
Yagor Romano Carvalho

Estudo de ciclos limites em uma classe

de equações diferenciais descont́ınuas

São José do Rio Preto

2016


Yagor Romano Carvalho

Estudo de ciclos limites em uma classe de equações diferenciais descont́ınuas

Dissertação apresentada como parte dos requisitos

para obtenção do t́ıtulo de Mestre em Matemática,

junto ao Programa de Pós-Graduação em Matemática,

Área de Concentração - Sistemas Dinâmicos, do Ins-

tituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita

Filho”, Campus de São José do Rio Preto.

Orientadora: Profa. Dra. Luci Any Francisco Roberto

São José do Rio Preto

2016


Yagor Romano Carvalho

Estudo de ciclos limites em uma classe de equações diferenciais descont́ınuas

Dissertação apresentada como parte dos re-

quisitos para obtenção do t́ıtulo de Mestre

em Matemática, junto ao Programa de Pós-

Graduação em Matemática, Área de Concen-

tração - Sistemas Dinâmicos, do Instituto de

Biociências, Letras e Ciências Exatas da Uni-

versidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita

Filho”, Campus de São José do Rio Preto.

BANCA EXAMINADORA

Profa. Dra. Luci Any Francisco Roberto

Professor Assistente Doutor

UNESP - São José do Rio Preto

Orientadora

Prof. Dr. Pedro Toniol Cardin

Professor Assistente Doutor

UNESP - Ilha Solteira

Prof. Dr. Weber Flávio Pereira

Professor Assistente Doutor

UNESP - São José do Rio Preto

São José do Rio Preto, 4 de março de 2016.


Agradecimentos

Gostaria de agradecer a todos que direta ou indiretamente me apoiaram para que eu chegasse

até aqui.

Agradeço a todos os professores que me acompanharam durante a minha graduação e o meu

mestrado. Em especial à Profa. Dra. Maria Gorete Carreira Andrade, por sempre estar disposta

a ajudar minha turma, eu e não medir esforços para tal.

Agradeço aos meus dois orientadores de Iniciação Cient́ıfica, Profa. Dra. Maria do Socorro N.

Rangel e Prof. Dr. Claudio Aguinaldo Buzzi. Com toda certeza foram de fundamental importância

para o meu amadurecimento como futuro pesquisador, compartilhando suas experiências e seus

conhecimentos.

Aqui fica também meu singelo e talvez não suficiente muito obrigado à minha orientadora Profa.

Dra. Luci Any Francisco Roberto, por todo aux́ılio e paciência frente às minhas dificuldades .

Ao Departamento de Matemática e todos os funcionários do IBILCE.

Aos meus familiares como um todo, em particular, ao meu pai Edmar, a minha mãe Adriana,

a minha irmã Yasmim, a minha avó Irene e por último de não mensurável importância minha avó

Doraci. Por toda ajuda, paciência e apoio que me deram desde a minha entrada na vida acadêmica.

À minha namorada Aline, aquela que está sempre comigo, não importando os momentos, me dando

força e me fazendo rir.

Aos meus amigos desde a escola e os que ingressaram na faculdade em 2010. Em muito especial

aos que vieram sempre junto comigo nessa jornada, Ronan e Jessica, e que se hoje não desisti

chegando até aqui devo imensuravelmente aos dois.

No momento de esquecer o universo matemático sempre contei com meus treinos de futsal

e handebol em nosso querido Ibilce’s sports arena. Cada pessoa que já fez ou ainda faz parte

desses times ou melhor famı́lias, sabem o quanto são importantes, o quanto me ajudaram a atingir

alguns objetivos, e sabem como me trazem felicidade nossas conquistas. Já disse uma vez: “Amo

a matemática e o esporte, espero um dia unificar ainda mais os dois na minha vida.”

Ingressar na faculdade sem conhecer os grupos que são os motores deste lugar é algo improvável.

Fazer parte da Comissão de Recepção de Calouros e da Comissão da SEMAT, com toda certeza

3


me fez crescer como pessoa. Tentar deixar legado para o curso que você escolheu foi o que tentei

participando do Centro Acadêmico da Matemática Evariste Galois (C.A.M.E.G). Amar o esporte

e não fazer parte da Associação Atlética Acadêmica Wilson Mauŕıcio Tadini (A.A.A.W.M.T) seria

algo, no mı́nimo, incoerente. Assim, agradeço a todos que fizeram parte comigo de todos esses

grupos citados, me ajudaram muito a aproveitar as coisas boas da universidade e o principal me

ensinaram a lidar com pessoas.

Não por último e não sem importância à CAPES pelo apoio financeiro.

Por fim, fica o meu muito obrigado a minha banca examinadora por aceitarem o convite e

permitirem a conclusão deste trabalho.

“ A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os

curiosos, como também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens.”(Descartes)

4


Resumo

Neste trabalho temos como principal objetivo determinar quota inferior para o número máximo

de ciclos limites de um sistema diferencial polinomial de Liénard descont́ınuo de grau n com m

zonas, para m = 2, 4. A principal ferramenta é uma combinação da Teoria da Média de primeira

ordem com o processo de regularização de sistemas descont́ınuos. Analisamos detalhadamente um

caso particular de um sistema polinomial de Liénard de grau 3 com 4 zonas.

Palavras–chave: ciclos limites, método da média, sistemas dinâmicos, regularização.

5


Abstract

In this work our main aim is to determine the lower upper bound for the maximum number of

limit cycles of a m-piecewise discontinuous Liénard polynomial differential system of degree n,

for m = 2, 4. The main tool is a combination of the first order Averaging Method with the

regularization process of discontinuous systems. We analyzed in details a particular case of a

4-piecewise discontinuous Liénard polynomial differential system of degree 3.

Palavras–chave: limit cycles, averaging method, dynamical systems, regularization.

6


Sumário

Introdução 8

1 Preliminares 11

2 Teoria da Média 18

2.1 Teoria da Média de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 O Teorema da Média clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Teoria dos sistemas dinâmicos descont́ınuos 36

3.1 Sistemas descont́ınuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Sistemas descont́ınuos com variedade de descontinuidade não-regular . . . . . . . . 48

3.3 Campos de vetores próximos à fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 Regularização 59

4.1 Considerações no processo de regularização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 Ciclos limites para equações diferenciais polinomiais descont́ınuas de Liénard

com m zonas 79

5.1 Cálculos de L(0,n), L(2,n) e L(4,n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Referências Bibliográficas. 99

7


Introdução

Nos últimos anos o estudo de sistemas dinâmicos não suaves tem estabelecido uma impor-

tante fronteira entre Matemática, Engenharia e F́ısica. As principais fontes de motivação da

pesquisa desses sistemas têm sido certos fenômenos em sistemas de controle, o impacto em sis-

temas mecânicos e oscilações não lineares, ou seja, eles possuem uma forte relação com outras

áreas de pesquisa.

Para sistemas cont́ınuos Hilbert em 1900, propôs na segunda parte do seu décimo sexto proble-

ma, encontrar uma quota superior para o número de ciclos limites (órbitas periódicas isoladas) de

todos os sistemas diferenciais polinomiais de um dado grau n, e também estudar suas distribuições

ou configurações no plano, veja [6]. Este tem sido um dos principais problemas em teoria qualitativa

de equações diferenciais no plano do século XX. Os trabalhos de Écalle em [5] e Ilyashenko em [7]

provam que qualquer sistema polinomial tem um número finito de ciclos limites. Em [11], Llibre e

Pedregal encontram uma quota superior para o número de ciclos limites de um subconjunto aberto

e denso dentro do conjunto de campos de vetores polinomiais de grau n. Esta quota é uma função

cúbica na variável n.

Saber da existência ou não de soluções periódicas é muito importante para entender a dinâmica

dos sistemas diferenciais. Uma das ferramentas úteis para tal objetivo é a Teoria Averaging (Teoria

da Média), que é uma clássica ferramenta que proporciona meios para estudar o comportamento

de sistemas dinâmicos suaves não lineares. Nos referimos ao livro de Sanders e Vershulst [19] e ao

livro de Verhulst [23] para uma introdução geral deste tópico.

O problema de determinar o número máximo de ciclos limites de um dado sistema diferencial

também surge na classe dos sistemas dinâmicos descont́ınuos. Uma das ferramentas utilizada

é a combinação do processo de regularização, onde o campo de vetores Z(t, x) descont́ınuo é

aproximado por uma famı́lia a um parâmetro de campo de vetores cont́ınuos Zε(t, x) tal que

lim
ε→0

Zε(t, x) = Z(t, x), com o método da Média.

Uma boa classe representativa de sistemas dinâmicos descont́ınuos para estudar o número

máximo de ciclos limites é o modelo matemático

ẍ+ x+ f(x, ẋ) = sgn(g(x, ẋ)) · U(x, ẋ),

8


que surge em Teoria de Controle, sitemas com relay, economia, etc.

Neste trabalho, nos dedicamos aos estudos de ciclos limites de um sistema polinomial de Liénard

descont́ınuo de grau n com m zonas dado por:{
ẋ = y + sgn(gm(x, y))F (x)

ẏ = −x
,

onde F (x) = a0 + a1x+ ...+ anx
n e o conjunto de zeros da função sgn(gm(x, y)) com m = 2, 4, 6...,

é a união de m
2

diferentes retas passando pela origem dividindo o plano em setores angulares de

tamanho 2π
m

e sgn(z) denota a função sinal.

No Caṕıtulo 1 foi desenvolvido conceitos preliminares de variedades, alguns resultados da teo-

ria qualitativa de campos de vetores cont́ınuos e o Teorema de Descartes para polinômios com

coeficientes reais. As variedades aparecem como sendo os conjuntos de descontinuidades dos sis-

temas descont́ınuos, a teoria qualitativa dos campos de vetores cont́ınuos nos ajudam a entender

o comportamento local dos mesmos e o Teorema de Descartes é de fundamental importância para

a conclusão dos principais resultados aqui presentes e descritos mais acima.

O Caṕıtulo 2 nos mostra a Teoria da Média de primeira ordem juntamente com o Teorema da

Média clássico de primeira ordem. Os conceitos abordados na Teoria da Média trazem os Śımbolos

de Landau, consequentemente o conceito de aproximação assintótica em tempo-escala que são

alicerces para a demonstração dos resultados aqui encontrados. O Teorema da Média transforma o

problema de encontrar soluções periódicas de uma equação diferencial em encontrar zeros simples

de uma equação.

Durante o Caṕıtulo 3 mostramos resultados e definições sobre os sistemas dinâmicos descont́ınuos

em Rn+1 tendo como seu conjunto de descontinuidade uma variedade M de codimensão um, ou

seja, M possui dimensão n. Caracterizamos quais e como são as regiões de costura, deslize e escape

presentes na variedade M , mostramos o conceito de campo de Filippov e vemos os diferentes tipos

de pontos de equiĺıbrio que podem surgir nos campos descont́ınuos somado com os já presentes nos

campos cont́ınuos. Fornecemos também as formas normais para M -singularidades de condimensão

zero.

No Caṕıtulo 4 falamos sobre o processo de regularização de sistemas descont́ınuos. Em [21] So-

tomayor e Teixeira introduziram a regularização para sistemas descont́ınuos bidimensionais tendo

uma reta como região de descontinuidade e provaram genericamente que sua regularização obedece

o mesmo comportamento qualitativo das órbitas, através das linhas de descontinuidade, que são

dadas pelas regras de Filippov.

O Caṕıtulo 5 traz um pouco da teoria dos sistemas polinomiais de Liénard descont́ınuos de

grau n com m zonas, seguindo [12]. Considerando o lado direito destes sistemas diferenciais de

forma conveniente, encontramos os seguintes limitantes inferiores para quota superior dos ciclos

limites, quando m = 2, 4:

9


• se o sistema não possui descontinuidade então existem pelo menos

[
n− 1

2

]
ciclos limites;

• se o sistema possui 2 zonas então existem pelo menos
[n

2

]
ciclos limites;

• se o sistema possui 4 zonas então existem pelo menos

[
n− 1

2

]
ciclos limites;

onde [z] denota a função parte inteira de z.

Por fim, consideramos um caso particular de equação diferencial de segunda ordem

ẍ+ x = sgn(x · x)(εx− εx3),

cujo n = 3 e m = 4 e verificamos que este caso possui pelo menos um ciclo limite, como já era

esperado.

10


Caṕıtulo 1

Preliminares

Este caṕıtulo servirá como um pré-requisito para o restante do trabalho. Serão introduzidos

conceitos básicos e resultados conhecidos sobre a teoria de variedades, campos de vetores cont́ınuos

e um resultado sobre polinômios com coeficientes reais.

Definição 1.0.1. Uma variedade topológica de dimensão n é um espaço topológico M com as

seguintes propriedades:

(i) M é Hausdorff, ou seja, dados dois pontos distintos p, q ∈M então existem abertos U, V tais

que p ∈ U, q ∈ V e U ∩ V = ∅;

(ii) M tem base enumerável de abertos, ou seja, existe uma coleção enumerável de abertos de M

tal que todo aberto em M é uma união de abertos dessa coleção;

(iii) M é localmente Euclidiano, ou seja, para todo p ∈ M , existem abertos U ⊂ M contendo p,

Û ⊂ Rn e um homeomorfismo ϕ : U → Û .

Definição 1.0.2. Um conjunto M ⊂ Rn+1 é uma hiperf́ıcie de classe Ck quando é localmente

o gráfico de uma função real de n variáveis de classe Ck, isto é, para cada p ∈ M , existe um

aberto Vp ⊂ Rn+1 e ϕ : U ⊂ Rn → R tal que M ∩ Vp = {(x1, ..., xi, ..., xn+1) ∈ Rn+1 ; xi =

ϕ((x1, ..., xi−1, xi+1, ..., xn+1)} .

Observação 1.0.1. Claramente toda hiperf́ıcie é uma variedade, ou seja, hiperf́ıcies são casos

particulares de variedades.

Exemplo 1.0.1. Temos Sn ⊂ Rn+1 tal que Sn = {x ∈ Rn+1 ; x · x = 1} uma hiperf́ıcie.

11


Demonstração.

Consideremos U = B(0, 1) ⊂ Rn, x∗ = (x1, ..., xi−1, xi+1, ..., xn+1) e os seguinte conjuntos:

Vi = {x ∈ Rn+1 ; xi > 0};

Ui = {x ∈ Rn+1 ; xi < 0}.

Observe que se x · x = 1, então xi = ±(1− x∗ · x∗) 1
2 . Logo,

x ∈ Vi ∩ Sn ⇔ x∗ ∈ U e xi = (1− x∗ · x∗)
1
2 ;

x ∈ Ui ∩ Sn ⇔ x∗ ∈ U e xi = −(1− x∗ · x∗)
1
2 .

Vamos definir agora ϕ : B(0, 1)→ R ; ϕ(u) = (1− u · u)
1
2 . Se x ∈ Vi ∩ Sn então

x =(x1, ..., xi, ..., xn+1) = (x1, ..., (1− x∗ · x∗)
1
2 , ..., xn+1) =

=(x1, ..., ϕ(x∗), ..., xn+1), ou seja, x ∈ graf(ϕ).

Se x ∈ Ui ∩ Sn então

x =(x1, ..., xi, ..., xn+1) = (x1, ...,−(1− x∗ · x∗)
1
2 , ..., xn+1) =

=(x1, ...,−ϕ(x∗), ..., xn+1), ou seja, x ∈ graf(ϕ).

Desta forma como cada x ∈ Sn pertence a algum Vi ou Ui e Vi ∩ Sn, Ui ∩ Sn são localmentes

gráficos de uma função então Sn é uma hiperf́ıcie.

Definição 1.0.3. Seja M ⊂ Rn+1 uma hiperf́ıcie Ck e p ∈M . Então o espaço tangente de M em

p é TpM = {v = λ′(0) : λ : (−δ, δ)→M é um caminho diferenciável com λ(0) = p}.

Teorema 1.0.1. Seja M ⊂ Rn+1 uma hiperf́ıcie Ck e p ∈ M . Então o espaço tangente de M em

p, isto é, TpM é um subespaço vetorial n-dimensional do espaço vetorial Rn+1.

Demonstração.

Como M é uma hiperf́ıcie Ck e p ∈ M segue que existe um aberto V ⊂ Rn+1 com p ∈ V tal

que M ∩ V é o gráfico de uma função Ck, ϕ : U ⊂ Rn → R.

Temos M ∩ V = {(x, ϕ(x)) ; x ∈ U} e com isso vamos escrever p = (p0, ϕ(p0)).

Para cada caminho diferenciável λ : (−δ, δ)→M ∩ V com λ(0) = p temos:

λ(t) = (x1(t), ..., xn(t), ϕ(x(t)))⇒ λ′(t) =

(
x′1(t), ..., x

′
n(t),

∑n
i=1

∂ϕ(x(t))

∂xi
x′i(t)

)
.

12


Logo,

λ′(0) =

(
x′1(0), ..., x′n(0),

n∑
i=1

∂ϕ(p0)

∂xi
x′i(0)

)
= x′1(0)

(
1, ..., 0,

∂ϕ(p0)

∂x1

)
+ ...+

+ x′n(0)

(
0, ..., 1,

∂ϕ(p0)

∂xn

)
= x′1(0)v1 + ...+ x′n(0)vn.

Portanto TpM ⊂ [v1, ..., vn]. Reciprocamente, seja v =
∑n

i=1 αivi.

Tomamos o caminho λ : (−δ, δ)→M ∩V ; λ(t) = (p0 + tv0, ϕ(p0 + tv0)) onde v0 = (α1, ..., αn).

Mostremos que v = λ′(0), ou seja, que v ∈ TpM . Temos

λ′(t) =

(
α1, ..., αn,

∑n
i=1

∂ϕ(p0 + tv)

∂xi
αi

)
.

Desta forma,

λ′(0) =

(
α1, ..., αn,

n∑
i=1

∂ϕ(p0)

∂xi
αi

)
= α1

(
1, ..., 0,

∂ϕ(p0)

∂x1

)
+ ...+

+ αn

(
0, ..., 1,

∂ϕ(p0)

∂xn

)
= α1v1 + ...+ αnvn = v.

Portanto v ∈ TpM então [v1, ..., vn] ⊂ TpM . Assim TpM = [v1, ..., vn].

Mostremos agora que {v1, ..., vn} é LI. Suponhamos que a1v1 + ...+ anvn = 0 então:

a1 = 0
...

an = 0

a1
∂ϕ(p0)

∂x1
+ ...+ an

∂ϕ(p0)

∂xn
= 0

.

Desta forma ai = 0, para todo i = 1, ..., n e com isso {v1, ..., vn} é LI. Como {v1, ..., vn} é

LI e TpM = [v1, ..., vn] segue que a dimensão de TpM é n e assim TpM é um subespaço vetorial

n-dimensional do espaço vetorial Rn+1.

Definição 1.0.4. Seja f : U ⊂ Rn → R de classe C1 então:

(i) O conjunto de ńıvel c ∈ R de f é f−1(c) = {x ∈ U ; f(x) = c};

(ii) O gradiente de f é o vetor 5f(x) =

(
∂f

∂x1
(x), ...,

∂f

∂xn
(x)

)
;

(iii) x0 é um ponto de equiĺıbrio, ponto cŕıtico ou uma singularidade da f se 5f(x0) = (0, ..., 0).

13


Proposição 1.0.1. Seja f : U ⊂ Rn → R de classe C1 e p ∈ U tal que w = 5f(p) 6= 0. Se

p ∈ f−1(c) então w ⊥ f−1(c), isto é, se λ(t) ∈ f−1(c), |t| < ε, e λ(0) = p então λ′(0) ⊥ w.

Demonstração.

Por hipótese λ(t) ∈ f−1(c), |t| < ε, assim f(λ(t)) = c. Derivando dos dois lados da última

igualdade temos que5f(λ(t)) ·λ′(t) = 0, para todo t ∈ (−ε, ε). Para t = 0 temos5f(p) ·λ′(0) = 0,

logo w · λ′(0) = 0. Desta forma λ′(0) ⊥ w.

Definição 1.0.5. Seja f : U ⊂ Rn+1 → R de classe Ck. Dizemos que c ∈ R é um valor regular

da f se não há pontos cŕıticos no ńıvel c da f , ou seja, para todo z ∈ f−1(c), 5f(z) 6= 0. Neste

caso, dizemos que c é um ńıvel regular da f . Se para algum z ∈ f−1(c) temos 5f(z) = 0, dizemos

que c é um ńıvel cŕıtico da f .

Teorema 1.0.2. (Teorema da Função Impĺıcita). Um ponto do Rn+1 = Rn×R será denotado por

(x, y), onde x ∈ Rn e y ∈ R. Seja f : A×B ⊂ Rn×R→ R de classe C1 tal que p = (a, b) ∈ A×B

com f(a, b) = c ∈ R. Se
∂f

∂y
(a, b) 6= 0 então existem abertos Z ⊂ A × B com (a, b) ∈ Z, V ⊂ Rn

com a ∈ V e uma função ϕ : V → R com ϕ(a) = b tal que f(x, ϕ(x)) = c para todo x ∈ V .

Demonstração. Para uma demonstração consulte [9].

Teorema 1.0.3. Se c é um valor regular da função f : U ⊂ Rn+1 → R de classe Ck, então

M = f−1(c) é uma hiperf́ıcie Ck cujo espaço tangente TpM de M em p é, em cada p ∈ M , o

complemento ortogonal de 5f(p).

Demonstração.

Por hipótese c é valor regular da f , logo para cada p ∈ f−1(c) temos 5f(p) 6= 0. Assim pelo

Teorema da Função Impĺıcita segue que existe uma vizinhança Vp de p tal que Vp ∩M é o gráfico

de uma função ϕ de n variáveis e como f é de classe Ck segue que ϕ é de classe Ck. Portanto

M = f−1(c) é uma hiperf́ıcie Ck.

Pela Proposição 1.0.1 temos que para p ∈ M = f−1(c), 5f(p) ⊥ f−1(c). Logo TpM ⊥ 5f(p)

e com isso TpM ⊂ (5f(p))⊥. Como dim TpM = n = dim (5f(p))⊥ então TpM = (5f(p))⊥.

14


Definição 1.0.6. Um campo de vetores X de classe Cr, r ≥ 1 definido em um aberto U ⊂ Rn é

uma aplicação X : U → Rn. Para este campo associamos a seguinte equação diferencial ordinária:

x′ = X(x), (1.1)

onde x ∈ Rn. As soluções ϕ(t) : I ⊂ R → Rn, I intervalo, da equação (1.1), são denominadas

curvas integrais, órbitas ou trajetórias do campo X.

Figura 1.1: Campo de vetores e uma trajetória.

Definição 1.0.7. Dizemos que a aplicação X definida na Definição 1.0.6 é um campo de classe

Cr, r ≥ 1 se X é de classe Cr.

Definição 1.0.8. Dado um campo de vetores X definido em U e x ∈ U então

(i) x é um ponto de equiĺıbrio se X(x) = 0;

(ii) x é ponto regular se X(x) 6= 0.

Definição 1.0.9. Seja U ⊂ Rn e x0 ∈ U . Uma seção transversal local de um campo X : U ⊆

Rn → Rn de classe Cr é uma aplicação diferenciável Nx0 : A → U de classe Cr tal que A é um

aberto de Rn−1, 0 ∈ A, Nx0(0) = x0 e Im(DNx0y)
⊕

[X(y)] = Rn, no qual
⊕

denota a soma

direta.

Observação 1.0.2. A dimensão da imagem da trasnformação linearDNx0y é no máximo n−1, pois

Dom(DNx0y) = Rn−1 e pelo Teorema do Núcleo e da Imagem segue que dim (Im(DNx0y)) ≤ n−1.

Já a dimensão de [X(y)] é

15


[X(y)] =

 1 se X(y) 6= 0 y é um ponto regular

0 se X(y) = 0 y é um ponto cŕıtico ou de equiĺıbrio

Deste modo, para que DNx0 seja uma seção transversal local é obrigatório que todos os pontos

na imagem de DNx0 sejam pontos regulares.

Definição 1.0.10. Uma transformação é dita afim se ela é composição de uma transformação

linear com uma translação.

Proposição 1.0.2. Seja U ⊂ Rn e x0 ∈ U . Se x0 é um ponto regular do campo de vetores

X : U ⊆ Rn :→ Rn então existe uma seção transversal local de X em x0 de classe C∞.

Demonstração.

Por hipótese x0 é um ponto regular de X então X(x0) = v0 6= 0. Vamos considerar Π = [v0]
⊥,

que é o espaço ortogonal ao espaço gerado por v0.

Como Rn = [v0]
⊥⊕[v0] e a dimensão de [v0] é 1 segue que dim (Π) = n−1. Temos dim (Rn−1) =

dim (Π), assim existe um isomorfismo S : Rn−1 → Π de modo que a transformação afim T : Rn−1 →

Rn dada por T (y) = x0 + S(y) é de classe C∞ e é um homeomorfismo sobre sua imagem x0 + Π,

afinal T é uma composição de uma transformação linear com uma translação.

Vamos afirmar que existe A ⊂ Rn−1 aberto com 0 ∈ A tal que Nx0 = T|A é uma seção transversal

local de X em x0.

De fato, seja η : Rn−1 → R dada por η(y) = 〈v0, X(T (y))〉. Claramente η é uma função

cont́ınua, pois é composta de funções cont́ınuas.

Temos η(0) = 〈v0, X(T (0))〉 = 〈v0, X(x0 + S(0))〉 = 〈v0, X(x0 + 0)〉 = 〈v0, X(x0)〉 = 〈v0, v0〉 =

||v0||2 6= 0, observe que como S é uma transformação linear S(0) = 0.

Pelo teorema da conservação do sinal existe um aberto A ⊂ Rn−1, com 0 ∈ A tal que η(y) 6= 0,

para todo y ∈ A.

Por outro lado, para todo y ∈ Rn−1 temos DTy = DSy = Sy, pois S é uma transformação

linear. Desta forma, Im(DTy) = Im(Sy) = Π.

Logo para y ∈ A temos 0 6= η(y) = 〈v0, X(T (y))〉, isto é , X(T (y)) não pertence a [v0]
⊥ = Π e

com isso Im(DTy)
⊕

[X(T (y))] = Π
⊕

[X(T (y))] = Rn.

Como temos também que Nx0 = T|A é de classe C∞, pois T é de classe C∞ segue que Nx0 é uma

seção transversal local de X em x0.

16


Teorema 1.0.4. (Fluxo Tubular). Consideremos U ⊂ Rn e A ⊂ Rn−1 conjuntos abertos. Seja x0

um ponto regular do campo de vetores X : U → Rn e Nx0 : A→ U uma seção transversal local de

X de classe Cr com Nx0(0) = x0. Então existe uma vizinhança V de x0 em U e um difeomorfismo

F : (−ε, ε) × B → V de classe Cr, onde ε > 0 e B é uma bola aberta em Rn−1 tal que F é uma

Cr-conjugação entre o campo constante Y : (−ε, ε) × B → Rn dado por Y ≡ (1, 0, ..., 0) ∈ Rn e o

campo X|V .

Demonstração. Para uma demonstração consulte [20].

Por fim, vale recordar o Teorema de Descartes sobre o número de zeros de um polinômio real.

Teorema 1.0.5. (Descartes) Consideremos o polinômio real p(x) = ai1x
i1 +ai2x

i2 + ...+airx
ir com

r > 1, 0 ≤ i1 < i2 < ... < ir e os números reais aij não simultaneamente nulos para j ∈ {1, 2, ..., r}.

Quando aijaij+1
< 0, dizemos que aij e aij+1

possuem variação de sinal. Se o número de variações

de sinais é m, então p(x) possui no máximo m ráızes reais positivas. Além disso, é sempre posśıvel

escolher os coeficientes de p(x) de tal forma que p(x) possua exatamente r−1 ráızes reais positivas.

Demonstração. Para uma prova consulte [2], nas páginas 81,82 e 83.

17


Caṕıtulo 2

Teoria da Média

A ideia da média como uma técnica computacional, sem provar a validade, originou-se no século

XV III. Ela foi formulada por Lagrange (1788) no estudo do problema de 3 corpos gravitacionais

como uma perturbação do problema de 2 corpos.

Primeiramente vamos recordar os elementos básicos da Teoria da Média padrão de primeira

ordem. A grosso modo o método nos fornece uma relação quantitativa entre as soluções periódicas

de um sistema diferencial não autônomo e as soluções do sistema diferencial médio que é autônomo.

Este método determina condições suficientes para a existência e estabilidade de soluções periódicas

de equações diferenciais que contém um parâmetro pequeno ε e encontra uma cota inferior para o

número de ciclos limites que bifurcam de um sistema quando perturbamos o mesmo.

2.1 Teoria da Média de primeira ordem

Trabalharemos com sistemas da forma

ẋ = F (t, x, ε), (2.1)

onde

• t ∈ I ⊂ R representa a variável tempo, com I um intervalo;

• x ∈ D ⊂ Rn representa a variável espacial e D é um conjunto aberto e limitado;

18


• ε é um parâmetro suficientemente pequeno representando a grandeza das perturbações com

0 < ε ≤ ε0 e ε0 é uma constante;

• F : I ×D × (0, ε0]→ Rn é uma função lipschitziana na variável espacial x.

Para podermos aplicar o método da média é necessário que a função F esteja na forma padrão,

isto é , que possamos escrevê-la na seguinte forma:

F (t, x, ε) = εf(t, x) + ε2g(t, x, ε), (2.2)

onde f : I ×D → Rn e g : I ×D × (0, ε0]→ Rn.

Durante o processo de aproximação de soluções o intervalo de definição das soluções apro-

ximadas pode ser relativamente pequeno, de tal forma que tais aproximações podem se tornar

ineficazes. A fim de se obter estimativas para as soluções aproximadas que obteremos durante este

caṕıtulo e seus respectivos intervalos de definição, introduziremos conceitos que serão de fundamen-

tal importância neste objetivo, os śımbolos de Landau e a noção de tempo-escala. Apresentaremos

alguns resultados e definições utilizados na demonstração do principal teorema da Teoria da Média

de primeira ordem.

Definição 2.1.1. Considere ε0 > 0 suficientemente pequeno. Dizemos que uma função δ : (0, ε0]→

R é uma função ordem se é cont́ınua, positiva (negativa) e lim
ε→0

δ(ε) existe.

Definição 2.1.2. (Śımbolos de Landau) Considere ε01, ε02 > 0 suficientemente pequenos. Se

δ1 : (0, ε01]→ R e δ2 : (0, ε02]→ R são funções ordem então:

(i) δ1(ε) = O(δ2(ε)) se existe uma constante k tal que |δ1(ε)| ≤ k|δ2(ε)|, quando ε→ 0;

(ii) δ1(ε) = o(δ2(ε)) se lim
ε→0

δ1(ε)

δ2(ε)
= 0;

(iii) δ1(ε) = OS(δ2(ε)) se δ1(ε) = O(δ2(ε)) e δ1(ε) 6= o(δ2(ε));

Observação 2.1.1. Observemos que se |δ1(ε)| ≤ k|δ2(ε)| então

∣∣∣∣δ1(ε)δ2(ε)

∣∣∣∣ ≤ k, isto é,
δ1(ε)

δ2(ε)
é limitada.

Mais ainda, temos:

δ1(ε) = o(δ2(ε))⇒ lim
ε→0

δ1(ε)

δ2(ε)
= 0⇒

∣∣∣∣δ1(ε)δ2(ε)

∣∣∣∣ ≤ k,

quando

ε→ 0⇒ δ1(ε) = O(δ2(ε)).

19


Exemplo 2.1.1. Considere ε01, ε02 > 0 suficientemente pequenos. Como δ1 : (0, ε01]→ R ; δ1(ε) =

εsen(1
ε
) e δ2 : (0, ε02]→ R ; δ2(ε) = ε são funções ordem então εsen(1

ε
) = O(ε).

De fato, quando ε→ 0 segue que
∣∣εsen(1

ε
)
∣∣ = |ε|

∣∣sen(1
ε
)
∣∣ ≤ |ε| · 1 = |ε|.

Portanto quando ε→ 0 temos
∣∣εsen(1

ε
)
∣∣ ≤ |ε| · 1, ou seja, εsen(1

ε
) = O(ε).

Porém lim
ε→0

εsen(1
ε
)

ε
= lim

ε→0
sen

(
1

ε

)
não existe, assim εsen(1

ε
) = OS(ε).

Exemplo 2.1.2. Considere ε01, ε02 > 0 suficientemente pequenos. Como δ1 : (0, ε01]→ R ; δ1(ε) =

εn e δ2 : (0, ε02]→ R ; δ2(ε) = εm, n > m são funções ordem então εn = o(εm).

De fato, como n > m temos lim
ε→0

εn

εm
= lim

ε→0
εn−m = 0. Assim εn = o(εm).

Podemos usar os śımbolos de Landau para comparar funções que não são necessariamente

funções de ordem. Esses śımbolos são usados para obter estimativas entre soluções aproximadas

de sistemas de equações diferenciais, as quais geralmente não são funções ordem.

Definição 2.1.3. Consideremos Iε ⊂ R intervalo, ε0 > 0 suficientemente pequeno, δ : (0, ε0]→ R

uma função ordem e Φε : Iε → Rn ; Φε(t) = Φ(ε, t), no qual ||Φε|| = sup{||Φε(t)|| ; t ∈ Iε}.

Utilizamos os śımbolos de Landau da seguinte forma:

(i) Φε = O(δ(ε)) em Iε se ||Φε|| = O(δ(ε));

(ii) Φε = o(δ(ε)) em Iε se lim
ε→0

||Φε||
δ(ε)

= 0;

(iii) Φε = OS(δ(ε)) em Iε se Φε = O(δ(ε)) e Φε 6= o(δ(ε)).

Definição 2.1.4. Sejam I ⊂ R um intervalo, D ⊂ Rn, ε0 > 0 suficientemente pequeno e δ(ε)

uma função ordem. Considere a função vetorial f : I ×D × (0, ε0]→ Rn nas variáveis (t, x, ε) ∈

I ×D × (0, ε0]. Dizemos que:

(i) f(t, x, ε) é O(δ(ε)) se existe uma constante k tal que ||f || ≤ kδ(ε) quando ε→ 0, no qual ;

(ii) f(t, x, ε) é o(δ(ε)) se lim
ε→0

||f ||
δ(ε)

= 0;

onde ||f || denota a norma do sup, ou seja , ||f || = sup{||f(t, x, ε)|| ; (t, x, ε) ∈ I×D×(0, ε0]}.

Definição 2.1.5. Consideremos a função vetorial f(t, x, ε) com f(t, x, ε) ∈ Rn, t ∈ [t0, t0+T ], x ∈

D ⊂ Rn e ε ∈ (0, ε0]. Dizemos que f satisfaz a condição de Lipschitz em x com constante

Lipschitziana L > 0, se em [t0, t0 + T ]×D× (0, ε0] temos ||f(t, x1, ε)− f(t, x2, ε)|| ≤ L||x1 − x2||,

onde x1, x2 ∈ D.

20


Agora vamos enunciar o teorema de existência e unicidade para problemas com valor inicial.

Teorema 2.1.1. (Teorema da Existência e Unicidade) Considere o problema com valor inicial
dx

dt
= f(t, x, ε), x(t0) = x0, onde x ∈ D ⊂ Rn, t0 ≤ t ≤ t0 + T e 0 < ε ≤ ε0 tal que D = {x ∈

Rn ; ||x− x0|| ≤ d}. Suponhamos que:

(i) f(t, x, ε) é cont́ınua para (t, x, ε) em G = [t0, t0 + T ]×D × (0, ε0];

(ii) f(t, x, ε) satisfaz a condição de Lipschitz com relação à variável x.

Então o problema de valor inicial tem uma única solução para t ∈
[
t0, t0 + inf

{
T,

d

M

}]
, onde

M = supG||f || e d é uma constante positiva.

Demonstração. Para uma demonstração consulte [18].

Admitindo T tão grande quanto posśıvel, isto significa que o tamanho do intervalo de existência

de solução é da ordem
L

δ(ε)
com L constante. Logo, esta conclusão na qual ε é um parâmetro

suficientemente pequeno envolve uma estimativa assintótica do tamanho de um intervalo.

Notemos que na definição de Φε o tempo t varia no intervalo Iε. Entretando, este intervalo

pode depender do parâmetro ε de uma forma na qual o intervalo de definição da função Φε seja

diferente para cada valor do parâmetro da perturbação introduzido no sistema.

Trabalharemos com intervalos Iε =

[
0,

L

δ(ε)

]
, no qual L é uma constante independente de ε.

Desta forma, precisamos realizar um redimensionamento no tempo, de tal modo que o intervalo de

definição da função fique independente de ε. Então para δ(ε) uma função ordem positiva temos:

0 ≤ t ≤ L

δ(ε)
⇒ 0 ≤ t · δ(ε) ≤ L.

A variável τ = t·δ(ε) é denominada de variável tempo-escala ou tempo lento, e temos τ ∈ I = [0, L].

Definição 2.1.6. Consideremos Iε ⊂ R intervalo, ε0 > 0 suficientemente pequeno, δ : (0, ε0]→ R

uma função ordem e Φε : Iε → Rn ; Φε(t) = Φ(ε, t). Temos Φε(t) = O(δ(ε)) conforme ε → 0 na

escala de tempo
1

δ(ε)
se a estimativa satisfaz 0 ≤ t · δ(ε) ≤ L com L uma constante independente

de ε. A definição para o caso Φε(t) = o(δ(ε)) é análoga.

Definição 2.1.7. Seja I ⊂ R um intervalo, D ⊂ Rn e ε0 > 0 suficientemente pequeno. Considere

a função vetorial f : I × D × (0, ε0] → Rn nas variáveis (t, x, ε) ∈ I × D × (0, ε0] e as funções

ordem δ1(ε) e δ2(ε). Temos f(t, x, ε) = O(δ1(ε)) conforme ε → 0 na escala de tempo
1

δ2(ε)
se

a estimativa é válida para x ∈ D, 0 ≤ t · δ2(ε) ≤ L com L uma constante independente de ε. A

definição para o caso f(t, x, ε) = o(δ1(ε)) é análoga.

21


Agora estamos prontos para definir aproximação assintótica de uma função.

Definição 2.1.8. Consideremos Iε ⊂ R intervalo, ε0 > 0 suficientemente pequeno, δ : (0, ε0]→ R

uma função ordem, ψε : Iε → Rn ; ψε(t) = ψ(ε, t) e Φε : Iε → Rn ; Φε(t) = Φ(ε, t). Desta forma,

dizemos que:

(i) ψε(t) é uma aproximação assintótica de Φε(t) no intervalo Iε se ψε(t)−Φε(t) = o(1), quando

ε→ 0 uniformemente para t ∈ Iε;

(ii) ψε(t) é uma aproximação assintótica de Φε(t) no tempo-escala
1

δ(ε)
se ψε(t) − Φε(t) = o(1)

no tempo-escala
1

δ(ε)
.

Observação 2.1.2. Vale ressaltar que a afirmação ψε(t) − Φε(t) = o(1), significa que quando

ε→ 0 temos:

lim
ε→0

ψε − Φε

1
= 0⇒ lim

ε→0
(ψε − Φε) = 0⇒ ψε → Φε, quando ε→ 0.

Logo quando o parâmetro ε → 0 temos a função ψε uma aproximação cada vez melhor da

função Φε.

Geralmente podemos obter séries em algum intervalo I como aproximações assintóticas. Exis-

tem expansões da forma:

Φ̂(t) =
∑m

n=1 δn(ε)Φnε(t),

onde δn(ε) são funções ordem com δn+1(ε) = o(δn(ε)), n = 1, ...,m − 1 e para as funções Φnε(t)

temos Φnε(t) = OS(1) em I.

Definição 2.1.9. Dada uma função Φ(t) no intervalo I, a série assintótica Φ(t) é denominada

aproximação assintótica de m-ésima ordem de Φ(t) em I se Φ(t)− Φ̂(t) = o(δm(ε)) em I.

Exemplo 2.1.3. Seja Φε : [0, 2π] → R ; Φε(t) = sen(t + εt). Temos Φ̂ε : [0, 2π] → R ; Φ̂ε(t) =

sen(t) + εtcos(t) − 1

2
ε2t2sen(t) uma aproximação assintótica de terceira ordem de Φε(t) em I =

[0, 2π].

De fato, temos δn : (0, ε0n]→ R ; δn(ε) = εn−1, n = 1, 2, 3 funções de ordem com ε0n > 0, n =

1, 2, 3, suficientemente pequeno.

Consideremos Φ1ε : [0, 2π] → R ; Φ1ε = sen(t), Φ2ε : [0, 2π] → R ; Φ2ε = tcos(t), Φ3ε :

[0, 2π]→ R ; Φ3ε =
1

2
t2sen(t) e por sua vez:

22


(1) ||Φ1ε|| = sup{|Φ1ε| ; t ∈ [0, 2π]} = 1 ≤ 1 · 1 = 1 · |1|, quando ε → 0 e lim
ε→0

||Φ1ε||
1

= lim
ε→0

1 =

1 6= 0;

(2) ||Φ2ε|| = sup{|Φ2ε| ; t ∈ [0, 2π]} = sup{|t| · |cos(t)| ; t ∈ [0, 2π]} = 2π · 1 ≤ 2π · |1|, quando

ε→ 0 e lim
ε→0

||Φ2ε||
1

= lim
ε→0

2π = 2π 6= 0;

(3) ||Φ3ε|| = sup{|Φ3ε| ; t ∈ [0, 2π]} = || = sup{|1
2
| · |t2| · |sen(t)| ; t ∈ [0, 2π]} =

1

2
· 4π2 · 1 ≤

2π2 · |1|, quando ε→ 0 e lim
ε→0

||Φ3ε||
1

= lim
ε→0

2π2 = 2π2 6= 0.

Desta forma por (1),(2) e (3) temos Φnε(t) = OS(1), n = 1, 2, 3. Mais ainda lim
ε→0

||Φε − Φ̂ε||
ε2

=

lim
ε→0

||R2||
ε2

= 0, pois R2 é o resto do polinômio de Taylor de ordem 2 de Φ.

Assim Φ̂ε(t) = sen(t)+εtcos(t)−1

2
ε2t2sen(t) =

∑3
n=1 δn(ε)Φnε(t) é uma aproximação assintótica

de terceira ordem de Φε(t) em I = [0, 2π].

Observação 2.1.3. (i) Aproximações assintóticas não são únicas, a função Φε não é deter-

minada de forma única como esta claro na definição. Por exemplo, outra aproximação

assintótica de Φε(t) em I, definida no Exemplo 2.1.3 seria ψε(t) = sen(t) + εΦ2ε(t) −
1

2
ε2t2sen(t), com Φ2ε(t) =

sen(εt)cos(t)

ε
.

(ii) Dada uma função, podemos construir diferentes aproximações assintóticas com diferentes

conjuntos de funções ordem. Por exemplo, a função fε =

(
1− ε

1 + ε
t

)−1
, t ∈ I = [0, 1],

possui as seguintes expansões como aproximações assintóticas de fε em I:

g1ε =
∑m

n=0

(
ε

1 + ε

)n
tn;

g2ε = 1 +
∑m

n=1 ε
nt(t− 1)n−1.

2.2 O Teorema da Média clássico

O teorema que virá a seguir fornece uma aproximação de primeira ordem para as soluções

periódicas do problema de valor inicial dado na forma padrão, ẋ = εf(t, x) + ε2g(t, x, ε)

x(t0) = x0
. (2.3)

23


Supondo que f é T -periódica na variável t, podemos considerar o sistema médio ẏ = εf0(y) = ε
1

T

∫ T

0

f(t, y)dt

y(t0) = x0

. (2.4)

Vale ressaltar que o sistema (2.4) é autônomo, isto é, não depende explicitamente da variável

independente t, e desta forma temos uma simplificação na procura de soluções. Assim, vamos rela-

cionar as soluções de (2.3) com as soluções de seu sistema médio (2.4). Porém, antes mostraremos

o Lema de Gronwall, o qual usaremos na demonstração do resultado citado.

Teorema 2.2.1. Sejam φ : [t0, t0 +T ]→ R e ψ : [t0, t0 +T ]→ R funções reais cont́ınuas e positiva

de tal forma que φ(t) ≤ δ1

∫ t

t0

ψ(s)φ(s)ds + δ3, com constantes δ1 > 0 e δ3 ≥ 0. Então para todo

t ∈ [t0, t0 + T ] temos:

φ(t) ≤ δ3e
δ1

∫ t
t0
ψ(s)ds

.

Demonstração. Ressaltamos que se φ(t) = 0 e δ3 = 0 então pela estimativa da hipótese temos

a validade do teorema claramente, mais ainda não podemos ter ψ(t) = 0 e δ3 = 0 simultanea-

mente, pois acarretaria da estimativa da hipótese em φ(t) não positiva. Como Ψ(t) e δ3 não são

simultaneamente nulos da estimativa da hipótese temos:

φ(t)

δ1

∫ t

t0

ψ(s)φ(s)ds+ δ3

≤ 1.

Multiplicando por δ1ψ(t) e depois integrando de t0 a t∫ t

t0

δ1ψ(s)φ(s)

δ1
∫ t
t0
ψ(s)φ(s)ds+ δ3

ds ≤
∫ t

t0

δ1ψ(s)ds⇒
∫ t

t0

δ1ψ(s)φ(s)

δ1
∫ t
t0
ψ(s)φ(s)ds+ δ3

ds ≤ δ1

∫ t

t0

ψ(s)ds⇒

⇒
∫ t

t0

d

dt

[
ln

(
δ1

∫ t

t0

ψ(s)φ(s)ds+ δ3

)]
ds ≤ δ1

∫ t

t0

ψ(s)ds⇒

⇒ ln

(
δ1

∫ t

t0

ψ(s)φ(s)ds+ δ3

)
− ln(δ3) ≤ δ1

∫ t

t0

ψ(s)ds⇒

⇒ ln

(
δ1

∫ t

t0

ψ(s)φ(s)ds+ δ3

)
≤ ln(δ3) + δ1

∫ t

t0

ψ(s)ds⇒

⇒ δ1

∫ t

t0

ψ(s)φ(s)ds+ δ3 ≤ δ3e
δ1

∫ t
t0
ψ(s)ds

.

Aplicando a estimativa da hipótese novamente, mas agora do lado esquerdo, segue:

φ(t) ≤ δ1

∫ t

t0

ψ(s)φ(s)ds+ δ3 ≤ δ3e
δ1

∫ t
t0
ψ(s)ds ⇒ φ(t) ≤ δ3e

δ1
∫ t
t0
ψ(s)ds

.

24


Lema 2.2.1. (Lema de Gronwall) Seja φ : [t0, t0 + T ]→ R um função real cont́ınua e positiva de

tal forma que φ(t) ≤ δ2(t− t0) + δ1

∫ t

t0

φ(s)ds+ δ3, com constantes δ1 > 0, δ2 ≥ 0 e δ3 ≥ 0. Então

para todo t ∈ [t0, t0 + T ] temos:

φ(t) ≤
(
δ2
δ1

+ δ3

)
eδ1(t−t0) − δ2

δ1
.

Demonstração.

Consideremos a função real Ψ : [t0, t0 + T ] → R tal que Ψ(t) = φ(t) +
δ2
δ1

, que é cont́ınua e

positiva, pois é soma de funções cont́ınuas e positivas. Então, por hipótese, segue que:

Ψ(t) = φ(t) +
δ2
δ1
≤ δ2(t− t0) + δ1

∫ t

t0

φ(s)ds+ δ3 +
δ2
δ1

= δ1

∫ t

t0

δ2
δ1
ds +

+ δ1

∫ t

t0

φ(s)ds+ δ3 +
δ2
δ1

= δ1

∫ t

t0

(
φ(s) +

δ2
δ1

)
ds+ δ3 +

δ2
δ1

=

= δ1

∫ t

t0

Ψ(s)ds+ δ3 +
δ2
δ1
⇒ Ψ(t) ≤ δ1

∫ t

t0

Ψ(s)ds+ δ3 +
δ2
δ1
.

Se δ2 = δ3 = 0 então teŕıamos pelo Teorema de Gronwall com ψ(t) = 1 que Ψ(t) ≤ 0. Por outro

lado, vimos que 0 ≤ Ψ(t), logo teŕıamos Ψ = 0 e 0 ≤ 0. Assim este lema vale para δ2 = δ3 = 0.

Vamos excluir agora o caso em que δ2 = δ3 = 0 que já foi provado. Como o lado direito da

última desigualdade é positivo segue que:

Ψ(t)

δ1

∫ t

t0

Ψ(s)ds+ δ3 +
δ2
δ1

≤ 1⇒ δ1Ψ(t)

δ1

∫ t

t0

Ψ(s)ds+ δ3 +
δ2
δ1

≤ δ1 ⇒

⇒ d

dt
ln

(
δ1

∫ t

t0

Ψ(s)ds+ δ3 +
δ2
δ1

)
≤ δ1.

Integrando ambos os lados com relação a s, de t0 até t temos:∫ t

t0

d

dt
ln

(
δ1

∫ t

t0

Ψ(s)ds+ δ3 +
δ2
δ1

)
ds ≤

∫ t

t0

δ1 ds⇒∫ t

t0

d

dt
ln

(
δ1

∫ t

t0

Ψ(s)ds+ δ3 +
δ2
δ1

)
ds ≤ δ1(t− t0).

Pelo segundo Teorema Fundamental do Cálculo segue que:

ln

(
δ1

∫ t

t0

Ψ(s)ds+ δ3 +
δ2
δ1

)
− ln

(
δ3 +

δ2
δ1

)
≤ δ1(t− t0)⇒

⇒ ln

(
δ1

∫ t

t0

Ψ(s)ds+ δ3 +
δ2
δ1

)
≤ ln

(
δ3 +

δ2
δ1

)
+ δ1(t− t0).

25


Agora aplicando a função exponencial:

e

ln

δ1
∫ t

t0

Ψ(s)ds+ δ3 +
δ2
δ1


≤ e

ln

δ3+δ2
δ1

+δ1(t−t0)

= e
ln

δ3+δ2
δ1


· eδ1(t−t0) ⇒

⇒ δ1

∫ t

t0

Ψ(s)ds+ δ3 +
δ2
δ1
≤
(
δ3 +

δ2
δ1

)
· eδ1(t−t0).

Portanto,

Ψ(t) ≤ δ1

∫ t

t0

Ψ(s)ds+ δ3 +
δ2
δ1
≤
(
δ3 +

δ2
δ1

)
· eδ1(t−t0) ⇒ φ(t) +

δ2
δ1
≤

≤
(
δ3 +

δ2
δ1

)
· eδ1(t−t0) ⇒ φ(t) ≤

(
δ3 +

δ2
δ1

)
· eδ1(t−t0) − δ2

δ1
.

A solução y(t) de (2.4) está próxima da solução x(t) do sistema (2.3) da seguinte forma:

Teorema 2.2.2. (Teorema da Média clássico) Considere os problemas (2.3) e (2.4) com x, y, x0 ∈

D ⊂ Rn, t ∈ [t0, t0 + T ] e ε ∈ (0, ε0], com ε0 > 0 suficientemente pequeno. Suponhamos que:

(i) f, g e Jxf(matriz jacobiana da função f em relação a segunda variável) estão definidas, são

cont́ınuas e limitadas por uma constante M independente de ε em [t0,∞)×D;

(ii) g é lipschitziana em x ∈ D;

(iii) f é T -periódica na variável t com média f0 e T constante independente de ε;

(iv) y(t) pertence (independente de ε) a um subconjunto interior de D no tempo escala
1

ε
.

Então x(t)− y(t) = O(ε), quando ε→ 0 no tempo escala
1

ε
.

Antes de realizarmos a demonstração faremos algumas observações:

(a) as condições (i) e (ii) na hipótese do teorema garantem a existência e a unicidade dos proble-

mas de valor inicial (2.3) e (2.4), consequentemente faz sentido falar nas respectivas soluções

dos mesmos, x(t) e y(t);

(b) a condição (iii) na hipótese do teorema nos diz que não é necessário considerar o tempo t

no intervalo [t0,∞), se f é T -periódica, e assim vamos trabalhar com o tempo t no intervalo

[t0, t0 + T ];

26


(c) a condição (iv) na hipótese do teorema nos diz que temos existência de soluções no tempo-

escala
1

ε
na variável tempo t, isto é, no tempo-escala

1

ε
na variável tempo-escala τ (τ = εt).

Finalizadas as observações faremos a demonstração do teorema.

Demonstração.

Vamos definir a função µ1 : [t0, t0 + T ]×D → Rn dada por µ1(t, y) =

∫ t

t0

(f(s, y)− f0(y))ds.

Afirmação (1): ||µ1(t, y)|| ≤ 2MT , no qual M e T são constantes dadas nas hipóteses do

teorema. De fato,

||µ1(t, y)|| =
∥∥∥∥∫ t

t0

(f(s, y)− f0(y))ds

∥∥∥∥ ≤ ∫ t

t0

||f(s, y)||ds +

+

∫ t

t0

||f0(y)||ds ≤
∫ t

t0

Mds+

∫ t

t0

||f0(y)||ds.

Por outro lado,

||f0(y)|| =
∥∥∥∥ 1

T

∫ T

0

f(t, y)dt

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥ 1

T

∫ t0+T

t0

f(u, y)du

∥∥∥∥ ≤ 1

T

∫ t0+T

t0

||f(u, y)||du ≤

≤ 1

T

∫ t0+T

t0

Mdt =
M

T

∫ t0+T

t0

dt = M.

Desta forma segue que:

||µ1(t, y)|| ≤
∫ t

t0

Mds+

∫ t

t0

||f0(y)||ds ≤
∫ t

t0

Mds+

∫ t

t0

Mds =

= 2M

∫ t

t0

ds ≤ 2M

∫ t0+T

t0

ds = 2MT.

Portanto provamos a afirmação (1). Agora vamos encontrar uma estimativa para a diferença

entre as soluções de (2.3) e (2.4). Consideremos z(t) = y(t) + εµ1(t, y(t)) a transformação quase-

identidade, com ε > 0 suficientemente pequeno, logo:

||x(t)− y(t)|| ≤ ||x(t)− z(t)||+ ||z(t)− y(t)|| = ||x(t)− z(t)||+ ||εµ1(t, y(t))|| =

= ||x(t)− z(t)||+ ε||µ1(t, y(t))|| ≤ ||x(t)− z(t)||+ 2εMT.

Pelo segundo Teorema Fundamental do Cálculo temos:∫ t

t0

(
dx

ds
(s)− dz

ds
(s)

)
ds = x(t)− x(t0)− z(t) + z(t0) =

= x(t)− x(t0)− z(t) + y(t0) + εµ1(t0, y(t0)) =

= x(t)− x(t0)− z(t) + y(t0) + ε

∫ t0

t0

(f(t0, y(t0))− f0(y(t0)))ds =

= x(t)− x(t0)− z(t) + y(t0) = x(t)− x(t0)− z(t) + x(t0) = x(t)− z(t).

27


Portanto, ∫ t

t0

(
dx

ds
− dz

ds

)
ds = x(t)− z(t). (2.5)

Por sua vez, como x(t) e y(t) são soluções dos sistemas (2.3) e (2.4) respectivamente então:

dx

dt
(t)− dz

dt
(t) =

dx

dt
(t)−

(
dy

dt
(t) + ε

dµ1

dt
(t, y(t))

)
=

=
dx

dt
(t)− dy

dt
(t)− ε

(
∂µ1

∂t
(t, y(t)) · dt

dt
+
∂µ1

∂y
(t, y(t)) · dy(t)

dt

)
=

=
dx

dt
(t)− dy

dt
(t)− ε∂µ1

∂t
(t, y(t))− ε∂µ1

∂y
(t, y(t)) · dy

dt
(t) =

= εf(t, x(t)) + ε2g(t, x(t), ε)− dy

dt
(t)− ε(f(t, y(t))− f0(y(t)))−

− ε2
∂µ1

∂y
(t, y(t))f0(y(t)) = εf(t, x(t)) + ε2g(t, x(t), ε)− εf0(y(t))− εf(t, y(t))+

+ εf0(y(t))− ε2f0(y(t))
∂µ1(t, y(t))

∂y
(t, y(t)) + εf(t, z(t))− εf(t, z(t)) =

= εf(t, x(t)) + ε2g(t, x(t), ε)− εf(t, y(t))− ε2f0(y(t))
∂µ1

∂y
(t, y(t)) + εf(t, z(t))−

− εf(t, z(t)) = εf(t, x(t))− εf(t, z(t)) + ε2g(t, x(t), ε)− εf(t, y(t))−

− ε2f0(y(t))
∂µ1

∂y
(t, y(t)) + εf(t, z(t)) = εf(t, x(t))− εf(t, z(t)) +R⇒

⇒ dx

dt
− dz

dt
= εf(t, x(t))− εf(t, z(t)) +R.

Afirmação (2): A função f(t, x) é de Lipschitz. De fato, como f é de classe C1 em D que

é limitado, consequentemente D também é limitado segue que f é Lipschitz com constante de

Lipschitz L em D, ou seja, também é Lipschitz com constante de Lipschitz L em D.

Afirmação (3): Se R = ε2g(t, x(t), ε) − εf(t, y(t)) − ε2f0(y(t))
∂µ1

∂y
(t, y(t)) + εf(t, z(t)) então

existe 0 < k ∈ R tal que ||R|| ≤ kε2, para t ∈ [t0,∞).

De fato, observe que:∥∥∥∥∂µ1

∂y
(t, y(t))

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∫ t

t0

∂f

∂y
(s, y(s))− ∂f0

∂y
(y(s))ds

∥∥∥∥ ≤ ∫ t

t0

∥∥∥∥∂f∂y (s, y(s))

∥∥∥∥ ds+
+

∫ t

t0

∥∥∥∥∂f0∂y (y(s))

∥∥∥∥ ds ≤ ∫ t

t0

Mds+

∫ t

t0

∥∥∥∥∂f0∂y (y(s))

∥∥∥∥ ds.
Por outro lado,∥∥∥∥∂f0∂y (y(s))

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥ 1

T

∫ T

0

∂f

∂y
(s, y(s))ds

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥ 1

T

∫ t0+T

t0

∂f

∂y
(u, y(u))du

∥∥∥∥ ≤
≤ 1

T

∫ t0+T

t0

∥∥∥∥∂f∂y (u, y(u))

∥∥∥∥ du ≤ 1

T

∫ t0+T

t0

Mdu =
M

T

∫ t0+T

t0

du = M.

28


Desta forma segue que:∥∥∥∥∂µ1

∂y
(t, y(t))

∥∥∥∥ ≤ ∫ t

t0

Mds+

∫ t

t0

∥∥∥∥∂f0∂y (y(s))

∥∥∥∥ ds ≤ ∫ t

t0

Mds+

∫ t

t0

Mds =

= 2M

∫ t

t0

ds ≤ 2M

∫ t0+T

t0

ds = 2MT.

Portanto

∥∥∥∥∂µ1

∂y
(t, y(t))

∥∥∥∥ ≤ 2MT . Dada a expressão de R para t ∈ [t0,∞) temos:

||R|| ≤ ||ε2g(t, x(t), ε)||+
∥∥∥∥ε2f0(y(t))

∂µ1

∂y
(t, (y(t))

∥∥∥∥+ ||εf(t, z(t))− εf(t, y(t))|| ≤

≤ ||ε2M ||+ ||ε2M · 2MT ||+ ||εL[z(t)− y(t)]|| = ε2M + 2ε2M2T + εL||εµ1(t, y(t))|| ≤

≤ ε2M + 2ε2M2T + ε2L · 2MT = ε2(M + 2M2T + 2LMT ).

Assim ||R|| ≤ kε2, com k = M + 2M2T + 2LMT > 0 para t ∈ [t0,∞) e com isso provamos a

Afirmação (3).

Finalmente de (2.5) temos:

||x(t)− z(t)|| =
∥∥∥∥∫ t

t0

(
dx

ds
(s)− dz

ds
(s)

)
ds

∥∥∥∥ ≤ ∫ t

t0

∥∥∥∥dxds (s)− dz

ds
(s)

∥∥∥∥ ds =

=

∫ t

t0

||εf(s, x(s))− εf(s, z(s)) +R||ds ≤
∫ t

t0

||εf(s, x(s))− εf(s, z(s))||ds

+

∫ t

t0

||R||ds ≤ εL

∫ t

t0

||x(s)− z(s)||ds+

∫ t

t0

kε2ds =

= εL

∫ t

t0

||x(s)− z(s)||ds+ kε2(t− t0)⇒

⇒ ||x(t)− z(t)|| ≤ εL

∫ t

t0

||x(s)− z(s)||ds+ kε2(t− t0).

Aplicando o Lema de Gronwall vem que:

||x(t)− z(t)|| ≤
(
kε2

εL
+ 0

)
eεL(t−t0) − kε2

εL
= ε

k

L
eεL(t−t0) − ε k

L
⇒

⇒ ||x(t)− z(t)|| ≤ ε
k

L
eεL(t−t0) − ε k

L
.

Portanto como:

||x(t)− y(t)|| ≤ ||x(t)− z(t)||+ 2εMT ⇒ ||x(t)− y(t)|| − 2εMT ≤ ||x(t)− z(t)|| ≤

≤ ε
k

L
eεL(t−t0) − ε k

L
⇒ ||x(t)− y(t)|| ≤ ε

(
k

L
eεL(t−t0) − k

L
+ 2MT

)
.

Como t0 ≤ t ≤ t0 + T , ou seja, 0 ≤ t− t0 ≤ T e considerando r = t− t0 vale:

29


0 ≤ r ≤ T ≤ T

ε
⇒ 0 ≤ ε · r ≤ T ⇒ 0 ≤ τ ≤ T .

Portanto εL(t− t0) = Lεr = Lτ ≤ LT , logo ||x(t)− y(t)|| ≤ εC, com C =
k

L
eLT − k

L
+ 2MT ,

no tempo-escala
1

ε
.

Consequentemente x(t)− y(t) = O(ε), no tempo-escala
1

ε
.

Observação 2.2.1. A transformação quase-identidade, a qual vimos na demonstração do Teorema

2.2.2, foi definida como z(t) = y(t) + εµ1(t, y(t)), leva esse nome pois z(t) − y(t) = O(ε). Afinal

||z(t)− y(t)|| = ε||µ1(t, y(t))|| ≤ ε(2MT ).

Considerando a equação (2.3) e assumindo o fato de f(t, x) e g(t, x, ε) serem T -periódicas na

variável t então o próximo teorema nos mostra sob quais condições, os pontos de equiĺıbrio da

função média (2.4) dão origem a soluções T -periódicas da equação (2.3).

Teorema 2.2.3. Consideremos a equação (2.3) e suponhamos que:

(i) as funções f, g, Jxf, J
2
xf e Jxg são definidas cont́ınuas e limitadas por uma constante M

independente de ε, 0 ≤ ε ≤ ε0;

(ii) f e g são T -periódicas na variável t, onde T independe de ε.

Se p é um ponto de equiĺıbrio da equação diferencial média (2.4) e det (Jyf0(p)) 6= 0 então ex-

iste uma solução T -periódica φ(t, ε) da equação (2.3) que está próxima de p, de tal forma que

lim
ε→0

φ(t, ε) = p.

Demonstração.

Primeiramente definimos a função µ1 : [t0, t0 + T ]×D → Rn dada por µ1(t, y) =

∫ t

t0

(f(s, y)−

f0(y))ds.

Agora vamos considerar x(t) = z(t) + εµ1(t, z(t)) a transformação quase-identidade, com ε > 0

suficientemente pequeno, que leva esse nome porque x(t)−z(t) = O(ε). Tal transformação é usada

para simplificar a equação (2.3), esse processo é chamado de normalização e pode ser visto na seção

13.2 e 13.3 de [23] , ou seja, conseguimos encontrar a função z que vale a igualdade. Assim,

x(t) = z(t) + εµ1(t, z(t))⇒
dx

dt
(t) =

dz

dt
(t) + ε

dµ1

dt
(t, z(t))⇒

30


⇒ dx

dt
(t) =

dz

dt
(t) + ε

∂µ1

∂t
(t, z(t)) + ε

∂µ1

∂z
(t, z(t))

dz

dt
(t)⇒

⇒ εf(t, x(t)) + ε2g(t, x(t), ε) =
dz

dt
(t) + εf(t, z(t))− εf0(z(t))+

+ ε
∂µ1

∂z
(t, z(t))

dz

dt
(t)⇒

(
I + ε

∂µ1

∂z
(t, z(t))

)
dz

dt
(t) = εf0(z(t))+

+ εf (t, z(t) + εµ1(t, z(t))) + ε2g (t, z(t) + εµ1(t, z(t)), ε)− εf(t, z(t))⇒

⇒
(
I + ε

∂µ1

∂z
(t, z(t))

)
dz

dt
(t) = εf0(z(t)) + R̂,

com I a matriz identidade de ordem n× n.

Observemos que A(ε) =

(
I + ε

∂µ1

∂z
(t, z(t))

)
é inverśıvel, pois estamos perturbando a matriz

identidade e temos a função determinante cont́ınua com det(I) 6= 0. Como f é de classe C1 em D

que é limitado, consequentemente D também é limitado segue que f é Lipschitz com constante de

Lipschitz L em D, ou seja, também é Lipschitz com constante de Lipschitz L em D e assim:

||R̂|| = ||εf (t, z(t) + εµ1(t, z(t))) + ε2g (t, z(t) + εµ1(t, z(t)), ε)− εf(t, z(t))|| ≤

≤ ε||f (t, z(t) + εµ1(t, z(t)))− f(t, z(t))||+ ε2||g (t, z(t) + εµ1(t, z(t)) || ≤

≤ εL||z(t) + εµ1(t, z(t))− z(t)||+ ε2M ≤ ε2L||µ1(t, z(t))||+ ε2M ≤

≤ ε2L2MT + ε2M = ε2(2MTL+M)⇒ ||R|| ≤ ε2(2MTL+M)⇒ R̂ = O(ε2).

Seja A−1(ε) =

(
I + ε

∂µ1

∂z
(t, z(t))

)−1
a inversa de A(ε), então a expansão em série de Taylor

de A−1(ε) de ordem 2 em torno de ε = 0 aplicada na matriz identidade I é dada por :

A−1(ε) · I = A−1(0 + ε) · I = A−1(0) · I +
dA−1

dε
(0) · I · (ε− 0)1

1!
+
d2A−1

dε2
(0) · I2 · (ε− 0)2

2!
+ r2(ε)

e tendo

lim
ε→0

r2(ε)

ε2
= 0,

isto é,

r2(ε) = o(ε2),

consequentemente

r2(ε) = O(ε2)

.

31


Então:

A−1(ε) =

[(
I + ε

∂µ1

∂z
(t, z(t))

)−1
|ε=0

]
+

+

[
(−1)

(
I + ε

∂µ1

∂z
(t, z(t))

)−1
·
(
I + ε

∂µ1

∂z
(t, z(t))

)−1
· ∂µ1

∂z
(t, z(t))|ε=0

]
ε+

+ (−1)

[
(−1)

(
I + ε

∂µ1

∂z
(t, z(t))

)−1
·
(
I + ε

∂µ1

∂z
(t, z(t))

)−1
· ∂µ1

∂z
(t, z(t))·

·
(
I + ε

∂µ1

∂z
(t, z(t))

)−1
· ∂µ1

∂z
(t, z(t)) +

(
I + ε

∂µ1

∂z
(t, z(t))

)−1
· (−1)·

·
(
I + ε

∂µ1

∂z
(t, z(t))

)−1
·
(
I + ε

∂µ1

∂z
(t, z(t))

)−1
· ∂µ1

∂z
(t, z(t)) · ∂µ1

∂z
(t, z(t))|ε=0

]
ε2

2
+

+ O(ε2) = I − ∂µ1

∂z
(t, z(t))ε+ 2 · ∂µ1

∂z
(t, z(t)) · ∂µ1

∂z
(t, z(t))

ε2

2
+O(ε2) =

= I − ∂µ1

∂z
(t, z(t))ε+O(ε2) +O(ε2)⇒ A−1(ε) = I − ∂µ1

∂z
(t, z(t))ε+O(ε2),

lembrando que como visto na demonstração do Teorema 2.2.2, temos

∥∥∥∥∂µ1

∂z
(t, z(t))

∥∥∥∥ ≤ 2MT .

Como

(
I + ε

∂µ1

∂z
(t, z(t))

)
dz

dt
(t) = εf0(z(t)) + R̂ então:

A(ε)
dz

dt
(t) = εf0(z(t)) + R̂⇒ A−1(ε)A(ε)

dz

dt
(t) = A−1(ε)(εf0(z(t)) + R̂)⇒

⇒ dz

dt
(t) =

(
I − ∂µ1

∂z
(t, z(t))ε+O(ε2)

)
(εf0(z(t)) + R̂) =

= εf0(z(t)) + R̂− ε2∂µ1

∂z
(t, z(t)) · f0(z(t))− ε∂µ1

∂z
(t, z(t)) · R̂+

+ O(ε2) · εf0(z(t)) +O(ε2) · R̂ = εf0(z(t)) + R̂− ε2∂µ1

∂z
(t, z(t)) · f0(z(t))+

+ O(ε3) = εf0(z(t)) + ε{f (t, z(t) + εµ1(t, z(t)))− f(t, z(t))}+

+ ε2g (t, z(t) + εµ1(t, z(t)), ε)− ε2
∂µ1

∂z
(t, z(t)) · f0(z(t)) +O(ε3)⇒

⇒ dz

dt
(t) = εf0(z(t)) + ε{f (t, z(t) + εµ1(t, z(t)))− f(t, z(t))}+

+ ε2g (t, z(t) + εµ1(t, z(t)), ε)− ε2
∂µ1

∂z
(t, z(t)) · f0(z(t)) +O(ε3).

Portanto,

dz

dt
(t) = εf0(z(t)) + εF (ε) + ε2G(ε)− ε2∂µ1

∂z
(t, z(t)) · f0(z(t)) +O(ε3), (2.6)

com F (ε) = f (t, z(t) + εµ1(t, z(t)))− f(t, z(t)) e G(ε) = g (t, z(t) + εµ1(t, z(t)), ε).

32


Desta forma, a série de Taylor de ordem 2 em torno de ε = 0 de F (ε) e a série de Taylor de

ordem 1 em torno de ε = 0 de G(ε) são dadas, respectivamente, por:

(a)

F (ε) = F (0) +
dF

dε
(0) · ε

1!
+
d2F

dε2
(0) · ε

2

2!
+ rf2(ε)

e tendo lim
ε→0

rf2(ε)

ε2
= 0, isto é, rf2(ε) = o(ε2), consequentemente rf2(ε) = O(ε2). Assim,

F (ε) = f (t, z(t) + 0 · µ1(t, z(t)))− f(t, z(t)) +

[
∂f

∂z
(t, z(t) + εµ1(t, z(t))) · µ1(t, z(t))|ε=0

]
ε+

+

[
∂2f

∂z2
(t, z(t) + εµ1(t, z(t))) · µ1(t, z(t)) · µ1(t, z(t))|ε=0

]
ε2

2
+O(ε2) =

= 0 +
∂f

∂z
(t, z(t)) · µ1(t, z(t))ε+

[
∂2f

∂z2
(t, z(t)) · µ1(t, z(t)) · µ1(t, z(t))

]
ε2

2
+O(ε2) =

=
∂f

∂z
(t, z(t)) · µ1(t, z(t))ε+O(ε2) +O(ε2),

lembrando que por hipótese J2
xf é limitada por uma constante M > 0 e como visto na

demonstração do Teorema 2.2.2 temos ‖µ1(t, z(t))‖ ≤ 2MT . Portanto,

F (ε) =
∂f

∂z
(t, z(t)) · µ1(t, z(t))ε+O(ε2). (2.7)

(b) G(ε) = G(0) +
dG

dε
(0) · ε

1!
+ rg1(ε) e tendo lim

ε→0

rg1(ε)

ε
= 0, isto é, rg1(ε) = o(ε), consequente-

mente rg1(ε) = O(ε). Assim,

G(ε) = g(t, z(t), 0)+

+

[
∂g

∂z
[t, z(t) + εµ1(t, z(t)), ε] · µ1(t, z(t)) +

∂g

∂ε
[t, z(t) + εµ1(t, z(t)), ε]|ε=0

]
· ε+O(ε) =

= g(t, z(t), 0) +

[
∂g

∂z
[t, z(t), 0] · µ1(t, z(t)) +

∂g

∂ε
[t, z(t), 0]

]
ε+O(ε) =

= g(t, z(t), 0) +O(ε) +O(ε), lembrando que por hipótese Jxg é limitada por uma constante

M > 0,
∂g

∂ε
é limitada, afinal é periódica e g é cont́ınua e limitada, e como visto na demons-

tração do Teorema 2.2.2 temos ‖µ1(t, z(t))‖ ≤ 2MT . Portanto,

G(ε) = g(t, z(t), 0) +O(ε). (2.8)

33


Substituindo (2.7) e (2.8) em (2.6) obtemos o seguinte sistema:

dz

dt
(t) = εf0(z(t)) + ε

[
∂f

∂z
(t, z(t)) · µ1(t, z(t))ε+O(ε2)

]
+ ε2 (g(t, z(t), 0) +O(ε))−

− ε2
∂µ1

∂z
(t, z(t)) · f0(z(t)) +O(ε3) = εf0(z(t)) + ε2

∂f

∂z
(t, z(t)) · µ1(t, z(t)) + εO(ε2)+

+ ε2g(t, z(t), 0) + ε2O(ε)− ε2∂µ1

∂z
(t, z(t)) · f0(z(t)) +O(ε3) =

= εf0(z(t)) + ε2
∂f

∂z
(t, z(t)) · µ1(t, z(t)) + ε2g(t, z(t), 0)− ε2∂µ1

∂z
(t, z(t)) · f0(z(t))+

+ O(ε3) = εf0(z(t)) + ε2
[
∂f

∂z
(t, z(t)) · µ1(t, z(t))−

∂µ1

∂z
(t, z(t)) · f0(z(t)) +

+ g(t, z(t), 0) +O(ε)] = εf0(z(t)) + ε2R∗, com R∗ =
∂f

∂z
(t, z(t))µ1(t, z(t))−

− ∂µ1

∂z
(t, z(t))f0(z(t)) + g(t, z(t), 0) +O(ε).

∴
dz

dt
(t) = εf0(z(t)) + ε2R∗. (2.9)

Notemos que R∗ é de classe C1 na variável z. Ressaltamos também que R∗ é T -periódica na

variável t. De fato, por hipótese g e f são T -periódicas em t e isso nos leva à
∂f

∂z
e f0 também

T -periódicas na variável t. Agora só falta mostrar que µ1(t, z) é T -periódica e com isso também

teremos
∂µ1

∂z
(t, z(t)) T -periódica, assim:

µ1(t+ T, z) =

∫ t+T

t0

(f(s, z)− f0(z))ds =

∫ t

t0

(f(s, z)− f0(z))ds+

∫ t+T

t

(f(s, z)− f0(z))ds =

=

∫ t

t0

(f(s, z)− f0(z))ds+

(∫ T

0

f(s, z)ds−
∫ T

0

f0(z)ds

)
=

=

∫ t

t0

(f(s, z)− f0(z))ds+ (T · f0(z)− T · f0(z)) = µ1(t, z).

Portanto uma solução T -periódica z(t) do sistema (2.9) nos dá uma solução T - periódica

x(t) do sistema original (2.3), afinal x(t) = z(t) + εµ1(t, z(t)) e vimos que µ1(t, z) é T -periódica.

Conclúımos então que basta procurar soluções T -periódicas do sistema (2.9).

Integrando o sistema (2.9) na variável t de t0 a t temos:

z(t) = z(t0) + ε

∫ t

t0

f0(z(s))ds+ ε2
∫ t

t0

R∗ds. (2.10)

Para uma solução T -periódica z(t) têm-se z(t + T ) = z(t), para todo t ≥ t0, com isso, z(t0) =

34


z(t0 + T ) e pela equação (2.10) segue que:

z(t0) = z(t0 + T )⇔ z(t0) = z(t0) + ε

∫ t0+T

t0

f0(z(s))ds+ ε2
∫ t0+T

t0

R∗ds⇔

⇔ 0 = ε

∫ t0+T

t0

f0(z(s))ds+ ε2
∫ t0+T

t0

R∗ds⇔

⇔ 0 = ε

(∫ t0+T

t0

f0(z(s))ds+ ε

∫ t0+T

t0

R∗ds

)
⇔

0 =

∫ t0+T

t0

f0(z(s))ds+ ε

∫ t0+T

t0

R∗ds = h(z(t0), ε).

Note que o caso ε = 0 não nos interessa, pois assim não teŕıamos perturbação.

Agora definimos em D × [0, ε0] a função h dada por h(z, ε) =

∫ t0+T

t0

f0(z)ds + ε

∫ t0+T

t0

R∗ds,

ou seja, h(z, 0) =

∫ t0+T

t0

f0(z)ds.

Por hipótese, temos p um ponto de equiĺıbrio do sistema (2.4), ou seja, f0(p) = 0 de tal forma

que det (Jyf0(p)) 6= 0, logo temos h(p, 0) = 0. Então:∣∣∣∣∂h∂z (z, ε)|z=p,ε=0

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ t0+T

t0

∂f0
∂z

(z)ds+ ε

∫ t0+T

t0

∂R∗

∂z
ds|z=p,ε=0

∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∫ t0+T

t0

∂f0
∂z

(z)ds|z=p
∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ t0+T

t0

∂f0
∂z

(p)ds

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∂f0∂z (p)

∫ t0+T

t0

ds

∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∂f0∂z (p) · T
∣∣∣∣ = T n ·

∣∣∣∣∂f0∂z (p)

∣∣∣∣ 6= 0.

Portanto

∣∣∣∣∂h∂z (p, 0)

∣∣∣∣ 6= 0 e assim pelo Teorema da Aplicação Impĺıcita segue que existe uma

vizinhança V0 de ε = 0 tal que cada ε ∈ V0 corresponde um único z ∈ D, ou seja, existe uma

aplicação ς que a cada ε ∈ V0 associa um único z ∈ D e satisfaz ς(0) = p e h(ς(ε), ε) = 0. Logo

para cada ε ∈ V0

z(t) = ς(ε) + ε

∫ t

t0

f0(z(s))ds+ ε2
∫ t

t0

R∗ds,

é uma solução T -periódica de (2.9).

Pela transformação quase-identidade temos uma solução T -periódica do sistema original, como

já foi comentado anteriormente. Considerando a condição inicial z(t0) = p então por (2.10), quando

ε→ 0 segue que z(t)→ z(t0) = p.

Desta forma, tendo z(t) uma solução T -periódica de (2.9), existe uma solução x(t) de (2.3) T -

periódica, mais ainda pela relação quase-identidade verifica-se que quando ε→ 0 temos x(t)→ p.

35


Caṕıtulo 3

Teoria dos sistemas dinâmicos

descont́ınuos

Nesta seção apresentaremos alguns resultados e definições acerca de sistemas descont́ınuos, não

suaves ou de Filippov. A nossa principal preocupação é modelar matematicamente e assim termos

um conhecimento topológico e geométrico desses sistemas.

3.1 Sistemas descont́ınuos

Vamos trabalhar com campos de vetores não suaves ou descont́ınuos em Rn+1 tendo como seu

conjunto de descontinuidade uma subvariedade M de codimensão um, isto é, possui uma dimensão

a menos que o espaço onde está contido, logo M possui dimensão n.

O conceito de estabilidade estrutural do espaço de campos de vetores não suaves baseia-se na

sguinte definição:

Definição 3.1.1. Dois campos de vetores Z e Ẑ descont́ınuos são C0-equivalentes se existir um

homeomorfismo ϕ : Rn+1 → Rn+1, que leva órbitas de Z em órbitas de Ẑ e leva o conjunto de

descontinuidade, M , de Z no conjunto de descontinuidade, M̂ , de Ẑ, isto é, ϕ(M) = M̂

Definição 3.1.2. Dois campos de vetores Z e Ẑ sobre Rn com Z(0) = Ẑ(0) são germes equivalentes

se eles coincidem em alguma vizinhança da origem.

As classes de equivalências para esta que é uma relação de equivalência são chamadas de germes

36


de campos de vetores. Da mesma maneira como definido acima, podemos definir germes de funções.

Para simplificar, vamos considerar a notação de germe e com isso não vamos distinguir um germe

de uma função e qualquer um de seus representantes.

Por exemplo, a notação h : Rn, 0 → R significa que h é um germe de uma função definida em

uma vizinhança da origem em Rn.

Consideremos M = h−1(0), no qual h é um germe de função suave h : Rn+1, 0→ R tendo 0 ∈ R

como seu valor regular, desta forma M = h−1(0) trata-se de uma hiperf́ıcie e consequentemente

uma variedade.

Consideramos no espaço dos campos de vetores a topologia Cr, na qual dois campos de vetores

Z1 e Z2 estarão próximos se os campos e suas derivadas até ordem r estiverem próximos em uma

vizinhança da origem.

Definimos χ(n + 1) como o espaço de todos os germes de campos de vetores de classe Cr em

torno da origem no Rn+1 dotados com a topologia Cr, sendo r > 1 suficientemente grande conforme

precisarmos.

Seja h : Rn+1, 0 → R um germe de função suave tendo 0 ∈ R como seu valor regular. Vamos

definir Ω(n+ 1) como o espaço de todos os germes de campos de vetores Z em Rn+1, 0 tal que:

q′ = Z(q) =

 X(q), para h(q) > 0;

Y (q), para h(q) < 0.
(3.1)

Observação 3.1.1. O campo de vetores descrito acima é denotado por Z = (X, Y ) e com isso

estamos considerando Ω(n+ 1) = χ(n+ 1)× χ(n+ 1) com a topologia produto. Podemos ver um

exemplo de um retrato de fase de um campo descont́ınuo em R2 na Figura 3.1.

Definição 3.1.3. Dizemos que Z ∈ Ω(n + 1) é estruturalmente estável se existe uma vizinhança

U de Z em Ω(n+ 1) tal que todo Ẑ ∈ U é C0-equivalente com relação a Z.

Para definir as órbitas soluções de Z sobre a variedade de descontinuidade M , vamos tomar

um método prático. Em um conjunto aberto O bem caracterizado de M , que será descrito abaixo,

a solução de Z através de um ponto p ∈ O obedece as regras de Filippov e em M \ O aceitamos

que as soluções sejam multivaluadas.

Como estamos interessados em estudar a estabilidade estrutural em Ω(n + 1) é conveniente

levarmos em consideração todas as folheações no Rn+1 gerado pelas órbitas de Z e também de X

37


Figura 3.1: Exemplo de um retrato de fase de um campo descont́ınuo em R2.

e Y que passam através de p em M . As trajetórias de Z são as soluções do sistema diferencial

autônomo q′ = Z(q).

Exemplo 3.1.1. Vamos ilustrar nossa terminologia apresentando um modelo simplificado que é

encontrado na teoria do eletromagnetismo clássico.

x′′ − x′′′ + αsgn(x) = 0, com α > 0⇒

 x′′ − x′′′ + α = 0, x > 0

x′′ − x′′′ − α = 0, x < 0
,

onde sgn(x) é a função sinal de x, isto é, sgn(x) =


1, se x > 0

0, se x = 0

−1, se x < 0

.

Desta forma, temos que x′′′ = x′′ + αsgn(x).

Consideremos x′ = y e y′ = z e com isso segue que z′ = y′′ = x′′′ = x′′ + αsgn(x) = y′ +

αsgn(x) = z + αsgn(x).

Seja h(x, y, z) = x, observe que 5h(x, y, z) = (1, 0, 0) 6= (0, 0, 0) para todo (x, y, z) ∈ R3, assim

h−1(0) é uma hiperf́ıcie. Logo ficamos com o seguinte sistema: X(x, y, z) = (x′, y′, z′) = (y, z, z + α), h(x, y, z) = x > 0

Y (x, y, z) = (x′, y′, z′) = (y, z, z − α), h(x, y, z) = x < 0
.

Definição 3.1.4. Para cada X ∈ χ(n + 1) e h : Rn+1, 0 → R um germe de função suave tendo

0 ∈ R como seu valor regular, definimos as função suaves:

(i) Xh : Rn+1 → R dada por Xh = X · 5h, no qual · é o produto interno canônico em Rn+1,

isto é Xh(p) = X(p) · 5h(p);

38


(ii) X2h : Rn+1 → R dada por X2h = X ·5Xh, no qual · é o produto interno canônico em Rn+1,

isto é, X2h(p) = X(p) · 5Xh(p);

(iii) Xnh : Rn+1 → R dada por Xnh = X · 5Xn−1h, no qual · é o produto interno canônico em

Rn+1, isto é, Xnh(p) = X(p) · 5Xn−1h(p) e n ≥ 3.

Observação 3.1.2. Se θ é o ângulo entre os vetores X(p) e 5h(p), então

cosθ =
X(p) · 5h(p)

‖X(p)‖‖ 5 h(p)‖
=

Xh(p)

‖X(p)‖‖ 5 h(p)‖
,

segue que a função Xh nos mostra se o campo de vetores X :

(i) aponta na mesma direção do vetor gradiente5h, com relação ao plano tangente TpM (quando

Xh(p) > 0, isto é, o ângulo entre os vetores X(p) e 5h(p) é agudo),

(ii) aponta na direção oposta do vetor gradiente, com relação ao plano tangente TpM (quando

Xh(p) < 0, isto é, o ângulo entre os vetores X(p) e 5h(p) é obtuso),

(iii) é tangente à h−1(0) = M (quando Xh(p) = 0, isto é, o ângulo entre os vetores X(p) e 5h(p)

é reto ).

Definição 3.1.5. Para cada Z ∈ Ω(n+ 1), podemos distinguir as seguintes regiões no conjunto de

descontinuidade M = h−1(0):

(i) Mc é a região de costura que é dada pelos ponto p ∈M tais que (Xh(p))(Y h(p)) > 0;

(ii) Me é a região de escape que é dada pelos ponto p ∈M tais que Xh(p) > 0 e Y h(p) < 0;

(iii) Md é a região de deslize que dada pelos ponto p ∈M tais que Xh(p) < 0 e Y h(p) > 0.

Mais ainda, denotamos O = Mc ∪Me ∪Md.

Consideremos Z = (X, Y ) ∈ Ω(n+1) um sistema descont́ınuo onde a região de descontinuidade

M = h−1(0), com h : Rn+1, 0→ R um germe de função tendo 0 ∈ R um valor regular. Denotamos

as regiões M+ = {q ∈ Rn+1 ; h(q) > 0} e M− = {q ∈ Rn+1 ; h(q) < 0}.

Definição 3.1.6. Dizemos que qualquer caminho γ(t) satisfazendo (3.1) inteiramente contido

numa das regiões M+, M− ou em M é um segmento de órbita. Uma órbita é qualquer cami-

nho γ(t) satisfazendo (3.1), formada pela concatenação de segmentos de órbita, isto é, pela união

de segmentos de órbita.

39


Figura 3.2: Exemplo de região de costura em R2.

Figura 3.3: Exemplo de região de escape em R2.

Figura 3.4: Exemplo de região de deslize em R2.

Definição 3.1.7. Definimos o fluxo de (3.1) junto a um ponto p ∈ Rn+1 em um tempo t como

sendo todos os pontos γp(t+ τ) com γp(τ) = p, para algum τ ∈ R, γ(t) satisfazendo (3.1).

Desconsiderando o conjunto de descontinuidade, as órbitas de (3.1) são dadas pelas órbitas de

X e Y em M+,M−, respectivamente.

Agora vamos especificar como a dinâmica de um sistema descont́ınuo evolui “dentro”do seu

conjunto de descontinuidade e isto depende de como a dinâmica dos campos X e Y se comportam

40


próximas à variedade ou hiperf́ıcie. Com isso, seja p ∈ M . Se p ∈ Mc então o fluxo do nosso

sistema descont́ınuo cruza transversalmente a variedade e, neste caso, podemos, sem perda de

generalidade, fixar a variedade M como pertencente a uma única região, por exemplo M+, e

desta forma aplicamos o campo X em p. Caso p ∈ Me ou p ∈ Md o fluxo torna-se confinado a

hiperf́ıcie após o contato com a mesma, ou seja, ele continua sua trajetória na hiperf́ıcie. Neste

caso, existem dois métodos que podemos utilizar para descrever o comportamento do sistema

“dentro”da hiperf́ıcie, o Método de Controle de Utkin e o Método Convexo de Filippov.

No Método de Controle de Utkin o sistema evolui segundo o campo de vetores deslizantes Zd,

que é a média aritmética dos dois campos X na região M+ e Y na região M− somando um controle

β(x) ∈ [−1, 1] na direção da diferença entre os campos de vetores, então:

Zd =
X + Y

2
+
Y −X

2
β(x), onde β(x) = −Xh+ Y h

Y h−Xh
. (3.2)

Observemos que as soluções de (3.1) englobam todas as soluções da equação diferencial:

x′ = Y + λ(X − Y ), λ =

 1, h(x) > 0

0, h(x) < 0
e λ ∈ (0, 1) se h(x) = 0. (3.3)

No Método Convexo de Filippov ou simplesmente Método de Filippov, toma-se uma combinação

convexa simples dos dois campos de vetores, então:

Zd = (1− α)X + αY, com 0 < α < 1 e α(x) =
Xh

5h · (X − Y )
. (3.4)

Neste caso, (3.4) é chamada de campo de Filippov.

Figura 3.5: Campo de Filippov.

Observação 3.1.3. Os Métodos de Utkin e de Filippov descritos em (3.2) e (3.4) respectivamente,

são algebricamente equivalentes quando consideramos β = 2α− 1.

41


De fato,

2α− 1 =
2Xh

5h · (X − Y )
− 1 =

Xh+ Y h

−(Y h−Xh)
= −Xh+ Y h

Y h−Xh
= β;

Zd =
X + Y

2
+
Y −X

2
β =

X + Y

2
+
Y −X

2
(2α− 1) = X + α(Y −X) = (1− α)X + αY.

Observação 3.1.4. Nos Métodos de Utkin e de Filippov descritos em (3.2) e (3.4) respectivamente,

temos que o campo de vetores Zd é ortogonal a 5h e com isso é tangente a hiperf́ıcie M .

De fato, para o Método de Filippov temos:

〈5h, Zd〉 = 〈5h, (1− α)X + αY 〉 = (1− α)〈5h,X〉+ α〈5h, Y 〉 =

= 〈5h,X〉 − α(〈5h,X〉 − 〈5h, Y 〉) = 〈5h,X〉 − α〈5h,X − Y 〉 =

= 〈5h,X〉 − 〈5h,X〉〈5h,X − Y 〉
〈5h,X − Y 〉

=

= 〈5h,X〉 − 〈5h,X〉 = 0 , uma vez que α =
〈5h,X〉

〈5h,X − Y 〉
.

Como os dois métodos são algebricamente equivalentes o mesmo vale para o Método de Utkin.

No caso em que p ∈ Md, seguindo a convenção de Filippov, a solução γp(t) de Z através de p

segue para t > 0 a órbita de um campo de vetores tangente a M = h−1(0). Este campo é chamado

de campo de vetores deslizante associado a Z e ele será definido abaixo.

Definição 3.1.8. O campo de vetores deslizante associado a Z = (X, Y ) é o campo de vetores

suave Zd tangente à M e definido em q ∈ Md por Zd(q) = m − q, no qual m é a interseção do

segmento tangente à M em q e o segmento que liga q +X(q) e q + Y (q). A expressão expĺıcita de

Zd é dada por (3.4).

Definição 3.1.9. O campo de vetores de escape associado a Z = (X, Y ) é definido por Ze =

−(−Z)d, pois se q ∈Me para Z então q ∈Md para −Z.

Definição 3.1.10. Se p ∈ Me ∪ Md e temos 〈5h,X − Y 〉 = 0 dizemos que p é um ponto de

equiĺıbrio deslizante.

Observação 3.1.5. Usaremos a notação ZM para os dois casos, ou seja, para o caso do campo

de vetores deslizante e o caso do campo de vetores de escape. Chamamos de pontos de fronteira,

os pontos onde ocorre mudanças de regiões na variedade M , por exemplo, mudança de região de

deslize para região de costura e depois para região de deslize novamente.

42


Figura 3.6: Mudança de regiões.

Observação 3.1.6. Consideremos p ∈Md ∪Me de tal forma que X(p) e Y (p) sejam linearmente

dependentes, logo Y (p) = aX(p), para a ∈ R e a 6= 1. Pelo Método de Filippov temos:

α(p) =
Xh

5h · (X − Y )
=

Xh

5h ·X −5h · Y
=

Xh

5h ·X −5h · aX
=

=
Xh

5h ·X(1− a)
=

Xh

Xh(1− a)
=

1

1− a
.

Então:

ZM = (1− α)X + αY =

(
1− 1

1− a

)
X +

(
1

1− a

)
aX =

(
1− a− 1 + a

1− a

)
X = 0.

Quando a = 1, p é um ponto de equiĺıbrio deslizante.

Definição 3.1.11. Seja p ∈Me∪Md. Quando os vetores X(p) e Y (p) são linearmente dependentes

de tal forma que Y (p) 6= X(p), teremos ZM(p) = 0 e dizemos, neste caso, que p é um ponto de

equiĺıbrio simples de Z. As outras singularidades de Z estão concentradas fora do conjunto O.

Exemplo 3.1.2. Seja Z = (X, Y ) ∈ Ω(3) com h(x, y, z) = z, X = (1, 0, x) e Y = (0, 1, y).

Temos 5h(x, y, z) = (0, 0, 1) 6= (0, 0, 0), Xh = x e Y h = y. Desta forma o sistema determina

na hiperf́ıcie M = h−1(0) em torno da orgiem quatro quadrantes delimitados por τX = {(x, y, z) ∈

R3 ; x = 0} e τY = {(x, y, z) ∈ R3 ; y = 0}.

Os quadrantes são:

(i) Q+
c = {(x, y, z) ∈ R3 ; x > 0, y > 0, z = 0} (região de costura, pois h(x, y, z) = 0 e

(Xh)(Y h) = xy > 0);

43


(ii) Q−c = {(x, y, z) ∈ R3 ; x < 0, y < 0, z = 0} (região de costura, pois h(x, y, z) = 0 e

(Xh)(Y h) = xy > 0);

(iii) Qd = {(x, y, z) ∈ R3 ; x < 0, y > 0, z = 0} (região de deslize, pois h(x, y, z) = 0 e

Xh = x < 0 e Y h = y > 0);

(iv) Qe = {(x, y, z) ∈ R3 ; x > 0, y < 0, z = 0} (região de escape, pois h(x, y, z) = 0 eXh = x > 0

e Y h = y < 0).

Observemos que Mc = Q+
c ∪ Q−c . Agora vamos definir o campo de vetores deslizante em Qd

usando o Método de Filippov.

Zd(x, y, z) =

(
1− Xh

5h · (X − Y )

)
X +

(
Xh

5h · (X − Y )

)
Y =

=

(
1− x

x− y

)
(1, 0, x) +

(
x

x− y

)
(0, 1, y) =

=

(
1

x− y

)
(−y, x, 0) =

(
1

y − x

)
(y,−x, 0).

Agora vamos definir o campo de vetores deslizantes em Qd usando o Método de Utkin.

Zd(x, y, z) =
X + Y

2
+
Y −X

2

(
−Xh+ Y h

Y h−Xh

)
=

=
1

2
(1, 1, x+ y) +

1

2
(−1, 1, y − x)

(
−x− y
y − x

)
=

=

(
1

2(y − x)

)
(2y,−2x, 0) =

(
1

y − x

)
(y,−x, 0).

Em nossa terminologia vale ressaltar que G(x, y, z) = (y,−x, 0) é um sistema equivalente ao

sistema original em Qd, mais ainda consideramos G uma extensão suave de Zd, que é definida em

toda vizinhança da origem.

Observação 3.1.7. Vale ressaltar que o fluxo através de um ponto p na região de deslize ou de

escape não é único.

Definidas as órbitas de (3.1), vamos definir os pontos de equilíıbrio de tal sistema. Naturalmente

o sistema (3.1) herda os pontos de equiĺıbrio dos campos X e Y , porém existem outros pontos de

equiĺıbrio e todos esses podem ser classificados de acordo com a região na qual se encontram.

Definição 3.1.12. Dado o sistema (3.1) com M = h−1(0) uma hiperf́ıcie e p ∈ Rn+1, dizemos

que:

44


(i) p é ponto de equiĺıbrio real se X(p) = 0 com p ∈M+ ou Y (p) = 0 com p ∈M−;

(ii) p é ponto de equiĺıbrio virtual se X(p) = 0 com p ∈M− ou Y (p) = 0 com p ∈M+;

(iii) p é pseudo-equiĺıbrio real se p ∈ Md com Zd(p) = 0 ou p ∈ Me com Ze(p) = 0, Xh(p) 6=

0, Y h(p) 6= 0 e 0 < α(p) < 1, onde α é o parâmetro que aparece na definição do campo

deslizante de Filippov;

(iv) p é pseudo-equiĺıbrio virtual se p ∈ Md com Zd(p) = 0 ou p ∈ Me com Ze(p) = 0, Xh(p) 6=

0, Y h(p) 6= 0 e α(p) < 0 ou α(p) > 1, onde α é o parâmetro que aparece na definição do

campo deslizante de Filippov;

(v) p é ponto de equiĺıbrio de fronteira se p ∈M com X(p) = 0 ou Y (p) = 0;

(vi) p é ponto de equiĺıbrio hiperbólico de X (Y ) se todos os autovalores da matriz Jacobiana de

X em p (de Y em p), JX(p) (JY (p)) têm parte real não nula;

(vii) p é ponto de equiĺıbrio não hiperbólico de X (Y ) quando algum autovalor da matriz Jacobiana

de X em p (de Y em p),JX(p) (JY (p)) tiver parte real nula.

Definição 3.1.13. Seja o sistema (3.1) com M = h−1(0) uma hiperf́ıcie. Se p ∈M e Xh(p) = 0

ou Y h(p) = 0 então dizemos que p é um ponto de tangência para o campo X ou Y , respectivamente.

Tal ponto é dito ponto de tangência viśıvel ou inviśıvel de X se a órbita que começa em p permanece

em M+ ou M−, respectivamente. Tal ponto é dito ponto de tangência viśıvel ou inviśıvel de Y se

a órbita que começa em p permanece em M− ou M+ respectivamente Analiticamente:

(i) p é tangência viśıvel de X se Xh(p) = 0 e X2h(p) > 0;

(ii) p é tangência inviśıvel de X se Xh(p) = 0 e X2h(p) < 0;

(iii) p é tangência viśıvel de Y se Y h(p) = 0 e Y 2h(p) < 0;

(iv) p é tangência inviśıvel de Y se Y h(p) = 0 e Y 2h(p) > 0.

Definição 3.1.14. Dadas as condições na Definição 3.1.13 existem classificações para o contato

da órbita do campo X ou Y no ponto de tangência p ∈M :

(i) Contato quadrático em X se Xh(p) = 0 e X2h(p) 6= 0;

45


Figura 3.7: (1) Ponto de tangência viśıvel de Y ; (2) ponto de tangência inviśıvel de Y .

(ii) Contato quadrático em Y se Y h(p) = 0 e Y 2h(p) 6= 0.

Observação 3.1.8. Os pontos de fronteira mencionados na Observação 3.1.5 são essencialmente

pontos de tangência ou equiĺıbrio de fronteira, visto que são dados pelos pontos p ∈ M tais que

Xh(p)Y h(p) = 0, afinal para acontecer mudança de regiões em M devemos ter mudança de sinal

da função Xh ou Y h e isso acontece quando uma delas é zero.

Observação 3.1.9. Observemos que p ∈M é um ponto de equiĺıbrio deslizante quando:

(i) ou é ponto de tangência para ambos os campos X e Y ;

(ii) ou é ponto de tangência para um dos campos e equiĺıbrio para o outro;

(iii) ou é ponto de equiĺıbrio de ambos os campos;

(iv) ou quando X(p)− Y (p) é ortogonal ao gradiente de h.

Proposição 3.1.1. Um ponto p ∈M é pseudo-equiĺıbrio real de (3.1) se, e somente se, os campos

X e Y são transversais a M , isto é, não são tangentes a M e são não-colineares em p (os vetores

tem mesma direção mas sentido contrário), isto é, Xh(p) 6= 0, Y h(p) 6= 0 e existe 1 > α > 0 real

tal que (1− α)X(p) + αY (p) = 0.

Demonstração.

Suponhamos p ∈ Md um pseudo-equiĺıbrio real de (3.1), então Xh(p) 6=, Y h(p) 6= 0 e (1 −

α)X(p) + αY (p) = Zd(p) = 0, 0 < α < 1. Logo (1− α) > 0.

Desta forma (1− α)X(p) + αY (p) = 0 donde segue X(p) = − α

(1− α)
Y (p).

Assim, temos os vetores X(p) e Y (p) com mesma direção e com sentidos opostos, pois como

vimos (1− α), α > 0 e com isso − α

(1− α)
< 0.

46


Logo os vetores X(p) e Y (p) são não-colineares em p e são transversais a M , pois Xh(p) 6= 0 e

Y h(p) 6= 0.

Suponhamos agora que os campos X e Y são não-colineares e transversais a M em p ∈M então

Xh(p) 6= 0, Y h(p) 6= 0 e pela condição de não colinearidade dos campos X e Y em p obtemos:

X(p) = − α

1− α
Y (p)⇒ 〈5h(p), X(p)〉 =

〈
5h(p),−

(
α

1− α

)
Y (p)

〉
⇒

⇒ 〈5h(p), X(p)〉 = −
(

α

1− α

)
〈5h(p), Y (p)〉 ⇒ Xh(p) = −

(
α

1− α

)
Y h(p).

Assim Zd(p) = (1− α)X(p) + αY (p) = (1− α)

(
− α

1− α

)
Y (p) + αY (p) = 0.

Temos Xh(p)Y h(p) =

(
− α

1− α

)
(Y h(p))2 < 0, afinal (1− α), α > 0 e com isso − α

1− α
< 0 e

também Y h(p) 6= 0.

Logo Xh(p) e Y h(p) possuem sinais oposto, então p ∈Md e como Zd(p) = 0 e 0 < α < 1 temos

p um pseudo-equiĺıbrio real.

Observação 3.1.10. Observemos que dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção

e sentido, ou analiticamente u e v são colineares se existe λ > 0 real, tal que u = λv.

Para os pontos x ∈ Rn próximos da variedade M temos que se a órbita x(t) partindo de tal

ponto não permanece na região em que está, então ela obrigatoriamente atinge M em um tempo

t1 ∈ R+. Dependendo da região que esta órbita atinge M temos as seguintes possibilidades:

(1) se x(t1) ∈Mc então x(t) cruzará M em x(t1), veja a Figura (3.8) (a);

(2) se x(t1) ∈ Md então usamos o campo deslizante para determinar o comportamento dessa

órbita e com isso:

(2(i)) se x(t1) é um pseudo-equiĺıbrio então x(t) = x(t1) para t ≥ t1, veja a Figura (3.8) (b);

(2(ii)) se x(t1) é um ponto regular de Zd, isto é, Zd(x(t1)) 6= 0 temos que x(t), para t > t1,

permanece em Md infinitamente quando tende para pseudo-equiĺıbrio, ou pode terminar

na fronteira de Md. De outra maneira, se x(t), t > t1, tende para um equiĺıbrio de

fronteira x(t2), t2 ∈ R+ e t2 > t1, temos que x(t) = x(t2) para t ≥ t2, veja a Figura

(3.8) (c);

(2(iii)) se x(t) termina em um ponto de tangência segue que x(t) sai de M em x(t2), no qual t1

é o tempo em que a órbita x(t) atinge a fronteira da região de deslize, com x(t) ∈ M+

ou x(t) ∈M− para t > t1, veja Figura (3.8) (d).

47


Figura 3.8: Órbitas próximas a variedade M . (a) x(t1) ∈ Mc; (b) x(t1) é pseudo-equiĺıbrio; (c)

x(t2) é equiĺıbrio de fronteira e (d) x(t2) é ponto de tangência.

Logo, analogamente como ocorre em sistemas dinâmicos suaves, o retrato de fase de (3.1) é

formado pela união de todas as suas órbitas.

3.2 Sistemas descont́ınuos com variedade de descontinuidade

não-regular

Faremos agora, uma observação para os casos, no R2, em que temos variedades não-regulares.

Observação 3.2.1. Até aqui assumimos 0 como sendo um valor regular da função suave h e assim

temos M = h−1(0) uma variedade regular. Nos exemplos considerados a partir de agora, no R2,

teremos a origem tal que 5h(0, 0) = 0. Nestes casos, assumimos:

(H1): o conjunto de pontos não regulares em M = h−1(0) é limitado. Em outras palavras, para

N = {(x, y) ∈M : 5h(x, y) = (0, 0)},

podemos encontrar δ > 0 tal que N ⊂ Bδ(0, 0) e Bδ(0, 0) ⊂ R2 é uma bola aberta com raio δ e

centro (0, 0).

48


Consideramos uma mudança de variável conveniente nos exemplos tal que o conjunto de des-

continuidade nas novas variáveis é uma variedade regular. Para isto definimos a função

Ψδ : S1 × R+ → R2 tal que Ψδ(θ, r) = (r + δ)(cos(θ), sen(θ)), (3.5)

onde δ > 0 é escolhido como em (H1). Esta função é um difeomorfismo sobre sua imagem, mais

ainda Bδ(0, 0) ∩Ψδ(S1 × R+) = ∅.

Consideramos D ⊂ R2 um conjunto aberto, onde nosso sistema esteja definido. Seja ρ̂ > 0 um

número real tal que Ψδ(S1 × (0, ρ̂)) ⊂ D e denotamos D̂ = S1 × (0, ρ̂).

Para simplificar, dada uma função H : Ψδ(D̂)→ R e δ > 0 denotamos δ∗H(θ, r) = H ◦Ψδ(θ, r).

Exemplo 3.2.1. Para ilustrar a Hipótese (H1) e a mudança de variáveis dada na Observação 3.2.1,

vamos considerar a função h : R2 → R tal que h(x, y) = (x2 − 1)(y2 − 1). O conjunto M = h−1(0)

é representado pela união das retas x = 1, x = −1, y = 1 e y = −1.

Observe que M não é uma variedade regular, pois possui auto interseção nos pontos dados

em N = {(1, 1), (−1, 1), (1,−1), (−1,−1)} , isto é, 5h(1, 1) = 5h(−1, 1) = 5h(1,−1) =

5h(−1,−1) = 0 e temos N limitado. Escolhendo δ =
√

2 temos N ⊂ Bδ(0, 0) e prosseguindo com

a mudança de variáveis dada na Observação 3.2.1 em (3.5) temos

δ∗h(θ, r) = h◦Ψδ(θ, r) = h((r+δ)cos(θ), (r+δ)sen(θ)) = ((r+δ)2cos2(θ)−1)((r+δ)2sen2(θ)−1).

Assim, o conjunto M̂ = (δ∗h)−1(0) é uma variedade regular em D̂. Este procedimento de encon-

trar uma mudança de variáveis conveniente para remover regiões indesejáveis pode ser reproduzido

para outros sistemas, mesmo em dimensões maiores.

Exemplo 3.2.2. As constantes no seguinte modelo podem ser escolhidas de tal forma que se

encaixem no conjunto dos sistemas tratados nesta seção. Consideramos a seguinte equação de

segunda ordem:

x′′ + ax′ + bx = εαx, (3.6)

com a, b constantes arbitrárias, ε um parâmetro real positivo e α ∈ R satisfazendo |α| ≤ 1.

Seja Zα o campo de vetores representado por: x′ = y

y′ = −bx− ay + εαx
, (3.7)

donde Zα é a redução de ordem da equação (3.6).

49


Figura 3.9: Variedade não regular M = h−1(0) ⊂ D.

Figura 3.10: Variedade regular M̂ = (δ∗h)−1(0) ⊂ D̂.

Note o fato de que quando temos ε = 0 e a2−4b < 0 então o sistema Zα é um campo de vetores

linear com autovalores complexos, e se a < 0 a solução zero é assintoticamente estável .

De fato, se ε = 0 e a2 − 4b < 0 então: x′ = y

y′ = −bx− ay
⇔

 x′

y′

 =

 0 1

−b −a

 x

y

 .

50


Claramente temos um campo de vetores linear, cujos autovalores são:

det

 0 1

−b −a

− λ
 1 0

0 1

 = 0⇔ det

 −λ 1

−b −a− λ

 = 0⇔

⇔ − λ(−a− λ) + b = 0⇔ λ2 + aλ+ b = 0⇔ λ =
−a±

√
a2 − 4b

2
,

ou seja, para a2 − 4b < 0, λ1 =
−a+

√
(−a2 + 4b) i

2
e λ2 =

−a−
√

(−a2 + 4b) i

2
.

Se a 6= 0 a origem é um foco girando no sentido anti-horário, afinal (−a2 + 4b)
1
2 > 0. Se a > 0

então o foco, sendo atrator, é assintoticamente estável e se a < 0 então o foco é repulsor.

Se a = 0 a origem é um centro girando no sentido anti-horário, afinal (−a2 + 4b)
1
2 > 0.

Vamos encontrar α tal que a origem seja solução de (3.6) assintoticamente estável. Con-

sideramos v = v(x, y) uma função real suave nas variáveis x e y. Tal função pode ser, por

exemplo, o potencial de um campo de vetores no plano (x, y). Pela definição de estabilidade

segundo Liapounov para (0, 0) ser assintoticamente estável, deve existir uma vizinhança W tal

que o potencial v(x, y) > 0 para (x, y) ∈ W\{(0, 0)}, v(0, 0) = 0 e a derivada de v é estritamente

negativa ao longo das órbitas de Zα em W\{(0, 0)}.

Escolhemos o valor de α que nos fornece a maior taxa de decrescimento da função v ao longo

das órbitas do sistema Zα, ou seja, queremos encontrar α que minimiza a derivada de v ao longo

das órbitas de Zα.

Seja f : R→ R2 tal que f(t) = (x(t), y(t)), onde (x(t), y(t)) é a solução de Zα em t.

Desta forma queremos encontrar α que minimiza a derivada de v ◦ f . Logo, derivando v ◦ f em

relação à variável t:

(v ◦ f)′(t) = v′(f(t))f ′(t) =
(
vx(x(t), y(t)) vy(x(t), y(t))

) dx
dt

(t)

dy
dt

(t)

 =

=
(
vx(x(t), y(t)) vy(x(t), y(t))

) y(t)

−bx(t)− ay(t) + εαx(t)

 =

= vx(x, y)y − vy(x, y)(bx+ ay) + vy(x, y)εαx,

ou seja,

v̇|(x(t),y(t)) = (v ◦ f)′(t) = yvx − (bx+ ay)vy + εαxvy.

Uma vez que buscamos α que minimiza v̇|(x(t),y(t)) , observamos os fatos de apenas o último termo

depender de α, de ε ser uma constante positiva e de ter |α| ≤ 1. Desta forma, o menor valor de

51


v̇|(x(t),y(t)) será alcançado quando subtrairmos do termo yvx − (bx + ay)vy o maior valor posśıvel.

Neste caso, basta tomar α = sgn{−x · vy}.

Escolhendo v = v(x, y) =
x2 + 2xy + y2

2
, obtemos α = sgn{−x · vy} = sgn{−x(x+ y)}. Logo,

o sistema (3.7) torna-se um sistema suave por partes Z = (X, Y ) com:

X(x, y) =

 x′ = y

y′ = −bx− ay + εx
, se − x(x+ y) > 0, ou, x(x+ y) < 0, (3.8)

e

Y (x, y) =

 x′ = y

y′ = −bx− ay − εx
, se − x(x+ y) < 0, ou, x(x+ y) > 0. (3.9)

As retas x = 0 e s = x+ y = 0 dividem o plano de fase em quatro zonas:

(i) G1 com x > 0 e s = x+ y > 0;

(ii) G2 com x < 0 e s = x+ y > 0;

(iii) G3 com x < 0 e s = x+ y < 0;

(iv) G4 com x > 0 e s = x+ y < 0.

Figura 3.11: Regiões.

Observando a Figura 3.11, podemos ver onde estão situadas cada uma das quatro regiões e

qual campo deve ser considerado em cada uma delas.

52


Mais ainda, as retas x = 0 e s = x+y = 0 são os conjuntos de descontinuidade do nosso sistema.

Porém M = h−1(0), onde h(x, y) = x(x+ y) não é uma variedade regular, afinal 5h(0, 0) = (0, 0).

Como M só possui um ponto não regular, segue que o conjunto dos pontos não regulares de M é

limitado. Escolhendo δ > 0 suficientemente pequeno temos {(0, 0)} ⊂ Bδ(0, 0) e prosseguindo com

a mudança de variáveis dada na Observação 3.2.1 em (3.5) temos

δ∗h(θ, r) = h ◦Ψδ(θ, r) = h((r + δ)cos(θ), (r + δ)sen(θ)) = (r + δ)2cos(θ)(cos(θ) + sen(θ)).

Portanto, o conjunto M̂ = (δ∗h)−1(0) é uma variedade regular em D̂. Em coordenadas carte-

sianas a função δ∗h(θ, r) corresponde à função h(x, y) = x2 + xy, com x2 + y2 > δ2. Agora vamos

determinar quais os tipos das regiões existentes nas retas x = 0 e y = −x, com x2 + y2 > δ2 e

δ > 0 suficientemente pequeno. Tendo 5h(x, y) = (2x+ y, x) segue

Xh(x, y) = X(x, y) · 5h(x, y) = (y,−bx− ay + εx) · (2x+ y, x)⇔

⇔ Xh(x, y) = 2xy + y2 − bx2 − axy + εx2;

Y h(x, y) = Y (x, y) · 5h(x, y) = (y,−bx− ay − εx) · (2x+ y, x)⇔

⇔ Y h(x, y) = 2xy + y2 − bx2 − axy − εx2.

(I) Para a reta x = 0 com y2 > δ2, isto é, |y| > δ, temos

Xh(x, y) = y2 = Y h(x, y) então Xh(x, y)Y h(x, y) = y4 > 0, pois |y| > δ > 0. Com isso

temos apenas região de costura na reta x = 0, com |y| > δ. Fazendo δ → 0 teremos região

de costura na reta x = 0, para y 6= 0.

(II) Sobre a reta y = −x, com x2 >

(
δ√
2

)2

, isto é, |x| > δ√
2

, temos

Xh(x, y) = − 2x2 + x2 − bx2 + ax2 + εx2 = (−1− b+ a+ ε)x2 ⇔

⇔ Xh(x, y) = −(1 + b− a− ε)x2;

Y h(x, y) = − 2x2 + x2 − bx2 + ax2 − εx2 = (−1− b+ a− ε)x2 ⇔

⇔ Y h(x, y) = −(1 + b− a+ ε)x2.

Como estamos considerando a2 − 4b < 0, logo
(a

2

)2
< b e assim podemos concluir que

1 + b− a > 1 +
(a

2

)2
− a =

(a
2
− 1
)2
≥ 0. Portanto, 1 + b− a > 0 e teremos:

• região de costura:

Xh(x, y)Y h(x, y) > 0⇔ (1 + b− a− ε)(1 + b− a+ ε)x4 > 0⇔

⇔ ((1 + b− a)2 − ε2)x4 > 0⇔ (1 + b− a)2 − ε2 > 0⇔ (1 + b− a)2 > ε2.

53


Como 1 + b − a > 0 teremos região de costura na reta y = −x com |x| > δ√
2

se, e

somente se, 1 + b − a > ε. Fazendo δ → 0 teremos região de costura na reta y = −x

com x 6= 0 se, e somente se, 1 + b− a > ε.

• região de deslize:

Xh(x, y) < 0 e Y h(x, y) > 0⇔ −(1 + b− a− ε)x2 < 0 e − (1 + b− a+ ε)x2 > 0⇔

⇔ 1 + b− a− ε > 0 e 1 + b− a+ ε < 0⇔ 1 + b− a > ε e 1 + b− a < −ε.

Como 1 + b − a > 0, 1 + b − a > ε e 1 + b − a < −ε segue que não teremos região de

deslize na reta y = −x, com |x| > δ√
2

. Fazendo δ → 0 não teremos região de deslize na

reta y = −x com x 6= 0.

• região de escape:

Xh(x, y) > 0 e Y h(x, y) < 0⇔ −(1 + b− a− ε)x2 > 0 e − (1 + b− a+ ε)x2 < 0⇔

⇔ 1 + b− a− ε < 0 e 1 + b− a+ ε > 0⇔ 1 + b− a < ε e 1 + b− a > −ε.

Como 1 + b − a > 0, 1 + b − a < ε e 1 + b − a > −ε teremos região de escape na reta

y = −x, com |x| > δ√
2

se, e somente se, 0 < 1 + b − a < ε. Fazendo δ → 0 teremos

região de escape na reta y = −x com x 6= 0 se, e somente se, 0 < 1 + b− a < ε.

É sempre posśıvel escolher ε suficientemente pequeno de tal maneira que teremos sempre 1 +

b−a > ε, com 0 < ε <
4b− a2

4
nos fornecendo apenas região de costura sobre a reta s = x+y = 0,

para x 6= 0.

Vamos agora investigar o sistema (3.7) em cada uma das regiões Gi, i = 1, 2, 3, 4.

Nas regiões G1 e G3 temos α = −1, assim nestas regiões devemos considerar o sistema (3.9).

Consequentemente, estamos considerando a equação x′′+ax′+(b+ε)x = 0, a qual possui λ2+aλ+

(b+ε) = 0 como equação caracteŕıstica. Resolvendo a equação temos4λ = a2−4b−4ε < 0−4ε < 0,

nos dando ráızes complexas e se, a 6= 0 a origem é um ponto de equiĺıbrio do tipo foco. Se

a > 0 teremos a origem um foco atrator, logo neste caso a origem seria um ponto de equiĺıbrio

assintoticamente estável. Se a < 0 teremos a origem um foco repulsor, logo neste caso a origem

não seria um ponto de equiĺıbrio assintoticamente estável.

Nas regiões G2 e G4 temos α = 1, assim nestas regiões devemos considerar o sistema (3.8).

Consequentemente estamos considerando a equação x′′ + ax′ + (b − ε)x = 0, a qual possui µ2 +

aµ + (b− ε) = 0 como equação caracteŕıstica. Resolvendo a equação temos 4µ = a2 − 4b + 4ε <

54


a2− 4b+ 4b− a2 = 0, nos dando ráızes complexas e, se a 6= 0 a origem é um ponto de equiĺıbrio do

tipo foco. Se a > 0 teremos a origem um foco atrator, logo neste caso a origem seria um ponto de

equiĺıbrio assintoticamente estável. Se a < 0 teremos a origem um foco repulsor, logo neste caso a

origem não seria um ponto de equiĺıbrio assintoticamente estável.

Os pontos das retas x = 0 e s = x+ y = 0 tirando a origem são todos de costura, considerando

a > 0 e a parte imaginária dos autovalores também positivas então o retrato de fase do sistema

(3.7) pode ser visto na Figura 3.11.

Figura 3.12: Retrato de fase do sistema (3.7) quando 1 + b− a > ε.

Vale ressaltar que no caso em que tomamos ε suficientemente grande tal que 0 < 1 + b− a < ε

não teremos estabilidade assintótica da solução zero.

3.3 Campos de vetores próximos à fronteira

Nesta seção discutiremos o comportamento dos campos de vetores suaves em Rn+1 relacionados

a uma variedade de codimensão um (digamos M = h−1(0) na qual foi definida mais acima). A

principal vantagem dessa configuração é que o contato genérico entre um campo de vetores suave

e M muitas vezes pode ser facilmente reconhecida. Como uma aplicação, as singularidades t́ıpicas

de um sistema descont́ınuo podem ser classificadas de uma forma bem simples.

55


Definição 3.3.1. Dizemos que X, Y ∈ χ(n+ 1) são M-equivalentes se existe um homeomorfismo

ψ : Rn+1, 0→ Rn+1, 0 que preserva M e leva órbitas de X em órbitas de Y . Desta forma temos o

conceito de estabilidade M-estrutural em χ(n+ 1).

Definição 3.3.2. Seja X ∈ χ(n + 1) e M = h−1(0) uma variedade , onde h : Rn+1 → R e 0 é

um valor regular de h. Dizemos que um ponto p ∈ Rn+1 é um ponto de equiĺıbrio do tipo dobra se

Xh(p) = 0 e X2h(p) 6= 0.

Figura 3.13: Exemplos de pontos de equiĺıbrio do tipo dobra viśıvel em p e inviśıvel em q.

Definição 3.3.3. Sejam X, Y ∈ χ(n + 1) e M = h−1(0) uma variedade, onde h : Rn+1 → R e 0

é um valor regular de h. Dizemos que um ponto p ∈ Rn+1 é um ponto de equiĺıbrio do tipo dobra

dobra se ele é do tipo dobra para ambos os campos simultaneamente.

Definição 3.3.4. Seja X ∈ χ(n + 1) e M = h−1(0) uma variedade, onde h : Rn+1 → R e 0 é

um valor regular de h. Dizemos que um ponto p ∈ Rn+1 é um ponto de equiĺıbrio do tipo cúspide

se Xh(p) = X2h(p) = 0 e Xh3(p) 6= 0 e {Dh(p), DXh(p), DX2h(p)} é linearmente independente.

Neste caso, dizemos que temos contato cúbico em p.

Definimos Γ0 como sendo o conjunto de elementos X ∈ χ(n+1) satisfazendo uma das seguintes

condições:

(0) Xh(0) 6= 0. Neste caso, X é transversal a M em 0 e 0 é um ponto regular de X, pois se

X(0) = 0, então teŕıamos Xh(0) = 0 e isso seria um absurdo;

(1) Xh(0) = 0 e X2h(0) 6= 0. Neste caso, 0 é um ponto de tangência com contato quadrático

em X e 0 é dito ponto dobra de X;

56


Figura 3.14: Exemplo de um ponto de equiĺıbrio do tipo cúspide.

(2) Xh(0) = X2h(0) = 0, X3h(0) 6= 0 e o conjunto {Dh(0), DXh(0), DX2h(0)} é linearmente

independente. Neste caso, 0 é um ponto de cúspide de X, com contato cúbico em 0 ;

...

(n) Xh(0) = X2h(0) = ... = Xnh(0) = 0, Xn+1h(0) 6= 0 e o conjunto {Dh(0), DXh(0), ..., DXnh(0)}

é linearmente independente e 0 é um ponto regular da aplicação Xh|M .

Definição 3.3.5. Dizemos que 0 é uma M-singularidade de X ∈ χ(n + 1) se h(0) = Xh(0) = 0.

Uma M-singularidade é dita de codimensão zero se X ∈ Γ0.

Definimos τX ⊂ M como sendo o conjunto M -singular de X ∈ χ(n + 1), que é o conjunto

formado pelos pontos M -singulares de X ∈ χ(n + 1) e tal conjunto é representado pela equação

h = Xh = 0, isto é, τX = {p ∈ M ; Xh(p) = 0}. Se p ∈ M e Xh(p) 6= 0 então p e dito um ponto

M -regular de X ∈ χ(n+ 1).

Proposição 3.3.1. Seja X ∈ χ(n+ 1). Se X(0) = 0 então X não pertence a Γ0(n+ 1).

Demonstração.

Por hipóteseX(0) = 0. Suponhamos queX ∈ Γ0(n+1), logo existe n ∈ N tal queXn+1h(0) 6= 0.

Por outro lado Xn+1h(0) = 〈X(0),5Xnh(0)〉 = 〈0,5Xnh(0)〉 = 0, e assim temos um absurdo.

Desta forma, X não pertence a Γ0(n+ 1).

57


Observação 3.3.1. Vishik em [24] exibiu todas as formas normais, isto é, todas as possibilidade

de M -singularidades de codimensão zero e elas são dadas, a menos de equivalência , pelos seguintes

sistemas:

(i) Campo de vetores constante X(x) = (1, ..., 0) e hk(x) = xk+1
1 + x2x

k−1
1 + x3x

k−2
1 + ...+ xk+1,

no qual k = 0, ..., n.

(ii) Campo de vetores com fronteira constante h(x) = x1 e X(x) = (x2, x3, ..., xk, 1, 0, ..., 0).

58


Caṕıtulo 4

Regularização

Uma aproximação do campo de vetores descont́ınuo (3.1), por uma famı́lia a um parâmetro de

campos de vetores cont́ınuos é chamada uma regularização de (3.1).

O processo consiste em considerarmos para cada ε0 > 0 suficientemente pequeno, um campo

de vetores suave Zε, 0 < ε ≤ ε0, tal que:

(i) lim
ε→0

Zε = Z, para todo z ∈ Rn \M ;

(ii) Zε0 é igual a X em todos os pontos de M+ cuja distância até M é maior que ε0;

(iii) Zε0 é igual a Y em todos os pontos de M− cuja distância até M é maior que ε0.

Definição 4.0.6. Uma função ϕ : R→ R de classe C∞ é uma função de transição se ϕ(x) = −1

para x ≤ −1, ϕ(x) = 1 para x ≥ 1 e ϕ′(x) > 0 para x ∈ (−1, 1).

A função de transição é usada para uma média dos campos X e Y e assim obter uma famı́lia

de campos de vetores cont́ınuos que aproximam o campo descont́ınuo.

Definição 4.0.7. Consideremos uma função de transição ϕ : R → R. A ϕ-regularização de um

sistema (3.1) com M = h−1(0), é a famı́lia a um parâmetro Zε de campos de vetores cont́ınuos Cr

dada por

Zε(q) =

(
1

2
+
ϕε(h(q))

2

)
X(q) +

(
1

2
− ϕε(h(q))

2

)
Y (q), com ϕε(x) = ϕ

(x
ε

)
para ε > 0. (4.1)

Definição 4.0.8. Dada uma ϕ-regularização de um sistema (3.1) definimos a zona de regularização

como sendo a zona em torno da região de descontinuidade M , dada por ϕ−1ε (−1, 1).

59


Figura 4.1: Exemplo de um gráfico de uma função de transição.

Figura 4.2: Um sistema descont́ınuo e sua regularização.

Como já foi dito, um ponto no retrato de fase que se move sobre uma órbita de Z cruza M

quando atinge a região Mc, soluções de Z através de pontos de Md permanecem em M em tempos

posteriores e analogamente as soluções de Z por meio de pontos de Me permanecem em M em

tempos anteriores.

De agora em diante, nesta seção vamos estudar o processo de regularização de campos de

vetores definidos em variedades de dimensão 2 , sendo que tais descontinuidades ocorrem sobre

uma subvariedade M de codimensão 1. Consideremos S a esfera S2 em R3 e h : S → R uma função

C∞ tendo 0 como valor regular. Assumiremos M = h−1(0) possuindo apenas uma componente

conexa, de modo que S \M tem duas componentes conexas as quais são dois discos denotados por

60


S+ = h−1(0,+∞) e S− = h−1(−∞, 0).

Vamos impor condições sobre Z = (X, Y ), as quais determinam o retrato de fase de sua

regularização Zε, para qualquer função de transição e ε > 0 .

Consideremos N como sendo uma subvariedade bidimensional de S, com fronteira ∂N = B e

X ′ a restrição de um campo de vetores X em χr, que é o espaço dos campos de vetores Cr sobre

S (r > 1).

Definição 4.0.9. Denotaremos Σr(N) como a classe de todos os campos de vetores X ∈ χr que

satisfazem as seguintes condições:

(i) todos os pontos de equiĺıbrio e órbitas periódicas de X ′ são hiperbólicos e estão contidos no

interior de N ;

(ii) qualquer tangência entre uma trajetória de X e B é quadrática;

(iii) X ′ não tem conexões de sela ou de tangência.

4.1 Considerações no processo de regularização

Como é imposśıvel ter um conhecimento global da dinâmica desses sistemas, nos concentraremos

em explorar o seu comportamento local ao redor de pontos de equiĺıbrio t́ıpicos. A primeira tarefa

é descrever uma teoria local para sistemas descont́ınuos no caso bidimensional.

Consideramos o campo descont́ınuo Z = (X, Y ) no plano R2. Para p = (x, y) ∈ R2, X(p) =

(X1(p), X2(p)), Y (p) = (Y1(p), Y2(p)). Localmente, podemos considerar h−1(0) = M , onde h(p) =

h(x, y) = y que é claramente uma variedade, pois 5h(x, y) = (0, 1) 6= (0, 0) para todo (x, y) ∈ R2.

Sendo assim, o campo de Filippov em um ponto p ∈Md ∪Me tem a seguinte expressão:

ZM(p) = (1− α)X(p) + αY (p)⇔ ZM(p) =

(
1− Xh(p)

(X − Y )h(p)

)
X(p) +

(
Xh(p)

(X − Y )h(p)

)
Y (p)⇔

⇔ ZM(p) =

(
1− X2(p)

X2(p)− Y2(p)

)
X(p) +

(
X2(p)

X2(p)− Y2(p)

)
Y (p)⇔

⇔ ZM(p) =

(
X2(p)− Y2(p)−X2(p)

X2(p)− Y2(p)

)
X(p) +

(
X2(p)

X2(p)− Y2(p)

)
Y (p)⇔

⇔ ZM(p) =

(
−Y2(p)

X2(p)− Y2(p)

)
(X1(p), X2(p)) +

(
X2(p)

X2(p)− Y2(p)

)
(Y1(p), Y2(p))⇔

⇔ ZM(p) =

(
−X1(p)Y2(p) +X2(p)Y1(p)

X2(p)− Y2(p)
,
−X2(p)Y2(p) +X2(p)Y2(p)

X2(p)− Y2(p)

)
.

61


∴ ZM(p) =

(
X1(p)Y2(p)−X2(p)Y1(p)

Y2(p)−X2(p)
, 0

)
, Y2(p)−X2(p) 6= 0. (4.2)

Ressaltamos que se Y2(p) − X2(p) = 0, pela Definição 3.1.10, p é um ponto de equiĺıbrio

deslizante.

A partir da expressão do campo de Filippov em (4.2) faremos as definições de seus pontos de

equiĺıbrio e os pontos onde falham essa definição.

Definição 4.1.1. Um ponto p ∈M é um ponto M-regular de Z = (X, Y ) se alguma das condições

é satisfeita:

(i) Xh(p)Y h(p) > 0, ou seja, p é um ponto de costura;

(ii) Xh(p)Y h(p) < 0 e det[X, Y ](p) = det

 X1(p) X2(p)

Y1(p) Y2(p)

 6= 0, ou seja, p é um ponto de

deslize ou de escape e não é um pseudo-equiĺıbrio.

Definição 4.1.2. Um ponto p ∈ M que não é um ponto M-regular é dito um ponto M-singular

de Z = (X, Y ).

Observação 4.1.1. Pela equação (4.2) teremos p ∈ Md ∪Me pontos de equiĺıbrio do campo de

Filippov quando:

ZM(p) = (0, 0)⇔
(
X1(p)Y2(p)−X2(p)Y1(p)

Y2(p)−X2(p)
, 0

)
= (0, 0)⇔

⇔ X1(p)Y2(p)−X2(p)Y1(p) = 0⇔ det[X, Y ](p) = 0.

Como em M temos y = 0, então o campo ZM é um campo unidimensional. Desta forma

dado um ponto de eqúılibrio q = (x0, 0) de ZM , isto é, det[X, Y ](q) = 0 e Y2(q) − X2(q) 6= 0.

O ponto q será um ponto de equiĺıbrio hiperbólico de ZM se todos os autovalores de JZM(q) =

JZM(x0, 0) tiverem parte real não nula, ou seja, neste caso, levando em conta o fato de o campo

ser unidimensional, devemos ter
∂

∂x
ZM(q) =

∂

∂x
ZM(x0, 0) 6= 0. Assim

ZM(p) =
det[X, Y ](p)

Y2(p)−X2(p)
, p ∈M ⇔

⇔ ∂

∂x
ZM(p) =

∂
∂x

[det[X, Y ](p)] (Y2(p)−X2(p))− det[X, Y ](p) ∂
∂x

[Y2(p)−X2(p)]

[Y2(p)−X2(p)]2
⇔

⇔ ∂

∂x
ZM(q) =

∂
∂x

[det[X, Y ](q)] (Y2(q)−X2(q))− det[X, Y ](q) ∂
∂x

[Y2(q)−X2(q)]

[Y2(q)−X2(q)]2
⇔

⇔ ∂

∂x
ZM(q) =

∂
∂x

[det[X, Y ](q)] (Y2(q)−X2(q))

[Y2(q)−X2(q)]2
⇔ ∂

∂x
ZM(q) =

∂
∂x

[det[X, Y ](q)]

Y2(q)−X2(q)
.

Logo, teremos q um ponto de equiĺıbrio hiperbólico de ZM quando

62


∂

∂x
ZM(q) 6= 0⇔

∂
∂x

[det[X, Y ](q)]

Y2(q)−X2(q)
6= 0⇔ ∂

∂x
[det[X, Y ](q)] 6= 0.

Definição 4.1.3. Dizemos que um ponto de equiĺıbrio p do campo de Filippov, isto é, det[X, Y ](p) =

0 e Y2(q)−X2(q) 6= 0 é hiperbólico se d(det[X, Y ]|M )(p) =
∂

∂x
[det[X, Y ](p)] 6= 0.

Definição 4.1.4. Um ponto p ∈M é dito um ponto M-singular elementar de Z = (X, Y ) se uma

das seguintes condições está satisfeita:

(i) p é um ponto de dobra de Z = (X, Y ), isto é, ou p é um ponto de dobra de Y (Xh(p) 6=

0, Y h(p) = 0, Y 2h(p) 6= 0) ou p é um ponto de dobra de X (Y h(p) 6= 0, Xh(p) = 0, X2h(p) 6=

0);

(ii) Xh(p)Y h(p) < 0, det[X, Y ](p) = 0 mas d(det[X, Y ]|M )(p) 6= 0, isto é p é um ponto de

equiĺıbrio hiperbólico de ZM .

Definição 4.1.5. Seja p um ponto de equiĺıbrio hiperbólico de ZM , dizemos que

(i) p é uma sela de Filippov, ou simplesmente uma sela de ZM , se satisfaz uma das condições:

(i1) p ∈Md e é um ponto de equiĺıbrio repulsor de ZM , ou seja, d(det[X, Y ]|M )(p) > 0;

(i2) p ∈Me e é um ponto de equiĺıbrio atrator de ZM , ou seja, d(det[X, Y ]|M )(p) < 0.

(ii) p é um nó de Filippov, ou simplesmente um nó de ZM , se satisfaz uma das condições:

(i1) p ∈Md e é um ponto de equiĺıbrio atrator de ZM , ou seja, d(det[X, Y ]|M )(p) < 0, neste

caso o nó é dito atrator;

(i2) p ∈Me e é um ponto de equiĺıbrio repulsor de ZM , ou seja, d(det[X, Y ]|M )(p) > 0, neste

caso o nó é dito repulsor.

Lema 4.1.1. Seja p ∈M um ponto M-regular de Z = (X, Y ). Então existe uma vizinhança V de

p em M e ε0 tal que para todo ε ≤ ε0, Zε não possui pontos de equiĺıbrio em V .

Demonstração.

Suponhamos p ∈M um ponto M -regular de Z = (X, Y ), assim temos dois casos a considerar:

63


Figura 4.3: Pontos de equiĺıbrio do tipo sela.

Figura 4.4: Pontos de equiĺıbrio do tipo nó.

(caso 1) p é ponto de costura, ou seja, Xh(p)Y h(p) > 0;

Vamos supor, sem perda de generalidade, que Xh(p) > 0 e Y h(p) > 0. O caso em que

Xh(p) < 0 e Y h(p) < 0 é análogo. Graças as formas normais, dada uma carta local (x, y)

em torno de p, podemos assumir M = {y = 0}, X = (0, 1), Y = (f, g) com g(p) = b > 0 e

h(x, y) = y. Nestas condições, se ϕ é uma função de transição a regularização de Z é dada

por:

Zε(x, y) = ( Z1
ε (x, y), Z2

ε (x, y) ) =

(
1

2
+
ϕε(h(x, y))

2

)
X(x, y) +

(
1

2
− ϕε(h(x, y))

2

)
Y (x, y) =

=

(
1

2
+
ϕε(y)

2

)
(0, 1) +

(
1

2
− ϕε(y)

2

)
(f(x, y), g(x, y)) =

=

( (
1

2
− ϕε(y)

2

)
f(x, y) ,

1

2
+
ϕε(y)

2
+

(
1

2
− ϕε(y)

2

)
g(x, y)

)
=

=
1

2
( (1− ϕε(y)) f(x, y) , 1 + ϕε(y) + (1− ϕε(y)) g(x, y) ) .

64


Mostremos que Z2
ε (x, y) = 1 + ϕε(y) + (1− ϕε(y)) g(x, y) > 0 em uma vizinhança de p:

• se ϕε(y) = ϕ(y
ε
) = −1, então temos Z2

ε (x, y) = 2g(x, y). Pelo Teorema da conservação

do sinal g(x, y) > 0 em uma vizinhança V1 de p, afinal g(p) = b > 0 e assim teremos

Z2
ε (x, y) = 2g(x, y) > 0 em V1;

• se ϕε(y) = ϕ(y
ε
) ∈ (−1, 1), então o que delega o sinal de Z2

ε (x, y) é g(x, y), pois sempre

teremos 1+ϕε(y) > 0 e 1−ϕε(y) > 0 para ϕε(y) ∈ (−1, 1). Pelo Teorema da conservação

do sinal temos g(x, y) > 0 em uma vizinhança V1 de p, pois g(p) = b > 0 e assim teremos

Z2
ε (x, y) > 0 em V1;

• se ϕε(y) = ϕ(y
ε
) = 1, então temos Z2

ε (x, y) = 2 e assim Z2
ε (x, y) > 0 para todo (x, y).

Portanto Zε(x, y) 6= (0, 0) em uma vizinhança V1 de p.

(caso 2) p é um ponto de deslize ou escape, mas não é um pseudo-equiĺıbrio de Z = (X, Y ), ou seja,

Xh(p)Y h(p) < 0 com det[X, Y ](p) 6= 0;

Vamos supor, sem perda de generalidade, que Xh(p) < 0 e Y h(p) > 0.