Ações de Grupo sobre Conjuntos e o Teorema de Burnside Ana Paula Brandão de Melo 2019 2020 Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho� Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de Rio Claro Ações de Grupo sobre Conjuntos e o Teorema de Burnside Ana Paula Brandão de Melo Dissertação apresentada como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática, junto ao Programa de Pós-Graduação em Matemática, mestrado pro�ssional, do Instituto de Geociências e Ciências Exa- tas da Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho�, Câmpus de Rio Claro. Orientadora Profa. Dra. Elíris Cristina Rizziolli Rio Claro 2020 M528a Melo, Ana Paula Brandão de Ações de Grupo sobre Conjuntos e o Teorema de Burnside / Ana Paula Brandão de Melo. -- Rio Claro, 2020 150 p. : il., tabs., fotos + 1 CD-ROM Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual Paulista (Unesp), Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro Orientadora: Elíris Cristina Rizziolli 1. Ação de Grupo sobre Conjuntos. 2. Isotropia. 3. Órbitas. 4. Teorema de Burnside. 5. Escher. I. Título. Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca do Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro. Dados fornecidos pelo autor(a). Essa ficha não pode ser modificada. TERMO DE APROVAÇÃO Ana Paula Brandão de Melo Ações de Grupo sobre Conjuntos e o Teorema de Burnside Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre no Curso de Pós-Graduação em Matemática, mes- trado pro�ssional, do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho�, pela seguinte banca examinadora: Profa. Dra. Elíris Cristina Rizziolli Orientadora Prof. Dr. João Peres Vieira Departamento de Matemática - UNESP/Rio Claro Prof. Dr. Rodrigo Martins Departamento de Matemática - UEM/Maringá Rio Claro, 08 de dezembro de 2020 Dedico essa vitória aos meus pais e a todos que passaram em minha vida, principalmente a todos os meus professores, pois através de cada um eu me tornei a pessoa que sou hoje. Agradecimentos Primeiramente agradeço a Deus, por nunca ter desistido de mim, sempre me dando força e sabedoria para enfrentar as adversidades da vida, pois da mesma forma que ele trabalhou em oculto na vida de Ester ele fez o mesmo na minha, aliás ele me preparou e me mostrou que não importava a onde eu estivesse, ele sempre estaria comigo, pois seu amor é imenso. Além disso, colocou anjos em forma de pessoas em meu caminho como: minha orientadora maravilhosa, o grupo PET Matemática - UNESP Rio Claro, grupo Pocket, grupo da Luluzinha, grupo da Lurdes Paulina, grupo Faz de Conto, família Carvalho que me acolheu e cuidou de mim com tanto carinho, aos meus amigos Naty, André, Lu e Isaac que estiveram ao meu lado em uma fase difícil, minha amiga e irmã de alma e sobrenome Roberta Paula Brandão Novais, agradeço o meu amigo Rafael Froner por me auxiliar sempre com o LaTeX e a minha amiga Derê, musa do GeoGebra, pelo auxílio com esse programa e por compartilhar esse momento mágico comigo. Em especial, a minha amiga irmã Babuína (Dani Souza) que esteve e está comigo em todo tempo, Odinha e Gerson, meus parceiros que a graduação me presenteou, Leo Chimini por ter me introduzido ao meio acadêmico e me apoiado em todos os momentos, José Paulo e Allan Edley por ter me apresentado essa parte linda da Álgebra. Agradeço o Leonardo Henrique de Carvalho por ter me auxiliado desde o dia que nos conhecemos, me mostrando um mundo diferente, cheio de amor, carinho e compa- nheirismo, uma amizade que cresceu e �oriu como um lindo campo de girassóis o qual sempre renasce cada dia mais belo. Além disso, me mostrou que todo pântano por mais escuro que seja traz consigo uma lótus, sensível, mas ao mesmo tempo resistente, a qual, faz daquele lugar escuro e sombrio, o mais lindo. Obrigada por ser essa pessoa especial, iluminada e que torna os meus dias mais incríveis. Agradeço a vida, pelos momentos bons e nem tão bons, pois eles contribuíram para que eu me tornasse mais forte e com isso, me apresentou pessoas queridas. Agradeço o João Peres por ser esse excelente pro�ssional, por ter analisado o meu trabalho com todo carinho e de forma minuciosa, além disso em um momento compli- cado o senhor entrou na sala da Elíris e me elogiou, o senhor podia não saber, mas aquelas palavras �zeram a diferença na minha vida e me ajudaram a prosseguir nesse sonho, pois era um momento que eu não estava vendo em mim qualidades em relação ao meio acadêmico, porém o senhor viu, muito obrigada! Elíris, o que falar de você? Uma pessoa espetacular, que emite luz, que foi e é uma professora excelente em conhecimento, didática, paixão, compreensão, persistência e uma série de quali�cações. Além disso, é uma ótima tutora, mãe, amiga, orientadora, aliás você é incrível e esteve comigo em todos os momentos, você é uma mulher que eu admiro muito, na qual eu me espelho e desejo que essa luz irradie muitas pessoas nesse mundo incrível da Matemática e da vida. Obrigada por tudo! Agora, vou agradecer os meus amores, o real motivo de mais uma grande conquista, minha mãe Cristina Brandão e meu pai Sebastião Melo, pois os senhores são peças fundamentais nessa vitória, agradeço por terem me apoiado e estado ao meu lado nesse e em todos os momentos, vocês são maravilhosos, meus presentes de Deus e eu os amo muito. Não citei o nome de todos, mas cada um sabe da importância que tiveram, têm e continuarão tendo em minha vida. Agradeço todos os meus amigos sejam eles de Rio Claro, Panorama, Paulicéia, Campinas, Três Lagoas, Campo Grande e mundo, ao grupo PET Conexões de Saberes Matemática - Três Lagoas/MS, a minha família, em especial o meu tio Osmar Araújo que antes mesmo de descansar sempre desejou que eu deixasse o coração me guiar e aos meus professores desde a Educação Infantil até os do Mestrado, pois todos contribuíram para quem eu sou hoje. Com isso, encerro os meus agradecimentos com um poema de Cris Pizzimenti: Sou feita de retalhos. Pedacinhos coloridos de cada vida que passa pela minha e que vou costurando na alma. Nem sempre bonitos, nem sempre felizes, mas me acrescentam e me fazem ser quem eu sou. Em cada encontro, em cada contato, vou �cando maior... Em cada retalho, uma vida, uma lição, um carinho, uma saudade... Que me tornam mais pessoa, mais humana, mais completa. E penso que é assim mesmo que a vida se faz: de pedaços de outras gentes que vão se tornando parte da gente também. E a melhor parte é que nunca estaremos prontos, �nalizados... Haverá sempre um retalho novo para adicionar a alma. Portanto, obrigada a cada um de vocês, que fazem parte da minha vida e que me permitem engrandecer minha história com os retalhos deixados em mim. Que eu tam- bém possa deixar pedacinhos de mim pelos caminhos e que eles possam ser parte das suas histórias. E que assim, de retalho em retalho, possamos nos tornar, um dia, um imenso bordado de �nós�. �Seja forte e corajoso! Não �que desanimado, nem tenha medo, porque eu, o Senhor, seu Deus, estarei com você em qualquer lugar para onde você for!� (Josué 1:9). Resumo Neste trabalho estudamos algumas noções de grupos, subgrupos, homomor�smo, isomor�smo, ações de grupos sobre conjuntos, subgrupos isotrópicos, órbitas e todos esses são elementos importantes para o principal resultado desse trabalho que é o Teorema de Burnside. Além disso, abordamos algumas aplicações do Teorema de Burnside e como aplicação especial estudamos o Padrão Combinatorial de Escher e �nalizamos com algumas curiosidades sobre o artista grá�co Maurits Cornelis Escher. A relevância deste tema segue da inter e multidisciplinaridade que este promove entre as áreas: Álgebra e Geometria. Palavras-chave: Ação de Grupo sobre Conjuntos, Isotropia, Órbitas, Teorema de Burnside, Escher. Abstract In this work we study some notions of groups, subgroups, homomorphism, iso- morphism, group actions on sets, isotropic subgroups, orbits and all these are impor- tant elements for the main result of this work, which is the Burnside Theorem. In addition, we covered some applications of Burnside's Theorem and as a special ap- plication we studied Escher's Combinatorial Pattern and ended with some curiosities about the graphic artist Maurits Cornelis Escher. The relevance of this theme follows from the inter and multidisciplinarity that it promotes between the areas: Algebra and Geometry. Keywords: Group Action on Sets, Isotropy, Orbits, Burnside's Theorem, Escher. Lista de Figuras 1.1 Polígono Inscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.2 Eixos de Simetria do Triângulo Equilátero . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.3 Composição de Simetrias do Triângulo Equilátero . . . . . . . . . . . . 40 1.4 Eixos de Simetria do Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.5 Composição de Simetrias do Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.6 Eixos de Simetria do Tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.7 Composição de Simetrias do Tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.8 Eixo de Simetria da Pirâmide de Base Dodecaédrica . . . . . . . . . . . 44 1.9 Isomor�smo do Grupo de Simetrias do Tetraedro . . . . . . . . . . . . 61 2.1 Objetos no Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1 William Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2 St. John's College e Pembroke College- Cambridge . . . . . . . . . . . 76 3.3 Oxford And Cambridge University Boat Race Finish, 1892 . . . . . . . 76 3.4 1899 - Medalha De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5 The Theory of Groups of Finite Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.6 Dado Inicial: D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.7 Faces do Cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.8 Plani�cação D1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.9 Plani�cação D2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.10 Plani�cação D3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.11 Plani�cação D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.12 Plani�cação D5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.13 Plani�cação D6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.14 Dado: 1 �xo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.15 Dado: 2 �xo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.16 Dado: 3 �xo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.17 Dado: 4 �xo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.18 Dado: 5 �xo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.19 Dado: 6 �xo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.20 Conjunto X dos 64 triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.21 Eixos de Simetria do Triângulo Equilátero . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.22 Elementos �xados por Xρ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.23 Elementos �xados por Xρ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.24 Elementos �xados por Xµ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.25 Elementos �xados por Xµ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.26 Elementos �xados por Xµ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.27 Órbitas de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.1 Motivos de crochê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2 Quadrado de Motivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3 Matriz inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.4 Ladrilhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.5 Motivo: Swans (Escher) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.6 Obra: Swans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.7 Motivo: Lagartos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.8 Obra: Lagartos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.9 Obra: Two Birds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.10 Carimbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.11 Ladrilhamento - Carimbo ABCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.12 Re�exões pelos eixos x e y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.13 Ladrilhamento monocromático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.14 Ladrilhamento destacando a matriz inicial . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.15 Re�exão no eixo y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.16 Re�exão no eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.17 Composição das re�exões dos eixos x e y . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.18 Ladrilhamento destacando as simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.19 Ladrilhamento com o carimbo em destaque . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.20 Eixos de simetrias - re�exões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.21 Gerando os elementos - Órbita 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.22 Gerando os elementos - Órbita 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.23 Gerando os elementos - Órbita 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.24 Gerando os elementos - Órbita 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.25 Gerando os elementos - Órbita 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.26 Ladrilhamento ABCD destacando as simetrias . . . . . . . . . . . . . . 107 4.27 Ladrilhamento destacando as simetrias - motivo: seta . . . . . . . . . . 108 4.28 Órbitas 1 ao 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.29 Órbitas 7 ao 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.30 Órbitas 13 ao 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.31 Órbitas 19 ao 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.32 Órbitas 25 ao 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.33 Órbitas 31 ao 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.34 Órbitas 37 ao 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.35 Órbitas 43 ao 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.36 Órbitas 49 ao 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.37 Órbitas 55 ao 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.38 Órbitas 61 ao 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.39 Órbitas 67 ao 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.40 Órbitas 73 ao 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.41 Retrato de Escher com Cavaleiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.42 Vista da Alhambra - Espanha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.43 Interior do palácio de Alhambra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.44 Algumas obras de Escher: Tessellation IV and Tessellation V (1957) . . 118 4.45 Algumas obras de Escher: Still life and street (1937) and Eight heads (1922) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.46 Favo de mel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.47 Processo de formação: etapa 1 a 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.48 Processo de formação: etapa 3 a 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.49 Processo de formação: etapa 5 a 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.50 Processo de formação: etapa 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.51 Processo de formação: etapa 8 e 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.52 Processo de formação: etapa 10 a 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.53 Processo de formação: etapa 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.54 Quadrado laranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.55 1º Recorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.56 2º Recorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.57 Eliminando os rastros do quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.58 Quadrado de motivo vísivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.59 Ladrilhamento - Illustrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.60 Ladrilhamento - Cores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.61 Outras Tentativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.62 Ferramenta �Padrão� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.63 Esboço inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.64 Recortes destacando o motivo quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.65 Motivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.66 Ladrilhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.67 Obra �nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.68 Selo postal com a obra de M. C. Escher . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.69 Fase bônus - Sonic [22] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.70 Obra: Sky and Water, 1938 - xilogravura . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.71 Filme: �A origem� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.72 Obra: House of Stairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.73 Filme: Donnie Darko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.74 Obra: Eye, 1946 - mezzotinta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.75 A �la sem �m (Os Simpsons, T2:E18). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.76 Corra corra te peguei (Os Simpsons, T5:E5). . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.77 Obra: Subindo e descendo, 1960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.78 Acima ou abaixo? (Os Simpsons, T6:E12). . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.79 Obra: Relatividade, 1953. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.80 Dia e noite(Os Simpsons, T21:E12). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.81 Obra: Dia e noite, 1938. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.82 Obra: Drawing hands, 1948. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.83 Family Guy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.84 Futurama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.85 Around the world . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.86 Obra: Encounter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.87 Quadro da sala do PET: Fish, 1941 - xilogravura . . . . . . . . . . . . 141 4.88 Triângulo de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.89 Camisa de 25 anos do PET Matemática (2019) . . . . . . . . . . . . . . 142 4.90 Obra: Ascending and descending, 1960 - lithograph . . . . . . . . . . . 142 4.91 Obra: Relativity, 1953 - lithograph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.92 Obra: Waterfall, 1961 - lithograph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.93 Logo: Google Drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Lista de Tabelas 1.1 Tábua do Grupo das Permutações S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.2 Tábua do Grupo de Simetrias D3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.3 Tábua do Grupo de Simetrias D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.4 Tábua Subgrupo Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.5 Tábua do Grupo das Permutações S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.6 Tábua do Grupo de Simetrias D3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.1 Tábua Composição em D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2 Tábua de X como um D4�conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Sumário Introdução 23 1 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo 25 1.1 Noções de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2 Subgrupos e Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.3 Homomor�smo e Isomor�smo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2 Ação de Grupo sobre Conjuntos 63 2.1 Noção de uma Ação de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2 Subgrupos de Isotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3 Órbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3 Sobre o Teorema de Burnside e Aplicações 75 3.1 Biogra�a de William Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2 Problematização Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3 O Teorema de Burnside e suas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4 Relação do Teorema de Burnside e as Obras de Escher 93 4.1 Padrão Combinatorial de Escher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2 Curiosidades sobre Escher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.2.1 Biogra�a de M. C. Escher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.2.2 Tesselação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2.3 Obras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5 Conclusão 145 Referências 147 Introdução Neste trabalho realizaremos um estudo sobre os Ação de Grupo sobre Conjuntos e o Teorema de Burnside com aplicações lúdicas o qual envolverá o artista grá�co Maurits Cornelis Escher. Nosso objetivo neste trabalho foi de tornar o estudo de grupos, de uma forma mais lúdica, onde conseguimos visualizar o que consideramos um lado abstrato da Matemática. O trabalho está organizado da seguinte maneira: No primeiro capítulo, apresentaremos algumas noções da estrutura ágebrica grupo baseado nas referências [2], [3], [5], [13], [15], [16], [21] e [31], onde abordaremos de�- nições e exemplos sobre grupos, grupos aditivos e multiplicativos, grupo das matrizes, grupos de permutações, ordem, grupo diedral, grupo de simetrias, subgrupos, relação de equivalência, classe de equivalência, conjunto-quociente, classe lateral, índice, sub- grupo normal, grupo quociente, transposição, ciclo de comprimento, permutação par, permutação ímpar, grupo alternado de grau n, homomor�smo e isomor�smo, os quais serão utilizados no desenvolvimento do trabalho. No segundo capítulo, aparecem os elementos cruciais para entendermos o Teorema de Burnside, quais sejam, noção de ação de grupo sobre conjuntos, subgrupos de iso- tropia e órbita, esses elementos foram baseados na referência [13]. O terceiro capítulo, é o capítulo central deste trabalho, baseado nas referências [13] e [18]. A priori, abordaremos a biogra�a de William Burnside, feito isso traremos um exemplo ilustrativo e um tanto quanto interessante, no intuito de elucidar o mesmo, em seguida traremos o Teorema de forma teórica e demonstrada e, por �m, encontram- se aplicações atraentes, lúdicas e de maneira bem completa no qual exempli�cará como o Teorema pode ser aplicado. No último capítulo apresentaremos a relação do Teorema de Burnside com as obras conhecidas do artista grá�co Maurits Cornelis Escher. Esse capítulo engloba tanto um exemplo de aplicação direta como curiosidades sobre o artista. 23 1 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo Neste capítulo tratamos das noções básicas sobre a estrutura algébrica chamada grupo. Abordamos também subgrupos, classes laterais, grupo quociente e homomor- �smo. Detalhes sobre este assunto e demais considerações podem ser encontrados em [2, 3, 5, 13, 15, 16, 21, 31]. 1.1 Noções de Grupos De�nição 1.1. Sejam G um conjunto não vazio e · uma operação binária de G (isto é, uma função de G×G em G) tal que (x, y) 7→ x · y. Dizemos que (G, ·) é um grupo em relação a esta operação binária ou que · de- �ne uma estrutura de grupo sobre o conjunto G se, e somente se, valem as seguintes propriedades: (a) Associativa: a · (b · c) = (a · b) · c, ∀ a, b, c ∈ G; (b) Existência do elemento neutro: ∃ e ∈ G | a · e = a = e · a, ∀ a ∈ G; (c) Existência de elemento simétrico: ∀ a ∈ G, ∃ a′ ∈ G | a · a′ = e = a′ · a. Observação 1.2. Dizemos que um grupo é aditivo ou multiplicativo, se as operações binárias são chamadas de adição ou multiplicação, respectivamente. Adotamos para grupo aditivo as notações: e = 0 e a′ = (−a) e chamamos de elementos neutro e oposto, respectivamente. Para um grupo multiplicativo usamos: e = 1 e a′ = a−1, e chamamos de elementos identidade e inverso, respectivamente. Proposição 1.3. Propriedades elementares de um grupo (G, ·): (i) O elemento neutro, cuja existência é assegurada por (b), é único. (ii) Cada elemento do grupo possui um único elemento simétrico. (iii) Quaisquer que sejam x, y ∈ G, tem-se • (x′)′ = x. • (x · y)′ = y′ · x′. (iv) Se x1, . . . , xn ∈ G, então (x1 · . . . · xn)′ = x′n · . . . · x′1. 25 26 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo (v) Quaisquer que sejam a, x, y ∈ G, temos que a · x = a · y ⇒ x = y e x · a = y · a⇒ x = y. Tais propriedades são as leis do cancelamento à esquerda e à direita, respectiva- mente. Demonstração. (i) Seja e0 o elemento neutro de G, ou seja, e0 · a = a = a · e0,∀ a ∈ G. (I) Suponhamos agora que exista outro elemento e1 tal que, para qualquer a ∈ G : e1 · a = a = a · e1. Em particular, para a = e0 temos: e0 · e1 = e0. Por outro lado, de (I), considerando a = e1, segue que e0 · e1 = e1. Consequentemente, e1 = e0 · e1 = e0. Portanto, e1 = e0. Ou seja, o elemento neutro é único. (ii) Se y e z são ambos elementos opostos de x em G temos • x · y = e = y · x; • x · z = e = z · x. Deste modo, z = e · z = (y · x) · z = y · (x · z) = y · e = y. Portanto, y = z. Ou seja, cada elemento do grupo possui um único elemento simétrico. (iii) Se e é o elemento neutro de G, temos (x′)′ = x, pois x′ · x = e e x · x′ = e. Provemos que (x · y)′ = y′ · x′. Como G é um grupo, dados x, y ∈ G, temos x′ · x = e = x · x′ e y′ · y = e = y · y′. Deste fato e usando a propriedade associativa segue: (x · y) · (y′ · x′) = [(x · y) · y′] · x′ = [x · (y · y′] · x′ = (x · e) · x′ = x · x′ = e e Noções de Grupos 27 (y′ · x′) · (x · y) = [(y′ · x′) · x] · y = [y′ · (x′ · x)] · y = (y′ · e) · y = y′ · y = e. Consequentemente, y′ · x′ é o elemento oposto de x · y. Portanto, (x · y)′ = y′ · x′. (iv) Sejam x1, . . . , xn ∈ G, provemos por meio do Princípio da Indução Finita que (x1 · . . . · xn)′ = x′n · . . . · x′1,∀ n ∈ N. (I) Obviamente a igualdade (I) é válida para n = 1. Segue do item (iii), que (I) também é válida para n = 2. Assumamos como hipótese de indução que a igualdade seja válida para n = k. Ou seja, (x1 · . . . · xk)′ = x′k · . . . · x′1. Mostremos agora que (I) é válida para n = k + 1. De fato: (x1 · . . . · xk+1) ′ = ((x1 · . . . · xk) · xk+1) ′ = x′k+1 · (x1 · . . . · xk)′ = x′k+1 · x′k · . . . · x′1. Portanto, nestas condições, segue do Princípio de Indução Finita que: (x1 · . . . · xn)′ = x′n · . . . · x′1,∀ n ∈ N. (v) Por hipótese temos a · x = a · y. Logo, x = e · x = (a′ · a) · x = a′ · (a · x) = a′ · (a · y) = (a′ · a) · y = e · y = y. Portanto, x = y. Analogamente, se x · a = y · a, segue x = x · e = x · (a · a′) = (x · a) · a′ = (y · a) · a′ = y · (a · a′) = y · e = y. Exemplo 1.4. Grupo Aditivo dos Reais. R munido da adição usual, (R,+) é um grupo. Exemplo 1.5. Grupo Aditivo dos Complexos. Seja C = {x+ iy;x, y ∈ R} o conjunto dos números complexos. De�nimos em C a seguinte operação: + : C× C −→ C (α, β) 7−→ α + β := (a+ c) + (b+ d)i, admitindo α = a+ bi, β = c+ di, a, b, c, d ∈ R. Veja que α + β ∈ C, logo + é uma operação binária e ainda: 28 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo (a) Dados α = a+ bi, β = c+ di e γ = f + gi, elementos quaiquer em C temos, pela propriedade associativa da adição usual em R que α + (β + γ) = a+ bi+ ((c+ f) + (d+ g)i) = (a+ (c+ f)) + (b+ (d+ g))i = ((a+ c) + f) + ((b+ d) + g)i = ((a+ c) + (b+ d)i) + f + gi = (α + β) + γ. Portanto, vale a propriedade associativa. (b) Dado α = a + bi ∈ C qualquer, usando a propriedade do elemento neutro em R temos que 0 = 0 + 0i ∈ C satisfaz α + 0 = (a+ 0) + (b+ 0)i = a+ bi = α, e 0 + α = (0 + a) + (0 + b)i = a+ bi = α, ou seja, existe elemento neutro para (C,+). (c) Para cada α = a+ bi ∈ C, pela propriedade de elemento neutro de R, o elemento −α = −a− bi é tal que α + (−α) = (a + bi) + (−a − bi) = (a + (−a)) + (b + (−b))i = 0 + 0i = 0, e (−α) + α = ((−a) + a) + ((−b) + b)i = 0 + 0i = 0. Portanto, segue dos itens (a), (b) e (c) que (C,+) é um grupo. Exemplo 1.6. O Produto Direto. Dados (G,4) e (G′,♦) grupos quaisquer, o conjunto G × G′, formado por todos os pares (x, x′) com x ∈ G e x′ ∈ G′ é um grupo se munido da seguinte operação: (x, x′) · (y, y′) := (x4y, x′♦y′),∀ (x, x′), (y, y′) ∈ G×G′. Com efeito, (a) Para quaisquer (x, x′), (y, y′), (z, z′) em G×G′, temos pela propriedade associativa de (G,4) e (G′,♦): (x, x′) · [(y, y′) · (z, z′)] = (x, x′) · (y4z, y′♦z′) = (x4(y4z), x′♦(y′♦z′)) = ((x4y)4z, (x′♦y′)♦z′) = (x4y, x′♦y′) · (z, z′) = [(x, x′) · (y, y′)] · (z, z′). Portanto, vale a propriedade associativa. (b) Seja (x, x′) ∈ G×G′ qualquer. De�na e = (eG, eG′), onde eG e eG′ são os elementos identidade de G e G′, respectivamente. Desta forma: (x, x′) · e = (x, x′) · (eG, eG′) = (x4eG, x′♦eG′) = (x, x′) = (eG4x, eG′♦x′) = (eG, eG′) · (x, x′) = e · (x, x′). Logo, (x, x′) · e = (x, x′) = e · (x, x′). Portanto, e = (eG, eG′) é o elemento identidade de G×G′. Noções de Grupos 29 (c) Para qualquer X = (x, x′) ∈ G × G′, considere X := (x̄, x̄′), onde x̄ e x̄′ são os elementos inversos de x e x′, respectivamente. Observe que X ·X = (x, x′) · (x̄, x̄′) = (x4x̄, x′♦x̄′) = (eG, eG′) = e. e X ·X = (x̄, x̄′) · (x, x′) = (x̄ 4 x, x̄′ ♦ x′) = (eG, eG′) = e. Logo, X ·X = e = X ·X. Portanto, X é o elemento inverso de X em G×G′. Exemplo 1.7. O Produto Direto de um número �nito de Grupos. Dados (G1,41), · · · , (Gn,4n) grupos quaisquer, o conjunto n∏ i=1 Gi = G1× · · ·×Gn é um grupo munido da operação ·, de�nida da seguinte forma: Para quaisquer X = (x1, . . . , xn), Y = (y1, . . . , yn) ∈ n∏ i=1 Gi, segue que X · Y := (x141y1, . . . , xn4nyn). A demonstração segue usando o Princípio da Indução Finita e o exemplo anterior. De�nição 1.8. Dizemos que um grupo (G, ·) é abeliano ou comutativo se, e somente se, a operação binária (x, y) 7→ x · y é comutativa, isto é, x · y = y · x,∀ x, y ∈ G. Exemplo 1.9. Grupo Aditivo dos Inteiros. Por propriedades da adição usual em Z temos: ∀ a, b, c ∈ Z, a+ (b+ c) = (a+ b) + c, a+ 0 = a = 0 + a, a+ (−a) = 0 = (−a) + a, a+ b = b+ a. Logo (Z,+), Grupo Aditivo dos Inteiros, é um grupo abeliano. Exemplo 1.10. Grupo Aditivo dos Racionais. O par (Q,+) , onde Q é o conjunto dos racionais e + é a adição usual em Q, é um grupo abeliano. Exemplo 1.11. Grupo Aditivo dos Reais. R munido da adição usual, (R,+) é um grupo abeliano. 30 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo Exemplo 1.12. Nas condições do Exemplo (1.6), se (G,4) e (G′,♦) são grupos abe- lianos, então o produto direto (G×G′, ·) também o é. De fato, ∀ X = (x, x′), Y = (y, y′) ∈ G×G′ : X · Y = (x, x′) · (y, y′) := (x4y, x′♦y′) = (y4x, y′♦x′) := (y, y′) · (x, x′) = Y ·X Portanto, X · Y = Y ·X. Por exemplo, Rn munido da operação + para n-uplas é um grupo abeliano. Exemplo 1.13. Grupo Multiplicativo dos Racionais não nulos. Sejam · a multiplicação usual emQ eQ∗ o conjunto dos números racionais não nulos. O par (Q∗, ·) é um grupo abeliano. Observe que Q∗ é fechado para esta operação, pois para quaisquer a, b ∈ Q∗, temos ab 6= 0 e portanto ab ∈ Q∗. Ainda, (a) Para quaisquer a, b, c ∈ Q∗ (ab)c = a(bc); (b) Temos que 1 é o elemento identidade de (Q∗, ·), já que a1 = a = 1a; (c) Cada elemento a b ∈ Q∗ tem como elemento inverso b a , pois a b b a = ab ba = 1 = ba ab = b a a b ; (d) Para a, b ∈ Q∗ quaisquer, temos que ab = ba. Exemplo 1.14. Grupo Multiplicativo dos Reais não nulos. O par (R∗, ·), onde R∗ é o conjunto dos reais não nulos e a operação · é a multipli- cação usual, é outro exemplo canônico de grupo abeliano. Exemplo 1.15. Grupo Multiplicativo dos Complexos não nulos. Seja C∗ o conjunto dos números complexos não nulos. Considere em C∗ a seguinte operação: ∀ α = a+ bi, β = c+ di ∈ C∗ αβ = (a+ bi)(c+ di) := (ac− bd) + (ad+ bc)i. Veja que (C∗, ·) é um grupo abeliano. Com efeito: (a) ∀ α = a+ bi, β = c+ di, γ = e+ fi ∈ C∗, α(βγ) = (αβ)γ, pois α(βγ) = (a+ bi)((ce− df) + (cf + de)i) = [a(ce− df)− b(cf + de)] + [a(cf + de) + b(ce− df)]i = [ace− adf − bcf − bde] + [acf + ade+ bce− bdf ]i = Noções de Grupos 31 [(ac− bd)e− (ad+ bc)f ] + [(ac− bd)f) + (ad+ bc)e]i = [(ac− bd) + (ad+ bc)i](e+ fi) = (αβ)γ = Portanto, α(βγ) = (αβ)γ. (b) Seja α = a+ bi ∈ C∗, qualquer. Observe que 1 = 1 + 0i é tal que α1 = (a1− b0) + (a0 + b1)i = a+ bi = (1a− 0b) + (0a+ 1b)i = 1α. Logo, α1 = α = 1α. Portanto, 1 = 1 + 0i é o elemento identidade de (C∗, ·). (c) Para cada α = a+ bi ∈ C∗, vejamos como determinar α−1 ∈ C∗ tal que αα−1 = 1 = α−1α. Suponha α−1 = c + di. Veja que αα−1 = 1 equivale a (a + bi)(c + di) = 1 + 0i, ou ainda, (ac− bd) + (ad+ bc)i = 1 + 0i. Consequentemente, as incógnitas c e d devem satisfazer o seguinte sistema linear:{ ac− bd = 1 bc+ ad = 0 . Via regra de Cramer 1 temos que a solução deste sistema é c = a a2 + b2 d = − b a2 + b2 . Note que a igualdade α−1α = 1 gera o mesmo sistema linear. Portanto, para cada α = a + bi ∈ C∗, o seu elemento inverso é dado por α−1 = a a2 + b2 − b a2 + b2 i, conforme comprovamos a seguir: αα−1 = ( a+ bi )( a a2 + b2 − b a2 + b2 i ) = ( a ( a a2 + b2 ) − b ( −b a2 + b2 )) + ( a ( −b a2 + b2 ) + b ( a a2 + b2 )) i = ( a2 a2 + b2 + b2 a2 + b2 ) + ( − ab a2 + b2 + ab a2 + b2 ) i = ( a2 + b2 a2 + b2 ) + ( (−ab) + (ab) a2 + b2 ) i = 1 + 0i = 1. Analogamente, α−1α = 1 + 0i = 1. 1Para noções sobre sistema linear e regra de Cramer sugerimos consultar [3], páginas 29 e 77, respectivamente. 32 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo (d) Para quaisquer α = a+ bi, β = c+ di, αβ = βα. De fato, αβ = (ac− bd) + (ad+ bc)i = (ca− db) + (da+ cb)i = βα. Portanto, (C∗, ·), o Grupo Multiplicativo dos Complexos não nulos é um grupo abeliano. Exemplo 1.16. Grupo das Matrizes. Seja (G, ·) um grupo qualquer. De�na Mm×n(G) como sendo o conjunto das matrizes de ordem m × n com coe�- cientes em G. Neste conjunto considere a seguinte operação: Para quaisquer A =  a11 · · · a1n ... . . . ... am1 · · · amn  , B =  b11 · · · b1n ... . . . ... bm1 · · · bmn  ∈Mm×n(G), A4B =  a11 · b11 · · · a1n · b1n ... . . . ... am1 · bm1 · · · amn · bmn  . O par (Mm×n(G),4) é um grupo. De fato: (a) A4(B4C) := a11 · · · a1n ... . . . ... am1 · · · amn 4   b11 · · · b1n ... . . . ... bm1 · · · bmn 4  c11 · · · c1n ... . . . ... cm1 · · · cmn  =   a11 · · · a1n ... . . . ... am1 · · · amn 4  b11 · c11 · · · b1n · c1n ... . . . ... bm1 · cm1 · · · bmn · cmn  =  a11 · (b11 · c11) · · · a1n · (b1n · c1n) ... . . . ... am1 · (bm1 · cm1) · · · amn · (bmn · cmn)  =  (a11 · b11) · c11 · · · (a1n · b1n) · c1n ... . . . ... (am1 · bm1) · cm1 · · · (amn · bmn) · cmn  =  a11 · b11 · · · a1n · b1n ... . . . ... am1 · bm1 · · · amn · bmn 4  c11 · · · c1n ... . . . ... cm1 · · · cmn  = Noções de Grupos 33   a11 · · · a1n ... . . . ... am1 · · · amn 4  b11 · · · b1n ... . . . ... bm1 · · · bmn  4  c11 · · · c1n ... . . . ... cm1 · · · cmn  = [A4B]4C. Portanto, 4 é associativa. (b) Sendo eG o elemento neutro de G, então e :=  eG · · · eG ... . . . ... eG · · · eG  é o elemento neutro para Mm×n(G). De fato: A 4 e =  a11 · · · a1n ... . . . ... am1 · · · amn 4  eG · · · eG ... . . . ... eG · · · eG  =  a11 · eG · · · a1n · eG ... . . . ... am1 · eG · · · amn · eG  =  a11 · · · a1n ... . . . ... am1 · · · amn  = A. Analogamente, e 4 A = A. Logo, A 4 e = A = e 4 A. Portanto, e é o elemento neutro de (Mm×n,4). (c) Para cada A =  a11 · · · a1n ... . . . ... am1 · · · amn  em Mm×n(G), de�na Ā =  ā11 · · · ā1n ... . . . ... ām1 · · · āmn  , onde āij é o elemento oposto de aij em G. Desta forma, A 4 Ā =  a11 · · · a1n ... . . . ... am1 · · · amn 4  ā11 · · · ā1n ... . . . ... ām1 · · · āmn  :=  a11 · ā11 · · · a1n · ā1n ... . . . ... am1 · ām1 · · · amn · āmn  =  eG · · · eG ... . . . ... eG · · · eG  = e. Analogamente, Ā 4 A = e. 34 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo Logo, A 4 Ā = e = Ā 4 A. Portanto Ā é o elemento oposto de A em Mm×n(G). Portanto, segue dos itens (i), (ii) e (iii) que (Mm×n(G),4) é um grupo. Observamos ainda que se (G, ·) é um grupo abeliano, então (Mm×n(G),4) também o é, pois para quaisquer A =  a11 · · · a1n ... . . . ... am1 · · · amn  , B =  b11 · · · b1n ... . . . ... bm1 · · · bmn  ∈Mm×n(G), A 4 B =  a11 · · · a1n ... . . . ... am1 · · · amn 4  b11 · · · b1n ... . . . ... bm1 · · · bmn  :=  a11 · b11 · · · a1n · b1n ... . . . ... am1 · bm1 · · · amn · bmn  =  b11 · a11 · · · b1n · a1n ... . . . ... bm1 · am1 · · · bmn · amn  :=  b11 · · · b1n ... . . . ... bm1 · · · bmn 4  a11 · · · a1n ... . . . ... am1 · · · amn  = B4A. Como aplicação deste exemplo, podemos considerar os grupos aditivos (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+). Nestes casos, temos os grupos aditivos das matrizes com coe�- cientes em Z, Q, R e C, respectivamente. Exemplo 1.17. Grupo Multiplicativo das Matrizes Invertíveis com Coe�cientes Reais. Seja GL(n) = {A ∈ Mn(R) | det(A) 6= 0}, com Mn(R) o conjunto das matrizes de ordem n sobre R. Considere A = (aij), B = (bjk) matrizes quaisquer em GL(n). De�nimos o produto de A por B, AB, como sendo a matriz C = (cik), tal que cik = n∑ j=1 aijbjk,∀ i, k ∈ {1, · · · , n}. Observe que este produto está bem de�nido em GL(n) no seguinte sentido: se A,B ∈ GL(n), então AB ∈ GL(n). De fato, uma vez que A,B ∈ GL(n) segue que detA 6= 0 e detB 6= 0. Agora, pela propriedade de determinante, sabemos que det AB = detA detB (I) Como detA 6= 0 e detB 6= 0 segue que detA detB 6= 0. Consequentemente, por (I), segue que det AB 6= 0. A�rmação: (GL(n), ·) é um grupo. Com efeito, Noções de Grupos 35 (a) ∀ A = (aij), B = (bjk), C = (ckl) ∈ GL(n), temos que A(BC) = (∑n j=1 aij( ∑n k=1 bjkckl) ) = (∑n j=1 aij(bj1c1l + bj2c2l + . . .+ bjncnl) ) = (ai1(b11c1l+b12c2l+ . . .+b1ncnl)+ai2(b21c1l+b22c2l+ . . .+b2ncnl)+ . . .+ain(bn1c1l+ bn2c2l + . . .+ bnncnl)) = ((ai1b11)c1l+(ai1b12)c2l+. . .+(ai1b1n)cnl+(ai2b21)c1l+(ai2b22)c2l+. . .+(ai2b2n)cnl+ . . .+ (ainbn1)c1l + (ainbn2)c2l + . . .+ (ainbnn)cnl) = ([(ai1b11)c1l + (ai2b21)c1l + . . .+ (ainbn1)c1l] + . . .+ [(ai1b11)cnl + (ai2b21)cnl + . . .+ (ainbn1)cnl]) = ((ai1b11 + ai2b21 + . . .+ ainbn1)c1l + . . .+ (ai1b1n + ai2b2n + . . .+ ainbnn)cnl) = ( ∑n k=1(ai1b1k + ai2b2k + . . .+ ainbnk)ckl) =(∑n k=1( ∑n j=1 aijbjk)ckl ) = (AB)C. Portanto, A(BC) = (AB)C, isto é, vale a propriedade associativa para (GL(n), ·). (b) Para qualquer A = (aij) ∈ GL(n), a matriz In = (δjk), cujas entradas são dadas por δjk = 1, se j = k, e δjk = 0, se k 6= j, é o elemento identidade de GL(n). Primeiro observe que In ∈ GL(n), já que det In = 1 6= 0. Ainda, AIn = (cik), onde cik = ∑n j=1 aijδjk = ai1δ1k + . . .+ aikδkk + . . .+ ainδnk = aik. Logo, AIn = (aik) = A. Analogamente, InA = A. Consequentemente, AIn = A = InA, ou seja, In é o elemento neutro de (GL(n), ·). (c) Seja A = (aij) ∈ GL(n), qualquer. De�nimos a matriz dos cofatores de A como sendo a matriz Ā = (∆ij), onde ∆ij = (−1)(i+j)det(Aij), com Aij a submatriz de A obtida extraindo-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. A�rmação: B = 1 detA Āt é tal que AB = In = BA. Com efeito, primeiro observe que a matriz B está bem de�nida já que detA 6= 0. Ainda, AB = A [( 1 detA ) Āt ] = 1 detA [AĀt]. Agora, AĀt =  a11 · · · a1i · · · a1n ... . . . ... ... ai1 · · · aii · · · ain ... ... . . . ... an1 · · · ani · · · ann   ∆11 · · · ∆1i · · · ∆1n ... . . . ... ... ∆i1 · · · ∆ii · · · ∆in ... ... . . . ... ∆n1 · · · ∆ni · · · ∆nn  t = 36 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo  a11 · · · a1i · · · a1n ... . . . ... ... ai1 · · · aii · · · ain ... ... . . . ... an1 · · · ani · · · ann   ∆11 · · · ∆i1 · · · ∆n1 ... . . . ... ... ∆1i · · · ∆ii · · · ∆ni ... ... . . . ... ∆1n · · · ∆in · · · ∆nn  = (cij), onde cii = detA e cij = 0, pois observe que escolhendo a i-ésima linha para calcular o determinante 2 de A segue que: detA = ai1∆i1 + · · ·+ aii∆ii + · · ·+ ain∆in. Mas, cii = ai1∆i1 + · · ·+ aii∆ii + · · ·+ ain∆in. Portanto, cii = detA. Por outro lado, usando o desenvolvimento de Laplace 3, é possível mostrar que cij = ai1∆j1 + ai2∆j2 + . . .+ ain∆jn = 0. Por exemplo, se n = 3 temos a seguinte situação: c12 = −a11 ∣∣∣∣ a12 a13 a32 a33 ∣∣∣∣+ a12 ∣∣∣∣ a11 a13 a31 a33 ∣∣∣∣− a13 ∣∣∣∣ a11 a12 a31 a32 ∣∣∣∣ . Assim, c12 = −a11(a12a33 − a13a32) + a12(a11a33 − a13a31)− a13(a11a32 − a12a31) = 0. Logo, AĀt = detA In. Consequentemente, AB = A 1 detA Āt = 1 detA detA In = In. Analogamente, podemos mostrar que BA = In. Note ainda que, como B é tal que AB = In segue que detAB = detIn 6= 0. Logo, detA detB = detAB 6= 0 e deste modo temos detB 6= 0, isto é, B ∈ GL(n). Portanto, B é a matriz inversa de A em (GL(n), ·). Por �m, pelos itens (a), (b) e (c), segue que (GL(n), ·) é um grupo. Observamos que este grupo não é comutativo. Por exemplo, se n = 2 e escolhendo A = ( 0 1 2 3 ) e B = ( 3 1 −1 0 ) temos AB = ( −1 0 3 2 ) e BA = ( 2 6 0 −1 ) Portanto, AB 6= BA. 2Para detalhes sobre o algoritmo para encontrar o determinante via matriz dos cofatores vide [3] p.64. 3Este desenvolvimento é encontrado em [3], p. 73. Noções de Grupos 37 Exemplo 1.18. Grupos de Permutações. Seja E um conjunto não vazio. Denotamos por S(E) o conjunto de todas as funções f : E −→ E bijetoras. Neste conjunto de�nimos a operação composição ◦, (f, g) 7−→ f ◦ g,∀f, g ∈ S(E). O par (S(E), ◦) é um grupo denominado grupo das permutações sobre E. A seguir mostramos que (S(E), ◦) satisfaz as condições de um grupo. (a) A propriedade associativa é satisfeita, pois, para qualquer x ∈ E, segue da de�- nição de composição de funções que ((f ◦ g) ◦ h)(x) = (f ◦ g)(h(x)) = f(g(h(x))) = f((g ◦ h)(x)) = (f ◦ (g ◦ h))(x). Portanto, (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h). (b) Para qualquer f ∈ S(E) a função identidade idE : E → E é o elemento neutro de (S(E), ◦). De fato, para qualquer x ∈ E, segue que (f ◦ idE)(x) = f(idE(x)) = f(x) = idE(f(x)) = (idE ◦ f)(x). Portanto, f ◦ idE = f = idE ◦ f. (c) Para cada f ∈ S(E), como f é bijetora existe f−1 ∈ S(E) tal que f ◦ f−1 = idE = f−1 ◦ f. Portanto, pelos itens (a), (b) e (c) o par (S(E), ◦) é um grupo. Em particular, se E = {1, 2, · · · , n}, n ≥ 1, denotamos S(E) por Sn e o chamamos de grupo simétrico de grau n. Através de análise combinatória sobre os elementos de E podemos constatar que Sn é um grupo com n! elementos. Ainda, um elemento f ∈ Sn é indicado por f = ( 1 2 · · · n i1 i2 · · · in ) , onde ir = f(r), com r variando entre 1 e n. Para efetuar a composição de dois elementos f, g ∈ Sn, digamos g = ( 1 2 · · · n i1 i2 · · · in ) , f = ( 1 2 · · · n j1 j2 · · · jn ) , procedemos da seguinte maneira: (f ◦ g)(r) =( 1 · · · ir · · · n j1 · · · jir · · · jn ) . ( 1 · · · r · · · n i1 · · · ir · · · in ) = ( · · · r · · · · · · jir · · · ) , pois (f ◦ g)(r) = f(g(r)) = f(ir) = jir , para todo r ∈ {1, . . . , n}. 38 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo Observe que, se f = ( 1 2 · · · n i1 i2 · · · in ) , então f−1 = ( i1 i2 · · · in 1 2 · · · n ) . De fato: (f−1 ◦ f)(r) = ( 1 2 · · · r · · · n 1 2 · · · r · · · n ) = idSn (r) = (f ◦ f−1)(r). Por exemplo, para n = 3 temos: S3 = {f0, f1, f2, g1, g2, g3} em que f0 = ( 1 2 3 1 2 3 ) , f1 = ( 1 2 3 2 3 1 ) , f2 = ( 1 2 3 3 1 2 ) , g1 = ( 1 2 3 1 3 2 ) , g2 = ( 1 2 3 3 2 1 ) , g3 = ( 1 2 3 2 1 3 ) , cuja tábua é dada por: Tabela 1.1: Tábua do Grupo das Permutações S3 ◦ f0 f1 f2 g1 g2 g3 f0 f0 f1 f2 g1 g2 g3 f1 f1 f2 f0 g3 g1 g2 f2 f2 f0 f1 g2 g3 g1 g1 g1 g2 g3 f0 f1 f2 g2 g2 g3 g1 f2 f0 f1 g3 g3 g1 g2 f1 f2 f0 No texto por vezes denotamos f ◦ g simplesmente por fg. De�nição 1.19. Dizemos que um grupo (G, ·) é �nito se o conjunto G é �nito. O número de elementos de G é chamado de ordem do grupo G e denotado por o (G) ou |G|. Exemplo 1.20. Como exemplo de grupo �nito com aplicação geométrica temos o Grupo Diedral. A saber: seja Pn um polígono regular com n-lados, qualquer. Con- sideramos no plano do polígono um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas de maneira que sua origem seja o centro de Pn e o eixo-x contenha um de seus vértices o qual indicamos pelo símbolo 1. Os vértices consecutivos serão indicados por 2, 3, . . . , n, respectivamente, no sentido anti-horário, como na �gura a seguir: Figura 1.1: Polígono Inscrito Fonte: Elaborada pela autora. Noções de Grupos 39 Considere Dn o conjunto formado pelos movimentos rígidos em um polígono regular de n lados e ◦ a operação composição de movimentos. O par (Dn, ◦) é um grupo de ordem 2n dado por, Dn = {e, r, r2, . . . , rn−1, s, rs, r2s, . . . , rn−1s}, onde a operação r ◦ s é abreviada por rs e, os movimentos r, s ∈ Dn são tais que r é uma rotação de 2π n em torno da origem (após n rotações com este ângulo o polígono volta a sua posição inicial) e s é uma re�exão em torno do eixo-x. Exemplo 1.21. Grupo, D3, das Simetrias de um Triângulo Equilátero: consideremos um triângulo equilátero e denotamos os vértices por 1, 2, 3. Seja G o baricentro do tri- ângulo, ou seja, se x,y e z são as retas do espaço passando pelas medianas do triângulo, então G é a intercessão das medianas conforme a �gura abaixo: Figura 1.2: Eixos de Simetria do Triângulo Equilátero Fonte: Elaborada pela autora. As transformações que preservam o triângulo, ou seja, os movimentos rígidos, são: 1) ρ0, ρ1, ρ2: as rotações planas centradas em G, no sentido anti-horário, de ângulos 0 , 2π 3 , 4π 3 respectivamente. 2) µ1, µ2, µ3: as re�exões de ângulo π com os eixos x, y, z , respectivamente. Vejamos geometricamente como se obtém, por exemplo, ρ1 ◦ µ2 e µ2 ◦ ρ1: 40 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo Figura 1.3: Composição de Simetrias do Triângulo Equilátero Fonte: Elaborada pela autora. Vejamos através da tábua a seguir, que estas simetrias constituem um grupo: Tabela 1.2: Tábua do Grupo de Simetrias D3 ◦ ρ0 ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3 ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3 ρ1 ρ1 ρ2 ρ0 µ3 µ1 µ2 ρ2 ρ2 ρ0 ρ1 µ2 µ3 µ1 µ1 µ1 µ2 µ3 ρ0 ρ1 ρ2 µ2 µ2 µ3 µ1 ρ2 ρ0 ρ1 µ3 µ3 µ1 µ2 ρ1 ρ2 ρ0 Por meio desta tábua se veri�ca o fechamento, ainda que ρ0 é elemento neutro e também que ρ−10 = ρ0, ρ −1 1 = ρ2, ρ −1 2 = ρ1, µ −1 1 = µ1, µ −1 2 = µ2 e µ−13 = µ3. Valendo a associatividade por se tratar de composição de transformações, logo trata-se de um grupo. Denotamos esse grupo por D3 (é o grupo de simetrias de um polígono regular de 3 lados). Além disso, como a tábua do grupo não é simétrica em relação à diagonal principal, então tal grupo não é comutativo. Portanto, D3 = {ρ0, ρ1, ρ2, µ1, µ2, µ3} com a operação composição é um grupo não abeliano. Exemplo 1.22. Grupo D4 das Simetrias de um Quadrado: seja um quadrado com vér- tices consecutivos 1,2,3,4. Denotamos por O o centro de gravidade do quadrado e cha- mamos de x,y,z,w as retas do espaço determinadas pelas diagonais e pelas mediatrizes do quadrado. Noções de Grupos 41 Figura 1.4: Eixos de Simetria do Quadrado Fonte: Elaborada pela autora. As transformações que preservam o quadrado, ou seja, os movimentos rígidos são: 1) ρ0, ρ1, ρ2, ρ3: as rotações planas centradas em O, no sentido anti-horário, de ângulos 0, π 2 , π, 3π 2 respectivamente. 2) δ1, δ2, µ1, µ2: as re�exões de ângulo π com os eixos x,y,z,w, respectivamente. Vejamos, geometricamente, como se obtém, por exemplo, µ1 ◦ ρ2 e ρ2 ◦ µ1: Figura 1.5: Composição de Simetrias do Quadrado Fonte: Elaborada pela autora. 42 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo Efetuando-se as demais composições, a tábua obtida é a seguinte: Tabela 1.3: Tábua do Grupo de Simetrias D4 ◦ ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 δ1 δ2 µ1 µ2 ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 δ1 δ2 µ1 µ2 ρ1 ρ1 ρ2 ρ3 ρ0 µ1 µ2 δ2 δ1 ρ2 ρ2 ρ3 ρ0 ρ1 δ2 δ1 µ2 µ1 ρ3 ρ3 ρ0 ρ1 ρ2 µ2 µ1 δ1 δ2 δ1 δ1 µ2 δ2 µ1 ρ0 ρ2 ρ3 ρ1 δ2 δ2 µ1 δ1 µ2 ρ2 ρ0 ρ1 ρ3 µ1 µ1 δ1 µ2 δ2 ρ1 ρ3 ρ0 ρ2 µ2 µ2 δ2 µ1 δ1 ρ3 ρ1 ρ2 ρ0 Seja D4 o conjunto das simetrias do quadrado, através desta tábua temos que a composição de simetrias é uma operação binária em D4. A associatividade da ope- ração vale por se tratar de particular composição de aplicação, além disso, temos ρ0 como elemento neutro e todos os elementos possuem simétrico, a saber: ρ−10 = ρ0, ρ −1 1 = ρ3, ρ −1 2 = ρ2, δ −1 1 = δ1, δ −1 2 = δ2, µ −1 1 = µ1, µ −1 2 = µ2. Logo, (D4, ◦) é um grupo. Este grupo não é abeliano, pois, por exemplo, δ1◦µ1 = ρ3 e µ1 ◦ δ1 = ρ1. Nos exemplos anteriores estudamos as simetrias de �guras planas. A seguir explo- ramos simetrias que são realizadas em �guras espaciais. Exemplo 1.23. Grupo de Simetrias do Tetraedro: Considere agora o tetraedro da Figura (1.6). Note que temos quatro eixos do tipo L (eixo de simetria rotacional), onde cada um destes eixos determina duas rotações no sentido anti-horário, gerando assim um total de 8 simetrias. Além disso, existem três eixos do tipoM , em que existe apenas uma rotação de π em cada um, resultando em mais três simetrias. Por último temos a simetria identidade, que pode ser obtida a partir de uma rotação de 2π em qualquer um dos eixos. No total temos 12 simetrias rotacionais no tetraedro. Figura 1.6: Eixos de Simetria do Tetraedro Fonte: Elaborada pela autora. Noções de Grupos 43 Dadas duas rotações u e v, se compormos primeiro v e depois u, obtemos uma nova rotação denotada por uv. Por exemplo considere as rotações r e s ilustradas a seguir, então obtemos duas novas rotações sr e rs: Figura 1.7: Composição de Simetrias do Tetraedro Fonte: Elaborada pela autora. Com a operação de composição dada acima é possível mostrar que o conjunto das simetrias do tetraedro tem a estrutura de um grupo, o qual é denominado por grupo de simetrias do tetraedro, porém não é um grupo abeliano. Exemplo 1.24. Pirâmide de Base Dodecaédrica: observamos agora a pirâmide de base dodecaédrica dada na Figura (1.8). Veja que nesta pirâmide existe apenas um eixo de rotação, que passa pelo vértice de encontro das arestas e pelo centro da base. Temos então 12 simetrias determinadas a partir das 12 rotações no sentido anti- horário kπ 6 para 1 ≤ k ≤ 12. 44 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo Figura 1.8: Eixo de Simetria da Pirâmide de Base Dodecaédrica Fonte: Elaborada pela autora. Observe que o conjunto das simetrias da pirâmide de base dodecaédrica, com a operação de composição de funções, é um grupo com 12 elementos. 1.2 Subgrupos e Grupo Quociente De�nição 1.25. Seja (G, ·) um grupo. Dizemos que um subconjunto não vazio H ⊂ G é um subgrupo de G se, e somente se, (i) ∀ a, b ∈ H ⇒ a · b ∈ H; (ii) (H, ·) tem estrutura de grupo. Teorema 1.26. Para que um subconjunto não vazio H ⊂ G seja subgrupo de um grupo (G, ·), é necessário e su�ciente que ∀ a, b ∈ H =⇒ a · b̄ ∈ H, onde b̄ é o elemento inverso de b. Demonstração. (⇒) Por hipótese, temos que H é um subgrupo de G, isto é, para quaisquer a, b ∈ H temos que a · b ∈ H, e também que (H, ·) tem estrutura de grupo. Queremos mostrar que para quaisquer a, b ∈ H, temos que a · b̄ ∈ H. Primeiramente, mostramos que eH = eG, onde eH é o elemento identidade de H e eG é o elemento identidade de G. De fato, como eH é o elemento identidade de H temos que eH · eH = eH . Por outro lado, como eH ∈ H ⊂ G, segue que eH · eG = eH . Logo, eH · eH = eH = eH · eG. Assim, pela lei do cancelamento em G, eH = eG. Subgrupos e Grupo Quociente 45 Denotamos eH = eG := e. Também pela lei do cancelamento segue que, para cada a ∈ H temos āH = ā, onde āH é o elemento inverso de a em H e ā é o elemento inverso de a em G. Com efeito, a · āH = eH = eG = a · ā. Logo, āH = ā. Consequentemente, para quaisquer a, b ∈ H, temos que a · b̄ = a · b̄H ∈ H. (⇐) Temos por hipótese que para todo a, b ∈ H, a · b̄ ∈ H. Então, e ∈ H, já que e = a · ā ∈ H, ∀ a ∈ H. Como e · a = a = a · e, para qualquer a ∈ H ⊂ G, segue que e é o elemento identidade para (H, ·). Também, para cada b ∈ H, b̄ ∈ H, pois b̄ = e · b̄ ∈ H. E para cada b ∈ H ⊂ G, b · b̄ = e = b̄ · b. Portanto, b̄ é o elemento inverso de b em (H, ·). Em particular, dados a, b ∈ H, como b̄ ∈ H, segue por hipótese que a · b = a · ¯̄b ∈ H. Finalmente, a propriedade associativa para H é válida uma vez que G é um grupo e H ⊂ G. Observação 1.27. Todo grupo G admite pelo menos dois subgrupos a saber, G e {e}, chamados de subgrupos triviais de G. Observação 1.28. Lembramos que, para um determinado elemento b, a notação de seu oposto b̄ será b−1, para grupos multiplicativos e −b, para grupos aditivos. Exemplo 1.29. Para o grupo multiplicativo dos reais não nulos (R∗, ·), tomemos H = {x ∈ R | x > 0}. Sejam a, b ∈ H. Como b > 0, então b̄ = b−1 = 1 b > 0 e igualmente ab−1 > 0. Assim ab−1 ∈ H e, portanto, H é um subgrupo de (R∗, ·). Exemplo 1.30. Seja agora o grupo aditivo dos reais (R,+) e tomemos o subconjunto Z dos inteiros. Então, ∀a, b ∈ Z =⇒ a+ (−b) = a− b ∈ Z. Portanto, (Z,+) é subgrupo de (R,+). 46 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo Exemplo 1.31. Seja (Rn,+) grupo aditivo de vetores de n coordenadas reais. O subconjunto A consistindo de todos os vetores que tem 0 como a primeira coordenada é subgrupo de Rn. Sejam a = (0, x2, . . . , xn), b = (0, y2, . . . , yn) ∈ A então −b = (0,−y2, . . . ,−yn) e assim a− b = (0, x2, . . . , xn) + (0,−y2, . . . ,−yn) = (0, x2 − y2, . . . , xn − yn) ∈ A. A partir de agora, no intuito de simpli�car a notação, admitimos que G é um grupo multiplicativo. De�nição 1.32. O produto cartesiano de dois conjuntos não vazios E e F, denotado por E × F, é o conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento pertence a E e o segundo pertence a F, ou seja, E × F = (x, y) : x ∈ E, y ∈ F . De�nição 1.33. Chama-se relação binária de E em F todo subconjunto R de E × F . Logo, (R é relação de E × F ) se, e somente se, R ⊂ E × F . Notação: xRy, ou seja, (x, y) ∈ R e x��Ry, ou seja, (x, y) 6∈ R. De�nição 1.34. Uma relaçãoR sobre um conjunto E não vazio é chamada de relação de equivalência sobre E se, e somente se, R é re�exiva, simétrica e transitiva. Ou seja, R deve cumprir, respectivamente as seguintes propriedades: i) se x ∈ E, então xRx; ii) se x, y ∈ E e xRy, então yRx; iii) se x, y, z ∈ E e xRy e yRz, então xRz. Exemplo 1.35. A relação R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)} sobre E = {a, b, c} é uma relação de equivalência. De�nição 1.36. Seja R uma relação de equivalência sobre E. Dado a, com a ∈ E, chama-se classe de equivalência determinada por a, módulo R, o subconjunto a de E constituído pelos elementos x tais que xRx. Notação: a = {x ∈ E|xRa}. De�nição 1.37. O conjunto das classes de equivalência módulo R será indicado por E/R e chamado conjunto-quociente de E por R. Proposição 1.38. Seja R uma relação de equivalência sobre E e sejam a ∈ E e b ∈ E. As seguintes proposições são equivalentes: i) aRb; ii) a ∈ b; Subgrupos e Grupo Quociente 47 iii) b ∈ a; iv) a = b. Demonstração. Devemos provar que i)⇒ ii)⇒ iii)⇒ iv)⇒ i). i)⇒ ii) : É decorrência pela de�nição de classe de equivalência. ii)⇒ iii) : Como a ∈ b, então aRb. Daí, pela simetria de R, bRa e, portanto, b ∈ a. iii) ⇒ iv) : Por hipótese, b ∈ a, ou seja, bRa. Logo, aRb. Temos de provar que a ⊂ b e b ⊂ a. Para provar a primeira dessas inclusões, tomemos x ∈ a. Então, xRa e, levando em conta que aRb, concluímos, pela transitividade de R, que xRb Daí x ∈ b e, então, a ⊂ b. Analogamente se prova que b ⊂ a. iv) ⇒ i) : Como a ∈ a e b ∈ b, os conjuntos a e b não são vazios. Tomemos um x ∈ a = b. Então, xRa e xRb. Daí, pela simetria de R, valem aRx e xRa. A transitividade de R garante, então, que aRb. Proposição 1.39. Seja H subgrupo de um grupo G, de�nimos a seguinte relação em G: ∀a, b ∈ G : aRb, a ∼ b⇔ a−1b ∈ H a relação ∼ é uma relação de equivalência, cuja as classes de equivalência são aH = {ax, x ∈ H}. Notação: aRb ou a ∼ b. Demonstração. Para a relação ∼ ser uma relação de equivalência precisamos mostrar que a relação ∼ é re�exiva, simétrica e transitiva. i) Re�exiva: Seja a ∈ G, qualquer. Como e = a−1a ∈ H, temos a ∼ a, logo a relação ∼ é re�exiva. ii) Simétrica: Se a ∼ b, então a−1b ∈ H, como H é subgrupo de G, temos que( a−1b )−1 = b−1a ∈ H, ou seja, b ∼ a, logo a relação ∼ é simétrica. iii) Transitiva: Se a ∼ b e b ∼ c, então a−1b ∈ H e b−1c ∈ H, com isso temos:( a−1b ) ( b−1c ) = a−1 ( bb−1c ) = a−1 (ec) = a−1c, ou seja, a ∼ c, logo a relação ∼ é transitiva. Portanto, a relação ∼ é uma relação de equivalência. Seja a ∈ G, qualquer: a = {b ∈ G : a ∼ b} = {b ∈ G : a−1b ∈ H} = {b ∈ G : a−1b = h, com h ∈ H} = {b ∈ G : b = ah, com h ∈ H} = {ah, com h ∈ H} = aH. 48 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo Observação 1.40. De modo análogo a Proposição (1.39) é possível mostrar que a relação a ∼ b⇔ ba−1 ∈ H é uma relação de equivalência, cuja as classes de equivalência são os conjuntos Ha = {xa, x ∈ H}. De�nição 1.41. No contexto da Proposição (1.39) a classe de equivalência aH é chamada classe lateral a esquerda módulo H. Exemplo 1.42. Sejam o grupo G = ({1, i,−1,−i}, ·) e seu subgrupo H = {1,−1}. Para encontrar as classes laterais à esquerda basta fazermos os seguintes cálculos: 1 ·H = {1 · 1, 1 · (−1)} = {1,−1} = H 1 = H. (−1)H = {(−1) · 1, (−1) · (−1)} = {−1, 1} = H (−1) = H. i.H = {i · 1, i · (−1)} = {i,−i} = iH. (−i)H = {(−i) · 1, (−i) · (−1)} = {−i, i} = iH. Logo, há duas classes laterais à esquerda módulo H distintas: H = {1,−1} e iH = {−i, i}. No que segue exploramos propriedades de classes laterais que, embora sejam enunci- adas usando classes laterais à esquerda, todas são válidas para classes laterais à direita (as demonstrações são análogas). Proposição 1.43. A união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Demonstração. Queremos mostrar que⋃ a∈G aH = G. Façamos isto. (i) ⋃ a∈G aH ⊂ G. Seja x ∈ ⋃ a∈G aH, qualquer, então x ∈ a0H, para algum a0 ∈ G. Consequente- mente, existe h ∈ H tal que x = a0h. Mas, a0h ∈ G, logo x = a0h ∈ G. Portanto,⋃ a∈G aH ⊂ G. (ii) G ⊂ ⋃ a∈G aH. Seja a0 ∈ G, qualquer. Observe que, como G é um grupo, temos que a0 = a0e, onde e denota o elemento neutro de G. Mas e pertence a H, já que H é subgrupo de G. Assim, a0 = a0e ∈ a0H. Por sua vez, a0H ⊂ ⋃ a∈G aH. Subgrupos e Grupo Quociente 49 Logo, a0 ∈ ⋃ a∈G aH. Portanto, G ⊂ ⋃ a∈G aH. Consequentemente, por (i) e (ii) segue que G = ⋃ a∈G aH. Proposição 1.44. Seja G um grupo. Para quaisquer a, b ∈ G: aH = bH ⇔ a−1b ∈ H. Demonstração. (⇒) Suponha que aH = bH. Sabemos pela Proposição (1.43) que a pertence a aH, mas aH = bH, logo a ∈ bH. Disto segue que a = bh, para algum h ∈ H. Mas, a = bh⇒ a−1 = h−1b−1 ⇒ a−1b = h−1 ∈ H. Portanto, a−1b ∈ H. (⇐) Suponha a−1b ∈ H, então existe h ∈ H tal que a−1b = h. Logo, b−1a = h−1 ⇒ a = bh−1 e b = ah. (I) Mostremos agora que aH = bH. (i) aH ⊂ bH. Se y ∈ aH, qualquer, então y = ah1 I = (bh−1)h1 = b(h−1h1) ∈ bH, já que h−1h1 ∈ H, pois H é subgrupo de G. Portanto, aH ⊂ bH. (ii) bH ⊂ aH. Se y ∈ bH, qualquer, então y = bh2, para algum h2 ∈ H. Assim, y = bh2 I = (ah)h2 = a(hh2) ∈ aH, pois hh2 ∈ H uma vez que H é subgrupo de G. Portanto, bH ⊂ aH. 50 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo Assim, por (i) e (ii), segue que aH = bH. Proposição 1.45. Se aH e bH são duas classes laterais à esquerda módulo H, então aH ∩ bH = ∅ ou aH = bH. Demonstração. Suponha que aH ∩ bH 6= ∅, logo existe x ∈ aH ∩ bH, ou seja, x ∈ aH e x ∈ bH. Disto segue que existem h1, h2 ∈ H tais que ah1 = x = bh2. Mas, ah1 = bh2 ⇒ a−1b = h1h −1 2 , com h1h −1 2 ∈ H, pois H é subgrupo de G. Isto é, a−1b ∈ H. Com isto, pela Proposição (1.44), segue que aH = bH. Portanto, por dicotomia da igualdade, aH ∩ bH = ∅ ou aH = bH. Observação 1.46. Pelas Proposições (1.43), (1.45), (1.44) segue que o conjunto das classes laterais à esquerda módulo H formam uma partição 4 em G. Observação 1.47. Toda classe lateral à esquerda (ou à direita) módulo H, subgrupo de um grupo G, tem o mesmo número de elementos de H. De fato, seja g ∈ G, qualquer. De�na a seguinte aplicação: φ : H −→ gH h 7−→ φ(h) := gh. Veja que essa aplicação é bijetora, com efeito: 4Seja E um conjunto não vazio. Diz-se que uma coleção F de subconjuntos não vazios de E é uma partição de E se, e somente se: (a) Dois membros quaisquer de F ou são iguais ou são disjuntos. (b) A união dos membros de F é igual a E. Subgrupos e Grupo Quociente 51 i) φ é sobrejetora, pois: ∀y ∈ gH, temos que y = gh0, para algum h0 ∈ H. Tomando h := h0 ∈ H temos: φ(h) = φ(h0) = gh0 = y. ii) φ é injetora, pois: ∀h1, h2 ∈ H, se φ(h1) = φ(h2) então: gh1 = gh2 ⇒ g−1(gh1) = g−1(gh2)⇒ (g−1g)h1 = (g−1g)h2 ⇒ eh1 = eh2 ⇒ h1 = h2. Portanto, H e gH têm o mesmo número de elementos. De�nição 1.48. Sejam G um grupo e H subgrupo de G. A quantidade de classes laterais à esquerda (ou à direita) módulo H em G é chamada índice de H em G e denotada por (G : H). Teorema 1.49. (Teorema de Lagrange) Se H é um subgrupo de um grupo �nito G, então a ordem de H é um divisor da ordem de G. Mais ainda, |G| = (G : H) |H| . Demonstração. Digamos que |G| = m, |H| = r e (G : H) = s. Para cada g ∈ G, temos pela Observação (1.47) que a classe lateral à esquerda gH tem r elementos, pela Proposição (1.44), G = ⋃ g∈G gH e ainda pela Observação (1.47) que o conjunto das classes laterais à esquerda módulo H forma uma partição em G, segue que: m = s.r Portanto, |G| = (G : H) |H| . De�nição 1.50. Dizemos que um subgrupo N de um grupo G é um subgrupo normal quando satisfaz a seguinte propriedade xN = Nx, ∀x ∈ G, Notação: H CG. Proposição 1.51. Um subgrupo N de um grupo G é normal se, e somente se, ∀ n ∈ N, a ∈ G temos a−1na ∈ N . Demonstração. (⇒) Supondo N CG, temos que: aN = Na, ∀ a ∈ G. Agora, se n ∈ N é qualquer, então: na ∈ Na = aN ⇒ na = an′, para algum n′ ∈ N ⇒ 52 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo a−1na = a−1an′ ⇒ a−1na = n′ ∈ N ⇒ a−1na ∈ N. (⇐) (i) aN ⊂ Na. Se x ∈ aN é qualquer, então x = an, para algum n ∈ N . Temos por hipótese que xa−1 = ana−1 ∈ N . Assim, como xa−1 ∈ N , temos que xa−1 = n′ para algum n′ ∈ N e isto implica em x = xe = x(a−1a) = (xa−1)a = n′a ∈ Na. Logo, x ∈ Na. (ii) Na ⊂ aN . Se x ∈ Na é qualquer, então x = na, para algum n ∈ N . Por hipótese temos que a−1x = a−1na ∈ N . Assim, como a−1x ∈ N , temos a−1x = n′ para algum n′ ∈ N e isto implica em x = (aa−1)x = a(a−1x) = an′ ∈ aN . Logo, x ∈ aN . Portanto, de (i) e (ii) segue que aN = Na, ∀a ∈ G. Exemplo 1.52. Sejam G = {1, i,−1,−i} e H = {1,−1} como no Exemplo (1.42), de�nimos a operação xH · yH = (xy)H,∀ x, y ∈ G. Então temos a seguinte tábua Tabela 1.4: Tábua Subgrupo Normal · H iH H H iH iH iH H Portanto, H é um subgrupo normal de G, pois 1H = H1 iH = {i,−i} = Hi (−1)H = {−1, 1} = H(−1) (−i)H = {−i, i} = H(−i). Lema 1.53. Se o grupo G é abeliano, então todo subgrupo de G é normal. Demonstração. Seja N um subgrupo de G, qualquer. Para quaisquer a ∈ G e n ∈ N temos por hipótese que na = an. Assim, temos a−1na = a−1(na) = a−1(an) = (a−1a)n = en = n ∈ N e, portanto, a−1na ∈ N. Desta maneira, a−1na ∈ N , para todo a ∈ G. Logo, pela Proposição (1.51), N CG. Subgrupos e Grupo Quociente 53 De�nição 1.54. Sejam (G, ·) um grupo e N CG. De�nimos o grupo quociente, G/N , como o seguinte conjunto: G/N := {aN, a ∈ G}, munido da operação: • : G/N ×G/N −→ G/N (aN, bN) 7−→ (aN) • (bN) := (ab)N. Uma vez que G é um grupo segue que ab ∈ G, logo (ab)N ∈ G/N , isto é, a operação acima é binária e é bem de�nida, conforme vemos a seguir Sejam (aN, bN), (a′N, b′N) ∈ G/N ×G/N , tais que (aN, bN) = (a′N, b′N). Temos, (aN) · (bN) := (ab)N. e (a′N) · (b′N) := (a′b′)N. Queremos mostrar que (ab)N = (a′b′)N , o que é equivalente a (ab)−1a′b′ ∈ N . Por hipótese, { aN = a′N bN = b′N ⇒ { a−1a′ ∈ N ⇒ a−1a′ = n1, n1 ∈ N b−1b′ ∈ N ⇒ b−1b′ = n2, n2 ∈ N . (I) Agora, (ab)−1a′b′ = (b−1a−1)a′b′ = b−1(a−1a′)b′ = b−1n1b ′. (II) Como N é normal, segue que b′N = Nb′, consequentemente, como temos que n1b ′ ∈ Nb′ = b′N , segue que existe n3 ∈ N tal que: n1b ′ = b′n3. (III) Substituindo (III) em (II) e usando (I) segue que (ab)−1a′b′ = b−1(n1b ′) = b−1(b′n3) = (b−1b′)n3 = n2n3 ∈ N. Portanto, (ab)−1a′b′ ∈ N. Lema 1.55. (G/N, •) é um grupo. Demonstração. Já sabemos que a operação • está bem de�nida. Veri�quemos a associatividade e a existência dos elementos identidade e inverso. 54 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo (i) Se a, b, c ∈ G, então (aN) • [(bN) • (cN)] = (aN) • ((bc)N) = (a(bc))N = ((ab)c)N = ((ab)N) • (cN) = [(aN) • (bN)] • (cN). (ii) Assumindo e elemento identidade de G, então temos como elemento identidade de G/N a classe eN , pois para qualquer a ∈ G temos (aN) • (eN) = (ae)N = aN = (ea)N = (eN) • (aN). (iii) Dado b ∈ G, qualquer, o elemento inverso da classe bN é o elemento (b−1N): (bN) • (b−1N) = (bb−1)N = eN = (b−1b)N = (b−1N) • (bN). Observação 1.56. (i) Dados G um grupo e N um subgrupo normal de G, existe uma função sobrejetora de G em G/N , a saber, p : G → G/N a 7→ aN . Note que de fato p é uma função sobrejetora, pois cada classe K em G/N é da forma xN para algum x ∈ G, logo, tomando x em G, temos p(x) = K. (ii) Veja que pela Observação (1.46) o grupo quociente G/N é uma partição para o grupo G. Finalizamos esta seção apresentando um importante subgrupo do grupo de permu- tações Sn, a saber, o subgrupo An, chamado de grupo alternado de grau n. Para tanto inicialmente precisamos de�nir o que é uma transposição. De�nição 1.57. Sejam E = {1, 2, · · · , n} e a1, a2, · · · , an ∈ E distintos. Se f ∈ Sn é tal que: f(a1) = a2, f(a2) = f 2(a1) = a3, · · · , f(ar−1) = f r−1(a1) = ar e f(ar) = f r(a1) = a1 e f(x) = x,∀x ∈ E −{a1, · · · , ar}, então dizemos que f é um ciclo de comprimento r e que {a1, · · · , ar} é o conjunto suporte de f . Denotamos tal ciclo por: f = (a1 a2 · · · ar). Quando r = 2, chamamos tal ciclo de transposição. Se dois conjuntos suporte são disjuntos, dizemos que os respectivos ciclos são dis- juntos. Exemplo 1.58. Seja f ∈ S5, dado por: f = ( 1 2 3 4 5 4 1 3 2 5 ) . Veja que f é o ciclo f = (1 4 2), já que: f(1) = 4, f(4) = f 2(1) = 2, f(2) = f(f(4)) = f(f 2(1)) = f 3(1) = 1. O suporte de f é o conjunto {1, 2, 4}. Veja que um mesmo conjunto suporte gera ciclos diferentes. No caso de g = (2 4 1) = ( 1 2 3 4 5 2 4 3 1 5 ) , o conjunto suporte desse ciclo também é {1, 2, 4}, porém f 6= g. Subgrupos e Grupo Quociente 55 Proposição 1.59. Toda permutação f ∈ Sn, com exceção da permutação idêntica, pode ser decomposta como produto de ciclos disjuntos. Demonstração. Seja f ∈ Sn uma permutação sobre E = {1, 2, · · · , n}. Para escre- vermos f na forma de ciclos disjuntos, iniciamos escolhendo qualquer membro de E. Tomemos a1, e seja a2 = f(a1), a3 = f(f(a1)), · · · e assim sucessivamente, até chegarmos em a1 = fm(a1) para algum m. Sabemos que tal m existe pois a sequencia a1, a2, · · · deve ser �nita e portanto haverá a repetição em algum momento, digamos que f i(a1) = f j(a1), para algum i e j, onde i < j. Deste modo, a1 = fm(a1), onde m = j − i. Expressamos a relação a1, a2, · · · , am como f = (a1 a2 · · · am) · · · Os três pontos ao �nal indicam que podemos não ter esgotado o conjunto In, deste modo tomaremos um novo elemento b1, tal que b1 ainda não tenha aparecido no primeiro ciclo, e realizaremos o mesmo processo. Continuaremos esse processo até esgotarmos In. Observe que o ciclo seguinte não tem elementos em comum com os ciclos anteriores. Suponha, por absurdo, que f i(a1) = f j(b1), para algum i e j, então f j−i(a1) = b1 e, portanto, b1 = at, para algum t, o que contradiz com o modo como b1 foi escolhido por hipótese. Temos, portanto, f = (a1 a2 · · · am)(b1 b2 · · · bk) · · · (c1 c2 · · · cs). Deste modo, vemos que toda permutação pode ser escrita como o produto de ciclo disjuntos. Corolário 1.60. Se n ≥ 2, então toda permutação de Sn pode ser decomposta como um produto de transposições. Demonstração. Pela Proposição (1.59), já temos que toda permutação pode ser de- composta em ciclos disjuntos e cada ciclo pode ser decomposto em produtos de trans- posições, da seguinte maneira: (a1 a2 · · · ar) = (a1 ar)(a1 ar−1) · · · (a1 a2). Lema 1.61. Seja e a permutação identidade de Sn. Se e = β1β2 · · · βr, onde cada βj é uma transposição, então r é par. Demonstração. Suponha e = β1β2 · · · βr−2βr−1βr (1.1) Note primeiramente que r 6= 1, pois se r = 1, teríamos β1 = (ab), o que é um absurdo, pois neste caso β1 não seria a aplicação identidade. Agora, se r = 2, então já temos a decomposição par como queríamos. Suponha agora r > 2 (r − 2 > 0): Usaremos o Segundo Princípio de Indução. Para isso, suponha que �se β = β1 · · · βl então l é par� é válida para qualquer l < r. 56 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo Mostraremos que dada a decomposição e = β1β2 · · · βr−2βr−1βr, sempre é possível obter uma decomposição com r − 2 transposições. De fato: Suponha que βr é (ab). Temos as seguintes possibilidades para o produto βr−1βr, que são: 1. βr−1βr = (ab)(ab); 2. βr−1βr = (ac)(ab); 3. βr−1βr = (bc)(ab); 4. βr−1βr = (cd)(ab). Se o primeiro caso ocorrer, podemos cancelar este produto da igualdade (1.1) e obtemos uma decomposição com (r − 2)�transposições. Além disso, pelo Segundo Princípio da Indução Finita, segue que (r − 2) é par. Se acontecer os demais três casos, usando uma das igualdades: 2. βr−1βr = (ac)(ab) = (ab)(bc) 3. βr−1βr = (bc)(ab) = (ac)(cb) 4. βr−1βr = (cd)(ab) = (ab)(cd) obtemos que o elemento �a� ocorre em βr−1, ou seja, movemos o elemento a para a transposição da esquerda. Fazendo o mesmo processo para βr−2βr−1, temos que se βr−2βr−1 é a identidade, cancelamos do produto e obtemos uma decomposição com (r − 2)-transposições e portanto, pelo Segundo Princípio da Indução Finita, r é par. Caso contrário, ou seja, βr−2βr−1 não ser a identidade, mais uma vez movemos o elemento a, a saber, agora para a transposição βr−2. Continuando esse processo, necessariamente obtemos um produto de (r−2) transpo- sições, pois do contrário teríamos um produto resultando a identidade com o elemento a apenas na transposição β1, o que é absurdo, pois se �a� está apenas em β1, segue que �a� não está �xado, logo a igualdade (1.1) não seria a aplicação identidade. Portanto, sempre podemos obter a partir da igualdade (1.1) uma decomposição com (r − 2) transposições. Como (r − 2) < r, segue pela nossa hipótese de indução que (r − 2) é par. Agora se (r − 2) é par, ou seja, r − 2 = 2k, então r = 2k + 2 ⇒ r = 2(k + 1), que também é par e portanto, r é par e sendo assim, concluímos que se e = β1β2 · · · βr, então r é par, para todo r ∈ N. Teorema 1.62. Se uma permutação f pode ser expressa como um produto de um número par (ou ímpar) de transposições, então toda decomposição de f em um produto de tranposições deve ter um número par (ou ímpar) de transposições. Isto é: f = β1β2 · · · βr e f = γ1γ2 · · · γs, onde βj e γk são transposições, então r e s são ambos pares ou ambos ímpares. Demonstração. Observe que, se β1β2 · · · βr = γ1γ2 · · · γs, então: e = (γ1γ2 · · · γs)(β−1r · · · β−12 β−11 ). Então, o Lema (1.61) garante que r + s é par. Disso, segue que r e s são ambos pares ou ambos ímpares. Subgrupos e Grupo Quociente 57 De�nição 1.63. Uma permutação que pode ser expressa como um produto de um número par de transposições é chamada uma permutação par. Uma permutação que pode ser expressa como um produto de um número ímpar de transposições é chamada uma permutação ímpar. Exemplo 1.64. Em S4, se f = ( 1 2 3 4 2 3 4 1 ) , então f = (1 2 3 4) = (1 4)(1 3)(1 2) Logo, f é uma permutação ímpar. Podemos, também, acrescentar elementos sem que seja alterado o elemento �nal, se acrescentamos, por exemplo, e = (2 3)(3 2). Ou seja, podemos escrever f como f = (1 4)(1 3)(1 2)(2 3)(3 2). E ainda assim f é uma permutação ímpar. Teorema 1.65. O conjunto das permutações pares de Sn forma um subgrupo normal de Sn, que denotamos por An. Além disso, |An| = n! 2 . Demonstração. Temos pelo Lema (1.61) que a permutação identidade e de Sn é par, ou seja, e ∈ An. Ainda, se f, g ∈ An, ou seja, f e g se expressam ambas como o produto de um número par de transposições, então a composição fg também é expressa como o produto de um número par de transposições, ou seja, fg ∈ An, já que no máximo pares de transposição são cancelados. Agora se f ∈ An então f−1 também se expressa como o produto de um número par de transposições, já que podemos obter f−1 apenas considerando a expressão de f ao sentido contrário. Portanto, An é um subgrupo de Sn. Além disso, para qualquer f ∈ Sn temos as seguintes considerações sobre as classes laterais: • se f é par, então fAn = An; • se f é ímpar, então fAn = Sn − An. Também, • se f é par, então Anf = An; • se f é ímpar, então Anf = Sn − An. Sabemos também que: Sn = An ∪ (Sn − An) Logo, • se f é par, então: fAn = An = Anf ; • se f é ímpar, então: fAn = Sn − An = Anf. 58 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo Ou seja, as classes laterais à esquerda e à direita módulo An coincidem: fAn = Anf, ∀f ∈ Sn. Portanto, An é subgrupo normal de Sn. Além disso, a estrutura de grupo quociente Sn An é dada pela tábua: ◦ An fAn An An fAn fAn fAn An Com isso, segue que (Sn : An) = 2. Além disso, já sabemos que |Sn| = n!, logo pelo Teorema de Lagrange (1.49) temos: |Sn| = (Sn : An) |An|)⇒ n! = 2. |An| ⇒ |An| = n! 2 . De�nição 1.66. O grupo das permutações pares de Sn, denotado por An, é chamado de grupo alternado de grau n. Exemplo 1.67. Vejamos como de�nir A4 subgrupo de S4. S4 = { ( 1 2 3 4 1 2 3 4 ) , ( 1 2 3 4 4 3 2 1 ) , ( 1 2 3 4 4 2 3 1 ) , ( 1 2 3 4 2 1 4 3 ) , ( 1 2 3 4 1 2 4 3 ) , ( 1 2 3 4 3 2 1 4 ) ,( 1 2 3 4 2 4 3 1 ) , ( 1 2 3 4 3 1 2 4 ) , ( 1 2 3 4 1 4 2 3 ) , ( 1 2 3 4 1 3 2 4 ) , ( 1 2 3 4 2 1 3 4 ) , ( 1 2 3 4 2 4 1 3 ) ,( 1 2 3 4 1 4 3 2 ) , ( 1 2 3 4 3 2 4 1 ) , ( 1 2 3 4 4 1 3 2 ) , ( 1 2 3 4 4 3 1 2 ) , ( 1 2 3 4 4 1 2 3 ) , ( 1 2 3 4 4 2 1 3 ) ,( 1 2 3 4 2 3 4 1 ) , ( 1 2 3 4 3 4 1 2 ) , ( 1 2 3 4 1 3 4 1 ) , ( 1 2 3 4 2 3 1 4 ) , ( 1 2 3 4 3 1 4 2 )( 1 2 3 4 3 4 2 1 ) } Veja que podemos reescrever os elementos de S4 como ciclos disjuntos, deste modo, teremos: S4 = {e, (1 4)(2 3), (1 4), (1 2)(3 4), (3 4), (1 3), (1 4)(1 2), (1 2)(1 3), (2 3)(2 4), (2 3), (1 2), (1 3)(1 4)(1 2), (2 4), (1 4)(1 3), (1 2)(1 4), (1 3)(1 2)(1 4), (1 2)(1 3)(1 4), (1 3)(1 4), (1 4)(1 3)(1 2), (1 3)(2 4), (2 4)(2 3), (1 3)(1 2), (1 2)(1 4)(1 3), (1 4)(1 2)(1 3)}. Sabemos que os elementos de A4 são os que possuem um número par de composi- ções, ou seja, A4 = {e, (1 4)(2 3), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(1 2), (1 2)(1 3), (2 3)(2 4), (1 4)(1 3), (1 2)(1 4), (1 3)(1 4), (2 4)(2 3), (1 3)(1 2)}. Homomor�smo e Isomor�smo 59 1.3 Homomor�smo e Isomor�smo De�nição 1.68. Dá-se o nome de homomor�smo de um grupo (G, ·) em um grupo (J,4) a toda aplicação f : G→ J tal que, quaisquer que sejam x, y ∈ G: f (x · y) = f (x)4 f (y) . Se além disso, f é bijetora, então dizemos que f é um isomor�smo. Exemplo 1.69. Seja f : Z → Zn, dada por f (x) = x̄ onde Zn = { 0, 1, 2, . . . , n− 1 } (Classes módulo n) é um grupo com a operação a+n b = a+ b. Temos que f (a+ b) = a+ b = a+n b = f (a) +n f (b) . Logo, f é um homomor�smo. Exemplo 1.70. Dado f : M2×2 (R)→ R dado por f ( a b c d ) = a Veri�caremos se f é um homomor�smo: f [( a1 b1 c1 d1 ) + ( a2 b2 c2 d2 )] = f ( a1 + a2 b1 + b2 c1 + c2 d1 + d2 ) = a1 + a2 = = f ( a1 b1 c1 d1 ) + f ( a2 b2 c2 d2 ) . Exemplo 1.71. Se G = J = (Z,+), então f : G→ J , f (x) = 2x é um homomor�smo de grupos pois, f (x+ y) = 2x+ 2y = f (x) + f (y), ∀ x, y ∈ G. Exemplo 1.72. Sejam G = (Q∗, ·) e J = (R∗, ·), então f : Q∗ → R∗, f (x) = x2 é um homomor�smo de grupos, pois f (x · y) = (x · y)2 = x2 · y2 = f (x) · f (y) ,∀x, y ∈ Q∗. Exemplo 1.73. Sejam G = (R× R,+) , J = (R∗, ·) e g : R×R→ R∗, g (x, y) = 2(x−y). Para quaisquer (x, y) , (z, w) ∈ R× R, temos g ((x, y) + (z, w)) = g (x+ z, y + w) = 2(x+z)−(y+w) = 2(x−y)+(z−w) = 2(x−y) · 2(z−w) = g (x, y) · g (z, w) . Logo, g é um homomor�smo de G em J . Exemplo 1.74. Se G é um grupo e N é subgrupo normal de G então a aplicação p : G→ G/N da Observação (1.56) é um homomor�smo. De fato, ∀a, b ∈ G, p(ab) = (ab)N = (aN) ∗ (bN) = p(a) ∗ p(b). Exemplo 1.75. A função f (x) = log(x) é um isomor�smo de G = ( R∗+, . ) em J = (R,+) pois i) f : R∗+ → R, f (x) = log(x) é bijetora; 60 Sobre a Estrutura Algébrica: Grupo ii) Para quaisquer x, y ∈ R∗+, temos f (x · y) = log(x · y) = log (x) + log (y) = f (x) + f (y) . Exemplo 1.76. Sejam C = { M ∈ GL2 (R) | M = ( a b −b a ) : a, b ∈ R } e f : (C, .)→ (C∗, .) dada por f (( a b −b a )) = a+ bi. Então, f é um isomor�smo. De fato, f é bijetora, além disso f (( a b −b a ) · ( c d −d c )) = f (( ac− bd ad+ bc −bc− ad −bd+ ac )) = (ac− bd) + (ad+ bc)i = (a+ bi).(c+ di) = f (( a b −b a )) .f (( c d −d c )) . Analisaremos agora como estão relacionados alguns grupos de simetria e permuta- ções estudados nos capítulos anteriores. Vejamos os exemplos abaixo de isomor�smos entre grupos de permutação e simetria. Exemplo 1.77. Veja que existe um isomor�smo entre o Grupo de Simetrias do Tri- ângulo Equilátero D3, Exemplo (1.21), com o Grupo das Permutações S3, Exemplo (1.18), via a correspondência: f0 ↔ ρ0, f1 ↔ ρ1, f2 ↔ ρ2, g1 ↔ µ1, g2 ↔ µ2 e g3 ↔ µ3. Ainda, comparando as Tabelas (1.1) e (1.5) vemos que existe uma analogia entre as operações. Tabela 1.5: Tábua do Grupo das Permutações S3 ◦ f0 f1 f2 g1 g2 g3 f0 f0 f1 f2 g1 g2 g3 f1 f1 f2 f0 g3 g1 g2 f2 f2 f0 f1 g2 g3 g1 g1 g1 g2 g3 f0 f1 f2 g2 g2 g3 g1 f2 f0 f1 g3 g3 g1 g2 f1 f2 f0 Tabela 1.6: Tábua do Grupo de Simetrias D3 ◦ ρ0 ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3 ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3 ρ1 ρ1 ρ2 ρ0 µ3 µ1 µ2 ρ2 ρ2 ρ0 ρ1 µ2 µ3 µ1 µ1 µ1 µ2 µ3 ρ0 ρ1 ρ2 µ2 µ2 µ3 µ1 ρ2 ρ0 ρ1 µ3 µ3 µ1 µ2 ρ1 ρ2 ρ0 Homomor�smo e Isomor�smo 61 Exemplo 1.78. Enumerando os vértices de um tetraedro com os números 1, 2, 3 e 4, como na Figura (1.9) , cada simetria rotacional determina uma permutação do conjunto E = {1, 2, 3, 4}, ou seja, cada simetria determina um elemento de A4. Figura 1.9: Isomor�smo do Grupo de Simetrias do Tetraedro Fonte: Elaborada pela autora. Por exemplo, a rotação r, induz a permutação cíclica (234) = (24)(23) ∈ A4 e s induz a permutação (14)(23) ∈ A4. Além disso, se duas rotações, r, s induzem as permutações f, g, respectivamente, então rs induz a permutação f ◦ g. Portanto a correspondência simetria rotacional→ permutação induzida de�ne um isomor�smo entre o grupo de Simetria do Tetraedro e o subgrupo A4 de S4. No próximo capítulo utilizamos as noções básicas de um grupo, aqui apresentadas, para tratar de ação de um grupo sobre um conjunto. 2 Ação de Grupo sobre Conjuntos Neste capítulo abordamos de�nições e propriedades envolvendo ação de um grupo em um conjunto. Este tópico é necessário para estudar o Teorema de Burnside o qual tomamos como referência base [13]. 2.1 Noção de uma Ação de Grupo De�nição 2.1. De�nimos uma operação binária ∗ sobre um conjunto S, como sendo uma função ∗ : S × S → S tal que para qualquer (s1, s2) ∈ S × S tem-se s1 ∗ s2 ∈ S. De�nição 2.2. Sejam X um conjunto e (G, .) um grupo. Uma ação de G em X é uma aplicação ∗ : G×X → X (g, x) 7→ ∗(g, x) := g ∗ x de tal modo que: (i) e ∗ x = x,∀x ∈ X; (ii) (g1g2) ∗ x = g1 ∗ (g2 ∗ x), ∀x ∈ X e ∀g1, g2 ∈ G. Além disso, dizemos que X é um G�conjunto se existir uma ação do grupo G no conjunto X, ou seja, um G�conjunto é uma terna (X,G, ∗) formada pelo conjunto X, pelo grupo G e por uma ação ∗. Exemplo 2.3. Se X é um conjunto qualquer e H é um subgrupo do grupo SX de todas as permutações de X então X é um H�conjunto, em que ação é dada por: H ×X −→ X (σ, x) 7−→ σ ∗ x := σ(x). Veja que, de fato ∗ é uma ação de H em X, pois: 1) ∀x ∈ X, e ∗ x := e(x) = x, em que e é a aplicação identidade de X em X. 2) ∀σ1, σ2 ∈ H,∀x ∈ X : (σ1σ2) ∗ x = (σ1σ2)(x) = σ1(σ2(x)) = σ1 ∗ (σ2(x)) = σ1 ∗ (σ2 ∗ x). 63 64 Ação de Grupo sobre Conjuntos Nosso primeiro teorema mostra que para todo G�conjunto X e para cada g ∈ G, a função σg : X → X de�nida por σg(x) := g ∗ x é uma permutação de X, e que existe um homomor�smo φ : G→ SX , de modo que a ação de G em X pode ser vista como a ação dada no Exemplo (2.3), ou seja, como a ação do subgrupo H = φ(G) de SX em X. Portanto, as ações dos subgrupos de SX em X descrevem todas as ações de grupo possíveis em X. Teorema 2.4. Sejam (G, .) um grupo e X um G�conjunto. Para a função σg : X → X de�nida por σg(x) := g ∗ x,∀x ∈ X e ∀g ∈ G, são válidas as seguintes a�rmações: i) σg ∈ SX ; ii) A aplicação φ : G → SX de�nida por φ(g) = σg é um homomor�smo tal que φ(g)(x) := g ∗ x. Demonstração. i) Seja X um G�conjunto e para cada g ∈ G de�na σg : X → X por σg(x) := g ∗ x. Mostremos que σg ∈ SX , ou seja, σg é uma bijeção. De fato, 1) σg é injetora, pois para quaisquer x1, x2 ∈ X, temos: σg(x1) = σg(x2)⇒ g ∗ x1 = g ∗ x2 ⇒ g−1 ∗ (g ∗ x1) = g−1 ∗ (g ∗ x2)⇒ (g−1g) ∗ (x1) = (g−1g) ∗ (x2)⇒ e ∗ x1 = e ∗ x2 ⇒ x1 = x2. 2) σg é sobrejetora, pois dado x ∈ X, tomemos a = g−1 ∗ x ∈ X, temos: σg(a) = σg(g −1 ∗ x) = g ∗ (g−1 ∗ x) = (gg−1) ∗ x = e ∗ x = x. Portanto, por (1) e (2) temos que σg é bijetora. ii) Mostremos agora que a aplicação φ : G → SX , dada por φ(g) = σg é um homo- mor�smo de grupos, em que σg : X → X é tal que σg(x) = g ∗ x. Sejam g1 e g2 ∈ G, quaisquer, queremos mostrar a seguinte igualdade de aplica- ções em SX : φ(g1g2) = φ(g1) ◦ φ(g2). Façamos isto: para quaisquer x ∈ X, temos: φ(g1g2)(x) = σg1g2(x) = (g1g2) ∗ x = g1 ∗ (g2 ∗ x) = g1 ∗ (σg2(x)) = σg1(σg2(x)) = (σg1 ◦ σg2)(x) = (φ(g1) ◦ φ(g2))(x). Noção de uma Ação de Grupo 65 Veja ainda que, para todo x ∈ X,φ(g)(x) = σg(x) = g ∗ x. A partir do Teorema (2.4) podemos concluir que toda ação pode ser vista como a imagem de um homomor�smo sobre SX . Observação 2.5. Quando nos referirmos a um G�conjunto estará implícito que (G, ·) é um grupo. Lema 2.6. Se X é um G�conjunto, então o subconjunto N de G que deixa todo ele- mento de X �xo é um subgrupo normal de G. Em outras palavras, o subconjunto N = {g ∈ G : g ∗ x = x, ∀x ∈ X} e tal que N / G. Demonstração. Primeiro veri�camos que N é subgrupo de G. i) Como e ∗ x = x, ∀x ∈ X, segue que e ∈ N . ii) Dados, a, b ∈ N , temos: (ab) ∗ x = a ∗ (b ∗ x) = a ∗ x = x,∀x ∈ X. Logo, ab ∈ N . iii) ∀a ∈ N, a−1 ∈ N , pois a−1 ∗ x = a−1 ∗ (a ∗ x) = (a−1a) ∗ x = e ∗ x = x,∀x ∈ X. Portanto, N é subgrupo de G. Agora veri�camos que N é subgrupo normal de G. Para quaisquer g ∈ G, a ∈ N e x ∈ X, temos: (gag−1) ∗ x = g(ag−1) ∗ x = g ∗ ((ag−1) ∗ x) = g ∗ (a ∗ (g−1 ∗ x)) = g ∗ (g−1 ∗ x) = (gg−1) ∗ x = e ∗ x = x. Portanto, gag−1 ∈ N , logo N é subgrupo normal de G. Observação 2.7. Como N é subgrupo normal de G podemos de�nir o grupo quociente G N . Se X é um G�conjunto, então podemos olhar X como um 66 Ação de Grupo sobre Conjuntos G N �conjunto considerando a seguinte aplicação: 1 ? : G N ×X → X (gN, x) 7→ (gN) ? x = g ∗ x Mostremos que ? é uma ação de G N sobre X. i) eG N ? x = (eN) ? x = e ∗ x = x,∀x ∈ X. ii) ∀ g1N, g2N ∈ G N e ∀x ∈ X, temos: (g1Ng2N) ? x = (g1g2N) ? x = (g1g2) ∗ x = g1 ∗ (g2 ∗ x) = g1 ∗ (g2N ? x) = g1N ? (g2N ? x) = g1N ? (g2N ? x). Logo, ? é uma ação de G N sobre X. De�nição 2.8. No contexto do Lema (2.6) dizemos que G age �elmente sobre X quando: N = {g ∈ G : g ∗ x = x,∀x ∈ X} = {e}. De�nição 2.9. Dizemos que um grupo G é transitivo sobre um G�conjunto X se para cada x1, x2 ∈ X, existe g ∈ G tal que: g ∗ x1 = x2. De�nição 2.10. Se A é um conjunto qualquer, então um subgrupoH de SA é transitivo sobre A se para quaisquer a, b ∈ A existe σ ∈ H tal que σ(a) = b. Lema 2.11. No contexto do Teorema (2.4), G é transitivo se, e somente se, o subgrupo φ(G) de SX é transitivo sobre X. Demonstração. (⇒) Temos que G é transitivo sobre o G�conjunto X, isto é, para todo x1, x2 ∈ X existe g0 ∈ G tal que g0 ∗ x1 = x2. 1 · operação do grupo ∗ operação da ação ? operação de G N de�nida. Noção de uma Ação de Grupo 67 Queremos mostrar que φ(G) = {σg, g ∈ G} (que é subgrupo de SX) é transitivo sobre X, isto é, para todo x1, x2 ∈ X, existe σg ∈ φ(G) tal que, σg(x1) = x2, ou seja, g ∗ x1 = x2. Veja que por hipótese, para quaisquer x1, x2 ∈ X existe g0 ∈ G tal que g0 ∗ x1 = x2. Assim temos σg0(x1) = x2 isto é, φ(G) é transitivo sobre X. (⇐) Temos que o subgrupo φ(G) de SX é transitivo sobre X, ou seja, para todo x1, x2 ∈ X, existe σg ∈ φ(G) | σg(x1) = x2. Assim, existe g ∈ G tal que g ∗ x1 = x2, isto é, G é transitivo sobre X. Exemplo 2.12. Todo grupo (G, ·) é um G�conjunto, ou seja, todo grupo age sobre ele próprio. A ação neste caso é a própria operação do grupo. Para todos g1, g2 ∈ G, de�nimos g1 ∗ g2 = g1g2. Veja que de fato tal operação é uma ação sobre G, pois i) e ∗ g = e(g) = g,∀g ∈ G. ii) ∀g1, g2, g ∈ G : (g1g2) ∗ g = (g1g2)g = g1(g2g) = g1 ∗ (g2g) = g1 ∗ (g2 ∗ g). Além disso, se H é um subgrupo de (G, ·) podemos olhar G como H�conjunto, cuja ação é dada por: ∀h ∈ H,∀g ∈ G : h ∗ g = hg. Veja que de fato tal aplicação é uma ação: i) e ∗ g = eg = g,∀g ∈ G; ii) (h1h2) ∗ g = (h1h2)g = h1(h2g) = h1 ∗ (h2g) = h1 ∗ (h2 ∗ g),∀h1, h2 ∈ H,∀g ∈ G. Exemplo 2.13. Se H é um subgrupo de (G, ·) então G é um H�conjunto, cuja a ação é dada pela seguinte conjugação: h ∗ g = hgh−1. Veja que de fato tal operação é uma ação: i) e ∗ g = ege−1 = ege = eg = g,∀g ∈ G; 68 Ação de Grupo sobre Conjuntos ii) ∀h1, h2 ∈ H,∀g ∈ G, (h1h2) ∗ g = (h1h2)g(h1h2) −1 = (h1h2)g(h2 −1h1 −1) = h1(h2gh2 −1)h1 −1 = h1(h2 ∗ g)h1 −1 = h1 ∗ (h2 ∗ g). Exemplo 2.14. Se H é um subgrupo de G e LH é o conjunto de todas as classes laterais de H, então LH é um G�conjunto, com a ação de cada elemento g em G na classe lateral à esquerda xH dada por ∗ : G× LH −→ LH (g, xH) 7→ g ∗ (xH) := (gx)H. Veja que a operação (∗) está bem de�nida, ou seja, se (g, xH) = (g′, yH), então g ∗ (xH) = g′ ∗ (yH), pois (g, xH) = (g′, yH) ⇒ g = g′ e xH = yH daí: g = g′ e x−1y ∈ H. Como x−1y ∈ H ⇒ x−1y = h, h ∈ H ⇒ y = xh, h ∈ h. Assim: g′ ∗ (yH) = g ∗ (yH) = (gy)H = g(xh)H = (gx)(hH) = (gx)H = g ∗ (xH). Exemplo 2.15. Seja G o grupo D4 = {ρ0, ρ1, ρ2, ρ3, µ1, µ2, δ1, δ2} de simetria do qua- drado cuja tábua é dada por Tabela 2.1: Tábua Composição em D4 ◦ ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 δ1 δ2 µ1 µ2 ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 δ1 δ2 µ1 µ2 ρ1 ρ1 ρ2 ρ3 ρ0 µ1 µ2 δ2 δ1 ρ2 ρ2 ρ3 ρ0 ρ1 δ2 δ1 µ2 µ1 ρ3 ρ3 ρ0 ρ1 ρ2 µ2 µ1 δ1 δ2 δ1 δ1 µ2 δ2 µ1 ρ0 ρ2 ρ3 ρ1 δ2 δ2 µ1 δ1 µ2 ρ2 ρ0 ρ1 ρ3 µ1 µ1 δ1 µ2 δ2 ρ1 ρ3 ρ0 ρ2 µ2 µ2 δ2 µ1 δ1 ρ3 ρ1 ρ2 ρ0 Considere a seguinte con�guração no quadrado: em que 1, 2, 3, 4 indicam os vértices, s1, s2, s3, s4 os lados do quadrado, d1, d2 as diago- nais, m1 e m2 os eixos vertical e horizontal, respectivamente, C é o centro do quadrado e Pi os respectivos pontos médios dos lados si, ∀i ∈ {1, 2, 3, 4}. Nessa con�guração veja que ρi são rotações de π 2 i radianos no sentido anti-horário, µi são re�exões sobre os eixos mi e δi são re�exões sobre as diagonais di, respectiva- mente. Considere o seguinte conjunto: X = {1, 2, 3, 4, s1, s2, s3, s4,m1,m2, d1, d2, C, P1, P2, P3, P4}. Noção de uma Ação de Grupo 69 Figura 2.1: Objetos no Quadrado Fonte: Elaborada pela autora. Veja que, X é um D4-conjunto em que a ação ∗ : D4 × X −→ X é dada pela seguinte Tabela (2.2). Tabela 2.2: Tábua de X como um D4�conjunto ∗ 1 2 3 4 s1 s2 s3 s4 m1 m2 d1 d2 C P1 P2 P3 P4 ρ0 1 2 3 4 s1 s2 s3 s4 m1 m2 d1 d2 C P1 P2 P3 P4 ρ1 2 3 4 1 s2 s3 s4 s1 m2 m1 d2 d1 C P2 P3 P4 P1 ρ2 3 4 1 2 s3 s4 s1 s2 m1 m2 d1 d2 C P3 P4 P1 P2 ρ3 4 1 2 3 s4 s1 s2 s3 m2 m1 d2 d1 C P4 P1 P2 P3 µ1 2 1 4 3 s1 s4 s3 s2 m1 m2 d2 d1 C P1 P4 P3 P2 µ2 4 3 2 1 s3 s2 s1 s4 m1 m2 d2 d1 C P3 P2 P1 P4 δ1 3 2 1 4 s2 s1 s4 s3 m2 m1 d1 d2 C P2 P1 P4 P3 δ2 1 4 3 2 s4 s3 s2 s1 m2 m1 d1 d2 C P4 P3 P2 P1 Por exemplo, µ1 ∗ 1 = 2, µ1 ∗m2 = m2, µ1 ∗ d1 = d2, µ1 ∗ s2 = s4, µ1 ∗ C = C, µ1 ∗ P2 = P4. 70 Ação de Grupo sobre Conjuntos 2.2 Subgrupos de Isotropia Sendo X um G�conjunto, x ∈ X e g ∈ G, é importante saber quando g ∗ x = x. No que segue denotamos: Xg = {x ∈ X | g ∗ x = x} e Gx = {g ∈ G | g ∗ x = x}. Exemplo 2.16. Para o D4�conjunto X do Exemplo (2.15), temos: Xρ0 = X, Xρ1 = {C}, Xρ2 = {m1,m2, d1, d2, C}, Xρ3 = {C}, Xδ1 = {2, 4, d1, d2, C}, Xδ2 = {1, 3, d1, d2, C}, Xµ1 = {s1, s3,m1,m2, C, P1, P3} e Xµ2 = {s2, s4,m1,m2, C, P2, P4}. E G1 = {ρ0, δ2}, G2 = {ρ0, δ1}, G3 = {ρ0, δ2}, G4 = {ρ0, δ1}, GC = D4, Gs1 = {ρ0, µ1}, Gs2 = {ρ0, µ2}, Gs3 = {ρ0, µ1}, Gs4 = {ρ0, µ2}, Gm1 = {ρ0, ρ2, µ1, µ2}, Gm2 = {ρ0, ρ2, µ1, µ2}, Gd1 = {ρ0, ρ2, δ1, δ2}, Gd2 = {ρ0, ρ2, δ1, δ2}, GP1 = {ρ0, µ1}, GP2 = {ρ0, µ2}, GP3 = {ρ0, µ1} e GP4 = {ρ0, µ2}. Teorema 2.17. Se X é um G�conjunto, então Gx é subgrupo de G, para todo x ∈ X. Demonstração. ∀x ∈ X, i) Como e ∗ x = x, segue que e ∈ Gx. ii) Se g1, g2 ∈ Gx quaisquer, então g1 ∗ x = x e g2 ∗ x = x. Consequentemente, (g1g2) ∗ x = g1 ∗ (g2 ∗ x) = g1 ∗ x = x. Logo, g1g2 ∈ Gx. iii) ∀g ∈ Gx, x = e ∗ x = (g−1g) ∗ x = g−1 ∗ (g ∗ x) = g−1 ∗ x⇒ g−1 ∗ x = x. Logo, g−1 ∈ Gx. Portanto, Gx é subgrupo de G. De�nição 2.18. Sejam X um G�conjunto e x ∈ X, qualquer. O subgrupo Gx é chamado subgrupo de isotropia de x. Órbita 71 2.3 Órbita Teorema 2.19. Seja X um G�conjunto. De�na a seguinte relação: ∀x1, x2 ∈ G, x1 ∼ x2 ⇐⇒ ∃g ∈ G : g ∗ x1 = x2. A relação ∼ é de equivalência em X. Demonstração. Devemos mostrar que ∼ é uma relação de equivalência. Com efeito, i) Re�exiva: ∀x ∈ X, temos e ∗ x = x, em que e ∈ G, logo x ∼ x. ii) Simétrica: Suponha x1 ∼ x2, logo existe g ∈ G tal que g ∗ x1 = x2. Então, x2 = g ∗ x1 ⇒ g−1 ∗ x2 = g−1 ∗ (g ∗ x1) = (g−1g) ∗ x1 = e ∗ x1 = x1 ⇒ g−1 ∗ x2 = x1, em que g−1 ∈ G, ou seja, x2 ∼ x1. iii) Transitiva: Se x1 ∼ x2 e x2 ∼ x3, temos: g1 ∗ x1 = x2 e g2 ∗ x2 = x3, para determinados g1, g2 ∈ G. Então, (g2g1) ∗ x1 = g2 ∗ (g1 ∗ x1) = g2 ∗ x2 = x3 ⇒ g ∗ x1 = x3, em que g = g2g1 ∈ G, ou seja, x1 ∼ x3. De�nição 2.20. Seja X um G�conjunto. Cada classe de equivalência descrito no Teorema (2.19) é uma órbita sobre G. Se x ∈ X, a classe contendo x é uma órbita sobre x, denotada por G ∗ x. Observação 2.21. • Denotamos |X| o número de elementos de um G�conjunto X. • Quando G é grupo o número de elementos de G, ou seja, |G| também é chamado de ordem de G. Teorema 2.22. Se X é um G�conjunto e x ∈ X, então |G ∗ x| = (G : Gx). Além disso, se |G| é �nito, então |G ∗ x| é um divisor de |G| . 72 Ação de Grupo sobre Conjuntos Demonstração. Vamos de�nir uma correspondência biunívoca ψ entre G ∗ x e a coleção ζ das classes laterais à esquerda de Gx em G, a saber, ψ : G ∗ x −→ ζ x1 7→ ψ(x1) = g1Gx, veja que, como x1 ∈ G ∗ x, então existe g1 ∈ G tal que g1 ∗ x = x1. Ou seja, ψ(x1) é classe lateral à esquerda de g1 com relação a Gx, isto é, ψ(x1) = g1Gx. Devemos mostrar que ψ está bem de�nida, ou seja, independente da escolha de g1 ∈ G tal que g1 ∗ x = x1. Suponha que g′1 ∈ G seja tal que g′1 ∗ x = x1, então g1 ∗ x = x1 = g′1 ∗ x⇒ g1 ∗ x = g′1 ∗ x assim, g−11 ∗ (g1 ∗ x) = g−11 ∗ (g′1 ∗ x)⇒ ⇒ (g−11 g1) ∗ x = (g−11 g′1) ∗ x ⇒ e ∗ x = (g−11 g′1) ∗ x ⇒ x = (g−11 g′1) ∗ x. Sendo assim, g−11 g′1 ∈ Gx, logo g1Gx = g′1Gx. Portanto, ψ está bem de�nida. Mostraremos agora que ψ é sobrejetora. Para isso seja y ∈ ψ qualquer. Como y ∈ ψ então y = g1Gx, para algum g1 ∈ G. Tomemos a = g1 ∗ x, logo ψ(a) = ψ(g1 ∗ x) = g1Gx = y. Portanto, ψ é sobrejetora. Mostraremos agora que ψ é injetora. Para isso suponha que, x1, x2 ∈ G ∗X, com ψ(x1) = ψ(x2). Logo, g1Gx = g2Gx, em que g1, g2 ∈ G são tais que g1 ∗ x = x1 e g2 ∗ x = x2. Agora, g2 ∈ g2Gx = g1Gx ⇒ g2 ∈ g1Gx, ou seja, g2 = g1g para algum g ∈ Gx. Assim: x2 = g2 ∗ x = (g1g) ∗ x = g1 ∗ (g ∗ x) = g1 ∗ x = x1 ⇒ x1 = x2. Portanto, ψ é injetora. Consequentemente, ψ é bijetora. Se G é �nito, então o número de classes laterais sobre Gx, (G : Gx), é �nito e então, da bijetividade de ψ, segue que, |G ∗ x| = (G : Gx). Assim, pelo Teorema de Lagrange temos: |G| = (G : Gx) |Gx| = |G ∗ x| |Gx| . Logo, |G ∗ x| é um divisor de |G| . Exemplo 2.23. Seja X o D4�conjunto do Exemplo (2.15), cuja a ação estabelecida na Tabela (2.2). Denotando G = D4, temos: G ∗ 1 = {1, 2, 3, 4} e G1 = {ρ0, δ2}. Órbita 73 Uma vez que |G| = 8 e pelo Teorema de Lagrange (1.49), temos: |G| = (G : G1).|G1| ⇒ 8 = (G : G1).2⇒ 8 2 = (G : G1)⇒ 4 = (G : G1). Assim, pelo Teorema (2.22): |G ∗ x| = (G : G1) = 4, o que já era de se esperar, pois G ∗ 1 = {1, 2, 3, 4}. 3 Sobre o Teorema de Burnside e Aplicações Neste capítulo exploramos o Teorema de Burnside. Antes apresentamos uma breve biogra�a do autor desse resultado, a saber: William Burnside. Detalhes sobre este assunto e demais considerações podem ser encontrados em [13, 18, 25]. 3.1 Biogra�a de William Burnside Figura 3.1: William Burnside Fonte: Imagem retirada da referência [39]. William Burnside nasceu em 2 de julho de 1852, em Paddington, Londres. Seus pais eram Emma e William. No entanto, Burnside �cou órfão aos seis anos de idade. Com isso, foi educado no Christ's Hospital onde se destacou em gramática e Matemática. Em outubro de 1871, depois de ganhar uma bolsa de estudos, ele entrou no St. John's College, Cambridge. Em 1873, mudou de St. John's College para o Pembroke College (Universidade de Cambridge), não por razões acadêmicas, mas porque o St. John's College tinha uma equipe de remo tão excelente que Burnside não era bom o su�ciente para participar dessa equipe. Porém, ele poderia participar da equipe de Pembroke, então se mudou para lá, formando- se em 1875 como segundo wrangler, ou seja, a pessoa com notas mais altas. Logo após, ele foi nomeado professor em Cambridge. 75 76 Sobre o Teorema de Burnside e Aplicações Figura 3.2: St. John's College e Pembroke College- Cambridge Fonte: Imagens retiradas das referências [36] e [27]. Burnside foi bem instruído, pois entre seus professores em Cambridge estavam Sto- kes, Adams e Maxwell em Matemática Aplicada e Cayley em Matemática Pura. Eles deveriam in�uenciar bastante a direção que a pesquisa de Burnside deveria tomar, po- rém uma decisão tomada por causa do remo foi amplamente responsável pela direção que Burnside tomou em seu ensino e pesquisa Matemática. Burnside foi o primeiro a conquistar o Prêmio Smith, prêmio para estudantes pesquisadores de física teórica, Matemática e Matemática Aplicada da Universidade de Cambridge. Figura 3.3: Oxford And Cambridge University Boat Race Finish, 1892 Fonte: Imagem retirada da referência [26]. Biogra�a de William Burnside 77 Ele lecionou hidrodinâmica, mas seu primeiro artigo, publicado em 1883, considerou funções elípticas. Depois em 1885, ele então aceitou uma posição no Royal Naval College em Greenwich e passou o resto de sua carreira nesse cargo. Mesmo não tendo se destacado nas equipes de remo das universidades, Burnside manteve o interesse em remar e depois em pescar. Em 1886, casou-se com Alexandrina Urquhart tendo dois �lhos e três �lhas. Grande parte do trabalho de Burnside sobre hidrodinâmica envolvia o uso de variá- veis complexas e, em artigos de 1891 e 1892, ele abordou o grupo linear de transforma- ções fracionárias de uma variável complexa. No entanto, foi em 1893 que ele publicou seu primeiro artigo sobre grupos simples �nitos, mostrando que o grupo alternado A5 é o único grupo simples �nito cuja ordem é o produto de quatro primos (não neces- sariamente distintos). Seu trabalho rapidamente se voltou para o estudo de grupos e, a partir de 1894, ele estava ocupado quase inteiramente com o estudo da teoria de grupos. Por exemplo, ele provou em um artigo publicado em 1895 que se um grupo de ordem par possui um subgrupo cíclico de Sylow, então o grupo não pode ser simples. Seu trabalho sobre teoria de grupos progrediu rapidamente e, em 1897, ele publicou The Theory of Groups of Finite Order, o primeiro tratado sobre teoria de grupos em inglês. Em 1899 Burnside foi eleito para o Conselho da Sociedade Matemática de Londres e no mesmo ano a Sociedade lhe concedeu a Medalha De Morgan1. Figura 3.4: 1899 - Medalha De Morgan Fonte: Imagem retirada da internet2. Agora examinaremos algumas contribuições de Burnside à teoria dos grupos. Fro- benius iniciou seu desenvolvimento da teoria da representação de grupos e da teoria da caracterização em 1896. Burnside rapidamente reconheceu a importância dos métodos de Frobenius e começou a usar a teoria da caracterização. Um de seus resultados mais importantes, a saber, que grupos de ordem pm · qn são solúveis, apareceram em 1904. Casos especiais desse resultado foram comprovados por Sylow (o caso n = 0 em 1872), 1Prêmio concedido para contribuições gerais à Matemática. Disponível em: . Acesso: 8 dez. 2020. 2Disponível em: . Acesso: 3 jun. 2020. 78 Sobre o Teorema de Burnside e Aplicações Frobenius (o caso n = 1 em 1895) e Jordan (o caso n = 2 em 1898). Burnside conjec- turou que todo grupo �nito de ordem ímpar é solúvel, porém falhou ao tentar provar esse resultado o qual só foi provado em 1962 por Feit e Thompson. Um exemplo de relevância em seu trabalho está no problema que carrega seu nome, responsável por abordar sobre a �nitude de grupos quando os elementos �xam ordens �nitas(Tema alvo do livro The Theory of Groups of Finite Order − Burnside, 1897). Sendo este objeto de trabalho do medalhista de Campos E. Zelmanov. Figura 3.5: The Theory of Groups of Finite Order Fonte: Imagem retirada da referência [4]. De fato, nos últimos anos de sua vida, ele se voltou para a teoria das probabilidades e seu primeiro artigo sobre o assunto apareceu em 1918. Ele deixou um manuscrito completo de um livro sobre probabilidades que foi publicado como The Theory of Probability no ano seguinte à sua morte. Em 22 de dezembro de 1925, Burnside teve um derrame, o qual foi aconselhado por uma junta médica a se afastar do seu interesse pela Matemática. Porém, Burnside voltou à sua Matemática, publicando em On a group of order 25920 and the projective transformation of a cubic surface no �nal daquele ano. Burnside foi o primeiro que conjecturou que um grupo G de ordem ímpar possui uma série de subgrupos normais, G = G0 ≥ G1 ≥ G2 ≥ · · · ≥ Gn = {e}, de modo que Gi/Gi+1 é abeliano. Essa conjectura foi comprovada, mais de 50 anos depois, por Feit e Thompson em um artigo de 255 páginas. Burnside morreu em 21 de agosto de 1927. Essa biogra�a foi baseada nas referências: (JOSEPH, p.505) [18] e o site MacTutor [25]. Problematização Inicial 79 3.2 Problematização Inicial Após a biogra�a apresentamos a baixo um exemplo ilustrativo e um tanto quanto interessante, sobre as variedades de aplicações sobre o Teorema de Burnside. Exemplo 3.1. Neste exemplo apresentamos uma aplicação de G�conjunto para a contagem. Suponha, por exemplo, que desejamos contar de quantas maneiras dis- tintas as seis faces de um