Câmpus de São José do Rio Preto Lucas Vinicius Limas da Costa Topologias m-ádicas São José do Rio Preto 2020 Lucas Vinicius Limas da Costa Topologias m-ádicas Dissertação apresentada como parte dos re- quisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática, junto ao Programa de Pós-Graduação em Matemática, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Câmpus de São José do Rio Preto. Financiadora: CAPES Orientador: Prof. Dr. Parham Salehyan São José do Rio Preto 2020 C837t Costa, Lucas Vinicius Limas da Topologias m-ádicas / Lucas Vinicius Limas da Costa. -- São José do Rio Preto, 2020 61 f. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista (Unesp), Instituto de Biociências Letras e Ciências Exatas, São José do Rio Preto Orientador: Parham Salehyan 1. Álgebra. 2. Topologia. 3. Comutativa. 4. Algébrica. I. Título. Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca do Instituto de Biociências Letras e Ciências Exatas, São José do Rio Preto. Dados fornecidos pelo autor(a). Essa ficha não pode ser modificada. Lucas Vinicius Limas da Costa Topologias m-ádicas Dissertação apresentada como parte dos re- quisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática, junto ao Programa de Pós-Graduação em Matemática, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Câmpus de São José do Rio Preto. Financiadora: CAPES Comissão Examinadora Prof. Dr. Parham Salehyan Orientador Profa. Dra. Michelle Ferreira Zanchetta Morgado UNESP - Câmpus de São José do Rio Preto Prof. Dr. Jaime Edmundo Apaza Rodriguez UNESP - Câmpus de Ilha Solteira São José do Rio Preto 02 de setembro de 2020 AGRADECIMENTOS Aos meus pais por terem me apoiado na minha carreira acadêmica. Aos meus amigos por me ajudarem nos momentos difíceis. Em especial as minhas amigas Karina e Livea que assim como eu viveram a realidade do mestrado. Ao meu orientador Prof. Dr. Parham Salehyan por ter me ajudado em todos os momentos. Ao Ibilce por ter me dado a condição de estudar. O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001, à qual agradeço, por ter me ajudado a estudar neste período de mestrado. RESUMO Neste trabalho estudaremos as topologias m-ádicas. Para isto, relembraremos alguns conceitos vistos na Álgebra e Topologia que nos ajudarão a avançar nos nossos estudos. Palavras−chave: Álgebra. Topologia. Comutativa. Algébrica. ABSTRACT In this work we will study the m-adic topologies. For this, we will remember some concepts seen in Algebra and topoloy that will help us to advance in our studies. Keywords: Algebra. Topology. Commutative. Algebraic. SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 7 2 A TOPOLOGIA M-ÁDICA 8 2.1 Compatibilidades das estruturas algébricas e topológicas em um conjunto 8 2.2 A topologia m-ádica 11 3 COMPLETAMENTO DE GRUPOS FILTRADOS, ANÉIS E MÓDULOS 17 3.1 Completamento de grupos filtrados 17 3.2 Completamento de anéis e módulos filtrados 22 4 ANÉIS DAS SÉRIES FORMAIS E RESTRITAS 27 5 COMPLETAMENTO DE MÓDULOS FINITAMENTE GERADOS E PRO- PRIEDADES NOETHERIANAS 36 5.1 Completamento de módulo finitamente gerados 36 5.2 Propriedades noetherianas 43 6 DIMENSÕES DOS COMPLETAMENTOS DE ANÉIS NOETHERIANOS 46 REFERÊNCIAS 59 7 1 INTRODUÇÃO Os estudos sobre as topologias 𝔪-ádicas surgiram como consequência dos estudos de espaços topológicos que tinham uma estrutura de grupo, anel ou módulo, conhecidos como grupo, anel ou módulo topológico. Diante disso, destacamos a importância deste trabalho pela conexão que faz entre a Álgebra e a Topologia. No primeiro capítulo veremos alguns resultados importantes sobre as topologias 𝔪-ádicas e suas filtrações. Temos que [1] será a principal referência deste capítulo. Na sequência, de maneira análoga a topologia, estudaremos os completamentos de grupos, anéis e módulos. A princípio veremos o completamento de grupos filtrados para estendermos de maneira natural para anéis e módulos. Usaremos [2] como a principal referência. No terceiro capítulo estudaremos as séries formais e restritas e, como isso, poderemos ver que existe uma espécie de algoritmo da divisão quando o anel é completo pela topologia 𝔪-ádica. A principal referência será [3]. No quarto capítulo estudaremos mais a fundo os completamentos de módulos finitamente gerados. Temos que [3] e [2] serão as referências mais utilizadas. Por fim, no quinto capítulo buscaremos uma relação entre a dimensão de um anel noetheriano e a dimensão de seu completamento. Inicialmente veremos para os anéis noetherianos locais. Depois estenderemos para quaisquer anéis noetherianos. Teremos que [2] será a principal referência. 8 2 A TOPOLOGIA M-ÁDICA No começo deste capítulo definiremos grupos topológicos e veremos alguns resultados fundamentais. Entre os mais importantes podemos destacar: lema 2.4 e o teorema 2.8. Na sequência definiremos anéis e módulos topológicos. A partir disso apresentaremos a topologia 𝔪-ádica e provaremos alguns resultados. Dentre os mais relevantes podemos citar: teoremas 2.21 e 2.23, lema 2.22 e a proposição 2.26. Finalizaremos definindo o que é um anel de Zariski. 2.1 Compatibilidades das estruturas algébricas e topológicas em um conjunto Todos os anéis serão considerados como comutativo com identidade multiplicativa repre- sentada por 1. Se 𝜙 : 𝐴 → 𝐵 é um homomorfismo de anel, assumimos que a imagem da identidade de 𝐴 através de 𝜙 é a identidade de 𝐵. No caso de 𝐴 ser um subanel de 𝐵 então iremos supor que a identidade de 𝐴 também é a identidade de 𝐵. Definição 2.1. Seja (𝐺, +) um grupo abeliano que ao mesmo tempo possui uma estrutura de espaço topológico, não necessariamente Hausdorff. Suponhamos que as estruturas algébricas e topológicas acima são compatíveis no seguinte sentido: as aplicações{ 𝑓 : 𝐺 × 𝐺 −→ 𝐺 (𝑥, 𝑦) ↦−→ 𝑥 + 𝑦{ 𝑔 : 𝐺 −→ 𝐺 𝑥 ↦−→ −𝑥 são contínuas. Dessa forma, dizemos que 𝐺 é um grupo topológico (com respeito as duas estruturas acima). Observe que a aplicação { 𝑓 ′ : 𝐺 × 𝐺 −→ 𝐺 (𝑥, 𝑦) ↦−→ 𝑥 − 𝑦 também é contínua pois 𝑓 ′(𝑥, 𝑦) = 𝑖𝑑𝐺 (𝑥) + 𝑔(𝑦). Proposição 2.2. Sejam 𝐺 um grupo topológico e 𝑎 ∈ 𝐺. Então a translação 𝑇𝑎 definida por 𝑇𝑎 (𝑥) = 𝑥 + a é contínua e a translação 𝑇−𝑎 é a aplicação inversa. Demonstração. Para todo aberto 𝑉 ⊂ 𝐺, com 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉 , existe um aberto 𝑊 ⊂ 𝐺 × 𝐺, pela continuidade de f, tal que (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑊 e 𝑓 (𝑊) ⊂ 𝑉 . Fixando 𝑦 = 𝑎 temos que 𝑓 (𝑥, 𝑎) = 𝑇𝑎 (𝑥) é contínua. Pelo fato de 𝑇𝑎 ◦ 𝑇−𝑎 = 𝐼𝑑𝐺 e 𝑇−𝑎 ◦ 𝑇𝑎 = 𝐼𝑑𝐺 teremos que 𝑇−𝑎 = 𝑇−1 𝑎 . � 9 Assim, 𝑇𝑎 é um homeomorfismo de 𝐺 para 𝐺 e existe uma bijeção do conjunto de todas as vizinhanças do elemento neutro aditivo de 𝐺 (geralmente representado por 0) para o conjunto de todas as vizinhanças de a (𝑈 ↦→ 𝑈+a). Portanto, a topologia de𝐺 é unicamente determinado pelas vizinhanças de 0 em 𝐺. Podemos observar que todo subgrupo aberto 𝐻 de 𝐺 é fechado, pois o conjunto comple- mentar de 𝐻 em 𝐺 é ⋃ 𝑎∉𝐻 𝑎 + 𝐻 e todo 𝑎 + 𝐻 = 𝑇𝑎 (𝐻) é aberto. Dessa forma, temos que𝐺/𝐻 é um grupo topológico quando tomamos a topologia discreta. Proposição 2.3. Sejam 𝐺 um grupo topológico, 𝐴 ⊆ 𝐺 e 𝐵 um subgrupo de 𝐺. Se 𝐵 é aberto, então 𝐴 + 𝐵 também é. Demonstração. Segue pelo fato de 𝐴 + 𝐵 = ⋃ 𝑎∈𝐴 (a + 𝐵). � Lema 2.4. Seja 𝐻 a interseção de todas as vizinhanças do elemento neutro do grupo topológico 𝐺, denotado por 0. Então: (i) 𝐻 é subgrupo de 𝐺; (ii) 𝐻 é o fecho de {0}. Demonstração. (𝑖) Segue pela continuidade das operações de grupo. Temos que 𝐻 ≠ ∅ pois 0 ∈ 𝐻. Escreva 𝑁𝐺 (0) como o conjunto das vizinhanças de 0. Como 𝑥 ↦→ −𝑥 é um homeomorfismo, para cada vizinhança 𝑈 ∈ 𝑁𝐺 (0) teremos que −𝑈 ∈ 𝑁𝐺 (0). Assim 𝑉 = 𝑈 ∩ −𝑈 ∈ 𝑁𝐺 (0) e −𝑉 = 𝑉 . Se 𝑥 ∈ 𝐻 e 𝑈 ∈ 𝑁𝐺 (0), então podemos encontrar o subconjunto 𝑉 ∈ 𝑁𝐺 (0) tal que 𝑉 = −𝑉 . Então 𝑥 ∈ 𝑉 = −𝑉 , logo −𝑥 ∈ 𝑉 ⊆ 𝑈. Como 𝑈 é arbitrário, então −𝑥 ∈ 𝐻. Como 𝑓 : 𝐺 × 𝐺 → 𝐺 é contínua e (0, 0) ↦→ 0 para qualquer 𝑈 ∈ 𝑁𝐺 (0) existe uma vizinhança𝑊 de (0, 0) em𝐺 ×𝐺 que a aplicação adição leva até𝑈. Pela definição de topologia produto, existem 𝑉1, 𝑉2 ∈ 𝑁𝐺 (0) tal que 𝑉1 × 𝑉2 ⊆ 𝑊 . Se tomarmos 𝑉 = 𝑉1 ∩ 𝑉2 então 𝑉 + 𝑉 ⊆ 𝑈. Suponhamos 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻 e 𝑈 ∈ 𝑁𝐺 (0). Assim, existe 𝑉 ∈ 𝑁𝐺 (0) tal que 𝑉 + 𝑉 ⊆ 𝑈 e 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 e então 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑈. Como𝑈 é arbitrário então 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐻. Para (𝑖𝑖) teremos que: 𝑥 ∈ 𝐻 ⇔ 0 ∈ 𝑥 +𝑈 para toda vizinhança𝑈 de 0⇔ 𝑥 ∈ {0}. � Relembraremos uma definição vista na topologia. Definição 2.5. Uma aplicação 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 entre dois espaços topológicos é dita aberta se, para qualquer aberto𝑈 de 𝑋 , 𝑓 (𝑈) é aberto em 𝑌 . 10 Proposição 2.6. A aplicação natural 𝜌 : 𝐺 → 𝐺/𝐻, onde 𝐻 é o subgrupo do Lema 1.4, é aberta. Demonstração. Seja 𝑈 um subconjunto aberto de 𝐺. Pela proposição 2.3 temos que 𝜌(𝑈) = 𝑈 + 𝐻 é aberto. � A próxima proposição apresenta uma condição para que um espaço topológico seja Haus- dorff. Proposição 2.7. Se um espaço topológico 𝑋 é Hausdorff se, e somente se, a imagem da aplicação { Δ : 𝑋 −→ 𝑋 × 𝑋 𝑥 ↦−→ (𝑥, 𝑥) é fechada em 𝑋 × 𝑋 . Demonstração. Seja (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 × 𝑋 tal que 𝑥 ≠ 𝑦. Pelo fato de 𝑋 ser Hausdorff temos que existem abertos disjuntos 𝑈,𝑉 contendo 𝑥, 𝑦 respectivamente. Assim, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑈 × 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) − Δ(𝑋). Logo (𝑋 × 𝑋) − Δ(𝑋) é aberto, isto é, Δ(𝑋) é fechado. Reciprocamente, se𝑊 B (𝑋×𝑋) −Δ(𝑋) é aberto então, para 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 distintos, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑊 está contido num aberto básico 𝑈 × 𝑉 ⊆ 𝑊 para os abertos 𝑈,𝑉 de 𝑋 . Então 𝑈,𝑉 são abertos de 𝑋 contendo 𝑥, 𝑦 respectivamente e eles são disjuntos pois𝑈 ×𝑉 é subconjunto de𝑊 . � Seja 𝐻 um subgrupo de um grupo topológico 𝐺. O seguinte teorema nos mostra quando 𝐺/𝐻 é Hausdorff. Teorema 2.8. As seguintes afirmações são equivalentes: i) 𝐺/𝐻 é Hausdorff; ii) 𝐻 é fechado em 𝐺. Demonstração. Suponha que 𝐺/𝐻 seja Hausdorff. Assim, conjuntos unitários são fechados em 𝐺/𝐻. Em particular, 0 = 𝐻 é fechado em 𝐺/𝐻. Finalmente, suponhamos que 𝐻 seja fechado em 𝐺. Para mostrar que 𝐺/𝐻 é Hausdorff vimos anteriormente que basta mostrar que a imagem da aplicação Δ : 𝐺/𝐻 → 𝐺/𝐻 ×𝐺/𝐻 é fechada em 𝐺/𝐻 × 𝐺/𝐻. Temos que𝑈 B (𝐺/𝐻×𝐺/𝐻)−im(Δ) = {(𝜌(𝑔), 𝜌(𝑔′)) : 𝑔′−𝑔 ∉ 𝐻} é o seu complementar. Seja 𝑞 = (𝜌, 𝜌) : 𝐺 × 𝐺 → 𝐺/𝐻 × 𝐺/𝐻, que é aberta pois 𝜌 é aberta. Assim, 𝑞−1(𝑈) = {(𝑔, 𝑔′) ∈ 𝐺 ×𝐺 : 𝑔′ − 𝑔 ∉ 𝐻} é aberto pois a aplicação 𝑓 ′ : 𝐺 ×𝐺 → 𝐺, vista no começo do capítulo, é contínua e 𝑞−1(𝑈) = 𝑓 ′−1(𝐺 − 𝐻). Como 𝑞 é sobrejetiva então 𝑈 = 𝑞 ◦ 𝑞−1(𝑈) é aberto. � 11 Corolário 2.9. O grupo topológico 𝐺 é Hausdorff se, e somente se, 𝐻 = {0}, onde 𝐻 é a subgrupo formado pela interseção de todas as vizinhanças do elemento neutro de 𝐺. Demonstração. Se 𝐻 = {0} então 𝐺 é Hausdorff. A recíproca é trivial. � 2.2 A topologia m-ádica Definição 2.10. Se 𝐴 é um anel e um grupo topológico com respeito a adição, dizemos que 𝐴 é um anel topológico se a aplicação{ ℎ : 𝐴 × 𝐴 −→ 𝐴 (𝑥, 𝑦) ↦−→ 𝑥 · 𝑦 é contínua. Seja 𝔪 um ideal de 𝐴, que usaremos a notação 𝔪 E 𝐴, consideramos em 𝐴 a topologia definida tomando o conjunto de todas as potências 𝔪𝑛, para 𝑛 > 0, como um sistema funda- mental de vizinhanças de 0. É fácil verificar que com essa topologia 𝐴 é um anel topológico. Chamamos essa topologia de topologia 𝔪-ádica, ou simplesmente 𝔪-topologia e dizemos que 𝐴 é um anel 𝔪-ádico ou 𝔪-anel. Proposição 2.11. Num anel noetheriano 𝐴 todo ideal 𝐼 contém uma potência do seu radical√ 𝐼. Demonstração. Sua prova pode ser vista em [2], capítulo 7. � Assim um 𝔪-anel noetheriano 𝐴 pode ser um 𝔪′-anel com 𝔪 ≠ 𝔪′. Basta tomarmos 𝔪′ = √ 𝔪. Definição 2.12. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo, onde 𝐴 é um anel topológico e 𝑀 um grupo topológico. Dizemos que 𝑀 é um módulo topológico se a aplicação{ ℎ′ : 𝐴 × 𝑀 −→ 𝑀 (𝑎, 𝑥) ↦−→ 𝑎 · 𝑥 é contínua. Seja 𝔪 E 𝐴. A 𝔪-topologia em 𝑀 é definida tomando a 𝔪-topologia em 𝐴 e a topologia dada por todos os submódulos 𝔪𝑛𝑀 , 𝑛 > 0, de 𝑀 . Se 𝐴 é um anel topológico tal que o sistema fundamental de vizinhanças de 0 é dada por ideais, dizemos que a topologia em 𝐴 é uma topologia linear. Portanto a 𝔪-topologia é um exemplo de topologia linear. 12 Definição 2.13. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo. A cadeia 𝑀 = 𝑀0 ⊃ 𝑀1 ⊃ · · · ⊃ 𝑀𝑛 ⊃ · · · , onde 𝑀𝑛 são submódulos de 𝑀 é chamada uma filtração de 𝑀 . Uma filtração é associada de forma natural com uma topologia em 𝑀 , basta tomarmos {𝑀𝑛} como um sistema fundamental de vizinhanças de 0. Definição 2.14. Sejam (𝑀𝑛) uma filtração de 𝑀 e 𝔪 E 𝐴 tais que a seguinte condição é verificada: 𝔪𝑀𝑛 ⊂ 𝑀𝑛+1, para todo 𝑛 > 0; ou consequentemente, 𝔪𝑖𝑀𝑛 ⊂ 𝑀𝑛+𝑖, para todo 𝑛, 𝑖 > 0. Então chamamos (𝑀𝑛) de uma 𝔪-filtração. Definição 2.15. Dizemos que a 𝔪-filtração (𝑀𝑛) é estável se existe 𝑛0 > 0 tal que as seguintes condições equivalentes são verificadas: i) 𝑀𝑛+1 = 𝔪𝑀𝑛, para 𝑛 > 𝑛0; ii) 𝑀𝑛 = 𝔪𝑛−𝑛0𝑀𝑛0 , para 𝑛 > 𝑛0; iii) 𝑀𝑛+𝑞 = 𝔪𝑞𝑀𝑛, para 𝑛 > 𝑛0, 𝑞. > 0 A filtração (𝔪𝑛𝑀), que define a topologia 𝔪-ádica em 𝑀 , é um exemplo de 𝔪-filtração estável. O próximo lema mostra que qualquer 𝔪-filtração estável de 𝑀 define a 𝔪-topologia. Lema 2.16. Se (𝑀𝑛), (𝑀′𝑛) são 𝔪-filtrações estáveis de 𝑀 então existe 𝑛0 tal que 𝑀𝑛+𝑛0 ⊂ 𝑀′𝑛 e 𝑀′𝑛+𝑛0 ⊂ 𝑀𝑛, para todo 𝑛 > 0. Consequentemente, todas as 𝔪-filtrações estáveis determinam a mesma topologia em 𝑀 . Demonstração. É suficiente tomar 𝑀′𝑛 = 𝔪𝑛𝑀 . Como 𝔪𝑀𝑛 ⊆ 𝑀𝑛+1 para todo 𝑛, teremos que 𝔪𝑛𝑀 ⊆ 𝑀𝑛. Além disso, 𝔪𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1 para todo 𝑛 ≥ 𝑛0, consequentemente 𝑀𝑛+𝑛0 = 𝔪𝑛𝑀𝑛0 ⊆ 𝔪𝑛𝑀 = 𝑀′𝑛. � Definição 2.17. Se 𝐴 é um anel e (𝐴𝑛)𝑛>0 é uma família de subgrupos, com relação a adição, de 𝐴, tal que 𝐴 = ∞⊕ 𝑛=0 𝐴𝑛 e 𝐴𝑚𝐴𝑛 ⊆ 𝐴𝑚+𝑛, para 𝑚, 𝑛 > 0, então é 𝐴 é chamado de anel graduado. Observação 2.18. Note que 𝐴0 é um subanel de 𝐴 e cada 𝐴𝑛 é um 𝐴0-módulo. 13 Definição 2.19. Se 𝐴 é um anel graduado, um 𝐴-módulo graduado é um 𝐴-módulo 𝑀 junto com uma família (𝑀𝑛)𝑛>0 de subgrupos de 𝑀 tal que 𝑀 = ∞⊕ 𝑛=0 𝑀𝑛 e 𝐴𝑚𝑀𝑛 ⊆ 𝑀𝑚+𝑛, para todo 𝑚, 𝑛 > 0. Um elemento 𝑥 ∈ 𝑀 é dito homogêneo de grau 𝑛 se 𝑥 ∈ 𝑀𝑛. Proposição 2.20. Se 𝐴 é um anel graduado noetheriano então 𝐴0 é noetheriano e 𝐴 é finitamente gerado como 𝐴0-álgebra. Demonstração. Temos que 𝐴0 � 𝐴/ ⊕ 𝑛>0 𝐴𝑛. Logo, 𝐴0 é noetheriano. Facilmente podemos ver que ⊕ 𝑛>0 𝐴𝑛 é um ideal de 𝐴 e com isso é gerado por {𝑥1, . . . , 𝑥𝑠}, onde 𝑥𝑖 ∈ 𝐴𝑘 (𝑖) , para 1 6 𝑖 6 𝑠. Seja 𝐴∗ a 𝐴0-álgebra gerada por {𝑥1, . . . , 𝑥𝑠}. Por indução sobre 𝑛, mostraremos que 𝐴𝑛 ⊆ 𝐴∗ para todo 𝑛 > 0. Isto é verdade para 𝑛 = 0. Sejam 𝑛 > 0 e 𝑦 ∈ 𝐴𝑛 ⊂ ⊕ 𝑛>0 𝐴𝑛. Assim, 𝑦 = 𝑠∑ 𝑖=1 𝑎𝑖𝑥𝑖, onde 𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑛−𝑘 (𝑖) . Pela hipótese de indução, cada 𝑎𝑖 é um polinômio em 𝑥𝑖, para 1 6 𝑖 6 𝑠, com coeficientes em 𝐴0. O mesmo acontece com 𝑦. Logo, 𝐴𝑛 ⊆ 𝐴∗ para todo 𝑛. Portanto, 𝐴 = 𝐴∗. � Sejam 𝐴 um anel e 𝔪 E 𝐴. Podemos formar o anel graduado 𝐴′ = ⊕ 𝑛≥0 𝔪𝑛, com a multiplicação definida como para polinômios, que é isomorfo a ∑ 𝑛≥0 𝔪𝑛𝑋𝑛 ⊂ 𝐴[𝑋], onde 𝑋 é uma indeterminada. Com isso, 𝐴′ é uma 𝐴-álgebra gerada por 𝔪𝑋 , com 𝑥 ∉ 𝐴′, e 𝐴′ é Noetheriano quando 𝐴 for. Similarmente se 𝑀 é um 𝐴-módulo e (𝑀𝑛) é uma 𝔪-filtração de 𝑀 , então 𝑀′ = ⊕ 𝑛≥0 𝑀𝑛 é um 𝐴′-módulo graduado. Com essa notação teremos o seguinte resultado. Teorema 2.21. Sejam 𝐴 um anel noetheriano, 𝔪 E 𝐴, 𝑀 um 𝐴-módulo finitamente gerado e (𝑀𝑛) uma 𝔪-filtração de 𝑀 . Então as seguintes condições são equivalentes: i) A filtração (𝑀𝑛) é 𝔪-estável; ii) 𝑀′ é um 𝐴′-módulo finitamente gerado. Demonstração. Como cada 𝑀𝑛 é finitamente gerado então 𝑄𝑛 = 𝑛⊕ 𝑟=0 𝑀𝑛 também é. Considere 𝑀′𝑛 definido por: 𝑀′𝑛 = 𝑀0 ⊕ + · · · + ⊕𝑀𝑛 ⊕ 𝔪𝑀𝑛 · · · ⊕ 𝔪𝑛𝑀𝑛 ⊕ . . . Pelo fato de 𝑄𝑛 ser finitamente gerado como 𝐴-módulo teremos que 𝑀′𝑛 é finitamente gerado como 𝐴′-módulo. Assim, {𝑀′𝑛}𝑛>0 forma uma cadeia crescente, cuja união é 𝑀′. Como 𝐴′ é noetheriano, então 𝑀′ é um 𝐴′-módulo finitamente gerado se, e somente se, a cadeia é estacionária, ou seja, 𝑀′ = 𝑀′𝑛0 , para algum 𝑛0 > 0. � Pelo Teorema 2.21 chegamos ao seguinte resultado que é uma ferramenta muito útil na teoria. 14 Lema 2.22. (Lema de Artin-Rees) Sejam 𝐴 um anel Noetheriano, 𝔪 E 𝐴, 𝑀 um 𝐴-módulo finitamente gerado, (𝑀𝑛) uma 𝔪-filtração estável de 𝑀 e 𝑁 um submódulo de 𝑀 . Então: i) (𝑀𝑛 ∩ 𝑁) é uma 𝔪-filtração estável de 𝑁; ii) Existe um inteiro 𝑛0 tal que (𝔪𝑛𝑀) ∩ 𝑁 = 𝔪𝑛−𝑛0 ((𝔪𝑛0𝑀) ∩ 𝑁), para todo 𝑛 ≥ 0; iii) Existe 𝑛0 > 0 tal que as filtrações (𝔪𝑛𝑁) e ((𝔪𝑛𝑀) ∩𝑁) satisfazem as condições do Lema 2.16; em particular a 𝔪-topologia de 𝑁 coincide com a topologia induzida em 𝑁 pela 𝔪-topologia de 𝑀 . Demonstração. Como 𝐴 é noetheriano então 𝑁 e cada (𝑀𝑛∩𝑁) são 𝐴-módulos finitamente ge- rados. Além disso (𝑀𝑛 ∩ 𝑁) é um 𝔪-filtração pois 𝔪(𝑀𝑛 ∩ 𝑁) ⊂ (𝔪𝑀𝑛) ∩ (𝔪𝑁) ⊂ 𝑀𝑛+1 ∩ (𝔪)𝑁 e define um submódulo graduado 𝑁′ = ⊕ 𝑛≥0 𝑀𝑛 ∩ 𝑁 do módulo graduado 𝑀′ = ⊕ 𝑛≥0 𝑀𝑛. Assim 𝑀′ é um 𝐴′-módulo finitamente gerado e como 𝐴′ é noetheriano então 𝑁′ é um 𝐴′-módulo finitamente gerado. Logo o primeiro item segue pelo Teorema 2.21. Além disso, se aplicarmos o primeiro item a filtração (𝔪𝑛𝑀) de 𝑀 chegamos ao segundo item. Por fim teremos que o terceiro item segue pelo segundo e pelo lema 2.16. � Agora iremos revisar algumas definições básicas: um anel 𝐴 é 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 (respec. semi local) se tem somente um ideal maximal (respec. um número finito de ideais maximais). Usamos a notação (𝐴,𝔪) para indicar que 𝐴 é um anel local com ideal maximal 𝔪. A interseção de todos os ideais maximais do anel 𝐴 é o ideal de Jacobson de 𝐴 e é denotado por 𝐽 (𝐴). Teremos 𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴) se, e somente se, todo elemento do conjunto 1− 𝑥𝐴 é inversível. A prova é encontrada em [2], capítulo 1. Teorema 2.23. (Teorema da interseção de Krull) Sejam 𝐴 um anel noetheriano, 𝔪 E 𝐴, 𝑀 um 𝐴-módulo finitamente gerado e 𝑁 = ∞⋂ 𝑛=0 𝔪𝑛𝑀 . Então 𝑥 ∈ 𝑁 se, e somente se, existe 𝑚 ∈ 𝔪 tal que (1 − 𝑚)𝑥 = 0. Em particular, teremos 𝑁 = {0}, se pelo uma das seguintes hipóteses forem verificadas: i) 𝔪 ⊂ 𝐽 (𝐴); ii) 𝐴 é um anel local; iii) 𝐴 é um domínio de integridade. 15 Demonstração. Se 𝑥 = 𝑚𝑥, com 𝑚 ∈ 𝔪, teremos 𝑥 = 𝑚𝑛𝑥 para todo 𝑛 ≥ 0, então 𝑥 ∈ 𝑁 . Reciprocamente, se 𝑥 ∈ 𝑁 , 𝐴𝑥 está contida em toda vizinhança de 0 em 𝑀 , então não há outro conjunto aberto além dele mesmo pela topologia induzida, que é a 𝔪-topologia de 𝐴𝑥; 𝔪𝑥 é aberto nessa topologia, então 𝔪𝑥 = 𝐴𝑥 e 𝑚𝑥 = 𝑥 para algum 𝑚 ∈ 𝔪. Provaremos agora os três itens. Se 𝔪 ⊂ 𝐽(𝐴) então 1 −𝑚 é inversível e com isso 𝑥 = 0. De forma análoga provamos o segundo item. Se 𝐴 for domínio então 1−𝑚 = 0 ou 𝑥 = 0. Pelo fato de 𝔪 ser um ideal próprio temos que 𝑥 = 0 como queríamos. � Proposição 2.24. Se 𝑁 é um submódulo do módulo 𝑀 então o fecho de 𝑁 é dado por 𝑁 = ∞⋂ 𝑛=0 (𝑁 + 𝑀𝑛), onde (𝑀𝑛) é uma filtração de 𝑀 . Demonstração. Seja 𝑥 ∈ 𝑀 . Assim, 𝑥 ∉ 𝑁 se alguma vizinhança de 𝑥 é disjunta de 𝑁 , ou seja, (𝑥 +𝑀𝑛) ∩𝑁 = ∅, para algum 𝑛 > 0. Se 𝑥 ∈ 𝑁 +𝑀𝑛, para todo 𝑛 > 0, então 𝑥 = 𝑦 + 𝑧, onde que 𝑦 ∈ 𝑁 e 𝑧 ∈ 𝑀𝑛. Com isso 𝑦 = 𝑥 − 𝑧 ∈ (𝑥 + 𝑀𝑛) ∩ 𝑁 . Reciprocamente, se 𝑦 ∈ (𝑥 + 𝑀𝑛) ∩ 𝑁 , para todo 𝑛 > 0, então para algum 𝑧 ∈ 𝑀𝑛 teremos que 𝑦 = 𝑥 − 𝑧. Logo 𝑥 = 𝑦 + 𝑧. � O seguinte resultado é uma extensão do corolário 2.9 para o caso de módulos topológicos. Corolário 2.25. Um módulo topológico 𝑀 é Hausdorff se, e somente se, ∞⋂ 𝑛=0 𝑀𝑛 = {0}, onde (𝑀𝑛) é uma filtração do módulo 𝑀 . Demonstração. Suponhamos que ∞⋂ 𝑛=0 𝑀𝑛 = {0}. Pela proposição anterior, ∞⋂ 𝑛=0 𝑀𝑛 = {0}. Assim, pontos são fechados e com isso a topologia é Hausdorff. � Por fim, finalizaremos o capítulo com uma importante proposição que nos ajuda a definir um anel de Zariski. Proposição 2.26. Sejam 𝐴 um anel noetheriano e 𝔪 E 𝐴. As seguintes condições são equiva- lentes: i) 𝔪 ⊂ 𝐽 (𝐴); ii) Todo 𝐴-módulo finitamente gerado é Hausdorff para a 𝔪-topologia; iii) Se 𝑀 um 𝐴-módulo finitamente gerado qualquer, todo submódulo de 𝑀 é fechado para a 𝔪-topologia de 𝑀; iv) Todo ideal maximal de 𝐴 é fechado para a 𝔪-topologia. Demonstração. Mostraremos que 𝑖) ⇒ 𝑖𝑖). Suponhamos que 𝔪 ⊂ 𝐽 (𝐴) e 𝑀 é um 𝐴-módulo finitamente gerado. Seja 𝑥 ∈ 𝑀 e 𝑚 ∈ 𝔪 tais que (1 − 𝑚)𝑥 = 0. Assim, 𝑥 = 0 pois (1 − 𝑚) é inversível em 𝐴. Portanto, 𝑀 é Hausdorff pelo corolário anterior. 16 Provaremos 𝑖𝑖) ⇒ 𝑖𝑖𝑖). Suponhamos que vale 𝑖𝑖). Seja 𝑀 um 𝐴-módulo finitamente gerado, 𝑁 um submódulo de𝑀 . Então𝑀/𝑁 é Hausdorff pela topologia𝔪-ádica. Portanto, 𝑁 é fechado em 𝑀 . Está claro que 𝑖𝑖𝑖) ⇒ 𝑖𝑣). Demonstraremos que 𝑖𝑣) ⇒ 𝑖). De 𝑖𝑣) temos que para todo ideal maximal 𝔪′ de 𝐴 o 𝐴-módulo 𝐴/𝔪′ é Hausdorff pela topologia 𝔪-ádica. Isso implica 𝔪(𝐴/𝔪′) ≠ 𝐴/𝔪′, caso contrário, a topologia 𝔪-ádica de 𝐴/𝔪′ seria a topologia menos fina e 𝐴/𝔪′ seria reduzido a 0, isso seria um absurdo, pois 𝐴/𝔪′ é corpo. A imagem canônica de 𝔪 em 𝐴/𝔪′ é portanto um ideal distinto de 𝐴/𝔪′, logo será 0. Consequentemente, 𝔪 ⊂ 𝔪′. Como 𝔪′ é arbitrário então 𝔪 ⊂ 𝐽 (𝐴). � Definição 2.27. Um anel topológico noetheriano é dito um anel de Zariski se é um anel𝔪-ádico para algum 𝔪 satisfazendo as condições equivalentes da proposição anterior. Exemplo 2.28. Se (𝐴,𝔪) é um anel noetheriano local teremos que 𝔪 = 𝐽 (𝐴), então (𝐴, 𝐼) é um anel de Zariski para qualquer ideal próprio 𝐼 de 𝐴. Proposição 2.29. Sejam 𝐴 um anel noetheriano, 𝔪 E 𝐴 e 𝑆 = 1 +𝔪. Assim, 𝑆−1𝐴 é um anel de Zariski pela (𝑆−1𝔪)-topologia. Demonstração. Todo elemento de 1 + 𝑆−1𝔪 é da forma 1 + (𝑥/(1 + 𝑥′)) = (1 + 𝑥 + 𝑥′)/(1 + 𝑥′) onde 𝑥, 𝑥′ ∈ 𝔪. Com isso, 1+(𝑥/(1+𝑥′) é inversível em 𝑆−1𝐴. Isso prova que 𝑆−1𝔪 ⊂ 𝐽 (𝑆−1𝐴). Como 𝑆−1𝐴 é noetheriano então é um anel de Zariski. � Observação 2.30. A definição de anel de Zariski será importante para um resultado que veremos no capítulo 4. 17 3 COMPLETAMENTO DE GRUPOS FILTRADOS, ANÉIS E MÓDULOS Este capítulo tem como objetivo principal definir e estudar os completamentos de grupos, anéis e módulos filtrados. Inicialmente definiremos o que é um completamento para um grupo filtrado e veremos alguns resultados. Na sequência vamos estender a definição de completamento para anéis e módulos filtrados e apresentaremos os 𝔪-completamentos. Entre os resultados mais relevantes podemos citar: proposições 3.9, 3.13, 3.15, 3.21, 3.24 e 3.29. 3.1 Completamento de grupos filtrados Sejam (𝐺, +) um grupo abeliano filtrado, isto é, 𝐺 é tomado como um Z-módulo e (𝐺𝑛) uma filtração. Dessa forma temos as seguintes definições. Definição 3.1. Sejam (𝑥𝑘 ), (𝑦𝑘 ) duas sequências em 𝐺. Definimos a soma de sequências por (𝑥𝑘 ) + (𝑦𝑘 ) = (𝑥𝑘 + 𝑦𝑘 ). Observação 3.2. A sequência (−𝑥𝑘 ) é o inverso aditivo de (𝑥𝑘 ), ou seja (−𝑥𝑘 ) = −(𝑥𝑘 ). Segue pelo fato de (𝑥𝑘 ) + (−𝑥𝑘 ) = (0). Definição 3.3. Uma sequência de Cauchy em 𝐺 é definida como a sequência (𝑥𝑘 ) em 𝐺 tal que, para todo 𝐺𝑛, existe um inteiro 𝑠(𝐺𝑛) com a propriedade de que 𝑥𝑘1 − 𝑥𝑘2 ∈ 𝐺𝑛,∀𝑘1, 𝑘2 > 𝑠(𝐺𝑛) Definição 3.4. Seja (𝑥𝑘 ) uma sequência em 𝐺. Dizemos que 𝐿 é o limite da sequência se, e somente se, ∀ 𝐺𝑛, ∃ 𝑘0 ∈ N tal que 𝑘 > 𝑘0 implica (𝑥𝑘 − 𝐿) ∈ 𝐺𝑛. Denotamos o limite de uma sequência (𝑥𝑘 ) por lim 𝑘→∞ 𝑥𝑘 . Duas sequências são equivalentes se (𝑥𝑘 ) − (𝑦𝑘 ) → 0. Representamos por (𝑥) a sequência constante (𝑥, 𝑥, . . . ), onde 𝑥 ∈ 𝐺. Definição 3.5. Um grupo filtrado𝐺 é dito completo se é Hausdorff e toda sequência de Cauchy em 𝐺 converge para um ponto de 𝐺. 18 Sejam G o conjunto de todas as sequências de Cauchy em 𝐺 eN o conjunto das sequências cujo limite é 0. Assim, temos os seguintes resultados. Proposição 3.6. Se (𝑥𝑘 ), (𝑦𝑘 ) ∈ G então: i) (𝑥𝑘 + 𝑦𝑘 ) ∈ G; ii) (−𝑥𝑘 ) ∈ G. Demonstração. Provaremos o primeiro item. Sejam 𝐺𝑛, 𝐺𝑚 tais que 𝐺𝑚 + 𝐺𝑚 ⊆ 𝐺𝑛. Como (𝑥𝑘 ), (𝑦𝑘 ) são de Cauchy então existem números 𝑠(𝐺𝑚) e 𝑠′(𝐺𝑚) tais que 𝑥𝑘1 − 𝑥𝑘2 ∈ 𝐺𝑚, para todos 𝑘1, 𝑘2 > 𝑠(𝐺𝑚), e 𝑦𝑘1 − 𝑦𝑘2 ∈ 𝐺𝑚, para todo 𝑘1, 𝑘2 > 𝑠 ′(𝐺𝑚). Logo, para todo 𝑘1, 𝑘2 > max{𝑠(𝐺𝑚), 𝑠′(𝐺𝑚)}, temos que (𝑥𝑘1 + 𝑦𝑘1) − (𝑥𝑘2 + 𝑦𝑘2) = (𝑥𝑘1 − 𝑥𝑘2) + (𝑦𝑘1 − 𝑦𝑘2) ∈ 𝐺𝑚 + 𝐺𝑚 ⊆ 𝐺𝑛. Como 𝐺𝑛 é arbitrário então (𝑥𝑘 + 𝑦𝑘 ) é de Cauchy. Pelo fato de (𝑥𝑘 ) ser Cauchy então, para um 𝐺𝑛, existe um número 𝑠(𝐺𝑛) ∈ N tal que 𝑘1, 𝑘2 > 𝑠(𝐺𝑛) implica 𝑥𝑘1 −𝑥𝑘2 ∈ 𝐺𝑛. Como (−𝑥𝑘1) − (−𝑥𝑘2) = −(𝑥𝑘1 −𝑥𝑘2) = 𝑥𝑘2 −𝑥𝑘1 ∈ 𝐺𝑛, para todo 𝑘1, 𝑘2 > 𝑠(𝐺𝑛), então, por 𝐺𝑛 ser arbitrário, (−𝑥𝑘 ) é de Cauchy. � Como consequência da proposição anterior temos que: Proposição 3.7. O conjunto G é um grupo abeliano e N é subgrupo de G. Demonstração. Se (𝑥𝑘 ), (𝑦𝑘 ) e (𝑧𝑘 ) ∈ G então, pelas definições de grupo, podemos verificar que ((𝑥𝑘 ) + (𝑦𝑘 )) + (𝑧𝑘 ) = (𝑥𝑘 ) + ((𝑦𝑘 ) + (𝑧𝑘 )) Tomando (0) como a sequência onde todos elementos são iguais a 0 temos que (𝑥𝑘 ) + (0) = (𝑥𝑘 + 0) = (𝑥𝑘 ). De acordo com a observação 3.2, a sequência (−𝑥𝑘 ) representa o oposto de (𝑥𝑘 ) pois (𝑥𝑘 ) + (−𝑥𝑘 ) = (𝑥𝑘 − 𝑥𝑘 ) = (0). Por fim, G é abeliano pelo fato de que (𝑥𝑘 ) + (𝑦𝑘 ) = (𝑥𝑘 + 𝑦𝑘 ) = (𝑦𝑘 + 𝑥𝑘 ) = (𝑦𝑘 ) + (𝑥𝑘 ). Sem grandes dificuldades podemos verificar que N é subgrupo de G. � Dessa forma, podemos ver que a construção do grupo quociente𝐺 = G/N é feita de maneira análoga a construção dos números reais atráves dos número racionais. Definição 3.8. O grupo 𝐺 é chamado de completamento de 𝐺. 19 Proposição 3.9. A aplicação { 𝑓 : 𝐺 −→ 𝐺 𝑥 ↦−→ (̂𝑥) é um homomorfismo de grupos, onde (̂𝑥) representa a classe da sequência constante (𝑥), e ker 𝑓 = ∞⋂ 𝑛=0 𝐺𝑛. Demonstração. Temos que 𝑓 é um homomorfismo bem definido pois 𝑓 (0) = (0) e 𝑓 (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) = (𝑥) + (𝑦) = 𝑓 (𝑥) + 𝑓 (𝑦). Se 𝑥 ∈ ker 𝑓 , ou seja, (𝑥) = (0), então lim 𝑘→∞ (𝑥) − (0) = 0. Assim, temos que para cada 𝐺𝑛 ⊂ 𝐺 existe 𝑠(𝐺𝑛) tal que se 𝑘 > 𝑠(𝐺𝑛) então 𝑥 ∈ 𝐺𝑛. Como 𝑥 não depende de 𝑘 então 𝑥 ∈ ∞⋂ 𝑛=0 𝐺𝑛. A recíproca é trivial. � Observação 3.10. Note que a aplicação 𝑓 geralmente não é injetora. Com isso, pelo corolário 2.9, temos que 𝑓 é injetora se, e somente se, 𝐺 for Hausdorff. Consequentemente, 𝑓 é um isomorfismo se, e somente se, 𝐺 é completo. Podemos tomar a topologia quociente em 𝐺. Assim, Para cada 𝐺𝑛 definimos 𝐺𝑛 ⊆ 𝐺 como sendo o conjunto 𝐺𝑛 B {�̂� ∈ 𝐺 : ∀(𝑥𝑘 ) ∈ �̂�, ∃𝑟 ∈ N,∀𝑘 > 𝑟, 𝑥𝑘 ∈ 𝐺𝑛}. Claramente 𝐺𝑛 é um subgrupo de 𝐺 e �𝐺𝑛+1 ⊆ 𝐺𝑛. Portanto, (𝐺𝑛) é uma filtração de 𝐺 e consequentemente teremos o seguinte resultado. Proposição 3.11. A aplicação 𝑓 : 𝐺 → 𝐺, vista na proposição 3.9, é contínua. Demonstração. Seja 𝑥 ∈ 𝐺 e considere um aberto básico 𝑓 (𝑥) +𝐺𝑛. Se 𝑢 ∈ 𝐺𝑛 então existe um 𝐺𝑚 tal que 𝑢 + 𝐺𝑚 ⊆ 𝐺𝑛. Com isso, se (𝑦𝑘 ) é equivalente a (𝑢) então eventualmente teremos que 𝑦𝑘 − 𝑢 ∈ 𝐺𝑚, ou seja, 𝑦𝑘 está eventualmente em 𝑢 +𝐺𝑚 ⊆ 𝐺𝑛. Isso mostra que 𝑓 (𝑢) ∈ 𝐺𝑛. Assim, segue que 𝑓 (𝑥 + 𝐺𝑛) ⊆ 𝑓 (𝑥) + 𝐺𝑛. Portanto, 𝑓 é contínua. � Mostraremos que o completamento de um grupo filtrado pode ser obtido através de limites inversos. Definição 3.12. Uma família (𝐴𝑛, 𝑓𝑛) de grupos abelianos 𝐴𝑛 e homomorfismo de grupos 𝑓𝑛 : 𝐴𝑛+1 → 𝐴𝑛 é chamada de sistema inverso e tem um limite inverso lim←−− 𝐴𝑛 = 𝐵 definido por 𝐵 = {(𝑎𝑛) ∈ ∏ 𝐴𝑛 : 𝑓𝑛 (𝑎𝑛+1) = 𝑎𝑛,∀𝑛} Um sistema inverso onde todo 𝑓𝑛 é sobrejetivo é chamado de sistema sobrejetivo. Temos que 𝐵 é claramente um subgrupo de ∏ 𝐴𝑛 e para qualquer 𝑛, existe um homomorfismo canônico 𝑔𝑛 : 𝐵→ 𝐴𝑛 tal que 𝑓𝑛 ◦ 𝑔𝑛+1 = 𝑔𝑛. 20 Se𝐺 é um grupo filtrado e (𝐺𝑛) é uma filtração, então temos os sistemas inversos (𝐺/𝐺𝑛, 𝑓𝑛) e, para 𝑛 fixo, (𝐺𝑛/𝐺𝑛+𝑖, 𝑓𝑛+𝑖) onde 𝑓𝑛 e 𝑓𝑛+𝑖 são as aplicações canônicas. Sejam𝐺 = lim←−−𝐺/𝐺𝑛 e 𝐺𝑛 = lim←−−𝐺𝑛/𝐺𝑛+𝑖. É fácil ver que (𝐺𝑛) é uma filtração de 𝐺. Note que existe um homomorfismo 𝑔 : 𝐺 → 𝐺 definido por 𝑓 (𝑥) = (𝑥0, 𝑥1, . . . ), onde 𝑥𝑖 é a classe de 𝑥 ∈ 𝐺 módulo 𝐺𝑖. Proposição 3.13. Existe um isomorfismo de grupos 𝑢 : 𝐺 → 𝐺 tal que 𝑢(𝐺𝑛) = 𝐺𝑛 para qualquer 𝑛 = 0, 1, . . . . Demonstração. Seja (𝑥𝑛) uma sequência de Cauchy em 𝐺. Para qualquer 𝑟 existe um 𝑛 tal que 𝑥𝑛 ≡ 𝑥𝑛+1 ≡ 𝑥𝑛+2 ≡ . . . mod 𝐺𝑟 . Denote por b𝑟 a classe desses 𝑥𝑛+𝑖, para 𝑖 = 0, 1, . . . . Assim, temos a sequência b = (b0, b1, . . . ) que é um elemento de 𝐺. Isso nos dá um homomorfismo de grupo G → 𝐺, cujo kernel é N . Logo, encontramos o homomorfismo injetivo 𝑢 : 𝐺 → 𝐺. Seja b = (b𝑛) ∈ 𝐺 e 𝑥𝑛 ∈ 𝐺 tal que b𝑛 = 𝑥𝑛 + 𝐺𝑛. Podemos ver que (𝑥𝑛) é uma sequência de Cauchy em 𝐺 e que b é a imagem por 𝑢 da classe (𝑥𝑛). Logo 𝑢 é um isomorfismo. De forma similar provamos a segunda parte da proposição. � Para demonstrarmos a próxima proposicão precisaremos do seguinte resultado cujo prova se encontra em [2], capítulo 2. Proposição 3.14. (Lema da Serpente) Seja 0 𝑀′ 𝑀 𝑀′′ 0 0 𝑁′ 𝑁 𝑁′′ 0 𝑓 ′ 𝑢 𝑓 𝑣 𝑓 ′′ 𝑢′ 𝑣′ um diagrama comutativo de 𝐴-módulos e homomorfismos. Então existe a sequência exata 0 ker( 𝑓 ′) ker( 𝑓 ) ker( 𝑓 ′′) coker( 𝑓 ′) coker( 𝑓 ) coker( 𝑓 ′′) 0, �̄� �̄� 𝛿 𝑢′ 𝑣′ onde �̄�, �̄� são restrições de 𝑢, 𝑣, 𝑢′, 𝑣′ são induzidas por 𝑢′, 𝑣′ e 𝛿 é o mapa de fronteira. Em [2], capítulo 10 temos o seguinte resultado: Proposição 3.15. Sejam {𝐴𝑛, 𝑓𝑛}, {𝐵𝑛, 𝑓 ′𝑛} e {𝐶𝑛, 𝑓 ′′𝑛 } sistemas inversos. Suponha que o diagrama abaixo seja comutativo com linhas exatas 0 𝐴𝑛+1 𝐵𝑛+1 𝐶𝑛+1 0 0 𝐴𝑛 𝐵𝑛 𝐶𝑛 0. 𝑢𝑛+1 \𝑛+1 𝑣𝑛+1 \ ′ 𝑛+1 \ ′′ 𝑛+1 𝑢𝑛 𝑣𝑛 Então a sequência 21 0→ lim←−− 𝐴𝑛 → lim←−− 𝐵𝑛 → lim←−−𝐶𝑛 é exata. Além disso, se {𝐴𝑛} é um sistema sobrejetivo então 0→ lim←−− 𝐴𝑛 → lim←−− 𝐵𝑛 → lim←−−𝐶𝑛 → 0 é exata. Demonstração. Seja 𝐴 = ∞∏ 𝑛=1 𝐴𝑛 e defina 𝑑𝐴 : 𝐴 → 𝐴 por 𝑑𝐴 (𝑎𝑛) = 𝑎𝑛 − 𝑓𝑛+1(𝑎𝑛+1). Logo ker 𝑑𝐴 � lim←−− 𝐴𝑛. Similarmente podemos definir 𝐵, 𝑑𝐵, 𝐶 e 𝑑𝐶 . Assim, teremos o diagrama comutativo 0 𝐴 𝐵 𝐶 0 0 𝐴 𝐵 𝐶 0 𝑑𝐴 𝑑𝐵 𝑑𝐶 e a sequência exata 0→ ker(𝑑𝐴) → ker(𝑑𝐵) → ker(𝑑𝐶) → coker(𝑑𝐴) → coker(𝑑𝐵) → coker(𝑑𝐶) → 0. Para finalizar a demonstração devemos provar que se {𝐴𝑛} é sobrejetivo então 𝑑𝐴 também é sobrejetivo. Isto é claro pois para mostrarmos a sobrejetividade de 𝑑𝐴 devemos resolver indutivamente as equações 𝑥𝑛 − 𝑓𝑛+1(𝑥𝑛+1) = 𝑎𝑛 onde 𝑥𝑛 ∈ 𝐴𝑛. � Corolário 3.16. Seja 0 𝐺′ 𝐺 𝐺′′ 0𝑢 𝑣 uma sequência exata de grupos. Considere uma filtração (𝐺𝑛) em 𝐺. Dessa forma, (𝐺𝑛) induz as filtrações (𝐺′⋂ 𝑢−1(𝐺𝑛)) e (𝑣(𝐺𝑛)) em 𝐺′ e 𝐺′′ respectivamente. Assim, 0 lim←−−𝐺 ′/𝐺′ ∩ 𝑢−1(𝐺𝑛) 𝐺 lim←−−𝐺 ′′/𝑣(𝐺𝑛) 0 é exata. Demonstração. Temos que 0 𝐺′/𝐺′ ∩ 𝑢−1(𝐺𝑛) 𝐺/𝐺𝑛 𝐺′′/𝑣(𝐺𝑛) 0 é exata, para todo 𝑛, e {𝐺′′/𝑣(𝐺𝑛), 𝑓 ′′𝑛 } é um sistema sobrejetivo, onde 𝑓 ′′𝑛 : 𝐺′′/𝑣(𝐺𝑛+1) → 𝐺′′/𝑣(𝐺𝑛) é a aplicação natural. Logo, basta aplicarmos a proposição anterior. � 22 Corolário 3.17. Sejam 𝐺 um grupo abeliano, (𝐺𝑛) uma filtração e (𝐺/𝐺𝑛) os respectivos grupos quociente. Assim, 𝐺/𝐺𝑛 � 𝐺/𝐺𝑛. Demonstração. Como 𝐺/𝐺𝑛 é discreto então �𝐺/𝐺𝑛 � 𝐺/𝐺𝑛. Com isso, temos que: 0 𝐺𝑛 𝐺 𝐺/𝐺𝑛 0 e, consequentemente, 𝐺/𝐺𝑛 � 𝐺/𝐺𝑛. � Observação 3.18. Aplicando o limite inverso em {𝐺/𝐺𝑛} e {𝐺/𝐺𝑛} obtemos que ̂̂ 𝐺 � 𝐺. Assim, pela observação 3.10, teremos que 𝐺 é completo pela topologia dada pela filtração 𝐺𝑛. 3.2 Completamento de anéis e módulos filtrados Os resultados anteriores podem ser estendidos para anéis e módulos filtrados. Listamos alguns resultados. Se 𝐴 é um anel 𝔪-ádico, o completamento de 𝐴 é chamado o 𝔪-completamento de 𝐴 e é denotado por �(𝐴,𝔪) ou 𝐴. Proposição 3.19. Se (𝑥𝑘 ), (𝑦𝑘 ) são sequências de Cauchy em 𝐴 então (𝑥𝑘 ) (𝑦𝑘 ) = (𝑥𝑘 𝑦𝑘 ) também é de Cauchy. Demonstração. Como (𝑥𝑘 ) é de Cauchy então, para qualquer 𝔪𝑛, existe um 𝑠(𝔪𝑛) tal que 𝑘1, 𝑘2 > 𝑠(𝔪𝑛) implica 𝑥𝑘1 − 𝑥𝑘2 ∈ 𝔪𝑛. Analogamente, temos que existe 𝑠′(𝔪𝑛) tal que 𝑘1, 𝑘2 > 𝑠′(𝔪𝑛) implica 𝑦𝑘1 − 𝑦𝑘2 ∈ 𝔪𝑛. Tomando 𝑘′ = max{𝑠(𝔪𝑛), 𝑠′(𝔪𝑛)} temos que 𝑥𝑘1 +𝔪𝑛 = 𝑥𝑘2 +𝔪𝑛 e 𝑦𝑘1 +𝔪𝑛 = 𝑦𝑘2 +𝔪𝑛, para 𝑘1, 𝑘2 > 𝑘 ′. Logo 𝑥𝑘1𝑦𝑘1 +𝔪𝑛 = 𝑥𝑘2𝑦𝑘2 +𝔪𝑛. Portanto, 𝑥𝑘1𝑦𝑘1 − 𝑥𝑘2𝑦𝑘2 ∈ 𝔪𝑛 como queríamos. � Dessa forma 𝐴 é um anel comutativo com unidade (1). Para cada 𝔪𝑛 E 𝐴 temos 𝔪𝑛 definido por 𝔪𝑛 B {�̂� ∈ 𝐴 : ∀(𝑥𝑘 ) ∈ �̂�, ∃𝑟 ∈ N tal que ∀𝑘 > 𝑟, 𝑥𝑘 ∈ 𝔪𝑛} Claramente 𝔪𝑛 E 𝐴 e �𝔪𝑛+1 ⊆ 𝔪𝑛. Portanto, (𝔪𝑛) é uma filtração de 𝐴. Existem os sistemas inversos (𝐴/𝔪𝑛, 𝑓𝑛) e, para 𝑛 fixo, (𝔪𝑛/𝔪𝔫+𝔦, 𝑓𝑛+𝑖) onde que 𝑓𝑛 e 𝑓𝑛+𝑖 são as aplicações naturais. Assim, 𝐴 = lim←−− 𝐴/𝔪 𝑛 é um anel e 𝔪𝑛 = lim←−−𝔪 𝑛/𝔪𝑛+𝑖 é um ideal de 𝐴. Logo 𝔪𝑛 é uma filtração de 𝐴. A seguinte proposiçao é uma extensão da proposição 3.13. Proposição 3.20. Existe um isomorfismo de anéis 𝑣 : 𝐴→ 𝐴 tal que 𝑣(𝔪𝑛) = 𝔪𝑛. Demonstração. A demonstração é similar a da proposição 3.13. � 23 Como consequência da proposição anterior temos que: Proposição 3.21. A aplicação definida por{ 𝑓 : 𝐴 −→ 𝐴 𝑎 ↦−→ (̂𝑎) é um homomorfismo contínuo de anéis, onde (̂𝑎) representa a classe da sequência constante (𝑎), e ker 𝑓 = ∞⋂ 𝑛=0 𝔪𝑛. Demonstração. Temos que 𝑓 é um homomorfismo de grupos. Assim, de acordo com a propo- sição 3.9, ker 𝑓 = ∞⋂ 𝑛=0 𝔪𝑛. A aplicação é um homomorfismo de anéis, pois 𝑓 (𝑥𝑦) = 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑦). Provaremos a continuidade. Para 𝑥 ∈ 𝔪𝑛 temos 𝑓 (𝑥) representado em lim←−− 𝐴/𝔪 𝑛 por (𝑥 + 𝔪𝑛+𝑖) ∈ lim←−−𝔪 𝑛/𝔪𝑛+𝑖, para 𝑖 = 1, 2, . . . . Com isso, 𝑓 (𝔪𝑛) ⊆ 𝔪𝑛. Logo, para quaisquer 𝑦 ∈ 𝐴 e aberto básico 𝑓 (𝑦) +𝔪𝑛 temos que 𝑓 (𝑦 +𝔪𝑛) ⊆ 𝑓 (𝑦) +𝔪𝑛. � Se 𝑀 é um 𝐴-módulo então o 𝔪-completamento de 𝑀 será denotado por �(𝑀,𝔪) ou 𝑀 . Proposição 3.22. O completamento 𝑀 do 𝐴-módulo 𝑀 é um 𝐴-módulo. Demonstração. Para (𝑥𝑘 + 𝔪𝑘 ) ∈ 𝐴 e (𝑚𝑘 + 𝔪𝑘𝑀) ∈ 𝑀 definimos o produto como (𝑥𝑘 + 𝔪𝑘 ) (𝑚𝑘 +𝔪𝑘𝑀) = (𝑥𝑘𝑚𝑘 +𝔪𝑘𝑀). Note que 𝑥𝑘+1𝑚𝑘+1 − 𝑥𝑘𝑚𝑘 = 𝑥𝑘+1(𝑚𝑘+1 − 𝑚𝑘 ) + (𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 )𝑚𝑘 ∈ 𝑥𝑘+1𝔪𝑘𝑀 +𝔪𝑘𝑚𝑘 ⊆ 𝔪𝑘𝑀 . Dessa forma o produto está em 𝑀 . Se substituirmos 𝑥𝑘 por 𝑥′ 𝑘 ∈ 𝑥𝑘 +𝔪𝑘 então temos (𝑥′ 𝑘 − 𝑥𝑘 )𝑚𝑘 ∈ 𝔪𝑘𝑀 . De maneira análoga podemos substuir 𝑚𝑘 por 𝑚′ 𝑘 ∈ 𝑚𝑘 +𝔪𝑘𝑀 . Portanto, a multiplicação está bem definida. � Considere uma filtração (𝑀𝑛) de 𝑀 , onde que 𝑀𝑛 = 𝔪𝑛𝑀 , então temos o conjunto 𝑀𝑛 definido por 𝑀𝑛 B {𝑚 ∈ 𝑀 : ∀(𝑚𝑘 ) ∈ 𝑚, ∃𝑟 ∈ N tal que ∀𝑘 > 𝑟, 𝑚𝑘 ∈ 𝑀𝑛} Claramente 𝑀𝑛 são submódulos de 𝑀 e �𝑀𝑛+1 ⊆ 𝑀𝑛. Temos que 𝑀 = lim←−−𝑀/𝑀𝑛 é um �̂�-módulo e 𝑀𝑛 = lim←−−𝑀𝑛/𝑀𝑛+𝑖 é um submódulo de 𝑀 . Logo, (𝑀𝑛) é um filtração de 𝑀 . Proposição 3.23. Existe um isomorfismo de 𝐴-módulos 𝑢′ : 𝑀 → 𝑀 tal que 𝑢′(𝑀𝑛) = 𝑀𝑛. Demonstração. A demonstração é similar a vista na proposição 3.13. � 24 Proposição 3.24. A aplicação definida por{ 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑀 𝑚 ↦−→ (̂𝑚) é um homomorfismo contínuo de 𝐴-módulos, onde (̂𝑚) representa a classe da sequência constante (𝑚), e ker 𝑓 = ∞⋂ 𝑛=0 𝔪𝑛𝑀 . Demonstração. Temos que 𝑓 é um homomorfismo de grupos. Assim, de acordo com a proposição 3.9, ker 𝑓 = ∞⋂ 𝑛=0 𝔪𝑛𝑀 . A aplicação é um homomorfismo de 𝐴-módulos, pois 𝑓 (𝑎𝑥 + 𝑦) = 𝑎 𝑓 (𝑥) + 𝑓 (𝑦), para 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀 . A continuidade segue de maneira análoga ao que vimos para anéis. � Proposição 3.25. Seja 𝐴 um anel, 𝑀 um 𝐴-módulo, 𝔪E 𝐴 e 𝐴 o seu 𝔪-completamento. Assim, �̂�2 � (𝐴)2. Demonstração. Considere as aplicações{ 𝑢 : 𝑀 × {0} −→ 𝑀2 (𝑚, 0) ↦−→ (𝑚, 0) e { 𝑢 : 𝑀2 −→ {0} × 𝑀 (𝑚1, 𝑚2) ↦−→ (0, 𝑚2) Assim, a seguinte sequência é exata 0 𝑀 × {0} 𝑀2 {0} × 𝑀 0.𝑢 𝑣 Para todo 𝑛, 0 (𝑀 × {0})/(𝔪𝑛𝑀 × {0}) 𝑀2/(𝔪𝑛𝑀)2 ({0} × 𝑀)/({0} ×𝔪𝑛𝑀) 0𝑢 𝑣 é exata. Tomando os limites inversos, obtemos: 0 �𝐴 × {0} �̂�2 �{0} × 𝐴 0 Portanto, �̂�2 � (𝐴)2 como queríamos. � Como consequência do resultado anterior, teremos que �̂�𝑛 � (𝐴)𝑛. Podemos estender o corolário 3.17 módulos filtrados. Proposição 3.26. Sejam 𝐴 um anel, 𝔪 E 𝐴, 𝑀 um 𝐴-módulo filtrado e (𝔪𝑛𝑀) uma filtração. Assim, 𝑀/𝔪𝑛𝑀 � 𝑀/�𝔪𝑛𝑀 para todo 𝑛. Em particular, 𝔪𝑛𝑀/𝔪𝑛+𝑖𝑀 � �𝔪𝑛𝑀/�𝔪𝑛+𝑖𝑀 , para 𝑖 = 1, 2, . . . . 25 Demonstração. A demonstração é similar a do corolário 3.17. � Análogo ao que vimos na observação 3.10, podemos concluir que 𝑀 é completo pela topologia dada pela filtração �𝔪𝑛𝑀 . Se 𝐴 é um anel filtrado e 𝔪 E 𝐴 então podemos tomar a filtração (𝔪𝑛) e com isso definir o anel graduado 𝐺𝑟𝔪(𝐴) = ∞⊕ 𝑛=0 𝔪𝑛/𝔪𝑛+1. Além disso, se 𝑀 é um 𝐴-módulo e (𝔪𝑛𝑀) é uma filtração de 𝑀 então temos o 𝐺𝑟𝔪(𝐴)-módulo graduado 𝐺𝑟𝔪(𝑀) = ∞⊕ 𝑛=0 𝔪𝑛𝑀/𝔪𝑛+1𝑀 . Proposição 3.27. Sejam 𝐴 um anel noetheriano e 𝔪 E 𝐴. Assim, o anel graduado 𝐺𝑟𝔪(𝐴) é noetheriano. Demonstração. Temos que 𝔪E 𝐴 é finitamente gerado, pois 𝐴 é noetheriano. Sejam 𝑥1, . . . , 𝑥𝑠 os geradores de 𝔪 e 𝑥𝑖 a imagem de 𝑥𝑖 em 𝔪/𝔪2. Assim, pela proposição 2.20, 𝐺𝑟𝔪(𝐴) = (𝐴/𝔪) [𝑥1, . . . , 𝑥𝑠]. Como 𝐴/𝔪 é noetheriano, 𝐺𝑟𝔪(𝐴) também é noetheriano pelo teorema da base de Hilbert. � Proposição 3.28. Existem isomorfismos naturais dos anéis graduados 𝐺𝑟𝔪(𝐴) e 𝐺𝑟 (𝐴) = ∞⊕ 𝑛=0 𝔪𝑛/�𝔪𝑛+1 e um isomorfismo natural dos 𝐺𝑟𝔪(𝐴)-módulos graduados 𝐺𝑟𝔪(𝑀) e 𝐺𝑟 (𝑀) = ∞⊕ 𝑛=0 �𝔪𝑛𝑀/�𝔪𝑛+1𝑀 . Demonstração. Segue pela proposição 3.26. � Na próxima proposição veremos que a sobrejetividade de um homomorfismo se conserva quando estendemos para os seus completamentos. Proposição 3.29. Sejam 𝐴 um anel 𝔪-ádico, 𝑀 ,𝑁 dois 𝐴-módulos e 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 um homo- morfismo. Assim, 𝑓 induz um homomorfismo contínuo �̂� : 𝑀 → 𝑁 de 𝐴-módulos. Além disso, se 𝑓 é sobrejetiva então �̂� também será. Demonstração. Seja �̂� (𝑚𝑘 +𝔪𝑘𝑀) = ( 𝑓 (𝑚𝑘 ) +𝔪𝑘𝑁). Claramente é um elemento de 𝑁 pois 𝑓 (𝑚𝑘+1) − 𝑓 (𝑚𝑘 ) = 𝑓 (𝑚𝑘+1 − 𝑚𝑘 ) ∈ 𝑓 (𝔪𝑘𝑀) = 𝔪𝑘𝑁 . Note que se 𝑚′ 𝑘 − 𝑚𝑘 ∈ 𝔪𝑘𝑀 então 𝑓 (𝑚′ 𝑘 ) ∈ 𝑓 (𝑚𝑘 ) +𝔪𝑘𝑁 . Logo a aplicação está bem definida. Temos que �̂� é um homomorfismo de 𝐴-módulos pois para (𝑚′ 𝑘 +𝔪𝑘𝑀), (𝑚𝑘 +𝔪𝑘𝑀) ∈ 𝑀 �̂� ((𝑚𝑘 + 𝑚′𝑘 ) +𝔪 𝑘𝑀) = �̂� (𝑚𝑘 +𝔪𝑘𝑀) + �̂� (𝑚′ 𝑘 +𝔪𝑘𝑀) e para (𝑥𝑘 +𝔪𝑘 ) ∈ 𝐴 �̂� (𝑥𝑘𝑚𝑘 +𝔪𝑘𝑀) = (𝑥𝑘 𝑓 (𝑚𝑘 ) +𝔪𝑘𝑁) = (𝑥𝑘 +𝔪𝑘 ) �̂� (𝑚𝑘 +𝔪𝑘𝑀) A continuidade de �̂� segue pelo fato de �̂� (�𝔪𝑘𝑀) = �𝔪𝑘𝑁 . A sobrejetividade segue pela maneira que �̂� foi definida. � 26 O próximo teorema nos dá uma condição para que o completamento 𝑀 de um 𝐴-módulo 𝑀 seja completo pela 𝔪-topologia. Teorema 3.30. Sejam 𝐴 um anel, 𝔪 E 𝐴 finitamente gerado e 𝑀 um 𝐴-módulo. Assim, i) O 𝔪-completamento 𝑀 é completo pela 𝔪-topologia; ii) �𝔪𝑛𝑀 = ker 𝑔 = 𝔪𝑛𝑀 , onde 𝑔 : 𝑀 → 𝑀/𝔪𝑛𝑀 é aplicação natural, para todo 𝑛 > 1. Demonstração. Como𝔪 é finitamente então𝔪𝑛 também é finitamente gerado. Seja {𝑥1, . . . , 𝑥𝑟} um conjunto gerador de 𝔪𝑛. Aplicando a proposição 3.29 ao homomorfismo sobrejetivo{ 𝑓 : 𝑀𝑟 −→ 𝔪𝑛𝑀 (𝑚1, . . . , 𝑚𝑟) ↦−→ 𝑥1𝑚1 + · · · + 𝑥𝑟𝑚𝑟 . obtemos o homomorfismo sobrejetivo �̂� : 𝑀𝑟 → �𝔪𝑛𝑀 tal que im( 𝑓 ) = �𝔪𝑛𝑀 = lim←−− 𝑚>𝑛 𝔪𝑛𝑀/𝔪𝑚𝑀 = ker 𝑔. Por outro lado, a imagem de 𝑀𝑟 → 𝑀 é 𝔪𝑛𝑀 . Logo, 𝑀/𝔪𝑛𝑀 � 𝑀/𝔪𝑛𝑀 . Tomando os limites inversos obtemos (̂𝑀) � 𝑀 , ou seja, 𝑀 é completo pela 𝔪-topologia. � Corolário 3.31. Sejam 𝐴 um anel, 𝔪 E 𝐴 finitamente gerado e 𝐴 o seu 𝔪-completamento. Então 𝔪𝑛 = (�̂�)𝑛 = 𝔪𝑛𝐴, para todo inteiro 𝑛 > 0. Demonstração. Pelo teorema anterior temos que 𝔪𝑛 = 𝔪𝑛𝐴. Em particular, temos que �̂� = 𝔪𝐴. Logo, (�̂�)𝑛 = 𝔪𝑛𝐴. Portanto, 𝔪𝑛 = (�̂�)𝑛 = 𝔪𝑛𝐴. � 27 4 ANÉIS DAS SÉRIES FORMAIS E RESTRITAS O objetivo principal deste capítulo é estudar o conjunto das séries formais e restritas definidas sobre um anel. Inicialmente veremos as definições e as propriedades básicas. Dos resultados mais importantes podemos citar: O teorema de base de Hilbert para séries de potências, o teorema de preparação, o lema de Hensel e o algoritmo da divisão para séries formais. Definição 4.1. Chamamos por anel das séries de potências formais sobre o anel 𝐴 na indeter- minada 𝑋 o conjunto 𝐴J𝑋K formado pelas séries 𝑓 = ∞∑ 𝑖=0 𝑎𝑖𝑋 𝑖, onde 𝑎𝑖 ∈ 𝐴. Definimos adição e multiplicação de 𝑓 = ∞∑ 𝑖=0 𝑎𝑖𝑋 𝑖, 𝑔 = ∞∑ 𝑖=0 𝑏𝑖𝑋 𝑖 ∈ 𝐴J𝑋K por: i) 𝑓 + 𝑔 = ∞∑ 𝑖=0 (𝑎𝑖 + 𝑏𝑖)𝑋 𝑖; ii) 𝑓 · 𝑔 = ∞∑ 𝑘=0 𝑐𝑘𝑋 𝑘 , onde 𝑐𝑘 = ∑ 𝑖+ 𝑗=𝑘 𝑎𝑖𝑏 𝑗 . Facilmente podemos verificar que 𝐴J𝑋K é um anel comutativo com unidade 1. Seja 𝑓 = ∞∑ 𝑖=0 𝑎𝑖𝑋 𝑖 uma série de potências não nula. O menor inteiro 𝑖 tal que 𝑎𝑖 é não nulo é chamado de ordem de 𝑓 e é denotado por 𝑜( 𝑓 ). Assumimos que a ordem do elemento 0 será +∞. Definição 4.2. Sejam 𝐴 um anel e 𝐴[𝑋1, · · · , 𝑋𝑛] o anel dos polinômios em 𝑛 indeterminadas sobre 𝐴. Uma série de potências formal em n indeterminadas sobre A é uma sequência infinita 𝑓 = ( 𝑓0, 𝑓1, . . . , 𝑓𝑞, . . . ) de polinômios homogêneos 𝑓𝑞 ∈ 𝐴[𝑋1, · · · , 𝑋𝑛], cada polinômio 𝑓𝑞 ou é nulo ou é de grau 𝑞. Definimos adição e multiplicação de duas séries de potências 𝑓 = ( 𝑓0, 𝑓1, . . . , 𝑓𝑞, . . . ) e 𝑔 = (𝑔0, 𝑔1, . . . , 𝑔𝑞, . . . ) da seguinte maneira: i) 𝑓 + 𝑔 = ( 𝑓0 + 𝑔0, 𝑓1 + 𝑔1, . . . , 𝑓𝑞 + 𝑔𝑞, . . . ); ii) 𝑓 · 𝑔 = (ℎ0, ℎ1, . . . , ℎ𝑞, . . . ), onde ℎ𝑞 = ∑ 𝑖+ 𝑗=𝑞 𝑓𝑖 · 𝑔 𝑗 . Dessa forma, a definição 4.2 é uma generalização da definição 4.1. É fácil ver que com essas definições de adição e multiplicação o conjunto de todas as séries de potências formais em 𝑛 indeterminadas sobre 𝐴 é um anel comutativo com unidade. Esse anel, será chamado de anel das séries de potências formais em n indeterminadas sobre A. Denotaremos por 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K. Note que, se ℎ ∈ 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K então ℎ pode ser visto como uma série de potências formais na indeterminada 𝑋𝑛 com coeficientes no anel 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛−1K, isto é, 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K = 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛−1KJ𝑋𝑛K. O elemento nulo de 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K será a sequência (0, 0, . . . , 0) e (1, 0, . . . , 0) é a identi- dade multiplicativa. 28 De maneira análoga ao que vimos para 𝐴J𝑋K, podemos definir ordem de 𝑓 = ( 𝑓0, 𝑓1, . . . , 𝑓𝑞, . . . ) ∈ 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K como sendo o menor inteiro 𝑞 tal que 𝑓𝑞 é não nulo. Denotamos a ordem de 𝑓 por 𝑜( 𝑓 ). Proposição 4.3. Se 𝑓 e 𝑔 são séries de potências em 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K então: i) 𝑜( 𝑓 + 𝑔) > min{𝑜( 𝑓 ), 𝑜(𝑔)}; ii) 𝑜( 𝑓 · 𝑔) > 𝑜( 𝑓 ) + 𝑜(𝑔). Além disso, se 𝐴 é um domínio de integridade então 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K também é um domínio de integridade e 𝑜( 𝑓 · 𝑔) = 𝑜( 𝑓 ) + 𝑜(𝑔). Seja (𝑋1, . . . , 𝑋𝑛) E 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K. Afirmamos que o anel das séries de potências em 𝑛 indeterminadas munido com a (𝑋1, . . . , 𝑋𝑛)-topologia é completo. De fato, se (𝑔𝑛) é uma sequência de Cauchy em 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K, a série 𝑔0 + (𝑔1 − 𝑔0) + · · · + (𝑔𝑛+1 − 𝑔𝑛) + · · · ∈ 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K é o limite de (𝑔𝑛). Para qualquer 𝑞 ∈ N, o ideal (𝑋1, . . . , 𝑋𝑛)𝑞 é formado pelas séries de potências que tem ordem maior ou igual a 𝑞. Assim, ∞⋂ 𝑞=1 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑛)𝑞 = 0. Logo, 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K é Hausdorff e completo. Com isso podemos enunciar a seguinte proposição. Proposição 4.4. O anel 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K é completo quando tomamos a (𝑋1, . . . , 𝑋𝑛)-topologia. Observação 4.5. Sejam 𝐴′ = 𝐴[𝑋1, . . . , 𝑋𝑛], 𝐼 = (𝑋1, . . . , 𝑋𝑛),𝑀𝑛 = 𝐴 ′/𝐼𝑛, 𝑝 ∈ 𝐴[𝑋1, . . . , 𝑋𝑛] e 𝑓𝑛 (𝑝+ 𝐼𝑛) = 𝑝+ 𝐼𝑛−1, para 𝑛 = 1, 2, . . . . Um elemento de 𝑀𝑛 é representado por um polinômio 𝑝 de grau até 𝑛 − 1. A imagem de 𝑝 em 𝐼𝑛−1 é representada pelo mesmo polinômio excluindo os termos de grau 𝑛 − 1. Dessa forma 𝐴′ pode ser identificado como o anel 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K. O próximo teorema corresponde ao teorema da base de Hilbert para o caso de séries de potências. Teorema 4.6. Se 𝐴 é noetheriano, então 𝐴J𝑋K também é noetheriano. Demonstração. Seja ℑ E 𝐴J𝑋K. Para qualquer inteiro 𝑞 > 0 denote por 𝐿𝑞 (ℑ) o conjunto de elementos de 𝐴 formado por 0 e os coeficientes de 𝑋𝑞 em todos os elementos de ℑ que têm ordem 𝑞. Assim, 𝐿𝑞 (ℑ) é um ideal em 𝐴 e os ideais 𝐿𝑞 (ℑ) formam uma cadeia crescente 𝐿0(ℑ) ⊆ 𝐿1(ℑ) ⊆ · · · ⊆ 𝐿𝑞 (ℑ) ⊆ · · · . 29 Com isso 𝐿 (ℑ) = ∞⋃ 𝑞=0 𝐿𝑞 (ℑ). Como 𝐴 é noetheriano, 𝐿 (ℑ) é finitamente gerado por {𝑎1, . . . , 𝑎𝑟}. Tomamos em ℑ uma série 𝐹𝑖 (𝑋) onde o termo inicial tem 𝑎𝑖 como coeficiente, para 1 6 𝑖 6 𝑟. Denote por 𝑑 o maior inteiro entre as ordens das séries 𝐹𝑖 (𝑋). Para todo 𝑗 < 𝑑, seja {𝑏 𝑗1, . . . , 𝑏 𝑗𝑛( 𝑗)} um conjunto em 𝐴 que gera o ideal 𝐿 𝑗 (ℑ) e𝐺 𝑗 𝑘 𝑗 (𝑋) uma série de potência em ℑ cujo termo inicial é 𝑏 𝑗 𝑘 𝑗𝑋 𝑗 , para 1 6 𝑘 𝑗 6 𝑛( 𝑗). Provaremos que o ideal ℑ é gerado pelas séries 𝐹𝑖 (𝑋), 𝐺 𝑗 𝑘 𝑗 (𝑋), para 1 6 𝑖 6 𝑟 e 1 6 𝑘 𝑗 6 𝑛( 𝑗). Para isso precisamos de dois passos: 𝑖) Seja ℑ′ o ideal gerado pelos elementos 𝐺 𝑗 𝑘 𝑗 (𝑋). Temos que ℑ′ ⊂ ℑ. Afirmamos que todo elemento 𝑃(𝑋) de ℑ que têm ordem 𝑗 < 𝑑 é congruente módulo ℑ′ com um elemento de ℑ que tem ordem maior ou igual a 𝑗 + 1. De fato, o coeficiente 𝑐 do termo inicial 𝑐𝑋 𝑗 de 𝑃(𝑋) pode ser escrito da forma 𝑐 = 𝑛( 𝑗)∑ 𝑘 𝑗=1 𝑐𝑘 𝑗𝑏 𝑗 𝑘 𝑗 , 𝑐𝑘 𝑗 ∈ 𝐴. Logo, 𝑃(𝑋) − 𝑛( 𝑗)∑ 𝑘 𝑗=1 𝑐𝑘 𝑗𝐺 𝑗 𝑘 𝑗 (𝑋) é de ordem maior ou igual a 𝑗 + 1. Segue por sucessivas aplicações deste resultado que todo elemento de ordem 𝑗 < 𝑑 de ℑ é congruente módulo ℑ′ a um elemento de ℑ de ordem maior ou igual a 𝑑. Resta mostrarmos que qualquer elemento de ordem maior ou igual a 𝑑 em ℑ é gerado pelas séries 𝐹𝑖 (𝑋), 𝐺 𝑗 𝑘 𝑗 (𝑋), para 1 6 𝑖 6 𝑟 e 1 6 𝑘 𝑗 6 𝑛( 𝑗). Provaremos que este elemento está no ideal (𝐹1(𝑋), . . . , 𝐹𝑟 (𝑋)) . 𝑖𝑖) Seja 𝑃(𝑋) um elemento de ℑ tal que 𝑜(𝑃) = 𝑠 > 𝑑 e 𝑐𝑋 𝑠 seu termo inicial. Assim 𝑐 = 𝑟∑ 𝑖=1 𝑐𝑖𝑎𝑖, para 𝑐𝑖 ∈ 𝐴. Logo 𝑃(𝑋) − 𝑟∑ 𝑖=1 𝑐𝑖𝑋 𝑠−𝑜(𝐹𝑖)𝐹𝑖 (𝑋) é um elemento de ℑ de ordem maior ou igual a 𝑠 + 1. Por sucessivas aplicações deste resultado, encontramos as sequências (𝑐𝑖𝑛), com 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑟 , 𝑛 = 𝑠, 𝑠 + 1, . . . e 𝑐𝑖𝑠 = 𝑐𝑖, de elemento de 𝐴 tal que, para todo 𝑛, a série de potências 𝑃(𝑋) − 𝑟∑ 𝑖=1 (( 𝑗=𝑛∑ 𝑗=𝑠 𝑐𝑖 𝑗𝑋 𝑗−𝑜(𝐹𝑖)))𝐹𝑖 (𝑋) de ordem maior do que 𝑛. Como o expoente 𝑗 − 𝑜(𝐹𝑖) tende ao infinito se 𝑗 → ∞, cada soma infinita ∞∑ 𝑗=𝑠 𝑐𝑖 𝑗𝑋 𝑗−𝑜(𝐹𝑖) representa um elemento 𝑠𝑖 (𝑋) de 𝐴J𝑋K. Como a ordem da série de potências 𝑃(𝑋) − 𝑟∑ 𝑖=1 𝑠𝑖 (𝑋)𝐹𝑖 (𝑋) é maior do que 𝑛 para todo 𝑛 então essa série será igual ao 0 de 𝐴J𝑋K. Portanto, 𝑃(𝑋) = 𝑞∑ 𝑖=1 𝑠𝑖 (𝑋)𝐹𝑖 (𝑋). � Corolário 4.7. O anel das séries de potências em 𝑛 indeterminadas 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K sobre um anel noetheriano 𝐴 é noetheriano. Demonstração. A prova segue pelo teorema anterior fazendo a indução sobre 𝑛, pois 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K = 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛−1KJ𝑋𝑛K. � 30 O anel das séries de potências formais é muito importante para estudarmos completamen- tos. Na próxima proposição veremos uma importante propriedade. Daremos uma ideia da demonstração. Para maiores detalhes veja [4], capítulo 17. Proposição 4.8. Seja 𝐴 um anel𝔪-ádico e𝔪 = (𝑎1, . . . , 𝑎𝑛). Assim, se 𝐴 é o𝔪-completamento de 𝐴 então 𝐴 � 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K/𝔫∗, onde 𝔫∗ é o (𝑋1, . . . , 𝑋𝑛)-fecho em 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K do ideal 𝔫 = (𝑋1 − 𝑎1, . . . , 𝑋𝑛 − 𝑎𝑛). Demonstração. Considere a aplicação{ 𝜙 : 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K −→ 𝐴 𝑋𝑖 ↦−→ 𝑎𝑖 onde 1 6 𝑖 6 𝑛. Assim, temos que 𝜙 é um homomorfismo e ker 𝜙 ⊃ (𝑋𝑖 − 𝑎𝑖). Logo, 𝔫 ⊂ ker 𝜙. Temos que se 𝑓 = ( 𝑓0, 𝑓1, . . . ) ∈ ker 𝜙 se, e somente se, 𝑓 (𝑎1, . . . , 𝑎𝑛) = ( 𝑓0(𝑎1, . . . , 𝑎𝑛), 𝑓1(𝑎1, . . . , 𝑎𝑛), . . . ) = 0. Suponhamos que 𝑓 seja de ordem 𝑟. Assim, 𝑓 (𝑎1, . . . , 𝑎𝑛) = 0 implica que 𝑓𝑟 (𝑎1, . . . , 𝑎𝑛) ∈ 𝔪𝑟+1, ou seja, seus coeficientes estão em 𝔪. � Se 𝐴 é noetheriano então 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K é um anel de Zariski, pois todo 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K-módulo finitamente é Hausdorff para a (𝑋1, . . . , 𝑋𝑛)-topologia, consequência do teorema 4.6 e da proposição 2.26. Assim, todo ideal é fechado em 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K. Portanto, temos o seguinte resultado. Proposição 4.9. Se 𝐴 é um anel noetheriano e 𝔪 = (𝑎1, . . . , 𝑎𝑛) é um ideal finitamente gerado de 𝐴 tal que 𝐴 é Hausdorff para a 𝔪-topologia então 𝐴 � 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K/(𝑋1 − 𝑎1, . . . , 𝑋𝑛 − 𝑎𝑛). Seja (𝐴,𝔪) um anel local. Dizemos que a série 𝑓 = ∞∑ 𝑖=0 𝑎𝑖𝑋 𝑖 ∈ 𝐴J𝑋K é regular se algum coeficiente 𝑎𝑖 é inversível. Caso 𝑓 seja regular e 𝑠 é o menor inteiro tal que 𝑎𝑠 é inversível, dizemos que 𝑓 é regular de ordem 𝑠. Se 𝑝 = 𝑎0+𝑎1𝑋+· · ·+𝑎𝑘−1𝑋 𝑘−1+𝑋 𝑘 é o polinômio mônico de grau 𝑘 e 𝑎𝑖 ∈ 𝔪, para 0 6 𝑖 6 𝑘 − 1, dizemos que 𝑝 é um polinômio distinto de grau k. Proposição 4.10. Se 𝑓 = ( 𝑓0, 𝑓1, . . . , 𝑓𝑞, . . . ) é uma série de potência então 𝑓 é inversível em 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K se, e somente se, o elemento 𝑓0 de 𝐴 for inversível em 𝐴. Demonstração. Se 𝑓 𝑔 = 1, com 𝑔 = (𝑔0, 𝑔1, . . . , 𝑔𝑞, . . . ) ∈ 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K, então 𝑓0𝑔0 = 1 e 𝑓0 é inversível em 𝐴. Reciprocamente, se 𝑓0 é inversível em 𝐴 então podemos encontrar 𝑔0, 𝑔1, . . . , 𝑔𝑞, . . . , onde 𝑔𝑞 é igual a 0 ou é de grau 𝑞, tal que 𝑔0 𝑓0 = 1, 𝑔1 𝑓0 + 𝑔0 𝑓1 = 0, · · · , 𝑔𝑞 𝑓0 + 𝑔𝑞−1 𝑓1 + · · · + 𝑔0 𝑓𝑞 = 0, · · · . De fato, temos que 𝑔0 = 𝑓 −1 0 assim 𝑔𝑞 = − 𝑓 −1 0 (𝑔𝑞−1 𝑓1 + · · · + 𝑔0 𝑓𝑞). Se considerarmos 𝑔 = (𝑔0, 𝑔1, . . . , 𝑔𝑞, . . . ) então, pela definição 4.2, 𝑓 𝑔 = 1. Isso completa a prova. � 31 Dessa forma os elementos inversíveis de 𝐴J𝑋K são os regulares de ordem 0. A próxima proposição será necessária para demonstrarmos o Teorema de Preparação. Proposição 4.11. Sejam (𝐴,𝔪) um anel local completo e 𝑓 ∈ 𝐴J𝑋K regular de ordem 𝑠. Considere 𝑀 o 𝐴-módulo gerado por {1, 𝑋, . . . , 𝑋 𝑠−1}. Então 𝐴J𝑋K = 𝑀 ⊕ 𝐴J𝑋K 𝑓 . Demonstração. Dividimos esta demonstração em duas partes. 𝑖) Mostraremos que 𝑀 ⋂ 𝐴J𝑋K 𝑓 = {0}. Considere a igualdede ( ∞∑ 𝑖=0 𝑏𝑖𝑋 𝑖) 𝑓 = 𝑟0 + 𝑟1𝑋 + · · · + 𝑟𝑠−1𝑋 𝑠−1. Mostraremos que 𝑏𝑖, e consequentemente 𝑟𝑖, é igual a zero para todo 𝑖, o que vai provar também que 𝑓 não é um divisor de zero. Como 𝐴 é Hausdorff, é suficiente mostrar que 𝑏𝑖 ∈ 𝔪𝑛 para todos 𝑖 > 0 e 𝑛 > 0. É óbvio para 𝑛 = 0. Provaremos por uma dupla indução: Assumimos que 𝑏𝑖 ∈ 𝔪𝑛−1 para todo 𝑖 e 𝑏𝑖 ∈ 𝔪𝑛 para 𝑖 < 𝑘 e mostra que isso implica que 𝑏𝑘 ∈ 𝔪𝑛. Para isso, considere 𝑓 = ∞∑ 𝑖=0 𝑎𝑖𝑋 𝑖 e compare os coeficientes 𝑋 𝑠+𝑘 da igualdade. Assim, teremos (𝑏0𝑎𝑠+𝑘 + · · · + 𝑏𝑘−1𝑎𝑠+1) + 𝑏𝑘𝑎𝑠 + (𝑏𝑘+1𝑎𝑠−1 + · · · + 𝑏𝑘+𝑠𝑎0) = 0 Os termos do primeiro parêntese pertencem a 𝔪𝑛 pois 𝑏𝑖 ∈ 𝔪𝑛 para 𝑖 < 𝑘 . No segundo parêntese temos que os termos 𝑏𝑖 ∈ 𝔪𝑛−1 e 𝑎𝑖 ∈ 𝔪, para 𝑖 6 𝑠− 1. Portanto, 𝑏𝑘𝑎𝑠 ∈ 𝔪𝑛 e como 𝑎𝑠 é invertível em 𝐴 então 𝑏𝑘 ∈ 𝔪𝑛. 𝑖𝑖) Mostraremos que 𝐴J𝑋K 𝑓 + 𝑀 = 𝐴J𝑋K. Temos que 𝑔 = 𝑎𝑠 + 𝑎𝑠+1𝑋 + 𝑎𝑠+2𝑋2 + · · · é um elemento inversível de 𝐴J𝑋K. Assim, 𝑓 − 𝑋 𝑠𝑔 = 𝑎0 + 𝑎1𝑋 + · · · + 𝑎𝑠−1𝑋 𝑠−1. Logo, 𝑓 𝑔−1 − 𝑋 𝑠 = ( 𝑓 − 𝑋 𝑠𝑔)𝑔−1 = −ℎ, onde que os coeficientes de ℎ pertencem a 𝔪. Seja 𝑟 um elemento de 𝐴J𝑋K. Por indução sobre 𝑛 definiremos uma sequência (𝑞 (𝑛)) de elementos de 𝐴J𝑋K: Tomamos 𝑞 (0) como a única série que satisfaz 𝑟 ≡ 𝑋 𝑠𝑞 (0) (𝑚𝑜𝑑 𝑀) (4.1) Escrevemos ℎ = ∞∑ 𝑖=0 ℎ𝑖𝑋 𝑖 e 𝑞 (𝑛) = ∞∑ 𝑖=0 𝑞 (𝑛) 𝑖 𝑋 𝑖, temos que 𝑞 (𝑛) 𝑖 será definido por: 𝑞 (𝑛) 𝑖 = 𝑖+𝑠∑︁ 𝑗=0 ℎ 𝑗𝑞 (𝑛−1) 𝑖+𝑠− 𝑗 (4.2) Segue da equação (3.2) que 𝑋 𝑠𝑞 (𝑛) ≡ ℎ𝑞 (𝑛−1) (𝑚𝑜𝑑 𝑀) (4.3) Fazendo a indução sobre 𝑛 da equação (3.2) temos que 𝑞 (𝑛) 𝑖 ∈ 𝔪𝑛 para todos 𝑖 e 𝑛. Como 𝐴 é completo segue que a série 32 𝑞 (0) + 𝑞 (1) + · · · + 𝑞 (𝑛) + · · · . converge para um elemento 𝑞 de 𝐴J𝑋K. Pelas equações (3.1) e (3.3) 𝑋 𝑠 (𝑞 (0) + 𝑞 (1) + · · · + 𝑞 (𝑛)) ≡ 𝑟 + ℎ(𝑞 (0) + 𝑞 (1) + · · · + 𝑞 (𝑛−1)) (𝑀𝑜𝑑 𝑀) (4.4) Como 𝑀 é fechado podemos aplica o limite para 𝑛 tendendo ao infinito para a igualdade (3.4). Com isso, 𝑟 = (𝑋 𝑠 − ℎ)𝑞 (𝑀𝑜𝑑 𝑀). Portanto, podemos concluir que 𝑟 ∈ 𝑓 𝑔−1𝑞 + 𝑀 ⊂ 𝐴J𝑋K 𝑓 + 𝑀 . � Teorema 4.12. (Teorema de Preparação) Sejam (𝐴,𝔪) um anel local completo e 𝑓 ∈ 𝐴J𝑋K regular de ordem 𝑠. Então existem únicos 𝑢 ∈ 𝐴J𝑋K inversível e 𝐹 ∈ 𝐴[𝑋] distinto de grau 𝑠 tais que 𝑓 = 𝑢𝐹. Demonstração. Queremos encontrar um polinômio distinto da forma 𝐹 = 𝑋 𝑠 + 𝐺, onde 𝐺 = 𝑔0 + · · · + 𝑔𝑠−1𝑋 𝑠−1, tal que 𝑓 = 𝑢𝐹 com 𝑢 ∈ 𝐴J𝑋K inversível. Assim 𝐹 = 𝑢−1 𝑓 . Logo, 𝑋 𝑠 = 𝑢−1 𝑓 −𝐺. De acordo com a proposição anterior temos a unicidade de 𝐺 e 𝑢−1. Portanto, 𝐹 e 𝑢 serão únicos. � Definição 4.13. Sejam 𝐴 um anel e 𝔪1,𝔪2, . . . ,𝔪𝑛, . . . uma família de seus ideais. Considere a topologia 𝜏 dada pela filtração 𝔪1, 𝔪1 ∩𝔪2, 𝔪1 ∩𝔪2 ∩𝔪3, . . . . Dizemos que uma serie de potência formal 𝑓 = ∞∑ 𝑖=0 𝑎𝑖𝑋 𝑖 ∈ 𝐴J𝑋K é restrita, com respeito a 𝜏, se lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0. Essa definição pode ser estendida para o caso de 𝑛 indeterminadas: uma série 𝑓 = ∑ 𝑎𝑖1,...,𝑖𝑛𝑋 𝑖1 1 · · · 𝑋 𝑖𝑛 𝑛 é chamada de restrita se lim 𝑎𝑖1,...,𝑖𝑛 = 0 para min(𝑖1, . . . , 𝑖𝑛) → ∞. É fácil ver que o conjunto das séries de potências restritas é um subanel de 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K. Denotamos este anel por 𝐴{𝑋1, . . . , 𝑋𝑛}. Chamamos por 𝑀𝑖, 𝑖 ∈ N, o ideal das séries restritas de 𝐴{𝑋1, . . . , 𝑋𝑛}, onde os coeficientes estão em 𝔪𝑖. Observação 4.14. O produto de uma série restrita por uma série formal não é necessariamente restrita. De fato, considere 𝐴 = Q, 𝑓 = ∞∑ 𝑖=1 (1/𝑖)𝑋 𝑖 ∈ Q{𝑋} e 𝑔 = ∞∑ 𝑗=0 𝑗 𝑋 𝑗 ∈ QJ𝑋K. Pela definição de produto temos que 𝑓 𝑔 = ∞∑ 𝑘=0 𝑐𝑘𝑋 𝑘 onde 𝑐𝑘 = ∑ 𝑖+ 𝑗=𝑘 (1/𝑖) ( 𝑗) > 0, com 𝑖 ≠ 0. Portanto, ∞∑ 𝑘=0 𝑐𝑘𝑋 𝑘 não é restrita. Seja 𝜎 a topologia linear de 𝐴{𝑋1, . . . , 𝑋𝑛} dada por ideais 𝑀𝑖 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑛)𝑚, 𝑚 ∈ N. Assim temos a seguinte proposição: 33 Proposição 4.15. O anel 𝐴{𝑋1, . . . , 𝑋𝑛} é completo com respeito a 𝜎-topologia. Demonstração. O anel das séries restritas é Hausdorff, pela 𝜎-topologia, pois temos que:⋂ 𝑖,𝑛∈N 𝑀𝑖 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑛)𝑚 = 0 Seja ( 𝑓𝑛), 𝑓𝑛 ∈ 𝐴{𝑋1, . . . , 𝑋𝑛} para todo 𝑛 > 0, uma sequência de Cauchy. Considere a série 𝑓 = 𝑓1 + ( 𝑓2 − 𝑓1) + · · · + ( 𝑓𝑛+1 − 𝑓𝑛) + . . . ela é restrita pois lim 𝑛→∞ 𝑓 − 𝑓𝑛 = 0. Assim, a série ( 𝑓𝑛) converge para 𝑓 . Isso mostra que 𝐴{𝑋1, . . . , 𝑋𝑛} é completo. � Definição 4.16. Seja 𝐴 um anel topológico. Dizemos que 𝑎 ∈ 𝐴 é nilpotente topologicamente se lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0. Teorema 4.17. (Hensel) Sejam 𝐴 um anel completo com respeito a uma topologia linear, 𝔪E 𝐴 fechado cujos elementos são nilpotente topologicamente, 𝐵 = 𝐴/𝔪 o anel quociente topológico e 𝜓 : 𝐴{𝑋} → 𝐵{𝑋} a aplicação natural. Tomando 𝑓 ∈ 𝐴{𝑋}, 𝑝 ∈ 𝐵[𝑋] e 𝑞 ∈ 𝐵{𝑋} tais que: 𝜓( 𝑓 ) = 𝑝𝑞, 𝑝 é mônico e 𝑝, 𝑞 são coprimos em 𝐵[𝑋]. Então existem 𝑝 ∈ 𝐴[𝑋], 𝑞 ∈ 𝐴{𝑋} tais que 𝑓 = 𝑝𝑞, 𝑝 é mônico, 𝜓(𝑝) = 𝑝 e 𝜓(𝑝) = 𝑞. Além disso, 𝑝 e 𝑞 são unicamente determinados e coprimos em 𝐴{𝑋}. Se 𝑓 é um polinômio então 𝑞 também será. Demonstração. A prova é dividida em quatro etapas, cada uma com afirmações mais gerais. Nas três primeiras, assumimos que 𝐴 é discreto. Para mais detalhes veja [3], capítulo 3, seção 4. No primeiro caso consideramos que 𝔪2 = {0}. Na sequência veremos o caso mais geral, isto é, existe algum 𝑛 > 2 tal que 𝔪𝑛 = {0}. Isso é provado por indução sobre 𝑛. No terceiro caso assumimos que 𝐴 é discreto pela 𝔪-topologia. Por fim, veremos o caso geral. � O próximo resultado é uma versão do Teorema de Preparação para séries de potências restritas cuja prova essencialmente usa o teorema anterior. Teorema 4.18. Sejam 𝐴, 𝔪 e 𝐵 como na hipótese do teorema anterior e 𝑓 ∈ 𝐴{𝑋} tal que 𝜓( 𝑓 ) é mônico de grau 𝑛. Assim, existe um único par (𝑝, 𝑢) formado por um polinômio mônico 𝑝 ∈ 𝐴{𝑋} e 𝑢 ∈ 𝐴{𝑋} inversível tal que 𝑓 = 𝑝𝑢 onde 𝑝 é de grau 𝑛. Demonstração. Em 𝐵{𝑋}, 𝑓 = 𝑓 · 1̄ 34 De acordo com o Teorema 4.17, existe um único par (𝑝, 𝑢) formado por um polinômio unitário 𝑝 e uma série restrita 𝑢 tal que 𝑓 = 𝑝𝑢, 𝑝 = 𝑓 e �̄� = 1̄. Como �̄� = 1̄ então o termo constante de 𝑢 pertence a 1 + 𝔪. Assim, 𝑢 será inversível em 𝐴{𝑋}. Além disso 𝑝 é um polinômio unitário de mesmo grau do que 𝑝 = 𝑓 . Assim, garantimos a existência de 𝑢 e 𝑝. Suponhamos 𝑓 = 𝑞𝑣 onde que 𝑞 é um polinômio mônico em 𝐴{𝑋} e 𝑣 é uma série restrita inversível. Da igualdade 𝑓 = 𝑞 · �̄� temos que �̄� = 1̄ pois 𝑣 é inversível em 𝐴{𝑋}. Assim, 𝑓 = 𝑞 com isso podemos concluir que 𝑝 = 𝑞 e 𝑢 = 𝑣, de acordo com a unicidade do par (𝑝, 𝑢). � Corolário 4.19. Sejam 𝐴 um anel que satisfaça as hipóteses do Teorema 4.17 e 𝑓 ∈ 𝐴{𝑋1, . . . , 𝑋𝑛} tal que𝜓( 𝑓 ) = 𝑝 é mônico de grau 𝑛 em 𝐵{𝑋1, . . . , 𝑋𝑛−1}[𝑋𝑛]. Assim existe um único par (𝑝, 𝑢) formado por um polinômio 𝑝 mônico de grau 𝑛 em 𝐴{𝑋1, . . . , 𝑋𝑛−1}[𝑋𝑛] e 𝑢 ∈ 𝐴{𝑋1, . . . , 𝑋𝑛} inversível tal que 𝑓 = 𝑝 · 𝑢. Demonstração. A demonstração pode ser vista em [5]. � Na sequência demonstraremos uma versão do algoritmo da divisão para séries restritas. Para isso precisaremos do seguinte resultado encontrado em [6], capítulo 1, seção 17. Teorema 4.20. Sejam 𝐴 um anel com identidade, 𝐴[𝑋] o anel dos polinômios sobre 𝐴 na indeterminada 𝑋 e 𝑓 (𝑋), 𝑔(𝑋) ∈ 𝐴[𝑋] com graus 𝑚, 𝑛 respectivamente. Considere 𝑘 = max{𝑚 − 𝑛 + 1, 0} e 𝑎 o coeficiente do termo de maior grau de 𝑔. Assim, existem os polinômios 𝑞(𝑋) e 𝑟 (𝑋) tais que 𝑎𝑘 𝑓 (𝑋) = 𝑞(𝑋)𝑔(𝑋) + 𝑟 (𝑋) onde deg 𝑟 (𝑋) < 𝑛 ou 𝑟 é o polinômio nulo. Além disso, se 𝑎 não é divisor de zero em 𝐴 então 𝑞(𝑋) e 𝑟 (𝑋) são unicamente determinados. Demonstração. Se 𝑚 < 𝑛 então 𝑘 = 0 e com isso podemos tomar 𝑞(𝑥) = 0 e 𝑟 (𝑥) = 𝑓 (𝑥). Para 𝑚 > 𝑛 − 1 temos 𝑘 = 𝑚 − 𝑛 − 1. Provaremos a primeira parte por indução sobre 𝑚. Observe que é válido quando 𝑚 = 𝑛 − 1. Logo 𝑚 > 𝑛. Assim 𝑎 𝑓 (𝑥) − 𝑏𝑥𝑚−𝑛𝑔(𝑥) tem grau menor ou igual a 𝑚−1, onde que 𝑏 é o coeficiente líder de 𝑓 . Pela hipótese de indução temos que existem polinômios 𝑞1(𝑥) e 𝑟1(𝑥) tais que 𝑎 (𝑚−1)−𝑛+1(𝑎 𝑓 (𝑥) − 𝑏𝑥𝑚−𝑛𝑔(𝑥)) = 𝑞1(𝑋)𝑔(𝑋) + 𝑟1(𝑋) onde deg 𝑟1(𝑋) < 𝑛 ou 𝑟1 é o polinômio nulo. Com isso temos que 𝑞(𝑥) = 𝑏𝑎𝑚−𝑛𝑥𝑚−𝑛 + 𝑞1(𝑋) e 𝑟 (𝑋) = 𝑟1(𝑋). Suponhamos que 𝑎 não seja um divisor de zero e que 𝑎𝑘 𝑓 = 𝑞′𝑔 + 𝑟′, onde deg 𝑟 < 𝑛. Assim, (𝑞 − 𝑞′)𝑔 = 𝑟′ − 𝑟. Se 𝑞 − 𝑞′ ≠ 0 então deg(𝑞 − 𝑞′)𝑔 > 0. Logo chegaríamos a um absurdo pois deg(𝑟′ − 𝑟) < 𝑛. Portanto, 𝑞 = 𝑞′ e 𝑟′ = 𝑟. � 35 Assim temos ferramentas necessárias para demontrar o seguinte teorema. Teorema 4.21. Sejam 𝐴 um anel completo com respeito a topologia linear e 𝑝 ∈ 𝐴[𝑋] mônico de grau 𝑛. Para todo 𝑓 ∈ 𝐴{𝑋} existe um único par (𝑞, 𝑟) formado por 𝑞 ∈ 𝐴{𝑋} e 𝑟 ∈ 𝐴[𝑋], onde deg 𝑟 < 𝑛, tal que 𝑓 = 𝑞𝑝 + 𝑟. Demonstração. Sejam {𝔪𝑖}, 𝑖 ∈ 𝐼, um sistema fundamental de vizinhanças de 0 para a topologia de 𝐴 e 𝑀𝑖 o sistema de ideais das séries restritas à coeficientes de 𝔪𝑖 que definem em 𝐴{𝑋} a 𝜎-topologia. Considere os homomorfismos{ 𝜓𝑖 : 𝐴{𝑋} −→ (𝐴/𝔪𝑖) [𝑋] 𝑎𝑖𝑋 𝑖 ↦−→ 𝑎𝑖𝑋 𝑖 para 𝑖 = 1, 2, . . . , onde 𝑎𝑖 é a classe de 𝑎𝑖 módulo 𝔪𝑖. Denotamos por 𝑓𝑖 a imagem pela aplicação 𝜓𝑖 da série 𝑓 ∈ 𝐴{𝑋}. Assim, a imagem 𝑝𝑖 do polinômio 𝑝 é um polinômio unitário de grau 𝑛 em (𝐴/𝔪𝑖) [𝑋]. De acordo com Teorema anterior, existem polinômios 𝑞 (𝑖) e 𝑟 (𝑖) , onde deg 𝑟 (𝑖) < 𝑛, tal que 𝑓𝑖 = 𝑝𝑖𝑞 (𝑖) + 𝑟 (𝑖) Seja 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐼, 𝛼 6 𝛽. Considere o homomorfismo 𝜓𝛼𝛽 : (𝐴/𝔪𝛽) [𝑋] → (𝐴/𝔪𝛼) [𝑋] tal que 𝜓𝛼𝛽 (𝑞 (𝛽)) = 𝑞 (𝛼) e 𝜓𝛼𝛽 (𝑟 (𝛽)) = 𝑟 (𝛼) . Como 𝐴{𝑋} = lim←−−(𝐴/𝔪𝑖) [𝑋] então existe uma série 𝑞 e um polinômio 𝑟 de grau até 𝑛 − 1 tais que 𝑞 = lim←−− 𝑞 (𝑖) e 𝑟 = lim←−− 𝑟 (𝑖) . Pela unicidade de 𝑞 (𝑖) e 𝑟 (𝑖) temos que 𝑓 é escrito de maneira única como 𝑓 = 𝑝𝑞 + 𝑟. � Corolário 4.22. Seja 𝐴 um anel que satisfaça as hipóteses do Teorema 4.17 e 𝑔 ∈ 𝐴{𝑋} tal que 𝜓(𝑔) é um polinômio mônico de grau 𝑛. Para todo 𝑓 ∈ 𝐴{𝑋} existe um único par (𝑞, 𝑟) formado por 𝑞 ∈ 𝐴{𝑋} e 𝑟 ∈ 𝐴[𝑋], onde deg 𝑟 < 𝑛, tal que 𝑓 = 𝑞𝑔 + 𝑟. Demonstração. Pelo Teorema 4.18 temos que existe um polinômio mônico 𝑝 de grau 𝑛 e uma série restrita inversível 𝑢 tal que 𝑔 = 𝑝𝑢. Seja 𝑢′ o inverso de 𝑢. Se 𝑞 e 𝑟 são a série restrita e o polinômio de grau menor ou igual a 𝑛 − 1 que satisfazem a igualdade 𝑓 = 𝑞𝑝 + 𝑟 então 𝑓 = (𝑞𝑢′)𝑔 + 𝑟 e esta decomposição é única. � O corolário pode ser estendido para 𝑛 indeterminadas. Corolário 4.23. Sejam 𝐴 um anel que satisfaça as hipóteses do Teorema 4.17 e 𝑔 uma série restrita tal que a sua imagem �̄� ∈ 𝐵{𝑋1, . . . , 𝑋𝑛−1}[𝑋𝑛], pela aplicação natural, é um polinômio mônico em 𝑋𝑛 de grau 𝑛. Assim, para toda série 𝑓 ∈ 𝐴{𝑋1, . . . , 𝑋𝑛} existe um único par (𝑞, 𝑟) formado por uma série 𝑞 ∈ 𝐴{𝑋1, . . . , 𝑋𝑛−1} e um polinômio 𝑟 ∈ 𝐴{𝑋1, . . . , 𝑋𝑛−1}[𝑋𝑛], onde deg 𝑟 < 𝑛, tal que 𝑓 = 𝑔𝑞 + 𝑟. 36 5 COMPLETAMENTO DE MÓDULOS FINITAMENTE GERADOS E PROPRIEDADES NOETHERIANAS Na primeira seção veremos o caso dos completamentos de módulos finitamente gerados. No Teorema 5.1 podemos encontrar uma forma de interpretar o completamento de um módulo finitamente gerado. Veremos que se existe uma sequência exata de 𝐴-módulos finitamente gerados, onde que 𝐴 é noetheriano, então os seus 𝔪-completamentos formam uma sequência exata. No teorema 5.11 veremos que o 𝔪-completamento de um anel é um anel de Zariski. Definiremos módulos planos e veremos uma proposição que vai nos ajudar a caracterizar esse tipo de módulo. Na sequência definiremos módulos fielmente planos. Por fim, veremos o Teorema de planitude, que é o resultado mais relevante deste capítulo. Na segunda seção mostraremos que as propriedades noetherianas são preservadas pelos 𝔪-completamentos. Entre os principais resultados vale destacar: teorema 5.25 e 5.27. 5.1 Completamento de módulo finitamente gerados Teorema 5.1. Sejam 𝐴 um anel, 𝔪 E 𝐴, 𝑀 um 𝐴-módulo finitamente gerado e (𝑀𝑛) uma filtração de 𝑀 dada por 𝑀𝑛 = 𝔪𝑛𝑀 . Se 𝑓 : 𝑀 → 𝑀 é a aplicação natural, então, para todo 𝑛 ∈ Z, 𝑀𝑛 = 𝔪𝑛𝑀 = 𝔪𝑛 𝑓 (𝑀) em particular 𝑀 é um 𝐴-módulo finitamente gerado. Demonstração. Claramente 𝔪𝑛 𝑓 (𝑀) ⊂ 𝔪𝑛𝑀 ⊂ 𝑀𝑛. De acordo com a hipótese temos que existe um homomorfismo sobrejetivo 𝑢 : 𝐿 → 𝑀 , onde 𝐿 = (𝐴) 𝑗 e 𝑗 é finito. Dessa forma podemos tomar uma filtração (𝐿𝑛) dada pelo produto cartesiano 𝐿𝑛 = (𝔪𝑛) 𝑗 . Considere a aplicação natural 𝑣 : 𝐿 → �̂� e (𝑒𝑖)1≤𝑖≤ 𝑗 a base canônica de 𝐿. Para cada elemento ∑ 1≤𝑖≤ 𝑗 𝑎𝑖𝑣(𝑒𝑖) pertencer a �̂�𝑛 é necessário e suficiente que 𝑎𝑖 ∈ 𝔪𝑛, para todo 𝑖. Logo, �̂�𝑛 = 𝔪𝑛𝑣(𝐿). Temos que 𝑢 é um homomorfismo contínuo pois 𝑢(𝐿𝑛) = 𝑀𝑛. De acordo com a proposição 3.29 temos que �̂� : �̂� → 𝑀 é um homomorfismo sobrejetivo e contínuo. Como �̂�𝑛 é um aberto de �̂� então �̂�( �̂�𝑛) é um aberto de 𝑀 mas �̂�( �̂�𝑛) = 𝔪𝑛�̂�(𝑣(𝐿)) = 𝔪𝑛 𝑓 (𝑀). Logo, 𝔪𝑛 𝑓 (𝑀) = 𝑀𝑛. Portanto, 𝑀𝑛 = 𝔪𝑛𝑀 = 𝔪𝑛 𝑓 (𝑀). � Corolário 5.2. Sobre as condições do teorema anterior, se 𝐴 é completo então 𝑀 também é completo. Demonstração. Como a aplicação natural 𝑖 : 𝐴→ 𝐴 é sobrejetora então 𝑀 = 𝑓 (𝑀). � 37 Sejam 𝐴 um anel, 𝔪 E 𝐴, 𝑀 um 𝐴-módulo, 𝐴,𝑀 os 𝔪-completamentos de 𝐴 e 𝑀 respec- tivamente e 𝑓 : 𝑀 → 𝑀 a aplicação natural. Dessa forma a aplicação 𝐴-bilinear{ 𝛼 : 𝐴 × 𝑀 −→ 𝑀 (𝑎, 𝑥) ↦−→ 𝑎 𝑓 (𝑥) se estende a aplicação { 𝛼𝑀 : 𝐴 ⊗ 𝑀 −→ 𝑀 𝑎 ⊗ 𝑥 ↦−→ 𝑎 𝑓 (𝑥) Com isso temos o seguinte resultado. Proposição 5.3. Se 𝑀 é um 𝐴-módulo finitamente gerado, então a aplicação 𝛼𝑀 : 𝐴⊗𝑀 → 𝑀 é sobrejetora. Demonstração. Facilmente podemos ver que im(𝛼𝑀) = 𝐴 𝑓 (𝑀). Pelo teorema 5.1 temos que 𝑀 = 𝐴 𝑓 (𝑀). Portanto, 𝛼𝑀 é sobrejetora. � Teorema 5.4. Seja 𝔪 um ideal de um anel noetheriano 𝐴. Se 0 𝑀′ 𝑀 𝑀′′ 0𝑓 𝑔 é uma sequência exata de 𝐴-módulos finitamente gerados, então a sequência de seus 𝔪- completamentos 0 𝑀′ 𝑀 𝑀′′ 0�̂� �̂� também é exata. Demonstração. A 𝔪-topologia de 𝑀 induz a 𝔪-topologia de 𝑀′ pelo lema 2.22. A afirmação é consequência do corolário 3.16 e da proposição 3.29. � Definição 5.5. Um 𝐴-módulo 𝑀 é dito livre se possui uma base. Observação 5.6. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo finitamente gerado. Assim, podemos considerar o conjunto {𝑥1, . . . , 𝑥𝑛} como gerador de 𝑀 . Com isso podemos definir a seguinte aplicação sobrejetora { 𝛼 : 𝐴𝑛 −→ 𝑀 (𝑎1, . . . , 𝑎𝑛) ↦−→ 𝑎1𝑥1 + · · · + 𝑎𝑛𝑥𝑛 e com isso (𝐴𝑛/ker𝛼) � 𝑀 . Logo, temos o seguinte resultado. Proposição 5.7. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo finitamente gerado sobre o anel noetheriano 𝐴. Assim, existem os 𝐴-módulos 𝐿 e 𝑁 , onde 𝐿 é livre, tais que a sequência 38 0→ 𝑁 → 𝐿 → 𝑀 → 0 é exata. Para provar uma das proposições precisamos do seguinte resultado cuja prova se encontra em [2], capítulo 2. Proposição 5.8. Sejam 𝑀′ 𝑀 𝑀′′ 0𝑓 𝑔 uma sequência exata de 𝐴-módulos e 𝐸 um 𝐴-módulo qualquer. Então a sequência 𝐸 ⊗ 𝑀′ 𝐸 ⊗ 𝑀 𝐸 ⊗ 𝑀′′ 01𝐸⊗ 𝑓 1𝐸⊗𝑔 onde que 1𝐸 representa a aplicação identidade em 𝐸 , é exata. Teorema 5.9. Se 𝑀 é um módulo finitamente gerado sobre o anel noetheriano 𝐴, 𝔪E 𝐴, 𝐴 e 𝑀 os𝔪-completamentos de 𝐴 e 𝑀 respectivamente, então a aplicação natural 𝛼𝑀 : 𝐴⊗𝐴𝑀 → 𝑀 é um isomorfismo. Demonstração. Como 𝑀 é finitamente gerado então temos a seguinte sequência exata 0 𝑁 𝐿 𝑀 0,𝑢 𝑣 onde 𝐿 é um 𝐴-módulo livre e 𝑁 um 𝐴-módulo finitamente gerado pois 𝐴 é noetheriano. O seguinte diagrama 𝐴 ⊗𝐴 𝑁 𝐴 ⊗𝐴 𝐿 𝐴 ⊗𝐴 𝑀 0 𝑁 �̂� 𝑀 0 𝛼𝑁 1⊗𝑢 𝛼𝐿 1⊗𝑣 𝛼𝑀 �̂� �̂� é comutativo. Pelo corolário 5.3 temos que 𝛼𝑁 e 𝛼𝑀 são sobrejetoras. Como 𝐿 � 𝐴𝑛 então 𝐴 ⊗ 𝐿 � �̂� (veja a proposição 3.25). De acordo com o Lema da serpente, temos a sequência exata ker(𝛼𝐿) ker(𝛼𝑀) coker(𝛼𝑁 ). Como 𝛼𝐿 é injetora e 𝛼𝑁 é sobrejetora então ker𝛼𝑀 = 0. Portanto, 𝛼𝑀 é uma bijeção. � Proposição 5.10. Sejam 𝐴 um anel noetheriano, 𝔪 E 𝐴, 𝑀 um 𝐴-módulo finitamente gerado e 𝑁 ,𝑁′ submódulos de 𝑀 . Considere a aplicação natural 𝑓 : 𝑀 → 𝑀 . Assim, temos que i) �𝑁 + 𝑁′ = 𝑁 + �̂�′; ii) Se 𝔞 e 𝔟 são ideais de 𝐴 e 𝔠 = 𝔞𝔟, então �̂� = �̂̂�𝔟. 39 Demonstração. Pelo teorema 5.9, temos que 𝐴 ⊗ 𝑁 � 𝑁 e 𝐴 ⊗ 𝑁′ � �̂�′. Logo, a primeira igualdade está provada pois �𝑁 + 𝑁′ � 𝐴 ⊗ (𝑁 + 𝑁′) = 𝐴 ⊗ 𝑁 + 𝐴 ⊗ 𝑁′ � 𝑁 + �̂�′. Por fim, como �̂� = 𝐴 𝑓 (𝔞), �̂� = 𝐴 𝑓 (𝔟) e �̂� = 𝐴 𝑓 (𝔠) então �̂� = 𝐴 𝑓 (𝔞𝔟) = 𝐴 𝑓 (𝔞) 𝑓 (𝔟) = �̂̂�𝔟. Portanto, a proposição está provada. � Teorema 5.11. Sejam 𝐴 um anel noetheriano, 𝔪 E 𝐴, 𝐴 o seu 𝔪-completamento e 𝑓 : 𝐴→ 𝐴 a aplicação natural. Então: i) Para todo 𝑥 ∈ �̂�, lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 0; ii) 𝐴 é um anel de Zariski; iii) A aplicação 𝜓 : {𝔫 ∈ Ω(𝐴) : 𝔪 ⊂ 𝔫} → Ω(𝐴) dada por 𝔫 ↦→ 𝐴 𝑓 (𝔫) = �̂� é uma bijeção e 𝔪′ ↦→ 𝑓 −1(𝔪′) é a inversa. Demonstração. Temos que 𝔪/𝔪𝑛 � �̂�/𝔪𝑛 para qualquer 𝑛. Logo, 𝑥 +𝔪𝑛 é nilpotente. Assim, pela proposição 3.21, lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 ∈ �⋂𝔪𝑛 = 𝐴 𝑓 (⋂𝔪𝑛) = 0. Dessa forma, lim 𝑛→∞ (1 − 𝑥) (1 + 𝑥 + · · · + 𝑥𝑛) = lim 𝑛→∞ (1 − 𝑥𝑛+1) = 1. Logo, (1 − 𝑥) é inversível em 𝐴 e �̂� ⊂ 𝐽 (𝐴). Com isso, pela proposição 2.26, 𝐴 é um anel de Zariski. A terceira afirmação segue pelo fato que o homomorfismo 𝑓1 : 𝐴/𝔪→ 𝐴/�̂� é uma bijeção e �̂� ⊂ 𝐽 (𝐴). � Corolário 5.12. Seja (𝐴,𝔪) um anel local noetheriano. Assim, o 𝔪-completamento de 𝐴 é um anel local com ideal maximal �̂�. Demonstração. Temos que 𝐴/�̂� � 𝐴/𝔪 é corpo. Logo, �̂� é um ideal maximal de 𝐴. Como �̂� ⊆ 𝐽 (𝐴) então �̂� é o único ideal maximal. � Relembraremos algumas definições fundamentais para darmos seguimento a este capítulo. Definição 5.13. Um 𝐴-módulo 𝐸 é dito plano se para qualquer sequência exata 𝑀′→ 𝑀 → 𝑀′′ de 𝐴-módulos, a correspondente sequência 𝐸 ⊗ 𝑀′→ 𝐸 ⊗ 𝑀 → 𝐸 ⊗ 𝑀′′ é exata. 40 A próxima proposição é importante para caracterizarmos módulos planos. Proposição 5.14. Sejam 𝐴 um anel e 𝐸 um 𝐴-módulo. Então as seguintes condições são equivalentes: i) 𝐸 é plano; ii) Para qualquer sequência exata 0 → 𝑀′ → 𝑀 → 𝑀′′ → 0 teremos que a sequência 0→ 𝐸 ⊗ 𝑀′→ 𝐸 ⊗ 𝑀 → 𝐸 ⊗ 𝑀′′→ 0 também será exata; iii) Para qualquer homomorfismo injetivo 𝑓 : 𝑀′ → 𝑀 , de 𝐴-módulo finitamente gerados, o homomorfismo 1 ⊗ 𝑓 : 𝐸 ⊗ 𝑀′→ 𝐸 ⊗ 𝑀 é injetivo. Demonstração. 𝑖) ⇔ 𝑖𝑖) Basta dividirmos a sequência exata longa em sequências exatas curtas. 𝑖𝑖) ⇔ 𝑖𝑖𝑖) Segue pela proposição 5.8. � Definição 5.15. Sejam 𝐴, 𝐵 anéis, onde que 𝐵 é um 𝐴-módulo. Se a estrutura de 𝐵 como 𝐴-módulo for compatível com a estrutura de 𝐵 como anel, dizemos que 𝐵 é uma 𝐴-álgebra, isto é, i) 1𝐴𝑏 = 𝑏, onde que 1𝐴 é a unidade multiplicativa de 𝐴 e 𝑏 ∈ 𝐵; ii) 𝛼(𝑥𝑦) = (𝛼𝑥)𝑦, para 𝛼 ∈ 𝐴 e 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐵. Exemplo 5.16. Seja 𝑓 : 𝐴→ 𝐵 um homomorfismo de anéis. Se 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑏 ∈ 𝐵 então definimos o produto 𝑎𝑏 B 𝑓 (𝑎)𝑏. Essa definição dá uma estrutura de 𝐴-módulo para 𝐵. Sem grandes dificuldades, podemos ver que 𝐵 é uma 𝐴-álgebra. Exemplo 5.17. Podemos dar uma estrutura de 𝐴-álgebra para 𝐴. Basta tomarmos a aplicação natural 𝑓 : 𝐴→ 𝐴 e definirmos a multiplicação 𝑎�̂� B 𝑓 (𝑎)�̂� para 𝑎 ∈ 𝐴 e �̂� ∈ 𝐴. Proposição 5.18. Seja 𝐵 uma 𝐴-álgebra plana e 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 a aplicação que torna 𝐵 uma 𝐴-álgebra. As seguintes condições são equivalentes: i) 𝑓 −1( 𝑓 (𝔞)𝐵) = 𝔞, para todo 𝔞 E 𝐴; 41 ii) spec(𝐵) → spec(𝐴) é sobrejetiva; iii) Para todo 𝔪 ∈ Ω(𝐴) teremos que 𝑓 (𝔪)𝐵 ≠ 𝐵; iv) Se 𝑀 é um 𝐴-módulo não nulo, então 𝐵 ⊗𝐴 𝑀 ≠ 0; v) Para todo 𝐴-modulo 𝑀 a aplicação 𝑥 ↦→ 1 ⊗ 𝑥 definida de 𝑀 para 𝐵 ⊗𝐴 𝑀 é injetiva. Demonstração. 𝑖) ⇒ 𝑖𝑖): Temos que 𝑓 ∗ : Spec(𝐵) → Spec(𝐴) é dada por 𝔭 ↦→ 𝑓 −1(𝔭). Com isso, 𝑓 ∗( 𝑓 (𝔭)𝐵) = 𝔭, para todo 𝔭 ∈ Spec(𝐴). Logo, 𝑓 ∗ é sobrejetora. 𝑖𝑖) ⇒ 𝑖𝑖𝑖): Seja 𝔪 ∈ Ω(𝐴). Se 𝑓 ∗(𝔫) = 𝔪 então 𝑓 (𝔪) ⊆ 𝔫. Assim, 𝑓 (𝔪)𝐵 ⊆ 𝔫. No caso de 𝑓 (𝔪)𝐵 = 𝐵, temos que 𝑓 ∗(𝔫) = 𝑓 ∗(𝐵) = 1 ≠ 𝔪. Assim, 𝑓 (𝔪)𝐵 ≠ 𝐵. 𝑖𝑖𝑖) ⇒ 𝑖𝑣): Suponhamos que 𝑖𝑣) é falsa. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo não nulo tal que 𝐵⊗𝐴𝑀 = 0. Como 𝐵 é plano, a inclusão 𝑀′→ 𝑀 induz a aplicação injetora 𝐵 ⊗𝐴 𝑀′→ 𝐵 ⊗𝐴 𝑀 . Assim, 𝐵 ⊗𝐴 𝑀′ = 0 para todo submódulo 𝑀′ de 𝑀 . Em particular isto vale para o submódulo (𝑥), onde 𝑥 ∈ 𝑀 . Temos que (𝑥) � 𝐴/𝔞. Como 0 = 𝐵 ⊗𝐴 (𝑥) � 𝐵 ⊗𝐴 (𝐴/𝔞) � 𝐵/𝔞𝐵 = 𝐵/ 𝑓 (𝔞)𝐵. Dessa forma 𝑓 (𝔞)𝐵 = 𝐵. Se 𝔪 ⊇ 𝔞 é um ideal maximal de 𝐴 então 𝐵 = 𝑓 (𝔪)𝐵. Logo, 𝑖𝑖𝑖) não vale. 𝑖𝑣) ⇒ 𝑣): Suponhamos que 𝑣) é falsa. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo tal que a aplicação natural 𝑀 → 𝐵 ⊗𝐴 𝑀 não é injetiva. Assim, existe um elemento não nulo 𝑥 ∈ 𝑀 tal que 1 ⊗ 𝑥 = 0 em 𝐵⊗𝐴𝑀 . Por 𝐵 ser plano, a inclusão (𝑥) → 𝑀 induz uma aplicação injetiva 𝐵⊗𝐴 (𝑥) → 𝐵⊗𝐴𝑀 mas a imagem dessa aplicação é 𝐵 ⊗𝐴 (𝑥) = 0. Logo, 𝐵 ⊗𝐴 (𝑥) = 0 e 𝑖𝑣 também é falsa. 𝑣) ⇒ 𝑖): Sempre temos 𝔞 ⊆ 𝑓 −1( 𝑓 (𝔞)𝐵). Suponha que exista 𝔞E𝐴 tal que 𝔞 ( 𝑓 −1( 𝑓 (𝔞)𝐵). Assim, o submódulo 𝑓 −1( 𝑓 (𝔞)𝐵)/𝔞 de 𝐴/𝔞 é não nulo. Como 𝐵⊗𝐴 (𝐴/𝔞) � 𝐵/𝔞𝐵 = 𝐵/ 𝑓 (𝔞)𝐵 então a aplicação natural 𝐴/𝔞→ 𝐵 ⊗𝐴 𝐴/𝔞 é igual a aplicação 𝐴/𝔞→ 𝐵 𝑓 (𝔞)/𝐵, induzida por 𝑓 , cujo kernel é 𝑓 −1( 𝑓 (𝔞)𝐵)/𝔞. � Definição 5.19. O anel 𝐵 que satisfaz uma das condições equivalentes da proposição 5.18 é dito fielmente plano. Agora veremos o Teorema de planitude. Teorema 5.20. Sejam 𝐴 um anel 𝔪-ádico noetheriano e 𝐴 o seu completamento. Então: i) 𝐴 é um 𝐴-módulo plano; ii) 𝐴 é fielmente plano se, e somente se, 𝐴 é um anel de Zariski. Demonstração. Para provar 𝑖) usaremos a terceira condição da proposição 5.14. Seja 𝑓 : 𝑀′→ 𝑀 um homomorfismo injetivo de 𝐴-módulos finitamente gerados. Dessa forma, pelo teorema 5.4, o homomorfismo �̂� : 𝑀′→ 𝑀 é injetivo. O diagrama 42 𝐴 ⊗𝐴 𝑀′ 𝐴 ⊗𝐴 𝑀 𝑀′ 𝑀 𝛼𝑀 ′ 1⊗ 𝑓 𝛼𝑀 �̂� é comutativo. Como 𝛼𝑀 ′ e 𝛼𝑀 são isomorfismos então 1 ⊗ 𝑓 é injetivo. Logo, 𝐴 é plano. Seja 𝐴 fielmente plano. Assim, para qualquer 𝐴-módulo 𝑀 finitamente gerado, a aplicação natural 𝑓 : 𝑀 → 𝑀 é injetiva. Em particular, isso é verdade para 𝑀 = 𝐴/𝔪′, onde que 𝔪′ E 𝐴 é maximal. Logo, ker( 𝑓 ) = ⋂ 𝑛>0 𝔪𝑛 (𝐴/𝔪′) = 0. Se 𝔪 * 𝔪′ então 𝔪 +𝔪′ = 𝐴. Com isso, existem 𝑥 ∈ 𝔪 e 𝑦 ∈ 𝔪′ tais que 𝑥 + 𝑦 = 1. Dessa forma 𝑥 +𝔪′ é inversível. Assim, 𝔪𝑛 (𝐴/𝔪′) = 𝐴/𝔪′, para todo 𝑛, o que implica ker 𝑓 = 𝐴/𝔪′. Com isso, chegaríamos a um absurdo. Dessa forma, teremos 𝔪 ⊂ 𝔪′. Como 𝔪′ é arbitrário então o anel é de Zariski. Reciprocamente, seja 𝐴 é de Zariski, com a topologia dada por 𝔞 ⊂ 𝐽 (𝐴) e 𝔪 um ideal maximal. Como 𝔞 ⊂ 𝔪 então a igualdade vista acima é verdadeira e a aplicação natural 𝑓 : 𝐴/𝔪 → 𝐴/�̂� é injetora. Consequentemente, �̂� ≠ 𝐴. Portanto, pela proposição 5.18, 𝐴 é fielmente plano. � Para demonstrar o próximo teorema precisaremos do resultado encontrado em [2], capítulo 2. Proposição 5.21. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo finitamente gerado, 𝔪 E 𝐴 tal que 𝔪𝑀 = 𝑀 . Assim, existe 𝑥 = 1 + 𝑦, onde 𝑦 ∈ 𝔪, tal que 𝑥𝑀 = 0. Assim, temos o seguinte teorema. Teorema 5.22. Sejam 𝐴 um anel noetheriano, 𝔪 E 𝐴, 𝑀 um 𝐴-módulo finitamente gerado e 𝑀 o seu 𝔪-completamento. Assim, o núcleo 𝐸 = ∞⋂ 𝑛=1 𝔪𝑛𝑀 da aplicação natural 𝑓 : 𝑀 → 𝑀 é formado pelos elementos 𝑥 ∈ 𝑀 que são anulados por algum elemento do conjunto 1 +𝔪. Demonstração. Como 𝐸 é a interseção de todas as vizinhanças de 0 em 𝑀 então a topologia induzida em 𝐸 é a trivial, ou seja, 𝐸 é a única vizinhança de 0. Pelo lema 2.22, a topologia induzida em 𝐸 coincide com a 𝔪-topologia. Com isso 𝔪𝐸 = 𝐸 . Pelo fato de 𝑀 ser finitamente gerado e 𝐴 ser noetheriano temos que 𝐸 é finitamente gerado. De acordo com a proposição 5.21 temos que (1− 𝑦)𝐸 = 0 para algum 𝑦 ∈ 𝔪. A recíproca é óbvia, pois se (1− 𝑦)𝑥 = 0 então 𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦𝑥2 = · · · ∈ ∞⋂ 𝑛=1 𝔪𝑛𝑀 . � 43 Corolário 5.23. Sejam 𝐴 um domínio noetheriano e 𝔪 um ideal próprio de 𝐴. Assim, ∞⋂ 𝑛=1 𝔪𝑛 = 0. Demonstração. O conjunto 1 +𝔪 não possui divisores de zero. � Corolário 5.24. Sejam 𝐴 um anel noetheriano, 𝔪 E 𝐴 contido em 𝐽 (𝐴) e 𝑀 um 𝐴-módulo finitamente gerado. Assim, a 𝔪-topologia de 𝑀 é Hausdorff, ou seja, ∞⋂ 𝑛=1 𝔪𝑛 = 0. Demonstração. Vimos anteriormente que todo elemento de 1 +𝔪 é inversível em 𝐴. � 5.2 Propriedades noetherianas Teorema 5.25. Se 𝐴 é um anel noetheriano e 𝔪E 𝐴 então o 𝔪-completamento 𝐴 de 𝐴 também é noetheriano. Demonstração. Seja 𝔪 gerado pelos elementos 𝑎1, . . . , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴. De acordo com a proposição 4.9 temos que 𝐴 � 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K/(𝑋1 − 𝑎1, . . . , 𝑋𝑛 − 𝑎𝑛). Como o anel 𝐴J𝑋1, . . . , 𝑋𝑛K é noetheriano, pelo corolário 4.6, então o teorema está provado. � Sejam 𝐺 um grupo e (𝐺𝑛) uma filtração de 𝐺. Definimos 𝐺𝑟𝑛 (𝐺) = 𝐺𝑛/𝐺𝑛+1, para 𝑛 ∈ Z, e a partir disso 𝐺𝑟 (𝐺) = ⊕ 𝑛∈Z 𝐺𝑟𝑛 (𝐺). O grupo comutativo 𝐺𝑟 (𝐺) é chamado de grupo graduado associado com o grupo filtrado 𝐺. Lema 5.26. Sejam𝐺,𝐺′ grupos filtrados, 𝜙 : 𝐺 → 𝐺′ um homomorfismo tal que 𝜙(𝐺𝑛) ⊂ 𝐺′𝑛, 𝐺𝑟 (𝜙) : 𝐺𝑟 (𝐺) → 𝐺𝑟 (𝐺′) e 𝜙 : 𝐺 → 𝐺′ as aplicações naturais induzidas por 𝜙. Então: i) Se 𝐺𝑟 (𝜙) é injetora, então 𝜙 é injetora; ii) Se 𝐺𝑟 (𝜙) é sobrejetora, então 𝜙 é sobrejetora. Demonstração. Considere o diagrama comutativo 0 𝐺𝑛/𝐺𝑛+1 𝐺/𝐺𝑛+1 𝐺/𝐺𝑛 0 0 𝐺′𝑛/𝐺′𝑛+1 𝐺′/𝐺′ 𝑛+1 𝐺′/𝐺′𝑛 0 𝐺𝑟𝑛 (𝜙) 𝛼𝑛+1 𝑓𝑛 𝛼𝑛 𝑓 ′𝑛 pelo Lema da Serpente temos que 44 0 ker(𝐺𝑟𝑛 (𝜙)) ker(𝛼𝑛+1) ker(𝛼𝑛) coker(𝐺𝑟𝑛 (𝜙)) coker(𝛼𝑛+1) coker(𝛼𝑛) 0 Por indução sobre 𝑛, ker(𝛼𝑛) = 0, quando𝐺𝑟 (𝜙) é injetora, e coker(𝛼𝑛) = 0, quando𝐺𝑟 (𝜙) é sobrejetora. Além disso, se 𝐺𝑟 (𝜙) é sobrejetora então ker(𝛼𝑛+1) → ker(𝛼𝑛) é sobrejetora. Tomando os limites inversos dos sistemas inversos (𝐺/𝐺𝑛, 𝑓𝑛) e (𝐺′/𝐺′𝑛, 𝑓 ′𝑛) e aplicando a proposição 3.15 concluímos a prova do Lema. � Teorema 5.27. Sejam 𝐴 um anel, 𝔪 E 𝐴 tal que 𝐴 é completo pela 𝔪-topologia, 𝑀 um 𝐴- módulo, (𝑀𝑛) uma 𝔪-filtração de 𝑀 que induz sobre 𝑀 uma topologia Hausdorff. Se 𝐺𝑟 (𝑀) é finitamente gerado, então 𝑀 é finitamente gerado. Demonstração. Escolha um conjunto finito que gera 𝐺𝑟 (𝑀) e divida-os em suas componentes homogêneas b𝑖 de grau 𝑛(𝑖), ou seja, b𝑖 = 𝑥𝑖 +𝑀𝑛(𝑖)+1 ≠ 0, onde que 𝑥𝑖 ∈ 𝑀𝑛(𝑖) , para 1 6 𝑖 6 𝑟. Seja 𝐹𝑖 o 𝐴-módulo com a 𝔪-filtração estável dada por 𝐹𝑖 𝑘 = 𝔪𝑘+𝑛(𝑖) . Tome 𝐹 = 𝑟⊕ 𝑖=1 𝐹𝑖 e (𝑒𝑖)16𝑖6𝑟 a base canônica de 𝐹. Assim, podemos definir a aplicação{ 𝜙 : 𝐹 −→ 𝑀 𝑒𝑖 ↦−→ 𝑥𝑖 e com isso teremos o homomorfismo de 𝐺𝑟 (𝐴)-módulos 𝐺𝑟 (𝜙) : 𝐺𝑟 (𝐹) → 𝐺𝑟 (𝑀). Por construção este homomorfismo é sobrejetor. Logo, pelo lema 5.26, 𝜙 é sobrejetor. Considere o diagrama 𝐹 𝑀 𝐹 𝑀 𝜙 𝛼 𝛽 𝜙 Pelo fato de 𝐹 ser livre e 𝐴 = 𝐴 temos que 𝛼 é um isomorfismo. Como 𝑀 é Hausdorff então, pela proposição 3.24, 𝛽 é injetiva. A sobrejetividade de 𝜙 implica que 𝜙 é sobrejetivo. Portanto, 𝑥1, . . . , 𝑥𝑟 gera 𝑀 como um 𝐴-módulo. � Corolário 5.28. Com as hipóteses do teorema 5.27, se𝐺𝑟 (𝑀) é um𝐺𝑟 (𝐴)-módulo noetheriano então: i) 𝑀 é noetheriano como 𝐴-módulo; ii) 𝑀 é noetheriano como 𝐴-módulo. 45 Demonstração. Provaremos o primeiro item. Mostraremos que todo submódulo 𝑀′ de 𝑀 é finitamente gerado. Seja 𝑀′𝑛 = 𝑀′ ∩ 𝑀𝑛 uma 𝔪-filtração de 𝑀′. Da inclusão 𝑀′𝑛 → 𝑀𝑛 podemos definir o homomorfismo injetivo 𝑀′𝑛/𝑀′𝑛+1 → 𝑀𝑛/𝑀𝑛+1. Logo, temos que 𝐺𝑟 (𝑀′) é submódulo de 𝐺𝑟 (𝑀). Pelo fato de 𝐺𝑟 (𝑀) ser noetheriano então 𝐺𝑟 (𝑀′) é finitamente gerado. Temos que 𝑀′ é Hausdorff pois ⋂ 𝑀′𝑛 ⊆ 𝑀𝑛 = 0. Portanto, pelo teorema 5.27, 𝑀′ é finitamente gerado. � Pelo item anterior, temos que 𝑀 é noetheriano, ou seja todos os seus submódulos são finitamente gerados. Com isso, pelo teorema 5.1, temos que todos os submódulos de 𝑀 são finitamente gerados. Portanto, 𝑀 é noetheriano. A seguinte proposição nos dá as condições para que a recíproca do teorema 5.27 seja válida. Proposição 5.29. Se 𝑀 é um 𝐴-módulo finitamente gerado e (𝑀𝑛) é uma 𝔪-filtração estável de 𝑀 , então 𝐺𝑟 (𝑀) é finitamente gerado sobre 𝐺𝑟 (𝐴). Demonstração. Existe um inteiro 𝑛0 tal que 𝑀𝑛0+𝑟 = 𝔪𝑟𝑀𝑛0 para todo 𝑟 > 0, logo 𝐺𝑟 (𝑀) é gerado por ⊕ 𝑛6𝑛0 𝐺𝑟𝑛 (𝑀). Cada 𝐺𝑟𝑛 (𝑀) = 𝑀𝑛/𝑀𝑛+1 é noetheriano e com isso é um (𝐴/𝔪)- módulo finitamente gerado. Assim, ⊕ 𝑛6𝑛0 𝐺𝑟𝑛 (𝑀), como 𝐴/𝔪-módulo, é gerado por um número finito de elementos. Portanto, 𝐺𝑟 (𝑀) é finitamente gerado como um 𝐺𝑟 (𝐴)-módulo. � 46 6 DIMENSÕES DOS COMPLETAMENTOS DE ANÉIS NOETHERIANOS O objetivo principal deste capítulo é determinar a dimensão do𝔪-completamento de um anel noetheriano 𝐴. Para isso, definiremos e estudaremos as séries de Poincaré. Como consequência disso teremos o teorema de dimensão cujo resultado é importante para calcularmos a dimensão do completamento de um anel noetheriano local. Na sequência veremos uma propriedade sobre a dimensão do completamento de um anel noetheriano. Por fim, finalizaremos definindo o que é um anel regular local. Entre os outros resultados relevantes podemos destacar: Os teoremas 6.11 e 6.43, as proposições 6.27, 6.45 e 6.46 e o corolário 6.39. Relembraremos a definição de dimensão para um anel comutativo 𝐴. Definição 6.1. Seja 𝐴 um anel comutativo. Dados 𝔭0, 𝔭1, . . . , 𝔭𝑛 ∈ Spec(𝐴) tais que 𝔭0 $ 𝔭1 $ · · · $ 𝔭𝑛, o número de inclusões é chamada de comprimento da cadeia e a dimensão de 𝐴 será definida como dim(𝐴) := sup{𝑛 : ∃ 𝔭0, 𝔭1, . . . , 𝔭𝑛 ∈ Spec(𝐴), tais que 𝔭0 $ 𝔭1 $ · · · $ 𝔭𝑛}. Exemplo 6.2. Se 𝐾 é um corpo, o único ideal primo é {0}. Logo dim(𝐾) = 0. Exemplo 6.3. Em Z só temos (0) $ (𝑝), onde 𝑝 ∈ Z é primo. Dessa forma, dim(Z) = 1. Exemplo 6.4. Temos que os ideais deZ[𝑋] são da forma (𝑛, 𝑓 ), onde 𝑓 ∈ Z[𝑋] e 𝑛 ∈ Z. Assim, (0) ⊂ (𝑝) ⊂ (𝑝, 𝑓 ), para 𝑝 primo, é a cadeia de maior comprimento. Logo, dim(Z) = 2. Exemplo 6.5. Se 𝐴 é domínio, então dim(𝐴[𝑋1, . . . , 𝑋𝑛, . . . ]) = ∞, pois (𝑋1) ⊆ (𝑋1, 𝑋2) ⊆ . . . . Definição 6.6. A altura de 𝔭 ∈ Spec𝐴, denotada por ℎ(𝔭), é definida como ℎ(𝔭) := sup{𝑛 : ∃ 𝔭0, 𝔭1, . . . , 𝔭𝑛−1 ∈ Spec(𝐴), tais que 𝔭0 $ 𝔭1 $ · · · $ 𝔭𝑛−1 $ 𝔭}, onde 𝑛 representa o comprimento da cadeia. Se 𝔞 é um ideal qualquer de 𝐴, então podemos definir a altura como ℎ(𝔞) = min ℎ(𝔭), onde 𝔞 ⊂ 𝔭. Como consequência da definição anterior temos que dim(𝐴) = sup ℎ(𝔪), para 𝔪 ∈ Ω(𝐴). Uma cadeia de submódulos de um 𝐴-módulo 𝑀 é a sequência (𝑀𝑖), 1 6 𝑖 6 𝑛, de submódulos de 𝑀 tais que 𝑀 = 𝑀0 % 𝑀1 % · · · % 𝑀𝑛 = {0}. O comprimento desta cadeia é definida como o número de inclusões. Uma série de composição de 𝑀 é uma cadeia maximal, isto é, não possível inserir um outro submódulo à cadeia de modo que ela continue estritamente decrescente. Equivalentemente podemos dizer que cada quociente 𝑀𝑖−1/𝑀𝑖 é simples, ou seja, não possui submódulos além dos triviais. 47 Proposição 6.7. Suponha que 𝑀 tenha uma série de composição de comprimento 𝑛. Então toda série de composição de 𝑀 tem comprimento 𝑛 e toda cadeia em 𝑀 pode ser estendida para ter comprimento 𝑛. Demonstração. Seja 𝑙 (𝑀) o menor comprimento de uma série de composição do módulo 𝑀 . 𝑖) Provaremos que se 𝑁 ⊂ 𝑀 então 𝑙 (𝑁) < 𝑙 (𝑀). Considere (𝑀𝑖) uma série de composição de 𝑀 de comprimento mínimo e 𝑁𝑖 = 𝑁 ∩ 𝑀𝑖 submódulos de 𝑁 . Como 𝑁𝑖−1/𝑁𝑖 ⊆ 𝑀𝑖−1/𝑀𝑖 e 𝑀𝑖−1/𝑀𝑖 é simples então 𝑁𝑖−1/𝑁𝑖 = 𝑀𝑖−1/𝑀𝑖 ou 𝑁𝑖−1 = 𝑁𝑖. Assim, removendo os termos repetidos, temos uma série de composição de 𝑁 tal que 𝑙 (𝑁) 6 𝑙 (𝑀). Se 𝑙 (𝑁) = 𝑙 (𝑀) = 𝑛 então 𝑁𝑖−1/𝑁𝑖 = 𝑀𝑖−1/𝑀𝑖, para 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛. Com isso 𝑀𝑖−1 = 𝑁𝑖−1, para 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛, ou seja, 𝑀 = 𝑁 . 𝑖𝑖) Afirmamos que toda cadeia em 𝑀 tem comprimento menor ou igual a 𝑙 (𝑀). De fato, considere a cadeia 𝑀 = 𝑀0 ⊃ 𝑀1 ⊃ · · · ⊃ 𝑀𝑘 = {0} cujo comprimento é 𝑘 . Pela primeiro item, temos que 𝑙 (𝑀) > 𝑙 (𝑀1) > · · · > 𝑙 (𝑀𝑘 ) = 0. Logo, 𝑙 (𝑀) > 𝑘 . 𝑖𝑖𝑖) Tome uma série de composição de 𝑀 . Se ela tem comprimento 𝑘 então, pelo segundo item, 𝑘 6 𝑙 (𝑀). Logo, pela forma como 𝑙 (𝑀) foi definido, 𝑘 = 𝑙 (𝑀). Assim, todas as séries de composição tem o mesmo comprimento. Por último, considere uma cadeia qualquer de 𝑀 . Se o seu comprimento é 𝑙 (𝑀) então ela é uma série de composição, caso contrário, a cadeia não é maximal, ou seja, podemos inserir novos termos tais que o seu novo comprimento seja 𝑙 (𝑀). � Logo, toda série de composição de 𝑀 tem o mesmo comprimento 𝑙 (𝑀), chamado de comprimento de 𝑀 . Definição 6.8. Sejam 𝐶 o conjunto de todos os 𝐴-módulos e _ : 𝐶 → Z uma função. Dizemos que _ é aditiva se, para todo sequência exata curta 0→ 𝑀′→ 𝑀 → 𝑀′′→ 0, onde que todos os termos pertencem a 𝐶, a igualdade _(𝑀) = _(𝑀′) + _(𝑀′′) for verificada. Proposição 6.9. O comprimento 𝑙 (𝑀) é uma função aditiva na classe de todos os 𝐴-módulos de comprimento finito. Demonstração. Mostraremos que se 0 𝑀′ 𝑀 𝑀′′ 0𝑢 𝑣 48 é uma sequência exata, então 𝑙 (𝑀) = 𝑙 (𝑀′) + 𝑙 (𝑀′′). Tome a imagem sobre 𝑢 de uma série de composição de 𝑀′ e a imagem inversa sobre 𝑣 de uma série de composição de 𝑀′′. Dessa forma, se juntarmos essas cadeias temos uma série de composição em 𝑀 . Logo, chegamos ao resultado. � Mais geralmente temos que: Proposição 6.10. Seja 0→ 𝑀1 → 𝑀2 → · · · → 𝑀𝑛 → 0 uma sequência exata de 𝐴-módulos com comprimento finito. Assim, 𝑙 (𝑀1) − 𝑙 (𝑀2) + · · · + (−1)𝑛−1𝑙 (𝑀𝑛) = 0. Demonstração. Tomaremos 𝑛 = 4. Para demonstrar de maneira geral o raciocínio é análogo. Seja 0 𝑀1 𝑀2 𝑀3 𝑀4 0𝑓 𝑔 ℎ uma sequência exata. Podemos encontrar as sequências exatas curtas, 0 𝑀1 𝑀2 coker( 𝑓 ) 0 onde coker( 𝑓 ) = 𝑀2/im( 𝑓 ) = 𝑀2/ker(𝑔) � im(𝑔), e 0 im(𝑔) 𝑀3 𝑀4 0 Aplicando a proposição anterior teremos que 𝑙 (𝑀1) − 𝑙 (𝑀2) + 𝑙 (coker( 𝑓 )) − 𝑙 (im(𝑔)) + 𝑙 (𝑀3) − 𝑙 (𝑀4) = 0 Consequentemente 𝑙 (𝑀1) − 𝑙 (𝑀2) + 𝑙 (𝑀3) − 𝑙 (𝑀4) = 0 como queríamos. � Considere o anel graduado 𝐴 = ∞⊕ 𝑛=0 𝐴𝑛 tal que 𝐴 é noetheriano e 𝐴0 é artiniano. Pela proposição 2.20, 𝐴0 é noetheriano e 𝐴 é gerado, como 𝐴0-álgebra, pelos elementos homogêneos 𝑥1, . . . , 𝑥𝑠 de graus 𝑘1, . . . , 𝑘𝑠 respectivamente. Suponha que 𝑀 = ∞⊕ 𝑛=0 𝑀𝑛 é um 𝐴-módulo graduado finitamente gerado. Assim, cada 𝑀𝑛 é um 𝐴0-módulo finitamente gerado. Pelo fato de 𝐴0 ser artiniano, teremos que 𝑙 (𝑀𝑛) é finito e com isso podemos definir a série 𝑃𝑙 (𝑀, 𝑡) = ∞∑ 𝑛=0 𝑙 (𝑀𝑛)𝑡𝑛. Está série é conhecida como série de Poincaré de 𝑀 . 49 Teorema 6.11. A série de Poincaré de 𝑀 é uma função racional da forma 𝑃𝑙 (𝑀, 𝑡) = 𝑓 (𝑡)/ 𝑠∏ 𝑖=1 (1 − 𝑡𝑘𝑖 ) onde 𝑓 (𝑡) ∈ Z[𝑡] e 𝑠 é o número de geradores homogêneos do ideal ⊕ 𝑛>0 𝐴𝑛. Demonstração. Provaremos por indução sobre 𝑠. Se 𝑠 = 0 então 𝐴 = 𝐴0 e cada 𝑀𝑛 é um 𝐴-submódulo de 𝑀 . Como 𝑀 é finitamente gerado então 𝑀𝑛 = {0} para 𝑛 > 𝑛′. Assim, 𝑃𝑙 (𝑀, 𝑡) = ∞∑ 𝑛=0 𝑙 (𝑀𝑛)𝑡𝑛 ∈ Z[𝑡]. Suponhamos que 𝑠 > 1 e o teorema é verdadeiro para 𝑠− 1. A aplicação 𝑀 → 𝑀 dada pela multiplicação por 𝑥𝑠 ∈ 𝐴 é um homomorfismo de 𝐴-módulos. Sejam 𝐾 = ∞⊕ 𝑛=0 𝐾𝑛 e 𝐿 = ∞⊕ 𝑛=0 𝐿𝑛 o kernel e o cokernel dessa aplicação. Dessa forma, 𝐾 e 𝐿 são 𝐴-módulos finitamente gerados, pois 𝐾 é submódulo de 𝑀 e 𝐿 é um módulo quociente de 𝑀 . Logo, para cada 𝑛 > 0, temos a sequência exata 0→ 𝐾𝑛−𝑘𝑠 → 𝑀𝑛−𝑘𝑠 → 𝑀𝑛 → 𝐿𝑛 → 0 onde 𝐾𝑛−𝑘𝑠 = 𝑀𝑛−𝑘𝑠 = {0} para 𝑛 < 𝑘𝑠. Consequentemente, temos 𝑙 (𝐾𝑛−𝑘𝑠 ) − 𝑙 (𝑀𝑛−𝑘𝑠 ) + 𝑙 (𝑀𝑛) − 𝑙 (𝐿𝑛) = 0. Multiplicando por 𝑡𝑛 obtemos 𝑙 (𝐾𝑛−𝑘𝑠 )𝑡𝑛 − 𝑙 (𝑀𝑛−𝑘𝑠 )𝑡𝑛 + 𝑙 (𝑀𝑛)𝑡𝑛 − 𝑙 (𝐿𝑛)𝑡𝑛 = 0. Somando para todo os 𝑛 𝑃𝑙 (𝐾, 𝑡)𝑡𝑘𝑠 − 𝑃𝑙 (𝑀, 𝑡)𝑡𝑘𝑠 + 𝑃𝑙 (𝑀, 𝑡) − 𝑃𝑙 (𝐿, 𝑡) = 0. (6.1) Logo, 𝑃𝑙 (𝑀, 𝑡) = 𝑃𝑙 (𝐿, 𝑡) − 𝑃𝑙 (𝐾, 𝑡)𝑡𝑘𝑠 (1 − 𝑡𝑘𝑠 ) . Facilmente podemos ver que 𝑥𝑠 anula os elementos de 𝐾 e 𝐿. Com isso, 𝐾 e 𝐿 são módulos graduado sobre o anel graduado 𝐴 = 𝐴/(𝑥𝑠) cujo ideal ⊕ 𝑛>0 𝐴𝑛/(𝑥𝑠) é gerado por 𝑥1, . . . 𝑥𝑠−1. Portanto, 𝑃𝑙 (𝐿, 𝑡) e 𝑃𝑙 (𝐾, 𝑡) são funções racionais com denominador 𝑠∏ 𝑖=1 (1 − 𝑡𝑘𝑖 ). � Proposição 6.12. Seja 𝑑 (𝑀) a ordem do polo de 𝑃𝑙 (𝑀, 𝑡) em 𝑡 = 1. Assim, 𝑑 (𝑀) 6 𝑠, onde que 𝑠 é o número de geradores homogêneos do ideal ⊕ 𝑛>0 𝐴𝑛. Demonstração. Temos que lim 𝑡→1 1 − 𝑡 1 − 𝑡𝑘 = lim 𝑡→1 1 1 + 𝑡 + · · · + 𝑡𝑘−1 = 1 𝑘 . 50 Logo, lim 𝑡→1 (1 − 𝑡)𝑠𝑃𝑙 (𝑀, 𝑡) < ∞. � Para provarmos o próximo teorema precisaremos provar a seguinte proposição. Proposição 6.13. A igualdade 1 (1 − 𝑡)𝑑 = ∞∑ 𝑛=0 (𝑛+𝑑−1 𝑑−1 ) 𝑡𝑛 é válida. Demonstração. Sabemos que (1 − 𝑡)−1 = ∞∑ 𝑛=0 𝑡𝑛. Derivando 𝑑 − 1 vezes obtemos (𝑑 − 1)!(1 − 𝑡)−𝑑 = ∞∑ 𝑛=0 𝑛(𝑛 − 1) . . . (𝑛 − 𝑑 + 2)𝑡𝑛−𝑑+1. Portanto (1 − 𝑡)−𝑑 = ∞∑ 𝑛=0 ( 𝑛 𝑑−1 ) 𝑡𝑛−𝑑+1 = ∞∑ 𝑛=0 (𝑛+𝑑−1 𝑑−1 ) 𝑡𝑛 como queríamos. � Teorema 6.14. Suponha que 𝑘𝑖 = 1, para 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑠. Assim, 𝑙 (𝑀𝑛) é um polinômio de grau 𝑑 (𝑀) − 1 para 𝑛 suficientemente grande. Demonstração. Pelo teorema 6.11 ∞∑ 𝑛=0 𝑙 (𝑀𝑛)𝑡𝑛 = 𝑓 (𝑡) (1 − 𝑡)𝑠 , onde 𝑓 (𝑡) ∈ Z[𝑡]. Pela definição de 𝑑 (𝑀) temos que 𝑓 (𝑡) = (1 − 𝑡)𝑠−𝑑 (𝑀)𝑔(𝑡) e 𝑔(1) ≠ 0. Com isso, ∞∑ 𝑛=0 𝑙 (𝑀𝑛)𝑡𝑛 = 𝑔(𝑡) (1 − 𝑡)𝑑 (𝑀) = ∞∑ 𝑛=0 (𝑛+𝑑 (𝑀)−1 𝑑 (𝑀)−1 ) 𝑔(𝑡)𝑡𝑛 Suponha que 𝑔(𝑡) = 𝑚∑ 𝑘=0 𝑎𝑘 𝑡 𝑘 . Assim, ∞∑ 𝑛=0 𝑙 (𝑀𝑛)𝑡𝑛 = 𝑚∑ 𝑘=0 ∞∑ 𝑛=0 𝑎𝑘 (𝑛+𝑑 (𝑀)−1 𝑑 (𝑀)−1 ) 𝑡𝑛+𝑘 Quando 𝑛 > 𝑚 temos 𝑙 (𝑀𝑛) = 𝑚∑ 𝑘=0 𝑎𝑘 (𝑛+𝑑 (𝑀)−1 𝑑 (𝑀)−1 ) . No caso 𝑛 < 𝑚 tomamos a soma sobre 0 6 𝑘 6 𝑛. Portanto, 𝑙 (𝑀𝑛) é um polinômio em 𝑛 de grau 𝑑 (𝑀) − 1 com coeficiente líder 1 (𝑑 (𝑀) − 1)! 𝑚∑ 𝑘=0 𝑎𝑘 = 𝑔(1) (𝑑 (𝑀) − 1)! ≠ 0. � 51 Se trocarmos 𝑥𝑠 ∈ 𝐴, visto no teorema 6.11, por um 𝑥 ∈ 𝐴𝑘 que não é divisor de zero em 𝑀 , ou seja, 𝑥𝑚 ≠ 0 para todo 𝑚 ∈ 𝑀 , então a aplicação{ 𝛽 : 𝑀 −→ 𝑀 𝑚 ↦−→ 𝑚𝑥 é um homomorfismo tal que ker 𝛽 = {0}. De acordo com a equação 6.1, vista no teorema 6.11, podemos concluir que 𝑑 (𝐿) = 𝑑 (𝑀) − 1. Dessa forma, podemos concluir que: Proposição 6.15. Se 𝑥 ∈ 𝐴𝑘 não é um divisor de zero em 𝑀 , então 𝑑 (𝑀/𝑥𝑀) = 𝑑 (𝑀) − 1. Exemplo 6.16. Seja 𝐵 = 𝐴0 [𝑥1, . . . , 𝑥𝑠] tal que 𝐴0 é um anel artiniano. Tome 𝐴𝑛 como o 𝐴0-módulo livre gerado pelos monômios 𝑥𝑚1 1 · · · 𝑥 𝑚𝑠 𝑠 , onde 𝑠∑ 𝑖=1 𝑚𝑖 = 𝑛. Com isso, existem(𝑠+𝑛−1 𝑠−1 ) monômios. Considere o anel graduado 𝐴 = ∞⊕ 𝑛=0 𝐴𝑛. Logo, 𝑃𝑙 (𝐴, 𝑡) = ∞∑ 𝑛=0 𝑙 (𝐴𝑛)𝑡𝑛 = ∞∑ 𝑛=0 (𝑠+𝑛−1 𝑠−1 ) 𝑡𝑛. Portanto, pela proposição 6.13, 𝑃𝑙 (𝐴, 𝑡) = 1 (1 − 𝑡)𝑠 . Definição 6.17. A função de Hilbert de 𝑀 é a função polinomial ℎ𝑀 (𝑛) = 𝑙 (𝑀𝑛) para 𝑛 suficientemente grande. Lema 6.18. Para cada 𝑛 considere a soma finita 𝑔(𝑛) = 𝑙 (𝑀0) + · · · + 𝑙 (𝑀𝑛−1). Assim, 𝑔(𝑛) é um polinômio de grau 𝑑 (𝑀) para 𝑛 suficientemente grande. Demonstração. Para 𝑚 > 𝑚0 temos que 𝑙 (𝑀𝑚) = ℎ𝑀 (𝑚) = 𝑐0 + 𝑐1𝑚 + · · · + 𝑐𝑑 (𝑀)−1𝑚 𝑑 (𝑀)−1 Logo 𝑔(𝑛) = 𝑛−1∑ 𝑚=0 ℎ𝑀 (𝑚) + 𝑘 para 𝑛 > 𝑚0 e 𝑘 constante. Em [8], podemos ver a Faulhaber’s formula que nos ajuda a concluir que 𝑛−1∑ 𝑚=0 𝑚𝑑 (𝑀)−1 é um polinômio em 𝑛 de grau 𝑑 (𝑀). Portanto, o lema está provado. � Definição 6.19. O ideal próprio 𝔮 de 𝐴 é dito primário se vale a seguinte condição: 52 𝑥𝑦 ∈ 𝔮 implica que 𝑥 ∈ 𝔮 ou 𝑦𝑛 ∈ 𝔮, para algum 𝑛 > 0. Em outras palavras, 𝔮 é primário se, e somente se, todo divisor de zero em 𝐴/𝔮 é nilpotente. Sem grandes dificuldades, podemos verificar que √𝑞 é primo. Se 𝔭 = √ 𝔮 então 𝔮 é dito 𝔭-primário. Exemplo 6.20. Em Z, (0), (𝑝𝑛), onde 𝑝 é primo, são ideais primários. Proposição 6.21. Sejam 𝐴 um anel noetheriano, 𝔪 E 𝐴 maximal e 𝔮 E 𝐴 qualquer. Assim, 𝔮 é 𝔪-primário se, e somente se, 𝔪𝑛 ⊆ 𝔮 ⊆ 𝔪 para algum 𝑛 > 0. Demonstração. Pela proposição 2.11 segue que 𝔪𝑛 ⊆ 𝔮 ⊆ 𝔪 para algum 𝑛 > 0. Reciproca- mente, se tomarmos os radicais teremos que 𝔪 = √ 𝔪𝑛 ⊆ √𝔮 ⊆ √ 𝔪 = 𝔪. � Proposição 6.22. Sejam (𝐴,𝔪) um anel noetheriano local e 𝔮 E 𝐴. Assim, 𝔮 é 𝔪-primário se, e somente se, todo 𝔭 ∈ Spec(𝐴) tal que 𝔮 ⊆ 𝔭 é maximal. Demonstração. Suponhamos que 𝔮 seja 𝔪-primário. Temos que 𝔪𝑛 ⊆ 𝔮 ⊆ 𝔭. Pelo fato de 𝔭 ser primo temos que 𝔪 ⊆ 𝔭. Portanto, 𝔭 é maximal. Reciprocamente, como√𝔮 é primo então, por hipótese,√𝔮 = 𝔪, ou seja, 𝔮 é𝔪-primário. � Em [2], capítulo 8 temos o seguinte resultado. Teorema 6.23. Um anel 𝐴 é artiniano se, e somente se, 𝐴 é noetheriano e dim(𝐴) = 0. Proposição 6.24. Seja 𝐴 um anel noetheriano. Assim, 𝐴 é artiniano se, e somente se, todo ideal primo de 𝐴 é maximal. Demonstração. Suponhamos que 𝐴 seja artiniano. Dado 𝔭 ∈ Spec(𝐴) temos que 𝐴/𝔭 é domínio. Se 0 ≠ 𝑥 ∈ 𝐴/𝔭 então existe a cadeia decrescente (𝑥) ⊃ (𝑥2) ⊃ (𝑥3) ⊃ . . . . Como 𝐴/𝔭 também é artiniano, então existe 𝑛 ∈ N tal que (𝑥𝑛) = (𝑥𝑛+1) = . . . . Logo, 𝑥𝑛 = 𝑏𝑥𝑛+1, para 𝑏 ∈ 𝐴/𝔭. Com isso, 𝑏𝑥 = 1, ou seja, 𝑥 possui inverso em 𝐴/𝔭. Assim, 𝔭 é maximal pois 𝐴/𝔭 é corpo. Reciprocamente, como todo ideal primo de 𝐴 é maximal então não existe uma inclusão 𝔭 $ 𝔮, tais que 𝔭, 𝔮 ∈ Spec(𝐴). Portanto, dim(𝐴) = 0 e 𝐴 é artiniano, pelo teorema 6.23. � Dessa forma, podemos concluir que: 53 Proposição 6.25. Sejam (𝐴,𝔪) um anel noetheriano local e 𝔮 um ideal 𝔪-primário. Assim, 𝐴/𝔮 é artiniano. Demonstração. Pela proposição 6.22, temos que todo ideal primo de 𝐴/𝔮 é maximal. Assim, pela proposição 6.24, 𝐴/𝔮 é artiniano. � Relembraremos uma definição vista na Álgebra Comutativa. Definição 6.26. Sejam 𝐴 um anel e 𝑀 um 𝐴-módulo. O conjunto ann(𝑀) B {𝑎 ∈ 𝐴 : 𝑎𝑚 = 0,∀𝑚 ∈ 𝑀}. é chamado de anulador do módulo 𝑀 . Proposição 6.27. Sejam (𝐴,𝔪) um anel noetheriano local, 𝔮 um ideal 𝔪-primário, 𝑀 um 𝐴-módulo finitamente gerado e (𝑀𝑛) uma filtração 𝔮-estável de 𝑀 . Então cada 𝑀/𝑀𝑛 tem comprimento finito e para 𝑛 suficientemente grande o seu comprimento é um polinômio em 𝑛 de grau 𝑑 (𝑀). Demonstração. Sejam 𝐺𝑟 (𝐴) = ⊕𝔮𝑛/𝔮𝑛+1, 𝐺𝑟 (𝑀) = ⊕𝑀𝑛/𝑀𝑛+1 e 𝐺0(𝐴) = 𝐴/𝔮 artiniano local. Assim, 𝐺 (𝐴) é noetheriano e 𝐺 (𝑀) é um 𝐺 (𝐴)-módulo graduado finitamente gerado. Cada 𝐺𝑛 (𝑀) = 𝑀𝑛/𝑀𝑛+1 é um 𝐴-módulo noetheriano tal que 𝔮 ⊆ ann(𝐺𝑛 (𝑀)), logo é um 𝐴/𝔮-módulo noetheriano, e com isso tem um comprimento finito, pois 𝐴/𝔮 é artiniano. Considere a sequência exata 0 𝑀𝑛−1/𝑀𝑛 𝑀/𝑀𝑛 𝑀/𝑀𝑛−1 0. Assim, 𝑙 (𝑀𝑛−1/𝑀𝑛) = 𝑙 (𝑀/𝑀𝑛) − 𝑙 (𝑀/𝑀𝑛−1). Logo, 𝑙 (𝑀/𝑀𝑛) = 𝑛−1∑ 𝑗=0 𝑙 (𝑀 𝑗/𝑀 𝑗+1) = 𝑔(𝑛). � Para 𝑛 suficientemente grande, o polinômio 𝑔(𝑛) correspondente a filtração (𝔮𝑛𝑀) é deno- tado por 𝜒𝑀𝔮 (𝑛). Proposição 6.28. Dados quaisquer ideal𝔪-primário 𝔮 e filtração 𝔮-estável (𝑀𝑛), os polinômios 𝑔(𝑛) = 𝑙 (𝑀/𝑀𝑛) e 𝜒𝑀𝔮 (𝑛) = 𝑙 (𝑀/𝔮𝑛𝑀) têm o mesmo grau e coeficiente líder. Demonstração. Pelo fato de (𝑀𝑛) ser 𝔮-estável teremos que existe 𝑛0 tal que 𝔮𝑛+𝑛0𝑀 ⊆ 𝑀𝑛+𝑛0 = 𝔮𝑛𝑀𝑛0 ⊆ 𝔮𝑛𝑀 . Isso implica que 𝜒𝑀𝔮 (𝑛 + 𝑛0) > 𝑔(𝑛 + 𝑛0) > 𝜒𝑀𝔮 (𝑛). Mas 𝜒𝑀𝔮 (𝑛 + 𝑛0) e 𝜒𝑀𝔮 (𝑛) são polinômios em 𝑛 com mesmo grau e coeficiente líder. Logo, 𝑔(𝑛 + 𝑛0) e, consequentemente, 𝑔(𝑛) também tem o mesmo grau e coeficiente líder. � 54 Seja (𝐴,𝔪) um anel noetheriano local e 𝔮 um ideal 𝔪-primário. A série de Poincaré do anel graduado associado 𝐺𝑟 (𝐴) = ∞⊕ 𝑛=0 𝔮𝑛/𝔮𝑛+1 é dada por 𝑃𝑙 (𝐺𝑟 (𝐴), 𝑡) = ∞∑ 𝑛=0 𝑙 (𝔮𝑛/𝔮𝑛+1)𝑡𝑛. Se 𝑥1, . . . , 𝑥𝑠 geram 𝔮 então 𝑥𝑖 + 𝔮2 tem grau 1, para 1 6 𝑖 6 𝑠, e geram 𝐺𝑟 (𝐴) como 𝐴/𝔮-álgebra. Pelo teorema 6.11 temos que ∞∑ 𝑛=0 𝑙 (𝔮𝑛/𝔮𝑛+1)𝑡𝑛 = 𝑓 (𝑡) (1 − 𝑡)𝑠 , onde que 𝑓 (𝑡) ∈ Z[𝑡]. De acordo com teorema 6.14, 𝑙 (𝔮𝑛/𝔮𝑛+1) é um polinômio em 𝑛 de grau 𝑑 (𝐴) − 1, para 𝑛 suficientemente grande. Seja 𝛿(𝐴) o menor número dos geradores de um ideal 𝔪-primário de 𝐴. Nosso objetivo é provar que 𝛿(𝐴) = 𝑑 (𝐴) = dim 𝐴. Para isso, provaremos que 𝛿(𝐴) 6 dim 𝐴 6 𝑑 (𝐴) 6 𝛿(𝐴). Tomando 𝑠 = 𝛿(𝐴) temos que: Proposição 6.29. 𝑑 (𝐴) 6 𝛿(𝐴). Para provarmos que dim 𝐴 6 𝑑 (𝐴) precisaremos de alguns resultados. Proposição 6.30. Sejam (𝐴,𝔪) um anel noetheriano local, 𝔮 um ideal 𝔪-primário, 𝑀 um 𝐴-módulo finitamente gerado, 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑥𝑚 ≠ 0, para todo 𝑚 ∈ 𝑀 , e 𝑀′ = 𝑀/𝑥𝑀 . Assim, se deg 𝜒𝑀𝔮 > 0, então deg 𝜒𝑀 ′𝔮 6 deg 𝜒𝑀𝔮 − 1. Demonstração. Seja 𝑁 = 𝑥𝑀 . Assim, 𝑁 � 𝑀 como 𝐴-módulos. Tome a filtração 𝑁𝑛 = 𝑁 ∩ 𝔮𝑛𝑀 . Com isso, teremos as sequências exatas 0 𝑁/𝑁𝑛 𝑀/𝔮𝑛𝑀 𝑀′/𝔮𝑛𝑀′ 0. Logo, se 𝑔(𝑛) = 𝑙 (𝑁/𝑁𝑛), temos que 𝑔(𝑛) − 𝜒𝑀𝔮 (𝑛) + 𝜒𝑀 ′ 𝔮 (𝑛) = 0, para 𝑛 suficientemente grande. Pelo lema 2.22, (𝑁𝑛) é uma 𝔮-filtração estável de 𝑁 . Como 𝑁 � 𝑀 então, de acordo com a proposição 6.28, 𝑔(𝑛) e 𝜒𝑀𝔮 (𝑛) tem o mesmo coeficiente líder. Portanto, a proposição está provada. � Corolário 6.31. Se 𝐴 é um anel noetheriano local e 𝑥 ∈ 𝐴 não é um divisor de zero em 𝐴 então 𝑑 (𝐴/(𝑥)) 6 𝑑 (𝐴) − 1. 55 Demonstração. Basta tomarmos 𝑀 = 𝐴 e aplicarmos a proposição anterior. � Relembraremos o Lema de Nakayama. Lema 6.32. (𝐿𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑁𝑎𝑘𝑎𝑦𝑎𝑚𝑎) Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo finitamente gerado e 𝔞E 𝐴 contido em 𝐽 (𝐴). Então 𝔞𝑀 = 𝑀 implica 𝑀 = 0. Demonstração. A prova pode ser encontrada em [2], capítulo 2. � Corolário 6.33. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo finitamente gerado, 𝑁 um submódulo de 𝑀 e 𝔞 ⊂ 𝐽 (𝐴) um ideal. Se 𝑀 = 𝔞𝑀 + 𝑁 então 𝑀 = 𝑁 . Demonstração. Aplique o lema 6.32 em 𝑀/𝑁 . Observe que 𝔞(𝑀/𝑁) = (𝔞𝑀 + 𝑁)/𝑁 . � Dessa forma podemos demonstrar que: Proposição 6.34. dim 𝐴 6 𝑑 (𝐴). Demonstração. Provaremos por indução sobre 𝑑 (𝐴). Se 𝑑 (𝐴) = 0 então 𝑙 (𝐴/𝔪𝑛) é constante para 𝑛 suficientemente grande. Assim, 𝔪𝑛 = 𝔪𝑛+1 e com isso, pelo lema 6.32, 𝔪𝑛 = 0. Logo, 𝐴 é artiniano e dim 𝐴 = 0. Suponha que 𝑑 (𝐴) > 0 e considere a cadeia de ideais primos em 𝐴 𝔭0 ⊂ 𝔭1 ⊂ · · · ⊂ 𝔭𝑟 . Sejam 𝑥 ∈ 𝔭1 tal que 𝑥 ∉ 𝔭0, 𝐴′ = 𝐴/𝔭0 e 𝑥′ a imagem de 𝑥 em 𝐴′. Com isso, 𝑥 ≠ 0 e 𝐴′ é um domínio de integridade. Logo, pelo corolário anterior, temos que 𝑑 (𝐴′/(𝑥′)) 6 𝑑 (𝐴′) − 1. Se 𝔪′ é o ideal maximal de 𝐴′, 𝐴′/𝔪′𝑛 é a imagem de 𝜙 : 𝐴/𝔪𝑛 → 𝐴′/𝔪′𝑛. Dessa forma, 𝑙 (𝐴/𝔪𝑛) > 𝑙 (𝐴′/𝔪′𝑛) e 𝑑 (𝐴) > 𝑑 (𝐴′). Consequentemente 𝑑 (𝐴′/(𝑥′)) 6 𝑑 (𝐴) − 1. Assim, pela hipótese de indução, o comprimento de qualquer cadeia de ideais primos em 𝐴′/(𝑥′) é menor do que ou igual a 𝑑 − 1. A imagem de 𝔭1 ⊂ · · · ⊂ 𝔭𝑟 em 𝐴′/(𝑥′) forma uma cadeia de comprimento 𝑟 −1. Logo, 𝑟 −1 6 𝑑 (𝐴) −1 e consequentemente 𝑟 6 𝑑 (𝐴). Portanto, dim 𝐴 6 𝑑 (𝐴). � Proposição 6.35. Sejam 𝐴 um anel, 𝔭1, . . . , 𝔭𝑛 ideais primos de 𝐴 e 𝔞 = 𝑛⋃ 𝑖=1 𝔭𝑖. Assim, 𝔞 = 𝔭𝑖 para algum 𝑖. 56 Demonstração. Provaremos por indução sobre 𝑛 da seguinte forma: Se 𝔞 ≠ 𝔭𝑖, para 1 6 𝑖 6 𝑛, então 𝔞 ≠ 𝑛⋃ 𝑖=1 𝔭𝑖. Claramente é verdade para 𝑛 = 1. Se 𝑛 > 1 e é válido para 𝑛 − 1 então para cada 𝑖 existe 𝑥𝑖 ∈ 𝔞 tal que 𝑥𝑖 ∉ 𝔭 𝑗 quando 𝑖 ≠ 𝑗 . Se para algum 𝑖 tivermos 𝑥𝑖 ∉ 𝔭𝑖 então a prova está completa. Caso contrário, teremos 𝑥𝑖 ∈ 𝔭𝑖 para todo 𝑖. Considere o elemento 𝑦 = 𝑛∑ 𝑖=1 𝑥1𝑥2 · · · 𝑥𝑖−1𝑥𝑖+1 · · · 𝑥𝑛. Assim, 𝑦 ∈ 𝔞 e 𝑦 ∉ 𝔭𝑖. Portanto, 𝔞 ≠ 𝑛⋃ 𝑖=1 𝔭𝑖. � Definição 6.36. Sejam 𝐴 um anel, ℑ E 𝐴 e 𝔭 E 𝐴 primo. O ideal 𝔭 é dito minimal primo de ℑ se não existe 𝔭1 E 𝐴 primo tal que ℑ ⊆ 𝔭1 $ 𝔭. Proposição 6.37. Seja (𝐴,𝔪) um anel noetheriano local com dimensão 𝑑. Assim, existe um ideal 𝔪-primário em 𝐴 gerado por 𝑑 elementos 𝑥1, . . . , 𝑥𝑑 e, consequentemente, 𝛿(𝐴) 6 dim 𝐴. Demonstração. Encontraremos 𝑥1, . . . , 𝑥𝑑 indutivamente de modo que todo ideal primo con- tendo (𝑥1, . . . , 𝑥𝑖) tem comprimento maior do que ou igual a 𝑖, para cada 𝑖. Suponha 𝑖 > 0 e 𝑥1, . . . , 𝑥𝑖−1 satisfazendo essa condição. Sejam 𝔭 𝑗 , 1 6 𝑗 6 𝑠, os ideais minimais primos de (𝑥1, . . . , 𝑥𝑖−1) tal que ℎ(𝔭 𝑗 ) = 𝑖 − 1. Como 𝑖 −