DE SOUZA ANÁLISE ESTÁTICA, DINÂMICA E DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS DE INÉRCIA EM MECANISMOS UTILIZANDO NÚMEROS COMPLEXOSIlha Solteira2022 58 Sim Trabalho de conclusão de cursoEngenharia MecânicaMECÂNICA DOS SÓLIDOSNão . FICHA CATALOGRÁFICA Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação Souza, Fatima Cristiane de. Análise estática, dinâmica e determinação das forças de inércia em mecanismos utilizando números complexos / Fatima Cristiane de Souza. -- Ilha Solteira: [s.n.], 2022 58 f. : il. Trabalho de conclusão de curso (Graduação em Engenharia Mecânica) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, 2022 Orientador: Márcio Antônio Bazani Inclui bibliografia 1. Mecanismos. 2. Análise estática. 3. Análise dinâmica. 5. Números complexos. S729a DEDICATÓRIA Dedico este trabalho à minha amada família, minha fonte de apoio, motivação e inspiração. E a todos que de modo direto ou indireto me auxiliaram a chegar até aqui. AGRADECIMENTOS Agradeço ao apoio incondicional da minha família em todos os desafios e sonhos que me propus a realizar e por estarem presentes em todos os momentos da minha vida. Aos meus amigos que sempre me suportaram, tornaram os estudos mais leves e me ensinaram tanto. Ao meu orientador no decorrer do projeto de iniciação científica, Prof Dr. Gilberto Pechoto de Melo por toda a paciência e ajuda nos projetos em que trabalhamos, e, ao Prof Dr. Márcio Antônio Bazani pela orientação e ensinamentos no decorrer da graduação. As oportunidades que a Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, os professores e os grupos PET Engenharia Mecânica e Zebra AeroDesign proporcionaram para o meu crescimento. Aos meus gestores no decorrer do meu estágio que tanto contribuíram para o meu crescimento profissional e pessoal. E um agradecimento especial ao professor Dr. Diolino José dos Santos, o qual tive a oportunidade de conhecer no IX Escola Avançada de Engenharia Mecatrônica, realizado pelo PET Mecatrônica da Escola Politécnica da USP, suas palavras sobre como um Engenheiro pode contribuir para a sociedade fizeram com que eu tivesse certeza de que estava fazendo a escolha correta para o meu futuro ao escolher cursar Engenharia Mecânica. Tornamos nosso mundo significativo pela coragem de nossas perguntas e pela profundidade de nossas respostas. Carl Sagan RESUMO Este Trabalho de Graduação teve como objetivo a análise estática, dinâmica e determinação das forças de inércia em mecanismos utilizando-se de números complexos. Devido a grande importância dos mecanismos para a sociedade, e para sistemas mecânicos, tais como os motores, foi feita uma análise utilizando-se das teorias as quais envolvem os conhecimentos de mecanismos e dinâmicas de máquina, sendo que para a análise cinemática utilizou-se de números complexos, e, para a análise dinâmica, fez- complexidade para a resolução analítica de mecanismos, optou-se por desenvolver uma rotina através do software computacional Matlab® a qual possibilitou uma análise numérica e gráfica do problema apresentado, além de viabilizar a análise de diversos mecanismos, possibilitando uma maior aplicabilidade do sistema. É de grande relevância obter informações que permitam o desenvolvimento dos mecanismos, funcionalidade e perspectivas para otimização. O caso apresentado para análise deste projeto constitui-se da análise de um mecanismo pistão-biela-manivela, e, as informações obtidas permitem avaliar os impactos do mesmo através de sua constituição, influências através das forças aplicadas ao sistema, as quais podem influenciar em tempo de vida, necessidade de manutenção e materiais a serem considerados em sua fabricação. Além disso, a aplicabilidade desse sistema permite o estudo em outras áreas, tais como a robótica e biomecânica, proporcionando uma perspectiva mais ampla desse estudo. Palavras-chave: mecanismos; análise estática; análise dinâmica; números complexos. ABSTRACT This Graduation Work is aimed at static and dynamic analysis and determination of inertial forces in mechanisms using complex numbers. Due to the great importance of mechanisms for society, and for mechanical systems, such as engines, an analysis was made using theories that involve knowledge of mechanisms and machine dynamics, and for the kinematic analysis it was used complex numbers, and, for the dynamic analysis, the d'Alembert principle was used. Due to the great complexity of the analytical resolution of mechanisms, it was decided to develop a routine through the computational software Matlab®, which allowed a numerical and graphic analysis of the presented problem, in addition to enabling the analysis of several mechanisms, allowing greater applicability of the system. It is of great importance to obtain information that allows the development of mechanisms, functionality, and perspectives for optimization. The case presented for analysis of this project consists of the analysis of a piston-rod-crank mechanism, and the information obtained allows evaluating the impacts of the same through its constitution, influences through the forces applied to the system, which can influence in lifetime, need for maintenance and materials to be considered in its manufacture. In addition, the applicability of this system allows the study in other areas, such as robotics and biomechanics, providing a broader perspective of this study. Keywords: mechanisms; static analysis; dynamic analysis; complex numbers LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Mecanismo Cursor-Manivela......................................................... 21 Figura 2 - Vista lateral de um conjunto pistão-biela-manivela....................... 22 Figura 3 - Diagrama do corpo livre de um mecanismo pistão-biela- manivela........................................................................................ 25 Figura 4 - Mecanismo Quatro Barras............................................................. 26 Figura 5 - Princípio de funcionamento de um mecanismo came seguidor.... 29 Figura 6 - Sistema came seguidor ................................................................ 31 Figura 7 - Representação vetorial de um mecanismo pistão-biela- manivela........................................................................................ 33 Figura 8 - Diagrama do Corpo Livre um mecanismo pistão-biela-manivela.. 34 Figura 9 - Modelo matemático came seguidor............................................... 36 Figura 10 - Perfil do cursor da biela em função do ângulo de manivela......... 39 Figura 11 - Perfil do ângulo da biela em função do ângulo de manivela........ 40 Figura 12 - Perfil da velocidade angular da biela em função do ângulo de manivela........................................................................................ 41 Figura 13 - Perfil da aceleração angular da biela em função do ângulo de manivela........................................................................................ 42 Figura 14 - Perfil da aceleração do centro de massa em função do ângulo de manivela................................................................................... 43 Figura 15 - Potência de saída de acionamento em função do ângulo de manivela........................................................................................ 44 Figura 15 - Torque de acionamento em função do ângulo de manivela......... 45 LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS UNESP Universidade Estadual Paulista PET Programa de Educação Tutorial USP Universidade de São Paulo DCL Diagrama de Corpo Livre GDL Graus de Liberdade CG Centro de Gravidade CM Centro de Massa LISTA DE SÍMBOLOS Força Massa Aceleração Momento Torque Momento de Inércia Aceleração angular Energia Cinética Velocidade Velocidade Angular Módulo do vetor Ângulo Euler Aceleração do Centro de Massa Unidade imaginária Coeficiente de amortecimento Coeficiente de rigidez Aceleração da Gravidade Pressão Força Normal e Sistema de coordenadas do sistema e Sistema de coordenadas admissionais do sistema SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO........................................................................................... 14 2 REVISÃO DE LITERATURA..................................................................... 16 2.1 CINEMÁTICA E CINÉTICA........................................................................ 16 2.2 GRAUS DE LIBERDADE E TIPOS DE MOVIMENTO............................... 17 2.3 MOMENTO DE MASSA E CENTRO DE GRAVIDADE............................. 17 2.4 MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA....................................................... 18 2.5 CONCEITOS BÁSICOS DE VIBRAÇÕES DE SISTEMAS MECÂNICOS. 19 2.5.1 Vibração.................................................................................................... 19 2.5.2 Sistemas discretos e contínuos............................................................. 19 2.5.3 Vibração livre............................................................................................ 20 2.5.4 Vibração forçada...................................................................................... 20 2.5.5 Vibração amortecida e não amortecida............................................... 20 2.6 ANÁLISE CINEMÁTICA E DINÂMICA POR NÚMEROS COMPLEXOS... 20 2.7 MECANISMO CURSOR MANIVELA......................................................... 21 2.8 MECANISMO QUATRO BARRAS............................................................. 26 2.9 MECANISMO CAME SEGUIDOR.............................................................. 28 2.9.1 Tipo de movimentação do seguidor....................................................... 29 2.9.2 Tipo do came............................................................................................ 29 2.9.3 Tipo de fechamento da junta.................................................................. 30 2.9.4 Tipo de seguidor...................................................................................... 30 3 METODOLOGIA......................................................................................... 32 3.1 DADOS EXPERIMENTAIS......................................................................... 34 3.1.1 Cursor pistão-biela-manivela.................................................................. 35 3.1.2 Quatro barras........................................................................................... 35 3.1.3 Análise com excitação e transiente ....................................................... 36 4 RESULTADOS E DISCUSSÕES............................................................... 38 5 CONCLUSÃO............................................................................................ 45 REFERÊNCIAS......................................................................................... 46 APÊNDICE A Desenvolvimento da Análise Cinemática e Dinâmi- ca de um Mecanismo Pistão-biela-manivela......................................... 47 ANEXO A Variáveis e Funções complexas......................................... 53 ANEXO B Publicação em Congresso................................................... 55 14 1 INTRODUÇÃO O desenvolvimento constante da tecnologia exige um amplo domínio sobre as máquinas, fazendo com que o conhecimento em relação ao método de funcionamento em todo o seu ciclo de grande importância para otimização de sistemas mecânicos. Essa análise pode ser realizada a partir de técnicas de detecção e localização de falhas de sistemas submetidos a carregamentos mecânicos, permitindo que os equipamentos que atuam na indústria desempenhem a melhor performance com o mínimo de falhas e danos materiais e imateriais. A utilização de estruturas mecânicas que realizam movimento e facilitam as atividades humanas são feitas desde o início da sociedade, mesmo que de maneira mais intuitiva. A análise desses aparatos se tornou objeto de estudos e pesquisas com o objetivo de melhoria e desenvolvimento de equipamentos mecânicos. A utilização de métodos matemáticos e técnicas computacionais permitiram grande evolução e eficiência nos modelos para análise cinemática e dinâmica. Os mecanismos podem ser definidos como um sistema de elementos unidos ou dispositivos, organizados para transmitir movimento de uma maneira predeterminada, em geral, desenvolve forças de baixa intensidade e transmitem pouca potência. Eles estão presentes em diversos aparatos do cotidiano, desde sistemas mais simples como um apontador de lápis, até os sistemas mais complexos, como um robô. As máquinas, objeto de grande interesse da Engenharia, são compostas por mecanismos, de maior ou menor complexidade, e, ao buscar a compreensão completa desses sistemas e a execução de projeto das mesmas, é realizado um estudo cinemático e dinâmico. O desenvolvimento discorrido neste trabalho trata-se da análise estática, dinâmica e a determinação das forças de inércia em mecanismos com a utilização de números complexos. E, deste modo, desenvolver um modelo cinemático e dinâmico que represente fielmente, o modelo real de mecanismos, como pistão-biela-manivela e quatro barras, contendo todas as variáveis para sua análise. Os métodos matemáticos e computacionais os quais serão abordados para a resolução de casos possibilitaram uma análise estruturada dos sistemas mecânicos apresentados buscando técnicas que permitam a otimização dos sistemas mecânicos através do uso do software Matlab®. As análises cinemáticas e dinâmicas dos mecanismos serão 15 a base para a análise das forças de inércia com objetivo de determinação dos torques de acionamento, como será apresentado. O projeto de mecanismos articulados, nos quais estão presentes componentes mecânicos em movimento simultâneo de rotação e de deslizamento exigem cálculos cinemáticos complexos os quais dificultam a obtenção, interpretação e avaliação desses sistemas. Este estudo apresenta uma solução de análise cinemática que possibilita a obtenção de resultados precisos utilizando-se de conceitos fundamentais da cinemática, juntamente com um procedimento matemático adequado para a realização dos cálculos das velocidades e das acelerações dos pontos de interesse do mecanismo. A Metodologia utilizada irá apresentar a teoria dos números complexos, bem como o desenvolvimento de equações e a determinação do torque necessário para acionamento dos mecanismos em estudo. Por meios computacionais, este estudo pretende desenvolver e analisar, o movimento, velocidade, aceleração e reações de mecanismos, a fim de verificar a variação desses componentes em relação ao tempo e de diferentes valores iniciais, comparando-os com sistemas reais e assegurando a acuracidade dos mesmos. 16 2 REVISÃO DE LITERATURA Para a execução de projetos de mecanismos, faz-se necessário o conhecimento de alguns conceitos os quais serão apresentados no decorrer deste capítulo. Todos os itens apresentados neste primeiro capítulo visam fornecer embasamento para uma melhor análise e possibilidade de discussão do problema a ser implementado, o da análise de um mecanismo pistão-biela-manivela. 2.1. Cinemática e Cinética A cinemática trata-se do estudo do movimento desconsiderando as forças que o causaram, seu principal objetivo é o de projetar movimentos desejados de elementos mecânicos com a finalidade de calcular as posições, velocidades e acelerações que esses movimentos irão gerar em relação aos respectivos componentes (NORTON, R. L, 2009). A cinética, ou análise da força dinâmica, trata-se do estudo de forças de sistema em movimento. A análise da força dinâmica envolve-se a partir das três leis de Newton do movimento. 1ª Lei: um corpo em repouso tende a permanecer em repouso e um corpo em movimento uniforme tende a permanecer em movimento uniforme, a não ser que seja submetido à aplicação de força externa. 2ª Lei: a taxa de variação do momento linear de um corpo possui magnitude igual à soma das magnitudes das forças que atuam sobre ele e atua na mesma direção e sentido de tal soma vetorial. 3ª Lei: para cada força ativa, existe uma força reativa de mesma magnitude e direção e em sentido contrário. Da Segunda Lei de Newton temos que: (1) Onde, = forças dinâmicas, = massa do sistema, = aceleração do sistema. Considerando que a massa não se altera no decorrer do tempo, portanto, pode- se definir a aceleração como força em função do tempo. As tensões, são definidas em função de forças inerciais e forças externas aplicadas. 17 2.2. Graus de Liberdade e Tipos de Movimento O conceito de Graus de Liberdade (GDL), está associado à síntese e análise de mecanismos com o objetivo de compreender a mobilidade de um sistema. Número mínimo de coordenadas independentes para descrever completamente o movimento de qualquer parte de um sistema em qualquer instante (SINGIRESU RAO, 2008). A mobilidade de um mecanismo plano é determinada ao considerar-se o número de elos e juntas, bem como a interação entre eles. Para realizar a análise desse conjunto de elos pode ser utilizado o estudo sobre a condição de Gruebler. Qualquer elo em um plano possui três graus de liberdade, entretanto, um sistema de L elos desconectados em um mesmo plano terá 3L GDL, na qual dois elos desconectados terão um total de 6 GDL (NORTON, R. L, 2009). Os GDLs em uma montagem de elos revelam o comportamento do sistema, sendo que existem três possibilidades. Caso o GDL seja positivo, a montagem será um mecanismo e os elos terão movimento relativo. Caso o GDL seja exatamente zero, é correspondente a uma estrutura, de modo que o movimento não é possível. E, em caso de GDL negativo, ela será uma estrutura pré-carregada, não sendo possível nenhum movimento e pode haver tensão na montagem (NORTON, R. L, 2009). Em um mecanismo, a determinação do número e ordem dos elos e juntas necessárias para produzir um movimento de um GDL particular é conhecido como número de síntese. De modo que o valor do número de síntese determinará as combinações possíveis de elos que irão resultar no GDL escolhido (NORTON, R. L, 2009). 2.3. Momento de massa e centro de gravidade Ao distribuir-se a massa de um objeto ao longo de sua dimensão, ele terá um momento com relação ao eixo de sua escolha. O momento de massa de um elemento infinitesimal será igual ao produto de sua massa em relação à distância do eixo de interesse, e pode ser descrita da seguinte forma, em relação aos seus eixos. (2.a) 18 ((2.b) ((2.c) Se o momento de massa ao que é feito referência em relação ao eixo analisado for numericamente igual a zero, esse eixo passa a partir de seu centro de massa (CM) a ser coincidente com o seu centro de gravidade (CG), e, por definição, teremos que a somatória dos momentos de massa de todos os eixos a partir do centro de gravidade será correspondente a zero. 2.4. Momento de inércia de massa A segunda lei de Newton aplicada aos sistemas em rotação pode ser descrita a partir do produto entre o momento de inércia de massa em torno do eixo em que se passa o centro de massa e a aceleração angular , resultando no torque , tal como segue: (3) Além disso, teremos que o momento de inércia de massa de um elemento diferencial em relação aos eixos x, y e z podem ser descritos da seguinte forma: (4.a) (4.b) (4.c) Em um sistema de translação pura, a energia cinética é descrita como: (5) E, em um sistema com rotação pura, a energia cinética é descrita como: 19 (6) 2.5. Conceitos básicos de vibrações de sistemas mecânicos 2.5.1. Vibração Qualquer movimento que se repete, regular ou irregularmente, depois de um intervalo de tempo é considerado uma vibração. O movimento de um pêndulo e da corda de um violão são exemplos simples de vibrações (SINGIRESU RAO, 2008). Em elementos de máquinas e estruturas submetidos a ações dinâmicas, pode ocorrer a presença de vibrações. A vibração mecânica é uma causa de desgaste excessivo e fraturas, pode causar alívio em apertos, bem como a ineficiência de funcionamento de um maquinário e ruídos, sendo um componente que visa ser eliminado. 2.5.2. Sistemas discretos e contínuos Sistemas os quais possuem infinitos graus de liberdade são chamados de sistemas contínuos. Já aqueles que possuem um número finito são denominados sistemas discretos. Diversos elementos estruturais e maquinários tratam-se de sistemas contínuos, porém, esses sistemas podem ser aproximados para sistemas discretos com objetivo de realizar uma análise, o qual, apesar de possuir menor precisão, torna possível compreender o sistema como um todo, uma vez que os métodos de resolução para sistemas contínuos são restritos a alguns tipos de problemas. 2.5.3. Vibração livre Esse tipo de vibração se caracteriza por não haver forças externas durante o processo de vibração. Ou seja, depois de uma perturbação inicial, o sistema continua vibrando por conta própria. Um exemplo desse tipo de vibração é o pêndulo simples (SINGIRESU RAO, 2008). 20 2.5.4. Vibração forçada Se uma força externa estiver sendo aplicada no sistema durante sua vibração, dizemos que esta é uma vibração forçada. Nesse tipo de vibração, pode ocorrer o fenômeno de ressonância, que é quando a frequência da força externa é igual à frequência natural de vibração do sistema (SINGIRESU RAO, 2008). 2.5.5. Vibração amortecida e não amortecida Quando há perdas e dissipações de energia durante a vibração, esta é chamada de vibração amortecida. Porém, quando não há algum tipo de perda de energia durante a oscilação trata-se de uma vibração não amortecida (SINGIRESU RAO, 2008). 2.6. Análise cinemática e dinâmica por números complexos O uso de números complexos permite uma fácil manipulação e análise dos mecanismos. A representação de um vetor qualquer em números complexos é feita da seguinte maneira: (7) Sendo que r é o módulo do vetor e é o ângulo que o vetor faz com a horizontal. É possível expandir a equação (7) com o uso da fórmula de Euler para números complexos, equação (8): (8) Ao expandir a equação (7), o vetor passa a ter como parte real e imaginária as equações (9.a) e (9.b), respectivamente. (9.a) (9.b) 21 Com isso, consegue-se uma formulação para os mecanismos quanto às posições de suas barras, possibilitando a obtenção das velocidades e das acelerações pelas consecutivas derivadas. 2.7. Mecanismo Cursor Manivela O mecanismo cursor manivela apresenta aplicação em motores de combustão interna, e é constituído pelo bloco de motor , biela , manivela ( , e, pistão os quais estão apresentados na Figura 1. Figura 1 Mecanismo Cursor-Manivela Fonte: Própria autora, 2022. Sendo que o movimento é realizado a partir da aplicação de uma força exercida no pistão, no caso de um motor a combustão, é realizado devido à queima de gases. A partir disso, a força é transmitida pela biela no pistão e irá chegar à manivela. A manivela então irá realizar o movimento de rotação. Em um sistema de transmissão de um motor de combustão interno temos que a manivela estará ligada a um volante, este mecanismo possui dois pontos mortos, e, com a atuação do volante, o mecanismo irá passar por esses pontos. No mecanismo cursor manivela, com o movimento linear do pistão, é realizado o movimento angular no virabrequim. 22 Figura 2 Vista lateral de um conjunto pistão-biela-manivela Fonte: adaptado da referência [3]. Quanto aos parâmetros, pode-se calcular a posição, a velocidade e a aceleração do pistão através da análise do mecanismo utilizando-se de números complexos. Da Figura 1, temos: (10) De acordo com a equação (8), pode-se reescrever (10) como sendo: (11) Separando a equação (11) em parte real e imaginária, temos: (11.a) (11.b) E, com objetivo de determinar a velocidade, a equação (10) é derivada: (12) (13) 23 Separando-se, também, a equação (13) em parte real e imaginária, temos: (14) (14.a) (14.b) Derivando-se a equação (13), têm-se a aceleração: (15) (16) Reorganizando a equação (16), temos: (16) Separando a equação (16) em parte real e imaginária, temos a aceleração descrita como: (17) (17.a) (17.b) A resolução de sistemas dinâmicos de forças pelo método newtoniano utiliza- se do princípio descrito pela segunda lei de Newton, a partir dela é possível visualizar maior número de informações em relações às forças externas de mecanismos, podendo ser descritas como o somatório de todas as forças e torques do sistema (MABIE & OCVIRK, 1990). Jean le Newton visualizou uma maneira de que uma situação dinâmica pudesse ser descrita 24 como uma situação aproximadamente estática. Ao mover os termos do lado direito da equação da segunda lei de Newton para o lado esquerdo obtém-se que todas as forças e torques somados sejam correspondentes à zero (MABIE & OCVIRK, 1990): e (18) As equações descritas anteriormente podem ser enunciadas, pelo princípio de nula a soma vetorial de todas as forças (aplicados e de inércia) que atuam sobre um corpo rígido, bem como a soma vetorial de todos os momentos (aplicados e de inércia). Este princípio é adequado para problemas que envolvam o movimento de vários corpos rígidos ligados entre si, ou seja, de mecanismos (NORTON, ROBERT L.). mecanismos ela será utilizada para a análise realizada no decorrer do estudo das forças. Ao realizar uma análise de forças do sistema, é necessário visualizar e descrever os esforços aos quais as estruturas do mecanismo serão submetidas. distribuição de forças as quais são apresentadas na Figura 3. Das equações (18) adaptadas para o mecanismo descrito temos: (18.a) Em que é o vetor soma do sistema de forças que age sobre o corpo, é a massa da biela e corresponde à aceleração do centro de massa da biela, sendo este dado obtido na análise cinemática. Além disso, temos que , em que corresponde ao somatório dos momentos de forças e torques sobre o eixo através do centro de massa, é o momento de inércia do corpo sobre o mesmo eixo através do centro de massa e trata-se da aceleração angular do corpo no plano do movimento (NORTON, ROBERT L.). Figura 3 Diagrama do corpo livre (DCL) de um mecanismo pistão-biela- manivela 25 Fonte: adaptado da referência [5]. Deste modo é possível descrever a Figura (3) a partir de um sistema de equações, em que as equações (19.a e 19.b) correspondem à análise da manivela, as equações (19.c e 19.d) correspondem à análise da biela e as equações (19.e e 19.f) correspondem às equações do pistão: (19.a) (19.b) (19.c) (19.d) (19.e) (19.f) 2.8. Mecanismo Quatro Barras O mecanismo de quatro barras é um dos mais comumente utilizados devido à sua configuração e aplicações. A Figura 4 apresenta um mecanismo quatro barras e seus componentes. Figura 4 Mecanismo Quatro Barras 26 Fonte: Própria autora, 2022. A peça 1, em geral, é a peça fixa, sendo a 2 a manivela a qual pode girar ou oscilar, e, a peça 3 irá transmitir à manivela o movimento da peça 4, a qual também pode girar ou oscilar. Em relação aos pontos mortos desse mecanismo, não existe restrição, desde que a manivela esteja girando, porém, em caso de oscilação da mesma, é possível ocorrer interrupção do movimento nos pontos mortos do sistema. Outro fator importante para o não travamento do mecanismo é o ângulo de transmissão, que é considerado o ângulo entre as barras 3 e 4. Esse ângulo deve estar compreendido entre 40º e 140º (MABIE & OCVIRK, 1990). Se o ângulo de transmissão estiver fora desse intervalo poderá ocorrer o travamento. Na análise dos parâmetros desse mecanismo por números complexos, as relações são mais complexas, como pode ser observado a seguir. Da Figura 4 pode- se tirar que a posição do ponto B, que é o ponto de ligação entre as peças 3 e 4, é dada por: (20) Além disso, outra equação necessária para os cálculos é a equação do vetor . Pela lei dos cossenos, têm-se: (21) E também: 27 (22) Da equação (20), têm-se: (23) Explicitando as partes real e imaginária: (23.a) (23.b) Derivando-se a equação (23) uma vez, obtém-se a velocidade: (24) (25) Ainda usando a relação (8), a equação (25) fica: (26) (26.a) (26.b) Para a aceleração, deriva-se a equação (24) (27) (28) Separando nas componentes real e imaginária: (29) 28 (29.a) (29.b) 2.9. Mecanismo came seguidor Os cames são tipos de mecanismos de comando que, a partir de um movimento de giro com velocidade angular constante, obtém-se um deslocamento linear ou angular programado de um seguidor posto em contato, como pode ser analisado na Figura 5. São extensivamente usados em motores à combustão interna, máquinas operatrizes e instrumentos entre outros. Tornando-se possível não só a geração de complexos movimentos coordenados, como a introdução da automação antes que o conceito de controle numérico existisse. Os cames podem ser classificados de acordo com algumas características, como tipo de movimentação do seguidor, tipo da came, tipo de fechamento da junta e tipo de seguidor. Cada um deles será mais discutido separadamente. 29 Figura 5 Princípio de funcionamento do mecanismo came seguidor. Fonte: Mecanismos/H.H.Mabie/F.W.Ocvirk, 1990. 2.9.1. Tipo de movimentação do seguidor Na seleção do movimento do seguidor, a curva selecionada para o movimento deve ser tal que dê um bom comportamento para o funcionamento do sistema. A movimentação pode ser de dois tipos, com oscilação/rotação do seguidor ou com translação. A escolha entre as formas é usualmente ditada pelo tipo de movimentação desejada na saída. Se a saída desejada for um movimento retilíneo, então se usa o seguidor de translação. Caso a saída for rotação pura, o indicado é o seguidor de rotação/oscilação. (NORTON, ROBERT L.) 2.9.2. Tipo da came Essa classificação se dá pelo movimento do seguidor em relação ao eixo de rotação do came. As duas classificações possíveis são radiais e axiais, ou seja, caso o movimento do seguidor seja na direção radial ou axial do came respectivamente. Os cames radiais também são chamados de cames-prato. Já os axiais também são conhecidos como face ou tambor. Um came em que ocorre a combinação das duas classificações é chamado de came tridimensional. (NORTON, ROBERT L.) 30 Os tipos de cames mais usados são: Cames de disco com seguidor radial de face plana; Cames de disco com seguidor radial de roletes; Cames de disco com seguidor deslocado de roletes; Cames de disco com seguidor radial deslocado de face plana. 2.9.3. Tipo de fechamento da junta Existem dois tipos de fechamento de junta: juntas de força e de forma. As juntas de força requerem a ação de uma força externa para manter o contato entre o came e o seguidor. Na maioria dos casos essa força é fornecida por uma mola. Uma característica da junta de força é que a força em ação somente empurra o seguidor, ou seja, jamais o puxará. Já as juntas de forma são aquelas que mantêm o contado do came e do seguidor com a geometria do came. Faz-se isso com o uso de trilhas ou ranhuras presentes no came. Assim, quando o seguidor está dentro de um trilho, por exemplo, as paredes desse trilho vão empurrando o seguidor conforme a came vai se movimentando. 2.9.4. Tipo de seguidor Os seguidores podem ser do tipo face plana, cogumelo (curvo) ou de rolete. Os seguidores de rolete são os mais caros, porém seu atrito com o came é menor devido ao rolamento. O seu uso é essencial em alguns casos, como nos casos em que se usa junta de forma. Os seguidores tipo face plana e cogumelo geralmente possuem volumes menores que os de rolete. Por esse motivo e também por ser mais barato, são altamente empregados, como no comando de válvulas automotivas. Os cames podem ser projetados de duas maneiras: a) Partindo-se do movimento desejado do seguidor, projeta-se o came para esse movimento; 31 b) Partindo-se da forma do came, determinar as características de deslocamento, velocidade e aceleração obtidas pelo contorno do came. A Figura 6 mostra um sistema no qual o came é usado para controlar a abertura e fechamento de uma válvula. Figura 6 Sistema came seguidor Fonte: Mecanismos/H.H.Mabie/F.W.Ocvirk, 1990. 32 3 METODOLOGIA Neste capítulo serão descritos os métodos utilizados para a resolução do problema utilizando-se das análises cinemáticas e dinâmicas descritas anteriormente e aplicadas em uma rotina a qual foi desenvolvida em MATLAB® versão estudante com licença disponibilizada pela universidade. Para este trabalho foram considerados dois sistemas para análise, sendo a metodologia de análise baseada em conceitos analíticos e matemáticos, de modo que as ferramentas matemáticas a partir do desenvolvimento de um programa no software utilizado permitiu a obtenção de resultados mais precisos. A proposta do projeto visa a aplicação do equacionamento cinemático por números complexos e pela análise dinâmica utilizando- Deste modo, foi possível o desenvolvimento de uma rotina (APÊNDICE A) que pudesse variar para pequenos ângulos da manivela ( ) num intervalo de e para valores iniciais diversificados. De acordo com o desenvolvimento apresentado na seção 2 (Revisão Bibliográfica), foram obtidos gráficos os quais relacionavam o ângulo de variação da biela em função da manivela, a velocidade e a aceleração do pistão em função do ângulo de manivela, o deslocamento, velocidade angular e aceleração angular da biela em função do ângulo de manivela e a aceleração do centro de massa da biela em função do ângulo de manivela. Através da variação do ângulo da manivela ( ), variando o mesmo de em rad, foi possível o desenvolvimento do cálculo para as variáveis desconhecidas para cada intervalo. De modo que através da manipulação complexa descrita na Seção 2 (Revisão Bibliográfica) e tratando o módulo do número complexo, foi possível obter o mesmo representado na Seção 4 (Resultados e Discussões). A partir da descrição cinemática de um mecanismo pistão-biela-manivela, é possível discorrer a respeito de sua análise dinâmica. A ideia foi utilizar o princípio de d inércia. Para a elaboração da solução, a análise foi desenvolvida matricialmente, e a partir disto, equacionou-se o sistema de modo similar na rotina programada e obtendo os valores desejados para análise do torque de acionamento. 33 A representação vetorial e o DCL de um mecanismo pistão-biela-manivela estão representados, respectivamente, nas Figuras 7 e 8, e na sequência é apresentado o sistema matricial o qual descreve o sistema. Figura 7 Representação vetorial de um mecanismo pistão-biela manivela. Fonte: Própria autora, 2022. Sistema da manivela = Sistema da biela ( = Sistema do pistão ( ) = 34 Figura 8 DCL de um mecanismo pistão-biela manivela Fonte: Própria autora, 2022. Uma vez calculadas as forças atuantes no mecanismo pistão-biela-manivela, foram obtidas informações numéricas e gráficas as quais possibilitaram a análise dinâmica os quais serão apresentados com maior nível de detalhamento na Seção 4 (Resultados e Discussão). 3.1. Dados Numéricos A elaboração do algoritmo permite a inserção de dados para a análise de modo a estudar diversos sistemas, permitindo analisar e validar a geometria e impacto das forças esperadas para diversos sistemas. Foram adotados, para o estudo 35 apresentado informações referentes a sistemas existentes os quais serão descritos com maiores detalhes na sequência. 3.1.1 Cursor pistão-biela-manivela As informações descritas no Quadro 1 apresentam condições de um sistema pistão-biela-manivela. Considera-se como dados de entrada o ângulo da manivela variando de 0 a 180° e informações de velocidade angular e aceleração angular da manivela, e , respectivamente, bem como as dimensões do sistema: e . Quadro 1: Dados utilizados para obtenção dos parâmetros analisados. Manivela Comprimento Ângulo Velocidade Angular Aceleração Angular Massa Biela Comprimento Massa Assim como descrito na Seção 2 (Revisão Bibliográfica), fez-se uso dos números complexos para a resolução do sistema. A partir da implementação de uma rotina utilizando o Matlab® foi possível a elaboração de gráficos que descrevem o funcionamento do sistema e as características pertinentes a ele, os quais serão discutidos na Seção 4 (Resultados e Discussões). 3.1.2 Quatro Barras Para um mecanismo quatro barras, é importante ressaltar que a variação do ângulo de transmissão para que grandes esforços sejam transmitidos, o ângulo deve atuar em uma variação de 40° a 140°. Além disso, existe uma questão relacionada ao travamento, ou seja, situações as quais o sistema é submetido que fazem com que ele não transmita movimento. 36 Deve ser considerado que: 3.1.3 Análise com excitação e transiente A análise a seguir visa compreender a influência do sistema quando sob situação de sistemas dinâmicos, considera-se os parâmetros de rigidez, coeficiente de amortecimento, massa e pontos para análise em determinado período de tempo. Parâmetros utilizados: A força de excitação pode ser descrita como: , e, Sendo a massa desbalanceada em e o raio de desbalanceamento. Um came seguidor, como o modelo apresentado na Figura 6 pode ser ilustrado em um DCL o qual irá apresentar três graus de liberdade, Figura 9. Figura 9 Modelo matemático came seguidor Fonte: Própria autora, 2022. 37 Este modelo é regido por uma equação diferencial do tipo: Em que corresponde a massa, amortecimento, a rigidez e às forças externas em função do tempo. Além disso, correspondem ao deslocamento, velocidade e aceleração do corpo em estudo em função do tempo. Em relação a Figura 9, temos: , assim, fazendo-se a análise do modelo do came seguidor, temos: 38 4 RESULTADOS E DISCUSSÕES Nesta seção serão abordados os resultados e as discussões referentes às informações obtidas após a análise obtida com o uso do software Matlab®. Observando as informações obtidas no desenvolvimento deste projeto, é interessante observar o quão amplo se torna o contexto de análise de mecanismos, uma vez que a partir dele é possível desenvolver análises mais específicas de máquinas e equipamentos que influenciam seu desempenho causando vibração, e que pode ser aprimorado através de métodos de elementos finitos, e, também, para fins de controle utilizando técnicas de controle discreto, por exemplo. Deste modo, esse projeto mostra uma oportunidade de estudo mais ampla e que pode ser desenvolvida em outros projetos. Todos os gráficos foram obtidos no software Matlab®. O primeiro passo para a obtenção dos mesmos, foi a consideração de que o ângulo de manivela, variava de um em um radiano. Assim, criou-se um vetor com o qual determinou-se todos os outros vetores das variáveis, como o ângulo entre a biela e a manivela, velocidade angular da biela, a aceleração angular da biela, e outros. A manipulação com os números complexos foi feita igual a apresentada no item 3.1, ou seja, separando a parte real da imaginária e para finalizar calculando o módulo do número complexo. Então, com o vetor dos módulos foram plotados os gráficos. O primeiro sistema em análise, pistão-biela-manivela, faz uma representação de uma análise de um mecanismo constituinte de um motor a combustão, objeto de grande importância para a Engenharia. Com a implementação computacional realizada foram obtidos gráficos que puderam descrever para valores determinados as curvas de deslocamento, velocidade linear e angular, e, aceleração linear e angular de componentes do mecanismo estudado em função do ângulo de manivela em relação a ciclos. As Figuras 10 e 11 apresentam o perfil do cursor em função do ângulo de manivela e o perfil da biela em função do ângulo de manivela. Assim como apresentado na literatura (NORTON, ROBERT L.), observa-se que se trata de uma função harmônica. Para os dados considerados é perceptível que a posição do cursor atinge o seu valor máximo quando o ângulo da manivela atinge seu valor máximo. E que o ângulo da biela em relação ao da manivela corresponde a 0° quando o cursor atinge o seu valor máximo. 39 Figura 10 Perfil do cursor em função do ângulo de manivela. Fonte: Própria autora, 2022. 40 Figura 11 Perfil do ângulo da biela em função do ângulo de manivela. Fonte: Própria autora, 2022. O perfil de velocidade angular da biela em função do ângulo de manivela é apresentado a seguir. Sendo possível observar que os pontos de maior velocidade correspondem aos pontos em que o ângulo de manivela se encontra em e , ou seja, nos ciclos. 41 Figura 12 Perfil da velocidade angular da biela em função do ângulo de manivela. Fonte: Própria autora, 2022. Nas Figuras 13 e 14 é possível observar dois perfis de aceleração, sendo respectivamente, a aceleração angular da biela e a aceleração do centro de massa, ambas em relação ao ângulo de manivela. Observa-se que a aceleração atinge os valores máximos quando está em e\ ou seja, em seu segundo ciclo. Nesta situação apresenta um valor de , o mesmo ocorre para o perfil de aceleração do centro de massa, porém, com valor de . Assim como era esperado, seguindo as mesmas tendências. 42 Figura 13 Perfil de aceleração angular da biela em função do ângulo de manivela. Fonte: Própria autora, 2022. 43 Figura 14 Perfil de aceleração do centro de massa em função do ângulo de manivela. Fonte: Própria autora, 2022. 44 Para a análise dinâmica do mecanismo pistão biela manivela utilizou-se um gráfico apresentando a relação da potência de saída em função do ângulo de manivela e o torque de acionamento em função do ângulo de manivela, apresentados nas Figuras 15 e 16. Na Figura 15 é perceptível a presença de uma função harmônica, característica fundamental para um mecanismo pistão biela manivela. Para o sistema adotado foram obtidos um torque de acionamento e ciclos de potência em e Repetindo-se o processo para os demais ciclos, conforme o esperado, e, apresentando-se deste modo como um motor de dois tempos. A análise das forças de inércia se faz necessária para a obtenção dos gráficos, a qual foi obtida a partir do Matlab®, além disso, obtivemos como valores máximos de potência para a análise realizada correspondente a em seu máximo, e, para a mesma região, o torque de acionamento apresenta como seus valores máximos . Figura 15 Potência de saída em função do ângulo de manivela. Fonte: Própria autora, 2022. 45 . Figura 16 Torque de acionamento em função do ângulo de manivela Fonte: Própria autora, 2022. A implementação computacional desenvolvida é capaz de realizar, para distintos mecanismos pistão biela manivela, artifícios de análise para cada grau de correspondência do ângulo de manivela. Além disso, as curvas descritas, mostram se condizentes com a teoria, apresentando traços de uma função cíclica, característica de grande importância para a descrição de seu movimento e consequentemente, de seu funcionamento. Também, como uma ferramenta de estudo de um mecanismo pistão-biela-manivela pode facilitar o projeto e desenvolvimento dos mesmos. Na análise do sistema quatro barras têm-se uma perspectiva de um sistema de suspensão, é possível realizar algumas considerações as quais devem ser adotadas em relação a teoria, como apresentado na Seção 2, uma das quais inclui a questão de travamento, de modo a restringir a faixa de variação do ângulo. É interessante notar a grande influência desse sistema na parte de vibrações, uma vez que ela pode causar desgaste e fratura em estruturas, sendo fator de grande importância para análise de material a ser utilizado em sua constituição. Além disso, é possível realizar uma 46 análise de controle para visualizar questões de vibrações neste sistema. Podendo ser caracterizada como forçada, uma vez que esse sistema há interferência de forças externas e amortecida, uma vez que haverá perdas e dissipações de energia. Analisando o came seguidor apresentado na Figura 7, temos um sistema com 3 GDLs, e que a modelagem pode ser desenvolvida a partir da equação diferencial: E, que possui como força de excitação a seguinte relação: , e, Essa análise de vibração permite visualizar a influência da geometria a qual pode ser desenvolvida utilizando-se dos parâmetros disponibilizados pelo Matlab®, e, utilizando-se de ferramentas matemáticas como Laplace. Temos que esse mecanismo apresenta um movimento relativo, deste modo, sendo um modelo de face plana. A partir das análises realizadas, visa-se apresentar a versatilidade e importância da análise de Mecanismos, neste caso, todas as aplicações consideradas foram relacionadas a sistemas automotivos, porém, é importante ressaltar que a abordagem para mecanismos é bastante ampla, e, utilizando-se da mesma teoria, é possível replicar a teoria para aplicações tais como robótica ou biomecânica. Além disso, ressalta-se a importância de compreender através da teoria aplicada que a elaboração de um sistema eficaz depende de uma análise consistente em relação à aplicação da teoria de cinemática e dinâmica relacionada aos mecanismos. Sua influência relacionada ao sistema em que esse aparato será submetido, implicações relacionadas a vibrações que podem causar manutenção antecipada, ou até a troca do equipamento, e até mesmo a perspectiva de compreensão de materiais que possam auxiliar a escolha de materiais adequados para sua confecção. 47 5 CONCLUSÃO A análise de cinemática e dinâmica de mecanismos apresenta grande importância para diversos sistemas da Engenharia, visto a ampla aplicabilidade desses sistemas. A partir de um estudo estruturado, tendo em vista suas particularidades e, utilizando-se de técnicas analíticas e computacionais foi possível o desenvolvimento da análise cinemática através de números complexos, enquanto que para a análise dinâmica de corpos rígidos, fez- possibilitando a visualização completa do problema e a resolução adequada em relação a quaisquer mecanismos analisados e suas particularidades. Para as análises realizadas de sistemas mecânicos voltadas à indústria automotiva, vê-se uma alternativa a qual possibilita a otimização desse sistema através da compreensão geométrica, análise de influência de variáveis cinemáticas e dinâmicas, e assim, como o sistema irá reagir em relação à aplicação de forças a que será submetido. Os perfis obtidos a partir do software Matlab® possibilitam a compreensão de como o sistema irá desempenhar suas funções, se há influência de parâmetros de vibrações que podem gerar possíveis danos ao sistema, além de possibilitar uma perspectiva de material a utilizar-se, pensando nos esforços ao que o sistema será submetido. Para um sistema pistão-biela-manivela, quatro barras, ou came seguidor, é possível analisar em relação a cada grau de correspondência do ângulo uma análise de atuação do sistema. É possível verificar os traços de funções cíclicas, característica referente a descrição de seu movimento, e, funcionamento, possibilitando um panorama completo para compreensão de projeto e desenvolvimento desses sistemas. Além disso, essa análise viabiliza o estudo em outras vertentes, tais como aplicações de robótica e biomecânica, possibilitando a expansão do assunto a partir de soluções matemáticas desenvolvidas através de soluções numéricas em software os quais poderão a vir a serem abordados em estudos futuros. 48 REFERÊNCIAS SAGAN, C. Cosmos, Episódio 7 A Espinha Dorsal da Noite. (Epígrafe) SANTOS, F. ILMAR; Edição. São Paulo. Pearson, 2009. Prentice Hall, 2008. NORTON, R. L. Cinemática e dinâmica dos mecanismos. Nova York: AMGH Editora Ltda., 2009. MABIE, H. H., Reinholtz, C. F. Mechanisms and Dynamics of Machinery (John Wiley & Sons, Inc., United States of America, 1987), 4ª edição, 644 p. SINGH, C.P. Kinematic Analysis of Stephen-son-III Six Link Mechanism. Tese de Mestrado, National Institute of Technology, 2015. SOUZA, W.T., Longo, T.S, Oliveira, G.A., Roque, B.A, Zaiden, A.R., Mecanismo biela manivela: Estudo do movimento e dos esforços atuantes no sistema. . Springer International Publishing Switzerland, 2015. DRESIG, H., Holzweissig, F. Dynamics of Machinery. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010. MATA, A.S, Torras, A.B, Carrillo, J.A., Fernández, A.J, Martínez, F.N, Fernández, A.O. Publishing Switzerland, 2016. SADLER, W. Kinematics and Dynamics of Machinery. Mcgraw-hill, 1982. Springer International Publishing Switzerland, 2014. em situação de flexão natural. 21° SICT, FATEC, 2019. 49 APÊNDICE A Desenvolvimento da Análise Cinemática e Dinâmica de um Mecanismo Pistão-biela-manivela O desenvolvimento numérico do problema é apresentado a seguir: %% %UNESP, Faculdade de Engenharia Mecânica de Ilha Solteira %Trabalho de Graduação %Análise estática, dinâmica e determinação das forças de inércia em mecanismos utilizando números complexos %Fatima Cristiane de Souza, RA 161050158 %% %1. Análise cinemática e dinâmica de um mecanismo pistão- biela-manivela %Entrada de dados: r2=0.063; %[m] r3=0.130; %[m] omega2=300; %[rad/s] alpha2=75; %[rad/s²] rd=0.015; %[m] theta2=0:(pi)/180:4*(pi);%variação do ângulo %Cálculo das variáveis theta3=asin (sin(theta2).*(-r2/r3)); omega3=-((cos(theta2).*r2)./(cos(theta3).*r3)).*omega2; alpha3=(((sin(theta2).*omega2^2)- (cos(theta2).*alpha2))./(cos(theta3).*r3)).*r2+((sin(theta 3).*omega3.^2)./cos(theta3)); ag3=-(cos(theta2).*r2*omega2^2)-(sin(theta3).*alpha3.*rd)- (cos(theta3).*omega3.^2.*rd); bg3=-(sin(theta2).*r2*omega2^2)+(alpha3.*cos(theta3).*rd)- (sin(theta3).*rd*omega2^2); Ag3=ag3+1i.*bg3; beta=atan(bg3./ag3); ap=((r3*omega3.^2)+((r2*omega2.^2)*cos(theta2+theta3)))/(- cos(theta3)); %Cálculo das variáveis Reais r1r=r2.*(cos(theta2))+r3.*(cos(theta3)); %real 50 vbr=-(sin(theta2)).*r2.*omega2-(sin(theta3)).*omega3.*r3; %real abr=-r2.*((omega2.^2).*cos(theta2)+ alpha2.*sin(theta2))- r3.*(alpha3.*sin(theta3)+(omega3.^2).*cos(theta3));%real %Cálculo das variáveis Imaginárias r1i=r2.*(sin(theta2))+r3.*(sin(theta3)); %imaginária vbi=(cos(theta2)).*r2.*omega2+(cos(theta3)).*omega3.*r3; %imaginária abi=r2.*(alpha2.*cos(theta2)- (omega2^2).*sin(theta2))+r3.*(alpha3.*cos(theta3)- (omega3.^2).*sin(theta3)); %imaginária %Análise do pistão r1=sqrt((r1r).^2+(r1i).^2); Vb=sqrt((vbr).^2+(vbi).^2); Ab=sqrt((abr).^5+(abi).^2); %Análise Gráfica: %Menu op=0; while op~=4 fprintf('\nMenu:\n') fprintf('\n1-Perfil do cursor em função do ângulo da manivela'); fprintf('\n2-Perfil da biela em função do ângulo da manivela'); fprintf('\n3-Perfil do centro de massa em função do ângulo da manivela'); fprintf('\n4-Análise de forças'); op=input('\nOpção: '); %Gráficos switch op case 1 figure(1) plot(theta2,r1); %%title('Perfil do cursor em função do ângulo de manivela'); xlabel('Ângulo da manivela(rad)'); ylabel('Posição do cursor(m)'); 51 grid; figure(2) plot(theta2,Vb) %%title('Perfil da velocidade do cursor em função do ângulo de manivela'); xlabel('Ângulo da manivela(rad)'); ylabel('Velocidade do cursor(m/s)'); grid; figure(3) plot(theta2,Ab) %%title('Perfil da aceleração do cursor em função do ângulo de manivela'); xlabel('Ângulo da manivela(rad)'); ylabel('Aceleração do cursor(m/s²)'); grid; case 2 figure(1) plot(theta2,theta3); %%title('Perfil do ângulo da biela em função do ângulo de manivela'); xlabel('Ângulo da manivela(rad)'); ylabel('Ângulo da biela(rad)'); grid; figure(2) plot(theta2,omega3); %%title('Perfil da velocidade angular da biela em função do ângulo de manivela'); xlabel('Ângulo da manivela (rad)'); ylabel('Velocidade angular da biela(rad/s)'); grid; figure(3) plot(theta2,alpha3); %%title('Perfil da aceleração angular da biela em função do ângulo de manivela'); xlabel('Ângulo da manivela \bf(rad)'); ylabel('Aceleração angular da biela(rad/s²)'); grid; case 3 figure(1) plot(theta2,Ag3); %%title('Perfil da aceleração do centro de massa em função do ângulo de manivela'); 52 xlabel('Ângulo da manivela(rad)'); ylabel('Aceleração do centro de massa (rad/s²)'); grid; end end %Análise dinâmica de um mecanismo pistão-biela-manivela %Entrada de dados g = 9.81; %aceleração da gravidade (em m/s²) mb=input ('Digite a massa da biela (em kg): '); mm=input ('Digite a massa da manivela (em kg): '); mp=input ('Digite a massa do pistão (em kg): '); P= input('Digite a pressão aplicada no pistão (em N): '); %Posição das barras do mecanismo: %Manivela: x2=r2*cos(theta2); y2=r2*sin(theta2); %Biela: x3=r3*cos(theta3); y3=r3*sin(theta3); %Cursor: x1= x2+x3; y1= y2+y3; %DCL: A=[1 0;0 1]; L=1; %Cursor: syms F_xc F_yc N B=[F_xc;F_yc+N]; C=[(mp*ap)+P;(mp*g)]; eq_1= A*B == C; S1 = solve(eq_1,[F_xc, F_yc, N]); S1.F_xc S1.F_yc S1.N %Biela: syms F_xb F_yb D=[F_xb;F_yb]; E=[mb+S1.F_yc;mb+S1.F_yc]; eq_2 = A*D == E; 53 S2 = solve(eq_2,[F_xb, F_yb]); S2.F_xb S2.F_yb %Manivela: syms F_xa F_ya F=[F_xa;F_ya]; G=[(mm*(r2*alpha2))+S2.F_xb;(mm*(r2*omega2^2))+(mm*g)+S2.F _yb]; eq_3 = A*F == G; S3 = solve(eq_3,[F_xa, F_ya]); S3.F_xa S3.F_ya %Momento de inércia na biela e Torque de acionamento: syms I_b T I_b =((mm*g*(2*r2/3)*sin(theta2))+(S2.F_yb*r2*cos(theta2))- (S2.F_xb*r2*sin(theta2)))./alpha3; T =((-S2.F_xb*(r3/3)*sin(theta3))- (S2.F_yb*(r3/3)*cos(theta3))- (S1.F_xc*(r3*2/3)*sin(theta3))- (S1.F_yc*(r3*2/3)*cos(theta3))); %Potência P=(T*omega2)/76; P1=P*0.00135962 %Menu op=0; while op~=3 fprintf('\nMenu:\n') fprintf('\n1-Gráfico do Torque'); fprintf('\n2-Gráfico de Potência'); fprintf('\n3-Sair'); op=input('\nOpção: '); %Gráficos switch op case 1 figure(1) plot((theta2), T); %%title('Torque de acionamento em função do ângulo da manivela'); xlabel('Ângulo da manivela(rad)'); ylabel('Torque (N.m)'); grid; 54 %180/(pi) case 2 figure(2) plot(theta2, P1); %%title('Potência de saída em função do ângulo da manivela'); xlabel('Ângulo da manivela(rad)'); ylabel('Potência de saída (HP)'); grid; end end 55 ANEXO A Variáveis e Funções complexas As variáveis complexas podem ser descritas da seguinte maneira: Sendo que corresponde a parte real, a parte imaginária, e, . O conjugado de , denotado por , é dado por: A representação de uma variável complexa no plano complexo é descrita pela seguinte Figura: Além disso, temos que o módulo da variável complexa é dado por: E, o ângulo trata-se de uma variável complexa definida por: 56 Uma função complexa trata-se de uma função variável complexa com parte real e imaginária. Deste modo, a partir da fórmula de Euler, temos: A fórmula de Euler pode ser provada através da expansão em série de Taylor da exponencial comparada com as expansões das funções seno e cosseno, de modo que temos a seguinte condição: 57 ANEXO B Publicação em Congresso No ano de 2019 foi desenvolvido um projeto utilizando-se de análise de mecanismos relacionando a Análise de Distribuição de Forças no Manguito Rotator em situação de Flexão Natural com conjunto com a estudante de medicina Maria Júlia Palitot de Melo sob orientação do Prof. Dr. Gilberto Pechoto de Melo. Este projeto enfatiza a possibilidade de utilizar o sistema de análise de mecanismos utilizando-se da teoria de números complexos para obtenção de informações que possam auxiliar diversas vertentes, inclusive em se tratando de análises clínicas para reabilitação e fisioterapia. A análise em questão foi apresentada no 21° Simpósio de Iniciação Científica Tecnológica. Como conclusões relacionadas ao estudo realizado, foi possível, através de análise computacional, tal qual a desenvolvida ao longo deste Trabalho de Graduação a avaliação de esforços cíclicos atuantes no manguito rotador, bem como a influência dos esforços físicos, angulação para realização de exercícios em relação a situação de pessoas em situação de sobrepeso e obesidade de grau I, em relação a um indivíduo sob condições normais de Índice de Massa Corporal.