UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DE COMPUTAÇÃO E ESTATÍSTICA Rua Cristóvão Colombo, 2265 15054-000 – São José do Rio Preto – SP – Brasil Telefone: (17) 3221-2444 Fax: (17) 3221-2445 unesp QUATÉRNIOS, OPERADORES DE FUETER E RELAÇÕES QUATERNIÔNICAS TRANSCENDENTAIS Ana Carolina de Oliveira Dissertação de Mestrado Pós-Graduação em Matemática Aplicada Quatérnios, operadores de Fueter e Relações Quaterniônicas Transcendentais Ana Carolina de Oliveira Dissertação a ser apresentada ao Instituto de Biociências, Letras e Ciências exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Câmpus de São José do Rio Preto, São Paulo, para obtenção do título de Mestre em Matemática Aplicada. Orientador: Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto São José do Rio Preto Fevereiro de 2006 Aos meus pais e irmão, Dedico Agradecimentos Ao Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto por ter estimulado e acompanhado o meu trabalho de pesquisa durante o mestrado. A todos os amigos de pós-graduação, em especial, Cristiane e Ricardo. Aos meus pais. A toda minha família. A Deus, por tudo i Resumo O objetivo deste trabalho é estabelecer similaridades entre os complexos e os hipercomplexos, motivados em explorar idéias de Murnaghan, que introduziu, pela primeira vez, em uma apresentação elementar, a teoria dos quatérnios baseados no teorema de Moivre. É mostrada em detalhes uma analogia da relação complexa clássica de Moivre para quatérnios, e em brevidade para octônios generalizados, e apresenta-se as conexões com os operadores da teoria de Fueter e as funções transcendentais. A extensão do teorema de Moivre é estudada para quatérnios em definindo-se uma função exponencial quaterniônica. Palavras-chaves: Quatérnios, funções hipercomplexas, relações de Moivre. ii Abstract In this work we establish similarities between the complex and the hipercomplex numbers, motivated in exploring ideas of Murnaghan, that introduced, for the first time, in an elementary presentation, the theory of the quaternions based on the theorem of Moivre. We show an analogy of the classic complex relation of Moivre for quaternions, and briefly discuss generalized octonions, as well as to present connections to operators of the theory of Fueter and transcendental functions. We consider them to study the extension of the theorem of Moivre for quaternions, in defining a exponential function on the quaternions. Keywords: Quaternions, hypercomplex functions, de Moivre relation. iii Sumário Agradecimentos i Resumo ii Abstract iii Introdução 1 1 Breve introdução às variáveis complexas 4 1.1 Números complexos 4 1.2 Representação geométrica 7 1.3 Funções de uma variável complexa 10 1.3.1 Representação Geométrica 11 1.4 Limites 12 1.5 Continuidade 13 1.6 Diferenciação 14 1.6.1 As Equações de Cauchy- Riemann 15 1.7 Integrais 16 1.7.1 Curvas no Plano Complexo 16 1.7.2 Integração Complexa 18 1.7.3 Integrais Curvilíneas Reais 19 1.7.4 O Teorema da Integral de Cauchy 20 1.7.5 A Fórmula da Integral de Cauchy 21 1.8 Seqüências e Séries 21 1.8.1 Definição 21 1.8.2 Critérios de Convergência 24 1.8.3 Convergência de Seqüências e Séries 26 1.8.4 Séries de Potências 27 2 Álgebra quaterniônica 31 2.1 O conceito de quatérnios 31 2.2 Representação matricial quaterniônica 33 2.3 O anel dos quatérnios 35 2.4 Função de uma variável quaterniônica 39 2.5 Funções quaterniônicas regulares 39 2.6 Integração e diferenciação quaterniônica 41 3 Funções transcendentais quaterniônicas e operadores de Fueter 49 3.1 Séries de potências de números quaterniônicos 49 3.2 Equações com operadores 60 Conclusão 73 Referências Bibliográficas 74 Introdução O cálculo da raiz quadrada de um número negativo foi um dos mais fascinantes desafios da história da matemática. O ano de 1545 nos remonta o primeiro sinal dos números complexos, quando Geronimo Cardano (1501-1576), com “Ars Magna”, estudou a solução algébrica das equações cúbicas com sugestões de Nicolo Tartaglia (1500-1557) e quárticas descobertas por Ludovico Ferrari (1522-1565). Em 1777, Euler introduziu a notação i e –i para as duas raízes quadradas de –1, provavelmente referindo-se a expressão números imaginários, introduzida por René Descartes (1596-1650). Euler visualizou números complexos como um ponto no plano com coordenadas retangulares yx, . Introduzindo coordenadas polares θ,r , ele escreveu ( )θθ sencos iriyx +=+ e representou as raízes da equação 1=nz , 3≥n com vértices de um polígono regular no plano ( )yx, . Muitos matemáticos importantes deram contribuições notáveis, entre eles, Augustin Cauchy (1789-1857) que construiu uma rigorosa teoria para funções complexas. William Rowan Hamilton (1805-1865), fez importantes contribuições à física e à astronomia mas nos interessa aqui ocuparmo-nos de suas idéias matemáticas. Em 1833, aos 28 anos de idade, deu a fundamentação definitiva dos números complexos como pares ordenados de números reais, tal como é apresentada atualmente. Hamilton percebeu que seus pares ordenados podiam ser entendidos como entidades no plano e tentou estender a idéia a três dimensões indo dos números complexos, bia + , para ternas ordenadas, cjbia ++ . O problema era, uma vez conhecida a regra para multiplicar os números complexos, encontrar uma regra para multiplicar ternas. Em 1843, Hamilton teve a idéia de usar quatro números que ele chamou quatérnios e 1 renunciar a lei comutativa da multiplicação. Esta é uma das poucas grandes descobertas matemáticas que esta muito bem localizada no tempo e circunstâncias. 1222 −==== ijkkji em uma pedra. Nenhum sinal disto pode ser encontrado hoje, mas em 1956 uma placa foi erguida no local, comemorando a descoberta e exibindo a fórmula. Hamilton passou o resto de sua vida trabalhando com quatérnios; ele apresentou uma detalhada teoria de um sistema não comutativo algébrico, percebendo a relação de quatérnios com o espaço tridimensional e tendo interpretado o quatérnio como a razão entre dois vetores, ele pensou na interpretação física da parte escalar. Hamilton morreu em 1865 deixando inacabado seu trabalho sobre quatérnios. Mais tarde, após sua morte, seu filho, William Edwin Hamilton, publicaria o famoso “Elements of Quaternions”. A perda da propriedade comutativa da multiplicação para sistemas numéricos foi de particular importância para as sucessivas investigações. Em 1843, Graves encontrou uma álgebra não associativa com 8 elementos de base, a álgebra das oitavas ou octônios. Em 1845 os octônios foram redescobertos por Arthur Cayley , por causa disto os octônios também são conhecidos como números de Cayley. Os quatérnios eram de muito interesse para o físico James Clerk Maxwell que buscou aplicar esta matemática em seu trabalho. Em 1864, ele descobriu as equações do eletromagnetismo. Gibbs, na década seguinte introduziu a análise vetorial e Heaviside desenvolveu o cálculo vetorial promovendo sua aplicação em Física. O cálculo vetorial foi muito bem aceito na comunidade científica e, desta forma, os quatérnios foram sendo 2 Figura 1.1: Placa erguida em honra a descoberta de Hamilton. Dizem que Lord Hamilton teve a idéia de definir o produto quaterniônico num passeio que fez com a Lady Hamilton. Deu-se o tal “insight” no momento exato que passeavam pela ponte de Brougham, que hoje é chamada de “Quaternion Bridge”, Dublin. Ele repentinamente parou sob a ponte, tirou seu canivete, e arranhou a fórmula fundamental: deixados de lado. A teoria da relatividade especial revelou-se uma aplicação natural dos biquatérnios, ou quatérnios complexificados, introduzidos previamente por Clifford. Mais tarde, este formalismo foi revisado, expandido e usado por Wigner, F. Klein, Lanczoz, entre outros. Embora discretamente, os quatérnios estavam reaparecendo na Física. Esta tese está dividida da seguinte maneira: no capítulo 1 apresentamos uma breve introdução a teoria das funções de variável complexa, que teve sua origem cercada de suspeita e desconfiança; o que é notado pelo uso dos termos “imaginário” e “complexo” em sua literatura. Não foi senão a partir do século XIX que Cauchy, Gauss e Riemann colocaram-na em bases sólidas, mostrando tratar-se de um dos mais poderosos instrumentos matemáticos, seja para o matemático, como para o físico ou o engenheiro. Sua estrutura elegante e lógica influenciou e penetrou em quase todos os ramos da matemática pura e aplicada. Hoje a teoria das variáveis complexas é indispensável na resolução de problemas de fluxo de calor, mecânica dos fluidos, aerodinâmica, teoria eletromagnética, e, praticamente, qualquer outro ramo da ciência e da engenharia. O capítulo 2 será dedicado a alguns tópicos de álgebra quaterniônica. Foram muitas as tentativas de generalizar os quatérnios para três dimensões, na esperança de que efetuassem então transformações geométricas no espaço tridimensional através de operações simples, como os complexos faziam em duas dimensões. A forma pela qual se tentava a generalização, hoje entendemos bem, não era possível. A alternativa foi generalizar os complexos para quatro dimensões, um quatérnio é o que agora chamamos de vetor quadrimensional, escrito da forma kqjqiqqq zyx +++= . Finalizamos o capítulo, lançando a base teórica deste nosso trabalho. O capítulo 3 é baseado essencialmente no artigo recentemente escrito por Borges e Machado [17]. Apresentamos em detalhes uma analogia da relação complexa clássica de Moivre para quatérnios e sem muitos detalhes alguns resultados obtidos para octônios, que podem ser encontrados detalhadamente na dissertação de Pendeza [20]. E apresentamos conexões com os operadores da teoria de Fueter e as funções transcendentais. Definimos uma função exponencial quaterniônica a partir da extensão do teorema de Moivre. 3 Capítulo 1 Breve introdução às variáveis complexas O estudo das funções de uma variável complexa constitui um dos ramos mais importantes da Matemática. Cauchy, Riemann, Weierstrass e Gauss muito contribuíram para o desenvolvimento desse estudo, no século XIX. Neste capítulo apresentaremos uma breve introdução às variáveis complexas, as quais julgamos necessárias para um bom entendimento do texto. 1.1 Números Complexos Um número complexo z é um par ordenado ( )ba, de números reais a e b; isto é, ( )baz ,= , sujeito a certas regras e leis. Os números reais a e b chamam-se, respectivamente, parte real e parte imaginária do complexo z; isto é, a = parte real de ( )zz Re= , b = parte imaginária de ( )zz Im= . O par ( )0,x se identifica com o número real x; e um par do tipo ( )y,0 é um imaginário puro. O par ( )1,0 é a unidade imaginária i. Os complexos ( )111 ,baz = e ( )222 ,baz = são iguais se, e somente se, suas partes reais 1a e 2a são iguais, e suas partes imaginárias 1b e 2b são também iguais, isto é, 4 Breve introdução às variáveis complexas 1.1 Números Complexos 21 zz = se, e somente se, 21 aa = e 21 bb = . Os números complexos satisfazem as seguintes regras de operação: Adição: A cada par de complexos 1z e 2z corresponde um único complexo 3z chamado soma e denotado por 213 zzz += ; define-se como segue: Se ( )111 ,baz = , ( )222 ,baz = , então ( ) ( ) ( )21212211213 ,,, bbaababazzz ++=+=+= . (1.1.1) Multiplicação: A cada par de complexos 1z e 2z corresponde um único complexo 3z , chamado produto de 1z e 2z e denotado por 21 zz • ; define-se como segue: Se ( )111 ,baz = e ( )222 ,baz = , então ( ) ( ) ( )122121212211213 ,,, bababbaababazzz +−=== •• . (1.1.2) Sejam 321 ,, zzz três complexos arbitrários. Então, as seguintes regras da álgebra complexa decorrem diretamente das propriedades dos números reais, da definição de igualdade e das regras de adição e multiplicação: A igualdade aditiva é o complexo ( )0,00 = com as propriedades ,00 zzz =+=+ (1.1.3) .000 == •• zz (1.1.4) A identidade multiplicativa é o complexo ( )0,11 = com a propriedade zzz == •• 11 . (1.1.5) Lei comutativa para a adição: 1221 zzzz +=+ . (1.1.6) Lei comutativa para a multiplicação: 1221 zzzz •• = . (1.1.7) Lei associativa para a adição: ( ) ( ) 321321 zzzzzz ++=++ . (1.1.8) 5 Breve introdução às variáveis complexas 1.1 Números Complexos Lei associativa para a multiplicação: ( ) ( ) 321321 zzzzzz •••• = . (1.1.9) Lei distributiva para a multiplicação em relação à adição: ( ) 3121321 zzzzzzz ••• +=+ . (1.1.10) Lei do corte para a adição: Se 3121 zzzz +=+ , então 32 zz = . (1.1.11) Lei do corte para a multiplicação: Se 3121 zzzz •• = , e se 01 ≠z , então 32 zz = . (1.1.12) O inverso aditivo *z de um complexo ( )baz ,= é um complexo com a propriedade 0** =+=+ zzzz . (1.1.13) Pela definição (1.1.1) de adição, se ( )baz −−= ,* , então (1.1.13) é satisfeita. Assim, todo complexo tem um inverso aditivo. O inverso multiplicativo 1−z de um complexo ( )baz ,= não-nulo é um complexo com a propriedade .111 == • −− • zzzz (1.1.14) Pela definição (1.1.2) de multiplicação, se ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + =− 2222 1 , ba b ba az , então (1.1.14) é satisfeita. Assim, todo complexo não-nulo tem um inverso multiplicativo. O complexo conjugado de um complexo iyxz += é um complexo iyxz −= , que tem a mesma parte real de z , mas cuja parte imaginária tem sinal oposto. De acordo com esta definição, z é também o conjugado de z ; por isso, z e z dizem-se complexos conjugados. Para z arbitrário, ( )( ) 22. yxiyxiyxzz +=−+= . (1.1.15) Assim, o produto de um complexo pelo seu conjugado é sempre um número real. 6 Breve introdução às variáveis complexas 1.2 Representação Geométrica 1.2 Representação Geométrica Quando os complexos estão em correspondência biunívoca com os pontos de um plano cartesiano, este chama-se plano complexo ou plano z. Os eixos coordenados são os eixos real e imaginário do plano z. Assim, para o complexo ( )yxiyxz ,=+= , x é a projeção de z sobre o eixo das abscissas (eixo real) e y é a projeção de z sobre o eixo das ordenadas (eixo imaginário). Obviamente, o complexo ( )0,00 ==z representa a origem. Note que a cada ponto do plano z corresponde um e um só complexo z, e reciprocamente. Na figura (1.2.1), r é o comprimento do segmento da origem ao ponto ( )yxz ,= , e θ é o ângulo de inclinação desse segmento. Então, θcosrx = e θsenry = . Assim, um complexo não- nulo z escrito em forma polar é ( );sencossencos θθθθ irirriyxz +=+=+= (1.2.1) r e θ são as coordenadas polares de z. Figura 1.2.1 Representação geométrica de números complexos como pontos no plano complexo ou plano z. 7 Breve introdução às variáveis complexas 1.2 Representação Geométrica Da figura (1.2.1) , 22 yxr += , e se 0≠x , ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛= x ytgarc θ . Se x = 0 e 0>y , ππθ k2 2 1 += , enquanto que se x = 0 e 0ε , existe um 0>δ tal que ( ) ε<− 0wzf sempre que ( ) RzNz ∩∈ ∧ δ . Se existe o limite de z quando 0zz → , ele é único. Note que , se ( ) ε<− 0wzf vale para todo ( ) RzNz ∩∈ ∧ 0δ e se 1δ <δ , então ( ) ε<− 0wzf também vale para todo RzNz ∩∈ )(1δ . Alem disso, como RzN ∩ ∧ )( 0δ é um subconjunto de )( 0zN δ ∧ , a desigualdade ε<− 0)( wzf vale para todo RzNz ∩∈ )( 0δ sempre que for válida para todo )( 0zNz δ ∧ ∈ . Se ( )zfw = e ( )zg=ξ são duas funções tais que 0)(lim 0 wzf zz = → e 0)(lim 02 ξ= → zg zz , então 12 Breve introdução às variáveis complexas 1.5 Continuidade (1) [ ] 00)()(lim 0 ξ+=+ → wzgzf zz (1.4.1) (2) [ ] 00)()(lim 0 ξ−=− → wzgzf zz (1.4.2) (3) [ ] 00)()(lim 0 ξwzgzf zz = → (1.4.3) (4) 00 0 )( )(lim 0 ξ w zg zf zz =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ → quando 00 ≠ξ . (5) se 0)(lim 0 ξ= → zg zz e )(lim 0 ξ ξξ f → existe e se há uma vizinhança restrita )( 0zN δ ∧ de 0z tal que g(z) 0ξ≠ para )( 0zNz δ ∧ ∈ então [ ] )(lim)(lim 00 ξ ξξ fzgf zz →→ = . 1.5 Continuidade Uma função f , definida em uma região R, é contínua num ponto Rz ∈0 se, e somente se, satisfaz as seguintes condições: ( ) ( ) ( ). (2) existe )1( 0 zz 0 lim 0 zfzfzf = → Isto é, para cada 0>ε , existe um 0>δ tal que ( ) ( ) ε<− 0zfzf para todo RzNz ∩∈ )( 0δ . O número δ , que corresponde a um ε dado, pode, também , depender do ponto 0z . Uma função que não é contínua em 0z é descontínua aí ( ou tem uma descontinuidade em 0z ). Uma função ( )zf é contínua em uma região R se o é em cada ponto de R. A composta de duas funções contínuas é contínua; isto é, se uma função f é definida numa 13 Breve introdução às variáveis complexas 1.6 Diferenciação região R, e para todo z em alguma vizinhança N de um ponto 0z o contradomínio de uma função g está em R, então a composta ( )[ ]zgf é definida quando z está em N e é contínua em 0z quando f e g são contínuas em ( )0zg e 0z respectivamente. Seja f definida numa região R. Se, para todo R∈ξ e para todo 0>ε existe um 0>δ , onde ( )εδδ = , independentemente de ξ , tal que ( ) ( ) εξ <− fzf para todo RNz ∩∈ )(ξδ , então f é uniformemente contínua em R. 1.6 Diferenciação Se uma função f é definida numa região R e z é um ponto na vizinhança )( 0zN δ de um ponto fixo 0z , RzN ∈)( 0δ , então a derivada f’, ou dz df , de f em 0z é ( ) ( ) ( ) ,' 0 0 0 lim 0 zz zfzfzf zz − − = → se o limite existe. Escrevendo 0zzz −=Δ (variação ou acréscimo de 0z ) e ( ) ( )0zfzff −=Δ (variação ou acréscimo de f em 0z ), a derivada ( )0' zf de f em 0z se escreve ( ) .' lim 0 0 z fzf z Δ Δ = → As regras para diferenciação de funções complexas ( )zf1 e ( )zf2 , supondo-se existirem ( )zf 1' e ( )zf 2' , são (a) ( ) 0=c dz d , onde c é qualquer constante complexa. (1.6.1) (b) ( )[ ] ( )[ ]zf dz dczcf dz d 11 = , (1.6.2) 14 Breve introdução às variáveis complexas 1.6.1 As Equações de Cauchy-Riemann (c) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ],2121 zf dz dzf dz dzfzf dz d ±=± (1.6.3) (d) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ),''. 212121 zfzfzfzfzfzf dz d += (1.6.4) (e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]22 2112 2 1 '' zf zfzfzfzf zf zf dz d − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ desde que ( ) 02 ≠zf . (1.6.5) 1.6.1 As Equações de Cauchy- Riemann Uma condição necessária para que uma função ( ) ( ) ( )yxivyxuzf ,, += seja diferenciável num ponto iyxz += num domínio D é que, em D, as derivadas parciais de u e v em relação a x e y existam e satisfaçam as equações de Cauchy-Riemann . y u , x v y v x u ∂ ∂ −= ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ (1.6.1.1) Se as derivadas parciais em (1.6.1.1) são contínuas, então as condições de Cauchy- Riemann são suficientes para que ( )zf seja diferenciável em D. As funções u e v dizem-se conjugadas; conhecida uma, pode-se determinar a outra, a menos de uma constante, de modo que ivuf += seja diferenciável. Para mostrar que se a função ( ) ( ) ( )yxivyxuzf ,, += é diferenciável no ponto iyxz += , então as equações de Cauchy- Riemann (1.6.1.1) são satisfeitas no ponto z, é simples. Como ( )zf ' existe, ( ) ( ) zz zfzf zz − − → ' 'lim ' também existe, e é igual a ( )zf ' . Escrevendo as partes reais e imaginárias de ( )zf ' e ( )zf e as partes real e imaginária de z’ e z, ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )yyixx yxvyxviyxuyxuzf zz −+− −+− = → '' ,',',','' lim ' . Este limite se calcula de duas maneiras. Se x’ = x, então 15 Breve introdução às variáveis complexas 1.7 Integrais ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )yyi yxvyxviyxuyxuzf yy − −+− = → ' ,',,',' lim ' ( ) ( ) ( ) ( ) yy yxuyxui yy yxvyxv yyyy − − − − − = →→ ' ,', ' ,', limlim '' pois os dois últimos limites existem. Eles são yv ∂∂ e yu ∂∂ . Portanto, ( ) y ui y vzf ∂ ∂ − ∂ ∂ =' . (1.6.1.2) Se y’ = y, então ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] xx yxvyxviyxuyxuzf xx − −+− = → ' ,,',,'' lim ' ( ) ( ) ( ) ( ) xx yxvyxvi xx yxuyxu yyxx − − − − − = →→ ' ,,' ' ,,' limlim '' Pois os dois últimos limites existem. Esses limites são xu ∂∂ e xv ∂∂ . Portanto, ( ) x vi x uzf ∂ ∂ + ∂ ∂ =' . (1.6.1.3) Comparando (1.6.1.2) e (1.6.1.3), . y u , x v y v x u ∂ ∂ −= ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ o que prova se ( )zf ' existe em um ponto z, as equações de Cauchy- Riemann são satisfeitas nesse ponto. 1.7 Integrais 1.7.1 Curvas no Plano Complexo Uma curva C no plano z complexo é um conjunto de pontos )(txx = , )(tyy = , bta ≤≤ , (1.7.1.1) com z e y funções contínuas da variável real t no intervalo fechado [ ]ba, . Como iyxz += , 16 Breve introdução às variáveis complexas 1.7.1 Curvas no plano Complexo (1.7.1.1) pode escrever-se como )(tzz = , bta ≤≤ . (1.7.1.2) O ponto ( )az é chamado ponto inicial de C , e o ponto ( )bz ponto terminal de C . ( )az e ( )bz são as extremidades de C . Se ( )az = ( )bz , C diz-se uma curva fechada; caso contrário, um arco. Se existem dois valores distintos de 1, tt e 2t com 21 tt < e btat ≠≠ 21 , , em [ ]ba, , tais que )()( 21 tztz = diz-se que a curva C se intercepta. Um arco que não se intercepta diz-se um arco simples, ou arco de Jordan. Uma curva fechada que não se intercepta diz-se uma curva fechada simples, ou curva de Jordan. Uma curva diz-se suave se ( )tz' existe, é contínua e não se anula para nenhum t em [ ]ba, . Uma curva diz-se retificável se tem comprimento finito L ; isso é , se a integral [ ] [ ] dttytxL b a 22 )´()´( += ∫ existe . Se C é suave , é retificável , pois a integranda ainda acima é então função contínua de t em [ ]ba, , o que é suficiente para assegurar a existência da integral . Sejam nCCC ,...,, 21 n arcos suaves tais que o ponto terminal de jC coincida com o ponto inicial de 1...,2,1,1 −=+ njC j . A união desses n arcos suaves é uma curva seccionalmente (parcialmente) suave , se chama um contorno . Se um contorno não se intercepta , é chamado contorno simples. Se o ponto terminal de nC coincide com o ponto inicial de 1C o contorno se chama contorno fechado. Um contorno fechado que não se intercepta chama-se contorno fechado simples; isto é , um contorno fechado simples é uma curva de Jordan parcialmente suave, retificável. Nota: A palavra curva significará aqui sempre curva retificável. 17 Breve introdução às variáveis complexas 1.7.2 Integração Complexa 1.7.2 Integração Complexa Se [ ]ba, é um intervalo fechado e { }nttt ,...,, 10 é uma seqüência finita crescente de valores tais que 0t = a e nt = b , então o conjunto de intervalos [ ]{ }jj tt −−1 , j= 1,2,...,n é chamado uma decomposição np do intervalo [ ]ba, . O maior dos números 1−− jj tt , j = 1 , 2,..., n é chamado norma de nP e se indica por nP . Qualquer conjunto de n números formado pela escolha de um número jt ' de cada intervalo [ ]jj tt ,1− , j = 1 , 2, ..., n é chamado um refinamento nQ da decomposição nP . Se nQ = { }nttt ',...,',' 21 é um refinamento de uma decomposição { }nnn ttttP ,,...,, 110 −= de [ ]ba, , então bttttta nn =<<<<<= −1210 ... e jjj ttt ≤≤− '1 j = 1 ,2 , ..., n. Seja ( )tzz = , bta ≤≤ , um contorno C e nQ um refinamento da decomposição nP de [ ]ba, com norma nP . Denotemos )( jtz por jz , j = 0 , 1 , 2 ,..., n, e )'( jtz por jz' . Então , a soma de Riemann , baseada em nP , para qualquer função f definida para todo z em C é ( ) ( )( ) ( ) j n j n j jjjjnn zzfzzzfQPfS Δ=−=∑ ∑ = = − 1 1 1 '',, (1.7.2.1) onde 1−−=Δ jjj zzz , j = 1 , 2 ,..., n. Se um numero J é tal que , para todo 0>ε , existe um 0>δ tal que ε<− ),,( nn QPfSJ para todas as decomposições nP e todos os refinamentos nQ de nP para os quais δε arbitrário, existe um N > 0 tal que ε<− mn zz para todo n > N e m > N. A seqüência { } { },...,...,, 321 nn zzzzz = é convergente, e converge para o limite L, se, para cada 0>ε existe um inteiro N > 0 tal que ε<− Lzn para todo n > N . A convergência de uma seqüência { }nz para o limite L é representada por ,}{, LzLz nn →→ ou Lzn n = ∞→ lim . Quando uma seqüência não converge para o limite L, diz-se divergente, ou que diverge. Diz-se que uma seqüência { }nz diverge para o infinito (escreve-se ∞→}{ nz ), se, para cada M > 0, existe um N > 0 tal que Mzn > para todo n > N. Por exemplo, as seqüências { } { },...,...,3,2,1 nn = e { } { },...1,...,31,21,11 niiiini −−−−=− divergem ambas para infinito. Diz-se que uma seqüência é oscilante, ou que oscila, se não converge nem diverge para 22 Breve introdução às variáveis complexas 1.8.1 Definição infinito. Por exemplo, as seqüências ( ){ }...1,...,1,1,1})1{( nn −−−=− e { } { },...,...,1,,1, nn iiii −−= são oscilantes. Se { } { }...,...,, 21 nn zzzz = é uma seqüência infinita e se ,...,2,1, 1 ==∑ = KzS k k υ υ então, a seqüência { }nS = { }.,..,...,21 nSSS é chamada uma serie infinita. O termo ∑ = = k k zS 1υ υ é chamado soma parcial de ordem k da serie infinita { }nS . A série infinita { }nS é dita convergente se a seqüência converge. Se a seqüência { }nS converge para S , então S, então S se diz soma da série { }nS ; a série então converge para S. Em tal caso, escreve-se ... 1 321 +++==∑ ∞ =υ υ zzzzS . Usualmente, não se faz distinção entre a série infinita nS e a sua soma. Isto é, ∑ ∞ =1υ υz tanto pode representar a série infinita { }nS como a sua soma S (quando esta última existe). A série infinita ∑ ∞ =1υ υz converge para S , oscila ou diverge, conforme a seqüência { }nS de somas parciais ∑ = = k k zS 1υ υ convirja , oscile ou divirja. Se { } ,...,,...,, 21 nn zzzz = e se { } ,...',...,','' 21 nn zzzz = são duas seqüências , usaremos a anotação seguinte: { } ...',...''' 2211 +++++=+ nnnn zzzzzzzz ,...',...,','}'{ 2211 nnnn zzzzzzzz = ,..., ' ,..., ' , '' 2 2 1 1 n n n n z z z z z z z z = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ desde que 0' ≠nz , n = 1, 2, ... { } ,...,...,, 21 zzzzn −−−=− 23 Breve introdução às variáveis complexas 1.8.2 Critérios de Convergência 1.8.2 Critérios de Convergência Uma série infinita ∑ υz se diz absolutamente convergente se a série∑ υz converge. Se apenas a primeira série converge, ∑ υz se diz condicionalmente convergente. Se a série de valores absolutos converge, a primeira série também converge. O critério de comparação para convergência absoluta: Se a série∑ υξ é absolutamente convergente e ∑ υz é uma série tal que, para um dado k > 0, υυ ξkz ≤ para cada v = 1, 2, 3, ..., então a série ∑ υz também é absolutamente convergente . Duas séries muito usadas para a determinação de convergência absoluta são (a) a série geométrica ∑ +++++= ...,...210 nzzzzzυ que é absolutamente convergente para 1 1 e divergente para 1≤S . O critério da razão de D´Alembert: A série ∑ υz converge absolutamente se , para todo inteiro n > N , onde N é um inteiro positivo fixo , ρ< + n n z z 1 , (1.8.2.1) onde ρ é independente de n e 10 << ρ . Desigualdade de Abel: Se r nr SA máx 1 ≤≤ = , onde ∑ = = r v r aS 1 υ , e se { }nx é uma seqüência de reais tais que 0...321 >≥≥≥ xxx , então 24 Breve introdução às variáveis complexas 1.8.2 Critérios de Convergência .1 1 Axxa v ≤∑ ∞ = υυ O critério de Dirichlet: Se { }nx é uma seqüência não-crescente de reais positivos que converge para zero e se existe k real positivo tal que , para todo n , ka n ≤∑ =1υ υ , então a série υ υ υ xa∑ ∞ =1 converge. Se ∑ ∞ =1υ υu é uma série , )(νμ f= é uma aplicação 11− dos inteiros positivos sobre os inteiros positivos, e υμν u= , então a série ∑ ∞ =1μ μν se diz um rearranjo da série ∑ ∞ =1υ υu . Se ∑ υz é condicionalmente convergente , o rearranjo da ordem de seus termos dará uma série que poderá divergir ou convergir para uma outra soma . Se ∑ υz é absolutamente convergente, a ordem de seus termos pode ser rearranjada , dando uma nova série , que terá sempre a mesma soma que a original. Um amálgama ∑ nu das duas séries ∑ nx e ∑ ny é um rearranjo das séries ...332211 ++++++ yxyxyx com as propriedades: (1) , 11 kn xu = '22 kn xu = e 12 kk > implica 12 nn > , (2) , 11 kn yu = '22 kn yu = e 12 kk > implica 12 nn > . Por exemplo, um amálgama das duas séries ∑ ∞ =1 2 1 n n e ∑ ∞ = +1 )1( 1 n nn é a série ... 7.6 1 6.5 1 2 1 5.4 1 4.3 1 2 1 3.2 1 2.1 1 2 1 3 1 2 +++++++++=∑ ∞ =n nu porque esta série é um rearranjo da série 3.2 1 2 1 2.1 1 2 1 2 +++ ..., 5.4 1 2 1 4.3 1 2 1 43 +++++ 25 Breve introdução às variáveis complexas 1.8.3 Convergência de Seqüências e Séries e tem as duas propriedades indicadas. Isto é, os termos das séries n n 2 1 1 ∑ ∞ = e ∑ ∞ = +1 )1( 1 n nn aparecem na mesma ordem em ∑ ∞ =1n nu que em n n 2 1 1 ∑ ∞ = e ∑ ∞ = +1 )1( 1 n nn respectivamente. Outro amálgama das duas séries é 2.1 1 2 1 2 1 2 1 32 +++ ... 7.6 1 6.5 1 5.4 1 2 1 2 1 2 1 4.3 1 3.2 1 654 +++++++++ 1.8.3 Convergência de Seqüências e Séries de Funções Uma seqüência de funções { }nf em um conjunto E de complexos é o conjunto { },...,...,, 21 nfff de funções ( )zfn , n = 1, 2, 3, ..., definidas para cada z um E . Se a seqüência numérica { })(zfn = { })(),...,(),( 21 zfzfzf n converge para )(zf para cada z em um subconjunto R de E , então )(zf é chamada o limite da seqüência { }nf em R e se escreve ( )zfzf n n lim)( ∞→ = . Isto é , { }nf converge para f em R se , dado 0>ε , existe um 0>N , dependendo de ε e de z , tal que, para cada z em R , ( ) ( ) ε<− zfzfn para todo ( )zNNn ,ε=> . A seqüência { }nf converge sempre , se o subconjunto R é todo o plano z . A seqüência { }nf diverge em 1zz = se ∉1z R. A seqüência { }nf diverge sempre se R é o conjunto vazio . A série ∑ ∞ =1r rf é absolutamente convergente em R se ∑ ∞ =1 )( r zfυ é convergente para cada Rz∈ . A série ∑ ∞ =1r rf é condicionalmente convergente em R se a série numérica )( 0 1 zf r ∑ ∞ = υ é 26 Breve introdução às variáveis complexas 1.8.4 Séries de Potências condicionalmente convergente em R. A série ∑ ∞ =1r rf é divergente em R se a série numérica )( 0 1 zf r r∑ ∞ = é divergente em R. Seja { })(zfn uma seqüência de funções contínuas em um região R do plano z. Suponhamos que essa seqüência convirja para uma função )(zf em R. Pode-se concluir daí que )(zf não é necessariamente contínua em R ? Uma seqüência de funções { })(zfn converge uniformemente para uma função )(zf ,para todo z, em uma região R, se , dado um 0>ε arbitrariamente pequeno , existe um N > 0 , inteiro, que pode depender de ε , mas não de z , tal que ε<− )()( zfzfn para todo n > N e todo z em R. A convergência uniforme é uma propriedade de uma seqüência em uma região , ou em um conjunto ; a convergência é uma propriedade de uma seqüência em um ponto . Assim , a afirmação “uma seqüência converge uniformemente em um ponto 0z ” implica a existência de uma região , contendo o ponto 0z na qual a seqüência converge uniformemente. Uma seqüência converge não- uniformemente em um ponto 0z se ela é convergente aí , mas não existe nenhuma região contendo o ponto 0z onde a seqüência seja uniformemente convergente . Uma série de funções converge uniformemente em um conjunto ou região R se a seqüência de suas somas parciais converge uniformemente em R . 1.8.4 Séries de Potências Uma série de potências é uma série infinita da forma ( ) n n n zza∑ ∞ = − 0 0 , (1.8.4.1) 27 Breve introdução às variáveis complexas 1.8.4 Séries de Potências onde 0z é um complexo fixo e os na , n = 1, 2, 3,..., são números complexos dados. O círculo de convergência, RzzC =− 0: , é o maior círculo centrado em 0z em cujo interior a série (1.8.4.1) converge em cada ponto. (V. Fig. 1.8.4.1). O raio de convergência R é o raio do círculo de convergência da série de potências. (V. Fig. 1.8.4.1) Figura 1.8.4.1 O círculo de convergência C e o raio de convergência da série de potências ( ) n n n zza∑ ∞ = − 0 0 . O teorema de Taylor afirma que, se ( )zf é analítica em todos os pontos interiores a um círculo C de centro 0z e raio R, a série de potências ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) .. ! 1...'' !2 1' 00 2 000000 +−++−+−+=−∑ nnn n zzzf n zzzfzzzfzfzza converge para ( )zf em todo ponto z interior a C. Esta série também se chama desenvolvimento de Taylor para a função f na vizinhança de 0z , e se escreve freqüentemente como ( ) ( ) ( )( )( )vv v zzzf v zfzf 00 1 0 ! 1 −+= ∑ ∞ = ou ( ) ( )( )( )vv v zzzf v zf 00 0 ! 1 −=∑ ∞ = . 28 Breve introdução às variáveis complexas 1.8.4 Séries de Potências Se se desenvolve uma função f em série de Taylor na vizinhança do ponto 00 =z , a série é ( ) ( ) ( ) ( ) v v v zf v fzf 0 ! 10 1 ∑ ∞ = += . Tal série também se chama série de Maclaurin. Desenvolvendo as seguintes funções em série de Maclaurin: (a) ze A n-ésima derivada de ze é ( ) z n zn e dz ed = , ( ) ( ) 10 0 == ef n para ,...,3,2,1=n e ( ) 10 0 == ef . Portanto, ∑ ∞ = += 1 ! 11 v vz z v e . (b) zsen A n-ésima derivada de zsen é ( ) ( ) ( ) z dz zd n n n cos1sen 1 2 1 −−= se n é ímpar ( ) zn sen1 2 1 −= se n é par Logo, ( ) 00 =f e ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 10 −−= nnf se n é ímpar = 0 se n é par Portanto, ( ) ( ) ! 1sen 1 2 1 μ μ μ μ zz ímpar ∑ −−= . Fazendo 12 −= vμ , ( ) ( )!12 1sen 12 1 1 − −= −∞ = −∑ v zz v v v . 29 Breve introdução às variáveis complexas 1.8.4 Séries de Potências (c) zcos A n-ésima derivada de cos z é ( ) ( ) ( ) z dz zd n n n sen1cos 1 2 1 +−= se n é ímpar ( ) zn cos1 2 1 −= se n é par Logo, ( ) 10 =f e ( ) ( ) 00 =nf se n é ímpar ( ) n 2 1 1−= se n é par Portanto, ( ) ! 11cos 2 1 μ μ μ μ zz par ∑ −+= . Fazendo v2=μ , ( ) ( )!2 11cos 2 1 v zz vv v ∑ ∞ = −+= . 30 Capítulo 2 Álgebra Quaterniônica Os quatérnios não vieram ocupar o lugar que Hamilton sonhava na física, comparável ao papel desempenhado pelo cálculo na mecânica, mas, mesmo assim, tiveram importância decisiva em pelo menos dois sentidos. Por um lado, eles deram origem ao cálculo vetorial, e por outro lado, a descoberta teve um papel decisivo no desenvolvimento da Álgebra. Neste capítulo apresentaremos alguns conceitos da teoria da álgebra quaterniônica. 2.1 O conceito de quatérnios Os quatérnios foram idealizados por Willian R. Hamilton (1805-1865), em 1843, e são definidos no espaço R4, sendo algumas vezes simbolizados por H em homenagem ao seu criador. Os quatérnios podem ser interpretados de várias maneiras. Entre elas pode-se considerar: como um vetor de dimensão quatro, um número complexo com três unidades imaginárias, ou um número hipercomplexo . Considerando o escalar 1 e os versores, i , j , k como base do espaço de quatérnios pode-se representar um quatérnio genérico por: ( ) ( )zyxzyx qqqqqqqqkqjqiqqq ,,,, ==+=+++= (2.1.1) 31 Álgebra Quaterniônica 2.1 O conceito de quatérnios onde q , xq , yq e zq são escalares reais e xq , yq e zq são componentes do vetor q . Como pode- se ver na Equação (2.1.1) são usados quatro modos para representar os quatérnios. Uma característica interessante dos quatérnios é que ele pode ser usado tanto para representar um escalar, um número complexo na forma biaz += quanto um vetor do R3. Fazendo q = 0 tem- se um vetor, chamado também de quatérnio puro ; considerando yq = zq = 0 tem-se um número complexo e fazendo xq = yq = zq = 0 tem-se um escalar. Assim como no caso de números complexos na forma biaz += , no qual i é a unidade imaginária (i2 = -1), os três componentes imaginários do quatérnio, denominados imaginários principais possuem a mesma propriedade. Além desta propriedade os produtos, dois a dois, de i, j e k, seguem a mesma regra do produto vetorial. Deste modo pode-se admitir as seguintes relações: 1222 −=== kji (2.1.2) 1 , , , −==−==−==−= ijkikjjkjikkikjiij Dado o quatérnio da Equação (2.1.1), pode-se apresentar algumas características e propriedades fundamentais: - parte escalar de q : q - parte vetorial de q : kqjqiqq zyx ++= - conjugado de q : ( ) ( )zyxzyx qqqqqqqqkqjqiqqq −−−=−=−=−−−= ,,,, (2.1.3) - norma de q : 2222 zyx qqqqq +++= (2.1.4) - quatérnio unitário: 12222 =+++= zyx qqqqq (2.1.5) 32 Álgebra Quaterniônica 2.2 Representação matricial quaterniônica Dados os quatérnios, ( )111 ,qqq = e ( )222 ,qqq = bem como as condições 2.2, pode-se desenvolver a soma e o produto dos quatérnios, obtendo-se: - soma de quatérnios: ( ) ( ) ( )2121221121 q ,,, qqqqqqqqq ++=+=+ (2.1.6) - produto de quatérnios: ( ) ( ) ( )2112211121221121 qq , ., . , qqqqqqqqqqqqqq ×++−== (2.1.7) 2.2 Representação matricial quaterniônica É notório que um quatérnio pode ser representado por uma matriz real 44× . Portanto em definindo: ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1000 0100 0010 0001 1 , ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0100 1000 0001 0010 i , ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0010 0001 1000 0100 j , ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0001 0010 0100 1000 k Podemos escrever, kqjqiqqq zyx +++= ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0001 0010 0100 1000 0010 0001 1000 0100 0100 1000 0001 0010 1000 0100 0010 0001 zyx qqqqq ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 z z z z y y y y x x x x q q q q q q q q q q q q q q q q 33 Álgebra Quaterniônica 2.2 Representação matricial quaterniônica ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −− −− = qqqq qqqq qqqq qqqq q xyz xzy yzx zyx E além disso verificamos as seguintes relações: 1222 −=== kji 1 , , , −==−==−==−= ijkikjjkjikkikjiij 1 1000 0100 0010 0001 0100 1000 0001 0010 0100 1000 0001 0010 2 −= ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − =i 1 1000 0100 0010 0001 0010 0001 1000 0100 0010 0001 1000 0100 2 −= ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − =j 1 1000 0100 0010 0001 0001 0010 0100 1000 0001 0010 0100 1000 2 −= ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − =k kjiij = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −=−= ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0001 0010 0100 1000 0100 1000 0001 0010 0010 0001 1000 0100 0010 0001 1000 0100 0100 1000 0001 0010 34 Álgebra Quaterniônica 2.3 O anel dos quatérnios jikki = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −=−= ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0010 0001 1000 0100 0001 0010 0100 1000 0100 1000 0001 0010 0100 1000 0001 0010 0001 0010 0100 1000 ikjjk = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −=−= ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0100 1000 0001 0010 0010 0001 1000 0100 0001 0010 0100 1000 0001 0010 0100 1000 0010 0001 1000 0100 1 1000 0100 0010 0001 0100 1000 0001 0010 0010 0001 1000 0100 0100 1000 0001 0010 −= ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − =ijk 2.3 O anel dos quatérnios O conjunto dos quatérnios H é definido como ( ){ }ℜ∈=Η ,,,,,, zyxzyx qqqqqqqq , onde ( ) ( ) zzyyxxzyxzyx qqqqqqqqqqqqqqqq ' ,' ,','',',',',,, ====⇔= , cujas operações de adição e multiplicação são definidas da seguinte forma: ( ) ( ) ( );' ,' ,','',',',',,, zzyyxxzyxzyx qqqqqqqqqqqqqqqq ++++=+ (2.3.1) ( )( ) )'''','''' ,'''',''''(',',','.,,, yxyxzzxzxzyy zyzyxxzzyyxxzyxzyx qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq −++−++ −++−−−= (2.3.2) 35 Álgebra Quaterniônica 2.3 O anel dos quatérnios Sendo assim , H satisfaz a todos os axiomas de um anel (ver, p.ex.,[8]), e suas propriedades associativa e distributiva da adição e multiplicação, sendo comutativa apenas a operação de adição. O número quaterniônico (0,0,0,0) é o elemento neutro da adição e (1,0,0,0) a unidade da multiplicação , e existe ainda o inverso aditivo e multiplicativo para cada elemento não-nulo em H. Um anel quaterniônico é representado por ( )•+ ,,H . Dizemos que é um anel com divisão ou um corpo não comutativo. E para ser um corpo basta apenas da propriedade comutativa da multiplicação, por (2.2.2) temos: ( )( ) ( )( )0,0,1,0.0,1,0,00,1,0,0.0,0,1,0 ≠ Definimos as bases como: ( ) ( ) ( ) ( ) ; 1,0,0,0 ; 0,1,0,0 ; 0,0,1,0 ; 10,0,0,1 k j i ↔ ↔ ↔ ↔ (2.3.3) E representamos um número quaterniônico ( )zyx qqqqq ,,,= , com ℜ∈zyx qqqq ,,, por ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) kqjqiqq qq qqq zyx zy x +++= ++ += 1,0,0,00,0,0,0,1,0,00,0,0, 0,0,1,00,0,0,0,0,0,10,0,0, (2.3.4) onde q é a parte escalar do quatérnio q e kqjqiqr zyx ++= a sua parte vetorial. Geometricamente pode-se identificar r como o raio vetor tridimensional de componentes zyx qqq e , . 36 Álgebra Quaterniônica 2.3 O anel dos quatérnios Sendo assim, podemos representar H como a soma direta VH ⊕ℜ= (2.3.5) sendo ℜ o corpo dos reais e V um espaço euclidiano tridimensional. E se multiplicarmos as unidades quaterniônicas i, j, k, utilizando (2.3.2), obtemos . , , , , , , , ,1222 jikjki ikjijk jikjki kjikij kji −== −== −== −== −=== (2.3.6) Definição 2.3.1 (quatérnio conjugado) – O quatérnio conjugado q de um quatérnio ( ) kqjqiqqqqqqq zyxzyx +++== ,,, é o número ( ) kqjqiqqqqqqq zyxzyx −−−=−−−= ,,, Definição 2.3.2 (norma) – A norma q de um quatérnio ( ) kqjqiqqqqqqq zyxzyx +++== ,,, é o número real 2222 zyx qqqqq +++= Propriedade 2.3.1 – Dados dois números quaterniônicos 21 e qq , temos que: 1221 qqqq = (2.3.7) Propriedade 2.3.2 – Dado um número quaterniônico 1q , temos que: 2 11111 qqqqq == (2.3.8) 37 Álgebra Quaterniônica 2.3 O anel dos quatérnios Dados dois números quaterniônicos kqjqiqqq zyx +++=1 e kqjqiqqq zyx '''2 +++= enunciaremos as seguintes operações algébricas, definidas no conjunto H, de acordo com a representação (2.3.4): Adição: ( ) ( ) ( ) ( ) ;''''21 kqqjqqiqqqqqq zzyyxx +++++++=+ Multiplicação: ( ) ( ) ( ) ( ) ;'''''''' ''''''''. 21 kqqqqqqqqjqqqqqqqq iqqqqqqqqqqqqqqqqqq yxyxzzxzxzyy zyzyxxzzyyxx −+++−+++ −+++−−−= Divisão: k qqqq qqqqqqqq j qqqq qqqqqqqq i qqqq qqqqqqqq qqqq qqqqqqqq q q q q q q zyx yxyxzz zyx xzxzyy zyx zyzyxx zyx zzyyxx ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ +−+− +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ +−+− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ +−+− +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ +++ == 22222222 22222222 2 2 2 1 2 1 '''' '''' '''' '''' '''' '''' '''' '''' . Note que em H, existem três cópias do corpo C, que são dadas por: { } { } { }.,/ e ,,/ ℜ∈+ℜ∈+ℜ∈+ zzyyxx qqkqqq,qj/qqqqiqq Podemos ainda definir o conjunto { } Η⊂−−−−= kkjjiiQ ,,,,,,1,18 . Este conjunto com as operações induzidas de H formam o subanel1 ( )•+,,8Q de ( )•+Η ,, , ou seja: ( )•+,,8Q ≤ ( )•+Η ,, (2.3.9) 1Um subconjunto φ≠S de um anel ( )•+ℜ ,, é um subanel de ℜ , se S é um anel, com as operações induzidas de ℜ . 38 Álgebra Quaterniônica 2.4 Função de uma variável quaterniônica 2.4 Função de uma variável quaterniônica Seja Η⊂4E um espaço quadri- dimensional e 4Eq∈ uma variável que assume a forma kujuiuuq 4321 +++= (2.4.1) com ( )1,2,3,4i =ℜ∈iu . Uma função quaterniônica Η→ : 4Ef é um mapeamento que faz corresponder a cada 4Eq∈ um número quaterniônico ( )qfw = , isto é: Η→ : 4Ef ( ) ( )43214321 ,,, ,,, uuuufuuuu a Sabendo que w é uma função de variáveis quaterniônicas, nós o decompomos em uma parte escalar ( )qφ e em uma parte vetorial ( )qψ , ou seja, ( ) ( ) ( )qqqf ψφ += Onde ( ) ( )qfq 1=φ , ( ) ( ) ( ) ( )qkfqjfqifq 432 ++=ψ e as ℜ→ℜ4 :if são funções coordenadas de valores reais. 2.5 Funções quaterniônicas regulares Definimos o operador quaterniônico Γ , de acordo com a teoria de Fueter [7] como: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =Γ 4321 u k u j u i u (2.5.1) 39 Álgebra Quaterniônica 2.5 Funções quaterniônicas regulares Veremos a seguir algumas definições. Definição 2.5.1 (regularidade à esquerda) – Uma função de variáveis quaterniônicas f, tal que 4321 kfjfifff +++= com as ℜ→ℜ4 :if parcialmente diferenciáveis, é regular à esquerda se: 0=Γf (2.5.2) Explicitamente, (2.5.2) apresenta-se como: ( ) 0 4 1 3 2 2 3 1 4 4 2 3 1 2 4 1 3 4 3 3 4 2 1 1 2 4 4 3 3 2 2 1 1 4321 4321 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ = +++⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =Γ u f u f u f u fk u f u f u f u fj u f u f u f u fi u f u f u f u f kfjfiff u k u j u i u f (2.5.3) Definição 2.5.2 (regularidade à direita) – Uma função de variáveis quaterniônicas f, tal que 4321 kfjfifff +++= com as ℜ→ℜ4 :if parcialmente diferenciáveis, é regular à direita se: 0 =Γf (2.5.4) Expandindo a equação (2.5.4) temos: ( ) 0 4 1 3 2 2 3 1 4 4 2 3 1 2 4 1 3 4 3 3 4 2 1 1 2 4 4 3 3 2 2 1 1 4321 4321 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +++=Γ u f u f u f u fk u f u f u f u fj u f u f u f u fi u f u f u f u f u k u j u i u kfjfifff (2.5.5) 40 Álgebra Quaterniônica 2.6 Integração e diferenciação quaterniônica Dizemos que a função f é regular, se a função f for regular à direita e à esquerda simultaneamente. 2.6 Integração e diferenciação quaterniônica Mostraremos alguns resultados obtidos em um espaço hipercomplexo por Borges e Machado [14], onde podem ser vistos como uma extensão quadri- dimensional de conceitos estabelecidos em um plano complexo associados a funções quaterniônicas que observam relações do tipo Cauchy- Riemann generalizadas. E para esta classe de funções apresentaremos definições sobre derivação hipercomplexa. Conforme definimos na seção (2.4), seja f uma função sobre o anel dos quatérnios. Então definiremos duas integrais ∫ fdz e fdz∫ , já que o grupo dos quatérnios é não comutativo: ( )( )∫∫ ++++++= 43214321 kdujduidudukfjfifffdz ( ) ( ) ( ) ( ),41322314 42312413 43342112 44332211 ∫ ∫ ∫ ∫ ++−+ −+++ +−++ −−−= dufdufdufdufk dufdufdufdufj dufdufdufdufi dufdufdufduf (2.6.1) e ( )( )43214321 kfjfiffkdujduidudufdz ++++++= ∫∫ ( ) ( ) ( ) ( ),14233241 24134231 34431221 44332211 ∫ ∫ ∫ ∫ +−++ ++−+ −+++ −−−= fdufdufdufduk fdufdufdufduj fdufdufdufdui fdufdufdufdu (2.6.2) 41 Álgebra Quaterniônica 2.6 Integração e diferenciação quaterniônica Sejam contínuas as funções coordenadas ℜ→ℜ4 :if , e dado um caminho com extremos em ( )4321 ,,, xxxxx = e ( )4321 ,,, yyyyy = em um domínio simplesmente conexo de um espaço quadri- dimensional . As integrais ∫ fdz e fdz∫ independerão do caminho de integração, desde que satisfeitas as condições dos dois teoremas seguintes. Teorema 2.6.1 – Para todo par de pontos x e y, e qualquer caminho ligando-os em um espaço simplesmente conexo quadri-dimensional, a integral ∫ y x fdz sobre o anel dos quatérnios independe do caminho dado se, e somente se, existe uma função 4321 kFjFiFFF +++= com ∫ −= y x xFyFfdz )()( e que satisfaz as seguintes relações: 4 4 3 3 2 2 1 1 u F u F u F u F ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ , 4 3 3 4 2 1 1 2 u F u F u F u F ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ −= ∂ ∂ , 4 2 3 1 2 4 1 3 u F u F u F u F ∂ ∂ = ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ , 4 1 3 2 2 3 1 4 u F u F u F u F ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ (2.6.3) Prova: A integral ∫ y x fdz dada por (2.4.1) independerá do caminho se existir uma função F, tal que, ( ) )()(4321 xFyFkFjFiFFddFfdz y x y x y x −=+++== ∫∫ ∫ de modo que o valor dessa diferença dependerá unicamente dos pontos extremos. Admitindo a existência de F , podemos expressar as diferenciais totais das suas funções coordenadas como: 42 Álgebra Quaterniônica 2.6 Integração e diferenciação quaterniônica ,443322114 4 1 3 3 1 2 2 1 1 1 1 1 dufdufdufdufdu u Fdu u Fdu u Fdu u FdF −−−= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ,433421124 4 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 dufdufdufdufdu u Fdu u Fdu u Fdu u FdF +−+= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ,423124134 4 3 3 3 3 2 2 3 1 1 3 3 dufdufdufdufdu u Fdu u Fdu u Fdu u FdF −++= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ,413223144 4 4 3 3 4 2 2 4 1 1 4 4 dufdufdufdufdu u Fdu u Fdu u Fdu u FdF ++−= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = decorrendo assim, as relações 4 4 3 3 2 2 1 1 1 u F u F u F u Ff ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = , 4 3 3 4 2 1 1 2 2 u F u F u F u Ff ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ −= ∂ ∂ = , 4 2 3 1 2 4 1 3 3 u F u F u F u Ff ∂ ∂ = ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ = 4 1 3 2 2 3 1 4 4 u F u F u F u Ff ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ = , concluindo nossa prova. Teorema 2.6.2 – Para todo par de pontos x e y , e qualquer caminho ligando-os em um espaço simplesmente conexo quadri-dimensional, a integral ∫ y x dzf sobre o anel dos quatérnios independe do caminho dado se, e somente se, existe uma função 4321 kGjGiGGG +++= com ∫ −= y x xGyGdzf )()( e que satisfaz as seguintes relações: 4 4 3 3 2 2 1 1 u G u G u G u G ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ 4 3 3 4 2 1 1 2 u G u G u G u G ∂ ∂ = ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ 4 2 3 1 2 4 1 3 u G u G u G u G ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ 4 1 3 2 2 3 1 4 u G u G u G u G ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ −= ∂ ∂ (2.6.4) 43 Álgebra Quaterniônica 2.6 Integração e diferenciação quaterniônica Prova: Analogamente à prova anterior, a integral ∫ y x dzf , dada por (2.6.2), independerá do caminho se existir uma função G , onde, ∫ ∫ ∫ −=+++== y x y x y x xGyGkGjGiGGddGdzf )()()( 4321 tal que o valor dessa diferença irá depender unicamente dos pontos extremos. Admitindo a existência de G , podemos expressar as diferenciais totais das suas funções coordenadas como: ,443322114 4 1 3 3 1 2 2 1 1 1 1 1 dufdufdufdufdu u Gdu u Gdu u Gdu u GdG −−−= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ,433421124 4 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 dufdufdufdufdu u Gdu u Gdu u Gdu u GdG −++= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ,423124134 4 3 3 3 3 2 2 3 1 1 3 3 dufdufdufdufdu u Gdu u Gdu u Gdu u GdG ++−= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ,413223144 4 4 3 3 4 2 2 4 1 1 4 4 dufdufdufdufdu u Gdu u Gdu u Gdu u GdG +−+= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = decorrendo assim, as relações 4 4 3 3 2 2 1 1 1 u F u F u F u Ff ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = , 4 3 3 4 2 1 1 2 2 u F u F u F u Ff ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ −= ∂ ∂ = , 4 2 3 1 2 4 1 3 3 u F u F u F u Ff ∂ ∂ = ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ = 4 1 3 2 2 3 1 4 4 u F u F u F u Ff ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ = , concluindo nossa prova. 44 Álgebra Quaterniônica 2.6 Integração e diferenciação quaterniônica Veja que estes dois últimos teoremas podem ser considerados como os análogos em quatro dimensões aos teoremas (1.7.4) e (1.7.5) enunciados em um domínio de duas dimensões. Observamos ainda que, as condições dadas em (2.6.3) e (2.6.4) têm em comum as equações de Cauchy- Riemann (1.6.1.1) da teoria de variáveis complexas, sendo pois equações de Cauchy- Riemann generalizadas. Para dar continuidade, apresentamos as funções ( )zh e ( )zg , definidas em termos da função quaterniônica ( )zf cujas funções coordenadas obedecem as relações de Cauchy- Riemann generalizadas (2.6.3) e (2.6.4), as quais serão identificadas respectivamente como derivada quaterniônica à esquerda e à direita de ( )zf . Lema 2.6.1 – Dada uma função ( )zf sobre o anel dos quatérnios com funções coordenadas diferenciáveis satisfazendo as relações (2.6.3), e uma função ( )zg , definida em termos de ( )zf por: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 4 1 3 2 2 3 1 4 4 2 3 1 2 4 1 3 4 3 3 4 2 1 1 2 4 4 3 3 2 2 1 1 4 1 4 1 4 1 4 1)( u f u f u f u fk u f u f u f u fj u f u f u f u fi u f u f u f u fzg (2.6.5) logo ( )zfzdzg =∫ )( . Onde a função ( )zg pode ser vista como a derivada quaterniônica à direita de ( )zf , sendo denotada por ( ) dz zdfzg r=)( Prova: Inicialmente, façamos a seguinte identificação: ( )43214 1)( kgjgiggzg +++= 45 Álgebra Quaterniônica 2.6 Integração e diferenciação quaterniônica Sabendo que 4321 kdujduidududz +++= e utilizando as relações (2.1.2) , então temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1423324124134231 3443122144332211 4434241443332313 4232221241312111 43214321 4 1 ) ( 4 1 4 1)( gdugdugdugdukgdugdugdugduj gdugdugdugduigdugdugdugdu gdugidugjdugkdugidugdugkdugjdu gjdugkdugdugidugkdugjdugidugdu kgjgiggkdujduiduduzdzg +−++++−+ −+++−−−= −−+++−−+ −+−++++= ++++++= ∫ ∫ ∫∫ E substituindo as relações (2.6.3) em ( )zdzg temos, ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∫∫ 4 4 4 3 3 4 2 2 4 1 1 4 4 4 3 3 3 3 2 2 3 1 1 3 4 4 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 4 4 1 3 3 1 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 4 1 du u fdu u fdu u fdu u fk du u fdu u fdu u fdu u fj du u fdu u fdu u fdu u fi du u fdu u fdu u fdu u fzdzg E ao aplicarmos a regra da cadeia, obtemos as diferenciais totais das funções coordenadas, isto é ( ) ( ) ( )zfkfjfiffkdfjdfidfdfzdzg =+++=+++= ∫∫ 43214321 Sendo assim o lema está provado. Lema 2.6.1 – Dada uma função ( )zf sobre o anel dos quatérnios com funções coordenadas 46 Álgebra Quaterniônica 2.6 Integração e diferenciação quaterniônica diferenciáveis satisfazendo as relações (2.6.4), e uma função ( )zh , definida em termos de ( )zf por: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 4 1 3 2 2 3 1 4 4 2 3 1 2 4 1 3 4 3 3 4 2 1 1 2 4 4 3 3 2 2 1 1 4 1 4 1 4 1 4 1)( x f x f x f x fk x f x f x f x fj x f x f x f x fi x f x f x f x fzh logo ( ) ( )zfdzzh =∫ Onde a função ( )zh pode ser vista como a derivada quaterniônica à esquerda de ( )zf , sendo denotada por ( ) dz zdfzh l=)( . Prova: Analogamente à prova anterior, façamos a seguinte identificação: ( ) ( )43214 1 khjhihhzh +++= Sabendo que 4321 kdujduidududz +++= e utilizando as relações (2.1.2), então temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1423324124134231 3443122144332211 4434241443332313 4232221241312111 43214321 4 1 ) ( 4 1 4 1 4 1)( duhduhduhduhkduhduhduhduhj duhduhduhduhiduhduhduhduh duhduihdujhdukhduihduhdukhdujh dujhdukhduhduihdukhdujhduihduh kdujduidudukhjhihhdzzh +−++++−+ −+++−−−= −−+++−−+ −+−++++= ++++++= ∫ ∫ ∫∫ E substituindo as relações (2.6.4) em ( )zdzg temos, 47 Álgebra Quaterniônica 2.6 Integração e diferenciação quaterniônica ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∫∫ 4 4 4 3 3 4 2 2 4 1 1 4 4 4 3 3 3 3 2 2 3 1 1 3 4 4 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 4 4 1 3 3 1 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 4 1 du u fdu u fdu u fdu u fk du u fdu u fdu u fdu u fj du u fdu u fdu u fdu u fi du u fdu u fdu u fdu u fzdzg E ao aplicarmos a regra da cadeia, obtemos as diferenciais totais das funções coordenadas , isto é ( ) ( ) ( )zfkfjfiffkdfjdfidfdfdzzh =+++=+++= ∫∫ 43214321 Sendo assim o lema está provado. Em um artigo recente publicado em 2002, Machado e Borges [15] por meio da conjugação direta do operador quaterniônico da teoria de Fueter, isto é, 4321 u k u j u i u ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ =Γ (2.6.6) reproduzem definições de derivadas quaterniônicas à direita e à esquerda. Obtendo respectivamente, para (2.6.4) e (2.6.5), as seguintes formas: ( ) ( ) ffdzzdzgfzg =Γ=Γ= ∫∫ 4 1 ou 4 (2.6.7) e ( ) ( ) fdzfdzzhfzh =Γ=Γ= ∫∫ 4 1 ou 4 (2.6.8) 48 Capítulo 3 Funções transcendentais quaterniônicas e operadores de Fueter Mostraremos detalhadamente neste capítulo uma analogia da relação complexa clássica de Moivre para quatérnios, as conexões com os operadores da teoria de Fueter e as funções transcendentais. A extensão do teorema de Moivre é estudada para quatérnios em definindo-se uma função exponencial quaterniônica. 3.1 Séries de potências Na representação vetorial, o produto de dois números quaterniônicos P e Q, escritos como, ppkpjpippP r +=+++= 14321 qqkqjqiqqQ r +=+++= 14321 (3.1.1) sendo que 1p e 1q representam a parte escalar e pr e qr a parte vetorial, pode ser dado por: 49 Funções transcendentais Quaterniônicas 3.1 Séries de Potências ( )( ) =++++++= kqjqiqqkpjpippQP 43214321 .. =+++ ++++ ++++ ++++ kkqpjkqpikqpkqp kjqpjjqpijqpjqp kiqpjiqpiiqpiqp kqpjqpiqpqp 44342414 43332313 42322212 41312111 2 44342414 43 2 332313 4232 2 2212 41312111 kqpkjqpkiqpkqp jkqpjqpjiqpjqp ikqpijqpiqpiqp kqpjqpiqpqp +++ ++++ ++++ ++++ A multiplicação de quatérnios não é comutativa, mas muitas propriedades formais de números complexos podem ser generalizados para números quaterniônicos. Nos propomos as generalizações naturais da fórmula de Euler e da fórmula de Moivre aplicadas para quatérnios. Um quatérnio q é uma combinação linear dkcjbia +++1 ; a, b, c e d são números reais e ( ) ( ) ( ) ( )1,0,0,0 0,1,0,0 0,0,1,0 0,0,0,11 = = = = k j i Usando a lei associativa da multiplicação definida para que (1,0,0,0) seja a identidade e i, j e k satisfazem: 50 Funções transcendentais Quaterniônicas 3.1 Séries de Potências . , , , , , , , ,1222 jikjki ikjijk jikjki kjikij kji −== −== −== −== −=== Obtemos então: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−+−++ ++−+−+ +−++−+ ++++= 1 1 1 44342414 43332313 42322212 41312111 qpiqpjqpkqp iqpqpkqpjqp jqpkqpqpiqp kqpjqpiqpqp ( ) ( ) ( ) =−−++−−−+− +++++++ 443424433323423222 14131241312111 qpiqpjqpiqpqpkqpjqpkqpqp kqpjqpiqpkqpjqpiqpqp ( ) ( ) ( )( ) qpkqjqiqkpjpip kpjpipqkqjqiqpqp rr ×+++++− +++++++ 432432 4321432111 Logo qpqppqqpqpQP rrrrrr ×+−++= .. 1111 (3.1.2) qp rr. e qp rr × seriam respectivamente o produto interno usual e o produto vetorial no espaço Euclidiano de três dimensões. De acordo com esta métrica, podemos dar forma à seqüência de potências ,...,, 321 zzz para um dado número quaterniônico uukujuiuuz r +=+++= 14321 1 , de tal maneira que: 51 Funções transcendentais Quaterniônicas 3.1 Séries de Potências ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u uuuuuuuuuuuuuuuuz uuuuuuuuuuuuuuz uuuuuuuuuuuz uuuuuuuuz uuuuuz uuz z r rrrrrrrrrr r rrrrrrrr r rrrrrr r rrrr rrv r ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −++−−+= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−+−+= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −++−= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+−= +−= += = !6!3!3 .!6 !6 .6 !6 6 !6 . !6!2!4 .!6 !6!2!4 .!6 !6!6 !5 . !5!2!3 .!5 !5 5 !5!2!3 .!5 !5 .5 !5!5 !4 .4 !4 4 !4 . !4!2!2 .!4 !4!4 !3 . !3 3 !3 .3 !3!3 !2 .2 !2 . !2!2 1 3 1 2 1 5 1 34 1 22 1 6 1 6 22 1 4 1 3 1 2 1 5 1 5 1 3 1 22 1 4 1 4 2 11 3 1 3 1 2 1 2 1 1 0 Observe que: 10 =z uuz r += 1 1 !2 .2 !2 . !2!2 1 2 1 2 uuuuuz rrv +−= pois !2 .2 !2 . !2!2 ... !2 ))(( !2 1 2 111 2 111 2 uuuuuuuuuuuuuuuuz vrrrrrvrr +−= −++ = ++ = uuuuuuuuz r rrrr ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+−= !3 . !3 3 !3 .3 !3!3 2 11 3 1 3 pois ( ) uuuuuuuu uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuz r rrrr rrrrrrrrrrvrrrr ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+−= = −+−−+ = ++− = ++ = !3!3 3 !3 3 !3 !3 22 !3 )(.2. !3 )()( !3 2 11 3 1 1 2 11 2 1 3 111 2 11 2 1 3 52 (3.1.3) (3.1.4) Funções transcendentais Quaterniônicas 3.1 Séries de Potências ( ) uuuuuuuuuuuz r rrrrrr ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −++−= !4 .4 !4 4 !4 . !4!2!2 .!4 !4!4 1 3 1 22 1 4 1 4 pois ( ) ( ) ( )( ) ( ) uuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuuuuz r rrrrrr rrrrrrr rrrrrrrrrrrrrrrr vrrvrrrr ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −++−= = −++− = −−+−+−+− = +−+− = ++ = !4 .4 !4 4 !4 . !4!2!2 .!4 !4 !4 )44()(6 !4 4222)(2 !4 .2..2. !4!4 1 3 1 22 1 4 1 1 3 1 22 1 4 1 2 11 3 11 22 1 3 1 2 1 4 1 1 2 11 2 1 2 1 2 1 4 ( ) ( ) uuuuuuuuuuuuuuz r rrrrrrrr ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−+−+= !5 . !5!2!3 .!5 !5 5 !5!2!3 .!5 !5 .5 !5!5 22 1 4 1 3 1 2 1 5 1 5 pois ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) uuuuuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuuuuuuuz r rrrrrrrr rrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrr ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−+−+= = ++−+−+ = +−−+++−−+ = +−++− = ++ = !5 . !5!2!3 .!5 !5 5 !5!2!3 .!5 !5 .5 !5 !5 ))(105(10)(5 !5 )(4444)()(66 !5 )44()(6 !5!5 22 1 4 1 3 1 2 1 5 1 22 1 4 1 3 1 2 1 5 1 2 1 2 1 3 1 4 1 2 1 22 1 3 1 4 1 5 1 11 3 1 22 1 4 11 4 1 5 ( ) ( ) ( ) ( ) uuuuuuuuuuuuuuuuuz r rrrrrrrrrr ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −++−−+= !6!3!3 .!6 !6 .6 !6 6 !6 . !6!2!4 .!6 !6!2!4 .!6 !6!6 3 1 2 1 5 1 34 1 22 1 6 1 6 pois ( )( ) = +++ −−+−−+++ = +++−+−+ = ++ = !6 )()()(1010 !6 551010)(5)(5 !6 ))(105(10)(5 !6 )()( !6 2 1 222 1 3 1 4 1 5 1 3 1 4 1 2 1 22 1 5 1 6 1 1 22 1 4 1 3 1 2 1 5 11 5 1 6 uuuuuuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuz rrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrr 53 Funções transcendentais Quaterniônicas 3.1 Séries de Potências ( ) ( ) ( ) ( ) uuuuuuuuuuuuuuuuu r rrrrrrrrrr ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −++−−+= !6!3!3 .!6 !6 .6 !6 6 !6 . !6!2!4 .!6 !6!2!4 .!6 !6 3 1 2 1 5 1 34 1 22 1 6 1 Algumas simplificações evidentes são o bastante para arranjar os termos em uma maneira mais familiar, desde que pela definição: =+++++++= .... !6!5!4!3!2 65432 10 zzzzzzzez Então temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −++− −++⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−+ −++⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −++− +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+−++−+++= ... !6!3!3 .!6 !6 .6 !6 6 !6 . !6!2!4 .!6 !6!2!4 .!6 !6!5 . !5!2!3 .!5 !5 5 !5!2!3 .!5 !5 .5 !5!4 .4 !4 4 !4 . !4!2!2 .!4 !4 !3 . !3 3 !3 .3 !3!2 .2 !2 . !2 1 3 1 2 1 5 1 34 1 22 1 6 1 22 1 4 1 3 1 2 1 5 11 3 1 22 1 4 1 2 11 3 11 2 1 1 u uuuuuuuuuuuu uuuu uuuuuuuuuu uuuu u uuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuuuuue z r rrrrrrrr rr r rrrrrr rr r rrrrrr r rrrrrrv r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +++−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++++++ + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++++++−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++++++ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−+−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++++++= ......1 !7 .... !5!4!3!2 1 !5 . ... !5!4!3!2 1 !3 .... !5!4!3!2 1 ... !6 . !4 . !2 .1... !5!4!3!2 1 1 35 1 4 1 3 1 2 1 1 2 5 1 4 1 3 1 2 1 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 325 1 4 1 3 1 2 1 1 uuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuu rrrr r rv r rrrrrv E conseqüentemente, 54 Funções transcendentais Quaterniônicas 3.1 Séries de Potências ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−+−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++++++ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−+−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++++++= ... !7 . !5 . !3 .1... !5!4!3!2 1 ... !6 . !4 . !2 .1... !5!4!3!2 1 325 1 4 1 3 1 2 1 1 325 1 4 1 3 1 2 1 1 uuuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuez rrrrrv r rrrrrv (3.1.5) Pelas correspondências, ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++++++ ... !5!4!3!2 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 uuuuu = 1ue ( ) ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−+− ... !6 . !4 . !2 .1 32 uuuuuu rrrrrv = ( )∑ ∞ = − 0 2 )!2( .)1( n nn n uu rr ( ) ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−+− ... !7 . !5 . !3 .1 32 uuuuuu rrrrrv = ( ) uun uu n nn rr rr . 1. )!12( .)1( 0 12 ∑ ∞ = − + − , (3.1.6) e de acordo com as definições precedentes, temos: ... !3!2 1 ! 32 0 ++++==∑ ∞ = zzz n ze n n z cos z = ( )∑ ∞ = − 0 2 )!2( .)1( n nn n uu rr = ... !6!4!2 1 642 +−+− zzz 55 Funções transcendentais Quaterniônicas 3.1 Séries de Potências sen z = ( )∑ ∞ = − + − 0 12 )!12( .)1( n nn n uu rr = ... !7!5!3 753 +−+− zzzz Sendo uuz rr.= e kujuiuu 432 ++= r Logo, ( )( ) =+++ +++++=++++= 2 4342443 2 3234232 2 2432432 )()()()( )()()()()(. kujkuuikuukjuu juijuukiuujiuuiukujuiukujuiuuu rr ( )( ) =+++ +++++=++++= 22 4342443 22 3234232 22 2432432 )()()( )()()(. kukjuukiuujkuu jujiuuikuuijuuiukujuiukujuiuuu rr Com as regras da multiplicação: . , , , , , , , ,1222 jikjki ikjijk jikjki kjikij kji −== −== −== −== −=== Obtemos: =−+−++ +−+−+−++−= )1())(())(())(( )1())(())(())(()1(. 2 4342443 2 3234232 2 2 uiuujuuiuu ukuujuukiuuuuu rr Então: 2 4 2 3 2 2. uuuuu −−−= rr 56 Funções transcendentais Quaterniônicas 3.1 Séries de Potências Logo, 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 2. uuuuuuuu ++=−−−= rr cos ( )uu rr. = cos ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ++ 2 4 2 3 2 2 uuu = ( )∑ ∞ = − 0 2 )!2( .)1( n nn n uu rr sen ( )uu rr. = 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 2sen uuu uuu ++ ++ = ( ) uun uu n nn rr rr . 1. )!12( .)1( 0 12 ∑ ∞ = − + − (3.1.7) O que conduz à expressão final para a equação (3.1.5): ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ +⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ++= 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 22 4 2 3 2 2 sen cos1 uuu uuu uuuuee uz r , com kujuiuu 432 ++= r , uuz r += 1 (3.1.8) De forma análoga podemos encontrar os seguintes resultados para séries de potências de números octoniônicos. Na representação vetorial, o produto de dois números octoniônicos P e Q, dados por: pplpilpjlpklpkpjpippP r +=+++++++= 187654321 qqlqilqjlqklqkqjqiqqQ r +=+++++++= 187654321 Também será escrito como: 57 Funções transcendentais Quaterniônicas 3.1 Séries de Potências qpqppqqpqpQP rrrrrr ×+−++= .. 1111 O que os diferencia dos quatérnios é que a multiplicação de octônios não é comutativa nem associativa. Mas mesmo assim nós encontramos generalizações naturais da fórmula de Euler e a fórmula de Moivre aplicadas para octônios. (Mais detalhes podem ser obtidos em [20] ). É importante que as bases sejam definidas desta forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,0,0,0,0,0,0,0 0,1,0,0,0,0,0,0 0,0,1,0,0,0,0,0 0,0,0,1,0,0,0,0 0,0,0,0,1,0,0,0 0,0,0,0,0,1,0,0 0,0,0,0,0,0,1,0 0,0,0,0,0,0,0,11 ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ l il jl kl k j i (3.1.9) Sendo assim, nós podemos dar forma à seqüência de potências ,...,, 321 zzz para um dado número octoniônico, da mesma forma que o fizemos para um dado número quarteniônico, uuluilujluklukujuiuuz r +=+++++++= 187654321 1 , de tal maneira que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u uuuuuuuuuuuuuuuuz uuuuuuuuuuuuuuz u uuuuuuuuuuz uuuuuuuuz uuuuuz uuz z r rrrrrrrrrr r rrrrrrrr r rrrrrr r rrrr rrv r ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −++−−+= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−+−+= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −++−= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+−= +−= += = !6!3!3 .!6 !6 .6 !6 6 !6 . !6!2!4 .!6 !6!2!4 .!6 !6!6 !5 . !5!2!3 .!5 !5 5 !5!2!3 .!5 !5 .5 !5!5 !4 .4 !4 4 !4 . !4!2!2 .!4 !4!4 !3 . !3 3 !3 .3 !3!3 !2 .2 !2 . !2!2 1 3 1 2 1 5 1 34 1 22 1 6 1 6 22 1 4 1 3 1 2 1 5 1 5 1 3 1 22 1 4 1 4 2 11 3 1 3 1 2 1 2 1 1 0 58 Funções transcendentais Quaterniônicas 3.1 Séries de Potências Como já foi verificado para quatérnios, e lembrando que: =+++++++= .... !6!5!4!3!2 65432 10 zzzzzzzez Então temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−+−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++++++ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−+−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++++++= ... !7 . !5 . !3 .1... !5!4!3!2 1 ... !6 . !4 . !2 .1... !5!4!3!2 1 325 1 4 1 3 1 2 1 1 325 1 4 1 3 1 2 1 1 uuuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuez rrrrrv r rrrrrv E similarmente como foi feito para quatérnios, fazemos as correspondências. Sendo uuz rr.= e luilujluklukujuiuu 8765432 ++++++= r Logo 2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2. uuuuuuuuuuuuuuuu ++++++=−−−−−−−= rr cos ( )uu rr. = cos ( )2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 uuuuuuu ++++++ = ( )∑ ∞ = − 0 2 )!2( .)1( n nn n uu rr sen ( )uu rr. = 2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2sen uuuuuuu uuuuuuu ++++++ ++++++ = ( ) uun uu n nn rr rr . 1. )!12( .)1( 0 12 ∑ ∞ = − + − O que conduz à expressão 59 Funções transcendentais Quaterniônicas 3.2 Equações com Operadores ( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++++++ ++++++ +++++++= 2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 22 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 sen cos1 uuuuuuu uuuuuuu uuuuuuuuee uz r com luilujluklukujuiuu 8765432 ++++++= r , uuz r += 1 Todos estes resultados obtidos para séries de potências de números octoniônicos podem ser encontrados detalhadamente na dissertação de Pendeza [20], como já mencionado anteriormente. 3.2 Equações com Operadores Vamos considerar as funções Η→Η:f na álgebra de divisão dos quatérnios ( ) ( ) ( ) ( ) ( )432144321343212432114321 ,,,,,,,,,,,,,,, uuuukfuuuujfuuuuifuuuufuuuuf +++= não havendo restrições nas funções de coordenadas ℜ→ℜ4:if ,exceto que devem ser k vezes parcialmente diferenciáveis em suas variáveis independentes. Na teoria de Fueter de funções regulares, o operador Γ é: 4321 u k u j u i u ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =Γ Com as regras da multiplicação: , , ,1222 kjikij kji −== −=== 60 Funções transcendentais Quaterniônicas 3.2 Equações com Operadores . , , , , , jikjki ikjijk jikjki −== −== −== A ação do Γ sobre uma função quaterniônica f é dada por: ( ) =+++⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =Γ 4321 4321 kfjfiff u k u j u i u f = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 4 4 2 3 4 2 4 1 4 4 3 3 3 2 2 3 1 3 4 2 3 2 2 2 2 1 2 4 1 3 1 2 1 1 1 f u kf u kjf u kif u k f u jkf u jf u jif u j f u ikf u ijf u if u i f u kf u jf u if u = ∂ ∂ −+ ∂ ∂ −+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −+ ∂ ∂ −+ ∂ ∂ + ∂ ∂ −+ ∂ ∂ + ∂ ∂ −+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 4 4 3 4 2 4 1 4 4 3 3 3 2 3 1 3 4 2 3 2 2 2 1 2 4 1 3 1 2 1 1 1 )1()()( )()1()( )()()1( f u f u if u jf u k f u if u f u kf u j f u jf u kf u f u i f u kf u jf u if u 61 Funções transcendentais Quaterniônicas 3.2 Equações com Operadores kf u f u f u f u jf u f u f u f u if u f u f u f u f u f u f u f u ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ 1 4 2 3 3 2 4 1 2 4 1 3 4 2 3 1 3 4 4 3 1 2 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 Em uma forma similar, se define um operador Γ conjugado, como: 4321 u k u j u i u ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ =Γ , tal que: ( ) =+++⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ =Γ 4321 4321 kfjfiff u k u j u i u f = ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 4 4 2 3 4 2 4 1 4 4 3 3 3 2 2 3 1 3 4 2 3 2 2 2 2 1 2 4 1 3 1 2 1 1 1 f u kf u kjf u kif u k f u jkf u jf u jif u j f u ikf u ijf u if u i f u kf u jf u if u − ∂ ∂ −− ∂ ∂ − ∂ ∂ −− ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 4 2 3 2 2 2 1 2 4 1 3 1 2 1 1 1 )()()1( f u jf u kf u f u i f u kf u jf u if u 62 Funções transcendentais Quaterniônicas 3.2 Equações com Operadores = ∂ ∂ −− ∂ ∂ −− ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ −− ∂ ∂ −− ∂ ∂ 4 4 3 4 2 4 1 4 4 3 3 3 2 3 1 3 )1()()( )()1()( f u f u if u jf u k f u if u f u kf u j kf u f u f u f u jf u f u f u f u if u f u f u f u f u f u f u f u ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 1 4 2 3 3 2 4 1 2 4 1 3 4 2 3 1 3 4 4 3 1 2 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 Então, o seguinte resultado mostra que: ( )=Γ+Γ= ffTf 2 1 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎩ ⎨ ⎧ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎭ ⎬ ⎫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ kf u f u f u f u jf u f u f u f u if u f u f u f u f u f u f u f u kf u f u f u f u jf u f u f u f u if u f u f u f u f u f u f u f u 1 4 2 3 3 2 4 1 2 4 1 3 4 2 3 1 3 4 4 3 1 2 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 1 4 2 3 3 2 4 1 2 4 1 3 4 2 3 1 3 4 4 3 1 2 2 1 4 4 3 3 2 2 1 12 1 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ kf u jf u if u f u 4 1 3 1 2 1 1 1 2222 2 1 63 Funções transcendentais Quaterniônicas 3.2 Equações com Operadores ( ) kf u jf u if u f u kf u jf u if u f u 4 1 3 1 2 1 1 1 4 1 3 1 2 1 1 1 2 2 1 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ E pode-se imediatamente verificar, como esperado, que as exponenciais quaterniônicas ( ) , sen cos 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 22 4 2 3 2 2 1 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ +++= uuu uuu uuuuee uz uuzkujuiuu +=++= 1432 , tem a propriedade ( ) zz eeT = Esta é de fato uma relação quase trivial, mas as outras equações do operador que não são assim tão simples no primeiro momento podem também ser deduzidos. Por exemplo, se pode definir o operador: ( )=Γ−Γ= ffSf 2 1 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎩ ⎨ ⎧ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ⎭ ⎬ ⎫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ kf u f u f u f u jf u f u f u f u if u f u f u f u f u f u f u f u kf u f u f u f u jf u f u f u f u if u f u f u f u f u f u f u f u 1 4 2 3 3 2 4 1 2 4 1 3 4 2 3 1 3 4 4 3 1 2 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 1 4 2 3 3 2 4 1 2 4 1 3 4 2 3 1 3 4 4 3 1 2 2 1 4 4 3 3 2 2 1 12 1 64 Funções transcendentais Quaterniônicas 3.2 Equações com Operadores ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − 2 3 3 2 1 4 4 2 2 4 1 3 3 4 4 3 1 2 4 4 3 3 2 2 f u f u f u kf u f u f u j f u f u f u if u f u f u Então usando zef = , encontramos as seguintes relações: ( ) , sen2 cos 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 22 4 2 3 2 24 4 3 3 2 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ −++−=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − uuu uuu uuuef u f u f u u , sen 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 22 3 4 4 3 1 2 1 i uuu uuuu ef u f u f u i u ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ , sen 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 23 4 2 2 4 1 3 1 j uuu uuuu ef u f u f u j u ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ , sen 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 24 2 3 3 2 1 4 1 k uuu uuuu ef u f u f u k u ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ O que conduz à conclusão: == zSeSf ( ) =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ −++− =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − k uuu uuuu ej uuu uuuu e i uuu uuuu e uuu uuu uuue f u f u f u kf u f u f u j f u f u f u if u f u f u uu uu 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 24 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 23 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 22 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 22 4 2 3 2 2 2 3 3 2 1 4 4 2 2 4 1 3 3 4 4 3 1 2 4 4 3 3 2 2 sensen sensen2 cos 11 11 65 Funções transcendentais Quaterniônicas 3.2 Equações com Operadores = ++ ++ − ++ ++ − ++ ++ − ++ ++ −++− k uuu uuuue j uuu uuuue i uuu uuuue uuu uuue uuue uu uu u 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 24 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 23 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 22 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 22 4 2 3 2 2 sensen sensen2 cos 11 11 1 ( ) = ++ ++ −++ ++ ++ −++− 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 2 4322 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 22 4 2 3 2 2 sen2sen cos 11 1 uuu uuue kujuiu uuu uuue uuue uu u = ++ ++ − ++ ++ −++− 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 22 4 2 3 2 2 sen2sen cos 11 1 uuu uuue u uuu uuue uuue uu u Aez −− , , sen2 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 21 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ = uuu uuu eA u Portanto AeSe zz −−= Estas propriedades podem ser aplicadas para a fatoração de umas relações mais complicadas do operador, assemelhando-se aos procedimentos similares usados para a solução de equações diferenciais ordinárias. De forma análoga podemos encontrar os seguintes resultados para números octoniônicos. Na teoria de Fueter de funções regulares o operador Γ é : 87654321 u l u il u jl u kl u k u j u i u ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =Γ 66 Funções transcendentais Quaterniônicas 3.2 Equações com Operadores É importante que as bases sejam definidas como em (3.1.9). Então as regras de multiplicação das bases octon