UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Ilha SolteiraIlha Solteira FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA FERNANDO DA CRUZ PEREIRA SENSOR ÓPTICO DE ALTA TENSÃO COM CHAVEAMENTO DE QUADRATURA E REALIMENTADO POR CONTROLE DE FASE Ilha Solteira 2018 FERNANDO DA CRUZ PEREIRA SENSOR ÓPTICO DE ALTA TENSÃO COM CHAVEAMENTO DE QUADRATURA E REALIMENTADO POR CONTROLE DE FASE Tese apresentada à Faculdade de Enge- nharia do Câmpus de Ilha Solteira - UNESP como parte dos requisitos para ob- tenção do título de Doutor em Engenharia Elétrica. Especialidade: Automação. Prof. Dr. Cláudio Kitano Orientador Ilha Solteira 2018 Pereira SENSOR óPTICO DE ALTA TENSÃO COM CHAVEAMENTO DE QUADRATURA E REALIMENTADO POR CONTROLE DE FASEIlha Solteira2018 107 Sim Tese (doutorado)Engenharia Elétrica30402042 Não . . . FICHA CATALOGRÁFICA Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação Pereira, Fernando da Cruz . Sensor óp!co de alta tensão com chaveamento de quadratura e realimentado por controle de fase / Fernando da Cruz Pereira. -- Ilha Solteira: [s.n.], 2018 106 f. : il. Tese (doutorado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia. Área de conhecimento: Automação, 2018 Orientador: Cláudio Kitano Inclui bibliografia 1. Sensor óp!co de tensão elevada. 2. Efeito eletro -óp!co. 3. Interferometria homódina em quadratura. 4. Interferômetro polarimétrico. 5. Detecção de fase óp!ca. 6. Realimentação. P436s À minha família, em especial aos meus pais Pedro e Cilma, a minha irmã Marisa e cunhado Beto e a minha sobrinha Sofia, por todo amor, apoio, confiança e incentivo em todos os momentos. AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus pela oportunidade e capacidade dadas, permitindo que eu chegasse à etapa final e por todos os momentos vividos durante este doutorado. Ao meu orientador, Prof. Dr. Cláudio Kitano, que me ensinou, disciplinou, acreditou e confiou no meu potencial. Agradeço imensamente os ensinamentos, por todo apoio prestado e tempo dedicado ao nosso trabalho. Ao Prof. Dr. Ricardo Tokio Higuti, pela contribuição com sugestões e ideias para a elabo- ração desta tese. Agradeço aos membros da banca examinadora Prof. Dr. Ricardo Tokio Higuti, Prof. Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira, Prof. Dr. Josemir Coelho Santos e Prof. Dr. João Marcos Salvi Sakamoto por comporem a banca de minha defesa. Agradeço aos meus pais, Pedro e Cilma, minha irmã Marisa e cunhado Beto e sobrinha Sofia por estarem ao meu lado em todos os momentos, incentivando e auxiliando em mais esta etapa de minha vida. Aos técnicos de laboratório, Everaldo L. Moraes, Adilson A.Palombo, Valdemir Chaves e José Aderson Anhussi, que me auxiliaram na realização dos experimentos. Aos amigos do Laboratório de Optoeletrônica que de forma direta ou indiretamente me ajudaram, José Galeti, Guilherme, Roberta, Andryos, Henrique Diniz, João Paulo, Sthephany e todos os demais que em muitos momentos me ajudaram e apoiaramdurante a pesquisa. A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pela oportuni- dade e apoio financeiro. “Faça. Ou não faça. Não existe a tentativa.” Mestre Yoda RESUMO Os transformadores de potencial baseados em tecnologia óptica têm sido desenvolvidos com a finalidade de melhorar o desempenho na proteção e medição nos sistemas elétricos de po- tência. Estes transformadores de potencial podem ser projetados em torno dos moduladores eletro-ópticos de amplitude que, por sua vez, são baseados no efeito Pockels em cristal como o Niobato de Lítio. A expressão geral da transmissão (razão entre o retardo de fase e a ten- são aplicada) de um modulador eletro-óptico de intensidades é idêntica à expressão do sinal de saída de um interferômetro de dois feixes. Através de processamento eletrônico de dois sinais interferométricos de saída, com fase relativa de 90o entre si, consegue-se demodular o sinal, independentemente das derivas ambientais. Esses interferômetros, chamados de inter- ferômetros de quadratura, são amplamente utilizados em laboratórios de metrologia. Assim, em 2014, um método de detecção interferométrica de fase óptica foi desenvolvido no Labora- tório de Optoeletrônica (LOE) da FEIS-UNESP, constituindouma versão melhorada da técnica dephase-unwrapping. Este método é imune ao fenômeno de desvanecimento, consegue medir o tempo de atraso entre o estímulo e a resposta, tem ampla faixa dinâmica, reconstrói a forma de onda do sinal de modulação sem a necessidade de aplicação de filtros à saída interferomé- trica, possuindo, ainda, a capacidade de demodular sinais com formas de ondas não periódicas. Beneficiando-se dessas informações, promoveu-se a adaptação do método a um sensor óptico de altas tensões em configuração de quadratura de sinais. Destaforma, a presente pesquisa aborda o estudo e o desenvolvimento de um sensor óptico de alta tensão com chaveamento de qua- dratura, baseado em célula Pockels, dando continuidade às pesquisas em desenvolvimento no LOE, de um sistema de sensoriamento eletro-óptico de alta tensão. O sensor de alta tensão com chaveamento de quadratura e realimentado por controle de fase, foi implementado e submetido a testes com aplicação de tensões entre 200 V e 8,4 kV (de pico)em 60 Hz, apresentado exce- lente linearidade na faixa de interesse e boa precisão na medição do conteúdo harmônico dos sinais. Tais resultados evidenciam o potencial do sistema para operar na análise da qualidade de energia elétrica em sistemas da classe de 13,8 kV. Palavras-chave:Sensor óptico de tensão elevada. Efeito eletro-óptico. Interferometria homó- dina em quadratura. Interferômetro polarimétrico. Detecção de fase óptica. Realimentação. ABSTRACT Optical technology-based potential transformers have been developed to improve performance in protection and measurement in electrical power systems.These potential transformers can be designed around amplitude electro-optical modulators which, in turn, are based on the crys- tal Pockels effect such as Lithium Niobate. The general expression of the transmission (ratio between phase delay and applied voltage) of an electro-optical modulator of intensities is identi- cal to the expression of the output signal of a two-beam interferometer. By electronic processing of two interferometric output signals, with relative phaseof 90o between each other, the signal can be demodulated, irrespective of the environmental drift. These interferometers, called qua- drature interferometers, are widely used in metrology laboratories. Thus, in 2014, an optical phase interferometric detection method was developed at the FEIS-UNESP’s Optoelectronic Laboratory (LOE), constituting an improved version of the phase-unwrapping technique. This method is immune to the phenomenon of fading, can measure thedelay time between the stimu- lus and the response, has a wide dynamic range, reconstructsthe waveform of the modulation signal without the need of applying filters to the interferometric output, also possessing the abi- lity to demodulate signals with non-periodic waveforms. Taking advantage of this information, the adaptation of the method to a high voltage optical sensorin a quadrature configuration was promoted. In this way, the present research deals with the study and development of a high voltage optical sensor with quadrature switching, based onPockels cell, giving continuity to researches in the LOE of a high voltage electro-optical sensing system. The high voltage sensor with quadrature switching and phase controlled feedback was implemented and submitted to tests with voltage between 200 V and 8.4 kV (peak) at 60 Hz, with excellent linearity in the range of interest and good accuracy in measuring the harmonic content of the signals. These results show the potential of the system to operate in the analysis of electric power quality in systems of the class of 13.8 kV. Keywords: High voltage optical sensor. Electro-optic effect. Quadrature Homodyne Interfero- metry. Polarimetric interferometer. Optical phase detection. Closed-loop Feedback. LISTA DE FIGURAS Figura 1 Elipsoide de índices de refração. O vetor~D é o deslocamento elétrico e~r é o raio vetor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Figura 2 Rotação de eixos em torno do eixo cristalinoX1. . . . . . . . . . . . . 31 Figura 3 Célula Pockels paralela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 34 Figura 4 Célula Pockels longitudinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 34 Figura 5 Esquema do sensor eletro-óptico de amplitude com campo elétrico ex- terno aplicado em Z e propagação óptica em Y. . . . . . . . . . . . . . 35 Figura 6 Padrão de interferência experimental devido ao espalhamento da luz no cristal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Figura 7 Esquema do sensor eletro-óptico de amplitude com campo elétrico ex- terno aplicado em Y e propagação óptica em Z. . . . . . . . . . . . . 40 Figura 8 Padrão de interferência experimental devido ao espalhamento da luz no cristal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Figura 9 Exemplos de sinais de entrada e saída do interferômetro. . . . . . . . . 44 Figura 10 Interferômetro de Michelson modificado para gerarsinais em quadra- tura de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Figura 11 Figura de Lissajous obtida de dois sinais interferométricos em quadratura per- feita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Figura 12 Medição deΨ(t) através de dois sinais em quadratura.. . . . . . . . . . . 50 Figura 13 Figura de Lissajous de sinais simulados: a) Sinais com erros de quadratura; b) Sinais após a correção de quadratura.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Figura 14 Processo dephase unwrapping.(a) Função (60) obtida pelo Matlab. (b) Fun- ção (72) comphase unwrapping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Figura 15 Montagem experimental do interferômetro de Michelson em quadratura. 55 Figura 16 Sinais de saída interferométricos sem correção. .. . . . . . . . . . . . 56 Figura 17 Figura de Lissajous dos sinais de saída interferométricos sem correção. 57 Figura 18 Sinais de saída interferométricos após a correção. . . . . . . . . . . . 57 Figura 19 Figura de Lissajous dos sinais de saída interferométricos após a correção. 58 Figura 20 Gráfico com os sinais reconstruídos em Matlab e adquiridos pelo osci- loscópio e pelo DSP, apresentando o índice de modulação de umsinal senoidal de 1 kHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Figura 21 Esquema do sensor eletro-óptico de amplitude com sinais de saída em quadratura de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Figura 22 Montagem experimental do SOT em quadratura para alta tensão. . . . 61 Figura 23 Gráfico com os sinais senoidais de entrada e reconstruído em altas ten- sões adquiridos do SOT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Figura 24 Gráfico com os sinais de entrada e reconstruído adquiridos de uma forma de onda triangular distorcida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 Figura 25 Componentes harmônicas do sinal de entrada e sinal reconstruído de uma forma de onda triangular distorcida. . . . . . . . . . . . . . . . .63 Figura 26 Gráfico com os sinais de entrada e reconstruído adquiridos de uma forma de onda com elevado conteúdo harmônico. . . . . . . . . . . . 64 Figura 27 Componentes harmônicas do sinal de entrada e sinal reconstruído de uma forma de onda com elevado conteúdo harmônico. . . . . . . . . .64 Figura 28 Diagrama esquemático do sistema proposto. . . . . . .. . . . . . . . 66 Figura 29 Pontos de máximo e mínimo deVm(t) adquiridos a uma taxa de amos- tragem síncrona de 2f0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Figura 30 Representação esquemática da interpolação dey1d[n] e y2d[n] e atraso dey2[n] em 2 amostras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Figura 31 Diagrama esquemático do método proposto e a malha de controle do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Figura 32 Esboço de uma figura de Lissajous usando valores práticos dey1 e y2 como abscissa e ordenada, respectivamente. . . . . . . . . . . . . .. 75 Figura 33 Relação entre os sinais de erroEf e δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Figura 34 Diagrama de blocos do controlador PI. . . . . . . . . . . .. . . . . . 77 Figura 35 Esquema de montagem do sensor de alta tensão chaveado. . . . . . . . 79 Figura 36 Célula Pockels - Modulador Óptico de Fase (MOF). . . .. . . . . . . 81 Figura 37 Célula Pockels - Sensor de Alta Tensões (SAT). . . . . .. . . . . . . 81 Figura 38 Montagem experimental do sensor de alta tensão chaveado. . . . . . . 82 Figura 39 Montagem experimental do sistema de elevação de alta tensão. . . . . 83 Figura 40 Resposta em frequência do sistema de elevação de alta tensão. . . . . . 83 Figura 41 Sistema de processamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 84 Figura 42 Gráfico do sinal fotodetectado, modulado e controlado. . . . . . . . . 85 Figura 43 Gráfico com o sinal de modulação aplicado à célula MOF. . . . . . . . 86 Figura 44 Sinaisy1 ey2 interpolados e sincronizados. . . . . . . . . . . . . . . . 86 Figura 45 Figura de Lissajous dos sinaisy1 ey2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Figura 46 Sinais de referência e demodulado (a), e erro absoluto (b) de um sinal Vs(t) aplicado ao SAT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Figura 47 Linearidade do sistema e erro relativo. . . . . . . . . .. . . . . . . . 89 Figura 48 Resposta em frequência do sistema e da ponta de provade referência. . 90 Figura 49 Sinais de referência e demodulado (a), e erro absoluto (b) de um sinal com altas componentes harmônicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Figura 50 Componentes harmônicas dos sinais de referência e demodulado (a), e erro absoluto (b) de um sinal com altas componentes harmônicas. . . . 91 Figura 51 Gráfico contendo os sinais de referência e demodulado (a), e erro ab- soluto (b) de um sinal da rede elétrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Figura 52 Componentes harmônicas dos sinais de referência e demodulado (a), e erro absoluto (b) de um sinal da rede elétrica. . . . . . . . . . . . .. . 93 Figura 53 Sinais de referência, demodulado pelo novo método(Demod. A) e demodulado por arctan (Demod. B) (a), e erro absoluto entre Demod. A e Demod. B (b) de um sinal senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Figura 54 Componentes harmônicas dos sinais demodulados (a), e erro absoluto (b) de um sinal senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Figura 55 Sinais de referência, demodulado pelo novo método(Demod. A) e demodulado por arctan (Demod. B) (a), e erro absoluto entre Demod. A e Demod. B (b) de um sinal com alto conteúdo harmônico. . . . . .96 Figura 56 Componentes harmônicas dos sinais demodulados (a), e erro absoluto (b) de um sinal com alto conteúdo harmônico. . . . . . . . . . . . . . 96 Figura 57 Resposta do sensor e da ponta de referência na presença de distúrbios transitórios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ANSI Instituto Nacional Americano de Padrões (do inglês,American National Stan- dards Institute) BGO Germanato de Bismuto DEE Departamento de Engenharia Elétrica FEIS Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira FPGA Arranjo de Portas Programáveis em Campo (do inglês,Field Programmable Gate Array) He-Ne Hélio-Neônio IEC Comissão Eletrotécnica Internacional (do inglês,International Electrotechnical Commission) IEEE Instituto de Engenheiros Eletricistas e Eletrônicos (do inglês,Institute of Elec- trical and Electronics Engineers) Jm & Jm+2 Método de demodulação de fase óptica baseado na análise espectral LiNbO3 Niobato de Lítio LOE Laboratório de Optoeletrônica MOF Modulador Óptico de Fase n-CPM Método de demodulação de fase óptica baseado na análiseespectral OVS Sensor óptico de tensão (do inglêsOptical Voltage Sensors) PIN Fotodiodo PIN (Positive-Intrinsic-Negative) PM Modulação de fase (Phase Modulation) SAT Sensor de Alta Tensão SNR Relação sinal-ruído (do inglês,Signal-to-noise ratio) SOT Sensor óptico de tensões elevadas SSA Método de segmentação do sinal amostrado TP Transformador de potencial TPC Transformador de potencial capacitivo TPI Transformador de potencial indutivo UNESP Universidade Estadual Paulista LISTA DE SÍMBOLOS ηi j Tensor impermeabilidade dielétrica ε Tensor dielétrico absoluto E Campo elétrico r i jk Coeficiente eletro-óptico linear si jkl Coeficiente eletro-óptico quadrático X,Y,Z Direções cristalográficas do cristal de Niobato de Lítio n Índices de refração ne Índice de refração extraordinário no Índice de refração ordinário εr Matriz permissividade relativa η Impermeabilidade dielétrica λ Comprimento de onda θ Desalinhamento angular no plano XY V(t) Tensão de entrada no modulador eletro-óptico V(t) Tensão aplicada v(t) Tensão elétrica fotodetectada I(t) Intensidade óptica I0 Intensidade óptica do laser na saída do analisador ∆Ψ Retardo de fase total φ0 Diferença de fase estática devido à birrefringência φ(t) Retardo eletro-óptico L Comprimento do cristal d Espessura do cristal Vπ Tensão de meia-onda K ′(1) Vetor de onda do modo ordinário K ′(2) Vetor de onda do modo extraordinário ∆Ψ′ Retardo de fase óptica induzida A Fator de proporcionalidade do circuito fotodetector V Visibilidade das franjas de interferência vpd(t) Sinal fotodetectado Φ Fase óptica induzida na célula MOF Φ0 Fase quasi-estática causada pela birrefringência na célula MOF φ(t) Fase induzida na célula SAT ϕ Fase quasi-estática devido a variações ambientais na célula SAT Vs(t) Sinal de alta tensão aplicado à célula SAT Vm(t) Sinal de modulação e controle aplicado à célula MOF Vπs Tensão de meia-onda da célula SAT Vπm Tensão de meia-onda da célula MOF θ(t) Sinal de interesse a ser obtido pelo processo de demodulação fs Frequência de amostragem f0 Frequência do sinal de modulação T0 Período de amostragem Ts Tempo entre amostras pares e ímpares v[n] Sinal amostrado dev[pd] y1d, y2d Sequências dizimadas dev[n] y1, y2 Sequências interpoladas e ressincronizadas θr Fase óptica recuperada Vr Tensão aplicada na célula SAT recuperada ḟ (t) Derivada no tempo def (t) SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 17 1.1 ESCOPO DO TRABALHO 22 1.2 OBJETIVOS 23 1.3 ORGANIZAÇÃO DO TEXTO 23 2 EFEITO ELETRO-ÓPTICO 25 2.1 CÉLULA POCKELS 33 2.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO 35 3 O MÉTODO DE QUADRATURA DE FASE 46 3.1 INTERFERÔMETRO VOLUMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 46 3.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 59 4 SENSOR ELETRO-ÓPTICO DE ALTA TENSÃO CHAVEADO 66 4.1 OBTENÇÃO DOS SINAIS EM QUADRATURA POR CHAVEAMENTO DE FASE 67 4.2 CONTROLE DE FASE DA CONDIÇÃO DE QUADRATURA 73 5 RESULTADOS EXPERIMENTAIS 79 5.1 ARRANJO EXPERIMENTAL DO SENSOR DE ALTA TENSÃO CHAVEADO 79 5.2 RESULTADOS OBTIDOS 84 6 CONCLUSÕES 98 6.1 PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS 99 REFERÊNCIAS 101 17 1 INTRODUÇÃO Com a invenção do laser por volta de 1960, como fonte óptica de elevada coerência, permitiu-se aplicar em óptica, técnicas utilizadas em micro-ondas e telecomunicações, estabele- cendo-se a área hoje conhecida como optoeletrônica. Dessa forma, conceitos como modulação PM (Phase Modulation), interferência entre ondas eletromagnéticas e detecção por lei quadrá- tica puderam ser aplicadas a sensores ópticos. Atualmente, a optoeletrônica constitui-se do estudo, bem como, da aplicação de novas famí- lias de lasers e fotodetectores, de dispositivos moduladores para comunicações ópticas baseados em óptica volumétrica, em fibras ópticas, em óptica integrada, dispositivos baseados no efeito eletro-óptico, dentre vários outros exemplos. A relação interferométrica entre a entrada de fase óptica e a saída elétrica fotodetectada exibe grande similaridade com a expressão matemática da transmissão de um modulador eletro-óptico de amplitude abase de célula Pockels linear. As- sociado a esta informação, e ao fato do modulador eletro-óptico convencional (YARIV; YEH, 1984) possuir resposta analítica fechada, beneficia-se da possibilidade das técnicas de detecção interferométricas poderem ser prontamente adaptadas paraesta finalidade. Medidores de tensão e corrente são fundamentais para o faturamento da demanda e con- sumo de energia elétrica, bem como, para o controle, proteção e monitoramento da qualidade de energia do sistema elétrico de potência. As amplitudes das correntes e tensões em um sistema elétricode potência, geralmente encontram-se demasiadamente elevadas para que se realize aconexão de equipamentos de me- dição, controle ou de proteção diretamente a seus elementos. Além disso, essa forma de conexão seria potencialmente perigosa para os operadores das subestações de energia elétrica, pelo fato de que a única proteção é a isolação que o equipamento possui (CHEMIN NETTO, 2008). Uma das principais exigências atuais nas medições de média ealta tensão, em particular nos smart grids, são os sensores em tempo real (real-time sensors). As modernas concepções de smart gridsdemandam sensores confiáveis ao longo das redes de distribuição, não somente para o monitoramento da qualidade da energia elétrica gerada porgeradores de diferentes tecnologias (eólicos, solar, hidroelétrico, termoelétrico, nuclear), mas também, como parte integrante do sistema de controle da rede de geração, transmissão e distribuição de energia. O sensoriamento de parâmetros dos elementos de alta tensão nos sistemas elétricos de po- tência constitui um processo difícil, caro e, frequentemente, incômodo, devido às exigências de isolação elétrica, robustez, confiabilidade e durabilidade (40 anos de uso, sem serviço de revisão 1 INTRODUÇÃO 18 e sob frequente demanda) dos sensores (DONALDSON et al., 2001). Uma forma encontrada para minimizar os riscos aos operadores desses sistemas foidesenvolver transformadores para instrumentos, que constituem uma forma segura e adequada deoperação, com o objetivo de fornecer os sinais de tensão e corrente que os equipamentos de controle e medição necessitam (PETCH; RUSHTON, 1981). Assim, foram desenvolvidos os transformadores de potencial (TP) para instrumentos, com características próprias, pois são dedicados a converter as altas tensões a valores reduzidos, adequados a serem ligados aos instrumentos de medição, de controle, etc. Os transformadores para instrumentos são construídos predominantemente com cobre, ce- râmica e ferro, acarretando em equipamentos volumosos e certamente pesados. Rahmatian, Chavez e Jaeger (2002) alertam para o perigo dessas estruturas conterem óleo isolante que, em caso de curto-circuito a sobretensão, possam explodir, resultando na destruição dos equipamen- tos existentes nas proximidades das peças de cerâmica, colocando em risco os operadores da subestação. Convencionalmente, as medições das tensões elétricas em potenciais elevados são feitas por meio de transformadores eletromagnéticos de acoplamento indutivo (TPI), ou por divisores capacitivos de tensão (TPC) (RUBINI, 2016). Devido à proliferação de cargas não-lineares conectadas aosistema elétrico de potência, tem-se desencadeado uma preocupação crescente com a questão da qualidade de energia. A poluição harmônica constitui uma das características maisimportantes em qualidade de ener- gia (PEREIRA, 2013). Entretanto, os transformadores convencionais possuem limitação na resposta em frequência, cuja largura de banda é da ordem de apenas 500 Hz, não permitindo que seja realizada uma avaliação rigorosa do conteúdo harmônico presente na rede elétrica. Neste aspecto, em décadas recentes, esforços consideráveis em pesquisas têm sido dedicados aos sensores ópticos de tensão - OVS (do inglês,Optical Voltage Sensor), sendo que sensores baseados em diferentes princípios físicos e tecnologias foram investigados: efeito piezoelétrico (ALLIL; WERNECK, 2011; RIBEIRO; WERNECK; SILVA-NETO, 2013; RIBEIRO; WER- NECK, 2015; DANTE et al., 2016), efeito eletro-óptico em óptica volumétrica (ALMEIDA; SANTOS, 2005; SANTOS; ALMEIDA; SILVA, 2012), efeito eletro-óptico em óptica integrada (RAHMATIAN et al., 2000; CHAVEZ et al., 2000), dentre outros. Em geral, os OVS’s baseiam-se em variações nas propriedadesópticas de certos materiais em função do campo elétrico. Para tal finalidade, pode-se explorar o conhecido efeito Pockels, por exemplo (GIALLORENZI et al., 1982). Nessa linha de equipamentos, foram desenvolvidos sensores ópticos com características especiais que, em geral, utilizam o modulador eletro-óptico clássico de intensidade, constituído por um cristal eletro-óptico posicionado entre dois polari- zadores cruzados e uma lâmina de quarto-de-onda para estabelecer o ponto de quadratura de fase (YARIV; YEH, 1984). Os materiais eletro-ópticos Niobato de Lítio (LiNbO3) (LI; CUI; 1 INTRODUÇÃO 19 YOSHINO, 2001; LI; YOSHINO, 2002; ZHAO et al., 2002), o Germanato de Bismuto (BGO) (KYUMA et al., 1983; KUROSAWA et al., 1993; SANTOS; TAPLAMACIOGLU; HIDAKA, 1999, 2000; LI; CUI; YOSHINO, 2003), têm sido aplicados regularmente em sistemas de alta tensão devido à elevada largura de banda, resposta rápida e baixa perda de transmissão óptica (SIMA et al., 2016). Variações relativas nos índices de refração dos modos próprios do cristal, induzidas pelo campo elétrico externo, costumam causar variações apenas nas terceira ou quarta casas decimais dessas grandezas. Contudo, mesmo que muito pequenas, tais variações são suficientes para se proceder à medição das tensões de interesse através da instrumentação eletrônica disponível atualmente. No entanto, como a técnica polarimétrica é sensível a estímulos muito fracos, na prática, ela também padece do fenômeno de desvanecimento, particularmente se os efeitos de birrefringência natural do cristal eletro-óptico estiverem presentes. Em operações de campo, o cristal eletro-óptico usado como elemento sensor em OVS inte- rage não só com o campo elétrico a ser testado, mas também, comos campos de temperatura e destress(tensão mecânica) (XIAO; XU; DONG, 2015). Além disso, o arranjo em óptica livre, com lentes, filtros polarizadores, lâminas de onda, etc., tornam os OVS’s vulneráveis à variação de temperatura, choques mecânicos e vibração, resultando em sistemas instáveis e de difícil alinhamento. Por exemplo, derivas de temperatura induzem deslocamentosaleatórios de fase óptica que introduzem incertezas ao deslocamento de fase verdadeiro,o que irá conduzir a flutuações no sinal fotodetectado. Por sua vez, os efeitos de vibração mecânica no sistema causam uma indesejável modulação da intensidade da luz e, portanto, constituem uma fonte de ruído. Es- sas vibrações podem ser produzidas pelo circuito de operação de disjuntores, pelas condições ambientais ou pela interferência humana. Por conseguinte,o sinal detectado pode flutuar alea- toriamente no tempo em uma ampla faixa de magnitudes, devidoaos agentes de perturbação. O grande desafio é conceber uma configuração inovadora de OVS capaz de satisfazer as normas de exatidão (IEC, IEEE/ANSI) vigentes diante da incidência de perturbações externas indesejáveis. No comprimento de ondaλ = 0,6328 µm, o coeficiente eletro-óptico efetivo do BGO é r41 = 3,3× 10−12 m/V, enquanto que no caso do LiNbO3, são muito maiores:r33 = 30,9× 10−12 m/V, r13 = 8,6× 10−12 m/V e r22 = 6,8× 10−12 m/V. Por isso, as dimensões de um sensor de campo com BGO devem ser elevados para se obter ambos,um retardo de fase men- surável da luz transmitida e uma boa SNR (YANG et al., 2015); por sua vez, é possível reduzir sensivelmente o tamanho das células Pockels de LiNbO3, melhorando a faixa dinâmica, sen- sibilidade e robustez do sensor. Embora não possua atividade óptica, um problema é que o BGO também exibe o efeito magneto óptico (ou efeito Faraday),isto é, uma variação angular no plano de polarização de um feixe de luz linearmente polarizado quando esta se propaga ao 1 INTRODUÇÃO 20 longo do campo magnético a que está submetido um meio transparente, a qual pode gerar erros nos retardos de fase eletro-óptico (KUMADA; HIDAKA, 2013).Configurações independentes da birrefringência natural são possíveis usando o LiNbO3, o qual, favoravelmente, não exibe atividade óptica nem efeito magneto óptico. Quando o cristal de LiNbO3 é inserido entre eletrodos planos (com dimensões superiores às do cristal), sua pequena dimensão permite minimizar o efeito de quaisquer distorções (es- praiamento) nas linhas do respectivo campo elétrico. Por conta disso, o LiNbO3 foi selecionado como cristal eletro-óptico neste trabalho. Nesse caso, contudo, é comum ocorrer que a alta ten- são a ser medida seja maior que a tensão de meia-ondaVπ (tensão necessária para se produzir um retardo de fase deπ rad.), sendo necessário o emprego de algum procedimento para demo- dulação de fase óptica sob regime multi-ciclos ou de multi-franjas (técnicas de desdobramento de fase ouphase-unwrapping), os quais são fartamente encontrados na área de interferometria óptica (UDD; SPILLMAN, 2011). Quando a célula de LiNbO3 apresenta birrefringência natural, essa é sensível a variações de temperatura ambiente e, sabe-se que a variação de fase quase estática (Φ0) é cinco ordens de grandeza maior que aquela induzida pelo campo elétrico,φ(t). (SIMA et al., 2016) propuseram um arranjo de compensação passiva, denominado dedouble-crystal, consistindo de duas células idênticas associadas em cascata, porém, com uma lâmina deλ/2 inserida entre elas. Com isto, mostraram que o termoΦ0 associado à birrefringência natural é suprimido, obtendo-se uma sensível estabilização do ponto de operação. Contudo, como ocampo elétrico é aplicado às duas células, ocorre uma redução de 50% na tensão fotodetectada, o que pode prejudicar a SRN em caso de medição de tensões muito baixas. No entanto, a literatura revela que, mesmo que a componente de birrefringência natural seja suprimida do retardo de fase eletro-óptico, restrições no crescimento do cristal e variações nas condições ambientais conduzem a outra fonte deΦ0, correspondente à “birrefringência linear”, cujo caso exemplar é a birrefringência induzida por gradientes térmicos. Isso prejudica a estabilidade de longo termo em sensores com cristais volumétricos (bulk), fazendo que o OVS não atenda às exigências das redes elétricas de potência (XIAO; XU; DONG, 2015). Uma alternativa para mitigar o problema é empregar um OVS baseado em estruturadual-crystal, que consiste de dois cristais de LiNbO3 idênticos em orientação, dimensão e disposição, exceto que apenas um deles, o cristal sensor, fica exposto ao campo elétrico que se deseja medir (PAN et al., 2012). A estrutura é completada intercalando-se a conexão em cascata dos dois cristais com uma lâmina deλ/2, de forma que a luz linearmente polarizada vibrando ao longo do eixo X (eixo Y) no cristal de compensação vibra ao longo do eixo Y (eixo X) no cristal sensor. Além dedual-crystal, Li et al. (2013) propuseram uma estrutura que também eradouble- pass, ou seja, a luz que percorria o sistema em cascata era refletida por um filme reflexivo na extremidade da última célula. Com isto, o erro de birrefringência linear no cristal sensor pôde 1 INTRODUÇÃO 21 ser neutralizado pelo cristal compensador, para variaçõesde temperatura entre 0oC e 60oC, e com exatidão de 0,3%. Entretanto, o arranjo é relativamentecomplexo, envolvendo elementos adicionais como um modulador de fase em óptica integrada, umcirculador, um rotor Faraday e um sistema de realimentação entre o fotodiodo e o modulador. Além disso, o fator de escala (razão entre a tensão de saída e a tensão aplicada) é dependente da estabilidade térmica da lâmina deλ/2. Assim como nos exemplos de OVS citados acima, onde empregam-se lâminas deλ/2, a eliminação de quaisquer tipos de lâminas de onda (λ/2, λ/4, λ/8) é muito conveniente, por simplificar o sistema, melhorar a estabilidade em temperatura e obter insensibilidade ao comprimento de onda da luz. Além disso, como tais lâminas sãoseparadas do cristal sensor, desalinhamentos angulares entre seus eixos usualmente sãoinevitáveis e conduzem a erros de medição adicionais (DENG et al., 2017). Para resolver este problema, Li e Zeng (2014) apre- sentaram um arranjo a base de cristal de BGO que dispensa a lâmina deλ/4 extra: a geometria do cristal foi lapidada de maneira que, através de duas reflexões internas totais nas suas paredes, fosse produzido um retardo de fase óptico deπ/2 rad entre as componentes de polarizaçãop e s, devido ao próprio coeficiente de reflexão de Fresnel. Percebe-se que a maioria das topologias de OVS’s eletro-ópticos empregados até hoje estão baseadas nas configurações citadas acima. Verifica-se assimuma postura “conservadora”, na qual grande parte das soluções envolvendo OVS’s objetiva resolver o problema de desvaneci- mento de sinal, principalmente, propondo-se novas topologias passivas dehardwareóptico. Uma informação importante é que existe grande similaridadeentre a característica de entrada- saída de um OVS à base de um modulador eletro-óptico de intensidade óptica, constituído por célula Pockels (YARIV; YEH, 1984), e aquela de um interferômetro de dois feixes, como o Michelson ou Mach-Zehnder (UDD; SPILLMAN, 2011). Isto ocorre porque o arranjo do modulador eletro-óptico de intensidades pode ser interpretado como um “interferômetro po- larimétrico”: ocorre interferência entre as componentes dos dois modos próprios polarizados elipticamente após passarem por um analisador (polarizador na saída do sistema). Com isso, a maioria dos métodos propostos para detectar desvio de faseem um interferômetro de dois feixes pode ser aplicada ao OVS. Neste trabalho, para superar os problemas de desvanecimento e condição de quadratura dos sinais de saída interferométricos, será desenvolvido um sensor que, operando em regime de multi-franjas e utilizando-se de técnica de controle ativa, proporcione a correção da condição de quadratura dos sinais, possibilitando que o sistema opere em tempo real. Embora não seja regra geral, tem-se a impressão que os recursos humanos que se espe- cializam em OVS’s exploram pouco os incontáveis recursos disponibilizados até hoje pelos desenvolvedores de técnicas de detecção de fase para interferometria óptica (mesmo as clássi- cas), e vice-versa. Menor ainda é a quantidade de autores na área de OVS que se beneficiam 1.1 ESCOPO DO TRABALHO 22 das poderosas ferramentas da teoria de controle automático. Particularmente, dentre os poucos grupos que já perceberam o potencial do controle avançado naanálise teórica e experimental de OVS’s, citam-se alguns desses trabalhos publicados, como (LIU et al., 2017; DENG et al., 2017; LI et al., 2015, 2014, 2013; FENG et al., 2013; LI et al.,2013) e (GALETI et al., 2017). Para isto, utiliza-se o dispositivo dehardwaremyRIO, da National Instruments, para re- alizar a aquisição e o processamento dos sinais de forma embarcada, e, também controlar a condição de quadratura de fase, com a finalidade de se obter a forma de onda e o conteúdo harmônico dos sinais de entrada e de saída, e assim, avaliar sua viabilidade na obtenção dos sinais de alta tensão provenientes da rede elétrica. 1.1 ESCOPO DO TRABALHO Constituem interesses do grupo de pesquisa do Laboratório deOptoeletrônica (LOE) do Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade Estadual Paulista (DEE - UNESP), a pesquisa, teórica e/ou experimental, de sensores ópticos de natureza variada como, por exem- plo, os sensores interferométricos de vibrações nano e micrométricas (BERTON, 2013; GA- LETI, 2012; LEMES, 2014; LEÃO, 2004; TAKIY, 2010; MENEZES, 2009; MARÇAL, 2008; BARBOSA, 2009), sensores de deslocamento linear (SAKAMOTO, 2006), sensores de ultras- som (SAKAMOTO et al., 2012), sensor angular em fibra óptica (GARCIA, 2016), e sensores eletro-ópticos de tensão elevada (GALETI, 2016; PEREIRA, 2013; LIMA, 2013; MARTINS, 2006). Métodos clássicos ou inéditos de demodulação de fase óptica, baseados na análise espectral do sinal interferométrico fotodetectado, têm sido testados desde 2004, como o método denomi- nado Jm & Jm+2 (MARÇAL et al., 2012) e o método n-CPM (n - Commuted Pernick Method) (GALETI et al., 2013). Também têm sido testada uma variedade de métodos de detecçãointerferométrica de fase óptica como, por exemplo, os métodos polarimétricos, de quadratura de fase com o técnica de phase-unwrapping(LEMES, 2014), método heteródino sintético (GALETI; KITANO; CON- NELLY, 2015; GALETI et al., 2017), de contagem de franjas (LEÃO, 2004), e os métodos baseados na análise temporal do sinal de saída como, por exemplo, o método de baixa profun- didade de modulação de fase (BARBOSA et al., 2010; CARVALHO; FERREIRA; KITANO, 1999) e o método de segmentação do sinal amostrado (SSA) (GALETI, 2012). Recentemente, Pereira (2013) propôs modificações no método SSA para este operar em um sensor eletro-óptico de tensões elevadas (SOT). O objetivodo trabalho de Pereira (2013) era a determinação da qualidade da energia elétrica e, sendo assim, os sinais aplicados na entrada do SOT eram da ordem de 8 kV (de pico) e com alto conteúdo harmônico. Consequentemente, os sinais interferométricos de saída passam a conter informações do sinal aplicado na entrada do 1.2 OBJETIVOS 23 SOT, tais como a amplitude e o espectro harmônico. Contudo, o método SSA é aplicável apenas a alguns tipos de sinais de modulação periódicos e necessita que os sinais interferométricos de saída sejam filtrados antes de serem demodulados, uma vez que o algoritmo baseia-se em comparação de derivadas. Em aplicações onde se deseja medir o conteúdo espectral dos sinais de modulação, um filtromal projetado pode alterar as raias de interesse do espectro do sinal. Neste senário, Lemes (2014) propôs um método de de- modulação de fase óptica em quadratura de sinais, baseado noalgoritmo dephase-unwrapping, implementado no domínio do tempo, que é imune ao desvanecimento do sinal, possui ampla faixa dinâmica e com a possibilidade de trabalhar com sinaisnão periódicos. Testes prelimina- res com o método dephase-unwrappingevidenciaram seu potencial para realizar medições de deslocamentos mecânicos sub-nanométricos, dentro de uma faixa dinâmica capaz de se estender até centenas de radianos na detecção de fase óptica. Com base nestes testes, pôde-se realizar modificações no SOT utilizado em Pereira (2013), de modo que ele fosse capaz de operar em quadratura de fase, dispondo assim, de todas as vantagens que o método proporciona. No entanto, tornou-se necessária a utilização de alguns componentes ópticos extras para operar em quadratura como,divisor de feixe, lâmina deλ/4 e um fotodiodo adicional para aquisição dos sinais em quadratura de fase. O processamento dos sinais pelo método dephase-unwrapping, de certa forma, é não trivial, e assim, a técnica demanda um certo consumo de tempo para que o algoritmo de correção de quadratura corrija os sinais, para então se recuperar o sinal de interesse, o quedificulta a operação em tempo real. 1.2 OBJETIVOS O principal objetivo da tese é propor um novo método de obtenção de sinais interferomé- tricos em quadratura de fase, a partir de um único sinal de saída de um sensor eletro-óptico de altas tensões, com base em células Pockels. 1.3 ORGANIZAÇÃO DO TEXTO Esta tese de doutorado está dividida em seis capítulos, incluindo esta Introdução. No Capí- tulo 2 são descritos o efeito eletro-óptico, a célula Pockels e o interferômetro polarimétrico. No Capítulo 3, apresenta-se uma breve discussão sobre interferometria em quadratura de fase, abordando o interferômetro volumétrico em quadratura de fase aplicado à medição de deslocamento, e também, o interferômetro polarimétrico adaptado para operar em quadratura de fase para medições de altas tensões. Em seguida, no Capítulo 4, apresenta-se o sensor eletro-óptico de altas tensões chaveado, 1.3 ORGANIZAÇÃO DO TEXTO 24 aborda-se a obtenção do sinais em quadradura, bem como a realimentação por controle de fase óptica. O procedimento experimental é então apresentado no Capítulo5, com os resultados do processamento dos sinais obtidos, e, sendo feita uma comparação entre os sinais de entrada com os sinais reconstruídos. Por fim, no Capítulo 6 apresenta-se as conclusões e sugestões para trabalhos futuros. 25 2 EFEITO ELETRO-ÓPTICO A propagação da radiação óptica em determinados cristais, que não apresentam centro de simetria em sua rede (oulattice), e, na presença de campo elétrico externo, pode dar origem ao fenômeno conhecido por efeito eletro-óptico linear (YARIV; YEH, 1984). De acordo com a teoria quântica dos sólidos, o tensor impermeabilidade dielétrica relativa (ηi j ) depende da distribuição de cargas no cristal. A aplicação de um campo elétrico externo,E, resulta numa redistribuição das cargas de ligação, causando uma pequenadeformação na rede iônica. O resultado é uma mudança no tensor impermeabilidade. Assim,Yariv e Yeh (1984) definem o tensor impermeabilidade relativaηi j como: ηi j = ε0(ε−1)i j , (1) sendo,ε0 a permissividade absoluta do vácuo (1/36π × 10−9 F/m), ε−1 o inverso do tensor dielétrico absolutoε e i, j = 1,2,3. O efeito eletro-óptico resulta em uma variação no tensor impermeabilidade relativa, dada por: ∆ηi j = ηi j (E)−ηi j (0) , (2) parai, j = 1,2,3, no qualηi j (E) é o tensor impermeabilidade perturbado pelo campo elétrico externoE, e,ηi j (0) é o mesmo tensor na ausência de campo elétrico. A variação na impermeabilidade dielétrica relativa, com relação ao campo elétrico, pode ser descrita como: ∆ηi j = r i jkEk+si jkl EkEl + · · · , (3) onder i jk e si jkl são os coeficientes eletro-ópticos linear e quadrático respectivamente (linear - efeito Pockels, e quadrático - efeito Kerr). Na série de Taylor (3) desconsideram-se os ter- mos superiores ao quadrático, pois suas influências são muito pequenas, sendo que os campos elétricos necessários para se obter estes efeitos precisariam ser extremamente altos. As propriedades ópticas de um cristal eletro-óptico podem ser descritas também pelo elip- soide de índices de refração que, na ausência de campo elétrico, é dado por: 2 EFEITO ELETRO-ÓPTICO 26 ηi j (0)xix j = ( 1 n2 X ) X2+ ( 1 n2 Y ) Y2+ ( 1 n2 Z ) Z2 = 1, (4) na qual as coordenadasxi oux j referem-se ao eixos cristalinos principais,X, Y, Z, e ondenX, nY e nZ são os índices de refração medidos nas respectivas direçõesdos eixos do elipsoide. Uma representação esquemática do elipsoide de índice de refração é apresentada na Figura 1, sendo ~D o vetor deslocamento elétrico na direção de um raio vetor~r qualquer. Figura 1 - Elipsoide de índices de refração. O vetor~D é o deslocamento elétrico e~r é o raio vetor. Fonte: Adaptado de Kitano (1993). Já na presença de campo elétricoE, o elipsoide de índices passa a ser dado por: ηi j (E)xix j = 1. (5) Combinando-se (2) e (5), obtém-se: (ηi j (0)+∆ηi j )xix j = 1, (6) e, utilizando apenas a parcela linear de (3), tem-se: (ηi j (0)+ r i jkEk)xix j = 1, (7) que conduz a um novo elipsoide de índices de refração, agora,perturbado pela ação do campo elétrico externo. 2 EFEITO ELETRO-ÓPTICO 27 Pode-se obter uma importante propriedade analisando-se (2) e (3), quando prevalecer ape- nas o efeito eletro-óptico linear: ∆ηi j = ηi j (E)−ηi j (0) = r i jkEk , (8) parai, j, k = 1,2,3. Sabe-se que, para um meio sem perdas e opticamente inativo, o tensorεi j é simétrico ou seja, os índicesi e j podem ser comutados entre si. Assim, o tensorηi j também é simétrico e, consequentemente, os índicesi e j em (8) também podem ser permutados entre si (YARIV; YEH, 1984), logo: r i jk = r jik . (9) Da álgebra de tensores, sabe-se que o número de elementos de um tensor de ordemn é 3n (NYE, 1957): por exemplo,εi j é um tensor de segunda ordem e possui 3n = 32 = 9 elementos. Assim, o tensor de terceira ordemr i jk (n = 3) possuirá 33 = 27 elementos. Entretanto, devido à propriedade de simetria (9), existirão elementos repetidos e o tensor impermeabilidade poderá exibir apenas 18 elementos independentes. Expandindo a relação (8), obtém-se: ∆η11 = r111E1+ r112E2+ r113E3 , ∆η22 = r221E1+ r222E2+ r223E3 , ∆η33 = r331E1+ r332E2+ r333E3 , ∆η23 = ∆η32 = r231E1+ r232E2+ r233E3 , ∆η13 = ∆η31 = r131E1+ r132E2+ r133E3 , ∆η12 = ∆η21 = r121R1+ r122E2+ r123E3 , (10) ou, na forma matricial:            ∆η11 ∆η22 ∆η33 ∆η23 ∆η13 ∆η12            =            r111 r112 r113 r221 r222 r223 r331 r332 r333 r231 r232 r233 r131 r132 r133 r121 r122 r123            ·    E1 E2 E3    . (11) Confirma-se que, devido à simetria estabelecida em (9), houveuma redução no número de elementos independentes der i jk , de 27 para 18. Em virtude desta simetria, é conveniente 2 EFEITO ELETRO-ÓPTICO 28 introduzir a notação de índices reduzidos (ou de Voigt), na qual é estabelecida a seguinte cor- respondência (YARIV; YEH, 1984): 1= 11, 2= 22, 3= 33, 4= 23= 32, 5= 13= 31, 6= 12= 21. (12) Substituindo os índicesij da matriz retangular em (11) pelos correspondentes índicesredu- zidos, produz-se:            ∆η1 ∆η2 ∆η3 ∆η4 ∆η5 ∆η6            =            r11 r12 r13 r21 r22 r23 r31 r32 r33 r41 r42 r43 r51 r52 r53 r61 r62 r63            ·    E1 E2 E3    . (13) Contudo, devido à condição de simetria cristalina tem-se que, na maioria dos materiais, a matriz dos coeficientes eletro-ópticos em (13) é esparsa, isto é, grande parte dos elementos é nula. As relações de simetria cristalina estabelecerão quais dos 18 coeficientes serão nulos, bem como as relações que existirão entre os coeficientes remanescentes. Assim, analisa-se a matriz de coeficientes eletro-ópticos do cristal de Niobato de Lítio (LiNbO3) utilizado neste trabalho. Sendo este cristal trigonal, declasse de simetria 3m, sua matriz de coeficientes é dada por (YARIV; YEH, 1984): r lk =            0 −r22 r13 0 r22 r13 0 0 r33 0 r51 0 r51 0 0 −r22 0 0            , (14) paral = 1,2,3...,6 ek = 1,2,3. Observam-se apenas oito coeficientes eletro-ópticos não nulos, sendo que apenas quatro deles são independentes:r13, r22, r33 e r51. 2 EFEITO ELETRO-ÓPTICO 29 A partir de (13) e (14), obtêm-se: ∆η11 =−r22E2+ r13E3 , ∆η22 = r22E1+ r13E3 , ∆η33 = r33E3 , ∆η23 = r51E2 , ∆η13 = r51E1 , ∆η12 =−r22E1 . (15) Por conta desses resultados, o elipsoide de índices de refração perturbado, conforme espe- cificado em (6), torna-se: (η11+∆η11)X 2 1 +(η22+∆η22)X 2 2 +(η33+∆η33)X 2 3 +2(η23+∆η23)X2X3 +2(η13+∆η13)X1X3+2(η12+∆η12)X1X2 = 1, (16) sendoX1 = X, X2 = Y e X3 = Z os eixos principais do cristal. Sabe-se que, no sistema de coordenadas cristalino, as matrizes de permissividade relativa e impermeabilidade relativa do material não perturbado são diagonais. Sendo o Niobato de Lítio um cristal uniaxial (ε11 = ε22 6= ε33) negativo, isto é, comne < no, ondene é o índice de refra- ção extraordinário eno é o índice de refração ordinário, suas componentes de permissividade relativa sãoε11 = ε22 = 1/no e ε33 = 1/ne, tal que, na ausência de campo elétrico, tem-se: εr =    ε11 0 0 0 ε22 0 0 0 ε33    ⇒ η =    1/ε11 0 0 0 1/ε22 0 0 0 1/ε33    =     1/ n2 o 0 0 0 1/ n2 o 0 0 0 1/ n2 e     , (17) sendoεr a permeabilidade relativa. Reescrevendo (16), com as informações de (15) e (17), obtém-se: ( 1 n2 o − r22E2+ r13E3 ) X2 1 + ( 1 n2 o + r22E2+ r13E3 ) X2 2 + ( 1 n2 e + r33E3 ) X2 3 +2r51E2X2X3+2r51E1X1X3−2r22E1X1X2 = 1. (18) Analisam-se agora, dois casos de interesse em que a célula Pockels pode ser implementada: o primeiro caso é quando o campo elétrico externo é aplicado na direçãoX3 (eixo óptico Z) e 2 EFEITO ELETRO-ÓPTICO 30 a propagação do feixe delaser se dá na direção deX1 ou X2 (eixos X e Y respectivamente), e, o segundo caso, quando o campo elétrico externo for aplicado na direçãoX1 ou X2 (X e Y respectivamente) e a propagação do feixe delaseré paralela aX3 (Z). Considerando-se primeiramente o caso com campo elétrico aplicado ao longo do eixoX3, ou seja,E1 = E2 = 0, E3 6= 0, a equação do elipsoide de índice em (18) pode ser reescritacomo: ( 1 n2 o + r13E3 ) X2 1 + ( 1 n2 o + r13E3 ) X2 2 + ( 1 n2 e + r33E3 ) X2 3 = 1. (19) Nota-se que em (19) não há ocorrência de produtos cruzados dotipo X1X2, X1X3 ouX2X3, e assim, conclui-se que as direções dos eixos principais do novo elipsoide de índices permanecem inalterados (não há rotação dos eixos), porém, ocorrem novos índices de refração:nX1, nX2 e nX3. Logo, (19) pode ser escrita como: X2 1 n2 X1 + X2 2 n2 X2 + X2 3 n2 X3 = 1, (20) sendo 1 n2 X1 = 1 n2 o + r13E3 = 1 n2 X2 , 1 n2 X3 = 1 n2 e + r33E3 , (21) a partir das quais se obtêm: nX1 = no 1 √ 1+n2 or13E3 = nX2 , nX3 = ne 1 √ 1+n2 er33E3 . (22) O cristal de Niobato de Lítio possui os seguintes parâmetros: no = 2,286,ne = 2,2, rT 13 = 9,6 pm/V, rT 22 = 6,8 pm/V, rT 33 = 30,9 pm/V erT 51 = 32,6 pm/V, para um feixe delaser com comprimento de onda deλ = 632,8 nm (YARIV; YEH, 1984). Neste estudo utilizam-se os coeficientesrT (stressnulo), pois, o cristal é livre para se deformar de acordo com alei da piezoeletricidade, e, a variação dostrainsegue a modulação do campo aplicado (YARIV; YEH, 1984). Comor13 e r33 são muito pequenos (da ordem de 10−12 m/V) ocorre quen2 or13E3 << 1 e n2 er33E3 << 1 em (22), mesmo para amplitudes de campo elétrico da ordem dedezenas de kV 2 EFEITO ELETRO-ÓPTICO 31 (KITANO, 1993). Assim, é possível se aplicar a expansão em série binomial: 1√ 1+x = 1− 1 2 x+ 1·3 2·4x2+ . . . para |x|< 1, (23) e, a partir daí, mostrar-se que as expressões dos índices de refração em (22) são convertidas para: nX1 ∼= no ( 1− 1 2 n2 or13E3 ) ∼= nX2 , nX3 ∼= no ( 1− 1 2 n2 er33E3 ) , (24) respectivamente. Portanto, fica evidente que os novos índices de refração variam de maneira afim com o campo elétrico aplicado. ComonX1 ∼= nX2 6= nX3, o cristal perturbado pelo campo elétrico ainda permanece uniaxial. Agora, considera-se o segundo caso, no qual o campo elétricoexterno é aplicado na direção do eixo Y do cristal. Partindo-se da equação (18) e, sendoE2 6= 0 eE1 = E3 = 0 tem-se: ( 1 n2 o − r22E2 ) X2 1 + ( 1 n2 o + r22E2 ) X2 2 + ( 1 n2 e ) X2 3 +2r51E2X2X3 = 1. (25) Observa-se em (25) que, com a aplicação de um campo elétricoE2, o elipsoide de índice de refração passa a exibir o produto cruzado (X2X3), que produz uma rotaçãoθ dos eixos principais do elipsoide em torno do eixoX1 do cristal. Assim, é necessário avaliar essa rotação, que está ilustrada na Figura 2, a qual leva em conta os novos eixos cristalográficos, denotados porX1 ′, X2 ′ eX3 ′, que são paralelos aos eixos principais do elipsoide rodado. Figura 2 - Rotação de eixos em torno do eixo cristalinoX1. Fonte: Elaboração do autor. 2 EFEITO ELETRO-ÓPTICO 32 Recorrendo-se à transformação de rotação de eixos (YARIV, 1985), deX1X2X3 paraX1 ′X2 ′X3 ′, obtém-se uma relação entre os eixos cristalinos e os novos eixos coordenados principais:    X1 X2 X3    =    1 0 0 0 cosθ −senθ 0 senθ cosθ    ·    X1 ′ X2 ′ X3 ′    , (26) assim, X1 =X1 ′, X2 =cosθX2 ′−senθX3 ′ , X2 =senθX2 ′+cosθX3 ′ , (27) sendoθ o ângulo de rotação dos eixos em torno deX1. Substituindo as relações (27) em (25), mostra-se que o novo elipsoide de índices é agora referenciado ao novo sistema de coordenadas (X1 ′X2 ′X3 ′), e, após uma sequência de operações algébricas, tem-se (KITANO, 1993): θ = tan−1 1 2 ( −2r51E2 1 n2 e − 1 n2 o − r22E2 ) . (28) Lembra-se que os coeficientesr51 e r22 são da ordem de 10−12 m/V, portanto, mesmo para os máximos valores de campo que serão utilizados nesta tese (800 kV de pico/m), pode- se concluir que a rotaçãoθ é desprezível (inferior a 0,1 graus) nesta configuração de campo elétrico. Portanto, para o campo elétrico aplicado ao longo do eixoE2 e não havendo rotação signi- ficativa em torno deX1, a equação do elipsoide de índices (25) pode ser reescrita como: ( 1 n2 o − r22E2 ) X2 1 + ( 1 n2 o + r22E2 ) X2 2 + ( 1 n2 e ) X2 3 = 1. (29) Assim, tal qual para o caso da configuração do campo aplicado em X3 (Z), as direções dos eixos do novo elipsoide de índices continuam inalteradas, embora, com novos índices de refraçãonX1 ′ , nX2 ′ e nX3 ′ . Assim, a equação (29) pode ser escrita como em (20), conduzindo-se aos valores de índices perturbados: 2.1 CÉLULA POCKELS 33 nX1 ′ = no 1 √ 1−n2 or22E2 , nX2 ′ = no 1 √ 1+n2 or22E2 , nX3 ′ = ne. (30) Neste caso, também é possível aplicar a expansão em série binomial (23) às equações (30) a fim de se obter os novos índices de refração quando o campo elétrico é aplicado na direção Y: nX1 ′ = no+ 1 2 n3 or22E2 , nX2 ′ = no− 1 2 n3 or22E2 , nX3 ′ = ne. (31) Pode-se observar, novamente, que os novos índices de refração variam de maneira afim com o campo elétrico aplicado (E2), porém, ao contrário do caso anterior, o cristal perturbado passa a ser biaxial (nX1 ′ 6= nX2 ′ 6= nX3 ′). 2.1 CÉLULA POCKELS Em geral, uma célula Pockels é composta por um cristal eletro-óptico posicionado entre um par de eletrodos por onde é aplicado o campo elétrico externo. As disposições desses eletrodos em uma célula Pockels podem ocorrer de duas formas: transversal e longitudinal. A forma transversal é empregada quando o campo elétrico externo é aplicado perpendi- cularmente à direção de propagação do feixe óptico, conforme ilustrado na Figura 3. Nesta configuração, a aplicação do campo elétrico pode ser feita através de placas metálicas paralelas ou tintas condutoras aplicadas nas faces, superior e inferior, do cristal. 2.1 CÉLULA POCKELS 34 Figura 3 - Célula Pockels paralela. Entrada Saída Laser Cristal eletro-óptico Fonte: Elaboração do autor. Na forma longitudinal, Figura 4, tem-se o campo elétrico externo aplicado entre as faces frontal e traseira do cristal, ou seja, paralelo à direção depropagação do feixe óptico. Para permitir a passagem do feixe luminoso, os eletrodos devem ser feitos de metal semi-transparente ou vazados. Geralmente são utilizados como eletrodos, óxidos metálicos, filmes metálicos, grades ou anéis aplicados às faces opostas do cristal. Figura 4 - Célula Pockels longitudinal. Entrada Saída Laser Cristal eletro-óptico Fonte: Elaboração do autor. Dentre várias aplicações, a célula Pockels pode ser usada como modulador eletro-óptico (em telecomunicações) ou como sensor eletro-óptico de tensões. Quando usada como modu- lador, a informação é disponível na forma de um campo elétrico modulador, sendo inserida na fase da luz que passa através da célula. A luz então é transmitida a um receptor para que a informação seja decodificada (YARIV; YEH, 1984). O uso da célula Pockels como sensor de tensão constitui objeto de estudo desta pesquisa, e será abordado nas próximas seções. 2.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO 35 2.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO Um modulador ou sensor eletro-óptico de amplitude baseado em célula Pockels, objeto de estudo neste trabalho, pode ser considerado um interferômetro polarimétrico. Primeiramente, estuda-se o caso em que a propagação do feixe óptico ocorre aolongo do eixo Y do cristal e o campo elétrico externo, gerado pela tensãoV(t), é aplicado ao longo do eixo Z. Na Figura 5 ilustra-se o esquema de um sensor eletro-óptico de intensidade óptica com célula Pockels transversal. Este é composto por um polarizador, ajustado aum ângulo de 45o dos eixos cris- talográficos X ou Z do cristal de LiNbO3, com a finalidade de acoplar com iguais amplitudes os modos ordinário e extraordinário de propagação da luz. Nasaída do cristal, encontra-se um segundo polarizador, com eixo de transmissão deslocado angularmente de 90o em relação ao primeiro polarizador. Neste texto, a tensão elétricaV(t) corresponderá à tensão aplicada, en- quanto o sinal fotodetectado será referido como a intensidade do sinal de saídaIout(t) ou tensão fotodetectadav(t), conforme estabelecido a seguir. Figura 5 - Esquema do sensor eletro-óptico de amplitude com campo elétrico externo aplicado em Z e propagação óptica em Y. Fonte: Elaboração do autor. O segundo polarizador na Figura 5 é denominado analisador, etem a finalidade de analisar o estado de polarização da luz ao sair da célula Pockels, permitindo-se obter um feixe de saída no qual a informação da tensão elétricaV(t) aplicada ao cristal encontra-se inserida na expressão matemática da intensidade ópticaIout(t). Esta é uma configuração clássica cujos detalhes podem ser encontrados em Yariv e Yeh (1984). Como será visto adiante, sua resposta apresenta uma birrefringência natural, devido à diferença entre os índices de refração ordinário e extraordinário (no e ne, respectivamente) do cristal, bem como, uma birrefringência induzida pela aplicação deV(t). O alinhamento desse sistema não é uma tarefa trivial, devidoao elevado grau de parale- 2.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO 36 lismo exigido entre a direção de propagação do feixe óptico com o eixo Y do cristal, bem como, ao ajuste angular (45o) entre os eixos requerido pelos polarizadores e os eixos do cristal, tornando-se necessários ajustes extremamente precisos, caso contrário o sistema não operará adequadamente. Para isto são utilizados estágios de translação e rotação ajustados por parafu- sos micrométricos para garantir um bom alinhamento. O procedimento de alinhamento consiste, primeiramente, emcruzar o polarizador e o anali- sador, sem inserir a célula Pockels no sistema. Ajusta-se o polarizador a 45o do plano horizontal estabelecido pela mesa óptica, e, em seguida, monitora-se osinal de saída com um fotodetector e rotaciona-se o analisador de forma que se reduza o máximo possível da intensidade do feixe de laserna saída do sistema. Isso garante que o polarizador e o analisador estão cruzados a 90o entre si. A seguir, inserindo a célula Pockels entre o polarizador e o analisador, como esquematizado na Figura 5, a birrefringência natural do LiNbO3 fará com que a intensidade óptica de saída seja novamente não-nula. Ao se apagar completamente a iluminação do laboratório, observa-se que a célula Pockels fica iluminada, evidenciando um intenso espalhamento de luzno interior do cristal de LiNbO3. Assim, o feixe de saída (após o analisador) é composto pelo feixe delaserpropriamente dito, e por luz espalhada ao redor de seu eixo longitudinal (MARTINS, 2006). Projetando-se essa luminosidade de saída sobre um anteparo, obtém-se uma imagem (pa- drão de franjas) similar àquela apresentada na Figura 6. O espalhamento faz com que uma parcela da luz se propague pelo cristal em direções diferentes do feixe principal, equivalente a uma emissão secundária de luz, segundo uma abertura angularna forma de cone divergente em torno do eixo longitudinal. Com isso, aproveitando-se de um defeito de qualidade do cristal (o espalhamento) para auxiliar no alinhamento dolasercom o eixo Y do cristal, basta ajustar o feixe principal dolaser para que incida no centro da figura de interferência, como a daFigura 6 (MARTINS, 2006). 2.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO 37 Figura 6 - Padrão de interferência experimental devido ao espalhamento da luz no cristal. Fonte: Elaboração do autor. A intensidade óptica,I(t), na saída do sistema mostrado na Figura 5, a qual é proporcional ao sinal gerado pelo fotodetector,v(t), será (YARIV; YEH, 1984): I(t) = Iosen2 ∆Ψ 2 , (32) em queIo é a intensidade óptica dolaserapós o polarizador e∆Ψ é o valor do retardo de fase total, que é a soma de duas parcelas: uma devido a birrefringência natural do cristal,φo, e outra devido a influência do campo elétrico externo,φ(t). Ambas identificadas a seguir. Como afirmado, admite-se que o campo óptico na entrada da célula Pockels possua polari- zação linear a 45o do eixoX1 (X) ou X3 (Z), de forma que excite os modos de polarização nas direções dos eixosX1 e X3, com iguais amplitudes. Se dois modos de propagação (ordinário e extraordinário) forem excitados na interfaceX2 = 0 com a mesma fase, o retardo de fase total, após os campos percorrerem um comprimentoL será (YARIV, 1985): ∆Ψ = ( K(1)−K(3) ) L , (33) sendo queK(1) e K(3) são as magnitudes dos vetores de onda para as polarizações ópticas nas direções dos eixosX1 e X3, respectivamente, e,L é o comprimento do cristal na célula Pockels na direção de propagação do feixe delaser. Os dois modos de propagação, com deslocamento elétrico paralelo aos eixosX1 e X3, pos- suem vetores de onda cujos módulos são dados por: 2.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO 38 K(1) = 2π λ nX1 , K(3) = 2π λ nX3 , (34) sendonX1 e nX3 os índices de refração do cristal submetido ao campoE3, eλ é o comprimento de onda dolaser. Substituindo-se (34) em (33), obtém-se: ∆Ψ = 2π λ (nX1 −nX3)L . (35) Utilizando-se as expressões dos índices de refração deduzidas em (24), substituindo-as em (35), e, após algumas operações matemáticas tem-se: ∆Ψ = 2π λ (ne−no)L− π λ (n3 er33−n3 or13)E3L . (36) Conforme já enunciado, observam-se dois tipos de atraso na fase quando se analisa o lado direito da equação (36). A primeira parcela refere-se à birrefringência natural do cristal,φo, que independe do campo elétrico, e, a segunda, que se deve a aplicação do campo elétrico externo, φ(t). Esta, por sua vez, pode ser controlada ajustando-se a tensão aplicadaV(t). Assim, a primeira parcela devido a birrefringência natural do cristal, é: φo = 2π λ (ne−no)L , (37) sendone eno os índices de refração ordinário e extraordinário do LiNbO3. Contudo, devido à birrefringência natural do cristal, o arranjo fica muito susceptível às variações de temperatura ambiente, causando o fenômeno chamado desvanecimento de sinal (fading). Segundo Smith, Riccius e Edwin (1976), os índices de refraçãono e ne variam com a temperatura. Assim, a diferença entre os índices, (ne−no), também varia com a temperatura, embora muito pouco, da ordem de 1 ppm poroC. Contudo, como na faixa óptica o comprimento de ondaλ é da ordem de 1µm = 10−6 m, tem-se que(ne−no)/λ tem uma variação da ordem de 1 ppm / 1µm = 10−6/10−6 = 1 rad poroC, algo muito grande relativamente aos valores de fase induzida que se desejam medir, em torno de mrad. A princípio, o efeito da vibração mecânica não é muito crítico ao sistema, entretanto, o processo de alinhamento dos componentes do modulador (laser, célula Pockels, polarizador e analisador) é algo delicado, e assim, é prudente se evitar trepidações excessivas na mesa óptica a fim de não causar o desalinhamento dos componentes. 2.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO 39 Com o cristal inserido entre dois eletrodos na forma de placasparalelas separadas por uma distânciad, o campo elétrico,E, pode ser estabelecido a partir da tensão elétrica aplicadaaos eletrodos: E = V(t) d . (38) A partir de (38), considerando-se apenas a parcela influenciada pelo campo elétrico em (36), tem-se que o retardo de fase (ou retardo eletro-óptico) induzido pode ser definido como: φ(t) = π λ (n3 er33−n3 or13) L d V(t) . (39) O valor da tensão elétrica aplicada ao cristal que proporciona um retardo eletro-ópticoφ(t) deπ radianos, é denominado de tensão de meia-onda,Vπ . Assim, substituindo-seφ(t) = π rad eV(t) =Vπ em (39), mostra-se que a tensão de meia-onda é dada por: Vπ = λ n3 er33−n3 or13 · d L . (40) A tensão de meia-onda normalmente é utilizada para comparardiferentes células Pockels, pois, quanto menor o valor deVπ , menor é a tensão necessária para alimentá-la; por exemplo, quando são empregadas em telecomunicações, esta é uma característica desejável. Entretanto, para medições em altas tensões é necessário que a célula Pockels possua alto valor deVπ , algo da ordem de dezenas de kV. O valor deVπ pode ser estimado substituindo-se em (40) os parâmetros do LiNbO3 forne- cidos pela literatura emλ = 632,8 nm (YARIV; YEH, 1984):no = 2,286;ne = 2,2; r13 = 9,6 pm/V e r33 = 30,9 pm/V. Um dos cristais utilizado neste trabalho (abordado no Capítulo 4) é tal qued = 1,1 mm eL = 50,025 mm, o que conduz aVπ = 64,92 V. Pode-se também obterφ(t), substituindo-se (40) em (39), obtendo-se assim: φ(t) = π Vπ V(t) . (41) Nota-se em (41) que, para um mesmo valor de tensão aplicadaV(t), quanto menor oVπ , maior será o retardo de fase induzidaφ(t), e vice-versa. Uma outra configuração do sensor eletro-óptico, ilustrada no esquema da Figura 7, está associada ao segundo caso abordado no capítulo 2. Esta célula tem o campo elétrico externo agora aplicado na direção Y do cristal e o feixe delaserpropaga-se na direção do eixo óptico Z. Optou-se em trabalhar com o feixe delaserpropagando-se ao longo do eixo óptico Z pois não há ocorrência da birrefringência natural, mas apenas a birrefringência induzida como apresentado a 2.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO 40 seguir. Nesta configuração a variação doVπ por efeito da temperatura é uma ordem de grandeza menor que aquela onde há a ocorrência da birrefringência natural, tornando-a menos susceptível ao desvanecimento do sinal (embora sofra o efeito da “birrefringência linear”). Figura 7 - Esquema do sensor eletro-óptico de amplitude com campo elétrico externo aplicado em Y e propagação óptica em Z. Fonte: Elaboração do autor. O procedimento de alinhamento é similar ao realizado com a célula Pockels mencionada anteriormente. Assim, projetando-se a luz de saída sobre umanteparo obtêm se uma imagem similar à apresentada na Figura 8, na qual observa-se um pequeno “spot”do feixe principal do laserno centro da figura, indicando que o sistema está alinhado. Figura 8 - Padrão de interferência experimental devido ao espalhamento da luz no cristal. Fonte: Elaboração do autor. Objetivando-se determinar a intensidade óptica dada pela equação (32), calcula-se o novo 2.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO 41 retardo eletro-óptico para um campo óptico que possua polarização linear a 45o do eixoX1 (X) ou X2 (Y) (de forma que excitem-se os modos de polarização nas direções dos eixosX1 e X2 com iguais amplitudes): ∆Ψ′ = ( K ′(1)−K ′(2) ) L , (42) sendo queK ′(1) e K ′(2) são os módulos dos vetores de onda para as polarizações ópticas nas direçõesX1 eX2, respectivamente, eL é o comprimento do cristal na célula Pockels. Os dois modos de propagação, com vetor deslocamento elétrico paralelo aos eixosX1 eX2, possuem vetores de onda cujos módulos são: K′(1) = 2π λ nX1 ′ , K′(2) = 2π λ nX2 ′ . (43) Substituindo-se os termosnX1 ′ enX2 ′ em (43) pelos índices de refração em (31), respectiva- mente, e o resultado na equação (42), é possível obter o retardo eletro-óptico induzido para esta configuração: ∆Ψ′ = 2π λ (n3 or22)E2L = φ ′(t) . (44) Observa-se que nesta configuração não há ocorrência da birrefringência natural (ou seja, φ ′ 0 = 0) mas apenas a birrefringência induzida, o que faz, por exemplo, que esta nova configu- ração possua maior imunidade ao desvanecimento do sinal devido às variações de temperatura ambiental. Substituindo-se (38) em (44), verifica-se que o retardo eletro-óptico induzido pode ser de- finido como: φ ′(t) = 2π λ (n3 or22) L d V(t) . (45) Partindo-se da equação (45), obtém-se a tensão de meia-ondaVπ , substituindo-seφ ′(t) = π eV(t) =Vπ : Vπ = λ 2n3 or22 · d L . (46) Conhecidos todos os parâmetros do material, torna-se possível encontrar o valor teórico de Vπ . Assim, dados o comprimento de onda dolaserde Hélio-Neônioλ = 632,8 nm, o índice de 2.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO 42 refraçãono = 2,286, o coeficiente eletro-ópticor22= 6,8 pm/V, e, considerando que o segundo cristal usado neste trabalho tem dimensõesL = 10,258 mm ed = 9,924 mm (comprimento e espessura do cristal, respectivamente), calcula-seVπ = 3,768 kV. A intensidade óptica detectada pelo fotodetector em ambas as configurações apresentadas anteriormente, dada em (32), também pode ser apresentada naseguinte forma: I(t) = Io 2 {1−cos∆Ψ} = Io 2 {1−cos[φ(t)+φo]} , (47) o que corresponde a um sinal PM (Phase Modulation) sem portadora (CARLSON; CRILLY; RUTLEDGE, 2002). A informação sobre o valor instantâneo da tensãoV(t), a qual está inserida emφ(t), é transmitida a um receptor para posterior recuperação. Uma maneira simples de se extrairφ(t) de (47) pode ser implementada quando sua mag- nitude é muito pequena. Por exemplo, seja o caso ondeφ(t) = xsenωst, parax<< 1 rad eωs é a frequência do sinal. O parâmetrox costuma ser denominado como índice de modulação de fase. Neste caso, o problema constitui em se medirφ(t) dado que o sinalI(t) é amostrado pelo sistema de aquisição de dados. Na técnica chamada de detecção de sinal de baixo índice de modulação, ajusta-se o sistema óptico para queφ0 seja igual aπ/2 rad. Isto pode ser estabelecido, por exemplo, selecionando- se o valor adequado deL em (37). Quando não existir o termo de birrefringência natural φ0, pode-se usar uma lâmina de quarto-de-onda (λ/4) (YARIV; YEH, 1984). Nesta situação, (47) torna-se I(t) = Io 2 { 1+cos [ φ(t)+ π 2 ]} = Io 2 {1−senφ(t)} . (48) Comox << 1 rad, conclui-se queφ(t) << 1 rad, tal que, pode-se aproximar: senφ(t) ∼= φ(t). Desta forma, suprimindo-se a parcela DC de (48), obtém-se oseguinte sinal de saída ∆I(t)∼=− Io 2 φ(t) ∼=− Io 2 xsenωst . (49) Portanto, o sinal de saída fotodetectado é proporcional aφ(t). Inclusive, esta técnica pode ser implementada para casos ondeφ(t) tem forma de onda arbitrária, desde que seu valor má- ximo seja pequeno<< 1 rad. 2.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO 43 Entretanto, conforme foi discutido, a faseφ0 pode variar sensivelmente ao longo do tempo devido às derivas térmicas ambientais. Comox<< 1 rad, e,φ0 pode variar 1 rad/oC, a medição deφ(t) diante do desvanecimento de sinal constitui um problema bastante sério. Para ter se uma noção desta dificuldade, considere-se uma situação ondeφ0 se desvia aleatoriamente a partir de π/2 rad, atingindo 2π rad após alguns minutos. Com isso, (47) torna-se I(t) = Io 2 {1+cos[φ(t)+2π]} = Io 2 {1+cosφ(t)} . (50) Comox << 1 rad, então,φ(t) << 1 rad, e assim, cosφ pode ser expandido em série de Taylor: cosφ = 1− φ2 2! + φ4 4! −·· · , |φ |< 1 (51) Diante disso, (50) pode ser escrito como: I(t)∼= Io 2 { 1− φ2(t) 2 } ∼= Io 2 { 1− x2 2 sen2ωst } ∼= Io 2 { 1− x2 2 1−cos2ωst 2 } ∼= Io 2 {[ 1− (x 2 )2 ] + (x 2 )2 cos2ωst } , (52) na qual empregaram-se apenas os dois primeiros termos da série de Taylor (51). Suprimindo-se a parcela DC de (52), obtém-se o seguinte sinal de saída: ∆I(t)∼= Io 2 (x 2 )2 cos2ωst , (53) uma expressão muito diferente de (49). Este resultado revela que, paraφ0 = 2π rad, o si- nal detectado não mais corresponde aφ(t) = xsenωst, mas sim, a uma versão distorcida, com amplitudex2 e com elevado conteúdo de segunda harmônica. Na verdade, considerando que x<< 1 rad, então,x2 deve tender a zero. Ou seja, para uma aproximação em primeiraordem, o sinal fotodetectado∆I(t) praticamente se anula. Daí, o nome deste fenômeno, qual seja, des- vanecimento, uma designação relacionada ao ato de sumir, apagar ou desaparecer, quandoφ0 varia devido a derivas ambientais, e se aproxima de 0,π, 2π, etc. Deve-se registrar que o desvanecimento é o grande desafio nesta área da instrumentação 2.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO 44 eletrônica. O problema pode ficar ainda mais complicado nos casos ondex é elevado, no qual, mesmo quandoφ0 = π/2 rad, o sinal de saída∆I(t) não é mais proporcional aφ(t). De fato, casos em queφ(t) > π/2 rad conduzem a sinais∆I(t) contendo vários ciclos de oscilação para um único ciclo deφ(t) = xsenωst. O caso (S3, I3) mostrado na Figura 9 corresponde a esta situação, sendo S3 o sinal senoidal de entrada e I3 o sinal de saída. O caso (S1, I1) corresponde a situação em quex<< 1 rad eφ0 = π/2 rad, e, o caso (S2, I2), a situação em quex<< 1 rad eφ0 ∼= 2π, e que foram discutidos ainda há pouco. Figura 9 - Exemplos de sinais de entrada e saída do interferômetro. ID f Fonte: (CHANG et al., 2007). Objetivando detectar a fase óptica induzida por tensão,φ(t), inserida no argumento da função cosseno da expressão (47), e diante da variação aleatória deφ0, a utilização da técnica de demodulação de sinais em quadratura de fase torna-se bastante adequada. Durante grande parte do trabalho de mestrado do autor Pereira (2013), houve intenso envol- vimento teórico e experimental com interferometria ópticadedicada à medição de nanodesloca- mentos em atuadores piezoelétricos, bem como, com o método de demodulação por quadratura de fase. Nesse período, foram desenvolvidos trabalhos em conjunto com Lemes (2014), e que obteve contribuições para o processo de desdobramento de fase (ouphase-unwrapping) em interferômetro de quadratura. Graças a esse aprendizado, no doutorado, percebeu-se que a me- todologia poderia ser adaptada ao caso do sensor eletro-óptico de alta tensão, mesmo que este possuísse um único sinal de saída, ao contrário do interferômetro de quadratura cujo processo de demodulação opera com dois sinais de saída defasados de 90o. Para isso, condicionou-se a saída única do sensor de tensão para que este pudesse gerar asaída dupla. Além disso, os processamentos dos sinais de saída foram realizados por placa DSP, tornando o sistema relati- vamente mais veloz aos executados até então, que processavaos sinais em Matlab (PEREIRA, 2013). 2.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO 45 Visando fornecer subsídios ao leitor apresenta-se, no próximo capítulo, o método de de- tecção por quadratura de fase convencional, primeiramenteem interferometria na medição de deslocamento mecânico e, em seguida, em um sensor eletro-óptico de amplitude para medições de alta tensão, de modo a se obter uma comparação com a técnicainédita que será proposta no capítulo 4. 46 3 O MÉTODO DE QUADRATURA DE FASE As atividades narradas a seguir fazem parte dos desenvolvimentos iniciais do doutorado, nas quais adaptou-se o método de quadratura de fase para um sensor eletro-óptico de alta tensão operando em malha aberta. Embora ohardwareóptico seja simples, algoritmos para correção de quadratura e dephase-unwrappingdesenvolvidos por Lemes (2014), para medição de nano deslocamento, foram necessários. 3.1 INTERFERÔMETRO VOLUMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE Amplamente utilizadas na área de metrologia dimensional, as técnicas de interferometria em quadratura fornecem informações da amplitude e direção do deslocamento da amostra (RIP- PER, 2005). Os interferômetros homódinos de quadratura são estruturas passivas adaptadas para o uso de óptica polarizada que fornecem sinais de saídasdefasados de 90o. Processando eletronicamente esses sinais de saída, obtém-se o índice demodulação de fase independente- mente das derivas ambientais descritas porφ0(t) (WU et al., 1996; WIERZBA; KOSMOWSKI, 2005). A obtenção de dois sinais em quadratura de fase requer que o feixe delasermude de pola- rização várias vezes ao percorrer os ramos do interferômetro. Isso normalmente é feito à custa da adição de diferentes dispositivos ópticos. Sendo assim,as configurações dos interferôme- tros homódinos de quadratura são geralmente mais complexasdo que as dos interferômetros convencionais (LEMES, 2014). Um dos interferômetros de quadratura de alinhamento mais simples é o interferômetro de Michelson modificado de Gollwitzer, Haugg e Fischerauer (2009), apresentado na Figura 10. Observa-se na figura a presença de componentes ópticos como:Laser[L]; Lâminas retardadoras de quarto-de-onda [λ/4]; Divisor de faixes neutros 50:50 [BS1] e [BS2]; Polarizadores [P1] e [P2]; Lentes expansoras [A1] e [A2]; Espelhos [M] e [S]; Fotodetectores [D1] e [D2] para a conversão dos sinais luminosos em sinais elétricos. Tambémverifica-se a lente convergente [A], utilizada para focalizar o feixe de sinal na superfícieda amostra com o intuito de reduzir o espalhamento da luz. Uma lâmina deλ/4 é um dispositivo óptico que proporciona um retardo de fase deπ/2 rad entre os modos rápido e lento que se propagam através dela. Isto equivale a acrescentar um “bias” (desvio de fase) deπ/2 rad no argumento da função cosseno em (47). Na configuração ilustrada na Figura 10, olaser [L] é ajustado para que sua polarização seja posicionada em 0o ou 90o em relação ao plano da mesa óptica. Com isso, consegue-se que os 3.1 INTERFERÔMETRO VOLUMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 47 feixes delaser, nos ramos sensor e de referência, sejam ortogonais entre siao saírem de [BS1] rumo a [BS2]. Figura 10 - Interferômetro de Michelson modificado para gerar sinais em quadratura de fase. Fonte: (LEMES, 2014). O feixe delaserao incidir em [BS1] é dividido e segue por caminhos distintos. A parte que segue pelo ramo de referência, passa por uma lâmina [λ/4] (com o eixo lento orientado a 45o em relação à mesa óptica), e agora, com polarização circular, o feixe de luz incide no espelho [M]. Após a reflexão, o feixe ao atravessar novamente a lâminade [λ/4] muda a polarização, de circular para vertical e, ao retornar a [BS1], é transmitido à [BS2]. O outro feixe segue pelo ramo sensor, incide na superfície refletora da amostra [S] emanálise, e, retorna à [BS1] onde é refletido em direção à [BS2]. Em seguida, cada um dos feixes ortogonais que emergem de [BS1] têm a sua intensidade óptica dividida ao meio ao passar por [BS2], e seguem adiante pelo Ramo 1 e pelo Ramo 2, como mostrado na Figura 10. No Ramo 1, o feixe sensor e o feixe dereferência são analisados por [P1] (polarizador em 45o) para que ocorra a interferência entre seus respectivos campos, e, a seguir, são detectados pelo fotodetector [D1]. No Ramo 2,os feixes passam por outra 3.1 INTERFERÔMETRO VOLUMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 48 lâmina [λ/4] (cujo eixo lento está alinhado de modo a produzir uma defasagem de 90o no feixe sensor), são analisados por [P2] (polarizador em 45o) e, em seguida, são detectados pelo fotodetector [D2]. Os sinais fotodetectados por [D1] e [D2]estão em quadratura de fase. O uso de lentes expansoras [A1] e [A2] são úteis para se expandir osfeixes antes de incidirem nos fotodetectores (LEMES, 2014). Os sinais interferométricos de saída do interferômetro de Michelson modificado para operar em quadratura de fase, fotodetectados por [D1] e [D2], são dados por: I1(t) = I0 8 { 1+V cos [ φ(t)+φ0+ π 2 ]} = I0 8 {1−Vsen[φ(t)+φ0]} , (54) e I2(t) = I0 8 {1−V cos[φ(t)+φ0]} , (55) sendo queI0 é a potência óptica da fonte delaser e V (sendo 0< V < 1) o fator referente à visibilidade, sendo incorporado às expressões de forma “ad-hoc” para levar em conta as não idealidades da formulação e desalinhamentos ópticos. Aplicando-se um sinal de modulação∆φ(t), e, supondo inicialmente que não haja atraso de fase na conversão de sinal óptico para elétrico, os dois sinais em quadratura podem ser escritos na forma geral como (RIPPER, 2005; VELDMAN, 2003; DOBOSZ; USUDA; KUROSAWA, 1998): v1(t) = A1{1+V1cos[∆φ(t)+φ0]} , (56) e v2(t) = A2{1+V2sen[∆φ(t)+φ0+Θ]} , (57) sendo que os fatoresAi eVi (parai = 1, 2) são, respectivamente, os fatores de proporcionalidade do circuito fotodetector e visibilidade das franjas de interferência. O termo de faseΘ refere-se a desvios eventuais da condição de quadratura que ocorrem na prática, devido as não idealidades dos componentes ópticos do interferômetro, bem como, da má localização dos fotodetectores em pontos não complementares nas figuras de franjas de interferência. As grandezasA1 e A2 dependem das potências ópticas nos ramos 1 e 2 após o divisor de feixes BS2 da Figura 10, e também, das responsividades de tensão dos fotodiodos D1 e D2, e, 3.1 INTERFERÔMETRO VOLUMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 49 dos ganhos dos sistemas de aquisição de dados. Por sua vez,V1 eV2 estão relacionadas com o contraste das franjas de interferências. Caso ocorra uma ou mais das desigualdades:A1 6= A2, V1 6=V2 eΘ 6= 0 , ao se visualizar os sinais descritos em (56) e (57) no modo XY de um osciloscópio,tem-se uma figura de Lissajous com forma de uma elipse. Em condições ideais, têm-seA1 = A2, V1 = V2 e Θ = 0 e assim, a figura de Lissajous que se obtém é a de um círculo, tal como se ilustra na Figura 11. Contudo, devido às primeiras parcelas constantes em (56) e (57), estecírculo não deve estar no centro da tela desse osciloscópio. Figura 11 -Figura de Lissajous obtida de dois sinais interferométricos em quadratura perfeita. Fonte: (LEMES, 2014) Considerando-se condições ideais de quadratura, isto é,A1 = A2 = A, V1 =V2 =V eΘ = 0, e removendo-se as primeiras parcelas do lado direito de (56)e (57), pode-se reescrevê-las como: v1(t) = AVcos[∆Ψ(t)] , (58) e v2(t) = AVsen[∆Ψ(t)] , (59) sendo∆Ψ(t) = ∆φ(t)+φo , ou seja, a fase óptica total do sinal interferométrico de saída. De (58) e (59), pode-se extrair a fase óptica total do sinal interferométrico calculando-se: ∆Ψ(t) = tan−1 [ v2(t) v1(t) ] (60) Observa-se em (60) que o fatorAV é cancelado diante a divisão dev2(t) por v1(t). Isto 3.1 INTERFERÔMETRO VOLUMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 50 significa que o cálculo da fase não depende das potências ópticas nos ramos 1 e 2 da Figura 10, dos ganhos dos fotodiodos D1 e D2, ou das visibilidades das franjasV1 eV2. Portanto, segundo (60), a diferença de fase total entre doisinstantes de tempo corresponde ao arco da rotação dada por∆Ψ(t) num sistema de coordenadasv1×v2. Apresenta-se na Figura 12 o arco obtido com os dois sinais de saída em quadratura. Observa-se que, quando um dos sinais de tensão elétrica é nulo, o outro é máximo. Figura 12 -Medição deΨ(t) através de dois sinais em quadratura. Fonte: (LEMES, 2014) Os gráficos da Figura 12 não variam com∆φ(t) ou φ0 individualmente, mais sim, com a soma∆Ψ(t) = ∆φ(t) + φ0. Ora, o sinal∆φ(t) é variável no tempo por razões óbvias, e, φ0 = φ0(t) varia aleatoriamente no tempo devido a deriva de temperatura. No entanto, sendo ∆Ψ(t) a mesma função presente emv1(t) e v2(t), o resultado na Figura 12 será sempre um círculo. Esta característica faz com que a determinação de∆Ψ(t) não seja prejudicada pelo desvanecimento de sinal causado pelo comportamento aleatório deφ0(t). Entretanto, a equação (60) é válida apenas quandov1(t) ev2(t) estão em condições ideais de quadratura e, sendo assim, antes de se extrair∆Ψ(t), necessita-se realizar correções nos sinais descritos em (56) e (57) para casos práticos (VELDMAN, 2003). De fato, na prática poderá ocorrerA1 6= A2, V1 6= V2 e Θ 6= 0 devido, por exemplo, à di- ferenças nas responsividades dos fotodiodos D1 e D2 na Figura 10, à diferentes ganhos nos sistemas de aquisição de dados, à taxas diferentes de 50% no divisor de feixes BS2, à pequenos desalinhamentos no sistema óptico, dentre outros. Na Figura 13a ilustra-se um exemplo típico 3.1 INTERFERÔMETRO VOLUMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 51 de figura de Lissajous obtida na prática. A figura resultante não é circular (é elíptica) e não está centrada na origem da tela do osciloscópio. Figura 13 -Figura de Lissajous de sinais simulados: a) Sinais com erros de quadratura; b) Sinais após a correção de quadratura. Fonte: (LEMES, 2014) De acordo com Lemes (2014), a figura de Lissajous na Figura 13aé o resultado das equa- ções paramétricas: v1 ′(n) = v1(n)+ p, (61) e v2 ′(n) = 1 r [v2(n)cosΘ−v1(n)senΘ]+q, (62) sendor a razão entre os diferentes ganhos dos dois canais de conversão opto-elétrica (isto é, de D1 e D2 na Figura 10),Θ é o desvio da quadratura [ver equação (57)], e,p eq são osoffsetsde cada canal. As funçõesv1(n) e v2(n) são os sinais interferométricos ideais, em quadratura de fase [ver equações (58) e (59)] amostradas nos instantes de tempon = 1,2,3... Deseja-se converter a elipse dada por (61) e (62) no círculo da Figura 13b, cuja forma ideal 3.1 INTERFERÔMETRO VOLUMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 52 seria: v2 1c(n)+v2 2c(n) = R2 , (63) sendoRo raio do círculo. Esta equação podem ser reescrita em termosdev1 ′(n) ev2 ′(n) dadas em (61) e (62), como: [ v1 ′(n)− p ]2 + { [v2 ′(n)−q]r2+[v1 ′(n)− p]senΘ cosΘ }2 = R2 , (64) substituindo-se as expressões dev1 ′(n) ev2 ′(n) em (64), obtém-se (63). Por outro lado, a equação geral da elipse mostrada na Figura 13a pode ser escrita como: A[v1 ′(n)]2+B[v2 ′(n)]2+C[v1 ′(n)v2 ′(n)]2+Dv1 ′(n)+Ev2 ′(n) = 1, (65) a qual, comparada com (64) resulta: A= (R2cos2Θ− p2− r2q2−2rpqsenΘ)−1 , B= Ar2 , C= 2ArsenΘ , D =−2A(p+ rqsenΘ) , E =−2Ar(rq+ psenΘ) . (66) O círculo corrigido mostrado na Figura 13b pode ser determinado a partir dos coeficientes A, B, · · · , E, e com o auxílio do método de mínimos quadrados, a fim de se obter outro conjunto de coeficientesa, b, · · · , e, conforme discutido a seguir. Assim, utilizando-se do algoritmo de Heydemann (1981), obtém-se os seguintes sinais com a quadratura corrigida: v1c(n) = v1 ′(n)− p′ , (67) e v2c(n) = 1 cosΘ′ [ (v1 ′(n)− p′) ·senΘ′+ r ′(v2 ′(n)−q′) ] , (68) sendov1c ev1c os vetores corrigidos dos sinais fotodetectados, e 3.1 INTERFERÔMETRO VOLUMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 53 Θ′ = sen−1 [ c(4ab)−1/2 ] , r ′ = ( b a )−1/2 , p′ = (2bd−ec)/(c2−4ab) , q′ = (2ae−dc)/(c2−4ab) , (69) nas quaisa, b, · · · , esão soluções do produto matricial:         a b c d e         = { [X]T [X] }−1 [X]T [I] , (70) sendo[I] a matriz identidade, e [X] =         [v1 ′(t0)] 2 [v2 ′(t0)] 2 v1 ′(t0)v2 ′(t0) v1 ′(t0) v2 ′(t0) [v1 ′(t1)] 2 [v2 ′(t1)] 2 v1 ′(t1)v2 ′(t1) v1 ′(t1) v2 ′(t1) [v1 ′(t2)] 2 [v2 ′(t2)] 2 v1 ′(t2)v2 ′(t2) v1 ′(t2) v2 ′(t2) [v1 ′(t3)] 2 [v2 ′(t3)] 2 v1 ′(t3)v2 ′(t3) v1 ′(t3) v2 ′(t3) [v1 ′(t4)] 2 [v2 ′(t4)] 2 v1 ′(t4)v2 ′(t4) v1 ′(t4) v2 ′(t4)                 A B C D E         , (71) para instantes de tempot0, t1, · · · , t4. Após realizar as correções de quadratura dos sinais por (67)e (68), pode-se extrair a fase óptica total interferométrica∆Ψ(t) por meio de (60). Entretanto, devido à função arco tangente ser a inversa de uma função trigonométrica (periódica), nota-se queΨ(t), calculada por progra- mas como o Matlab, terá descontinuidades conforme varia no tempo (uma vez que se trata de uma "função de múltiplos valores"). Na Figura 14a, ilustra-secomo seria a resposta gerada em Matlab quando a fase∆Ψ(t) tem a forma de uma senoide. Isto acontece porque, por definição, a função arco-tangente varia somente entre−π/2 e+π/2 rad. 3.1 INTERFERÔMETRO VOLUMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 54 Figura 14 -Processo dephase unwrapping.(a) Função (60) obtida pelo Matlab. (b) Função (72) com phase unwrapping. Fonte: (RIPPER, 2005) Sendo assim, a série discreta no tempo da fase interferométrica total recuperada é calculada corretamente por: ∆Ψr(n) = tan−1 [ v2c(n) v1c(n) ] +mπ (72) sendo quem é um inteiro que deve ser determinado para que não ocorram descontinuidades. Este processo é denominado dephase-unwrapping(desdobramento de fase). Em trabalhos preliminares, realizados no LOE, utilizou-seo interferômetro de quadratura fotografado na Figura 15, sendo este uma variante do ilustrado no diagrama de blocos da Figura 10, no qual, as lentes [A1] e [A2] foram substituídas pela lente expansora [A], agora posicionada entre os divisores de feixe [BS1] e [BS2]. 3.1 INTERFERÔMETRO VOLUMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 55 Figura 15 - Montagem experimental do interferômetro de Michelson em quadratura. Fonte: Elaboração do autor. sendo: 1. Laserde Hélio Neônio (He-Ne) (JDSU-1135P, 10 mW), operando emλ = 632,8 nm, com potência nominal de 10 mW (L); 2. Divisor de feixes, neutro, com taxa de 50:50 (BS1); 3. Lâmina deλ/4 de onda; 4. Espelho de referência fixado a um dispositivo de ajuste angular tridimensional para ali- nhamento do interferômetro (M); 5. Atuador piezoelétrico flextensional fixado em um suporte de modo a não alterar os des- locamentos que a piezocerâmica transfere à estrutura metálica flexível (S); 6. Lente expansora (A); 7. Divisor de feixes, neutro, com taxa de 50:50 (BS2); 8. Polarizador (P1); 9. Fotodetector de lei quadrática do tipo PIN de silício, modelo PDA 55 da Thorlabs (D1); 10. Lâmina deλ/4 de onda; 11. Polarizador (P2); 3.1 INTERFERÔMETRO VOLUMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 56 12. Fotodetector de lei quadrática do tipo PIN de silício, modelo PDA 55 da Thorlabs (D2); 13. Breadboard. A aquisição e o processamento dos sinais em quadratura foramrealizados utilizando-se uma placa DSP eZdsp TMS320F28335 da Texas Instruments. Observa-se na Figura 16 os sinais típicos de saída interferométricos (normalizados)adquiridos pelo DSP, quando um sinal senoidalφ(t) de 1 kHz é aplicado ao atuador piezoelétrico que está conectado a um gerador de funções. Não existe uma proporção direta entreφ(t) e os sinais fotodetectados, em vista de se trabalhar em regime de multi-franjas (φ(t)≫ π/2 rad) e à natureza não linear do interferômetro. Isto torna o processo de demodulação mais complexo que o estudado na seção 2.2 (com baixo índice de modulação). Figura 16 - Sinais de saída interferométricos sem correção. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Tempo [ms] A m pl itu de N or m al iz ad a Vsin Vcos Fonte: Elaboração do autor. Observa-se que os sinais possuem amplitudes diferentes devido a vários fatores como, por exemplo, os diferentes ganhos dos dois fotodetectores, perdas de potência óptica nos diferentes ramos do interferômetro devido às não idealidades dos componentes ópticos utilizados, e outros. Desta forma, a figura de Lissajous gerada pelos sinais da Figura 16 é a apresentada na Figura 17. Como pode-se observar, a figura de Lissajous não está centrada na origem, e, possui a forma de uma elipse, ao contrário do desejado, ou seja, um círculo. 3.1 INTERFERÔMETRO VOLUMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 57 Figura 17 - Figura de Lissajous dos sinais de saída interferométricos sem correção. 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Vsin [V] V co s [V ] Fonte: Elaboração do autor. Após a aquisição dos sinais, como os observados na Figura 16,procede-se à correção da condição de quadratura, conforme o procedimento descrito em (LEMES, 2014) usando o mé- todo de mínimos quadrados. O resultado da correção pode ser observado na Figura 18. Figura 18 - Sinais de saída interferométricos após a correção. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 −1 −0,8 −0,6 −0,4 −0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Tempo [ms] A m pl itu de N or m al iz ad a Vsin Vcos Fonte: Elaboração do autor. Como pode-se verificar na figura de Lissajous na Figura 19, o processo de correção dos sinais interferométricos de saída em quadratura de fase, mostrou-se satisfatório. 3.1 INTERFERÔMETRO VOLUMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 58 Figura 19 - Figura de Lissajous dos sinais de saída interferométricos após a correção. −1 −0,5 0 0,5 1 −1 −0,5 0 0,5 1 Vsin [V] V co s [V ] Fonte: Elaboração do autor. A determinação da faseφ(t) presente em (54) e (55) pode ser obtida pelo método clássico de arco-tangente (RIPPER, 2005) seguido do algoritmo dephase-unwrapping(LEMES, 2014). Observa-se, na Figura 20, sinais reconstruídos pelo métododephase-unwrapping, aplicando- se duas formas de processamento: usando a aquisição de sinais por osciloscópio e processa- mento em Matlab, e, usando DSP (PEREIRA, 2013). Nota-se que houve boa concordância entre os sinais adquiridos pelo osciloscópio (Vermelho) e pelo DSP (Preto). Figura 20 - Gráfico com os sinais reconstruídos em Matlab e adquiridos pelo osciloscópio e pelo DSP, apresentando o índice de modulação de um sinal senoidal de 1 kHz. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 Tempo [ms] Ín di ce d e m od ul aç ão [r ad ] OSC. DSP Fonte: Elaboração do autor. 3.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 59 A principal vantagem de utilizar o interferômetro configurado em quadratura de fase está no fato de ser imune ao desvanecimento dos sinais em decorrência das derivas ambientais como, por exemplo, a variação da temperatura ambiente. Essa variação da temperatura provoca di- latação térmica nos componentes, e assim, causa variações nos comprimentos dos braços dos interferômetros, alterando-se a fase quase- estáticaφ0 em (54) e (55). 3.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE Como abordado na seção 2.2, nos interferômetros polarimétricos à base de célula Pockels, a variação da temperatura atua diretamente no sinal interferométrico de saída provocando o desvanecimento dos sinais. Uma maneira de tornar a detecçãoimune ao desvanecimento é empregando o método de quadratura. Diante disso e pelos resultados bem sucedidos obtidos com o interferômetro em quadratura de fase apresentado na seção 3.1, em outra etapa da pesquisa utilizou-se um sensor eletro-óptico de amplitude configurado para a obtenção de sinais em quadratura de fase. Neste capítulo, o mesmo será designado por Sensor Óptico de Tensões (SOT). Talconfiguração é semelhante às das Figuras 5 e 7, somente diferenciando-se após o cristal deLiNbO3, conforme o esquema apresentado na Figura 21. Figura 21 - Esquema do sensor eletro-óptico de amplitude comsinais de saída em quadratura de fase. P A2 A1BS Célula Pockels de LiNbO3 PD2 Laser PD1 Fonte: Elaboração do autor. A obtenção de sinais em quadratura de fase é possível pela inserção de alguns componentes ópticos adicionais: divisor de feixe neutro 50:50 [BS]; lâmina de quarto-de-onda [λ/4], com o eixo rápido alinhado à 90o da mesa óptica; polarizadores (Analisadores) [A1] e [A2] dispostos à 90o em relação ao polarizador [P]; fotodetectores [PD1] e [PD2]para a conversão do sinal 3.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 60 luminoso em sinal elétrico. Ao sair do cristal, a luz incide em [BS] e divide-se em dois feixes, sendo que um deles passa pelo analisador [A1] e incide no fotodetector [PD1], e o outro, passa pela lâmina [λ/4], pelo analisador [A2] e incide ao fotodetector [PD2]. Conforme já foi des- crito, uma lâmina deλ/4 é um dispositivo que proporciona um retardo de fase deπ/2 rad entre os modos rápido e lento que se propagam através dela. Isto equivale a acrescentar um “bias” de π/2 rad no argumento da função cosseno em (47). Tal como ilustrado na Figura 21, uma das trajetórias que o feixe de laser percorre não contém a lâmina deλ/4, desta forma, a intensidade óptica detectada pelo fotodetector [PD1] é dada pela equação (47) -I(t) = Io/2{1−cos[φ(t)+φo]}; já na outra trajetória a intensidade óptica detectada pelo fotodetector [PD2] é dada por: I(t) = Io 2 { 1−cos [ φ(t)+φo+ π 2 ]} = Io 2 {1−sen[φ(t)+φo]} . (73) Como se observa, as parcelas variáveis no tempo de (47) e (73) estão em quadratura de fase, e podem ser amostradas por osciloscópios de dois canais a fim de se determinar a fase óptica φ(t), a qual é proporcional à tensão que se deseja medir,V(t) em (41). Por fim, é importante reconhecer que a fase total∆Ψ(t) = φ(t) + φ0 varia apenas para perturbações que acontecem entre o polarizador [P] e o divisor de feixes [BS] na Figura 21. Com isso,∆Ψ(t) será detectado tanto por [PD1] quanto por [PD2], e, perturbações nos trechos de saída não alteram esta fase de modo-comum. Na Figura 22 pode-se observar a montagem experimental do sensor eletro-óptico de am- plitude configurado em quadratura de fase e implementado no LOE, sendo: 1)Laserde Hélio Neônio (He-Ne) da Lasos, modelo LGK 7628, operando no espectro visível comλ = 632,8 nm e com potência nominal de 15 mW, 2) Polarizador, 3) Célula Pockels fixada em estágios de rotação e translação, 4) Polarizador (Analisador), 5) Lâmina deλ/4 de onda , 6) Divisor de faixe neutro (50:50), 7) Condutores de sinais de alta tensão,8) Polarizador (Analisador), 9-10) Fotodetectores de lei quadrática do tipo PIN, de silício, modelo PDA 55 da Thorlabs. 3.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 61 Figura 22 - Montagem experimental do SOT em quadratura para alta tensão. Fonte: Elaboração do autor. A fim de verificar o desempenho desta proposta na demodulação pelo método dephase- unwrapping, sintetizou-se um sinal senoidal com frequência de 60 Hz e tensão em torno de 5 kV de pico, como mostrado na Figura 23. O sinal de alta tensão foi medido com uma ponta de prova calibrada da Tektronix (modelo P6015A). Pela análise do gráfico, observa-se que os sinais, de tensão de entrada e reconstruído (obtido por meioda expressão (41),V(t) = Vπ π φ(t), medindo-seφ(t) e paraVπ = 3,768 kV), possuem boa concordância, constatando a eficácia da montagem do sensor em quadratura de fase. 3.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 62 Figura 23 - Gráfico com os sinais senoidais de entrada e reconstruído em altas tensões adquiri- dos do SOT. 0 10 20 30 40 50 −6 −4 −2 0 2 4 6 Tempo [ms] T en sã o [k V ] Entrada Reconstruído Fonte: Elaboração do autor. Para verificar a capacidade do sensor em reproduzir com certafidelidade o sinal de alta tensão aplicado, mesmo com elevado conteúdo de harmônicos superiores, aplicou-se um sinal com forma de onda triangular. Porém, devido à limitada largura de banda do sistema de elevação de tensão empregado (um simples transformador eletromagnético), a forma de onda possui o aspecto apresentado na Figura 24. Independentemente disso, os sinais de entrada e reconstruído estão em perfeita concordância, novamente comprovando a eficiência do método de quadratura. Figura 24 - Gráfico com os sinais de entrada e reconstruído adquiridos de uma forma de onda triangular distorcida. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Tempo [ms] T en sã o [k V ] Entrada Reconstruído Fonte: Elaboração do autor. 3.2 INTERFERÔMETRO POLARIMÉTRICO EM QUADRATURA DE FASE 63 Apresenta-se, na Figura 25, o espectro com informações sobre o conteúdo harmônico das formas de ondas apresentadas na Figura 24, onde nota-se que existe uma boa concordância entre as principais componentes harmônicas dos sinais de entrada e reconstruído. Ocorrem concordâncias entre as amplitudes harmônicas (ímpares) até a 11a harmônica - 660 Hz. Figura 25 - Componentes harmônicas do sinal de entrada e sinalreconstruído de uma forma de onda triangular distorcida. 60 180 300 420 540 660 780 900 1000 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 Frequência [Hz] M ag ni tu de [d B ] Entrada Reconstruído Fonte: Elaboração do autor. Na sequência, a fim de testar o sensor diante de harmônicas de ordens ainda mais elevadas, um sinal com forma de onda quadrada é então sintetizado por umgerador de funções, que ao passar pelo sistema elevador de tensão, que não possui suficiente largura de banda, conduz aos sinais observados na Figura 26. O sinal reconstruído é entãocomparado com o sinal de entrada, a qual, certamente, possui um conteúdo harmônico superior aos sinais apresentados na Figura 24. Observa-se que os sinais mostrados na Figura 26 apresentam boa concordância entre si. 3.2 IN