UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA DE BAURU PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA Análise dinâmica de um modelo matemático não-linear e não-ideal de um dispositivo MagLev para a coleta de energia do meio ambiente Autor: Hassan Costa Arbex Orientador: Professor Titular José Manoel Balthazar Bauru, 2016 SP, Brasil UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA DE BAURU PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA Análise dinâmica de um modelo matemático não-linear e não-ideal de um dispositivo MagLev para a coleta de energia do meio ambiente Autor: Hassan Costa Arbex Orientador: Professor Titular José Manoel Balthazar Curso: Engenharia Mecânica Área de concentração: Projetos Mecânicos Tese de Doutorado a ser apresentada como exame geral de qualificação do Programa de PósGradu- ação em Engenharia Mecânica da Faculdade de Engenharia de Bauru - UNESP, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Doutor em Engenharia Mecânica. Bauru, 2016 SP, Brasil Arbex, Hassan Costa. Análise dinâmica de um modelo não-linear e não- ideal de um dispositivo MagLev para coleta de eneriga do meio ambiente / Hassan Costa Arbex, 2016 96 f. : il. Orientador: José Manoel Balthazar Tese (Doutorado)–Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciências, Bauru, 2016 1. Modelagem matemática. 2. Coleta de energia. 3. Dinâmica não-linear. 4.MagLev. I. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Bauru. UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAunesp Câll1lllUS de B2Iuru ,,:::~ª ilNc"'~'WAMAt.lkU ATA DA DEFESA PÚIBLlCA DA TESE DI: DOUTORADO DE IHASSAN GOSTA ARBEX , DIISCENTE DO PROGRAMA DE PÓS ..GRADUAÇÃO EM E~\lGEINHARIA MECÂNICA, DA FACIULDAIDE DE ENGENHARIA. Aos '16 dias do mês de dezembro do ano de 2016, às 15:30 horas, no(a) Anfiteatro da Diretoria Técnica de Informática/FEB, reuniu-se a Comissão Examinadora da Defesa Pública, composta pelos seguintes membros: Prof. Dr. JOSE MANOEL BAL THAZAR - Orientador(a) do(a) Departamento de Engenharia Mecânica - docente voluntário / Faculdade de Engenharia de Bauru - UNESP , Prof, Dr. ANGELO MARCELO TUSSET do(a) Departamento de Eletrônica / Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Prof. Dr. CLlVALDO DE OLIVEIRA do(a) Departamento de Engenharia Mecânica / Universidade Federal da Grande Dourados - MS, Prof. Dr. MAX MAUI~O DIAS SANTOS do(a) Departamento de Eletrônica / Universidade Tecnológica Federal elo Paraná - Ponta Grossa, Prof. Dr. ATILA MADUREIRA BUENO do(a) Departamento de Engenharia de Controle e Automação / Instituto de Ciência e Tecnologia/UNESP/Sorocaba, sob a presidência do primeiro, a fim de proceder a arguição pública da TESE DE DOUTORADO de HASSAN COSTA ARBEX , intitulada ANÁUSE DINÂMICA DE UM MODELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Mecanismos de funcionamento da turbina eólica MagLev < htt p : //inhabitat.com/super− powered−magnetic−wind− turbine−maglev/html > . . . . . . . . . . . . 36 3.1 Dispositivo de captação de energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Diagrama do circuito de captação de energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.1 Comportamento do sistema (a) X1: Deslocamento da massa magnética cen- tral, (b) Plano fase X1xX2, (c) mapa de Poincaré X1xX2 . . . . . . . . . . . . 47 4.2 Bacia de atração E = 3.07, α1 = 0.62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.3 Bacia de atraçãoE = 3.12, α1 = 0.594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.4 Diagrama de Bifurcação W3 (a) resposta de X1 para variação de W3, (b) zoom da resposta de X1 para variação de 2 6 W3 6 8.5, (c) resposta de X2 para variação de W3, (d) zoom da resposta de X2 para variação de 26W3 6 8.5 50 viii ix 4.5 Diagrama de Bifurcação W4 (a) resposta de X1 para variação de W4, (b) zoom da resposta de X1 para variação de 8.2 6 W4 6 10.0, (c) resposta de X2 para variação de W3, (d) zoom da resposta de X2 para variação de 8.2 6 W4 6 10.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.6 Expoente de Lyapunov (a) W3, (b) W4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.7 Diagrama de Bifurcação e Expoente de Lyapunov (a) e (b) Coeficiente de amortecimento do sistema mecânico α1, (c) e (d) Amplitude de excitação externa E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.8 Diagrama de estabilidade bi dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.9 Diagrama do circuito de coleta de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.10 Colheita de energia:Variação do nível de captação de energia variando α1 e E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.11 Colheita de energia: Variação do nível de captação de energia variando W3 e W4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.12 Colheita de energia variando a rigidez cúbica e a resistência do shaker . . . 58 4.13 Comportamento dinâmica do sistema no ponto de máxima coleta de ener- gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.14 Potência harvest coletada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.1 Método das múltiplas escalas: a) Histórico no tempo X , b) Plano fase X , c) Histórico no tempo Q, d) Plano fase Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.2 Potência harvest coletada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.1 Novo modelo obtido a partir do modelo de Mann(2009) . . . . . . . . . . . . . 71 6.2 Potência harvest coletada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 LISTA DE TABELAS 1.1 Lista de fontes de energia disponíveis que podem ser aproveitas para a geração de eletricidade Fonte: Prya et al., 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Lista de fontes de energia disponíveis que podem ser aproveitas para a geração de eletricidade Fonte: Adaptado Prya et al., 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.1 Elementos análogos de sistemas mecânicos e elétricos baseados na relação força-voltagem. Medidas no Sistema Internacional de Unidades (SI) . . . . . . 37 4.1 Parâmetros do Sistema utilizados para as simulações numéricas. . . . . . . . . 46 x SUMÁRIO Resumo vi Abstract vii LISTA DE FIGURAS viii LISTA DE TABELAS ix 1 INTRODUÇÃO 1 1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 14 2.1 FONTES DE ENERGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 COLETA DE ENERGIA DO MEIO AMBIENTE “ENERGY HARVES- TING” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 TIPOS DE FONTES DE VIBRAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 LEVITAÇÃO MAGNÉTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.1 APLICAÇÕES DA LEVITAÇÃO MAGNÉTICA . . . . . . . . . . . . 33 xi xii 3 MODELAGEM MATEMÁTICA 37 3.1 Definição da força magnética (Kmag) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Equações para o modelo de captação de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 RESULTADOS NUMÉRICOS 45 4.1 Comportamento dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.2 Projeto proposto para a coleta de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5 BUSCA DE UMA SOLUÇÃO ANALÍTICA APROXIMADA USANDO-SE O MÉ- TODO DAS MÚLTIPLAS ESCALAS 60 5.1 Pesquisa de uma Solução Analítica pelo Método de Escalas Múltiplas . . . . . 62 5.1.1 Caso ressonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6 CONCLUSÕES 70 Capítulo 1 INTRODUÇÃO A demanda global por energia tem aumentado sem precedentes nos últimos 150 anos, devido ao desenvolvimento industrial e ao rápido crescimento da população. A energia que usamos em nosso cotidiano vem de uma grande variedade de fontes e podem ser classificadas em duas categorias: não-renováveis e renováveis (Kong et al., 2014). As fontes de energia não-renováveis, tem um fornecimento limitado, pois não há reposição em seu abastecimento que incluem fontes como: petróleo, gás natural, carvão e energia nuclear. Entre essas fontes não renováveis, petróleo, gás natural e carvão são chamados combustíveis fósseis, que têm sido a fonte de energia comercial primária no mundo de hoje. Já as fontes renováveis são aquelas que podem ser substituídas ou regeneradas a partir de uma fonte de procedência natural, elas incluem fontes como: hidráulica, geotérmica, solar, eólica, biomassa e das marés e das ondas do mar. (Shafiee & Topal, 2008;2009). De acordo com Mescia et al., 2015, nas últimas duas décadas, a demanda mundial de energia aumentou 40%, através do uso de combustíveis fósseis. Haja visto que, cerca de 80% da energia 1 2 global é fornecida pelo carvão, petróleo e gás, fontes não renováveis que um dia serão esgotadas. Algumas pesquisas evidenciam que as reservas de petróleo e gás natural devem acabar por volta de 35 a 37 anos, e as de carvão em cerca de 107 anos (Shafiee & Topal, 2008;2009). Vale destacar que a atual taxa de crescimento do consumo mundial de energia é de 2% ao ano. Se o gasto de energia mundial continuar crescendo nesse ritmo, deve dobrar em 35 anos, o que levanta preocupações sobre os recursos energéticos (Mason et al., 2007). A pressão para substituir os combustíveis fósseis tem centrado grande atenção para as fontes de energia renováveis como, energia solar e eólica. Pois tais fontes não são poluentes e podem ser duradouras, além de oferecer uma alternativa atraente para as fontes de energia não renováveis tradicionais. As diversas fontes de energia têm características distintas e necessitam ser colhidas por meio de tecnologias diferenciadas. De acordo com a Lei da Conservação de Energia, a energia não pode ser criada e nem destruída, ela só pode ser transformada de uma forma para outra. (Kong et al., 2014). Por isso, ao longo da última década, avanços tecnológicos, têm promovido importantes desen- volvimentos em especial aos dispositivos eletrônicos, tais que possibilitam a grande redução no tamanho e no consumo de energia. Há uma considerável variedade de dispositivos sem fio e um aumento na demanda por sistemas eletrônicos auto alimentados os quais têm sido empregados em diferentes aplicações (Pinna et al., 2010). 3 Seu interesse como fonte de energia para futuras concepções de dispositivos eletrônicos tem crescido substancialmente. Os exemplos de tais sistemas podem ser: sensores sem fio, implantes biomédicos, dispositivos de monitorização, estação meteorológica remota, calculadoras, relógios, fones de ouvido e Bluetooth (Harb et al., 2011). Essa nova tecnologia em reduzir o consumo de energia, que proporciona a popularização das tecnologias sem fio tanto para a comunicação e entretenimento quanto para aplicações industriais e ambientais de sensoriamento remoto, resultou em um aumento nas pesquisas e investimentos relacionados ao conceito “Energy Harvesting” (Colheita de Energia) viabilizando o desenvolvi- mento de sistemas de captação de energia numa vertente de micro escala, ou seja, dispositivos capazes de colher tipo de energia disponível no ambiente (energia solar, energia térmica, energia do vento e energia cinética, por exemplo) e converte – lá em uma quantidade de energia elétrica utilizável, que pode ser armazenada ou diretamente consumida por uma determinada carga. A captura de energia é descrita como o processo de captura de energia do ambiente e sua conversão em eletricidade. Sem dúvida, a coleta de energia é uma técnica muito instigante para uma gama de variedade de microssistemas auto alimentados (Priya & Inman, 2009). No processo de coleta de energia do ambiente, a energia elétrica é obtida através da conversão de energia mecânica, criada por uma fonte de vibração do ambiente através de um transdutor, por exemplo, um fino filme piezocerâmico (Iliuk, 2011). A recuperação de energia a partir da energia desperdiçada ou não utilizada tem sido um tópico de discussão nos últimos tempos. Energia não utilizada existe em várias formas, tais como 4 máquinas industriais, atividade humana, veículos, estruturas e fontes de ambiente. Entre elas, algumas das fontes promissoras para a recuperação de energia são vibrações periódicas geradas por máquinas rotativas ou motores. (Prya 2007). Conforme tabela 1 onde observamos algumas das fontes de energia disponíveis que pode ser utilizadas para a geração de eletricidade. Tabela 1.1: Lista de fontes de energia disponíveis que podem ser aproveitas para a geração de eletricidade Fonte: Prya et al., 2007 Dentre as energias disponíveis para a transformação em energia elétrica, a energia mecânica é uma das energias mais onipresentes capazes de ser reutilizadas em nosso entorno. As fontes de energia mecânica pode ser uma estrutura de vibração, um objeto em movimento, e de vibração induzida pelo fluxo de ar ou água (Beeby, Tudor, & White, 2006). A energia mecânica geralmente pode ser colhida, por meio da conversão de vibração em eletricidade. A característica mais distinta deste tipo de captação de energia, as coletas são inicialmente identificadas por gerações de baixa potência. Portanto, uma das aplicações alvo é de abastecer pequenos dispositivos eletrônicos. No entanto, o desenvolvimento recente indica que ele também pode ser usado em aplicações de grande escala. A conversão de vibração em eletricidade pode ser realizada através de quatro mecanismos básicos, incluindo eletromagnética, eletrostático, magnetorestritivo e piezoeléctrico. A captação de energia por eletromagnetismo, que será nosso alvo nesse estudo, consiste na aplicação da Lei de Faraday onde a variação do 5 fluxo magnético dentro de uma bobina transforma a energia do movimento em energia elétrica. (Tipler & Mosca, 2009). A necessidade em desenvolver novas tecnologias para coleta de energia tem aumentado nos últimos anos e vários trabalhos são encontrados na literatura. Outro tema importante que deve-se mencionar é a levitação magnética, ponto crucial para o desenvolvimento do projeto em destaque. De acordo com a literatura a levitação magnética atra- vés de eletroímã, vem sendo realizada desde 1930, com o propósito de estudar o comportamento não linear deste tipo de dispositivo (Carmichael., 1986). O método mais comum de levitação magnética é baseado na utilização de um eletroímã (Moon, 2004). Esse eletroímã é um ímã controlado por corrente elétrica, capaz de suspender um determinado objeto metálico a uma determinada altura (distância de operação) no eixo vertical, apenas com o campo magnético gerado pela corrente elétrica que circula no solenoide. Um sistema de levitação magnética simples, é conhecido pelo acrônimo MagLev (Magnetic Levitator). 6 Tabela 1.2: Lista de fontes de energia disponíveis que podem ser aproveitas para a geração de eletricidade Fonte: Adaptado Prya et al., 2007 Em um MagLev o sistema de controle é a parte fundamental do dispositivo, pois a levitação depende do equilíbrio entre as forças magnética e gravitacional (ARBEX et al., 2014). A levita- ção magnética, maglev, ou suspensão magnética é um método pelo qual um objeto é suspenso, apoiado apenas pelos campos magnéticos. A pressão magnética é usada para neutralizar os efeitos da gravidade e todas as outras acelerações (Braunbeck, 1939). 7 1.1 Motivação Mediante a necessidade de obter novas fontes de energia para enfrentar a demanda mundial, estudos de novas fontes de energia, tais como o conceito de coleta de energia a partir da vibração de sistemas oscilatórios tem sido explorado. Pois, é de grande relevância para a população, que novas tecnologias para coleta de energia sejam desenvolvidas. Por essa razão, o presente estudo explora uma abordagem alternativa, considerando o potencial de captação de energia quando são consideradas as não-linearidades do sistema. Foi proposta a análise de um novo dispositivo de captação de energia que usa forças magnéticas para levitar um ímã centro oscilante. Essa análise partilhou da ideia do trabalho realizado por Mann (2009). Figura 1.1: Dispositivo de captação de energia (Mann 2009) Ainda com o intuito em desenvolver novas estratégias tecnológicas, a fim de contribuir economicamente para geração de energia, a energia renovável produzida a partir do vento tem 8 atraído muita atenção e apoio atualmente. Os métodos atuais não estão sendo suficientes para acompanhar o crescente consumo. Por- tanto, a crise energética forçou o desenvolvimento de geração de energia por fontes renováveis, principalmente a energia eólica. Estima-se que as fontes renováveis possam contribuir em cerca de 20% - 50% para o consumo de energia até o final desse século. Para isso, a turbina Eólica Maglev foi inaugurada pela primeira vez na exposição Wind Power Ásia em Pequim no ano de 2007. O princípio da operação deste projeto é através da levitação magnética, sendo um sistema extremamente eficiente para energia eólica. As turbinas eólicas Maglev têm várias vantagens sobre as turbinas eólicas convencionais. Por exemplo, elas são capazes de usar ventos com velocidades iniciais tão baixas quanto 1,5 metros por segundo (m / s). Além disso, elas podem operar em ventos superiores a 40 m / s. Atualmente, as maiores turbinas eólicas convencionais do mundo produzem apenas cinco megawatts de energia. No entanto, uma grande turbina eólica magnética poderia gerar um gigawatt de energia limpa, o suficiente para fornecer energia a 750 mil casas. Também aumentaria a capacidade de geração em 20% em relação às turbinas eólicas convencionais e reduziria os custos operacionais em 50%. Além de baixo ruído e pequeno espaço, um Maglev começa a girar e produzindo energia elétrica a velocidades de vento muito baixas, devido à unidade sem atrito. O design vertical da lâmina (VAWT) permite que a turbina possa operar independentemente da direção do vento ou turbulência. Seu princípio de operação apresenta características de repulsão de ímãs permanentes, colocando estes dois ímãs em cima uns dos outros com polaridades iguais enfrentando um ao outro, a repulsão magnética será forte o suficiente para manter os dois ímãs a uma distância um do 9 outro. A força criada como resultado desta repulsão pode ser usada para propósitos de suspensão e é forte o suficiente para equilibrar o peso de um objeto. A turbina de Maglev é híbrida com vento combinados usando atrito com acionamento magnético de neodímio. Seus eixos verticais de tamanhos pequenos tornam possível obter a saída independentemente da direção do vento ou a velocidade, conforme figura 1.2. (a) (b) Figura 1.2: Princípio da operação da turbina Maglev (www.oocities.org/shazuga/html/turbina- lpem-br.html) 1-Seção levitada ou suspendida, área para o albergue das baterias. 2-Compartimentos aerodinâmicos para o albergue das baterias. 3-Baterias que alimentaram eletricamente aos eletroímãs de suporte (levitação) na seção levitada. 10 4-Sistema de alimentação (cabos) elétrica que transporta a energia aos eletroímãs de suporte na seção levitada. 5-Eletroímãs de suporte (tipo estator; para criar a levitação da seção suspendida). 6- Eletroímãs de suporte na seção imóvel (tipo rotor; responsáveis da levitação, da aceleração e paralisação da seção móvel). 8-Geradores colocados entre as seções para recarregar as baterias da seção levitada. 9-Estrutura de suporte; seção imóvel. 10-Seção de conexão entre o eixo da turbina e o rotor (eixo) do gerador de eletricidade. 11-Sistema de alimentação (cabos) elétrica que transporta a energia aos eletroímãs guias e os de suporte na seção imóvel, conectado a um inversor de corrente continua / alterna ou diretamente às baterias ou uma fonte de corrente alterna. Eletroímãs guias (encarregados de manter em um lugar fixo o eixo da turbina e evitar possíveis roces com a parede interna da seção imóvel) 12-Gerador (alternador ou dínamo) de eletricidade. 13-Inversor de corrente continua/alterna conectado às baterias. 14-Baterias conectadas a uma fonte de energia de corrente alterna para recarregar-las cons- tantemente. 15-Sistema de alimentação elétrica conectado às linhas de distribuição para recarregar as baterias. 16-Anéis coletores da energia produzida pelo gerador de eletricidade. Por tudo isso, constata-se que a tecnologia Maglev é o meio mais barato e eficiente de transferir energia cinética para gerar eletricidade. 11 1.2 Objetivos Diante de todas as informações expostas na introdução, os principais objetivos do trabalho proposto foram: Desenvolver um modelo matemático do sistema eletromecânico obtendo as equações dinâmi- cas; Estudar o comportamento do sistema a partir da variação dos parâmetros; Verificar os melhores parâmetros para a coleta de energia Obter uma solução analítica aproximada para o sistema através do método de múltiplas escalas. 1.3 Metodologia O processo das simulações numéricas foi realizado através de um computador pessoal, e programas matemáticos MAPLE R© e MATLAB R©. Nesse último, foram utilizadas rotinas de programação como: Integrador ode113 (adams bashforth) para a integração direta das equações de movimento do sistema; 12 Rotinas computacionais desenvolvidas através do MATLAB R©. A sequência de atividades, técnicas e metodológicas para obtenção dos resultados, no desen- volvimento da tese de Doutorado, foram organizadas conforme as seguintes etapas descritas a seguir: 1) Foi realizada uma pesquisa bibliográfica para: (a) discutir as fontes de não linearidades; (b) realizar as descrições de alguns exemplos principais de sistemas eletromecânicos de interesse e; (c) definir o conjunto de configurações do dispositivo eletromecânico que constituiu o objeto de estudo da pesquisa de tese de doutorado. 2) Após a definição das configurações do dispositivo, foi desenvolvido a modelagem física e matemática desse sistema dinâmico, utilizando o método de Lagrange. 3) Soluções analíticas aproximadas dos modelos matemáticos obtidos foram estudadas, para análise da existência de pontos de equilíbrio, ciclos limites, bifurcações e condições de estabili- dade. Essas soluções analíticas foram importantes indicadores para a exploração do comporta- mento dinâmico do modelo obtido NAYFEHA.H.BALACHADRAN1995,NAYFEHA.H.;MOOK1979, STROGATZ1994,THOMPSON2002. 4) Os modelos matemáticos utilizados nas simulações numéricas para determinação das respostas dinâmicas do modelo linear e do não-linear. Nas simulações numéricas preliminares foi possível verificar a consistência dos modelos obtidos e a seleção dos parâmetros iniciais para o estudo da dinâmica desses sistemas BISHOP2002,BISHOP2006. 13 5) Análise e comparação das respostas dinâmicas. A forma de apresentação de resul- tados inclui: séries temporais, planos de fase, mapas de Poincaré, espectros de frequência, expoentes de Lyapunov e diagramas de bifurcações. Os aspectos observados nas respostas incluem a existência de pontos de equilíbrio, ciclos limites, regime periódicos e caóticos NAY- FEHA.H.BALACHADRAN1995,NAYFEHA.H.;MOOK1979, STROGATZ1994,THOMPSON2002. Capítulo 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1 FONTES DE ENERGIA No último século houve um aumento rápido e constante da demanda de energia do mundo. Isso foi devido a muitas razões, incluindo um aumento global da população mundial, o desen- volvimento e industrialização dos países emergentes. A demanda de energia do mundo deve chegar a 18 bilhões de equivalentes de petróleo por tonelada em 2035 conforme as políticas atuais. A percentagem de consumo de energia elétrica passou de 9% em 1973 para 18% em 2012, em contraste, a necessidade por outras fontes de energia, por exemplo petróleo, carvão ou gases naturais, permaneceu o mesmo ou até diminuiu no mesmo período de tempo. No futuro, energia elétrica será presumivelmente a forma mais consumida de energia, e sua produ- ção deve ser o mais eficiente possível para satisfazer a crescente demanda (Invernizzi., et al 2016). De acordo com Mescia et al. (2015) nas últimas duas décadas, a demanda mundial de energia aumentou 40%, mas a principal potência gerada hoje em dia ainda é produzida usando combus- tíveis fósseis que emitem toneladas de dióxido de carbono e outros poluentes a cada segundo. 14 15 Como resultado, os efeitos nocivos das fontes de energia à base de hidrocarbonetos como o aquecimento global, a poluição do ar, precipitação ácida, destruição do ozônio, a destruição da floresta é cada vez mais aparente. A fim de limitar estes inconvenientes, são necessárias ações adequadas destinadas a reduzir a dependência dos combustíveis fósseis, e a busca de fontes alternativas de energias limpas e renováveis é um dos desafios mais urgentes para o desenvolvimento sustentável da civilização humana (Mason, 2007). Há nove principais áreas de recursos energéticos. Eles se dividem em duas categorias: não renováveis e renováveis. Recursos energéticos não renováveis, como: o carvão, energia nuclear, petróleo e gás natural, estão disponíveis em suprimentos limitados. Isso geralmente é devido ao longo tempo que leva para que sejam repostos. Os recursos renováveis são reabastecidos naturalmente e durante períodos de tempo relativamente curtos. As cinco principais fontes de energia renováveis são: solar, vento, água (hidro), biomassa e geotérmica (Renewable Energy Wolrd). As principais fontes renováveis podem ser descritas da seguinte forma: Solar: O Sol é a melhor fonte de grande parte da energia do mundo. Ele fornece a Terra luz e calor sob a forma de radiação eletromagnética. A energia solar é a fonte primária da Terra de energia renovável. O enorme fluxo de energia radiante fornecida pelo sol excede em muito o que o mundo necessita de energia elétrica. A energia solar pode ser utilizada diretamente como uma fonte de energia térmica e indiretamente como uma fonte de eletricidade. A geração de 16 Figura 2.1: Tipos de fontes de energia renováveis e não renováveis< htt p : //energiasrenovaveis−12ct2.webnode.pt/energias− renovaveis/ > eletricidade diretamente da luz solar não esgota, entre qualquer um dos recursos naturais da Terra, a energia solar é uma fonte renovável e inesgotável de energia. Vento (eólica): A energia eólica é a tecnologia que mais cresce no mundo para a geração de eletricidade. Vento é um resultado da convecção do ar, causada pelo efeito de aquecimento do Sol e da rotação da Terra. Variações diárias e sazonais de temperatura consistentemente geram vento, produzindo uma fonte de energia que jamais se esgota. Instalações de energia eólica usam gran- des lâminas giratórias para capturar a energia cinética do ar, que é então transferido para turbinas que geram energia elétrica a partir do movimento. A tecnologia em gerar eletricidade através das fontes eólicas é relativamente barata. O custo da eletricidade gerada pelo vento em locais privilegiados é próximo ao de eletricidade a carvão, porém a energia eólica é limpa e a tecnolo- gia está sempre melhorando. A geração de energia eólica deverá crescer continuamente no futuro. Água (Hidro): Através dos riachos, rios e lagos na Terra são geralmente formadas devido à 17 água da chuva e neve derretida fluida por gravidade. Instalações hidroelétricas são concebidas e construídas de tal modo que a água pode ser interceptada numa trajetória descendente, e sua energia mecânica é então convertida em eletricidade através de turbinas. A energia hídrica é muitas vezes considerada uma fonte de energia renovável, simplesmente porque o ciclo da água que evapora com o calor do Sol, cai de volta para a Terra é continuamente renovado pela energia do Sol. Biomassa: A biomassa é matéria orgânica, que é geralmente a partir de resíduos, tais como: madeira, resíduos de madeira a partir de atividades de fabricação e resíduos agrícolas, entre outros. No futuro, quantidades muito maiores de energia de biomassa poderia vir de culturas que são plantadas e colhidas especificamente para uso como fonte de combustível de energia em plantações de rotação curta. A biomassa é considerada como sendo uma fonte renovável de energia, porque ela é derivada a partir de materiais que podem ser regeneradas a partir de fontes que ocorrem naturalmente. Geotérmica: A energia geotérmica é devido ao calor do núcleo derretido da Terra. Energia geotérmica é uma fonte renovável de energia, porque é quase ilimitada. Devido à temperatura constante, de uma fonte geotérmica, pode ser usada como uma bomba de calor para aquecer ou arrefecer diretamente um edifício. Em outras palavras, a terra pode ser utilizada como um dissipador de calor no verão e como uma fonte de calor durante o inverno. A energia geotérmica também pode ser utilizada para gerar eletricidade, sob determinadas condições geológicas (Re- newable Energy Wolrd). Desde os primórdios da humanidade as pessoas têm usado as fontes renováveis de energia 18 para sobreviver, a madeira para cozinhar e para aquecimento, vento e água de moinhos de cereais e solar para acender fogueiras. Um pouco mais de 150 anos atrás, as pessoas criaram a tecnologia para extrair energia a partir dos antigos restos fossilizados de plantas e animais. Estas são fontes ricas porem limitadas de energia (carvão, petróleo e gás natural) de maneira que devem ser rapidamente substituídas pelas energias eólica, solar e de água como as principais fontes de combustível (Shafiee & Topal, 2009). Os combustíveis fósseis constituem uma grande parte do mercado de energia de hoje, embora promissoras novas tecnologias renováveis estão a emergir. No entanto, existem diferenças entre os dois setores. Cada uma delas tem vantagens e desafios, e se relacionam com tecnologias exclusivas que desempenham um papel em nosso sistema energético atual. Por uma série de razões, a partir da quantidade limitada de combustíveis fósseis disponíveis aos seus efeitos sobre o meio ambiente, existe um interesse crescente na utilização de formas de energia renováveis e desenvolvimento de tecnologias para aumentar a sua eficiência (Shafiee & Topal, 2008). Estudos afim de substituir os combustíveis fósseis tem centrado grande foco para as fontes de energia renováveis como: energia solar e eólica. Tais fontes não são poluentes e podem ser duradoras, além de oferecer uma alternativa atraente para as fontes de energia não renováveis tradicionais (Mescia., et al 2015). Nesse contexto novas tecnologias para a recuperação de energia têm demostrado grande impacto econômico e ambiental. Isto é, a coleta de energia do meio ambiente, também conhecida como energia limpa, é um processo que capta pequenas quantidades de energia que seria perdida na forma de calor, luz, som, vibração ou movimento. Esta energia capturada pode ser utilizada para várias aplicações de diversas maneiras (Kong et al., 2014). 19 2.1.1 COLETA DE ENERGIA DO MEIO AMBIENTE “ENERGY HAR- VESTING” Essa nova tecnologia proporciona a popularização das tecnologias sem fio tanto para a comunicação e entretenimento quanto para aplicações industriais e ambientais de sensoriamento remoto, resultou em um aumento nas pesquisas e investimentos relacionados ao conceito “Energy Harvesting” (Colheita de Energia) viabilizando o desenvolvimento de sistemas de captação de energia numa vertente de micro escala, ou seja, dispositivos capazes de colher tipo de energia disponível no ambiente (energia solar, energia térmica, energia do vento e energia cinética, por exemplo) e converte – lá em uma quantidade de energia elétrica utilizável, que pode ser armazenada ou diretamente consumida por uma determinada carga (Kong et al., 2014). A coleta de energia pode ser obtida a partir de diferentes fontes de energia, tais como vi- brações mecânicas, fontes eletromagnéticas, luz, acústica, fluxo de ar, calor e variações de temperatura. Colheita de energia, em geral, é a conversão de energia do ambiente em energia elé- trica utilizável. Quando comparado com a energia armazenada nos elementos de armazenamento comuns, tais como baterias, condensadores, e outros semelhantes, o ambiente representa uma fonte relativamente infinita de energia disponível (Yildiz, 2007). Segundo Priya & Inman (2009), a recuperação de energia a partir da energia desperdiçada ou não utilizada têm sido um tópico de discussão nos últimos tempos. A energia não utilizada existe em várias formas, tais como máquinas industriais, atividade humana, veículos, estruturas e fontes de ambiente. Entre elas, algumas das fontes promissoras para a recuperação de energia 20 são vibrações periódicas geradas por máquinas rotativas ou motores. Pode-se descrever algumas fontes de energia disponíveis que podem ser aproveitadas para a geração de eletricidade: a energia pode ser gerada a partir de um corpo humano ou animal por ações como caminhada e corrida. Energia natural: vento, fluxo de água, ondas do mar, e a energia solar pode fornecer disponi- bilidade de energia ilimitada a partir do ambiente. Energia mecânica: vibrações de máquinas, estresse mecânico, tensão de motores de alta pressão, máquinas de fabricação, e rotações de resíduos podem ser capturados e utilizados como fontes de energia mecânica do ambiente. Energia térmica: variações de energia calor residual dos fornos, aquecedores, e fontes de atrito. Energia Luminosa: essa fonte pode ser dividida em duas categorias de energia: luz artificial e solar, a energia luminosa pode ser capturada através de sensores fotográficos, diodos de fotos e painéis solares fotovoltaicos (PV). Energia eletromagnética: indutores, bobinas, e os transformadores podem ser considerados como fontes de energia do ambiente, dependendo da quantidade de energia necessária para a aplicação. Destes tipos de fontes de energia citados para transformação em energia elétrica, a energia 21 mecânica é uma das energias mais abundantes capazes de ser reutilizadas em nosso entorno. Essa energia geralmente pode ser colhida, por meio da conversão de vibração em eletricidade (Roundy et al., 2003). FORMAS DE COLHEITA DE ENERGIA MECÂNICA Para coletar energia mecânica e converter em energia elétrica, requer vibração de um sistema mecânico. O sistema mecânico deve ser concebido para ser capaz de maximizar o acoplamento entre as fontes de energia mecânica e o mecanismo de transdução, em função das características dos movimentos ambientais (Kong et al., 2014). O sistema transmite as vibrações a uma massa suspensa para produzir um deslocamento rela- tivo. Como o sistema normalmente tem uma frequência de ressonância, este pode ser concebido para corresponder à frequência característica dos movimentos ambientais (Michels & Pitz-Paal, 2007). Aceleração mecânica é produzida por vibrações que, por sua vez, fazem com que o compo- nente de massa possa se mover e oscilar. Este deslocamento relativo faz com que ocorra um atrito e amortecimento de forças para ser aplicado contra a massa, reduzindo assim e, eventualmente, extinguindo as oscilações. A energia da força de amortecimento pode ser convertida em energia elétrica por meio de um campo elétrico (Eletrostática), o campo magnético (eletromagnética), ou tensão em um material piezelétrico (Yildiz, 2007). 22 Eletromagnética: Esta técnica utiliza um campo magnético para converter a energia mecânica em energia elétrica (Amirtharajah & Chandrakasan, 1998). Uma bobina ligada à massa oscilante é levada a passar através de um campo magnético, que é estabelecido por um íman fixo, para produzir energia elétrica. A bobina desloca através de uma quantidade variável de fluxo magné- tico, induzindo uma tensão de acordo com a lei de Faraday. A tensão induzida é inerentemente pequena e, portanto, deve ser aumentada para se tornar uma fonte viável de energia (Kulah & Najafi, 2004). A variação de fluxo pode ser realizada com um imã em movimento, cujo fluxo é ligado com uma bobina fixa ou com um íman fixo cujo fluxo é ligada com uma bobina móvel. A primeira configuração é preferida em relação ao segundo porque os fios elétricos são fixos (Mateu & Moll, 2005). Como a grandeza relevante aqui é o fluxo magnético através de um circuito, o tamanho da bobina está inversamente relacionado com o campo elétrico e conse- quentemente, com a obtenção de energia gerada. Isso significa que grandes transdutores com grandes bobinas devem ter um desempenho melhor do que transdutores menores, a menos que um derivado de tempo maior esteja envolvido com os geradores de pequena escala (Amirtharajah & Chandrakasan, 1998). Técnicas para aumentar a tensão induzida pode incluir o uso de um transformador, aumentando o número de espirais da bobina, ou o aumento do campo magnético permanente (Torres & Rincón-mora, 2005). Eletrostática (capacitivo): O princípio dos geradores eletrostáticos é que a parte móvel do transdutor se move contra um campo elétrico, gerando assim energia. (Mateu & Moll, 2005). Este método depende da capacitância variável de capacitor dependente de vibração. Esse capaci- tor variável, que é carregado inicialmente, vai separar suas placas por vibrações, deste modo, a energia mecânica é transformada em energia elétrica. A tensão constante ou corrente constante 23 alcança a conversão por meio de dois diferentes mecanismos. Por exemplo, a tensão variável através de um condensador é mantida constante quando se altera capacitância após uma carga primária. Como resultado, as placas divididas e a capacitância são reduzidas, até que a carga é conduzida para fora do dispositivo. A energia dirigida, em seguida, pode ser armazenada ou utilizada para carregar uma bateria, gerando a fonte de tensão necessário. A característica mais marcante deste método é a sua natureza IC-compatível, dado que MEMS (sistema micro- eletromecânicos) capacitores variáveis são fabricados através de técnicas relativamente bem conhecidos. Este regime produz níveis de tensão de saída mais altas e mais prático do que o método eletromagnético, com densidade de potência moderada (Amirtharajah & Chandrakasan, 1998). Piezoelétrico: Este método altera a energia mecânica em energia elétrica por esforço de um material piezoelétrico (Priya, 2007). O efeito piezoelétrico foi descoberto por Jacques e Pierre Curie, em 1880, os irmãos Curie descobriram que certos materiais, quando submetidos a tensão mecânica, que sofre de uma polarização elétrica que é proporcional à tensão aplicada. Este é o efeito piezoelétrico mecânico utilizado para a conversão de energia elétrica (Mateu & Moll, 2005). Ele converte as variações de temperatura em voltagem elétrica ou corrente, sendo piroeletricidade a capacidade de certos materiais em gerar um potencial elétrico quando eles são aquecido ou arrefecido. Com resultado da mudança de temperatura, as cargas positivas e negativas movem as extremi- dades opostas através de migração (polarizado) e, portanto, um potencial elétrico é estabelecido. Aplicações de captação de energia piezoelétrica exigem entradas com o tempo e variações que resultam em pequenas saídas de energia em aplicações de energia de eliminação. Uma 24 das principais vantagens que a coleta de energia piezoelétrica tem sobre captação de energia termelétrica é que a maioria dos materiais ou elementos piroelétricos são estáveis até 1200oC ou mais. Sua estabilidade permite captação de energia, mesmo a partir de fontes de alta temperatura com o aumento da eficiência termodinâmica (Litak, Friswell, & Adhikari, 2010). Para que seja possível o estudo através de modelos matemáticos é necessário considerar o tipo da fonte de vibração. Podendo ser ideal (harmônica) ou não – ideal (Arbex, 2012). 2.1.2 TIPOS DE FONTES DE VIBRAÇÃO Sistemas vibratórios compreendem meios para armazenar energia potencial (fonte), meios de armazenamento de energia cinética (massa), e os meios pelos quais a energia é gradualmente perdida (amortecedor). A vibração de um sistema envolve a transferência alternada de energia entre as suas formas potencial e cinética. Em um sistema amortecido, alguma energia é dissipada em cada ciclo de vibração e deve ser substituído a partir de uma fonte externa (Blake, 2010). As fontes de energia podem ser classificadas como ideal e não-ideal. As fontes de energia ideal não consideram que as forças atuantes no sistema não influenciem na dinâmica do motor ou shaker, ou seja, os modelos que utilizam o modelo ideal de excitação são modelos simplifi- cados, que podem desprezar importantes fenômenos. Assim, o modelo que utiliza uma fonte de energia não-ideal, se aproxima significativamente de um modelo mais completo e complexo, assemelhando -se mais do modelo real (Moraes, 2012). Sistema dinâmico do tipo ideal: a excitação ideal ou uma fonte ideal de energia é aquela onde 25 a excitação não é influenciada pela resposta do sistema. Por outro lado, quando uma excitação é induzida pela resposta do sistema, é dita não ideal. Dependendo da excitação, refere - se a um sistema dinâmico como ideal (força harmônica) ou não ideal (motor ou shaker com fonte de energia limitada). O comportamento do sistema dinâmico se afasta do caso ideal à medida que a potência do motor ou shaker se torna mais limitada. Para sistemas dinâmicos não ideal, deve-se adicionar uma equação que descreve, como a fonte de energia que passa tal energia às equações que governam o sistema (curva característica do motor ou shaker) (Felix, 2002). Sistema Dinâmico do tipo não ideal: Quando a fonte de excitação é influenciada pela resposta do sistema, esta é dita não ideal. Se na formulação das equações dinâmicas de um sistema, além da influência da fonte de energia sobre o sistema oscilante, considera-se também a influência inversa do sistema oscilante sobre a fonte, o sistema é chamado não ideal. Geralmente sistemas oscilantes não ideais são aqueles para os quais a fonte de energia é limitada. Para o sistema dinâmico não ideal, adiciona-se as equações que descrevem o sistema dinâmico ideais uma equação que descreve como a fonte fornece energia ao sistema. Assim uma característica de um sistema oscilatório não ideal é que este tem um grau de liberdade a mais que o correspondente ideal. O fenômeno do salto e o aumento da potência exigida pela fonte de energia, operando na região de ressonância, são manifestações do fenômeno conhecido como efeito Sommerfeld, em homenagem ao primeiro pesquisador a observar esses fatos experimentalmente (Krasnopolskaya & Shvets, 1993). Constata-se que é usual desconsiderar, no modelo matemático, a influência do movimento do próprio sistema em sua excitação. Todavia, em muitos casos, esta simplificação, no modelo ma- temático, não é razoável, devendo-se levar em conta que a excitação ou sua fonte, é influenciada 26 pela própria resposta do sistema. Este fato prejudica a formulação dos modelos matemáticos da Teoria de Vibrações tradicional, necessitando-se estabelecer uma formulação mais realista que leve em conta a interação entre as variáveis de controle, e as de estado, da excitação, com as de estado do sistema físico estrutural. Tem-se assim, um sistema vibratório não ideal, ou um sistema com fonte de excitação, não ideal. O sistema ideal é o tradicional onde não existe este fenômeno. A máquina não ideal é uma conceituação que depende fundamentalmente da estrutura que a suporta (Piccirillo, 2007). Um sistema dinâmico pode ser classificado de diferentes maneiras. Quanto à variável tempo, o sistema pode ser contínuo, onde é descrito por equações diferenciais e o tempo varia continua- mente, ou discreto, onde o estado do sistema somente muda em intervalos de tempo determinados de acordo com equações de diferenças. Quanto ao tipo de modelo, o sistema pode ser linear ou não linear (Monteiro, 2002). Os modelos não lineares, de modo geral, descrevem de maneira mais efetiva os fenômenos físicos do que os modelos ou técnicas lineares. Por isso, afirma-se que a natureza é não linear em toda a sua essência. Muitos estudos são realizados no campo da dinâmica não linear a fim de tratar sistemas dinâmicos descritos por modelos matemáticos considerados simples, porém donos de uma resposta complexa e muito interessante. A falta de uma propriedade unificadora faz com que a sistematização dos sistemas não lineares possua um maior grau de dificuldade quando comparado aos sistemas lineares, que, por sua vez, satisfazem a um princípio característico, denominado princípio da superposição de efeitos, obtido através da combinação entre o princípio da aditividade e o princípio da proporcionalidade entre excitação e resposta (Belato et al., 2001). 27 A teoria dos sistemas não lineares não é tão desenvolvida como a dos sistemas lineares. Em razão disso, é normal haver uma concentração maior no estudo de modelos lineares que possuem um bom comportamento, tendo em vista as diversas dificuldades inerentes encontradas nos problemas não lineares, como seu comportamento desequilibrado e aperiódico, porém de riqueza exuberante. Trata-se de um sistema imprevisível, onde o seu estado futuro depende de seu estado presente, podendo ser alterado significativamente através de sensíveis mudanças na atual condição. Tais mudanças são frutos da principal característica dos sistemas dinâmicos não lineares, que é a sensibilidade às condições iniciais (Felix, 2002). A dinâmica não linear constitui o estudo de sistemas de equações diferenciais não lineares. Entretanto, não existem técnicas analíticas gerais para resolver esse tipo de equação, pois os métodos numéricos conhecidos apresentam alguns problemas. Sendo assim, a análise gráfica no retrato de fases torna-se uma ferramenta de fundamental importância, sendo capaz de fornecer muitas informações acerca do comportamento do sistema não linear. O comportamento caótico é uma das inúmeras possibilidades que podem ocorrer na dinâmica de sistemas não lineares. Além dele, outros fenômenos só ocorrem neste tipo de sistema, dentre os quais se destacam as bifurcações, a ocorrência de ciclo limite, a grande dependência dos parâmetros, a presença de múltiplos pontos de equilíbrio, a não unicidade da solução e o tempo de escape finito. Os sistemas não lineares são chamados assim porque existe algum componente ou subsistema não linear presente nas equações que o compõem. Estas não linearidades podem ser naturais, quando são próprias do sistema e estão intimamente associadas a ele, ou artificiais, quando são intencionalmente introduzidas com o intuito de controlar ou melhorar o comporta- mento dos sistemas. No estudo de problemas descritos por sistemas não lineares, costuma-se 28 realizar dois tipos distintos de análise. A análise qualitativa visa entender o comportamento global de um dado sistema, enquanto a análise quantitativa procura avaliar a evolução deste sistema no tempo. Geralmente, a análise qualitativa utiliza técnicas geométricas, dificultando a análise de sistemas com muitos graus de liberdade (Iliuk, 2012). O espaço de estados ou espaço de fases: dentre as possíveis formulações para expor o com- portamento de um sistema dinâmico, destaca-se a representação em espaço de estados, também conhecido como espaço de fases. O espaço de estados é um conjunto de n equações diferenciais ordinárias de primeira ordem que regem, ao mesmo tempo, o comportamento das n variáveis dependentes escolhidas que representam as dimensões do sistema, denominadas variáveis de estado. Por exemplo, um modelo matemático descrito por uma equação diferencial de ordem n é substituído por um sistema de n equações diferenciais, todas de primeira ordem. (Monteiro, 2002). Estabilidade: Geralmente as equações diferenciais que regem o movimento de sistemas dinâmicos não lineares são complexas e não geram solução exata. Muitas vezes é preciso fazer uso da teoria de sistemas lineares para o estudo dos sistemas não lineares, a fim de identificar características importantes de suas soluções sem resolvê-los. Na análise de estabilidade de sistemas isso pode ser feito examinando o comportamento das soluções cujas condições iniciais encontram-se na vizinhança de um ponto de equilíbrio de comportamento conhecido. A este tipo de estabilidade dá-se o nome de estabilidade de uma solução estacionária, representada no retrato de fases por um ponto de equilíbrio estável ou instável. Na teoria dos sistemas dinâmicos, o conceito de estabilidade é de suma importância e pode ser entendido através de uma perturbação no sistema, pois está associado à característica de determinada solução. Caso esta perturbação 29 não afete tal solução de forma significativa, então esta é considerada estável. Do contrário, ela é dita instável (Álvarez,1994). Bifurcação: uma bifurcação caracteriza-se pela mudança qualitativa da trajetória no espaço de fases, quando um parâmetro do sistema é variado. A teoria das bifurcações é fundamental para a análise de sistemas não lineares, visto que, do mesmo modo em que é útil classificar os diferentes tipos de movimentos de um sistema, também se torna importante identificar as formas como tais movimentos podem se modificar no retrato de fases. O termo bifurcação refere-se à mudança qualitativa na natureza do comportamento de um sistema dinâmico quando há variação de um dos parâmetros do qual o retrato de fases do sistema é dependente, denominados parâmetros de bifurcação. O ponto no retrato de fases onde ocorre uma bifurcação é chamado de ponto de bifurcação (Guilherme, 2004). As bifurcações em sistemas dinâmicos podem ser classificadas em bifurcações locais e bifurcações globais. As bifurcações locais são aquelas que tratam das mudanças qualitativas de um sistema dinâmico nas vizinhanças de um ponto de equilíbrio ou de uma órbita fechada, e, na maioria das vezes, esse estudo local é realizado através da determinação dos autovalores. Nas bifurcações globais pode ocorrer uma variação na estrutura das órbitas, por isso não podem ser deduzidas a partir de uma análise local. (Monteiro, 2002). A teoria do caos: O estudo de fenômenos relacionados com a teoria do caos vem crescendo exponencialmente nos últimos anos. Geralmente, quando o assunto é o caos, a primeira impres- são é a de uma ciência de extrema complexidade caracterizada por comportamentos imprevisíveis e desordenados, o que não deixa de ser verdadeiro. Entretanto, no contexto científico, o caos é 30 muito mais do que isso. O caos tem origem no século XIX, quando Poincaré buscava resolver um sistema de equações que descrevia o conhecido problema dos três corpos. Ele descobriu, ao contrário do que se imaginava, que as soluções não eram regulares e possuíam um compor- tamento totalmente imprevisível. Poincaré desenvolveu uma base matemática necessária para realizar tal estudo, porém não deu prosseguimento devido à falta de recursos tecnológicos na época. Aproximadamente um século mais tarde, Edward Norton Lorenz (1917-2008) encontrou o mesmo comportamento antes visto por Poincaré em um sistema de equações composto por três equações diferenciais e três variáveis que descreviam um modelo meteorológico. Foi com o auxílio de computadores que Lorenz calculou as soluções aproximadas de seu sistema e detectou o fenômeno da sensibilidade às condições iniciais. Todos esses cálculos deram origem a um atrator cuja forma lembra uma borboleta, o qual se tornou um dos primeiros atratores estranhos a ser desvendado, conhecido como Atrator de Lorenz. Além da conhecida dependência às condições iniciais, os sistemas caóticos também possuem algumas outras características importantes. Deve-se salientar que o caos é um comportamento típico de sistemas não lineares e, para que ele possa aparecer, é necessário que o sistema dinâ- mico possua, no mínimo, três dimensões. Uma resposta caótica de um sistema dinâmico possui infinitas trajetórias periódicas e não periódicas, além de uma possibilidade infinita de atratores. Em sistemas não lineares estáveis, as pequenas variações nas condições iniciais resultam em pequenas mudanças na resposta. Por outro lado, nos sistemas caóticos as condições iniciais crescem exponencialmente ao longo do tempo, provocando uma divergência nas trajetórias, tornando-se inviável a realização de previsões em longo prazo. Por isso, pode-se dizer então que as palavras mudança e tempo representam a base do caos (Álvarez,1994). 31 Expoente de Lyapunov: o trabalho do matemático russo Aleksandr Lyapunov no século XIX deu origem ao desenvolvimento da teoria da estabilidade de Sistemas Dinâmicos, onde é discutida a evolução de Sistemas e seu comportamento. Em um sistema dinâmico, expoentes de Lyapunov, quantificam a taxa exponencial média de expansão ou contração de elementos de volume infinitesimal em cada sentido do espaço de fase. Expoentes negativos implicam a convergência de trajetórias inicialmente nas proximidades, enquanto os positivos significam divergência exponencial das órbitas vizinhas, portanto, ocorre a sinalização de comportamento caótico (Anteneodo, 2004). 2.2 LEVITAÇÃO MAGNÉTICA A levitação magnética é uma tecnologia com grande potencial futuro, com aplicações práticas que cativam tanto pelo aspecto visual como pelas funcionalidades. Criar um sistema mecânico estável para levitar um objeto sem necessidade de contato, onde a força gravitacional é contrari- ada apenas por forças magnéticas tem sido um objetivo de engenheiros e cientistas há muitos anos . No entanto, as características de instabilidade e não linearidade inerentes a este tipo de sistemas torna-os difíceis de controlar, o que atrasou durante várias décadas a aplicação prática desta tecnologia (French, 1968). De acordo com Moon, 2004, a suspensão de objetos e pessoas sem meios visíveis de susten- tação é fascinante para a maioria das pessoas, mesmo em tempos de altas tecnologias. Sistemas Dinâmicos sem os efeitos da gravidade são um sonho comum para gerações de pensadores desde Benjamin Franklin a Robert Goddard. Um método encontrado para resolver esta questão 32 foi a levitação magnética (maglev). A levitação magnética, maglev, ou suspensão magnética é um método pelo qual um objeto é suspenso, apoiado apenas pelos campos magnéticos. A pressão magnética é usada para neutralizar os efeitos da gravidade e todas as outras acelerações (Braunbeck, 1939). Diferentes técnicas e métodos para promover a levitação magnética foram desenvolvidos, os quais podem ser classificados segundo a natureza da origem das forças magnéticas em: levitação por repulsão ou por atração magnética. Outra técnica em ascensão é a levitação supercondutora (Superconducting Quantum Levitation - SQL), baseado no Efeito Meissner de exclusão do campo magnético do interior de supercondutores (Moon, 2004). Levitação por repulsão: a repulsão entre campos magnéticos de mesma polaridade pode ser facilmente constatada pela aproximação de dois ímãs permanentes, com pólos iguais, adequada- mente orientados na direção um do outro. Deste modo, aproximando-se os dois ímãs, é fácil perceber que há uma força repulsiva agindo entre eles, procurando mantê-los afastados. Além de ímãs permanentes, foi descoberto em 1820 pelo físico dinamarquês Hans Christian Oersted que correntes elétricas também são capazes de produzir campos magnéticos. Assim, utilizando-se a Lei de Ampère nas situações em que há simetria, é possível calcular-se o campo magnético produzido por uma corrente elétrica que circula por um condutor, podendo este condutor ser um fio retilíneo ou uma bobina (Mann & Sims, 2009). O método mais comum de levitação magnética é baseado na utilização de um eletroímã (Moon, 2004; Carmichael, 1986 e Wong, 1986). O eletroímã é um ímã controlado por corrente elétrica, capaz de suspender um determinado objeto metálico a uma determinada altura (distância 33 de operação) no eixo vertical, apenas com o campo magnético gerado pela corrente elétrica que circula no solenoide. Um sistema de levitação magnética simples, é conhecido pelo acrônimo MagLev (Magnetic Levitator). Em um MagLev o sistema de controle é a parte fundamental do dispositivo, pois a levitação depende do equilíbrio entre as forças magnética e gravitacional (Arbex et al 2014). Segundo Carmichael (1986) a levitação magnética através de eletroímã, vem sendo realizada desde 1930, com o propósito de estudar o comportamento não linear deste tipo de dispositivo. Durante este período, os métodos utilizados para levitação magnética foram sendo aperfeiçoados, principalmente no que diz respeito aos sistemas de controle (Wong, 1986). 2.2.1 APLICAÇÕES DA LEVITAÇÃO MAGNÉTICA A levitação magnética é uma tecnologia avançada, que apesar de recente já possui várias aplicações práticas. O ponto comum entre estas aplicações é a inexistência de contato físico entre duas superfícies, o que elimina as forças de fricção. Este fato leva ao aumento da eficiência, redução de custos de manutenção, e aumento da vida útil dos sistemas. Já existem vários países que usam este tipo de tecnologia nas mais diversas áreas. Sistemas de levitação magnética são amplamente utilizados em vários campos, tais como rolamentos sem atrito, trens de alta velocidade, levitação de modelos de túnel de vento, o isola- mento de máquinas sensíveis a vibração, a levitação de metal fundido em fornos de indução, e levitação de placas de metal durante a fabricação (Barie & Chiasson, 1996). 34 Uma aplicação importante, especialmente da levitação magnética, de bastante relevância, foi na área das energias renováveis, onde foi criada uma turbina eólica com utilização de ímãs permanentes. Esta aplicação baseia-se no fato da não existência de atrito entre os mecanismos, proporcionando um maior desempenho do sistema de energia, visto que, um vento de 1,5 m/s consegue gerar energia (Nabavi & Zhang, 2016). TURBINAS EÓLICAS MAGLEV As turbinas eólicas Maglev proporcionam um desempenho superior às tradicionais, com baixo nível de ruído, e maior tempo de vida. Usando forças magnéticas, estas turbinas não apresentam atrito entre as hélices e a parte fixa. As turbinas Maglev funcionam com os mes- mos princípios de levitação apresentados até agora, mas estas não são apenas usadas para manter as turbinas a levitar, mas também para assegurar uma estabilidade durante os 360o do movimento. Esta tecnologia pode ser aplicada em várias áreas e produtos, que requerem alto ní- vel de transferência de calor, como computadores, projetores ou sistemas de áudio (Rocha, 2004). A Turbina Eólica Maglev foi revelada primeiramente na exposição da energia de vento Ásia em Beijing 2007. O princípio de funcionamento exclusivo por trás deste projeto é através da levitação magnética, sistema extremamente eficiente para a energia eólica (Rocha, 2004). Historicamente de acordo com os arquivos da indústria MAGLEV o projeto da super turbina é uma criação do empresário e engenheiro elétrico polonês Edward Mazur na tentativa de evitar a condição futura da falta de recursos energéticos renováveis. Sabe-se que a população aumenta de maneira exponencial e que o preço que se paga pela energia elétrica preocupa todos os 35 níveis da sociedade. Foi em busca de uma fonte de energia elétrica mais limpa e barata que o empreendedor do projeto super turbina eólica MAGLEV (levitação magnética) encontrou seu espaço no mercado energético (Araújo, 2011). A Maglev turbina é capaz de gerar 1 GW de potência, o que daria para alimentar 750.000 casas por trimestre e pode durar mais de 500 anos devido à ausência de atrito nas peças principais. Ela é composta de diferentes tipos de materiais dentre os quais se destacam: os supercondutores, o neodímio que é um elemento extraído dos minerais da classe das terras-raras, há condutores presentes nos circuitos elétricos de distribuição, além de carbono e plásticos. A propulsão da hélice ocorre a partir da força do vento direcionado pelas três grandes paletas móveis compostas de um revestimento maleável (Inhabitat). A turbina Maglev pode produzir mais energia do que turbinas eólicas horizontais convencio- nais. As pás verticais da turbina de vento são suspensas no ar acima da base do equipamento. Ao invés se sustentarem e de girarem sobre rolamentos, essas pás ficam suspensas, sem contato com outras partes mecânicas e, portanto, podem girar sem atrito, o que aumenta exponencialmente seu rendimento (Nabavi & Zhang, 2016). A Levitação Magnética é um sistema que utiliza ímãs "permanentes"opostos em vez de rolamentos para transmissão de potência, o que significa que não há contato físico real entre as partes móveis, portanto não há atrito e nada a desgastar. As turbinas eólicas da levitação magnética não sofrem desvantagens em relação as turbinas tradicionais. É um sistema de baixo ruído, virtualmente sem atrito, que necessita de pouca 36 Figura 2.2: Mecanismos de funcionamento da turbina eólica MagLev < htt p : //inhabitat.com/super− powered−magnetic−wind− turbine−maglev/html > manutenção. Uma turbina eólica MagLev pode ser montada em praticamente qualquer superfície plana, devido ao seu design compacto. Ao contrário de outros tipos que devem ser pré-montadas, devido ao perigo das pás. (Excluss Solar). Acredita-se que futuramente as turbinas eólicas Maglev possam ser um mecanismo promissor para gerar novas energias. Haja visto que hoje na China já existem várias centrais de grande potência MW usando a tecnologia Maglev e está se tornando uma alternativa comercial muito popular devido à facilidade de instalação, operação, baixo ruído e durabilidade. Capítulo 3 MODELAGEM MATEMÁTICA Para compreender e estudar a dinâmica envolvida em um sistema através de um modelo matemático adotado, é necessário obter as equações do movimento. Dessa forma, determinam-se as coordenadas generalizadas para cada caso. Em seguida, calcula-se a posição e a velocidade dos corpos envolvidos e na sequência, obtêm-se as equações de energia e suas derivadas, construindo assim, as equações dinâmicas por meio da metodologia proposta por Lagrange em Mecânica Analítica. Tabela 3.1: Elementos análogos de sistemas mecânicos e elétricos baseados na relação força- voltagem. Medidas no Sistema Internacional de Unidades (SI) Sistema Mecânico Sistema Elétrico Força f (N) ou Torque T (N.m) Tensão e (V ) Massa m (Kg) ou Inércia J (Kg.m2) Indutância L (H) Amortecimento Viscoso b (N.s m ) ou B (N.m.s rad ) Resistência R (Ω) Rigidez k (N m) ou K (N.m rad ) Inverso da Capacitância 1 C ( 1 F ) Deslocamento x (m) ou θ (rad) Carga Elétrica q (C) Velocidade ẋ (m s ) ou θ̇ ( rad s ) Corrente Elétrica i = dq dt (A) Aceleração ẍ (m s2 ) ou θ̈ ( rad s2 ) Variação di dt ( A s ) As coordenadas generalizadas deste sistema, são determinadas da seguinte forma: 37 38 S N S N N S k s / 2 ~ e(t) L s R s C s k s / 2 i Bobina superior Bobina inferior x Bloco oscilante Ímã superior Ímã inferior Figura 3.1: Dispositivo de captação de energia. Para o oscilador tem-se:  q1 = 0⇒ q̇1 = 0 q2 = x⇒ q̇2 = ẋ (3.1) Para o circuito elétrico, faz-se uma analogia força-voltagem, com base na Lei das Malhas de kirchhof. Onde q representa a carga elétrica instantânea, L a indutância, R a resistência, C a capacitância e e a fonte de tensão. Os termos Ls, Rs e Cs representam respectivamente a indutância, resistência e capacitância do eletro shaker. Portanto, as energias cinética (T) e potencial (V) são definidas por: 39 Energia Cinética T = 1 2 [m.ẋ2 +Ls.q̇2] (3.2) Energia Potencial V = 1 2 x2.(Kmagb−Kmagt )− (−S.q̇.x)+ 1 2 ( 1 Cs .q2) (3.3) V = 1 2 x2.(Kmagb−Kmagt )+S.q̇.x+ 1 2 ( 1 Cs .q2) (3.4) O termo Kmagb−Kmagt descreve a rigidez da força magnética e o coeficiente S é o coeficiente de acoplamento entre os sistemas elétrico e mecânico. Com S = 2.π.Ns.ls.Bs, onde Ns é o número de voltas da bobina do shaker, ls é o tamanho da bobina e Bs é a força média do campo magnético do shaker. Função de dissipação de Rayleigh D = 1 2 [cmẋ2 + ceẋ2 +Rsq̇2] (3.5) A partir das energias do sistema, constrói-se a função Lagrangiana, (L), que é definida pela diferença entre as energias cinética (T ) e potencial (V ) e as equações do movimento do sistema são as derivadas da função Lagrangiana em função das coordenadas generalizadas e do tempo. Lagrangeano L = T −V L = 1 2 [m.ẋ2 +Ls.q̇2]− [ 1 2 x2.(Kmagb−Kmagt )+S.q̇.x+ 1 2 ( 1 Cs .q2)] (3.6) L = 1 2 .m.ẋ2 + 1 2 .Ls.q̇2− 1 2 .x2.(Kmagb−Kmagt )−S.q̇.x− 1 2 ( 1 Cs .q2) (3.7) d dt ( ∂L ∂ẋ )− ( ∂L ∂x )+( ∂D ∂ẋ ) = 0 (3.8) 40 e d dt ( ∂L ∂q̇ )− ( ∂L ∂q )+( ∂D ∂q̇ ) = e.cos(Ω.t) (3.9) Onde x é o deslocamento da massa magnética central e q é a carga elétrica do shaker. logo, para o oscilador: ∂L ∂ẋ = m.ẋ (3.10) d dt ( ∂L ∂ẋ ) = m.ẍ (3.11) ∂L ∂x = −x.(Kmagb−Kmagt )−S.q̇ (3.12) ∂D ∂ẋ = cm.ẋ+ ce.ẋ (3.13) logo, a equação dinâmica para o oscilador é definida por: d dt ( ∂L ∂ẋ )− ∂L ∂x + ∂D ∂ẋ = m.ẍ+ x.(Kmagb−Kmagt )+S.q̇+ cm.ẋ+ ce.ẋ = 0 (3.14) As equações provenientes do movimento do eletroshaker são: ∂L ∂q̇ = Ls.q̇+S.x (3.15) d dt ( ∂L ∂q̇ ) = Ls.q̈+S.ẋ (3.16) ∂L ∂q = − 1 Cs .q (3.17) ∂D ∂q̇ = Rs.q̇ (3.18) 41 Concluindo que a equação dinâmica para o eletroshaker é dada pela expressão a seguir: d dt ( ∂L ∂q̇ )− ∂L ∂q + ∂D ∂q̇ = Lsq̈+S.ẋ+ 1 Cs .q+Rs.q̇ = e.cos(Ω.t) (3.19) Portanto o sistema de equações para o sistema oscilatório é:  mẍ+ x.(Kmagb−Kmagt )+S.q̇+ cm.ẋ+ ce.ẋ = 0 Lsq̈−S.ẋ+ 1 Cs .q+Rs.q̇ = e.cos(Ω.t) (3.20) 3.1 Definição da força magnética (Kmag) De acordo com o experimento realizado por Mann (2009) a força magnética pode ser expressa na forma de série de potências. F(x) = Fb−Ft = 3 ∑ n=0 αn.(x+d)n− 3 ∑ n=0 αn.(d− x)n (3.21) Onde Fb é a força do magneto inferior, Ft é a força do magneto superior e d é o espaçamento entre os magnetos. Os coeficientes αn foram obtidos experimentalmente por (??)) Portanto: F(x) = (2.α1 +4.d.α2 +6.d2.α3).x+2.α3.x3 = k.x+ k3.x3 (3.22) 42 Logo, é possível reescrever o sistema de equações 3.20 da seguinte forma  m.ẍ+ k.x+ k3.x3 +S.q̇+ cm.ẋ+ ce.ẋ = 0 m.q̈−S.ẋ+ 1 Cs .q+Rs.q̇ = e.cos(Ω.t) (3.23) Onde k = 2.α1+4.d.α2+6.d2.α3 representa a rigidez linear e k3 = 2.α3 representa a rigidez não linear do sistema. 3.2 Equações para o modelo de captação de energia O circuito apresentado a seguir, representa a captação de energia através das forças eletro- magnéticas induzidas pelo oscilador magnético. A equação para o circuito elétrico de captação de energia é obtida aplicando a Lei de Kirchoff para circuitos elétricos. Logo: i.(Rload +Rint)−α.ẋ = 0 (3.24) Onde i = dq dt é a corrente elétrica, Rload e Rint são as resistências externa e interna respectivamente e α é o termo de acoplamento eletromecâncio definido por α = N.l.B com N é o número de voltas da bobina, l o tamanho da bobina e B é a força média do campo magnético. Amortecimento elétrico (ce) De acordo com a Lei de Faraday, o amortecimento elétrico surge devido à introdução da bobina para converter energia mecânica em elétrica. Assim, da equação 3.24, segue que i = α Rload +Rint ẋ (3.25) 43 Figura 3.2: Diagrama do circuito de captação de energia. Portanto, ce = α2 Rload +Rint ⇒ i = ce α .ẋ⇒ α.i = ce.ẋ (3.26) Sendo assim, o termo ce.ẋ deve ser introduzindo na equação 3.20.  mẍ+ kx+ k3x3 +Sq̇+ cmẋ+ceẋ = 0 Lsq̈−Sẋ+ 1 Cs q+Rsq̇ = ecos(Ωt) (3.27) Dividindo a primeira equação por m e a segunda por Ls obtem-se:  ẍ+ k mx+ k3 m x3 + S m q̇+ cm+ce m ẋ = 0 q̈− S Ls ẋ+ 1 CsLs q+ Rs Ls q̇ = e Ls cos(Ωt) (3.28) Fazendo τ = ω0t, segue que: d dt = ω0 d dτ d2 dt2 = ω 2 0 d dτ2 Com ω2 0 = k m 44 Introduzindo as variáveis adimensionais X = x x0 e Q = q q0 sendo assim ẋ = x0ω0X ′ ⇒ ẍ = x0ω 2 0X ′′ q̇ = q0ω0Q ′ ⇒ q̈ = q0ω 2 0Q ′′ Logo, o sistema pode ser escrito na forma adimensional da seguinte forma:  X ′′ +X +W3X3 +α2Q ′ +α1X ′ = 0 Q ′′−α3X ′ +W4Q+α4Q ′ = Ecos(Θτ) (3.29) Onde: W3 = k3x2 0 mω2 0 ,W4 = 1 CsLsω 2 0 α1 = cm + ce mω0 ,α2 = Sq0 mω0x0 ,α3 = Sx0 Lsω0q0 ,α4 = Rs Lsω0 E = e q0Lsω 2 0 ,Θ = Ω ω0 Capítulo 4 RESULTADOS NUMÉRICOS Os parâmetros utilizados para as simulações numéricas estão na Tab. 3.1 cujos valores estão de acordo com Mann (2009). Em geral, todos os parâmetros de Tab. 3.1 são considerados como padrão para as simulações a seguir. No entanto, alguns deles, tais como: a amplitude e de excitação, a rigidez e o amorteci- mento serão variados ao longo do trabalho, a fim de analisar a dinâmica e a coleta de energia do sistema. É importante notar que um dos parâmetros que tem uma importância primordial para a Colheita é a amplitude da excitação externa E, porque maior a amplitude maior será a coleta de energia. No entanto a excitação externa depende dos valores de outros parâmetros. Além disso, a condição inicial a ser considerada é X = [0000]. Os parâmetros utilizados nas simulações serão identificados a seguir, Tabela 3, e estão de 45 46 acordo com Mann (2009). Tabela 4.1: Parâmetros do Sistema utilizados para as simulações numéricas. Parâmetros Valores Descrição α1 0.62 Amortecimento do Bloco α2 0.64944 Termo de acoplamento mecânico α3 0.64944 Termo de acoplamento elétrico α4 0.1499 Capacitância do vibrador eletrodinâmico W3 4.0 Rigidez cúbica do bloco central W4 9.108 Termo resistivo do vibrador eletrodinâmico E 3.07 Amplitude de excitação externa Θ 3.1215 Frequência de excitação externa N 7 Número de voltas da bobina B 36 Força média do campo magnético l 1 Tamanho da bobina Com os parâmetros apresentados na tabela 3.1, foram obtidos os resultados a seguir. 4.1 Comportamento dinâmico O comportamento dinâmico do sistema foi analisado através de simulações numéricas usando um integrador ode113 (adams bashforth), e os algoritmos foram feitos em Matlab R©. A análise foi realizada observando o plano de fase, histórico do deslocamento no tempo, mapa de Poincaré, diagramas de bifurcação, cálculo do expoente de Lyapunov e bacia de atração. A partir das equações dinâmicas do sistema, é possível observar vários parâmetros que são uma grande influência para o seu comportamento do sistema. Além disso, é possível observar um número limitado desses parâmetros a serem estudados. Portanto, o estudo da influência destes parâmetros no sistema é uma das maiores características envolvidas neste trabalho. 47 Utilizando os parâmetros apresentados na tabela 3.1, o sistema se demonstrou ter um com- portamento irregular ou quasi-periódico como pode ser observado nas figuras 4.1 a seguir. (a) (b) (c) Figura 4.1: Comportamento do sistema (a) X1: Deslocamento da massa magnética central, (b) Plano fase X1xX2, (c) mapa de Poincaré X1xX2 48 É possível observar também que, dependendo da condição inicial, o sistema tende a um dos dois atratores distintos. As figuras 4.2 e 4.3 mostram as bacias de atração para E = 3.07, α1 = 0.62 (fig.4.2) e E = 3.12, α1 = 0.594 (fig.4.3) que evidenciam tal afirmação. (a) (b) (c) (d) Figura 4.2: Bacia de atração E = 3.07, α1 = 0.62 49 (a) (b) (c) (d) Figura 4.3: Bacia de atraçãoE = 3.12, α1 = 0.594 50 A rigidez cúbica (W3), o amortecimento (α1) do sistema e a resistência do shaker (W4) são alguns dos parâmetros mais importantes, pois mostram o quanto a não linearidade influencia na dinâmica do sistema. No entanto, a alteração desses parâmetros também podem diminuir e aumentar a coleta de energia. (a) (b) (c) (d) Figura 4.4: Diagrama de Bifurcação W3 (a) resposta de X1 para variação de W3, (b) zoom da resposta de X1 para variação de 2 6 W3 6 8.5, (c) resposta de X2 para variação de W3, (d) zoom da resposta de X2 para variação de 2 6W3 6 8.5 Os diagramas de bifurcação para W3 e W4 operando no intervalo de 06W3 6 15 e 06W4 6 15 são construídos nas Figs. 4.3a e 4.3c para observar o que acontece em cada intervalo de variação desses dois parâmetros. Nos intervalos 0 6 W3 6 2 e 8.5 6 W3 6 15, o sistema mantém-se periódico. No entanto, no intervalo 2 6W3 6 8.5, o sistema apresenta um movimento irregular, isto é, uma órbita quasiperíodica ou comportamento caótico. A região de aproximação no 51 intervalo 2 6W3 6 8.5 na Fig. 4.3b e 4.3d, é possível concluir que o movimento irregular tem regiões de órbita quasiperíodica e regiões caóticas. O mesmo ocorre para o comportamento periódico para 0 6W4 6 8.2 e9.9 6W4 6 15 e um comportamento que pode ser quasiperíodico ou caótico dependendo da região.(Fig4.4) (a) (b) (c) (d) Figura 4.5: Diagrama de Bifurcação W4 (a) resposta de X1 para variação de W4, (b) zoom da resposta de X1 para variação de 8.2 6 W4 6 10.0, (c) resposta de X2 para variação de W3, (d) zoom da resposta de X2 para variação de 8.2 6W4 6 10.0 52 Somente após o cálculo do Expoente de Lyapunov e a verificação de pelo menos um expoente positivo é possível afirmar que o sistema apresnta um comportamento caótico. Variando os parâmetros W3 e W4 nota-se que o sistema, observando figuras 4.5a e 4.5b, apresenta pelo menos um dos expoentes positivo, constatando a presença de caos para os valores de W3 = 4 e W4 = 9.108. (a) (b) Figura 4.6: Expoente de Lyapunov (a) W3, (b) W4 53 (a) (c) (b) (d) Figura 4.7: Diagrama de Bifurcação e Expoente de Lyapunov (a) e (b) Coeficiente de amortecimento do sistema mecânico α1, (c) e (d) Amplitude de excitação externa E 54 Fixando os valores de W3 = 4 e W4 = 9.108, e variando os valores da amplitude de excitação externa e do coeficiente de amortecimento do bloco em valores próximos á fronteira entre duas regiões (caótica e quasiperiodica) (figuras 4.6a e 4.6b), é possível verificar as configurações possíveis entre E e α1 em que tem-se regiões de estabilidade (vermelho) ou instabilidade(azul). (Figuras 4.7 e 4.8 ) (a) (b) (c) (d) Figura 4.8: Diagrama de estabilidade bi dimensional 55 4.2 Projeto proposto para a coleta de energia Nesta secção, as relações do circuito eléctrico, isto é,será definido o circuito de coleta de energia através de forças electromagnéticas induzidas pelo oscilador magnético, ilustrado na Fig. Fig3.1 . A equação para o circuito de coleta de energia é obtida pela aplicação da lei de Kirchoff para circuitos elétricos, que é mostrada pela Eq. 4.1. Figura 4.9: Diagrama do circuito de coleta de energia i(Rload +Rint)−αẋ = 0 (4.1) Onde i = dq dt é a corrente elétrica, Rload e Rint são as resistências externas e internas res- pectivamente e α é o termo de acoplamento eletromecânico definido para α = NLB com N é o Número de rotações da bobina, l o tamanho da bobina e B é a intensidade média do campo magnético. De acordo com a Lei de Faraday, o amortecimento elétrico é dado a partir da introdução da bobina para converter energia mecânica em eletricidade. Assim, a equação 4.1, segue que: i = α (Rload +Rint) ẋ (4.2) 56 Portanto ce = α2 (Rload +Rint) ⇒ i = ce α ẋ⇒ αi = ceẋ (4.3) De acordo com a equação Eq. (4.3), a potência harvest pode ser escrita da seguinte forma: P = i2Rload = ( α Rload +Rint ẋ )2 Rload Pdimensional = (ce α ẋ )2 Rload (4.4) Padimensional = (CeX ′)2 (4.5) Onde Ce = ce α x0ω0 √ Rload . Com a mesma variação dos parâmetros α1 e E utilizadas na figura 4.7, (0.0 6 α1 6 1.5 e 1.0 6 E 6 5.0) obtém-se a potência "harvesting"média para cada combinação dos parâmetros. (figura 4.11) (a) (b) Figura 4.10: Colheita de energia:Variação do nível de captação de energia variando α1 e E 57 Conforme a observação feita no início do capítulo, a figura 4.11 mostra que, quanto maior a amplitude de excitação externa, maior a energia colhida no sistema. Porém, a quantidade de energia colhida depende, também, de outros parâmetros, entre eles a rigidez da massa magnética centro oscilante e a rigidez (W3) do Shaker eletrodinâmico (W4). Variando esses dois parâmetros (1 6 W3 6 9) e (8 6 W4 6 10) é possível observar que a região de maior coleta de energia está em 2 6W3 6 4 e 9 6W4 6 10. (a) (b) Figura 4.11: Colheita de energia: Variação do nível de captação de energia variando W3 e W4 Sendo assim, tomando W3 = 2.4269 e W4 = 9.5631 está em uma região de maior coleta de energia conforme mostra a figura 4.12. Para essa configuração de valores, o sistema apresenta um comportamento periódico de período 1, tornando possível assim, a coleta de energia para o conjunto de parâmetros adotados. conforme mostram as figuras 4.13. 58 (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 4.12: Colheita de energia variando a rigidez cúbica e a resistência do shaker 59 (a) (b) (c) Figura 4.13: Comportamento dinâmica do sistema no ponto de máxima coleta de energia Figura 4.14: Potência harvest coletada Capítulo 5 BUSCA DE UMA SOLUÇÃO ANALÍTICA APROXIMADA USANDO-SE O MÉTODO DAS MÚLTIPLAS ESCALAS O que caracteriza um método de perturbação é a escolha "a priori"da representação da solução, que é procurada como sendo série de potências de um pequeno parâmetro ε , ou seja, x(t)≈ ∑εkΦk(t). Em geral, as funções Φk(t)são soluçõoes de equações diferenciais e quanto maior for o número de termos da série, melhor será a aproximação da solução. Nayfeh apresenta uma descrição dos principais métodos de perturbação: método da expansão direta, técnica de Lindstead-Poincaré, método da renormalização, método da média e média generalizada e método das múltiplas escalas. Todos esses métodos são caracterizados pela presença do pequeno parâmetro ε , o qual aparece naturalmente ou é introduzido na equação 60 61 com a finalidade de obter solução analítica aproximada. Um aspecto prático importante do método de perturbação consiste na substituição de um problema não linear por uma sequência de problemas lineares, que na verdade, constituem um único problema linear com dados recursivos. O método das múltiplas escalas é um método de perturbação no qual introduzimos diferentes escalas de tempo como se fossem variáveis independentes distintas. Isso transforma o estudo do sistema de equações diferenciais ordinárias no estudo de um sistema de equações diferenciais parciais. Essa aparente complexidade que o sistema ganha devido a introdução das transformações é compensada pelos fatos de conseguirmos encontrar uma solução livre de termos seculares mistos e propiciar a análise dos vários fenômenos de ressonância. Da mesma forma que os termos seculares mistos, os fenômenos de ressonâncias internas são determinados pela expansão direta da solução do sistema. Termos ressonantes são também chamados pequenos divisores e podem ser primários ou secundários, dependendo da ordem da potência de ε em que aparecem na solução da expansão direta. No método das múltiplas escalas, termos com pequenos divisores são transformados em termos seculares mistos através da introdução do parâmetro de sintonia ε , consequentemente, podem ser eliminados através da imposição das condições de eliminação de termos seculares. Essas condições fornecem as equações diferenciais que dão as funções que tornam a solução livre 62 de termos seculares mistos. Como, em geral, as equações obtidas também são não lineares, então a resolução dessas equações diferenciais pode ser tão difícil quanto a resolução das equações originais. No entanto, para os estados estacionários precisamos resolver e analisar um sistema de equações algébricas e, portanto, teoricamente, mais fácil de obter conclusões analíticas. O método das múltiplas escalas tem a vantagem de que podemos trabalhar com notação complexa, o que torna mais claro e concisa as manipulações algébricas associado ao fato de possibilitar fazer a análise dos casos de ressonâncias internas que ocorrem no sistema. Na aplica- ção do método das múltiplas escalas vamos precisar analisar os diversos casos de ressonâncias existentes no sistema e, por isso, precisamos determinar os termos seculares e os termos que geram pequenos divisores. Termos que geram pequenos divisores dominam a solução do sistema e termos seculares tornam as soluções inválidas depois de um certo intervalo de tempo. Para a determinação de termos seculares e pequenos divisores encontramos a expansão direta da solução em série de potencias de ε . 5.1 Pesquisa de uma Solução Analítica pelo Método de Esca- las Múltiplas O método das escalas múltiplas consiste em um método aplicado em equações não lineares que procuram uma solução analítica aproximada para rodear o comportamento modal do sistema acoplado. Portanto, é necessário encontrar soluções para uma grande ordem de tempo, isto é, escalas múltiplas de tempo (Tn = εnt, thus: T0 = t; T1 = εt; T2 = ε2t...), uma vez que o parâmetro ε assume como um valor pequeno, porém indicando o balanço de ordem (Nayfeh, AH, 1981) 63 (Nayfeh, AH, Mook, DT, 1979). Portanto, em primeiro lugar, as derivadas na variável t devem ser escritos em termos das derivadas de Tn como segue: d dt = D0 + εD1 + ε 2D2 + ... d2 dt2 = D2 0 +2εD0D1 + ... where Dn = ∂ ∂Tn . Considerando a solução aproximada das equações de movimento do sistema s Eqs. (5.1) e (5.2). X = u0 + εu1 (5.1) Q = v0 + εv1 (5.2) Substituindo Eqs. (5.1) , (5.2) e suas respectivas derivadas, a solução, considerando apenas a 1a ordem, é dada pelas equações Eqs. (5.3) - (5.6). O(ε0) D2 0u0 +u0 = 0 (5.3) D2 0v0 +W4v0 = 0 (5.4) 64 O(ε1) D2 0u1 +u1 =−D0α1u0−W3u3 0−D0α2v0−2D0D1u0 (5.5) D2 0v1 +W4v1 = D0α3u0−D0α4v0−2D0D1v0 +Ecos(ΘT0) (5.6) Considerando as soluções de Eqs. (5.3) e (5.4) como: u0(T0,T1) = A1(T1)eiT0 + Ā1(T1)e−iT0 v0(T0,T1) = A2(T1)ei √ W4T0 + Ā2(T1)e−i √ W4T0 e substituindo nas equações (5.5) and (5.6), tornando (5.7) e (5.8). D2 0u1 +u1 =−iα1A1eiT0−W3(A3 1e3iT0 +3A2 1Ā1eiT0)− .. i √ W4α2A2ei √ W4T0−2iA′1eiT0 + cc (5.7) D2 0v1 +W4v1 = iα3A1eiT0− i √ W4α4A2ei √ W4T0− ... i2 √ W4A′2ei √ W4T0 + 1 2 EeΘT0 + cc (5.8) A partir deste ponto, duas seções serão consideradas discutindo as soluções do sistema considerando a ressonância da força externa com o Shaker, uma vez que a coleta máxima ocorre com o sistema em ressonância. 65 5.1.1 Caso ressonante O caso ressonante considerará a ressonância entre a frequência da tensão de entrada com a frequência natural do Shaker eletrodinâmico. Portanto, as condições de solvabilidade dependerão, Θ = √ W4 + εσ Portanto, os termos seculares das equações (5.7) e (5.8) passam a ser as equações (5.9) e (5.10). −iα1A1−3W3A2 1Ā1−−i2A′1 = 0 (5.9) −i √ W4A2α4− i2 √ W4A′2 + 1 2 EeiσT1 = 0 (5.10) restando, D2 0u1 +u1 =−W3A3 1e3iT0− i √ W4α2A2ei √ W4T0 + cc (5.11) D2 0v1 +W4v1 = iα3A1eiT0 + cc (5.12) Resolvendo as nova equações (5.11) e (5.12), As soluções de segunda ordem da solução completa são dadas pelas equações (5.13) e (5.14). u1 = W3A3 1e3iT0 8 − i α2 √ W4 1−W4 A2ei √ W4T0 + cc (5.13) v1 = i α3A1 W4−1 eiT0 + cc (5.14) 66 Eliminando o secular resolvendo as equações (??) and (??) nas constantes A1 e A2, introdu- zindo a notação polar como a equação (??) e separando as equações (5.15) e (5.16) em parte real e parte imaginária, segue que: ℜ a′1 =− α1a1 2 a′2 =− α4a2 2 + E 2 √ W4 sinγ (5.15) ℑ a1θ ′ 1 = 3 8 W3a3 1 a2θ ′ 2 =− E 2 √ W4 cosγ (5.16) onde γ = σT1−θ2. As soluções de a1 e θ1 das equações (5.15) and (5.16) são dadas pelas equações (5.17) e (5.18). a1 = e− α1 2 T1 +a0 (5.17) θ1 = 3 8 W3a2 1T1 (5.18) Para a2 e θ2 das equações (5.15) e (5.16), elimina-se primeiramente θ2 resultando na expres- são a seguir: a′2 =− α4a2 2 + E 2 √ W4 sinγ γ ′ =− E 2a2 √ W4 cosγ−σ (5.19) Para soluções do estado estacionário (órbitas periódicas) a′2 = γ′ = 0, a solução da equação (5.19) é dada por (5.20) e (5.21) 67 a2 = E 2 √ W4σ cos ( arctan ( α4 2σ )) (5.20) θ2 = σT1− arctan ( α4 2σ ) (5.21) Portanto, A solução aproximada do caso ressonante no regime de estado estacionário é dada pelas equações (6.1) e (6.2). X = a0 cosω1t + ... ε [ −W3 32 cos3ω1t + α2 √ W4 1−W4 ( E 2 √ W4σ cos ( arctan ( α4 2σ ))) sin(ω2t +φ) ] (5.22) Q = ( E 2 √ W4σ cos ( arctan ( α4 2σ ))) sin(ω2t +φ)− ε α3 W4−1 sina0ω1t (5.23) onde ω1 =−α1 2 ε+ 3 8W3a2 0ε+1 , and ω2 = √ W4 + εσ, φ = arctan ( α4 2σ ) . A potência obtida para essa solução foi de Pavg = 0.7400, cerca de 15% menor que o resultado obtido numericamente Pavg = 0.8731. 68 (a) (b) (c) (d) Figura 5.1: Método das múltiplas escalas: a) Histórico no tempo X , b) Plano fase X , c) Histórico no tempo Q, d) Plano fase Q 69 Figura 5.2: Potência harvest coletada Capítulo 6 CONCLUSÕES No presente estudo proposto, é possível concluir e considerar alguns fatos importantes. Inicialmente foi possível perceber que o novo dispositivo maglev de captação de energia possui uma grande instabilidade devido à natureza de suas forças restauradoras. Além disso, o sistema possui um comportamento caótico que deve ser evitado para uma otimização da energia coletada. Diante do objetivo principal apresentado nesse trabalho, podemos concluir: • O modelo matemático do sistema eletromecânico através das equações dinâmicas, gerou um novo dispositivo de coleta de energia que utiliza o campo magnético gerado por imãs para transformar energia vibratória em energia elétrica; • O comportamento do sistema a partir da variação dos parâmetros, demostrou que para alguns valores apresenta comportamento periódico, enquanto para uma grande parte o comporta- mento mostrou-se irregular com características de comportamento caótico. Tal comportamento deve ser evitado a fim de obter a máxima coleta de energia; 70 71 Figura 6.1: Novo modelo obtido a partir do modelo de Mann(2009) • Foi possível verificar, na região estudada, que a região em torno de W3 = 2.4269 e W4 = 9.5631 são os melhores valores para coleta de energia; • Quanto a solução analítica para o sistema através do método de múltiplas escalas. Foi possível observar a amplitude e a fase para o sistema através das equações X = a0 cosω1t + ... ε [ −W3 32 cos3ω1t + α2 √ W4 1−W4 ( E 2 √ W4σ cos ( arctan ( α4 2σ ))) sin(ω2t +φ) ] (6.1) Q = ( E 2 √ W4σ cos ( arctan ( α4 2σ ))) sin(ω2t +φ)− ε α3 W4−1 sina0ω1t (6.2) 72 • Além disso, a potência coletada através da solução analítica foi certa de 15,25% menor que a potência obtida numéricamente, o que foi considerado satisfatório para os objetivos do trabalho. Figura 6.2: Potência harvest coletada Trabalhos Futuros Com o intuito de aprofundar os resultados deste trabalho, as etapas propostas para compreen- são deste tema são: • Estudo aprofundado nos resultados obtidos com os diagramas do espaço dos parâmetros; • Realizar uma possível experiência futura para comprovar os resultados obtidos numerica- mente e analiticamente; • Intensificar o estudo teórico e prático quanto as turbinas MagLev. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Álvarez, Adelheid Ingeborg Mahla. 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