UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Instituto de Geociências e Ciências Exatas Campus de Rio Claro OSCILADOR ELETROMAGNÉTICO CAÓTICO André Roberto Amâncio Orientador: Prof. Dr. José Roberto Campanha Dissertação de Mestrado elaborada junto ao Programa de Pós-Graduação em Física - Área de Concentração em Física Aplicada, para obtenção do Título de Mestre em Física. Rio Claro (SP) 2008 621 Amâncio, André Roberto. A484o Oscilador eletromagnético caótico / André Roberto Amâncio. - Rio Claro: [s.n.], 2008 158 f. : il., gráfs., figs., tabs., fots. Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas Orientador: José Roberto Campanha 1. Física aplicada. 2. Sistema eletro-magneto-mecânico. 3. Movimentos caóticos. 4. Diagrama de bifurcação. I. Título. Ficha Catalográfica elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP Campus de Rio Claro/SP Comissão Examinadora Prof. Dr. José Roberto Campanha Instituição: IGCE/RC Prof. Dr. Makoto Yoshida Instituição: IGCE /RC Prof. Dr. Camilo Rodrigues Neto Instituição: EACH-USP/SP André Roberto Amâncio Rio Claro, 28 de abril de 2008. Resultado: Aprovado Dedico este trabalho às memórias de meus avós Laurinda Mariotto Amâncio e Luis Duarte Filho. Agradecimentos Agradeço às seguintes pessoas e entidades: Ao Prof. Dr. José Roberto Campanha, pela preciosa orientação deste trabalho, amizade e incentivo e pelos ensinamentos transmitidos. Ao Departamento de Física da UNESP de Rio Claro, pelo apoio e facilidades proporcionadas. Aos professores do curso de pós-graduação em Física, área de concentração Física Aplicada, pela amizade e ensinamentos. Aos meus pais, Maria Aparecida Duarte Amâncio, Carlos Roberto Amâncio, a minha irmã, Simone Aparecida Amâncio, e meus avós Maria Madalena Duarte e Romildo João Amâncio pelo apoio dado em minha vida. A todos que colaboraram de alguma forma na realização deste trabalho. Obrigado a todos. Obrigado a Deus. Sumário Índice i Resumo iii Abstract iv Lista de figuras v Lista de tabelas vii Nomenclatura viii I – Introdução 1 II – Caos e métodos matemáticos no estudo de sistemas dinâmicos 5 III – Equação do oscilador eletromagnético 24 IV – Simulações numéricas do sistema 54 V – Conclusão 72 i Índice Capítulo 1 – Introdução 1 1.1 – Vibrações 1 1.2 – Sistema proposto 3 1.3 – Objetivo 4 Capítulo 2 – Caos e métodos matemáticos no estudo de sistemas dinâmicos 5 2.1 – Caos 5 2.2 – Breve histórico do caos 6 2.3 – Métodos matemáticos no estudo do sistema dinâmicos 14 2.3.1 – Transformada de Fourier 14 2.3.2 – Transformada discreta de Fourier 16 2.3.3 – Expoentes de Lyapunov 17 2.3.4 – Seção de Poincaré 21 2.3.4.1 – Atrator e Dimensão Fractal 22 Capítulo 3 – Equação do oscilador eletromagnético 24 3.1 – Introdução 24 3.2 – Forças que agem no fio oscilante 25 3.2.1 – Força de amortecimento 25 3.2.2 – Força gravitacional 26 3.2.3 – Força magnética produzida pelos imãs 26 3.2.4 – Força magnética produzida pelos condutores estáticos retilíneos infinitos 28 3.2.5 – Força magnética produzida pelo eletroímã 33 3.3 – Correntes elétricas devido à indução eletromagnética 35 3.4 – Equação do movimento do fio oscilante 50 ii 3.5 – Aproximação da equação do movimento com a de Duffing 51 Capítulo 4 – Simulações numéricas do sistema 54 4.1 – Introdução 54 4.2 – Atribuição de valores aos coeficientes do sistema 55 4.3 – Integração numérica do sistema 57 4.4 – Resultados das simulações 57 4.5 – Bifurcação 70 Capítulo 5 – Conclusão 72 5.1 – Comentários sobre os métodos utilizados 72 5.2 – Sugestões para trabalhos futuros 73 Referências 74 Apêndices 78 Apêndice A – Calculo da corrente induzida e, de deslocamento 78 Apêndice B – Posições do fio oscilante em função do tempo 130 Apêndice C – Velocidades do fio oscilante em função do tempo. 135 Apêndice D– Espaços de fases 139 Apêndice E – Seções de Poincaré 143 Apêndice F– Transformado de Fourier 148 Apêndice G – Expoentes de Lyapunov 152 Apêndice H – Diagrama de bifurcação 157 iii Resumo Uma oscilação mecânica pode gerar movimentos caóticos através de vibrações irregulares. O estudo da oscilação mecânica caótica é o objetivo deste trabalho e para isto propomos um sistema eletro - magneto mecânico que descreve um modelo físico que trata do movimento de um fio em um campo magnético. Com simulações numéricas estudamos o sistema, usando a transformada rápida de Fourier, expoentes de Lyapunov, diagrama de bifurcação, seção de Poincaré, trajetórias de plano de fase e gráficos das posições do fio em função do tempo que oscila em movimentos periódicos e caóticos. Palavras-chave: sistema eletro-magneto-mecânico, movimentos caóticos, diagrama de bifurcação. iv Abstract A mechanical oscillation can to generate chaotic movements through irregular vibrations. The study of chaotic mechanical oscillation is the objective of this work and for this we proposed a mechanical electro - magneto system that describes a physical model that treats the movement of a thread in a magnetic field. With numeric simulations, we studied the system using the fast Fourier transform, Lyapunov exponents, bifurcation diagram, Poincaré section, phase plane trajectories and graphs of the thread positions in time function that oscillate in periodic and chaotic movements. Keyword: mechanical electro-magneto system, chaotic movement, bifurcation diagram. v Lista de Figuras Figura 1-1 – Esquema experimental do oscilador eletromagnético 03 Figura 2-1 – Foto de Lord Rayleigh 06 Figura 2-2 – Foto de Georg Duffing 07 Figura 2-3 – Esquema experimental do pêndulo de Duffing 07 Figura 2-4 – Gráfico do atrator de Duffing 07 Figura 2-5 – Foto de Balthasar van der Pol 08 Figura 2-6 – Esquema experimental do modelo de van der Pol 08 Figura 2-7 – Atrator de van der Pol 08 Figura 2-8 – Foto de Edward Lorenz 09 Figura 2-9 – Atrator de Lorenz 10 Figura 2-10 – Foto de Robert May 10 Figura 2-11 – Foto de Gregory L. Baker 12 Figura 2-12 – Esquema experimental do pêndulo caótico 12 Figura 2-13 – Atrator do pêndulo caótico 13 Figura 2-14 – Foto de Joseph Fourier 15 Figura 2-15 – Foto de A. M. Lyapunov 18 Figura 2-16 – Evolução de um elemento de volume esférico 19 Figura 2-17 – Foto de H. Poincaré 21 Figura 2-18 – Seção de Poincaré 21 Figura 2-19 – Foto de Benoit Maldelbrot 22 Figura 2-20 – Geometria Fractal 22 Figura 3-1 – Diagramas de forças e campos do oscilador eletromagnético 25 Figura 3-2 – Força de amortecimento para diferentes velocidades 25 Figura 3-3 – Esquema tridimensional do fio oscilante e dos imãs 26 Figura 3-4 – Diagrama de forças e campos do fio oscilante e, condutores estáticos retilineos infinitos 28 Figura 3-5 – Campo magnético produzido por um fio infinito 29 Figura 3-6 – Gráfico da força magnética restauradora 33 Figura 3-7 – Esquema tridimensional do fio oscilante e, eletroímã 33 Figura 3-8– Esquema no plano dos fios infinitos e do eletroímã 35 vi Figura 3-9 – Esquema no plano do fio oscilante e dos condutores infinitos 36 Figura 3-10 – Ampliação da parte do fio oscilante de comprimento l 37 Figura 3-11 – Movimento de oscilação do fio oscilante 40 Figura 3-12 – Esquema no plano de uma região do eltroímã e do fio oscilante 45 Figura 4-1 – Gráficos da simulação do sistema dinâmico para q = 0,450 dm / s2 58 Figura 4-2 – Gráficos da simulação do sistema dinâmico para q = 0,460 dm / s2 59 Figura 4-3 – Gráficos da simulação do sistema dinâmico para q = 0,470 dm / s2 60 Figura 4-4 – Gráficos da simulação do sistema dinâmico para q = 0,511 dm / s2 61 Figura 4-5 – Gráficos da simulação do sistema dinâmico para q = 0,536 dm / s2 62 Figura 4-6 – Gráficos da simulação do sistema dinâmico para q = 0,557 dm / s2 63 Figura 4-7 – Gráficos da simulação do sistema dinâmico para q = 0,596 dm / s2 64 Figura 4-8 – Gráficos da simulação do sistema dinâmico para q = 0,640 dm / s2 65 Figura 4-9 – Gráficos da simulação do sistema dinâmico para q = 0,700 dm / s2 66 Figura 4-10 – Gráficos da simulação do sistema dinâmico para q = 0,740 dm / s2 67 Figura 4-11 – Gráficos da simulação do sistema dinâmico para q = 0,812 dm / s2 68 Figura 4-12 –Gráficos da simulação do sistema dinâmico para q = 0,835 dm / s2 69 Figura 4-13 – Diagrama de bifurcação 70 vii Lista de Tabelas Tabela 4-1 Valores numéricos das constantes da equação 56 Tabela A-1 Valores numéricos das constantes 98 Tabela A-2 Valores numéricos da tensão, resistência elétrica e área da seção reta do fio oscilante. 107 Tabela A-3 Valores numéricos do número de espiras, comprimento, área da seção reta e amplitude da voltagem do eletroímã 126 viii Nomenclatura 1I – corrente elétrica no fio oscilante 01V – força eletromotriz que produz a corrente elétrica I1 01r – resistência elétrica acoplada ao circuito do fio oscilante 2I – corrente elétrica nos condutores retilíneos estáticos 03V – força eletromotriz que produz a corrente elétrica I2 3r – resistências elétricas em paralelo N – pólo norte do imã S – pólo sul do imã – gerador de corrente alternada R – resistência elétrica variável → g – vetor campo gravitacional g – módulo do vetor campo gravitacional IB → – vetor indução magnético produzido pelos imãs IB – módulo do vetor indução magnético produzido pelos imãs – vetor entrando no plano – vetor saindo no plano ELB → – vetor indução magnético produzido pelo eletroímã ELB – módulo do vetor indução magnético produzido pelo eletroímã 0B → – amplitude de oscilação do vetor indução magnético produzido pelo eletroímã 0B – módulo da amplitude de oscilação do vetor indução magnético produzido pelo eletroímã – freqüência angular externa do gerador de corrente alternada do eletroímã t – tempo RB → – vetor indução magnético produzido pelos condutores retilíneos estáticos RF → – vetor força restauradora produzida pelos condutores retilíneos estáticos RF – módulo do vetor força restauradora produzida pelos condutores retilíneos estáticos amF → – vetor força de amortecimento amF – módulo do vetor força de amortecimento ix gF → – vetor força gravitacional gF – módulo do vetor força gravitacional IF → – vetor força magnética criado pelo vetor indução magnético IB → produzido pelos imãs IF – módulo do vetor força magnético criado pelos imãs ELF → – vetor força produzida pelo eletroímã ELF – módulo do vetor força produzido pelo eletroímã .. x – derivada de segunda ordem da posição x em relação ao tempo . x – derivada de primeira ordem da posição x em relação ao tempo x – posição – constante de amortecimento de Duffing ODw – freqüência linear de Duffing – constante cúbica de Duffing D – freqüência externa de Duffing Q .. – derivada de segunda ordem da carga elétrica em relação ao tempo Q . – derivada de primeira ordem da carga elétrica em relação ao tempo Q – carga elétrica ℑ – constante de amortecimento de van der Pol Λ – constante de van der Pol 0 – freqüência externa de van der Pol 0I – gerador – indutância C – capacitância 0E – diferença de potencial do diodo V – diferença de potencial do capacitor . y – derivada de primeira ordem de y em relação ao tempo . z – derivada de primeira ordem de x em relação ao tempo ζσλ ,, – parâmetros de controle do modelo de Lorenz .. θ – derivada de segunda ordem de θ em relação ao tempo . θ – derivada de primeira ordem de θ em relação ao tempo x θ – ângulo percorrido pelo pêndulo h – constante de amortecimento do pêndulo M – massa do pêndulo l – comprimento do fio do pêndulo dN – amplitude de oscilação da força externa P – freqüência externa do pêndulo 0 Pw – freqüência linear do pêndulo s, F – parâmetros de controle do pêndulo dm / s2 – decímetro por segundo ao quadrado b – constante de amortecimento dx/dt – velocidade do fio oscilante d2x/dt2 – aceleração do fio oscilante m – massa do fio oscilante l – comprimento do fio oscilante m – permeabilidade magnética do meio ∈ – permissividade elétrica do meio L – distância de separação entre os condutores estáticos retilíneos infinitos x ^ , y ^ e z ^ – vetores unitários ψd – elemento angular 1D , 2D – distâncias entre os fios infinitos e o fio oscilante T – largura do eletroímã U – comprimento do eletroímã dx, dy – elementos de comprimento de largura e altura ^ n – vetor unitário normal i – tensão induzida produzida por i fatores diI – corrente de deslocamento elétrico produzido por i fatores ij – fluxo magnético ij – fluxo elétrico 2 – tensão induzida nos fios infinitos produzida pelo eletroímã d2I – corrente de deslocamento elétrico nos fios infinitos produzida pelo eletroímã A – área da seção reta dos fios infinitos xi A`` – área da seção reta do fio oscilante A``` – área da seção reta dos fios do eletroímã S – comprimento dos fios infinitos χ – distância da origem O até a superfície do fio oscilante dt dχ – derivada de primeira ordem da posição χ em relação ao tempo 2 2 dt d χ – derivada de segunda ordem da posição χ em relação ao tempo 1 , 2 – ângulos que o fio oscilante forma em relação a um elemento retangular di – elemento de corrente que passa no comprimento l fB → – vetor indução magnético produzido pelo fio oscilante r – raio do fio oscilante 1B → , 4B → – vetores induções magnéticos produzidos por elementos de circuito do fio oscilante 1r `→ , 4r → – distâncias dos elementos de comprimento do fio oscilante até o ponto de produção dos campos α , β – ângulos que os elementos de comprimento do fio oscilante formam até o ponto de produção dos campos 2 ` – tensão induzida nos fios infinitos produzida pelo fio oscilante d2I ` – corrente de deslocamento elétrico nos fios infinitos produzida pelo fio oscilante ind1I ` – corrente elétrica induzida no fio oscilante produzida pelos fios infinitos d1I – corrente de deslocamento elétrico no fio oscilante produzida pelos fios infinitos ind1I `` – corrente elétrica induzida no fio oscilante produzida pelo eletroímã d1I `` – corrente de deslocamento elétrico no fio oscilante produzida pelo eletroímã 2I ` – corrente elétrica induzida no fio oscilante devido a sua auto – indutância d2I `` – corrente de deslocamento elétrico no fio oscilante devido a sua auto – indutância indI – corrente elétrica induzida no eletroímã devido a sua auto – indutância dI – corrente de deslocamento elétrico no eletroímã devido a sua auto – indutância EL1F – Força magnética que atua no fio oscilante produzida pelo eletroímã 3I – corrente elétrica induzida no eletroímã devido ao movimento do fio oscilante xii d3I – corrente de deslocamento elétrico no eletroímã devido ao movimento do fio oscilante EL2F – Força magnética que atua no fio oscilante produzida devido a sua auto – indução F – Força magnética total que atua no fio oscilante H – número de espiras do eletroímã J – comprimento onde atua o vetor indução magnético ELB → do eletroímã CAPÍTULO 1 Introdução 1.1 Vibrações A vibração está presente já nos primeiros tempos da História da Humanidade. Instrumentos rudimentares, como apitos e tambores, têm no seu princípio de funcionamento, um problema vibratório como essência. Estes instrumentos tiveram muita importância entre os povos primitivos como meios de comunicação. Mais tarde uma série de instrumentos musicais (percussão, cordas, metais, etc.) foi concebida aproveitando movimentos vibratórios, geradores de ondas sonoras. O desenvolvimento da teoria da vibração resultou na importância de seu estudo, pois a maioria das atividades humanas envolve alguma forma de vibração. A respiração está associada à vibração dos pulmões, os batimentos cardíacos são movimentos vibratórios, a fala se fundamenta na vibração das cordas vocais e os movimentos humanos envolvem oscilações dos braços e pernas. Outros campos da atividade humana também apresentam um comportamento oscilatório (economia, biologia, química, física, etc.). No campo tecnológico, as aplicações de vibrações na engenharia são de grande importância 2 nos tempos atuais. Projetos de máquinas, fundações, estruturas, motores, turbinas, sistemas de controle, e outros, exigem que questões relacionadas a vibrações sejam levadas em conta. Uma outra aplicação que a vibração possui é a industrial. Esteiras transportadoras, peneiras, compactadores, misturadores, máquinas de lavar, utilizam em seu princípio de funcionamento a vibração. Desse modo, a vibração é definida como qualquer movimento que se repete, regular ou irregularmente, depois de um intervalo de tempo. Assim, ela se apresenta em oito formas, que serão também definidas a seguir: 1- Vibração livre é aquela produzida por perturbação inicial que não persiste durante o movimento oscilatório. 2-Vibração forçada é provocada por um efeito externo que persiste durante o tempo em que o movimento vibratório existir. 3-Vibração amortecida é aquela em que a energia vibratória se dissipa com o transcorrer do tempo de forma que os níveis vibratórios diminuem progressivamente. 4-Vibração não amortecida é aquela em que a energia vibratória não dissipa de forma que o movimento vibratório permanece imutável com o passar do tempo. 5-Vibração linear é aquela que ocorre em um sistema cujos componentes atuam linearmente. 6-Vibração não linear é aquela em que os componentes do sistema não se comportam linearmente. 7-Vibração determinística é aquela que se pode prever todas as características do movimento vibratório em qualquer instante de tempo. 8-Vibração aleatória ou não determinística é aquela em que não é possível prever o que irá acontecer no movimento vibratório. 3 1.2 Sistema proposto O sistema dinâmico que analisamos consiste de um fio oscilante que oscila entre dois condutores estáticos infinitos, ligados em um gerador de corrente contínua, e um eletroímã, que possui pólos norte e sul instantâneos, onde se uma cria um campo magnético alternado. Também há dois imãs que anulam a força gravitacional pela criação de uma força magnética em sentido oposto. O fio oscilante está preso a dois fios flexíveis ligados também a um gerador de corrente contínua. Este modelo está ilustrado na figura 1-1, abaixo. A equação diferencial que descreve o modelo proposto neste trabalho não consta na literatura, portanto, ela está sendo estudada pela primeira vez. 1.3 Objetivo O objetivo deste trabalho é analisar o comportamento do modelo proposto por meio das séries temporais geradas quando integramos as equações do movimento pelo método numérico de Runge-Kutta. Para essa análise usamos a transformada de Fourier (Apêndice E), os expoentes de Lyapunov (Apêndice F), o V01 r01 I1 r3 r3 I2 I2 R Figura 1-1 Esquema experimental do oscilador eletromagnético. 4 diagrama de bifurcação (Apêndice G) e as seções de Poincaré (Apêndice D). Também usamos os gráficos que dão a posição do fio oscilante em função do tempo (Apêndice A), a velocidade do fio oscilante em função do tempo (Apêndice B), e os espaços de fases (Apêndice C) definidas pela velocidade versus posição do fio oscilante. calculamos os expoentes de Lyapunov com recursos residentes no Mathematica 5.2 pelo algoritmo desenvolvido por (SANDRI, 1996). Para atingir esse objetivo, no capítulo 2, fizemos um breve histórico sobre caos e descrevemos os métodos matemáticos: transformada contínua e discreta de Fourier, e os expoentes de Lyapunov. No capítulo 3, apresentamos a equação diferencial que descreve o sistema. No capítulo 4, atribuímos valores aos coeficientes do sistema, fizemos simulações numéricas, com estudos da seção de Poincaré e do diagrama de bifurcação e no capítulo 5, sugerimos a continuidade do trabalho com simulações numéricas do sistema para diferentes valores de amplitude da força externa. Sugerimos também, como continuidade lógica deste trabalho, a construção experimental do modelo aqui proposto. CAPÍTULO 2 Caos e métodos matemáticos no estudo de sistemas dinâmicos 2.1 Caos A teoria do caos avançou inicialmente a partir do trabalho de cientistas que lidavam com sistemas dinâmicos em Ciências como a Física, a Metereologia, a Biologia e outras. A modelagem desses sistemas procura montar uma representação de determinado fenômeno do mundo real, que se pretende estudar. A abstração é exercida escolhendo-se um número manejável, naturalmente pequeno, de agentes relevantes em relação àquela problemática específica. No caso dos sistemas dinâmicos, entra em cena a matemática simplificadora e representa-se cada agente através de uma variável, e a inter- relação entre os mesmos por relações funcionais (equações diferenciais). A este conjunto de equações dá-se o nome de Sistema para indicar que se trata de algo que tem partes e, também, pode ser tratado como um todo. Desse modo, a abordagem quantitativa permite que cada agente tenha sua situação em cada momento representada por um número, que será diferente quando a situação do agente mudar. Isso é possível pelo uso de métodos numéricos que permitem revelar o comportamento dinâmico do sistema que pode exibir 6 um movimento caótico. Sendo assim, citamos como exemplos desse comportamento às variações climáticas, a dinâmica de populações, osciladores elétricos e mecânicos. 2.2 Breve histórico do caos Faremos a seguir um breve histórico do caos onde os detalhes sobre o assunto podem ser encontrados em PEITGEN, 1992, STEWART, 1991, RUELLE, 1993. Uma área onde há contribuição e construção de sistemas dinâmicos é o estudo de osciladores não lineares. Um dos pioneiros nessa área foi o físico inglês John William Strutt Lord Rayleigh (1842-1919), que desenvolveu estudos referentes à física dos instrumentos musicais. Mediante um uso inteligente dos elementos dinâmicos básicos do problema, Lord Rayleigh criou modelos que explicam os sons emitidos pelos instrumentos quando tocados por músicos. Em seu famoso livro, A Teoria do Som, publicado em 1877, Rayleigh introduziu uma série de métodos gerais como a noção do ciclo limite, que é um movimento periódico que tende o sistema físico com independência em relação às condições iniciais. A imagem de Lord Rayleigh, retirada do site www.aerialpress.com, será mostrada a seguir: Em 1918, um engenheiro alemão conhecido como Georg Duffing (1861- 1944) descobriu um modelo de oscilador não linear simétrico com um termo cúbico: o oscilador de Duffing. Baseado nesse oscilador existe o pêndulo de Duffing, que consiste de Figura 2-1 Foto de Lord Rayleigh http://www.aerialpress.com 7 uma viga flexível que oscila entre dois imãs magnéticos sofrendo a ação de uma força periódica. Sua foto, também retirada do site www.aerialpress.com , a equação segundo (PARLITZ, 2007, p.407), o esquema experimental do modelo e o atrator feito no software Mathematica 5.2 serão mostrados a seguir: D0D 2 3 .. . x x w x x cos( t)+ + + = , (2.1) Figura 2-3 Esquema experimental do pêndulo de Duffing. Figura 2-2 Foto de Georg Duffing. Figura 2-4 Atrator de Duffing. . x x Força periódica Imãs Viga Flexível http://www.aerialpress.com 8 Posteriormente, em 1927, um engenheiro elétrico holandês chamado Balthasar van der Pol (1889-1959), cuja foto retirada do site www.ieee.org é mostrada abaixo, criou um modelo matemático de um oscilador não linear que é usado para descrever oscilações em circuitos eletrônicos contendo tubos a vácuo que eram utilizados para construir rádios antes da invenção do transistor, com a equação diferencial, esquema experimental e o atrator, retirado do site www.physics.drexel.edu são dados a seguir : 2 2 2 0 .. . Q (Q ) Q Q 0Λ+ ℑ − + = , (2.2) Figura 2-6 Esquema experimental do modelo de van der Pol. Figura 2-5 Foto de Balthasar van der Pol. Figura 2-7 Atrator de van der Pol. V C E0 η I0 W http://www.ieee.org http://www.physics.drexel.edu 9 Cientistas de outras áreas não se conformavam com as limitações da matemática, pois precisavam utilizar modelos mais complexos, não lineares e de maior dimensão, que melhor representassem os fenômenos reais que estudavam. No entanto, além dos estudos científicos específicos e da matemática pura, foi necessário que entrasse em cena um terceiro ramo para que essa necessidade fosse atendida. Este era indispensável para tratar o enorme volume de informações e as complexas inter-relações entre as variáveis envolvidas. Trata-se da colaboração da matemática aplicada, especificamente aquela apoiada nos computadores, já que estes permitiam incursões por estas áreas utilizando métodos iterativos, e outros, para resolver, ou analisar qualitativamente, os sistemas dinâmicos até então praticamente inatingíveis. Foi a combinação das simulações com as observações experimentais que permitiram importantes avanços na teoria do caos através da colaboração de cientistas de outras áreas como Edward Lorenz, pesquisador de metereologia do Instituto de Tecnologia de Massachusetts, no início da década de 1960, utilizando um computador Royal McBee LGP-30, criou um modelo descrito por um sistema de equações diferenciais com o objetivo de reproduzir o movimento das correntes de ar na atmosfera. Com a resolução numérica das equações pelo computador notou-se que para valores próximos atribuídos a condição inicial, os resultados obtidos se repetiam em um curto espaço de tempo e depois disso o comportamento desses resultados se tornava irregular e imprevisível. Esses dois fatores observados confirmam a definição de caos, segundo Stacey (ARAÚJO, 2004, p.82), esse fenômeno que em sistemas guiados por certos tipos de leis perfeitamente ordenadas são capazes de se comportar de uma maneira aleatória, e desta forma, completamente imprevisível no longo prazo. A foto de Lorenz, retirada de (SANJÚAN, VÁZQUEZ, 2005), os sistemas de equações diferenciais e seu atrator na figura 2.4, retirado de (ARAÚJO, 2004, p.83), são apresentados a seguir: Figura 2-8 Foto de Edward Lorenz. 10 . x (y x), . y x xz y, . z xy z, = − = − − = − (2.3) Seguiram-se a estes trabalhos muitos outros, tanto na extensão das técnicas matemáticas quanto na descoberta de novos e intrigantes exemplos de dinâmica caótica em modelos de baixa dimensão, isto é, um grau de liberdade. Dentre esses trabalhos cabe destacar o modelo matemático que descreve o comportamento da dinâmica de populações, na área de biologia, usado por Robert May, com sua foto mostrada abaixo retirada do site www.broad.mit.edu, no inicio da década de 70, do século passado, que também exibe um comportamento caótico. A equação pode ser expressa por: Figura 2-10 Foto de Robert May. Figura 2-9 Atrator de Lorenz. http://www.broad.mit.edu 11 k (1 )Ω = − , (2.4) que foi desenvolvida pelo matemático belga Pierre Verhulst em 1845, e acabou sendo usada por Robert May para simular a evolução de epidemias. Robert May verificou que os resultados obtidos através dessa equação coincidiram com o comportamento de uma epidemia real. Desse modo, o número de infectados, em um momento aumentava rapidamente e posteriormente diminuía drasticamente. Admitindo que k seja o valor da razão de crescimento da população em estudo e, no instante n, n a porcentagem da população de infectados e n1− a porcentagem de não infectados dessa população, portanto, a população no instante n +1, pode ser obtida pela equação de recorrência. n nn 1 k (1 )Ω + = − , (2.5) conhecida pelo nome de mapa logístico. Robert May observou que, para uma seqüência crescente dos valores de k, a população apresentava um tamanho constante, e posteriormente oscilava entre valores grandes e pequenos até que passava a exibir uma falta de regularidade e previsibilidade em função do crescimento. Esse comportamento quebrou um dos pilares fundamentais da ciência que afirmava: equações matemáticas eram as formas mais elevadas para descreverem os princípios da natureza e suas soluções apresentavam uma forma regular de previsibilidade, não importando quantos cálculos fossem necessários. Esta é a idéia fundamental da matemática, a ciência que pretende fazer previsões exatas e repetidas. Robert May provou que equações usadas para descrever fenômenos da natureza podem mostrar resultados sem previsibilidade. A partir essa descoberta, em outras áreas, tais como epidemias, ritmos cardíacos, ciclos econômicos e fluxo de fluidos, também foram observados comportamentos caóticos. 12 Um outro tipo de sistema que exibe caos é o pêndulo caótico, que por volta de 1985, foi estudado por Gregory L. Baker, com sua foto retirada do site www.physics.utoronto.ca, com a colaboração do Prof. Jerry P. Gollub do Haverford College, realizaram simulações computacionais e estudaram o complexo comportamento do pêndulo, cujo modelo, a equação diferencial segundo (ARAUJO, 2006), e o atrator retirado do site www.icpr.snu.ac.kv, são mostrados a seguir. A equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo caótico é dada por: d P2 2 .. . Nh g sen cos( t ) M l l M l = − − + , (2.6) Figura 2-12 Esquema experimental do pêndulo caótico. Figura 2-11 Foto de Gregory L. Baker. θ excitaçãoF → arrasteF → pesoF → → g pω http://www.physics.utoronto.ca http://www.icpr.snu.ac.kv 13 Assim podemos definir novas constantes que são dadas a seguir: 2 hs Ml = , (2.7) 2 0P gw l = , (2.8) d 2 N F Ml = , (2.9) A equação adquire a seguinte forma: 2 P0 P .. . s w sen F cos( t )= − − + . (2.10) Com o descobrimento do caos em muitos sistemas físicos, as leis da natureza passaram a ser interpretadas de uma outra forma. O caos aparece até em sistemas físicos bem simples. No entanto, há uma ordem que rege o caos devido às simetrias do movimento regular que o suporta. Sistemas que não exibem caos são poucos, mas servem de base para o entendimento físico da natureza. Já para os sistemas caóticos, erros iniciais de observação provocam um crescimento exponencial e o determinismo acaba em escala Figura 2-13 Atrator do pêndulo caótico. . θ θ 14 de tempo pequena. Portanto, a precisão infinita deve ser abandonada e a previsibilidade acaba devido às incertezas nas condições iniciais dos sistemas em que são aplicadas. 2.3 Métodos matemáticos no estudo de sistemas dinâmicos Nas simulações numéricas de sistemas dinâmicos obtêm-se séries temporais que são analisadas pelos seguintes métodos matemáticos: a) Transformada rápida de Fourier. b) Expoentes de Lyapunov. Para investigação periódica do espaço de fase e da análise da mudança qualitativa do sistema dinâmico através de uma pequena variação de um parâmetro também usamos, respectivamente: c) Seção de Poincaré. d) Diagrama de bifurcação. O Diagrama de bifurcação será discutido no capítulo 4 em uma seção à parte. 2.3.1 Transformada de Fourier Um sistema dinâmico que evolui no tempo t pode ser representado por uma função f(t) ou por uma série dependente do tempo, desde que t seja dado por intervalos de tempo regulares. Se a função f(t) não for periódica, o espectro deve ser expresso pela transformada de Fourier de f(t) (BAKER, 1996). Esse método em sistemas que apresentam 15 comportamentos caóticos é de grande utilidade, porque a transformada de Fourier é, na maioria dos casos, uma função complexa, portanto, é mais útil transformá-la em uma função real, que é chamada de espectro de potência de f(t), utilizando a raiz quadrada do módulo da transformada. O matemático francês, Joseph Fourier, cuja foto retirada do site www.stetson.edu mostrada abaixo: demonstrou que sua transformada pode também ser usada para funções não periódicas, ou seja, quando a periodicidade básica da função f(t) é infinitamente grande. Assim, quando o período básico tende para infinito, o espaço entre as componentes das freqüências torna-se infinitesimal e o espectro discreto das componentes da freqüência torna-se contínuo (BAKER, 1996). Nessas condições a transformada inversa de Fourier é definida como: de)(c)t(f ti∫ ∞ ∞− = , (2.11) com a equação dos coeficientes dada por: ω π ωω ω ddc       = ∫ ∞ ∞− − dtf(t)e 2 1)( ti , (2.12) Figura 2-14 Foto de Joseph Fourier. http://www.stetson.edu 16 de onde deduzimos o valor de c(ω), que é denominada transformada de Fourier e definida por: tde)t(f 2 1)(c ti− − ∫ ∞ ∞ = . (2.13) Usando a equação (2.13), é possível converter um grupo de sinal digital, no domínio do tempo, em um conjunto de pontos no domínio das freqüências, como de uma maneira similar, reconstruir os sinais originais da função de partida, pela multiplicação dos coeficientes de Fourier por senóides e cossenóides com freqüências apropriadas. 2.3.2 Transformada discreta de Fourier Em simulações computacionais de modelos matemáticos obtemos um conjunto de valores discretos que não são séries temporais de uma função continua e infinita. A utilização do método de Runge-Kutta para resolução numérica da equação diferencial proposta neste trabalho permite obter uma série temporal discreta que possui um número finito de pontos, n, para intervalos iguais de tempos. Desse modo, para realizar o cálculo dos coeficientes de Fourier será necessário usar um método de integração que discutido a seguir. Os pontos − = t0, t1, t2, ...tn= dividem o intervalo [ − , ] em n subintervalos iguais, cujo comprimento é definido por: n t =∆ . (2.14) 17 Chamando os valores da função f(t) nos respectivos pontos t0, t1, t2, ...tn por f(t0 ), f(t1 ), f(t2 ), ...f(tn ) e usando, a equação dos retângulos (PISKOUNOV, 1997) obtemos os coeficientes da transformada de Fourier, substituindo a integral apresentada em (2.13) por um somatório: Assim, ∑ = ∆= n 1k t-i kn ke)f(tt 2 1c . (2.15) Substituindo (2.14) em (2.15) temos: ∑ = = n 1k t-i kn ke)f(t n 1c . (2.16) A equação (2.16) é a transformada de Fourier discreta. Enquanto a transformada de Fourier inversa é dada por: ∑ = = n 1k t-i k kecf(t) . (2.17) Mesmo com a utilização de modernos computadores, alguns cálculos numéricos levam um tempo longo para terminarem. Com a finalidade de diminuir esse tempo, Tukey e Cooley, em 1965, criaram um algoritmo que foi chamado de Fast Fourier Transform (FFT) para realizar o cálculo da transformada discreta de Fourier que permitiu encontrar o espectro de freqüência de um sinal. A utilização desse algoritmo diminui o número de operações computacionais. Assim partindo de um espectro de sinal, é possível definir se o comportamento de um sistema dinâmico é periódico ou caótico pelos números de picos de freqüências que aparecem. 2.3.3 Expoentes de Lyapunov 18 Os expoentes de Lyapunov foram descobertos pelo matemático russo, A. M. Lyapunov (1857-1918), cuja foto, segundo (SANJUAN, VÁZQUEZ, 2005), é mostrada abaixo: Segundo (BAKER, 1996) e (FERRARA, 1994) os expoentes de Lyapunov exercem uma função crucial na descrição do comportamento de sistemas dinâmicos. Eles medem a taxa média de divergência ou convergência das trajetórias do espaço de fase a partir de pontos iniciais próximos. Por essa razão, eles podem ser usados para analisar a estabilidade dos ciclos limites e para checar a dependência às condições iniciais indicando a presença de atratores caóticos (SANDRI, 1996). Consideremos, em um instante inicial, sistemas contínuos com n equações diferenciais ordinárias (FERRARA, 1994) e imaginemos uma pequena hiper- esfera de condições iniciais no espaço de fase para escalas de tempo suficientemente pequenas. A dinâmica do sistema provocará um efeito que irá distorcer este conjunto para um hiper-elipisóide esticando ao longo de algumas direções e contraindo ao longo de outras. A taxa assintótica de expansão do eixo maior que corresponde à direção mais instável do fluxo é medida pelo maior expoente de Lyapunov λ1. Em geral, se ordenarmos os eixos e os expoentes de Lyapunov em ordem decrescente pela magnitude, ε1≥...εn e λ1 ≥ ...λn, cada λi quantifica a taxa exponencial média de expansão ou contração para o i-ésimo eixo εi. Com um rigor formal, vamos considerar dois pontos iniciais próximos x0 e y0 em um espaço de fase, conforme figura 2-16 onde y0 é uma pequena hiper-esfera de Figura 2-15 Foto de A. M. Lyapunov. 19 raio ε0(x0), representada matematicamente na relação (2.18), cuja finalidade é de teste aos estados iniciais vizinhos em torno do ponto x0 de uma linha de fluxo. )(xxy 0000 ≤− . (2.18) Com o passar do tempo, o fluxo deforma a hiper-esfera que se transforma em um hiper-elipsóide com eixos principais εi(t), para i = 1, 2,..., n, e que está representado na figura 2-16. Os expoentes de Lyapunov medem o crescimento exponencial dos eixos principais εi(t) e são definidos por n,2,1,i )( (t)ln t 1limlim 0000 x0x i )(ti L== →∞→ . (2.19) Em geral os λi dependem do estado inicial x0, mas em muitos casos eles são constantes ao longo de uma significativa região do espaço de fase (FERRARA, 1994). Da equação 2.19 obtemos: t 00i ie)(x(t) ≈ . (2.20) ε0(x0) ε1(t) ε2(t) x0 Figura 2-16 Evolução de um elemento de volume esférico de raio ε0(x0) em torno de um ponto inicial x0. Depois de um tempo t a esfera torna-se um elipsóide com eixos principais. 20 Concluímos que (FERRARA, 1994): a) a existência de um ou mais expoentes de Lyapunov positivos define uma instabilidade orbital nas direções associadas; b) para uma solução caótica, associada a um atrator estranho, a sensibilidade às condições iniciais implica na existência de pelo menos um expoente de Lyapunov λi > 0; c) para uma solução periódica ou quasi-periódica podemos esperar que deslocamentos na direção perpendicular ao movimento diminuam com o tempo, enquanto que ao longo da trajetória eles não devem se alterar, correspondendo a um simples deslocamento do ponto inicial. Segue, portanto, de (2.20) que no caso de solução periódica ou quasi-periódica λi < 0 nas direções perpendiculares ao movimento e λi = 0 ao longo da trajetória. É possível identificar um atrator pelos sinais dos expoentes de Lyapunov. Assim, a dinâmica de um atrator para um sistema contínuo com três equações diferenciais será de um movimento periódico se o espectro de Lyapunov apresentar um expoente nulo e os demais negativos, caótico, se apresentar um positivo, um nulo e o outro negativo e ponto fixo se todos forem negativos (SANDRI, 1996). Esta classificação está descrita abaixo: Dinâmica dos atratores Espectros de Lyapunov Ponto fixo −, −, − Movimento periódico 0, −, − Movimento caótico +, 0, − Assim, um sistema contínuo com três equações diferenciais ordinárias será caótico, com base no espectro de Lyapunov, se tiver um expoente positivo, um nulo e o outro negativo e periódicos se o espectro tiver um nulo e os demais negativos. 21 2.3.4 Seção de Poincaré A seção de Poincaré foi o nome dado em homenagem ao físico e filósofo francês Henri Poincaré (1854-1912), com a foto mostrada a seguir segundo (SANJÚAN, VÁZQUEZ, 2005). Poincaré estudou problemas relacionados a sistemas dinâmicos que não exibiam soluções analíticas, ou seja, não são integráveis (FERRARI et al, 2006). Segundo (SAVI, 2002), a seção de Poincaré elimina uma dimensão do sistema permitindo que se transforme um sistema contínuo no tempo em um mapeamento discreto. Uma maneira de se definir a seção de Poincaré é observar uma dada órbita apenas em pontos discretos, tomados em uma superfície, conforme figura abaixo: Figura 2-17 Foto de H. Poincaré. Figura 2-18 Seção de Poincaré (SAVI, 2002). 22 2.3.4.1 Atrator e Dimensão Fractal Em paralelo ao estudo da dinâmica de sistemas, B. Mandelbrot (1982), com a foto mostrada abaixo segundo (BATANETE, CASTRO, LAGO, 2005), estabeleceu a existência da “geometria da natureza” em contraste com a geometria clássica que fornece uma primeira aproximação das estruturas dos objetos físicos. A Figura 2-20 (SAVI, 2002), que vista abaixo, mostra algumas representações de sistemas naturais a partir da geometria fractal. Assim, a geometria fractal pode ser considerada como uma extensão da geometria clássica. Fractais têm sido observados na natureza em diferentes situações variando desde formas geometrias às ciências físicas. Basicamente, é possível caracterizar fractais em dois grupos distintos: objetos sólidos e atratores estranhos. O primeiro tipo Figura 2-19 Foto de Benoit Maldelbrot. Figura 2-20 Geometria fractal. 23 corresponde aos objetos físicos que existem no espaço físico ordinário. Por outro lado, o segundo tipo considera objetos conceituais que existem no espaço de estado de sistemas dinâmicos caóticos que apresentam trajetórias que convergem para um atrator estranho. A definição de atrator é um conjunto limite para o qual se converge na medida que o tempo evolui, segundo (SAVI, 2002). Desse modo, um atrator estranho apresenta como propriedade básica uma estrutura fractal, isto é, dimensão não inteira. Associado a esse caráter fracionário existe dois tipos básicos de dimensão. O primeiro chamado de dimensão fractal ou métrica, que depende da propriedade geométrica; e um segundo dependente de propriedades geométricas e probabilísticas definido como dimensão de medida natural ou probabilística. Portanto, a presença da estrutura fractal em um sistema dinâmico está associada à imprevisibilidade, ou seja, há uma forte dependência às condições iniciais que torna impossível prever a evolução do sistema. CAPÍTULO 3 Equação do oscilador eletromagnético 3.1 Introdução Existem movimentos oscilatórios que exibem um comportamento caótico. Como exemplo disso, pode-se citar o pêndulo caótico e o oscilador de Duffing que possuem um primeiro termo de amortecimento, um segundo não linear e um terceiro dependente da freqüência da força externa. Assim, para cada valor nos parâmetros de controle, o sistema responde de uma determinada maneira, devido a sua sensibilidade em relação a eles. Desse modo, as soluções apresentam comportamentos periódicos e caóticos. Com isso, como um outro exemplo, propomos o oscilador eletromagnético caótico que exibe oscilações não periódicas, conforme modelo proposto, na figura 3-1 que vem a seguir. Nessa ilustração, estão indicados os imãs, condutores retilíneos estáticos infinitos, eletroímã e o fio oscilante. Esse condutor em movimento sofre a atuação das forças de amortecimento amF → , gravitacional gF → e magnéticas IF → , ELF → e RF → , devido a presença do ar e dos campos g → , IB → , ELB → e RB → , respectivamente, criados pela terra, imãs, eletroímã e os fios infinitos. 25 3.2 Forças que agem no fio oscilante 3.2.1 Força de amortecimento A força de amortecimento é sempre oposta à velocidade; portanto, realiza trabalho negativo, isto é, absorve energia do corpo em movimento (SYMON, 1982). Desse modo, ela surge no sistema, devido a um fluido gasoso que é o ar. Sendo assim, na maioria dos casos, quando a força de atrito é pequena, pode-se supor que ela seja linearmente proporcional à velocidade. amF b= − . (3.1) Em um modelo tradicional, a força de amortecimento, figura 3-2, é proporcional a velocidade. IF → gF → RF → ELF → amF → ELB → 2I 2I 1I RB → IB → g → Figura 3-1 Diagrama de forças e campos do oscilador eletromagnético. amF O Figura 3-2 Força de amortecimento para diferentes velocidades. 26 3.2.2 Força gravitacional Em casos de corpos de pequenas dimensões e massa m, na superfície da Terra (SYMON, 1982), a força gravitacional é dada por: gF mg= , (3.2) que será usada para estimar a massa m do fio oscilante com o objetivo de obter uma resultante vertical nula pela anulação da força gravitacional com a, magnética criada pelos imãs, que vai ser deduzida na próxima seção, e restringir o movimento na horizontal. 3.2.3 Força magnética produzida pelos imãs O fio oscilante de comprimento l sofre influência de uma outra força, que será deduzida a seguir, devido ao campo magnético praticamente uniforme produzido pelos imãs, conforme figura 3-3, mostrada abaixo: I 1 Id F I B → → → = × , (3.3) Se ^ 11I (I di) x → = e ^ IB B y → = , temos: IF → IB → l 1I z ∧ y ∧ x ∧ O Figura 3-3 Esquema tridimensional do fio oscilante e imãs. 27 ^ ^ I1Id F ((I di) x) ((B ) y) → = × , ^ ^ I1Id F I B di(x y) → = × , (3.4) pela base ortonormal da figura 3-3, o produto vetorial entre ^ x e ^ y , se torna: ^ ^ ^ x y z× = , (3.5) substituindo (3.5) em (3.4). ^ I1Id F I B di(z) → = , (3.6) pela figura 3-3, ^ I Id F (dF )(z) → = , (3.7) ^ ^ I I1(dF )(z) I B di(z)= , I I1dF I B di= , (3.8) Integrando (3.8) de 0 a l : I I1 0 0 dF I B di=∫ ∫ l l , (3.9) como a integração está sendo feita em relação à i, 1I e IB podem sair da integral, em (3.9). I I1 0 0 dF I B di=∫ ∫ l l , 28 I I1F I B= l , (3.10) 3.2.4 Força magnética produzida pelos condutores retilíneos estáticos infinitos Os condutores retilíneos estáticos infinitos criam sobre o fio oscilante uma força restauradora não linear que será demonstrada neste tópico. Sendo assim, considerando o esquema da figura 3-4 e a lei de Ampere: ^ c s dB. I E.n dt d da → → → = + ∈∫ ∫lÑ , (3.11) ^ c s dB. I E.n dt d da → → → = + ∈   ∫ ∫lÑ , L L/2 L/2 l L/2-x L/2+x O x → RF → 3B → 2B → 1I2I 2I (2) (1) (3) x ∧ y ∧ z ∧ Figura 3-4 Diagrama de forças e campos do fio oscilante e, condutores estáticos retilíneos infinitos. 29 se ^ s dI I E.n dt ` da → = + ∈ ∫ ,temos: c B. I`d → → =∫ lÑ , (3.12) o campo magnético produzido pelos fios 2 e 3, conforme figura 3-4, onde 2I I` = , é definido por: 2 c B. Id → → =∫ lÑ , (3.13) 2 c B cos0 Id =∫ lÑ , sendo cos 0 = 1, B pode sair para fora de integral, pois é o mesmo ao longo do contorno. 2 c B Id =∫ lÑ , onde Dd d=l : 2 2 0 B D Id =∫ , d D 2I d → l B → Figura 3-5 Campo magnético produzido por um fio infinito. 30 2B2 D I= , 2IB 2 D = , (3.14) em termos vetoriais, os campos magnéticos dos fios 2 e 3 de acordo com a figura 3-4 e a orientação da base ortonormal são: ^2 2 2 IB z 2 D → = − , (3.15) ^2 3 3 IB z 2 D → = , (3.16) o campo magnético resultante que atua no fio oscilante é definido por: R 2 3B B B → → → = + , (3.17) substituindo (3.15) e (3.16) em (3.17): ^ ^2 2 R 2 3 I IB z z 2 D 2 D → = − + , ^2 R 2 3 I 1 1B z 2 D D →   = − −      , (3.18) observando a figura 3-4, as distâncias dos fios 2 e 3 até o fio oscilante são: 2 LD x 2 = − , (3.19) 3 LD x 2 = + , (3.20) 31 levando D2 e D3 na relação (3.18) do campo magnético resultante: ^2 R I 1 1B z L L2 x x 2 2 →      = − −        − +         , ^2 R L Lx x I 2 2B z L L2 x x 2 2 →     + − −          = −       − +       , ^ 2 2 2 R I 2xB z L2 x 4 →      = −      −     , ^2 R 2 2 4 I xB z (L 4x ) → = − − , (3.21) sendo R 1 Rd F I B → → → = × , (3.22) e ^ 1 1I ( I dy) y → = − , ^ ^2 R 1 2 2 4 I xd F (( I dy) y) z (L 4x ) →    = − × −  −   , ^ ^1 2 R 2 2 4 I I xdyd F (y z) (L 4x ) →   = × −  , pela base ortonormal da figura 3-4: 32 ^ ^ ^ y z x× = , ^1 2 R 2 2 4 I I xdyd F x (L 4x ) →   =  −  , integrando a relação do elemento de força restauradora Rd F → de 0 a l : ^1 2 R 2 2 0 0 4 I I xdyd F x (L 4x ) →   =  −  ∫ ∫ l l , como a integração está sendo feita em relação ao comprimento do fio, os outros parâmetros podem sair para fora da integral, ^1 2 R 2 2 0 0 4 I I xd F x dy (L 4x ) →    =   −   ∫ ∫ l l , 1 2 R 2 2 4 I I xF (L 4x ) → → = − l , pela figura 3-4, observamos que os vetores ^ R RF F x → = e ^ x x x → = − , assim: ^ ^1 2 R 2 2 4 I I xF x x (L 4x ) = − − l , 1 2 R 2 2 4 I I xF (L 4x ) = − − l . (3.23) A força restauradora (3.23), cujo gráfico está mostrado na figura 3-6, que vem a seguir, tem uma relação não linear com a posição. 33 3.2.5 Força magnética produzida pelo eletroímã O fio oscilante ainda sofre influência de uma força externa com excitação produzida pelo eletroímã que será deduzida a seguir, tendo como ilustração a figura 3-7 abaixo. O campo magnético criado pelo eletroímã é dado por: EL 0B B cos( t) → → = , (3.24) RF x L 2 − L 2 O Figura 3-6 Gráfico da força magnética restauradora para – L / 2 < x < L / 2. Figura 3-7 Esquema tridimensional do fio oscilante e, eletroímã. l 1I ELF → EL 0B B cos( t) → → = z ∧ y ∧ x ∧O 34 onde ^ EL 0B B y → = − e ω é a freqüência externa de excitação. A corrente que passa pelo fio oscilante é definida como: ^ 1 1I (I dz) z → = , (3.25) e o elemento de força que atua no fio oscilante é EL 1 ELd F I B → → → = × , (3.26) realizando as respectivas substituições de (3.24) e (3.25) em (3.26), ^ ^ 1 0ELd F ((I dz) z) ( (B cos( t)) y) → = × − , ^ ^ 0 1ELd F B I cos( t)dz(z y) → = − × , pela base ortonormal da figura 3-7, chega-se: ^ ^ ^ z y x× = − , então, ^ 0 1ELd F B I cos( t)dz x → = , (3.27) integrando (3.27) de 0 a l : ^ 0 1EL 0 0 d F B I cos( t)dz x → =∫ ∫ l l , como a integração está sendo feita em relação ao comprimento do fio, os outros termos da integral da direita podem ser retirados para fora, 35 ^ 0 1EL 0 0 d F B I cos( t) x dz → =∫ ∫ l l , ^ 0 1ELF B I cos( t) x → = l , (3.28) na figura 3-7 , observa-se que ^ EL ELF F x → = , portanto: ^ ^ EL 0 1F x B I cos( t) x= l , EL 0 1F B I cos( t)= l . (3.29) 3.3 Correntes elétricas induzidas devido à indução eletromagnética Nesta seção mostraremos que os efeitos das induções eletromagnéticas, com as correntes induzidas e de deslocamentos no eletroímã, condutores infinitos e fio oscilante podem ser desprezados em relação às voltagens de seus respectivos geradores de corrente alternada e contínua. Os cálculos com as aproximações e deduções feitas com rigor podem ser acompanhados no apêndice A. Portanto, como ilustração é mostrada a figura 3-8, que vem a seguir, que permite calcular a corrente induzida e de deslocamento nos condutores retilíneos infinitos estáticos pela variação do campo magnético no tempo no eletroímã. dy dx ELB → L T U2I 2I n ∧ Figura 3-8 Esquema no plano dos fios infinitos e do eletroímã. 36 A corrente elétrica I2 que passa no circuito acima é dada por: 02 i 2 di 3 3 VI I r r = + + , (3.30) onde r3 são as resistências em paralelo, referente ao circuito dos condutores infinitos e, n ij i j 1 d dt= = −∑ , (3.31) n ij di j 1 dI dt Θ = =∈∑ , (3.32) e ∈ , ije ijΘ são a permissividade elétrica do meio, os fluxos magnético e elétrico, respectivamente. Onde se chega, 2 0B TU sen( t)= , (3.33) 2 0 d2 B TU cos( t)I S ∈ = . (3.34) Desprezando os efeitos produzidos pelos fios flexíveis conectados ao fio oscilante, e considerando somente o campo criado pelo comprimento l dele, tem-se os esquemas das figuras 3-9 e 3-10. dx dy1 4 fB → 1I 2I 2I O L/2 + ( r)+ L/2 − ( r)+ l n ∧ fB → Figura 3-9 Esquema no plano do fio oscilante e dos condutores infinitos. 37 Considerando a lei de Biot - Savart , ^ 1 2 ` I d rd B 4 r ` ` ` → → × = l , (3.35) e os esquemas das figuras (3.9) e (3.10) se deduz que, ( ) ^1 4 4 f B 2 2 22 44 I x xB n 4 y y xy x →   − = +  + + −  l l . (3.36) e, 21 1 2 1 d dI d ( ) d( ) I dt dt d dt ` Φ Φ= − = + , (3.37) onde, ( )( ) 2 Φ ∏ = , (3.38) 1B → 4B → 1 4 y 1 ` r → 4r → 1I d → l 4x−l 4x l Figura 3-10 Ampliação da parte do fio oscilante de comprimento l . 38 d ( ) d ( ) d 2 d Φ ∏ = , (3.39) também, 1 2 3 4d2I (t) (t) (t) (t)` ϒ ϒ ϒ ϒ= + + + , (3.40) sendo, 2 2 2 1 1 d ( ) d(t) I d dt Γ ϒ  =     , (3.41) 2 2 12 d ( ) d(t) I d dt Γ ϒ = , (3.42) 1 3 d ( ) d dI(t) 2 d dt dt Γ ϒ = , (3.43) 2 1 4 2 d I(t) ( ) dt ϒ Γ= , (3.44) ( ) ( ) 2 S A Γ ∈ = ∏ , (3.45) d ( ) d ( ) d 2 S d Γ ∈ ∏ = , (3.46) 2 2 2 2 d ( ) d ( ) d 2 S d Γ ∈ ∏ = , (3.47) 21 21 `` `( ) f ( ) f ( )∏ = − , (3.48) 39 21 21 `` `df ( ) df ( )d ( ) d d d ∏ = − , (3.49) 2 22 21 21 2 2 2 `` `d f ( ) d f ( )d ( ) d d d ∏ = − , (3.50) onde as funções 2 21 2 d f ( ) d `` , 2 21 2 d f ( ) d ` , 21df ( ) d `` , 21df ( ) d ` , 21 ``f ( ) e 21 `f ( ) são mostradas no apêndice A, dessa maneira, ( )03 2 1 2 3 4 3 VI 1 r = + + + + , (3.51) tendo, 2 1 0 03 03 TU sen( t)B V V = = , (3.52) 2 1 2 1 03 dI d ( ) d( ) I V dt d dt ` Ψ Ψ= = + , (3.53) e, 03 03 ( ) ( )( ) V 2 V Φ Ψ ∏ = = , (3.54) 03 03 d ( ) 1 d ( ) d ( ) d V d 2 V d Ψ Φ ∏ = = , (3.55) 2 3 3d2 3 0 03 03 r I TU r cos( t) B V SV ∈ = = , (3.56) 40 3 d2 4 1 2 3 4 03 r I (t) (t) (t) (t) V ` Ξ Ξ Ξ Ξ= = + + + , (3.57) 22 3 1 12 03 r d ( ) d(t) I 2 SV d dt Ξ ∈ ∏  =     , (3.58) 2 3 2 12 03 r d ( ) d(t) I 2 SV d dt Ξ ∈ ∏ = , (3.59) 3 1 3 03 r d ( ) d dI(t) SV d dt dt Ξ ∈ ∏ = , (3.60) 2 3 1 4 2 03 r d I(t) ( ) 2 SV dt A Ξ ∈ = ∏ , (3.61) sendo os outros termos da soma de (3.51) muito menores do que um, conforme mostrado no apêndice A com os valores numéricos e válidos para baixas intensidades e variações no tempo da corrente elétrica, e pequenas velocidades e acelerações quando comparados com seus termos proporcionais, 03 2 3 VI r ≅ . (3.62) O 1I x2I 2I l Figura 3-11 Movimento de oscilação do fio oscilante. 41 Sendo assim, 01 i 1 di 01 01 VI I r r = + + , (3.63) o campo magnético que atua no fio oscilante é dado por: ^2 R 2 2 4 I ( r)B n (L 4( r) ) → + = − + , então, as tensões induzidas e as correntes de deslocamentos no fio oscilante devido aos fios infinitos e ao eletroímã, 2 1 2 dI d ( ) d` ( ) I dt d dt ℜ = ℜ + , (3.64) 2 2 4( r)( ) ln 1 2 L  + ℜ = −    l , (3.65) 2 2 d ( ) 4 ( r) d (L 4( r) ) ℜ + = − − + l , (3.66) 1 2d1I (t) (t)= +M M , (3.67) 2 2 2 1 22 2 d I d ( ) d(t) ( ) I dt d dt = + A M A , (3.68) 22 2 2 22 d dI d ( ) d(t) 2 ( ) I dt dt d dt  = +     A M A , (3.69) 2 2 `` 4( r)( ) ln 1 2 L  ∈ + = −    A , (3.70) 42 2 2 ``d ( ) 4 ( r) d (L 4( r) ) ∈ + = − − + A , (3.71) 2 2 2 2 2 2 2 ``d ( ) 4 (L 4( r) ) d (L 4( r) ) ∈ + + = − − + A , (3.72) 2 0 d1 ``B TUI cos( t)` A∈ = l , (3.73) 1 2 3 4d2I (t) (t) (t) (t)`` = ℵ +ℵ +ℵ +ℵ , (3.74) 2 1 1 2 d I(t) ( ) dt ℵ = , (3.75) 2 2 1 2 ( ) d(t) I d dt ℵ = , (3.76) 1 3 d ( ) d dI(t) 2 d dt dt ℵ = , (3.77) 22 4 1 2 ( ) d(t) I d dt  ℵ =    , (3.78) `` ( ) ( ) 2 A∈ = ∏ l , (3.79) ``d ( ) d ( ) d 2 d ∈ ∏ = l , (3.80) 2 2 2 2 ``d ( ) d ( ) d 2 d ∈ ∏ = l , (3.81) 43 portanto, a corrente I1, é dada por, 501 1 2 3 4 6 1 701 V (1 )I r (1 ) + + + + + + = − , (3.82) e, 1 2 1 2 01 ` dI d Þ( ) dÞ( ) I V dt d dt = = − , (3.83) 2 2 01 01 ( ) 4( r)Þ( ) ln 1 V 2 V L  ℜ + = = −    l , (3.84) 2 2 01 01 d Þ( ) 1 d ( ) 4 ( r) d V d V (L 4( r) ) ℜ + = = − + l , (3.85) 01 2 1 2d1 01 r I (t) (t) V = = − , (3.86) 2 2 01 2 1 1 22 2 01 r d I d ( ) d(t) (t) ( ) I V dt d dt = = −M , (3.87) 22 01 2 2 2 22 01 r d ( ) d dI d ( ) d(t) (t) 2 I V d dt dt d dt  = = +     M , (3.88) 2 01 01 2 01 01 ``r r 4( r)( ) ( ) ln 1 V 2 V L  ∈ + = = −    A , (3.89) 01 01 2 2 01 01 ``d ( ) r d ( ) 4 r ( r) d V d V (L 4( r) ) ∈ + = = − + A , (3.90) 2 2 2 2 01 01 2 2 2 2 2 01 01 ``d ( ) r d ( ) 4 r (L 4( r) ) d V d V (L 4( r) ) ∈ + + = = − + A , (3.91) 44 2 3 0 01 01 TU sen( t)B V V = = , (3.92) 2 01 01 4 0d1 01 01 ``r TU rI cos( t)B V V ` A∈ = = l , (3.93) 1 1 5 01 01 ( ) dI ( ) dI V dt 2 V dt Φ ∏ = = , (3.94) 6 1 3(t) (t)= + , (3.95) 2 01 01 1 1 1 2 01 01 ``r r d I(t) (t) ( ) V 2 V dt A∈ = ℵ = ∏ l , (3.96) 01 01 1 3 3 01 01 ``r r d ( ) d dI(t) (t) V V d dt dt ∈ ∏ = ℵ = l , (3.97) 22 2 7 2 2 ( ) d d ( ) d d ( ) d d dt d dt d dt  = + +     , (3.98) onde os parâmetros d ( ) d , d ( ) d e 2 2 d ( ) d de 7 , é, respectivamente, mostrado no apêndice A e foram determinados anteriormente. Com os outros parâmetros da soma de (3.82) sendo muito menores do que um como mostrado no apêndice A, e válidos para baixas intensidades e variações no tempo das correntes elétricas I1 e I2 e pequenas velocidades e acelerações quando comparados com seus termos proporcionais, 01 1 01 VI r ≅ . (3.99) 45 Com o esquema da figura 3-8 e a lei de Faraday, calcula-se que a corrente induzida e, de deslocamento, no eletroímã devido à auto-indução são dadas por: 0 ind B UT sen( t)I R R = = , (3.100) 2 0 d B cos( t)I H ```A∈ = , (3.101) e aplicando a lei de Ampere e a equação de força (3.26), 2 0 1 0 1 EL1 ```HB I UT sen( t) B I cos( t)F RJ J ∈ = + l l . (3.102) Com os esquemas 3-10 e 3-12, realizando cálculos similares, e considerando a aproximação feita para a corrente 1I , que implica 01 1 01 VI r ≅ , 1dI 0 dt ≅ e 1 2 2 d I 0 dt ≅ chega-se novamente na expressão (3.36). Portanto, sendo (1) referente ao fio limitado e (3) ao eletroímã, chega-se que a corrente induzida e, de deslocamento no eletroímã devido ao fio oscilante são dadas por: 3 3 1 d ( ) dI I R d dt ` = = , (3.103) O T 1I fB → T/2+( +r) T/2 - ( +r) l Figura 3-12 Esquema no plano de uma região do eletroímã e do fio oscilante. 46 ( ) d ( ) d 2 R d = , (3.104) 22 2 1 1d3 2 2 ( ) d d ( ) d`I I I d dt d dt  = +     , (3.105) ```d ( ) A d ( ) d 2 HUT d ∈ = , (3.106) 2 2 2 2 ```d ( ) A d ( ) d 2 HUT d ∈ = , (3.107) 31 31 `` `( ) f ( ) f ( )= − , (3.108) 31 31 `` `d ( ) df ( ) df ( ) d d d = − , (3.109) 2 2 2 31 31 2 2 2 `` `d ( ) d f ( ) d f ( ) d d d = − , (3.110) sendo que as funções 2 31 2 ``d f ( ) d , 2 31 2 `d f ( ) d , 31 ``df ( ) d , 31 `df ( ) d , 31 ``f ( ) e 31 `f ( ) são também mostradas no apêndice A, aplicando, novamente a lei de Ampere e (3.26), 22 2 2 2 2 EL2 1 1 12 2 ( ) d d ( ) d d ( ) dF I I I d dt d dt d dt  = + +     , (3.111) 2( ) H d ( ) H d ( ) d J d 2 RJ d = = l l , (3.112) 47 2 ```( ) H d ( ) d ( ) d J d 2 TJU d ∈ = = l l , (3.113) 2 2 2 2 2 2 2 ```( ) H d ( ) d ( ) d J d 2 TJU d ∈ = = l l , (3.114) Portanto, EL EL1 EL2F F F F= + + , (3.115) substituindo (3.29), (3.102) e (3.111) em (3.115), ( )0 1 1 2F B I= +l J J , (3.116) 1 1 2cos( t) sen( t)= ∇ + ∇J , (3.117) 2 1 ```A1 J ∈ ∇ = + , (3.118) 2 HUT RJ ∇ = , (3.119) 22 2 2 1 1 12 2 ( ) d d ( ) d d ( ) dI I I d dt d dt d dt  = + +     J , (3.120) 2 0 0 d ( ) 1 d ( ) H d ( ) d B d 2 RJB d = = l , (3.121) 2 0 0 ```( ) 1 d ( ) d ( ) d B d 2 TJB U d ∈ = = l , (3.122) 48 2 2 2 2 2 2 2 0 0 ```( ) 1 d ( ) d ( ) d B d 2 TJB U d ∈ = = l , (3.123) se, δδ =))((arcsensen , (3.124) e, 1 1− < < , (3.125) tem-se, 2 2sen(arcsen( ))∇ = ∇ , (3.126) se, 21 1− < ∇ < , (3.127) usando a relação trigonométrica: ( )( ) ( ) ( ){ }2 1sen( t)sen arcsen cos cos 2 ∇ = − , (3.128) onde, ( )2t arcsen= − ∇ , (3.129) ( )2t arcsen= + ∇ , (3.130) então, 49 ( ) ( ){ }1 1 1cos( t) cos cos sen( t) 2 = ∇ + −J , (3.131) para t = 0, ( )( ) ( )( ){ }2 2 1 cos arcsen cos arcsen 0 2 − ∇ − ∇ = , (3.132) pois, ( )( ) ( )( )2 2cos arcsen cos arcsen− ∇ = ∇ , (3.133) para 0≠t e t grande em relação a ( )2arcsen ∇ , e 2 1∇ << , tem-se que ( )2 2arcsen ∇ ≅ ∇ , assim, ( )2 2t arcsen t t= − ∇ ≅ − ∇ ≅ , (3.134) ( )2 2t arcsen t t= + ∇ ≅ + ∇ ≅ , (3.135) ( ) ( ){ }1 cos cos 0 2 − ≅ , (3.136) e, sendo os outros termos da soma de (3.116) muito menores do que um, de acordo com os cálculos numéricos mostrados no apêndice A, com 1 cos( t)≅J e 2 0≅J , portanto, EL 0 1F F B I cos( t)≅ = l . (3.137) O campo magnético dos imãs não produz corrente elétrica induzida, pois ele é perpendicular a normal do circuito, isto é, 50 ^ I I S S B n d B cos d 0 2 a a →  = = =   ∫ ∫ , (3.138) então, sendo o fluxo magnético igual a zero, tem-se que a tensão induzida também será nula. 3.4 Equação do movimento do fio oscilante A equação que descreve o movimento do centro de massa do fio oscilante obedece à segunda lei de Newton e tem a seguinte forma: 2 x2 d xm F dt = Σ , (3.139) 2 y2 d ym F dt = Σ , (3.140) onde m é a massa do fio oscilante, x e y são seu deslocamento em relação a posição de equilíbrio, xFΣ é o somatório das forças na direção x e yFΣ é o somatório das forças na direção y. Substituindo (3.1), (3.23) e (3.29) em (3.139), obtemos a equação que descreve o movimento do fio oscilante, definida por: 2 1 2 0 12 2 2 d x dx 4 I I xm b B I cos( t) dt dt (L 4x ) = − − + − l l , 2 1 2 0 1 2 2 2 d x b dx 4 I I x B I cos( t) dt m dt m(L 4x ) m + + = − l l , (3.141) A aceleração na direção y é nula, ou seja, 2 2 d y 0 dt = . 51 yF 0Σ = , (3.142) Substituindo as relações (3.2) e (3.10) na relação (3.142), obtemos a seguinte relação: I 1B Im g = l , (3.143) Onde, conforme foi dito anteriormente, é para estimar a massa do fio oscilante com o objetivo de restringir o movimento na horizontal. 3.5 Aproximação da equação do movimento com a de Duffing Realizando uma expansão em série polinomial do termo não linear da equação (3.141), para pequenas deformações em relação a separação dos fios infinitos, 2 1 2 0 1 2 2 2 d x b dx 4 I I x B I cos( t) dt m dt m(L 4x ) m + + = − l l , 2 1 2 0 1 2 2 2 2 d x b dx 4 I I x B I cos( t) dt m dt m4xmL 1 L + + =   −    l l , 12 2 1 2 0 1 2 2 2 d x b dx 4 I I x 4x B I1 cos( t) dt m dt mL L m −   + + − =    l l , (3.144) para L 2x? , 12 2 4 2 2 4 4x 4x 16x1 1 ... L L L −   − = + + +    , (3.145) 52 considerando até o segundo termo da série em (3.145) 12 2 2 2 4x 4x1 1 L L −   − ≅ +    , (3.146) substituindo (3.146) em (3.144), 2 2 1 2 0 1 2 2 2 d x b dx 4 I I x 4x B I1 cos( t) dt m dt mL L m   + + + =    l l , 2 3 1 2 1 2 0 1 2 2 4 d x b dx 4 I I x 16 I I x B I cos( t) dt m dt mL mL m + + + = l l l , (3.147) comparando com (2.1) que é dada por, D0D 2 3 .. . x x w x x cos( t)+ + + = , conforme foi mostrado no capítulo 2, conclui-se que, 2 2 ..d x x dt = , b m = , .dx x dt = , 0D 2 1 2 2 4 I Iw mL = l , 1 2 4 16 I I mL = l , 53 0 1B I m = l , ωω =D , portanto, 2 2 3 D0D2 d x dx w x x cos( t) dtdt + + + = , (3.148) onde (3.148) é a equação de Duffing. CAPÍTULO 4 Simulações numéricas do sistema 4.1 Introdução As séries temporais, posição versus tempo e velocidade versus tempo, obtidas por integração numérica permitem que se analise o comportamento do sistema. A partir dessas séries temporais obtivemos o espaço de fase, a seção de Poincaré, o espectro de freqüência (análise –FFT) e o expoente de Lyapunov, utilizando os programas dos Apêndices B, C, D, E, F, G e H. O espaço de fase é aquele em que o estado de uma partícula se movendo em uma dimensão é especificado pela sua posição x e velocidade v (BAKER, 1996). Portanto, o espaço de fase que se utilizou para análise deste trabalho foi construído usando a posição e velocidade do fio oscilante. A seção de Poincaré foi construída de tal modo que o movimento do fio oscilante seja observado através do período da força externa que age nele.O espectro de freqüência foi usado para analisar o comportamento do sinal e o expoente de Lyapunov para medir a taxa de divergência ou convergência das trajetórias que partem de pontos iniciais próximos. 55 4.2 Atribuição de valores aos coeficientes do sistema A equação diferencial que descreve o modelo proposto neste trabalho é, conforme as deduções feitas no Capítulo 3, dada por: ( ) 2 1 2 0 1 2 2 2 2 1 2 0 1 2 2 2 2 d x b dx 4 I I x B I cos( t) m dt mdt m L 4x d x b dx 4 I I x B I cos( t) m dt mdt 4xmL 1 L  + + = −   + + =   −      l l l l . (4.1) Definindo novas constantes na segunda relação de (4.1): bc m = . (4.2) 1 2 2 4 I I xp mL = l . (4.3) 2 4u L = . (4.4) 0 1B Iq m = l . (4.5) Substituindo as constantes (4.2), (4.3), (4.4) e (4.5) na segunda relação de (4.1): ( ) 2 2 2 d x dx xc p q cos( t) dtdt 1 ux + + = − . (4.6) 56 Na equação descrita em (4.6) atribuímos os valores numéricos que seguem na tabela abaixo: l 0,1 m 1 dm L 0,2 m 2 dm 1I 0,01 C/s 0,01 C/s 2I 25 C/s 25 C/s m 51 10 Kg−× 21 10 g−× b 79,8 10 Kg / s−× 49,8 10 g / s−× µ 7 24 10 Kgm / C−× 3 24 10 gdm / C−× ω 0,3 rad / s 0,3 rad / s onde por facilidade de simulação, passamos a unidade de espaço de metros para decímetros e a massa de kilogramas para gramas. Substituindo os respectivos valores acima nas constantes (4.2), (4.3) e (4.4), obtemos: 1 2 2 c 0,098s ; p 0,1s ; u 1dm ; − − − = = = (4.8) e podemos escrever a equação como: ( ) 2 2 2 d x dx x0,098 0,1 q cos(0,3t) dtdt 1 x + + = − , (4.9) que será integrado pelo método numérico de Runge-Kutta, residente no software Mathematica 5.2. Tabela 4-1 Valores numéricos das constantes da equação. 57 4.3 Integração numérica do sistema Transformando a equação diferencial ordinária de segunda ordem (4.9) em um sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem pela mudança das variáveis, definidas conforme segue, dx(t)(t) dt = , obtemos: ( )2 dx(t) (t) dt d (t) x(t)0,098 (t) 0,1 q cos(0,3t) dt 1 x(t)  =   = − − + − . (4.10) Com o método numérico de Runge-Kutta de quarta ordem, instalado no software Mathematica 5.2, integramos o sistema (4.10) no intervalo de zero a 20000 segundos, com intervalos de integração de 0,02 segundos e condições iniciais: x(0) 0,4dm= e (0) 0,3dm /s= .Vamos desprezar a parte transiente, e analisar o comportamento dinâmico do sistema por meio dos métodos matemáticos propostos neste trabalho. 4.4 Resultados das simulações Nas simulações realizadas, variamos o parâmetro q de q = 0,450 dm/s2 a q = 0,835 dm/s2. Dentre essas simulações, escolhemos uma seqüência crescente do parâmetro q, que faz o sistema passar de um movimento periódico para um caótico. A seqüência de valores do parâmetro q é {0,450; 0,460; 0,470; 0,511; 0,536; 0,557; 0,596; 0,640; 0,700; 0,740; 0,812; 0,835}. 58 Exibimos a seguir, nas figuras de 4-1 até 4-12, em (a) posição do fio oscilante em função do tempo, em (b) velocidade do fio oscilante em função do tempo, em (c) as trajetórias do plano de fase, em (d) a seção de Poincaré, em (e) espectros de freqüências da posição do fio oscilante e em (f) os expoentes de Lyapunov (SIU, 1998). Na figura 4-1, para q = 0,450 dm / s2, a característica do gráfico em (a) e em (b) é de um movimento periódico e em (c), também, onde as trajetórias permanecem confinadas numa fina faixa, conforme ilustrado. Em (d) observa-se na seção de Poincaré que ocorre poucos pontos que caracteriza um comportamento periódico Em (e), a (a) (b) (d) (e) (f) Figura 4-1 Gráficos da simulação do sistema dinâmico proposto para q = 0,450 dm / s2; (a) posição do fio oscilante em função do tempo, (b) velocidade do fio oscilante em função do tempo, (c) trajetórias do plano de fase, (d) seção de Poincaré , (e) espectro de frequência e (f) expoentes de Lyapunov. (c) 59 freqüência fundamental e suas freqüências múltiplas, também caracterizam movimento periódico do fio oscilante. Em (f), temos 1 0λ = , 2 0.00506525λ = − , 3 0.0733393λ = − que confirma a existência de um comportamento periódico com um expoente de Lyapunov nulo e os demais negativos (SANDRI, 1996). Na figura 4-2, para q = 0,460 dm / s2, em (a) e (b), podemos afirmar que o movimento do fio oscilante é periódico. Em (c) e (d) os gráficos dão indícios de movimento periódico do fio oscilante. Em (e) observamos também a freqüência natural e (a) (b) (d) (e) (f) Figura 4-2 Gráficos da simulação do sistema dinâmico proposto para q = 0,460 dm / s2; (a) posição do fio oscilante em função do tempo, (b) velocidade do fio oscilante em função do tempo, (c) trajetórias do plano de fase, (d) Seção de Poincaré, (e) espectro de freqüência e (f) expoentes de Lyapunov. (c) 60 suas freqüências múltiplas. Em (f) , 1 0λ = , 2 0,000178143λ = − , 3 0,0782219λ = − temos a confirmação do comportamento periódico tendo como expoentes de Lyapunov um nulo e os demais negativos (SANDRI, 1996). Na figura 4-3, para q = 0,470 dm / s2, em (a), podemos afirmar quanto à periodicidade do movimento do fio oscilante. Em (b) e (c) os gráficos dão indícios de movimento periódico do fio oscilante. Em (d) a seção de Poincaré parece revelar uma estrutura característica de um comportamento periódico. Em (e), observamos a freqüência (a) (b) (d) (e) (f) Figura 4-3 Gráficos da simulação do sistema dinâmico proposto para q = 0,470 dm / s2; (a) posição do fio oscilante em função do tempo, (b) velocidade do fio oscilante em função do tempo, (c) trajetórias do plano de fase, (d) Seção de Poincaré, (e) espectro de freqüência e (f) expoentes de Lyapunov. (c) 61 natural e suas freqüências múltiplas.Em (f), temos a confirmação de um movimento periódico tendo com 0981317,01 =λ , 2 0λ = e 176436,03 −=λ como expoentes de Lyapunov, ou seja, dois nulos e um negativo revelando um torus (SANDRI, 1996). Na figura 4-4, para q = 0,511 dm / s2, em (a) e (b), podemos afirmar quanto ao comportamento caótico do movimento do fio oscilante. Em (c) e (d) os gráficos dão indícios de movimento caótico do fio oscilante. Em (e) observamos também a freqüência natural e suas freqüências múltiplas. Em (f), 146128,01 =λ , (a) (b) (d) (e) (f) Figura 4-4 Gráficos da simulação do sistema dinâmico proposto para q = 0,511 dm / s2; (a) posição do fio oscilante em função do tempo, (b) velocidade do fio oscilante em função do tempo, (c) trajetórias do plano de fase, (d) Seção de Poincaré, (e) espectro de freqüência e (f) expoentes de Lyapunov. (c) 62 02 =λ , 224782,03 −=λ temos a confirmação do comportamento caótico tendo como expoentes de Lyapunov um positivo,um nulo e o outro negativo (SANDRI, 1996). Na figura 4-5, para q = 0,536 dm / s2, em (a) e (b) o movimento do fio oscilante tem características periódicas. Em (c) e (d) os gráficos dão indícios de movimento periódico do fio oscilante. Em (e) aparece a freqüência natural e suas freqüências múltiplas. Em (f), com 1 0λ = , 0390001,02 −=λ e 3 0,0394078λ = − temos a (a) (b) (d) (e) (f) Figura 4-5 Gráficos da simulação do sistema dinâmico proposto para q = 0,536 dm / s2; (a) posição do fio oscilante em função do tempo, (b) velocidade do fio oscilante em função do tempo, (c) trajetórias do plano de fase, (d) Seção de Poincaré, (e) espectro de freqüência e (f) expoentes de Lyapunov. (c) 63 confirmação do movimento periódico tendo como expoentes de Lyapunov um nulo e os demais negativos (SANDRI, 1996). Na figura 4-6, para q = 0,557 dm / s2, em (a) e (b) o movimento do fio oscilante não tem características periódicas. Em (c) e (d) o gráfico dá indícios de movimento periódico do fio oscilante. Em (e) aparece a freqüência fundamental e suas freqüências múltiplas.Em (f), 1 0λ = , 00146995,02 −=λ e 0769544,03 −=λ temos a (a) (b) (d) (e) (f) Figura 4-6 Gráficos da simulação do sistema dinâmico proposto para q = 0,557 dm / s2; (a) posição do fio oscilante em função do tempo, (b) velocidade do fio oscilante em função do tempo, (c) trajetória do plano de fase, (d) seção de Poincaré, (e) espectro de freqüência e (f) expoentes de Lyapunov. (c) 64 confirmação do comportamento periódico tendo como expoentes de Lyapunov um nulo e os demais negativos (SANDRI, 1996). Na figura 4-7 para q = 0,596 dm / s2, a característica do gráfico em (a) e (b) é de movimento periódico do fio oscilante e em (c) também, onde as trajetórias permanecem confinadas em três faixas, conforme ilustrado. Em (c) o gráfico dá indícios de movimento periódico do fio oscilante. Em (d) a seção de Poincaré exibe uma estrutura característica de um comportamento periódico. Em (e), o espectro de freqüência também (a) (b) (d) (e) (f) Figura 4-7 Gráficos da simulação do sistema dinâmico proposto para q = 0,596 dm / s2; (a) posição do fio oscilante em função do tempo, (b) velocidade do fio oscilante, (c) trajetória do plano de fase, (d) seção de Poincaré, (e) espectro de freqüência e (f) expoentes de Lyapunov. (c) 65 exibe um comportamento periódico.Em (f), 01 =λ , 000236334,02 −=λ , 0781637,03 −=λ temos a confirmação do movimento periódico tendo como expoentes de Lyapunov dois nulos e um negativo, ou seja, um torus (SANDRI, 1996). Na figura 4-8, para q = 0,640 dm / s2, as características dos gráficos em (a) e (b) são de um movimento caótico do fio oscilante e em (c), também, onde as trajetórias permanecem confinadas numa fina faixa, conforme ilustrado. Em (d) a seção de Poincaré uma estrutura fractal característico de um sistema caótico.Em (e), a freqüência (a) (b) (d) (e) (f) Figura 4-8 Gráficos da simulação do sistema dinâmico proposto para q = 0,640 dm / s2; (a) posição do fio oscilante em função do tempo, (b) velocidade do fio oscilante em função do tempo, (c) trajetória do plano de fase, (d) seção de Poincaré, (e) espectro de freqüência e (f) expoentes de Lyapunov. (c) 66 fundamental e suas freqüências múltiplas, também caracterizam movimento caótico do fio oscilante. Em (f), com λ1 = 0,112966, λ2 = 283,92588 10−− × , e 3 0,191808λ = − temos a confirmação do movimento caótico com um expoente positivo,um nulo e outro negativo (SANDRI, 1996). Na figura 4-9, para q = 0,700 dm / s2, a característica do gráfico em (a) e em (b) é de um movimento periódico e em (c), também, onde as trajetórias permanecem confinadas numa fina faixa, conforme ilustrado. Em (d) observa-se na seção de Poincaré (a) (b) (d) (e) (f) Figura 4-9 Gráficos da simulação do sistema dinâmico proposto para q = 0,700 dm / s2; (a) posição do fio oscilante em função do tempo, (b) velocidade do fio oscilante em função do tempo, (c) trajetória do plano de fase, (d) seção de Poincaré, (e) espectro de freqüência e (f) expoentes de Lyapunov. (c) 67 que ocorre um ponto que caracteriza um comportamento periódico Em (e), a freqüência fundamental e suas freqüências múltiplas, também caracterizam movimento periódico do fio oscilante. Em (f), temos 029688,01 =λ , 02 =λ , 109234,03 −=λ que confirma a existência de um comportamento periódico com dois expoentes de Lyapunov nulos e o outro negativo (SANDRI, 1996). Na figura 4-10, para q = 0,740 dm / s2, a característica do gráfico em (a) e em (b) é de um movimento periódico e em (c), também, onde as trajetórias permanecem (a) (b) (d) (e) (f) Figura 4-10 Gráficos da simulação do sistema dinâmico proposto para q = 0,740 dm / s2; (a) posição do fio oscilante em função do tempo, (b) velocidade do fio oscilante em função do tempo, (c) trajetória do plano de fase, (d) seção de Poincaré, (e) espectro de freqüência e (f) expoentes de Lyapunov. (c) 68 confinadas numa fina faixa, conforme ilustrado. Em (d) observa-se na seção de Poincaré que ocorrem dois pontos que caracterizam um comportamento periódico Em (e), a freqüência fundamental e suas freqüências múltiplas, também caracterizam movimento periódico do fio oscilante. Em (f), temos 01 =λ , 000118551,02 −=λ , 0782814,03 −=λ que confirma a existência de um comportamento periódico com dois expoentes de Lyapunov nulos e o outro negativo (SANDRI, 1996). (a) (b) (d) (e) (f) Figura 4-11 Gráficos da simulação do sistema dinâmico proposto para q = 0,812 dm / s2; (a) posição do fio oscilante em função do tempo, (b) velocidade do fio oscilante em função do tempo, (c) trajetória do plano de fase, (d) seção de Poincaré, (e) espectro de freqüência e (f) expoentes de Lyapunov. (c) 69 Na figura 4-11, para q = 0,812 dm / s2, a característica do gráfico em (a) e em (b) é de um movimento periódico e em (c), também, onde as trajetórias permanecem confinadas numa fina faixa, conforme ilustrado. Em (d) observa-se na seção de Poincaré que ocorrem alguns pontos que caracterizam um comportamento periódico Em (e), a freqüência fundamental e suas freqüências múltiplas, também caracterizam movimento periódico do fio oscilante. Em (f), temos 01 =λ , 0000982283,02 −=λ , 0783018,03 −=λ que confirma a existência de um comportamento periódico com dois expoentes de Lyapunov nulos e o outro negativo (SANDRI, 1996). (a) (b) (d) (e) (f) Figura 4-12 Gráficos da simulação do sistema dinâmico proposto para q = 0,835 dm / s2; (a) posição do fio oscilante em função do tempo, (b) velocidade do fio oscilante em função do tempo, (c) trajetória do plano de fase, (d) seção de Poincaré, (e) espectro de freqüência e (f) expoentes de Lyapunov. (c) 70 Na figura 4-12, para q = 0,835 dm / s2, a característica do gráfico e (a) e em (b) é de um movimento caótico e em (c), também, onde as trajetórias permanecem confinadas numa fina faixa, conforme ilustrado. Em (d) observa-se na seção de Poincaré uma estrutura fractal característica de um comportamento caótico Em (e), a freqüência fundamental e suas freqüências múltiplas, também caracterizam movimento caótico do fio oscilante. Em (f), temos 0875546,01 =λ , 02 =λ , 165968,03 −=λ que confirma a existência de um comportamento caótico com um expoente de Lyapunov positivo,um nulo e o outro negativo (SANDRI, 1996). 4.5 Bifurcação Uma bifurcação ocorre quando uma pequena mudança feita no valor de um parâmetro (parâmetro de bifurcação) de um sistema dinâmico causa uma súbita mudança qualitativa no comportamento dinâmico desse sistema (STROGATZ, 1994). O comportamento do sistema dinâmico pode ser globalmente observado quando verificamos a posição do fio oscilante no início de cada ciclo para um determinado intervalo do parâmetro q da força externa. Para isto integramos o sistema numericamente calculando para vários valores do parâmetro q desse intervalo à posição do fio oscilante. O gráfico gerado pela posição do fio oscilante no começo de cada ciclo versus o parâmetro q é denominado diagrama de bifurcação e está representado na figura 4-13, que vem a seguir, para os valores q da força externa que variam de q = 0,450 dm / s2 até q = 0,835 dm / s2 em passos de 410625,9 −× dm / s2. Figura 4-13 Diagrama de bifurcação da posição x do fio oscilante em função do parâmetro q. 71 Notamos no diagrama de bifurcação (figura 4-13) que, quando q varia de q = 0,450 dm / s2 até q = 0,835 dm / s2, o fio oscilante passa de um comportamento periódico para, um caótico, conforme pode ser visto pelas setas indicadas no gráfico que indicam onde foram feitas as simulações para os valores de q. CAPÍTULO 5 Conclusão 5.1 Comentários sobre os métodos utilizados Pela dificuldade de se saber quando um sistema dinâmico oscilatório se encontra num estado periódico ou caótico, o que fizemos neste trabalho foi aplicar métodos diferentes para analisar o estado dinâmico do sistema proposto. Observamos que o uso do expoente de Lyapunov oferece uma interpretação conclusiva sobre um comportamento periódico e, caótico. Cabe aqui salientar que a transformada de Fourier é um bom método para fornecer com precisão os valores das freqüências para movimentos oscilatórios periódicos e caóticos. Concluímos que, as trajetórias do plano de fase, o espectro de freqüência (FFT), os expoentes de Lyapunov, e os gráficos da posição do fio oscilante em função do tempo, foram significativos na análise, pois reúnem informações que nos fazem acreditar que o comportamento do sistema analisado é coerente com os resultados obtidos. O 73 diagrama de bifurcação e o mapa de Poincaré complementam o estudo e dão uma explicação satisfatória para o comportamento caótico. 5.2 Sugestões para trabalhos futuros Como as simulações em sistemas dinâmicos são muitas, este trabalho com certeza não esgotou todas as possibilidades existentes neste campo. O que queremos propor são outras simulações para o mesmo modelo aqui apresentado onde à variação da amplitude da força externa deve ser estudada. Seria também interessante explorar as amplitudes externas iguais a q 0,511= dm / s2, q 0,640= dm / s2 e q 0,835= dm / s2, visto que para esses valores o sistema proposto apresentou um comportamento caótico, conforme revelam os estudos realizados no capítulo 4. Dado a importância ao movimento oscilatório, a continuidade natural deste trabalho seria a construção experimental do modelo aqui proposto. Comparações com outros sistemas semelhantes também podem ser feitas, tentando fazer alguma analogia aos métodos aqui utilizados. Essas são as novas possibilidades de pesquisa que podem ser exploradas futuramente. Referências ABRAHAM, H. R.; SHAW, D. C. The geometry of behavior. www.aerialpress.com, 1- 12, 1991. ANGOTTI, P. J. A.; FERRARI, C. F.; TRAGTENBERG, R. H. M. Introdução ao Caos em Sistemas Dinâmicos, 1-12, 2008. ARAÚJO, L. H. L. 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Dissertação (mestrado) − Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2007. http://www.sciencedirect.com 76 MICKENS, R. E. Mathematical and Numerical Study of The Duffing-Harmonic Oscillator. Journal of Sound and Vibration, available online at www.ideallibrary.com, 563-567, 2000. PARLITZ, U. Complex dynamics of nonlinear systems, 407, 2007. PEITGEN, H. O.; JURGENS, H; SAUPE, D. Chaos and fractals: new frontiers of science. New York: Springer Verlag, 1992. PISKOUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. 11a ed em língua portuguesa. Editora Lopes da Silva – Porto – 1997 vol I e II 457p. RUELLE, D. Strange Attractors. The Mathematical Intelligencer, 126-137, 1980. SANDRI, M. Numerical Calculation of Lyapunov Exponents. The Mathematica Journal, 78-84, 1996. SAVI, M. A. Caos em sistemas mecânicos, 1- 29, 2002. SANJUÁN, F. A. M.; VÁZQUEZ, C. M. J. Dinámica No Lineal: Orígenes y Futuro, 23-31, 2005. STEWART, I. 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Duffing Differential Equation. http://math.wolfram.com/ DuffingDifferentialEquation. html, 1-12, 2003. http://math.wolfram.com/ Apêndices Apêndice A Cálculo da corrente induzida e, de deslocamento Neste apêndice irá se calcular o efeito da indução eletromagnética em relação aos condutores estáticos retilíneos infinitos, fio oscilante e no eletroímã devido a corrente induzida e, de deslocamento pelas variações dos campos magnético e elétrico no tempo relacionados pelas leis de Faraday e Ampere. Posteriormente, serão mostrados através de tabelas os valores numéricos para realizar as respectivas aproximações para as correntes elétricas envolvidas no processo. Portanto, como ilustração da primeira parte do cálculo é mostrada a Figura A-1, que vem abaixo. dy dx ELB → L T U2I 2I n ∧ Figura A-1 Esquema no plano dos fios infinitos e do eletroímã. 79 A corrente elétrica I2 que passa na figura mostrada anteriormente é dada por: 02 i 2 di 3 3 VI I r r = + + , (A.1) onde, n ij i j 1 d dt= = −∑ , (A.2) n ij di j 1 dI dt Θ = =∈∑ , (A.3) e 3r ,∈ , ijϕ e ijΘ são a resistência elétrica referente ao circuito dos condutores infinitos, a permissividade elétrica do meio, os fluxos magnético e elétrico, respectivamente. Calculando as correntes dependentes do tempo nos fios infinitos devido ao eletroímã. Sendo (1) referente ao fio oscilante, (2) aos fios infinitos e (3) ao eletroímã, tem-se: 23 2 d dt = − , (A.4) ^ ^ ^T U EL23 0 0 S 0 0 B n d B z z cos( t)dxdy B TUcos( t). .→ = = =∫ ∫ ∫ , 0 2 0 d(B TU cos( t)) B TU sen( t) dt = − = , (A.5) sendo, C 22 E d. → → = ∫ lÑ , (A.6) 80 relacionando (A.5) e (A.6), C 2 0E d B TU sen( t). → → =∫ lÑ , (A.7) C 2 0E d B TU sen( t)=∫ lÑ , 2 0E S B TU sen( t)= , 0 2 B TU sen( t)E S = , 0 2 2 B TU sen( t)E n S → ∧ = , (A.8) 02 2 2 2 S S 0 23 B TU sen( t) S E .n d (B TU sen( t) /S) n .n da A aΘ → → → → = ==∫ ∫ , 2 0 0 d2 d(B TU sen( t) / S) B TU cos( t)I dt S ∈ =∈ = . (A.9) Desprezando os efeitos produzidos pelos fios flexíveis conectados ao fio oscilante, e considerando somente o campo criado pelo comprimento l dele, tem-se os esquemas das Figuras A-2 e A-3. dx dy1 4 fB → 1I 2I 2I O L/2 + ( r)+ L/2 − ( r)+ l n ∧ fB → Figura A-2 Esquema no plano do fio oscilante e dos condutores infinitos. 81 Considerando a lei de Biot - Savart , ^ 1 4 4 4 2 4 I d rd B 4 r → → × = l , (A.10) 1 4 4 2 4 I d sendB 4 r = l , (A.11) se 4 4d dx=l , então: 1 4 4 2 4 I dx sendB 4 r = , (A.12) pela figura A-3, observa-se: 4 2 = + , (A.13) aplicando seno em ambos os lados de (A.13), 1B → 4B → 1 4 y 1 ` r → 4r → 1I d → l 4x−l 4x l Figura A-3 Ampliação da parte do fio oscilante de comprimento l . 82 4 4 4 4 sen sen 2 sen cos sen sen cos cos 2 2   = +         = +