Daniella Porto Discretização de Euler para Controle Impulsivo Dissertação de Mestrado Pós-Graduação em Matemática Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas Rua Cristóvão Colombo, 2265, 15054-000 São José do Rio Preto - SP - Brasil Telefone: (17) 3221-2444 - Fax: (17) 3221-2445 Daniella Porto1 Discretização de Euler para Controle Impulsivo Orientador: Prof. Dr. Geraldo Nunes Silva Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho� Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas Campus de São José do Rio Preto São José do Rio Preto 17 de Fevereiro de 2012 1 gsilva@ibilce.unesp.br/danielinha.dani@gmail.com Porto, Daniella. Discretização de Euler para Controle Impulsivo / Daniella Porto - São José do Rio Preto: [s.n.], 2012. 47 f. : 0 il. ; 30 cm. Orientador: Geraldo Nunes Silva. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho�, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. 1. Discretização de Euler. 2. Controle Impulsivo. 3. Convergência no Grá�co. I. Silva, Geraldo Nunes. II. Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho�, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. III. Título. 519.67:76 Daniella Porto Discretização de Euler para Controle Impulsivo Dissertação apresentada para obtenção do título de Mestre em Matemática, área de Análise Aplicada, junto ao Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho�, Campus de São José do Rio Preto. Banca Examinadora Prof. Dr. Geraldo Nunes Silva Professor Adjunto UNESP - São José do Rio Preto Orientador Prof. Dr. Orizon Pereira Ferreira Professor Associado UFG - Goiânia Prof. Dr. Fernando Manuel F. Lobo Pereira Professor Parceiro UP - Portugual São José do Rio Preto, 17 de Fevereiro de 2012. Aos meus pais, José Edvan e Maria José, à minha irmã Déborah, ao Wanderson, que tem sido muito importante, e a todos que de alguma forma contribuíram para a realização deste trabalho. Dedico. AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus que sempre me ajuda nos momentos de decisões, fazendo com que a escolha feita me ajude a crescer como ser humano, me mostrando que posso mais do que imagino. Aos meus pais que sempre me apóiam em todas as decisões e me dão carinho e amor su�ciente para tornar o objetivo pretendido mais fácil de ser alcançado. A minha irmã que sempre �ca em casa quando vou pra lá passar uns dias, e nesses momentos aproveitamos para conversar bastante e nos distrair um pouco. Ao Wanderson pelo amor, carinho, compreensão, amizade, por me acolher com tanta hospitalidade na cidade que ele mora à alguns anos e por ser a pessoa maravilhosa que ele é. A toda minha família, avós, tios(as), primos(as), amigos(as), e, em particular, aos meus avós maternos, que já não estão entre nós, mas, quando estavam vivos, sempre perguntavam como eu estava depois que mudei de Goiânia. Com certeza todos estes foram e são pessoas que fazem falta. Muito obrigada a todos pelos conselhos, pela amizade, e, principalmente, pelo carinho e amor dedicado a mim. Sempre me dizem que sentem minha falta, mas podem ter certeza que dentro de mim existe uma parte vazia porque vocês já não estão mais tão perto �sicamente. Agradeço ao Prof. Dr. Orizon Pereira Ferreira pelos anos que me orientou na iniciação cientí�ca durante a graduação. Foi através dele que conheci a área de otimização e pude ver que era esta área que gostaria de estudar. Agradeço também ao Prof. Dr. Geraldo Nunes Silva pela paciência, pela hospitali- dade, pela con�ança e pela orientação durante todo o mestrado. � Não deixe que a saudade sufoque, que a rotina acomode, que o medo impeça de tentar. Descon�e do destino e acredite em você. Gaste mais horas realizando que sonhando, fazendo que planejando, vivendo que esperando porque, embora quem quase morre esteja vivo, quem quase vive já morreu... � Luís Fernando Veríssimo RESUMO O objetivo deste trabalho é o estudo do sistema de controle impulsivo de [Wolenski e �abi¢ 2007] para o caso em que o sistema é dado por uma igualdade e modi�cado pela adição de dois controles abstratos. Tal estudo foi feito utilizando duas abordagens. Na primeira, reparametrizamos o sistema inicial a partir da função distribuição rela- cionada à medida atômica e, através da discretização de Euler do sistema reparametrizado, obtemos uma sequência de soluções que converge no grá�co para a solução do sistema original, sob algumas hipóteses. Na segunda abordagem, de�nimos um novo sistema associado a uma sequência de medidas absolutamente contínuas que converge no grá�co para a medida atômica. A partir desse novo sistema, obtemos uma sequência de soluções com a propriedade de convergência no grá�co da solução do sistema original. Palavras-chave: Discretização de Euler, sistemas de controle impulsivo, convergên- cia no grá�co. ABSTRACT The aim of this work is to study the impulsive control system of [Wolenski e �abi¢ 2007] to the case where system is given by an equality and modi�ed by addition of two abstract controls. The study was done using two approaches. At �rst, we've reparameterized the initial system from distribution function related to atomic measure and, through Euler's discretization of reparameterized system, we've obtained a sequence of solutions which graph converge to the solution of original system, under some hypothesis. In the second approach, we've de�ned a new system associated with a sequence of absolutely continuous measures which graph converge to atomic measure. From this new system, we've obtained a sequence of solutions with the graph convergence property of the solution of the original system. Keywords: Euler's discretization, impulsive control systems, graph convergence. SUMÁRIO 1 Preliminares p. 13 1.1 Teoria da Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 13 1.2 Multifunções e Inclusão Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15 1.3 Teoria do Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17 1.4 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17 2 Sistemas de controle impulsivo p. 20 2.1 Sistemas de controle impulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20 2.1.1 Completamento grá�co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21 2.1.2 Sistemas de controle impulsivo e suas trajetórias . . . . . . . . . p. 23 3 Método de Discretização de Euler p. 25 3.1 Discretização de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25 4 Controles Aproximados p. 33 4.1 Convergência de medidas no grá�co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33 Referências Bibliográ�cas p. 44 10 NOTAÇÃO | · |- norma euclideana do espaço Rn. | · |1- norma em L1. ∥ · ∥- norma em Mn×q. Mn×q- espaço das matrizes n× q com entradas reais. d(a, b)- distância entre os pontos a e b. d(a,B)- distância entre o ponto a e o conjunto B. dH(A,B)- distância de Hausdor� entre os conjuntos A e B. R̄ = R ∪ {−∞,+∞}. B- bola aberta de centro zero e raio um em Rn. B̄- bola fechada de centro zero e raio um em Rn. BK([0, T ])- conjunto de medidas vetoriais de Borel de�nidas sobre o intervalo [0, T ] ⊂ R com valores em K. 11 INTRODUÇÃO Existem várias abordagens, na literatura, que tratam de sistemas de controle impul- sivo. Na referência [Bressan Jr. e Rampazzo 1991], u ∈ Rm é o controle e o sistema é dado por equações diferenciais ordinárias com o campo de vetores dependendo de u̇(t), onde t é o tempo. Supondo que exista a comutatividade do campo de vetores, que multiplica u̇, então é possível associar este sistema de controle impulsivo com um sistema não impulsivo, e assim aplicar técnicas e resultados já existentes. Em uma abordagem mais geral, na referência [Bressan Jr. e Rampazzo 1994], foi estu- dado um sistema de controle impulsivo onde o campo de vetores não comuta. O sistema original é transformado em um sistema quociente, onde o campo de vetores comuta. Mostra-se então que o conjunto das trajetórias de Caratheodory do sistema original é denso no conjunto de trajetórias do sistema quociente, obtendo, assim, resultados sobre aproximação entre as soluções. Em [Wolenski e �abi¢ 2007] foi estudado um sistema impulsivo dado por inclusão diferencial. É construído um novo sistema reparametrizado, obtido através do comple- tamento grá�co da função distribuição relacionada a medida atômica, e mostrado, em [Wolenski e �abi¢ 2006], que a solução do sistema original e do sistema reparametrizado são equivalentes. Assim, é feita uma discretização do sistema reparametrizado e obtido resultados de aproximação no grá�co entre a solução do sistema impulsivo e a solução obtida pela discretização. Vale ressaltar que em [Silva e Vinter 1996] também é estu- dado um sistema impulsivo dado por inclusão diferencial, onde é construído um sistema reparametrizado a partir do original e demonstrado resultados de aproximação entre as soluções utilizando as convergências fraca∗ e forte. 12 Estudamos o artigo [Wolenski e �abi¢ 2007] e apresentamos os resultados contidos no mesmo, mas com algumas modi�cações. As multifunções foram substituídas por funções e a medida foi substituída por um controle impulsivo. Isto torna o novo sistema um caso particular de inclusão diferencial, mas os controles incluídos faz com que tenhamos que acrescentar hipóteses para que os resultados sejam ainda válidos, e, além disso, mesmo não tendo mais multifunções, é necessário de�ní-las para seguir a mesma linha utilizada nas demonstrações dos resultados. Com esta modi�cação, também conseguimos garantir resultados mais fortes. O trabalho está divido em 4 capítulos. No capítulo 1 são dados de�nições e teoremas que serão utilizados no texto. No capítulo 2 é introduzido o sistema de controle impulsivo e feito um completamento grá�co da função distribuição associada à medida atômica. De�nimos o que é uma solução do sistema de controle impulsivo e também uma solução reparametrizada do mesmo. Assim, é observado que xϑ é uma solução repametrizada do sistema se, e só se, é uma solução. No capítulo 3 fazemos a discretização de Euler do sistema reparametrizado, obtido na de�nição de solução reparametrizada do sistema, e demonstramos dois resultados relacionados às soluções discretas e contínua. No capítulo 4 de�nimos uma forma diferente de obter soluções para o sistema impulsivo tomando limite de uma sequência de soluções de uma equação contínua, e, quando uma sequência de medidas absolutamente contínuas converge no grá�co para a medida e seu completamento grá�co. Em seguida demonstramos dois resultados relacionando à sequência de medidas absolutamente contínuas, a solução do sistema de controle impulsivo e a sequência de soluções da equação contínua. 13 CAPÍTULO 1 PRELIMINARES O objetivo deste capítulo é introduzir brevemente os conceitos que aparecem ao longo do texto de modo que se torne auto su�ciente das teorias que serão utilizadas. Neste intu- ito, a Seção (1.1) trata de alguns tópicos de teoria da medida que podem ser encontrados com mais detalhes nas referências [Bartle 1995], [Folland 1999] e [Clarke et al. 1998]. Na Seção (1.2) é feita uma exposição dos conceitos de multifunção e inclusão diferencial. As referências [Clarke et al. 1998] e [Kisielewicz 1991] trazem mais detalhes sobre estes assuntos. A Seção (1.3) traz uma introdução básica dos problemas abordados em teoria do controle. Por último, �nalizamos o capítulo listando os principais teoremas utilizados no texto. 1.1 Teoria da Medida Esta seção tem a �nalidade de fornecer de�nições e resultados de teoria da medida importantes para nossa �nalidade. De�nição 1.1. Uma família X de subconjuntos de um conjunto X é dita ser uma σ- álgebra se: - ∅, X ∈ X; - Se A ∈ X, então Ac ∈ X; - Se {An}n é uma sequência de conjuntos em X, então a união ∪∞ n=1An ∈ X. O par (X,X) é chamado espaço mensurável. Notemos que se (X,X) é um espaço mensurável e S uma classe de subconjuntos de 1.1 Teoria da Medida 14 X, então a interseção de todas as σ-álgebras contendo S é também uma σ-álgebra, que é chamada σ-álgebra gerada por S. Em particular, a σ-álgebra B gerada por todos os intervalos (a, b) ⊂ R é chamada σ-álgebra de Borel. De�nição 1.2. Uma função µ : R → R̄ é uma medida sobre a σ-álgebra X de X se - µ(∅) = 0; - µ assume no máximo um dos valores ±∞; - Seja {Fn}∞n=1 uma sequência disjunta de subconjuntos de X, isto é, Fn ∩ Fm = ∅ para todo n ̸= m, então µ ( ∞∪ n=1 Fn ) = ∞∑ n=1 µ(Fn); A terna (X,X, µ) é dita um espaço de medida. Além disso, se para todo conjunto F ⊂ X temos que −∞ < µ(F ) < ∞, µ é dita �nita . Se existe {Fn}n sequência de X tal que X = ∪∞ n=1 Fn e −∞ < µ(Fn) <∞ para todo n ∈ N, µ é dita σ-�nita. Seja X = R e X = B, a álgebra de Borel, então existe uma única medida m sobre B tal que, se E = (a, b) um intervalo não-vazio da reta, então m(E) = b − a. Esta medida é chamada de medida de Lebesgue. De�nição 1.3. Sejam µ, λ : R → R̄ medidas sobre X. A medida λ é dita ser absoluta- mente contínua em relação a µ se para cada E ∈ X tal que µ(E) = 0, tem-se λ(E) = 0. Neste caso, denotaremos por λ << µ. Além disso, λ e µ são ditas mutuamente singulares se existem dois conjuntos disjuntos A,B ∈ X tais que A ∪B = X e µ(A) = λ(B) = 0. A notação usada será λ ⊥ µ. Teorema 1.1. (Decomposição de Lebesgue). Sejam λ e µ medidas σ-�nitas de�nidas sobre uma σ-álgebra X. Então existe uma medida λ1 que é singular com respeito a µ e uma medida λ2 que é absolutamente contínua com respeito a µ tais que λ = λ1 + λ2, com λ1 e λ2 únicas. Demonstração. Consultar referência [Bartle 1995]. De�nição 1.4. Seja f : X → R̄. Dizemos que f é X-mensurável se {x ∈ X; f(x) > α} ∈ X, para cada α real. Ao longo do texto, utilizaremos a noções de medida vetorial e seus átomos, que seguem de�nidas abaixo. 1.2 Multifunções e Inclusão Diferencial 15 De�nição 1.5. Uma medida vetorial µ é uma função µ : R → R̄m sobre X com µ(F ) = (µ1(F ), µ2(F ), ..., µm(F )), F ∈ X, onde µj : R → R̄ é medida, para j = 1, ...,m. De�nição 1.6. Seja µ : R → R̄m uma medida vetorial. De�nimos o conjunto de funções |µj| sobre X por |µj|(F ) := sup n∑ i=1 |µj(Fi)|, o supremo sendo tomado em todas as partições disjuntas {Fi} de F . A variação total de µ é dada por |µ| := ∑m j=1 |µj|. Além disso, dizemos que a medida vetorial µ é σ-�nita se |µ| é σ-�nita. Da mesma forma, µ é �nita se |µ| é �nita. De�nição 1.7. Um átomo de uma medida vetorial µ : R → R̄m é um elemento F ∈ X para o qual µ(F ) ̸= 0 e tal que se F1 ⊂ F e F1 ∈ X então µ(F1) = 0 ou µ(F − F1) = 0. Uma medida que não tem átomos é dita não-atômica. Dizemos que uma propriedade é válida quase sempre (q.s.) se existe um subconjunto S ⊂ X com µ(S) = 0 tal que a propriedade é válida no complementar de S. A seguir de�niremos o conjunto de pontos de Lebesgue de uma função. De�nição 1.8. Seja f(·) : Rn → Rm uma função localmente L1. De�nimos o conjunto de pontos de Lebesgue de f por Lf := { x; lim r→0 1 m(B(x, r)) ∫ B(x,r) |f(y)− f(x)|dy = 0 } , onde B(x, r) é a bola de centro x e raio r. Tal conjunto possui a seguinte propriedade. Teorema 1.2. Se f(·) : Rn → Rm é localmente L1, então m((Lf ) C) = 0, onde (Lf ) C denota o complementar do conjunto Lf . Demonstração. Consultar referência [Folland 1999]. 1.2 Multifunções e Inclusão Diferencial A seguir introduziremos os conceitos de multifunção, inclusão diferencial, função absolutamente contínua e função de variação limitada. 1.2 Multifunções e Inclusão Diferencial 16 De�nição 1.9. Γ : Rm ⇒ Rn é chamada de multifunção se para cada x ∈ Rm temos que Γ(x) ⊂ Rn, ou seja, Γ(x) é um subconjunto de Rn. De�nição 1.10. Uma multifunção Γ : Rm ⇒ Rn é dita mensurável quando o conjunto Γ−1(V ) := {u ∈ Rm : Γ(u) ∩ V ̸= ∅} é mensurável para cada subconjunto aberto V ⊂ Rn. De�nição 1.11. Uma multifunção Γ : Rn ⇒ Rm com valores compactos é dita localmente Lipschitz se para todo conjunto limitado C ⊂ Rn existe uma constante c tal que dH(Γ(x),Γ(y)) ≤ c|x− y| para todos x, y ∈ C, onde dH denota a distância de Hausdor� que é dada por dH(Γ(x),Γ(y)) := min{δ ≥ 0 : Γ(x) ⊆ Γ(y) + δB̄ e Γ(y) ⊆ Γ(x) + δB̄}. Dada uma multifunção Γ : Rn ⇒ Rn, considere a inclusão diferencial ẋ(t) ∈ Γ(x(t)) q.s., t ∈ [a, b]. A solução x(·) da inclusão acima é tomada como uma função absolutamente contínua x(·) : [a, b] → Rn tal que ẋ(t) satisfaça a inclusão diferencial. De�nição 1.12. Uma função x(·) : [a, b] → Rn é dita ser absolutamente contínua se para cada ϵ > 0 dado, existe δ > 0 tal que para alguma coleção contável de subintervalos disjuntos [ai, bi] de [a, b] temos n∑ i=1 (bi − ai) < δ ⇒ n∑ i=1 |x(bi)− x(ai)| < ϵ. De�nição 1.13. Dada Γ : Rn ⇒ Rn, dizemos que a função γ : Rn → Rn é uma seleção mensurável para Γ se • γ é mensurável; • γ(x) ∈ Γ(x) q.s.; De�nição 1.14. Sejam x : [a, b] → Rn e ∆ = {a = t0 < t1 < ... < tn = b} dados. A função de variação limitada de x sobre o intervalo [a, b] é de�nida por T (∆, x) = N∑ i=1 |x(ti)− x(ti−1)|. 1.3 Teoria do Controle 17 Denotamos por V (x) = sup ∆ T (∆, x), onde o supremo é tomado sobre todas as partições ∆ do intervalo compacto [a, b], e chamamos V (x) a variação total de x sobre [a, b]. Se V (x) < ∞, dizemos que x é de variação limitada sobre [a, b]. 1.3 Teoria do Controle A teoria do controle lida com princípios básicos fundamentais de análise e sistemas, onde o controle in�uencia no comportamento do sistema em questão. Um sistema de controle é da forma ẋ(t) = f(x(t), u(t)), (1.1) com x(·) : [0, T ] → Rn e u(·) : [0, T ] → Rm, onde u(·) é o controle. O controle busca, de alguma forma, controlar a variável x. Para exempli�car, pense- mos em um escritório que possua um ar-condicionado, então, neste caso, o controle poderá controlar a temperatura, de forma a mantê-la no nível desejado. Quando falamos em problema de controle ótimo, além da equação (1.1), surge agora uma função que deve ser minimizada. Seguindo o exemplo do ar-condicionado, para termos um problema de controle ótimo, devemos controlar a temperatura e também minimizar a energia gasta durante o uso do mesmo. Estes problemas de controle ótimo podem não ter solução. Para resolver este impasse, acresenta-se uma medida atômica na equação (1.1), de forma a fazer com que a mesma possua solução. Este novo problema é chamado de problema de controle ótimo impulsivo. Para melhor compreensão veja o exemplo dado na referência [Code e Silva 2010]. 1.4 Teoremas Abaixo, seguem os teoremas que serão utilizados durante as demonstrações dos resul- tados estudados. Lema 1. (Lema de Gronwall). Seja x(·) : [0, T ] → Rn uma função absolutamente contínua satisfazendo |ẋ(t)| ≤ γ|x(t)|+ c(t) q.s. t ∈ [0, T ] 1.4 Teoremas 18 para γ ≥ 0 e c(·) ∈ L1[0, T ]. Então para todo t ∈ [0, T ] vale a seguinte desigualdade |x(t)− x(0)| ≤ (eγt − 1)|x(0)|+ ∫ t 0 eγ(t−s)c(s)ds. Demonstração. Consultar referência [Clarke 1983]. Lema 2. (Lema discreto de Gronwall). Suponha que x0, x1, ..., xN são elementos em Rn tais que |xj+1| ≤ β|xj|+ c̄, onde β e c̄ são escalares. Então, |xN | ≤ c̄ 1− βN 1− β + βN |x0|. Demonstração. Consultar referência [�abi¢ 2005]. Corolário 1. Se no Lema discreto de Gronwall, β = 1 + α N e c̄ = α N , então |xN | ≤ eα(1 + |x0|)− 1. Demonstração. Consultar referência [�abi¢ 2005]. Teorema 1.3. (Egoro�). Seja f(·) : [0, T ] → Rn e {fn(·)}n com fn(·) : [0, T ] → Rn funções mensuráveis, de�nidas e �nitas em quase todo ponto de [0, T ]. Suponha que fn → f q.s. em [0, T ]. Então para cada ϵ > 0, existe um conjunto A ⊂ [0, T ] tal que sua medida é menor que ϵ e fn converge uniformemente para f sobre [0, T ]\A. Demonstração. Consultar referência [Clarke 1983]. Teorema 1.4. (Compacidade de Trajetórias). Seja Γ : Rm ⇒ Rn uma multifunção. Seja {xi} uma sequência de arcos sobre [a, b] tal que o conjunto {xi(a)} é limitado, e satisfaz ẋi(t) ∈ Γ(τi(t), xi(t) + yi(t)) + ri(t)B̄ q.s., onde {yi}, {ri} e {τi} são sequências de funções mensuráveis sobre [a, b] tais que yi converge para 0 em L2, ri ≥ 0 converge para 0 em L2, τi converge q.s. para t. Então existe uma subsequência de xi que converge uniformemente para um arco x que é uma trajetória de Γ, e cuja derivada converge fracamente para ẋ. Demonstração. Consultar referência [Clarke et al. 1998]. Teorema 1.5. (Diferenciação de Lebesgue). Suponha que f seja localmente L1. Para todo x pertencente ao conjunto de Lebesgue de f , em particular, para quase todo x, temos lim r→0 1 m(Er) ∫ Er |f(y)− f(x)|dy = 0 e lim r→0 1 m(Er) ∫ Er f(y)dy = f(x) 1.4 Teoremas 19 para toda família {Er}r>0 que reduz à x a medida que r → 0. Demonstração. Consultar referência [Folland 1999]. Teorema 1.6. (Convergência Dominada) Seja {fn(·)}n uma sequência de funções inte- gráveis tal que a)fn → f q.s.; b)existe uma função g não-negativa e integrável tal que |fn| ≤ g q.s., para todo n; Então f é integrável e ∫ f = lim n→∞ ∫ fn Demonstração. Consultar referência [Folland 1999]. Teorema 1.7. (Filippov) Sejam dados Γ : Rn ⇒ Rn e a inclusão diferencial ẋ(t) ∈ Γ(x(t)), com x : [a, b] → Rn. (1.2) Suponha ϵ > 0 dado. Se y(·) é um arco sobre [a, b] tal que ẏ(t) ∈ Γ(y(t) + ϵB) q.s., e se ρΓ(y) < ϵ/K, para algum K > 0, então existe uma trajetória x(·) de (1.2) com x(a) = y(a) e max{|x(t)− y(t)|; t ∈ [a, b]} ≤ ∫ b a |ẋ(t)− ẏ(t)|dt ≤ KρΓ(y) < ϵ. Onde ρΓ(y) := ∫ b a inf{|v(t)− ẏ(t)|; v ∈ Γ(x(t))}dt Demonstração. Consultar referência [Clarke 1983]. 20 CAPÍTULO 2 SISTEMAS DE CONTROLE IMPULSIVO No presente capítulo, estudaremos um sistema de controle impulsivo. Faremos um completamento grá�co da função distribuição relacionada à medida atômica. Para isto será necessário fazer uma reparametrização do tempo. Em seguida de�niremos o que será uma solução reparametrizada do sistema em questão, e, posteriormente, o que vem a ser uma solução do mesmo. Por �m, observaremos que ambas as soluções são equivalentes. 2.1 Sistemas de controle impulsivo O sistema de controle impulsivo considerado durante o estudo será dx = f(x, u)dt+ g(x, v)dΩ, t ∈ [0, T ] x(0) = x0, (2.1) onde f(·) : Rn×Rm → Rn e g(·) : Rn×Rr → Mn×q são mensuráveis com relação a segunda variável , onde Mn×q denota o espaço das matrizes de entradas reais de dimensão n× q, as funções u(·) : [0, T ] → Rm e v(·) : [0, T ] → Rr são mensuráveis no sentido de Borel, Ω é o controle impulsivo que consiste em Ω := (µ, vti , ψti). As componentes de Ω são de�nidas por: • uma medida de Borel µ de�nida na sigma álgebra de Borel do intervalo [0, T ] tomando valores em um cone K ⊂ Rq; • funções vti(·) : [0, 1] → Rr que são famílias de funções Borel mensuráveis e essen- 2.1 Sistemas de controle impulsivo 21 cialmente limitadas com relação a medida de Lebesgue, que estão relacionadas aos átomos da medida µ, isto é, {vti}ti∈Θ, onde Θ := {ti ∈ [0, T ] : i ∈ I e µ(ti) ̸= 0}, com µ(ti) o valor vetorial da medida em K e I o conjunto de índices atômicos da medida µ; • função ψti(·) : [0, 1] → K satisfazendo (i) ∑q j=1 ∥ψ j ti(σ)∥ = |µ|(ti) q.s. σ ∈ [0, 1], (ii) ∫ 1 0 ψj ti(s)ds = µj(ti), j = 1, 2, . . . , q para todo ti ∈ Θ. Aqui, as funções vti(·) e ψti(·) fornecem o comportamento da função v(·) e da medida µ(·), respectivamente, durante o tempo atômico ti ∈ Θ. Durante todo o trabalho as sequintes hipóteses serão utilizadas: H1 Um cone convexo e fechado K ⊂ Rq; H2 Uma função f(·) : Rn × Rm → Rn satisfazendo: |f(x, u)| ≤ c(1 + |x|),∀x ∈ Rn e ∀u ∈ Rm, c constante, c >0; H3 Uma função g(·) : Rn × Rr → Mn×q satisfazendo: ∥g(x, v)∥ ≤ c(1 + |x|),∀x ∈ Rn e ∀v ∈ Rr, c constante, c >0. 2.1.1 Completamento grá�co Inicialmente observe que não é possível fazer uma discretização do sistema (2.1) pois o controle impulsivo Ω faz com que o mesmo seja descontínuo. Para contornar tal situação, faremos uma reparametrização do tempo com o intuito de transformar o tempo atômico da medida µ em um tempo progressivo, para, desta forma, obter um sistema reparametrizado. O processo para construção deste novo sistema será abordado abaixo. Seja Θ como de�nido anteriormente, ou seja, Θ := {ti ∈ [0, T ]; i ∈ I e µ(ti) ̸= 0} onde I é o conjunto de índices atômicos. A função distribuição para a medida µ é a função τ(·) : [0, T ] → K dada por τ(t) := µ([0, t]) que é uma função de variação limitada. Note que em todos os pontos de Θ, a medida µ dá um salto, assim, em tais pontos, a função distribuição será descontínua. Como o conjunto dos pontos de descontinuidade de uma função de variação limitada é enumerável, segue que I é enumerável. 2.1 Sistemas de controle impulsivo 22 Façamos uma reparametrização do tempo. Para isto, seja η(·) : [0, T ] → [0, 1] dada por η(t) := t+ |µ|([0, t]) T + |µ|([0, T ]) . Note que η é uma função estritamente crescente em função do tempo, assim segue que 1 = η(T ). Por convenção denote η(0−) = 0, onde η(0−) é o limite lateral a esquerda de η(0). Sendo ti um átomo de µ, denote por Ii := [si−, si+] = [η(ti−), η(ti)] o tempo consumido durante o salto. Agora, seja θ a inversa preenchida de η, ou seja, se t é um átomo de µ, então t = ti para algum i ∈ I, assim, tome θ(s) = t ∀ s ∈ Ii, e , se t não for um átomo de µ, tome θ(s) como a inversa de η(t). Desta forma, θ satisfaz as seguintes propriedades: • não-decrescente em [0, 1]; • absolutamente contínua com |θ(s)− θ(s ′ )| ≤ b|s− s ′| para todos s, s ′ ∈ [0, 1]; • θ(s) = ti para todo s ∈ Ii = [η(ti−), η(ti)], onde η(ti−) denota o limite lateral a esquerda de η(ti), e η contínua a direita; Seja ϕ(·) : [0, 1] → Rq dada por ϕ(s) := τ(θ(s)) se s ∈ [0, 1]\(∪i∈IIi), τ(θ(s)−) + ∫ [η(ti−),s] 1 η(ti)−η(ti−) ψti(αti(σ))dσ se s ∈ Ii, i ∈ I, onde αti(·) : [η(ti−), η(ti)] → [0, 1] é dado por αti(σ) := σ−η(ti−) η(ti)−η(ti−) . Note que ϕ(·) é Lipschitz, e denotaremos por r > 0 sua constante Lipschitz. O completamento grá�co da função distribuição τ(·) é dado pela função Lipschitz contínua (θ, ϕ)(·) : [0, 1] → [0, T ] × Rq, onde θ mapea [0, T ] e para todo t ∈ [0, T ] existe s ∈ [0, 1] tal que (θ(s), ϕ(s)) = (t, τ(t)). De�nição 2.1. Para uma medida µ ∈ BK([0, T ]) dada, um par Lipschitz (θ, ϕ)(·) : [0, 1] → [0, T ]× Rq é dito ser um completamento grá�co se • θ(·) é não-decrescente; • para todo t ∈ [0, T ], existe s ∈ [0, 1] tal que (θ(s), ϕ(s)) = (t, τ(t)); • ϕ̇(s) ∈ K para quase todo s ∈ [0, 1]. 2.1 Sistemas de controle impulsivo 23 2.1.2 Sistemas de controle impulsivo e suas trajetórias Nesta seção veremos que as soluções do sistema (2.1) e do sistema reparametrizado são equivalentes, logo, podemos discretizar este novo sistema e obter resultados de aprox- imação entre as soluções discretas e a solução contínua. Para isto, suponhamos que o controle impulsivo Ω seja dado, então considere xϑ := (x(·), {ξti(·)}ti∈Θ), (2.2) onde ϑ := (u, v,Ω), x(·) : [0, T ] → Rn é função de variação limitada com os pontos de descontinuidade contidos no conjunto Θ e {ξti(·)}ti∈Θ é uma coleção de funções Lipschitz, tal que ξti(·) : [0, 1] → Rn e satifaz ξti(si−) = x(ti−) e ξti(si+) = x(ti+). De�na v̂(·) : [0, 1] → Rr por v̂(s) := v(θ(s)) se s ∈ [0, 1] \ (∪i∈IIi) vti(αti(s)) se s ∈ Ii, i ∈ I. (2.3) Note que é necesário de�nir v̂(·) pois quando de�nimos o sistema excitado por medidas, um dos componentes do controle impulsivo Ω era vti , ti ∈ Θ, e, estas funções nos davam o comportamento da função v(·) durante o tempo atômico, logo, quando de�nimos v̂(·) desta forma, temos o comportamento preciso de v(·) para todo t ∈ [0, T ]. Note também que αti , ti ∈ Θ faz com que vti �que restrito somente ao intervalo atômico, fazendo com que v̂(·) esteja bem de�nido. Agora, denote por F : Rn ⇒ Rn e G : Rn ⇒ Mn×q as multifunções de�nidas por F (x) := {f(x, u);u ∈ U ⊂ Rm} e G(x) := {g(x, v̂); v̂ ∈ V ⊂ Rr}, (2.4) e suponha que ambas possuem grá�cos fechados e valores convexos. Veja que F e G possuem crescimento linear por H2 e H3. Estas multifunções serão utilizadas posteriormente. De�nição 2.2. Sejam xϑ como em (2.2) e y(s) := x(t) se s ∈ [0, 1] \ (∪i∈IIi) , t = θ(s), ξti(αti(s)) se s ∈ Ii, para algum i ∈ I. (2.5) Então xϑ é uma solução reparametrizada de (2.1) desde que y(·) seja Lipschitz em [0, 1] 2.1 Sistemas de controle impulsivo 24 e satisfaça ẏ(s) = f(y(s), u(θ(s)))θ̇(s) + g(y(s), v̂(s))ϕ̇(s) q.s., s ∈ [0, 1], y(0) = x0. (2.6) Note que y(·), como de�nido em (2.5) completa gra�camente a função x(·). Agora, veja que tanto a medida µ quanto a medida de Borel m, não-atômica, são σ-�nitas, logo, pelo Teorema (1.1) (Decomposição de Lebesgue), a medida µ pode ser decomposta em partes absolutamente contínua, singular contínua e discreta, em relação a medida de Borel m. Desta forma, temos µ = µc + µσ + µD, onde µc é a componente contínua de µ, µσ é a componente singular contínua de µ e µD é a componente discreta de µ, dada por µD = ∑ ti∈Θ δ τ ti , com δτti denotando o salto do vetor τ(ti+)− τ(ti−). Feita esta observação, podemos de�nir quando xϑ é uma solução de (2.1). De�nição 2.3. Dizemos que xϑ é solução de (2.1) se x(t) = x0 + ∫ t 0 f(x, u)dσ + ∫ [0,t] g(x, v)dµc + ∑ ti≤t [ξti(1)− x(ti−)] ∀t ∈ [0, T ], (2.7) onde µc é a componente contínua de µ, e ξ̇ti(σ) = g(ξti(σ), vti(σ))ψti(σ) (2.8) ξti(0) = x(ti−). (2.9) O teorema a seguir é muito importante pois ele nos diz que as soluções dos problemas (2.1) e do problema reparametrizado são equivalentes, logo, podemos discretizar o prob- lema reparametrizado e comparar a sua solução com a solução encontrada pelo método de discretização de Euler, e desta forma estaremos obtendo resultados para o problema (2.1) devido a este teorema. Teorema 2.1. Suponha que o controle impulsivo Ω seja dado e xϑ seja como em (2.2). Então, xϑ é uma solução reparametrizada de (2.1) se e somente se xϑ é uma solução de (2.1). Demonstração. Consultar referência [Wolenski e �abi¢ 2006]. 25 CAPÍTULO 3 MÉTODO DE DISCRETIZAÇÃO DE EULER Neste capítulo, estamos interessados em discretizar o sistema reparametrizado, obtido no capítulo anterior, utilizando o método de Euler. Desta forma, produziremos soluções discretas deste problema, e veremos que estas soluções produzidas pelo método de Euler, convergem gra�camente para a solução do problema (2.1) a medida que a norma da partição do tempo reparametrizado tende a in�nito. 3.1 Discretização de Euler Começamos de�nindo o grá�co de xϑ, e, logo após, faremos a discretização de Euler do sistema reparametrizado (2.6). Assim estaremos aptos a enunciar e demonstrar os resultados de aproximação entre as soluções discretas e contínua. De�na o grá�co de xϑ como o conjunto grxϑ := {(t, x(t)) : t ∈ [0, T ]} ∪ {(ti, ξti(αti(s))) : s ∈ Ii, i ∈ I}. Sejam N ∈ N e h = 1 N o tamanho do passo. Seja s0 = 0 = t0, e para cada j = 1, ..., N , seja sj = jh, tj = θ(sj), e λj = tj − tj−1. Temos a seguinte discretização de Euler: x0 = x0 x1 = x0 + λ1f0 + g0(ϕ(s1)− ϕ(s0)) ... 3.1 Discretização de Euler 26 xj+1 = xj + λj+1fj + gj(ϕ(sj+1)− ϕ(sj)) ... xN = xN−1 + λNfN−1 + gN−1(ϕ(sN)− ϕ(sN−1)), onde xj = x(sj), j = 1, ..., N , e fj = f(xj, u(θ(sj))) e gj = g(xj, v̂(sj)) para j = 0, . . . , N− 1. Denotamos por ΛN o grá�co da trajetória obtida na discretização de Euler projetada no intervalo [0, T ], ou seja, ΛN := {(tj, xj) : j = 0, . . . , N}. (3.1) Abaixo temos um teorema que nos diz que a partir da sequência {ΛN}N podemos encontrar uma solução de (2.1) e uma subsequência da trajetória obtida na discretização de Euler tais que, gra�camente, elas se aproximam. Teorema 3.1. Suponha que o controle impulsivo Ω seja dado, que f e g sejam localmente Lipschitz com relação a primeira variável, que F e G sejam como de�nidas em (2.4), e que {ΛN}N seja sequência de grá�cos de trajetórias obtidas pela discretização de Euler. Então, para cada sequência {ΛN}N existe uma solução xϑ de (2.1) e uma subsequência {ΛNk}k de {ΛN}N tal que dH(Λ Nk , grxϑ) → 0 com k → ∞. Demonstração. Suponhamos que as sequências {fj}, {gj} e {xj} são como no método de discretização de Euler. Então temos: |xj+1| = |xj + λj+1fj + gj(ϕ(sj+1)− ϕ(sj))|,∀ j = 0, . . . , N − 1. Pela desigualdade triangular segue que |xj+1| ≤ |xj|+ |θ(sj+1)− θ(sj)||fj|+ ∥gj∥|ϕ(sj+1)− ϕ(sj)|, pois λj+1 = tj+1 − tj = θ(sj+1)− θ(sj). Lembrando que θ(·) e ϕ(·) são Lipschitz com constantes b e r, respectivamente, obtemos |xj+1| ≤ |xj|+ hb|fj|+ rh∥gj∥. 3.1 Discretização de Euler 27 Utilizando H2 e H3, a desigualdade acima se reduz a |xj+1| ≤ hc(b+ r) + [1 + hc(b+ r)]|xj|, e sendo α := c(b+ r), a expressão se torna |xj+1| ≤ hα+ [1 + hα]|xj|. Pelo Lema (2) (Lema discreto de Gronwall), e, tomando c ≥ 1, temos |xj| ≤ c1, j = 0, . . . , N, onde c1 := c[eα(1 + |x0|)]. Agora, note que por H2 |fj| ≤ c(1 + |xj|) ≤ c(1 + eα(1 + |x0|)− 1) = c1, j = 0, . . . , N. De maneira análoga segue que ∥gj∥ ≤ c1. Deste modo, obtemos o seguinte resultado max j {|xj|, |fj|, ∥gj∥} ≤ c1. (3.2) Agora, de�na a multifunção M : [0, 1]× Rn ⇒ Rn por M(s, y) = F (y)θ̇(s) +G(y)ϕ̇(s), (3.3) onde F e G são como de�nidas em (2.4), que é L×B mensurável, tem valores convexos(F e G são convexos),compactos(F e G são fechados e limitados por H2 e H3) e não-vazios, e tem crescimento linear(F e G tem crescimento linear). Note também que M(s, ·) tem grá�co fechado em quase todo s ∈ [0, 1], pois θ̇(·) e ϕ̇(·) podem não existir em um conjunto de medida nula. Para cada N ∈ N, denote por Λ̃N o grá�co da trajetória obtida na discretização de Euler no tempo s, ou seja, Λ̃N := {(sj, xj); j = 0, . . . , N}. (3.4) Considere também o seu arco poligonal relacionado de�nido sobre [0,1] por yN(s) := xj + s− sj h (xj+1 − xj) para s ∈ [sj, sj+1]. 3.1 Discretização de Euler 28 Perceba que dH(Λ̃ N , gryN(·)) ≤ max{h, c1(b+ r)h}. (3.5) De fato, note que Λ̃N ⊂ gryN(·), então temos que encontrar o min δ > 0, tal que gryN(·) ⊂ Λ̃N + δB̄. Para chegarmos na desigualdade acima basta notarmos que δ ≤ max{d(yN(sj), yN(sj+1)), h}, j = 0, . . . , N − 1. e fazendo os cálculos, |yN(sj+1)− yN(sj)| = |xj+1 − xj| ≤ c1(b+ r)h. Chegando, desta forma, a (3.5). Mostraremos que existem duas sequências de números positivos δN e rN tais que δN → 0 e rN → 0 com N → ∞, e conjuntos mensuráveis AN ⊆ [0, 1] com m(AN) → 0 com N → ∞, e satisfazendo inf{|ẏN(s)− p|; p ∈M(s, yN(s) + δN B̄)} ≤ rN q.s., s /∈ AN . (3.6) Para isto, tome δN = c1(b + r)/N , e veja que δN → 0 com N → ∞, e, para cada j = 1, . . . , N − 1 e s ∈ [sj−1, sj], tem-se |yN(s)−xj| = ∣∣∣∣xj (s− sj−1 h − 1 ) + xj−1 ( 1− s− sj−1 h )∣∣∣∣ = ∣∣∣∣(xj − xj−1) ( s− sj−1 h − 1 )∣∣∣∣ , e como 0 ≤ |(s− sj−1)/h− 1| ≤ 1, segue a desigualdade abaixo |yN(s)− xj| ≤ c1h(b+ r) = δN . De�na, para s ∈ [0, 1− h] θN(s) := 1 h ∫ s+h s θ̇(s ′ )ds ′ e ϕN(s) := 1 h ∫ s+h s ϕ̇(s ′ )ds ′ e note que θN(s) → θ̇(s) e ϕN(s) → ϕ̇(s) para quase todo s ∈ [0, 1], com N → ∞, e θN(s) e ϕN(s) são funções Borel mensuráveis. Pelo Teorema (1.3) (Egoro�), para ϵ = 1/N dado, existe AN ⊂ [0, 1] (para simpli�car a notação iremos assumir que [1−h, 1] ⊂ AN), tal que m(AN) < 1/N para todo N ∈ N, ou seja, m(AN) → 0 com N → ∞. Com base nisto podemos de�nir rN := 2c1 max s∈[0,1]\AN {|θN(s)− θ̇(s)|, |ϕN(s)− ϕ̇(s)|} → 0 3.1 Discretização de Euler 29 com N → ∞, pois ainda pelo teorema (1.3) (Egoro�), θN(s) e ϕN(s) convergem uni- formemente para θ̇(s) e ϕ̇(s) em [0, 1] \ AN , respectivamente. Seja pN(s) := fj θ̇(s) + gjϕ̇(s), para s ∈ [sj, sj+1]. Perceba que pN(s) ∈M(s, xj) q.s., ou seja, pN(s) ∈M(s, yN(s) + δN B̄), s ∈ [sj, sj+1], e, ẏN(s) = xj+1 − xj h = fj 1 h (θ(sj+1)− θ(sj)) + gj 1 h (ϕ(sj+1)− ϕ(sj)), que é mesmo que dizer que ẏN(s) = fj 1 h ∫ sj+1 sj θ̇(s ′ )ds ′ + gj 1 h ∫ sj+1 sj ϕ̇(s ′ )ds ′ = θN(sj)fj + ϕN(sj)gj, para s ∈ [sj, sj+1]. Então max s∈[0,1]\AN |ẏN(s)− pN(s)| ≤ max s∈[sj ,sj+1]\AN (|fj||θN(s)− θ̇(s)|+ ∥gj∥|ϕN − ϕ̇(s)|) ≤ rN , com j = 0, ..., N − 1. Temos então que (3.6) é válida. Estamos nas hipóteses do Teorema (1.4) (Compacidade de Trajetórias), logo, existe uma trajetória y(·) de M e uma subsequência {yNk(·)}k de {yN(·)}N tal que yNk(·) → y(·) uniformemente em [0, 1]. E disto segue que dH(gry Nk(·), gry(·)) → 0, com k → ∞. (3.7) Agora, de�na a solução xϑ de (2.1) como segue. Seja x(·) : [0, T ] → Rn dado por x(t) = y(η(t)) e as funções ξti(·), para cada ti ∈ Θ, a restrição de y(·) para Ii. Veja que ΛN e Λ̃N possuem as segundas coordenadas iguais para j = 0, ..., N , e o mesmo ocorre quando comparamos grxϑ e gry(·), com relação as segundas coordenadas. Assim, a diferença entre as distâncias de Hausdor� de ΛN e grxϑ por um lado, e Λ̃N e gry(·) por outro, é afetada somente pela primeira coordenada. Desta forma, temos dH(Λ N , grxϑ) ≤ dH(Λ̃ N , gry(·)). (3.8) Pela desigualdade triangular e utilizando a subsequência {Nk}k, temos dH(Λ̃ Nk , gry(·)) ≤ dH(Λ̃ Nk , gryNk(·)) + dH(gry Nk(·), gry(·)). 3.1 Discretização de Euler 30 Fazendo k → ∞ e utilizando (3.5), (3.7) e (3.8) segue que dH(Λ Nk , grxϑ) → 0, com k → ∞. O teorema abaixo é a recíproca do anterior, com a diferença de que agora conseguimos uma sequência de grá�cos de trajetórias tal que gra�camente, ela converge para uma solução do problema original. Teorema 3.2. Suponha que o controle impulsivo Ω seja dado e que f e g sejam localmente Lipschitz com relação a primeira variável. Então, para toda solução xϑ de (2.1), existe uma sequência {ΛN}N de grá�cos de trajetórias tal que dH(Λ N , grxϑ) → 0, com N → ∞. Demonstração. Suponhamos que f e g sejam Lipschitz com relação a primeira variável e que xϑ seja uma solução de (2.1). Seja y(·) como de�nido em (2.2), então temos que ẏ(s) = f(y(s), u(θ(s)))θ̇(s) + g(y(s), v̂(s))ϕ̇(s) q.s. s ∈ [0, 1]. Disto segue que |ẏ(s)| ≤ |f(y(s), u(θ(s)))||θ̇(s)|+ ∥g(y(s), v̂(s))∥|ϕ̇(s)|. De H2 e H3 temos |ẏ(s)| ≤ c(1 + |y(s)|)(|θ̇(s)|+ |ϕ̇(s)|) ≤ c(1 + |y(s)|)(b+ r). Assim, |ẏ(s)| ≤ c(b+ r)|y(s)|+ c(b+ r), e, pelo Lema (1) (Gronwall) obtemos |y(s)| ≤ ec(b+r)s|x0|+ ∫ s 0 c(b+ r)ec(b+r)(s−s ′ )ds ′ ≤ ec(b+r)|x0|+ ec(b+r) =: c2. Note que para 0 ≤ s̄ ≤ ŝ ≤ 1, temos |y(ŝ)− y(s̄)| ≤ ∫ ŝ s̄ |ẏ(s)|ds ≤ ∫ ŝ s̄ c(1 + |y(s)|)(|θ̇(s)|+ |ϕ̇(s)|)ds (3.9) ≤ c(1 + c2)(b+ r)(ŝ− s̄) =: c3(ŝ− s̄). 3.1 Discretização de Euler 31 Seja L > 0 a constante Lipschitz para f e g sobre c2B̄. Então, se |yj| ≤ c2 (j = 1, 2), tem-se |f(y1, u1) − f(y2, u2)| ≤ L|y1 − y2|, onde yj = y(sj) e uj = u(θ(sj)), com j = 0, ..., N . Podemos considerar da mesma forma para g. Sejam f0 = ∫ s1 0 [f(x0, u0)/h]ds, g0 = ∫ s1 0 [g(x0, v̂0)/h]ds e x1 como de�nido no método de discretização de Euler. Observe que x1 − y(s1) = θ(s1)− θ(0) h ∫ s1 0 [f(x0, u0)− f(y(s), u(θ(s)))]ds + ϕ(s1)− ϕ(0) h ∫ s1 0 [g(x0, u0)− g(y(s), v̂(s))]ds + ∫ s1 0 ( θ(s1)− θ(0) h − θ̇(s) ) (f(y(s), u(θ(s)))) ds + ∫ s1 0 (g(y(s), v̂(s))) ( ϕ(s1)− ϕ(0) h − ϕ̇(s) ) ds =: I + II + III + IV. Vamos limitar I, II, III e IV . |I| ≤ |θ(s1)− θ(0)| h ∫ s1 0 |f(x0, u0)− f(y(s), u(θ(s)))|ds ≤ Lb ∫ s1 0 |y(s)− x0|ds ≤ Lbc3 h2 2 , onde a terceira desigualdade segue de (3.9). De modo análogo mostra-se que |II| ≤ Lc3rh 2/2. De�na ΦN(·) sobre [0, 1] por ΦN(s) := max [∣∣∣∣θ(sj+1)− θ(sj) h − θ̇(s) ∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ϕ(sj+1)− ϕ(sj) h − ϕ̇(s) ∣∣∣∣] , s ∈ [sj, sj+1]. Agora, |III| ≤ ∣∣∣∣∫ s1 0 ( θ(s1)− θ(0) h − θ̇(s) ) f(y(s), u(θ(s))) ∣∣∣∣ ds ≤ ∫ s1 0 ΦN(s)|c(1 + |y(s)|)ds, mas |y(s)| ≤ c2, logo, |III| e |IV | são limitados por c(1 + c2) ∫ s1 0 ΦN(s)ds. Temos |x1 − y(s1)| ≤ Lc3h 2 2 (b+ r) + 2c(1 + c2) ∫ s1 0 ΦN(s)ds. Indutivamente, de�nindo fj = ∫ sj+1 sj [f(xj, uj)/h]ds e gj = ∫ sj+1 sj [g(xj, v̂j)/h]ds, o mesmo 3.1 Discretização de Euler 32 argumento pode ser usado em cada iteração para obtermos o seguinte resultado: |xj − y(sj)| ≤ Lc3 2 (b+ r)jh2 + 2c(1 + c2) ∫ sj 0 ΦN(s)ds. Uma vez que ΦN(s) é limitado superiormente e converge para 0 quase sempre, tem-se que Λ̃N := {(sj, xj); j = 1, ..., N} satisfaz dH(Λ̃N , gry(·)) → 0, quando N → ∞ e, pela desigualdade (3.8), segue que dH(Λ N , grxϑ) → 0, com N → ∞. 33 CAPÍTULO 4 CONTROLES APROXIMADOS Neste capítulo, daremos a de�nição de convergência no grá�co de medidas, e, a partir da sequência de medidas {µN}N , que será absolutamente contínua e convergirá gra�camente para a medida de Borel µ, e o completamento grá�co da função distribuição, teremos uma sequência de soluções {xN(·)}N de um problema de controle aproximado. Estas sequências serão de fundamental importância para demonstrarmos o resultado estudado. 4.1 Convergência de medidas no grá�co De acordo com [Wolenski e �abi¢ 2007], para de�nir soluções para o sistema (2.1) iremos considerar limites de uma sequência de soluções {xN(·)}N de um problema de controle aproximado dado como abaixo ẋN(t) = f(xN(t), u(t)) + g(xN(t), v(t))τ̇N(t), (4.1) onde dµN = τ̇Ndt são medidas absolutamente contínuas que se aproximam de µ. Abaixo, segue a de�nição de convergência no grá�co entre uma sequência de medidas absolutamente contínuas e a medida e seu completamento grá�co. Para isto, vamos supor que sejam dados o controle impulsivo Ω e uma sequência {µN}N de medidas absolutamente contínuas pertencentes a BK([0, T ]) com τN(t) := µN([0, t]) Lipschitz. De�nição 4.1. A sequência {µN}N de medidas absolutamente contínuas converge no grá�co para (µ, ϕ) desde que 4.1 Convergência de medidas no grá�co 34 • existam números SN > 0 tais que SN → 1; • para cada N , existe uma função estritamente crescente θN(·) : [0, SN ] → [0, T ] Lipschitz com constante no máximo b, e tal que∫ min{1,SN} 0 |θ̇N(s)− θ̇(s)|ds→ 0, com N → ∞; • para cada N , a sequência de funções de�nida por ϕN(s) := (τN ◦ θN)(s) é Lipschitz com lim supN→∞ ∥ϕ̇N(·)∥∞ ≤ r e satisfaz∫ min{1,SN} 0 |ϕ̇N(s)− ϕ̇(s)|ds→ 0, com N → ∞; Agora iremos demonstrar um resultado que nos diz que a partir de uma sequência de medidas {µN}N que converge no grá�co para (µ, ϕ) e da sequência {xN(·)}N de soluções de (4.1), é possível mostrar que existe uma subsequência de {xN(·)}N e uma solução de (2.1) tais que, gra�camente, elas se aproximam. Teorema 4.1. Suponha que o controle impulsivo Ω é dado, que f e g são localmente Lipschitz com relação a primeira variável, que F e G são como de�nidas em (2.4), que {µN}N é uma sequência de medidas absolutamente contínuas que converge no grá�co para (µ, ϕ) e que {xN(·)}N é uma sequência de arcos absolutamente contínuos satisfazendo (4.1). Então existe uma solução xϑ de (2.1) e uma subsequência {xNk(·)}k de {xN(·)}N tal que dH(grx Nk(·), grxϑ) → 0, com k → ∞. Demonstração. Suponhamos que sejam dadas as medidas dµN = τ̇N(t)dt, as funções θN(·) e ϕN(·) satisfazendo a de�nição (4.1), e soluções {xN(·)}N de (4.1). Sejam S̃N := min{1, SN} e yN(s) = (xN ◦ θN)(s), que para quase todo s ∈ [0, S̃N ] satisfaz ẏN(s) = ẋN(θN(s))θ̇N(s) = f(yN(s), u(θN(s)))θ̇N(s) + g(yN(s), v(θN(s)))ϕ̇(s), onde a segunda igualdade segue de ϕ̇N(s) = τ̇N(θN(s))θ̇N(s) quase sempre. Para simpli- �car a notação, vamos denotar fN(s) = f(yN(s), u(θN(s))) e gN(s) = g(yN(s), v(θN(s))). Note que |fN(·)|∞ e ∥gN(·)∥∞ são limitadas por uma constante independente de N . De fato, temos que |ẏN(s)| ≤ |fN(s)||θ̇N(s)|+ ∥gN(s)∥|ϕ̇N(s)| ≤ c(b+ r)(1 + |yN(s)|), 4.1 Convergência de medidas no grá�co 35 onde a segunda desigualdade segue de H2,H3 e da de�nição (4.1). Pelo Lema (1) (Lema de Gronwall) segue que |yN(s)− yN(0)| ≤ (ec(b+r)s − 1)|yN(0)|+ ∫ s 0 ec(b+r)(s−s ′ )c(b+ r)ds ′ , e, fazendo os cálculos, obtemos |yN(s)| ≤ ec(b+r)|x0|+ ec(b+r). Por H2 e H3 segue que |fN(·)|∞ ≤ c4 e ∥gN(·)∥∞ ≤ c4, onde c4 é uma constante indenpendente de N . Seja M : [0, 1]× Rn ⇒ Rn de�nido como em (3.3). De�na żN(·) : [0, S̃N ] → Rn por żN(s) := fN(s)θ̇(s) + gN(s)ϕ̇(s), e, de�na zN(·) : [0, S̃N ] → Rn por zN(s) := x0 + ∫ s 0 żN(s ′ )ds ′ . Note que żN(s) ∈M(s, yN(s)) q.s., s ∈ [0, S̃N ]. (4.2) Além disso, |zN(s)− yN(s)| = ∣∣∣∣∫ s 0 (żN(s ′ )− ẏN(s ′ ))ds ′ ∣∣∣∣ ≤ c4 (∫ s 0 |θ̇N(s′)− θ̇(s ′ )|ds′ + ∫ s 0 |ϕ̇N(s ′ )− ϕ̇(s ′ )|ds′ ) , ou seja, sup s∈[0,S̃N ] |zN(s)− yN(s)| ≤ c4(|θ̇N − θ̇|1 + |ϕ̇N − ϕ̇|1). Logo, yN − zN se aproxima de zero uniformemente pois, por hipótese, {µN}N converge no grá�co para (µ, ϕ). Segue de (4.2) e do Teorema (1.4)(Compacidade de Trajetórias), que existe y(·) : [0, 1] → Rn, trajetória de M para qual uma subsequência de {zN(·)}N , e também de {yN(·)}N , converge uniformemente. Isto é, existe uma subsequência Nk, para a qual dH(gry Nk(·), gry(·)) → 0, com k → ∞. (4.3) Agora, de�na as componentes de xϑ como, x(·) : [0, T ] → Rn dado por x(t) = y(η(t)) e as funções ξti(·) como a restrição de y(·) para Ii. Então, dH(grx Nk(·), grxϑ) ≤ dH(gry Nk(·), gry(·)) + sup s∈[0,S̃Nk ] |θNk(s)− θ(s)|, 4.1 Convergência de medidas no grá�co 36 que tende a zero com k → ∞ por (4.3) e pela de�nição (4.1). Abaixo segue a recíproca do teorema anterior, onde, novamente, não somente uma subsequência de soluções de (4.1) converge no grá�co para a solução do problema original, mas a sequência toda. Teorema 4.2. Suponhamos que o controle impulsivo Ω é dado, que f e g são Lipschitz com relação a primeira variável, que F e G são como de�nidas em (2.4) e que xϑ é uma solução de (2.1). Então existe uma sequência {µN}N de medidas absolutamente contínuas que converge no grá�co para (µ, ϕ), e uma sequência {xN(·)}N de soluções de (4.1) tais que dH(grx N(·), grxϑ) → 0, com N → ∞. Demonstração. Suponhamos que f e g sejam localmente Lipschitz com relação a primeira variável e que xϑ seja solução de (2.1). Temos que construir uma sequência de medidas absolutamente contínuas {µN}N que convergirá no grá�co para (µ, ϕ). Para isto, construiremos uma nova partição {t̄j} de [0, T ] que possuia N pontos distintos, e, a partir desta partição, de�niremos as funções θN(·) e ϕN(·) que satisfarão a de�nição (4.1). Fixe N > 0 e tome h = 1 N . Para j = 1, . . . , N , seja sj = jh e tj = θ(sj). De�na por IN 0 o conjunto formado por todos os índices j tais que tj−1 < tj < tj+1 (por convenção, tome t−1 < t0 e tN+1 > tN). Se j ∈ IN 0 faça t̄j = tj. Agora, seja IN o conjunto formado por todos os índices j tais que tj−1 < tj = tj+1. Para j ∈ IN , note que existe kj ≥ 1 tal que tj = tj+1 = . . . = tj+kj < tj+kj+1, então de�na, somente para j ∈ IN λj := 1 2 min{h2, tj − tj−1, tj+kj+1 − tj}, e, se 0 ∈ IN , então λ0 := min{h2, tj+kj+1 −tj 2 }. Se j /∈ IN 0 , então j = j̄ + k, onde existe precisamente um par (j̄, k) com j̄ ∈ IN e 0 ≤ k ≤ kj̄. Neste caso, de�na t̄j := tj + [ 2k kj̄ − 1 ] λj̄ se j ̸= 0 k k0 λ0 se j = 0. Então, a nova partição {t̄j} de [0, T ] contém N pontos distintos, e satisfaz |t̄j − tj| ≤ h2. (4.4) 4.1 Convergência de medidas no grá�co 37 De fato, para j = 1, . . . , N , temos que |t̄j − tj| = ∣∣∣∣tj + [2kkj̄ − 1 ] λj̄ − tj ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2kkj̄ − 1 ∣∣∣∣ |λj̄| ≤ h2. Para j = 0 segue que |t̄0 − t0| = ∣∣∣∣ kk0λ0 − t0 ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ kk0 ∣∣∣∣ |λ0| ≤ h2. Assim, (4.4) é válida. De�na θN(·) : [0, 1] → [0, T ] por θN(s) = t̄j + s− sj h (t̄j+1 − t̄j), s ∈ [sj, sj+1], que é Lipschitz de constante no máximo b. Vamos mostrar que θ̇N(·) converge para θ̇(·) em L1[0, 1]. Para isto, de�na θ̂N(·) : [0, 1] → [0, T ] por θ̂N(s) = tj + s− sj h (tj+1 − tj), s ∈ [sj, sj+1]. Como ˙̂ θN(·) e θ̇(·) são localmente L1, então, pelo teorema (1.5) (Diferenciação de Lebesgue), para quase todo s ∈ [sj, sj+1] temos que | ˙̂θN(s)− θ̇(s)| = ∣∣∣∣∣ limj→∞ 1 m([sj, sj+1]) ∫ sj+1 sj ˙̂ θN(σ)dσ − lim j→∞ 1 m([sj, sj+1]) ∫ sj+1 sj θ̇(σ)dσ ∣∣∣∣∣ ≤ lim j→∞ 1 m([sj, sj+1]) ∫ sj+1 sj ( | ˙̂θN(σ)− θ̇(s)|+ |θ̇(s)− θ̇(σ)| ) dσ, que converge para zero quase sempre pois, pelo teorema (1.5) (Diferenciação de Lebesgue), limj→∞ 1 sj+1−sj ∫ sj+1 sj |θ̇(s)− θ̇(σ)|dσ = 0, e lim j→∞ 1 sj+1 − sj ∫ sj+1 sj | ˙̂θN(σ)− θ̇(σ)|dσ = lim N→∞ ∣∣∣∣tj+1 − tj h − θ̇(s) ∣∣∣∣ = 0. Segue que ˙̂ θN(s) → θ̇(s) q.s. com N → ∞ e s ∈ [0, 1], e, como ˙̂ θN(·) e θ̇(·) são limitadas por b, pelo teorema (1.6) (Convergência Dominada) tem-se que ˙̂ θN(·) → θ̇(·) em L1[0, 1]. Agora note que para s ∈ [sj, sj+1] |θ̇N(s)− ˙̂ θN(s)| = 1 h |t̄j+1 − t̄j − tj+1 + tj| ≤ 2h, 4.1 Convergência de medidas no grá�co 38 e, lim N→∞ ∫ sj+1 sj |θ̇N(s)−θ̇(s)|ds ≤ lim N→∞ ∫ sj+1 sj | ˙̂θN(s)−θ̇(s)|ds+ lim N→∞ ∫ sj+1 sj | ˙̂θN(s)−θ̇N(s)|ds = 0. Logo, θ̇N(s) → θ̇(s) em L1[0, 1]. De�na τN(·) : [0, T ] → Rq por τN(t) := ϕ(sj) + t− t̄j t̄j+1 − t̄j (ϕ(sj+1)− ϕ(sj)), t ∈ [t̄j, t̄j+1]. Seja ϕN(·) := (τN ◦ θN)(·), e veja que ϕN(sj) = ϕ(sj) para todo j, e que para s ∈ [sj, sj+1] ϕ̇N(s) = τ̇N(θN(s))θ̇N(s) = (ϕ(sj+1)− ϕ(sj)) t̄j+1 − t̄j (t̄j+1 − t̄j) h = ϕ(sj+1)− ϕ(sj) h . Como ϕ(·) é Lipschitz de constante r, segue que ϕN(·) é Lipschitz de constante no máximo r. Da mesma forma como foi mostrado que θ̇N(s) → θ̇(s) em L1[0, 1], mostra-se que ϕ̇N(s) → ϕ̇(s) em L1[0, 1]. De�nindo dµN = τ̇N(t)dt, temos que {µN}N é uma sequência de medidas absolutamente contínuas que converge no grá�co para (µ, ϕ). Prosseguimos para construir a sequência {xN(·)}N de soluções de (4.1). Denote por ΛN := {(tj, xj); j = 0, 1, . . . , N} os grá�cos obtidos pela discretização de Euler projetados no intervalo [0, T ]. Vamos de�nir um novo conjunto de pontos x̄j relacionado a nova partição {t̄j} de pontos distintos. Sejam f̄0 = f0 e ḡ0 = g0, e de�na x̄1 = x̄0 + f̄0(t̄1 − t̄0) + ḡ0(ϕ(s1)− ϕ(s0)). Indutivamente, sejam x̄j = x̄(sj) para j = 1, ..., N , f̄j = f(x̄j, u(θ N(sj))), ḡj = g(x̄j, v̂(sj))), e x̄j+1 = x̄j + (t̄j+1 − t̄j)f̄j + ḡj(ϕ(sj+1)− ϕ(sj)), para j = 1, . . . , N − 1. 4.1 Convergência de medidas no grá�co 39 Como f e g tem crescimento linear, então f̄j e ḡj estão contidos em um conjunto limitado, assim, seja c1 como em (3.2), mas tal que limita f̄j e ḡj, j = 0, 1, . . . , N . Sendo L a constante Lipschitz de f e g sobre c1B̄, tem-se |f̄j − fj| ≤ L|x̄j − xj| e ∥ḡj − gj∥ ≤ L|x̄j − xj|. Estimando a diferença entre xj e x̄j obtemos que |x̄j+1 − xj+1| ≤ |x̄j − xj|+ |t̄j+1 − tj+1||fj|+ |tj − t̄j||fj| +|t̄j+1 − t̄j||f̄j − fj|+ ∥ḡj − gj∥|ϕ(sj+1)− ϕ(sj)| = 2h2c1 + |x̄j − xj|(1 + bhL+ rhL). O Lema (2) (Lema discreto de Gronwall) implica que |x̄j − xj| ≤ 2hc1 eL(b+r) − 1 L(b+ r) , (4.5) para j = 0, . . . , N . Seja Λ̄N o grá�co da trajetória x̄N projetado no intervalo [0, T ], ou seja, Λ̄N := {(t̄j, x̄j); j = 0, 1, . . . , N}. Por (4.5), conclui-se que dH(Λ N , Λ̄N) → 0, com N → ∞. (4.6) De�na x̄N(·) : [0, T ] → Rn por x̄N(t) = x̄j + (t− t̄j)f̄j + (t− t̄j)ḡj ϕ(sj+1)− ϕ(sj) t̄j+1 − t̄j , e note que ˙̄xN(t) = f̄j + ḡj ϕ(sj+1)− ϕ(sj) t̄j+1 − t̄j = f̄j + ḡj τ̇ N(t) ∈ F (x̄j) +G(x̄j)τ̇ N(t), onde t ∈ (t̄j, t̄j+1) e as multifunções F e G são como de�nidas em (2.4). De�na ΠN(·) : [0, T ]×Rn ⇒ Rn por ΠN(t, x) := F (x)+G(x)τ̇N(t). Esta multifunção tem valores compactos e convexos, é Lipschitz mensurável e tem crescimento linear em x. Prosseguimos com o intuito de encontrar uma trajetória xN(·) de ΠN que esteja próxima 4.1 Convergência de medidas no grá�co 40 da trajetória x̄N(·). Queremos utilizar o teorema (1.7) (Flippov), para isto, veja que ςΠ( ˙̄x N(·)) := ∫ T 0 d ( ˙̄xN(t),ΠN(t, x̄N(t)) ) dt = N−1∑ j=0 ∫ tj+1 tj d ( ˙̄xN(t),ΠN(t, x̄N(t)) ) dt ≤ N−1∑ j=0 ∫ tj+1 tj dH ( ΠN(t, x̄j),Π N(t, x̄N(t)) ) dt ≤ L N−1∑ j=0 ∫ tj+1 tj |x̄j − x̄N(t)|(1 + |τ̇N(t)|)dt. (4.7) Para t ∈ [t̄j, t̄j+1], temos que |x̄N(t)− x̄j| ≤ (t− t̄j) [ |f̄j|+ ∥ḡj∥ |ϕ(sj+1)− ϕ(sj)| (t̄j+1 − t̄j) ] ≤ c1 [ 1 + rh t̄j+1 − t̄j ] (t− t̄j), e |τ̇N(t)| = ∣∣∣∣ϕ(sj+1)− ϕ(sj) t̄j+1 − t̄j ∣∣∣∣ = rh t̄j+1 − t̄j Voltando na desigualdade (4.7) conclui-se que ςΠ(x̄ N(·)) ≤ Lc6b 2h, onde c6 é uma constante. E, pelo teorema (1.7) (Filippov), para cada N existe uma trajetória xN(·) de ΠN tal que xN(0) = x0 e tal que dH(grx N(·), grx̄N(·)) → 0, com N → ∞. (4.8) Veja também que dH(grx̄N(·), Λ̄N) → 0 com N → ∞ pois, Λ̄N ⊂ grx̄N(·), logo, devemos encontrar o mínimo dos δ > 0 tal que grx̄N(·) ⊂ Λ̄N , para isto perceba que |x̄N(tj+1)− x̄N(tj)| ≤ |f̄j||t̄j+1 − t̄j|+ ∥ḡj∥|ϕ(sj+1)− ϕ(sj)| ≤ c1h(b+ r). Ou seja, dH(grx̄ N(·), Λ̄N) ≤ max{c1h(b+ r), hb} → 0, com N → ∞. (4.9) 4.1 Convergência de medidas no grá�co 41 Pela desigualdade triangular, dH(grx N(·), grxϑ) ≤ dH(grx N(·), grx̄N(·)) + dH(grx̄ N(·), Λ̄N) +dH(Λ̄ N ,ΛN) + dH(Λ N , grxϑ), que converge a zero quando N → ∞ por (4.8), (4.9), (4.6) e pelo teorema (3.2). 42 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS Estudamos os resultados obtidos por [Wolenski e �abi¢ 2007]. Estes resultados en- volvem a convergência no grá�co. Embora esta convergência não seja a convergência forte desejada, ela é mais forte do que a convergência fraca∗ de trajetórias, usualmente obtida na literatura. Na referência [Silva e Vinter 1997], mostra-se que se uma sequência de medidas {µN}N converge fraca∗ para a medida µ, então uma subsequência de uma dada sequência de soluções da inclusão associada as medidas µN , assim como em (4.1), só que em vez de igualdade tem-se inclusão diferencial, converge para a solução do problema original, dado por inclusão diferencial. Este resultado ainda é válido quando se tem igualdade pois este é um caso particular de inclusão. Portanto o resultado estudado é mais forte. Além disso, aqui o completamento grá�co é dado, enquanto que em [Silva e Vinter 1997] os resultados obtidos são para algum completamento grá�co. Futuramente, iremos considerar o problema de controle ótimo impulsivo dado por (P )  min J(x,Ω) = H(x(0), x(T )) s.a. dx = f(x, u)dt+ g(x, v)dΩ, t ∈ [0, T ] (x(0), x(T )) ∈ C, onde H : Rn ×Rn → R, C ⊂ Rn ×Rn, e as outras funções e variáveis são como de�nidas no capítulo (2). O objetivo é mostrar que o problema (P ) pode ser discretizado pelo método de Euler de forma que as soluções ótimas dos problemas de otimização obtidos pela discretização convergem (ou uma subsequência delas) a uma solução ótima local do problema (P ) no 4.1 Convergência de medidas no grá�co 43 sentido da convergência no grá�co. É também um dos objetivos desenvolver um método de solução do problema impulsivo combinando um método para otimização não linear com a discretização de Euler. 44 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [Bartle 1995]BARTLE, R. G. The elements of integration and Lebesgue measure. New York: John Wiley & Sons Inc., 1995. xii+179 p. (Wiley Classics Library). Containing a corrected reprint of the 1966 original [The elements of integration, Wiley, New York; MR0200398 (34 #293)], A Wiley-Interscience Publication. ISBN 0-471-04222-6. [Bressan Jr. e Rampazzo 1991]BRESSAN JR., A.; RAMPAZZO, F. Impulsive control systems with commutative vector �elds. J. Optim. Theory Appl., v. 71, n. 1, p. 67�83, 1991. ISSN 0022-3239. Disponível em: . [Bressan Jr. e Rampazzo 1994]BRESSAN JR., A.; RAMPAZZO, F. Impulsive control systems without commutativity assumptions. J. Optim. Theory Appl., v. 81, n. 3, p. 435� 457, 1994. ISSN 0022-3239. Disponível em: . [Clarke 1983]CLARKE, F. H. Optimization and nonsmooth analysis. New York: John Wiley & Sons Inc., 1983. xiii+308 p. (Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts). A Wiley-Interscience Publication. ISBN 0-471-87504- X. [Clarke et al. 1998]CLARKE, F. H. et al. Nonsmooth analysis and control theory. New York: Springer-Verlag, 1998. xiv+276 p. (Graduate Texts in Mathematics, v. 178). ISBN 0-387-98336-8. [Code e Silva 2010]CODE, W. J.; SILVA, G. N. Closed loop stability of measure-driven impulsive control systems. J. Dyn. Control Syst., v. 16, n. 1, p. 1�21, 2010. ISSN 1079- 2724. Disponível em: . [Folland 1999]FOLLAND, G. B. Real analysis. Second. New York: John Wiley & Sons Inc., 1999. xvi+386 p. (Pure and Applied Mathematics (New York)). Modern techniques and their applications, A Wiley-Interscience Publication. ISBN 0-471-31716-0. [Kisielewicz 1991]KISIELEWICZ, M. Di�erential inclusions and optimal control. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1991. xx+240 p. (Mathematics and its Applications (East European Series), v. 44). ISBN 0-7923-0675-9. Referências Bibliográ�cas 45 [Silva e Vinter 1996]SILVA, G. N.; VINTER, R. B. Measure driven di�erential inclusions. J. Math. Anal. Appl., v. 202, n. 3, p. 727�746, 1996. ISSN 0022-247X. Disponível em: . [Silva e Vinter 1997]SILVA, G. N.; VINTER, R. B. Necessary conditions for optimal impulsive control problems. SIAM J. Control Optim., v. 35, n. 6, p. 1829�1846, 1997. ISSN 0363-0129. Disponível em: . [Wolenski e �abi¢ 2006]WOLENSKI, P. R.; �ABI�, S. A di�erential solution concept for impulsive systems. Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. A Math. Anal., v. 13B, n. suppl., p. 199�210, 2006. ISSN 1201-3390. [Wolenski e �abi¢ 2007]WOLENSKI, P. R.; �ABI�, S. A sampling method and approximation results for impulsive systems. SIAM J. Control Optim., v. 46, n. 3, p. 983�998 (electronic), 2007. ISSN 0363-0129. Disponível em: . [�abi¢ 2005]�ABI�, S. Impulsive systems. [S.l.]: ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2005. 90 p. Thesis (Ph.D.)�Louisiana State University and Agricultural & Mechanical College. ISBN 978-0542-25495-6. Autorizo a reprodução xerográ�ca para �ns de pesquisa. São José do Rio Preto, 17 de Fevereiro de 2012. Daniella Porto CAPA FOLHA DE ROSTO FICHA CATALOGRÁFICA COMISSÃO EXAMINADORA DEDICATÓRIA AGRADECIMENTOS EPÍGRAFE RESUMO ABSTRACT SUMÁRIO NOTAÇÃO INTRODUÇÃO 1 PRELIMINARES 2 SISTEMAS DE CONTROLE IMPULSIVO 3 MÉTODO DE DISCRETIZAÇÃO DE EULER 4 CONTROLES APROXIMADOS CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS