metas Ponderada (Weighted Goal Programming - WGP), e a Programação por Metas MINMAX (MINMAX Goal Programming - MA). Outros modelos podem ser citados: Programação por Metas Binária (Binary Goal Programming –BGP); Programação por Metas Inteira (Integer Goal Programming - IGP); Programação por Metas fuzzy (Fuzzy Goal Programming - FGP); Programação por Metas & Análise Envoltória de Dados (Goal Programming and Data Envelopment Analysis - GPDEA) e também há os modelos não lineares, conhecidos por Programação por Metas Não Linear (Nonlinear Goal Programming - NLGP). Os tópicos seguintes abordam esses modelos, sendo os modelos LGP, WGP e MINMAX GP os mais utilizados na literatura (YAGHOOBI e TAMIZ, 2007 e ROMERO, 2004). 2.2 Programação Por Metas Ponderada - WGP Nos modelos da Programação Por Metas Ponderada (WGP) os desvios apresentam hierarquias equivalentes, sendo a atribuição de pesos que distinguirá os objetivos mais importantes. Os modeladores têm um papel importante, pois precisam estipular a priori pesos de forma que grande parte dos objetivos seja satisfeita. Entretanto, isso gera certo subjetivismo na modelagem. O modelo original WGP foi criado por Charnes e Cooper (1961): � � � � � ����� n i idiwidiwZMin 1 (1) s. a: � � ,,...,2,1, niigididXif ���� (2) cAx � (3) ,,...,2,1,0,0, e ,,, niididFXidiwiwid �������� (4) Neste modelo a função objetivo (1) visa minimizar os desvios que estão vinculados a cada objetivo i, sendo �� iwiw , são os pesos associados às variáveis de desvio �� idid , , que representam valores para mais ou para menos em relação ao valor alvo (meta) gi; a restrição (2) diz respeito às restrições flexíveis, fi(X) são as funções objetivo i originais; a restrição (3) diz respeito às restrições rígidas que não podem ser violadas, e a restrição (4) define os domínios das variáveis, onde F é o conjunto de soluções viáveis. O produto das variáveis auxiliares de desvio deve ser zero, condição já satisfeita nos modelos lineares. 28 Até 1995, segundo Tamiz, Jones e El-Darzi (1995), a WGP representava 21% das publicações e a LGP (que será vista adiante) 64%. Estes autores comentam que durante a década de 80, as publicações da LGP declinaram com o avanço dos modelos da WGP e o consenso que técnicas de normalização superam o problema da incomensurabilidade que ocorre quando os objetivos originais têm unidades de medidas diferentes (TAMIZ, JONES e EL-DARZI, 1995). Estes autores citam algumas das técnicas que contornam o problema da incomensurabilidade, como a Normalização Euclidiana e as Percentagens Normalizadas, dentre outras. As publicações de WGP se concentravam em: gerência da contabilidade, planejamento financeiro, planejamento de dietas e planejamento de mão-de-obra (TAMIZ, JONES e El-DARZI, 1995). Ding, Zhu e Sun (2006) realizaram uma comparação entre duas abordagens de pesos para modelos WGP, conhecidas como método de objetivos e método de dimensionamento, aplicando-as no sequenciamento de linhas de montagem, e verificaram que o mais eficiente foi o método de objetivos. Para detalhes sobre os pontos fracos e fortes da WGP e da LGP recomenda-se a leitura dos artigos de Tamiz, Jones e El-Darzi (1995) e Ahern e Anandarajah (2007). O Anexo 1 relaciona uma aplicação de Silva, Marins e Montevechi (2013) que compara o modelo Multi-Choice Goal Programming (MCGP) com o modelo WGP numa aplicação prática e de grande porte feita no setor sucroenergético brasileiro. Há também uma aplicação de Silva, Marins e Santos (2013) que utilizaram a Goal Programming & Data Envelopment Analysis- (GPDEA) para avaliar a eficiência de plantas mundiais do segmento de autopeças. O modelo GPDEA utiliza-se da função WGP em sua estrutura algébrica. Já o Anexo 2 relaciona duas aplicações da GPDEA, uma na avaliação de contratos licitatórios, feita por Silva, Marins e Simões (2012), e a outra na avaliação da eficiência de variedades de cana de açúcar para plantio de Silva et al. (2011). 2.3 Programação por Metas com Priorização - LGP Nos modelos da Programação por Metas com Priorização (Lexicographic Goal Programming LGP), os objetivos apresentam prioridades diferentes, incorporadas ao modelo por meio de uma hierarquização nos objetivos, priorizando para ser otimizado inicialmente o objetivo mais importante, depois o segundo mais importante, e assim sucessivamente. O modelo matemático LGP proposto por Ignizio (1985) é: 29 Lex min )(),...,(),...., 1 ( ���� � ���� � ���� � idiβidiα Qhiidiβidiα rhiidiβidiα hi (5) s.a: � � � �QrrhiniigididXif ,...,1, ,,...,2,1 , ��� ���� (6) rhiididididFX �� ������� .0,0,0, (7) Na função objetivo (5) hr representa o índice dos conjuntos das metas vinculadas ao r-ésimo nível de prioridade, e visa minimizar os desvios que estão vinculados aos objetivos i, já ordenados segundo sua importância para o decisor, sendo a otimização feita em ordem sequencial. Em geral, considera-se os pesos de αi=βi =1, i. Contudo, outros pesos podem ser utilizados. As demais restrições são análogas às do modelo WGP. Yang e Tseng (2002) combinaram a otimização, por meio da abordagem lexicográfica, com o Projeto de Experimentos (Design of Experiments- DOE), proposto por Fisher em 1925 (FISHER, 1966). Cakir (2008), baseado nos resultados de Wang (2006), realizou uma análise de pós otimalidade buscando mostrar qual ranqueamento dos objetivos seria mais confiável. Zolghadri, Olivier, Bourrieres (2008) sugeriram a utilização da LGP como um método complementar à utilização de software para Planejamento dos Recursos da Empresa (Enterprise Resource Planning - ERP) na configuração de produções viáveis e políticas de aquisição. Gonzalez-Rodriguez, Vela e Puente (2009) propuseram para um problema multiobjetivo uma solução com algoritmo genético e a LGP. 2.4 Programação por Metas MINMAX (MINIMAX Goal Programming - MA) Em muitos problemas de decisão, existem objetivos que dificultam (ou impossibilitam) o estabelecimento de metas para eles, tais como: o crescimento da empresa, o lucro no longo prazo, a avaliação de investimento em mercados de capitais, no mercado imobiliário, taxas de seguros, atrasos na entrega, controle de estoques, dentre outros. Neste contexto, recomenda-se o uso da MINMAX GP que ao invés de metas pré-fixadas para os objetivos adota intervalos de variação para cada objetivo. O modelo MINMAX GP fornece uma solução que dá a máxima importância para o objetivo mais deslocado em relação a sua meta, gerando uma solução mais equilibrada na satisfação dos diferentes objetivos (ROMERO, 2001). A formulação geral do modelo MINMAX GP (MGP) proposta por Flavell (1976) é: 30 D Min Z (8) s. a: ,,...,2,1, niDidiidi � � � � � ��� �� (9) ,,...,2,1,)( niigididXif ���� (10) ,,...,2,1,0,0 ,0 , niididididFX ������� (11) A função objetivo (8), também conhecida por função de realização, visa minimizar o desvio máximo da variável auxiliar D, e quanto mais próximo de zero estiver o valor desta variável melhor, pois indica que a maioria dos objetivos foram plenamente atendidos, já restrição (9) implica na variação total da variável D. As demais restrições e variáveis são análogas às do modelo LGP. Existem outras formas possíveis para a função objetivo neste modelo MINMAX GP, mas foram pouco adotadas na literatura pesquisada. Esta escolha de tipo de função de realização é importante, pois os resultados obtidos pelos modelos MINMAX GP são, em geral, sensíveis ao tipo de função escolhida, além disto, a função de realização deve refletir as preferências dos gestores (OGRYCZAK, 2001). Ogryczak (1997) propôs a integração de modelos MINMAXGP e LGP, cuja formulação é: QDrDD ,...,,...,1Min Z (12) s. a: � � ,,...,1 , ,0 QrrhirDidiidi ����� � � � � ��� �� (13) rhiigididXif �� ���� , )( (14) 0,0 ,0 , ������� ididididFX (15) A função objetivo (12) visa minimizar o desvio máximo da variável auxiliar de realização D, sendo a otimização feita de forma sequencial como na LGP, segundo uma priorização escolhida para os objetivos originais. As demais restrições e variáveis são análogas às do modelo LGP. Essa variante da GP possui diversas publicações destacando-se algumas que são comentadas na sequência. Carrizosa e Romero-Morales (2001) propuseram uma nova otimização paramétrica monobjetivo que combina a Minsum com MINMAX associada à GP, para avaliar modelos clássicos de análise de localidades (classical models in Locational Analysis). Ogryczak (2001) discutiu propriedades geradas pelos modelos MINMAX GP, mostrando que eles não garantem a eficiência das soluções e ainda mostrou condições suficientes e necessárias para tal ocorrer. 31 Lin (2004) e Yaghoobi e Tamiz (2007) propuseram métodos para resolver problemas da Programação por Metas fuzzy (Fuzzy Goal Programming - FGP) por meio da abordagem MINMAX GP, enquanto Iskander (2007) propôs uma abordagem ponderada MINMAX para a FGP estocástica. Despotis e Derpanis (2008) sugeriram uma formulação MINMAX GP para obter as prioridades do Processo Analítico Hierárquico (Analytic Hierarchy Process – AHP), proposto por Saaty (1977), permitindo ao decisor fornecer seus julgamentos de preferência sob a forma de intervalos numéricos. Há outras modelagens que podem ser classificadas como MINMAX GP na literatura, devendo ser citada a importante contribuição, para aplicações em Engenharia, que foi o trabalho de Gembicki & Haimes (1975) que desenvolveram o Método para Atingimento de Metas (Goal Attainment Method). 2.5 Programação por Metas Inteira - IGP Modelos da Programação por Metas Inteira (Integer Goal Programming - IGP) são utilizados quando algumas, ou todas, as variáveis devem assumir valores discretos (MIRRAZAVI; JONES e TAMIZ, 2001): � � � � � ��� n i idiidiMin 1 Z �� (16) s. a: � � ,,...2,1 , niigididXif ���� (17) F�X (18) ,,...2,1 0, ,0, niidididid ����� (19) uXl �� (20) A função objetivo (16) visa minimizar o desvio máximo para a realização das metas, sendo necessária para este caso, a estimação de pesos (αi e βi) associados a cada variável auxiliar de desvio. A restrição (20) define os limites máximos e mínimos inteiros para a variável de decisão. As demais restrições e variáveis são análogas às do modelo LGP. O modelo IGP é muito utilizado para tratar funções de realização definidas em intervalos (Goal Interval Programming model), conforme comenta Romero (2004). Dentre os artigos publicados na área, destacam-se alguns que são a seguir comentados. Saad e Sharif (2004) apresentaram uma abordagem iterativa (meta-heurística) para resolução de problemas de 32 Programação Linear Inteira Multiobjetivo. Enquanto isso, Saad (2005) apresentou uma abordagem iterativa para resolução de problemas de PL Inteira Multiobjetivo, porém associados à teoria fuzzy. Agha (2006) utilizou um modelo IGP no gerenciamento da qualidade da água, em um estudo de caso na faixa de Gaza. Dawande e Gupta (2007) apresentaram um modelo IGP de minimização de custos em redes, em um problema envolvendo qualidade de serviço. Gharehgozli, Tavakkoli- Moghaddam e Zaerpour (2009) utilizaram um modelo de Programação por Metas Inteira-Misto fuzzy (Fuzzy Mixed Integer Goal Programming - FMIGP), para resolver o problema de dimensionamento de máquinas paralelas, com tempos de setup e datas de entrega/lançamento dependentes da sequência. 2.6 Programação Por Metas Binária- BGP Chang (2004) apresentou um modelo de Programação por Metas Binária (Binary Goal Programming - BGP) com o intuito de resolver problemas multiobjetivos em que seria possível que alguns objetivos fossem atingidos e outros não. O modelo BGP proposto em Chang (2007) é: � � iy n i idiidiZMin � ��� 1 �� (21) s. a: � � ,,...,2,1 ,)( niididiyigXif ��� � (22) ,,...,2,1 0, 0,i, niididdid ����� (23) ,,...,2,1 , niiRiy � (24) FX � (25) Sendo yi a variável de controle binário para i-ésimo objetivo; e Ri o seu domínio associado à quantidade de metas que os gestores desejam satisfazer plenamente. A função objetivo (21) visa minimizar o desvio máximo para a realização das metas, com αi=βi = 1, i. A restrição (24) define o número de metas que o decisor deseja que sejam plenamente atingidas. As demais restrições e variáveis são análogas às do modelo LGP. Este modelo BGP não é eficiente do ponto de visto computacional, visto que se necessita de uma boa calibragem dos pesos e do conjunto Ri, tornando-o pouco atrativo do ponto de vista gerencial e computacional. Chang (2000) mostrou um meio de linearizar, contudo, tal abordagem é trabalhosa e pouco utilizada. 33 Trabalhos que englobam essa variante da GP podem ser vistos em Yu e Li (2001), que propuseram um algoritmo para problemas gerais de BGP associada à lógica fuzzy e em Chang (2004), que propôs uma nova abordagem, utilizando a GP binária mista, para solucionar um problema de decisão e gerenciamento. Chang (2006b) também enfocou o problema de decisão de preferências associado à utilização de funções de penalidade. Chang (2007) trata a associação da BGP com a teoria fuzzy, visando a incorporação da incerteza na estimação das metas. Kara, Paksoy e Chang (2009) utilizaram um modelo BGP associado à lógica fuzzy em um problema de balanceamento de linha de montagem. Gonzalez-Pachon e Romero (2008) utilizaram modelos GP para a obtenção de aproximações transitivas de uma relação binária. O Anexo 1 relaciona uma aplicação de Silva et al. (2013) com modelos de GP binário misto para resolver problemas produtivos de uma usina sucroenergética. 2.7 Programação Por Metas Estendida O modelo de Programação Por Metas Estendida (Extended Goal Programming – EGP) foi proposto por Romero (2001). Este autor propôs uma combinação da WGP, LGP e MINMAX GP, cujo objetivo foi potencializar o uso conjunto destes modelos. O modelo EGP proposto por Romero (2001) é: � � � � � � � ����� n i idiidiD 1 1Min Z ���� (26) s.a: ,,...,2,1, niDidiidi � � � � � ��� �� (27) � � ,,...,2,1 , niigididXif ���� (28) � � ,,...,2,1,0,1 ,0 ,0i ,0- i , niididddFX ������� � (29) A função objetivo (26) visa minimizar o desvio máximo para a realização das metas, sendo necessária para este caso a estimação de pesos. As demais restrições e variáveis são análogas às dos modelos MINMAX GP e LGP. Destaque-se que a variável auxiliar λ representa a importância atribuída à minimização da soma ponderada das variáveis de desvio indesejável. Observe-se, também, que para λ = 0, tem-se a função de realização da formulação MINMAX GP, para λ = 1, tem-se a função de realização das formulações WGP ou LGP, e para outros valores de λ � [0, 1] têm-se formulações derivadas de combinações ponderadas de WGP e MINMAX GP ou LGP e MINMAX GP (ROMERO, 2004). 34 A combinação dos modelos WGP e MINMAX GP é o modelo EGP (já formulado) e a combinação dos modelos LGP e MINMAX GP é conhecida como modelo (Extended Lexicographic Goal Programming –ELGP) (ROMERO, 2001) que pode ser formulado como: � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� � � � � � � � � ����� � � � � ����� Qhi idiidiQQDQ hi rhi idiidirrDridiidiD .1 1 ,....,1,....,1111 Min ZLex ���� �������� (30) s. a: � �QrrhirDidiidi ,....,1 , , ���� � � � � ��� �� (31) ,1,2,..., , )( niigididXif ���� (32) � � ,1,2,...,0,1 ,0 ,0 ,0 , niididrididFX �������� � (33) A função objetivo (30) visa minimizar o desvio máximo para a realização das metas, sendo facultativa a estimação de pesos. Em geral, é comum adotar para pesos αi= βi=1, i. As demais restrições e variáveis são análogas às dos modelos MINMAX GP e LGP. De acordo com Romero (2004), pode-se demonstrar por meio de especificações de diferentes valores para o parâmetro λ que a formulação ELGP pode levar a diferentes soluções ótimas (ROMERO, 2001). Romero (2004) propôs a agregação de intervalos a esses modelos, para permitir trabalhar com funções de penalidades como as adotadas por Chang e Lin (2009). O Anexo 2 relaciona uma aplicação feita por Marins et al. (2011) que aborda a aplicação do modelo ELGP no setor sucroenergético brasileiro. 2.8 Programação Não Linear Por Metas Em vários problemas reais as funções objetivo e as restrições não são lineares e para tratar estas situações Zheng, Gen e Ida (1996) e Powell e Premachandra (1998) desenvolveram formulações para modelos da Programação Não Linear Por Metas (Nonlinear Goal Programming - NLGP): Lex min � � !" ! # $ !% ! & ' � � � � �� � � � � � � �� � � �������� � ���� m mi m mi iiqiii m mi ii i i iqii i ii dwdwdwdwdwdw 1 1 2 1 ,...,, 211 (34) s. a: � � � �,2,..., 1,,2,..., 1, 1 1 njmibxa i n j jji ���� (35) � � � � � �,,...,2,1,,...,11 njmmiigididXif ��� ���� (36) 35 miidididid ,...,2,1 0,0, ����� (37) A função objetivo (34) visa minimizar o desvio para a realização das metas, sendo facultativa a estimação de pesos. A restrição (35) está associada a uma restrição rígida (Hard System). A restrição (36) diz respeito à flexibilização de determinado recurso (Soft System). A restrição (37) define o domínio das variáveis, sendo m o número de restrições; 1m é o número de restrições rígidas (inflexíveis) do modelo e 1mm � é o número de restrições associadas às metas no modelo. Alguns artigos correlatos são comentados a seguir. Saber e Ravindran (1993) revisaram e discutiram quatro grandes abordagens da NLGP, baseadas no método Simplex, no método da busca direta, no método do gradiente e em abordagens iterativas. Eles, ainda, classificaram as aplicações por áreas, como em design de engenharia, marketing, energia, entre outras. Deb (2001) e Miettinen et al. (2003) utilizaram a combinação do método dos objetivos viáveis e o método NIMBUS (um tipo de otimização multiobjetivo iterativa) na otimização de problemas multiobjetivo não lineares. Deb (2001) utilizou algoritmos genéticos multiobjetivos (MOGA) na Programação Não-linear. Taguchi, Yokota e Gen (2003) propuseram a utilização de algoritmos genéticos na solução de problemas de NLGP envolvendo coeficientes com intervalos. Gordon, Dash e Kajiji (2005) desenvolveram um modelo NLGP para a gestão de ativos e passivos para empresas seguradoras de propriedades. Kuriger e Ravindran (2005) desenvolveram três métodos para resolverem problemas NLGP pela adaptação e extensão dos métodos de Nelder- Mead, da busca complexa e de Hook e Jeeves de busca padrão. Panda (2005) propôs um modelo de NLGP para a obtenção de um lote econômico de compras em problemas com estoques de vários itens. Dhahri e Chabchoub (2007) utilizaram modelos NLGP para quantificação do efeito chicote (bullwhip effect) na cadeia de suprimentos, baseados no modelo ARIMA (Modelo Autoregressivo Integrado de Média Móvel). Benson e Shanno (2008) investigaram o uso de uma abordagem de penalidade primal dual exata para a Programação Não Linear Não Convexa. 2.9 Considerações Finais Este capítulo investigou os modelos de GP, determinístico, mostrando as principais aplicações e os principais autores. Caballero, Gomes e Ruiz (2009) fizeram uma pesquisa tipo survey investigando a aplicação dos modelos de GP. Estes autores dividiram a pesquisa em duas fases: do nascimento da GP até 2000 e de 2000 até 2009. Eles constataram que os modelos WGP, LGP e MINMAX GP são utilizados com maior frequência pela comunidade científica, sendo aplicados em 36 engenharia, ciência da decisão, e em negócios, seguidos dos modelos que exigem variáveis discretas (binárias e inteiras) que são usadas principalmente com a lógica fuzzy. O Capítulo 5 abordará a aplicação do modelo Extended Lexicographic GP (ELGP), pois, no problema real da usina de açúcar e álcool estudado, havia metas com diferentes unidades o que dificultaria a aplicação dos demais modelos, apesar de haver técnicas que contornam o problema da incomensurabilidade. Também se optou pelo modelo ELGP pelo fato do mesmo não requerer obrigatoriamente a estimação de pesos para as variáveis de desvio e, portanto, há poucos parâmetros para o tomador de decisão calibrar, visando à obtenção de soluções eficientes (YAGHOOBI e TAMIZ, 2007; ROMERO, 2004; JAMALNIA e SOKHAKIAN, 2009). 37 3. MODELOS DE PROGRAMAÇÃO POR METAS SOB INCERTEZA 3.1 Considerações Iniciais Nos modelos determinísticos, pressupõe-se que a coleta dos dados foi feita de forma aderente à realidade do problema, e as informações disponíveis são confiáveis ou representativas. Desta forma, pode-se desenvolver um planejamento consistente, e determinar um nível de utilização dos recursos que atenda às restrições do problema e que maximize a contribuição ao lucro da empresa (ou minimize os custos). Tal contexto é válido para o caso de modelos monobjetivos e multiobjetivos clássicos, entretanto, quando se utilizam modelos de GP o interesse do analista é estabelecer níveis para as metas de forma que o maior número delas sejam plenamente satisfeitas. Desta forma, toda a informação necessária para a análise deve ser conhecida no momento de realização do planejamento (SEN e HINGLE, 1999). Portanto, além das incertezas inerentes às informações do presente, o futuro não pode ser perfeitamente previsto e deve ser considerado aleatório ou incerto (WANG e LIANG, 2004). Neste contexto, os modelos de otimização sob incerteza são utilizados para que o impacto das variáveis aleatórias seja considerado de forma direta na modelagem (JOSHI, 1995; DIWEKAR, 2002; SAHINIDIS, 2004). Uma forma de se avaliar o impacto das incertezas nos parâmetros de entrada de um modelo é utilizar a análise de sensibilidade. Esta técnica consiste na análise de perturbações nos parâmetros de entrada de forma que seja possível verificar os seus efeitos no problema e avaliar a estabilidade da solução com relação à factibilidade e à otimalidade (PAIVA, 2009). Desta forma, a análise de sensibilidade é uma abordagem local de pós-otimalidade, que analisa o impacto da perturbação após solução do problema ter sido obtida, não sendo possível incorporar a incerteza na modelagem e tomar decisões de forma antecipada (MULVEY et al., 1995; BEN-TAL e NEMIROVSKI 1998; 1999 e 2000). As próximas seções apresentam vários modelos de GP sob incerteza que foram considerados nesta tese; menos os modelos estocásticos (Stochastic Goal Programming– SGP) - pois o objetivo aqui foi utilizar modelos sob incerteza não probabilísticos e lineares: - Programação Por Metas fuzzy (Fuzzy Goal Programming - FGP) (MOHAMED, 1997; CHEN e TSAI, 2001; PAL e MOITRA, 2003; PETROVIC e AKÔZ, 2007; KUMAR, VRAT e SKANKAR, 2004; JAMALNIA e SOUKHAKIAN, 2009; MIN e STORBECK, 1991; ZELENY, 38 1981; MARTEL e AOUNI, 1998; ZIMMERMANN, 1978; ZADEH, 1965, WANG e LIANG, 2004); - Modelo Multiescolha da Programação por Metas (Multi-Choice Goal Programming – MCGP) (CHANG, 2007; 2010); - Modelo Multiescolha Revisado da Programação por Metas (Revised Multi-Choice Goal Programming - RMCGP) (CHANG, 2008); - Modelo Multissegmento da Programação por Metas (Multi-Segment Goal Programming – MSGP) (LIAO, 2009); - Programação Por Metas Estocástica (Stochastic Goal Programming – SGP) (AOUNI, ABDELAZIZ e MARTEL, 2005; BRAVO e GONZALEZ, 2009; AOUNI, ABDELAZIZ e MARTEL, 2005 e HOP, 2007.). 3.2 Programação Por Metas Fuzzy - FGP Conforme Zadeh (1965), a teoria dos conjuntos fuzzy é baseada na extensão da definição clássica de um conjunto. Nesta teoria, cada elemento de um universo ou pertence a um conjunto A, ou não, enquanto que, na teoria dos conjuntos fuzzy, um elemento pertence a um conjunto A com certo grau de adesão ou pertinência. Chang (2007) comenta que, em problemas reais (industriais e empresariais), podem existir níveis imprecisos de objetivos ou metas. Para tratar tais imprecisões ou subjetividades, foi desenvolvido por Martel e Aouni (1998) o modelo Programação por Metas fuzzy (Fuzzy Goal Programming- FGP). Conforme Chang (2007), a aplicação da teoria fuzzy nos modelos de GP propiciou vários avanços teóricos. Aouni, Martel e Hassaine (2009) propuseram uma formulação matemática mais simples e eficiente para o modelo FGP que necessita menos restrições adicionais do que o modelo de Martel e Aouni (1998): Min Z=� (38) s.a: � �� � ,,...,2,1,// niiigididiXif ( ����( (39) ,,...,2,1,1 niidid ������ (40) cAx � (41) FXidideidid � ����� ,0 0,,� , ,,...,2,1 ni (42) A função objetivo (38) visa minimizar o grau de realização fuzzy. A restrição (39) contempla a incerteza na estimação da meta i. A restrição (40) diz respeito ao grau de realização fuzzy, sendo 39 que para valores iguais 1 a meta fuzzy foi atingida plenamente. A restrição (41) representa um sistema de restrições rígidas (inflexíveis). Na restrição (42) estão os domínios das variáveis e sendo (i uma constante, escolhida de forma subjetiva pelo decisor, que determina a variação aceitável (máxima e mínima) em relação ao valor alvo da meta gi. Este modelo incorpora uma formulação linear equivalente da Função de Pertinência (Membership Function), adotada por Hannan (1981a) e dada por: ! ! ! ! ! ! % ! ! ! ! ! ! & ' �(��� �(��� �(�( � � � � � �(� ��� �(�( � � � � � (�� �� (�� iiig n j jxjia iiig n j jxjiaiigsei n j jxjiaiig iig n j jxjiaiigsi n j iigjxjia i n j iigjxjiase 1 se 0 1 / 1 ; 1 e / 1 )( 1 ; 0 apertinênci de função (43) (44) (45) (46) � � ,,...1 ~ mkgxkG k � (47) � � ,...,1 ~ nmkgxG kk � � (48) � � lnkgxG kk ,...,1 � � (49) Segundo Jamalnia e Soukhakian (2009) e Yaghoobi e Tamiz (2007), há três tipos mais comuns de funções de pertinência quando se trabalha com números triangulares fuzzy, conforme mostram as Figuras 4 a 6, sendo que foi adotada a notação ~ para a representação de uma meta fuzzy (imprecisa) e gk é o valor estabelecido (desejado) para a meta fuzzy Gk. Podem existir três situações possíveis de serem modeladas pelo Decisor, que estão descritas pelas expressões (47) a (49). Nas Figuras 4 a 6, Lk e Uk são os valores mínimos e máximos, escolhidos pelo Decisor, permitidos para a meta fuzzy Gk: )( kZ x) )( kZ x) )( kZ x) 1 1 1 gk Uk Gk(x) Lk gk Gk(x) Lk gk Uk Gk(x) Figura 4- � � ~ kk gxG � Figura 5- � � ~ kk gxG � Figura 6- � � kk gxG � Zimmermann (1978) usou o número fuzzy triangular para caracterizar valores linguísticos. Liang e Wang (1993) justificam o uso de funções triangulares fuzzy, pois elas caracterizam adequadamente os julgamentos humanos. Desta forma, segundo estes autores, a vantagem de se utilizar números triângulares fuzzy é que não só pode-se representar uma expertise no julgamento a 40 respeito de um determinado problema, mas também refletir a ocorrência de incerteza nos dados e parâmetros envolvidos. Aouni, Martel e Hassaine (2009) mostraram aplicações de números triangulares fuzzy que validam e justificam a adoção de tal método em conjunto com os modelos de GP. Embora haja críticas como, por exemplo, as de Ignizio (1985) e Martel e Aouni (1998), o uso das funções de pertinência triangular e trapezoidal é comum em modelos FGP (Jamalnia e Soukhakian, 2009). Na sequência estão formulações fuzzy para as metas das Figuras 4 a 6, segundo (YAGHOOBI e TAMIZ, 2007) m,...,k U(x) Ge s 0 U(x)Gg se gU )x(GU g)x(G se )x( kk kkk kk kk kk Zk 1 1 ! ! % ! ! & ' � �� � � � ) (50) n,...,mk L(x) Ge s 0 g(x)GL se Lg L)x(G g)x(G se )x( kk kkk kk kk kk Zk 1 1 � ! ! % ! ! & ' � �� � � � ) (51) ,...,1 se 0 se )( )( se )( 0 )( lnk U(x)G U(x)Gg gU xGU gxGL gU xGU x kk kkk kk kk kkk kk kk Zk � ! ! ! % ! ! ! & ' � �� � � �� � � ) (52) Adotando-se a abordagem de Yaghoobi e Tamiz (2007), tem-se o modelo FGP: DMin (53) s. a: Kiidid ...,2,1 D iR 1 iL 1 �� ( �� ( (54) � � KiigididXif ,...,2,1 - ��� (55) 1�D (56) KiididididD ,...,1 0,0,, ����� (57) FX � (58) A função objetivo (53) visa minimizar a dispersão, ou seja, quanto mais próximo de zero estiver a variável D, mais metas estão sendo plenamente satisfeitas. A restrição (54) representa a 41 incerteza na satisfação plena das metas i. A restrição (55) representa as restrições flexíveis. A restrição (56) limita o valor máximo da variável D. As restrições (57)-(58) mostram os domínios das variáveis, sendo (iL e (iR constantes escolhidas pelo Decisor que determinam as variações mínima e máxima, respectivamente, permitidas em relação ao valor alvo da meta gi. No modelo proposto por Yaghoobi e Tamiz (2007) 1�D é simplesmente um limitante para D que pode ser substituído por D� 1� e como 1�D e 01 ��D , pode-se incluir 0�� ao modelo obtendo-se outra formulação equivalente conforme (59) – (67) que foi a abordagem aqui adotada para resolver o modelo FGP, como segue: � Z Max (59) s. a: � � 0,...,2,1 , iiigidXif ��� (60) � � 0,...,2,10 , jiiigidXif � ��� (61) � � KjiigididXif ,...,2,10 , � ���� (62) 0,...,2,1, 11 iiid iR �� ( �� (63) 0,...,2,10,11 jiiid iL � �� ( �� (64) K 1,2,...,0,111 � �� ( �� ( � jiid iR id iL � (65) ,...,2,10,0,, Kiidididid ������ (66) FX � (67) A função objetivo (59) visa maximizar o grau de realização fuzzy e quando λ=1 significa que a meta fuzzy foi plenamente satisfeita ou atendida. A restrição (60) contempla uma meta a qual se deseja penalizar o desvio acima do valor estabelecido para ela. A restrição (61) contempla uma meta onde se deseja penalizar o desvio abaixo do valor estabelecido para ela. A restrição (62) contempla uma meta onde se deseja penalizar tanto o desvio acima quanto o desvio abaixo do valor estabelecido para ela. As restrições (63) a (65) abordam o grau de realização em cada um dos cenários representados pelas restrições (60) a (62). As restrições (66) e (67) indicam os domínios das variáveis, onde F é um conjunto viável. Há várias contribuições para o desenvolvimento da FGP e exemplos de tais publicações incluem: Mohamed (1997), Hayashi (1998), Jones e Barnes (2000), Romero (2001), Pal, Moitra e Maulik, (2003), Vitoriano e Romero (1999), Wang e Liang (2004), Romero (2004), Biswas e Pal (2005), Petrovic e Aköz (2007), Jamalnia and Soukhakian (2009), Wang e Fu (1997), Özcan e 42 Toklu (2009), Narasimhan (1980,1981), Kumar, Vrat e Shankar (2004), Kim e Whang (1998), Hannan (1981), Yang, Ignizio e Kim (1991), Yaghoobi e Tamiz (2007a-2007b); Liang (2010), Arenas-Parra et al. (2010), Aouni, Martel e Hassaine (2009). O Anexo 2 relaciona uma aplicação feita por Marins, Silva e Montevechi (2012) que avaliou a incerteza vinculada a estimação das metas relacionadas a problemas produtivos de uma usina sucroenergética. 3.3 Modelo Multiescolha da Programação por Metas - MCGP Segundo Chang (2007), a tomada de decisões é parte do nosso cotidiano. No entanto, em alguns casos, este autor acredita que pode haver situações em que o analista gostaria de tomar decisões num ambiente em que há alguns níveis (ou segmentos) de aspiração específicos para o objetivo. Neste sentido, o modelo Modelo Multiescolha da Programação por Metas (Multi-Choice Goal Programming - MCGP) foi desenvolvido por Chang (2007) para resolver problemas nos quais há ocorrência de incerteza na estimação das limitações nos recursos (Right-hand side – RHS), isto é conhecido como problemas com níveis de aspiração multiescolhas (Multi aspiration levels), conforme mostra a equação (68), a qual possui múltiplos níveis ou aspirações para a meta gi. O modelo MCGP proposto por Chang (2007) é: min � � n i img igigXif 1 ou....ou 2ou 1 )( (68) s.a: � � viáveissoluções de conjunto um é FFX � (69) Para exemplificar o uso do modelo MCGP, o retângulo contemplado pela Figura 7 representa o objetivo global, já os espaços dos quatro retângulos, A, B, C e D representam os objetivos locais, com níveis de aspirações (segmentos) g1,g2,...,g10. Em outras palavras, há uma região global que consiste de quatro regiões locais. Observe-se que os retângulos A e D possuem dois segmentos e os retângulos B e C possuem 3 segmentos. Para facilitar o entendimento, pode-se considerar na equação (70) αi = 1 e βi = 1 ( i), supor que o retângulo B tem o valor inicial fixado em g7 = 100, e que podem ser aceitos outros valores próximos, como g6 = 90 e g8 = 120. 43 Figura 7-Exemplo do modelo MC-GP Nesta situação com três segmentos possíveis (g6, g7 e g8) para a meta gi, utiliza-se a equação (72), do modelo MCGP a seguir descrito, sendo as variáveis Zi binárias: 90Z2Z3+100Z2(1- Z3)+120(1-Z2)Z3. Pode-se perceber que, quando Z2 = 1 e Z3 = 0, o segmento selecionado seria g7 = 100, para Z2 = 1 e Z3 = 1 o segmento escolhido seria g6 = 90 e para Z2 = 0 e Z3 = 0 o segmento escolhido seria g9 = 120. Estas formulações mostram o interesse do analista em relação à meta desejada, que pode ser quanto mais alto melhor (para o caso de maximização de receita), ou quanto menor melhor (para o caso de minimização de custos). O modelo MCGP proposto por Chang (2007) é: � � � � � ��� n i idiidiZMin 1 �� (70) s. a: � � � � ,,...,2,1,11211 niZgZgididXif �� ���� (71) � � � � � � ,,...,2,1,32153124323 niZZgZZgZZgididXif ���� ���� (72) � � � � � � � �� � ,,...,2,1,51419 54184147546 niZZg ZZgZZgZZgididXif ��� ����� ���� (73) ,,...,2,1,0,0, niidididid ����� (74) FX � (75) A função objetivo (70) visa minimizar os valores das variáveis de desvio, sendo neste caso os valores dos pesos de αi e βi é igual 1 ( i). A restrição (71) ilustra um cenário no qual há dois segmentos para a meta i, observando-se que quando o valor de Z1 = 0 será o segmento g2 o escolhido e quando o valor de Z1 = 1 será o segmento g1 o escolhido. As restrições (72) e (73) contemplam um cenário com três e quatro segmentos para a meta i, respectivamente. As restrições (74) e (75) mostram os domínios das variáveis. O fato de o modelo MCGP exigir o emprego de variáveis binárias faz com que ele requeira um maior esforço computacional na sua solução. Assim, Chang (2008) propôs um modelo g1 g2 Retângulo A Retângulo B g3 g4 g5 Retângulo C Retângulo D g6 g7 g8 g10 g11 44 Multiescolha Revisado da GP (Revised Multi-Choice GP - RMCGP) que substitui a necessidade de variáveis binárias, com a incorporação de variáveis contínuas: � � � �� ������� n i ieieiididiMin 1 Z �� (76) s.a: � � ,,...,2,1, niiyididXif ���� (77) � � � � ,,...,2,1, niminigoumaxigieieiy � � � � (78) � � � � ,,...,2,1, nimaxigiyminig �� (79) ,,...,2,1 ,0,,,, niieieidididid � ������ (80) FX � (81) A principal diferença deste modelo em relação ao modelo MCGP está no fato de que os níveis de aspirações das limitações estão definidos em espaços contínuos (yi), conforme mostra a restrição (79) e, desta forma, não há necessidade de usar variáveis binárias. As demais variáveis são análogas aos modelos anteriores de GP. Tanto o modelo MCGP quanto o modelo RMCGP são métodos novos de GP e, portanto, não há muita literatura disponível. Chang (2010) mostrou como resolver problemas multiestágio, multiprodutos e multiperíodo, utilizando o modelo RMCGP e Chang (2011) propôs utilizar o modelo RMCGP em conjunto com funções de penalidades visando agregar mais “poder” para a tomada de decisão. Para detalhes consultar Silva et al. (2010). Também consultas às obras de Chang (2007; 2008; 2010; 2011); Liao e Kao (2010); Liao e Kao (2011); Biswal e Acharya (2009) e Chang et al. (2011) são recomendadas aos interessados nestes modelos. Os Anexos 1 e 2 relacionam aplicações deste modelo em problemas sucroenergéticos: Silva, Marins e Montevechi (2013) e Silva et al. (2010). 3.4 Modelo Multissegmento da Programação por Metas - MSGP O modelo Multissegmento GP (Multi-Segment Goal Programming - MSGP) foi desenvolvido por Liao (2009) sendo derivado do modelo MCGP proposto por Chang (2007). A principal diferença entre estes modelos está na forma que se modela a incerteza. O modelo MCGP considera as incertezas nas constantes do lado direito das restrições (Right-hand Side - RHS), já o modelo MSGP considera as incertezas presentes nos coeficientes das variáveis no lado esquerdo das restrições (Left-hand side - LHS). 45 A Tabela 1 mostra um exemplo do modelamento para uma situação deste tipo em que há vários níveis (segmentos) para os valores destes coeficientes LHS. Nesta tabela tem-se que A, B e C são os coeficientes LHS e as variáveis Sij representam os segmentos associados a cada um deles. Tabela 1- Exemplo de múltiplos níveis de aspiração dos coeficientes tecnológicos. A B C S11 S21 S31 S12 S22 S32 S13 S23 S33 Para um cenário onde há dois valores possíveis (dois segmentos) para os coeficientes LHS, dados por x1, x2 e x3 e sendo as variáveis b1, b2 e b3 binárias, o modelo MSGP para o problema da Tabela 1 com três metas g1, g2 e g3, pode ser expresso por: � �� � � �3 1 Minimize i idid (82) s.a: ,gddxSxS))xb(S.b(S 11132322111112111 �������� (83) � �� � ,gddxSxbSbSxS 22232322122221111 �������� (84) � �� � ,gddxbSbSxSxS 33333132331221111 �������� (85) viáveis)soluções deconjunto um é (F ,0~~ FXidid � �� (86) Devido ao fato do modelo MSGP ter sido criado recentemente, há pouca literatura a respeito e para detalhes recomenda-se consultar as obras de Liao (2009) e de Chen; Zheng e Chang (2011). Nesta mesma linha de pesquisa, Chang, Chen e Zhuang (2012a) desenvolveram um novo modelo de GP conhecido por Multissegmento GP Revisado (Revised Multi-Segment Goal Programming) que tem como a principal diferença não precisar de variáveis de binárias, mas sim o emprego de variáveis auxiliares contínuas. Já Chang, Chen e Zhuang (2012b) propuseram outro modelo de GP conhecido por Multicoeficientes GP (Multi-Coefficients GP) que tem o mesmo objetivo do modelo Multissegmento GP Revisado, mas os autores utilizam variáveis discretas para incorporar a incerteza nos coeficientes LHS. 46 3.5 Programação Por Metas Estocástica - SGP Geralmente, assume-se que os valores das metas associadas aos objetivos são conhecidos com precisão, no entanto podem ocorrer situações na prática em que estes valores são estocásticos (AOUNI, ABDELAZIZ e MARTEL, 2005). Em tal situação a tomada de decisão torna-se mais complexa, pois não se sabe com certeza os valores das metas relacionadas com os diferentes objetivos. Para resolver problemas desta complexidade há os modelos estocásticos, como o proposto por Aouni, Abdelaziz e Martel (2005), com a notação ~ indicando uma variável aleatória ou estocástica: Max f (X) s. a: (87) ,,...,2,1, ~ 1 miig n j jxjia �� (88) ,,...,2,1,0 njjX � (89) A restrição (88) representa um cenário no qual o coeficiente RHS gi é estocástico. Uma formulação da GP, conhecida por Programação por Metas Estocástica (Stochastic GP – SGP) é citada por Aouni e Torre (2010); Abdelaziz, Aouni e Fayedh (2010); Bravo e Gonzalez (2009), onde assume-se que as metas � �2 ~ ; *) ii Ng � com i) e 2* são conhecidos e � �1 ,0/ ~ Ng iii � � � � � � *) : � � � � � ��� n i idid 1 ~~ Zmin (90) � � ,,...,2,1 , ~~~ niigididXif ���� (91) ,,...,2,1,,0~~,0~,~ niFXidididid � ����� (92) A restrição (91) ilustra um cenário no qual a restrição do lado direito e as variáveis de desvio são estocásticas. A restrição (92) contempla os domínios das variáveis, onde F é um conjunto de soluções viáveis. Para mais informações de aplicações dos modelos SGP consultar: Aouni e Torre, (2010); Abdelaziz, Aouni e Fayedh (2007); Bravo e Gonzalez (2009); Aouni, Abdelaziz e Martel (2005). Também é possível integrar os conjuntos fuzzy como modelos SGP e interessados devem consultar Hop (2007). Como o objetivo desta tese foi utilizar modelos sob incerteza não probabilísticos e lineares estes modelos SGP não foram implementados. 47 3.6 Considerações Finais Este capítulo discorreu sobre os modelos de GP sob incerteza e seus principais autores. Percebeu-se que há novos modelos de GP que contemplam as incertezas, entretanto, há poucas publicações disponíveis sobre os modelos MCGP, RMCGP que foram desenvolvidos a partir de 2007, e o modelo MSGP que foi proposto em 2009. Já para os modelos estocásticos e FGP há muita literatura disponível, visto que estes modelos foram desenvolvidos durante as décadas de 70 e 80. Estes modelos FGP foram adotados nesta tese para mensurar a incerteza presente nos coeficientes RHS e para mensurar as incertezas presentes nos coeficientes LHS foi adaptado o modelo RMCGP, que foi projetado para tratar a incerteza nos RHS, destaque-se que esta é uma das contribuições científicas desta tese. 48 4. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA Este capítulo tem a finalidade de descrever o problema de pesquisa desta tese. São feitas algumas considerações sobre a etapa agrícola e industrial das usinas sucroalcooleiras. 4.1 Processo de Produção de Açúcar, Etanol e Energia Elétrica Neste tópico descreve-se, de forma sucinta, o processo de produção de açúcar, álcool, melaço e energia elétrica, tendo como fundamentação os estudos de Paiva (2006), Paiva e Morabito (2007), Paiva (2009) e Paiva e Morabito (2009), também pela experiência adquirida pelo pesquisador, com visitas técnicas feitas em cinco unidades produtoras, a saber: Usina Itapagipe, localizada na cidade de Itapagipe no Estado de Minas Gerais, Usina Frutal, Usina Cerradão, localizadas na cidade de Frutal no Estado de Minas Gerais; Usina Sinimbú, localizada no Estado de Alagoas; Usina Campina Verde, localizada na cidade de Campina Verde, no Estado de Minas Gerais. As etapas e processos podem ser descritos de forma genérica para representar todas as unidades produtivas e proporcionar uma visão clara do sistema de produção, contudo para representar uma usina em particular são necessárias adequações. Para compreender o funcionamento das usinas canavieiras é fundamental entender a interação entre o campo e a indústria, sendo o mesmo responsável pela produção dos açúcares (sacarose, frutose e glicose) e da biomassa oriunda da cana de açúcar, e a usina é responsável pela recuperação e cristalização da sacarose. A indústria também é responsável pela fermentação e destilação dos açúcares redutores (fabricação de álcool) ou pela transformação energética da biomassa e cogeração de energia (PAIVA, 2009). 4.2 Etapa Agrícola A etapa agrícola pode ser dividida em três macro atividades: (a) formação de canaviais; (b) tratos culturais e (c) irrigação. A primeira macro atividade (a) pode ser dividida em: (a.1) preparo de solo e (a.2) sulcação, adubação e plantio. A segunda macro atividade (b) também pode ser dividida em: (b.1) tratos culturais de cana plantada (que ainda não foi colhida) e (b.2) tratos culturais e socaria (cana proveniente de rebrotas, ou seja, cana com mais de 1 ano). Esta diferença existe devido à cana de açúcar ser uma cultura semipermanente, que propicia, em média, cinco safras ou cortes. 49 Segundo Paiva (2009), a atividade (b.2) é executada em 80% do canavial, enquanto a atividade (b.1) é executada no restante. Desta forma, além da diferença entre a idade do canavial, as operações executadas em (b.1) e (b.2) apresentam algumas variações: - No caso de (b.2), geralmente, executa-se a adubação e a fertirrigação (aplicação da vinhaça, que é um adubo rico em potássio) e, se necessário, também é feita a calagem (uso de calcário para corrigir a acidez do solo) e a aplicação de herbicidas; - Já a atividade (b.1) trata, principalmente, do controle de ervas daninhas, visto que o solo já foi recentemente manipulado durante a sua preparação para o plantio na atividade (a.1). A Figura 8 mostra o fluxograma das atividades que compõem a etapa agrícola. Figura 8- Fluxograma das atividades que compõem a etapa agrícola (Fonte: Adaptado de Fernandes, 2003). Percebe-se que a etapa de plantio é importante para uma usina, ou seja, a escolha da variedade e sua precocidade são estratégicas para as usinas, justificando o uso de tais informações nos modelos propostos (ver Capítulos 5 e 6). Cabe mencionar que este capítulo gerou a publicação de um artigo específico (ver Anexo 1), que trata apenas da etapa de colheita de cana de açúcar com a inclusão de novos parâmetros. Paiva (2009) comenta que a atividade de corte, carregamento e transporte (CCT), devido a sua relevância, pode ser considerada como parte da etapa agrícola, sendo subordinada à gerência agrícola e será tratada a seguir. 50 4.3 Etapa de Corte, Carregamento e Transporte - CCT A etapa CCT consiste em três operações principais que determinam o tipo de colheita que será adotado, conforme ilustrado na Figura 9 (PAIVA, 2009). Figura 9- Fluxograma das operações que compõem a etapa CCT. (Fonte: Adaptado de Fernandes, 2003). A primeira operação é o corte de cana, que pode ser manual, mecanizado ou misto; a segunda é o carregamento de cana, que, em geral, é mecanizado, mas em condições de terrenos acidentados pode ser manual, e a terceira operação é o transporte de cana para o processamento, tais informações também são contempladas pelos modelos propostos. Combinando as duas primeiras operações, destacam-se os seguintes tipos de colheita: (i) corte manual de cana crua com carregamento mecanizado; (ii) corte manual de cana queimada, com carregamento mecanizado; (iii) corte mecanizado de cana inteira, com carregamento mecanizado; (iv) corte mecanizado de cana picada, sem transbordo; (v) corte de cana mecanizada de cana picada, com transbordo. Apesar da existência de todas estas possibilidades de colheita, não é comum encontrar nas usinas brasileiras a utilização dos tipos (iii) e (iv), segundo Paiva (2009). O tipo (i) é utilizado em menor escala, apenas para o plantio, e para áreas em que não se pode queimar a cana ou utilizar colheita mecanizada. Desta forma, destacam-se os tipos (ii) e (v) como os principais tipos de colheita existentes, segundo Paiva (2009). Além destas questões operacionais, é importante destacar alguns pontos referentes à qualidade do CCT realizado. Primeiramente, é importante que a definição do momento de colheita de cada talhão seja especificada com muito rigor, dada a necessidade de se obter uma matéria-prima com 51 maior teor de ART (Açúcares Redutores Totais), ou seja, uma cana com alto teor de sacarose e com uma pureza alta, pois isso aumentará a eficiência na produção dos açúcares e álcoois, e consequentemente a lucratividade da usina. Outro ponto é a necessidade de que todas as operações do CCT sejam executadas em um intervalo inferior a 48 horas, fazendo com que o tempo médio de colheita, também conhecido como tempo de queima seja baixo e evite a inversão dos açúcares da cana (dextrana), com a cana passando a perder rapidamente o teor de sacarose (PAIVA, 2009). Segundo Aquino e Franco (2008) as dextranas constituem uma classe de polímeros de fórmula empírica (C6, H10, O5) cujo monômero é o α-D-glucaconopiranosil. São contaminantes endêmicos da sacarose, originados principalmente devido à presença de bactérias do gênero Leuconostoc comumente presentes nas plantações de cana-de-açúcar. A Figura 10 mostra um mapa com os talhões (áreas com cana plantada) de uma fazenda pertencente à usina estudada. Uma determinada fazenda pode conter diferentes talhões com variedades e precocidades de cana distintas, além de apresentarem diferentes topografias e, portanto, tal análise é de suma importância para as usinas, pois o eficiente dimensionamento do CCT permitirá aumentar a eficiência e lucratividade das usinas. Na Figura 10, as áreas verdes são os talhões de cana, e as áreas vermelhas representam as divisas entre as fazendas, às linhas brancas são as divisas entre os talhões de cana. A usina objeto do estudo possui mais de 200 fazendas, entretanto, para o caso desta aplicação utilizou-se apenas 16, pois para a safra analisada a usina não tinha um banco de dados que incluísse todas as duzentas fazendas. Ao todo são 34 talhões contendo em média 12 variedades de cana, e cada talhão possui condições e estados da cana diferenciados, o que justifica o uso de métodos quantitativos, visando aumentar a eficiência e a rentabilidade das usinas sucroenergéticas. Figura 10- Mapa dos talhões de cana de uma fazenda. 52 4.4 Curvas de Maturação Uma curva de maturação é uma representação gráfica do ciclo de vida da cana. Essa curva é comumente encontrada em função da Polaridade (POL % do caldo da cana), ou seja, demonstra graficamente (em função do tempo) a época em que os talhões de cana terão o teor de sacarose ótimo, podendo ser dividida em duas fases. A Figura 11 ilustra uma curva de maturação. A primeira fase de crescimento vegetativo, em que a planta acumula energia na forma de sacarose, aumentando, portanto o valor do POL. Na fase seguinte a planta utiliza a energia acumulada no período anterior para a reprodução da espécie e, neste período, ocorre o decréscimo do valor do POL. Observando a Figura 11, percebe-se que há um ponto de máximo em que a fase de acúmulo de energia está completa, mas ainda não se iniciou a fase reprodutiva. Este ponto de POL máximo seria a época ideal para a colheita da cana, especialmente em termos de eficiência de rendimento da matéria prima na produção de açúcar. Embora haja uma correlação bastante significativa entre POL e Açúcares Redutores Totais (ART), para a avaliação do melhor rendimento da matéria-prima dos processos de produção de açúcar e álcool, seria mais aconselhável a utilização de curvas de ART [% pol do caldo de cana]. Figura 11- Curva de Maturação. No entanto, as curvas com base na POL são mais comumente encontradas em publicações científicas. Os Açúcares Totais Recuperáveis (ATR) são um dos parâmetros do sistema de pagamento de cana, e representa a quantidade de ART recuperados da cana até o xarope. Apesar da melhor época para colheita ser a data de POL máximo, torna-se infactível realizar a colheita completa da usina nesta data, pois isto poderá gerar um zigue zague ineficiente de corte entre os talhões favorecendo o aumento dos custos. Desta maneira, usualmente a colheita ocorre num período próximo ao momento de POL máximo, ou seja, quando há o máximo teor de sacarose. ( Crescimento Vegetativo Tempo 53 Portanto, como está representado na Figura 11, existe uma diferença, denotado por Δ, entre o POL referente à data de colheita e o seu valor máximo, e, desta forma, a usina busca colher os talhões na data mais próxima do teor ótimo de sacarose. É comum caracterizar Δ como uma medida do arrependimento de não se colher na data de POL máximo. Portanto, o planejador de colheita visará minimizar o arrependimento Δ. Para caracterizar em que período a cana pode ser processada, as usinas criaram o Período Útil de Industrialização (PUI), que estabelece o valor de Pol = 13% como satisfatório para o processamento de diferentes variedades, sendo o valor padrão adotado pelas usinas. Desta forma, considerando os valores de PUI, as variedades podem ser agrupadas em: (Ricas ou Precoces), (Médias) e (Pobres ou Tardias). O comportamento geral destes três grupos está ilustrado na Figura 12. Verifica-se que as variedades Ricas alcançam logo no início da safra o valor 13%, demonstrando possuir um PUI longo (mais de 150 dias), existindo exceções. As variedades Médias alcançam o valor fixado no meio da safra, apresentando PUI médio (120 – 150 dias), e as Pobres possuem PUI curto (70 – 100 dias) não apresentando grande interesse industrial, conforme mostra a Figura 12. Figura 12- Modelos de maturação de cana de açúcar. Nesta tese foram utilizados dados da Pol em % do caldo do PCTS (Pagamento de Cana pelo Teor de Sacarose). Para converter POL em % do caldo para POL em toneladas, utiliza-se: POL de cana= POL do caldo.(1- 0,01.fibra de cana). (1,0313 - 0,00575.fibra de cana) (93) As fibras de cana foram consideradas expressas em porcentagem, geralmente oscilando entre 11% e 20%. Para outras conversões, utilizar o Manual CONSECANA (www.unica.com.br). No problema tratado foram consideradas fazendas nas quais há variedades diferentes de cana e com precocidades distintas, sendo que determinados talhões podem ser cortados com a cana crua (frente mecanizada) ou queimada (frente de corte manual). 54 Transforma-se a POL em % do caldo para POL em toneladas, sendo comum utilizar-se relações de precocidade da cana e custos diferenciados, o que caracteriza a formação de diferentes talhões de cana. A inclusão de tal informação nos modelos desenvolvidos é de suma importância para melhorar a aderência à realidade da usina. 4.5 Etapa Industrial O assunto abordado neste tópico foi retirado das pesquisas de Paiva (2006) e Paiva (2009). A etapa industrial se inicia com a pesagem e análise da cana para fins de pagamento do fornecedor pelo sistema CONSECANA (pagamento de cana pelo teor de açúcares totais recuperáveis - ATR) ou para fins de controle de rendimento industriais (PAIVA, 2009). Nesta fase são determinados a PC (Pol da Cana), AR (Açúcares Redutores), ART (Açúcares Redutores Totais), ATR (Açúcares Totais Recuperáveis) e o brix – que é o parâmetro mais utilizado na agroindústria do açúcar e do álcool e expressa a porcentagem aparente de sólidos solúveis contidos em uma solução açucarada impura, ou seja, mede o teor de sacarose na solução. Após a pesagem e amostragem para o pagamento de fornecedores, a cana passa diretamente para a mesa alimentadora, ou vai para o estoque de cana, de onde posteriormente é levada, por meio de garfos hidráulicos, até à mesa alimentadora. Na mesa alimentadora, a cana passa por um lençol d’água para retirada de impurezas minerais e vegetais. Após a lavagem da cana, a água contaminada passa por um sistema de tratamento, sendo as impurezas grosseiras retiradas por peneiramento e as demais retiradas em células de decantação (PAIVA, 2006 e PAIVA, 2009). A água peneirada e decantada volta à mesa alimentadora, enquanto o lodo é descartado ou enviado para o campo. Também há o sistema de limpeza a seco. Neste caso, as impurezas são expurgadas por um sistema de ventilação forçada. Entretanto, em decorrência da mecanização agrícola, algumas usinas eliminaram a limpeza da cana. Após a atividade de preparo, a cana cai em uma esteira de borracha, passando por um eletroímã para extrair as partículas metálicas que acompanham a matéria prima. Em seguida inicia- se a alimentação da moenda. Cada conjunto de moagem é composto por um total de quatro a sete ternos (equipamento de uma moenda convencional composto por um conjunto de três rolos - rolo superior, entrada e saída). Estes rolos são dispostos de tal forma que a