
Universidade Estadual Paulista
Câmpus de São José do Rio Preto

Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

Polinômios Ortogonais e L-Ortogonais
Associados a Medidas Relacionadas

Marcos Henrique Campetti

Orientador: Eliana X. L. de Andrade

Dissertação apresentada ao Instituto de Biologia, Letras e

Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista, campus

de São José do Rio Preto, como parte dos requisitos para a

obtenção do t́ıtulo de Mestre em Matemática

São José do Rio Preto

Janeiro - 2011


Campetti, Marcos Henrique.

Polinômios ortogonais e L-ortogonais associados a medidas rela-

cionadas/ Marcos Henrique Campetti. - São José do Rio Preto: [s.n.],

2011.

115 f.: il. ; 30 cm.

Orientador: Eliana Xavier Linhares de Andrade

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Insti-

tuto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

1. Análise matemática. 2. Funções hiperbólicas. 3. Polinômios

ortogonais. I. Andrade, Eliana Xavier Linhares de. II. Instituto de

Biociências, Letras e Ciências Exatas. III. T́ıtulo.

CDU - 517.587


Marcos Henrique Campetti

Polinômios ortogonais e L-ortogonais associados a medidas relacionadas

Dissertação apresentada para obtenção do t́ıtulo de

Mestre em Matemática, área de Análise Aplicada junto

ao Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

da Universidade Estadual Paulista, Campus de São

José do Rio Preto.

Banca Examinadora

Profa. Dra. Eliana Xavier Linhares de Andrade

Professor Adjunto

UNESP - São José do Rio Preto

Orientador

Prof. Dr. Fernando Akira Kurokawa

Professor Assistente Doutor

USP - São Paulo

Profa. Dra. Cleonice Fátima Bracciali

Professor Adjunto

UNESP - São José do Rio Preto

- São José do Rio Preto, 20 de Janeiro de 2011.


Aos meus pais, Antonio e Maria.

Dedico.

i


Agradecimentos

Primeiramente a Deus, que me deu a vida e a oportunidade de estudar.

Um agradecimento mais que especial à Profa. Dra. Eliana Xavier Linhares de Andrade,

pelos incontáveis esforços, carinho e apoio na orientação deste trabalho.

Aos professores de pós-graduação, Prof. Dr. Alagacone Sri Ranga e Profa. Dra. Cleonice

Fátima Bracciali pelo aux́ılio e contribuição intelectual.

À minha famı́lia que sempre me apoiou e torceu por mim, em especial à Maria Aparecida de

Jesus Munhoz que é minha mãe e ao Walter Munhoz.

A Thaisa, pela compreensão, carinho e apoio.

Ao Jaime, Gaucho, João Vitor e a Andrea que foram importantes amigos pra mim.

Aos amigos de pós-graduação Marisa, Regina e Mirela, pela amizade e contribuição intelec-

tual.

A todas as pessoas e funcionários do IBILCE que, direta ou indiretamente, contribúıram

para a elaboração deste trabalho.

À CNPq, pelo aux́ılio financeiro.

ii


Resumo

O objetivo deste trabalho é fazer um estudo das propriedades de duas sequências de polinômios,

{P ϕ0n }∞n=0 e {P ϕ1n }∞n=0, ortogonais com relação, respectivamente, às medidas dϕ0 e dϕ1, rela-

cionadas entre si, e das propriedades de duas sequências de polinômios L-ortogonais, {Bψ0
n }∞n=0

e {Bψ1
n }∞n=0, quando as medidas associadas, dψ0 e dψ1, estão também relacionadas. Para os

polinômios ortogonais, foram considerados dois casos: polinômios ortogonais associados a me-

didas simétricas relacionadas por dϕ1(x) =
c

1 + qx2
dϕ0(x) e polinômios ortogonais associados

a medidas relacionadas por (x− q) dϕ1(x) = c dϕ0(x). Como exemplo, os resultados foram apli-

cados no estudo de polinômios ortogonais de Sobolev associados a medidas simétricas como os

de Gegenbauer e Hermite, e medidas não simétricas como as de Jacobi e Laguerre. Para os

polinômios L-ortogonais, considerou-se o estudo de duas sequências de polinômios associados

a medidas positivas fortes dψ0 e dψ1 relacionadas por (z − κ) dψ1(z) = c dψ0(z). Como con-

sequência dessas propriedades, algoritmos para gerar qualquer um dos pares de coeficientes das

relações de recorrência, {αψ0
n , β

ψ0
n } ou {αψ1

n , β
ψ1
n }, dado o outro, foram dados.

Palavras-chave: polinômios ortogonais, polinômios L-ortogonais, polinômios ortogonais de

Sobolev, medidas relacionadas.

iii


Abstract

The main purpose of this work is to study some properties of two sequences of polynomials,

{P ϕ0n }∞n=0 and {P ϕ1n }∞n=0, orthogonal, respectively, with respect to the related measures dϕ0 and

dϕ1, and properties of two sequences of L-orthogonal polynomials, {Bψ0
n }∞n=0 and {Bψ1

n }∞n=0,

when the associated measures, dψ0 and dψ1, are also related. For the orthogonal polynomials,

we considered two cases: orthogonal polynomials associated with symmetric measures related

to each other by dϕ1(x) =
c

1 + qx2
dϕ0(x) and orthogonal polynomials associated with mea-

sures related by (x − q) dϕ1(x) = c dϕ0(x). As examples, the results are applied to obtain

informations regarding Sobolev orthogonal polynomials associated with symmetric measures as

Gegenbauer and Hermite measures, and non-symmetrical measures such as Jacobi and Laguerre

measures. For the L-orthogonal polynomials, we considered the study of two sequences of poly-

nomials associated with strong positive measures dψ0 and dψ1 and related to each other by

(z−κ) dψ1(z) = c dψ0(z). As a consequence of these properties, algorithms to generate any pair

of coefficients of the recurrence relations, {αψ0
n , β

ψ0
n } or {αψ1

n , β
ψ1
n }, given the other, were given.

Keywords: orthogonal polynomials, orthogonal L-polynomials, Sobolev orthogonal polynomi-

als, related measures.

iv


Sumário

1 Preliminares 4

1.1 Função gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Polinômios ortogonais na reta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Polinômios ortogonais simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 Polinômios associados aos ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Polinômios ortogonais clássicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Polinômios de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Polinômios de Gegenbauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.3 Polinômios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.4 Polinômios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Polinômios ortogonais de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1 Par coerente e simétricamente coerente de medidas . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Polinômios L-ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.1 Polinômios associados aos L-ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.2 Algumas propriedades dos polinômios L-ortogonais e associados . . . . . . 22

1.6 Frações cont́ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.1 Conexão com polinômios ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6.2 Conexão com polinômios L-ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.7 Sequências encadeadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 30

2.1 Resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Propriedades entre os coeficientes relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

v


vi

2.3 Aplicações a polinômios ortogonais de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.1 Caso I: medidas relacionadas por dψ(x) = (1+ qx2) dϕ(x). . . . . . . . 44

2.3.2 Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.3 Caso II: medidas relacionadas por dψ(x) =
1

1+ qx2
dϕ(x). . . . . . . . . 52

2.3.4 Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3 Polinômios ortogonais associados a medidas não-simétricas relacionadas 62

3.1 Resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1.1 Os coeficientes relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2 Aplicações a polinômios ortogonais de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.1 Caso I: Medidas relacionadas por −qdψ(x) = (x− q)dϕ(x) . . . . . . . . 67

3.2.2 Caso II: Medidas relacionadas por (x− q)dψ(x) = c(q)dϕ(x) . . . . . . . 73

4 Polinômios L-ortogonais associados a medidas relacionadas 80

4.1 Resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2 Polinômios L-ortogonais e os coeficientes de conexão . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3 Geração numérica dos coeficientes e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.4 Alguns resultados de monotonicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Referências Bibliográficas 113


Introdução

Entre os polinômios associados a uma relação de recorrência de três termos estão os polinômios

ortogonais e os L-ortogonais. As aplicações de tais polinômios à Análise Aplicada são muitas e

novas aplicações surgem a todo momento.

As aplicações dos polinômios ortogonais associados às chamadas medidas clássicas, como as

de Jacobi, Hermite e Laguerre, têm, particularmente, papel fundamental em muitos problemas

das ciências e das engenharias.

A introdução do problema forte de momento por Jones, Thron e Waadeland [17] abriu

caminho para o estudo de polinômios que têm propriedades semelhantes às dos polinômios

ortogonais. Existem poucos exemplos de polinômios L-ortogonais, onde as informações são dadas

explicitamente. Mas, neste trabalho, os resultados aqui estudados nos permitem construir novos

exemplos a partir de exemplos conhecidos como os mostrados na seção 4.3.

Sejam (a, b) um intervalo real, −∞ ≤ a < b ≤ ∞, e ϕ(x) uma função real limitada, não-

decrescente e com infinitos pontos de aumento em (a, b). Se os momentos definidos por

µr =

∫ b

a
trdϕ(t)

existem para r = 0, . . . , dϕ(t) é uma distribuição (medida positiva) em (a, b). Se os µr existem

para r = 0,±1±2, . . . , dϕ(t) é uma medida positiva forte em [a, b]. Se, além disso, [a, b] ⊆ [0,∞)

então dϕ(t) é uma medida positiva forte de Stieljes.

Uma sequência de polinômios {P ϕn }∞n=0 é uma sequência de polinômios ortogonais com relação

à medida positiva dϕ(x) no intervalo (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ ∞, se P ϕn é de grau exatamente n e

< P ϕm, P
ϕ
n >ϕ=

∫ b

a
P ϕm(x)P

ϕ
n (x)dϕ(x) =

 0, para m ̸= n

ρϕn > 0, para m = n

Na forma mônica, esses polinômios satisfazem à seguinte relação de recorrência de três termos:

P ϕn+1(x) = (x− βϕn+1)P
ϕ
n (x)− αϕn+1P

ϕ
n−1(x), n ≥ 1, (1)

1


Introdução 2

com P ϕ0 (x) = 1, P ϕ1 (x) = x − βϕ1 , β
ϕ
n ∈ R e αϕn+1 > 0, n ≥ 1. Uma distribuição simétrica é

aquela que satisfaz dϕ(x) = −dϕ(−x) no intervalo [−b, b], b > 0. Como consequência, na relação

de recorrência de três termos, βϕn = 0, n ≥ 1. Para maiores detalhes sobre esses polinômios veja,

por exemplo, Chihara [9].

Polinômios ortogonais de Sobolev {Sn}∞n=0 são polinômios de grau exatamente n, ortogonais

com relação ao produto interno de Sobolev dado por:

⟨f, g⟩S =

∫ b

a
f(t)g(t)dφ0(t) +

∫ b

a
f ′(t)g′(t)dφ1(t),

com dφ0(t) e dφ1(t) medidas definidas em (a, b).

Seja dψ(t) uma distribuição forte de Stieltjes, isto é, (a, b) ⊂ (0,∞). Definimos uma sequência

de polinômios L-ortogonais, {Bψ
n }∞n=0, por:

• Bψ
n (t) é mônico de grau n;

• σψn,s =
∫ b
a t

−n+sBψ
n (t)dψ(t) =

 0, se s = 0, 1, ..., n− 1,

σψn,n, se s = n.

Esses polinômios satisfazem à seguinte relação de recorrência de três termos:

Bψ
n+1(t) = (t− βψn+1)B

ψ
n (t)− αψn+1tB

ψ
n−1(t), n ≥ 1,

com Bψ
0 (t) = 1, Bψ

1 (t) = t− βψ1 e βψn , α
ψ
n+1 > 0 , n ≥ 1.

Os polinômios ortogonais e L-ortogonais apresentammuitas outras propriedades interessantes

tais como:

• Todos os seus zeros são reais e simples e pertencem ao intervalo (a, b);

• Os zeros de dois polinômios de graus consecutivos se entrelaçam;

• Seus zeros são os nós de fórmulas de quadratura de máximo grau de precisão algébrica.

O objetivo deste trabalho é estudar a conexão entre duas sequências de polinômios ortogonais

e, também, entre duas sequências de polinômios L-ortogonais.

Para os polinômios ortogonais, estudamos a conexão entre duas sequências {P ϕ0n }∞n=0 e

{P ϕ1n }∞n=0 cujas medidas associadas dϕ0 e dϕ1, se relacionam por meio de um polinômio do

primeiro ou do segundo graus, da seguinte maneira:

(x− q) dϕ1(x) = c dϕ0(x) (2)

e

dϕ1(x) =
c

1 + qx2
dϕ0(x), (3)


Introdução 3

respectivamente.

Como exemplos, os resultados são aplicados em polinômios de Sobolev. As principais re-

ferências são os artigos [6], para a relação envolvendo um polinômio de grau dois, e [7], para o

de primeiro grau. Para os polinômios L-ortogonais, estudamos a conexão entre duas sequências

{Bψ0
n }∞n=0 e {Bψ1

n }∞n=0 associados a duas medidas positivas fortes dψ0 e dψ1 definidas em [a, b].

Mais precisamente, as medidas são relacionadas por (t − κ)dψ1(t) = c dψ0(t), onde (t − κ)/c é

positivo quando t ∈ (a, b).

Para realizarmos o estudo proposto, organizamos a presente dissertação da seguinte forma.

No Caṕıtulo 1, introduzimos alguns conceitos básicos sobre função gama, polinômios ortogo-

nais na reta real, polinômios L-ortogonais, polinômios ortogonais de Sobolev, frações cont́ınuas e

sequências encadeadas. Os conceitos dados neste caṕıtulo são fundamentais para o entendimento

e desenvolvimento dos demais caṕıtulos.

No Caṕıtulo 2, estudamos as propriedades de duas sequências de polinômios ortogonais

{P ϕ0n }∞n=0 e {P ϕ1n }∞n=0 associados a medidas simétricas relacionadas através da equação (3) .

No Caṕıtulo 3, estudamos as propriedades de duas sequências de polinômios ortogonais

associados a medidas não-simétricas relacionadas por (2).

Por fim, no Caṕıtulo 4, estudamos a conexão entre duas sequências de polinômios L-ortogonais,

{Bψ0
n }∞n=0 e {Bψ1

n }∞n=0, associados, respectivamente a duas medidas positivas fortes dψ0 e dψ1

definidas em [a, b] ⊂ [0,∞] e relacionadas por

(t− κ) dψ1(t) = c dψ0(t).

A constante não-nula c é arbitrária desde que satisfaça
(t− κ)

c
> 0 em (a, b).


Caṕıtulo 1

Preliminares

Neste caṕıtulo, faremos um breve estudo sobre a função gama, polinômios ortogonais na reta

real, polinômios L-ortogonais, polinômios ortogonais de Sobolev, frações cont́ınuas e sequências

encadeadas, pré-requisitos essenciais para o bom entendimento deste trabalho. Apresentaremos

a maioria dos resultados sem demonstração que podem ser encontrados em [3], [5], [9], [16], [18],

[21], [23] e [24].

1.1 Função gama

A função gama, Γ(x), foi descoberta por Euler no estudo do problema de estender o domı́nio

da função fatorial, por volta de 1729 (veja [5]). Para encontrar a generalização do fatorial de

Euler, suponhamos x ≥ 0 e n ≥ 0 números inteiros. Consideremos o número

(a)n =

 1, se n = 0,

a(a+ 1)(a+ 2) · · · (a+ n− 1), se n > 0,

conhecido por fatorial deslocado ou fatorial generalizado ou, ainda, śımbolo de Pochhammer,

onde a pode ser um número real ou complexo. Podemos, então, escrever

x! =
(x+ n)!

(x+ 1)n
, pois

(x+ n)!

(x+ 1)n
=

(1)(2) · · · (x− 1)(x)(x+ 1) · · · (x+ n)

(x+ 1)(x+ 2) · · · (x+ n)
.

Mas,

(x+ n)! = (1)(2) · · · (n− 1)(n)(n+ 1) · · · (n+ x) = n!(n+ 1)x

e, assim,

x! =
n!(n+ 1)x
(x+ 1)n

=
n!nx

(x+ 1)n

(n+ 1)x
nx

.

4


Preliminares 5

Como lim
n→∞

(n+ 1)x
nx

= 1, podemos concluir que

x! = lim
n→∞

n!nx

(x+ 1)n
. (1.1)

Observe que, se x é um número complexo, mas diferente de um inteiro negativo, então o

limite (1.1) existe e o chamamos de Γ(x+ 1). Assim,

Γ(x+ 1) = lim
n→∞

n!nx

(x+ 1)n
, (1.2)

para x ∈ C e x ̸= −1,−2, ... .

Propriedade 1.1. Γ(x+ 1) = xΓ(x).

Demonstração:

xΓ(x) = x lim
n→∞

n!nx−1

(x)n
= x lim

n→∞

n!nx−1

x(x+ 1)(x+ 2) · · · (x+ n− 1)

(x+ n)n

(x+ n)n

= lim
n→∞

n!nx

(x+ 1)(x+ 2) · · · (x+ n− 1)(x+ n)

(x+ n)

n
= lim

n→∞

n!nx

(x+ 1)n

= Γ(x+ 1).

Definição 1.1. A função gama também pode ser dada como a integral de Euler de segunda

espécie

Γ(x) =

∫ ∞

0
e−ttx−1dt, (1.3)

para x ∈ C e Re(x) > 0.

Propriedade 1.2. Γ

(
1

2

)
=

√
π.

Demonstração: Aplicando (1.3) em Γ

(
1

2

)
, temos que Γ

(
1

2

)
=

∫ ∞

0
e−tt−

1
2dt. Utilizando a

mudança de variáveis t = z2 nesta integral, obtemos

Γ

(
1

2

)
=

∫ ∞

0
e−z

2
z−12zdz = 2

∫ ∞

0
e−z

2
dz = 2

[∫ ∞

0
e−z

2
dz ×

∫ ∞

0
e−y

2
dy

] 1
2

= 2
√
I, (1.4)

onde

I =

∫ ∞

0

∫ ∞

0
e−(z2+y2)dzdy.


Preliminares 6

Resolveremos I por meio de coordenadas polares. Logo, se z = rcos(θ) e y = rsen(θ),

obtemos

I =

∫ π
2

0

∫ ∞

0
e−r

2
rdrdθ.

Fazendo r2 = u, temos que

I =

∫ π
2

0

∫ ∞

0
e−u

du

2
dθ =

1

2

∫ π
2

0

(
−e−u

∣∣∣∞
0

)
dθ =

1

2

∫ π
2

0
dθ =

π

4
.

Assim, de (1.4), Γ

(
1

2

)
=

√
π.

Notação: Para x > 0 e y > 0, denotaremos(
x

y

)
=

Γ(x+ 1)

Γ(y + 1)Γ(x− y + 1)
. (1.5)

Para n inteiro e x > 0, vamos denotar(
x

n

)
=

Γ(x+ 1)

n! Γ(x− n+ 1)
.

1.2 Polinômios ortogonais na reta real

Seja ϕ uma função real, limitada, não-decrescente, definida no intervalo (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ ∞,

e o conjunto

M(ϕ) = {x | ϕ(x+ δ)− ϕ(x− δ) > 0, para todo δ > 0} .

Os pontos x ∈ M são chamados pontos de aumento de ϕ.

O produto interno

⟨f, g⟩ϕ =

∫ b

a
f(x)g(x)dϕ(x) (1.6)

é definido positivo se o conjunto M é infinito. Neste caso, M é chamado suporte de dϕ. A

condição de que a função ϕ tenha infinitos pontos de aumento garante que∫ b

a
p(x)dϕ(x) > 0,

para qualquer polinômio p(x) ≥ 0, mas não identicamente nulo em (a, b).

Definição 1.2. Seja ϕ(t) uma função real, limitada, não-decrescente e com infinitos pontos de

aumento em (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ ∞. Definimos momentos pelas integrais

µϕn =

∫ b

a
xndϕ(x), n = 0,±1,±2, . . . . (1.7)


Preliminares 7

Se os momentos existem para n = 0, 1, 2, . . . , então dϕ(x) é chamada distribuição (medida

positiva) em (a, b). Se os momentos existem para todo n inteiro, dϕ(x) é uma distribuição

forte. Se, além disso, (a, b) ⊂ (0,∞), dϕ(x) é uma distribuição forte de Stieltjes. Quando

dϕ(x) = w(x)dx, w(x) é uma função não-negativa, mas não identicamente nula em (a, b), e a

chamamos de função peso.

Definição 1.3. Os determinantes

H(m)
n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µϕm µϕm+1 . . . µϕm+n−1

µϕm+1 µϕm+2 . . . µϕm+n

...
...

. . .
...

µϕm+n−1 µϕm+n . . . µϕm+2n−2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
, ∀m,n ∈ Z, n ≥ 1, (1.8)

são chamados determinantes de Hankel de ordem n.

Teorema 1.1. Se os momentos µϕk existem para k = 0, 1, . . . , 2n− 2, então o determinante de

Hankel de ordem n, H
(0)
n , é diferente de zero.

Demonstração: Veja [3].

Definição 1.4. A sequência de polinômios {P ϕn }∞n=0 é chamada de sequência de polinômios

ortogonais com relação a uma medida dϕ no intervalo (a, b), se P ϕn é de grau exatamente n e

⟨
P ϕm, P

ϕ
n

⟩
ϕ
=

∫ b

a
P ϕm(x)P

ϕ
n (x)dϕ(x) =

 0, para m ̸= n

ρϕn > 0, para m = n
, (1.9)

em que ρϕn =
∫ b
a [P

ϕ
n (x)]2dϕ(x).

Notação: P ϕn (x) =
∑n

k=0 an,kx
k, an,n ̸= 0. Quando an,n = 1, temos uma sequência de

polinômios ortogonais mônicos.

Teorema 1.2. Se os momentos µϕk , k ≥ 0, existem, então existe uma única sequência de

polinômios ortogonais {P ϕn }∞n=0 no intervalo (a, b) relativamente à distribuição dϕ(x).

Demonstração: A demonstração segue dos Teoremas 1.1 e 2.4 de [3].

Os polinômios ortogonais satisfazem a muitas propriedades interessantes e, por esta razão,

são aplicados na solução de diversos problemas da Matemática e Ciências Aplicadas. Uma das


Preliminares 8

mais importantes é que eles satisfazem a uma relação de recorrência de três termos que, quando

são mônicos, é dada por

Pϕn+1(x) = (x− βϕn+1)P
ϕ
n (x)− αϕn+1P

ϕ
n−1(x), n ≥ 0, (1.10)

com Pϕ−1(x) = 0 e P ϕ0 (x) = 1, e os coeficientes αϕn+1 e βϕn+1 são tais que

αϕn+1 =
ρϕn

ρϕn−1

, n ≥ 1, e βϕn+1 =

⟨
xPϕn , P

ϕ
n

⟩
ϕ

ρϕn
, n ≥ 0. (1.11)

Além disso, ρϕn satisfaz à seguinte igualdade

ρϕn =

∫ b

a

[
P ϕn (x)

]2
dϕ(x) = αϕn+1α

ϕ
n . . . α

ϕ
3α

ϕ
2µ

ϕ
0 , n ≥ 1. (1.12)

De fato, da equação para αϕn+1 em (1.11), temos que

ρϕn = αϕn+1ρ
ϕ
n−1, n ≥ 1.

Assim, para n ≥ 1,

ρϕn = αϕn+1ρ
ϕ
n−1 = αϕn+1α

ϕ
nρ

ϕ
n−2

= . . . = αϕn+1α
ϕ
n . . . α

ϕ
3α

ϕ
2µ

ϕ
0 ,

pois

ρϕ0 =

∫ b

a

[
P ϕ0 (x)

]2
dϕ(x) =

∫ b

a
1 dϕ(x) = µϕ0 .

Teorema 1.3. Sejam P ϕ0 , P
ϕ
1 , . . . , P

ϕ
m pertencentes a uma sequência de polinômios ortogonais

com relação a uma medida dϕ em (a, b). Então, {P ϕj }mj=0 é um conjunto linearmente indepen-

dente.

Demonstração: Sejam cj , j = 0, 1, . . . ,m, constantes reais tais que
m∑
j=0

cjP
ϕ
j (x) = 0. Logo,

para cada polinômio P ϕk (x), k ≥ 0, obtemos⟨
m∑
j=0

cjP
ϕ
j (x), P

ϕ
k

⟩
ϕ

=
⟨
0, P ϕk

⟩
ϕ
= 0,

ou seja,
m∑
j=0

cj

⟨
P ϕj , P

ϕ
k

⟩
ϕ
= 0. (1.13)


Preliminares 9

Por definição,
⟨
P ϕj , P

ϕ
k

⟩
ϕ
= 0 para j ̸= k e

⟨
Pϕk , P

ϕ
k

⟩
ϕ
> 0. Logo, de (1.13), para k =

0, 1, . . . ,m,

0 =
m∑
j=0

cj

⟨
P ϕj , P

ϕ
k

⟩
ϕ
= ck

⟨
P ϕk , P

ϕ
k

⟩
ϕ
.

Portanto, obtemos ck = 0, k = 0, . . . ,m.

O teorema anterior nos diz que os polinômios ortogonais P ϕk (x), k = 0, 1, 2, . . . ,m, formam

uma base para o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a m, Pm.

Como consequência desse resultado, podemos enunciar o corolário a seguir.

Corolário 1.1. Sejam {Qϕn}∞n=0 e {P ϕn }∞n=0 duas sequências de polinômios ortogonais no inter-

valo (a, b) com relação a uma mesma distribuição dϕ(x). Então,

Qϕj (x) = cjP
ϕ
j (x), j = 0, 1, . . . ,

em que

cj =

⟨
Qϕj , P

ϕ
j

⟩
ϕ⟨

P ϕj , P
ϕ
j

⟩
ϕ

é uma constante que depende apenas de j.

Usando a definição de polinômios ortogonais e o Teorema 1.3, podemos demonstrar facilmente

o resultado a seguir.

Teorema 1.4. Seja {Pn}∞n=0 uma sequência de polinômios e dϕ(x) uma distribuição no intervalo

(a, b). Então, as seguintes afirmações são equivalentes:

(a) {Pn}∞n=0 é uma sequência de polinômios ortogonais com relação a dϕ(x) em (a, b);

(b)
⟨
P ϕn , π

⟩
ϕ
= 0, ∀ π(x) ∈ Pn−1, n ≥ 1;

(c) ⟨xm, Pn⟩ϕ =

∫ b

a
xmPn(x)dϕ(x) =

 0, se 0 ≤ m ≤ n− 1,

ρ̃n ̸= 0, se m = n.

Sobre os zeros dos polinômios ortogonais, podemos demonstrar muitos resultados interes-

santes. Vamos enunciar, aqui, apenas dois, cujas demonstrações podem ser encontradas, por

exemplo, em [3].

Teorema 1.5. Seja P ϕn (x), n ≥ 1, um polinômio pertencente a uma sequência de polinômios

ortogonais no intervalo (a, b) com relação à medida positiva dϕ(x). Então, as ráızes de P ϕn (x)

são reais, distintas e pertencem ao intervalo (a, b).


Preliminares 10

Teorema 1.6. Seja {P ϕj }∞j=0 uma sequência de polinômios ortogonais. Então, entre dois zeros

consecutivos do polinômio de grau n− 1, P ϕn−1(x), existe somente um zero de P ϕn (x).

1.2.1 Polinômios ortogonais simétricos

Definição 1.5. Uma distribuição dϕ(x) definida em um intervalo [−b, b], b > 0, é simétrica se

dϕ(x) = −dϕ(−x). Se dϕ(x) = w(x)dx, então w(x) = w(−x).

Teorema 1.7. Se uma distribuição dϕ(x), definida em [−b, b], é simétrica, então os momentos

de ordem ı́mpar são nulos, ou seja, µϕ2n+1 = 0, ∀n ≥ 0.

Demonstração: Sabemos que, µ2n+1 =

∫ b

−b
x2n+1dϕ(x), n ≥ 0. Se tomarmos x = −y, temos

µ2n+1 =

∫ b

−b
x2n+1dϕ(x) =

∫ −b

b
(−y)2n+1dϕ(−y)

= −
∫ b

−b
y2n+1dϕ(y) = −µ2n+1.

Logo, µ2n+1 = 0, ∀ n ≥ 0.

Teorema 1.8. Seja {P ϕn }∞n=0 uma sequência de polinômios ortogonais com relação a uma dis-

tribuição dϕ(x). Então, as seguintes afirmações são equivalentes:

a) dϕ(x) é simétrica;

b) P ϕn (−x) = (−1)nP ϕn (x), n ≥ 0;

c) na fórmula de recorrência (1.10), βϕn = 0, n ≥ 1.

Demonstração: Vamos mostrar que a) ⇔ b) ⇔ c). Suponhamos, sem perda de generalidade,

Pn(x) mônicos para n ≥ 0.

a) ⇒ b) Como dϕ(x) é simétrica, então dϕ(x) = −dϕ(−x). Considerando a mudança de variáveis

x = −y, obtemos∫ b

−b
P ϕm(x)P

ϕ
n (x)dϕ(x) =

∫ −b

b
P ϕm(−y)P ϕn (−y)dϕ(−y) =

∫ b

−b
P ϕm(−y)P ϕn (−y)dϕ(y).

Pelo Corolário 1.1, P ϕn (−x) = cnP
ϕ
n (x), em que cn é uma constante. Assim, como

P ϕn (x) = xn + an,n−1x
n−1 + . . .+ an,1x+ an,0,


Preliminares 11

comparando os coeficientes dos termos de maior grau de P ϕn (−x) e de cnP
ϕ
n (x), obtemos cn =

(−1)n.

Portanto,

P ϕn (−x) = (−1)nP ϕn (x), n ≥ 0.

b) ⇒ a) Temos que P ϕn (−x) = (−1)nP ϕn (x), n ≥ 0. Queremos mostrar que µ2k+1 = 0, k =

0, 1, . . . . Faremos isso por indução sobre n.

• Para n = 1, temos

P ϕ1 (−x) = (−1)Pϕ1 (x) ⇒ −x+ a1,0 = −x− a1,0 ⇒ a1,0 = 0. Logo, Pϕ1 (x) = x.

Além disso,

0 =

∫ b

−b
P ϕ0 (x)P

ϕ
1 (x)dϕ(x) =

∫ b

−b
P ϕ1 (x)dϕ(x) =

∫ b

−b
xdϕ(x) = µ1.

• Agora, vamos supor que nossa hipótese de indução seja verdadeira para µ1, . . . , µ2k−1, isto

é, µ1 = µ3 = . . . = µ2k−1 = 0, k ≥ 1.

Assim, como P ϕ2k+1(x) = x2k+1 +
∑k

j=1 a2k+1,2j−1x
2j−1, obtemos

µ2k+1 =

∫ b

−b
x2k+1dϕ(x) =

∫ b

−b

P ϕ2k+1(x)−
k∑
j=1

a2k+1,2j−1x
2j−1

 dϕ(x)
=

∫ b

−b
P ϕ2k+1(x)dϕ(x)−

k+1∑
j=1

a2k+1,2j−1µ2j−1 = 0, k ≥ 1.

Portanto, dϕ(x) é simétrica.

b) ⇔ c) Usando a fórmula de recorrência (1.10), obtemos

(−1)nP ϕn (−x) = (−1)n(−x− βϕn)P
ϕ
n−1(−x)− (−1)nαϕnP

ϕ
n−2(−x).

Logo,

(−1)nP ϕn (−x) = (−1)n−1(x+ βϕn)P
ϕ
n−1(−x)− αϕn(−1)n−2P ϕn−2(−x).

Seja Rϕn(x) = (−1)nP ϕn (−x). Então,

Rϕn(x) = (x+ βϕn)R
ϕ
n−1(x)− αϕnR

ϕ
n−2(x), n ≥ 1, (1.14)

com Rϕ−1(x) = 0 e Rϕ0 (x) = 1. Como P ϕn (x) = (−1)nP ϕn (−x), então Rϕn(x) = Pϕn (x), ∀ n.

Comparando as relações de recorrência (1.10) e (1.14), obtemos βϕn = 0, n ≥ 1. Logo, b) ⇒ c).


Preliminares 12

c) ⇒ b) Temos que βϕn = 0, n ≥ 1. Se Rϕn(x) = (−1)nP ϕn (−x), n ≥ 0, então, por (1.14), temos

Rϕn(x) = xRϕn−1(x)− αϕnR
ϕ
n−2(x), n ≥ 1.

Observe que é a mesma relação de recorrência para P ϕn (x) com βϕn = 0. Como Rϕ−1(x) =

P ϕ−1(x) e R
ϕ
0 (x) = P ϕ0 (x), obtemos

P ϕn (x) = Rϕn(x) = (−1)nP ϕn (−x), n ≥ 0.

1.2.2 Polinômios associados aos ortogonais

Definição 1.6. Dada uma sequência de polinômios ortogonais, {P ϕn }∞n=0, definimos o polinômio

associado a P ϕn (x) por

Qϕn(x) =

∫ b

a

P ϕn (t)− P ϕn (x)

t− x
dϕ(t), n ≥ 0. (1.15)

Não é dif́ıcil mostrar que Qϕn(x) é um polinômio de grau n− 1, para n ≥ 1.

Teorema 1.9. Seja {P ϕn }∞n=0 uma sequência de polinômios ortogonais mônicos. Os polinômios

associados Qϕn(x) satisfazem à mesma relação de recorrência dos polinômios ortogonais mônicos

P ϕn (x), mas com condições inicias Qϕ0 (x) = 0 e Qϕ1 (x) = µϕ0 .

Demonstração: veja [3].

Neste trabalho, vamos considerar somente polinômios ortogonais Pϕn mônicos, ou seja, com

an,n = 1.

1.3 Polinômios ortogonais clássicos

Segundo Chihara [9], os polinômios de Jacobi (incluindo os casos especiais de Legendre, Cheby-

shev de primeira e segunda espécies e Gegenbauer), de Laguerre e de Hermite são chamados

de polinômios ortogonais clássicos. No trabalho de Agarwal e Milovanović [1], encontramos a

seguinte definição para polinômios ortogonais clássicos.


Preliminares 13

Definição 1.7. Polinômios ortogonais com respeito a uma medida dϕ(x) = w(x)dx no intervalo

(a, b) são chamados de polinômios ortogonais clássicos se a função peso, w(x), satisfaz à seguinte

equação diferencial
d

dx
(M(x)w(x)) = N(x)w(x),

em que

M(x) =


1− x2, se (a, b) = (−1, 1)

x, se (a, b) = (0,∞)

1, se (a, b) = (−∞,∞)

e N(x) é um polinômio de grau 1.

Facilmente verifica-se que as funções peso dos polinômios de Jacobi, de Laguerre e de Hermite

satisfazem às condições acima.

1.3.1 Polinômios de Jacobi

Os polinômios de Jacobi, denotados por P
(α,β)
n , são ortogonais no intervalo (−1, 1) com relação

à função peso

w(x) = (1− x)α(1 + x)β , α > −1, β > −1.

Esses polinômios podem ser definidos pela fórmula de Rodrigues

P (α,β)
n (x) =

(−1)nΓ(n+ α+ β)

Γ(2n+ α+ β)
(1− x)−α(1 + x)−β

dn

dxn
[(1− x)n+α(1 + x)n+β ]

quando estão na forma mônica, sendo Γ(t) é a conhecida função gama.

Eles também podem ser dados explitamente por

P (α,β)
n (x) =

 2n+ α+ β

n

−1
n∑

m=0

 n+ α

n−m

 n+ β

m

 (x− 1)m(x+ 1)n−m. (1.16)

Os polinômios de Jacobi, quando estão na forma mônica, satisfazem à seguinte relação de

ortogonalidade⟨
P (α,β)
n , P (α,β)

m

⟩
(α,β)

=

∫ 1

−1
P (α,β)
n (x)P (α,β)

m (x)(1− x)α(1 + x)βdx

=

 0, se m ̸= n

ρ
(α,β)
n ̸= 0, se m = n.

, (1.17)

Aqui,

ρ(α,β)n =
22n+α+β+1n!Γ(n+ α+ 1)Γ(n+ β + 1)Γ(n+ α+ β + 1)

Γ(2n+ α+ β + 2)Γ(2n+ α+ β + 1)
. (1.18)


Preliminares 14

Os polinômios de Jacobi podem, ainda, ser obtidos através da relação de recorrência de três

termos

P
(α,β)
n+1 (x) =

(
x− β

(α,β)
n+1

)
P (α,β)
n (x)− α

(α,β)
n+1 P

(α,β)
n−1 (x), n ≥ 1,

em que

α
(α,β)
n+1 =

4n(n+ α)(n+ β)(n+ α+ β)

(2n+ α+ β − 1)(2n+ α+ β)2(2n+ α+ β + 1)
, (1.19)

β
(α,β)
n+1 =

β2 − α2

(2n+ α+ β + 2)(2n+ α+ β)
, (1.20)

P
(α,β)
0 (x) = 1 e P

(α,β)
1 (x) = x+

α− β

α+ β + 2
.

Esses polinômios satisfazem à seguinte relação diferencial

P ′ (α,β)
n (x) = nP

(α+1,β+1)
n−1 (x).

Casos especiais dos polinômios de Jacobi são:

• os polinômios de Legendre, Pn, com α = β = 0,

• os polinômios de Chebyshev de primeira espécie, Tn, com α = β = −1

2
,

• os polinômios de Chebyshev de segunda espécie, Un, com α = β =
1

2
,

• os polinômios de Gegenbauer, também conhecidos como polinômios Ultrasféricos, G
(λ)
n ,

com α = β = λ− 1

2
, λ > −1

2
.

1.3.2 Polinômios de Gegenbauer

Os polinômios de Gegenbauer, ou polinômios Ultrasféricos, são um caso especial dos polinômios

de Jacobi, com α = β = λ− 1

2
> −1. São, então, ortogonais no intervalo [−1, 1] com relação à

função peso w(x) = (1− x2)λ−1/2.

A notação usual para os polinômios Gegenbauer é G
(λ)
n (x) e são dados por

G(λ)
n (x) =

(
2α

α

)−1(n+ 2α

α

)
P (α,α)
n (x),

sendo P
(α,α)
n (x) os polinômios de Jacobi com β = α. Logo, por (1.9), quando estão na forma

mônica, satisfazem à seguinte propriedade de ortogonalidade:

⟨
G(λ)
n , G(λ)

m

⟩
λ
=

∫ 1

−1
G(λ)
n (x)G(λ)

m (x)(1− x)λ−1/2dx =

 0, se m ̸= n,

ρ
(λ)
n ̸= 0, se m = n,

(1.21)


Preliminares 15

em que,

ρ(λ)n =
⟨
G(λ)
n , G(λ)

n

⟩
λ
=

22n+2λn! Γ2(n+ λ+ 1/2)Γ(n+ 2λ)

Γ(2n+ 2λ+ 1)Γ(2n+ 2λ)
. (1.22)

Lembrando que (
a

b

)
=

Γ(a+ 1)

Γ(b+ 1)Γ(a− b+ 1)
, a ≥ b,

podemos, então, escrever os polinômios de Gegenbauer como

G(λ)
n (x) =

Γ(α+ 1)Γ(n+ 2α+ 1)

Γ(2α+ 1)Γ(n+ α+ 1)
P (α,α)
n (x)

=
Γ(λ+ 1

2)Γ(n+ 2λ)

Γ(2λ)Γ(n+ λ+ 1
2)
P
(λ− 1

2
,λ− 1

2)
n (x), α = λ− 1

2
. (1.23)

Satisfazem à seguinte relação de recorrência de três termos

G
(λ)
n+1(x) = xG(λ)

n (x)− n(n+ 2λ− 1)

4(n+ λ)(n+ λ− 1)
G

(λ)
n−1(x), n ≥ 0, (1.24)

com as condições iniciais G
(λ)
−1(x) = 0 e G

(λ)
0 = 1.

Em termos da função hipergeométrica (veja Szegő [23]), pag.83), os polinômios mônicos de

Gegenbauer são dados por

G
(λ)
2n (x) =

(
−1

4

)n (2n)!

n!

(λ)n
(λ)2n

2F1(−n, n+ λ; 1/2;x2), n ≥ 1, (1.25)

G
(λ)
2n+1(x) =

(
−1

4

)n (2n+ 1)!

n!

(λ)n+1

(λ)2n+1
x 2F1(−n, n+ λ+ 1; 3/2;x2), n ≥ 1, (1.26)

onde 2F1(a, b; c;x) = 1 +
∞∑
j=1

a(a+ 1) . . . (a+ j − 1)b(b+ 1) . . . (b+ j − 1)

1.2 . . . j c(c+ 1) . . . (c+ j − 1)
xj .

1.3.3 Polinômios de Laguerre

Os polinômios de Laguerre, denotados por L
(α)
n , são ortogonais no intervalo (0,∞) com relação

à função peso

w(x) = xαe−x, α > −1,

Eles podem ser definidos pela fórmula de Rodrigues, que é dada por

L(α)
n (x) = (−1)nx−αex

dn

dxn
[xn+αe−x].

Explicitamente, podem ser escritos como

L(α)
n (x) = (−1)nn!

n∑
m=0

(−1)m

m!

 n+ α

n−m

xm.


Preliminares 16

A relação de ortogonalidade para os polinômios de Laguerre mônicos é dada por

⟨
L(α)
n , L(α)

m

⟩
α
=

∫ ∞

0
L(α)
n (x)L(α)

m (x)xαe−xdx =

 0, se m ̸= n,

ρ
(α)
n , se m = n,

(1.27)

em que

ρ(α)n = n!Γ(n+ α+ 1). (1.28)

Esses polinômios também podem ser obtidos através da relação de recorrência de três termos

L
(α)
n+1(x) =

(
x− β

(α)
n+1

)
L(α)
n (x)− α

(α)
n+1L

(α)
n−1(x), n ≥ 1, (1.29)

com

α
(α)
n+1 = n(n+ α), n ≥ 1, β

(α)
n+1 = 2n+ α+ 1, n ≥ 0, (1.30)

L
(α)
0 (x) = 1 e L

(α)
1 (x) = x− (α+ 1).

Os polinômios de Laguerre satisfazem, ainda, à seguinte relação diferencial

L′ (α)
n (x) = nL

(α+1)
n−1 (x), n ≥ 1,

e a relação

L(α)
n (x) + nL

(α)
n−1(x) = L(α−1)

n (x), n ≥ 1. (1.31)

1.3.4 Polinômios de Hermite

Os polinômios de Hermite, denotados por Hn, são ortogonais no intervalo (−∞,∞) com relação

à função peso

w(x) = e−x
2
.

Podem ser definidos pela fórmula de Rodrigues por

Hn(x) = (−1)n
ex

2

2n
dn

dxn
[e−x

2
]

quando estão na forma mônica, e são dados explicitamente por

Hn(x) =

⌊n/2⌋∑
k=0

(−1)kn!

4kk!(n− 2k)!
xn−2k, (1.32)

em que ⌊n/2⌋ denota o maior inteiro menor ou igual a
n

2
.

Os polinômios de Hermite mônicos satisfazem à seguinte relação de ortogonalidade

⟨Hn,Hm⟩H =

∫ ∞

−∞
Hn(x)Hm(x)e

−x2dx =


0, se m ̸= n,
√
πn!

2n
, se m = n.

(1.33)


Preliminares 17

Podem, também, ser obtidos através da relação de recorrência de três termos

Hn+1(x) = xHn(x)−
n

2
Hn−1(x), n ≥ 1, (1.34)

com H0(x) = 1 e H1(x) = x.

Os polinômios de Hermite satisfazem, ainda, à seguinte relação diferencial

H ′
n(x) = nHn−1(x).

1.4 Polinômios ortogonais de Sobolev

Sejam dϕk, k = 0, 1, . . . , N, medidas na reta real R e consideremos o espaço HN (R) das funções

diferenciáveis até ordem N em R satisfazendo

N∑
k=0

∫
R
[f (k)(x)]2dϕk(x) <∞,

na qual f (k) denota a k-ésima derivada da função f. Tal espaço é chamado espaço de Sobolev.

Note que, o espaço dos polinômios P é um subespaço de HN (R).

Consideremos P munido do produto interno

⟨f, g⟩S =
N∑
k=0

∫
R
f (k)(x)g(k)(x)dϕk(x), f, g ∈ P.

A sequência de polinômios {Sn}∞n=0 é chamada sequência de polinômios ortogonais de Sobolev,

se Sn é de grau exatamente n e

⟨Sm, Sn⟩S =

 0, para m ̸= n,

ρSn > 0, para m = n.

Consideramos, neste trabalho, o caso especial deste produto interno onde N = 1 e que

usualmente é dado da seguinte forma

⟨f, g⟩S = ⟨f, g⟩θ1 + λ
⟨
f ′, g′

⟩
θ2

(1.35)

=

∫
R
f(x)g(x)dθ1(x) + λ

∫
R
f ′(x)g′(x)dθ2(x),

onde λ ≥ 0. Note que, o parâmetro λ pode ser embutido na medida dθ2.

Os polinômios ortogonais de Sobolev, em geral, não satisfazem às mesmas propriedades dos

polinômios ortogonais associados ao produto interno (1.6). Por exemplo, eles não possuem uma

relação de recorrência de três termos e os zeros desses polinômios podem não pertencer ao


Preliminares 18

intervalo de ortogonalidade. Em 1991, Iserles et al. [16] introduziu os conceitos de par coerente

e par simetricamente coerente de medidas e, utilizando esses conceitos, encontrou uma relação

para os polinômios ortogonais de Sobolev envolvendo os polinômios ortogonais relacionados à

medida dθ1.

A seguir, apresentamos alguns resultados obtidos em [16].

1.4.1 Par coerente e simétricamente coerente de medidas

Sejam {P θ1n }∞n=0 e {P θ2n }∞n=0 as sequências de polinômios ortogonais mônicos associados às me-

didas dθ1 e dθ2, respectivamente. Então, o par {dθ1, dθ2} é chamado par coerente de medidas

se existem constantes não nulas σn, n ≥ 1, tais que

P θ2n (x) =
1

n+ 1

[
P ′ θ1
n+1(x) + σnP

′ θ1
n (x)

]
, n ≥ 1. (1.36)

Então, os polinômios ortogonais mônicos de Sobolev satisfazem à seguinte relação

Sn+1(x) + anSn(x) = P θ1n+1(x) + σnP
θ1
n (x), n ≥ 0, (1.37)

onde os coeficientes an podem ser obtidos recursivamente por

an =
σnρ

θ1
n

ρθ1n + λn2ρθ2n−1 + σ2n−1ρ
θ1
n−1 − σn−1ρ

θ1
n−1an−1

, n ≥ 1,

com a0 = σ0.

Da mesma forma, um par de medidas {dθ1, dθ2} é chamado de par simetricamente coerente

de medidas, se existem constantes não nulas σn, n ≥ 0, tais que

P θ2n (x) =
1

n+ 1

[
P ′ θ1
n+1(x) + σn−1P

′ θ1
n−1(x)

]
, n ≥ 1.

Também para este caso, são válidas propriedades semelhantes ao caso da coerência, entre elas a

relação

Sn+1(x) + an−1Sn−1(x) = P θ1n+1(x) + σn−1P
θ1
n−1(x), n ≥ 1, (1.38)

onde os coeficientes an podem ser obtidos recursivamente pela expressão

an =
σnρ

θ1
n

ρθ1n + λn2ρθ2n−1 + σ2n−2ρ
θ1
n−2 − σn−2ρ

θ1
n−2an−2

, n ≥ 2,

com a1 =
ρθ11 σ1

ρθ11 + λρθ20
e a0 = σ0. Neste caso, os polinômios Sn também são simétricos, ou seja,

Sn(−x) = (−1)nSn(x), n ≥ 0.


Preliminares 19

Em 1997, no trabalho de Meijer [19], os pares coerentes e simetricamente coerentes de medi-

das foram completamente determinados. Meijer mostrou que pelo menos uma das medidas dθ1

ou dθ2 deve ser clássica.

A seguir, descrevemos os pares coerentes de medidas que envolvem as medidas de Jacobi e

de Laguerre. As medidas do tipo dθ(x) = w(x)dx+Mδ(k) são interpretadas da seguinte forma∫
R
F (x)dθ(x) =

∫
R
F (x)w(x)dx+MF (k).

Caso Jacobi

Tipo I dθ1(x) = |x− ξ|(1− x)α(1 + x)βdx, com |ξ| > 1 e (1.39)

dθ2(x) = (1− x)α+1(1 + x)β+1dx.

Tipo II dθ1(x) = (1− x)α(1 + x)βdx e (1.40)

dθ2(x) =
1

|x− ξ|
(1− x)α+1(1 + x)β+1dx+Mδ(ξ), com |ξ| ≥ 1 e (1.41)

M ≥ 0.

Tipo III dθ1(x) = (1− x)αdx+Mδ(−1), com M ≥ 0 e (1.42)

dθ2(x) = (1− x)α+1dx.

Tipo IV dθ1(x) = (1 + x)βdx+Mδ(1), com M ≥ 0 e (1.43)

dθ2(x) = (1 + x)β+1dx.

Caso Laguerre

Tipo I dθ1(x) = (x− ξ)xαe−xdx, com ξ < 0 e (1.44)

dθ2(x) = xα+1e−xdx.

Tipo II dθ1(x) = xαe−xdx e (1.45)

dθ2(x) =
1

x− ξ
xα+1e−xdx+Mδ(ξ), com ξ ≤ 0 e M ≥ 0.

Tipo III dθ1(x) = e−xdx+Mδ(0), com M ≥ 0 e (1.46)

dθ2(x) = e−xdx.


Preliminares 20

Descrevemos, agora, os pares simetricamente coerentes de medidas que envolvem medidas

de Hermite e de Gegenbauer.

Caso Hermite

Tipo I dθ1(x) = (x2 + ξ2)e−x
2
dx e

dθ2(x) = e−x
2
dx. (1.47)

Tipo II dθ1(x) = e−x
2
dx e (1.48)

dθ2(x) =
e−x

2

x2 + ξ2
dx, com ξ ̸= 0.

Caso Gegenbauer

Tipo I dθ1(x) = (x2 + ξ2)(1− x2)αdx e (1.49)

dθ2(x) = (1− x2)α+1dx.

Tipo II dθ1(x) = (1− x2)αdx e (1.50)

dθ2(x) =
(1− x2)α+1

x2 + ξ2
dx, com ξ ̸= 0.

Tipo III dθ1(x) = (1− x2)αdx e (1.51)

dθ2(x) =
(1− x2)α+1

ξ2 − x2
dx+M [δ(ξ) + δ(−ξ)] , com |ξ| ≥ 1 e M ≥ 0.

Tipo IV dθ1(x) = (ξ2 − x2)(1− x2)αdx, com |ξ| > 1 e (1.52)

dθ2(x) = (1− x2)α+1dx.

Tipo V dθ1(x) = dx+M [δ(1) + δ(−1)] , com M ≥ 0 e (1.53)

dθ2(x) = dx.

1.5 Polinômios L-ortogonais

Nesta seção, estudaremos os polinômios similares aos ortogonais, ou L-ortogonais, tendo como

referência os trabalhos de Andrade [2], Andrade e Bracciali [3] e de Sri Ranga [21].


Preliminares 21

Definição 1.8. Seja dψ(t) uma distribuição forte de Stieltjes em (a, b). Definimos uma sequência

de polinômios L-ortogonais, {Bψ
n }∞n=0 por

i) Bψ
n (t) é mônico de grau exatamente n, n ≥ 0,

ii) σψn,s =

∫ b

a
t−n+sBψ

n (t)dψ(t) =

 0, se s = 0, 1, ..., n− 1,

σψn,n > 0, se s = n.
(1.54)

Além disso, como estamos considerando os polinômios Bψ
n (t) mônicos, se Bψ

n (t) =
n∑
i=0

bn,it
i,

então bn,n = 1.

Teorema 1.10. Para as distribuições fortes de Stieltjes dψ(t), se os momentos µψm, m ∈ Z,

existem, então os determinantes de Hankel definidos em (1.8) satisfazem H
(m)
n > 0, ∀m,n ∈ Z

e n ≥ 0.

Demonstração: Sabemos que uma matriz A é positiva definida se ⟨x,Ax⟩ > 0, para todo

x ̸≡ 0. Além disso, det(A) > 0 (veja [10]).

Mostremos, então, que a matriz

H(m)
n =


µψm µψm+1 . . . µψm+n−1

µψm+1 µψm+2 . . . µψm+n

...
...

. . .
...

µψm+n−1 µψm+n . . . µψm+2n−2


é positiva definida. Seja x = (x0, x1, . . . , xn−1)

t ∈ Rn, x ̸≡ 0. Então,⟨
x,H(m)

n x
⟩

= xtH(m)
n x

= x0

n−1∑
i=0

µψm+ixi + x1

n−1∑
i=0

µψm+1+ixi + . . .+ xn−1

n−1∑
i=0

µψm+n−1+ixi

=
n−1∑
j=0

n−1∑
i=0

µψm+i+jxixj =
n−1∑
j=0

n−1∑
i=0

∫ b

a
tm+i+jxixjdψ(t)

=

∫ b

a
tm

n−1∑
j=0

xjt
j

(n−1∑
i=0

xit
i

)
dψ(t) =

∫ b

a
tm︸︷︷︸
>0

(
n−1∑
k=0

xkt
k

)2

︸ ︷︷ ︸
>0

dψ(t)︸ ︷︷ ︸
>0

> 0.

Logo, H(m)
n é positiva definida e, portanto, H

(m)
n = det(H(m)

n ) > 0.


Preliminares 22

Teorema 1.11. Sob as hipótese do teorema anterior, os polinômios L-ortogonais Bψ
n (t), n ≥ 0,

existem e são únicos.

1.5.1 Polinômios associados aos L-ortogonais

Definição 1.9. Os polinômios Aψn(t) associados aos polinômios L-ortogonais Bψ
n (t) são definidos

por

Aψn(t) =

∫ b

a

Bψ
n (z)−Bψ

n (t)

z − t
dψ(z). (1.55)

Teorema 1.12. Aψn(t) é um polinômio de grau n− 1, n ≥ 1.

Observe que os coeficientes dos termos de maior grau dos polinômios Aψn(t) são iguais a µψ0 .

Para construirmos uma sequência de polinômios mônicos associados aos L-ortogonais basta

defińı-los da seguinte forma:

Aψn(t) =
1

µψ0

∫ b

a

Bψ
n (z)−Bψ

n (t)

z − t
dψ(z).

Teorema 1.13. Os polinômios associados Aψn(t) satisfazem, ainda,

Aψn(t) =

∫ b

a
z−m

tmBψ
n (z)− zmBψ

n (t)

z − t
dψ(z), 0 ≤ m ≤ n, n ≥ 1. (1.56)

1.5.2 Algumas propriedades dos polinômios L-ortogonais e associados

Os polinômios L-ortogonais e associados possuem muitas propriedades semelhantes às dos polinômios

ortogonais e associados. A seguir, enunciaremos algumas delas.

Teorema 1.14. Os polinômios Bψ
n (t) e Aψn(t) satisfazem às seguintes relações de recorrência

de três termos para n ≥ 1 :

Bψ
n+1(t) = (t− βψn+1)B

ψ
n (t)− αψn+1 tB

ψ
n−1(t), n ≥ 1, (1.57)

Aψn+1(t) = (t− βψn+1)A
ψ
n(t)− αψn+1 tA

ψ
n−1(t), n ≥ 1, (1.58)

com

Aψ0 (t) = 0, Aψ1 (t) = µψ0 , Bψ
0 (t) = 1, Bψ

1 (t) = t− βψ1 ;

e

βψ1 =
σψ0,0

σψ0,−1

=
µψ0

µψ−1

, αψn+1 =
σψn,n

σψn−1,n−1

, βψn+1 = −αψn+1

σψn−1,−1

σψn,−1

, n ≥ 1,

lembrando que, σψn,s =
∫ b
a t

−n+sBψ
n (t)dψ(t). Observe que, βψn > 0 e αψn+1 > 0 para n ≥ 1.


Preliminares 23

Como consequência das relações de recorrência de três termos para Bψ
n (t) e A

ψ
n(t), podemos

estabelecer resultados a seguir.

(−1)nBψ
n (0) = βψ1 β

ψ
2 . . . β

ψ
n > 0, n ≥ 1. (1.59)

Teorema 1.15. A seguinte relação é válida

Aψn(t)B
ψ
n−1(t)−Aψn−1(t)B

ψ
n (t) = αψnα

ψ
n−1α

ψ
n−2 . . . α

ψ
2 µ

ψ
0 t

n−1, n ≥ 2 (1.60)

Demonstração: De (1.57) e (1.58), obtemos

An(t)
ψBψ

n−1(t)−Aψn−1(t)Bn(t) = [(t− βψn )A
ψ
n−1(t)− αψn tA

ψ
n−2(t)]B

ψ
n−1(t)

−Aψn−1(t)[(t− βψn )B
ψ
n−1(t)− αψn tB

ψ
n−2(t)

= αψn t[A
ψ
n−1(t)B

ψ
n−2(t)−Aψn−2(t)B

ψ
n−1(t)]

= · · ·

= αψnα
ψ
n−1α

ψ
n−2 . . . α

ψ
2 t
n−1[Aψ1 (t)B

ψ
0 (t)−Aψ0 (t)B

ψ
1 (t)].

Como Aψ1 (t) = µψ0 , B
ψ
0 (t) = 1, Aψ0 (t) = 0 e Bψ

1 (t) = t− βψ1 , chegamos à relação (1.60).

Aψn(t)B
ψ
n−1(t)−Aψn−1(t)B

ψ
n (t) = αψnα

ψ
n−1α

ψ
n−2 . . . α

ψ
2 t
n−1µψ0 , n ≥ 2.

Teorema 1.16. Os zeros do polinômio L-ortogonal Bψ
n (t), n ≥ 1, são reais, distintos e per-

tencem ao intervalo (a, b).

Teorema 1.17. Se tn,i é um zero do polinômio Bψ
n (t) para n ≥ 1, então ele é diferente dos

zeros de Aψn(t) e dos zeros de Bψ
n−1(t).

Teorema 1.18. Os zero dos polinômios Bψ
n−1(t) e B

ψ
n (t) se entrelaçam.

Teorema 1.19. Os zeros dos polinômios L-ortogonais Bψ
n (t), n ≥ 1, são os autovalores da

matriz de Hessenberg

Hn =



αψ2 + βψ1 αψ3 + βψ2 . . . αψn−1 + βψn−2 αψn + βψn−1 βψn

αψ2 αψ3 + βψ2 . . . αn−1ψ + βψn−2 αnψ + βψn−1 βψn

0 αψ3 . . . αn−1ψ + βn−2ψ αψn + βψn−1 βψn
...

. . .
...

...

0 0 . . . αψn−1 αψn + βψn−1 βψn

0 0 . . . 0 αψn βψn


. (1.61)


Preliminares 24

Demonstração: Consideremos os polinômios de Laurent

B̃ψ
n (t) = t−nBψ

n (t) = (t− βψn ) t
−nBψ

n−1(t)− αψn t
−n+1Bψ

n−2(t).

Portanto,

tB̃ψ
n (t) = (t− βψn ) t

−(n−1)Bψ
n−1(t)− αψn t

−(n−2)Bψ
n−2(t)

= (t− βψn )B̃
ψ
n−1(t)− αψnB̃

ψ
n−2(t).

Disso, obtemos

t [B̃ψ
n−1(t)− B̃ψ

n (t)] = βψn B̃
ψ
n−1(t) + αψnB̃

ψ
n−2(t).

Assim,

• t [B̃ψ
0 (t)− B̃ψ

1 (t)] = βψ1 B̃
ψ
0 (t)

• t [B̃ψ
1 (t)− B̃ψ

2 (t)] = βψ2 B̃
ψ
1 (t) + αψ2 B̃

ψ
0 (t)

• t [B̃ψ
2 (t)− B̃ψ

3 (t)] = βψ3 B̃2ψ(t) + α3ψ B̃
ψ
1 (t)

...

• t [B̃ψ
n−1(t)− B̃ψ

n (t)] = βψn B̃
ψ
n−1(t) + αψn B̃

ψ
n−2(t).

Na forma matricial, temos

βψ1 0 0 . . . 0

αψ2 βψ2 0 . . . 0

0 αψ3 βψ3
...

...
. . .

. . . 0

0 . . . 0 αψn βψn





B̃ψ
0 (t)

B̃ψ
1 (t)

B̃ψ
2 (t)
...

B̃ψ
n−1(t)



= t



1 −1 0 . . . 0

0 1 −1
...

...
. . .

. . . 0

0 0 1 −1

0 0 . . . 0 1





B̃ψ
0 v(t)

B̃ψ
1 (t)

B̃ψ
2 (t)
...

B̃ψ
n−1(t)


− tB̃ψ

n (t)



0

0
...

0

1


,

ou seja,

F B̃ψ(t) = tG B̃ψ(t)− t B̃ψ
n (t) en, (1.62)


Preliminares 25

onde en é o vetor unitário (0, 0, . . . , 0, 1)t ∈ Rn,

F =



βψ1 0 0 . . . 0

αψ2 βψ2 0 . . . 0

0 αψ3 βψ3
...

...
. . .

. . . 0

0 . . . 0 αψn βψn


, G =



1 −1 0 . . . 0

0 1 −1
...

...
. . .

. . . 0

0 0 1 −1

0 0 . . . 0 1


e B̃ψ(t) =

(
B̃ψ

0 (t), B̃
ψ
1 (t), B̃

ψ
2 (t), · · · , B̃

ψ
n−1(t)

)t
.

Calculando a equação (1.62) em cada zero tn,j de B
ψ
n , temos

F B̃ψ(tn,j) = tn,j G B̃ψ(tn,j).

Então, cada zero tn,j de B
ψ
n (t) é um autovalor da matriz G−1F associado ao autovetor B̃(tn,j),

onde a matriz G−1F é a matriz de Hessenberg (1.61).

1.6 Frações cont́ınuas

O século XIX provavelmente tenha sido a idade de ouro das frações cont́ınuas. Como Claude

Brezinski escreveu em seu livro History of Continued Fractions and Padé Approximants ([8]), “o

século dezenove pode ser considerado o peŕıodo popular das frações cont́ınuas”. Foi uma época

em que “o assunto era conhecido por todos os matemáticos”. Como consequência, houve uma

explosão no crescimento deste campo.

Veremos, nesta seção, alguns conceitos básicos sobre frações cont́ınuas.

Uma fração cont́ınua é uma expressão da forma

b0 +
a1

b1 +
a2

b2 +
a3

b3 + .. .

,

onde {an}∞n=1 e {bn}∞n=0 são sequências de números complexos ou funções complexas simples

com an ̸= 0. Uma fração cont́ınua pode, também, ser denotada das seguintes formas:

b0 +
a1
b1 +

a2
b2 + . . .

(1.63)

ou

b0 +K∞
n=1

(
an
bn

)
.


Preliminares 26

Os números an e bn são chamados de elementos da fração cont́ınua. O valor

Cn = b0 +
a1

b1 +
a2

b2 +
a3

b3 + .. . +
an
bn

(1.64)

é chamado de n-ésimo convergente ou aproximante da fração cont́ınua (1.63).

Podemos usar as seguintes notações

Cn = b0 +
a1
b1 +

a2
b2 + . . . +

an
bn

ou Cn = b0 +Kn
j=1

(
aj
bj

)
.

Podemos escrever Cn =
An
Bn

, n = 0, 1, 2, . . . , onde A0 = b0, B0 = 1; A1 = b0b1 + a1, B1 =

b1; A2 = b0b1b2 + b0a2 + a1b2, B2 = b1b2 + a2. Em geral, An e Bn são polinômios em ai, bj .

Agora, podemos escrever

A1 = b1A0 + a1A−1, na qual A−1 = 1, B1 = b1B0 + a1B−1 em que B−1 = 0.

Suponhamos que, para algum n ≥ 1,

An = bnAn−1 + anAn−2, A−1 = 1, Bn = bnBn−1 + anBn−2, B−1 = 0. (1.65)

Então, desde que, Cn+1 pode ser obtida de Cn substituindo-se bn por bn + an+1/bn+1, podemos

escrever

Cn+1 =
An+1

Bn+1
=
A∗
n

B∗
n

,

onde, por (1.65),

A∗
n =

(
bn +

an+1

bn+1

)
An−1 + anAn−2

= b−1
n+1[bn+1(bnAn−1 + anAn−2) + an+1An−1]

= b−1
n+1[bn+1An + an+1An−1].

Procedendo da mesma maneira, obtemos B∗
n = b−1

n+1[bn+1Bn + an+1Bn−1]. Assim,

Cn+1 =
bn+1An + an+1An−1

bn+1An + an+1An−1
.

Segue, por indução, que, se bi ̸= 0 para i ≥ 1, então as fórmulas em (1.65) são válidas para

n ≥ 1. An e Bn são chamados, respectivamente, n-ésimos numerador e denominador parciais.

Multiplicando a primeira equação em (1.65) por Bn−1, a segunda equação por An−1 e, em

seguida, subtraindo a segunda da primeira, obtemos

AnBn−1 −BnAn−1 = −an[An−1Bn−2 −Bn−1An−2],


Preliminares 27

Dáı,

AnBn−1 −BnAn−1 = (−1)n+1a1a2 . . . an, n ≥ 1.

Logo, podemos escrever
An
Bn

− An−1

Bn−1
=

(−1)n+1a1a2 . . . an
Bn−1Bn

.

Lembrando que A0/B0 = b0, obtemos a importante fórmula

An
Bn

= b0 +

n∑
k=1

(−1)k+1a1a2 . . . ak
Bk−1Bk

,

contanto que bi ̸= 0 e Bi ̸= 0, 1 ≤ i ≤ n.

1.6.1 Conexão com polinômios ortogonais

A fórmula de Wallis (1.65) estabelece uma conexão entre os polinômios ortogonais e as frações

continuas. Consideremos, então, a sequência de polinômios ortogonais com relação à medida

positiva dϕ(x) em (a, b), {P ϕn }∞n=0. Tomando, em (1.63),

b0 = 0, a1 = αϕ1 ̸= 0, an+1 = −αϕn+1 ̸= 0 e bn = x− βϕn , n ≥ 1,

obtemos a fração continua

αϕ1

x− βϕ1 –

αϕ2

x− βϕ2 –

αϕ3

x− βϕ3 – . . . –

αϕn

x− βϕn – . . .
,

cujo n-ésimo denominador parcial, Bn = Pϕn (x), satisfaz

P ϕn (x) = (x− βϕn)P
ϕ
n−1(x)− αϕnP

ϕ
n−2(x), n = 1, 2, 3, . . .

com Pϕ−1(x) = 0, P ϕ0 (x) = 1.

1.6.2 Conexão com polinômios L-ortogonais

Vamos obter, agora, a conexão entre os polinômios L-ortogonais e as frações cont́ınuas. Re-

tornemos às fórmulas de Wallis. Tomando, em (1.63),

b0 = 0, a1 = µψ0 ̸= 0, an+1 = −αψn+1z ̸= 0 e bn = z − βψn , n ≥ 1,

onde αψn+1 e β
ψ
n , n ≥ 1, são os coeficientes da relação de recorrência dos polinômios L-ortogonais

Bψ
n (t) com relação a distribuição dψ(t), obtemos a fração cont́ınua,

µψ0

t− βψ1 –

αψ2 t

t− βψ2 –

αψ3 t

t− βψ3 – . . . –

αψn t

t− βψn – . . .
. (1.66)


Preliminares 28

Observe que os n-ésimos numerador e denominador parciais são, respectivamente, o polinômio

associado de grau n− 1, An(z), e o polinômio L-ortogonal de grau n, Bn(z). Portanto, eles sa-

tisfazem às relações de recorrência (1.58) e (1.57), respectivamente.

Conhecendo-se, pois, as relações de recorrência de polinômios ortogonais ou L-ortogonais, é

posśıvel construir a correspondente fração cont́ınua a partir dos coeficientes dessas relações.

Assim,

Aψn(t)

Bψ
n (t)

=
µψ0

t− βψ1 –

αψ2 t

t− βψ2 –

αψ3 t

t− βψ3 – . . . –

αψn t

t− βψn
. (1.67)

1.7 Sequências encadeadas

Nesta sessão vamos estudar um tipo particular de sequência denominada sequência encadeada.

O desenvolvimento sistemático da teoria das sequências encadeadas é devido a H.S. Wall [24].

Vamos omitir as demonstrações dos resultados aqui enunciados, mas podem ser encontrados em

Chihara [9].

Definição 1.10. Uma sequência {an}∞n=1 é chamada uma sequência encadeada se existe uma

sequência {gk}∞k=0 tal que

(i) 0 ≤ g0 < 1, 0 < gn < 1, n ≥ 1

(ii) an = (1− gn−1)gn, n = 1, 2, 3, . . .
(1.68)

{gk} é chamada uma sequência de parâmetro para {an} e g0 é chamada uma sequência de

parâmetro inicial.

Embora seja trivial construir exemplos de sequências encadeadas, é sempre dif́ıcil determinar

se uma sequência dada é uma sequência encadeada. Em alguns casos, pode-se determinar uma

sequência de parâmetros indutivamente tomando g0 = 0, g1 = a1 e tentar resolver (1.68) suces-

sivamente para os gi, i = 2, 3, . . . . Por exemplo, se tentarmos isso com a sequência constante,

{1/4}, encontramos

g0 = 0, g1 =
1

4
, g2 =

1

3
, g3 =

3

8
, . . .

e, a partir daqui, é fácil deduzir que gn = n/[2(n+1)]. Assim {1/4} é uma sequência encadeada.

No entanto, essa sequência encadeada também tem uma sequência de parâmetros mais simples

{1/2}. Mais geralmente, podemos notar as identidades

a =

(
1− 1−

√
1− 4a

2

)
1−

√
1− 4a

2
=

(
1− 1 +

√
1− 4a

2

)
1 +

√
1− 4a

2
.


Preliminares 29

Assim, a sequência constante {a} é uma sequência encadeada se 0 < a ≤ 1/4.

Observamos, a partir dos exemplos acima, que uma sequência encadeada não precisa ter uma

única sequência de parâmetros.

Teorema 1.20. Seja {an} uma sequência encadeada e sejam {gk} e {hk} sequências de parâmetros

para {an}. Então,

gk < hk para k ≥ 1 se, e somente se, g0 < h0.

Teorema 1.21. Seja {an} uma sequência encadeada. Se {an} tem uma sequência de parâmetros

{gk} que satisfaz g0 > 0, então para cada h0 tal que 0 ≤ h0 < g0, existe uma sequência de

parâmetros correspondente, {hn}.

De acordo com o teorema anterior, cada sequência encadeada tem uma sequência de parâmetros

{mk} tal que m0 = 0 e, pelo Teorema 1.20, temos então mn < gn para qualquer outra sequência

de parâmetros {gk}.

Definição 1.11. A correspondente sequência de parâmetros {mk} para a sequência encadeada

{an}, com m0 = 0, é chamada de sequência minimal de parâmetros.

Uma sequência encadeada é dita ter seus parâmetros unicamente determinados se a única

sequência de parâmetros é {mk}. Se {an} não tem seus parâmetros unicamente determinados,

então o Teorema 1.21 assegura que o conjunto dos parâmetros iniciais é conexo.

Definição 1.12. Seja {an} uma sequência encadeada. Uma sequência de parâmetros {Mk}

que satisfaz Mk > gk (k ≥ 0) para qualquer outra sequência de parâmetros {gk} é chamada de

sequência maximal de parâmetros.

Teorema 1.22. Toda sequência encadeada tem uma sequência maximal de parâmetros.


Caṕıtulo 2

Polinômios ortogonais associados a

medidas simétricas relacionadas

Neste caṕıtulo, estudamos as propriedades de duas sequências de polinômios ortogonais associ-

ados a medidas simétricas relacionadas. O estudo foi baseado, principalmente, no artigo [7].

Considere dϕ0 e dϕ1 duas medidas simétricas definidas no mesmo suporte E ⊆ [−b, b] e

satisfazendo

dϕ1(x) =
c

1 + qx2
dϕ0(x), (2.1)

onde q admite qualquer valor real tal que 1 + qx2 não muda de sinal em E e a constante c é tal

que (1 + qx2)/c é não negativa em E.

Sejam {P ϕ0n }∞n=0 e {P ϕ1n }∞n=0 sequências de polinômios ortogonais mônicos com relação, res-

pectivamente, às medidas dϕ0 e dϕ1.

2.1 Resultados preliminares

Primeiramente, mostraremos algumas identidades que serão usadas nas demonstrações dos re-

sultados mais importantes desta seção.

Lema 2.1. Os polinômios P ϕ0n e P ϕ1n , n ≥ 0, satisfazem à seguinte fórmula de Christoffel:

(1 + qx2)P ϕ0n (x) =
q

P ϕ1n (
√

−1/q)
{P ϕ1n (

√
−1/q)P ϕ1n+2(x)− P ϕ1n+2(

√
−1/q)P ϕ1n (x)}. (2.2)

Demonstração: Desde que (1+qx2)P ϕ0n (x) é um polinômio de grau n+2, podemos escrevê-lo

30


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 31

como combinação linear dos polinômios P ϕ10 , P ϕ11 , . . . , Pϕ1n+2, isto é,

(1 + qx2)P ϕ0n (x) =
n+2∑
j=0

bjP
ϕ1
j (x). (2.3)

Multiplicando ambos os lados da igualdade anterior por Pϕ1k e integrando com relação à medida

dϕ1, de (1.9) obtemos∫ b

−b
Pϕ0n (x)P ϕ1k (x)(1 + qx2)dϕ1(x) =

n+2∑
j=0

bj

∫ b

−b
P ϕ1j (x)P ϕ1k (x)dϕ1(x) = bk

∫ b

−b
[P ϕ1k (x)]2dϕ1(x),

para k = 0, 1, . . . , n+ 2. Logo, como dϕ1(x) =
c

1 + qx2
dϕ0(x), temos que

bk =
c
∫ b
−b P

ϕ0
n (x)P ϕ1k (x)dϕ0(x)∫ b

−b[P
ϕ1
k (x)]2dϕ1(x)

, k = 0, 1, . . . , n+ 2.

Assim, pelo Teorema 1.4, bk = 0 para k = 0, 1, . . . , n− 1.

Segue, então, por (2.3), que

(1 + qx2)Pϕ0n (x) = bnP
ϕ1
n (x) + bn+1P

ϕ1
n+1(x) + bn+2P

ϕ1
n+2(x).

Mas, como se tratam de medidas simétricas, pelo Teorema 1.8 conclúımos que bn+1 = 0. Assim,

(1 + qx2)P ϕ0n (x) = bn+2P
ϕ1
n+2(x) + bnP

ϕ1
n (x). (2.4)

Comparando os termos de maior grau em ambos os lados da igualdade acima, conclúımos que

bn+2 = q. Agora, tomando x =
√

−1/q na relação (2.4), obtemos

0 = qP ϕ1n+2(
√

−1/q) + bnP
ϕ1
n (
√

−1/q),

o que implica que bn = −q
P ϕ1n+2(

√
−1/q)

P ϕ1n (
√

−1/q)
. Substituindo os valores obtidos para bn e bn+2 em

(2.4), obtemos a relação (2.2).

Lema 2.2. Os polinômios das sequências {P ϕ0n }∞n=0 e {P ϕ1n }∞n=0 satisfazem à seguinte relação:

P ϕ1n (x) = P ϕ0n (x) + dn−2P
ϕ0
n−2(x), n ≥ 2, (2.5)

com

dn−2 =
qρϕ1n

cρϕ0n−2

, n ≥ 2. (2.6)


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 32

Demonstração: Expressando P ϕ1n por uma combinação linear de P ϕ0r , r = 0, 1, . . . , n, obtemos

P ϕ1n (x) = P ϕ0n (x) +

n−1∑
r=0

drP
ϕ0
r (x). (2.7)

Dáı, usando a propriedade de ortogonalidade (1.9), para j = 0, 1, . . . , n− 1, temos que∫ b

−b
P ϕ1n (x)P ϕ0j (x)dϕ0(x) =

∫ b

−b

[
Pϕ0n (x) +

n−1∑
r=0

drP
ϕ0
r (x)

]
P ϕ0j (x)dϕ0(x)

=
n−1∑
r=0

dr

∫ b

−b
P ϕ0r (x)P ϕ0j (x)dϕ0(x)

= dj

∫ b

−b
[P ϕ0j (x)]2dϕ0(x) = djρ

ϕ0
j .

Além disso,∫ b

−b
P ϕ1n (x)P ϕ0j (x)dϕ0(x) =

∫ b

−b
P ϕ1n (x)P ϕ0j (x)

(1 + qx2)

c
dϕ1(x)

=
q

c

∫ b

−b
P ϕ1n (x)x2P ϕ0j (x)dϕ1(x), j = 0, . . . , n− 1.

Então,

dj =
q

c

∫ b
−b P

ϕ1
n (x)x2P ϕ0j (x)dϕ1(x)∫ b
−b[P

ϕ0
j (x)]2dϕ0(x)

, j = 0, 1, . . . , n− 1. (2.8)

Pelo Teorema 1.4, obtemos dj = 0 para j = 0, 1, . . . , n− 3.

Logo, de (2.7), temos

Pϕ1n (x) = P ϕ0n (x) + dn−2P
ϕ0
n−2(x), n ≥ 2,

pois dn−1 = 0, devido à propriedade de simetria P ϕ0n (x) = (−1)nP ϕ0n (−x).

Assim, por (2.8), temos

dn−2 =
q

c

∫ b
−b P

ϕ1
n (x)x2P ϕ0n−2(x)dϕ1(x)

ρϕ0n−2

, n ≥ 2. (2.9)

Como Rn(x) = x2P ϕ0n−2(x) é um polinômio mônico de grau n, podemos expressá-lo como

Rn(x) = Pϕ1n (x) +

n−1∑
j=0

cjP
ϕ1
j (x).


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 33

Da propriedade de ortogonalidade (1.9), temos∫ b

−b
P ϕ1n (x)Rn(x)dϕ1(x) =

∫ b

−b
P ϕ1n (x)P ϕ1n (x)dϕ1(x) +

n−1∑
j=0

cj

∫ b

−b
P ϕ1n (x)P ϕ1j (x)dϕ1(x)

=

∫ b

−b
[P ϕ1n (x)]2dϕ1(x) = ρϕ1n .

Substituindo em (2.9), obtemos (2.6).

Definamos αϕ11 = µϕ10 e αϕ01 = cµϕ00 . De (1.11), temos que αϕ12 =
µϕ12

µϕ10
. Assim,

αϕ01 − αϕ11 = cµϕ00 − αϕ11 = c

∫ b

−b
dϕ0(x)− αϕ11 = c

∫ b

−b

1 + qx2

c
dϕ1(x)− αϕ11

= µϕ10 + qµϕ12 − αϕ11 = qαϕ12 α
ϕ1
1 . (2.10)

Estamos, agora, em condições de demonstrar os próximos dois resultados, que relacionam os

coeficientes da equação (2.5) com os coeficientes das relações de recorrência para os polinômios

P ϕ0n e P ϕ1n .

2.2 Propriedades entre os coeficientes relacionados

Teorema 2.1. Dadas dϕ0(x) e dϕ1(x) tais que (2.1) seja válido, então os coeficientes da relação

(2.5) satisfazem

dn−1

dn−2
=
αϕ1n+2

αϕ0n
, n ≥ 2 (2.11)

e

dn−1 − dn−2 = αϕ0n+1 − αϕ1n+1, n ≥ 2, (2.12)

com d0 =
qαϕ13 α

ϕ1
2 α

ϕ1
1

αϕ01
= αϕ02 − αϕ12 .

Demonstração: Por (2.6) e (1.12),

dn−2 =
qρϕ1n

cρϕ0n−2

=
qαϕ1n+1α

ϕ1
n . . . αϕ12 µ

ϕ1
0

cαϕ0n−1α
ϕ0
n−2 . . . α

ϕ0
2 µ

ϕ0
0

=
qαϕ1n+1α

ϕ1
n . . . αϕ12 α

ϕ1
1

cαϕ0n−1α
ϕ0
n−2 . . . α

ϕ0
2

αϕ01
c

= q
αϕ1n+1α

ϕ1
n . . . αϕ12 α

ϕ1
1

αϕ0n−1α
ϕ0
n−2 . . . α

ϕ0
2 α

ϕ0
1

, n ≥ 2, (2.13)

pois, por definição, αϕ11 = µϕ10 e αϕ01 = cµϕ00 .


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 34

Da relação (2.13), a expressão para d0 é evidente. De fato, se fizermos n = 2, obtemos

d0 =
qαϕ13 α

ϕ1
2 α

ϕ1
1

αϕ01
.

De (2.13),

dn−1

dn−2
=
ρϕ1n+1

ρϕ0n−1

ρϕ0n−2

ρϕ1n
=
αϕ1n+2α

ϕ1
n+1 . . . α

ϕ1
2 α

ϕ1
1

αϕ0n α
ϕ0
n−1 . . . α

ϕ0
2 α

ϕ0
1

αϕ0n−1α
ϕ0
n−2 . . . α

ϕ0
2 α

ϕ0
1

αϕ1n+1α
ϕ1
n . . . αϕ12 α

ϕ1
1

=
αϕ1n+2

αϕ0n
, n ≥ 2,

o que demonstra (2.11).

Agora, de (1.10), temos

P ϕ0n−2(x) =
xP ϕ0n−1(x)

αϕ0n
− P ϕ0n (x)

αϕ0n
.

Usando este resultado em (2.5), obtemos

P ϕ1n (x) = P ϕ0n (x) + dn−2

[
xPϕ0n−1(x)

αϕ0n
− P ϕ0n (x)

αϕ0n

]
.

Logo,

P ϕ1n (x) =

[
1− dn−2

αϕ0n

]
P ϕ0n (x) +

dn−2

αϕ0n
xP ϕ0n−1(x), n ≥ 2. (2.14)

Usando (2.5) e (2.14) na relação de recorrência (1.10) para P ϕ1n , temos

P ϕ0n+1(x) + dn−1P
ϕ0
n−1(x) = P ϕ1n+1(x) = xP ϕ1n (x)− αϕ1n+1P

ϕ1
n−1(x)

= x
[
P ϕ0n (x) + dn−2P

ϕ0
n−2(x)

]
−αϕ1n+1

[(
1− dn−3

αϕ0n−1

)
P ϕ0n−1(x) +

dn−3

αϕ0n−1

xPϕ0n−2(x)

]
.

Isto implica que, para n ≥ 3,

P ϕ0n+1(x) = xPϕ0n (x)−

[
αϕ1n+1 − dn−3

αϕ1n+1

αϕ0n−1

+ dn−1

]
P ϕ0n−1(x) + x

[
dn−2 − dn−3

αϕ1n+1

αϕ0n−1

]
P ϕ0n−2(x).

Portanto, de (2.11), tem-se que dn−2 =
αϕ1n+1

αϕ0n−1

dn−3 e, então,

P ϕ0n+1(x) = xP ϕ0n (x)−
[
αϕ1n+1 − dn−2 + dn−1

]
Pϕ0n−1(x).

Comparando a relação acima com (1.10), obtemos

dn−1 − dn−2 = αϕ0n+1 − αϕ1n+1, n ≥ 3. (2.15)


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 35

Similarmente, de (2.5), com P ϕ10 (x) = P ϕ00 (x) = 1 e P ϕ11 (x) = P ϕ01 (x) = x, a relação (2.12)

para n = 2 e d0 = αϕ02 − αϕ12 são também obtidas. De fato, por (1.10), temos

P ϕ12 (x) = xPϕ11 (x)− αϕ12 P
ϕ1
0 (x) = x2 − αϕ12

e

P ϕ02 (x) = xP ϕ01 (x)− αϕ02 P
ϕ0
0 (x) = x2 − αϕ02 .

Por (2.5), P ϕ12 (x) = P ϕ02 (x) + d0, o que implica que

d0 = P ϕ12 (x)− P ϕ02 (x) = αϕ02 − αϕ12 .

Ainda de (1.10), temos

P ϕ13 (x) = xPϕ12 (x)− αϕ13 x e P ϕ03 (x) = xP ϕ02 (x)− αϕ03 x.

Mas, de (2.5), temos que P ϕ13 (x) = P ϕ03 (x) + d1x. Logo,

xP ϕ12 (x)− αϕ13 x = xP ϕ02 (x)− αϕ03 x+ d1x,

o que implica que

d0 =
[
P ϕ12 (x)− P ϕ02 (x)

]
= d1 + αϕ13 − αϕ03 .

Portanto,

d1 − d0 = αϕ03 − αϕ13 . (2.16)

De (2.15) e (2.16), vemos que (2.12) se verifica, completando, assim, a demonstração.

Teorema 2.2. Dadas dϕ0 e dϕ1 tais que (2.1) seja válido, então

(αϕ13 − d0)α
ϕ0
1 = αϕ13 α

ϕ1
1 , (αϕ14 − d1)α

ϕ0
2 = αϕ14 α

ϕ1
2 ,

e

(αϕ1n+2 − dn−1)α
ϕ0
n = αϕ1n+2(α

ϕ1
n − dn−3), n ≥ 3.

Consequentemente,

(αϕ12n+1 − d2n−2)α
ϕ0
2n−1 . . . α

ϕ0
3 α

ϕ0
1 = αϕ12n+1α

ϕ1
2n−1 . . . α

ϕ1
3 α

ϕ1
1 , n ≥ 1 (2.17)

(αϕ12n+2 − d2n−1)α
ϕ0
2n . . . α

ϕ0
4 α

ϕ0
2 = αϕ12n+2α

ϕ1
2n . . . α

ϕ1
4 α

ϕ1
2 , n ≥ 1. (2.18)


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 36

Demonstração: Como, pelo Teorema 2.1, d0 =
qαϕ13 α

ϕ1
2 α

ϕ1
1

αϕ01
, de (2.10) segue que

d0 =
qαϕ13 α

ϕ1
2 α

ϕ1
1

αϕ01
=
αϕ13 (αϕ01 − αϕ11 )

αϕ01
.

Isto implica que d0α
ϕ0
1 = αϕ13 α

ϕ0
1 − αϕ13 α

ϕ1
1 . Logo,

(αϕ13 − d0)α
ϕ0
1 = αϕ13 α

ϕ1
1 . (2.19)

Agora, usando (2.11) e como d0 = αϕ02 − αϕ12 , segue que
d1
d0

=
αϕ14

αϕ02
, o que implica que

d1α
ϕ0
2 = αϕ14 α

ϕ0
2 − αϕ14 α

ϕ1
2 . Logo,

(αϕ14 − d1)α
ϕ0
2 = αϕ14 α

ϕ1
2 . (2.20)

De (2.11), obtemos

αϕ0n α
ϕ1
n+2 + dn−1α

ϕ0
n = αϕ1n+2dn−2 + αϕ0n α

ϕ1
n+2,

o que implica que

αϕ1n+2(α
ϕ0
n − dn−2) = αϕ0n (αϕ1n+2 − dn−1).

Como, por (2.12), dn−2 − dn−3 = αϕ0n − αϕ1n , então αϕ0n − dn−2 = αϕ1n − dn−3, para n ≥ 3.

Logo,

(αϕ1n+2 − dn−1)α
ϕ0
n = αϕ1n+2(α

ϕ1
n − dn−3), n ≥ 3. (2.21)

Conclúımos, assim, a demonstração da primeira parte do teorema.

Agora, de (2.21), obtemos

(αϕ12n+2 − d2n−1)α
ϕ0
2n = αϕ12n+2(α

ϕ1
2n − d2n−3)

= αϕ12n+2

αϕ12n

αϕ02n−2

(αϕ12n−2 − d2n−5)

= . . .

= αϕ12n+2

αϕ12n

αϕ02n−2

αϕ12n−2

αϕ02n−4

. . .
αϕ16

αϕ04
(αϕ14 − d1).

Como, por (2.20), (αϕ14 − d1) =
αϕ14 α

ϕ1
2

αϕ02
, segue que

(αϕ12n+2 − d2n−1)α
ϕ0
2n = αϕ12n+2

αϕ12n

αϕ02n−2

αϕ12n−2

αϕ02n−4

. . .
αϕ16

αϕ04

αϕ14 α
ϕ1
2

αϕ02


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 37

e, então,

(αϕ12n+2 − d2n−1)α
ϕ0
2nα

ϕ0
2n−2α

ϕ0
2n−4 . . . α

ϕ0
4 α

ϕ0
2 = αϕ12n+2α

ϕ1
2nα

ϕ1
2n−2 . . . α

ϕ1
6 α

ϕ1
4 α

ϕ1
2 ,

o que demonstra (2.18).

De maneira análoga, de (2.21) e (2.19) mostramos (2.17), concluindo, assim, a demonstração

do teorema.

Consideremos, agora, a sequência de números reais {ℓn}∞n=0 tais que

ℓ0 = 1, (ℓ1 − 1) = 2qαϕ12 , (ℓ2 − 1) =
2qαϕ13 α

ϕ1
1

αϕ01
(2.22)

e

(ℓn+1 − 1) =
αϕ1n+2

αϕ0n
(ℓn−1 − 1), n ≥ 2. (2.23)

Usando (2.23) e (2.11), temos que

(ℓn+1 − 1)

(ℓn−1 − 1)
=
dn−1

dn−2
, n ≥ 2. (2.24)

De (2.22) e (2.23), obtemos

(ℓn+1 − 1) =
αϕ1n+2

αϕ0n
(ℓn−1 − 1) =

αϕ1n+2

αϕ0n

αϕ1n

αϕ0n−2

(ℓn−3 − 1) = . . .

=
αϕ1n+2

αϕ0n

αϕ1n

αϕ0n−2

. . .
αϕ14

αϕ02
(ℓ1 − 1) =

αϕ1n+2

αϕ0n

αϕ1n

αϕ0n−2

. . .
αϕ14

αϕ02
2qαϕ12

e

(ℓn − 1) =
αϕ1n+1

αϕ0n−1

(ℓn−2 − 1) =
αϕ1n+1

αϕ0n−1

αϕ1n−1

αϕ0n−3

(ℓn−4 − 1) = . . .

=
αϕ1n+1

αϕ0n−1

αϕ1n−1

αϕ0n−3

. . .
αϕ15

αϕ03
(ℓ2 − 1) =

αϕ1n+1

αϕ0n−1

αϕ1n−1

αϕ0n−3

. . .
αϕ15

αϕ03

2qαϕ13 α
ϕ1
1

αϕ01
.

Assim,

(ℓn+1 − 1)(ℓn − 1) = q
αϕ1n+2α

ϕ1
n+1α

ϕ1
n . . . αϕ13 α

ϕ1
2 α

ϕ1
1

αϕ0n α
ϕ0
n−1α

ϕ0
n−2 . . . α

ϕ0
3 α

ϕ0
2 α

ϕ0
1

4q.

De (2.13), conclúımos que

(ℓn+1 − 1)(ℓn − 1) = 4qdn−1, n ≥ 1. (2.25)

A seguir, nos Teoremas 2.3 e 2.4, demonstraremos como os coeficientes das relações de

recorrência para P ϕ0n e Pϕ1n , n ≥ 0, se relacionam com os elementos da sequência {ℓn}∞n=0.


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 38

Teorema 2.3. Dadas dϕ0 e dϕ1 tais que (2.1) seja válido, então, para n ≥ 1, os elementos da

sequência {ℓn}, definidos por (2.22) e (2.23), satisfazem

(ℓ2n+1 − 1)

2
= q

αϕ12n+2α
ϕ1
2n . . . α

ϕ1
4 α

ϕ1
2

αϕ02n . . . α
ϕ0
4 α

ϕ0
2

,
(ℓ2n − 1)

2
= q

αϕ12n+1α
ϕ1
2n−1 . . . α

ϕ1
3 α

ϕ1
1

αϕ02n−1 . . . α
ϕ0
3 α

ϕ0
1

, (2.26)

(ℓ2n−1 + 1)

2
=
αϕ02n−1α

ϕ0
2n−3 . . . α

ϕ0
1

αϕ12n−1α
ϕ1
2n−3 . . . α

ϕ1
1

e
(ℓ2n + 1)

2
=
αϕ02nα

ϕ0
2n−2 . . . α

ϕ0
2

αϕ12nα
ϕ1
2n−2 . . . α

ϕ1
2

. (2.27)

Demonstração: De (2.23), temos que

(ℓ2n+1 − 1)

2
= q

αϕ12n+2α
ϕ1
2n . . . α

ϕ1
4 α

ϕ1
2

αϕ02n . . . α
ϕ0
4 α

ϕ0
2

(2.28)

e

(ℓ2n − 1)

2
= q

αϕ12n+1α
ϕ1
2n−1 . . . α

ϕ1
3 α

ϕ1
1

αϕ02n−1 . . . α
ϕ0
3 α

ϕ0
1

. (2.29)

Agora, de (2.25) e (2.12), segue que

(ℓ2n+1 − 1)

2
=

qd2n−1

(ℓ2n − 1)/2
=
q[αϕ02n+1 − αϕ12n+1 + d2n−2]

(ℓ2n − 1)/2
, n ≥ 1.

Portanto, de (2.29),

(ℓ2n+1 − 1)

2
=

q[αϕ02n+1 − αϕ12n+1 + d2n−2]

(ℓ2n − 1)/2

= q[αϕ02n+1 − αϕ12n+1 + d2n−2]
αϕ02n−1 . . . α

ϕ0
3 α

ϕ0
1

qαϕ12n+1α
ϕ1
2n−1 . . . α

ϕ1
3 α

ϕ1
1

=
αϕ02n+1α

ϕ0
2n−1 . . . α

ϕ0
3 α

ϕ0
1

αϕ12n+1α
ϕ1
2n−1 . . . α

ϕ1
3 α

ϕ1
1

+
[d2n−2 − αϕ12n+1]α

ϕ0
2n−1 . . . α

ϕ0
3 α

ϕ0
1

αϕ12n+1α
ϕ1
2n−1 . . . α

ϕ1
3 α

ϕ1
1

=
αϕ02n+1α

ϕ0
2n−1 . . . α

ϕ0
3 α

ϕ0
1

αϕ12n+1α
ϕ1
2n−1 . . . α

ϕ1
3 α

ϕ1
1

− 1,

pois, por (2.17),
[d2n−2 − αϕ12n+1]α

ϕ0
2n−1 . . . α

ϕ0
3 α

ϕ0
1

αϕ12n+1α
ϕ1
2n−1 . . . α

ϕ1
3 α

ϕ1
1

= −1. Logo,

(ℓ2n+1 + 1)

2
=
αϕ02n+1α

ϕ0
2n−1 . . . α

ϕ0
3 α

ϕ0
1

αϕ12n+1α
ϕ1
2n−1 . . . α

ϕ1
3 α

ϕ1
1

e, assim,

(ℓ2n−1 + 1)

2
=
αϕ02n−1α

ϕ0
2n−3 . . . α

ϕ0
1

αϕ12n−1α
ϕ1
2n−3 . . . α

ϕ1
1

, n ≥ 1. (2.30)


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 39

De maneira análoga, conclúımos, também, que

(ℓ2n + 1)

2
=
αϕ02nα

ϕ0
2n−2 . . . α

ϕ0
2

αϕ12nα
ϕ1
2n−2 . . . α

ϕ1
2

, n ≥ 1. (2.31)

Verifiquemos, agora, os resultados para
ℓ1 + 1

2
e
ℓ2 + 1

2
. Fazendo n = 1 em (2.31), temos

que
ℓ2 + 1

2
=
αϕ02

αϕ12
e isto implica que

ℓ2 − 1

2
=
αϕ02

αϕ12
− 1 =

αϕ02 − αϕ12

αϕ12
.

Como, pelo Teorema 2.1, αϕ02 − αϕ12 =
qαϕ13 α

ϕ1
2 α

ϕ1
1

αϕ01
, conclúımos que

(ℓ2 − 1) =
2qαϕ13 α

ϕ1
1

αϕ01
. (2.32)

Agora, fazendo n = 1 em (2.30), obtemos
ℓ1 − 1

2
=

αϕ01 − αϕ11

αϕ11
. Como, por definição,

αϕ01 − αϕ11 = qαϕ12 α
ϕ1
1 , segue que

(ℓ1 − 1) = 2qαϕ12 . (2.33)

Dos resultados obtidos em (2.28),(2.29),(2.30),(2.31),(2.32) e (2.33) conclúımos que o teo-

rema está demonstrado.

Teorema 2.4. Dadas as distribuições simétricas dϕ0 e dϕ1 tais que (2.1) seja válido, então

existe uma sequência de números reais {ℓn = ℓn(q)}∞n=0 tal que

αϕ1n+1 =
1

4q
(ℓn − 1)(ℓn−1 + 1), αϕ0n+1 =

1

4q
(ℓn − 1)(ℓn+1 + 1), n ≥ 1,

e

dn−1 = dn−1(q) =
1

4q
(ℓn − 1)(ℓn+1 − 1), n ≥ 1,

com ℓ0 = 1 e ℓ1 = 1 + 2qαϕ12 .

Demonstração: Por (2.29), temos que

(ℓn − 1)

2
= q

αϕ1n+1α
ϕ1
n−1 . . . α

ϕ1
3 α

ϕ1
1

αϕ0n−1 . . . α
ϕ0
3 α

ϕ0
1


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 40

e, de (2.30), segue que

(ℓn−1 + 1)

2
=
αϕ0n−1α

ϕ0
n−3 . . . α

ϕ0
1

αϕ1n−1α
ϕ1
n−3 . . . α

ϕ1
1

.

Assim,

(ℓn−1 + 1)(ℓn − 1) = 2
αϕ0n−1α

ϕ0
n−3 . . . α

ϕ0
1

αϕ1n−1α
ϕ1
n−3 . . . α

ϕ1
1

2q
αϕ1n+1α

ϕ1
n−1 . . . α

ϕ1
3 α

ϕ1
1

αϕ0n−1 . . . α
ϕ0
3 α

ϕ0
1

= 4qαϕ1n+1.

Logo,

αϕ1n+1 =
1

4q
(ℓn−1 + 1)(ℓn − 1), n ≥ 1.

De maneira análoga, obtemos

αϕ0n+1 =
1

4q
(ℓn − 1)(ℓn+1 + 1), n ≥ 1,

com ℓ0 = 1 e ℓ1 = 1 + 2qαϕ12 . De (2.25), conclúımos a demonstração do teorema.

Conhecendo-se os coeficientes da relação de recorrência para Pϕ1n (P ϕ0n ), o próximo teorema

mostra como obter os coeficientes da relação de recorrência para P ϕ0n (P ϕ1n ).

Teorema 2.5. Consideremos as distribuições simétricas dϕ1 e dϕ0 satisfazendo (2.1). Então,

dada a sequência de coeficientes {αϕ1n+1}∞n=1, a sequência {αϕ0n+1}∞n=1 pode ser gerada por

αϕ0n+1 =
b
(1)
n−1b

(1)
n+2

b
(1)
n b

(1)
n+1

αϕ1n+1, n ≥ 1,

em que os números b
(1)
n satisfazem b

(1)
0 = b

(1)
1 = 1 e b

(1)
n+1 = b

(1)
n + qαϕ1n+1b

(1)
n−1, n ≥ 1.

Similarmente, dada a sequência de coeficientes {αϕ0n+1}∞n=1, a sequência {αϕ1n+1}∞n=1 pode ser

gerada por

αϕ12 =
b
(2)
2

b
(2)
1

αϕ02 , αϕ1n+2 =
b
(2)
n−1b

(2)
n+2

b
(2)
n b

(2)
n+1

αϕ0n+2, n ≥ 1,

com b
(2)
n satisfazendo b

(2)
0 = 1, b

(2)
1 = µϕ10 /(cµ

ϕ0
0 ) e b

(2)
n+1 = [−b(2)n + b

(2)
n−1]/[qα

ϕ0
n+1], n ≥ 1.

Demonstração: Dada a sequência {αϕ1n+1}∞n=1, do Teorema 2.4 obtemos

(ℓn − 1) =
4qαϕ1n+1

(ℓn−1 + 1)
=

4qαϕ1n+1

2 + (ℓn−1 − 1)
.

Assim,

(ℓn − 1) =
4qαϕ1n+1

2 + (ℓn−1 − 1)
=

4qαϕ1n+1

2 +

4qαϕ1n
2 + (ℓn−2 − 1)

= . . .

=
4qαϕ1n+1

2 +

4qαϕ1n
2 + . . . +

4qαϕ13
2 +

4qαϕ12
2

, n ≥ 1.


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 41

Desta fração cont́ınua, facilmente obtemos

ℓn + 1

2
= 1 +

qαϕ1n+1

1 +

qαϕ1n
1 + . . . +

qαϕ13
1 +

qαϕ12
1

, n ≥ 1. (2.34)

Mostremos, por indução em n, que podemos escrever

(ℓn + 1)

2
=
b
(1)
n+1

b
(1)
n

, n ≥ 0, (2.35)

em que b
(1)
n+1 = b

(1)
n + qαϕ1n+1b

(1)
n−1, n ≥ 1, com b

(1)
0 = b

(1)
1 = 1. De fato,

• para n = 1, temos

ℓ1 + 1

2
= 1 + qαϕ12 =

b
(1)
2

b
(1)
1

,

o que implica em b
(1)
2 = b

(1)
1 + qαϕ12 b

(1)
0 .

• Suponha válido para n = k, isto é,

ℓk + 1

2
= 1 +

qαϕ1k+1

1 +

qαϕ1k
1 + . . . +

qαϕ13
1 +

qαϕ12
1

=
b
(1)
k+1

b
(1)
k

,

com b
(1)
k+1 satisfazendo b

(1)
k+1 = b

(1)
k + qαϕ1k+1b

(1)
k−1.

• Provemos, então, para n = k + 1.

ℓk+1 + 1

2
= 1 +

qαϕ1k+2

1 +

qαϕ1k+1

1 +

qαϕ1k
1 + . . .

qαϕ13
1 +

qαϕ12
1

= 1 +
qαϕ1k+2

(ℓk + 1)/2
= 1 +

qαϕ1k+2b
(1)
k

b
(1)
k+1

=
b
(1)
k+2

b
(1)
k+1

,

em que b
(1)
k+2 = b

(1)
k+1 + qαϕ1k+2b

(1)
k .

Do Teorema 2.4, segue que αϕ0n+1 =
ℓn+1 + 1

ℓn−1 + 1
αϕ1n+1. Usando (2.35), conclúımos que

αϕ0n+1 =
b
(1)
n+2

b
(1)
n+1

b
(1)
n−1

b
(1)
n

αϕ1n+1, n ≥ 1, (2.36)

na qual b
(1)
n , n ≥ 0, são dados por (2.35).


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 42

Analogamente, mostramos que, dada a sequência de coeficientes {αϕ0n+1}∞n=1, a sequência

{αϕ1n+1}∞n=1 pode ser gerada por

αϕ12 =
b
(2)
2

b
(2)
1

αϕ02 , αϕ1n+2 =
b
(2)
n−1b

(2)
n+2

b
(2)
n b

(2)
n+1

αϕ0n+2, n ≥ 1, (2.37)

na qual os b
(2)
n satisfazem b

(2)
0 = 1, b

(2)
1 = µϕ10 /(cµ

ϕ0
0 ) e b

(2)
n−1 = b

(2)
n + qαϕ0n+1b

(2)
n+1, n ≥ 1.

Portanto, de (2.36) e (2.37), conclúımos a demonstração.

Em certas situações, este teorema pode ser usado para obter resultados expĺıcitos . Vejamos

alguns exemplos.

2.2.1 Exemplos

Exemplo 2.2.1. Consideremos dϕ1(x) = (1 − x2)λ−1/2dx, λ > 0, definida no intervalo [−1, 1].

Os polinômios ortogonais mônicos P ϕ1n , n ≥ 0, associados com dϕ1, são os polinômios mônicos

de Gegenbauer, G
(λ)
n , dados explicitamente pela fórmula de recorrência (1.24). Da relação de

recorrência para b
(1)
n no Teorema 2.5, obtemos

b(1)n = (
√
−q)nG(λ)

n (1/
√
−q), n ≥ 0.

De fato, se tomarmos x =
1√
−q

em (1.24), temos que

G
(λ)
n+1(1/

√
−q) = (1/

√
−q)G(λ)

n (1/
√
−q)− α

(λ)
n+1G

(λ)
n−1(1/

√
−q).

Multiplicando ambos os lados da igualdade acima por (
√
−q)n+1, obtemos

(
√
−q)n+1G

(λ)
n+1(1/

√
−q) = (

√
−q)nG(λ)

n (1/
√
−q)− α

(λ)
n+1G

(λ)
n−1(1/

√
−q)(

√
−q)n−1(

√
−q)2

= (
√
−q)nG(λ)

n (1/
√
−q) + α

(λ)
n+1 q G

(λ)
n−1(1/

√
−q)(

√
−q)n−1.

Comparando com a relação de recorrência para b
(1)
n no Teorema 2.5, conclúımos que

b(1)n = (
√
−q)nG(λ)

n (1/
√
−q), n ≥ 0. (2.38)

Portanto, para a distribuição dϕ0(x) = c−1(1 + qx2)(1 − x2)λ−1/2dx, λ > 0, obtemos os

resultados a seguir.


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 43

Pelo Teorema 2.5 e de (2.38),

αϕ02n =
b
(1)
2n−2b

(1)
2n+1

b
(1)
2n−1b

(1)
2n

αϕ12n

=
(
√
−q)2n−2G

(λ)
2n−2(1/

√
−q)

(
√
−q)2n−1G

(λ)
2n−1(1/

√
−q)

(
√
−q)2n+1G

(λ)
2n+1(1/

√
−q)

(
√
−q)2nG(λ)

2n (1/
√
−q)

αϕ12n

=
G

(λ)
2n−2(1/

√
−q)

G
(λ)
2n−1(1/

√
−q)

G
(λ)
2n+1(1/

√
−q)

G
(λ)
2n (1/

√
−q)

αϕ12n. (2.39)

Agora, usando (1.25) e (1.26), obtemos

αϕ02n =
(2n− 2)! 2F1(−n+ 1, n+ λ− 1; 1/2;−1/q)

(2n− 1)! 2F1(−n+ 1, n+ λ; 3/2;−1/q)

×(2n+ 1)! 2F1(−n, n+ λ+ 1; 3/2;−1/q)

(2n)! 2F1(−n, n+ λ; 1/2;−1/q)
αϕ12n

=
(2n+ 1)

(2n− 1)
2F1(−n+ 1, n+ λ− 1; 1/2;−1/q)

2F1(−n+ 1, n+ λ; 3/2;−1/q)

×2F1(−n, n+ λ+ 1; 3/2;−1/q)

2F1(−n, n+ λ; 1/2;−1/q)
αϕ12n.

Como, por (1.24), αϕ12n =
(2n− 1)(2n+ 2λ− 2)

4(2n+ λ− 1)(2n+ λ− 2)
, segue que

αϕ02n =
1

4

(2n+ 1)(2n+ 2λ− 2)

(2n+ λ− 2)(2n+ λ− 1)
2F1(−n+ 1, n+ λ− 1; 1/2;−1/q)

2F1(−n+ 1, n+ λ; 3/2;−1/q)

×2F1(−n, n+ λ+ 1; 3/2;−1/q)

2F1(−n, n+ λ; 1/2;−1/q)
.

De maneira análoga, obtemos

αϕ02n+1 =
1

4

(2n)(2n+ 2λ− 1)

(2n+ λ)(2n+ λ− 1)
2F1(−n+ 1, n+ λ; 3/2;−1/q)

2F1(−n, n+ λ; 1/2;−1/q)

×2F1(−n− 1, n+ λ+ 1; 1/2;−1/q)

2F1(−n, n+ λ+ 1; 3/2;−1/q)
, n ≥ 1.

Exemplo 2.2.2. Se considerarmos dϕ1(x) = e−x
2
dx, definida no intervalo (−∞,∞), os polinômios

ortogonais mônicos P ϕ1n , n ≥ 0, são os polinômios mônicos de Hermite, como visto anteriormente

na forma explicita em (1.32) e através da relação de recorrência de três termos (1.34). Logo,

αϕ1n+1 =
n

2
.

Usando a mesma análise anterior, obtemos

b(1)n = (
√
−q)nHn(1/

√
−q).


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 44

Assim, para a distribuição dϕ0(x) = c−1(1 + qx2)e−x
2
dx, usando o Teorema 2.5 e a relação

para b
(1)
n , obtemos

αϕ0n+1 =
n

2

(
√
−q)n−1Hn−1(1/

√
−q)(

√
−q)n+2Hn+2(1/

√
−q)

(
√
−q)nHn(1/

√
−q)(

√
−q)n+1Hn+1(1/

√
−q)

=
n

2

Hn−1(1/
√
−q)Hn+2(1/

√
−q)

Hn(1/
√
−q)Hn+1(1/

√
−q)

, n ≥ 1. (2.40)

Observe que, mesmo quando q > 0, as frações em (2.39) e (2.40) são números reais, pois os

polinômios de Gegenbauer, Gλn(x), e de Hermite, Hn(x), são funções pares se n é par, e ı́mpares

se n é ı́mpar. Podemos, por exemplo, escrever

G
(λ)
2n (x) = x2n +

n−1∑
k=0

a
(G)
2n,2k x

2k e G
(λ)
2n+1(x) = x

[
x2n +

n−1∑
k=0

a
(G)
2n+1,2k+1 x

2k

]
.

Logo,

G
(λ)
2n (1/

√
−q) = (−1/q)n +

n−1∑
k=0

a
(G)
2n,2k (−1/q)k,

que é um número real, e

G
(λ)
2n+1(1/

√
−q) = −(i/

√
q)

[
(−1/q)n +

n−1∑
k=0

a
(G)
2n+1,2k+1 (−1/q)k

]
,

cujo termo entre colchetes também é real.

Analogamente para Hermite.

2.3 Aplicações a polinômios ortogonais de Sobolev

2.3.1 Caso I: medidas relacionadas por dψ(x) = (1+ qx2) dϕ(x).

A partir do resultados do Teorema 2.4, o teorema a seguir nos dá uma das duas diferentes

maneiras de explorar os polinômios ortogonais de Sobolev associados a pares de distribuições

simétricas.

Teorema 2.6. Sejam dϕ1 e dψ1 duas distribuições simétricas clássicas tais que os polinômios

ortogonais mônicos Pψ1
n e P ϕ1n satisfaçam à relação diferencial

P
′ϕ1
n (x) = nPψ1

n−1(x), n ≥ 1. (2.41)

Se a distribuição dψ0 é dada por

dψ0(x) = (1 + qx2)dϕ1(x), (2.42)


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 45

então os polinômios ortogonais de Sobolev mônicos, Sn, associados com o produto interno

⟨f, g⟩S = ⟨f, g⟩ψ0+k1ϕ1 + k2⟨f
′
, g

′⟩ψ1 , (2.43)

satisfazem S0 = 1, S1(x) = x e

Sn+1(x)− an−1(q, k1, k2)Sn−1(x) = P ϕ1n+1(x) = Pψ0
n+1(x) + dn−1(q)P

ψ0
n−1(x), n ≥ 1.

Aqui, dn−1(0) = an−1(0, k1, k2) = 0 para n ≥ 1 e, quando q ̸= 0, an = an(q, k1, k2) satisfaz

an+1 = −
qαϕ1n+3α

ϕ1
n+4dn+1(q)

qαϕ1n+3α
ϕ1
n+4 + dn+1(q)[k1 + (n+ 1)2(ρψ1

n /ρ
ϕ1
n+1)k2 + qdn−1(q) + qan−1]

, n ≥ 1,

em que

a0(q, k1, k2) =
−d0(q)qαϕ12 α

ϕ1
3

qαϕ12 α
ϕ1
3 + d0(q)k1

e a1(q, k1, k2) =
−d1(q)qαϕ13 α

ϕ1
4

qαϕ13 α
ϕ1
4 + d1(q)[k1 + (ρψ1

0 /ρϕ11 )k2]
.

Os coeficientes dn(q) podem ser obtidos por

dn−1(q) = q−1ℓ̃n(q)ℓ̃n+1(q), n ≥ 1,

em que

ℓ̃n(q) = −1 +
qαψ0

n

ℓ̃n−1(q)
=

qαϕ1n+1

ℓ̃n−1(q) + 1
, n ≥ 2, e ℓ̃1(q) = qαϕ12 .

As constantes q, k1 e k2 devem ser tais que dψ0 é uma distribuição positiva e o produto interno

⟨·, ·⟩S é definido positivo.

Demonstração: De (2.42) e (2.5), temos que

P ϕ1n (x) = Pψ0
n (x) + dn−2(q)P

ψ0
n−2(x), n ≥ 2. (2.44)

Como P
′ϕ1
n (x) = nPψ1

n−1(x), conclúımos que

Pψ1
n−1(x) =

1

n
P

′ψ0
n (x) +

dn−2(q)

n
P

′ψ0
n−2(x), n ≥ 2.

Considerando ℓ̃n(q) = (ℓn − 1)/2, então, pelo Teorema 2.4, temos que

dn−1(q) =
1

q

(ln − 1)

2

(ln+1 − 1)

2
= q−1ℓ̃n(q)ℓ̃n+1(q). (2.45)

Usando novamente o Teorema 2.4, obtemos

ℓ̃n(q) =
(ln − 1)

2
=

(ln + 1)

2
− 1 =

qαψ0
n

ℓ̃n−1(q)
− 1.


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 46

Por outro lado,

ℓ̃n(q) =
qαϕ1n+1

(ℓn−1 + 1)/2
=

qαϕ1n+1

1 + (ℓn−1 − 1)/2
=

qαϕ1n+1

1 + ℓ̃n−1(q)
.

Assim,

ℓ̃n(q) = −1 +
qαψ0

n

ℓ̃n−1(q)
=

qαϕ1n+1

1 + ℓ̃n−1(q)
, n ≥ 2, (2.46)

e, por definição, segue que

ℓ̃1(q) = (ℓ1 − 1)/2 =
2qαϕ12

2
= qαϕ12 . (2.47)

Expandindo P ϕ1n+1(x) = Pψ0
n+1(x)+dn−1(q)P

ψ0
n−1(x) por uma combinação linear dos polinômios

Sn, obtemos

P ϕ1n+1(x) = Sn+1(x)−
n∑
j=0

ajSj(x). (2.48)

Dáı, usando a propriedade de ortogonalidade (1.9), para i = 0, 1, . . . , n, temos que

⟨P ϕ1n+1, Si⟩S = ⟨Sn+1 −
n∑
j=0

ajSj , Si⟩S

= −
n∑
j=0

aj⟨Sj , Si⟩S = −ai⟨Si, Si⟩S.

Além disso, de (2.43), (2.41), (2.5) e do Teorema 1.4,

⟨P ϕ1n+1, Si⟩S = ⟨P ϕ1n+1, Si⟩ψ0 + k1⟨P ϕ1n+1, Si⟩ϕ1

+k2⟨P
′ϕ1
n+1, Si

′⟩ψ1

= ⟨Pψ0
n+1, Si⟩ψ0 + dn−1(q)⟨Pψ0

n−1, Si⟩ψ0

+k1⟨Pϕ1n+1, Si⟩ϕ1 + k2⟨(n+ 1)Pψ1
n , Si⟩ψ1

= dn−1(q)⟨Pψ0
n−1, Si⟩ψ0 .

Assim,

ai = −
dn−1(q)⟨Pψ0

n−1, Si⟩ψ0

⟨Si, Si⟩S
, i = 0, 1, . . . , n. (2.49)

Podemos observar que ai = 0 para i = 0, 1, . . . , n− 2. Portanto, de (2.48), temos que

P ϕ1n+1(x) = Sn+1(x)− an−1Sn−1(x), n ≥ 1, (2.50)

pois an = 0, devido à propriedade de simetria.


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 47

Tomando i = n− 1 em (2.49), obtemos, ainda, que

an−1 = −
dn−1(q)⟨Pψ0

n−1, Sn−1⟩ψ0

⟨Sn−1, Sn−1⟩S
, n ≥ 1, (2.51)

ou seja,

an = an(q, k1, k2) = −dn(q)ρ
ψ0
n

ρSn
, n ≥ 0. (2.52)

Fazendo q = 0 em (2.42) e (2.44), obtemos, respectivamente,

dψ0(x) = dϕ1(x) e P ϕ1n+1(x) = Pψ0
n+1(x) + dn−1(0)P

ψ0
n−1(x).

Assim,

dn−1(0)P
ψ0
n−1(x) = P ϕ1n+1(x)− Pψ0

n+1(x) = 0,

o que implica que dn−1(0) = 0.

Além disso, fazendo q = 0 em (2.51), obtemos

an−1(0, k1, k2) = −
dn−1(0)⟨Pψ0

n−1, Sn−1⟩ψ0

⟨Sn−1, Sn−1⟩S
= 0.

Logo,

dn−1(0) = an−1(0, k1, k2) = 0, n ≥ 1.

Como ρSn = ⟨Sn, Sn⟩S, utilizando (2.44), (2.50) e as hipóteses deste teorema, para n ≥ 1 e

q ̸= 0, obtemos que

ρSn = ⟨Pψ0
n + dn−2(q)P

ψ0
n−2 + an−2Sn−2, Sn⟩S

= ⟨Pψ0
n + dn−2(q)P

ψ0
n−2, Sn⟩S

= ⟨Pψ0
n + dn−2(q)P

ψ0
n−2, P

ψ0
n + dn−2(q)P

ψ0
n−2 + an−2Sn−2⟩ψ0

+k1⟨P ϕ1n , Sn⟩ϕ1 + k2⟨nPψ1
n−1, nP

ψ1
n−1 + an−2S

′
n−2⟩ψ1

= ⟨Pψ0
n , Pψ0

n ⟩ψ0 + d2n−2(q)⟨P
ψ0
n−2, P

ψ0
n−2⟩ψ0

+dn−2(q)an−2⟨Pψ0
n−2, Sn−2⟩ψ0 + k1⟨P ϕ1n , Sn⟩ϕ1

+k2n
2⟨Pψ1

n−1, P
ψ1
n−1⟩ψ1 .

Logo,

ρSn = ρψ0
n + d2n−2(q)ρ

ψ0
n−2 + dn−2(q)an−2ρ

ψ0
n−2 + k1ρ

ϕ1
n + k2n

2ρψ1
n−1, n ≥ 2,


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 48

e, para n = 0, ρS0 = ⟨S0, S0⟩S = ρψ0
0 + k1ρ

ϕ1
0 .

Assim, por (2.52), para n ≥ 1, obtemos

an+1 = −
dn+1(q)ρ

ψ0
n+1

ρψ0
n+1 + d2n−1(q)ρ

ψ0
n−1 + k1ρ

ϕ1
n+1 + k2(n+ 1)2ρψ1

n + dn−1(q)ρ
ψ0
n−1an−1

.

De (2.9), segue que dn(q) =
qρϕ1n+2

ρψ0
n

, o que implica que ρψ0
n =

qρϕ1n+2

dn(q)
. Disso, obtemos

an+1 =
−qρϕ1n+3

qρϕ1n+3

dn+1(q)
+ dn−1(q) q ρ

ϕ1
n+1 + k1ρ

ϕ1
n+1 + k2(n+ 1)2ρψ1

n + qρϕ1n+1an−1

.

Como, por (1.12), ρϕ1n+3 = αϕ1n+4α
ϕ1
n+3ρ

ϕ1
n+1, conclúımos que, para n ≥ 1,

an+1 =
−qαϕ1n+3α

ϕ1
n+4dn+1(q)

qαϕ1n+3α
ϕ1
n+4 + dn+1(q)[k1 + (n+ 1)2(ρψ1

n /ρ
ϕ1
n+1)k2 + qdn−1(q) + qan−1]

.

Agora, fazendo n = 0 em (2.52), temos que a0(q, k1, k2) = −d0(q)ρ
ψ0
0

ρS0
.

Como ρS0 = ρψ0
0 + k1ρ

ϕ1
0 e ρψ0

0 =
qρϕ12
d0(q)

, segue que

a0(q, k1, k2) =
−d0(q)(qρϕ12 )/d0(q)

(qρϕ12 )/d0(q) + k1ρ
ϕ1
0

=
−d0(q)qαϕ13 α

ϕ1
2 ρ

ϕ1
0

qαϕ13 α
ϕ1
2 ρ

ϕ1
0 + k1d0(q)ρ

ϕ1
0

.

Portanto,

a0(q, k1, k2) =
−d0(q)qαϕ12 α

ϕ1
3

qαϕ12 α
ϕ1
3 + d0(q)k1

.

Do mesmo modo, fazendo n = 1 em (2.52), temos que a1(q, k1, k2) = −d1(q)ρ
ψ0
1

ρS1
.

Agora, pelo produto interno de Sobolev definido nas hipóteses do teorema, segue que

ρS1 = ⟨S1, S1⟩S = ⟨S1, S1⟩ψ0 + k1⟨S1, S1⟩ϕ1 + k2⟨S
′
1, S

′
1⟩ψ1 .

Como, S0(x) = 1 e S1(x) = x, temos que

ρS1 = ρψ0
1 + k1ρ

ϕ1
1 + k2⟨1, 1⟩ψ1 = ρψ0

1 + k1ρ
ϕ1
1 + k2⟨S0, S0⟩ψ1 = ρψ0

1 + k1ρ
ϕ1
1 + k2ρ

ψ1
0 .

Portanto, ρS1 = ρψ0
1 + k1ρ

ϕ1
1 + k2ρ

ψ1
0 e ρψ0

1 = (qρϕ13 )/d1(q).


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 49

Assim,

a1(q, k1, k2) = −d1(q)ρ
ψ0
1

ρS1
= − d1(q)(qρ

ϕ1
3 )/d1(q)

(qρϕ13 )/d1(q) + k1ρ
ϕ1
1 + k2ρ

ψ1
0

.

Por (1.12), obtemos

a1(q, k1, k2) =
−d1(q)qαϕ13 α

ϕ1
4

qαϕ13 α
ϕ1
4 + d1(q)[k1 + (ρψ1

0 /ρϕ11 )k2]
.

Conclúımos, assim, a demonstração do teorema.

2.3.2 Casos particulares

2.3.2.1 Polinômios de Hermite

Um caso particular do teorema anterior é quando seus resultados estão relacionados com

os polinômios de Hermite. Se considerarmos dϕ1(x) = dψ1(x) = e−x
2
dx e dψ0(x) = (1 +

qx2)dϕ1(x) = (1 + qx2)e−x
2
dx, para q ≥ 0, então P ϕ1n (x) = Pψ1

n (x) = Hn(x). Logo, de (1.34) e

(1.33),

αϕ1n+1 = αψ1
n+1 =

n

2
e

ρψ1
n

ρϕ1n+1

=
2

n+ 1
.

Pelo Teorema 2.6 e usando as expressões acima, obtemos

an+1 = − q(n+ 2)(n+ 3)dn+1(q)

q(n+ 2)(n+ 3) + 4dn+1(q)[k1 + 2(n+ 1)k2 + qdH1
n−1(q) + qan−1]

.

Além disso,

a0 = − d0(q)qα
ϕ1
2 α

ϕ1
3

qαϕ12 α
ϕ1
3 + d0(q)k1

= − d0(q)q(1/2)(1)

q(1/2)(1) + d0(q)k1
= − qd0(q)

q + 2d0(q)k1

e

a1 = − d1(q)qα
ϕ1
3 α

ϕ1
4

qαϕ13 α
ϕ1
4 + d1(q)[k1 + (ρψ1

0 /ρϕ11 )k2]
= − 3qd1(q)

3q + 2d1(q)[k1 + 2k2]
.

Podemos, então, enunciar o seguinte corolário do Teorema 2.6

Corolário 2.1. Dado o produto interno

⟨f, g⟩SH1 =

∫ ∞

−∞
f(x)g(x)(1 + k1 + qx2)e−x

2
dx+ k2

∫ ∞

−∞
f

′
(x)g

′
(x)e−x

2
dx,

na qual q ≥ 0, então os polinômios ortogonais de Sobolev que correspondem a este produto

interno, SH1
n (x), n ≥ 0, satisfazem SH1

0 = 1, SH1
1 (x) = x e

SH1
n+1(x)− aH1

n−1(q, k1, k2)S
H1
n−1(x) = Hn+1(x) = Pψ0

n+1(x) + dn−1(q)P
ψ0
n−1(x), n ≥ 1.


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 50

Aqui, dn−1(0) = aH1
n−1(0, k1, k2) = 0 para n ≥ 1 e, quando q ̸= 0, aH1

n+1 = aH1
n+1(q, k1, k2) satisfaz

aH1
n+1 = − q(n+ 2)(n+ 3)dn+1(q)

q(n+ 2)(n+ 3) + 4dn+1(q)[k1 + 2(n+ 1)k2 + qdn−1(q) + qaH1
n−1]

, n ≥ 1,

em que

aH1
0 (q, k1, k2) = − qd0(q)

q + 2d0(q)k1
e aH1

1 (q, k1, k2) = − 3qd1(q)

3q + 2d1(q)[k1 + 2k2]
.

Os coeficientes dn(q) satisfazem

dn−1(q) = q−1ℓ̃n(q)ℓ̃n+1(q), n ≥ 1,

na qual

ℓ̃1(q) =
q

2
e ℓ̃n(q) =

q(n/2)

ℓ̃n−1(q) + 1
, n ≥ 2.

Além disso, k2 ≥ 0, 1 + k1 ≥ 0 se q > 0 e 1 + k1 > 0 se q = 0.

Quando q > 0, o produto interno ⟨·, ·⟩SH1
pode ser dado na seguinte forma

⟨f, g⟩SH1 = q

{∫ ∞

−∞
f(x)g(x)

(
1 + κ1
q

+ x2
)
e−x

2
dx+

k2
q

∫ ∞

−∞
f

′
(x)g

′
(x)e−x

2
dx

}
.

Podemos observar que, quando 1 + κ1 > 0, as medidas

dθ1(x) =

(
1 + κ1
q

+ x2
)
e−x

2
dx e dθ2(x) = e−x

2
dx

formam par coerente de Hermite do tipo I (veja (1.47)).

Quando 1 + κ1 = 0 ou q = 0 as medidas envolvidas não formam par coerente.

Note que a relação SH1
n+1(x) − aH1

n−1(q, k1, k2)S
H1
n−1(x) = Hn+1(x) é mais simples do que a

usualmente obtida com pares coerentes de medidas simétricas.

2.3.2.2 Polinômios de Gegenbauer

Agora, outro caso particular do Teorema 2.6 está relacionado com os polinômios de Gegen-

bauer. Se tomarmos dψ1(x) = (1 − x2)λ+1/2dx, dϕ1(x) = (1 − x2)λ−1/2dx e dψ0(x) = (1 +

qx2)(1− x2)λ−1/2dx para qualquer q ≥ −1, então o polinômio P ϕ1n é igual ao polinômio mônico

de Gegenbauer de parâmetro λ, denotado por G
(λ)
n , ou seja P ϕ1n = G

(λ)
n .

Além disso, de (1.24) e (1.22), os coeficientes estão relacionados por

αϕ1n+1 = α
(λ)
n+1 =

1

4

n(n+ 2λ− 1)

(n+ λ)(n+ λ− 1)
e

ρψ1
n

ρϕ1n+1

=
ρ
(λ+1)
n

ρ
(λ)
n+1

=
n+ 2λ+ 1

n+ 1
.


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 51

Do Teorema 2.6 e usando as expressões anteriores, obtemos

aG1
n+1 = −

qα
(λ)
n+3α

(λ)
n+4d

(λ)
n+1(q)

qα
(λ)
n+3α

(λ)
n+4 + d

(λ)
n+1(q)[k1 + (n+ 1)(n+ 2λ+ 1)k2 + qd

(λ)
n−1(q) + qaG1

n−1]
.

Além disso,

aG1
0 = − d

(λ)
0 (q)qαϕ12 α

ϕ1
3

qαϕ12 α
ϕ1
3 + d

(λ)
0 (q)k1

= − qα
(λ)
2 α

(λ)
3 d

(λ)
0 (q)

qα
(λ)
2 α

(λ)
3 + d

(λ)
0 (q)k1

e

aG1
1 = − d

(λ)
1 (q)qαϕ13 α

ϕ1
4

qαϕ13 α
ϕ1
4 + d

(λ)
1 (q)[k1 + (ρψ1

0 /ρϕ11 )k2]
= − qα

(λ)
3 α

(λ)
4 d

(λ)
1 (q)

qα
(λ)
3 α

(λ)
4 + d

(λ)
1 (q)[k1 + (2λ+ 1)k2]

.

Podemos, então, enunciar o corolário a seguir.

Corolário 2.2. Dado o produto interno

⟨f, g⟩SG1 = ⟨f, g⟩SG1(q,k1,k2) = ⟨f, g⟩ψ0+k1ϕ1 + k2⟨f
′
, g

′⟩ψ1

=

∫ 1

−1
f(x)g(x)(1 + k1 + qx2)(1− x2)λ−1/2dx

+k2

∫ 1

−1
f

′
(x)g

′
(x)(1− x2)λ+1/2dx,

na qual q ≥ −1, os polinômios ortogonais de Sobolev correspondentes, SG1
n (x), n ≥ 0, satisfazem

SG1
0 = 1, SG1

1 (x) = x e

SG1
n+1(x)− aG1

n−1(q, k1, k2)S
G1
n−1(x) = G

(λ)
n+1(x) = Pψ0

n+1(x) + d
(λ)
n−1(q)P

ψ0
n−1(x), n ≥ 1.

Aqui, d
(λ)
n−1(0) = aG1

n−1(0, k1, k2) = 0 para n ≥ 1 e, quando q ̸= 0, aG1
n+1 = aG1

n+1(q, k1, k2) satisfaz

aG1
n+1 = −

qα
(λ)
n+3α

(λ)
n+4d

(λ)
n+1(q)

qα
(λ)
n+3α

(λ)
n+4 + d

(λ)
n+1(q)[k1 + (n+ 1)(n+ 2λ+ 1)k2 + qd

(λ)
n−1(q) + qaG1

n−1]

para n ≥ 1, em que

aG1
0 (q, k1, k2) = − qα

(λ)
2 α

(λ)
3 d

(λ)
0 (q)

qα
(λ)
2 α

(λ)
3 + d

(λ)
0 (q)k1

e

aG1
1 (q, k1, k2) = − qα

(λ)
3 α

(λ)
4 d

(λ)
1 (q)

qα
(λ)
3 α

(λ)
4 + d

(λ)
1 (q)[k1 + (2λ+ 1)k2]

.

Os coeficientes d
(λ)
n (q) satisfazem

d
(λ)
n−1(q) = q−1ℓ̃n(q)ℓ̃n+1(q), n ≥ 1,

na qual

ℓ̃1(q) = qα
(λ)
2 e ℓ̃n(q) =

qα
(λ)
n+1

ℓ̃n−1(q) + 1
, n ≥ 2.

Se k1 = −1, então q > 0 e k2 ≥ 0 e, se k1 ̸= −1, então q/(1 + k1) ≥ −1 e k2/(1 + k1) ≥ 0.


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 52

Quando q ̸= 0, o produto interno ⟨·, ·⟩SG1
pode ser dado na seguinte forma

⟨f, g⟩SG1 = q

{∫ 1

−1
f(x)g(x)

(
1 + κ1
q

+ x2
)
(1− x2)λ−1/2dx+

k2
q

∫ 1

−1
f

′
(x)g

′
(x)(1− x2)λ+1/2dx

}
.

Podemos observar que, quando 1 + κ1 > 0, as medidas

dθ1(x) =

(
1 + κ1
q

+ x2
)
(1− x2)λ−1/2dx e dθ2(x) = (1− x2)λ+1/2dx

formam par coerente de Gegenbauer do tipo I (veja (1.49)).

Quando 1 + κ1 = 0 ou q = 0 as medidas envolvidas não formam par coerente.

2.3.3 Caso II: medidas relacionadas por dψ(x) =
1

1+ qx2
dϕ(x).

A partir dos resultados do Teorema 2.4, o próximo teorema nos dá outra maneira de estudar

os polinômios ortogonais de Sobolev associados com pares de medidas simétricas.

Teorema 2.7. Sejam dϕ0(x) e dψ0(x) duas medidas simétricas clássicas tais que os correspon-

dentes polinômios ortogonais mônicos P ϕ0n e Pψ0
n satisfazem à relação diferencial P

′ψ0
n (x) =

nP ϕ0n−1(x), n ≥ 1. Se a distribuição dψ1 é dada por

dψ1(x) =
1

1 + qx2
dϕ0(x), (2.53)

então os polinômios ortogonais de Sobolev mônicos, Sn, n ≥ 0, associados com o produto interno

⟨f, g⟩S = ⟨f, g⟩ψ0 + ⟨f ′
, g

′⟩k1ϕ0+k2ψ1 ,

satisfazem S0(x) = 1, S1(x) = x, S2(x) = Pψ0
2 (x) e

Sn+1(x)− an−1(q, k1, k2)Sn−1(x) = Pψ0
n+1(x) + d̃n−1(q)P

ψ0
n−1(x), n ≥ 2.

Aqui, d̃n−1(0) = an−1(0, k1, k2) = 0 para n ≥ 2 e, quando q ̸= 0, an = an(q, k1, k2) satisfaz

an+1 = −
vn+1(k1)α

ϕ0
n α

ϕ0
n+1d̃n+1(q)

vn+1(k1)α
ϕ0
n α

ϕ0
n+1 + d̃n−1(q)

{
(n2 − 1)q−1k2 + vn−1(k1)(d̃n−1(q) + an−1)

}
para n ≥ 2, em que

a1(q, k1, k2) = − v1(k1)d̃1(q)

v1(k1) + k2ρ
ψ1
0 /ρϕ00

, a2(q, k1, k2) = − v2(k1)d̃2(q)

v2(k1) + 4k2ρ
ψ1
1 /ρϕ01

e vn(k1) = n2k1 + ρψ0
n /ρ

ϕ0
n−1, n ≥ 1. Os coeficientes d̃n(q) são tais que

d̃n−1(q) =
n+ 1

n− 1
dn−2(q) =

n+ 1

n− 1
q−1ℓ̃n−1(q)ℓ̃n(q), n ≥ 2,


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 53

na qual

ℓ̃1(q) = qαψ1
2 e ℓ̃n(q) = −1 +

qαϕ0n

ℓ̃n−1(q)
=

qαψ1
n+1

ℓ̃n−1(q) + 1
, n ≥ 2.

As constantes q, k1 e k2 são tais que a medida dψ1 e o produto interno ⟨·, ·⟩S permanecem

positivos definidos.

Demonstração: Por (2.53) e lembrando do resultado (2.5), podemos afirmar que

Pψ1
n (x) = P ϕ0n (x) + dn−2(q)P

ϕ0
n−2(x) n ≥ 2.

Como, por hipótese, P
′ψ0
n (x) = nP ϕ0n−1(x), segue que

Pψ1
n (x) =

1

n+ 1
P

′ψ0
n+1(x) + dn−2(q)

1

n− 1
P

′ψ0
n−1(x).

Podemos escrever a relação acima como

Pψ1
n (x) = (n+ 1)−1[P

′ψ0
n+1(x) + d̃n−1(q)P

′ψ0
n−1(x)],

na qual d̃n−1(q) =
n+ 1

n− 1
dn−2(q), n ≥ 2. Logo,

Pψ1
n (x) = P ϕ0n (x) + dn−2(q)P

ϕ0
n−2(x) = (n+ 1)−1[P

′ψ0
n+1(x) + d̃n−1(q)P

′ψ0
n−1(x)], (2.54)

n ≥ 2. Pelos resultados obtidos em (2.45), temos que

d̃n−1(q) =
n+ 1

n− 1
dn−2(q) =

n+ 1

n− 1
q−1ℓ̃n−1(q)ℓ̃n(q), n ≥ 2,

e, de (2.53), (2.46) e (2.47), procedendo da mesma forma, conclúımos que

ℓ̃1(q) = qαψ1
2 e ℓ̃n(q) = −1 +

qαϕ0n

ℓ̃n−1(q)
=

qαψ1
n+1

ℓ̃n−1(q) + 1
, n ≥ 2.

Agora, considerando Rn+1(x) = Pψ0
n+1(x)+ d̃n−1(q)P

ψ0
n−1(x) e o expandindo como combinação

linear dos polinômios Sn, obtemos

Rn+1(x) = Sn+1(x)−
n−1∑
j=0

ajSj(x). (2.55)

Então, para i = 0, . . . , n− 1,

⟨Rn+1, Si⟩S = ⟨Sn+1, Si⟩S −
n−1∑
j=0

aj⟨Sj , Si⟩S = −ai⟨Si, Si⟩S.


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 54

Das hipóteses do teorema e da relação (2.54), temos

⟨Rn+1, Si⟩S = ⟨Rn+1, Si⟩ψ0 + k1⟨R
′
n+1, S

′
i⟩ϕ0 + k2⟨R

′
n+1, S

′
i⟩ψ1

= ⟨Pψ0
n+1 + d̃n−1(q)P

ψ0
n−1, Si⟩ψ0

+k1⟨P
′ψ0
n+1 + d̃n−1(q)P

′ψ0
n−1, S

′
i⟩ϕ0

+k2⟨P
′ψ0
n+1 + d̃n−1(q)P

′ψ0
n−1, S

′
i⟩ψ1

= ⟨d̃n−1(q)P
ψ0
n−1, Si⟩ψ0

+⟨k1(n+ 1)[P ϕ0n + dn−2(q)P
ϕ0
n−2], S

′
i⟩ϕ0

+k2⟨(n+ 1)Pψ1
n , S

′
i⟩ψ1

= ⟨d̃n−1(q)P
ψ0
n−1, Si⟩ψ0 + k1(n+ 1)dn−2(q)⟨P ϕ0n−2, S

′
i⟩ϕ0

= d̃n−1(q)⟨Pψ0
n−1, Si⟩ψ0 + k1(n− 1)d̃n−1(q)⟨P ϕ0n−2, S

′
i⟩ϕ0 .

Assim, para i = 0, . . . , n− 1,

ai = −d̃n−1(q)
⟨Pψ0

n−1, Si⟩ψ0 + k1(n− 1)⟨P ϕ0n−2, S
′
i⟩ϕ0

⟨Si, Si⟩S
. (2.56)

Podemos observar que ai = 0 para i = 0, . . . , n− 2. Logo, de (2.55),

Rn+1(x) = Sn+1(x)− an−1(q, k1, k2)Sn−1(x) = Pψ0
n+1(x) + d̃n−1(q)P

ψ0
n−1(x), n ≥ 2. (2.57)

Tomando i = n− 1 em (2.56), obtemos

an−1 = an−1(q, k1, k2) = −d̃n−1(q)
ρψ0
n−1 + k1(n− 1)2ρϕ0n−2

⟨Sn−1, Sn−1⟩S
, n ≥ 1. (2.58)

Agora, substituindo q = 0 em (2.53), temos que dψ1(x) = dϕ0(x). Usando este fato em

(2.54), obtemos

0 = Pψ1
n (x)− P ϕ0n (x) = P ϕ0n (x) + dn−2(0)P

ϕ0
n−2(x),

o que implica que dn−2(0) = 0 e, como d̃n−1(0) =
n+ 1

n− 1
dn−2(0), segue que d̃n−1(0) = 0.

Por outro lado,

an−1(0, k1, k2) = −d̃n−1(0)
ρψ0
n−1 + k1(n− 1)2ρϕ0n−2

⟨Sn−1, Sn−1⟩S
= 0.

Logo,

d̃n−1(0) = an−1(0, k1, k2) = 0, n ≥ 2.


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 55

Usando as relações (2.57),(2.54) e as hipóteses do teorema, obtemos

ρSn−1 = ⟨Sn−1, Sn−1⟩S = ⟨Pψ0
n−1 + d̃n−3(q)P

ψ0
n−3 + an−3Sn−3, Sn−1⟩S

= ⟨Pψ0
n−1 + d̃n−3(q)P

ψ0
n−3, Sn−1⟩S

= ⟨Pψ0
n−1 + d̃n−3(q)P

ψ0
n−3, P

ψ0
n−1 + d̃n−3(q)P

ψ0
n−3 + an−3Sn−3⟩ψ0

+k1⟨(n− 1)[P ϕ0n−2 + dn−4(q)P
ϕ0
n−4], S

′
n−1⟩ϕ0 + k2⟨(n− 1)Pψ1

n−2, S
′
n−1⟩ψ1

= ⟨Pψ0
n−1, P

ψ0
n−1⟩ψ0 + d̃2n−3(q)⟨P

ψ0
n−3, P

ψ0
n−3⟩ψ0 + d̃n−3(q)an−3⟨Pψ0

n−3, Sn−3⟩ψ0

+k1⟨(n− 1)[P ϕ0n−2 + dn−4(q)P
ϕ0
n−4], (n− 1)[P ϕ0n−2 + dn−4(q)P

ϕ0
n−4] + an−3S

′
n−3⟩ϕ0

+k2⟨(n− 1)Pψ1
n−2, (n− 1)Pψ1

n−2 + an−3S
′
n−3⟩ψ1 ,

na qual an = an(q, k1, k2). Assim,

ρSn−1 = ρψ0
n−1 + d̃2n−3(q)ρ

ψ0
n−3 + d̃n−3(q)an−3ρ

ψ0
n−3 + k1(n− 1)2⟨P ϕ0n−2, P

ϕ0
n−2⟩ϕ0

+k1(n− 1)2d2n−4(q)⟨P
ϕ0
n−4, P

ϕ0
n−4⟩ϕ0 + k1(n− 1)dn−4(q)an−3⟨P ϕ0n−4, S

′
n−3⟩ϕ0

+k2(n− 1)2⟨Pψ1
n−2, P

ψ1
n−2⟩ψ1

= ρψ0
n−1 + d̃2n−3(q)ρ

ψ0
n−3 + d̃n−3(q)an−3ρ

ψ0
n−3 + k1(n− 1)2ρϕ0n−2

+k1(n− 1)2d2n−4(q)ρ
ϕ0
n−4 + k1(n− 1)dn−4(q)an−3(n− 3)ρϕ0n−4 + k2(n− 1)2ρψ1

n−2.

Logo,

ρSn+1 = ρψ0
n+1 + d̃2n−1(q)ρ

ψ0
n−1 + d̃n−1(q)an−1ρ

ψ0
n−1 + k1(n+ 1)2ρϕ0n

+k1(n+ 1)2d2n−2(q)ρ
ϕ0
n−2 + k1(n+ 1)dn−2(q)an−1(n− 1)ρϕ0n−2 + k2(n+ 1)2ρψ1

n

= ρψ0
n+1 + d̃2n−1(q)ρ

ψ0
n−1 + d̃n−1(q)an−1ρ

ψ0
n−1 + k1(n+ 1)2ρϕ0n

+k1(n− 1)2d̃2n−1(q)ρ
ϕ0
n−2 + k1(n+ 1)dn−2(q)an−1(n− 1)ρϕ0n−2 + k2(n+ 1)2ρψ1

n .

Como, de (2.53) e (2.9), dn−2(q) = qρψ1
n /ρ

ϕ0
n−2, segue que

ρSn+1 = ρψ0
n+1 + d̃2n−1(q)ρ

ψ0
n−1 + d̃n−1(q)an−1ρ

ψ0
n−1 + k1(n+ 1)2ρϕ0n

+k1(n− 1)2d̃2n−1(q)ρ
ϕ0
n−2 + k1(n+ 1)(n− 1)qan−1ρ

ψ1
n + k2(n+ 1)2ρψ1

n .

Então,

an+1 = an+1(q, k1, k2) = −d̃n+1(q)
ρψ0
n+1 + k1(n+ 1)2ρϕ0n

ρSn+1

.

Agora, multiplicando e dividindo an+1 por ρϕ0n e definindo vn(k1) = n2k1+ ρψ0
n /ρ

ϕ0
n−1, n ≥ 1,

obtemos

an+1(q, k1, k2) = −vn+1(k1)d̃n+1(q)

ρSn+1/ρ
ϕ0
n

.


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 56

Assim, multiplicando e dividindo a relação anterior por ρϕ0n /ρ
ϕ0
n−2 e lembrando que, por (1.12),

ρϕ0n /ρ
ϕ0
n−2 = αϕ0n+1α

ϕ0
n , obtemos

an+1(q, k1, k2) = −
vn+1(k1)α

ϕ0
n α

ϕ0
n+1d̃n+1(q)

ρSn+1/ρ
ϕ0
n−2

.

Como, por (2.53) e (2.9), dn−2(q) = qρψ1
n /ρ

ϕ0
n−2, obtemos

ρψ1
n

ρϕ0n−2

= q−1 (n− 1)

(n+ 1)
d̃n−1(q).

Dáı, segue que

ρSn+1

ρϕ0n−2

=
ρψ0
n+1

ρϕ0n−2

+ k1(n+ 1)2
ρϕ0n

ρϕ0n−2

+ k1(n
2 − 1)qan−1

ρψ1
n

ρϕ0n−2

+ k2(n+ 1)2
ρψ1
n

ρϕ0n−2

+d̃n−1(q)[an−1
ρψ0
n−1

ρϕ0n−2

+ d̃n−1(q)
ρψ0
n−1

ρϕ0n−2

+ k1(n− 1)2d̃n−1(q)]

=

[
(n+ 1)2k1 +

ρψ0
n+1

ρϕ0n

]
ρϕ0n

ρϕ0n−2

+ k1(n− 1)2an−1d̃n−1(q) + k2(n
2 − 1)q−1d̃n−1(q)

+d̃n−1(q)

[
an−1

ρψ0
n−1

ρϕ0n−2

+ d̃n−1(q)
ρψ0
n−1

ρϕ0n−2

+ k1(n− 1)2d̃n−1(q)

]

=

[
(n+ 1)2k1 +

ρψ0
n+1

ρϕ0n

]
ρϕ0n

ρϕ0n−2

+ d̃n−1(q)

×

{
(n2 − 1)q−1k2 + k1(n− 1)2an−1 + an−1

ρψ0
n−1

ρϕ0n−2

+ d̃n−1(q)

[
ρψ0
n−1

ρϕ0n−2

+ k1(n+ 1)2

]}
= vn+1(k1)α

ϕ0
n α

ϕ0
n+1 + d̃n−1(q)

[
(n2 − 1)q−1k2 + vn−1(k1)

(
d̃n−1(q) + an−1

)]
, n ≥ 2.

Podemos, então, escrever

an+1 = −
vn+1(k1)α

ϕ0
n α

ϕ0
n+1d̃n+1(q)

vn+1(k1)α
ϕ0
n α

ϕ0
n+1 + d̃n−1(q)

{
(n2 − 1)q−1k2 + vn−1(k1)[d̃n−1(q) + an−1]

} , n ≥ 2.

Fazendo n = 2 em (2.58), obtemos

a1(q, k1, k2) = −d̃1(q)
ρψ0
1 + k1ρ

ϕ0
0

ρS1
.

Multiplicando e dividindo a relação anterior por ρϕ00 , podemos escrever

a1(q, k1, k2) = −d̃1(q)
ρψ0
1 /ρϕ00 + k1

ρS1/ρ
ϕ0
0

= −v1(k1)d̃1(q)
ρS1/ρ

ϕ0
0

.

Como ρS1 = ⟨x, x⟩S = ⟨x, x⟩ψ0 + k1⟨1, 1⟩ϕ0 + k2⟨1, 1⟩ψ1 = ρψ0
1 + k1ρ

ϕ0
0 + k2ρ

ψ1
0 , então

ρS1

ρϕ00
=
ρψ0
1

ρϕ00
+ k1 + k2

ρψ1
0

ρϕ00
= v1(k1) + k2

ρψ1
0

ρϕ00
.


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 57

Assim, conclúımos que

a1(q, k1, k2) = − v1(k1)d̃1(q)

v1(k1) + k2
ρψ1
0

ρϕ00

. (2.59)

Do mesmo modo, fazendo n = 3 em (2.58), obtemos

a2(q, k1, k2) = −d̃2(q)
ρψ0
2 /ρϕ01 + 4k1

ρS2/ρ
ϕ0
1

= −v2(k1)d̃2(q)
ρS2/ρ

ϕ0
1

.

Como

ρS2 = ⟨S2, S2⟩S = ⟨S′
2, S

′
2⟩ϕ0 + k2⟨S

′
2, S

′
2⟩ψ1

= ⟨Pψ0
2 , Pψ0

2 ⟩ψ0 + k1⟨P
′ψ0
2 , P

′ψ0
2 ⟩ϕ0 + k2⟨P

′ψ0
2 , P

′ψ0
2 ⟩ψ1

= ρψ0
2 + 4k1⟨P ϕ01 , P ϕ01 ⟩ϕ0 + k2⟨P ϕ01 , P ϕ01 ⟩ψ1

= ρψ0
2 + 4k1ρ

ϕ0
1 + 4k2ρ

ψ1
1 ,

então
ρS2

ρϕ01
=
ρψ0
2

ρϕ01
+ 4k1 + 4k2

ρψ1
1

ρϕ01
= v2(k1) + 4k2

ρψ1
1

ρϕ01
.

Logo,

a2(q, k1, k2) = − v2(k1)d̃2(q)

v2(k1) + 4k2
ρψ1
1

ρϕ01

, (2.60)

concluindo, assim, a demonstração do teorema.

2.3.4 Casos particulares

2.3.4.1 Polinômios de Hermite

Um caso particular do teorema anterior é quando seus resultados estão relacionados com os

polinômios de Hermite. Se considerarmos dϕ0(x) = dψ0(x) = e−x
2
dx e dψ1(x) = (1 +

qx2)−1dϕ0(x) = (1 + qx2)−1e−x
2
dx, para q ≥ 0, então P ϕ0n (x) = Pψ0

n (x) = Hn(x).

Logo, de (1.34) e (1.33), obtemos

αϕ0n+1 = αψ0
n+1 =

n

2
e

ρψ0
n

ρϕ0n−1

=
n

2
.

Pelo Teorema 2.7, usando as expressões anteriores, multiplicando e dividindo an+1 por
8

n− 1
e definindo ṽn(k1) = 1 + 2nk1, obtemos

aH2
n+1 =

−n(n+ 1)ṽn+1(k1)d̃n+1(q)

n(n+ 1)ṽn+1(k1) + 4d̃n−1(q)
{
2(n+ 1)q−1k2 + ṽn−1(k1)[d̃n−1(q) + aH2

n−1]
} ,


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 58

para n ≥ 2. Além disso, por (2.59),

aH2
1 (q, k1, k2) = − ṽ1(k1)d̃1(q)

ṽ1(k1) + k2
ρψ1
0

ρϕ00

=
−(k1 + ρψ0

1 /ρϕ00 )d̃1(q)

k1 + ρψ0
1 /ρϕ00 + k2ρ

ψ1
0 /ρϕ00

=
−(k1 + 1/2)d̃1(q)

k1 + 1/2 + k2ρ
ψ1
0 /ρϕ00

.

Multiplicando e dividindo a relação anterior por 2 e como, por (1.33), ρϕ00 =
√
π, obtemos

aH2
1 (q, k1, k2) = − (2k1 + 1)d̃1(q)

2k1 + 1 + 2k2ρ
ψ1
0 /ρϕ00

= − ṽ1(k1)d̃1(q)

ṽ1(k1) + 2k2
ρψ1
0√
π

.

Do mesmo modo, por (2.60), como ρϕ01 = ρϕ00 /2 =
√
π/2, temos que

aH2
2 (q, k1, k2) = − ṽ2(k1)d̃2(q)

ṽ2(k1) + 4k2
ρψ1
1

ρϕ01

= − (4k1 + ρψ0
2 /ρϕ01 )d̃2(q)

4k1 + ρψ0
2 /ρϕ01 + 4k2ρ

ψ1
1 /ρϕ01

= − (4k1 + 1)d̃2(q)

4k1 + 1 + 4k2ρ
ψ1
1 /ρϕ01

= − ṽ2(k1)d̃2(q)

ṽ2(k1) + 8k2
ρψ1
1√
π

.

Podemos, então, enunciar o corolário do Teorema 2.7 a seguir.

Corolário 2.3. Dado o produto interno

⟨f, g⟩SH2 = ⟨f, g⟩ψ0 + ⟨f ′
, g

′⟩k1ϕ0+k2ψ1

=

∫ ∞

−∞
f(x)g(x)e−x

2
dx+

∫ ∞

−∞
f

′
(x)g

′
(x)

(k1 + k2) + k1qx
2

1 + qx2
e−x

2
dx,

em que q ≥ 0, então os polinômios ortogonais correspondentes SH2
n (x) satisfazem

SH2
n+1(x)− aH2

n−1(q, k1, k2)S
H2
n−1(x) = Hn+1(x) + d̃n−1(q)Hn−1(x), n ≥ 2.

Aqui, d̃n−1(0) = aH2
n−1(0, k1, k2) = 0 para n ≥ 2 e, quando q ̸= 0, aH2

n+1 = aH2
n+1(q, k1, k2) satisfaz

aH2
n+1 =

−n(n+ 1)ṽn+1(k1)d̃n+1(q)

n(n+ 1)ṽn+1(k1) + 4d̃n−1(q)
{
2(n+ 1)q−1k2 + ṽn−1(k1)[d̃n−1(q) + aH2

n−1]
} , n ≥ 2,

com

aH2
1 (q, k1, k2) = − ṽ1(k1)d̃1(q)

ṽ1(k1) + 2k2
ρψ1
0√
π

e aH2
2 (q, k1, k2) = − ṽ2(k1)d̃2(q)

ṽ2(k1) + 8k2
ρψ1
1√
π

,

em que ṽn(κ1) = 1 + 2nκ1, n ≥ 1.

Os coeficientes d̃n(q) são tais que

d̃n−1(q) =
n+ 1

n− 1
q−1ℓ̃n−1(q)ℓ̃n(q), n ≥ 2,


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 59

onde

ℓ̃1(q) = qαψ1
2 e ℓ̃n(q) = −1 +

(n− 1)q

2ℓ̃n−1(q)
, n ≥ 2.

As constantes k1 e k2 são tais que k1 ≥ 0 e k1 + k2 ≥ 0 para que o produto interno SH2 seja

definido positivo.

Quando κ1 = 0, o produto interno ⟨·, ·⟩SH2
pode ser dado na seguinte forma

⟨f, g⟩SH2 =

∫ ∞

−∞
f(x)g(x)e−x

2
dx+ k2

∫ ∞

−∞
f

′
(x)g

′
(x)

1

1 + qx2
e−x

2
dx.

Podemos observar que as medidas, para q > 0,

dθ1(x) = e−x
2
dx e dθ2(x) =

e−x
2

1
q + x2

dx

formam par simétricamente coerente de Hermite do tipo II com λ =
κ2
q

(veja (1.48)).

Quando κ1 ̸= 0 ou q = 0 as medidas envolvidas não formam par simetricamente coerente.

2.3.4.2 Polinômios de Gegenbauer

Agora, outro caso particular do Teorema 2.7 está relacionado com os polinômios de Gegenbauer.

Se tomarmos dϕ0(x) = (1− x2)λ+1/2dx, dψ0(x) = (1− x2)λ−1/2dx, seja a medida dψ1 tal que∫
F (x)dψ1(x) =

∫ 1

−1
F (x)

(1− x2)λ+1/2

(1 + qx2)
dx, q ≥ 0

e, para −1 ≤ q ≤ 0,∫
F (x)dψ1(x) =

∫ 1

−1
F (x)

(1− x2)λ+1/2

(1 + qx2)
dx+ k3

[
F
(√

−1/q
)
+ F

(
−
√

−1/q
)]
, com k3 ≥ 0.

Então, o polinômio Pψ0
n é igual ao polinômio mônico de Gegenbauer de parâmetro λ, G

(λ)
n .

Além disso, de (1.24) e (1.22), os coeficientes estão relacionados por

αψ0
n+1 = α

(λ)
n+1 =

1

4

n(n+ 2λ− 1)

(n+ λ)(n+ λ− 1)
, αϕ0n+1 = α

(λ+1)
n+1 e

ρψ0
n

ρϕ0n−1

=
ρ
(λ)
n

ρ
(λ+1)
n−1

=
n

n+ 2λ
.

Do Teorema 2.7, usando as expressões acima e definindo v
(λ)
n (k1) = n2k1+n/(n+2λ), n ≥ 1,

obtemos

an+1 = −
v
(λ)
n+1(k1)α

(λ+1)
n αλ+1

n+1d̃
(λ)
n+1(q)

v
(λ)
n+1(k1)α

(λ+1)
n α

(λ+1)
n+1 + d̃

(λ)
n−1(q)[(n

2 − 1)q−1k2 + v
(λ)
n−1(k1)[d̃

(λ)
n−1(q) + an−1]]

, n ≥ 2.


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 60

Além disso,

a1 = − v
(λ)
1 (k1)d̃

(λ)
1 (q)

v
(λ)
1 (k1) + k2

ρ
(ψ1)
0

ρ
(λ+1)
0

e a2 = − v
(λ)
2 (k1)d̃

(λ)
2 (q)

v
(λ)
2 (k1) + 4k2

ρψ1
1

ρ
(λ+1)
1

.

Obtemos, então, o seguinte resultado, consequência do Teorema 2.7.

Corolário 2.4. Considere o produto interno ⟨f, g⟩SG2 = ⟨f, g⟩ψ0 + ⟨f ′
, g

′⟩k1ϕ0+k2ψ1

dado por∫ 1

−1
f(x)g(x)(1− x2)λ−1/2dx+

∫ 1

−1
f

′
(x)g

′
(x)

(k1 + k2) + k1qx
2

1 + qx2
(1− x2)λ+1/2dx,

se q ≥ 0, ou por∫ 1

−1
f(x)g(x)(1− x2)λ−1/2dx+

∫ 1

−1
f

′
(x)g

′
(x)

(k1 + k2) + k1qx
2

1 + qx2
(1− x2)λ+1/2dx

+k2k3

[
f

′
(√

−1/q
)
g
′
(√

−1/q
)
+ f

′
(
−
√

−1/q
)
g
′
(
−
√

−1/q
)]
,

para −1 ≤ q ≤ 0 e k3 ≥ 0.Então, os polinômios ortogonais de Sobolev correspondentes,

SG2
n (x), n ≥ 0, satisfazem

SG2
n+1(x)− aG2

n−1(q, k1, k2, k3)S
G2
n−1(x) = G

(λ)
n+1(x) + d̃

(λ)
n−1(q)G

(λ)
n−1(x), n ≥ 2.

Aqui, d̃
(λ)
n−1(0) = aG2

n−1(0, k1, k2, k3) = 0 para n ≥ 2 e, quando q ̸= 0, aG2
n+1 = aG2

n+1(q, k1, k2, k3)

satisfaz

aG2
n+1 =

−v(λ)n+1(k1)α
(λ+1)
n αλ+1

n+1d̃
(λ)
n+1(q)

v
(λ)
n+1(k1)α

(λ+1)
n α

(λ+1)
n+1 + d̃

(λ)
n−1(q)

{
(n2 − 1)q−1k2 + v

(λ)
n−1(k1)[d̃

(λ)
n−1(q) + aG2

n−1]
} , n ≥ 2,

com

aG2
1 (q, k1, k2, k3) = − v

(λ)
1 (k1)d̃

(λ)
1 (q)

v
(λ)
1 (k1) + k2

ρ
(ψ1)
0

ρ
(λ+1)
0

e aG2
2 (q, k1, k2, k3) = − v

(λ)
2 (k1)d̃

(λ)
2 (q)

v
(λ)
2 (k1) + 4k2

ρψ1
1

ρ
(λ+1)
1

,

em que v
(λ)
n (κ1) = n2κ1 + n/(n+ 2λ), n ≥ 1. Os coeficientes d̃

(λ)
n (q) são tais que

d̃
(λ)
n−1(q) =

n+ 1

n− 1
q−1ℓ̃n−1(q)ℓ̃n(q), n ≥ 2,

com

ℓ̃1(q) = qαψ1
2 e ℓ̃n(q) = −1 + qα(λ)

n /ℓ̃n−1(q), n ≥ 2.

Para que o produto interno ⟨·, ·⟩SG2 seja positivo definido, os parâmetros k1 e k2 devem ser tais

que k1q ≥ 0 se k1 + k2 = 0 e k1q/(k1 + k2) ≥ −1 se k1 + k2 > 0.


Polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas 61

• Caso q ≥ 0

Quando κ1 = 0 e q > 0, as medidas dθ1(x) = (1− x2)λ−1/2dx e dθ2(x) =
(1− x2)λ+1/2

1
q + x2

dx

formam par simétricamente coerente de Gegenbauer do Tipo II (veja (1.50)).

Se κ1 ̸= 0 ou q = 0, não formam par simétricamente coerente.

• Caso −1 ≤ q ≤ 0

Quando κ1 = 0 e q < 0, as medidas dθ1 e dθ2 formam par simétricament