%
%%

�
�
�

,
,
,,

�
��

��

e
ee
@
@@

l
l
l

Q
QQ

HHPPP XXX hhhh (((( ��� IFT Instituto de Física Teórica
Universidade Estadual Paulista

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO IFT–D.006/13

Mecânica Quântica Supersimétrica: Aplicações

Jonathan Bolaños Coral

Orientador

Prof. Dr. Bruto M. Pimentel Escobar

Março de 2013



“A mi Zarca, mi Flaca,
mi Canela y mi Gatuna”

i



Agradecimentos

Primeiramente, agradeço ao Prof. Dr. Bruto M. Pimentel, não apenas pela
orientação no desenvolvimento desta Dissertação, mas também agradecer a
ele pela sua amizade e, em especial pelas discussões que contribuíram para
minha formação como pesquisador em Física e por me ensinar que o primeiro
dos objetivos tem que ser a procura pelo conhecimento. Infelizmente, o Prof.
Dr. Pimentel não foi meu orientador desde o início de meu Mestrado, o que
sem dúvida me fez perder. Contudo, espero que no futuro eu tenha a opor-
tunidade de continuar trabalhando com ele.

A todos os meus companheiros Brasileiros com os quais desfrutei de uma
amizade durante estes dois anos; pela paciência com meu “portunhol” e prin-
cipalmente por me aceitarem como um companheiro, apesar de não ser Bra-
sileiro; espero que essas amizades continuem e cresçam cada dia.

À Nathaly, Paulo, Pablo, Patrice e o Guilherme pela ajuda na revisão do
português nesta dissertação.

Ao Danilo Ruy, Pablo, Carlisson, Mario e ao mesmo Prof. Dr. Pimentel
por terem me ajudado com os inúmeros problemas que tive para me manter
no Brasil e para poder viajar para meu país nas férias de fim de ano.

Às funcionárias Luzinete, Rosane e a Neila, por sua disposição perma-
nente.

Finalmente, agradeço à CAPES pela bolsa de estudos, sem a qual não
seria possível realizar meu Mestrado no Brasil.

ii



Resumo

Aqui se introduz os conceitos básicos de Mecânica Quântica Supersimétrica
(SUSYQM), bem como sua aplicação nos regimes relativístico e não relati-
vístico. Discutindo inicialmente o conceito de simetria e cargas conservadas,
a álgebra da SUSYQM é introduzida. Sua aplicação é mostrada utilizando-
a para calcular as autoenergias e autofunções do Átomo de Hidrogenio e o
Oscilador Harmonico Tridimensional em ambos os regimes mencionados.

Palavras Chaves: Mecânica Quântica Supersimétrica; Átomo de Hidrogê-
nio não-relativístico; Oscilador Harmônico Tridimensional; Átomo de Hidro-
gênio relativístico; Oscilador de Dirac.

Áreas do conhecimento: Mecânica Quântica Supersimétrica.

iii



Abstract

From the concepts of supersymmetric quantum mechanics (SUSYQM) we
studied the hydrogen atom and the three-dimensional harmonic oscillator in
non-relativistic and relativistic levels .

The calculation of eigenenergies and eigenfunctions of such systems were
also performed by the conventional method in order to establish a comparison
with the results obtained from SUSYQM.

iv



Conteúdo

1 Introdução 1

2 Caso não-relativístico 8
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Átomo de hidrogênio: V (r) ∼ r−1 . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Solução explícita da equação diferencial radial . . . . . 12
2.2.3 Solução via SUSYQM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Oscilador Harmônico 3D: V (r) ∼ r2 . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2 Solução explícita da equação diferencial radial . . . . . 23
2.3.3 Solução via SUSYQM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Caso relativístico 34
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Átomo de Hidrogênio: V (r) ∼ r−1 . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.2 Solução explícita da equação diferencial radial . . . . . 37
3.2.3 Solução via SUSYQM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Oscilador de Dirac: V (r) ∼ r α̂ · β̂ . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.2 Solução via SUSYQM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Conclusão 62

5 Apêndice i
.1 Equação Diferencial Hypergeométrica . . . . . . . . . . . . . . i

v



Capítulo 1

Introdução

Simetrias e cargas conservadas : O conceito de simetria é um dos conceitos
mais importantes em Física. A maioria das pessoas tem uma ideia sobre o
que é uma simetria, no entanto, a maneira de cada uma pensar faz com que a
definição de simetria não seja universal. Além disso, para que a simetria seja
incorporada na Física, precisamos que a mesma seja descrita por uma lingua-
gem matemática, com a qual podemos trabalhar. Dessa forma, o conceito
de simetria em Física deve ser entendido no sentido das teorias de grupos e
representação, e da álgebra e geometria diferencial [1].

O tema das simetrias em Física foi historicamente desenvolvido em vir-
tude de um grande entendimento da teoria de grupos. As simetrias em Física
têm relações diretas com a física experimental por meio das leis de conserva-
ção. Conservação de energia, de momento linear e de momento angular são
quantidades medidas experimentalmente e vinculadas à invariância de um
sistema físico sob diferentes classes de transformações, no caso, transforma-
ções espaciais e por rotações, respectivamente. A relação entre as diferentes
transformações de simetria e suas correspondentes leis de transformação é
estabelecida pelo teorema de Noether [2].

Basicamente, as simetrias são classificadas em dois grandes grupos: si-
metrias do espaço-tempo e simetrias em um espaço interno [1]; e a ideia de
grupo é fundamental no desenvolvimento do primeiro grupo citado. Histori-
camente, a eletrostática e a magnetostática foram teorias descobertas inde-
pendentemente e sabemos que ambas são invariantes sob o grupo de rotações.
Atualmente sabemos que, diferentemente do que se acreditava no passado,
essas duas teorias não são totalmente independentes, elas fazem parte de uma
mesma teoria que é invariante sob o grupo de Lorentz: o eletromagnetismo
de Maxwell. Matematicamente, o grupo de Lorentz é considerado como uma
generalização do grupo de rotação, e assim, neste caso, a unificação das duas

1



teorias físicas aparentemente independentes surge como resultado de uma
ampliação dos grupos sobre os quais as teorias são construídas. Alguns fí-
sicos acreditam que estas ampliações ajudarão na formulação de uma teoria
que inclua como casos particulares todas as teorias físicas conhecidas [3].

Supersimetria: Um dos postulados da relatividade restrita é o princípio
de constância da velocidade da luz no vácuo. Este princípio é equivalente a
estabelecer a invariância do intervalo s2 = ηµνx

µxν em diferentes referenci-
ais inerciais, na expressão do intervalo (xµ) = (x0, x1, x2, x3) é um ponto da
variedade espaço-tempo. O conjunto de transformações lineares xµ = Λµ

νx
ν

que preservam o intervalo s2 constituem o chamado grupo de Lorentz. Ge-
ralmente a definição do grupo de Lorentz se faz mediante a transformação
da métrica

L := O(1, 3) =
{

Λ ∈ GL(4, R)|ΛTηΛ = η
}
, (1.1)

onde GL(4, R) é o conjunto de todas matrizes 4×4 invertíveis e de componen-
tes reais [3]. Qualquer transformação de Lorentz (TL) pode ser descomposta
como o produto de rotações, boosts, inversões temporais e inversões com-
pletas. Sendo assim, é suficiente estudar rotações e boosts. Sabemos que
existem três rotações e três boosts, então as TL são descritas em função
de seis parâmetros [4]. Outro postulado da relatividade restrita estabelece
que todos os fenômenos físicos são invariantes perante translações espaço-
temporais. Fisicamente, este postulado representa a isotropia do espaço e
do tempo. As translações espaço-temporais podem ser expressas da forma
xµ → x′µ = xµ+aµ, onde aµ é um quadrivetor constante arbitrário. Este tipo
de transformação também deixa invariante o intervalo. O grupo de Poincaré
é o grupo de todas as transformações reais no espaço de Minkowski da forma

xµ → x′µ = Λµ
νx

ν + aµ, aµ = constante (1.2)

que deixa invariante o intervalo. Por sua definição, o grupo de Poincaré tem
10 geradores e denotaremos como Mµ os geradores das TL e como P µ os
geradores das translações. Podemos mostrar que

[Pµ, Pν ] = 0, (1.3a)
[Mµν , Pρ] = i(ηνρPµ − ηµρPν), (1.3b)
[Mµν ,Mρσ] = −i(ηµρMνσ − ηµσMνρ − ηνρMµσ + ηνσMµρ). (1.3c)

Existe um importante teorema que vincula os geradores do grupo de Poincaré
e a matriz S. O teorema se conhece como o teorema de Coleman e Mandula
[5], e estabelece que a álgebra de Lie de simetrias da matriz S mais geral é

[Pµ, Bl] = 0, (1.4a)
[Mµν , Bl] = 0, (1.4b)

2



onde {Bl} é um conjunto finito formado por operadores escalares de Lorentz
que satisfazem a álgebra [Bl, Bm] = iC k

lmBk e C k
lm são as constantes de

estrutura desta álgebra de Lie [3].
Uma álgebra de Lie graduada Z2 é um espaço vetorial L que pode ser

considerado como a soma direta de dois subespaços, Lo e L1, no qual atua
um produto ◦ : L×L→ L, tal que se L(o)

1 , L
(o)
2 ∈ Lo e L

(1)
1 , L

(1)
2 ∈ L1. Assim,

temos

1. L(o)
1 ◦ L

(o)
2 ∈ Lo,

2. L(o)
1 ◦ L

(1)
1 ∈ L1,

3. L(1)
1 ◦ L

(1)
2 ∈ Lo.

Álgebra de Lie graduada Z2: Uma álgebra linear L = Lo ⊕ L1 pode ser
considerada um grading de Z2 se o produto ◦ : L× L→ L atua como

Lo ◦ Lo ⊂ Lo, (1.5a)
Lo ◦ L1 ⊂ L1, (1.5b)
L1 ◦ L1 ⊂ Lo, (1.5c)

e Lo é uma álgebra de Lie. Para tudo xµ ∈ L existe um g ∈ {0, 1} o qual é
determinado com as regras

g(xµ) = 0⇔ xµ ∈ Lo, (1.6a)
g(xµ) = 1⇔ xµ ∈ L1. (1.6b)

Se g(xµ) = 0, se diz que x é par, no caso contrário x é impar. Definimos o
produto como

xµ ◦ xν = xµxν − (−1)g(xµ)g(xν)xµxν , (1.7)

assim, se Lo = espan {Bi}, i = 1, 2, · · · , dimLo, L1 = espan {Qa}, a =
1, 2, · · · , dimL1 e L = espan {xµ}, onde espan {y} representa o espacio ex-
pandido pelos elementos do conjunto {y}, temos

Bi ◦Bj = [Bi, Bj] , (1.8a)
Bi ◦Qa = [Bi, Qa] , (1.8b)
Qa ◦Qb = {Qa, Qb} . (1.8c)

Essas definições são suficientes para fazer uma extensão da álgebra de Poin-
caré.

Extensão da álgebra de Poincaré: Uma possibilidade para extensão da
álgebra de Poincaré é utilizar uma álgebra de Lie graduada Z2 na qual

3



1. Lo : Álgebra de Poincaré,

2. L1 = espan{Qa}, a = 1, 2, 3, 4,

e neste caso, exigindo que as relações (1.5) sejam satisfeitas, temos que (1.9)
fica

Pµ ◦Qa = [Pµ, Qa] = 0, (1.9a)
Mµν ◦Qa = [Mµν , Qa] = −(σµν)abQb, (1.9b)
Qa ◦Qb = {Qa, Qb} = a(γµC)abP

µ, (1.9c)

onde a é uma constante arbitrária. De (1.9c) e assumindo que os Q são
espinores de Majorana temos que Qa ◦ Qb =

{
Qa, Qb

}
= −a(γµ)abPµ. No

caso de P 0 definido positivo geralmente se adota a convenção a = −2, assim,
no referencial em repouso

{
Qa, Qb

}
= 2γ0abP0. Logo, 8P0 =

{
Qa, Qb

}
γ0ba, do

qual

P0 =
1

8

(
Qaγ

0 T
ab Qb +Qbγ

0
baQa

)
,

=
1

8

(
Qaγ

0 T
ab Q

†
cγ

0
cb +Q†cγ

0
cbγ

0
baQa

)
,

=
1

8

(
QaQ

†
a +Q†aQa

)
. (1.10)

Como os espinores de Majorana são reais, então

H ≡ P0 =
1

4

∑
a

Q2
a. (1.11)

Por definição, um estado |Ω〉 é supersimétrico se Qa|Ω〉 = 0. Escrevendo
a expressão

{
Qa, Qb

}
= 2(γµ)abPµ em função de espinores de Weyl obtemos{

QA, Q
B
}

= 0, (1.12a){
QA, QḂ

}
= 2σµ

AḂ
Pµ, (1.12b){

Q
Ȧ
, QḂ

}
= 0, (1.12c){

Q
Ȧ
, QB

}
= 2σµȦBPµ. (1.12d)

Uma completa dedução dessas expressões pode ser encontrada em [3]. A
álgebra dada por (1.9) é conhecida como álgebra supersimétrica e seu estudo
deu origem a supersimetria [6].

4



Atualmente a supersimetria é uma importante linha de pesquisa, muitos
pesquisadores acreditam que se é possível desenvolver uma teoria que inclua
todas as teorias atuais, então essa teoria deve ser supersimétrica.

Mecânica quântica supersimétrica: De (1.11) vemos que todo estado pos-
sível |ψ〉 cumpre

〈ψ|H|ψ〉 ≥ 0. (1.13)

Diz-se que supersimetria não é quebrada se

〈Ω|H|Ω〉 = 0, (1.14)

é o mínimo valor possível de 〈ψ|H|ψ〉. No caso contrário, se diz que super-
simetria é quebrada. Se um estado supersimétrico existe, ele tem que ser
necessariamente o estado fundamental, e assim a supersimetria não é espon-
taneamente quebrada. Na procura de um mecanismo de quebra dinâmica
de supersimetria por efeitos não perturbativos, foi formulada a mecânica
quântica supersimétrica (SUSYQM), atualmente a SUSYQM e uma teoria
grandemente desenvolvida e aplicada [7]. Por definição, um sistema da me-
cânica quântica supersimétrica é um sistema no qual os operadores de carga
Qj comutam com o superhamiltoniano, isto é,

[H,Qj] = 0, j = 1, 2, · · · , N (1.15)

e seguem a álgebra
{Qj, Qk} = δjkH, (1.16)

onde δjk é a delta de Kronecker [8]. Essa álgebra é caso não-relativístico da
álgebra supersimétrica.

Uma Simples Realização: o caso mais simples da álgebra da SUSYQM é
com N = 2. Neste caso [9], a construção dos operadores de carga pode ser
feita assumindo a existência de operadores bosônicos

A =
~√
2m

d

dx
+W (x), A† = − ~√

2m

d

dx
+W (x), (1.17)

que cumprem [
A,A†

]
=

√
2

m

dW

dx
~ (1.18)

e de operadores fermiônicos

f =

(
0 1
0 0

)
, f † =

(
0 0
1 0

)
(1.19)

que satisfazem {
f, f †

}
= 1. (1.20)

5



Com esses operadores é possível construir os operadores de carga

Q ≡
(

0 0
A 0

)
, Q† ≡

(
0 A†

0 0

)
. (1.21)

Usando esses dois operadores, se constrói o superhamiltoniano fica definido
como

H ≡
(
A†A 0

0 AA†

)
. (1.22)

Pode-se mostrar que esses operadores de carga e o hamiltoniano seguem a
álgebra da SUSYQM. Na construção anterior, vimos que os operadores fermi-
ônicos são completamente definidos, porém os operadores bosônicos depen-
dem da determinação do superpotencial W (x). Diferentes superpotenciais
implicam na determinação de diferentes operadores bosônicos, e consequen-
temente, diferentes superhamiltonianos. Uma importante característica da
SUSYQM é que a mesma é uma teoria formulada em uma dimensão [8].

Um breve comentário sobre método de fatoração: Os métodos de fatora-
ção de operadores diferenciais são partes de uma área de pesquisa puramente
matemática, não dependendo do fato de que o operador diferencial possa ser
utilizado na construção de uma equação da física, em particular em mecânica
quântica [10]. Os métodos de fatoração de equações diferenciais são muito
utilizados no caso das equações de valores próprios [11]. Estes métodos apre-
sentam uma importante característica: são aplicáveis unicamente nos casos
de espectros de energia discretos e as equações diferenciais não precisam ser
resolvidas mediante a substituição de séries de potências.

Os espectros dos sistemas estudados nesta dissertação são discretos, en-
tão podem ser estudados com os métodos de fatoração e isto é justamente
o que fazemos nesta dissertação, aqui fatoramos os hamiltonianos de qua-
tro sistemas quânticos e mostramos que os operadores resultantes seguem a
álgebra de SUSYQM, assim, utilizando as propriedades desses operadores,
encontramos as autofunções e as autoenergias de cada um dos sistemas.

Os elementos da diagonal do superhamiltoniano (1.22) definem dois ha-
miltonianos H1 = A†A e H2 = AA† os quais estão evidentemente relaciona-
dos, pois são resultados de uma fatoração em função de dois operadores. A
técnica básica utilizada na determinação do superhamiltoniano é uma classe
particular dos métodos de fatoração de equações diferenciais, contudo, nesta
dissertação desenvolvemos os cálculos com a linguagem e dentro do contexto
da SUSYQM.

A ordem desta Dissertação: Esta Dissertação tem como objetivo principal
apresentar as noções básicas da SUSYQM fazendo a sua aplicação no estudo
de dois sistemas físicos realmente importantes: o Átomo de Hidrogênio (AH)

6



e o Oscilador Harmônico Tridimensional (OAT). O estudo desses dois siste-
mas se desdobra em dois casos, o não-relativístico e o relativístico. No caso
não-relativístico os sistemas são modelados com a equação de Schrödinger
(ES) e no caso relativístico a equação utilizada é a equação de Dirac (ED).
Mostraremos que SUSYQM, que é uma teoria desenvolvida para sistemas em
uma dimensão, pode ser utilizada para estudar a parte radial destes siste-
mas. Enquanto à ordem desta dissertação, além deste capítulo introdutório,
apresentamos mais três capítulos. No capítulo 2, desenvolvemos o aspecto
não-relativístico do AH e o OAT. O capítulo 3, inclui a parte relativística.
No capítulo 4, apresentaremos as conclusões e as perspectivas.

7



Capítulo 2

Caso não-relativístico

2.1 Introdução
A equação com a qual se estuda a dinâmica dos sistemas da mecânica quân-
tica não relativística é a ES. Existe uma grande quantidade de sistemas
quânticos no nível não-relativístico que podem ser estudados com SUSYQM,
isso significa que, a SUSYQM pode ser aplicada no caso de algumas equações
de Schrödinger, dependendo da forma do potencial. No caso de potenciais
que dependem das coordenadas e do tempo a ES não pode ser resolvida pelo
método de separação de variáveis. Contudo caso de potenciais que dependem
só das coordenadas a ES é separável. Na representação de coordenadas a ES
é [

− ~2

2m0

∇2 + V − i~ ∂
∂t

]
Ψ = 0 (2.1)

onde V é o potencial. Se o potencial é radial, ou seja, se o potencial é da forma
V = V (r), é natural tentar solucionar a equação utilizando coordenadas
esféricas. Em coordenadas esféricas o laplaciano é

∇2 =
1

r2
∂

∂r

(
r2
∂

∂r

)
+

1

r2 sin(θ)

∂

∂θ

(
sin(θ)

∂

∂θ

)
+

1

r2 sin2(θ)

(
∂2

∂φ2

)
. (2.2)

Com este laplaciano e procurando soluções independentes do tempo da forma
Ψ(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ), a ES (2.1) é

− ~2

2m0

[Θ(θ)Φ(φ)

r2
d

dr

(
r2
dR(r)

dr

)
+
R(r)Φ(φ)

r2 sin(θ)

d

dθ

(
sin(θ)

dΘ(θ)

dθ

)
+
R(r)Θ(θ)

r2 sin2(θ)

(
d2Φ(φ)

dφ2

)]
+ [V (r)− E]R(r)Θ(θ)Φ(φ) = 0, (2.3)

8



logo, multiplicando essa equação por −2m0r
2/~2R(r)Θ(θ)Φ(φ) obtemos

1

R(r)

d

dr

(
r2
dR(r)

dr

)
− 2m0r

2

~2
[V (r)− E] +

1

sin(θ)Θ(θ)

d

dθ

(
sin(θ)

dΘ(θ)

dθ

)
+

1

sin2(θ)Φ(φ)

(
d2Φ(φ)

dφ2

)
= 0. (2.4)

Nessa equação, os dois primeiros termos dependem unicamente da coorde-
nada r, os outros dois termos dependem só de θ e φ, assim

d

dr

(
r2
dR
dr

)
− 2m0r

2

~2
[V (r)− E] = l(l + 1)R = 0, (2.5a)

1

Θ(θ)

d

dθ

(
sin(θ)

dΘ(θ)

dθ

)
+

1

Φ(φ)

d2Φ(φ)

dφ2
= −l(l + 1) sin2(θ), (2.5b)

onde l(l + 1) é uma constante se separação, aplicando um procedimento
similar na segunda dessas equações, obtemos finalmente que a ES (2.1) é
equivalente ao sistema

d

dr

(
r2
dR(r)

dr

)
− 2m0r

2

~2
[V (r)− E]R(r) = l(l + 1)R(r), (2.6a)

sin(θ)
d

dθ

(
sin(θ)

dΘ(θ)

dθ

)
+ l(l + 1) sin2(θ)Θ(θ) = m2Θ(θ), (2.6b)

d2Φ(φ)

dφ2
= −m2Φ(φ), (2.6c)

onde m é outra constante de separação. A equação 2.6a é a equação radial
e suas soluções são as autofunções radiais (FR). Utilizando a propriedade
Φ(θ+ 2π) = Φ(θ) na equação (2.6c), obtemos a condição m = 0,±1,±2, · · · .
A solução fisicamente aceitável de (2.6b) é Θ(θ) = APm

l (cos(θ)) onde A é
uma constante e

Pm
l (x) = (1− x2)|m|/2

(
d

dx

)|m| [
1

2ll!

(
d

dx

)l (
x2 − 1

)l] (2.7)

são os polinômios de Legendre associados [12]. Essa expressão só tem sentido
se l é inteiro não negativo e, se |m| > l temos Pm

l (x) = 0, logo, as condições
em l e m são

l = 0, 1, 2, · · · (2.8a)
m = −l,−l + 1,−l + 2, · · · ,−1, 0, 1, · · · , l − 2, l − 1, l, (2.8b)

9



assim, para todo l existem 2l+1 valores possíveis dem. A função de onda an-
gular Y(θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ), é normalizada sob a condição

∫ 2π

0

∫ π
0
|Y(θ, φ)|2 sin(θ)dθdφ =

1, assim

Y(θ, φ) = ε

√
2l + 1

4π

(l − |m|)!
(l + |m|)!

exp (imφ)Pm
l (cos(θ)), (2.9)

na qual ε = (−1)m, para m ≥ 0 e ε = 1 para m ≤ 0 [13]. Comumente a
equação (2.6a) é escrita utilizando a função de onda radial reduzida (FRR)
U(r) = rR(r), assim a parte radial da ES (2.1) é[

− ~2

2m0

d2

dr2
+

~2

2m0

l(l + 1)

r2
+ V (r)− E

]
U(r) = 0, (2.10)

onde a condição de normalização desta nova variável é
∫∞
0
|U(r)|2dr = 1. Do

sistema (2.8) e da equação (2.10), vemos que as autoenergias desta classe de
sistemas dependem unicamente da coordenada radial e podem ser calculadas
utilizando a equação (2.10). Uma caraterística especial do operador desta
equação é o fato que pode ser fatorado como o produto de dois operadores que
seguem a álgebra da SUSYQM, logo, todo sistema quântico não-relativístico
que apresente um potencial radial em principio pode ser estudado com o
formalismo da SUSYQM.

Neste capítulo vamos mostrar que SUSYQM pode ser aplicada no caso
de dois importantes sistemas quânticos não-relativísticos para os quais o po-
tencial é radial; o AHNR e o OAT. Com o objetivo de conseguir uma melhor
completude conceitual da aplicação do formalismo da SUSYQM nessa classe
de sistemas, primeiramente se resolverá tais problemas utilizando o método
convencional, a solução explícita das equações diferenciais e, finalmente apre-
sentaremos as respectivas comparações dos métodos.

10



2.2 Átomo de hidrogênio: V (r) ∼ r−1

2.2.1 Introdução

No eletromagnetismo clássico, duas partículas carregadas estáticas interagem
por meio do campo eletrostático que cada uma delas geram. A consideração
que o campo elétrico é estático pode ser uma boa aproximação quando as
acelerações das cargas são pequenas. O problema de dois corpos interagindo
mediante o campo eletrostático é muito importante e é matematicamente
análogo ao problema de dois corpos interagindo mediante o campo gravita-
cional newtoniano.

No estudo do problema de dois corpos é usual considerar que um deles
tenha a massa muito maior que a massa do outro, logo, é possível assumir
que o corpo de maior massa permanece na mesma posição. No caso que
uma das cargas tenha uma magnitude pequena no sentido que o campo que
gera não modifica sustancialmente a magnitude do campo gerado pela outra
carga e sua aceleração é baixa, é possível estudar o problema de uma carga no
interior de um campo eletrostático Coulombiano. O principal modelo clássico
do AH consiste em um elétron de carga −e ≈ −1.6 × 10−19 e massa me ≈
9.11× 10−31kg ligado a um próton de carga e e massa mp (mp ≈ 1836me), a
força sobre o elétron é F = −kr/r3, onde k ≡ e2/4πε0 ≈ 9×109×e2N ·m2/C2

e r é o vetor de posição do elétron com respeito ao próton e r sua magnitude.
Da força que experimenta o elétron, temos que a sua energia potencial é
central e tem a forma V (r) = −k/r. Em mecânica quântica o AHNR é
o sistema descrito pela ES para o potencial central V (r) = −k/r [13], esse
potencial é radial e então as autofunções podem ser calculadas com a equação
(2.10) para esse potencial[

− ~2

2m0

d2

dr2
+

~2

2m0

l(l + 1)

r2
− k

r
− E

]
U(r) = 0, (2.11)

a fatoração desse tipo de equações tem uma relação com o fechamento das
orbitas clássicas [14]. Para solucionar a equação (2.11) na procura de estados
ligados devemos exigir que as energias sejam negativas, no caso de energias
positivas a equação se associa ao espalhamento do elétron [15], métodos de
fatoração podem ser utilizados para a solução [16]. Em referencia à rela-
ção entre supersimetria e o AHNR, uma supersimetria exata no AHNR já
foi encontrada [17], as autofunções desse sistema podem ser calculadas via
supersimetria [18]. A solução do átomo de hidrogênio supersimétrico em
diferentes dimensões foi tratada em [19].

11



2.2.2 Solução explícita da equação diferencial radial

Como se discutiu anteriormente, no caso de estados ligados as autoenergias
têm de ser negativas, esse fato faz com que seja conveniente introduzir a
constante κ2 = 2m|E|/~2, logo a equação (2.11) pode ser escrita como[

− 1

κ2
d2

dr2
+
l(l + 1)

κ2r2
− 2mk

~2κ2r
+ 1

]
U(r) = 0, (2.12)

e fazendo as substituições ρ = κr e ρ0 = 2mk/~2κ, obtemos[
d2

dρ2
− l(l + 1)

ρ2
+
ρ0
ρ
− 1

]
U(ρ) = 0. (2.13)

Para encontrar a solução dessa equação de segunda ordem primeiramente
vamos encontrar as soluções das equações diferenciais obtidas em casos limite.
Com essas funções é possível propor a forma da função U(ρ).

O limite ρ→∞

Nesse limite os termos proporcionais a ρ−1 e ρ−2 em (2.13), decrescem rapi-
damente, assim [

d2

dρ2
− 1

]
Uρ→∞(ρ) = 0, (2.14)

essa equação diferencial é muito conhecida nos estudos de dinâmica de uma
partícula, cuja solução geral é Uρ→∞(ρ) = A exp(−ρ) + B exp(ρ), onde A e
B são constantes. Entretanto, precisa-se que esta função seja normalizável,
exigindo que a constante B seja nula, a solução fisicamente admissível é

Uρ→∞(ρ) = A exp(−ρ). (2.15)

Essa função limite depende do fato que o potencial decresce com a distância,
sem isso o terceiro termo de (2.13) não poderia ser descartado.

O limite ρ→ 0

Nesse limite o termo proporcional a ρ−2 cresce rapidamente em comparação
aos outros termos de (2.13), assim[

d2

dρ2
− l(l + 1)

ρ2

]
Uρ→0(ρ) = 0, (2.16)

12



procurando uma solução da forma

Uρ→0(ρ) = ρα
∞∑
µ=0

aµρ
µ, (2.17)

podemos obter

d2

dρ2
Uρ→0(ρ) = ρα−2

[
α(α− 1)

∞∑
µ=0

aµρ
µ + 2α

∞∑
µ=0

µaµρ
µ +

∞∑
µ=0

µ(µ− 1)aµρ
µ

]
.

(2.18)
Substituindo (2.17) e (2.18) em (2.16), obtemos as duas condições

α(α− 1)− l(l + 1) = 0, (2.19a)
µ(2α + µ− 1) = 0, (2.19b)

e assim Uρ→0(r) = Aρl+1 + Bρ−l, contudo o termo proporcional a ρ−l cresce
ilimitadamente quando ρ aproxima-se de zero, logo, a constante B tem de
ser nula e

Uρ→0(ρ) = Aρl+1. (2.20)

Esse resultado depende da forma do potencial e é válido para todo potencial
proporcional a ρn com n > −2, caso contrário o termo angular de (2.13) não
é o termo que cresce mais rapidamente nesse limite.

Autofunções radiais

Obtidas as funções limite (2.15) e (2.20), podemos propor que a forma geral
da FRR é

U(ρ) = ρl+1 exp(−ρ)f(ρ), (2.21)

na qual f(ρ) é uma função ainda não conhecida. A especificação dessa função
vai determinar a FRR totalmente. Substituindo (2.21) em (2.13) vemos que
a função f(ρ) precisa satisfazer a equação[

ρ
d2

dρ2
+ 2(l + 1− ρ)

d

dρ
+ [ρ0 − 2(l + 1)]

]
f(ρ) = 0, (2.22)

substituindo nessa equação a solução em série de potências

f(ρ) =
∞∑
µ=0

aµρ
µ, (2.23)

13



encontramos que os coeficientes têm de cumprir a relação de recorrência

aµ+1 =
2[µ+ (l + 1)]− ρ0

(µ+ 1)[µ+ 2(l + 1)]
aµ. (2.24)

Essa relação de recorrência é sempre válida, no entanto, a FRR (2.21) tem
de ser normalizável, esse fato faz com que precisemos impor uma condição
aos aµ com o intuito que a função (2.23) não divirja. No caso de grandes
valores de µ a relação de recorrência (2.24) pode se aproximar como

aµg+1 ≈
2

µg + 1
aµg , (2.25)

na qual o subíndice g indica que o µ é suficientemente grande. Supondo que
existe um ai+1 não nulo com i + 1 igual a um valor particular de µg que
satisfaça

aµg ≈
2

µg

2

µg − 1
· · · 2

i+ 2
ai+1 =

2µg−i−1(i+ 1)!

µg!
ai+1, (2.26)

temos

fg(ρ) ∼ ai+1(i+ 1)!

2i+1

∞∑
µg=0

(2ρ)µg

µg!
=
ai+1(i+ 1)!

2i+1
exp(2ρ), (2.27)

substituindo essa função em (2.21), obtemos

Ug(ρ) ∼ ai+1(i+ 1)!

2i+1
ρl+1 exp(ρ). (2.28)

A função g(ρ) = ρl+1 exp(ρ) é sempre crescente com ρ, o que faz com que
seja uma função não é normalizável, no entanto, Ug(ρ) ∼ ai+1(i + 1)!/2i+1,
logo, a não normalizabilidade de g(ρ) implica a não normalizabilidade de
Ug(ρ) unicamente se o coeficiente ai+1(i + 1)!/2i+1 não é nulo, o qual só é
possível se ai+1 = 0. De (2.23) vemos que ai+1 não pode ser o primeiro
dos coeficientes, nesse caso a função f(ρ) se anularia, pois todos os termos
seriam nulos. Se o primeiro dos coeficientes nulos é o ai+1, então o último
dos coeficientes não nulo é o ai, assim, a função f(ρ) é um polinômio de grau
i. De (2.24) vemos que a condição ai+1 = 0 implica ρ0 = 2(i + l + 1), os
valores possíveis de i e l são inteiros, isso faz com que a quantidade i+ l+ 1
também seja inteira, além do que, diferentes valores de i e l podem gerar o
mesmo valor de i + l + 1, sugerindo essas duas caraterísticas a definição de
número quântico principal

n = i+ l + 1. (2.29)

14



Em função dele podemos dizer que f(ρ) é um polinômio de grau n − l − 1
em ρ, logo, a FRR (2.21) não normalizada é

Unl(ρ) ∼ ρl+1 exp(−ρ)
n−l−1∑
µ=0

aµρ
µ. (2.30)

Das definições de ρ e ρ0 temos ρ = 2mkr/ρ0~2, onde ρ0 = 2n foi a condição
encontrada pela existência de um ai+1 = 0, logo ρ = r/an onde a = ~2/mk
é o raio de Bohr. Assim, a FR não normalizada Rnl(r) = Unl(r)/r é

Rnl(r) ∼
1

r

( r

an

)l+1

exp
(
− r

an

) n−l−1∑
µ=0

aµ

( r

an

)µ
, (2.31)

o subíndice nl mostra que a FR depende dos dois números quânticos.

Autoenergias

Na subseção anterior vimos que a existência de um ai+1 = 0 implica ρ0 = 2n,
onde n é o número quântico principal. Além disso, vimos que ρ0 = 2mk/~2κ
onde κ = 2m|E|/~2, estas relações implicam

En = −

[
m

2~2

(
e2

4πε0

)2
]

1

n2
, n = 1, 2, · · · (2.32)

isto é, o AHNR tem um espectro discreto de energia e os valores possíveis
dependem apenas do número quântico principal.

2.2.3 Solução via SUSYQM

A equação para a FRR (2.11) resulta[
− ~2

2m

d2

dr2
+

~2

2m

l(l + 1)

r2
− k

r

]
U(r) = EU(r), (2.33)

a qual pode se escrever como

~2

m

[
−1

2

d2

dr2
+
l(l + 1)

2r2
− 1

ar

]
U(r) = EU(r), (2.34)

onde a = ~2/mk, aqui definimos o hamiltoniano

Hl ≡
~2

m

[
−1

2

d2

dr2
+
l(l + 1)

2r2
− 1

ar

]
. (2.35)

15



Veremos que esse hamiltoniano pode ser fatorado como o produto de dois
operadores A e A† com os quais é possível fazer a construção de um su-
perhamiltoniano de maneira que esses operadores satisfaçam a álgebra da
SUSYQM.

Fatoração da equação radial

Para que seja possível aplicar as técnicas próprias da SUSYQM apresenta-
das no primeiro capítulo ao estudo do hamiltoniano (2.35), primeiramente
esse hamiltoniano deve ser fatorado como um produto de dois operadores
os quais têm de ser hermiticamente conjugados. Pela forma dos termos do
hamiltoniano (2.35), procuramos uma fatoração da forma

Hl =

(
−αd
dr

+
β(l + δ)

r
− γk

(l + δ)a

)(
αd

dr
+
β(l + δ)

r
− γk

(l + δ)a

)
, (2.36)

onde α, β e γ são contantes ainda indeterminadas. Não é possível encontrar
α, β e γ pelas quais a equação (2.36) seja satisfeita diretamente, no entanto,
fazendo as escolhas α = β = γ ≡ ~/

√
2m , obtemos os operadores

Alδ ≡
~√
2m

[
− d

dr
+

(l + δ)

r
− 1

(l + δ)a

]
, (2.37a)

A †
lδ ≡

~√
2m

[
d

dr
+

(l + δ)

r
− 1

(l + δ)a

]
, (2.37b)

os quais, além de ser hermitianos conjugados satisfazem

AlδA
†

lδ =
~2

m

[
−1

2

d2

dr2
+

1

2

(l + δ)(l + δ + 1)

r2
− 1

ra
+

1

2a2(l + δ)2

]
. (2.38)

O produto resultado da troca dos operadores é

A †
lδ Alδ =

~2

m

[
−1

2

d2

dr2
+

1

2

(l + δ − 1)(l + δ)

r2
− 1

ra
+

1

2a2(l + δ)2

]
, (2.39)

solucionadas as equações (l + δ)(l + δ + 1) = l(l + 1) e (l + δ − 1)(l + δ) =
l(l+ 1) vemos que o produto de operadores da forma (2.38) pode ser escrito
como a soma do hamiltoniano Hl e uma constante unicamente no caso δ =
0. Similarmente, com um produto de operadores da forma (2.39) o mesmo
resultado pode unicamente ser obtido com δ = 1. Adicionando a quantidade
~2/2ma2l2 nos dois lados da equação (2.34), obtemos

Al0A
†

l0 U(r) =

[
E +

~2

2ma2l2

]
U(r), (2.40)

16



correspondentemente, adicionando o termo ~2/2ma2(l+1)2 à mesma equação

A †
l1 Al1U(r) =

[
E +

~2

2ma2(l + 1)2

]
U(r). (2.41)

Contudo, as duas equações não podem ser adequadas para o estudo da equa-
ção (2.34) com o formalismo da SUSYQM. O critério para a escolha de uma
dessas duas equações será apresentado na seguinte subseção.

Definição dos operadores de escada

A forma da equação (2.40) sugere estudar a possibilidade de se encontrar uma
função normalizável U+

l0 (r) que satisfaça a equação A †
l0 U

+
l0 (r) = 0, similar-

mente, (2.41) sugere procurar uma função normalizável U−l1 (r) que satisfaça
Al1U−l1 (r) = 0, o que explicitamente, essas equações diferenciais são[

d

dr
+
l

r
− 1

la

]
U+
l0 (r) = 0, (2.42a)[

− d

dr
+

(l + 1)

r
− 1

(l + 1)a

]
U−l1 (r) = 0, (2.42b)

com soluções gerais

U+
l0 (r) = C0r

−l exp
[ r
la

]
, (2.43a)

U−l1 (r) = C1r
l+1 exp

[
− r

(l + 1)a

]
, (2.43b)

nas quais C1 e C2 são constantes ainda indeterminadas. As funções da forma
(2.43a) são não normalizáveis, pelo qual não podem descrever uma particula
ligada, no entanto∫ ∞

0

[
U−l1 (r)

]2
dr = C1

2Γ[2l + 3]

[
(l + 1)a

2

]2l+3

, (2.44)

desses resultados, podemos concluir que unicamente (2.41) inclui a equação
(2.34), pois oferece a possibilidade de encontrar uma autofunção normalizável
para o estado fundamental. Alem do mais, o primer tipo de funções não é
normalizavel no caso l = 0.

17



Identificação de SUSYQM no sistema.

Vimos que os operadores adequados para a fatoração são

Al1 ≡
~√
2m

[
− d

dr
+

(l + 1)

r
− 1

(l + 1)a

]
, (2.45a)

A †
l1 ≡

~√
2m

[
d

dr
+

(l + 1)

r
− 1

(l + 1)a

]
, (2.45b)

a existência de um estado fundamental que se pode destruir com a aplicação
do operador Al1 é uma importante caraterística para considerar os opera-
dores anteriores como operadores escada. Com Al1 e A †

l1 construímos os
operadores de carga e o superhamiltoniano, os hamiltonianos componentes
do superhamiltoniano são

A †l1Al1 =
~2

m

[
−1

2

d2

dr2
+
l(l + 1)

2r2
− 1

ra
+

1

2a2(l + 1)2

]
, (2.46a)

Al1A
†
l1 =

~2

m

[
−1

2

d2

dr2
+

(l + 1)(l + 2)

2r2
− 1

ra
+

1

2a2(l + 1)2

]
.(2.46b)

Então, o AHNR pode ser estudado totalmente com o formalismo da SUSYQM,
pois o hamiltoniano A †l1Al1 que compõe o superhamiltoniano é o hamiltoniano
que difere em uma só constante do hamiltoniano Hl.

Autofunção e autoenergia do estado fundamental

Por definição, o estado fundamental tem a propriedade de ser aniquilado
pelo operador de destruição. A única possibilidade para a FRR do estado
fundamental é U−l1 (r) apresentada em (2.43b). No entanto, primeiramente
esta função deve ser normalizada utilizando a equação (2.44), assim

U (0)(r) =

√
[2/(l + 1)a]2l+3

Γ[2l + 3]
rl+1 exp

[
− r

(l + 1)a

]
, (2.47)

na qual o simbolo (0) indica que se trata do estado fundamental. Substituindo
esta função em (2.41) encontramos a energia associada com esse estado

EU(0) = − ~2

2ma2(l + 1)2
. (2.48)

Invertendo o ordem dos operadores na equação (2.41) podemos obter a nova
equação

Al1A
†

l1 V(r) =

[
E +

~2

2ma2(l + 1)2

]
V(r), (2.49)

onde V(r) é uma nova função. As equações (2.41) e (2.49) são vinculadas
mediante a SUSYQM.

18



Autofunções e autoenergias dos estados excitados

Explicitamente as equações (2.41) e (2.49) podem ser escritas como[
− ~2

2m

d2

dr2
+

~2

2m

l(l + 1)

r2
− ~2

mar
− E

]
U(r) = 0, (2.50a)[

− ~2

2m

d2

dr2
+

~2

2m

(l + 1)(l + 2)

r2
− ~2

mar
− E

]
V(r) = 0, (2.50b)

das quais podemos ver que o operador da equação (2.50b) pode ser obtido
do operador da equação (2.50a) fazendo a troca l → l + 1, assim, a função
do estado fundamental do conjunto de autofunções {V(r)} pode ser obtida
diretamente da função (2.47) utilizando a mesma troca, logo

V(0)(r) =

√
[2/(l + 2)a]2l+5

Γ[2l + 5]
rl+2 exp

[
− r

(l + 2)a

]
, (2.51)

correspondentemente a energia desse estado pode ser obtida da energia (2.48)
mediante o mesmo procedimento de substituição, assim

EV(0) = − ~2

2ma2(l + 2)2
. (2.52)

O conjunto de equações (2.41) e (2.49) inclui os dois hamiltonianos que for-
mam o superhamiltoniano. Este fato faz com que exista uma relação entre
os conjuntos de funções {U(r)} e {V(r)}, como foi explicado no capítulo
de introdução, em particular a autofunção não-normalizada do primeiro es-
tado excitado é U (1)(r) ∼ A †

l1 V(0)(r) e EU(1) = EV(0) , assim, a autofunção
não-normalizada e a correspondente autoenergia são

U (1)(r) ∼ A †
l1 r

l+2 exp

[
− r

(l + 2)a

]
, (2.53a)

EU(1) = − ~2

2ma2(l + 2)2
. (2.53b)

A equação (2.50b) foi obtida de um operador do tipo (2.38) no qual δ = 1,
no entanto, essa equação também pode ser obtida utilizando um operador
do tipo (2.39)com δ = 2. Em correspondência, deve existir outra equação
similar à equação (2.50b) construída utilizando operadores do tipo (2.38)
com δ = 2, assim podemos construir as equações[

− ~2

2m

d2

dr2
+

~2

2m

(l + 1)(l + 2)

r2
− ~2

mar
− E

]
V(r) = 0, (2.54a)[

− ~2

2m

d2

dr2
+

~2

2m

(l + 2)(l + 3)

r2
− ~2

mar
− E

]
W(r) = 0, (2.54b)

19



onde pode-se obter a equação (2.54b) de (2.54a) fazendo a troca l → l + 1,
assim, utilizando (2.51) teremos

W(0)(r) =

√
[2/(l + 3)a]2l+7

Γ[2l + 7]
rl+3 exp

[
− r

(l + 3)a

]
, (2.55)

de maneira similar, a energia associada com esse estado pode ser obtida de
(2.52)

EW(0) = − ~2

2ma2(l + 3)2
. (2.56)

O fato que as duas equações (2.50) sejam relacionadas por SUSYQM garante
que a autofunção não-normalizada do segundo estado excitado seja U (2)(r) ∼
A †
l1 V(1)(r), da mesma maneira, as equações (2.54) garantem que V(1)(r) ∼

A †
l2 W(0)(r) e, as correspondentes relações entre as energias são EU(2) = EV(1)

e EV(1) = EW(0) , assim, a autofunção não-normalizada e a correspondente
autoenergia são

U (2)(r) ∼ A †
l1 A

†
l2 r

l+3 exp

[
− r

(l + 3)a

]
, (2.57a)

EU(2) = − ~2

2ma2(l + 3)2
. (2.57b)

A função do estado fundamental (2.47), a sua energia (2.48) e as corres-
pondentes expressões para o primeiro e segundo estado excitado e as suas
energias apresentadas em (2.53) e (2.57), são casos particulares das relações
gerais

U (N)(r) ∼ A †
l1 A

†
l2 · · ·A

†
lN rl+N+1 exp

[
− r

(l +N + 1)a

]
, (2.58a)

EU(N) = −
[

~2

2ma2(l +N + 1)2

]
, (2.58b)

nessas expressões temos o termo l + N + 1. Para diferentes valores de l e
N os valores de energia podem ser diferentes, porém, para todos os possíveis
valores de l e N que gerem o mesmo número l +N + 1 os valores de energia
são iguais, fato esse que sugere a definição do número quântico principal

n = l +N + 1. (2.59)

20



Com a definição desse número quântico as expressões finais para as autofun-
ções radiais não-normalizadas e as autoenergias são

Rnl(r) ∼
1

r

N∏
i=1

A †
li r

n exp
[
− r

na

]
, (2.60a)

En = −
[

~2

2ma2

]
1

n2
, (2.60b)

onde
∏N

i=1A
†
li = A †

l1 A
†

l2 · · ·A
†

lN sendo a ordem dos operadores relevantes.

Exemplos

Vamos apresentar alguns exemplos do cálculo de diferentes autofunções ra-
dias

Rnl(r) ∼
1

r

N∏
i=1

A †
li r

n exp
[
− r

na

]
, (2.61)

onde os operadores A †
li são

A †
li ≡

~√
2m

[
d

dr
+

(l + i)

r
− 1

(l + i)a

]
. (2.62)

Como sugere a notação das autofunções (2.61) a escolha da autofunção se
faz mediante a determinação dos dois números quânticos n e l, o número N
fica implícito com a relação N = n − l − 1. A especificação desse número
é muito importante, pois determina o número de operadores que atuam na
função geratriz rn exp [−r/na].

As autofunções que têm o número quântico principal menor ou igual a
três se mostram na seguinte tabela:

n l Rnl(r) N = n− l − 1

1 0 R10(r) 0
2 0 R20(r) 1
2 1 R21(r) 0
3 0 R30(r) 2
3 1 R31(r) 1
3 2 R32(r) 0

Caso n = 1:
Como vemos na tabela a única possibilidade para n = 1 é

R10(r) ∼ exp
(
−r
a

)
(2.63)

21



Caso n = 2:
Neste caso existem dois possíveis valores do número quântico angular, l =
0, 1, assim, existem duas autofunções

R20(r) ∼
1

r
A †
l1 r

2 exp
(
− r

2a

)
=

1

r

~√
2m

[
d

dr
+

1

r
− 1

a

]
r2 exp

(
− r

2a

)
=

2~√
2m

[
1− r

2a

]
exp

(
− r

2a

)
(2.64)

e

R21(r) ∼ r exp
(
− r

2a

)
. (2.65)

Caso n = 3:
Neste caso existem três possíveis valores do número quântico angular, l =
0, 1, 2, assim, existem três autofunções

R30(r) ∼
1

r
A †
l1 A

†
l2 r

3 exp
(
− r

3a

)
=

(
~√
2m

)2
1

r

[
d

dr
+

1

r
− 1

a

] [
d

dr
+

2

r
− 1

2a

]
r3 exp

(
− r

3a

)
= 5

(
~√
2m

)2
1

r

[
d

dr
+

1

r
− 1

a

]
r2
(

1− r

6a

)
exp

(
− r

3a

)
=

15~2

2m

(
1− 2r

3a
+

2r2

27a2

)
exp

(
− r

3a

)
, (2.66)

R31(r) ∼
1

r
A †
l1 r

3 exp
(
− r

3a

)
=

~√
2m

1

r

[
d

dr
+

2

r
− 2

a

]
r3 exp

(
− r

3a

)
=

5~√
2m

r
(

1− r

6a

)
exp

(
− r

3a

)
(2.67)

e

R32(r) ∼ r2 exp
(
− r

3a

)
. (2.68)

Todas essas FRR são totalmente iguais às funções de FRR não-normalizadas
que podem ser obtidas com a equação (2.31), método apresentado nos textos
usuais [13].

22



2.3 Oscilador Harmônico 3D: V (r) ∼ r2

2.3.1 Introdução

Em mecânica clássica, é dito que uma partícula oscila quando se desloca
periodicamente em relação a sua posição de equilíbrio. Entre os movimen-
tos oscilatórios um dos mais importantes é o movimento harmônico simples
(MHS). É dito que um partícula descreve um MHS se sobre ela age uma
força F = −ker , onde ke é uma constante positiva de proporcionalidade e r
é o vetor de posição da partícula com respeito a sua posição de equilíbrio.
Em geral esse vetor pode ter componentes nas três dimensões. A partícula
que descreve um MHS é chamada oscilador harmônico simples (OHS), em
ocasiões, o estudo do OHS pode ser feito em função de sua energia, a energia
potencial de um OHS é V (r) = mω2r2/2, na qual ω =

√
ke/m é a frequência

das oscilações e m é a massa da partícula. O OHS é um dos sistemas clás-
sicos mais importantes pelo fato de que toda partícula oscilante, no limite
de pequenas oscilações pode ser aproximada como um desses osciladores.
Em mecânica quântica, o sistema descrito pela equação de Schrödinger para
um potencial central V (r) = mω2r2/2 é chamado oscilador harmônico tri-
dimensional (OHT) [13]. A conexão entre o fechamento de orbitas clássicas
e possíveis fatorações da parte radial da ES associada ao OHT é tratada
em [14]. A dinâmica do OHT foi estudada por P. Kundrat [20] e algumas
propriedades das autofunções deste sistema se estudam em [21]. O OHT é
particularmente importante no estudo do modelo de camadas em Física Nu-
clear, pois nesse modelo os nucleões individuais se deslocam em um potencial
médio o que é aproximado como um potencial de OHT [15]. Geralmente o
OHT é estudado em mecânica quântica relativista utilizando métodos con-
vencionais [22], não entanto também pode ser estudado com a utilização dos
métodos da SUSYQM [23].

2.3.2 Solução explícita da equação diferencial radial

Como foi dito na introdução desta seção, em mecânica quântica o OHT é o
sistema descrito por a ES para o potencial V (r) = mω2r2/2. Nesse caso a
equação (2.10) resulta em[

− ~2

2m

d2

dr2
+

~2

2m

l(l + 1)

r2
+

1

2
mω2r2

]
U(r) = EU(r), (2.69)

23



de maneira semelhante à seção anterior, introduzindo a constante κ2 =
−2m|E|/~2, podemos reescrever a equação acima como[

− 1

κ2
d2

dr2
+
l(l + 1)

κ2r2
+
m2ω2

~2κ2
r2 + 1

]
U(r) = 0, (2.70)

a partir da qual fazendo as substituições ρ = κr e ρ0 = mω/~κ2 obtemos[
d2

dρ2
− l(l + 1)

ρ2
− ρ20ρ2 − 1

]
U(ρ) = 0. (2.71)

Para solucionar essa equação diferencial utilizaremos o mesmo método do
capítulo anterior. Primeiramente estudaremos as soluções das equações dife-
renciais que são obtidos calculando certos limites de ρ.

O limite ρ→∞

Nesse limite o termo de momento angular na equação (2.71) é muito pequeno
em comparação aos outros termos e ρ20ρ2 + 1 ≈ ρ20ρ

2, logo a equação resulta
em [

d2

dρ2
− ρ20ρ2

]
Uρ→∞(ρ) = 0, (2.72)

cuja solução

Uρ→∞(ρ) = A
√
ρI1/4

(
1

2
ρ0ρ

2

)
+B
√
ρK1/4

(
1

2
ρ0ρ

2

)
, (2.73)

onde Iα(x) e Kα(x) são as funções de Bessel modificadas de primeira e se-
gunda espécie, respectivamente. No limite ρ → ∞ o termo com a fun-
ção de Bessel de primeira espécie introduz divergências, no caso da função
de Bessel de segunda espécie no limite ρ → ∞ utilizamos a propriedade
Kα(x) =

√
π/2x exp(−x) [12], logo

Uρ→∞(ρ) ∼ exp

(
−1

2
ρ0ρ

2

)
. (2.74)

O limite ρ→ 0

Contrariamente ao caso anterior, nesse limite o termo de momento angular
é o termo relevante, nesse limite a equação (2.13) resulta em[

d2

dρ2
− l(l + 1)

ρ2

]
Uρ→0(ρ) = 0, (2.75)

equação essa obtida no capítulo anterior, e cuja solução encontrada foi

Uρ→0(ρ) = Bρl+1. (2.76)

24



Autofunções Radiais

Com as soluções das equações diferenciais obtidas nos casos limite da variável
ρ (2.74) e (2.76), podemos continuar a construção da FRR geral, que precisa
ter a forma

U(ρ) = ρl+1 exp

(
−ρ0ρ

2

2

)
f(ρ), (2.77)

na qual f(ρ) é uma função ainda não conhecida. Substituindo essa função
em (2.71), obtemos que a função f(ρ) tem que satisfazer[

d2

dρ2
+ 2

(
l + 1

ρ
− ρ0ρ

)
d

dρ
− [ρ(2l + 3) + 1]

]
f(ρ) = 0, (2.78)

introduzindo a nova variável t = ρ0ρ
2, obtemos[

t
d2

dt2
+

(
l +

3

2
− t
)
d

dt
−
[

1

2

(
l +

3

2

)
− 1

4ρ0

]]
f(t) = 0, (2.79)

que é uma equação diferencial de Kummer [ver apêndice], então a solução
geral é

f(ρ) = A 1F1

[
1

2

(
l +

3

2
− 1

2ρ0

)
, l +

3

2
; ρ0ρ

2

]
+Bρ−(2l+1)

1F1

[
1

2

(
−l +

1

2
− 1

2ρ0

)
,−l +

1

2
; ρ0ρ

2

]
, (2.80)

no caso l 6= 0 o segundo termo fica proporcional a ρ−(2l+1) e não pode ser
normalizado pelo seu comportamento perto do ρ = 0. No caso l = 0

R(ρ, l = 0) = A exp

(
−ρ0ρ

2

2

)
1F1

[
1

2

(
3

2
− 1

2ρ0

)
,
3

2
; ρ0ρ

2

]
+Bρ−1 exp

(
−ρ0ρ

2

2

)
1F1

[
1

2

(
1

2
− 1

2ρ0

)
,
1

2
; ρ0ρ

2

]
, (2.81)

a forma do segundo termo faz com que seja divergente na origem o que implica
que este termo contribui infinitamente na energia cinética média, mantendo
a energia potencial média. Esse fato não é aceitável e o termo precisa ser
eliminado, logo, B = 0. Uma descrição detalhada dessa divergência pode ser
encontrada em [13]. Das propriedades da função 1F1(a, c;x) [ver apêndice],
sabemos que o primeiro termo de (2.80) é normalizável se

1

2

(
l +

3

2
− 1

2ρ0

)
= −n, onde n = 0, 1, 2, · · · , (2.82)

25



logo, a FR não normalizada, em função da variável original r = ρ/κ, é

Rnl(r) = rl exp
(
−mω

2~
r2
)

1F1

[
−n, l +

3

2
;
mω

~
r2
]
, (2.83)

na qual os subíndices nl indica que as FRs em geral dependem dos dois
números quânticos n e l. Essas FRs não-normalizadas podem ser escritas em
função dos polinômios de Laguerre associados [ver .1.6 do apêndice].

Rnl(r) = rl exp
(
−mω

2~
r2
)
Ll+1/2
n

(mω
~
r2
)
. (2.84)

Autoenergias

Utilizando as relações ρ0 = mω/~κ2 e κ2 = −2m|E|/~2 vemos que (2.82) é
equivalente a

Enl = ~ω
(

2n+ l +
3

2

)
, onde n, l = 0, 1, 2, · · · . (2.85)

Nesta expressão vemos que as autoenergias dependem dos dois números quân-
ticos n e l, o que é uma importante diferença com o AHNR, para o qual as
autoenergias dependem só do numero quântico n.

2.3.3 Solução via SUSYQM

Como foi discutido anteriormente o potencial sob o elétron atômico está
submetido é o potencial de Coulomb gerado pelo próton do núcleo, potencial
esse é radial e, nesse caso a equação para a FRR (2.10) resulta em[

− ~2

2m

d2

dr2
+

~2

2m

l(l + 1)

r2
+

1

2
mω2r2

]
U(r) = EU(r). (2.86)

Essa equação pode ser reescrita de um modo mais conveniente

~2

2m

[
− d2

dr2
+
l(l + 1)

r2
+
m2ω2

~2
r2
]
U(r) = EU(r), (2.87)

onde definimos o hamiltoniano

Hl ≡
~2

2m

[
− d2

dr2
+
l(l + 1)

r2
+
m2ω2

~2
r2
]
. (2.88)

Para que SUSYQM seja aplicável ao OHT, é preciso que o hamiltoniano
anterior possa ser fatorado como o produto de dois operadores A e A†, como
foi discutido na introdução.

26



Fatoração da equação radial

Pela forma dos termos do hamiltoniano (2.88), procuramos uma fatoração

Hl =

(
−αd
dr

+
β(l + δ)

r
− γr

)(
αd

dr
+
β(l + δ)

r
− γr

)
, (2.89)

onde α, β e γ são constantes ainda indeterminadas. Não é possível encontrar
α, β e γ de tal maneira que a equação (2.89) seja cumprida exatamente.
Entretanto, escolhendo α = β = ~/

√
2m e γ = ω

√
m/2 construímos os

operadores

Alδ ≡
~√
2m

[
− d

dr
+

(l + δ)

r
− mω

~
r

]
, (2.90a)

A †
lδ ≡

~√
2m

[
d

dr
+

(l + δ)

r
− mω

~
r

]
, (2.90b)

que são tais que

AlδA
†

lδ =
~2

2m

[
− d2

dr2
+

(l + δ)(l + δ + 1)

r2
+
(mω

~

)2
r2 − mω

~
(2l + 2δ − 1)

]
.

(2.91)
O resultado da troca dos operadores fornece

A †
lδ Alδ =

~2

2m

[
− d2

dr2
+

(l + δ − 1)(l + δ)

r2
+
(mω

~

)2
r2 − mω

~
(2l + 2δ + 1)

]
.

(2.92)
Solucionando as equações (l + δ)(l + δ + 1) = l(l + 1) e (l + δ − 1)(l +
δ) = l(l + 1) vemos que o produto de operadores da forma (2.91) pode ser
escrito como a soma do hamiltoniano Hl e uma constante unicamente no
caso δ = 0. Similarmente, com um produto de operadores da forma (2.92) se
obtém o mesmo hamiltoniano mais uma constante com δ = 1. Adicionando
a quantidade −~ω(2l − 1)/2 nos dois lados da equação (2.87) obtemos

Al0A
†

l0 U(r) =

[
E − 1

2
~ω(2l − 1)

]
U(r). (2.93)

Analogamente, adicionando −~ω(2l+ 3)/2 nos dois lados da mesma equação
obtemos

A †
l1 Al1U(r) =

[
E − 1

2
~ω(2l + 3)

]
U(r). (2.94)

27



Definição dos operadores escada

Como no caso do AHNR, a forma da equação (2.93) sugere estudar a pos-
sibilidade de se encontrar uma função normalizável U+

l0 (r) que cumpra com
A †
l0 U

+
l0 (r) = 0. Similarmente (2.94) sugere procurar outra função norma-

lizável U−l1 (r) que satisfaça Al1U−l1 (r) = 0. Explicitamente, essas equações
diferenciais são [

d

dr
+
l

r
− mω

~
r

]
U+
l0 (r) = 0, (2.95a)[

− d

dr
+

(l + 1)

r
− mω

~
r

]
U−l1 (r) = 0, (2.95b)

e as soluções são

U+
l0 (r) = C1r

−l exp
[mω

2~
r2
]
, (2.96a)

U−l1 (r) = C2r
l+1 exp

[
−mω

2~
r2
]
, (2.96b)

nas quais C1 e C2 são constantes. As funções da forma (2.96a) são não
normalizáveis, entretanto, no caso das funções do tipo (2.96b) temos∫ ∞

0

[
U−l1 (r)

]2
dr = C2Γ[l + 3/2]

[
~
mω

]l+3/2

. (2.97)

Desses resultados é possível concluir que unicamente (2.94) pode ser utilizada
para o estudo do OAT com formalismo da SUSYQM.

Identificação de SUSYQM no sistema

Na subseção anterior vimos que os operadores adequados para a fatoração
são

Al1 ≡
~√
2m

[
− d

dr
+

(l + 1)

r
− mω

~
r

]
, (2.98a)

A †
l1 ≡

~√
2m

[
d

dr
+

(l + 1)

r
− mω

~
r

]
. (2.98b)

De maneira análoga aos operadores (2.45), esses operadores também podem
ser considerados como operadores escada, o operador Al1 é um operador de
destruição devido à existência de um estado fundamental, que pode ser des-
truído pela ação deste operador. Com esses operadores, Al1 e A †

l1 , também

28



é possível introduzir os operadores de carga e o superhamiltoniano com ha-
miltonianos componentes

A †
l1 Al1 =

~2

2m

[
− d2

dr2
+
l(l + 1)

r2
+
(mω

~

)2
r2 − mω

~
(2l + 3)

]
, (2.99)

e

Al1A
†

l1 =
~2

2m

[
− d2

dr2
+

(l + 1)(l + 2)

r2
+
(mω

~

)2
r2

− mω

~
(2l + 1)

]
. (2.100)

Assim, o OAT pode ser estudado totalmente com o formalismo da SUSYQM,
pois o hamiltoniano A †l1Al1 que compõe o superhamiltoniano difere somente
de uma constante do hamiltoniano Hl do OHT.

Autofunção e autoenergia do estado fundamental

Vimos que unicamente a equação

A †
l1 Al1U(r) =

[
E − 1

2
~ω(2l + 3)

]
U(r), (2.101)

é adequada para o estudo do OHT com o formalismo da SUSYQM. A FRR
de estado base pode ser construído utilizando as relações (2.95b) e (2.97),
dita FRR é

U (0)(r) =

√
(mω/~)l+3/2

Γ[l + 3/2]
rl+1 exp

[
−mω

2~
r2
]
. (2.102)

Substituindo essa função em (2.101), encontramos a autoenergia associada
com o estado fundamental

EU(0) = ~ω
(
l +

3

2

)
. (2.103)

Invertendo o ordem dos operadores na equação (2.101) podemos obter uma
nova equação

Al1A
†

l1 V(r) =

[
E − 1

2
~ω(2l + 1)

]
V(r). (2.104)

As equações (2.101) e (2.104) são vinculadas por SUSYQM. Os lados direitos
das relações (2.101) e (2.104) são diferentes, o termo ~ω(2l + 3) pode ser
obtido do termo ~ω(2l+ 1) fazendo a substituição l→ l+ 1, nos cálculos das

29



energias essa diferença precisa ser considerada. Explicitamente as equações
(2.101) e (2.104) podem ser escritas como[

− ~2

2m

d2

dr2
+

~2

2m

l(l + 1)

r2
+

1

2
mω2r2 − E

]
U(r) = 0, (2.105a)[

− ~2

2m

d2

dr2
+

~2

2m

(l + 1)(l + 2)

r2
+

1

2
mω2r2 − E

]
V(r) = 0,(2.105b)

a equação (2.105b) pode ser obtida de (2.105a) com a troca l→ l + 1, logo

V(0)(r) =

√
(mω/~)l+5/2

Γ[l + 5/2]
rl+2 exp

[
−mω

2~
r2
]
, (2.106a)

EV(0) = ~ω
(
l +

5

2

)
. (2.106b)

Autofunções e autoenergias dos estados excitados

Com as autofunções de estado fundamental calculadas podemos obter as
autofunções dos estados exitados utilizando as relações apresentadas na In-
trodução, as quais neste caso são

U (n+1)(r) ∼ A†V(n)(r), (2.107a)
V(n)(r) ∼ AU (n+1)(r), (2.107b)
EU = EV(l→ l + 1), (2.107c)

em (2.107c) introduziu-se a correção de l → l + 1 da qual se falou ante-
riormente. Utilizando (2.106), (2.107a) e (2.107c) temos que a autofunção
não-normalizada e autoenergia do primeiro estado excitado são

U (1)(r) ∼ A†rl+2 exp
[
−mω

2~
r2
]
, (2.108a)

EU(1) = ~ω
(
l +

7

2

)
. (2.108b)

Em analogia a (2.105) podemos construir o sistema de equações[
− ~2

2m

d2

dr2
+

~2

2m

(l + 1)(l + 2)

r2
+

1

2
mω2r2 − E

]
V(r) = 0,(2.109a)[

− ~2

2m

d2

dr2
+

~2

2m

(l + 2)(l + 3)

r2
+

1

2
mω2r2 − E

]
W(r) = 0,(2.109b)

30



essas equações são construídas utilizando os operadores A †
l2 Al2 e Al2A †

l2

respetivamente, assim em analogia à construção de (2.102) e (2.103) temos
que

W(0)(r) = rl+3 exp
[
−mω

2~
r2
]
, (2.110a)

EW(0) = ~ω
(
l +

7

2

)
. (2.110b)

das quais em analogia à construção de (2.108) temos

V(1)(r) ∼ A †
2 r

l+3 exp
[
−mω

2~
r2
]
, (2.111a)

EV(1) = ~ω
(
l +

9

2

)
, (2.111b)

com a qual podemos gerar a segunda autofunção de estado excitado do con-
junto {U(r)}, utilizando (2.107) obtemos

U (2)(r) ∼ A †
1 A

†
2 r

l+3 exp
[
−mω

2~
r2
]
, (2.112a)

EU(2) = ~ω
(
l +

11

2

)
. (2.112b)

na qual A †
1 ≡ A†. É possível mostrar que as relações (2.102), (2.103), (2.108)

e (2.112) são casos particulares das relações gerais

Unl(r) ∼ A †
l1 A

†
l2 · · ·A

†
ln r

l+n+1 exp
[
−mω

2~
r2
]
, (2.113a)

Enl = ~ω
(

2n+ l +
3

2

)
. (2.113b)

De (2.113a) temos que a expressão para as autofunções radiais não normali-
zadas é

Rnl(r) ∼
1

r

n∏
i=1

A †
li r

l+n+1 exp
[
−mω

2~
r2
]
. (2.114)

onde
∏n

i=1A
†
li = A †

l1 A
†

l2 · · ·A
†

ln sendo o ordem dos operadores relevante.

Exemplos

Apresentaremos alguns exemplos do cálculo de diferentes autofunções radiais
não normalizadas

Rnl(r) ∼
1

r

n∏
i=1

A †
li r

l+n+1 exp
[
−mω

2~
r2
]
, (2.115)

31



onde os operadores A †
li são escritas como

A †
li ≡

~√
2m

[
d

dr
+

(l + i)

r
− mω

~
r

]
. (2.116)

Escolhendo alguns valores de n e l para os quais o estado tem a mesma
energia, podemos escrever a seguinte tabela

n l Rnl(r) Enl

0 0 R00(r) 3~ω/2
0 1 R01(r) 5~ω/2
1 0 R10(r) 7~ω/2
0 2 R02(r) 7~ω/2
1 1 R11(r) 9~ω/2
0 3 R03(r) 9~ω/2
2 0 R20(r) 11~ω/2
1 2 R12(r) 11~ω/2
0 4 R04(r) 11~ω/2

Calculando algumas destas autofunções temos
Caso n = 0:

De (2.115), vemos que neste caso o produto dos operadores é igual á identi-
dade, logo

R0l(r) ∼ rl exp
[
−mω

2~
r2
]
, (2.117)

assim, alguns casos particulares são

R00(r) ∼ exp
[
−mω

2~
r2
]
, (2.118a)

R01(r) ∼ r exp
[
−mω

2~
r2
]
, (2.118b)

R02(r) ∼ r2 exp
[
−mω

2~
r2
]
, (2.118c)

R03(r) ∼ r3 exp
[
−mω

2~
r2
]
. (2.118d)

Caso n = 1:
Neste caso precisa-se aplicar unicamente um dos operadores

R1l(r) ∼
1

r
A †
l1 r

l+2 exp
(
−mω

2~
r2
)
,

=
1

r

~√
2m

[
d

dr
+
l + 1

r
− mω

~
r

]
rl+2 exp

(
−mω

2~
r2
)
,

=
2~√
2m

[(
l +

3

2

)
− mω

~
r2
]
rl exp

(
−mω

2~
r2
)
. (2.119)

32



assim, alguns casos particulares são

R10(r) ∼
2~√
2m

[(
3

2

)
− mω

~
r2
]
r exp

(
−mω

2~
r2
)
, (2.120a)

R11(r) ∼
2~√
2m

[(
5

2

)
− mω

~
r2
]
r1 exp

(
−mω

2~
r2
)
, (2.120b)

R12(r) ∼
2~√
2m

[(
7

2

)
− mω

~
r2
]
r2 exp

(
−mω

2~
r2
)
, (2.120c)

R13(r) ∼
2~√
2m

[(
9

2

)
− mω

~
r2
]
r3 exp

(
−mω

2~
r2
)
. (2.120d)

Todas essas funções são iguais às FR não-normalizadas que podem ser obtidas
com a equação (2.84) o qual é o método apresentado nos textos usuais [15].

33



Capítulo 3

Caso relativístico

3.1 Introdução
Uma das equações com as quais se estudam muitos sistemas da Mecânica
Quântica Relativística é a equação de Dirac (ED) [24]. A ES é uma equa-
ção não-relativística que, em representação de coordenadas, pode-se escrever
como [

− ~2

2m

∑
j

∂2

∂xj2
+ V (r , t)− i~ ∂

∂t

]
Ψs(r , t) = 0, (3.1)

a forma dessa equação mostra, evidentemente, a sua não covariância e,
quando substituindo os operadores desta equação pelas variáveis dinâmicas
correspondentes obtemos a equação clássica E = p2/2m+ V (r , t). Em par-
ticular, esse resultado implica que as partículas com momento zero e que não
estão no interior de um potencial, não têm energia, este fato mostrando que
a ES não pode descrever partículas para as quais a sua energia em repouso
m0c

2 é relevante. Uma generalização relativística e covariante da ES tem que
apresentar a mesma ordem nas derivadas para as diferentes coordenadas e,
no caso de momento p e potencial zero, as partículas devem ter uma energia
de repouso m0c

2. Dessa ultima consideração, vemos que a nova equação pre-
cisa de um novo termo que dependa da energia em repouso. A apropriada
extensão relativística da ES é a ED[

−i~cα̂ · ∇+m0c
2β̂ + V (r , t)− i~ ∂

∂t

]
Ψd(r , t) = 0, (3.2)

onde
α̂ =

(
0 σ̂
σ̂ 0

)
, β̂ =

(
1 0
0 −1

)
, (3.3)

34



e Ψd(r , t) é o espinor de Dirac [24]. Dois sistemas relativísticos que podem
ser estudados com a ED são o Átomo de Hidrogênio Relativístico (AHR) e o
Oscilador de Dirac (OA).

3.2 Átomo de Hidrogênio: V (r) ∼ r−1

3.2.1 Introdução

O estudo do AHNR foi apresentado no segundo capítulo. Importantes efeitos
do AH só podem ser discutidos em análises relativísticas desse sistema, que
podem ser feitas utilizando a ED para o elétron no interior do mesmo po-
tencial de Coulomb gerado pelo núcleo utilizado no segundo capítulo V (r) =
−k/r [25], neste caso a ED (3.2) resulta em[

−i~cα̂ · ∇+m0c
2β̂ − k

r
− i~ ∂

∂t

]
Ψ(r , t) = 0, (3.4)

possíveis simetrias do AHR foram fortemente discutidas [26]. A equação (3.4)
pode ser resolvida perturbativamente [27] e diretamente utilizando coorde-
nadas esféricas [15], neste ultimo caso definimos o operador

~k̂ = β̂
[
σ̂′ · L̂+ ~

]
, (3.5)

no qual, substituindo o momento angular L̂ = −i~r̂ ×∇, obtemos

~k̂ = β̂ [−i~σ̂′ · (r̂ ×∇) + ~] ,

= −i~β̂σ̂′ · (r̂ ×∇) + ~β̂, (3.6)

utilizando a propriedade

iσ̂′ ·
(
Â× B̂

)
=
(
α̂ · Â

)(
α̂ · B̂

)
− Â · B̂, (3.7)

podemos escrever

~k̂ = −~β̂ [(α̂ · r̂) (α̂ · ∇)− r̂ · ∇] + ~β̂,
= −~β̂ (α̂ · r̂) (α̂ · ∇) + ~β̂r̂ · ∇+ ~β̂, (3.8)

multiplicando por r−1β̂ os dois lados da equação e utilizando a propriedade
β̂2 = Î, obtemos

~r−1β̂k̂ = −~
(
α̂ · r−1r̂

)
(α̂ · ∇) + r−1

(
~r̂ · ∇+ ~Î

)
, (3.9)

35



na qual o operador r−1r̂ = êr é o operador vetor unitário na direção da
coordenada r . Decompondo o operador vetor α̂ em coordenadas esféricas e
fazendo a multiplicação dos dois lados da equação pela matriz α̂r, temos

~
α̂r
r
β̂k̂ = −~α̂2

r (α̂ · ∇) +
α̂r
r

(~r̂ · ∇+ ~) , (3.10)

assumindo que α̂2
r = Î, multiplicando toda a equação por i e olhando a unica

componente não trivial ao fazer atuar o operador ∇, é a componente radial,
obtemos por fim

−i~α̂ · ∇ = i~
α̂r
r
β̂k̂ − i α̂r

r

(
~r̂ · êr

∂

∂r
+ ~
)
,

= i~
α̂r
r
β̂k̂ − i~α̂r

∂

∂r
− i~ α̂r

r
, (3.11)

substituindo esse resultado na ED para o AHR (3.4), resulta[
i~c

α̂r
r
β̂k̂ − i~cα̂r

∂

∂r
− i~cα̂r

r
+m0c

2β̂ − k

r
− i~ ∂

∂t

]
Ψ(r , t) = 0, (3.12)

procurando uma solução da forma Ψ(r , t) = ψ(r)φ(t), observa-se que nossa
ED é equivalente às duas equações

i~
dφ(t)

dt
= Eφ(t), com solução φ(t) = exp

(
−iEt

~

)
(3.13)

e [
i~c

α̂r
r
β̂k̂ − i~cα̂r

d

dr
+m0c

2β̂ − k

r
− i~cα̂r

r
− E

]
ψ(r) = 0 (3.14)

nas quais E é uma constante de separação. Explicitamente a equação (3.14)
resulta em

i~c
k̂

r

(
0 i
i 0

)(
F (r)
G(r)

)
+ ~c

d

dr

(
0 −I
I 0

)(
F (r)
G(r)

)
+m0c

2

(
I 0
0 −I

)(
F (r)
G(r)

)
+ ~

c

r

(
0 −I
I 0

)(
F (r)
G(r)

)
=

[
E +

k

r

](
I 0
0 I

)(
F (r)
G(r)

)
, (3.15)

a qual é equivalente as duas equações

~c
dG

dr
+ ~c

κ

r
G−

[
E +m0c

2 +
k

r

]
F = 0, (3.16a)

~c
dF

dr
− ~c

κ

r
F +

[
E −m0c

2 +
k

r

]
G = 0, (3.16b)

36



lembrando que k = e2/4πε0 podemos escrever as equações anteriores como

dG

dr
+
κ

r
G−

[
E +m0c

2

~c
+
α

r

]
F = 0, (3.17a)

dF

dr
− κ

r
F +

[
E −m0c

2

~c
+
α

r

]
G = 0, (3.17b)

onde α = e2/4πε0~c é a constante de estrutura fina. Vimos que encontrar a
solução de (3.4) é equivalente a encontrar a solução do sistema (3.17), esse
sistema pode ser resolvido perturbativamente [27], resolvendo as equações
diferenciais utilizando series de potencias [15] ou utilizando o formalismo da
SUSYQM [28], a relação deste ultimo método e as autofunções do estado
fundamental é brevemente discutida em [29], propriedades gerais das auto-
funções foram estudadas em [30].

3.2.2 Solução explícita da equação diferencial radial

Como foi feito no capítulo anterior, aqui solucionamos o sistema de equações
radiais (3.17), estudando inicialmente os casos limites das equações para
poder determinar a forma das soluções gerais do sistema

O limite r → 0

Neste caso os termos proporcionais a r−1 em (3.17) crescem rapidamente e,
as equações podem se aproximar por

dGr→0

dr
+
κ

r
Gr→0 −

α

r
Fr→0 = 0, (3.18a)

dFr→0

dr
− κ

r
Fr→0 +

α

r
Gr→0 = 0. (3.18b)

Este tipo de sistema de equações pode ser resolvido assumindo uma solução
da forma Gr→0(r) = arδ e Fr→0(r) = brδ, onde a, b, δ, γ são constantes,
substituindo em (3.18), obtemos

δarδ−1 + κarδ−1 − αbrδ−1 = 0, (3.19a)
δbrδ−1 − κbrδ−1 + αarδ−1 = 0, (3.19b)

onde as igualdades só serão satisfeitas se

a(δ + κ)− bα = 0, (3.20a)
b(δ − κ) + aα = 0, (3.20b)

37



esse sistema tem solução se

Det
(
δ + κ −α
α δ − κ

)
= 0, é dizer δ = ±

√
κ2 − α2. (3.21)

A condição de normalização da função de onda exige que a integral∫ ∞
c

(
F 2
r→0 +G2

r→0

)
dr ∼

∫ ∞
c

r2δdr, (3.22)

seja finita. Para isso precisa-se que δ < −1/2, assim, de (3.21) temos a
condição

δ = −
√
κ2 − α2 < −1

2
. (3.23)

O limite r →∞

Nesse caso os termos proporcionais ao r−1 em (3.17), podem ser desprezados,
assim temos

dGr→∞

dr
− E +m0c

2

~c
Fr→∞ = 0, (3.24a)

dFr→∞
dr

+
E −m0c

2

~c
Gr→∞ = 0, (3.24b)

fazendo as trocas

ρ = 2ξr, ξ =

√
m2

0c
4 − E2

~c
, (3.25)

nas equações (3.24), estas ficam da forma

dGρ→∞

dρ
− E +m0c

2

2~cξ
Fρ→∞ = 0, (3.26a)

dFρ→∞
dρ

+
E −m0c

2

2~cξ
Gρ→∞ = 0, (3.26b)

essas equações podem ser desacopladas diretamente, obtendo

d2Gρ→∞

dρ2
+
E2 −m2

0c
4

(2~cξ)2
Gρ→∞ = 0, (3.27a)

d2Fρ→∞
dρ2

+
E2 −m2

0c
4

(2~cξ)2
Fρ→∞ = 0, (3.27b)

nas quais substituindo o ξ de (3.25) resultam

d2Gρ→∞

dρ2
− 1

4
Gρ→∞ = 0, (3.28a)

d2Fρ→∞
dρ2

− 1

4
Fρ→∞ = 0, (3.28b)

38



essas equações têm as soluções gerais

Gρ→∞ = aeρ/2 + be−ρ/2, (3.29a)
Fρ→∞ = ceρ/2 + de−ρ/2, (3.29b)

nas quais a, b, c e d são constantes, no entanto os termos exponenciais posi-
tivos não são normalizáveis, portanto não devem ser considerados. Assim

Gρ→∞ = be−ρ/2, (3.30a)
Fρ→∞ = de−ρ/2. (3.30b)

o que diz que para grandes distâncias as funções G e E decrescem exponen-
cialmente.

Autofunções radiais

Substituindo em (3.17) as trocas (3.25) obtemos

dG

dρ
+
κ

ρ
G−

[
E +m0c

2

2~cξ
+
α

ρ

]
F = 0, (3.31a)

dF

dρ
− κ

ρ
F +

[
E −m0c

2

2~cξ
+
α

ρ

]
G = 0. (3.31b)

Para procurar a solução geral deste sistema de equações, suponhamos que
as funções G e F podem ser escritas como a soma e a subtração de duas
outras funções ainda desconhecidas, ou seja G = ϕ1 + ϕ2 e F = ϕ1 − ϕ2.
No entanto, nas subseções anteriores estudou-se o comportamento dessas
funções para pequenas e grandes distâncias, primeiramente vamos incluir
o comportamento para grandes distâncias fazendo que a ϕ1 = e−ρ/2η1 e
ϕ2 = e−ρ/2η2, assim G = e−ρ/2 (η1 + η2) e F = e−ρ/2 (η1 − η2). As relações(

m0c
2 + E

~cξ

)2

=
m0c

2 + E

m0c2 − E
,

(
m0c

2 − E
~cξ

)2

=
m0c

2 − E
m0c2 + E

(3.32)

fazem que seja conveniente escrever as funções G e F como

G =
√
m0c2 + Ee−ρ/2 (φ1 + φ2) , (3.33a)

F =
√
m0c2 − Ee−ρ/2 (φ1 − φ2) . (3.33b)

Substituindo (3.33) em (3.31), obtemos o sistema[
κ

ρ
− 1

2

]
(φ1 + φ2)+

dφ1

dρ
+
dφ2

dρ
−
[
E +m0c

2

2~cξ
+
α

ρ

]√
m0c

2 − E
m0c2 + E

(φ1 − φ2) = 0

(3.34)

39



e[
κ

ρ
+

1

2

]
(φ1 − φ2)−

dφ1

dρ
+
dφ2

dρ
−
[
E −m0c

2

2~cξ
+
α

ρ

]√
m0c

2 + E

m0c2 − E
(φ1 + φ2) = 0

(3.35)
subtraindo e adicionando as equações anteriores, obtemos

2κ

ρ
φ2−φ1+2

dφ1

dρ
−α
ρ

(
m0c

2 − E
~cξ

)
(φ1 − φ2)+

α

ρ

(
m0c

2 + E

~cξ

)
(φ1 + φ2) = 0

(3.36)
e
2κ

ρ
φ1−φ2+2

dφ2

dρ
−α
ρ

(
m0c

2 − E
~cξ

)
(φ1 − φ2)−

α

ρ

(
m0c

2 + E

~cξ

)
(φ1 + φ2) = 0

(3.37)
é dizer

dφ1

dρ
−
(

1− αE

~cξρ

)
φ1 +

(
κ

ρ
+
αm0c

2

~cξρ

)
φ2 = 0, (3.38a)

dφ2

dρ
− αE

~cξρ
φ2 +

(
κ

ρ
− αm0c

2

~cξρ

)
φ2 = 0, (3.38b)

Na obtenção das equações (3.33) apenas foram utilizadas as funções Gρ→∞ e
Fρ→∞ que dão o comportamento das G e F para grandes distâncias, porém
as funções Gρ→0 e Fρ→0 que dão o comportamento das mesmas funções para
pequenas distâncias, ainda não foram utilizadas. Incluindo essas últimas
funções, vamos assumir que em (3.38)

φ1 = ρδ
∞∑
k=0

akρ
k, φ2 = ρδ

∞∑
k=0

bkρ
k, (3.39)

assim temos

ak (k + δ)− ak−1 +
αE

~cξ
ak +

(
κ+

αm0c
2

~cξ

)
bk = 0, (3.40a)

bk (k + δ)− αE

~cξ
bk +

(
κ− αm0c

2

~cξ

)
bk = 0, (3.40b)

de (3.40b)

bk =
αm0c

2/~cξ − κ
k + δ − αE/~cξ

ak, (3.41)

substituindo em (3.40a)

ak−1 = ak

[
k + δ +

αE

~cξ
+

(
κ+

αm0c
2

~cξ

)
αm0c

2/~cξ − κ
k + δ − αE/~cξ

]
, (3.42)

40



multiplicando essa expressão por k + δ − αE/~cξ

ak−1

(
k + δ − αE

~cξ

)
= ak

[
(k + δ)2 −

(
αE

~cξ

)2

+

(
αm0c

2

~cξ

)2

− κ2
]

= ak

[
k(k + 2δ)− (α)2 −

(
αE

~cξ

)2

+

(
αm0c

2

~cξ

)2
]
,

(3.43)

desprezando os termos de ordem superior ao primeiro em α, temos

ak =
k + δ − αE/~cξ

k(k + 2δ)
ak−1, (3.44)

dessa e (3.41)

bk =
k − 1 + δ − αE/~cξ

k(k + 2δ)
bk−1, (3.45)

substituindo em (3.39)

φ1 = ρδ
∞∑
k=1

k + δ − αE/~cξ
k(k + 2δ)

ak−1ρ
k

= ρδa0

∞∑
k=1

(1 + δ − αE/~cξ) (2 + δ − αE/~cξ) . . . (k + δ − αE/~cξ)
k!(1 + 2δ)(2 + 2δ) . . . (k + 2δ)

ρk

= a0ρ
δ
1F1 (1 + δ − αE/~cξ, 1 + 2δ; ρ) (3.46)

e

φ2 = ρδ
∞∑
k=1

k − 1 + δ − αE/~cξ
k(k + 2δ)

bk−1ρ
k

= ρδb0

∞∑
k=1

(δ − αE/~cξ) (1 + δ − αE/~cξ) · · · (k − 1 + δ − αE/~cξ)
k!(1 + 2δ)(2 + 2δ) . . . (k + 2δ)

ρk

= b0ρ
δ
1F1 (δ − αE/~cξ, 1 + 2δ; ρ) , (3.47)

essa última pode-se escrever em função do a0 com a ajuda da relação (3.41)

φ2 = a0ρ
δ(αm0c

2/~cξ−κ)/(δ−αE/~cξ) 1F1 (δ − αE/~cξ, 1 + 2δ; ρ) . (3.48)

Para que as funções 1F1 de (3.46), (3.47) e (3.48) sejam normalizáveis tem
que se cumprir [ver apêndice]

η′ = αE/~cξ − δ, η′ = 0, 1, 2, · · · , (3.49)

41



assim, substituindo (3.46) e (3.47) em (3.33) temos que as FRR são

G = Cρδe−ρ/2

×
[

1F1 (1 + η, 1 + 2δ; ρ) + (αm0c
2/~cξ − κ)/η 1F1 (η, 1 + 2δ; ρ)

]
(3.50)

e

F = Cρδe−ρ/2

×
[

1F1 (1 + η, 1 + 2δ; ρ)− (αm0c
2/~cξ − κ)/η 1F1 (η, 1 + 2δ; ρ)

]
(3.51)

onde C = a0
√
m0c2 + E.

Autoenergias

Com a expressão (3.49) podemos definir o número quântico principal

n = αE/~cξ− δ+ |κ| = ZαE/~cξ− δ+ j+ 1/2, n = 0, 1, 2, · · · , (3.52)

ou seja

n =
ZαE√

m2
0c

4 − E2
− δ + j + 1/2, n = 0, 1, 2, · · · (3.53)

logo, os valores próprios de energia En são

En = m0c
2

1 +
(Zα)2[

n− j − 1
2

+
[(
j + 1

2

)2 − (Zα)2
]1/2]2


−1/2

,

n = 0, 1, 2, · · · ; j = 1/2, 3/2, 5/2, · · · . (3.54)

Na teoria de Dirac o elétron do AHR tem um espectro de energias diferente
do encontrado no caso do AHNR [15].

42



3.2.3 Solução via SUSYQM

Na introdução dessa seção apresentou-se a solução da ED para o AHR. O
estudo foi focado na solução das equações radiais, feito na subseção 3.2.2
resolvendo diretamente as equações diferenciais pelo método de substituição
em série de potências. Em particular mostrou-se que as autoenergias de-
pendem apenas da coordenada radial. Nesta subseção equações diferenciais
radiais (3.17)

dGκ

dr
+
κ

r
Gκ −

[
E +m0c

2

~c
+
α

r

]
Fκ = 0, (3.55a)

dFκ
dr
− κ

r
Fκ +

[
E −m0c

2

~c
+
α

r

]
Gκ = 0, (3.55b)

serão resolvidas utilizando as técnicas próprias da SUSYQM [28]. Nas equa-
ções anteriores é possível fazer um reagrupamento de termos

dGκ

dr
+

1

r
[κGκ − αFκ]−

[
E +m0c

2

~c

]
Fκ = 0, (3.56a)

dFκ
dr
− 1

r
[κFκ − αGκ] +

[
E −m0c

2

~c

]
Gκ = 0. (3.56b)

Em principio esse reagrupamento só é possível pelo fato de que o potencial é
o potencial de Coulomb.

Equação diferencial matricial

A importância do reagrupamento anterior radica no fato que assim é possível
escrever as equações como uma só equação diferencial matricial(

G′κ
F ′κ

)
+
[1

r

(
κ −α
α −κ

)
−
(

0 [m0c
2 + E] /~c

[m0c
2 − E] /~c 0

)]( Gκ

Fκ

)
= 0, (3.57)

na qual o símbolo ′ significa derivação da função com respeito à coordenada
radial. Nem todas as matrizes da equação (3.57) são diagonais. Esse fato
indica que as equações (3.56) não podem se desacoplar diretamente. Com
o fim de gerar um sistema desacoplado de combinações lineares das funções
Gκ e Fκ, pode-se calcular a matriz diagonalizante D da matriz não-diagonal.
Em verdade, para nosso caso, o importante é a matriz D−1. Essa matriz é

D−1 =

(
s+ κ −α
−α s+ κ

)
, (3.58)

43



onde s =
√
κ2 − γ2. Multiplicando a equação (3.57) pela esquerda com essa

matriz, obtemos

d

dr

(
(s+ κ)Gκ − αFκ
(s+ κ)Fκ − αGκ

)
+
s

r

(
(s+ κ)Gκ − αFκ
αGκ − (s+ κ)Fk

)
=

1

~c

(
m0c

2 [(s+ κ)Fκ − αGκ] + E [(s+ κ)Fκ + αGκ]
m0c

2 [(s+ κ)Gκ − αFκ]− E [(s+ κ)Gk + αFκ]

)
, (3.59)

que sugere escolher Gκ(ρ) = (s+ κ)Gκ − αFκ e Fκ(ρ) = (s+ κ)Fκ − αGκ

como possíveis funções para separar o sistema. Embora, a última matriz
não apresenta unicamente estas duas funções, o sistema AGκ(ρ) +BFκ(ρ) =
(s+ κ)Fκ + αGκ e CGκ(ρ) +DFκ(ρ) = (s+ κ)Gk + αFκ, tem solução para
A = D = α/s e B = C = κ/s, logo (3.59) pode-se escrever como

d

dr

(
Gκ
Fκ

)
+
s

r

(
Gκ
−Fκ

)
=

1

~c

(
m0c

2Fκ + E [(α/s)Gκ + (κ/s)Fκ]
m0c

2Gκ − E [(κ/s)Gκ + (α/s)Fκ]

)
,

(3.60)

da qual fazendo a troca ρ = Er pode-se escrever como as duas equações(
d

dρ
+
s

ρ
− α

~cs

)
Gκ(ρ) =

1

~c

(
m0c

2

E
+
κ

s

)
Fκ(ρ), (3.61a)(

− d

dρ
+
s

ρ
− α

~cs

)
Fκ(ρ) = − 1

~c

(
m0c

2

E
− κ

s

)
Gκ(ρ), (3.61b)

que embora ainda acopladas, se podem desacoplar, utilizando os métodos da
SUSYQM.

Definição dos operadores de escada

Os operadores diferenciais que fazem parte das equações de autovalores (3.61)
são adjuntos (

d

dρ
+
s

ρ
− γ

~cs

)†
=

(
− d

dρ
+
s

ρ
− γ

~cs

)
, (3.62)

para esses operadores podemos procurar funçõesR+(ρ) eR−(ρ) que cumpram(
d

dρ
+
s

ρ
− γ

~cs

)
R+ = 0, (3.63a)(

− d

dρ
+
s

ρ
− γ

~cs

)
R− = 0. (3.63b)

44



As soluções gerais dessas equações são

R+(ρ) = C1ρ
−s exp

( γ

~cs
ρ
)
, (3.64a)

R−(ρ) = C2ρ
s exp

(
− γ

~cs
ρ
)
, (3.64b)

onde C1 e C2 são constantes arbitrárias. As funções da forma (3.64a) não
podem se normalizar e, no caso das funções da forma (3.64b) temos∫ ∞

0

[
R−(ρ)

]2
dρ = C2

2

(
~cs
2γ

)2s+1

Γ(2s+ 1). (3.65)

Desses resultados podemos concluir que unicamente (3.63b) oferece a possi-
bilidade de encontrar uma autofunção normalizável que possa ser destruída
pela aplicação de um operador. Definimos os operadores

A† ≡ d

dρ
+
s

ρ
− γ

~cs
, (3.66a)

A ≡ − d

dρ
+
s

ρ
− γ

~cs
. (3.66b)

Veremos que esses operadores são importantes para mostrar que o sistema
segue a álgebra da SUSYQM.

Desacople das equações

Com a definição dos operadores de escada, pode-se escrever as equações (3.61)
como

A†Gκ(ρ) =
1

~c

(
m0c

2

E
+
κ

s

)
Fκ(ρ), (3.67a)

AFκ(ρ) = − 1

~c

(
m0c

2

E
− κ

s

)
Gκ(ρ). (3.67b)

multiplicando a primeira dessas equações por A e a segunda por A† temos

AA†Gκ(ρ) =
1

~c

(
m0c

2

E
+
k

s

)
AFκ(ρ), (3.68a)

A†AFκ(ρ) = − 1

~c

(
m0c

2

E
− k

s

)
A†Gκ(ρ). (3.68b)

45



de (3.67) e (3.68) obtemos as duas equações desacopladas

A†AFκ(ρ) =
1

(~c)2

[(κ
s

)2
−
(
m0c

2

E

)2
]
Fκ(ρ), (3.69a)

AA†Gκ(ρ) =
1

(~c)2

[(κ
s

)2
−
(
m0c

2

E

)2
]
Gκ(ρ), (3.69b)

que são duas equações de valores próprios.

Identificação de SUSYQM no sistema

Com os operadores

A† ≡ d

dρ
+
s

ρ
− γ

~cs
, (3.70a)

A ≡ − d

dρ
+
s

ρ
− γ

~cs
. (3.70b)

podemos construir os operadores de carga e o superhamiltoniano

H ≡
(
A†A 0

0 AA†

)
, (3.71)

do qual os os hamiltonianos componentes são

A†A = − d2

dρ2
− 2α

~cρ
+
s(s− 1)

ρ2
+
( α

~cs

)2
, (3.72a)

AA† = − d2

dρ2
− 2α

ρ
+
s(s+ 1)

ρ2
+
( α

~cs

)2
. (3.72b)

logo o sistema de equações radiais pode ser estudado com o formalismo da
SUSYQM.

Autofunção e autoenergia do estado fundamental

A função de onda do estado fundamental F (0)
k (ρ) tem de satisfazer AF (0)

k (ρ) =
0, que é justamente a propriedade satisfeita pelas funções do tipo (3.64b),
logo, de (3.65) temos

F (0)
κ (ρ) = ρs exp

[
− α

~cs
ρ
]
, (3.73)

46



substituíndo essa função em (3.69a) obtemos que o valor da energia neste
estado E(0)

Fk é

E
(0)
Fκ

2
=
m 2

0 c
4s2

α2 + s2
. (3.74)

Utilizando a propriedade κ2 = s2 + α2 podemos escrever (3.69) como[
− d2

dρ2
− 2α

~cρ
+
s(s− 1)

ρ2
+
(m0c

~E

)2
− 1

]
Fκ(ρ) = 0, (3.75a)[

− d2

dρ2
− 2α

~cρ
+
s(s+ 1)

ρ2
+
(m0c

~E

)2
− 1

]
Gκ(ρ) = 0, (3.75b)

em que a única diferença entre os operadores diferenciais nessas duas equa-
ções é o terceiro termo. A segunda equação pode ser obtida a partir da
substituição s → s + 1. Similarmente ao segundo capítulo, tem de existir
um hamiltoniano H1 = A†1A1, que de uma forma completamente análoga à
(3.69a) satisfaça a equação H1Gκ = EGκ, assim, analogamente a (3.73) e
(3.74), temos que a função do estado fundamental e a sua correspondente
autoenergia no caso de Gκ são

G(0)κ (ρ) = ρs+1 exp

[
− α

~c(s+ 1)
ρ

]
, (3.76a)

E
(0)
Gκ =

m0c
2(s+ 1)

[α2 + (s+ 1)2]1/2
. (3.76b)

Com as autofunções e as autoenergias desses estados fundamentais, é possível
obter as autofunções e as autoenergias dos estados excitados.

Autofunções e autoenergias dos estados excitados

As fórmulas gerais das autofunções (não normalizadas) e as autoenergias dos
estados excitados apresentados na Introdução nesse caso são

F (n+1)
κ (ρ) ∼ A†G(n)κ (ρ), (3.77a)
G(n)κ (ρ) ∼ AF (n+1)

κ (ρ), (3.77b)

E
(n+1)
Fκ = E

(n)
Gκ . (3.77c)

De (3.76)e (3.77) temos

F (1)
κ (ρ) = A†ρs+1 exp

[
− α

~c(s+ 1)
ρ

]
, (3.78a)

E
(1)
Fκ =

m0c
2(s+ 1)

[α2 + (s+ 1)2]1/2
, (3.78b)

47



De (3.75) e da discussão anterior temos que com os operadores A1, A†1 pode-
mos construir as duas equações[

− d2

dρ2
− 2γ

~cρ
+
s(s+ 1)

ρ2
+
(m0c

~E

)2
− 1

]
Gκ(ρ) = 0, (3.79a)[

− d2

dρ2
− 2γ

~cρ
+
s(s+ 2)

ρ2
+
(m0c

~E

)2
− 1

]
Tκ(ρ) = 0, (3.79b)

em analogia às equações (3.76)

T (0)
κ (ρ) = ρs+2 exp

[
− α

~c(s+ 2)
ρ

]
, (3.80a)

E
(0)
Tκ =

m0c
2(s+ 2)

[α2 + (s+ 2)2]1/2
, (3.80b)

e, em analogia a (3.78)

G(1)κ (ρ) = A†1ρ
s+2 exp

[
− α

~c(s+ 2)
ρ

]
, (3.81a)

E
(1)
Gκ =

m0c
2(s+ 2)

[α2 + (s+ 2)2]1/2
, (3.81b)

dessas relações e das (3.77), podemos escrever

F (2)
κ (ρ) = A†0A

†
1ρ
s+2 exp

[
− α

~c(s+ 2)
ρ

]
, (3.82a)

E
(2)
Fκ =

m0c
2(s+ 2)

[α2 + (s+ 2)2]1/2
, (3.82b)

nas quais A†0 ≡ A†. Pode-se mostrar que (3.78) e (3.82) são casos particulares
das expressões gerais

F (n)
κ (ρ) =

n−1∏
j=0

A†jρ
s+n exp

[
− α

~c(s+ n)
ρ

]
, (3.83a)

E
(n)
Fκ =

m0c
2(s+ n)

[α2 + (s+ n)2]1/2
. (3.83b)

48



Com as funções F (n)
κ podemos obter as funções radiais originais [28], utili-

zando as definições de Fκ e Gκ[
G

(n)
κ

F
(n)
κ

]
=

1

2s(s+ κ)

[
(s+ κ)G(n)κ + αF (n)

κ

(s+ κ)F (n)
κ + αG(n)κ

]
,

=
1

2s(s+ κ)~c

[
(s+ κ)(κ/s−m0c

2/E)−1A0F (n)
κ + αF (n)

κ

(s+ κ)F (n)
κ + α(κ/s−m0c

2/E)−1A0F (n)
κ

]
,

=
1

2s(s+ κ)~c

[
s+ κ α
α s+ κ

][
(κ/s−m0c

2/E)−1A0F (n)
κ

F (n)
κ

]
,

(3.84)

e as autoenergias são

E(n)
κ =

m0c
2[n+ (κ2 − α2)1/2]

[α2 + [n+ (κ2 − α2)1/2]2]
1/2
, (3.85)

similarmente ao primeiro capitulo, o símbolo (n) indica o estado.

49



3.3 Oscilador de Dirac: V (r ) ∼ r α̂ · β̂

3.3.1 Introdução

A equação de Dirac livre pode ser escrita como [−i~cα·∇+m0c
2β−i~(∂/∂t)]Ψ =

0, o momento é apresentado linearmente. Entre a grande possibilidade de
possíveis potenciais externos podemos incluir um potencial que depende li-
nearmente da coordenada radial, no entanto, existe uma quantidade infinita
de possíveis potenciais com essa caraterística. Em particular, pode-se con-
siderar o potencial V (r) = −icm0ωr α̂ · β̂, como o resultado da substituição
não minimal p → p − im0ωr β̂, onde ω é uma constante. Veremos que essa
constante é uma frequência de oscilação. Com a introdução desse potencial,
a equação de Dirac correspondente é

i~
∂Ψ(r , t)

∂t
=
[
−icα̂ ·

(
~∇+m0ωr β̂

)
+m0c

2β̂
]

Ψ(r , t). (3.86)

Esta equação foi primeiramente apresentada por Itô et. al. desenvolvendo
estudos de cromodinamica quantica do estudo de modelos de confinamento
quark em mesons e baryons [33], revisado por Cook [34] e anos mais tarde
redescuberto independentemente por M. Moshinsky et al. [35]. O sistema
descrito pela equação (3.86) é conhecido como oscilador de Dirac (OD). As
autofunções do OD em três dimensões formam um conjunto completo [36],
autofunções e autoenergias do OD podem ser calculadas solucionando di-
retamente sua equação diferencial [35] e tambem utilizando os métodos da
SUSYQM [37]. Propiedade algebraicas do OD são demostradas em [38]. A
relação do OD com alguns problemas de quebra de supersymetria podem ser
encontrados em [39]. O OD foi utilizado em diferentes estudos e aplicações,
em particular, se estudó o comportamento do OD no interior de um campo
magnetico [40] e algumas propriedades estadisticas, fazendo a comparação
com o oscilador harmonico [41], recentemente foi aplicado em optica quan-
tica [42] e no modelamente de propriedades dos mésons utilizando sistemas
partícula-antipartícula [43], uma realiação fotonica do OD foi proposta em
[44].

Assumindo que a função de onda mencionada é da forma Ψ(r , t) =
ψ(r)φ(t), podemos escrever a equação (3.86) como

i~ψ(r)
dφ(t)

dt
= −i~cφ(t)α̂ · ∇ψ(r)− imωcψ(r)φ(t)α̂ · r β̂ +mc2ψ(r)φ(t)β̂,

(3.87)

50



a qual vemos que é equivalente às duas equações

i~
dφ(t)

dt
= Eφ(t), com solução φ(t) = exp

(
−iEt

~

)
,(3.88a)

−i~cα̂ · ∇ψ(r)− imωcψ(r)α̂ · r β̂ +mc2ψ(r)β̂ = Eψ(r), (3.88b)

onde E é uma constante numérica com dimensões de energia. A equação
(3.88b) pode ser escrita, explicitamente como(

0 −i~cσ̂ · ∇
−i~cσ̂ · ∇ 0

)(
ψ1(r)
ψ2(r)

)
−
(

0 imωcσ̂ · r
imωcσ̂ · r 0

)(
I 0
0 −I

)(
ψ1(r)
ψ2(r)

)
+mc2

(
I 0
0 −I

)(
ψ1(r)
ψ2(r)

)
= E

(
I 0
0 I

)(
ψ1(r)
ψ2(r)

)
, (3.89)

fazendo algumas simplificações, temos(
0 −i~cσ̂ · ∇+ imωcσ̂ · r

−i~cσ̂ · ∇ − imωcσ̂ · r 0

)(
ψ1(r)
ψ2(r)

)
=

(
E −mc2 0

0 E +mc2

)(
ψ1(r)
ψ2(r)

)
, (3.90)

essa equação é equivalente as duas equações acopladas

cσ̂ · (−i~∇+ imωr)ψ2(r) =
(
E −mc2

)
ψ1(r), (3.91a)

cσ̂ · (−i~∇− imωr)ψ1(r) =
(
E +mc2

)
ψ2(r), (3.91b)

que podem ser desacopladas diretamente. Multiplicando a primeira por
(E +mc2), obtemos

cσ̂ · (−i~∇+ imωr)
(
E +mc2

)
ψ2(r) =

(
E2 −m2c4

)
ψ1(r). (3.92)

Em função da equação (3.91b), podemos substituir o termo (E +mc2)ψ2(r)
pelo termo - cσ̂ · (i~∇+ imω2r)ψ1(r), assim obtemos uma equação desaco-
plada para ψ1(r)

c2σ̂ ·(−i~∇+ imωr) σ̂ ·(−i~∇− imωr)ψ1(r) =
(
E2 −m2c4

)
ψ1(r). (3.93)

De uma maneira totalmente similar, podemos obter a equação correspondente
à componente ψ2(r). Multiplicando (3.91b) por (E −mc2), obtemos

cσ̂ · (−i~∇− imωr)
(
E −mc2

)
ψ1(r) =

(
E2 −m2c4

)
ψ2(r), (3.94)

51



em função da equação (3.91a), podemos substituir o termo (E −mc2)ψ1(r)
pelo termo cσ̂ · (−i~∇+ imω2r)ψ2(r), assim obtemos uma equação desaco-
plada para ψ2(r)

c2σ̂ ·(−i~∇− imωr) σ̂ ·(−i~∇+ imωr)ψ2(r) =
(
E2 −m2c4

)
ψ2(r). (3.95)

Com a função (3.88a) e as funções solução das equações (3.93) e (3.95),
podemos obter a função de onda total do OD.

É usual fatorar as componentes espaciais do espinor [15] como(
ψ1(r)
ψ2(r)

)
=

(
ig(r)Ωjlm (r/r)
−f(r)Ωjl′m (r/r)

)
, (3.96)

logo, temos

− i~σ̂ · ∇
(
ψ1(r)
ψ2(r)

)
=

(
~σ̂ · [∇g(r)]Ωjlm (r/r) + ~g(r)σ̂ · ∇Ωjlm (r/r)

−i~σ̂ · [∇f(r)]Ωjl′m (r/r)− i~f(r)σ̂ · ∇Ωjl′m (r/r)

)
(3.97)

é dizer

− i~σ̂ · ∇
(
ψ1(r)
ψ2(r)

)

=

 ~
dg(r)

dr

(
σ̂ · r

r

)
Ωjlm (r/r)− g(r)

(
2~
r

+
1

r
L · σ̂

)
Ωjl′m (r/r)

−i~df(r)

dr

(
σ̂ · r

r

)
Ωjl′m (r/r)− if(r)

(
2~
r

+
1

r
L · σ̂

)
Ωjlm (r/r)


(3.98)

na qual L é o operador de momento angular, assim

−ic~σ̂·∇
(
ψ1(r)
ψ2(r)

)
=

 −c~dg(r)

dr
Ωjl′m (r/r)− c~g(r)

κ+ 1

r
Ωjl′m (r/r)

−ic~df(r)

dr
Ωjlm (r/r) + ic~f(r)

κ− 1

r
Ωjlm (r/r)

 ,

(3.99)
além disso, utilizando a relação (3.96), temos

imcωσ̂ · r
(
ψ1(r)
ψ2(r)

)
=

(
mcωrg(r)Ωjl′m (r/r)
imcωrf(r)Ωjlm (r/r)

)
(3.100)

52



substituíndo (3.99) e (3.100) em (3.93) e (3.95), obtemos(
−c~ d

dr
− c~κ+ 1

r
−m0cωr

)
gκ(r) = −

[
E +m0c

2
]
fκ(r),(

−ic~ d
dr

+ ic~
κ− 1

r
+ im0cωr

)
fκ(r) =

[
E −m0c

2
]
igκ(r). (3.101)

Essas equações mostram que as energias próprias do OD dependem apenas
da coordenada radial. Fazendo as trocas Gκ = rgκ e Fκ = rfκ, temos(

c~
d

dr
+ c~

k

r
+m0cωr

)
Gk(r) =

[
E +m0c

2
]
Fk(r),(

−c~ d
dr

+ c~
k

r
+m0cωr

)
Fk(r) =

[
E −m0c

2
]
Gk(r), (3.102)

conjunto de equações que formam a parte radial do OD.

Desacople de equações

Nesta subseção estamos interessados na interpretação das equações (3.93) e
(3.95), as quais são as equações diferenciais para cada uma das componentes
do espinor da equação diferencial do OD. A equação (3.93) pode ser escrita
como(

E2 −m2c4
)
ψ1(r) = c2σ̂iσ̂j

[
−~2∇i∇j − ~mω (∇irj)

− ~mωrj∇i + ~mωri∇j +m2ω2rirj

]
ψ1(r) (3.103)

e aplicando a propriedade das matrizes de Pauli σ̂iσ̂j = δ̂ij + iεijkσ̂k obtemos

(
E2 −m2c4

)
ψ1(r) = c2

[
−~2∇2 +m2ω2r2 − 3~mω

− i~2εijk∇i∇jσ̂k − i~mωεijk (∇irj) σ̂k

+ i~mωεijk (ri∇j − rj∇i) σ̂k + im2ω2εijkrirjσ̂k

]
ψ1(r), (3.104)

em que dois termos foram cancelados por serem iguais e de sinais opostos.
Utilizando as relações εijk∇i∇j = 0, εijk∇irj = 0 e εijkrirj = 0, e observando
que i~εijk (ri∇j − rj∇i) = 2i~εijkri∇j = −2εijkripj = −2(r × p)k = −2Lk

onde L é o momento angular da partícula, obtemos

c2
[
−~2∇2+m2ω2r2−3~mω−2mωL·σ̂

]
ψ1(r) =

(
E2 −m2c4

)
ψ1(r), (3.105)

53



na qual pode-se escrever a função da matriz spin Ŝ = ~σ̂/2, assim, finalmente
temos a seguinte equação para a primeira componente do espinor

c2
[
−~2∇2 +m2ω2r2 − 3~mω − 4m(ω/~)L · Ŝ

]
ψ1(r) =

(
E2 −m2c4

)
ψ1(r).

(3.106)
É importante destacar que essa equação é totalmente equivalente à equação
(3.93). De uma maneira totalmente similar, o mesmo procedimento aplicado
na equação (3.95) leva à seguinte equação para a segunda componente do
espinor

c2
[
−~2∇2 +m2ω2r2 + 3~mω + 4m(ω/~)L · Ŝ

]
ψ2(r) =

(
E2 −m2c4

)
ψ2(r).

(3.107)
As equações (3.106) e (3.107) juntamente com (3.88a) são suficientes para a
determinação do espinor da equação (3.86) para o OD.

O limite de baixa energia das equações das componentes da função
de onda

A fim de estabelecer o sistema não-relativístico equivalente ao OD temos
de calcular o limite de baixas energias das equações (3.106) e (3.107). Para
toda partícula massiva, a magnitude do momento linear p satisfaz a condição
p < m0c e considerando, termos até segunda ordem em p/mc, temos que a
energia E =

√
m2

0c
4 + p2c2 = m0c

2
√

1 + (p/m0c)2 da partícula, pode ser
escrita como E ≈ m0c

2[1 + (p/m0c)
2/2] = m0c

2 + p2/2m0 = m0c
2 + ε,

onde a energia cinética da partícula ε ≡ p2/2m0 tem um pequeno valor em
comparação à energia própria. Substituindo essa aproximação em (3.106) e
(3.107), desconsiderando o termo proporcional ao ε2 e dividindo por 2mc2,
obtemos [

− ~2

2m
∇2 +

1

2
mω2r2 − 3

2
~ω − 2ω

~
L · Ŝ

]
ψ1(r) = εψ1(r),(3.108a)[

− ~2

2m
∇2 +

1

2
mω2r2 +

3

2
~ω +

2ω

~
L · Ŝ

]
ψ2(r) = εψ2(r).(3.108b)

Essas equações incluem termos proporcionais a ~, termos esses de natureza
quântica e cujo significado físico será discutido mais adiante. Por enquanto,
se a magnitude de L cumpre L� ~, os termos ∼ ~ω podem ser descartados
e os termos ∼ L terão magnitudes muito grandes. Nesse caso as equações

54



ficam [
− ~2

2m
∇2 +

1

2
mω2r2 − 2ω

~
L · Ŝ

]
ψ1(r) = εψ1(r), (3.109a)[

− ~2

2m
∇2 +

1

2
mω2r2 +

2ω

~
L · Ŝ

]
ψ2(r) = εψ2(r), (3.109b)

e cada uma delas corresponde a um oscilador harmônico simples com um
acoplamento spin-orbita, este resultado que no limite não-relativístico deu
origem ao nome de oscilador de Dirac [35]. Em comparação, as duas equações
descrevem osciladores harmônicos simples de mesma massa e frequência, os
valores de spin se diferenciam apenas pelo sinal e, as autoenergias dos dois
osciladores são as mesmas.

Condição de normalização

Obtivemos as equações acopladas(
E −m0c

2
)
ψ1(r) = (−ic~σ̂ · ∇+ im0cωσ̂ · r)ψ2(r), (3.110a)(

E +m0c
2
)
ψ2(r) = (−ic~σ̂ · ∇ − im0cωσ̂ · r)ψ1(r), (3.110b)

com as quais é possível calcular as duas componentes espaciais do espinor

Ψ(r , t) =

(
ψ1(r)
ψ2(r)

)
exp

(
−iEt

~

)
, (3.111)

que é a solução da equação do OD (3.86). Das equações (3.110), temos(
E −m0c

2
) ∫
|ψ1(r)|2dr =

∫
ψ∗1(r) (−ic~σ̂ · ∇+ im0cωσ̂ · r)ψ2(r)dr ,

(3.112)

e (
E +m0c

2
) ∫
|ψ2(r)|2dr =

∫
ψ∗2(r) (−ic~σ̂ · ∇ − im0cωσ̂ · r)ψ1(r)dr ,

(3.113)

em que os lados direitos são iguais, logo(
E −m0c

2
) ∫
|ψ1(r)|2dr =

(
E +m0c

2
) ∫
|ψ2(r)|2dr , (3.114)

além desta propriedade, a condição de normalização do espinor (3.111) exige
que ∫

|ψ1(r)|2dr +

∫
|ψ2(r)|2dr = 1, (3.115)

55



com essas duas propriedades, temos∫
|ψ1(r)|2dr =

1

2

(
1 +

m0c
2

E

)
, (3.116a)∫

|ψ2(r)|2dr =
1

2

(
1− m0c

2

E

)
, (3.116b)

condições essas de normalização para cada uma das componentes espaciais
do espinor do OD.

3.3.2 Solução via SUSYQM

As equações radiais no caso do OD (3.102) podem ser resolvidas diretamente
tomando os casos limites das mesmas e depois propor uma solução em séries
de potência. Esse método de solução foi discutido nas últimas três seções, e
no caso no OD apresentaremos diretamente a solução utilizando o formalismo
da SUSYQM.

Determinação dos operadores de escada

Os operadores diferenciais nas equações diferenciais acopladas (3.102), satis-
fazem a relação(

c~
d

dr
+ c~

κ

r
+m0cωr

)†
=

(
−c~ d

dr
+ c~

κ

r
+m0cωr

)
, (3.117)

que é uma das caraterísticas dos operadores de criação e aniquilação. Pro-
curando a forma geral de funções R+(r) e R−(r) pela qual a ação desses
operadores aniquila a função temos(

−c~ d
dr

+ c~
κ

r
+m0cωr

)
R+(r) = 0, (3.118)(

c~
d

dr
+ c~

κ

r
+m0cωr

)
R−(r) = 0, . (3.119)

essas equações tenham as soluções

R1(r) = C1r
κ exp

(mω
2~

r2
)
, (3.120)

R2(r) = C2r
−κ exp

(
−mω

2~
r2
)
, (3.121)

nas quais C1 e C2 são constantes. Dos dois possíveis tipos de soluções, a
primeira tem de ser descartada, pelo fato que R1(r) = rk exp (mωr2/2~) não

56



pode ser normalizada contudo, as funções do tipoR2(r) = r−k exp (−mωr2/2~)
são normalizáveis. Em correspondência ao qual, temos que os operadores po-
dem ser definidos como operadores de criação A† e de aniquilação A, logo

A† ≡ −c~ d
dr

+ c~
κ

r
+m0cωr, (3.122a)

A ≡ c~
d

dr
+ c~

κ

r
+m0cωr, (3.122b)

e a função de onda do estado base é do tipo R2(r).

Desacoplamento das equações

Com a definição dos operadores de escada, podemos escrever novamente as
equações (3.102) como

A†Fκ(r) =
[
E −m0c

2
]
Gκ(r), (3.123a)

AGκ(r) =
[
E +m0c

2
]
Fκ(r), (3.123b)

multiplicando a primeira dessas equações por A e a segunda por A†, temos

AA†Fk(r) =
[
E −m0c

2
]
AGk(r), (3.124a)

A†AGk(r) =
[
E +m0c

2
]
A†Fk(r). (3.124b)

A partir da equação (3.123b) podemos substituir o termo AGκ(r) por
[E +m0c

2]Fκ(r) na primeira equação de (3.124), similarmente, de (3.123a)
podemos substituir o termo A†Fκ(r) por [E −m0c

2]Gκ(r) na segunda equa-
ção de (3.124), assim obtemos as equações desacopladas

A†AGκ(r) =
[
E2 −m2

0c
4
]
Gκ(r), (3.125a)

AA†Fκ(r) =
[
E2 −m2

0c
4
]
Fκ(r), (3.125b)

que são duas equações de valores próprios.

Identificação de SUSYQM no sistema

Com os operadores (3.122) podemos fazer a construção dos operadores de
carga e do superhamiltoniano no qual

A†A = c2~2
[
− d2

dr2
+

2mωκ

~
+
(mωr

~

)2
+
κ(κ+ 1)

r2
− mω

~

]
(3.126)

e

AA† = c2~2
[
− d2

dr2
+

2mωκ

~
+
(mωr

~

)2
+
κ(κ− 1)

r2
+
mω

~

]
, (3.127)

57



assim, o superhamiltoniano (3.71) pode se escrever como [37]

H = c2~2
[
− d2

dr2
+
(κ
r

+
mωr

~

)2
+
( κ
r2
− mω

~

)
σ3

]
. (3.128)

Autofunção e autoenergia do estado fundamental

A função de onda do estado fundamental F (0)
κ (r) tem que satisfazer a condição

AF
(0)
κ (r) = 0, mostrou se que esta é uma das propriedades cumpridas pelas

funções (3.121), logo, a função não normalizada é

F (0)
κ (r) = r−κ exp

(
−mω

2~
r2
)
, (3.129)

Com a substituição dessa função na equação (3.125a) temos que a energia do
estado fundamental é

E
(0)
Fκ

= m0c
2. (3.130)

Utilizando os operadores (3.126) e (3.127) para escrever explicitamente as
expressões (3.125), obtemos

c2~2
[
− d2

dr2
+
(mωr

~

)2
+
κ(κ+ 1)

r2
+
mω

~
(2κ− 1)− E2

c2~2
+
(m0c

~

)2]
Fκ(r),

(3.131)
e

c2~2
[
− d2

dr2
+
(mωr

~

)2
+
κ(κ− 1)

r2
+
mω

~
(2κ+ 1)− E2

c2~2
+
(m0c

~

)2]
Gκ(r),

(3.132)

A†A = −c2~2 d
2

dr2
+
(
c~
κ

r
+mcωr

)2
+
(
c2~2

κ

r2
− c2~mω

)
(3.133)

Autofunções e autoenergias dos estados excitados

As equações (3.125), onde o hamiltoniano é (3.128), se podem escrever como[
− d2

dr2
+

(κ+m0ωr
2/~)

2

r2
+

(κ−m0ωr
2/~)

r2
σ3 −

E2 −m2
0c

4

c2~2

](
Gk(r)
Fk(r)

)
= 0.

(3.134)
o qual tem como solução geral as funções

Gκ = C1Gκr
−1/2MW

(
E2 −m2

0c
4

4m0c2ω~
− 1

2
κ+

1

4
;
1

2
κ+

1

4
;
m0ω

~
r2
)

+ C2Gκr
−1/2UW

(
E2 −m2

0c
4

4m0c2ω~
− 1

2
κ+

1

4
;
1

2
κ+

1

4
;
m0ω

~
r2
)
, (3.135)

58



e

Fκ′ = C1Fκ′
r−1/2MW

(
E2 −m2

0c
4

4m0c2ω~
− 1

2
κ′ − 1

4
;
1

2
κ′ − 1

4
;
m0ω

~
r2
)

+ C2Fκ′
r−1/2UW

(
E2 −m2

0c
4

4m0c2ω~
− 1

2
κ′ − 1

4
;
1

2
κ′ − 1

4
;
m0ω

~
r2
)
, (3.136)

nas quais C1Gκ , C2Gκ , C1Fκ′
e C1Fκ′

são constantes eMW (α, β, γ) e UW (α, β, γ)
são as funções de Whittaker [12]. Precisa-se que as funções Gκ(r) e Fκ′(r)
no caso de r →∞ permaneçam limitadas, porém os termos proporcionais a
UW (α, β, γ) não satisfazem tais condições, assim, as respectivas constantes
devem ser anuladas, logo

Gκ(r) = C1Gκ

(m0ω

~

)κ/2+3/4

rκ+1 exp
(
−mω

2~
r2
)

×MW

(
1

2
+ κ− E2 −m2

0c
4

4m0c2ω~
;κ+

3

2
;
m0ω

~
r2
)

(3.137)

e

Fκ′(r) = C1Fκ′

(m0ω

~

)κ′/2+1/4

rκ
′
exp

(
−mω

2~
r2
)

×MW

(
1

2
+ κ′ − E2 −m2

0c
4

4m0c2ω~
;κ′ +

1

2
;
m0ω

~
r2
)
. (3.138)

Fazendo a definição do número radial principal n como

n =
E2
n −m2

0c
4

4m0c2ω~
− κ− 1

2
, (3.139)

vemos que os possíveis valores de energia são

E±nκ = ±m0c
2

[
1 +

4ω~
m0c2

(
n+ κ+

1

2

)]1/2
. (3.140)

Nas funções de onda ainda não-normalizadas (3.137) e (3.138) podemos uti-
lizar a relação [12]

MW (−n;m+ 1;x) =
n!m!

(n+m)!
Lmn (x), (3.141)

logo

Gl = C1Gl

n!(l + 1/2)!

(n+ l + 1/2)!

(m0ω

~

)1/4 [(m0ω

~

)1/2
r

]l+1

exp
(
−m0ω

2~
r2
)

× Ll+1/2
n

(m0ω

~
r2
)

(3.142)

59



e

Fl′ = C1Fl′

n′!(l′ + 1/2)!

(n′ + l′ + 1/2)!

(m0ω

~

)1/4 [(m0ω

~

)1/2
r

]l′+1

exp
(
−m0ω

2~
r2
)

× Ll
′+1/2
n′

(m0ω

~
r2
)
. (3.143)

Nestas expressões as constantes de normalização C1Gl e C1Fl′
ainda não são

conhecidas. Calculando estas constantes, a parte espacial do espinor(
ψ1(r)
ψ2(r)

)
=

1

r

(
iGκΩjlm (r/r)
−FκΩjl′m (r/r)

)
, (3.144)

será determinada. Fazendo a troca x = m0ωr
2/~ em (3.142) e (3.143), a

condição de normalização (3.116) é

C2
1Gκ

[
n!(l + 1/2)!

(n+ l + 1/2)!

]2( ~
m0ω

)1/2 ∫ ∞
0

dx xl+1/2 exp (−x)
[
Ll+1/2
n (x)

]2
=

(
Enκ +m0c

2

Enκ

)
(3.145)

e

C2
1Fκ

[
n′!(l′ + 1/2)!

(n′ + l′ + 1/2)!

]2( ~
m0ω

)1/2 ∫ ∞
0

dx xl
′+1/2 exp (−x)

[
Ll

′+1/2
n (x)

]2
=

(
Enκ −m0c

2

Enκ

)
(3.146)

nas quais [12]∫ ∞
0

dx xl+1/2 exp (−x)
[
Ll+1/2
n (x)

]2
=

(n+ l + 1/2)!

n!
, (3.147)

assim

C1Gκ =
(m0ω

~

)1/4 [(n+ l + 1/2)!

n![(l + 1/2)!]2

(
Enκ +m0c

2

Enκ

)]1/2
, (3.148a)

C1Fκ =
(m0ω

~

)1/4 [(n′ + l′ + 1/2)!

n′![(l′ + 1/2)!]2

(
Enκ −m0c

2

Enκ

)]1/2
,(3.148b)

substituindo essas constantes em (3.142) e (3.143), obtemos as funções Gk(r)
e Fk(r)

Gk(r) =

[
m0ωn! (Enκ +m0c

2)

~(n+ l + 1/2)!Enκ

]1/2 [(m0ω

~

)1/2
r

]l+1

exp
(
−m0ω

2~
r2
)

× Ll+1/2
n

(m0ω

~
r2
)

(3.149)

60



e

Fk(r) =

[
m0ωn

′! (Enκ −m0c
2)

~(n′ + l′ + 1/2)!Enκ

]1/2 [(m0ω

~

)1/2
r

]l′+1

exp
(
−m0ω

2~
r2
)

× Ll
′+1/2
n′

(m0ω

~
r2
)

(3.150)

finalmente, temos que o espinor do OD é

Ψ(r , t) =
1

r


[
m0ωn! (Enκ +m0c

2)

~(n+ l + 1/2)!Enκ

]1/2 [(m0ω

~

)1/2
r

]l+1

L
l+1/2
n

(m0ω

~
r2
)

[
m0ωn

′! (Enκ −m0c
2)

~(n′ + l′ + 1/2)!Enκ

]1/2 [(m0ω

~

)1/2
r

]l′+1

L
l′+1/2
n′

(m0ω

~
r2
)


× exp

(
−m0ω

2~
r2 − iEt

~

)
. (3.151)

61



Capítulo 4

Conclusão

Neste trabalho foi apresentado o estudo do Átomo de Hidrogênio e do Osci-
lador Harmônico Tridimensional nos níveis não-relativísticos e relativísticos,
utilizando o formalismo da Mecânica Quântica Supersimétrica (SUSYQM).

Inicialmente, no capítulo 1, introduzimos os fundamentos da SUSYQM.
No capitulo 2, realizamos o estudo não relativístico do Átomo de Hidrogênio
e do Oscilador Harmônico Tridimensional, cujas expressões gerais para as
autoenergias e as autofunções destes dois sistemas foram calculadas, sendo
necessária a construção de operadores de escada com os quais o hamiltoniano
de cada um destes sistemas pôde ser fatorado como o produto de dois opera-
dores que seguem a álgebra da SUSYQM. Apresentamos diversos exemplos
que ilustram a igualdade das autofunçoes encontradas pelo método conven-
cional e utilizando o formalismo da SUSYQM . Finalmente, no capitulo 3,
realizamos o estudo relativístico dos mesmos dois sistemas, a parte radial da
ED para o Átomo de Hidrogênio Relativístico e do Oscilador de Dirac (a
versão relativística correspondente do Oscilador Harmônico Tridimensional)
foram fatoradas utilizando operadores que seguem a álgebra da SUSYQM,
se obtiveram as respectivas expressões para as autoenergias e autofunções
destes dois sistemas.

As expressões para as autoenergias e as autofunções dos quatro sistemas
estudados, Átomo de Hidrogênio relativístico e não-relativístico, Oscilador
Harmônico Tridimensional e Oscilador de Dirac que foram obtidas com a
utilização do formalismo da SUSYQM, podem ser comparadas com os resul-
tados correspondentes obtidos por métodos convencionais os quais também
são desenvolvidos neste trabalho. Em particular, as expressões para as auto-
energias obtidas pelos dois métodos são evidentemente iguais, no entanto, os
resultados obtidos para as autofunções, embora iguais, oferecem dificuldade
para efeito de comparação, pois a resposta geral para qualquer autofunção

62



obtida com o formalismo da SUSYQM resulta em função de operadores e
não pode ser simplificada, contrário ao caso do método convencional.

Possíveis trabalhos futuros são:

• Encontrar as constantes de normalização das autofunções do AHNR e
o OAT utilizando unicamente o formalismo da SUSYQM.

• Estender os resultados encontrados no caso do AHNR e o OAT, estabe-
lecendo as condições sob as quais a ES para um potencial central pode
ser resolvida utilizando o formalismo da SUSYQM.

• Estender os resultados encontrados no caso do AHR e o OD, estabele-
cendo as condições sob as quais o sistema formado pelas equações que
conformam a parte radial da ED pode ser resolvido com o formalismo
da SUSYQM.

63



Capítulo 5

Apêndice

.1 Equação Diferencial Hypergeométrica
Uma equação diferencial que pode-se reduzir à forma

z(1− z)
d2φ

dz2
+ [c− (a+ b+ 1)z]

dφ

dz
− abφ = 0, (.1.1)

onde a, b e c são constantes arbitrarias, é chamada equação diferencial hyper-
geométrica. Fazendo primeiramente a troca x = bz e posteriormente pegando
o limite b→∞ obtemos a equação

x
d2φ

dx2
+ (c− x)

dφ

dx
− aφ = 0, (.1.2)

que é conhecida como equação diferencial de Kummer. Utilizando os símbolos
de Pochammer

(a)0 = 1, (a)µ = a(a+ 1) · · · (a+ µ− 1) (.1.3)

as soluções∗ das equações (.1.1) e (.1.2) respetivamente são

φ(z) = A 2F1(a, b, c; z) +Bz1−c 2F1(a+ 1− c, b+ 1− c, 2− c; z);

com 2F1(a, b, c; z) =
∞∑
µ=0

(a)µ(b)µz
µ

(c)µµ!
(.1.4)

∗As soluções das equações (.1.1) e (.1.2) podem-se calcular propondo uma solução da
forma

φ(x) = xα
∞∑
i=0

cix
iφ(z) = xα

∞∑
i=0

cix
i

i



e

φ(x) = A 1F1(a, c;x) +Bx1−c 1F1(a− c+ 1, 2− c;x);

com 1F1(a, c;x) =
∞∑
µ=0

(a)µx
µ

(c)µµ!
. (.1.5)

Das definições das funções 1F1(a, c;x) e 2F1(a, b, c;x) vemos que a sua exis-
tência implica c 6= −n com n = 0, 1, · · · , além disto, no caso a = −n (ou
b = −n) com n = 0, 1, · · · , as séries terminam, e as funções 1F1(a, c;x) ou
2F1(a, b, c;x) definem polinômios finitos, em particular

1F1(−n,m+ 1;x) =
n!m!

(n+m)!
L(m)
n (x), (.1.6)

define a relação entre as soluções da equação de Kummer e os polinômios de
Laguerre [12].

ii



Bibliografia

[1] J. Wess, From symmetry to supersymmetry. [Eur. Phys. J. C. 59,
(2009) 177-183].

[2] E. Noether, Invariant Variation Problems. Tradução ao inglês
dos teoremas de E. Noether (1918) [arXiv:physics/0503066v1
[physics.hist-ph]].

[3] H. Kirsten, A. Wiedemann. Supersymmetry: an introduction with
conceptual and calculational details. World Scientific. 1987.

[4] P. Ramond, Field theory: a modern primer. Segunda edição. West-
view Press. 2001.

[5] S. Coleman, J. Mandula. All Possible Symmetries of the S Matrix.
[Phys. Rev. 159, (1967) 1251–1256].

[6] J. Wess, J. Bagger. Supersymmetry and supergravity 1992.

[7] Fred Cooper, Avinash Khare, Uday Sukhatme. Supersymmetry and
quantum mechanics. [Phys. Rept. 251 (1995) 267-385]; C. V. Suku-
mar. Supersymmetric quantum mechanics and its applications. [AIP
Conf. Proc. 744, (2004) 166-235]; M. de Crombrugghe, V. Ritten-
berg. Supersymmetric quantum mechanics. [Annals of Physics 151,
(1983) 99-126].

[8] E. Witten, Dynamical breaking of supersymmetry. [Nucl. Phys.
B185 (1981) 513-554].

[9] M. Chaichian, et al. Symmetries in quantum mechanics: from an-
gular momentum to supersymmetry. Institute of physics publishing,
Bristol, Philadelphia. 1997.

[10] Shi-Hai Dong, Factorization Method in Quantum Mechanics. Sprin-
ger, 2007.

iii



[11] L. Infeld. On a New Treatment of Some Eigenvalue Problems. [Phys.
Rev. 59 (1941) 737-747].

[12] George B. Arfken, Hans J. Weber, Frank E. Harris. Mathematical
Methods for Physicists 1992.

[13] C. Cohen-Tannoudji, et al.Quantum mechanics ; D. Griffiths.Quan-
tum Mechanics: an introduction. Quarta edição. Springer. 2001;
W. Greiner. Quantum Mechanics: an introduction. Quarta edição.
Springer. 2001.

[14] Y. F. Liu, et al. Connection between the closeness of classical orbits
and the factorization of the radial Schrödinger equation. [Phys. Rev.
A 58 (1998) 862-868].

[15] W. Greiner. Relativistic Quantum Mechanics: wave equations. Ter-
ceira edição. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York. 2000.

[16] B. W. Xu, et al. Factorization of the radial Schrödinger equation of
the hydrogen atom. [Phys. Lett. A 259 (1999) 212-214].

[17] R. D. Tangerman, J. A. Tjon. Exact supersymmetry in the nonre-
lativistic hydrogen atom. [Phys. Rev. A 48, (1993) 1089-1092].

[18] A. Valance, et al. Eigensolutions of the Coulomb hamiltonian via
supersymmetry. [Am. J. Phys. 58 (1990) 487-491].

[19] A. Wipf, et al. Algebraic solution of the supersymmetric hydrogen
atom. [Quantum theory and symmetries IV e.d. V. K. Dobrev, He-
ron Press, Sofia, (2006) 1-11].

[20] P. Kundrat, et al. Three-dimensional harmonic oscillator and time
evolution in quantum mechanics. [Phys. Rev. A 67 (2003) 1-5].

[21] J. D. Talman, Some properties of three-dimensional harmonic os-
cillator wave functions. [Nucl. Phys. A141 (1970) 273-288].

[22] L. Homorodean, Isotropic three-dimensional oscillator in relativistic
classical mechanics. [Europhys. Lett., 66 (2004) 8-13].

[23] R. Mota, et al. Creation and annihilation operators, symmetry and
supersymmetry of the 3D isotropic harmonic oscillator. [J. Phys. A:
Math. Gen. 36 (2003) 4849-4856 ].

[24] B. Thaller, The Dirac equation. Springer-Verlag, Berlin 2010.

iv



[25] M. E. Rose. Relativistic Wave Functions in the Continuous Spec-
trum for the Coulomb Field. [Phys. Rev. 51 (1937) 484-485]; P.
C. Martin, et al. Relativistic Theory of Radiative Orbital Electron
Capture. [Phys. Rev. 109 (1957) 1307-1325].

[26] H. M. Kiefer, et al. Noninvariance Group for the Dirac Coulomb
Problem. [Phys. Rev. 180 (1969) 1282-1288]; T. T. Khachidze et al.
The hidden symmetry of the Coulomb problem in relativistc quan-
tum mechanics: From Pauli to Dirac. [Am. J. Phys. 74 (2006) 628-
632]; J. Chen, et al. SO(4) symmetry in the relativistic hydrogen
atom. [Phys. Rev. A 77 (2008) 1-4]; A. A. Stahlhofen. Comment on
“SO(4) symmetry in the relativistic hydrogen atom”. [Phys. Rev. A
78 (2008) 1].

[27] G. Breit, et al. Perturbation Methods for Dirac Radial Equations.
[Phys. Rev. 76 (1949) 1307-1309].

[28] C. V. Sukumar, Supersymmetry and the Dirac equation for a central
Coulomb field. [J. Phys. A: Math. Gen. 18, (1985) L697-L701].

[29] H. Panahi, et al. Dirac equation and ground state of solvable poten-
tials: supersymmetry method. [Int J Theor Phys (2011) 2811-2818].

[30] M. E. Rose, A Note on Dirac Central Field Wave Functions . [Phys.
Rev. 82 (1950) 389-391].

[31] M. E. Rose, Properties of Dirac Wave Fuctions in a Central Field.
[Phys. Rev. 82 (1950) 470-477].

[32] L. C. Bie