RESSALVA Atendendo solicitação do(a) autor(a), o texto completo deste trabalho será disponibilizado somente a partir de 10/10/2017. Análise de Aspectos Fundamentais de Métodos de Partículas Luciano Pereira da Silva Orientador: Prof. Dr. Messias Meneguette Junior Programa: Matemática Aplicada e Computacional Presidente Prudente, Abril, 2017 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Faculdade de Ciências e Tecnologia de Presidente Prudente Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional Análise de Aspectos Fundamentais de Métodos de Partículas Luciano Pereira da Silva Orientador: Prof. Dr. Messias Meneguette Junior Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Matemática Aplicada e Computacional da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho como re- quisito parcial para obtenção do Título de Mestre em Matemática Aplicada e Compu- tacional. Presidente Prudente, Abril, 2017 Dedico esse trabalho à minha querida irmã Elessandra (in memoriam), que em momento algum deixará de viver em meu coração e sempre estará presente em minhas memórias. Não houve um dia se quer em que não lutasse para concluir esse tão sonhado projeto de vida, e todo meu esforço não foi em vão. Esse título é nosso Tata. A saudade permanecerá até o dia de nosso reencontro, te amo. FICHA CATALOGRÁFICA Silva, Luciano Pereira da. S581a Análise de aspectos fundamentais de métodos de partículas / Luciano Pereira da Silva. - Presidente Prudente : [s.n.], 2017 100 f. Orientador: Messias Meneguette Junior Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Ciências e Tecnologia Inclui bibliografia 1. SPH. 2. Desordem das partículas. 3. Equação de Poisson. I. Meneguette Junior, Messias. II. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciências e Tecnologia. III. Título. Agradecimentos Agradeço primeiramente a Deus, pela força, saúde e misericórdia. Aos meus pais Julio e Cleunice, que nunca deixaram de me apoiar em todas as minhas decisões e bravamente lutaram para que nada me faltasse durante os estudos. Aos meus irmãos que cuidaram de meus pais em todo o tempo que estive ausente, especialmente à minha cunhada Luzia. Aos meus sobrinhos Priscila, Gabriele, Eduardo e Beatriz. Aos meus avós, Carmelita e Oriosvaldo. A toda família, em especial ao meu tio Orlando (“tio Nande”), que foi de uma genero- sidade ímpar, me proporcionando luz em meio a tanta escuridão, me apoiando como um verdadeiro Pai. Te amo tio. Ao meu amigo e responsável por todo encorajamento, Petrônio Montezuma. Certa- mente sem ele esse sonho seria muito mais difícil de se tornar realidade. Aos meus amigos e companheiros de trabalho da UTFPR de Campo Mourão. Ao meu amigo de graduação Denis Ricardo. Só Deus para retribuir tudo o que ele fez por mim. Você mora em meu coração. A minha amiga de mestrado Ellen Gervazoni e sua família, nosso contato transcendeu a amizade, você foi minha confidente, um anjo que intercedeu por mim em todos os momentos difíceis. Ao Prof. Dr. Messias Meneguetti Júnior pela orientação, paciência, cafezinhos, e principalmente por acreditar que eu seria capaz de superar todos os obstáculos que a vida colocou a minha frente. A todos os professores que tive durante o Mestrado. Em especial a professora Vanessa. As professoras Cristiane Nespoli e Gilcilene Sanchez, pelo carinho e sensibilidade. A professora Analice, por todo carinho que sempre teve por mim, e pelas correções dos trabalhos publicados. Ao conselho, coordenação e amigos do PosMAC. Aos meus pais Prudentinos, Vlademir e Dora Lina Loma, que durante dois anos foram juntamente com seus filhos e netos, a minha família. Aos meus amigos e companheiros de lar, Eder José e Victor Rodrigues. Aos meus grandes amigos: Adriana Kawabata, Pedro Catella, Juliana Marcatto, Mar- cio Barros, João Eduardo, Monique Lipe, Margarete Betio, Maria Lúcia Aponi e Roberto Cavali por todo carinho compreensão e amor. As novas amigas: Mírian Vidotto e Katia Barreto por me ajudarem a superar o luto longe de casa e de minha família. A minha grande amiga/irmã, guerreira, e fonte de inspiração, Sara Coelho da Silva. A mim, pela coragem, determinação, persistência e muitas horas de estudo. A CAPES pelo apoio financeiro. Labor improbus omnia vincit. “O futuro tem muitos nomes. Para os fracos é o inalcançável. Para os medrosos, o desconhecido. Para os valentes, a oportunidade.” Victor Hugo Resumo Atualmente, devido ao grande avanço tecnológico, o uso dos métodos de partículas (Meshfree Particle Methods), vem ganhando espaço nas simulações numéricas de escoa- mentos. O marco inicial foi o método Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) que se mostrou bastante eficiente para problemas de escoamento compressível, mas nem tanto para escoamento incompressível. Rapidamente surgiram estratégias para problemas in- compressíveis, como o Incompressible Smoothed Particle Hydrodynamics (ISPH) e o Mo- ving Particle Semi-Implicit (MPS): em ambos os métodos a pressão é atualizada por uma equação de Poisson. Assim, para se obter uma boa aproximação das equações de Navier- Stokes é necessário resolver bem a equação de Poisson. Os métodos de partículas (MPM) estão sendo usados nas mais diversas áreas e seu desenvolvimento e adequação são obje- tos de pesquisas no momento. O estudo desta dissertação visa uma análise comparativa dos aspectos teóricos do SPH: abordagem euleriana e lagrangiana; o formalismo, que tem como base a representação integral de uma função; discretização por duas aproximações fundamentais que são da função núcleo e por partículas e as respectivas consistências; tra- tamento de fronteiras e, também, um estudo detalhado sobre a influência da desordem das partículas, preocupação esta bastante recente na literatura e cujo entendimento não está ainda bem sistematizado. Um estudo comparativo, será efetuado por meio da equação de Poisson, que é objeto principal desta dissertação. A análise será feita inicialmente com as partículas fixas, uniformemente distribuídas e comparadas com distribuições perturbadas sem correção de auto ajuste. Além disso, foram desenvolvidos os códigos em Matlab R© para e geração das soluções numéricas utilizando partículas desordenadas. Palavras-Chave: Simulação, Método de partículas, Smoothed Particle Hydrodynamics, Desordem das partículas, Consistência, Equação de Poisson. Abstract Currently, due to technological advances, the use of meshfree particle methods has high importance in flow numerical simulations. The milestone was the Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) method, which proved quite efficient for problems of compressible flow, but less so for incompressible one. Quickly emerged strategies for incompressible problems, such as Incompressible Smoothed Particle Hydrodynamics (ISPH) and Moving Particle Semi-Implicit (MPS): in both methods the pressure is updated by a Poisson equa- tion. Thus, to obtain a good approximation of the Navier-Stokes equations it is necessary to solve the Poisson equation. Meshfree Particle Methods (MPM) are being used in se- veral areas and their development and adaptation are research matter at the moment. This study will provide a solid expertise in MPM, since it seeks a comparative analysis of theoretical aspects of MPM: Eulerian and Lagrangian approaches; formalism of MPMs that is based on integral representation of a function; discretization by two fundamental approximations that are of the kernel and by particles as well as the respective consisten- cies; boundary treatment and also a detailed study on the influence of particle disorder, a concern that is quite recent in the literature and whose understanding is not yet well systematized. A comparative study will be carried out through the Poisson equation, which is the main object of this dissertation. The analysis will be done initially with the fixed particles, uniformly distributed and compared with disturbed distributions without correction of self-adjustment. In addition, the codes in Matlab R© were developed for the generation of numerical solutions using disordered particles. Keywords: Simulation, Meshfree Particle Method, Smoothed Particle Hydrodynamics, Particle Disorder, Consistency, Poisson Equation. Lista de Figuras 1.1 Escoamento de partículas com volume fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1 Domínio de influência sobre uma partícula por meio da função núcleo. . . . . . . 23 2.2 A função núcleo (2.6) e suas duas primeiras derivadas. . . . . . . . . . . . 26 2.3 A função gaussiana (2.7) e suas duas primeiras derivadas. . . . . . . . . . . . . 27 2.4 A função spline cúbica (2.8) e suas duas primeiras derivadas. . . . . . . . . . . 28 2.5 A função spline quártica (2.9) e suas duas primeiras derivadas. . . . . . . . . . 29 2.6 A função spline quíntica (2.10) e suas duas primeiras derivadas. . . . . . . . . . 30 2.7 A função núcleo new quártico (2.11) e suas duas primeiras derivadas. . . . . . . 30 2.8 A função duplo cosseno (2.12) proposta por Yang (2014) e suas duas primeiras derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1 Distribuição de 225 partículas no domínio com distância uniforme entre elas. . . 39 4.2 Perturbação canônica de partículas com distância irregular, randômica e limitada por um raio R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 Distribuição de 225 partículas perturbadas no domínio. . . . . . . . . . . . . . 40 4.4 Comparação entre as partículas uniformemente distribuídas e suas posições após aplicada a perturbação canônica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.5 Distribuição de 225 partículas de forma caótica no domínio. . . . . . . . . . . . 41 4.6 Recrutamento de partículas influentes utilizando malha uniforme e distribuição caótica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.7 Esquema de partículas fantasmas do tipo I e tipo II. . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.8 Ampliação do esquema de partículas fantasmas do tipo I e II da Figura (4.7). . . 44 4.9 Esquema de partículas dummy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.10 Esquema de partículas dummy nas quinas (a) externa, e (b) interna. . . . . . . 45 5.1 Representação de uma função núcleo com diferentes distribuições de partículas e truncamento na fronteira. Fonte [24] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.1 Esquema de desordem ou perturbação canônica de partículas com ∆x = ∆y. . . 54 6.2 Análise da estimativa do erro global de G0 para campo constante via parâmetro h. 58 6.3 Análise da estimativa do erro global de G+ para campo constante via parâmetro h. 59 6.4 Comparação do erro global entre G0 e G+ para campo constante via parâmetro h. 59 6.5 Comparação da estimativa do erro global entre G0 e G+ para campo constante via parâmetro η. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.6 Análise do erro global de G0 para campo linear via parâmetro h. . . . . . . . . 60 6.7 Análise do erro global de G+ para campo linear via parâmetro h. . . . . . . . . 61 6.8 Análise do erro global de G− para campo linear via parâmetro h. . . . . . . . . 61 6.9 Comparação da estimativa do erro global entre G0, G+ e G− para campo linear via parâmetro h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 9 LISTA DE FIGURAS 10 6.10 Comparação da estimativa do erro global entre G0, G+ e G− para campo linear via parâmetro η. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.11 Análise da estimativa do erro global de MCG para campo linear via parâmetro h. 64 6.12 Análise da estimativa do erro global de MEA para campo linear via parâmetro h. 64 6.13 Comparação da estimativa do erro global entre MCG e MEA para campo linear via parâmetro η. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7.0 Aproximações para a função linear f(x, y) = x+ y. . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.0 Aproximações para a função linear f(x, y) = x+ y com η = 0.0001. . . . . . . . 76 7.0 Aproximações para a função linear f(x, y) = x+ y com η = 0.3215. . . . . . . . 77 7.1 Aproximações para a função f(x) = sen(6x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 7.2 Aproximações para a função f(x) = sen(6x) com perturbação η = 0.3215. . . . . 80 8.1 Aproximação para a equação (8.7) com função núcleo new quártico e tratamento normal de fronteira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.2 Aproximação para a equação (8.7) com função núcleo new quártico e tratamento normal de fronteira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.3 Aproximação para a equação (8.8) com função núcleo new quártico, 6400 partí- culas e tratamento normal de fronteira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.4 Aproximação para a equação (8.8) com função núcleo new quártico, 6400 partí- culas e tratamento de fronteira por partículas fantasmas do tipo I e II. . . . . . 90 8.5 Aproximação para a equação (8.8) com função núcleo new quártico, 6400 partí- culas e tratamento de fronteira por partículas dummy. . . . . . . . . . . . . . . 91 8.6 Aproximação para a equação (8.9) com tratamento de fronteira por partículas dummy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.7 Aproximação para a equação (8.9) com perturbação η = 0.3215 e tratamento de fronteira por partículas dummy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8.8 Aproximação para a equação (8.9) com perturbação η = 0.4999 e tratamento de fronteira por partículas dummy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 A.1 Interface do programa Smoothed Particle Hydrodynamics Test. . . . . . . . . . 101 Lista de Tabelas 7.1 Resultados obtidos na aproximação para f(x) = 1 com h = 1.5∆v. . . . . . 72 7.2 Resultados obtidos na aproximação para f(x) = 1 com h = 1.2k∆v. . . . . 73 7.3 Resultados obtidos na aproximação para f(x) = x com h = 1.2k∆v. . . . . 73 7.4 Erros de aproximação da função linear f(x, y) = x+ y livre de fronteira. . 74 7.5 Erros de aproximação da função linear f(x, y) = x+ y com fronteira. . . . 74 7.6 Erros de aproximação da função linear f(x, y) = x+ y com η = 0.0001. . . 75 7.7 Erros de aproximação da função linear f(x, y) = x+ y com η = 0.3215. . . 76 7.8 Erros de aproximação da função linear f(x) = sen(6x). . . . . . . . . . . . 80 8.1 Erros de aproximação da equação (8.7) com variação da razão h ∆x . . . . . . 85 8.2 Erros de aproximação da equação (8.7) com variação da razão h ∆x e η = 0.3215. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.3 Erros de aproximação da equação (8.7) com variação da razão h ∆x e η = 0.4999. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.4 Erros de aproximação da equação (8.7) com variação do número de partí- culas com η = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.5 Erros de aproximação da equação (8.7) com variação do número de partí- culas com η = 0.3215. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.6 Erros de aproximação da equação (8.7) com variação do número de partí- culas com η = 0.4999. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.7 Erros de aproximação da equação (8.8) com tratamento normal de fronteira. 88 8.8 Erros de aproximação da equação (8.8) com tratamento de fronteira por partículas fantasmas do tipo I e II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.9 Erros de aproximação da equação (8.8) com tratamento de fronteira por partículas fantasmas dummy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 8.10 Erros de aproximação da equação (8.9) com tratamento de fronteira por partículas fantasmas dummy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8.11 Síntese dos resultados obtidos na pesquisa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 11 Lista de Siglas CSPM: Corrective Smoothed Particle Method. FPM: Finite Particle Method. ISPH: Incompressible Smoothed Particle Hydrodynamics. MDF: Método de Diferenças Finitas. MCG: Monaghan-Cleary-Gingold. MEA: Formulation Morris et al.. MEF: Métodos de Elementos Finitos. MPM: Meshfree Particle Method. MPS: Moving Particle Semi-Implicit. SPH: Smoothed Particle Hydrodynamics. 13 Sumário Resumo 5 Abstract 7 Lista de Figuras 8 Lista de Tabelas 10 Lista de Siglas 13 Capítulos 1 Introdução 19 2 Estruturação Básica para o SPH 21 2.1 Representação integral de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Aproximação utilizando partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Função núcleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Propriedades da Função Núcleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Função núcleo SPH: definição e modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.1 Modelos clássicos de funções núcleo SPH . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Smoothed Particle Hydrodynamics 33 3.1 O método SPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Operadores SPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.1 Operador divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.2 Operador gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.3 Operador laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Concepção Numérica das Partículas do Método SPH 39 4.1 Modelos de distribuição das partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1.1 Distribuição uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1.2 Distribuição perturbada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.1.3 Distribuição caótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Recrutamento de partículas no suporte compacto . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2.1 Recrutamento de partículas influentes por força bruta . . . . . . . . 42 4.2.2 Recrutamento de partículas influentes por malha uniforme . . . . . 42 4.3 Tratamento de fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3.1 O tratamento de fronteira por partículas fantasmas . . . . . . . . . 43 4.3.2 Partículas dummy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.4 Estrutura do código para aproximação do operador gradiente . . . . . . . . 45 5 Consistência do Núcleo SPH: análise com distribuição uniforme das par- tículas 47 5.1 Aproximação de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.1.1 Aproximação das derivadas de uma função . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2 Consistência da aproximação por partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6 Influência da Desordem das Partículas e do Comprimento de Suavização Sobre os Operadores SPH 53 6.1 Desordem canônica de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2 Modelo de malha para testes numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.3 Avaliação da consistência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.3.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.3.2 Funções erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.3.3 Resultados de testes da consistência . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.4 Avaliação do operador gradiente SPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.4.1 Tipos de Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.4.2 Função da condição de consistência C1 0 na estimativa do gradiente . 56 6.4.3 Tipos de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.4.4 Funções Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.4.5 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.5 Avaliação do operador laplaciano SPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.5.1 Tipos de laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.5.2 Tipos de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.5.3 Função erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.5.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7 O Problema de Inconsistência das Partículas no Método SPH 67 7.1 Partícula inconsistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.2 Restauração da consistência das partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.2.1 Abordagem CSPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.2.2 Abordagem FPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.3 Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7.3.1 Zero ordem de consistência (C0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7.3.2 Primeira ordem de consistência (C1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.4 Um método SPH de alta ordem via função núcleo inversa . . . . . . . . . . 77 7.4.1 O método SPH inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.4.2 Uma adaptação do método SPH inverso com a função núcleo Dome- shaped modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.4.3 Resultados numéricos com o método SPH inverso . . . . . . . . . . 80 8 A Equação de Poisson 83 8.1 Discretização SPH para a equação de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 83 8.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 8.2.1 A equação de Poisson com condições Dirichlet de fronteira . . . . . 84 8.2.2 A equação de Poisson com condições mistas de fronteira . . . . . . 91 Apêndices A Smoothed Particle Hydrodynamics Test - SPHT 99 A.1 Iniciando o programa SPHT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 A.2 A modificação do programa SPHT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Referências 102 Capítulo 1 Introdução Atualmente, devido ao grande avanço tecnológico o uso dos métodos de partículas vem ganhando espaço nas simulações de escoamento de fluido. O primeiro método de partículas desenvolvido foi o Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) para simular pro- blemas astrofísicos. Desde então tem sido estudado e melhorado para ser aplicado em uma variedade de problemas, incluindo as equações de Navier-Stokes. O presente trabalho tem por objetivo construir as bases para investigar a consistência do método SPH que, como sabido, ao ser aplicado necessita de aproximações para os operadores Gradiente, Divergente e Laplaciano. A utilização do método das partículas para modelar problemas matemáticos acontece em praticamente todas as áreas, mas sua análise continua sendo objeto de estudos em crescente atividade na comunidade acadêmica [6, 1]. Na prática há movimentação das partículas, mas a análise da consistência é feita para problemas testes considerando partículas fixas. O diferencial proposto é a utilização de partículas fixas mas desordenadas, ou seja, que estão espacialmente dispostas de forma randômica, e não mais uniformemente dis- tribuídas. Deverão ser efetuados vários testes visando verificar a influência de uma dada desordem, o comprimento de suavização e um número crescente de partículas, para os ope- radores SPH. No trabalho, considera-se primeiramente a desordem canônica, conforme [6], que especifica uma reconfiguração de partículas uniformemente distribuídas por meio de uma perturbação leve que muda randomicamente a posição de cada uma das partículas. Um caso não abordado na literatura é o de uma distribuição randômica, que denomina-se por caótica, ou seja, a desordem advém de posições geradas aleatoriamente; compara- ções são efetuadas com a canônica para um mesmo número de partículas. Os testes de consistência são então realizados. A consistência é comumente estudada por meio de uma distribuição uniforme das partículas, de certa forma, equivalente a uma malha regular. Na prática dificilmente isso acontece. Assim, considera-se neste estudo uma distribuição randômica, ou, em outras palavras, nos perguntamos, de que maneira uma desordem, por exemplo, representada por uma perturbação na regularidade das partículas, influencia a precisão do método? Dessa forma, a consistência é estudada como a capacidade do método em resolver um problema com solução polinomial, de forma a recuperar a j-ésima derivada do polinômio de i-ésima ordem e rotulado de Cj i . Note que a recuperação do polinômio não garante que suas derivadas também sejam recuperadas. Portanto, é preciso levar em conta a consistência para as derivadas também. São quatro as condições de consistência, C0 0 , C 1 0 , C 0 1 e C1 1 sendo que cada condição de consistência Cj i é quantificada por uma função de erro local em cada partícula, conforme [6]. De forma geral, como metodologia, são usadas ideias de [1] para considerar (medir) 19 1. Introdução 20 a desordem das partículas e então [6] para verificar a influência da desordem e quais as restrições exigidas para a consistência. Para iniciar a formalização do método SPH, primeiramente destaca-se duas diferentes abordagens que especificam as características do processo de simulação computacional. Os métodos de partículas utilizam abordagem Lagrangeana, então a seguir uma breve descrição será feita. Nota-se que as quantidades físicas associadas aos elementos de fluido variam ao longo do tempo. Seguindo por exemplo [24], essas variações podem ser descritas da seguinte forma: Descrição Euleriana: ao invés de acompanhar o movimento ao longo do escoamento, considera-se um conjunto de posições fixas xi no espaço como se fossem partículas e, em seguida calcula-se as variações das quantidades físicas do fluido sempre nessas posições (veja a Figura 1.1(a)). A posição de uma partícula xi é chamada de coordenada espacial. Descrição Lagrangeana: o fluido é representado por uma coleção de partículas de fluido onde cada partícula se locomove com o escoamento, veja a Figura 1.1(b). −1 0 1 2 3 4 5 6 7 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 Descrição Euleriana X Y t0 t1 (a) Euleriana −1 0 1 2 3 4 5 6 7 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 Descrição Lagrangeana X Y t0 t1 t2 (b) Lagrangeana Figura 1.1: Escoamento de partículas com volume fixo. Na Figura 1.1 (a) a partícula fluido permanece fixa enquanto o escoamento passa por ela, por outro lado em (b) a partícula fluido se movimenta acompanhando o escoamento. Dessa forma, formaliza-se a seguir o método SPH e considera-se a descrição Lagran- geana, de modo a especificar uma nova configuração das partículas na discretização do domínio. Para isso, utiliza-se partículas desordenadamente distribuídas e procura-se de- terminar quais as influências dessa desordenação ao aproximar os operadores SPH e a equação de Poisson, principal motivação desta pesquisa. Sendo assim, amplia-se as aná- lises iniciadas por [30] e propõem-se novas estratégias com a finalidade de melhorar a consistência da aproximação por partículas. Considerações finais A Tabela 8.11 apresenta de forma sucinta os resultados obtidos neste estudo ao longo de sua evolução. Sua disposição por linhas e colunas definem toda a trajetória da pes- quisa, incluindo toda a parte de programação em Matlab R©. A primeira coluna representa a investigação realizada, tendo como base a literatura e/ou testes numéricos. A segunda coluna determina a base necessária para gerar um resultado para o problema investi- gado, por fim, a terceira coluna destaca os resultados obtidos e validados com base em livros e artigos nacionais e internacionais. Enquanto isso, as linhas determinam a ordem cronológica das investigações. Tabela 8.11: Síntese dos resultados obtidos na pesquisa. Investigação Dados Sugestão Aproximação operador gradiente gradiente diferença G− operador laplaciano MEA Restauração da consistência função constante método FPM função linear método FPM Tratamento de fronteira η = 0 partículas dummy η = 0.3215 partículas dummy η = 0.4999 partículas dummy Parâmetro α para η = 0 60 ≤ N ≤ 100 α = 1.3 N < 60 ou N > 100 α não determinado Parâmetro α para η > 0 60 ≤ N ≤ 100 α > 1.3 Função núcleo equação de Poisson new quártico Domínio [0, 1]× [0, 1] discretizar com 6400 partículas Equação de Poisson condição de Neumann diferenças compactas 6a ordem A soluções numéricas foram calculadas com software Matlab R© R2012a utilizando processador core R© i7 de 2.20 GHz e 6.0 GB de memória RAM, sem placa de vídeo dedicada. O tempo computacional para a geração da solução numérica da equação de Poisson é de ≈ 7 segundos para 1600 partículas e ≈ 7 minutos para 14400 partículas. 97 Referências [1] M. Antuono; B. Bouscasse; A. Colagrossi; S. Marrone. A measure of spatial disorder in particle methods. Computer Physics Communications, 18(10):2609–2621, 2014. [2] T. Belytschko; Y. Krongauz; D. Organ; M. Fleming; P. Krysl. Meshless methods: an overview and recent developments. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 139:3–47, 1996. [3] J. K. Chen; J. E. Beraun; T. C. Carney. A corrective smoothed particle method for boundary value problems in heat conduction. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 46:231–252, 1999. [4] S. Cummins; M. Rudman. An SPH projection method. Journal of Computational Physics, 152:584–607, 1999. [5] D. A. Fulk. A numerical analysis of smoothed particle hydrodynamics. PhD thesis, Air Force Institute of Technology, 1994. [6] C. Geoffroy; B. Samuel; W. 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