�������� �� � ��� ��� � � ������ �� ��� �� ������� ���� �������� �� �� �� ��� ��������� ���� �� � ����� ������ �� ����� ���������� �������� � � ������� ��� ���������� ��������� ��� �� �� ! ��������� �� �� �� � � ���� ��������� �� � �� �� � ������� � �� ���� ����� �������� �������� �� ������������� �� ������� �� ��� ���� � �������� ���� �������� �� � ��� ��� � � ������ �� ��� �� ������� ���� �������� �� �� �� ��� ��������� ���� �� � ����� ������ ���������� ����������� � �� ����� �� ������������ �� ���������� ������� � � ������� ��� �� ��������� �� ��!����� � "��� � ��� �� #�$%� ���� &����� � �'� ��� �� ������ �� ���������� ������� � � ������� ��� ���������� ��������( ��� �� )*+, FICHA CATALOGRÁFICA Ramos, Eduardo. R142c Controle Ótimo Aplicado em um Modelo de Câncer / Eduardo Ramos. - Presidente Prudente : [s.n], 2015 98 p. : il. Orientador: Cristiane Nespoli Morelato França Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Ciências e Tecnologia Inclui bibliografia 1. Controle Ótimo. 2. Modelo de câncer com quimioterapia. 3. Regularidade para controles ótimos. I. Ramos, Eduardo. II. França, Cristiane Nespoli Morelato. III. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciências e Tecnologia. IV. Controle Ótimo Aplicado em um Modelo de Câncer. �������� � �� �������� �� � �� ���� �� ������ � �� � ��� ��� �� ��� �� ��� � ������� � �� �� �� �� ����� � �� �� ��� ���� ��� � ������� � ������ �������� �� ����� �� � ��� ������ �� �� ��� �� ��� � ������ � �� � ����������� ��������� !���� � ��� � ����� ������� ���� �"����� �������# �������� �� $� ��� ��� ���%������� ��� �� ��� � ��������� # � ������ �� ������ � ���� � � � ���� �� ��� � � � � ��� ��������� � �� ������� ������ ������ �� �� � ����� �� ������ ���� �� ��� �� �������� � � � ����������� � ������ �� ������ ��� � � ��� �������� � �� � ������������� ��� � � �� �� �� � �� � ����� ��� � � ��� ����� �� � ��� �� ������� � ����� ���� ������� ��� ������ �� �������� �� ��� ��� � ��� ����� �� ���� �� � �� ���� � ��� � ��� ��� �� ��� � ���� ��� ���� ��� ����� �� �������� ������ ��� � ��� � � �� ��� �� ��� � ����� �� �� ���� ��������� �� ��� ���� �� ����� � !���� ��� � � "���#� �� �������� �$ ��� � %����&��� !&���� �� %����' (�� ������)� ��� ��������� � � ���� ��� �� �� � ��������� %�� � #�� ��������� �� ��( � ��� �� � �*���+��� � � ��������� ������ ,���$ ��� � � �� ��� � ��� � � � � #�� � � �)� ������� �� � � �������� �)� �� ��������� -������ %�� .� ����� ��� ����� �� �������� ����� ��� ����� � � � ������ �� � ������ �� ����������� �� �/���� ��� � ������� �� ��� � � "���#� �� ������� � � ���� �� �� � ������������ ���� � �� �� � ������ % � #� �$�� #�0 �������� �� �� �������� �� � ���� �� �� ������ �� �� ���� � �� ��� � �� �������� �� ���� ���� �� ������� ���� ���� ��������� �� �� � �������� �� ��� ��� � ���� �������� �� �� � ��� ������ �� ������� �������� �� ���� �� �� ��� ��� �� ������ �� ����������� �� ������ ��� ���� �� ���� �� ������ ���� ��� ���� �� ���!��� ��� "��������� ����� � "�������� � ��������� ��� ����� ��� ���������� �� � �������� �� � �� ��� ������ �� �#������� ��� ������ ��� ������� $����� �������� ���� ���� �� �� ����� ���� ��� ��������� ��� ������������ �� ������� ��������� %������ �� �� ��� ������ �� ������� ������� �&�!� �������� ��� �� �������� �� � �� �� �� � ��� ���� ������������ ���� ��� ���� �� ������'��� ��� � ������ �� ������������ ������ �� ��� ���������� (����� �) ������� � �� �� � �� � ��� � ���� ���� �������� � ������ �� �� ��� ��� ������ ���������� � ���� � � ������� � �� � � ����� �� �� ��� ��� ����� �� � � ��� ��� �� u(t, ε)� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ����� �� � �� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ��� � �� � �� � ����� ��� ����� �� �� � � � x � y � � �� � �� � � �! ��� ��� � �� � �� � ����� � � ����� �� �� � � � x � y � � �� � �� � �� ��� " �� � ��� �� � c = 0.05 � d = 0.01� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� � #�� � $��� � %� &'��(�� �� � c = 0.05 � d = 0.01� � � � � � � � � � � �� ��� " �� � ���(�� �� � � 0 ≤ u(t) ≤ 1� � ���(�� �� � )��� � � ���� � )��� � � c = 0.05 � d = 0.01� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� � #�� � $��� � � c = 0.05 � d = 0.01� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��* + � � �, -� � c = 0.05 � d = 0.01� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��. � #�� $��� � (x0, y0) = (600, 0.2)� � c = 0.05 � d = 0.01� � � � � � �� ��/ � �� �� $��� � (x0, y0) = (600, 0.2)� � c = 0.05 � d = 0.01� � � � � �� ���! � #�� � $��� � � c = 0.001 � d = 0.28� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ���� ����� �� � ��� ��� �� � 0�� *� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �. / ����� �� �� � �� ��� ������ � �� �� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� ����� �� � �� ��� L1(X, Y )� ������� � ����� �� �������� ��� ���� �� X ⊂ R n � �������� �� Y ⊂ R� Ĉ(X, Y )� ������� ��� ����� ��� ��� �� ��� ���� �� X ⊂ R n � �������� �� Y ⊂ R� f � Cn� ������ f ��� n ����� ������������� ��� f (n) ��� ���� �� ������� �� f � � �� ��� ���� �� ���� �������� U��� !��"�� � ��� ��� ����� ������������ #$ ������� ������ � � � �� � ��� � �� ������� � ��� � �� �� ���� � ��� � �� �� ����� �� ���� ���� � ! �����"� �� # $������!���� #� ��� ����� �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ������� ����������� ���� ������ � ��������� � ������ � � � � � � � � �� � ��! ���� % ��� #� ��� � ��� �� ��� � !������� �� ! ���"�#�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �$ ��� !� ����� �� � ��� �� ��� �� � ��� %�"�� � � � � � � � � � � � � � � � � �& ��� ��� � ����' � !������� �� ! ���"�#�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� & $�� ����� �� ��! ���� % ��� ��!����� �� (�� ������' � !������� � %���� �� ! ���"�#�� � � � � � � � � � � � � � � �& (�� �� ���� �� )�#��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (� (�� �# ���� �� ����������' � � ��� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � *� (�( �+� �,���� �� � ��� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ** (�* � ����' ���� ��� ���� ! �� -���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *$ � '����� �� �(! �� �� ) ���!�*� �� *�� % ����#�� � � � ��� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *& *�� ���� � � !� ����� ���� �� ��� �� � ��� �� ��� � � � � � � � � � � � � � .� *�� �+� �,���� � � ��� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .. + ��! ������ � $����� �� �� ���� �� ��,��-! ��� �� ��-!�� �� � ������� � � ��� ����� � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� ������������ � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � ������� � � ��� ������� � �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� � �������� � ������� � � �� ����� �� ��� ���� �� ���� �� � � ����� � R n � � �� �� �� ��� �������� �� � ���� � � � � ����� � � � � �� �� ��������� �� �������� ������ �� ����� ������ � �� �������� �� � ��� ���� ���� ��� � ����� �� � �!����� �� ����� � � ����� " ��� � �� � �� � � ����� ������� �� ����� �� �� ��� ��� ���� � ������� �� �� ���� � � ���� �� �� ��� #� � ����� " ��� � ����� �� �� �� ��� �� ����� ���� � ������ � � �� � � �������� � �� �� ���������� �� ��� ��� ���� � �" ��� ��� �� ����� ���� � � �� � �� �� �� � �� �� ��� $�� � �� � �� ���� � ���� �� �� ���� % ���� ����� ���� �������� � �� �������� ������ ���� �������� �� � ���������� �� �� �� � ��� ��� ������ �� �� ����� ��������� ���� � ��������� �&����� �� � ���� � ��� �� � ���� ��� �� ' ��(� ��� ��� ����� ��� � �����&� �� ��� � � �� �� �� ����� ��������� ���� � ����� �� ������� �� �� ��� � �� �" ��� ��� � ���� ������� ��� �� ���� � �������� �� �� ���� % ���� $�� � �� ���� � ������ ���� �� � �� � ���� ���� ��! �� $� ���) �� * ������ ���� ��! � �� ��� �� �� � ����� ���� ���� ������ ������� ��� �� �������� � ������� ������� ���� � �� � ��+ ����� ,����� ������ ���� � ��� �� � ����� �� � ����� �� �� ����� ������ ����� ���� � ���� ����� ��� � �� �� ��� ����� �� � � � ���� � � ���� � ������� � �������� ��� � �����&�� $� ���) �� - ������ ���� � ��+ ���� �� � � ��� �� � ���� �� �� ��� ���� �� �� ��������� �� ��! � � �����. • ����� Ω = Ω1 × · · · × Ωm ⊂ R m � D ⊂ R n� ���� ���� � ��� u ∈ L1([0, T ],Ω)� � � �&������ �� ���� �� � ������ �� � ��� �������� �� � x : [a, b] → D� � � �&������ �� � �� �� �� �� �� �� � ��+ ��� ���� /01 �� [a, b] x′(t) = f(x(t), u(t)), x(0) = x0. 2 ������ � �� ��� � �� ���� u� � � ���� �&����� �� ���� �� �� ��� � � ���� + �� T � � �� ������ � � � � J(x, u) = φ(x(T )) + ∫ T 0 L(x(t), u(t)) dt, � �� φ � L ��� � ���� �� R n � R n × Ω� ������ ����� �� ����� R� /��� � +� �� � �� ��� �� �� ���� % ��� u� ������ ���� � �������� � � ���� � ��� �� � ���� ��� � ���� �� � ��� �� ��������� � � �� ��� � �� ���� � �� ���� 34 �� ������ �� �� ����� (x(t), u(t))� � H : D×R n×Ω �� � � ��� H(x, λ, u) = L(x, u)+λf(x, u)� ��� ������� λ : [0, T ]→ R n � � ��� ��� � �������� � ��� �� [0, T ] λ′(t) = −Hx(x(t), λ(t), u(t)), λ(T ) = φx(x(T )) � �� ���� � �� �� �� � H(x(t), λ(t), u(t)) = min v∈Ω H(x(t), λ(t), v) ���� �� [0, T ] � � ���� � ���� ������ ������� �� � ��� L� f � φ � ���� � � � ����� ��� �� � �!��" • L(x, u)� f(x, u) � φx(x, u) ��� � �� ���#���� �� Ω � � � x ∈ D �� �$ • Lx(x, u)� fx(x, u) � φxx(x, u) ����� � � ��� � ��� ��� �� ����� � �� D × Ω� %� �� �� ��� ��� � �� ��!�� � � � ��� �&��� � �� ��' �� (�� �� � � �� ���� � ��� ��� � ����� ��� �� �� � �� �� ������ � ������ ��� ������� ��� L(x, u)� f(x, u) � φx(x, u) ��� � �� �& � � �� u� ��� ����� � �� � ��� �&��� )& ��� � �� ��' �� � ��� ��� � �� ��!��� �� � ��� � �� �� � �� ���� �� ����� ��� � �� � *+,-� .� % �&���� / �� � ��� � �������� � ��� ���� � ��� ������� � � � 0 ���� #���� � ���� �� ������ ������ �� �0� � ��� �&��� � �� ��' �� � � ��� �1���� � ���� ��� � ��� �� �� ���� � ����� �� � � � ���� ���� � ���(��� � ��� 0 �� �0 � � � � ���� �� 2����� �� ����� ��� �� �� ) �� �������� �� ��� ���� �� ��!�� � � ��� �� �� ����� ����� u(t) ��� ������� 3���� �� � � � ������� � � �&����4 � � �(0� ��� � �� �& �� ��� � ����� �� � ��� �� ������� � ����#��� � � � � �� ������ . ����� ��� �� �� �� ���� � ��� ��� ��� �� ���� � ����� �� �� 5���� ������ �� *��- �� ��!�� �� 0��� � 3���� �� � � �� *��- ��� �������4 � ����� �� � � � ���(��� � � �� ������ ������ �� � ��� ��� ��� ��� n = 2� � �� �� 5�2 ����� ������ �� *�6- �� ��!�� �� 0��� � � ����� �� � � � ���(��� � � �� ������ ������ �� � ��� ��� ��� ��� n = 3� 7� 2�������� � ��� � �� ��!�� ��� ����� � � ��� � �� �� � � � ��� ��� � � �� � ��� �� ��� ��� �� � ��� � �� ��!�� �� 0��� � � � ���(��� � � �� ������ ������ �� � ��� ��� ��� ��� n = 4� 8����1 ��� � ��� � � �� ���� � ����� �� � � � ��� � �� �������� ��� ������ � � ���� �� � �� �� �� ����&���� �� ������ ������ ��� � �� ������ � ����� �� �� �� �� � � z(T )� 9��� �������� 0 :��� ��� ������� � � #���� ��#�� �� �� ������ ������� %�� ��� � �(0� �� �������� � � ������ ��� ������ � �� ����&��� �� ����� ����� u(t) � � �� �� �� � ��� � z0 �� 9��� �������� �� � ��� ��� ������ ��� �� :��� ���� �� ��� �� �� � � � ���� ��� � ���� �� ������ �� ���� ��� ��� � ��� �� ������� ��� �����1 � � � �0�� �� ��0����� ��#������ � � �(�� ��� � �� ������ ������� ;� ���� �������� � � �����1 ��� ����� ���������� ���� ��� � �(0� �� ��������� �� � � �� �� ��� � �� z(T ) �� ������ z(t)� 7����� � ��� � �(0� �� ������ � �����< �� ��#����� � � ���(��� � � �� ������ ������ �� � ��� � � ��� �1����� � ��� ��� ���� �� ������ � ��� �� �� �� ��� :��� � � ��� ��� � ����� ��� � �� ������ �� �� � ��� �� ������� � ����� ���� ������ � �����< �� � .� % �&���� 6 ����� � ��� �� �� ��� � �������� �� � �= ��� ��� ��������� �� � ��� � 5��� �� *�>-� ��� �������� � � �� �� �� � ��� �!�� ����� �� �� x′ = μCxF (x)− γxy − kXu � y′ = α− δy + μI(x− βx2)y − kY u, �� ������ �� �� ���� x ����� �� � � ������� � �� ������ ������ �� ���������� ������ � y ����� �� � � ������� � �� ������ ���������� �� � �� � � u ����� �� � ��� ���� � ��� ���� � �� � �� ������ ������ � �� ��������� �� ����� � � � � ������� ��� ������� � �������� �� ��� ���� � ��� ��� ��� � � �� ��������� � �� � J(u) = ax(T )− by(T ) + ∫ T 0 cu(t) + d dt, ��� u ∈ L1([0, T ], [0, 1]) � ��� � ���� ���� (x(t), y(t)) ������� ���� !" ������ # �����$ �� �� � � �� �� ��� ������ �� %��� ��� & ���� ������ � �'� (���� �� �� ��� ���� � ��� u(t) ��)���� � ��� ���� ��� ��� � ���� � � ��������� �� ��� � ������� � ��)�$ �� �� �������� �� %��� ��� &� ���� �� �������� �� ���)���� �� �� *��� +� ��� ���� �� ������� � �� ��� ���� � ��� � ��� �� �� �� ���� ��� � ���� z(T ) � ���� ����� �� � �� �� ��� �� ��� � , ���� �� �� ��)��� �� � �� ��������� ����� �� ���)���� ���� �� �� ��� ����'���� � �� ��� ���� � ��� u(t) � ��� �� �� �� ���� ��� � ������� z(t)� , ��������� �� �� � ������)�� �� � �����-� � � ���� �� ��� ��� .����*��� � � �� �� /01 � � �� ��� ���� ��� �)���� � ������ � ����� ���� ������ � �'� (���� �� �� ��� ���� � ��� ��)���� � ��� ���� ��� ��� � � ����� �� )�������� � � ������ � �� ��� ���� � ��� � �� ���� ��� ����'���� � ���� �� ��� ���� � ��� � ��� �� �� �� ��� � ������� (x0, y0) ����� �� �� ���� �� /01 � ����� ��� � ������� �������� � ���� ��2�� � )�2��� �� �� ������ � �� ��� ���� � ��� �� ��� ����������� �� �� �� ���� ��� �� ��)��� �� � ������� ���� �� �� ������� �� �� ����� �� �'� (���� �� �� ��� ���� � ��� � 3� ��� ����� ������)�� �������� ��� � ��������� �� /01 ���� ������� �� �� �)� ��� ����� ���� �� ��� ���� � ��� �������� �� ������ �� �4����� �� �� � � �� ��� /�51 6+� ���� � � ���7� /&1 � � /81 6 ���� � � ���7 � /01 � /91� 6.����*��� � � ���7� �������� � ����������� ���� ����� � ���� � ��� ����� ��� �������� � � ����� �� ������ �� �������� �� ���� �� ��� ��� ����� �� ���� � � ����� � ����� �� �� � ������������ ∫ f(t) dt �������� � ������� �� ������ �� �������� ���� D ⊂ R n� ���� � ��� f : [a, b] → D � � ������ ����� � ��� ������� ������ ��� �� t1� ���� tm� ��� ��� f �������� � (ti, ti+1) � � �� ��� ������� limt→ti+ f(t) � limt→ti+1 − f(t) ��� �� � ���� ���� 1 ≤ i < m� �� �� �� � ������ � f ∈ Ĉ([a, b], D)� �������� � ���� f : [a, b] → R n� ���� � ��� f(t) ����� ������� ����� � � � ��������� [a, b]� �� � ��� �� g : [a, b] → R n� ���� ���� ��� �� ������ � [a, b]� ��� ��� f(t) = f(a) + ∫ t a g(s) ds ∀t ∈ [a, b]. �� �������� ��� ����� ����� ��� ������ ���� �� ��� ����� ���� ������� �� ������ �� �� ������� !������ " �������� �� #� � �� ���� ������ �� ������$�� �� ������� �� �� % �$��� ������� ��������� ������� � ��������� �� ��� �� ���� �������� �� ������ �� �!� ���� f : [a, b]→ R n � g : [a, b]→ R n ��������� ��� ��� f(t) = f(a) + ∫ t a g(s) ds ∀t ∈ [a, b]. "����� ���� ���� t ∈ [a, b]� �� � ��� f ′(t) ��� �� �� f ′(t) = g(t) ������� � �������� �� �� ���� ����� �� ������ �� �!� f : [a, b] → R n � g : [a, b]→ R n � � ������ ���� ��� ����������� ��� ��� f(t) = f(a) + ∫ t a g(s) ds ∀t ∈ [a, b]. "����� ��� � ����� ���� � [a, b]� �� � ��� f ′(t) ��� �� �� f ′(t) = g(t)� &' �� ������� ��� �� � ������ � �� ��� � � �� ��� ������� ����� �� ����� �������� ���� ��� ���� g : [a, b]→ R ��� ���� � � [a, b]� ��� � � �� �� � �� p � ��� � � g � [a, b]� ����� f(t) = ∫ t a g(s) ds � � ��� � ����� � � � ��� � t � � �� p� � � f ′(p) = g(p)� ������ � � � ���������� ������ � �� ���� �� ��� � � � ���� � �� ���� �� � � �� � ���� g : [a, b]→ R ��� ���� � � [a, b]� � � � �� p � � �� � ����� � g(t) ���� � ���� �� � [a, b]� ����� ������� � �� ���� � � ���� �� ��������� ������� ��� ��������� � �� ���� f : [a, b]→ R n ��� ����!��� f ′(t) ����� ���������� �� [a, b]� "���� ��� ���� f : [a, b]→ R n � ����� ����!��� f ′(t)� ����� ���������� �� [a, b]� � � �� ������� ��� ��������� � �� ����� �������� � � ���� f ′ : [a, b]×R n � � ���� � ����!��� �� f �� t� ����� ���� �#������ ��� � ������ ���� 0� $� ����� � ��� � ��� � �� ���� � �� ���� ��� � �� ��� !��� � � ���� � ���� ���� ��� �� %���� ��� � &� ��� �� ���� '���������� � (����� � � � ������ �� ����) ��� �� ����!��� �� ��� ���� � ��� ��� �������� ��� ��� ���������� �� �� �� � �� � ����� � �� ��������� � �� f : [a, b]→ R n ��� ���� ��� ����� �� � ������ � [a, b]� �� f ′(t) � � � ��� �� ���� � f(t) = f(a) + ∫ t a f ′(s) ds. �� �� ����� ������ ��� � ��� ��� ��� ����� �� � � �#���� � �� *+,- ./�&0���� +123� �� �� ,,��� �� �� ,,�, � �� �� ,4�,5� � *6- .' ������ +111� �� �� ,��+ � �� �� ,�,45� 7 � ��� ���� ��8�� � ����# ���� � ���� ��������� �� �� �� �� ������� � �������� � ��� � ��� �� �9���� �� �� �� �� ������ ����� ���� ������� ����������!���� :� � �� ���� � ��� !��� �� �� �� �� ������ ���� ������� ��� ��������� � �� ����� � �������� � � !�� f : Rn × R m → R� x : [a, b] → R n y : [a, b] → R m ����" � ���� �� x(t) y(t) � !�� ��� � ����� �� ��� � �� t0 ∈ [a, b]� ��� �� fy(x(t0), y(t0)) #����� fx(x, y) #���� ���� � � x y � [a, b] � !� � ������ � � �� (x(t0), y(t0))� $�� f(x(t), y(t)) � ��� � ����� � � � �� t = t0 ��� � � ��� �� ��� �� f ′(x(t0), y(t0)) = fx(x(t0), y(t0))x ′(t0) + fy(x(t0), y(t0))y ′(t0). � �������� ��� D ⊂ R n �� �� � � !�� f : D → R x : [a, b]→ D ����" � ���� �� x(t) � !� ��� ����� �� � ������ � [a, b]� fx(x) #���� � !� � ���� �� �������� � D� $�� f(x(t)) � ��� ����� �� � ������ � [a, b] ��� � � ��� �� ��� �� f ′(x(t)) = fx(x(t))x ′(t). ����� �� � ������ ��� ��� �������� � �������� �� �� ������� ��� �� ��� ������ �� � ����� ���� ���� �� ������ �� �������� ����� ��� � ����� � �� �� ��� �� �������� ������������ ���� ������� ��� ���� ���� � �������� ���� ��������� � �������� ��� x : [a, b]→ D� � D ⊂ R n� ����� ��� x �������� ��� � [a, b] x′(t) = f(t, x(t)), x(τ) = ρ, ��� ! ��"��#�� ��� x(t) $ ��� ���� ���� � ������ � [a, b]� ��� τ ∈ [a, b]� ρ ∈ D � ��� � �"������� �� ����� ����������� ��� � � ��� ����� ����� ���� � [a, b]� %�"��� � &� �� �� � � �� ��� $ ����'������ � ����� ��� x(t) = ρ+ ∫ t τ f(s, x(s)) ds ∀t ∈ [a, b], � τ ∈ [a, b] � ρ ∈ D. ( " � ��������� � � ��� �� � � �� �� ������� ���� ����������� �� ��� � )����'� � ��� � ����� ��� ! � �� ��� ���� � � ����� �� ������� ����� �� '�� ��� ���*�� � '�� ��� � ������ ���� � ��+,� � �� �� �� ���- .��� � ��"����� ��#��� / �������� ���� D ⊂ R n� ���� � ��� f : D → R n ��� ���� � ����� � D ������� ���� ���� y ∈ D� ��� ��� � ������ A ⊂ D� �� y ∈ A � f �� ����� � A� ������� ����� ���� f : [a, b] × D → R n� ���� � ��� f ��� ���� ������������� � [a, b]×D � ������� � x �� �� ���� ���� y ∈ D� ��� ��� � ������ A ⊂ D � M > 0� �� y ∈ A� ��� ��� |f(t, x)− f(t, y)| < M(x− y) ∀t ∈ [a, b] � ∀x, y ∈ A� ) ��"����� �� �� � � � ���� � ��� � �,���0���� � ��� �� � ������ � ��� ��� !� ����� � ����������� ���� � ���� D ������ � R n� ��� f : [a, b] × D → R n � � ������ �� (t, x) ∈ [a, b]× R n� ��� ���� • f(t, x) �� ������ � t ���� ���� x ∈ D ����� • f(t, x) ����� ���� �� ����� � [a, b]×D� !����� ��� �� [c, d] ⊂ [a, b]� τ ∈ (c, d) � x : [c, d]→ D ��� ��" � #$% � [c, d] x′(t) = f(t, x(t)), x(τ) = ρ. � � # � ��"����� �� �� �� � � ���� � ��� � ��������� �� � ������� ����� � � ����������� ���� D ������ �� R n� ��� f : [a, b] × D → R n � � ������ �� (t, x) ∈ [a, b]×D� ��� ���� • f(t, x) �� ������ � t ���� ���� x ∈ D ����� • f(t, x) ����� ���� &�� �'��"���� � [a, b]×D � ������� � x� !����� ���� [c, d] ⊂ [a, b]� �� � ��� �� � ������ x : [c, d]→ D �� #$% � [c, d] x′(t) = f(t, x(t)), x(τ) = ρ, ����� � �� (����� �� ������� ��� �� ���� �� ���� � �� �� ��� �� � � � ������ �� ���� ������� ����� �� � ������ �� � ������ � �� � ������� ��� � !�� �� ��� " #� ���� !��� �� � �� � � � �$% �������� ρ ∈ R n �� �� � ���� �������� ��� &���� � ��$% x '() ������ ' �� � ���% �� �� ���� � ��$% � x(t, ρ)� � ��*�� x ���� � � t � � ��� � � �$% ������� ρ� +� ���$% , � ������ � � � �-� �����.��� � � � x(t, ρ) �� ���$% , � � �$% ������� ρ ��� � �� ��� / �.��� � !�� ���.0� � � �1 � . � � �����2���� #� .�� ����� � ��$3��� ������� � ���� D ������ � R n ���� f : [a, b] × D → R n � � ���� �� (t, x) ∈ [a, b]× R n ��� � �� • f(t, x) � ��� ����� � t ���� ���� x ∈ D ������ • fx(t, x) ������ ���� ���� (t, x) ∈ [a, b]×D � � ����� ���� �� ����� � [a, b]× R n� � ��� � ����� � � ������ � ��� ��� ψ : [a, b]×D → R n �� !"# � [a, b] ψ′(t) = f(t, ψ(t)), ψ(τ) = ρ0. $���� ������ γ > 0 � x : [a, b] × B(ρ0, γ) → R n ����%� � � [a, b] × B(ρ0, γ) �������& '���� � !"# � [a, b] x′(t, ρ) = f(t, x(t, ρ)), x(τ, ρ) = ρ. (�� �� ��� x(t, ρ) ���� ������������� � ������� � ρ � ρ = ρ0 �� dx(t, ρ0) dρ ) ����' *�������� n× n �� x(t, ρ) � ������� � ρ+ �������'���� � !"# � [a, b]( dx(t, ρ0) dρ )′ = fx(t, x(t, ρ0)) dx(t, ρ0) dρ , dx(τ, ρ0) dρ = In. +��� �� ��� � � �� ��� �� � �� ���� �4�56���� ���7� 5��� /����� 8�� �9 � ��� �$% �������������� ���� �� �� ���� - � ��� �1� � � �:� � ;�2� ��� ;� < � �= � � ��#�� 0 ������ ��� ������$% ���� �� ���� ���� ��� � ���� f : [a, b]× R n → R n � � ���� �� (t, x) ∈ [a, b]× R n ��� � �� • f(t, x) � ��� ����� � t ���� ���� x ∈ R n ������ • fx(t, x) ������ ���� ���� (t, x) ∈ [a, b]×D � � ����� ���� �� ����� � [a, b]×D� ���� ���� �� �� ω : (c, d) → R � � ���� �� ε ∈ (c, d) ⊂ R ������������� � ε0 ∈ (c, d) ��� � � ������ � ��� ��� ψ : [a, b]×D → R n �� !"# � [a, b] ψ′(t) = f(t, ψ(t)), ψ(τ) = ω(ε0). $���� ������ δ > 0 � x : [a, b]× B(ε0, δ)→ R n ����%� � � [a, b]× B(ε0, δ) �������& '���� � !"# � [a, b] x′(t, ε) = f(t, x(t, ε)), x(τ, ε) = ω(ε). (�� �� ��� x(t, ε) ���� ������������� � ������� � ε � ε0 ���� ���� t ∈ [a, b] �� dx(t, ε0) dε ����� � ��� ��� �� !"# � [a, b] ( dx(t, ε0) dε )′ = fx(t, x(t, ε0)) dx(t, ε0) dε , dx(τ, ε0) dε = ω′(ε0). �� ������� ��� �� �������� ��� ���� ����� �� � �� ��� ���� � γ > 0 � y : [a, b]×B(ω(eo), γ)→ R n� ��� ��� � � ��� ����� � ��� y(t, ρ) = ρ+ ∫ t a f(s, y(s, ρ)) ds. ����� ����� � � � ��� !�� ��� ����� �� �� ω � ε0� δ > 0 � ��� ε ∈ B(ε0, δ) � !����� � ω(ε) ∈ B(ω(ε0), γ)� �� �� �� "� x : [a, b]× B(ε0, δ) ��#��� !�� x(t, ε) = y(t, ω(ε)). ��� �� !���$"�� x(t, ε) ���% ��� ��� � �� !�� ��� $"� ������ ��� �� ��� x � ��� � x(t, ε) = ω(ε) + ∫ t a f(s, y(s, ω(ε))) ds = ω(ε) + ∫ t a f(s, x(s, ε)) ds. ��� # � �� � y(t, p) & ���������%'�� � ��� $"� ρ � ρ = ω(ε0)� � ���� ��� ���� � � ��� ��� �� � �� ��� x(t, ε) = y(t, ω(ε)) & ���������%'�� � ��� $"� ε � ε = ε0 � �� ��������� � � ��� � dx(t, ε0) dε = dy(t, ω(ε0)) dρ ω′(ε0) = Inω ′(ε0) + ∫ t a fx(s, y(s, ω(ε0))) dy(s, ω(ε0)) dε ω′(ε0) ds = ω′(ε0) + ∫ t a fx(s, x(s, ε0)) dx(s, ε0) dε ds. (��� � �� ��� � $"� �� % �� !�� � )� � �� ��� ��� � �����%��� � �� ��� dx(s, ε0) dε � ��� � � ��� ���� � �� �� ���"� n� � � �����'�� �� � �!� �� ��� $"� ���� � ���% �� � � !�� � � � ���� ������� ����� � ���� D ������ �� R ��� A : [a, b]→Mn(D) � � ����� �� ������� � ������ �� t ����� ���� �� ����� � [a, b]� ����� ��� �� � � ����� ������ W : [a, b]× [a, b]→Mn(D) ���� � ��� � [a, b] dW (t, τ) dt = A(t)W (t, τ), W (τ, τ) = In. ��� �� �� W (t, τ) �� �� �� � ����� ������ �� ��� � [a, b] !�"��� � ������ �� τ# dW (t, τ) dτ = −W (t, τ)A(τ), W (τ, τ) = In. ( ��� W (t, τ) �� & �* � �� ������ ����� ��� �� A(t)� !������ ��� ��+ �� � !�� WA(t, τ)� ,� � �������-��� ��� � ���� � �� � �����%��� ������� ��������� � ���� D ������ �� R ��� A : [a, b]→Mn(D) � � ����� �� ������� � ������ �� t ����� ���� �� ����� � [a, b] ⊂Mn(D)� ����� ���� (τ, ρ) ∈ [a, b] × D ���� ρ ∈ R n � � $���� ������ ��� �� � � ����� ������ x : [a, b]→ D ���� � ��� x′(t) = A(t)x(t), x(τ) = ρ. �� ������� ��� �� �� ����� x(t) � ���� � x(t) = WA(t, τ)ρ. ��� �� ���� ���� (τ, δ) ∈ [a, b]×D� ���� δ ∈ R n � � ���� ������ ������ � � ����� ������� y : [a, b]→ D � � � ��� y′(t) = −y(t)A(t), y(τ) = δ. �� ����� y(t) � ���� � y(t) = δWA(τ, t). ���� ���� �� ��� x(t) �� �� ���� � � ���� ������ �� �� ����� n� �������� y(t) �� �� ���� � � ���� ������ �� �� �� �� ����� n� ���� ����� ��� �� �� �� � �������� ��� ���� �������� �� ���� ��� � ������� �� ��� ���� ��� ��� � ������� ���� ���� � � ����� � � � ��������� � � � ��� ������� �� � !""# $%�&��' ����� ����� � ����� ��(�")� �������� � �������� �� � ��� ������ ��� � � ��������� � ���������� �� ������ � �� �� ����� ��� � ����� ����� ��� ���� �� ����� �� ��� � ����� �� ������� � �� ��� �� �� ��� ��� �� ������� ����� ��� �� ������� � � � � ���� � ���� ����� � �� ���� ����� �� !��� "#$ � %� ��& �� "�'$ (�) ��� ��� � ��� � � ������ �� �� ����� ��� � �� � � ������ � �� * �������� ���� ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ��������� J(x, u) = φ(T, x(T )) + ∫ T t0 L(t, x(t), u(t)) dt � ��� � u ∈ Uad([t0, T ],Ω), Ω ⊂ R m� � � x : [t0, T ]→ D, � � D ⊂ R n, ����������� ��� �� [t0, T ] x′(t) = f(t, x(t), u(t)), x(t0) = xt0 +�� � � �� �� ) � T ���� ��� � ),� �� ��� � ����� -���, �� ��� ����� � ��.� /�� �� � ������� �� �� 01� �� ��� L� f � φ �1� � 02�� �� D × Ω ����� R n� + � 01� u : [t0, T ] → Ω ������� � � �� ����� ��� �� �� �� ����� � + � ������ x : [t0, T ]→ D ������� � �� 3����� �������� �� �� � � �� ����� u� 4� Uad([t0, T ],Ω) � � �� 3� �� �� � 02�� �� [t0, T ] ����� Ω ⊂ R m� ������� � �� � ������02�� � ���� � � ���� �� ����� u� �� � ���� �� ����� � ������� u ���� ����� ���� % � � �� ����� u ∈ Uad([t0, T ],Ω)� �� � �� 3����� � ������� x(t)� ��� � 5 ��� 6� �� � ������02�� �� ������ �� � � � �6 �� � ����� J(x, u)� � �� � � � �� �������� �� � �� ������ � 7��� �� ����� 3� ���� � �� �� 8 �� u(t) = w(t) �� �� ���� � �� � [t0, T ]� � �1� ��� ������ �� �� 3����� x(t) � �� � ����� J(x, u) = J(x, w)� �� ��� ���� �� u(t) � � �� ����� ��� � �� ������ �� � � �1� w(t) � �� � �� � ����5���� � %��� �� ������ � ���� ����� ��� �� �� � �� � � ���5��� �� � � �� ��02�� �� � �� ��02�� � � � �� �� ) � x(T )� %�� �,� ���� ), � x(T ) = w � � ��� w ∈ R n �� �� � ψ(x(T )) = 0� �� �� �� ��� �� � � ��� � 01� ψ : Rn → R s� s ��� �� %�� ����� � ��� � � � �� ����� �� ������ �� ����� � ������ � �� ����� �� ��� �� ���, � �,�� � � �� �� ��� � � �� �� ��� �� 1� �� ���� 9��� �� ������ ��� ����� ���� % � �� ��: �� � ���� ��� �� ���* "�'$ -%� ��& �� � ���#� ;��� ��<.� "�=$ ->���1�� #==�� � �� <. � "��$ -;�8 ������ #=�#� ;��� #�#.� ?�� �� �� � ��� � �� �� ����1� ��@ � �� %����� A�� �� ����� � � ����: �� � #B �� ������� ���� �� �������� ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ��������� J(x, u) = φ(x(T )) + ∫ T 0 L(x(t), u(t)) dt � � T ���� ������ � u ∈ L1([0, T ],Ω), Ω = Ω1 × · · · × Ωm ⊂ R m � � x : [a, b]→ D, ���� D ⊂ R n ����������� ��� �� �� �� x′(t) = f(x(t), u(t)), x(0) = x0 ���� �� ��� ���� Ωi ⊂ R, ��� i = 1 ... m ����������� �� ��������������� �� i������ ���������� �� �������� u� � �������� T ���� �������� � � � ����������� ����� ���� ������� ���� ���� T > 0� � L1(A,B) ���� A ⊂ R � B ⊂ R n ������ � ��� ��� ��� ! ��"�� f : A→ B #�$��� � ������ ���� �� A� %� ������� �� �� �� ������� ��������� ���� ���$���� ��� �������"�� �� �������� �� !���� u ∈ Ĉ([0, T ],Ω) �� ����� �� u ∈ L1([0, T ],Ω)� &� ��� � ���� ���� ��������� �� � ��� � ������ ��������� �� � � �� ���� ��� � ��� ��� ��� ���'������ ��� ������ (���� �� �)���*���� ����������� ��� ���� ���������� +��� ��!��*����� ����� ��� ��� ��� ,-. /0���1���2� 3445 &��� 3��6 ,34. /7�� ���� 34�- 8��� 356� � ��� �� ������������ � ��������� �� +����1���� ���� � +��$���� 3 � � �� ���������� �� �������� ������ ��� ���� � � � �������� u �� � 9����� :��� ��������� ������� � �� ��� ���� ����������� ������"�� ���� ������������ ��� ��������� 9������ ������ � ��� ������ � ��� � D ����� �� R n � Ω ⊂ R m � ����� ����� ����� �� ������� L : D × Ω→ R f : D × Ω→ R n � φ : D → R ���� ��! • L(x, u) � f(x, u) ����� ������"���� �� Ω ���� ���� x ∈ D# • Lx(x, u) fx(x, u) � φxx(x) �$����� � ����� �� ����� �������� �� ���� � �%�� �& '�� �(� ����� �� (x, u) ���� �� �%��� � �� � ��� ) � �� � ����* H : D× R n× Ω→ R ������ ��+���� � � H(x, λ, u) = L(x, u) + λf(x, u). ,$���� ���* ��� ����* λ : Rn → R �� �� - ��������� ��� �� [0, T ] λ′(t) = −Hx(x(t), λ(t), u(t)), λ(T ) = φx(x(T )) � � � ����* �� ������ ����� H(x(t), λ(t), u(t)) = min v∈Ω H(x(t), λ(t), v) &�& �� [0, T ]. .���� �� ����� H(x(t), λ(t), u(t)) = 0 &�& �� [0, T ], � � �/�� ���� /�������� ���� t ���� � ���� H(x(t), λ(t), u(t)) = min v∈Ω H(x(t), λ(t), v)& %� ������� ����� ��������� � ��� ��� A ��� ������ t ∈ [0, T ] ���� � � H(x(t), λ(t), u(t)) �= min v∈Ω H(x(t), λ(t), v) � H(x(t), λ(t), v) ������ � ������ w �� Ω� +��� ������� ����� ����� � � A ��� ������ � ��� ;������� ����� � ���� �������� u∗ : [0, T ]→ Ω � ������ �� u(t) ������� u∗(t) = { u(t), ���� t ∈ Ac w, ���� t ∈ A ���� w ∈ Ω �������� H(x(t), λ(t), v). �� ������� ���� �� ������ u∗(t) = u(t) � �� �� � ����� �� [0, T ]� � H(x(t), λ(t), u∗(t)) = min v∈Ω H(x(t), λ(t), v) � ���� t � � � � H(x(t), λ(t), v) ���� � ������ w ∈ Ω� ���� ��� � �� � �� u(t) �� � � � �� H(x(t), λ(t), u) ��� ������ �� u� ����� ��� ���� � ����� � � ������ w ∈ Ω� �� ���� � � � �� H(x(t), λ(t), u(t)) = min v∈Ω H(x(t), λ(t), v) = 0 ∀t ∈ [0, T ]. ��� ���� � ��� ��� ��� � �� � �� H(x(t), λ(t), u) ��� ������ �� u� � ���� ��� ��� � � �� ����� ���� ���� ����� u(t) � � ���� � ��������� � ! ������� ��� ���� ����� �� � � �� ��� ��"� � ����� �� ��� � � ���� ��� �� ����� � � � ��� ����� � � ������ ��� � �� ��� � ��� � #$ � ���� �� � �������� � ������� ���� �� ����� ����� %��� T ��� � � ����� &� � ��� �' ���� ���� � ����� � "� � �������� ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ��������� J(x, u) = xn(T ) � � ���� � ��� �� � u ∈ L1[0, T ],Ω), Ω = Ω1 × Ωm ⊂ R m� � � x : [a, b]→ D, ���� D ⊂ R n� �������� �� ��� � ��� � x′(t) = f(x(s), u(s)), x(0) = x0. ���� � xn �� ����� n()��� ��� ��� � �� x� ����� � � xn � ��)� ���� ���� �� � �� ��� ��"� ���� � �� *+, ��� � ������� � � ���� * ����� ) ��� � � � �� ������&�� �� * ����� -� +� ���� �� ��� � ��)� � �� ��� � ��������� �� �� * ����� � "� � . /� � ���� � ����� � "� � �� * ����� - ���� �� ����� ���� � "� � �� * ����� �� � ��� � ����� � * ������� �� *��� / ��� � � * ����� �� ������ � ��� ������ � ��� � D �� �� � R n Ω ⊂ R m � ����� � � �� f : D×Ω→ R n ��� �� � • f(x, u) � ����!� � � Ω ���� ���� x ∈ D� • fx(x, u) "���� � �� � ���� �� �������� � D × Ω# $�� �%� ����� �� (x, u) � �� �� �&��� � �� �� �� ' �� � ���() H : D× R n× Ω→ R �� �� � *���� � � H(x, λ, u) = λf(x, u). +"��� ��) ��� ���() λ : [0, T ]→ R n ��� �� ������ �� ��� � [0, T ] λ′(t) = −Hx(x(t), λ(t), u(t)), λ(T ) = (0, 0, · · · , 0, 1) � � ���() � ����������� H(x(t), λ(t), u(t)) = min v∈Ω H(x(t), λ(t), v) �#�# � [0, T ]. ,���� ���� �� � H(x(t), λ(t), u(t)) = 0 �#�# �[0, T ], � � �-������ -�������� ���� t� ����� � �� � H(x(t), λ(t), u(t)) = min v∈Ω H(x(t), λ(t), v)# �� ������� ���� �� ���� ��� � �� ��� ��� ����� ��� ��������� �� ��� �� ��� ��� � �� � � � ������ �� �� �� ���� � ���� � ���������� � ���� ��� ���� � � ����� �! ���� � � ������� � ���� ��� �� �� ������� �� ����� ��� �� "� ����� �#��� ���� � �� �� �� � $ ������ % �� � � �� �� ���� ! "��� x� f � L � φ ��� ��&���� � ��������� �� ��� ��� �� ��� ��� � g∗(x(t), u(t)) = L(x(t), u(t)) + φx(x(t))f(x(t), u(t)), y∗(t) = φ(x0) + ∫ T 0 g∗(x(t), u(t)) dt � ��'��! g = (f1, ..., fn, g ∗)� y = (x1, ..., xn, y ∗) � y0 = (x0, φ(x0))� ( ��� ���� ��'���)� ���� �� � � ���� ��� y ��� ��& � $*� y(t)′ = g(y(t), u(t)), y(0) = y0. +��%, ���� ���� �� �� ��'������ g(y(t), u(t)) ��� ������� �������� �� � �- �� y∗� � J(x, u) = φ(x(T )) + ∫ T 0 L(x(t), u(t)) = φ(x(0)) + ∫ T 0 φ′(x(t)) dt+ ∫ T 0 L(x(t), u(t)) dt = φ(x0) + ∫ T 0 (L(x(t), u(t)) + φx(x(T ))f(x(t), u(t))) dt = φ(x0) + ∫ T 0 g∗(x(t), u(t)) dt = y(T ). .� �#�� ������ � �� ������ (x, u) �� $ ������ % �� � ����� � ������ � �� ��/ ���� (y, u) �� $ ������ 0 +� ������ �� �� �� ���� ,� ��� y : [a, b]→ D×R ��� ��&���� � $*� +��%,� ( ��� ������ ������ � ��� ��� 1 � � �� �� � � ������� �� ���� ���� ���� W : (D × R) × R n × Ω → R ��'���� �� W (y, μ, u) = μg(y, u) �� ��� ��� �2� �� μ : R→ R n+1 ��� ��&���� � $*� μ′(t) = −Wx(y(t), μ(t), u), μ(T ) = (0, 0, · · · , 0, 1) +��0, � � �������� �� ������������ W (y(t), μ(t), u(t)) = min v∈Ω W (y(t), μ(t), v) ���� �� [0, T ], +���, �� � �� ��� W (y(t), μ(t), u(t)) = 0 ���� �� [0, T ]. $ � � ��� �3� � � �������� �� ������������ �� 4������������ ��� "� ������� +��0, �3�� ��� μn+1(t) ��� ��& � $*� �� [0, T ] μ′ n+1(t) = Hy∗(y(t), μ(t), u(t)), μ(t0) = 1. "� ���� ���� ���� Hy∗(y(t), μ(t), u(t)) = μgy∗(y(t), u(t)) = 0 +��� g(y, u) ��� ��/ ����� �� y∗, ���� ��� μ′ n+1(t) ��� ��& � $*� �� [0, T ] μ′ n+1(t) = 0, μ(t0) = 1. �� ������� ���� �� �� ���� μn+1(t) = 1 + ∫ T 0 0 dt = 1 ∀t ∈ [0, T ] ��� �� �� �� ρ = (μ1, μ2, ..., μn) ���� W (y(t), μ(t), u(t)) = μ(t)g(y(t), u(t)) = μn+1(t)g ∗(x(t), u(t)) + ρ(t)f(x(t), u(t)) = L(x(t), u(t)) + φx(x(t))f(x(t), u(t)) + ρ(t)f(x(t), u(t)) = L(x(t), u(t)) + (φx(x(t)) + ρ(t))f(x(t), u(t)). ����� λ(t) = φx(x(t))+ρ(t) � ���� H(x, λ, u) = L(x, u)+λf(x, u) � � � �������� ����� ���� ��� H(x(t), λ(t), u(t)) = W (y(t), μ(t), u(t)), �� �� �� ��� ����� ����������� �� �� �� ��� H(x(t), λ(t), u(t)) = min v∈Ω H(x(t), λ(t), v) � � �� [0, T ] � ��� H(x(t), λ(t), u(t)) = 0 � � �� [0, T ], � � ��������� ��������� ���� t ����� � ���� H(x(t), λ(t), u(t)) = min v∈Ω H(x(t), λ(t), v) � � ������� � � �� �� !�� � "#$ �����%��� � � λ(t) ���� �� gx(x(t), λ(t), u(t)) = (fx(x(t), u(t)), g ∗ x(x(t), λ(t), u(t))) � �� �����&� �� ρ ��� � ��� ρ �����%�' ρ′(t) = −μ(t)gx(x(t), λ(t), u(t)) = −g∗x(x(t), u(t))− ρ(t)fx(x(t), u(t)) = −Lx(x(t), u(t))− φxx(x(t))f(x(t), u(t))− φx(x(t))fx(x(t), u(t))− ρ(t)fx(x(t), u(t)), � ρ(T ) = 0 �(� � ���� � � φxx(x) �)���� � ( � �������� ������� � � *��+���� � x(t) ( �,- � ��������� � ������ �� [0, T ] ����� �� .���� �� /����� �"� � ��&� 0� ��� φx(x(t)) ( �,� ��������� � ������ �� [0, T ] � � φ′ x(x(t)) = φxx(x(t))x ′(t) = φxx(x(t))f(x(t), u(t)). ���� �� λ(t) = φx(x(t)) + ρ(t) ��� � ��� λ(t) ���,(� ( �,� ��������� � ������ � λ′(t) = φ′ x(x(t)) + ρ′(t) = φxx(x(t))f(x(t), u(t)) + · · · ...− Lx(x(t), u(t))− φxx(x(t))f(x(t), u(t))− φx(x(t))fx(x(t), u(t))− ρ(t)fx(x(t), u(t)) = −Lx(x(t), u(t))− (φx(x(t)) + ρ(t))fx(x(t), u(t)) = −Lx(x(t), u(t))− λ(t)fx(x(t), u(t)), � � λ(T ) = ρ(T ) + φx(x(T )) = φx(x(T )) � ���� ��� � ��� λ(T ) �� %�� �����%�' "#$ λ′(T ) = −Hx(x(t), λ(t), u(t)), λ(T ) = φx(x(T )), � � ������� � �� !�� �� ������� ���� �� ��� ������ �� � �� � ������� �� ��� ����� ���� � � � � � ������� �� ���� � �������� ���� � ����� � �� � ������ � �� � �� ���� ������ � ����� � � �� ������� �� ������ � ����� � �� � �� !��� �� � �� �" ���� �������� ��� � � � ������� ������# � $ ������% • ��� �� &�' � �� � � ��� ������ � �� ������ u(t, ε) � ������ � u(t)� • ��� �� ( !��� �� ��)�� �� ������� � �� � �!��� ������ �� ���*������� x(t, ε) �������� � ��� ��� �� ������ u(t, ε)� • ��� �� +����,� �� �� �� ������ u(t, ε) ���� � !���� �� ������� �� ��� ������ � ����� �� ������� � � � ��� � � � J(u)� • ��� �� -���� �� �� ������� � �� � ��� � � � .� ���� �� �� ��� �� /�*� '0� �� v ∈ Ω ��� ��� � τ � �� �� ������� � f(x(t), u(t)) � [0, T ]� &�' � �� � �� ����� u(t, ε) ���� t � [0, T ] �� � �� � � !� ��� � � ��� u(t, ε) = ⎧⎪⎨ ⎪⎩ u(t) ���� t ∈ [0, τ − ε] v ���� t ∈ (τ − ε, τ) u(t) ���� t ∈ [τ, T ]. ��� �� ������� � ������� � �� � � 1����� ���� u(t) tτ τ + ε u(t, ε) u 1����� ���% (��������� � �� ������� � u(t, ε)� 2��� ��� ��� ���� �' ����� u(t, 0) = u(t)� ����� ������� �� ��� ���� ε �� �� � � )���� ��� �0�����# � � ���*������ x(t, ε)� �' � � � ��)�� *� �� � D × Ω� ������� � �� �� ����� u(t, ε)� ��� ��� ���� x(t, ε) ��*� ������� � -3( � [0, T ] x(t, ε) = x0 + ∫ t 0 f(x(s, ε), u(s, ε)) ds. 4��56 �� ������� ���� �� ���� ���� ���� ������ �� � ����� ���� �� δ > 0� x1 : [τ−ε, τ ]×[0, δ] � x2 : [τ, T ]×[0, δ]� ������������� ���������� ����� �� ���� x1(t, ε) = x(τ − ε) + ∫ t τ−ε f(x1(s, ε), v) ds � x2(t, ε) = x1(τ, ε) + ∫ t τ f(x2(s, ε), u(s)) ds. ���� � ���� ������ ���� x1 � x2� �������� x : [0, T ]× [0, δ] �� � x(t, ε) = ⎧⎪⎨ ⎪⎩ x(t) ���� t ∈ [0, τ − ε] x1(t, ε) ���� t ∈ (τ − ε, τ) x2(t, ε) ���� t ∈ [τ, T ], ����� �� ��� ���� ������ � ��� ������ �� u(t, ε)� !"� x(t, ε) �������� � PV I ���#� � [0, T ]� $������� �� � ����� ���� �� ���� x1 � x2 � ��%"��� $������� �� �� & � � ��%"��� !"� x(t, ε)� ���� �������� ���' ���������'��� � ����� � � ε � ε = 0 � ����"���� �� �"� ��������� ����� � �� � ��� � � � � ���� � �� � ���� �� x1(t, ε) � � (���� ����� )� � �� f∗ : [0, T ] × D → R n ������� ��� f ∗(t, x) = f(x, v) ����� !"� f ∗ ���' � �"�� � �� t� �� & ��������� � ����� � � ������ *�%"� !"� f ∗ & ���"�'��� � t �� ��� f ∗ ��� ����+�"� � ����� � � x � � � �������� �� t� ��%"� �� & !"� & ����� ���� �� ����� � [0, T ]× R n� )� �� ��� �� ���� )���� � ,� !"� ������ δ0 > 0 � ψ1 : [τ − δ0, τ + δ0]→ D ���"� � �� ��� � [τ − δ0, τ + δ0] ψ1(t) = x(τ) + ∫ t τ f ∗(s, ψ1(t)) ds = x(τ) + ∫ t τ f(ψ(s), v) ds. ���� � �� ���� ω1(ε) = x(τ− ε)� ���� �� ��� � ������� � )���� � �� � �������� !"� ������ 0 < δ1 < δ0 � y : [τ − δ0, τ + δ0]× [−δ1, δ1] → D� ����+�"� � (t, ε) � ���������'��� � ����� � � ε � ε = 0� ������������ � ��� � [τ − δ0, τ + δ0] y(t, ε) = ω1(ε) + ∫ t τ f(y(s, ε), v) ds = x(τ − ε) + ∫ t τ f(y(s, ε), v) ds. �%��� ���� ������ �� x1 : [τ − δ1, τ ] × [0, δ1] → D �� � x1(t, ε) = y(t + ε, ε)� ���� ���� (t, ε) ∈ [τ − δ1, τ ]× [0, δ1] � ��%"�� ���� ����� � �� "����� �� ����'���� �� ����%��� �� -� ��%"�� !"� x1(t, ε) ��������� � [τ − δ1, τ ] x1(t, ε) = x(τ − ε) + ∫ t+ε τ f(y(s, ε), v) ds = x(τ − ε) + ∫ t τ−ε f(y(r + ε, ε), v) ds = x(τ − ε) + ∫ t τ−ε f(x1(r, ε), v) dr. ." ��/�� x1 �������� � ��� � [τ − δ1]× [−δ1, δ1] x1(t, ε) = x(τ − ε) + ∫ t τ−ε f(x1(s, ε), v) ds, �� ������� ���� �� ���� ��� ���� ���� ���� ������������� �� ���� �� y(t, ε) �� ���� ��� �� ������ � (t, ε) ∈ [τ − δ0, τ + δ0] × [−δ1, δ1] ������ �� ����������� ��� f(y(t, ε), v) � ������ �������� �� ������ � (t, ε) ������ ���� � ���� � ��� ��� ����������� �� � ����� �� � !���� �� �� "������� #��� ��� $%� �� y(t, ε) = x(τ − ε) + ∫ t τ f(y(s, ε), v) ds ����� ��� y(t, ε) � ���� ���� &�� �� ������ � t �� [τ − δ0, τ + δ0]× [−δ1, δ1] ��� �� �&��� dy(t, ε) dt = f(y(t, ε), v) ���� ��� �� [τ − δ0, τ + δ0]× [−δ1, δ1] '� ��������� ����� ��� dy(τ, 0) dt = f(y(τ, 0), v) = f(x(τ), v). ����� ������� ���� �� �� ��� ( ��� y(t, ε) � ���� ���� &�� �� ������ � ε �� ε = 0� ��� � �������� ������� dy(t, 0) dε = ω′(0) = −x′(τ) = −f(x(τ), u(τ)). ������ ���� )�� � �� ������ #� �������� $% ����� ��� x1(τ, ε) = y(τ + ε, ε) � ���� ��* �� &�� �� ������ � ε �� ε = 0 ��� ∂x1(τ, 0) ∂ε = dy(τ, 0) dt + dy(τ, 0) dε = f(x(τ), v)− f(x(τ), u(τ)). �% ������ �� � ����� ������ � � � x2(t, ε) ��� '+���,���� -��� ���� �� ��.������ x(t) �������/ � �0! �� [τ, T ] x(t) = x(τ) + ∫ t τ f(x(s), u(s)) ds = x1(τ, 0) + ∫ t τ f(x(s), u(s)) ds. "���� ���� ��� ��� 1� ������� ω2(ε) = x1(τ, ε) �� [0, δ1]� ����� ��� �+���� 0 < δ2 < δ1 � x2 : [τ, T ]× [0, δ2]→ D �������/���� � �0! �� [τ, T ] x2(t, ε) = ω2(ε) + ∫ t τ f(x2(s, ε), u(s)) ds = x1(τ, ε) + ∫ t τ f(x2(s, ε), u(s)) ds. ���� ���� ������������� ���� �������� �� &� ��� ω2(ε) = x1(τ, ε) � ���� ���� &�� �� ε = 0 ����� �� �� �� �� (� ��� x2(t, ε) �������/ � �0! �� [τ, T ] ∂x2(t, 0) ∂ε = ω′ 2(0) + ∫ T τ fx(x2(s, 0), u(s)) ∂x2(s, 0) ∂ε ds = f(x(τ), v)− f(x(τ), u(τ)) + ∫ T τ fx(x(s), u(s)) ∂x2(s, 0) ∂ε ds. 2���� ����� ���� �� �� �� � ���� ������� W (t, τ) ���� � ������� �� �0! �� [0, T ] W ′(t, τ) = fx(x(t), u(t))W (t, τ), W (0, τ) = In. �� ������� ���� �� ������ � � � �� ∂x2(T, 0) ∂ε = W (T, τ)(f(x(τ), v)− f(x(τ), u(τ))), � ����� �� ������� � �� �� ��� � �� � ���� δ = δ2 � �� �� ���� x(t, ε) : [0, T ] × [0, δ] � � � ����� � ����� �������� �� ����� ∂x(T, ε) ∂ε ∣∣∣∣ ε=0+ = ∂x2(T, 0) ∂ε = W (T, τ)(f(x(τ), v)− f(x(τ), u(τ))). ����� ����� � � ���� � � ����� λ(τ) = (W (t, τ))n = enW (t, τ)� �� (A)n ������ � n !���� "��#� � ��� ��� �� ���� en = (0, · · · , 0, 1) �n �� ������ ������ � � � $ " % "& � � �� λ′(t) = −λ(t)fx(x(t), u(t)), λ(T ) = en. '� � (�� λ′(t) = −Hx(x(t), u(t)), λ(T ) = (0, · · · , 0, 1). ) � � � �� � �� � $ u � �*��� � J(x, u) = xn(T )� � � � �� J(x, u, ε) ≥ J(x, u)⇔ xn(T, ε) ≥ xn(T ) = xn(T, 0). � ��� � ��� � "��� � ε� � � � �� ε = 0 ! �� $ �� � �*��� �� ����� xn(T, ε) ∂xn(T, ε) ∂ε ∣∣∣∣ ε=0+ ≥ 0. % � x(T, ε) = x2(T, ε)� $ "� ����� ���� ��� � � ���� � (Wfx(T, τ)(f(x(τ), v)− f(x(τ), u(τ)))n ≥ 0 ⇔ (Wfx(T, τ))nf(x(τ), u(τ)) ≤ (Wfx(T, τ))nf(x(τ), v) ⇔ λ(τ)f(x(τ), u(τ)) ≤ λ(τ)(f(x(τ), v) ⇔ H(x(τ), λ(τ), u(τ)) ≤ H(x(τ), λ(τ), v). ������ $ " ��� � � � � �� "#�� v ∈ Ω ���"�� � � + � � � H(x(τ), λ(τ), u(τ)) = min v∈Ω H(x(τ), λ(τ), v). , ��� � � �� "# � � τ ∈ [0, T ] ��" �� τ �� � (� $ �� ��"� � [0, T ]� $ " - �� . � �� �� H(x(t), λ(t), u(t)) = min v∈Ω H(x(t), λ(t), v) ���� � [0, T ]. ����� � ) �� � �� � � �� �� � �� � $� � � �� " /��� (x(t), u(t)) � , 0" �� 1 λ(t) � ���� ������ � � � H(x(t), λ(t), u(t)) = 0 ���� � [0, T ]. ,� � � � �� � +�� � � �� �� $ 0" �� � � �� " /��� ����"�� � �� �+!� � � �� � �� " /��� (x(t), u(t)) � , 0" �� 1� � ���� �� � �� � � ��� � �� ������� ���� �� �������� ⎧⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩ ��������� J((y, τ), (v, α)) = yn(T̂ ) ���� T̂ � ��� �� ����� �� (v, α) ∈ L2([0, T̂ ],Ω× [0.5, 1.5])), Ω = Ω1 × · · · × Ωm, (y(s), τ(s))′ = (f(y(s), v(s))α(s), α(s)), (y(0), τ(0)) = (x0, 0). ������ (v, α)� v ∈ Ω� α ∈ [0.5, 1.5] � �� � � � ��� ������ (y, τ) � ���� ���� � ����� ���� �� ��� � � � ��� ��� � � � �� (v∗(s), α∗) = (u(s), 1) �� [0, T ]� � � ���� ���� � ����� ���� � (y∗(s), τ ∗(s)) = (x(s), s) �� [0, T ] ����� �� � � � �� � �� ���� �� ����� �� � ���� � � � � � �� (v(s), α(s)) �� [0, T̂ ] � � ���� ���� � ����� ���� � (y(s), τ(s)) �� [0, T̂ ]� � � ��� τ(s) ��� ���� � � !��� �� �� ���� � ������� � � � " ��#�� !#�� �� R� �" ��� � ������� ��� (x, u) ������ � � w(t) = v(τ−1(t)) � z(t) = y(τ−1(t)) ∀t ∈ [0, T̂ ]. � � τ ��� ��#�� !#��� �� � ��� y(s) = z(τ(s)) � v(s) = w(τ(s)) ���� � t ∈ [0, T ]� �� ��� � ���� �� ������� �� #���$#�� �� �� �"��� �� � ��� z(t) = y(τ−1(t)) = y(0) + ∫ τ−1(t) 0 f(y(s), v(s))α(s) ds = x0 + ∫ τ−1(t) 0 f(z(τ(s)), w(τ(s))τ ′(s) ds = x0 + ∫ t 0 f(z(s), w(s)) ds. % " � � � �� w(t)� � � ��� ���� τ(T̂ )� � ������ �� � � � �� ������!#�� � � �� �� ����� &� � � ���� ���� � ����� ���� � z(t)� '�� u(t) � � � (��� ���� �� � � � �� � �� � � �� �� ����� &� � � ���� ���� � ����� ���� � x(t)� ������ xn(T ) = J(x, u) ≤ J(z, w) = zn(τ(T̂ )). )� ����� y∗n(T ) ≤ yn(T̂ )� �� ��� � � � �� (v∗, α∗) = (u, 1)� � � ���� ���� (x, s)� �� �� �� � � � �� � �� � �� ����� �� *�� � � ���� ��� ��� �$ �� #�� � �� ��� � ������ ��� W ((y, τ), (ρ, μ), (v, α)) = (ρ, μ) · (f(y, v)α, α), ��#� �+�� �� ρ : Rn → R � μ : R→ R �� ����,��� μ′(s) = −Wτ ((x(s), s), (ρ(s), μ(s)), (u(s), 1)) = 0, μ(s) = 0 � ρ′(s) = −Wy((x(s), s), (ρ(s), μ(s)), (u(s), 1)) = −fx(x(s), u(s)), ρ(T ) = (0, · · · , 0, 1), �� ��� ��"�� ��� μ(s) = 0 �� ��� �� ���� -� ρ(s) = λ(s) ∀s ∈ [0, T ]� *�#�� � �� ��� � � � ���� �� ������������ W ((x(s), s), (ρ(s), μ(s)), (u(s), 1)) = min α∈[0.5,1.5] W ((x(s), s), (ρ(s), μ(s)), (u(s), α)) ���� �� [0, T ] ⇔ λ(t)f(x(s), u(s)) ≤ αλ(s)f(x(s), u(s)) ���� �� [0, T ], α ∈ [0.5, 1.5]. '��� � � α ∈ [0.5, 1.5]� �� ��#� �������� �� H(λ(s), x(s), u(s)) = λ(s)f(x(s), u(s)) = 0 ���� �� [0, T ], �� ������� ���� �� ���� ��� ���� �� ��� ���������� ���� �� � ����� p ∈ [0, T ]� ��� � H(x(p), λ(p), u(p)) = min v∈Ω H(x(p), λ(p), v), � � ������ ��� H(x(p), λ(p), u(p)) = 0 ��� ������� �� ���� �� ��� H(x(p), λ(p), u(p)) < 0 �� ������������ �� ������ H(x(t), λ(t), u(p)) �� ������ � t� ������ ���� ����� ����� �� ������ ��� ������ δ > 0 ��� ���� t ∈ (p− ε, p+ ε) �������� �� H(x(t), λ(t), u(p)) < 0. �� ������ ���� ������������ ����� �� ������� �� u(t) � ���� �������� ����� �� ! ������� �� H(x(t), λ(t), u(t)) "��� �������� �� � ��� #� ���� �� ���� �� ����� �� τ ∈ (p− δ, p+ δ) ��� ��� H(x(τ), y(τ), u(τ)) = min v∈Ω H(x(τ), y(τ), v) = 0 > H(x(τ), λ(τ), u(p)), �� ���� �� ���� ������� �� ���� �� ��� H(x(p), λ(p), u(p)) > 0 $������ θ = (x, λ) ∈ D × R n� ����� ��� Hθ(x, λ, v) ������ � % ���������� �������� �� D × R n × Ω� ���� fx(x, u) % ���������� �������� �� D × Ω �� ���&���� '����� ���� A = {(x(t), λ(t)) | t ∈ [0, T ]}� ��� % �������� ���� ������������ �� (x(t), λ(t))� ����� ���� � �������� ( "'�)����� '# ��� Hθ(x, λ, v) % �������� �� �������� A× Ω ����� ����� ���� ��� ��� �� ���� �%���� ��� H(x, λ, v) % *�������+���� �� ������ � (x(t), λ(t)) �� A× Ω ��� ��� ��������� M '�� �� �� ������������� ���� ε/M > 0 ������ δ > 0 ��� ���� �� |t− p| < δ ����� |(x(t), λ(t))− (x(p), λ(p))| < ε M . *���� ���� �������� �� �� *�������+���� ��� �������� M � ����� ��� |t−p| < δ ������� �� |H(x(t), λ(t), u(t))−H(x(p), λ(p), u(t))| < M |(x(t), λ(t))− (x(p), λ(p))| < ε, ������� ����� ε = H(p), λ(p), u(p)) � �������� ���� �������� ����� �� �������� ����� τ ∈ (p− δ, p+ δ) ��� ��� H(x(τ), λ(τ), u(τ)) = 0� �� ���� ����� ��� |H(x(p), λ(p), u(τ))| < H(p), λ(p), u(p)) ⇒ H(x(p), λ(p), u(τ)) < H(x(p), λ(p), u(p)), ���� �� ��� � ���&���� �� ������������ �� H(x(p), λ(p), u(p)) �� ������ �� "�# � "��#� ����� ��� H(x(p), λ(p), u(p)) = 0� � ��� �������� � � ��� �������� � �������� � ��� ���� � ��� ������� ����� ������� � � ���� � ��� �� � ��� �� � ��� ��� � � �������� ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ��������� J(z, u) = φ(z(T )) + ∫ T 0 (L+Ku(t)) dt � � T ���� ������ � u ∈ L1([0, T ], [0, 1]) � z : [a, b]→ D, ���� D ⊂ R n, ����������� ��� �� �� �� z′ = f(z) + g(z)u, z(0) = z0. ��� � � ����� ��� D � ����� f g � φ �! �� � ���� C3 �� D � L � K �! � ��������" ��� ����� �� � ��������� � ������ � ������ ��� ������� �� ��� �� ��� �� � ��� u ∈ L1([0, T ], [0, 1]) �� � ��� �� �� �� �� � ��� �� ���� � � ������ ����� � ��� �� �� ����� �� ������ � �� ! � �� "� �� � #�� ��� ��� ������ � � ���$��� �� %$���� � ��� &���� �� � � ��� �� u(t)� ' � ����� � ��� H : D × R n × [0, 1]→ R ���� �� H(z, λ, u) = (L+Ku) + λ(f(z) + g(z)u), � ( ��� � λ : R2 → R� �� �� � #�� �� ��� � �� �� ��)� z′(t) = f(z(t)) + g(z(t))u(t), z(0) = z0, λ′(t) = λ(fz(z(t)) + gz(z(t))u(t)), λ(T ) = (a,−b), � ������*� � ����������� H(z(t), λ(t), u(t)) = min v∈[0,1] H(z(t), λ(t), v) = 0. +��,- .�� �� �� �� H(z, λ, u) = L+Ku+ λ(f(z) + g(z)u) = L+ λf(z) + (K + λg(z))u, �� � #�� H(z, λ, u) / ��� � � u� .����� � �� ���� Ψ(t) = K + g(z(t))� ��� �� � ������*� +��,- � ����������� �� 0���� ������ � u � ���� � u(t) = { 0, ���� Ψ(t) > 0, 1, ���� Ψ(t) < 0. 12 �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� ����� � ��� �� ������ � Ψ(t) > 0 � Ψ(t) < 0 �� ����� ���� ��� [t1, t2] ⊂ [0, T ]� ���� �� �� � ���� ���� ���������� u(t) = 0 � u(t) = 1 �� [t1, t2]� ��� � �� ��� � Ψ(t) = 0 �� ����� ���� ��� [t1, t2]� �� �� ��� � � ���� ���� u(t) ������ � ���� ����� �� ������������� �� �� �� u(t) �� ��� ��� � � ����� �� �������� � � ���� � � � ���� �� z(t) � ���� ��� [t1, t2] � ������ �� ��� ���� � � � ����� ! � � ���� � ����� � � ����� " � ������� ���� � ���� ���� ��� �� �� � ���������� ���� h : D → R ��� ��� � h(z) �� ����� C1 �� z� ��� �� Φ(t) = λ(t)h(z(t)) � ������������� ������� �� [0, T ]� �� Φ′(t) = λ(t)[f + gu(t), h](z(t)), ���� [P,Q](z) = Qz(z)P (z)− Pz(z)Q(z) � ��� ���� � ������ �� � � � �� � � ����������� #� � � ���������� �$� ����� ��� �� u(λ, z) = λh(z)� !����� � h(z) � ����� C1 �� z� ��� � ��� u(λ, z) �� " �� ����� C1 �� (λ, z)� ����� � ��� ���� (λ(t), z(t)) �$� ��������� ������� ������ ���� # � ���� %� ��� Φ(t) = u(λ(t), z(t)) ���$�� �� "� #� � � ���� �� ���� � $���� � �� � �� ���$�� ���� # � ���� %� ��� h(z(t)) � �$� & ��������� ������ �� ��� ��� � ���� �� � �� ����� ��� h′(z(t)) = hz(z(t))z ′(t) = hz(z(t))(f(z(t)) + g(z(t))u(t)). ����� � �� �� �� � ��� Φ′(t) = λ(t)h′(z(t)) + λ′(t)h(z(t)) = λ(t)hz(z(t))(f(z(t)) + g(z(t))u(t))− (fz(z(t)) + gz(z(t))u(t))h(z(t)) = λ(t)[f + gu(t), h](z(t)), � ��� ��� �� !��� ��� ���� ������� � � �� � $����� ��� � ��� Ψ(t) �� " �$� ��������� �& ����� �� [0, T ] � Ψ′(t) = λ(t)([f + gu(t), g](z(t)) = λ(t)[f, g](z(t)). ' �� ���$�� ��� Ψ′(t) � ������� �� ���� ��� (� ��� ) *# ���� (� ��� +��& �������� � �"� �� �� � ,���� �� �� -�$�����.� Ψ(t) �� " ���� �� �"��� �� [0, T ]� � �� ����� ������ �� [0, T ]� !����� ���$�� ���� # � ���� /� ��� � ��� Ψ′(t) = λ(t)[f, h](z(t)) � �$� ��������� ������ �� [0, T ]� � Ψ′′(t) = λ(t)([f + gu(t), [f, g]](z(t)) = λ(t)([f, [f, g]](z(t)) + u(t)[g, [f, g]](z(t))). '���� ������ � ��0�� �� � � ����� Ψ′′ : Rn × R m × [0, 1] � Ψ′′(z, λ, u) = λ[f + gu, [f, g]](z) = λ([f, [f, g]](z) + u[g, [f, g]](z)), � ����� Ψ′′′ : Rn × R m × [0, 1] � Ψ′′′(z, λ, u) = λ[f + gu, [f + gu, [f, g]]](z), �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� � ����� �� �������� �� �� � � � Ψ′′(t) � Ψ′′(z, λ, u) ��� � ����� ��� �� ��� ������ �� �������� � ����� ������� Ψ′′� ������ ���� � �� ���� � ��� u(t) �� ���� ���� z(t)� ���� ���� Ψ′′(t, u) = Ψ(z(t), λ(t), u) ���� ��� u ∈ [0, T ]� �� � ���� ���� � � Ψ′′(t) = Ψ′′(t, u) ������� � ����� ������ ���� !��������� "� ��# � ���$� � �� ��� u ���� ��� �� � �� (t1, t2)� �� �� Ψ′′(t) ���% ������� �%��� �� (t1, t2)� �� Ψ′′′(t) = λ(t)([f + gu, [f + gu, [f, g]](z(t)) = Ψ′′′(z(t), λ(t), u). &��� ��'������ ��� ����� ( ��� �� ���)��� ������ * ������ � ��# �� ��� ��� � �� ��� �� �� �� �� +� ���� � �� ���� u(t) �� � � Ψ(t) = 0 �� � �� ������ [t1, t2]� �� % �� ���� � ��'���� ��� � �� ������� � ����� �� � ��� � � �� ������ � ��� ���������� ������� �� u(t) �� �� ������ ����� �� ����� �� �� ��� �� Ψ′(t) = 0 � �� ��� ����� [t1, t2] ⊂ [0, T ]� ��� z(t1) λ(t1) ��� z(t2) λ(t2) �� � ��� � � ���� ���� � ������� ����� �� λ(t)[g, [f, g]](z(t)) �= 0 � [t1, t2]� ����� �� � u∗ : [0, T ]→ [0, 1]� ��� �� u∗(t) = u(t) ��� ���� �� � [0, T ]� u∗ � �� C1 � [t1, t2] u∗(t) = −λ(t)[f, [f, g]](z(t)) λ(t)[g, [f, g]](z(t)) � [t1, t2], ��� z(t) λ(t) ��� ��� �� �� � � ������� � [t1, t2] � �� �!" � [t1, t2]{ z′(t) = Hλ(z(t), λ(t), S(z(t), λ(t))), z(t1) = z(t1) λ′(t) = −Hx(z(t), λ(t), S(z(t), λ(t))), λ(t1) = λ(t1), �� S : D × R n → R � #���� ��� S(z, λ) = −λ[f, [f, g]](z) λ[g, [f, g]](z) . ��� �������� ,��� � ����� Ψ(t) = 0 �� � �� ������ [t1, t2] � Ψ(t) $ ������� �%��� �� [t1, t2]� ��# � � � Ψ ′(t) = 0 ���$� �� [t1, t2]� �� ���� Ψ ′′(t) = 0 � ��� �� ���� � �� [t1, t2] ���� Ψ ′(t) $ ����� ���� � �� �� �� ������ ���� � � λ(t)([f, [f, g]](z(t)) + u(t)[g, [f, g]](z(t))) = 0 �� � �� [t1, t2], � � �� ���� -��� ��� �� ����� [g, [f, g]](z(t))) �= 0 �� [t1, t2] ����� � �� u(t) = −λ(t)[f, [f, g]](z(t)) λ(t)[g, [f, g]](z(t)) = S(z(t), λ(t)) �� � �� [t1, t2]. &������ �� �� u∗(t) = S(z(t), λ(t)) � ���� � � u∗(t) = u(t) � ��� �� ���� � �� (t1, t2)� ,��� u(t) = S(z(t), λ(t)) � ��� �� ���� � �� [t1, t2] ������� � �� � �� u(t) ��� S(λ(t), z(t)) ��� !./� � �� ���� !��� ���� �� !�� �0�#��� z(t) � λ(t) �� ��������� z′(t) = Hλ(z(t), λ(t), S(z(t), λ(t))), z(t1) = z(t1) � λ′(t) = −Hx(z(t), λ(t), S(z(t), λ(t))), λ(t1) = λ(t1). 1��23 �#���� ����� ��� -��� ��� λ(t)[g, [f, g]](z(t)) �= 0 �� [0, T ]� �� ��� ���� ��� t ∈ [t1, t2] �)�� � � ���� � Ut ⊂ D × R n� �� (z(t), λ) ∈ Ut� �� � � λ[g, [f, g]](z) �= 0 ���� ��� �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� (z, λ) ∈ Ut� ����� � ���� � � ��� U = ⋃ t∈[t1,t2] Ut� � ��� �� (z(t), λ(t)) ∈ U ∀t ∈ [t1, t2]� �� λ(z)[g, [f, g]](z) �= 0 ���� �� � z ∈ U � � � � λ[g, [f, g]](z) λ[g, [f, g]](z) ����� C1 � U � ����� λ[g, [f, g]](z) �= 0 � U � ��� ���� �� S(z, λ) � ��� �� ����� C1 � U � �� � ��� ����������� Hλ(z, λ, S(z, λ)) −Hx(z, λ, S(z, λ)) ��� �� ��� ����� C1 � U � ��� ��� ������� �� ���� � ��� ���� ����� � ��� �� (z(t), λ(t)) ∈ U ���� �� � t ∈ [t1, t2]� !����� ���� Hλ(z, λ, S(z, λ)) −Hx(z, λ, S(z, λ)) ��� ����� C1 � U � � �� � �� �� "� � ��� �� z(t) ��# ������ �� � ����� � � �� ��� ���� � !����� u∗(t) = S(z(t), λ(t)) ��� �� ��# ������ �� � ����� �� � � �� �������� � S(z(t), λ(t))� � $� �� u∗(t) � ��� �� ����%���� &� '���� �� � �� ��� �� � ����� � ��� ��(� ���� ��� � ��� �� ���� u(t) �����)��� �� (��*� � � � � �� �� �� ����� ��� u(t) = u∗(t) � (t0, t1)� �������� ������� � � u(t) � ��� ���� ��� ��� �� �������� � � ����� ��� ���� ���� t0 = 0� t1� ���� tn = T � ��� t0 < t1 < · · · < tn� �� � �� ���� ���� 0 ≤ i < n� ������ �� ��� ��� ��������� � ��� ��� Ψ(t) > 0 ���� ��� t ∈ (ti, ti+1) Ψ(t) < 0 ���� ��� t ∈ (ti, ti+1) Ψ(t) = 0 ���� ��� t ∈ (ti, ti+1) ���� ���� ���� ����� ���� !��� ������ Ψ(t) = 0 �� (ti, ti+1)� ��"���� ��� � � � λ(t)[g, [f, g]](z(t)) �= 0 �� (ti, ti+1) + �� � (ii) ����� � ������� �� ��� ���� �� �������� �����,�� � ���������� � ���� �� ���� � ������ �� ������� � ���$���� �� ��� ������ � ��� � �� � &�� ���%���� � ����- � �������� � � �� �� ./� �� ����� �,�� ��� ��$� � ��0�� &�� ���� ���� � ��� ��� ���� � $����� � ���� ��� � ��� ������� � *����� ��� �� �� � �� � ��� � ��������� ������ ����� �� ��� ��(�� &� ���������� ��� ��� ��� ���� � $����� � � �� ��� ������ ������ �������� ���'�� � 1.23 ��� ��- � $ ������� ����� ��� � � 1.23 ��� 0 ���� � $����� � ���� ��� � ��� ������� � *����� ��� �� � ��� �� ���� n = 2� ������� ��(���� � ���'�� � 1."3 ��� ��- � $ ������� � $����� � ���� ��� � ��� ������� � *����� ��� �� � ��� �� ���� n = 3� ! ��� ���� � � ��� ��(���� � � 1."3 � � ����� �� � �(�� ������� *���� u(t) � �(� ��� ���� �*��� z(t) ������ � ��� �� ����� ���$���� ��%���� �4 ������ 2 � &��� ��� ���� ��� ��� � )#��� ' �������� ���� �� ���� n = 2� �� � �� ��� ���� $����� ' ����#5 �� ��� 0 ���� �� �� �� ��� � ��� � �� 6��%���� "� 7# � ��� ���� � $����� � � � � �� � �� �� ./ � ' �������� ���� )#��� ���� �� ���� n = 2� �� � �� ���� $����� �����#5�� ��� 0 ���� �� �� �� ��� � � �� 6��%���� "� � �� ����'� ����� ��� ���� � � � ��� � ������'� � �� �� ��� ��- � � �� ��� ��(���� � 1."3� ��� ������ �� ���� � ��� $ ������� ���� n = 4� � �� � �� � ������ �� � ����� � ��� � ����� ���� ��� #� � � ������� 8������ ��� ����� �� �� �� �� � � ��'�� �������� 1.23 ��(���� � 1."3 '�� ���� �� ���� ��� �� ��� ��� ��#��� � $����� � ���(� ���� �� ����� ���� ��� � ��� �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� ������� ��� � � � ������� ���� � �� � ���� ������ ��� �� � � ����� � ������� ���� �������� ������� ���� �� � ��� ������ ���� � ����� � � ������� ��� � ! �� "�� �� ��� ��� ������ "��� �� ���� "�� � �� "��� � � #�������� �� $� �$�� ��� ��� � %$�� ��� ����� ���� ��� � #�������� "�� �����&��� ����� �� ���� '� ������ � ��#���� � � ��� ��(� � � ������� ��� �� ��� ����� �� �(� � � )��� � �� ���� � * �� � �+ �� �� � �� ��#� � � ����� �������� ������� � � p ∈ D � ���� ��� ���� �� � ������ � � ���� ������ λ ∈ R m ��� � � H(p, λ, 0) = 0, � Ψ(p, λ) = Ψ′(p, λ) = 0. �������� � ������� � � � ����� ���� �� p ∈ D � ���� ��� ���� ������� �� � ������ � ���� Ψ′′(p, λ, 0) = 0 � Ψ′′(p, λ, 1) = 0. ���� � ����� ���� �� � ����� z ��������� � � ���� � �� ���� �Ψ′′(p, λ, 0) = 0�� ���� �� ���� � ���� ��� ���� ������� �� �� �� � � ���� ��������� � ��� ��� �Ψ′′(p, λ, 1) = 0�� ���� �� ���� � ���� ��� ���� ������� �� �� �� �! �������� � ������� � ����� ���� �� p � ���� ��� ���� �� ��������� �� � �" ����� � ���� Ψ′′′(p, λ, 1) Ψ′′(p, λ, 1)2 = Ψ′′′(p, λ, 0) Ψ′′(p, λ, 0)2 . ������� �� #�$� � ���� ��� %���� u(t) ��� � �$��% �� z(t) ��� � �& ��� z(0) � z(T ) ��� ��� ������ ���� �� ��! ���� '��� ����� z(τ) � � ��$� ���� �� � ����� � � �� � ����� �������� λ(τ)[g, [f, g]](z(τ)) < 0; ����� (��) � ����� ���� �� � ����� p = z(τ) �������� Ψ′′′(p, λ, u) = 0, ���� u = 0 � u = 1 �� � p ����� ���� �� � ����� �� *� � +� ����� �������,������- .���� u(t) �� �� �� � ���� � �� ������ � �� �� ��� �� [0, T ]! !����� � ���,���� �� � ���� ������ � -���� �� * �� � �+ ���� ������ � �� � . � �� � � #��� �� ��& $� u(t) ��� "�& � ������(� (ii) � � #�������� ������� �� ���� � ���� ��� %���� u(t)� � ���)� � � Ψ(t) = 0 �� � ���� ,��� [t1, t2] ⊂ [0, T ]� ����� λ(t)[g, [f, g]](z(t)) �= 0 ∀t ∈ [t1, t2]. �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� �������� ��� �� ����� � Ψ(t) = 0 � [t1, t2] �� �� � � Ψ ′(t) � [t1, t2] � Ψ ′′(t) = 0 � [t1, t2]� ��� � ���� � �� ���� ���������� �� λ(t)[f, [f, g]](z(t)) + u(t)λ(t)[g, [f, g]](z(t)) = 0 ���� � [t1, t2]. ����� � ������ ��� ��� � �� � � λ(t)[g, [f, g]](z(t)) = 0 � ��� ����� ���� � [t1, t2]� ����� ��� ���� � � λ(τ)[g, [f, g]](z(τ)) = 0 � λ(τ)[f, [f, g]](z(τ))+u(τ)λ(τ)[g, [f, g]](z(τ)) = 0 ���� ��� τ ∈ [t1, t2]� ���� � �������� � Ψ′′(τ, 0) = λ(τ)[f, [f, g]](z(τ)) = 0� � �� � p = z(τ) ����� ����� ���� ��� �������� ��� � ��� �� �� ���� ��� (i) � ���� � !"� ���� ���� � �������� � � λ(τ)[g, [f, g]](z(τ)) < 0� � �� � ����� �� � ��� � �� ���� λ(t)[g, [f, g]](z(t)) �= 0 ���� � [t1, t2] ����� �� � τ ∈ [t1, t2]� ��� � � λ(τ)[g, [f, g]](z(τ)) �= 0� ��� ������ � � �� ��� � � � λ(τ)[g, [f, g]](z(τ)) �= 0 � [τ − δ, τ + δ] ���� ��� δ > 0� ���� � �� �# ��� ������ � � �� �$���� τ1 > t1 ��� � � λ(τ)[g, [f, g]](z(τ)) �= 0 � (τ1, τ1 + δ] � λ(τ1)[g, [f, g]](z(τ1)) = 0� � λ(τ)[g, [f, g]](z(τ)) �= 0 � [t1, τ1 + δ]� � ����� ��� ��� ��� � �� � ��� ���� ����� ���� ���� � ��� �� Ψ(τ1) = Ψ′(τ1) = 0 � λ(τ1)[g, [f, g]](z(τ1))� ��� �� � �� ��� Ψ′(τ1, 0) = λ(τ1)[f, [f, g]](z(τ1)) = 0� ���� ���� �����%��� � ��� (ii) � ���&���� � ��' �� � !" ����� ������ ������ � ���� � � � λ(t)[g, [f, g]](z(t)) �= 0 � (τ1, τ1 + δ)� ��� � ���� ���������� � � � u(t) = −λ(t)[f, [f, g]](z(t)) λ(t)[g, [f, g]](z(t)) ��� � [τ1, τ1 + δ]. ���� � �$���� � ��� (���� sn ∈ (τ1, τ1 + δ)� ��� � � sn → τ1 � u(sn) = −λ(sn)[f, [f, g]](z(sn)) λ(sn)[g, [f, g]](z(sn)) ∈ [0, 1]. ����� � � limn→∞ λ(sn)[g, [f, g]](z(sn)) = λ(τ1)[g, [f, g]](z(τ1)) = 0 ��� � � �) Ψ′(τ1, 0) = λ(τ1)[f, [f, g]](z(τ1)) = lim n→∞ λ(sn)[f, [f, g]](z(sn)) = lim n→∞ λ(sn)[g, [f, g]](z(sn)) λ(sn)[f, [f, g]](z(sn)) λ(tn)[g, [f, g]](z(sn)) = 0 ���� z(τ1) # ����� ������� ���� ���� *���� ���� ��� (ii) � ���� � !" �+���� ������� λ(τ1)[g, [f, g]](z(τ1)) < 0� ,���� �� ����� � ��� � �� *��� λ(t)[g, [f, g]](z(t)) �= 0 � [t1, τ + δ]� ���+�'�� ������� ���� � � λ(t)[g, [f, g]](z(t)) �= 0 � [τδ, t2]� ���� � λ(t)[g, [f, g]](z(t)) �= 0 � [t1, t2] � ��� ��� ��� - �������� ���� ����� �� �������% � ���+�� � ��� ���� (i) � ��� ���� � � ���� u(t)� ���� ���� . � �� ��� �� �� ����� � � � �������� ��� ���� ������%��� � / � �� � ���� ����� �������� &�� � u(t)� ������� � �� � ��� ���� � *���� ��',������ � � �� � ��� �������� � � 0!12 3���������� /"!/� ,��� ��1�!4� ��� �$� ���� ����� �� ����������������� ���� � ������ ��� � u(t)� ������� �� Ψ(t) = 0� � ��� ��� � [t0, t1] ⊂ [0, T ]� �� 0 < u(t) < 1� ���� � ��� �� [t0, t1]� ���� λ(t)[g, [f, g]](z(t)) ≤ 0 ∀t ∈ [t0, t1]. �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� � ����� � � ����� ��� ������ ������� �� ����� ��� � �� ������ ����� � �� ������������� �������� ���� p ∈ (0, T ] ������ �� p � �� ���� �� ��� � ������� �� � ��� �� δ ��� ��� • Ψ(t) > 0 ���� ���� t ∈ (τ, τ + δ] �� • Ψ(t) < 0 ���� ���� t ∈ (τ, τ + δ] �� • Ψ(t) = 0 ���� ���� t ∈ (τ, τ + δ]� ������� ������������ �� p ���� �� ��� � �������� ���� p ∈ [0, T )� � ��� ���� � ����� ����� �� � � � �� ��� � ���� �� ������ � !������ "�� �� � � �� p = z(τ) ��� � ����� ������� ����� p � ����� � ������� � � � ������ �� ���������� #��$����� �%��� &�� p � �� %���� ��%�� ' �������� ���� ������� %��$�� &�� p ��%�� ' � &������ (� Ψ(τ) > 0 �� Ψ(τ) < 0� ��� �� ���� Ψ(t) � ����)���� � ������� � $��������� ����������� �� ����� � �� %���� ��%�� � ���� %����� �%�� &�� Ψ(τ) = 0� #�� p � � �� %���� ������� ���� ��� � &�� Ψ′(τ) �= 0� (�%��*��� &�� �+� � �� � �� Ψ′(τ) > 0� #�� ������������� ���� &�� �,� �� δ > 0 ��� &�� Ψ′(t) > 0 ∀t ∈ [τ − δ, τ ]� -� � �� &��� ��.�� &�� Ψ(t) � � ���������� ��� ����� �� [τ − δ, τ ]� �� ����� �� Ψ(τ) = 0� ���� &�� Ψ(t) < 0 ∀t ∈ [τ − δ, τ)� ����� p � �� %���� ��%�� ' �������� ������������� %��$�/ � &�� p � �� %���� ��%�� ' ������� %��� �� � �� &�� Ψ′(τ) > 0� � ��� p � �� %���� ��%�� ' ������� � �����.��� � ����� ��� �� �� � � �� p = z(τ) � �� ����� ������� ����� � ������� �� ����� � � ����� ����� Ψ′′(τ, 0) ≥ 0 �� Ψ′′(τ, 1) ≤ 0. �� ���������� #��$����� � ������� �%��� %��� p ��%�� ' ������� %�� � �� � ' � &����� � ���������� �������� #��� *�%0�� � �� ��������� � ����� � �� %���� ��%�� ' ������� ���� &�� �,� �� δ ��� &��1 • Ψ(t) > 0 %��� ���� t ∈ (τ, τ + δ] �� • Ψ(t) < 0 %��� ���� t ∈ (τ, τ + δ] �� • Ψ(t) = 0 %��� ���� t ∈ (τ, τ + δ]� ��� (�%��*��� � %������� �� � �Ψ(t) > 0 %��� ���� t ∈ (τ, τ + δ] � (�%��*� %�� �� ���� &�� Ψ′′(τ) < 0� � ��� %�� ������������� �,� �� 0 < δ1 < δ ��� &�� Ψ′′(t) > 0 %��� ���� t ∈ [τ, τ + δ1] �� ���� Ψ′(t) � � ���������� ����� ����� �� [τ, τ + δ1]� 2��� Ψ′(τ) = 0� � �� ��%���� &�� Ψ′(t) < 0 �� (τ, τ + δ1]� #�������� Ψ(t) � � ���������� ����� ����� �� [τ, τ + δ1]� � &��� ��� Ψ(τ) = 0� ��%���� &�� Ψ(t) < 0 �� (τ, τ + δ1]� �� �� ���� ��� � *�%0�� �� ���� Ψ′′(τ) = Ψ′′(τ, 0) ≥ 0. � � �� � � �� ��� 3����� �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� � ����� ��� Ψ(t) < 0 ���� � t ∈ (τ, τ + δ]� � ���� � � ������ � ��� ���� ����� ��� � Ψ′′(τ) = Ψ′′(τ, 1). ���� ��� ���� �� � � ��� ������� ��� Ψ(t) = 0 ���� � t ∈ (τ, τ + δ]�� ��� � ������ ������ ���� ���� sn ∈ (τ, τ + δ] � � sn → τ ��� ��� Ψ′′(sn, 0) = 0 ���� � n ∈ N � Ψ′′(sn, 1) = 0 ���� � n ∈ N ���! � � � � ������ � �� ���"�� � ��� Ψ′′(τ, 0) = 0 � Ψ′′(τ, 1) = 0� � � � � ���� ������� �����#����� $���� # ���� � �� � ��� � ��� �! �%����� ���� ���� ������ � ��&�� �%���� ����� δ1 > 0 ��� ��� Ψ′′(t, 0) �= 0 � Ψ′′(t, 1) �= 0 ���� � t ∈ (τ, τ + δ1]� '����� λ(t)[f, [f, g]](z(t)) �= 0 ∀t ∈ (τ, τ + δ1] � λ(t)[f, [f, g]](z(t)) + λ(t)[g, [f, g]](z(t)) �= 0 ∀t ∈ (τ, τ + δ1]. ( � � u(t) = −λ(t)[f, [f, g]](z(t)) λ(t)[g, [f, g]](z(t)) ∈ (0, 1) ���� �� (τ, τ + δ1) $���� # ���� � �� � ������� )� ���� *+ (���� ��,������� � �������� (τ, τ+δ1)� ���� λ(t)[g, [f, g]](z(t)) ≤ 0 ∀t ∈ (τ, τ + δ). - � ��� �� � � Ψ(t) = 0 �� (τ, τ + δ1)� ��� � ��� Ψ′′(t) = λ(t)[f, [f, g]](z(t)) + u(t)λ(t)[g, [f, g]](z(t)) = 0 ⇔ λ(t)[f, [f, g]](z(t)) = −u(t)λ(t)[g, [f, g]](z(t)) ���� �� (τ, τ + δ1). .��! � � −u(t) ≤ 0 � λ(t)[g, [f, g]](z(t)) ≤ 0� ����� ��� Ψ′′(t, 0) = λ(t)[f, [f, g]](z(t)) ≥ 0 ���� �� (τ, τ + δ1) '����� � � � ������ � �� ����� ��� Ψ′′(τ, 0) ≥ 0, � � ����"�� � �� ������� ���� � �� p = z(τ) � �� ��� � ���� �� ��� ��� � ��� � � ����� � �� ��� � ��� � � � ������ �� �� Ψ′′(τ, 0) < 0 � Ψ′′(τ, 1) > 0. �� �� ���� � /�� � �������� ������ ��� ������� 0 ������ �� ��� ��� � ���, ����� ���� � � 1������������ � ��� � ���� � � p � �! ������� 0 ������ � � 0 ������� ���! ���� -� � ��2! + p � � �� ��������� 3�� ������� �4�� ��� p �! � ������� 0 ������ � �������� ���5 • -��� ����� δ > 0� �%����� ��� ���� ����� tn → τ � sn → τ �� [τ − δ, τ) ���� ��� Ψ(tn) < 0 ∀n ∈ N� � Ψ(sn) = 0 ∀n ∈ N � • -��� ����� δ > 0� �%����� ��� ���� ����� tn → τ � sn → τ �� [τ − δ, τ) ���� ��� Ψ(tn) > 0 ∀n ∈ N� � Ψ(sn) = 0 ∀n ∈ N � • -��� ����� δ > 0� �%����� ��� ���� ����� tn → τ � sn → τ �� [τ − δ, τ) ���� ��� Ψ(tn) > 0 ∀n ∈ N� � Ψ(sn) < 0 ∀n ∈ N� �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� ������� � ������ �� �� ����� � ���� � �� �� �� �� �� � � ��� ������� � �� �� �� �� � �Ψ(tn) > 0 � Ψ(sn) = 0�� � ����� ������� ���� � tn� ��� t0 = sup{t ∈ [τ − δ, tn] | Ψ(t) = 0} � t1 = inf{t ∈ [tn, τ ] | Ψ(t) = 0}. ��� ��� �� ����� Ψ(t0) = Ψ(t1) = 0 �� ����� ��� � �� � �� Ψ(t) ≥ 0 �� [τ − δ, τ ]� � �� �� Ψ(t0) = Ψ(t1) = 0 ��� ��� t0 � t1 �� ��� � �� ��� �� ����� �� ��!�� � ����� "��� Ψ(t)� ��#�� �� �� ��� Ψ′(t0) = Ψ′(t1) = 0� �#���� �� Ψ(t0) = Ψ(t1) = 0� �#�� ���� $������ �� %���� ��� �� � h ∈ (t0, t1) ��� Ψ′(h) = 0� � �� ���� Ψ′(t) & � ����� "��� �� [t0, t1] � Ψ′(t0) = 0� ��� ������� � ���� $������ �� %���� ��� �� � h0 ∈ (t0, h) �� ��� Ψ′′(h0) = 0� � �� �� Ψ′(t1) = 0� �#�� ��� �� � h1 ∈ (h, t1) �� ��� Ψ′′(h1) = 0� '��� Ψ′′(t) & ��(&� � ����� "��� �� [t0, t1]� �� ��� ��� )�� �#�� ���� $������ �� %���� ��� �� � kn ∈ (h0, h1) �� ��� Ψ′′′(kn) = 0� �� �*� Ψ′′′(kn) = Ψ′′′(kn, 0) = 0. '��� kn → p� �� ��� ��� ��� �� ���� �� Ψ′′′(t, 0)� �#�� ��� Ψ′′′(τ, 0) = 0, �� �( ���� ��� � �� (iii) �� $������ +,� �� p & ��� � �#���� ��� �� ��� Ψ′′(τ, 0) = 0� - �#���� �� � �Ψ(tn) < 0 � Ψ(sn) = 0� & � ����� � ��"��#�� �� ���� ����� ���� �� � �� �� Ψ′′′(kn) = Ψ′′′(kn, 1), �� ���� � #������� �( �� ���� p �� � Ψ′′′(τ, 1) = 0 ��� �� ����� � ������� � � �� �( ����� ���� ������� �#��� � ���� �� �� � �Ψ(tn) > 0 � Ψ(sn) < 0�� � ����� ������� ���� � tn ��� t0 = sup{t ∈ [τ − δ, tn] | Ψ(t) = 0} � t1 = inf{t ∈ [tn, τ ] | Ψ(t) = 0}. -( ���� ���� ��� ��)� !��� Ψ(t) > 0 ���� t ∈ (t0, t1)� �� � ��� ��� �� ����� Ψ(t0) = Ψ(t1) = 0� .� ��� ��� ���� �� � k0 ∈ (t0, tn)� �� ��� Ψ′(k0) > 0� '� � ��� �"� � ������ Ψ(t) ����� ��� � �� [t0, tn]� � ��#�� �� Ψ(t0) = 0� ������ ��� Ψ(tn) ≤ 0� / � & �� �( ����� �� Ψ(tn) > 0 ��� � �� � �� �����#���� �� �����0 � ��� �� � k1 ∈ (tn, t1) �� ��� Ψ′(k1) < 0� � �� ��� ��� ��� ���� ������� Ψ′′(t) ≥ 0 ∀t ∈ (t0, t1)� �� � ��� �"� � ������ Ψ′(t) ��� ��� � �� (t0, t1)� ��� ��� 1���� � � � �� ��� Ψ(k0) > 0 � Ψ(k1) < 0 ��� t0 < k0 < k0 < t1� -� �*�� �� � hn ∈ (t0, t1) �� ��� Ψ′′(hn) = Ψ′′(hn, 0) < 0. ���2� '��� hn → τ � ���� ��� �� ���� �� λ(t)[f, [f, g]](z(t))� ������ n→∞ �� �����!�� ���2� ��� ��� Ψ′′(τ, 0) ≤ 0. �����#���� � ������ ��� �� � s0 � s1 �� ��� Ψ(s0) = 0� sn ∈ (s0, s1) Ψ(t) < 0 �� (s0, s1) � ������ ������ ��� �� � kn ∈ (s0, s1) �� ��� Ψ′′(kn) = Ψ′′(kn, 1) > 0. ����� �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� �� ����� � ���� n→∞ �� ��� ����� ��� � �� �� Ψ′′(τ, 1) ≥ 0, ������ �� ����� �� Ψ′′(τ, 0) = 0� �� �� τ ������ ��� ��������� ��� � �������� ��� ���� �� ���� ���� � � (ii) �� ����� � �� ���� �� �� λ(τ)[g, [f, g]](z(τ)) < 0� �� ���� ���� �� �� Ψ′′(τ, 1) = Ψ′′(τ, 0) + u(t)λ(τ)[g, [f, g]](z(τ)) < Ψ′′(τ, 0) = 0 ������� �� � ��� ����� ��� �� ������� �� � ����� �� �� ��� ���� ������� Ψ′′(τ, 1) = 0� � �����!� �� ���� � �� ��� ������ �� � ����� ��� ��� "� �� #� $ � � � �� �� � �����%��� ���� � � ����� ��� � ������� ������� �� �� p � ������� ����� ����� p � ������� ������ �� ��������� �� ��� ���� ��� &��� p ��� '�� ��� � ��������� �� �� ���� "� � $ � �� �� p ( �� � �� ���� ) �� ����� ��� � ) ����� �� � ���� � ���� � �� % �������� ������ ������� p ��� � ��������� �� � �� �� �� �������*�� �� "� � $ � �� �������*�� �� "� � � ��� �+� � �� � � ������� � � �� �� ��� �� ��� �� p ��� ���� ��� �� ���� ) ����� � � ��� �� ���� ) �� ������ �� �� ���� ) �� ����� � ��� �� ���� ) ����� �� � ���� � ���� � �� % �������� , �� � � ������ ������% ���� ������ � "� � -� �� ��� ��� ��!� ������% ���� ������ � ����� � ��� ���� � �� p = z(τ) � ����������� ����� � ����� Ψ′′′(τ, 1) Ψ′′(τ, 1)2 − Ψ′′′(τ, 0) Ψ′′(τ, 0)2 ≤ 0. �� p = z(τ) � ����������� ������ � ����� Ψ′′′(τ, 1) Ψ′′(τ, 1)2 − Ψ′′′(τ, 0) Ψ′′(τ, 0)2 ≥ 0. ��� ���� ��� .�/� p = z(τ) ��� ����� � ��� � � ������� ��� ������� �� Ψ′′′(τ, 1) Ψ′′(τ, 1)2 − Ψ′′′(τ, 0) Ψ′′(τ, 0)2 > 0. � �� � �� �� ��� p � � ��� ����� � ��� � �� ��� �� Ψ′′(τ, 0) < 0 Ψ′′(τ, 1) > 0. ���� � ��� ����� ����� � ��� ����� � [0, T ]� � �� �� �� δ1 > 0 �� �� Ψ′′(t, 0) < 0 Ψ′′(t, 1) > 0, �� !" ���� ��� t ∈ (τ − δ, τ + δ) #�� ����� g(a, b, c, d, e, f) = 3Ψ′′′(d, 1)− 2Ψ′′′(c, 1) Ψ′(f, 1)2 − 3Ψ′′′(b, 0)− 2Ψ′′′(a, 0) Ψ′(e, 0)2 . �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� ���� Ψ′(τ, 1) �= 0 � Ψ′(τ, 0) �= 0� � ���� ��� �� ������ � ��� ��� �� ��� � (a, b, c, d, e, f) = (τ, τ, τ, τ, τ, τ) ��� g(τ, τ, τ, τ, τ, τ) = Ψ′′′(τ, 1) Ψ′′(τ, 1)2 − Ψ′′′(τ, 0) Ψ′′(τ, 0)2 > 0. ������ ��� ��� ����� ��� ���� � δ2 � ��� a� b� c� d� e � f ��� ������� (δ2 − τ, τ) ������ �� g(a, b, c, d, e, f) > 0. ���� δ < min{δ1, δ2} � ��� Ψ(τ − δ) ≤ 0 ��� � � �������� ���� ��� ��� ��� τ � ���!������� " ������� #$ %�& �� �� τ0 ��'���� ��� τ0 = inf{t ∈ (τ − δ, τ) | Ψ(t) ≥ 0}. (� � ��� ��'����� ��� Ψ(τ0) = 0$ (� � � �� ��� Ψ′(τ0) ≥ 0 ����� � �� Ψ′(τ0) < 0 �� �� ��� ��� ��� ��'����� �� τ0 ��� τ(t) < 0 �� (τ − δ, τ)� �� ����� ��� ��� ��� �� τ ��� ���!������� " ������� $ ��� ��� )�� �� (τ0, τ) �� ��)��� �� ���&�� ��* • A = {t ∈ (τ0, τ) | Ψ(t) �= 0}� � • B = {t ∈ (τ0, τ) | Ψ(t) = 0}$ ����� ��� A ∪ B = (τ0, τ)� ��)�� ����� Ψ′(t) ���� ��� � ��� ��� ���� ��� 0 = Ψ′(τ) = Ψ′(τ0) + ∫ τ τ0 Ψ′′(t) dt = Ψ′(τ0) + ∫ A Ψ′′(t) dt+ ∫ B Ψ′′(t) dt. � ��)��� ��� � ��� �� ��� ��� ∫ A Ψ′′(t) dt > 0� � �� ���� ��� ∫ B Ψ′′(t) dt = 0$ +� �� ��� � � � �� ��� Ψ(τ0) ≥ 0� ������ �, � ��� ��� ��� ��� 0 = Ψ′(τ) > 0� �� �����$ -�)�� � ���� ���� �� � ��� ��� � ���� � � ������ � ��� �� � ������ $ ��� . �� ω ∈ A� ��� � ����� ��� � �������� ����� � � t0� t1 � t2 �� ��� Ψ(t0) = Ψ(t1) = Ψ(t2) = 0, Ψ′(t1) > 0� Ψ(t) > 0 �� (t0, t1) � Ψ(t) < 0 �� (t1, t2)$ / � ω ∈ A ������� ��� Ψ(ω) > 0� ����� � � �� Ψ(ω) < 0 �,��)�$ ��� ��� �� ��* t0 = sup{t ∈ (τ0, ω) | Ψ(t) ≤ 0}, t1 = inf{t ∈ (ω, τ) | Ψ(t) ≤ 0}, � t2 = inf{t ∈ (t1, τ) | Ψ(t) ≥ 0}. (� � ��� Ψ(t0) = Ψ(t1) = Ψ(t2) = 0� � � �� Ψ(t) > 0 �� (t0, t1)$ %�)�� �� �� ��� z(t1) �� ��� ��'������ �� ��� � ������� " ������� $ ������ ���� ������ 01� z(t1) � � �� �� ��� � ������� " ����� � �� � �� ���� � δ0 > 0 � ��� Ψ(t) > 0� �� Ψ(t) < 0� �� Ψ(t) = 0 �� (t1, t1 + δ0]$ (� � ��� �� � ��� Ψ(t) > 0� �� Ψ(t) = 0 �� (t1, t1+δ0] ��� ����������� ����� ��� � � ��� ��� ��� Ψ(t1) = 0 ���� ��� � �� ������ ��� �� �� ��& � ������ ��� �� ��� Ψ′(t1) = 0$ 2 � �� �� z(t1) ���� �� ��� � ��� ��� �������� ��)� � ��� �� � -�� 1� � ��� ��� �, �� ��� � ����� ��� � ����� �3�� �� ��$4#$ ������ ���� ��� Ψ(t) < 0 �� (t1, t2)$ ������ �� Ψ(t) < 0 �� (t0, t1)� � Ψ(t) > 0 �� (t1, t2) �� ������� � ������ � ��� Ψ′(t1) ≥ 0� � � ����� � �� ��� � ���������� ������� Ψ′(t1) = 0� ��)� ���� ��� Ψ′(t1) < 0$ �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� �������� ��� � Aω = (t0, t1) ∪ (t1, t2) � ������ ���∫ Ai Ψ′′(t) dt = ∫ t2 t0 Ψ′′(t) dt = Ψ′(t2)−Ψ′(t1). ����� ������ ���� ������ � ����� �� t0� t1 � t2 ��� ω2 ∈ Aω1 ������� �� Aω1 = Aω2 � � �� ���� � ����� �� � �� ������� ��������������� ���� �� ����� ���� � ����!���� ����� �� �"���!��� �� ������������ � ������ � ��� Ψ′(t2)−Ψ′(t1)� #���� Ψ(t) �� ��� � C∞� ���� $��� %������ �� %�&��� ��� �� �� �� '� ��� � ��� �"� �� ta ∈ (t0, t0) ��� ��� Ψ(t1) = Ψ(t0) + Ψ′(t0)(t1 − t0) + Ψ′′(t0, 0) 2 (t1 − t0) 2 + Ψ′′′(ta, 0) 6 (t1 − t0) 3. ( ��� �� Ψ(t1) = Ψ(t0) ��� Ψ′(t0) = −Ψ′′(t0, 0) 2 (t1 − t0)− Ψ′′′(ta, 0) 6 (t1 − t0) 2. %������ ��������� � %������ �� %�&��� ��� �� �� �� '� ��� � ���� Ψ′(t) ���� ��� �"� �� tb ∈ (t0, t1) ��� ��� Ψ′(t1) = Ψ′(t0) + Ψ′′(t0, 0)(t1 − t0) + Ψ′′′(tb, 0) 2 (t1 − t0) 2. ( ��� ���� ��� Ψ′(t1) + Ψ′(t0) = 2Ψ′(t0) + Ψ′′(t0, 0)(t1 − t0) + Ψ′′′(tb, 0) 2 (t1 − t0) 2 = ( Ψ′′′(tb, 0) 2 − Ψ′′′(ta, 0) 3 ) (t1 − t0) 2 = ( 3Ψ′′′(tb, 0)− 2Ψ′′′(ta, 0) 6 ) (t1 − t0) 2. �� ����� ����� �� �����) � ��� �"� ��� tc � td �� (t1, t2) ��� ��� Ψ′(t2) + Ψ′(t1) = ( 3Ψ′′′(td, 1)− 2Ψ′′′(tc, 1) 6 ) (t2 − t1) 2. �� �� ������ � �� ��� Ψ′(t2)−Ψ′(t0) = Ψ′(t2) + Ψ′(t1)− (Ψ′(t1) + Ψ′(t0)) = ( 3Ψ′′′(td, 1)− 2Ψ′′′(tc, 1) 6 ) (t2 − t1) 2 − ( 3Ψ′′′(tb, 0)− 2Ψ′′′(ta, 0) 6 ) (t1 − t0) 2. ( ���� ������ ���� ������ ���� %������ �� %�&��� ��� �� �� �� '� ��� � ��� Ψ(t0) = Ψ(t1) + Ψ′(t1)(t0 − t1) + Ψ′′(te, 0) 2 (t0 − t1) 2 ⇒ t1 − t0 = 2Ψ′(t1) Ψ′′(te, 0) . �� �� �� �� ����� Ψ(t2) = Ψ(t1) + Ψ′(t1)(t2 − t1) + Ψ′′(tf , 1) 2 (t2 − t1) 2 ⇒ t2 − t1 = − 2Ψ′(t1) Ψ′′(tf , 1) . �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� ������ � � ta� tb� tc� td� te tf � � �� � � � � (τ − δ, τ) Ψ′(t1) �= 0 � � �� Ψ′(t2)−Ψ′(t0) = 2Ψ′(t1)2 3 ( 3Ψ′′′(td, 1)− 2Ψ′′′(tc, 1) Ψ′(tf , 1)2 − 3Ψ′′′(tb, 0)− 2Ψ′′′(ta, 0) Ψ′(te, 1)2 ) = 2Ψ′(t1)2 3 g(ta, tb, tc, td, te, tf ) > 0. � � Ψ′(t2)−Ψ′(t0) > 0� � ������ � �� ��� � �� ∫ Aω Ψ′′(t) dt > 0, ���� ���� ω ∈ A� � � ��� �� �� � � ���� A� ��� ω ∈ A� � � � � ���� � � � ���� � Aω� ��� � � Z = {Aω | ω ∈ A}, � � � �� A = ⋃ Aω∈Z Aω� � � � �� �� �� � � � ω2 ∈ Aω1 ������� � Aω1 = Aω2 � � � Aω1 �= Aω2 ������� � Aω1 ∩ Aω2 = ∅� � � � � ���� Z � �� � ���� � � � � ������ � � R� �� � � � � � � � � �� ���� �� � � �� � � � � �� �!� � ���� ��� ��� �� � ������ � �� ��� �� ������ � � ���� ���� � � �� Z "� �� �� ��� ���� ���� ��� �#� � � � � � �� � �� � � �� ������ �� ����� � A1� A2� · · · � An� · · · � � � � � � � � ���� � �� � � �$� � ���� ������ � %� �� � � ��& ���� A' A = ∞⋃ i=1 Ai, � �� � �� �� ∫ A Ψ′′(t) dt = ∫ ⋃∞ i=1 Ai Ψ′′(t) dt = ∞∑ i=1 ∫ Ai Ψ′′(t) dt > 0, � ��� ���� ���� i ∈ N� ��� � �� ∫ Ai Ψ′′(t) dt > 0� ���� ( � Ψ(t) = 0 ���� � t ∈ B� � � �)�� � �� ��� �� �� �� ��� Ψ′′(t) = 0 ���� � t ∈ B ��� B �*� � � � �� �� � + � � � ��� � � � � �� � �� � B � � � � �� ��� � ���� � Ψ′(t) � � � �� � � ��� � ���#� � ���� ����� t ∈ B� � � � � �� � ��� � � � � ���� ��� � �� ��$� ����� � ���� � � ���� � �� � ��� , � � � B = IB ∪ B′ �� ' • IB = {t ∈ B | t �� � � � � ����� � Ψ′′(t) � t � � � �� ��� � B}� • B′ = B−IB = {t ∈ B | t � � � � ����� � Ψ′′(t) t � � � � �������$� � B}� ( � � ���� � � � � � �� ��� � � ��� �#� �� � �� � � ���� ����� � ���� � � � � � �� -� ����� � � ���� ����� � �� �� IB "� � ���� ����� � � � �� �� �� � ��� ω ∈ B′� � � �� Ψ(ω) = 0� �� ω1� � � � � � � � �������$� � B� � ���� � ��� � ��"���� (ωn) � B� � �� Ψ′(ω) = lim n→∞ Ψ(ωn)−Ψ(ω) ωn − ω = 0− 0 ωn − ω = 0. .� � ��� Ψ′(t) = 0 ���� � t ∈ B′� , � �� ��� ���� ��� � � B′′ = B′ ∪ IB′ � �� �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� • IB′ = {t ∈ B′ | t � ����� � � ��� � B′}� • B′′ = B − IB′ = {t ∈ B′ | t � ����� � ����� ���� � B′} ����� �� �� �� IB′′ � �� �������� � � ���� �� �� ������� ���� ξ ∈ B′′� ���� ξ ∈ B′� � �� �� ξ � ����� � �� �� � Ψ′′(t)� � ��� � ��� � ������ � ����� � �� ��� Ψ′(t) � ��� � ����� � t = ξ� � � ���� B′′ ⊂ B′� ���� ������ Ψ′(ξ) = 0 � �� �� ��� ξ �� ��� � ����� � ����� ���� � B′� ���� � ��� ��!���� (ξn) � B ′� � ��� Ψ′′(ξ) = lim n→∞ Ψ′(ξn)−Ψ′(ξ) ξn − ξ = 0− 0 ξn − ξ = 0. "� ��� Ψ′′(t) = 0 ���� ���� t ∈ B′′� #� � ���� � �� �� B = IB ∪ IB′ ∪B′′� ��� IB ∪ IB′ �!� � ���� �� � Ψ′′(t) = 0 � B′′� � ��� ∫ B Ψ′′(t) dt = ∫ IB∪IB′ Ψ′′(t) dt+ ∫ B′′ Ψ′′(t) dt = 0 + ∫ B′′ 0 dt = 0, � ������� � � ��� ������� ���� � ���� ����� p = z(t) � � ���� �������� � � �� ��� ����� ��� �� $����%� ��� �� ���� p = z(τ) �� ����� ��� ��� & �� ��� �� & ��� ���� ' � ( �� � �� �� p � �� ����� ���� ��� ) ��� �� ( �� * �� �� Ψ′(τ, 0) < 0 Ψ′(τ, 1) > 0 � ��� λ(τ)[g, [f, g]](p) = Ψ′(τ, 1)−Ψ′(τ, 0) > 0 ) ��� � �� �� τ �= 0 τ �= T ��� z(0) z(T ) �� ��� � ��� %��+� � (���� �� ����� τ � ���, ��� & ��� ��� �� & �� ���� � � �� �� �� ��� ��� � (0, T )� � ����� � � � �� �� -. �� τ � ���, ��� & ��� ��� & �� ���� $ �� ���� �� ( �� � �� Ψ′′′(τ, 1) Ψ′′(τ, 1)2 − Ψ′′′(τ, 0) Ψ′′(τ, 0)2 = 0. (��� p � �� ����� ���� �� �� ���/���� � ��� � � �/��� ��� %��+� � � �� λ(τ)[g, [f, g]](p) < 0 �% ���� ��� �� ����� ) ����� � ������ �� 0�� �� � �� �� �� � �� � � ������ � �� � �� �� ��� z(τ) � � ��� � ����� ���� � ���� �������� �� � u(t)� ������ ��� �� �� � δ > 0 ��� ��� ������ ���� � ��� ���� ���� � �������� Ψ(t) > 0 ���� ���� t ∈ (τ − δ, τ + δ) �� Ψ(t) < 0 ���� ���� t ∈ (τ − δ, τ + δ) �� Ψ(t) = 0 ���� ���� t ∈ (τ − δ, τ + δ)� '�� ��� ���� ���� ���� �� ( �� 1 � �� � � �� �� � ����� �� �� �� �� � � ���� � � ��� ���� �� � �� �� -2� �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� ������� �� u(t) �������� � �� ���� (i) � ������ � ��� ���� ��� ���� � ��� ��� T = {t ∈ [0, T ] | z(t) � ���� ����� } � ��������� � � T � ������ �� ��� ����� � ����� ��� ������� �� �������� ����������� ������� �� ��� !���� �� ����� ����� ������"���� ��� ��� ���� � ��� ������� ��� � ���� p� #��� �� � ��� ����� �� �����$�� �� ���� ��� ���� � � �%� ��� ��� � ������� &� �� � � p � ��� ��� ' ������� � ' ��� ����� (���� � ��� ��� �� ����� ����� � ������ ��"���� 0 ≤ τ0 ≤ · · · ≤ τn ≤ T � )�� ����� ������� ��� ���������� [0, τ0]� ���� [τn, T ]� �� �����$�� �� ����� ����� � �� ������ ����� �� Ψ(t)� ��" � � � u(t) � ��" ���� * ������ � ������� ++ ��� � ������� +, �%����� � � u(t) � ��" ���� - ���� �� u(t) ��� ����.� � �� ����� ��" � ����������� ��� �����$�� �� ��" �������� � ��� /�� ���$�� ,� 0���� .��� ����� � ���������$�� �� ������� +1� ��� ����� �� � � �� ����� ��� ��� ��� � � ��� 2���� ��$�� ������ ���������� �� ��� ��3���� z(t) � �� ��������� u(t) �� [0, T ] � � �������$�� � /����. �� �� /����4�"�� ������� �� �� ���� ���� z(T )� � ���� u(t) ��� � �������� ��" ���� 5��� ��"������ � �� ���������� 6���� ������������ � ���������$�� ��� � ����� � � �� � ���� ������� ��� � �%���$�� �� ��������� 3����� �� ������� � ������� ������������� ������ � ��������� �� ������"!���� �� ���� ������� ��� � �������� 3����� 2���� �������� � ���� ��"������ �� � � ��������� ���� � � �������� �������� �� ����������� ���� ��" �� � ��� ��7��� ��� ��� ���������� � ���� �"��� � � � �������� 3���� u(t) �� � ��" ��� � ��������� ���� ���������� u(t) � z(t) ������� �� �� ���� ���� z(T )� 2������ � � � ��� � 3���� T ����� ��� ��� ������������ (���� ����$���� � ��� �� ��� ��������� 3����� � ����� �� � ���� ���� z(S) ��� S > 0 � ��� �� � �� ������������� � ��� � t ��� tn = 0 � T = S − tn� �� ��� �� ���������� � ��� � ������� tn� ��" ���� ���� ������ ������ ����� � ��" �� � ��"������ ��� ���������$�� �8��� ��� ���.���� ��������� 3����� ��� ���� ���� z(T )� ��������� � ��� ����� ����� ���� �� �� �� ��� � ��������� � � ���� � �� �� � ���� � ������ � ����� � ������ �� ������� �� � � �� �� � �� z(S)� ��� t0 = t1 = S� ���� �� � � � z(ti)� λ(ti) u(t) � (ti, ti−1) � � ti+1� z(ti+1)� λ(z(ti+1) u(t) � (ti+1, ti) � � ��� � ������ ���� �� ��� �� !� ti �� � �� �� �� ������ � ��� � ���� Ψ(ti) > 0� �� Ψ(ti) = 0 Ψ′(ti) > 0� " ���� �� ��� �� � !� #��� δi > 0 ��� !� u(t) = 0 � (ti − δi, ti)� � $ ������ � � � ��� � ���� Ψ(ti) < 0� �� Ψ(ti) = 0 Ψ′(ti) = 0� ��� #��� δi > 0 ��� !� u(t) = 0 � (ti − δi, ti)� % ��� ����� � � u(t) = 0 �� u(t) = 1� �� ��� �&� � z(t) λ(t) ������� � �� � �� ������ '()�� � �� � � ��� � � ��� ti � �� ��� 0� �� ������ � ���� ��� ti+1 ��� !� Ψ(ti+1) = 0� � ��� ��� !� u(t) = 0 � (ti+1, ti) �� !� u(t) = 1 � (ti+1, ti) ���� �� � ���� ������ � �� ������ � � �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� ���� �� ������� �� ti ����� � ������� ���� u(t) � ������ �� �� δi > 0 ��� �� Ψ(t) > 0 � (ti − δi, ti)� �� Ψ(t) < 0 � (ti − δi, ti)� �� Ψ(t) = 0 � (ti − δi, ti)� � ���� �� ���� �� � ��� � ��� � �� �� ����� ��� ���� ������� �� ���� �� � �� u(t) = 0 �� u(t) = 1 � (ti+1, ti)� � � ����� � � � �� �� ����� ������ �� ����� � � ti� � � �� ��� �� ��� �� u(t)� z(t) λ(t) � �� ������ ��� �� � �� � ��� � ����� � � ��� �� �� � ���� � � � ��� � 0� �� �� ��� ��� ����� �� ���� ��� � ������ � ti+1 < ti� �������� �� ���� �� � � � 0 ≤ u(t) ≤ 1 � (ti+1, ti)� ���� � ��� � � � ��� � �����! �� ���� "� � � �� ��� Ψ(t) = 0 � (ti, ti−1)� ���� � #� ��� � ������� ����� � �� �� � �� ����� $�� � �� � ������ � ����� �� �� � ��� ������ � ������� � �� ���� � ��� �� � � % ����� � �� �#� ��� ������ � ������� � �� ��� ��� ����� #��� z(T )� ��� �� ��% � ��� �� � ����� ���� �������� z(ti) � ����� ���� �� ����� ��� �� � & ��� J(x, u, τ0, τ) = φ(x(τ0)) + ∫ τ τ0 (L+K(x(s))u(s)) ds ���� � ����� ���� � ������� u(t) ��� � ����� � � �� τ0 � ����� #��� τ � $���� � � ��� ����� � � ����� �� ����� ��� �� �� � �� ����� �� ����� � J(x, u, τ, S)− φ(x(τ)) = 0� �� � �� �� ��� � �� ���� t < τ � ���� "��� #��� ��� � ��� ���� ��� ��� �� ���� τ < S� ���� ������ � � ����� �� �� � � ���� φ(x(τ)) < J(x, u, τ)� ���� � ���� t ≤ τ ��� � � � � ��� � � �� tn �� ������� �� �� u(t)� & '���� � ��� �(����� tn < τ '��� � ����� � � �� �� ������� �� ��� ���� � ������ �� J(x, u, tn, τ) = φ(x(τ)) + ∫ τ tn (L+K(x(s))u(s)) ds < J(x, u, τ) + ∫ τ tn (L+K(x(s)))u(s)) ds = φ(x(S)) + ∫ S tn (L+K(x(s))u(s)) ds = J(x, u, tn, S), � �� � �� � ��� �� �(����� ��� � � � ��� ��� � J(x, u, tn, S)� ������ � � �� �� ��� � � �� �������� Zf ����� ���� �� �� � z(T )� � �� ��� ��� �� ���� �� � ������� ����� ��� ����� ���� z(T ) �� � ���� � �� �� � �� � �� � �� ������ � ���� �������� ��� ������� ! "�� ����� �� �� �� ��#���� ��� �� �� �����$�� � �� ������ � �� � � ����� ���� z(T )� ��� � � ������� ! � ��� ���� �������� �� ������� ����� � ������ �� ����� ������� z0� �� �� ��� �� �� �� ������ ����%�������� � �� &�$ �� � ���! '� � �� �������� ����� ���� Zf ���� ������� ����� � ��� � � � �������� ������� ����� �� �� � Uotimal ��� ����� ���� � Zf ! (�� � � ���� � �������� ����� Θ = (z(t), λ(t), t)� �� (z, λ) � � ��� ���� �����)�� �� � ���� ��� �� � �� �� u ∈ Uotimal� t ∈ '��z! �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� ����� ���� Θchave � �� �� �� � �� � z ∈ R n ��� � � (z, λ, τ) ∈ Θ ���� ��� � λ ∈ R n � τ ∈ R � Ψ(τ) = 0 � Ψ(τ) �= 0� ����� ������ Θsing � �� �� �� � �� � z ∈ R n ��� � � (z, λ, τ) ∈ Θ ���� ��� � λ ∈ R n � t ∈ [0,∞) � Ψ(τ) = Ψ′(τ) = 0� �������� � Θchave �� ����� ����� � Θsing �� ����� � �� ����� � ��� �� ������ ����� �� �� � � � ���� �� ��� ��� � ���� ��� �� �� � ���� � ���� ����� � ��� ��������� ������� ����� � �� ����� �������� ���� �� �� � � ���� z0 � �� ����� �� � Z �� �� �� � �� �� �� � ��� Zf � ����� � ��������� ����� ��������� �� �� �� �� Θchave � Θsing ���� �� ��� �� �� �� �� � � � � �� �� �� ��� ��� ���� � �� ��� � �� �� � � � � �� �� ��� ��� � � �� � ������� � ����� �� � ���� �� �� � �� �� � U ⊂ Uotimal �� �� �� �� � ���� u(t) � ���� �� !�� �������� �� �� z(t) � λ(t) ���� � �� �� � �� �� �� � ��� Z ⊂ Zf � � "� �� ���� �� �� ����� �� �� �������� �� �� �� Θchave � Θsing� ����� � #�� � ������ ���� �� ���� ���� z(t)� "� ���������� ����� $�� � �� � λ(t) ���� �������� �� Ψ(t) �= 0 �� �� Ψ(t) = Ψ′(t) = 0� �� � ��� ��� �� ���� �� �� z(t) ��������� �� � ���� �� �� ���� �� $�� � �� �� � u(t) � �� � � � �� �� $�� �� � � �� �� �� � �� �� ��� %���� ���� z0 "� � �� �� � �� �� �� ��� &��� ���� ��������� ����� $�� u(0) = 0 �� u(0) = 1� � ��������� � ��� �� ��� � �� ����'���� ���� ����� � ���� � �� �� �� � ���� �������� �� �� z(t) � u(t)� ��� ������ �� � �� ���� ����� � ����� �� ���!� ���� � �"���#� �� �� � ��� �� $��� � ��������� ���� Uad = L1([0, T ],Ω)� � � ���%� �&��� � �� �"���#� ��� ��� � �� ���� � ��� ��� ����� � '(�� � �� �� )*+ �'��� ,*-.� /� � 0�1� � �� 1�� � �� �� �� (� ������ � ���� ��� )� � $�� ���� ���� ��� �� �� �� �� �� u : [0, T ]→ Ω� ���� �� $���� T ≤ L� � �� L "� ���� �� �� �� �� � u(t)� ���� &� $�� K� f � g � φ ����� �� � ���� C1 � ���� &� �� �� $��* +�, ���� � �� �� �� �� �� �� � u(t) $�� � &� ��� ���� ���� x : [0, T ] → R ������� �� �� �� +��, -��� ���� ���� x(t) � ��� ��� ��� � ���� �� � � � M � � �� M � � ���� �� � �� �� �� � u(t) �������� �� �� ���� � � "� �� �� �� � � ��� u∗ ∈ L1([0, T ],Ω) �� ���.� �� J(u)� ����� �� � � � � ���� �������� �� ����&�� � �� �� �� ��� � ���%� ����� �� � � x(t) ���� �������� ����������������� �� u(t)� 2��� �� ��� ���� ���%� ���� �� ������ �� ��� �� $��� � ��� ���� � ��� � �� 3��� ��� ���� � � ���� � 4�� � � ��� �� � 5� ���� ,.� 6� ��� ��%� � ���� � ���� � ��� D ⊂ R n × R m� ��� � ��� ��� � � Dx ⊂ R n � � �� ��%� � �� �� D � ��� � � ������� x ∈ R n � � � Dy � � �� ��%� �� D � ��� � � ������� y ∈ R m� � �� �� �� #��� Ω ������ �� ���� f : D × Ω → R n−1 ��� �� "� �� (x, y, u)� ��� x ∈ Dx ⊂ R n−1� y ∈ Dy ⊂ R � u ∈ Ω� ��� f ��� �� � %����&� .�� � �� (x, y)� #��� ����� u(t) : [t0, t1]→ Ω� ���� &� $�� z(t) = (x(t), y(t)) ���� �� � "� �� �/0 z(t) = z(t0) + ∫ t t0 f(z(s), u(s)) ds �� [t0, t1] ���� ����� r : Dx → R� � $�� rx(x) ���� �� ���� ��� �� � ��� ��� �� Dx �* �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� • (−rx(x), 1).f(x, r(x), u) > 0 ���� ���� (x, r(x), u) ∈ D × Ω� • y(t0) > r(x(t0))� ��� y(t) > r(x(t)) � [0, T ]� ���� ����� ����� �� �� ��� ��� � � �� ��� ���� �� � ��� ���� �� �� ���� �� �� ��� � ���� ���� �� �� �� ���� ��� �������� � � ��� ���� ���� � ��� �� �� ��������� �� � ���� �� �� � �� �� � !� "��� �� � � � ��� ��� �� #��$� �%� ���� ������ � � � & '� �� r(x) �$� � �� � ��� �� � ��( �� ) � ��*%� �� �� ��� � � ��� � +�'� �� � ! �� ������� � ��� *%� ) r(x)� �� ��� ��� � �� #��� � (�� ���� � ,��� ��� � ����-(��� r(x) z′ y x � ��� ���. !����� *%� � � � /���� ��� �������� ��� ���(� �� � � � ���� � ������ �� � � r(x) = 0� 0����� ��� &����� ��� y(t) < 0 � � ��� t ∈ [t0, t1]� 1� � y(t) � ����-�� � y(t0) > 0� ���� /���� �� ( ��� ���� �� �� � ����� ��� �' ��� � ���� � s ∈ [t0, t1] � � ��� y(s) = 0� 2�� � ���� �� �� � τ = inf{t ∈ [t0, t1] | y(t) = 0} ∈ [t0, t1]. 1� � ����� �� �� �� inf� �� �� ��� �' ��� � ����3�� (tn) � A � � ��� limn→∞ tn = τ � ���� � �� �� y ��� ����-�� � [t0, t1] ����� � ��� ��� y(τ) = lim n→∞ y(tn) = 0. /� ��� ε = f(x(τ), y(τ), u(τ)) �� �� ��� � �$���� ��� ε > 0� 2��� � ����� (x(t), y(t)) ����-�� � [t0, t1] ���%� � &� �� ��� G = {(x(t), y(t)) | t ∈ R n} � �� � ��� � D×E� ����� �' ��� M > 0 � � ��� |f(x2, y2, u) − f(x1, y1, v)| < M |(x2, y2) − (x1, y1)| � � ���� (x1, y1) ∈ G� (x2, y2) ∈ G� � u � v ∈ Ω� � ����� � �� �� ��� |f(x(t), y(t), u(t))− f(x(τ), y(τ), u(τ))| < M |(x(t), y(t))− (x(τ), y(τ))|. 2�� � ����� (x(t), y(t)) ����-�� � τ ����� ��� �' ��� δ > 0 � � ��� t ∈ [τ − δ, τ + δ] �� � � |(x(t), y(t)) − (x(τ), y(τ))| < ε 2M � 0���� ���%� ���� � � t ∈ [τ − δ, τ + δ]� �� �� |f(x(t), y(t), u(t))− ε| < ε 2 . �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� �� ���� f(x(t), y(t), u(t)) > 0 � [τ − δ, τ + δ]� ��� � ��� � ���� �� ��� y(t0) = y(τ)− ∫ τ t0 f(x(r), y(r), u(r)) dt < 0, � ��� ��� ����� � ���� ���� ���� � ���� � �� � ������� ���� r(x) = 0� ���� � ���� ���� !�� � � �� �� � ����"� �� ��������� w(t) = y(t)− r(x(t)). ���� ���� g(x, y, u) = (f1, · · · , fn−1) �� #� �� � $���� � % � ��� ���� ��� �� ����& ����� � �� ��� r(x(t)) ' �!�� � � �� � ��� ���� �� r′(x(t)) = rx(x(t))x ′(t) = rx(x(t))g(x(t), y(t), u(t)). ( ��� w(t) � !' ' �!�� � � �� � ��� ���� �� w′(t) = y′(t)− r′(x(t)) = fn(x(t), y(t), u(t))− rx(x(t))g(x(t), y(t), u(t)) = (rx(x(t)),−1).f(x(t), y(t), u(t)) = (rx(x(t)),−1).f(x(t), w(t) + r(x(t)), u(t)) = h(x(t), w(t), u(t)), ���� h(x, w, z) = (rx(x),−1).f(x, w + r(x)), u)� ��� )��� ��� �� ��������� � �� �� #� ��� h(x, 0, u) > 0 ���� ��� (x, u) ∈ D∗ × Ω ���� D∗ = {x ∈ R n−1 | (x, r(x)) ∈ D∗}� *� � � !' ��� D∗ ' �!�� � ���� ' ��� ��+��"#� � �� ����"#� ��� �!�� �� Dx � r−1(Dy)� $� !' ��� ���� ��� �� ��������� � �� ��� w(t0) = y(t0)− r(x(t0)) > 0. ���� w(t) �� ����� ���� �� ������� �� �� ��� � �� ���� � ��� ���!� �� �� ������ �� ���� � �� ��� w(t) > 0 ���� ��� t ∈ [t0, t1]� ,�� ���� �����+�� ��� y(t) > r(x(t)) ���� ��� t ∈ [t0, t1] �� � ������ �� ������� ��� ����� � ������� � � � ����� ��� � -������ � ��������� �� ��� �.���� � �� ��� λ(T ) = φz(z(T ))� ���� �� �� ����� �� )� � ������ � T �! � �� H(z(T ), λ(T ), u(T )) = H(z(T ), φz(z(T )), u(T )) = 0. /� � ��� �� � � ����"#� � z(T ) ��� ��� ����� � �� � �� ��������� ��� �� +���� z(T ) �� ����� ��� �� � � � � u(t)� ��� �� �� ��� ��! ��� �� ������"0�� �����!�� �� ��� ���� �� �� ����� ����� ��� � ������ � �� ��� �� +���� � ���'� �� ��� ��� �� �������� �� %� ���� �� ���"#� ��� � � T � /� � ' � ��� ���� ��� �� ������ � �������"#�1 ���������� �� u(t) � ����� ��� � � ���� � �� [t1, T ]� ���� t1 < T � ����� dH(z(t), φz(z(t)), u(T )) dt ∣∣∣∣ t=T ≥ 0. ��� �������� $� � δ0 ��� ���� � ��� [T−δ0, T ] ⊂ [t1, T ]� -� �� ����� �� � �� ���� �� u(t) ���� [0, T+δ0] � ���� u(t) = u(T ) � [T, T+δ0] �� � $���� � 2 3�� �4�� 5����6 ������ �� �� ����� � �� ���� �� z(t) ���� [0, T + δ] ���� � �� δ < δ0 � ��� ��� ���� �� ���� � �7/ � [0, T + δ] z′(t) = f(z(t), u(t)), z(t0) = z0. �� ������ � �� ������� ��� � ���� ��� �� ������ � � �� ��� J(x, u, h) � � ��� �� u(t) � � �� �� � h ∈ [T−δ, T+δ]� ����� � ��� J(x, u, h) = φ(z(h)) + ∫ h 0 L+Ku(t) dt. � �� ��� �������� �� ����� ��� �� �� � �� � �� �� � T � ��� � ��� J(x, u) ≤ J(x, u, h)� �� ��� � J(x, u, h) ����� �� � �� �� ����� �� h� � ���� � � � �� ��� ����� � �� u(t) �� [T − δ, T + δ]� ��� L+Ku(t) � ����� �� [T−δ, T+δ]� �� ���� ��� ������ �� ��� !��� ���� � � "#� �� � � $���%� � �� &����%��� ��� � ��� J(x, u, h) � ��'���� �#(�� �� ��� )* h � � � � h ∈ [T − δ, T + δ]� � dJ(x, u, h) dh = φz(z(h))f(z(h)), u(h)) + L+K(z(h))u(h) = H(z(h), φz(z(h)), u(T )). � ��� ��� ����� ��� �� �� J(x, u, T )� ��� � ��� ��%��� ����( � �� J(x, u, h) �� t = T ��(� ��� �* +��% ��( � � ��� d2J(x, u, t) d2h ∣∣∣∣ t=T ≥ 0⇔ dH(z(t), φz(z(t)), u(T )) dt ∣∣∣∣ t=T ≥ 0, � ����� � � ��� ���� �� �������� � ������ �� ��� � �� ��� ����� ����� ����� � ������ ����� �� ���� ���� ��� �� ��� � ����� �� � ���� � �� �������� �� �� �� ��� � � � � � ��������� �� � ������ ������� �� ���� � �� ����� ���� � ���� ���� �� � ������ ���� � � ����� ������� ��� ��������� ��� � � � ! � �� � ����"�� � ��� �� ��� ��� �� ����� � � � ������ �� � �������"���� � ��� �� ����� � ������� ��� �� ������� ��� �� ��� �� �" �� ���������� � ��� � ����#� �� �� � � � ����#� $� �� �� % �$&����� �� ������� �� �� ����� �� ����� �� �� ��'#� � ���� � ����#� �� �� � ���� �� ��� �� ����#� $� �� �� (��� �� ��� � ) '#� �$&������ � � � ��� � ����� �� �� � ����� � � ����*��� ���� ���������� ��� �� ����'� �� �� �� � � � �� �����'#� �� ��� � � ����� � ������ �� ������� ������� ����� )�� ������ � �� ���$ �'#� ����� ���$� �� ���� � ���� ���� ������ ���� �� � ! � � �� � �� � + *� ���� �� �� ��� ����� ����� ��� �������� ��� �� � ��'#� ,� �� ��� ���� � ���� � �� )���� �� ���$ ��� �� �� ��� � ������ #� �� ������ � �*���- ���� ��� ���$�� ������ � � � �� ��� � ����� u(t) �$���� �� (��$ ��� , ���" �� �� � ��� ������� � �� �� ��� ��+ � �� .��� �� � /�0 �'#� 12� %$������� � �#� �� ���� �� ��������� �� ��� �� ������ � � ������ ��� � �� & �� �� �� ��� 0 ��� z(T )� �� ��� �� � � ������� 3� (�� 0� �� ��� ����� ���� � �� �� � ���� (x0, y0)� � �� ���� � �� ��� � ����� � � ����� ��� (x0, y0)� �� ��� �� � � ������� 4� (�� � � ���� �� � !� )�� ��� �� �� �������� � � �� �� ��� � ����� �*����� �� �� � + �#� � �� ����� . �������� ��2 � ������� �� ��� � ����� ���� � ���� �� �� � ���� (x0, y0)� % ���� � " ���� �� ���� �� �� ������� �� �� �# ��� ������ �� � �� ������ �� �� ��� � )���� )����� ��� 5������ ��� � � �� �34!� �� (� �� ��� � � �� �,! � �1! � ��� ��������� ��� � � �� �6!� ��� ����� �� �� ���� ��� ����� %���� � �� ����� ��� ���� � �� ��� � �������� �� � (78 �� � �� �� �'9��� ������ �� � � ���� �������� ���� ���� � � �� �� �"���� ��������������� $�� ������ �� �������� �� �� �� �� �� � ��� � � � ��� $�� ������� �� �� �� �������� � ���� � $"���� ���� � �� ���� �� �� �'9�� �#� ����� ��� x′ = μCxF (x)− γxy � y′ = α− δy + μI(x− βx2)y, .1�32 1: x y T μC μI α β γ β x • μC • γ • F (x) y • α • δ • μI T • β 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (células tumorais) y (c él ul as T ) x y x y u x′ = μCxF (x)− γxy − kXxu, y′ = α− δy + μI(x− βx2)y − kXεyu. (a,−b) �� ������ �� � ��� �� ���� ��� �� 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (células tumorais) y (c él ul as T ) ������ �� �� �� � �� ���� �� ������ ��� ������ ������� ��� x � y ������������� ��� � ������ �� ����� ���������� � ���� ��� ������ � �� �� ������ � ��� � !��� T �� �� ���� � �� ����"#� $ ����#� �������� � %�� ���� ��� ��� � �����������&�� ax(T )− by(T )� '��� %�� ��������� ax(T )− by(T ) �������� � �� �� ��������� x(T ) � �� ������ y(T )� (� ������ �� � ���� ���� ���������� ���)� ��������� � ��� �� %����� ������� � %�� ���� ��� ��� � �����������&�� � �� ����� ∫ T 0 (cu(t) + d) dt� ���� c � d �#� ���� �� �� %�� ������� �����*��� �������� ��*����� ���� + �� ���� � ���������� ,�� � ��� ���� ����� ���"#� ��� � � ��� ���������� ���- ���� ��� J(u) = ax(T )− by(T ) + ∫ T 0 (cu(t) + d) dt. ������������ � �������� �� �� �"#� ��� � � �� � �������� �� ��� ���� . ��� � ��� ��������� �%�� ) �������� ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ��������� J(z, u) = (a,−b).z(t) + ∫ T 0 (cu(s) + d) ds � � T ���� ������ � u ∈ L1([0, T ], [0, 1]) � � z : [0, T ]→ R +, ����������� ��� �� �� �� z′ = f(z) + g(z)u, z(0) = z0, ��� ���� z = (x, y) f(z) = (f1(x, y), f2(x, y)) � g(z) = (g1(x, y), g2(x, y)) �� ������ � � � f1(x, y) = μCxF (x)− γxy, f2(x, y) = μI(x− βx2)y − δy + α, g1(x, y) = −kXx, g2(x, y) = −kY x. ,� ��"#� � ������ �������� F (x) = − log ( x x∞ ) � �� ������� ���� �� ���� �� �� ����� ���� /����� ��0� ��� ����� �� ���� �� � �� � ���� � ������� ����� ��� � ���� ��� �� ����� ������ �� ��� ���� . ��� ���� � 1������� �� ������������ � ���������� � �� (����� �� 0� � �����!����� ���������� � �� � ���������� � ���� �� ���� �� �� c = 0.05 � d = 0.001� �� ������ �� � ��� �� ���� ��� �� �������� � ���� � kX KY � a ���� �� b x∞ ��� μC ���� � μI ������� γ β ������� δ ������ α �� � ��� �� �� � ��� �� ��� �������� � ���������� ��� ��� � ! "��� � �"����#$� �� %����&"�� � %����'�(��! ���� �� ) #$� �! "��� � *�����������! � ��� � +���� H(z, λ, u) = d+ λf(z) + (d+ λg(z))u, "��� � ,��#$� �-�+ Ψ(t) � ��� � +���� Ψ(t) = d+ λ(t)g(z(t)). ��� ����.� � ! � ��� φ(z(t)) = ax(t) − by(t) = (a,−b).z(t)! � ��� " �� �����#$� � "���� /��� � λ(t) � λ(T ) = φz(z(t)) = (a,−b). �� � �� �� � ��������� � 0���1���� � �� ������� 2���� "��� � %���� �� � ���� ������ d > 0 μc γ > max { μC − δ, μI 4βγ − δ γ } � �� 3"1���� B! ����+.� �� "��(���� �"� 4 � ����� + ��/����� � "��� �� �������� � �� ��� �� �� �����,�� � � � (���� ��#$�! � ���� � 0��� �� ������� 2���� u(t) ���� � 5� d > 0� �� 3"1���� B! ����+.� �� "��(���� �"� � �����! + ��/����� � �� "����� ���(���� � ��&����� �� "����� ��" ���&����� �� %���� �� � �����,�� � �� -�"2� � � (ii) (iii) �� � �� �� �� ��/����� ����.� � Ψ(T ) �= 0 "��� ���� "���� /��� "���&+ � T ! "��� �� ,���� Ψ(T ) = 0 H(z(T ), λ(T ), u(T )) = 0 � ������ � ��� ��#6 � c+ (a,−b)G(z(t)) = 0, d+ (a,−b)f(z(t)) = 0. %�� ��� + �! � "��(���� �"� � ����� �� 3"1���� B �������� �" ��� ��� ����#$� p = z(T ) "��� �� ���� �� � ��#6 � ��� �����,�� Ψ′(t) = λ(t)[f, g](p) > 0! � ��� z(T ) �$� . "���� ���(����� 3���� �������� � ��� ��� z0 � ��� �� "���� �$�4���(����! � � ��� ����.� �����, ��� � -�"2� � (i) �� � �� �� �! ������ ����� ���� -�"2� � � �����, ����! � � ��� � � ������� 2���� u(t) . � (����� %�� ��� ��$� �"����� � 3�(������ "��� �������� ������ "���&+ �� ������� � 2�����! ����+.� ��� "����� /���� z(T )� %��� ����������� �� � ����#6 � "��� �� "����� /���� z(T )! "��� ��� ��� ��� � ! ���� Ψ(T ) < 0! �� � 5�! ���� c+ (a,−b)g(z(T )) < 0⇔ x(T ) > c a , ��$� u(T ) = 1� 3����(�� �� ! ���� x(T ) ≤ c a ! � ��� � u(T ) = 0� � ��� ����.� �� � (���� � � ����#6 � � "���� /���� �� ������ �� � ��� �� ���� ��� �� • � ����� � �� � ������ �� �� ��� �� H(z(T ), λ(T ), u(T )) = c+ f(z(T )) + (d+ (a,−b)g(z(T )))u(T ) = 0. • � ���������� � �� ��� �� dH(z(t), (a,−b), u(T )) dt ∣∣∣∣ t=T = fz(z(T )) + (a,−b)gz(z(T ))u(T ) ≥ 0. �� � � � �� � � � �� u(T ) = 1 � � x(T ) > c a � u(T ) = 0 � � x(t) ≤ c a � ���� ������������ � �� � ��� � � � � ������ � �� � ������ � x(t)� � �� � �������� � ���� � �� ������ !� ��" � ���� �� �� � ������ !� �� �� �������� �#� � �� �� � ��� � �� � �� ��� $�� � � �%� � !#�� �"�" 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x (células tumorais) y (c él ul as T ) &�#�� �"�' ������ &�� �� � � c = 0.05 d = 0.01" ( #� ����� u(t)� z(t) y(t)� ������ � ������ �� � �� ) �� ��#���� � )� � ��� � � &�#�� �"�� ����� �� &�#�� �"*" + �� !#�� � $��� � �� �� � �,�� �� � ������� - � �� ��� u(t) = 0 .� ��� � ��� ��� � �� /� � � �%� � �� �� � �,�� �� � ������� - � �� ��� u(t) = 1 .��� ��� � � ��� ��� � �� /" + !#�� �"� ��� �� �� �� ������ ���#�� � � �� �� �� 0 ≤ u(t) ≤ 1� �� ���#�� � � �� ����� $�� .�� ���� � ��� ��� ����/ � � �%� .�� ���� � � #���� ����/� � ����� ���#�� � ��� ��� ���� ��� " +�� �� � !#�� �"*� �� ��� � ����� � � ���������� � �� ��� ���� �% � � �� - � �- � ����� ���#�� � � !#�� �"�" 0��� ����� 1���2��� � � ����� ����� � � �� z(τ)� � �� � �� ��� �� � � ����� �� �� � � !#�� � �"* �"�" ��� �-� �� � �� 3 �� ��#���� � )� � #� �� z(τ) # � � ��!��� � � ������� � ,�� �� �� ������� ���#�� �� �� � � �� � &�#�� �"�" 4 �� ��� � � �� � &�#�� �"� � � �� � �� ��� � � �������� � ���� � �� ������� � ,�� ��� ������� ��� ���� � � ������ �" ��� ����� � ��� ��� �� �� � ��� �#��� ������ ����� �� (x0, y0)� � �� ���� ������� �� � ��� �� - ������ � �� � � �� � ������� � ��� � � � ������� ,�� �" +�� �� ��� ����� � ��� ��� � � �� �����$ �� � ( ������� �� ��#���� � )� �� ���� ����� ����� � (x0, y0) �