
Universidade Estadual Paulista

Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira

Departamento de F́ısica e Qúımica

Transporte quântico fracionário assistido por excitações

de quasipart́ıcula do tipo Majorana-Ising

José Eduardo Cardozo Sanches

Ilha Solteira - SP

Fevereiro de 2024


UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira

Departamento de F́ısica e Qúımica

Programa de Pós-Graduação em Ciência dos Materiais

Transporte quântico fracionário assistido por excitações

de quasipart́ıcula do tipo Majorana-Ising

José Eduardo Cardozo Sanches

Orientador: Antonio Carlos Ferreira Seridonio

Tese apresentada à Faculdade de Engenharia

- UNESP - Campus de Ilha Solteira, para

obtenção do t́ıtulo de Doutor em Ciência dos

Materiais.

Ilha Solteira - SP

Fevereiro de 2024


Sanches Transporte quântico fracionário assistido por excitações de quasipartícula do tipo Majorana-IsingIlha Solteira2024 85 Sim Tese (doutorado)Ciências dos MateriaisFísica da Matéria CondensadaNão

FICHA CATALOGRÁFICA

Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação

Sanches, José Eduardo Cardozo.
Transporte quântico fracionário assistido por excitações de quasipartícula do 

tipo Majorana-Ising / José Eduardo Cardozo Sanches. -- Ilha Solteira: [s.n.], 2024
85 f. : il.

Tese (doutorado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia 
de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Física da Matéria Condensada , 2024

Orientador: Antonio Carlos Ferreira Seridonio

Inclui bibliografia

1. Excitações de quasipartícula do tipo Majorana-Ising (MIQ). 2. Modos zero
de Majorana (MZM). 3. Poor Man'S Majorana. 

S211t


Impacto e relevância cient́ıfico-social

Não é de hoje que as pesquisas envolvendo férmions de Majorana tem se destacado no ambi-

ente cient́ıfico, espera-se que a detecção e aplicação dessas quasipart́ıculas possam ser um novo

marco no desenvolvimento da ciência e tecnologia, partindo-se de sua premissa sem igual no

que tange posśıveis aplicações ao campo emergente e extremamente almejado da computação

quântica. O estudo e aplicação dos férmions de Majorana pode abarcar uma grande revolução,

pois o desenvolvimento de computadores quânticos livres do efeito de decoerência, resisten-

tes a falhas, capazes de realizar tarefas complexas e que sejam estáveis poderiam promover

uma melhora significativa na compreensão de determinadas áreas da ciência e tecnologia, bem

como a criptografia/descriptografia de informações, auxiliar no desenvolvimento de simulações

complexas, alavancar o progresso na construção e aplicação de inteligências artificiais, entre

outras.

O entendimento e a busca por plataformas capazes de sustentar a emergência de férmions

de Majorana se faz fundamental, partindo-se de suas possibilidades de aplicação. Dessa forma,

nossos esforços em estudos teóricos buscam trazer um pouco de luz, por mais básica que seja a

contribuição, ao entendimento do comportamento e de posśıveis formas de se detectar fémions

de Majorana, bem como a compreensão de sua manifestação em sistemas de matéria conden-

sada.

3


Agradecimentos

Deixo aqui meus mais sinceros agradecimentos a todos que fizeram parte de minha jornada

até aqui, especialmente para:

Meus pais, José e Maria, por todo o carinho, pelos ensinamentos, pelas experiências com-

partilhadas e por todo o apoio nos momentos mais complicados.

A meu irmão, Adriano, que sempre apoiou minha jornada das mais diferentes formas, nunca

foi alguém de dizer o que eu deveria ou não fazer, mas sempre deu suporte de uma forma ı́mpar.

Meu orientador, Prof. Seridonio, por todo o conhecimento compartilhado, os incentivos,

todas as ricas conversas e pela paciência em me orientar ao longo dessa jornada.

Aos meus amigos de pesquisa Willian e Luana por todo o companheirismo e por todas as

discussões e conhecimentos constrúıdos ao longo desse peŕıodo.

Aos meus amigos Welinton (O Japa), Mizobata (Mizo), Eduardo (Kiwi) e Guilherme (Shen)

pelas noites de jogos, por todas as conversas nos mais variados temas, por todo o suporte e

também por todo o apoio nas crises e momentos dif́ıceis.

A minha amiga Mariana pelas incontáveis e valiosas conversas, pelos ensinamentos e ques-

tionamentos que desempenharam um papel importante nos últimos anos.

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior (CAPES) pelo aux́ılio

financeiro que tornou posśıvel a realização desta tese e de outros trabalhos.

4


Não busques que os acontecimentos

sejam como queres, mas queira que os

acontecimentos sejam como são, com o

que serás feliz.

Epicteto

5


Resumo

Em nosso estudo investigamos teoricamente a emergência das excitações de quasipart́ıculas

do tipo Majorana-Ising (do inglês, MIQ: Majorana-Ising-type quasiparticle) por meio das pro-

priedades espectrais de uma impureza quântica (do inglês, QI: quantum impurity). Tais ex-

citações emergem em um sistema composto por uma QI flanqueada por um supercondutor

topológico (do inglês, TSC: topological superconductor) finito e uma ponta spin-polarizada,

com spin inteiro S. O acoplamento da ponta à QI é dado por uma interação de troca do tipo

Ising. Em nosso sistema os modos zero de Majorana (do inglês, MZMs: Majorana zero modes),

que emergem nas bordas do TSC unidimensional, estão superpostos e nós encontramos um

regime em que o termo oriundo da interação de Ising é capaz de modular a localização de um

estado ressonante e fracionalizado de MZM no śıtio da QI, o qual nomeamos de MIQ. A análise

da condutância diferencial, decomposta nas componentes de tunelamento eletrônico e reflexões

de Andreev, nos revelou a natureza fermiônica do estado MIQ como puramente eletrônica, a

contribuição advinda dos processos de Andreev entre QI e os terminais metálicos se mostrou

nula. Os estados de MIQ que descreveremos neste trabalho podem ser compreendidos como

uma forma de manifestação dos chamados poor man’s Majoranas [Nature 614, 445 (2023)].

Palavras-chave: Excitações de quasipart́ıcula do tipo Majorana-Ising (MIQ), modos zero

de Majorana (MZM) e poor man’s Majorana.

6

https://www.nature.com/articles/s41586-022-05585-1


Abstract

In our study we theoretically investigate the emergence of the Majorana-Ising-Type quasi-

particle (MIQ) excitation through the spectral properties of a quantum impurity (QI). Such

excitations can arise in a system composed by the coupling between a finite topological super-

conductor (TSC) and a spin-polarized tip, with integer spin S, flanking the QI. The coupling

between the tip and the QI is given by an Ising-type exchange interaction. In our system the

Majorana zero modes (MZMs), which emerge on the edges of the 1D TSC, are overlapped

and we find a regime wherein the Ising term modulates the localization of a fractionalized and

resonant MZM at the QI site, called by us MIQ. The analysis of the differential conductance,

decomposed into the electronic tunneling and Andreev reflections components, revealed the

fermionic nature of the MIQ state as purely electronic and a null contribution arising from

the Andreev processes between the tip and the metallic leads. The MIQ state described in

this work can be understood as a manifestation of the poor man’s Majoranas [Nature 614, 445

(2023)].

Keywords: Majorana-Ising-type quasiparticle (MIQ) excitation, Majorana zero mode (MZM)

and poor man’s Majorana.

7

https://www.nature.com/articles/s41586-022-05585-1
https://www.nature.com/articles/s41586-022-05585-1


Lista de Figuras

1.1 Retrato do f́ısico italiano Ettore Majorana. Fonte: Ramón Aguado [1]. . . . . . 14

2.1 Representação esquemática da receita para a criação do nanofio de Kitaev. Na-

nofio semicondutor (em azul), supercondutor s-wave e as designações para campo

spin-órbita (BSO) e campo magnético (B). Os asteriscos em vermelho indicam

os MZMs [15]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Alexei Y. Kitaev. Professor no Instituto de Tecnologia da Califórnia (Caltech -

California Institute of Technology). Fonte: caltech.edu. . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Representação esquemática do modelo de Kitaev para: (a) Fase trivial em que os

fémions de Majorana (calotas azuis e vermelhas) se acoplam no mesmo śıtio [Eq.

(2.7)] compondo um férmion regular. (b) Fase topológica na qual os férmions

Majorana de śıtios vizinhos adjacentes se acoplam [Eq. (2.8)], isolando assim

dois Majoranas nas bordas do sistema. O śıtio fermiônico não local [Eq. (2.9)]

formado por γA,1 e γB,N , os dois Majoranas isolados na fase topológica, está

representado em (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Dispersão na energia para as quasipart́ıculas supercondutoras Ek com ∆ = t/2

(linhas cont́ınuas azuis) e dispersão para os elétrons na ausência da influência

supercondutora ϵk com ∆ = 0 (linhas vermelhas tracejadas), obtidas a partir da

Eq. (2.27) para o modelo de Kitaev considerando diferentes valores de potencial

qúımico µ. A dispersão de Ek e ϵk apresentam gap quando µ < −t (a) e também

para µ > t (f), gap esse que se fecha nos pontos k = 0 quando µ = −t e

k = ±π para µ = t, painéis (b) e (e), respectivamente. Porém, quando |µ| < t a

dispersão para ϵk apresenta uma caráter metálico enquanto tem-se a reabertura

do gap para a dispersão Ek [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8

https://pma.caltech.edu/people/alexei-kitaev


2.5 Painel da esquerda: Imagem de microscópio eletrônico de varredura do disposi-

tivo utilizado por Mourik et. al. [15] em que um nanofio semicondutor de InSb

(Indium antimonide - Antimoneto de ı́ndio) está em contato com um eletrodo

metálico-normal (N) e supercondutor (S). Um campo magnético B é aplicado pa-

ralelamente ao nanofio. Painel da direita: Condutância diferencial para múltiplos

valores de B, as medidas foram efetuadas a uma temperatura de 50 mK. Um

pico em V = 0 emerge para B entre ∼ 100 e ∼ 400mT, correspondendo a uma

amplitude de G ∼ 0.05G0. Adaptado da Ref. [15]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 (a) Micrografia em cores falsas do dispositivo com um ponto quântico descrito

pela circunferência tracejada. (b) o espectro do sistema em função da voltagem

do ponto quântico Vdot para superposição finita entre os MBSs e (c) para o caso

ideal, em que ambos os MBSs se encontram isolados nas bordas do nanofio.

(d) condutância diferencial considerando um campo magnético B = 1 T que

apresenta concordância com a predição estabelecida pelo painel (b). Adaptado

a partir da Ref. [27]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7 (Artigo retratado) (a) Micrografia em cores falsas do aparato experimental no

painel superior e seu esquema no painel inferior. (b) Condutância diferencial

dI/dV em função da voltagem V e do campo magnético B, apresentando a

coalescência de dois estados ligados de Andreev (ABSs) em um pico de volta-

gem zero (ZBP) quantizado com o aumento do valores de B, o painel inferior

(com ćırculos vermelhos) apresenta um corte, do painel superior, para a V = 0.

Adaptado de [29]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

9


2.8 O modelo mı́nimo de Kitaev. (a) Representação de dois pontos quânticos (circun-

ferências tracejadas) que podem se acoplar diretamente, por meio de um termo

do tipo hopping t, e via supercondutor com uma amplitude ∆, pela reflexão cru-

zada de Andreev (do inglês, CAR: Crossed Andreev reflection). (b) Diagrama de

energia da cadeia mı́nima de Kitaev, representando a ajustabilidade dos potenci-

ais qúımicos nos QDs, µLD e µRD. (c) Ilustração do dispositivo e do circuito para

efetuar as medições. A representação dos QDs é explicitada pelos potenciais tra-

cejados sobre o nanofio InSb. (d) Microscopia eletrônica de varredura em cores

falsas do dispositivo antes da fabricação dos terminais metálicos normais, a cor

verde está indicando o nanofio semicondutor, em azul a representação do super-

condutor e os QDs são representados pelas circunferências tracejadas. Adaptado

da Ref. [31]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.9 Condutância diferencial para t = ∆ dada em função da voltagem e da variação da

energia do QD da direita VRD. (a) e (b) dizem respeito a assinatura experimental

obtida e a prevista pela teoria, respectivamente. Os perfis verticais ressonantes

em voltagem zero paraGLL eGRR destacam a robustez dos poor man’s Majoranas

contra perturbações locais. Adaptado da Ref. [31]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1 Philip Warren Anderson (1923 - 2020) foi um f́ısico estadunidense e recebeu o

premio Nobel de F́ısica em 1977. Fonte: nobelprize.org . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Representação esquemática do modelo de Anderson com uma impureza magnética

sob um hospedeiro metálico. A intensidade da hibridização impureza-hospedeiro

é determinada pelo parâmetro V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

10

https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1977/anderson/facts/


4.1 (a) Representação esquemática do dispositivo proposto, composto por uma ca-

deia de átomos depositados sob uma matriz supercondutora do tipo s-wave capaz

de induzir, por efeito de proximidade, a supercondutividade do tipo p-wave na

cadeia. Uma das bordas do nanofio (cadeia de átomos) se acopla a uma impu-

reza quântica (QI) que é lateralmente flanqueada por dois terminais metálicos e

que também acopla-se a uma ponta spin-polarizada. (b) Visão lateralizada do

sistema apresentado no painel (a), evidenciando o acoplamento da QI à ponta

spin-polarizada, dado pela interação de troca do tipo Ising J , e aos terminais

metálicos, dados por Γ. (c) Modelo efetivo do nanofio contendo MZMs nas bor-

das (nanofio de Kitaev) que podem se superpor com uma amplitude εM e em que

apenas γ1 se acopla a QI por λ1. (d) Modelo efetivo para o regime de estados

ligados de Andreev obtido quando |λ1| ∼ |λ2|. (e) Descritos na base fermiônica

os MZMs, γ1 e γ2, se comportam como um férmion não local f , cujo o ńıvel de

energia é descrito por εM . O ńıvel de energia da QI é divido em 2S+1 ńıveis que

vão de −J(S/2) até +J(S/2), já o hopping t e emparelhamento supercondutor

∆ são responsáveis pela troca de informação entre o śıtio f e a QI [10]. . . . . . 39

7.1 Representação esquemática do sistema proposto para se estudar as operações

do tipo braiding obtidas por meio do desenvolvimento e estudo de funções de

Green. Quatro nanofios de Majorana semi-infinitos nos quais consideramos ape-

nas os Majoranas presentes em uma suas bordas, γ1,2,3,4. O acoplamento entre

Majoranas adjacentes é dado por tM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.2 Representação do sistema proposto para se estudar o modelo mı́nimo de Kitaev

sob influência de um spin S que se acopla a uma das componentes do d́ımero

por um termo do tipo Ising J . Os śıtios µL e µR podem ser decompostos nas

componentes de Majorana γ1,2 e γ3,4, respectivamente, e se acoplam por meio de

um hopping t e uma amplitude emparelhamento supercondutor ∆. . . . . . . . 81

11


Sumário

1 Introdução 14

2 Férmions de Majorana em F́ısica da Matéria Condensada 16

2.1 Modelo de Kitaev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Propriedades de Bulk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Detecção experimental de férmions de Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Formalismo matemático 32

3.1 Modelo de Anderson de uma Impureza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Funções de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Equação de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Modelo estudado 39

4.1 Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Densidade de estados da QI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.1 Sumário das GFs para a QI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.2 Spin up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.3 Spin down . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 DOS para as quasipart́ıculas de Majorana da QI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3.1 Definindo as GFs de Majorana na QI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4 Quasipart́ıculas de Majorana do śıtio f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Fractionalization of Majorana-Ising-type quasiparticle excitations 62

5.1 Artigo publicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6 Conclusões 78

12


7 Publicações e perspectivas futuras 79

13


Caṕıtulo 1

Introdução

Figura 1.1: Retrato do f́ısico italiano
Ettore Majorana.
Fonte: Ramón Aguado [1].

No ano de 1937 o f́ısico italiano Ettore Majorana

propôs uma solução alternativa, em termos de funções

de onda reais, para a equação de Dirac. Essa repre-

sentação possúıa implicações profundas, pois esse tipo

de função de onda descreve part́ıculas que são suas

próprias antipart́ıculas [1–3], diferentemente de elétrons

e pósitrons. Em prinćıpio, a proposta de Ettore se res-

tringia à F́ısica de altas energias e tinha como premissa

propor que essas novas e exóticas part́ıculas poderiam

ser/descrever os neutrinos [1, 3]. Essa proposta per-

manece em estudo, como é o caso do decaimento beta

duplo de neutrinos [4].

A busca por férmions de Majorana (do inglês, MFs -

Majorana fermions) manteve-se restrita as áreas associadas à F́ısica de altas energias por talvez

mais de 60 anos [1]. Porém, atualmente a busca por MFs em sistemas de matéria condensada

está entre os tópicos mais atrativos da F́ısica, isso se deve ao grande potencial de aplicação dos

MFs para o desenvolvimento de uma computação quântica topológica livre de decoerências e

tolerante à falhas [5–9].

Em f́ısica da matéria condensada, os MFs não se manifestam como part́ıculas fundamentais,

mas sim como excitações de quasipart́ıcula e satisfazem a propriedade de part́ıculas iguais suas

próprias antipart́ıculas, como proposto por Ettore Majorana em 1937. Tais excitações podem

14


ser descritas, em linguagem de segunda quantização, pelos operadores

Ψ = Ψ†. (1.1)

Para que tal condição seja satisfeita, as excitações de Majorana não devem possuir massa, carga

e sua energia é igual a zero.

Motivados pela busca e entendimento do comportamento dos MFs em sistemas de matéria

condensada, nesta tese vamos apresentar nossa contribuição para o desenvolvimento da área.

Este trabalho está estruturado da seguinte maneira:

1. Caṕıtulo 2: Abordaremos uma breve introdução de como os férmions de Majorana podem

emergir no contexto de f́ısica da matéria condensada, comentando sobre a engenharia de

materiais necessária para dar origem a sistemas que contenham tais férmions, devido

a raridade de materiais naturalmente capazes de tal feito. Apresentaremos também o

modelo de Kitaev, seguido pelo cenário experimental envolvendo a busca por MFs.

2. Caṕıtulo 3: Apresentaremos o formalismo matemático que foi utilizado no desenvolvi-

mento de nosso artigo [10], sumarizando o modelo de Anderson, uma vez que utilizamos

Hamiltonianos semelhantes, as funções de Green e o formalismo da equação de movimento

(EOM).

3. Caṕıtulo 4: Abordaremos os cálculos efetuados para a obtenção das funções de Green

necessárias para determinação da densidade de estados tanto da impureza quântica quanto

das quasipart́ıculas de Majorana.

4. Caṕıtulo 5: Apresentaremos o artigo publicado Fractionalization of Majorana-Ising-type

quasiparticle excitations [Phys. Rev. B 107, 155144 (2023)], em que investigamos a

posśıvel fracionalização de férmions de Majorana, bem como suas caracteŕıstica espec-

trais e de transporte quântico em um sistema composto por um nanofio supercondutor

topológico lateralmente acoplado a uma impureza quântica que é flanqueada por dois

terminais metálicos e que também se acopla, por uma interação do tipo Ising, com uma

ponta spin polarizada.

5. Caṕıtulo 6: Apresentaremos as conclusões.

15

https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.107.155144


Caṕıtulo 2

Férmions de Majorana em F́ısica da

Matéria Condensada

No contexto de F́ısica da Matéria Condensada, diferentemente da f́ısica de altas energias, os

férmions de Majorana não emergem como part́ıculas fundamentais, como é o caso de elétrons

em núcleos atômico, mas sim como excitações de quasipart́ıcula [1, 3, 5, 11]. Como proposto

por Ettore Majorana, tais excitações satisfazem a relação de part́ıcula igual a sua própria

antipart́ıcula e podem ser descritas em linguagem de segunda quantização pelos operadores

Ψ = Ψ†.

Seguindo a premissa de que tais excitações de Majorana satisfazem uma relação que es-

tabelece a igualdade entre part́ıcula e buraco (os buracos são o análogo das antipart́ıculas no

contexto de Matéria Condensada), os supercondutores se mostram como plataformas promis-

soras para a emergência de tais excitações, uma vez que as quasipart́ıculas que descrevem esses

materiais, os pares de Cooper, podem ser definidas como a superposição de elétrons e bura-

cos [3]. A transformação de Bogoliubov é muito comum em estudos com supercondutores e

estabelece uma relação entre as excitações de part́ıcula e buraco [3, 5]. Porém, os supercon-

dutores convencionais do tipo s-wave não são o suficiente para a emergência das excitações

de quasipart́ıcula de Majorana, uma vez que nestes supercondutores os pares de Cooper são

formados por elétrons com spins opostos, violando assim a relação Ψ = Ψ†. Para fins de exem-

plificação, os operadores em um supercondutor s-wave podem ser escritos como d = uc†↑ + vc↓

e d† = v∗c†↓ + u∗c↑, o que deixa claro que são dois operadores distintos [3].

Como declarado anteriormente um tipo diferente de supercondutividade se faz necessária

para a emergência dos férmions de Majorana. Um supercondutor “spinless”, em que apenas uma

16


orientação de spin está presente nos elétrons do condensado supercondutor geraria a plataforma

ideal. A caracteŕıstica spinless resulta em um supercondutor p-wave em uma dimensão [3,5,7,

11–14], como é o caso do modelo do fio de Kitaev (discutiremos mais adiante).

Supercondutores p-wave são extremamente raros na natureza e devido a essa dificuldade,

certa engenharia de materiais se faz necessária para gerar a supercondutividade p-wave partindo

de sistemas mais simples e já conhecidos. Uma das receitas para se atingir este fim exige apenas

três ingredientes simples, sendo eles: um supercondutor s-wave convencional, acoplamento spin-

órbita (SOC - spin-orbit coupling) e a aplicação de um campo magnético externo [1,3,5,11,15].

Estes ingredientes podem ser organizados como apresenta a Fig. 2.1, onde se tem um nanofio

semicondutor com forte acoplamento spin-órbita na superf́ıcie de um supercondutor s-wave

para que, por efeito de proximidade, a supercondutividade seja induzida no nanofio.

Figura 2.1: Representação es-
quemática da receita para a criação
do nanofio de Kitaev. Nanofio semi-
condutor (em azul), supercondutor
s-wave e as designações para campo
spin-órbita (BSO) e campo magnético
(B). Os asteriscos em vermelho
indicam os MZMs [15].

O ingrediente final é a aplicação de um campo

magnético paralelo ao nanofio e perpendicular ao SOC.

A combinação desses ingredientes é capaz gerar a su-

percondutividade p-wave e de levar o sistema à fase

topológica em que os modos zero de Majorana (MZMs

- Majorana zero modes) emergem.

Um modelo importante para o desenvolvimento da

área foi proposto em 2001, o chamado modelo de Ki-

taev [12]. Esse desempenhou um papel fundamental no

desenvolvimento do trabalho que apresentaremos nesta

tese, pois partimos da premissa da existência de um

nanofio de Kitaev, já na fase topológica, em que dois

MZMs estão isolados em suas bordas e analisamos o

comportamento dessas excitações de quasipart́ıcula quando acopladas a diferentes sistemas,

como discutiremos mais adiante. Em função da relevância do modelo de Kitaev, a próxima

seção será dedicada a seu estudo.

17


2.1 Modelo de Kitaev

Figura 2.2: Alexei Y. Kitaev.
Professor no Instituto de Tecno-
logia da Califórnia (Caltech - Ca-
lifornia Institute of Technology).
Fonte: caltech.edu.

O modelo proposto em 2001 por Alexei Kitaev, também

conhecido como Kitaev toy model [3,5,12], consiste de uma

cadeia linear unidimensional de śıtios fermiônicos com su-

percondutividade do tipo p-wave. O modelo consiste na

análise do chamado regime trivial, em que não há MZMs,

e do regime topológico no qual os MZMs emergem como

estados isolados nas bordas do sistema. O Hamiltoniano

tight-binding para elétrons spinless que descreve o modelo

pode ser escrito da seguinte forma

H = −µ
∑

x

c†xcx −
1

2

N−1∑

x

(tc†xcx+1 +∆cxcx+1 +H.c.), (2.1)

sendo µ o potencial qúımico associado a ocupação de cada śıtio, t é o termo de hopping entre

śıtios vizinhos adjacentes e ∆ a amplitude de emparelhamento supercondutor do tipo p-wave.

Os operadores c†x e cx descrevem a criação e aniquilação, respectivamente, de elétrons no śıtio

x e obedecem as relações de anticomutação fermiônicas [cj, cx]+ = [c†j, c
†
x]+ = 0 e [cj, c

†
x]+ = δjx.

Para entendermos como as propriedade associadas à fase/regime não-trivial (topológica)

podem emergir em um sistema como o proposto por Kitaev é fundamental reescrevermos a Eq.

(2.1) na base de operadores de Majorana, em que cada operador fermiônico é decomposto em

duas componentes de Majorana segundo as relações

cx =
1

2
(γB,x + iγA,x) (2.2)

e

c†x =
1

2
(γB,x − iγA,x), (2.3)

em que γA,x e γB,x obedecem a relação γα = γ†α, que assegura a condição de Majorana, cuja

part́ıcula é igual a sua própria antipart́ıcula. Dessa forma, intuitivamente, os férmions de Ma-

jorana podem ser interpretados como “estados de meio férmion regular”, uma vez que cada

operador fermiônico usual pode ser reformulado pela combinação de dois operadores de Majo-

18

https://pma.caltech.edu/people/alexei-kitaev


rana [5]. Tais operadores respeitam também as relações

[γαx, γα′j]+ = 2δxjδαα′ e γ2αx = γ†αxγαx = 1. (2.4)

Dessa forma, tendo os operadores fermiônicos [Eqs. (2.2) e (2.3)] definidos em suas compo-

nentes de Majorana, é posśıvel reescrever o Hamiltoniano Eq. (2.1) como:

H = −µ
4

∑

x

(γB,xγB,x + iγB,xγA,x − iγA,xγB,x + γA,xγA,x)

− i
t

4

∑

x

(γB,xγA,x+1 − γA,xγB,x+1)

+ i
∆

4

∑

x

(γB,xγA,x+1 + γA,xγB,x+1), (2.5)

em que podemos utilizar as relação estabelecidas pela Eq. (2.4). Assim, o Hamiltoniano assume

a forma

H = −µ
2

N∑

x=1

(1 + iγB,xγA,x)−
i

4

N−1∑

x=1

[(t+∆)γB,xγA,x+1 + (∆− t)γA,xγB,x+1]. (2.6)

Consideremos agora dois casos limites para o Hamiltoniano Eq. (2.6), associado à proposta

de Kitaev [12]. Sendo que o primeiro deles corresponde a t = ∆ = 0 e µ ̸= 0, nesse regime o

segundo termo do Hamiltoniano desaparece, ou seja,

H = −µ
2

N∑

x=1

(1 + iγB,xγA,x), (2.7)

descrevendo assim o caso trivial. Note que apenas o termo de potencial qúımico se faz presente e

é descrito por operadores de Majorana que emparelham-se no mesmo śıtio x, como apresentado

na Fig. 2.3(a), sendo que µ é a energia necessária para que tal śıtio seja populado. Para

descrever o segundo caso limite assumimos µ = 0 e t = ∆ ̸= 0, obtendo

H = −it
2

N−1∑

x=1

γB,xγA,x+1, (2.8)

que descreve a fase topológica do modelo. Como podemos notar os operadores de Majorana

acoplam-se apenas entre śıtios vizinhos adjacentes, como exibido pela Fig. 2.3(b). A carac-

19


γA,1

a) Fase Trivial

γB,1 γA,2 γB,2 γA,3 γB,3 γA,N-1 γB,N-1 γA,N γB,N

γA,1 γB,1

γA,1 γB,N

γA,2 γB,2 γA,3 γB,3 γA,N-1 γB,N-1 γA,N γB,N

b) Fase Topológica

c) Sítio não-local  f f

Figura 2.3: Representação esquemática do modelo de Kitaev para: (a) Fase trivial em que os
fémions de Majorana (calotas azuis e vermelhas) se acoplam no mesmo śıtio [Eq. (2.7)] com-
pondo um férmion regular. (b) Fase topológica na qual os férmions Majorana de śıtios vizinhos
adjacentes se acoplam [Eq. (2.8)], isolando assim dois Majoranas nas bordas do sistema. O
śıtio fermiônico não local [Eq. (2.9)] formado por γA,1 e γB,N , os dois Majoranas isolados na
fase topológica, está representado em (c).

teŕıstica principal da fase topológica se dá pelo fato de que os férmions de Majorana γA,1 e

γB,N nas bordas da cadeia de Kitaev não são descritos pelo Hamiltoniano [Eq. (2.8)], ou seja,

estão isolados nas bordas do sistema e, consequentemente, temos as relações [H, γA,1] = 0 e

[H, γB,N ] = 0.

Os dois férmions de Majorana isolados nas bordas do sistema, também chamados de estados

ligados de Majorana (MBS - Majorana bound states), podem ser reescritos dando origem a um

estado fermiônico descrito como

f =
1

2
(γA,1 + iγB,N). (2.9)

O operador fermiônico f é considerado não local, uma vez que os MBSs que o compõem estão

espacialmente separados [Fig. 2.3(c)].

Na próxima seção analisaremos as propriedades de Bulk do modelo unidimensional de Kitaev

e como esse se comporta para distintos valores de potencial qúımico µ, termo de hopping t e

amplitude de emparelhamento supercondutor ∆ (p-wave).

2.2 Propriedades de Bulk

Nesta seção vamos investigar as propriedades de Bulk do modelo de Kitaev, para isso consi-

deraremos a análise do sistema no espaço dos momentos k com condições periódicas de contorno

para a cadeia unidimensional [1, 3, 5, 11]. Para obtermos o Hamiltoniano Eq. (2.1) no espaço

20


dos momentos utilizaremos a transformada de Fourier, reescrevendo assim os operadores dos

śıtios da cadeia em operadores dependentes do momento por meio das relações [16]:

cx =
1√
N

∑

k

e−ikxack (2.10)

e

c†x =
1√
N

∑

k

eikxac†k, (2.11)

sendo a o parâmetro de rede. Seguindo tais definições reescreveremos os termos da Eq. (2.1),

sendo o primeiro deles

N∑

x=1

c†xcx =
N∑

x=1

1√
N

∑

k

eikxac†k
1√
N

∑

k′

e−ik′xack′

=
N∑

x=1

1

N

∑

kk′

ei(k−k′)xac†kck′ =
∑

kk′

c†kck′
N∑

x=1

1

N
ei(k−k′)xa

=
∑

kk′

c†kck′δkk′

=
∑

k

c†kck, (2.12)

em que podemos reconhecer a definição da delta de Kronecker

δkk′ =
N∑

x=1

1

N
ei(k−k′)xa =




0, se k ̸= k′

1, se k = k′
. (2.13)

Façamos o mesmo para os termos de hopping e emparelhamento supercondutor da Eq. (2.1),

respectivamente,

N−1∑

x=1

c†xcx+1 =
N−1∑

x=1

1√
N

∑

k

eikxac†k
1√
N

∑

k′

e−ik′(x+1)ack′ =
N−1∑

x=1

1

N

∑

kk′

eikxae−ik′(x+1)ac†kck′

=
∑

kk′

e−ik′ac†kck′
N−1∑

x=1

1

N
ei(k−k′)xa =

∑

kk′

e−ik′ac†kck′δkk′

=
∑

k

e−ikac†kck, (2.14)

21


N−1∑

x=1

c†x+1cx =
N−1∑

x=1

1√
N

∑

k

eik(x+1)ac†k
1√
N

∑

k′

e−ik′xack′ =
N−1∑

x=1

1

N

∑

kk′

eik(x+1)ae−ik′xac†kck′

=
∑

kk′

eikac†kck′
N−1∑

x=1

1

N
ei(k−k′)xa =

∑

kk′

eikac†kck′δkk′

=
∑

k

eikac†kck (2.15)

e

N−1∑

x=1

cxcx+1 =
N−1∑

x=1

1√
N

∑

k

e−ikxack
1√
N

∑

k′

e−ik′(x+1)ack′ =
N−1∑

x=1

1

N

∑

kk′

e−ikxae−ik′xae−ik′ackck′

=
∑

kk′

e−ik′ackck′
N−1∑

x=1

1

N
e−i(k+k′)xa =

∑

kk′

e−ik′ackck′δk,−k′

=
∑

k

eikackc−k =
∑

k

e−ikac−kck, (2.16)

de forma análoga obtemos o Hermitiano conjugado

N−1∑

x=1

c†xc
†
x+1 =

∑

k

eikac†kc
†
−k. (2.17)

Dessa forma o Hamiltoniano de Kitaev no espaço dos momentos torna-se:

H = −µ
∑

k

c†kck −
1

2

∑

k

t(e−ikac†kck + eikac†kck)

− 1

2

∑

k

∆(e−ikac−kck + eikac†kc
†
−k)

=
∑

k

(−µ− t cos(ka))c†kck −
∆

2

∑

k

(e−ikac−kck + eikac†kc
†
−k)

=
∑

k

εkc
†
kck −

∆

2

∑

k

(e−ikac−kck + eikac†kc
†
−k), (2.18)

sendo εk = −µ− t cos(ka) o termo de energia cinética. O Hamiltoniano pode ser escrito em um

formato mais compacto utilizado o formalismo de Bogoliubov-de Gennes (BdG) [3,5], que pode

ser obtido fazendo-se uso das propriedades de anticomutação ([cα, c
†
α′ ]+ = cαc

†
α′ + c†α′cα = δαα′).

22


Sendo assim, façamos

∑

k

εkc
†
kck =

1

2

∑

k

(εkc
†
kck + εkc

†
kck)

=
1

2

∑

k

(εkc
†
kck + εk(1− ckc

†
k))

=
1

2

∑

k

(εkc
†
kck − ε−kc−kc

†
−k) +

1

2

∑

k

εk, (2.19)

∑

k

e−ikac−kck =
1

2

∑

k

(e−ikac−kck + e−ikac−kck)

=
1

2

∑

k

(e−ikac−kck − e−ikackc−k)

=
1

2

∑

k

(e−ikac−kck − eikac−kck)

=
1

2

∑

k

c−kck(e
−ika − eika)

= −
∑

k

i sin(ka)c−kck (2.20)

e

∑

k

eikac†kc
†
−k =

1

2

∑

k

(eikac†kc
†
−k + eikac†kc

†
−k)

=
1

2

∑

k

(eikac†kc
†
−k − eikac†−kc

†
k)

=
1

2

∑

k

(eikac†kc
†
−k − e−ikac†kc

†
−k)

=
∑

k

i sin(ka)c†kc
†
−k. (2.21)

Assim, o Hamiltoniano assume a forma:

H =
1

2

∑

k

(εkc
†
kck − ε−kc−kc

†
−k)−

∆

2

∑

k

i sin(ka)c−kck +
∆

2

∑

k

i sin(ka)c†kc
†
−k +

1

2

∑

k

εk

=
1

2

∑

k

(εkc
†
kck − ε−kc−kc

†
−k) +

1

2

∑

k

∆kc−kck +
1

2

∑

k

∆∗
kc

†
kc

†
−k +

1

2

∑

k

εk

=
1

2

∑

k

(εkc
†
kck − ε−kc−kc

†
−k +∆kc−kck +∆∗

kc
†
kc

†
−k) +

1

2

∑

k

εk, (2.22)

23


em que ∆k = −i∆sin(ka) é a energia renormalizada que descreve o emparelhamento super-

condutor oriunda da transformada de Fourier. De maneira equivalente, a Eq. (2.22) pode ser

descrita no formalismo matricial (omitindo o termo constante),

H =
1

2

∑

k

(
c†k c−k

)

 εk ∆∗

k

∆k −ε−k




 ck

c†−k


 . (2.23)

Em sistemas supercondutores, é natural definirmos os espinores de Nambu Ψ†
k =

(
c†k c−k

)

e Ψk =


 ck

c†−k


 [16]. Dessa maneira podemos escrever

H =
1

2

∑

k

ψ†
kHBdGψk, (2.24)

sendo que

HBdG =


 εk ∆∗

k

∆k −ε−k


 (2.25)

é o Hamiltoniano BdG.

Os ńıveis de energia Ek são essenciais, já que almejamos analisar as propriedades do Bulk,

e são dados pela solução da equação

|HBdG − E(k)I| = 0, (2.26)

em que I é a matriz identidade 2 × 2 e E(k) são as autoenergias associadas ao Hamiltoniano

BdG. A solução da expressão gera duas bandas de dispersão [5]

E(k)± = ±
√
ε2k + |∆k|2 = ±

√
(µ+ t cos(ka))2 +∆2 sin2(ka), (2.27)

em que os ńıveis positivos e negativos de energia correspondem os estados de part́ıcula e buraco,

respectivamente.

A Figura 2.4 mostra a dispersão na energia Ek para as quasipart́ıculas supercondutoras

(linhas cont́ınuas azuis), com ∆ = t/2, e a dispersão para os elétrons sem influência da su-

percondutividade ϵk (linhas tracejadas vermelhas), quando ∆ = 0, para diferentes valores de

24


E
/t

E
/t

E
/t

k k

a) b)

c) d)

e) f)

Figura 2.4: Dispersão na energia para as quasipart́ıculas supercondutoras Ek com ∆ = t/2
(linhas cont́ınuas azuis) e dispersão para os elétrons na ausência da influência supercondutora
ϵk com ∆ = 0 (linhas vermelhas tracejadas), obtidas a partir da Eq. (2.27) para o modelo
de Kitaev considerando diferentes valores de potencial qúımico µ. A dispersão de Ek e ϵk
apresentam gap quando µ < −t (a) e também para µ > t (f), gap esse que se fecha nos pontos
k = 0 quando µ = −t e k = ±π para µ = t, painéis (b) e (e), respectivamente. Porém, quando
|µ| < t a dispersão para ϵk apresenta uma caráter metálico enquanto tem-se a reabertura do
gap para a dispersão Ek [5].

25


potencial qúımico µ, considerando o parâmetro de rede a = 1 e a amplitude de hopping t = 1.

O painel (a) da Fig. 2.4 apresenta tanto ϵk quanto Ek, ambos com perfis semelhantes, exibindo

gap para µ < −t. A mesma semelhança se faz presente quando µ > t [Fig. 2.4(f)], em que am-

bas as dispersões, ϵk e Ek, novamente apresentam gap. Sendo assim, o sistema será dotado de

gap quando |µ| > t. De acordo com a Eq. (2.27), o sistema terá seu gap fechado quando os dois

termos da raiz forem simultaneamente iguais a zero, sendo assim, quando |∆k| = ∆sin(ka) = 0

e isso acontece para k = 0 e k = ±π, já o termo de energia cinética ϵk = −µ− t cos(ka) é zero

quando k coincide com o momento de Fermi kF , ϵk(kF ) = 0, então −µ − t cos(kFa) = 0 [5].

Dessa forma, o gap para ambas as dispersões ϵk (linhas vermelhas) e Ek (linhas azuis) se fecha

com k = 0,±π, quando µ = −t e para µ = t, como mostram os painéis Fig. 2.4(b) e (e),

respectivamente.

Para o regime em que |µ| < t, apresentado em Fig. 2.4(c) e (d), ambas as dispersões

eletrônica e supercondutora se comportam de forma diferente. Nesse intervalo a dispersão

eletrônica ϵk não possui gap, exibindo assim um comportamento metálico, cujo momento de

Fermi kF pode ser extráıdo a partir da relação t cos(kFa) = −µ [5]. Por outro lado, a dispersão

das quasipart́ıculas supercondutoras Ek é definida por um gap finito.

No que tange a dispersão associada à Ek, o valor µ = ±t separa dois regimes qualitativa-

mente distintos, sendo o primeiro relativo ao chamado regime de emparelhamento forte, quando

|µ| > t, e o segundo ao regime de emparelhamento fraco, para |µ| < t. É importante desta-

car que a transição de um regime para o outro envolve necessariamente o fechamento do gap

(quando µ = ±t) e que é essa transição que atribui ao sistema caracteŕısticas topológicas, em

que os MBSs não locais emergem como modos de energia zero no regime de emparelhamento

fraco [1, 3, 5].

2.3 Detecção experimental de férmions de Majorana

Esta seção terá como objetivo apresentar um pouco do avanço experimental no que concerne

a detecção de férmions de Majorana. Daremos mais ênfase a experimentos associados a nanofios

e modelos análogos ao sistema proposto por Kitaev, discutido na seção 2.1, pois estes estão

mais diretamente relacionados aos trabalhos desenvolvidos ao longo de meu doutorado e ao

escopo desta tese.

A primeira afirmação da observação experimental de férmions de Majorana foi realizado

26


Figura 2.5: Painel da esquerda: Imagem de microscópio eletrônico de varredura do dispo-
sitivo utilizado por Mourik et. al. [15] em que um nanofio semicondutor de InSb (Indium
antimonide - Antimoneto de ı́ndio) está em contato com um eletrodo metálico-normal (N) e
supercondutor (S). Um campo magnético B é aplicado paralelamente ao nanofio. Painel da
direita: Condutância diferencial para múltiplos valores de B, as medidas foram efetuadas a
uma temperatura de 50 mK. Um pico em V = 0 emerge para B entre ∼ 100 e ∼ 400mT,
correspondendo a uma amplitude de G ∼ 0.05G0. Adaptado da Ref. [15].

em 2012 por Mourik et.al. [15]. O dispositivo utilizado pelos pesquisadores é apresentado pelo

lado esquerdo da Fig. 2.5 em que um nanofio semicondutor de InSb (Indium antimonide -

Antimoneto de ı́ndio) com forte SOC é colocado entre dois eletrodos, um metálico-normal (N)

e um supercondutor (S), sob a ação de um campo magnético (B) paralelo ao nanofio. O painel

direito da Fig. 2.5 fornece a condutância diferencial dI/dV (2e2/h), em unidades do quantum

de condutância G0 = 2e2/h. Para um valor de B = 0, tem-se a emergência de dois picos

em V = ±250µeV (indicados pelas setas verdes) denotando as bordas do gap supercondutor

induzido no nanofio de InSb em função do efeito de proximidade com o eletrodo S. Quando o

valor de B aplicado se encontra entre ∼ 100 e ∼ 400 mT um pico em V = 0 pode ser observado

nos perfis de condutância, o que poderia sugerir a emergência de um MBS no nanofio. Vale

destacar que outras realizações experimentais, como nas Refs. [17–20], detectaram assinaturas

semelhantes.

Os resultados obtidos, embora promissores, não são congruentes com a assinatura de con-

dutância esperada em experimentos envolvendo MFs. A amplitude obtida pelos pesquisado-

res no experimento foi G ∼ 0.05G0, que é muito menor em relação a previsão teórica de

G0 = 2e2/h [15]. Apesar de promissora, essa assinatura em energia zero não é uma evidência

definitiva da detecção de um MBS, uma vez que outros fenômenos podem dar origem a assinatu-

ras próximas ou em zero imitando os MBSs, como é o caso de desordem [21], efeito Kondo [22],

estados de Andreev [23–26].

27


Uma segunda geração de experimentos envolveu a fabricação de sistemas h́ıbridos [27, 28],

com o crescimento epitaxial do supercondutor Al (alumı́nio) sobre a matriz do nanofio semi-

condutor de InAs (arseneto de ı́ndio), como apresentado pela Fig. 2.6(a), adaptada a partir da

Ref. [27] de 2018.

(a)

(d)(c)

(b)

Figura 2.6: (a) Micrografia em cores falsas do dispositivo com um ponto quântico descrito pela
circunferência tracejada. (b) o espectro do sistema em função da voltagem do ponto quântico
Vdot para superposição finita entre os MBSs e (c) para o caso ideal, em que ambos os MBSs se
encontram isolados nas bordas do nanofio. (d) condutância diferencial considerando um campo
magnético B = 1 T que apresenta concordância com a predição estabelecida pelo painel (b).
Adaptado a partir da Ref. [27].

O experimento Fig. 2.6(a) também considerou um ponto quântico (do inglês, QD: Quantum

dot) nativo (descrito pela circunferência tracejada em branco) na borda do nanofio semicondutor

com a finalidade de se obter caracteŕısticas detalhadas de transporte quântico em um sistema

contendo MBSs. Os painéis (b) e (c) apresentam os perfis espectrais em função da voltagem do

QD para a condição em que há uma superposição finita e para o caso em que ambos os MBSs

estão perfeitamente separados nas bordas do nanofio, respectivamente. Na Fig. 2.6(d) tem-se a

assinatura experimental obtida da condutância diferencial para B = 1 T, em que pode-se notar

uma significativa concordância com a predição estabelecida pelo painel (b), havendo assim uma

superposição finita entre os MBSs no nanofio.

No artigo experimental Quantized Majorana conductance [29], também publicado em 2018

(porém retratado), os autores afirmavam ter detectado um platô quantizado na condutância

G = 2e2/h em voltagem zero, o que seria a assinatura ideal de MBSs. O arranjo experimental

28


é apresentado na Fig. 2.7(a), em que se tem um sistema h́ıbrido, composto por um nanofio

semicondutor de InSb parcialmente coberto com uma fina casca supercondutora de Al.

Figura 2.7: (Artigo retratado) (a) Micrografia em cores falsas do aparato experimental no
painel superior e seu esquema no painel inferior. (b) Condutância diferencial dI/dV em função
da voltagem V e do campo magnético B, apresentando a coalescência de dois estados ligados
de Andreev (ABSs) em um pico de voltagem zero (ZBP) quantizado com o aumento do valores
de B, o painel inferior (com ćırculos vermelhos) apresenta um corte, do painel superior, para a
V = 0. Adaptado de [29].

A Figura 2.7(b) apresenta a condutância diferencial dI/dV , em unidades do quantum 2e2/h,

em função da voltagem V e do campo magnético B. É posśıvel identificar que os dois estados

ligados de Andreev (do inglês, ABS: Andreev bound state), inicialmente em V ∼ ±0.2 meV

para B = 0, se fundem com o aumento de B, dando origem a um pico de voltagem zero (do

inglês, ZBP: zero-bias peak) robusto. Essa robustez do ZBP é consistente com a assinatura

teórica esperada para Majoranas. O painel inferior (com ćırculos vermelhos) mostra que tal

robusteza se faz presente quandoB ∼ 0.74−0.92 T, para V = 0 meV, cuja altura alcança o valor

quantizado 2e2/h. Porém, para a infelicidade da comunidade cient́ıfica, o artigo foi retratado

em 2021, pois varias inconsistências foram encontradas por Sergey Frolov e Vincent Mourik

entre os dados “crus”obtidos a partir dos experimentos e os valores apresentados no artigo

publicado, como destacado na nota de retratação [30]. Em tal nota, os autores evidenciam que

a altura do platô, após a revisão, sofreu uma alteração de 8%, acima do valor G = 2e2/h, não

mais apresentando a assinatura ideal almejada em experimentos de detecção de MFs [29,30].

Uma outra proposta para se explorar experimentalmente sistemas que podem manifestar

excitações de Majorana, mais precisamente, neste caso, os chamados poor man’s Majoranas, foi

apresentada em 2023 pela Ref. [31], em que os autores exploraram o chamado modelo mı́nimo

29


de Kitaev.

a)

b)

c)

d)

Figura 2.8: O modelo mı́nimo de Kitaev. (a) Representação de dois pontos quânticos (cir-
cunferências tracejadas) que podem se acoplar diretamente, por meio de um termo do tipo
hopping t, e via supercondutor com uma amplitude ∆, pela reflexão cruzada de Andreev (do
inglês, CAR: Crossed Andreev reflection). (b) Diagrama de energia da cadeia mı́nima de Kitaev,
representando a ajustabilidade dos potenciais qúımicos nos QDs, µLD e µRD. (c) Ilustração do
dispositivo e do circuito para efetuar as medições. A representação dos QDs é explicitada
pelos potenciais tracejados sobre o nanofio InSb. (d) Microscopia eletrônica de varredura em
cores falsas do dispositivo antes da fabricação dos terminais metálicos normais, a cor verde está
indicando o nanofio semicondutor, em azul a representação do supercondutor e os QDs são
representados pelas circunferências tracejadas. Adaptado da Ref. [31].

Tais excitações foram inicialmente propostas por Flensberg (2012), Ref. [9], que as nomeou

de poor man’s Majorana bound states, uma vez que esses estados não são topologicamente prote-

gidos, porém compartilham caracteŕısticas de MBSs que podem emergir em sistemas de super-

condutividade topológica. A Figura 2.8(a) apresenta um esquema do chamado modelo mı́nimo

de Kitaev composto por um supercondutor convencional (retângulo azul) flanqueado por dois

QDS (circunferências tracejadas). Os QDs trocam informação por um termo de hopping t e

um termo oriundo do acoplamento supercondutor ∆. A Fig. 2.8(b) exibe uma representação

do diagrama de energia do sistema em que o potencial qúımico de ambos os QDs, µLD e µRD,

podem ser ajustados. O painel (c), da mesma figura, apresenta uma representação esquemática

do dispositivo experimental, cuja microscopia eletrônica de varredura é destacada no painel (d),

em que os QD novamente são descritos pelas circunferências tracejadas [31].

Uma caracteŕıstica relevante de tal sistema está associada a sua montagem discreta e

30


ajustável, experimentalmente falando, e a concordância entre experimento e teoria [31]. Isso se

deve ao fato de o modelo mı́nimo de Kitaev excluir problemas mais amplos [31–36], como a de-

sordem, que se fazem presentes em elaborações experimentais que buscam desenvolver nanofios

de Kitaev topológicos e longos o suficiente para se isolar os MBSs em suas bordas.

a)
b)

Figura 2.9: Condutância diferencial para t = ∆ dada em função da voltagem e da variação
da energia do QD da direita VRD. (a) e (b) dizem respeito a assinatura experimental obtida
e a prevista pela teoria, respectivamente. Os perfis verticais ressonantes em voltagem zero
para GLL e GRR destacam a robustez dos poor man’s Majoranas contra perturbações locais.
Adaptado da Ref. [31].

A Fig. 2.9 mostra a coerência entre os resultados experimentais obtidos para a condutância

diferencial em unidades do quantum 2e2/h [painel (a)] e a análise teórica dessa mesma quanti-

dade [painel (b)]. Os autores chamam atenção para as assinaturas verticais em voltagem zero

que aparecem tanto para GLL quanto na GRR, sendo as assinaturas para o QD da esquerda (left)

e direita (right), respectivamente, destacando que tais perfis persistem mesmo quando o poten-

cial de um dos QDs se afasta de zero. Essa observação experimental é de grade importância e

destaca a robustez dos nomeados poor man’s Majoranas contra perturbações locais [9, 31].

31


Caṕıtulo 3

Formalismo matemático

Neste caṕıtulo apresentaremos o formalismo matemático necessário para obtenção da chama

densidade de estados (do inglês, DOS: Density of states) que pode ser extráıda a partir da

expressão

DOS = − 1

π
Im[GR

Ψ;Ψ†(ω)] = − 1

π
Im[⟨⟨Ψ;Ψ†⟩⟩]. (3.1)

A partir dessa quantidade analisaremos o comportamento eletrônico dos sistemas estudados e,

vale destacar também que, a DOS é proporcional a condutância diferencial, DOS ∝ dI/dV .

Para obtermos a Eq. (3.1) estudaremos modelos análogos ao de Anderson, utilizando o for-

malismo das funções de Green, cuja evolução temporal de seus operadores será efetuada por

meio da técnica da equação de movimento (do inglês, EOM: Equation of motion) [16], como

apresentaremos a seguir.

32


3.1 Modelo de Anderson de uma Impureza

Figura 3.1: Philip Warren Anderson
(1923 - 2020) foi um f́ısico estaduni-
dense e recebeu o premio Nobel de
F́ısica em 1977.
Fonte: nobelprize.org

O conhecido e bem estabelecido modelo de Ander-

son foi desenvolvido em 1961 por Philip Warren An-

derson. Esse é um dos primeiros modelos na matéria

condensada a considerar sistemas f́ısicos com correlação

de muitos corpos. O modelo de Anderson de uma im-

pureza (do inglês, SIAM: Single Impurity Anderson

Model) está esquematizado na Fig. 3.2. Esse modelo

estuda a forma com que uma impureza magnética in-

terage com uma matriz metálica (não magnética), ou

seja, a maneira com que é estabelecida a formação de

momentos magnéticos em matrizes metálicas devido a

sua dopagem por impurezas com momentos magnéticos

bem definidos [16,37].

A Fig. 3.2 é uma representação esquemática do mo-

delo de Anderson de uma única impureza, cujo Hamil-

toniano pode ser escrito como [37]:

HSIAM = Hhost +Himp +Hhib, (3.2)

em que o primeiro termo representa o hospedeiro metálico, o gás de elétrons não interagente, e

é dado por

Hhost =
∑

σk

εσkc
†
σkcσk, (3.3)

sendo c†σk(cσk) o operador de criação (aniquilação) de elétrons com spin σ e número de onda k

para uma dada energia εσk. O termo da impureza é

Himp =
∑

σ

ϵdσndσ + Und↑nd↓, (3.4)

em que ndσ = d†σdσ é o operador número para elétrons com spin σ e energia ϵdσ, descrevendo

uma impureza de um único ńıvel. A amplitude U está associada a correlação entre os elétrons

33

https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1977/anderson/facts/


da impureza com spins contrários, nd↑ e nd↓ são os operadores número para os spins up e down,

respectivamente.

V

Figura 3.2: Representação es-
quemática do modelo de Anderson
com uma impureza magnética sob um
hospedeiro metálico. A intensidade
da hibridização impureza-hospedeiro é
determinada pelo parâmetro V .

Havendo uma superposição/hibridização dos esta-

dos da impureza e do hospedeiro, esses dois sistemas po-

dem trocar elétrons e essa troca é descrita pelo último

termo da Eq. (3.2),

Hhib =
∑

σk

V (d†σcσk +H.c.), (3.5)

com amplitude de hibridização dada por V . Apesar de

sua simplicidade, o modelo de Anderson é empregado

para descrever uma ampla variedade de sistemas cor-

relacionados na F́ısica da Matéria Condensada. Esse

modelo é fundamental, pois empregamos uma versão análoga no desenvolvimento do trabalho

que apresentaremos nos próximos caṕıtulos.

3.2 Funções de Green

O formalismo de funções de Green (do inglês, GFs: Green’s functions), desenvolvido por

George Green (1793 - 1842), é amplamente utilizado no estudo de equações diferenciais or-

dinárias e parciais em muitos ramos da Matemática e F́ısica. Na Mecânica Quântica, as GFs

podem ser empregadas como ferramentas para se resolver equações de Schrödinger, obtendo

os autovalores de um determinado Hamiltoniano sob ação de um potencial externo [16]. As

GFs são também conhecidas como propagadores, uma vez que associam a evolução temporal

de um operador relacionado a uma dada posição e tempo iniciais para outros valores de tempo

e espaço [16, 38].

No campo da F́ısica de Muitos Corpos as GFs possibilitam o estudo do espalhamento de

part́ıculas, sistemas fora do equiĺıbrio, Mecânica Estat́ıstica, entre outros. Nos estudos que

apresentaremos mais adiante, as GFs desempenharão um papel fundamental, pois, por serem

funções de correlação, elas permitem a obtenção de quantidades como a densidade de estados

que está no cerne de nossos resultados. Existem diversos tipos de GFs, porém faremos uso

34


apenas da função de Green retardada no equiĺıbrio [16,38], que pode ser escrita na forma

GR
σ (r, t; r’, t

′) = − i

ℏ
θ(t− t′)Z−1

e

∑

n

e−βEn⟨n|[Ψσ(r, t),Ψ
†
σ(r’, t

′)]+|n⟩, (3.6)

em que θ(t − t′) é a função degrau (ou Heaviside); Z = Tr{e−βH} é a função de partição do

sistema, sendo que Tr simboliza o traço e β = 1/(kBT ) com a constante de Boltzmann kB,

H é o Hamiltoniano do sistema em estudo. ⟨...⟩ descreve a média térmica sobre a operação

de anticomutação [..., ...]+ (também descrita por {..., ...}) dos operadores Ψ†
σ(r’, t

′) e Ψσ(r, t),

que representam, respectivamente, a criação de uma part́ıcula com spin σ na posição r’ no

instante t′ seguida de sua destruição em um ponto diferente de espaço r e tempo t. Nesse

ponto, podemos evidenciar a caracteŕıstica de propagador da função de Green, descrita por

meio da evolução temporal dos operadores [38].

A função de Green expressa pela Eq. (3.6) pertence ao domı́nio do tempo, ou seja, é função

de t e t′, porém a DOS, apresentada no ińıcio deste caṕıtulo, é obtida a partir da uma GF no

domı́nio da energia [Eq. (3.1) - note que não há dependência espacial, pois a DOS é obtida

localmente]. Sendo assim, a transformada de Fourier para transitar do domı́nio do tempo para

o da energia torna-se fundamental e tal procedimento será abordado por meio da técnica da

equação de movimento (EOM).

3.3 Equação de Movimento

Nesta seção abordaremos a técnica da EOM a partir da qual estudaremos a evolução tem-

poral dos operadores e consequentemente a dinâmica das GFs [38]. Consideremos então, para

fins de exemplificação, uma função de Green retardada, como a apresentada na Seção 3.2. Por

simplicidade a dependência espacial r’ será omitida e vamos considerar t′ = 0. Dessa forma,

temos a GF

GR
ηiηj

(t, 0) = − i

ℏ
θ (t− 0)Z−1

e

∑

n

e−βEn

〈
n

∣∣∣∣
[
ηi (t) , η

†
j (0)

]
+

∣∣∣∣n
〉
. (3.7)

35


Façamos a derivada da função GR com respeito ao tempo t,

∂

∂t
GR
ηiηj

(t, 0) = − i

ℏ

[
∂

∂t
θ (t− 0)

]
Z−1

e

∑

n

e−βEn

〈
n

∣∣∣∣
[
ηi (t) , η

†
j (0)

]
+

∣∣∣∣n
〉

− i

ℏ
θ (t− 0)Z−1

e

∑

n

e−βEn

〈
n

∣∣∣∣
[(

∂

∂t
ηi (t)

)
, η†j (0)

]

+

∣∣∣∣n
〉
, (3.8)

lembrando que derivada da função degrau corresponde a uma função delta de Dirac, ∂
∂t
θ(t−0) =

δ (t− 0). Para estudarmos a evolução temporal do operador ηi (t) façamos uso da equação de

Heisenberg, descrita por

iℏ
∂

∂t
ηi (t) = [ηi,H]

∂

∂t
ηi (t) = − i

ℏ
[ηi,H] . (3.9)

Sendo assim, a Eq. (3.8) torna-se

∂

∂t
GR
ηiηj

(t, 0) = − i

ℏ
δ (t− 0)Z−1

e

∑

n

e−βEn

〈
n

∣∣∣∣
[
ηi (t) , η

†
j (0)

]
+

∣∣∣∣n
〉

− i

ℏ
θ (t− 0)Z−1

e

∑

n

e−βEn

〈
n

∣∣∣∣
[
− i

ℏ
[ηi,H] , η†j (0)

]

+

∣∣∣∣n
〉

= − i

ℏ
δ (t− 0)Z−1

e

∑

n

e−βEn

〈
n

∣∣∣∣
[
ηi (t) , η

†
j (0)

]
+

∣∣∣∣n
〉

−
(
− i

ℏ

)
i

ℏ
θ (t− 0)Z−1

e

∑

n

e−βEn

〈
n

∣∣∣∣
[
[ηi,H] , η†j (0)

]
+

∣∣∣∣n
〉
, (3.10)

podemos reescrever, reconhecendo a GF descrita pelo último termo

GR
[ηi,H]ηj

(t, 0) = − i

ℏ
θ (t− 0)Z−1

e

∑

n

e−βEn

〈
n

∣∣∣∣
[
[ηi,H] , η†j (0)

]
+

∣∣∣∣n
〉
, (3.11)

dessa forma

∂

∂t
GR
ηiηj

(t, 0) = − i

ℏ
δ (t− 0)Z−1

e

∑

n

e−βEn

〈
n

∣∣∣∣
[
ηi (t) , η

†
j (0)

]
+

∣∣∣∣n
〉

− i

ℏ
GR
[ηi,H]ηj

(t, 0) . (3.12)

Vamos aplicar agora a transformada de Fourier para levar a GF do domı́nio do tempo para

36


o da energia. Tal transformada é descrita por

G̃R
ΨiΨj

(
ω+
)

=

∫ +∞

−∞
dtGR

ΨiΨj
(t) e

i
ℏω

+t, (3.13)

na qual a frequência espectral ω+ → (ω + iη+), sendo que η+ → 0+ é fundamental para que a

expressão convirja nos limites.

Multipliquemos agora a Eq. (3.12) por e
i
ℏω

+t e integremos no intervalo de −∞ à +∞

∫ +∞

−∞
dt
∂

∂t
GR
ηiηj

(t, 0) e
i
ℏω

+t = − i

ℏ

∫ +∞

−∞
dtδ (t− 0)Z−1

e

∑

n

e−βEn

〈
n

∣∣∣∣
[
ηi (t) , η

†
j (0)

]
+

∣∣∣∣n
〉
e

i
ℏω

+t

+

(
− i

ℏ

)∫ +∞

−∞
dtGR

[ηi,H]ηj
(t, 0) e

i
ℏω

+t. (3.14)

Vamos utilizar o método da integração por partes, considerando u = e
i
ℏω

+t implicando em

du = i
ℏω

+e
i
ℏω

+tdt e considerando dv = ∂
∂t
GR
ηiηj

(t, 0) dt, o que resulta em v = GR
ηiηj

(t, 0). Assim,

pelo método de integração por partes
∫ b

a
udv = [uv]ba −

∫ b

a
vdu, temos

∫ +∞

−∞
dt
∂

∂t
GR
ηiηj

(t, 0) e
i
ℏω

+t =
[
e

i
ℏω

+tGR
ηiηj

(t, 0)
]+∞

−∞
−
∫ +∞

−∞
GR
ηiηj

(t, 0)
i

ℏ
ω+e

i
ℏω

+tdt

=
[
e

i
ℏω

+(+∞)GR
ηiηj

(+∞)− e
i
ℏω

+(−∞)GR
ηiηj

(−∞)
]

+

(
− i

ℏ

)
ω+

∫ +∞

−∞
GR
ηiηj

(t, 0) e
i
ℏω

+tdt

=
[
e

i
ℏ (ω+iη)(+∞)GR

ηiηj
(+∞)− e

i
ℏ (ω+iη)(−∞)GR

ηiηj
(−∞)

]

+

(
− i

ℏ

)
ω+

∫ +∞

−∞
GR
ηiηj

(t, 0) e
i
ℏω

+tdt

= − i

ℏ
ω+

∫ +∞

−∞
GR
ηiηj

(t, 0) e
i
ℏω

+tdt. (3.15)

Por meio da Eq. (3.13), o resultado para a esquerda da Eq. (3.14) fica como

∫ +∞

−∞
dt
∂

∂t
GR
ηiηj

(t, 0) e
i
ℏω

+t = − i

ℏ
ω+G̃R

ηiηj

(
ω+
)
. (3.16)

Dessa forma, tendo a Eq. (3.16) e utilizando a propriedade da delta de Dirac
∫ +∞
−∞ δ (t− t0) f (t) dt =

f (t0), a Eq. (3.14) assume a forma

ω+G̃R
ηiηj

(
ω+
)

= ⟨[ηi (0) , η†j (0)]+⟩+ G̃R
[ηi,H]ηj

(
ω+
)
. (3.17)

37


De forma resumida, a EOM pode gerar um série de novas funções de Green. Como vimos,

o cálculo da função G̃R
ηiηj

(ω) gera uma nova GF G̃R
[ηi,H]ηj

(ω) que ao ser calculada dará origem

a novas GFs. Em alguns casos, o número de equações que surgirão a partir de uma única GF

tende a ser infinito, isso se dá tipicamente quando o Hamiltoniano possui termos de ordem

superior a dois, ou seja, não é quadrático. Em tais casos a utilização de aproximações, como

a aproximação de Hubbard I [39], se faz necessária a fim de tornar o sistema solúvel, porém

cuidados devem ser tomados para que nenhuma informação f́ısica relevante seja perdida no

processo.

A Eq. (3.17) também pode ser escrita na chamada notação de Zubarev [40], assumindo a

forma

ω+⟨⟨ηi; η†j⟩⟩ = ⟨[ηi, η†j ]+⟩+ ⟨⟨[ηi,H]; η†j⟩⟩. (3.18)

Sendo essa uma notação mais compacta, optamos por sua utilização no desenvolvimento cálculos

que apresentaremos no Caṕıtulo 4. Uma caracteŕıstica interessante que pode ser notada pelas

Eqs. (3.17) e (3.18) é que a dinâmica das funções de Green é estabelecida pelo Hamiltoniano

do sistema.

38


Caṕıtulo 4

Modelo estudado

Neste caṕıtulo apresentaremos o desenvolvimento anaĺıtico para a obtenção das funções de

Green relacionadas ao sistema apresentado pela Fig. 4.1.

Spin 
polarized 

tip

Spin-texture

s-wave superconductor

Fe wire

Quantum 
Impurity

a)

S

Metallic Surface

λ1

γMIQ

Source

b)

J

Γ Γ Drain

Sz

sz

λ2

γ1
γ2

εM

λ1

λ2

γA γB

|λ1|~|λ2|
ABS regime

d)

γ1

γ2

εM
c)

λ1

λ2=0γMIQ

e)

fΔ

t
εM

J(S/2)

-J(S/2)

Figura 4.1: (a) Representação esquemática do dispositivo proposto, composto por uma cadeia
de átomos depositados sob uma matriz supercondutora do tipo s-wave capaz de induzir, por
efeito de proximidade, a supercondutividade do tipo p-wave na cadeia. Uma das bordas do
nanofio (cadeia de átomos) se acopla a uma impureza quântica (QI) que é lateralmente flan-
queada por dois terminais metálicos e que também acopla-se a uma ponta spin-polarizada. (b)
Visão lateralizada do sistema apresentado no painel (a), evidenciando o acoplamento da QI à
ponta spin-polarizada, dado pela interação de troca do tipo Ising J , e aos terminais metálicos,
dados por Γ. (c) Modelo efetivo do nanofio contendo MZMs nas bordas (nanofio de Kitaev)
que podem se superpor com uma amplitude εM e em que apenas γ1 se acopla a QI por λ1.
(d) Modelo efetivo para o regime de estados ligados de Andreev obtido quando |λ1| ∼ |λ2|.
(e) Descritos na base fermiônica os MZMs, γ1 e γ2, se comportam como um férmion não local
f , cujo o ńıvel de energia é descrito por εM . O ńıvel de energia da QI é divido em 2S + 1
ńıveis que vão de −J(S/2) até +J(S/2), já o hopping t e emparelhamento supercondutor ∆
são responsáveis pela troca de informação entre o śıtio f e a QI [10].

39


4.1 Hamiltoniano

O Hamiltoniano, análogo ao modelo de Anderson [37], associado ao sistema apresentado

pela Fig. 4.1 é escrito da seguindo maneira:

H =
∑

αkσ

εαkc
†
αkσcαkσ +

∑

σ

εσd
†
σdσ + V

∑

αkσ

(
c†αkσdσ +H.c.

)
+ JszSz

+ HMZM , (4.1)

em que o operador c†αkσ(cαkσ) descreve a criação (aniquilação) de um elétron com momento

k, spin σ e energia εαk no terminal metálico α = [source, drain]. O operador d†σ(dσ) está

associado aos elétrons no śıtio da impureza quântica (QI), cuja energia εσ é descrita por spin.

V descreve a amplitude de acoplamento entre a QI e os terminais metálicos, enquanto que

interação da QI à ponta spin-polarizada é dada por um termo de troca do tipo Ising J . O

termo do Hamiltoniano, Eq. (4.1), envolvendo a interação J possúı as componentes sz e Sz,

sendo a primeira referente à QI, com s = 1/2, e a segunda está associada a descrição da ponta

spin-polarizada. Esse termo pode ser escrito considerando sz = 1
2

∑
σ σnσ, sendo nσ = d†σdσ, e

Sz =
∑

mmY
mm =

∑
mm|m⟩⟨m| com m = [−S,−S +1, ..., S − 1, S]. Dessa forma, cada canal

de spin na QI adquire uma estrutura de multińıvel, cujo número de ńıveis é dado por 2S + 1.

O último termo da equação Eq. (4.1) está associado à emergência dos MZMs e é escrito

como

HMZM = iεMγ1γ2 + λ1

(
d↑ − d†↑

)
γ1 + λ2

(
d↑ + d†↑

)
γ2, (4.2)

sendo εM o parâmetro de superposição entre os MZMs isolados nas bordas do nanofio, γ1 e γ2.

Os parâmetros λ1 e λ2 acoplam o canal de spin up da QI aos MZMs γ1 e γ2, respectivamente.

Note que o canal de spin down está desacoplado do nanofio de Majorana.

Por fins de simplicidade, no desenvolvimentos dos cálculos faremos uso das relações que

associam um MZM à uma combinação linear de part́ıcula e buraco, como discutido no Caṕıtulo

2. Sendo assim, vamos considerar γ1 =
1√
2
(f †+f) e γ2 =

i√
2
(f †−f). Consideremos também as

parametrizações λ1 = (∆ + t)/
√
2 e λ2 = i(∆− t)/

√
2. Com esses termos, a Eq. (4.2) assume

a forma

HMZM = εM(f †f − 1

2
) + td↑f

† + tfd†↑ +∆f †d†↑ +∆d↑f, (4.3)

40


em que os MZMs dão origem a um férmion regular não local f , cujo ńıvel de energia e dado por

εM , t descreve o hopping e ∆ representa a energia de formação do par de Copper, originando

um sistema análogo ao apresentado pelas Refs. [9] e [31], o que possibilita o aparecimento dos

poor man’s Majoranas.

Dessa forma, a Eq. (4.1) pode ser reescrita como

H =
∑

αkσ

εαkc
†
αkσcαkσ +

∑

σ

εσd
†
σdσ + V

∑

αkσ

(
c†αkσdσ +H.c.

)

+
J

2

∑

m

mn↑Y
mm − J

2

∑

m

mn↓Y
mm

+ εM(f †f − 1

2
) + (td↑f

† +∆d↑f +H.c.). (4.4)

Tendo a Eq. (4.4), podemos definir as densidades de estados do sistema performando a

EOM sobre as funções de Green [16,38], como discutiremos na próxima seção.

4.2 Densidade de estados da QI

Podemos expressar a funções de Green da QI da seguinte maneira G̃R
dσdσ

(ω) = ⟨⟨dσ; d†σ⟩⟩ e

devido a presença da ponta spin-polarizada temos ⟨⟨dσ; d†σ⟩⟩ =
∑

m⟨⟨dσY mm; d†σ⟩⟩, com Y mm =

|m⟩⟨m|. Como apresentamos na Seção 3.3, utilizaremos a notação simplificada de Zubarev [Eq.

(3.18)]. Dessa forma,

ω+⟨⟨dσY mm; d†σ⟩⟩ = ⟨
[
dσY

mm, d†σ
]
+
⟩+ ⟨⟨[dσY mm,H] ; d†σ⟩⟩, (4.5)

sendo o anticomutador ⟨
[
dσY

mm, d†σ
]
+
⟩ = ⟨Y mm⟩ e o comutador

[dσY
mm,H] =

[
dσY

mm,
∑

αkσ′

εαkc
†
αkσ′cαkσ′

]
+

[
dσY

mm, V
∑

αkσ′

(
c†αkσ′dσ′ + d†σ′cαkσ′

)]

+ [dσY
mm, (ε↑n↑ + ε↓n↓)] +

[
dσY

mm,
J

2

∑

m′

m′n↑Y
m′m′

]

+

[
dσY

mm,

(
−J
2

∑

m′

m′n↓Y
m′m′

)]
+ [dσY

mm,HMZM ] .

41


Desenvolvendo as operações de comutação separadamente, obtemos

[
dσY

mm,
∑

kασ′

εkαc
†
kασ′ckασ′

]
=

∑

kασ′

εkα

[
dσY

mm, c†kασ′ckασ′

]

=
∑

kασ′

εkα

(
dσY

mmc†kασ′ckασ′ − c†kασ′ckασ′dσY
mm
)

=
∑

kασ′

εkα

(
−c†kασ′dσckασ′Y mm − c†kασ′ckασ′dσY

mm
)

=
∑

kασ′

εkα

(
c†kασ′ckασ′dσY

mm − c†kασ′ckασ′dσY
mm
)

= 0. (4.6)

Para o comutador que relaciona dσ e o termo associado à hibridização V

[
dσY

mm, V
∑

αkσ′

(
c†αkσ′dσ′ + d†σ′cαkσ′

)]
= V

∑

kσ′

[
dσY

mm,
(
c†αkσ′dσ′ + d†σ′cαkσ′

)]

= V
∑

α

kσ′
[(
dσY

mmc†αkσ′dσ′ − c†αkσ′dσ′dσY
mm
)
+
(
dσY

mmd†σ′cαkσ′ − d†σ′cαkσ′dσY
mm
)]

= V
∑

αkσ′

[(
dσc

†
αkσ′dσ′Y mm − c†αkσ′dσ′dσY

mm
)
+
(
dσd

†
σ′cαkσ′Y mm − d†σ′cαkσ′dσY

mm
)]

= V
∑

αkσ′

[(
c†αkσ′dσ′dσY

mm − c†αkσ′dσ′dσY
mm
)
+
((
δσσ′ − d†σ′dσ

)
cαkσ′Y mm − d†σ′cαkσ′dσY

mm
)]

= V
∑

αkσ′

(
δσσ′cαkσ′Y mm − d†σ′dσcαkσ′Y mm − d†σ′cαkσ′dσY

mm
)

= V
∑

αkσ′

(
δσσ′cαkσ′Y mm + d†σ′cαkσ′dσY

mm − d†σ′cαkσ′dσY
mm
)

= V
∑

αk

cαkσY
mm. (4.7)

Para a comutação com os termos associados aos canais de spin da QI.

[dσY
mm, (ε↑n↑ + ε↓n↓)] =

[
dσY

mm,
(
ε↑d

†
↑d↑ + ε↓d

†
↓d↓

)]

42


=
[
ε↑

(
dσY

mmd†↑d↑ − d†↑d↑dσY
mm
)
+ ε↓

(
dσY

mmd†↓d↓ − d†↓d↓dσY
mm
)]

=
[
ε↑

(
dσd

†
↑d↑Y

mm − d†↑d↑dσY
mm
)
+ ε↓

(
dσd

†
↓d↓Y

mm − d†↓d↓dσY
mm
)]

=
[
ε↑

((
δσ↑ − d†↑dσ

)
d↑Y

mm − d†↑d↑dσY
mm
)
+ ε↓

((
δσ↓ − d†↓dσ

)
d↓Y

mm − d†↓d↓dσY
mm
)]

=
[
ε↑

(
δσ↑d↑Y

mm − d†↑dσd↑Y
mm − d†↑d↑dσY

mm
)
+ ε↓

(
δσ↓d↓Y

mm − d†↓dσd↓Y
mm − d†↓d↓dσY

mm
)]

=
[
ε↑

(
δσ↑d↑Y

mm + d†↑d↑dσY
mm − d†↑d↑dσY

mm
)
+ ε↓

(
δσ↓d↓Y

mm + d†↓d↓dσY
mm − d†↓d↓dσY

mm
)]

= [ε↑d↑Y
mmδσ↑ + ε↓d↓Y

mmδσ↓] . (4.8)

A comutação de dσ com o termo vinculado a interação de troca J ,

[
dσY

mm,
J

2

∑

m′

m′n↑Y
m′m′

]
=

J

2

∑

m′

m′
[
dσY

mm, d†↑d↑Y
m′m′

]

=
J

2

∑

m′

m′
(
dσY

mmd†↑d↑Y
m′m′ − d†↑d↑Y

m′m′
dσY

mm
)

=
J

2

∑

m′

m′
(
dσd

†
↑d↑

(
δmm′Y mm′

)
− d†↑d↑dσ

(
δm′mY

m′m
))

=
J

2

∑

m′

m′
(
dσd

†
↑d↑

(
δmm′Y mm′

)
− d†↑d↑dσ

(
δm′mY

mm′
))

=
J

2

∑

m′

m′
((
δσ↑ − d†↑dσ

)
d↑

(
δmm′Y mm′

)
− d†↑d↑dσ

(
δm′mY

m′m
))

=
J

2

∑

m′

m′
(
δσ↑d↑

(
δmm′Y mm′

)
− d†↑dσd↑

(
δmm′Y mm′

)
− d†↑d↑dσ

(
δm′mY

m′m
))

=
J

2

∑

m′

m′
(
δσ↑d↑

(
δmm′Y mm′

)
+ d†↑d↑dσ

(
δmm′Y mm′

)
− d†↑d↑dσ

(
δm′mY

m′m
))

=
J

2

(
δσ↑d↑

(∑

m′

m′δmm′Y mm′

)
+ d†↑d↑dσ

(∑

m′

m′δmm′Y mm′

)
− d†↑d↑dσ

(∑

m′

m′δm′mY
m′m

))

=
J

2

(
δσ↑d↑mY

mm + d†↑d↑dσ (mY
mm)− d†↑d↑dσ (mY

mm)
)

=
J

2
d↑mY

mmδσ↑, (4.9)

de maneira análoga obtemos
[
dσY

mm,
(
−J

2

∑
m′ m′n↓Y

m′m′)]
= −J

2
d↓mY

mmδσ↓
1.

1Podemos calcular os termos associados a ponta spin-polarizada por meio da regra do produto: Y abY cd =
|a⟩⟨b||c⟩⟨d| = δbcY

ad.

43


Agora, para os termos associados aos MZMs

[dσY
mm,HMZM ] =

[
dσY

mm, εMf
†f
]
+
[
dσY

mm, td↑f
†]+

[
dσY

mm,∆f †d†↑

]

+
[
dσY

mm, tfd†↑

]
+ [dσY

mm,∆d↑f ] , (4.10)

temos:
[
dσY

mm, εMf
†f
]
= 0,

[
dσY

mm, td↑f
†] = 0 e [dσY

mm,∆d↑f ] = 0. Os comutadores

diferentes de zero são

[
dσY

mm,∆f †d†↑

]
= ∆

(
dσY

mmf †d†↑ − f †d†↑dσY
mm
)

= ∆
(
dσf

†d†↑Y
mm − f †d†↑dσY

mm
)

= ∆
(
−f †dσd

†
↑Y

mm − f †d†↑dσY
mm
)

= ∆
(
−f †

(
δσ↑ − d†↑dσ

)
Y mm − f †d†↑dσY

mm
)

= ∆
(
−f †Y mmδσ↑ + f †d†↑dσY

mm − f †d†↑dσY
mm
)

= −∆f †Y mmδσ↑ (4.11)

e

[
dσY

mm, tfd†↑

]
= t

(
dσY

mmfd†↑ − fd†↑dσY
mm
)

= t
(
dσfd

†
↑Y

mm − fd†↑dσY
mm
)

= t
(
−fdσd†↑Y mm − fd†↑dσY

mm
)

= t
(
−f
(
δσ↑ − d†↑dσ

)
Y mm − fd†↑dσY

mm
)

= t
(
−fY mmδσ↑ + fd†↑dσY

mm − fd†↑dσY
mm
)

= −tfY mmδσ↑. (4.12)

Com os comutadores calculados, a função de Green Eq. (4.5), é reescrita como

ω+⟨⟨dσY mm; d†σ⟩⟩ = ⟨Y mm⟩+ V
∑

αk

⟨⟨cαkσY mm; d†σ⟩⟩+ ε↑δσ↑⟨⟨d↑Y mm; d†σ⟩⟩

+ ε↓δσ↓⟨⟨d↓Y mm; d†σ⟩⟩+
Jm

2
δσ↑⟨⟨d↑Y mm; d†σ⟩⟩ −

Jm

2
δσ↓⟨⟨d↓Y mm; d†σ⟩⟩

− ∆δσ↑⟨⟨f †Y mm; d†σ⟩⟩ − tδσ↑⟨⟨fY mm; d†σ⟩⟩. (4.13)

A partir de agora vamos definir as funções de Green que associam a QI ao śıtio fermiônico não

44


local f composto pelos MZMs, ⟨⟨f †Y mm; d†σ⟩⟩ e ⟨⟨fY mm; d†σ⟩⟩, seguindo o mesmo procedimento.

Temos então a função

ω+⟨⟨f †Y mm; d†σ⟩⟩ =
���������:0
⟨
[
f †Y mm, d†σ

]
+
⟩+ ⟨⟨

[
f †Y mm,H

]
; d†σ⟩⟩

= ⟨⟨
[
f †Y mm,H

]
; d†σ⟩⟩, (4.14)

calculemos agora os comutadores

[
f †Y mm,H

]
=

��������������:0[
f †Y mm,

∑

αkσ

εαkc
†
αkσcαkσ

]
+

������������������:0[
f †Y mm, V

∑

αkσ

(
c†αkσdσ +H.c.

)]

+
�������������:0[
f †Y mm, (ε↑n↑ + ε↓n↓)

]
+

���������������:0[
f †Y mm,

J

2

∑

m′

m′n↑Y
m′m′

]

+

����������������:0[
f †Y mm,−J

2

∑

m′

m′n↓Y
m′m′

]
+
[
f †Y mm, εMf

†f
]
+

���������:0[
f †Y mm, td↑f

†]

+
[
f †Y mm, tfd†↑

]
+

����������:0[
f †Y mm,∆f †d†↑

]
+
[
f †Y mm,∆d↑f

]
. (4.15)

Temos então,

[
f †Y mm, εMf

†f
]

= εM
(
f †Y mmf †f − f †ff †Y mm

)

= εM
(
f †f †fY mm − f †ff †Y mm

)

= εM
(
−f †f †fY mm − f †ff †Y mm

)

= εM
(
−f † (1− ff †)Y mm − f †ff †Y mm

)

= εM
(
−f †Y mm + f †ff †Y mm − f †ff †Y mm

)

= −εMf †Y mm, (4.16)

45


[
f †Y mm, tfd†↑

]
= t

(
f †Y mmfd†↑ − fd†↑f

†Y mm
)

= t
(
f †fd†↑Y

mm − fd†↑f
†Y mm

)

= t
((

1− ff †) d†↑Y mm − fd†↑f
†Y mm

)

= t
(
d†↑Y

mm − ff †d†↑Y
mm − fd†↑f

†Y mm
)

= t
(
d†↑Y

mm + fd†↑f
†Y mm − fd†↑f

†Y mm
)

= td†↑Y
mm (4.17)

e

[
f †Y mm,∆d↑f

]
= ∆

(
f †Y mmd↑f − d↑ff

†Y mm
)

= ∆
(
f †d↑fY

mm − d↑ff
†Y mm

)

= ∆
(
−d↑f †fY mm − d↑ff

†Y mm
)

= ∆
(
−d↑

(
1− ff †)Y mm − d↑ff

†Y mm
)

= ∆
(
−d↑Y mm + d↑ff

†Y mm − d↑ff
†Y mm

)

= −∆d↑Y
mm. (4.18)

A função de Green, Eq. (4.14), torna-se

(
ω+ + εM

)
⟨⟨f †Y mm; d†σ⟩⟩ = t⟨⟨d†↑Y mm; d†σ⟩⟩ −∆⟨⟨d↑Y mm; d†σ⟩⟩. (4.19)

Agora, calculemos ⟨⟨fY mm; d†σ⟩⟩.

ω+⟨⟨fY mm; d†σ⟩⟩ =
���������:0
⟨
[
fY mm, d†σ

]
+
⟩+ ⟨⟨[fY mm,H] ; d†σ⟩⟩

= ⟨⟨[fY mm,H] ; d†σ⟩⟩, (4.20)

em que o comutador do operador f com o Hamiltoniano H resulta nos termos

[fY mm,H] =
[
fY mm, εMf

†f
]
+
[
fY mm, td↑f

†]+
[
fY mm,∆f †d†↑

]
, (4.21)

46


sendo que

[
fY mm, εMf

†f
]

= εM
(
fY mmf †f − f †ffY mm

)

= εM
(
ff †fY mm − f †ffY mm

)

= εM
((
1− f †f

)
fY mm − f †ffY mm

)

= εM
(
fY mm − f †ffY mm − f †ffY mm

)

= εM
(
fY mm + f †ffY mm − f †ffY mm

)

= εMfY
mm, (4.22)

[
fY mm, t

(
d↑f

† + fd†↑

)]
= t

[(
fY mmd↑f

† − d↑f
†fY mm

)
+
(
fY mmfd†↑ − fd†↑fY

mm
)]

= t
[(
fd↑f

†Y mm − d↑f
†fY mm

)
+
(
ffd†↑Y

mm − fd†↑fY
mm
)]

= t
[(
−d↑ff †Y mm − d↑f

†fY mm
)
+
(
fd†↑fY

mm − fd†↑fY
mm
)]

= t
(
−d↑

(
1− f †f

)
Y mm − d↑f

†fY mm
)

= t
(
−d↑Y mm + d↑f

†fY mm − d↑f
†fY mm

)

= −td↑Y mm, (4.23)

[
fY mm,∆

(
f †d†↑ + d↑f

)]
= ∆

[(
fY mmf †d†↑ − f †d†↑fY

mm
)
+ (fY mmd↑f − d↑ffY

mm)
]

= ∆
[(
ff †d†↑Y

mm − f †d†↑fY
mm
)
+ (fd↑fY

mm − d↑ffY
mm)

]

= ∆
[((

1− f †f
)
d†↑Y

mm − f †d†↑fY
mm
)
+ (d↑ffY

mm − d↑ffY
mm)

]

= ∆
(
d†↑Y

mm − f †fd†↑Y
mm − f †d†↑fY

mm
)

= ∆
(
d†↑Y

mm + f †d†↑fY
mm − f †d†↑fY

mm
)

= ∆d†↑Y
mm, (4.24)

a Eq. (4.20) torna-se

(
ω+ − εM

)
⟨⟨fY mm; d†σ⟩⟩ = −t⟨⟨d↑Y mm; d†σ⟩⟩+∆⟨⟨d†↑Y mm; d†σ⟩⟩. (4.25)

47


Para darmos continuidade, calculemos agora a função de Green anômala da QI, ⟨⟨d†↑Y mm; d†σ⟩⟩.

ω+⟨⟨d†↑Y mm; d†σ⟩⟩ = ⟨
[
d†↑Y

mm, d†σ

]
+
⟩+ ⟨⟨

[
d†↑Y

mm,H
]
; d†σ⟩⟩

= ⟨⟨
[
d†↑Y

mm,H
]
; d†σ⟩⟩ (4.26)

cujo comutador, já eliminando os termos iguais a zero, é dado por:

[
d†↑Y

mm,H
]

=

[
d†↑Y

mm, V
∑

αkσ

(
c†αkσdσ +H.c.

)]
+

[
d†↑Y

mm,
J

2

∑

m′

m′n↑Y
m′m′

]

+
[
d†↑Y

mm, ε↑n↑ + ε↓n↓

]
+
[
d†↑Y

mm, td↑f
†
]
+
[
d†↑Y

mm,∆d↑f
]
. (4.27)

Calculando os comutadores, obtemos

[
d†↑Y

mm, V
∑

αkσ

(
c†αkσdσ +�

���d†σcαkσ

)]
= V

∑

αkσ

[
d†↑Y

mm, c†αkσdσ

]

= V
∑

αkσ

(
d†↑Y

mmc†αkσdσ − c†αkσdσd
†
↑Y

mm
)

= V
∑

αkσ

(
d†↑c

†
αkσdσY

mm − c†αkσdσd
†
↑Y

mm
)

= V
∑

αkσ

(
−c†αkσ

(
δ↑σ − dσd

†
↑

)
Y mm − c†αkσdσd

†
↑Y

mm
)

= V
∑

αkσ

(
−c†αkσδ↑σY mm + c†αkσdσd

†
↑Y

mm − c†αkσdσd
†
↑Y

mm
)

= −V
∑

αk

c†αk↑Y
mm, (4.28)

[
d†↑Y

mm, (ε↑n↑ +���ε↓n↓)
]

= ε↑

(
d†↑Y

mmn↑ − n↑d
†
↑Y

mm
)

= ε↑

(
d†↑Y

mmd†↑d↑ − d†↑d↑d
†
↑Y

mm
)

= ε↑

(
−d†↑d†↑d↑Y mm − d†↑d↑d

†
↑Y

mm
)

= ε↑

(
−d†↑

(
1− d↑d

†
↑

)
Y mm − d†↑d↑d

†
↑Y

mm
)

= ε↑

(
−d†↑Y mm + d†↑d↑d

†
↑Y

mm − d†↑d↑d
†
↑Y

mm
)

= ε↑

(
−d†↑Y mm + d†↑d↑d

†
↑Y

mm − d†↑d↑d
†
↑Y

mm
)

= −ε↑d†↑Y mm, (4.29)

48


[
d†↑Y

mm,
J

2

∑

m′

m′n↑Y
m′m′

]
=
J

2

∑

m′

m′
(
d†↑Y

mmd†↑d↑Y
m′m′ − d†↑d↑Y

m′m′
d†↑Y

mm
)

=
J

2

∑

m′

m′
(
d†↑d

†
↑d↑Y

mmY m′m′ − d†↑d↑d
†
↑Y

m′m′
Y mm

)

=
J

2

∑

m′

m′
(
−d†↑d†↑d↑

(
δmm′Y mm′

)
− d†↑d↑d

†
↑

(
δm′mY

m′m
))

=
J

2

∑

m′

m′
(
−d†↑

(
1− d↑d

†
↑

)(
δmm′Y mm′

)
− d†↑d↑d

†
↑

(
δm′mY

m′m
))

=
J

2

∑

m′

m′
(
−d†↑

(
δmm′Y mm′

)
+ d†↑d↑d

†
↑

(
δmm′Y mm′

)
− d†↑d↑d

†
↑

(
δm′mY

m′m
))

=
J

2

(
−d†↑

(∑

m′

m′δmm′Y mm′

)
+ d†↑d↑d

†
↑

(∑

m′

m′δmm′Y mm′

)
− d†↑d↑d

†
↑

(∑

m′

m′δm′mY
m′m

))

=
J

2

(
−d†↑ (mY mm) + d†↑d↑d

†
↑ (mY

mm)− d†↑d↑d
†
↑ (mY

mm)
)

= −J
2
md†↑Y

mm, (4.30)

[
d†↑Y

mm, t
(
d↑f

† +
�
�fd†↑

)]
= t

[(
d†↑Y

mmd↑f
† − d↑f

†d†↑Y
mm
)]

= t
[(
d†↑d↑f

†Y mm − d↑f
†d†↑Y

mm
)]

= t
[((

1− d↑d
†
↑

)
f †Y mm − d↑f

†d†↑Y
mm
)]

= t
(
f †Y mm − d↑d

†
↑f

†Y mm − d↑f
†d†↑Y

mm
)

= t
(
f †Y mm + d↑f

†d†↑Y
mm − d↑f

†d†↑Y
mm
)

= tf †Y mm, (4.31)

[
d†↑Y

mm,∆
(
�
��f †d†↑ + d↑f

)]
= ∆

[(
d†↑Y

mmd↑f − d↑fd
†
↑Y

mm
)]

= ∆
[(
d†↑d↑fY

mm − d↑fd
†
↑Y

mm
)]

= ∆
[((

1− d↑d
†
↑

)
fY mm − d↑fd

†
↑Y

mm
)]

= ∆
(
fY mm − d↑d

†
↑fY

mm − d↑fd
†
↑Y

mm
)

= ∆
(
fY mm + d↑fd

†
↑Y

mm − d↑fd
†
↑Y

mm
)

= ∆fY mm. (4.32)

49


Dessa maneira, a função de Green anômala assume a forma

(
ω+ + ε↑ +

Jm

2

)
⟨⟨d†↑Y mm; d†σ⟩⟩ = −V

∑

αk

⟨⟨c†αk↑Y mm; d†σ⟩⟩

+ t⟨⟨f †Y mm; d†σ⟩⟩+∆⟨⟨fY mm; d†σ⟩⟩. (4.33)

Agora precisamos determinar as duas últimas funções de Green, ⟨⟨c†αk↑Y mm; d†σ⟩⟩ e ⟨⟨cαkσY mm; d†σ⟩⟩,
para fechar o sistema de funções. Iniciemos com

ω+⟨⟨c†αkσY mm; d†σ⟩⟩ =
����������:0
⟨
[
c†αkσY

mm, d†σ

]
+
⟩+ ⟨⟨

[
c†αkσY

mm,H
]
; d†σ⟩⟩

= ⟨⟨
[
c†αkσY

mm,H
]
; d†σ⟩⟩. (4.34)

O comutador irá gerar apenas dois termos, pois a comutação entre c†αkσ e os demais termos do

Hamiltoniano [Eq. (4.4)] será zero.

[
c†αkσY

mm,H
]

=

[
c†αkσY

mm,
∑

α′k′σ′

εαk′c
†
α′k′σ′cα′k′σ′

]

+

[
c†αkσY

mm, V
∑

α′k′σ′

(
�����c†α′k′σ′dσ′ + d†σ′cα′k′σ′

)]
, (4.35)

sendo assim, temos [
c†αkσY

mm,
∑

α′k′σ′

εk′c
†
α′k′σ′cα′k′σ′

]
= (4.36)

=
∑

α′k′σ′

εα′k′

[
c†αkσY

mmc†α′k′σ′cα′k′σ′ − c†α′k′σ′cα′k′σ′c†αkσY
mm
]

=
∑

α′k′σ′

εα′k′

[
−c†α′k′σ′c

†
αkσcα′k′σ′Y mm − c†α′k′σ′cα′k′σ′c†αkσY

mm
]

=
∑

α′k′σ′

εα′k′

[
−c†α′k′σ′

(
δαα′δkk′δσσ′ − cα′k′σ′c†αkσ

)
Y mm − c†α′k′σ′cα′k′σ′c†αkσY

mm
]

=
∑

α′k′σ′

εα′k′

[
−c†α′k′σ′δαα′δkk′δσσ′Y mm + c†α′k′σ′cα′k′σ′c†αkσY

mm − c†α′k′σ′cα′k′σ′c†αkσY
mm
]

= −
∑

α′k′σ′

εα′k′c
†
α′k′σ′δαα′δkk′δσσ′Y mm

= −εαkc†αkσY mm (4.37)

50


e [
c†αkσY

mm, V
∑

α′k′σ′

(
�����c†α′k′σ′dσ′ + d†σ′cα′k′σ′

)]
=

= V
∑

α′k′σ′

[
c†αkσY

mmd†σ′cα′k′σ′ − d†σ′cα′k′σ′c†αkσY
mm
]

= V
∑

α′k′σ′

[
−d†σ′

(
δαα′δkk′δσσ′ − cα′k′σ′c†αkσ

)
Y mm − d†σ′cα′k′σ′c†αkσY

mm
]

= V
∑

α′k′σ′

[
−d†σ′δαα′δkk′δσσ′Y mm + d†σ′cα′k′σ′c†αkσY

mm − d†σ′cα′k′σ′c†αkσY
mm
]

= −V
∑

α′k′σ′

d†σ′Y
mmδαα′δkk′δσσ′

= −V d†σY mm. (4.38)

Dessa forma, substituindo os comutadores na Eq. (4.34), obtemos

⟨⟨c†αkσY mm; d†σ⟩⟩ = − V

(ω+ + εαk)
⟨⟨d†σY mm; d†σ⟩⟩. (4.39)

E agora vamos definir ⟨⟨cαkσY mm; d†σ⟩⟩,

ω+⟨⟨cαkσY mm; d†σ⟩⟩ =
����������:0
⟨
[
cαkσY

mm, d†σ
]
+
⟩+ ⟨⟨[cαkσY mm,H] ; d†σ⟩⟩

= ⟨⟨[cαkσY mm,H] ; d†σ⟩⟩, (4.40)

em que o comutador é

[cαkσY
mm,H] =

[
cαkσY

mm,
∑

α′k′σ′

εα′k′c
†
α′k′σ′cα′k′σ′

]

+

[
cαkσY

mm, V
∑

α′k′σ′

(
c†α′k′σ′dσ′ +�����d†σ′cα′k′σ′

)]
, (4.41)

assim, [
cαkσY

mm,
∑

α′k′σ′

εα′k′c
†
α′k′σ′cα′k′σ′

]
=

51


=
∑

α′k′σ′

εα′k′

[
cαkσY

mmc†α′k′σ′cα′k′σ′ − c†α′k′σ′cα′k′σ′cαkσY
mm
]

=
∑

α′k′σ′

εα′k′

[(
δαα′δkk′δσσ′ − c†α′k′σ′cαkσ

)
cα′k′σ′Y mm − c†α′k′σ′cα′k′σ′cα′kσY

mm
]

=
∑

α′k′σ′

εα′k′

[
δαα′δkk′δσσ′cα′k′σ′Y mm − c†α′k′σ′cαkσcα′k′σ′Y mm − c†α′k′σ′cα′k′σ′cαkσY

mm
]

=
∑

α′k′σ′

εα′k′

[
δαα′δkk′δσσ′cα′k′σ′Y mm + c†α′k′σ′cα′k′σ′cαkσY

mm − c†α′k′σ′cα′k′σ′cα′kσY
mm
]

=
∑

α′k′σ′

εα′k′δαα′δkk′δσσ′cα′k′σ′Y mm

= εαkcαkσY
mm (4.42)

e para

[
cαkσY

mm, V
∑

α′k′σ′

(
c†α′k′σ′dσ′ +�����d†σ′cα′k′σ′

)]
=

= V
∑

α′k′σ′

[
cαkσY

mmc†α′k′σ′dσ′ − c†α′k′σ′dσ′cαkσY
mm
]

= V
∑

α′k′σ′

[
cαkσc

†
α′k′σ′dσ′Y mm − c†α′k′σ′dσ′cαkσY

mm
]

= V
∑

α′k′σ′

[(
δαα′δkk′δσσ′ − c†α′k′σ′cαkσ

)
dσ′Y mm − c†α′k′σ′dσ′cαkσY

mm
]

= V
∑

α′k′σ′

[
δαα′δkk′δσσ′dσ′Y mm − c†α′k′σ′cαkσdσ′Y mm − c†α′k′σ′dσ′cαkσY

mm
]

= V
∑

α′k′σ′

[
δαα′δkk′δσσ′dσ′Y mm + c†α′k′σ′dσ′cαkσY

mm − c†α′k′σ′dσ′cαkσY
mm
]

= V
∑

α′k′σ′

dσ′Y mmδαα′δkk′δσσ′

= V dσY
mm. (4.43)

Substituindo o resultado dos comutadores na Eq. (4.40), temos que

⟨⟨cαkσY mm; d†σ⟩⟩ =
V

(ω+ − εαk)
⟨⟨dσY mm; d†σ⟩⟩. (4.44)

Tendo as Eqs. (4.44) e (4.39) podemos substitúı-las nas Eqs. (4.13) e (4.33), respectiva-

52


mente. Obtendo assim as GFs:

(
ω+ −

∑

αk

V 2

(ω+ − εαk)

)
⟨⟨dσY mm; d†σ⟩⟩ = ⟨Y mm⟩+ ε↑δσ↑⟨⟨d↑Y mm; d†σ⟩⟩+ ε↓δσ↓⟨⟨d↓Y mm; d†σ⟩⟩

+
Jm

2
δσ↑⟨⟨d↑Y mm; d†σ⟩⟩ −

Jm

2
δσ↓⟨⟨d↓Y mm; d†σ⟩⟩

− ∆δσ↑⟨⟨f †Y mm; d†σ⟩⟩ − tδσ↑⟨⟨fY mm; d†σ⟩⟩ (4.45)

e

(
ω+ + ε↑ +

Jm

2

)
⟨⟨d†↑Y mm; d†σ⟩⟩ =

∑

αk

V 2

(ω+ + εαk)
⟨⟨d†σY mm; d†σ⟩⟩

+ t⟨⟨f †Y mm; d†σ⟩⟩+∆⟨⟨fY mm; d†σ⟩⟩. (4.46)

Para simplificar as equações vamos considerar o parâmetro de Anderson iΓ =
∑

αk V
2/(ω++

εαk) e a média ⟨Y mm⟩ = 1/(2S + 1). Sendo assim, temos

(
ω+ + iΓ

)
⟨⟨dσY mm; d†σ⟩⟩ =

1

2S + 1
+ ε↑δσ↑⟨⟨d↑Y mm; d†σ⟩⟩+ ε↓δσ↓⟨⟨d↓Y mm; d†σ⟩⟩

+
Jm

2
δσ↑⟨⟨d↑Y mm; d†σ⟩⟩ −

Jm

2
δσ↓⟨⟨d↓Y mm; d†σ⟩⟩

− ∆δσ↑⟨⟨f †Y mm; d†σ⟩⟩ − tδσ↑⟨⟨fY mm; d†σ⟩⟩ (4.47)

e

(
ω+ + ε↑ +

Jm

2

)
⟨⟨d†↑Y mm; d†σ⟩⟩ = −iΓ⟨⟨d†σY mm; d†σ⟩⟩

+ t⟨⟨f †Y mm; d†σ⟩⟩+∆⟨⟨fY mm; d†σ⟩⟩. (4.48)

4.2.1 Sumário das GFs para a QI

Até o momento determinamos as GFs principais para determinar-se a DOS da QI. Temos

então as funções:

(
ω+ + iΓ

)
⟨⟨dσY mm; d†σ⟩⟩ =

1

2S + 1
+ ε↑δσ↑⟨⟨d↑Y mm; d†σ⟩⟩+ ε↓δσ↓⟨⟨d↓Y mm; d†σ⟩⟩

+
Jm

2
δσ↑⟨⟨d↑Y mm; d†σ⟩⟩ −

Jm

2
δσ↓⟨⟨d↓Y mm; d†σ⟩⟩

− ∆δσ↑⟨⟨f †Y mm; d†σ⟩⟩ − tδσ↑⟨⟨fY mm; d†σ⟩⟩ (4.49)

53


(
ω+ + ε↑ +

Jm

2

)
⟨⟨d†↑Y mm; d†σ⟩⟩ = −iΓ⟨⟨d†σY mm; d†σ⟩⟩

+ t⟨⟨f †Y mm; d†σ⟩⟩+∆⟨⟨fY mm; d†σ⟩⟩. (4.50)

(
ω+ + εM

)
⟨⟨f †Y mm; d†σ⟩⟩ = t⟨⟨d†↑Y mm; d†σ⟩⟩ −∆⟨⟨d↑Y mm; d†σ⟩⟩ (4.51)

e

(
ω+ − εM

)
⟨⟨fY mm; d†σ⟩⟩ = −t⟨⟨d↑Y mm; d†σ⟩⟩+∆⟨⟨d†↑Y mm; d†σ⟩⟩. (4.52)

4.2.2 Spin up

Nesta subseção vamos considerar σ =↑. Apenas para esse canal de spin a QI se acopla ao

nanofio contendo os MZMs. Sendo assim, temos as GFs

(
ω+ − ε↑ −

Jm

2
+ iΓ

)
⟨⟨d↑Y mm; d†↑⟩⟩ =

1

(2S + 1)
−∆⟨⟨f †Y mm; d†↑⟩⟩

− t⟨⟨fY mm; d†↑⟩⟩, (4.53)

(
ω+ + ε↑ +

Jm

2
+ iΓ

)
⟨⟨d†↑Y mm; d†↑⟩⟩ = t⟨⟨f †Y mm; d†↑⟩⟩+∆⟨⟨fY mm; d†↑⟩⟩, (4.54)

⟨⟨f †Y mm; d†↑⟩⟩ =
t

(ω+ + εM)
⟨⟨d†↑Y mm; d†↑⟩⟩ −

∆

(ω+ + εM)
⟨⟨d↑Y mm; d†↑⟩⟩ (4.55)

e

⟨⟨fY mm; d†↑⟩⟩ = − t

(ω+ − εM)
⟨⟨d↑Y mm; d†↑⟩⟩+

∆

(ω+ − εM)
⟨⟨d†↑Y mm; d†↑⟩⟩. (4.56)

Substituindo as Eqs. (4.55) e (4.56) na Eq. (4.53), obtemos

(
ω+ − ε↑ −

Jm

2
+ iΓ−K+

)
⟨⟨d↑Y mm; d†↑⟩⟩ =

1

(2S + 1)
− 2t∆KMFs⟨⟨d†↑Y mm; d†↑⟩⟩,

(4.57)

54


lembrando que ω+ = ω + iη+ e considerando os termos

K+ =
(ω + iη+) (∆2 + t2) + εM (t2 −∆2)

ω2 − ε2M + 2iωη+ − (η+)2
(4.58)

e

KMFs =
(ω + iη+)

ω2 − ε2M + 2iωη+ − (η+)2
. (4.59)

Agora substituindo as Eqs. (4.55) e (4.56) na Eq. (4.54) para obtermos a função anômala

da QI.

⟨⟨d†↑Y mm; d†↑⟩⟩ = − 2t∆KMFs(
ω+ + ε↑ +

Jm
2

+ iΓ−K−
)⟨⟨d↑Y mm; d†↑⟩⟩, (4.60)

sendo o termo

K− =
(ω + iη+) (t2 +∆2)− εM (t2 −∆2)

ω2 − ε2M + 2iωη+ − (η+)2
. (4.61)

Substituindo a Eq. (4.60) na Eq. (4.57), temos que

⟨⟨d↑Y mm; d†↑⟩⟩ =
1

(2S + 1)

1(
ω+ − ε↑ − Jm

2
+ iΓ− Σ+m

MFs

) , (4.62)

na qual Σ+m
MFs = K+ + (2t∆)2KMFsK̃m corresponde a auto-energia de correção devido ao

acoplamento com o nanofio de Kitaev e a ponta spin-polarizada. Considerando também o

termo

K̃m =
KMFs(

ω+ + ε↑ +
Jm
2

+ iΓ−K−
) . (4.63)

No ińıcio da Seção 4.2, destacamos que G̃R

dσd
†
σ
(ω) = ⟨⟨dσ; d†σ⟩⟩ =

∑
m⟨⟨dσY mm; d†σ⟩⟩, porém

para facilitar os calculos não carregamos a notação
∑

m, mas ela é fundamental. Desta forma,

a GF para o canal de spin up da QI que é o único acoplado aos MZMs é definida como:

G̃R

d↑d
†
↑
=
∑

m

⟨⟨d↑Y mm; d†↑⟩⟩ =
1

(2S + 1)

∑

m

1(
ω+ − ε↑ − Jm

2
+ iΓ− Σ+m

MFs

) . (4.64)

55


4.2.3 Spin down

Consideremos agora σ =↓ para a Eq. (4.49). Como comentado anteriormente, este canal

de spin não se acopla aos MZMs.

(
ω+ + iΓ

)
⟨⟨d↓Y mm; d†↓⟩⟩ =

1

2S + 1
+ ε↓⟨⟨d↓Y mm; d†↓⟩⟩ −

Jm

2
⟨⟨d↓Y mm; d†↓⟩⟩ (4.65)

⟨⟨d↓Y mm; d†↓⟩⟩ =
1

2S + 1

1(
ω+ − ε↓ +

Jm
2

+ iΓ
) . (4.66)

Lembrando que G̃R

dσd
†
σ
(ω) = ⟨⟨dσ; d†σ⟩⟩ =

∑
m⟨⟨dσY mm; d†σ⟩⟩, logo

G̃R

d↓d
†
↓
(ω) =

∑

m

⟨⟨d↓Y mm; d†↓⟩⟩ =
1

(2S + 1)

∑

m

1(
ω+ − ε↓ +

Jm
2

+ iΓ
) , (4.67)

sendo que para o termo de spin down temos apenas a renormalização devido a presença da ponta

spin-polarizada, não há termo algum que associe a Majoranas, como pode ser evidenciado pelo

denominador da expressão.

Agora possúımos as GFs necessárias para mapear a densidade de estados da impureza

quântica [Eqs. (4.64) e (4.67)] por meio da parte imaginárias das GFs, como vimos no Caṕıtulo

3. Tais equações foram exploradas e gráficos foram gerados a partir de programação usando a

linguagem Python. Esses resultados serão devidamente discutidos no Caṕıtulo 5.

4.3 DOS para as quasipart́ıculas de Majorana da QI

Com as equações obtidas na Seção 4.2 podemos obter o comportamento espectral da QI sob

a influência da ponta spin-polarizada e dos MZMs. Porém, com o objetivo de entender como

os MFs que compõem a QI se comportam, nesta seção iremos decompor a QI (śıtio d) em suas

componentes de Majorana, d↑ = (γA + iγB)/
√
2 (faremos isso apenas para o canal de spin up).

Para realizar tal feito, vamos considerar as seguintes combinações:

γA =
1√
2
(d†↑ + d↑) (4.68)

e

γB =
i√
2
(d†↑ − d↑). (4.69)

56


Sendo que as DOSs para tais quasipart́ıculas de Majorana são obtidas a partir da Eq. (3.1) e

podem ser escritas da seguinte forma

DOSγA = − 1

π
Im[⟨⟨γA; γA⟩⟩] (4.70)

e

DOSγB = − 1

π
Im[⟨⟨γB; γB⟩⟩]. (4.71)

Como podemos evidenciar a partir das Eqs. (4.70) e (4.71) devemos determinar as funções

de Green dos Majoranas. Com o objetivo de facilitar o entendimento faremos uso da GF Eq.

(3.7), no domı́nio do tempo, desta forma temos

GR
γAγA

(t, 0) = − i

ℏ
θ (t)Z−1

e

∑

n

e−βEn

〈
n

∣∣∣∣
[
γA (t) , γ†A (0)

]
+

∣∣∣∣n
〉

(4.72)

e

GR
γBγB

(t, 0) = − i

ℏ
θ (t)Z−1

e

∑

n

e−βEn

〈
n

∣∣∣∣
[
γB (t) , γ†B (0)

]
+

∣∣∣∣n
〉
. (4.73)

4.3.1 Definindo as GFs de Majorana na QI

Para definir as GFs vamos substituir nas Eqs. (4.72) e (4.73) os operadores de Majorana

por suas definições na base fermiônica, Eqs. (4.68) e (4.69), e calcular os anticomutadores.

Para γA (lembrando que γA = γ†A),

[
γA (t) , γ†A (0)

]
+

=

[
1√
2

(
d†↑(t) + d↑(t)

)
,
1√
2

(
d†↑(0) + d↑(0)

)]

+

=
1√
2

(
d†↑(t) + d↑(t)

) 1√
2

(
d†↑(0) + d↑(0)

)

+
1√
2

(
d†↑(0) + d↑(0)

) 1√
2

(
d†↑(t) + d↑(t)

)

=
1

2

(
d†↑(t)d

†
↑(0) + d†↑(t)d↑(0) + d↑(t)d

†
↑(0) + d↑(t)d↑(0)

)

+
1

2

(
d†↑(0)d

†
↑(t) + d†↑(0)d↑(t) + d↑(0)d

†
↑(t) + d↑(0)d↑(t)

)

=
1

2

[(
d†↑(t)d

†
↑(0) + d†↑(0)d

†
↑(t)
)
+
(
d†↑(t)d↑(0) + d†↑(0)d↑(t)

)]

+
1

2

[(
d↑(t)d

†
↑(0) + d↑(0)d

†
↑(t)
)
+ (d↑(t)d↑(0) + d↑(0)d↑(t))

]

57


[
γA (t) , γ†A (0)

]
+

=
1

2

([
d†↑(t), d

†
↑(0)

]
+
+
[
d†↑(t), d↑(0)

]
+

)

+
1

2

([
d↑(t), d

†
↑(0)

]
+
+ [d↑(t), d↑(0)]+

)
, (4.74)

substituindo na Eq. (4.72), obtemos

GR
γAγA

(t) =
1

2
(− i

ℏ
)θ (t)Z−1

e

∑

n

e−βEn

〈
n

∣∣∣∣
[
d†↑(t), d↑(0)

]
+

∣∣∣∣n
〉

+
1

2
(− i

ℏ
)θ (t)Z−1

e

∑

n

e−βEn

〈
n

∣∣∣∣
[
d↑(t), d

†
↑(0)

]
+

∣∣∣∣n
〉

+
1

2
(− i

ℏ
)θ (t)Z−1

e

∑

n

e−βEn

〈
n

∣∣∣∣
[
d†↑(t), d

†
↑(0)

]
+

∣∣∣∣n
〉

+
1

2
(− i

ℏ
)θ (t)Z−1

e

∑

n

e−βEn
〈
n
∣∣[d↑(t), d↑(0)]+

∣∣n
〉
, (4.75)

tal expressão pode ser escrita na notação de Zubarev [40], como apresentado no Caṕıtulo 3,

assumindo a seguinte forma:

⟨⟨γA; γA⟩⟩ =
1

2

[
⟨⟨d†↑; d†↑⟩⟩+ ⟨⟨d†↑; d↑⟩⟩+ ⟨⟨d↑; d†↑⟩⟩+ ⟨⟨d↑; d↑⟩⟩

]
. (4.76)

Analogamente, temos γB.

⟨⟨γB; γB⟩⟩ =
1

2

[
−⟨⟨d†↑; d†↑⟩⟩+ ⟨⟨d†↑; d↑⟩⟩+ ⟨⟨d↑; d†↑⟩⟩ − ⟨⟨d↑d↑⟩⟩

]
. (4.77)

Na Seção 4.2 obtivemos a GF G̃R

d↑d
†
↑
(ω) = ⟨⟨d↑; d†↑⟩⟩ =

∑
m⟨⟨d↑Y mm; d†↑⟩⟩, utilizando a mesma

metodologia podemos obter as demais GFs eletrônicas que dão origem as quantidades ⟨⟨γA; γA⟩⟩
e ⟨⟨γB; γB⟩⟩. Sendo elas,

G̃R

d†↑d
†
↑
(ω) =

∑

m

⟨⟨d†↑Y mm; d†↑⟩⟩ = − 1

(2S + 1)

∑

m

2t∆Km(
ω+ + ε↑ +

Jm
2

+ iΓ− Σ−m
MFs

) , (4.78)

G̃R

d†↑d↑
(ω) =

∑

m

⟨⟨d†↑Y mm; d↑⟩⟩ =
1

(2S + 1)

∑

m

1(
ω+ + ε↑ +

Jm
2

+ iΓ− Σ−m
MFs

) (4.79)

58


e

G̃R
d↑d↑(ω) =

∑

m

⟨⟨d↑Y mm; d↑⟩⟩ = − 1

(2S + 1)

∑

m

2∆tK̃m(
ω+ − ε↑ − Jm

2
+ iΓ− Σ+m

MFs

) , (4.80)

em que temos a auto-energia Σ−m
MFs = K− + (2t∆)2KMFsKm e também o termo

Km =
KMFs(

ω+ − ε↑ − Jm
2

+ iΓ−K+

) , (4.81)

os demais termos K+, KMFs, K− e K̃m já foram definidos e são expressos pelas Eqs. (4.58),

(4.59), (4.61) e (4.63), respectivamente. Uma caracteŕıstica interessante das GFs anômalas,

G̃R

d†↑d
†
↑
(ω) e G̃R

d↑d↑(ω), é sua dependência com os termos de hopping t e emparelhamento super-

condutor ∆, tais funções não existiriam caso não houvesse acoplamento com o supercondutor

topológico que hospeda os MZMs.

Possuindo as Eqs. (4.64), (4.78), (4.79) e (4.80) podemos definir as DOSs das excitações

de quasipart́ıcula associadas as componentes de Majorana da QI para o canal de spin up, Eqs.

(4.76) e (4.77). Como discutiremos no Caṕıtulos 5, essas quantidades serão fundamentais para

definirmos a fracionalização das excitações de Majorana, definindo assim a nossa quasipart́ıcula

do tipo Majorana-Ising, γMIQ (do inglês, MIQ: Majorana-Ising-type quasiparticle).

4.4 Quasipart́ıculas de Majorana do śıtio f

Na Seção 4.3 analisamos as excitações de Majorana que compõem a QI, nesta seção faremos

um estudo semelhante, porém direcionado ao śıtio fermiônico não-local f que é composto pela

combinação linear dos dois MZMs isolados nas bordas do nanofio de Kitaev [Fig. 4.1(c) e (f)],

f = (γ1 + iγ2)/
√
2. As componentes de Majorana são dadas por

γ1 =
1√
2
(f † + f) e γ1 =

i√
2
(f † − f). (4.82)

A partir de tais definições almejamos obter, assim como na Seção 4.3, as DOSs para as com-

ponentes de Majorana dadas aqui por:

DOSγ1 = − 1

π
Im[⟨⟨γ1; γ1⟩⟩] (4.83)

59


e

DOSγ2 = − 1

π
Im[⟨⟨γ2; γ2⟩⟩], (4.84)

cujas funções de Green, assim como para ⟨⟨γA; γA⟩⟩ e ⟨⟨γB; γB⟩⟩, são dadas por

⟨⟨γ1; γ1⟩⟩ =
1

2

[
⟨⟨f †; f †⟩⟩+ ⟨⟨f †; f⟩⟩+ ⟨⟨f ; f †⟩⟩+ ⟨⟨f ; f⟩⟩

]
, (4.85)

e

⟨⟨γ2; γ2⟩⟩ =
1

2

[
−⟨⟨f †; f †⟩⟩+ ⟨⟨f †; f⟩⟩+ ⟨⟨f ; f †⟩⟩ − ⟨⟨f ; f⟩⟩

]
. (4.86)

Desenvolvendo a metodologia apresentada no Caṕıtulo 3, assim como feito na Seção 4.3,

somos capazes de obter as funções de Green que compõem as Eqs. (4.85) e (4.86). Neste

ponto, devido à semelhança com a Seção 4.2, iremos mitigar a apresentação do desenvolvimento

anaĺıtico e partiremos para as equações finais. Lembrando que, devido a influência da ponta

spin-polarizada G̃R
ff†(ω) = ⟨⟨f ; f †⟩⟩ =∑m⟨⟨fY mm; f †⟩⟩. Sendo assim, para o śıtio não local f ,

obtemos as GFs

G̃R
ff†(ω) =

∑

m

⟨⟨fY mm; f †⟩⟩ =
1

(2S + 1)

∑

m

1

(ω+ − εM − Σ+M)
, (4.87)

G̃R
f†f†(ω) =

∑

m

⟨⟨f †Y mm; f †⟩⟩ =
1

(2S + 1)

∑

m

2∆tK−M

(ω+ + εM − Σ−M)
, (4.88)

G̃R
f†f (ω) =

∑

m

⟨⟨f †Y mm; f⟩⟩ =
1

(2S + 1)

∑

m

1

(ω+ + εM − Σ−M)
(4.89)

e

G̃R
ff (ω) =

∑

m

⟨⟨fY mm; f⟩⟩ =
1

(2S + 1)

∑

m

2∆tK+M

(ω+ − εM − Σ+M)
, (4.90)

em que Σ+M = K+
C + (2∆t)2KDK+M e Σ−M = K−

C + (2∆t)2KDK−M são as auto-energias

oriundas da interação do śıtio f com a QI que está acoplada à ponta spin-polarizada e também

60


aos terminais metálicos. As demais quantidades são:

K+M =
KD(

ω+ + εM −K−
C

) , (4.91)

K−M =
KD(

ω+ − εM −K+
C

) , (4.92)

KD =
(ω + iη+) + iΓ

(ω + iΓ + iη+)2 − ε2↑ − Jm
[
ε↑ +

Jm
4

] , (4.93)

K+
C =

[
(ω + iη+) (t2 +∆2) + ε↑ (t

2 −∆2) + Jm
2
(t2 −∆2) + iΓ (t2 +∆2)

(ω + iΓ + iη+)2 − ε2↑ − Jm
[
ε↑ +

Jm
4

]
]

(4.94)

e

K−
C =

[
(ω + iη+) (t2 +∆2)− ε↑ (t

2 −∆2)− Jm
2
(t2 −∆2) + iΓ (t2 +∆2)

(ω + iΓ + iη+)2 − ε2↑ − Jm
[
ε↑ +

Jm
4

]
]
. (4.95)

Com o conjunto de funções de Green obtidas para o śıtio f somos capazes de determinar

a dinâmica das componentes de Majorana que compõem tal férmion não local. Bem como

compreender a forma com a qual o sistema é renormalizado pelas auto-energias oriundas do

acoplamento à QI.

61


Caṕıtulo 5

Fractionalization of

Majorana-Ising-type quasiparticle

excitations

J. E. Sanches, L. T. Lustosa, L. S. Ricco, I. A. Shelykh, M. de Souza, M. S. Figueira, and A.

C. Seridonio, Phys. Rev. B 107, 155144 – Published 26 April 2023.

Neste caṕıtulo exploraremos os resultados obtidos a partir das simulações realizadas com

base nos cálculos apresentados no Caṕıtulo 4, utilizando Python como linguagem de pro-

gramação para obtenção das curvas.

No estudo desenvolvido ao longo desta tese exploramos as propriedades espectrais de uma

impureza quântica (QI) flanqueada por um supercondutor topológico (TSC) unidimensional

finito, que possui MZMs em suas bordas, e por uma ponta spin-polarizada de spin S variável. A

ponta se acopla à QI por um termo de troca do tipo Ising, J . Descobrimos que nesse sistema há

a possibilidade de fracionalização de MZMs regulares, até então não explorada pela literatura.

Um regime contraintuitivo, capaz de localizar um MZM fracionado no ńıvel da QI, emerge

quando definimos um valor espećıfico para J e S, a esse estado ressonante emergente atribúımos

o nome de quasipart́ıcula do tipo Majorana-Ising (MIQ). Consequentemente, encontramos que

o peso espectral desse estado MIQ é a metade de um MZM e se manifesta com caracteŕısticas

ressonantes.

Para a condição em que há a emergência da MIQ um efeito interessante se manifesta na

condutância diferencial. Essa quantidade possui um valor equivalente a metade da condutância

para um MZM genúıno e se mostra puramente eletrônica, ou seja, a contribuição das reflexões

62

https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.107.155144


de Andreev é igual a zero entre os terminais metálicos e a QI. Por outro lado, para um sistema

ideal, ou seja, um nanofio de Kitaev grande o suficiente, em que apenas um dos MZMs se acopla

com a QI e no qual não há uma superposição finita entre eles, a condutância através da QI

é equivalente a um MZM completo e manifesta contribuição de condutâncias eletrônicas e de

reflexões de Andreev em pé de igualdade. Levando-se em consideração esses aspectos, podemos

afirmar que as excitações de MIQ são uma forma de manifestação dos poor man’s Majorana.

Em śıntese, propomos um modelo que apresenta, do ponto de vista experimental, uma

forma mais realista para se explorar as propriedades e a emergência de férmions de Majorana.

Sistema esse, que por ser finito, se assemelha ao chamado modelo mı́nimo de Kitaev que vem

desempenhando um papel importante no contexto experimental e a partir do qual os poor man’s

Majoranas podem emergir.

5.1 Artigo publicado

63


Fractionalization of Majorana-Ising-type quasiparticle excitations

J.E. Sanches,1, ∗ L.T. Lustosa,1 L.S. Ricco,2 I.A. Shelykh,2, 3 M. de Souza,4 M.S. Figueira,5 and A.C. Seridonio1, †

1São Paulo State University (Unesp), School of Engineering,
Department of Physics and Chemistry, 15385-000, Ilha Solteira-SP, Brazil

2Science Institute, University of Iceland, Dunhagi-3, IS-107, Reykjavik, Iceland
3Abrikosov Center for Theoretical Physics, MIPT, Dolgoprudnyi, Moscow Region 141701, Russia

4São Paulo State University (Unesp), IGCE, Department of Physics, 13506-970, Rio Claro-SP, Brazil
5Instituto de F́ısica, Universidade Federal Fluminense, 24210-340, Niterói, Rio de Janeiro, Brazil

We theoretically investigate the spectral properties of a quantum impurity (QI) hosting the here
proposed Majorana-Ising-type quasiparticle (MIQ) excitation. It arises from the coupling between
a finite topological superconductor (TSC) based on a chain of magnetic adatoms-superconducting
hybrid system and an integer large spin S flanking the QI. Noteworthy, the spin S couples to the QI
via the Ising-type exchange interaction. As the Majorana zero-modes (MZMs) at the edges of the
TSC chain are overlapped, we counterintuitively find a regime wherein the Ising term modulates the
localization of a fractionalized and resonant MZM at the QI site. Interestingly enough, the fermionic
nature of this state is revealed as purely of electron tunneling-type and most astonishingly, it has
the Andreev conductance completely null in its birth. Therefore, we find that a resonant edge state
appears as a zero-mode and discuss it in terms of a poor man’s Majorana[Nature 614, 445 (2023)].

I. INTRODUCTION

Majorana fermions are peculiar particles equal to their
own antiparticles described by real solutions of the Dirac
equation[1]. In condensed matter Physics, such fermions
rise as quasiparticle excitations usually quoted as Majo-
rana zero-modes (MZMs), which are found attached to
the boundaries of topological superconductors (TSCs)[2–
31]. Astonishingly, since the theoretical Kitaev seminal
proposal of p-wave superconductivity[32], MZMs are no-
tably coveted due to their attribution as building-blocks
for the highly pursued fault-tolerant topological quantum
computing. Thereafter, in the last years, such excitations
have received astounding focus from both communities
working with quantum science and technology.

Interestingly enough, theoretical predictions point out
that the fractional zero-bias peak (ZBP) in transport
evaluations through quantum dots, which is given by

the conductance GTotal(0) =
e2

2h [2–4], could have its ori-
gin from both the system topological nontrivial regime,
where two MZMs emerge spatially far apart at the edges
of a TSC[3, 4], as well as in the corresponding trivial,
which could exhibit, for instance, Andreev bound states
(ABSs)[33, 34]. In this regard, we highlight Ref.[35],
which by treating the TSC within the theoretical frame-
work of the Oreg-Lutchyn Hamiltonian[9], allows a de-
tailed and systematic analysis on the formation of MZMs
versus ABSs issue. In parallel, effective models[3, 33, 36],
despite their simplifications, are used to capture, with
a quite good accuracy, the corresponding low-energy
Physics encoded by models such as that in Ref.[9] and
the Kitaev Hamiltonian[32].

Back to the issue of the topological nontrivial regime,
not less important, once an ordinary fermion can be

∗ corresponding author: jose.sanches@unesp.br
† corresponding author: antonio.seridonio@unesp.br

decomposed into two MZMs, is the amplitude 1/2 in
GTotal(0), the hallmark of the fractionalization of the

quantum of conductance e2

h , thus giving rise to the con-
cept of fractionalized electronic zero-frequency spectral
weight, which indeed reveals, the MZM “half-fermionic”
nature[4]. This aforementioned fingerprint is expected
to show up in engineered platforms that combine con-
ventional s-wave superconductivity and spin-texture [see
Refs.[37–39] and Fig.1(a)]. As aftermath, the p-wave su-
perconductivity becomes feasible, thus allowing the ex-
perimental realization of the spinless Kitaev wire, which
is indeed, a TSC in 1D[7, 25, 27, 32, 40–43]. For such
an accomplishment, we highlight two practical recipes
based on the Oreg-Lutchyn proposal[9], which have the
following ingredients: (i) a semiconducting nanowire,
with strong spin-orbit coupling (SOC) and under a mag-
netic field, should be deposited on top of an s-wave
superconductor[25, 29–31, 40, 41, 44] or (ii) a linear
chain of magnetic adatoms with exchange interactions
should be hosted by an s-wave superconductor with
strong SOC[13, 18, 37–39, 45–51]. In both the situa-
tions, the s-wave superconductors with singlet Cooper
pairing lead to the so-called superconducting proximity
effect, which is pivotal to carry forward the supercon-
ducting (SC) character into such manufactured Kitaev
wires. Thus, the Zeeman field from the previous recipes
(i) and (ii), together with the magnified SOC from such
quantum materials, establish a synergy that stabilizes the
system spin-texture. Consequently, the triplet Cooper
pairing for the p-wave superconductivity, as well.

Particularly in the topological nontrivial regime of such
setups, these Majorana quasiparticle excitations emerge
ideally, i.e., as MZMs decoupled from each other and lo-
calized on the boundaries of the TSC. Due to this decou-
pling from their environment, MZMs are regarded robust
against perturbations, once they are topologically pro-
tected by the SC gap. Thus, MZMs become promising
candidates for a quantum computing free of the decoher-

ar
X

iv
:2

30
1.

03
50

7v
2 

 [
co

nd
-m

at
.s

up
r-

co
n]

  1
1 

D
ec

 2
02

3


2

Spin 
polarized 

tip

Spin-texture

s-wave superconductor

Fe wire

Quantum 
Impurity

a)

S

Metallic Surface

λ1

γMIQ

Source

b)

J

Γ Γ Drain

Sz

sz

λ2

γ1
γ2

εM

λ1

λ2

γA γB

|λ1|~|λ2|
ABS regime

d)

γ1

γ2

εM
c)

λ1

λ2=0γMIQ

e)

fΔ

t
εM

J(S/2)

-J(S/2)

Figure 1. (a) Proposed device expected to show a Majorana-
Ising-type quasiparticle (MIQ) excitation γMIQ localized at
the quantum impurity (QI) site. The γMIQ leads to a zero-

bias conductance peak GMIQ(0) = e2

4h
due to the QI placed

between source and drain leads, but the total conductance is

still GTotal(0) =
e2

2h
. This occurs once a genuine electron tun-

neling process is present and there is a complete lack of local
Andreev reflection. It can be performed by considering the QI
simultaneously coupled to a spin-polarized tip with an inte-
ger large spin S via an Ising-type exchange interaction J and
with the hopping terms λ1(2) (being λ2 = 0 for this case) to a
helical spin-texture chain hosted by an s-wave superconduc-
tor. (b) Side view of panel (a) wherein the QI-lead coupling Γ
and Ising-type exchange interaction J for the spin-polarized
tip and QI appear highlighted. (c) Pictorial scheme of panel
(b), which effectively consists of a topological superconductor
(TSC), where ϵM represents the overlap between the Majo-
rana zero-modes (MZMs) γ1 and γ2 at edges, while the QI
shows the MIQ γMIQ. The spatial distributions of the wave
functions for the MZMs and QI are also illustrated. The fac-
tor 1

4
in GMIQ has correspondence to the 1

4
from the volume

for the sphere depicted to represent the quasiparticle γMIQ,
in contrast to the ratio 1

2
for the typical volume of the MZMs

γ1 and γ2. (d) Andreev bound state (ABS) regime, obtained
from the effective model with |λ1| ∼ |λ2|[33]. (e) These MZMs
mimic a delocalized fermionic site f, wherein ϵM plays the role
of its energy level, while the QI has 2S+1 levels ranging from
−J(S/2) to +J(S/2). In this scenario, such quantum dots
constitute a Kitaev dimer, i.e., with hopping t and pairing △
of the p-wave Cooper pair split into the QI and f orbitals.

ence phenomenon[52, 53]. However, perfectly far apart
MZMs are hypothetical objects, since they are reliable
solely in infinite-size systems and in real experiments, the
quantum wires are finite. As a result, these end MZMs
within a finite length overlap with each other and in-
evitably, a fermionic mode with a finite energy emerges
instead.

To overcome the aforementioned challenge, in this
work, we find as route the fractionalization of ordinary
MZMs, in particular, those found at a quantum impu-
rity (QI) site coupled to one edge of a finite TSC in
1D. To this end, we should take into account the Ising
exchange interaction between an integer large spin and
such a QI. This setup corresponds to Figs.1(a) and (b),
and it contains the ordinary MZMs γ1 and γ2 placed at
the edges of a short TSC wire. To better understand
our findings, we propose to view the MZMs as sketched

in Fig.1(c), where these objects appear symbolized by
calottes (half-spheres). We clarify that the employment
of such a pictorial representation for the MZMs aims to
explain diagrammatically the electron fractionalization
into them, as well as the MZM fractionalization itself here
observed. These calottes belong to a delocalized sphere
cut in half, with each part placed at the TSC edges. This
cartoon is very u