Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho�

Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Campus de Rio Claro

Tópicos de Equações Diferenciais com

Retardamento: uma abordagem segundo o

trabalho do Prof. Nelson Onuchic

Loreane Aldrigui de Lima Estevam

Dissertação apresentada ao Programa de

Pós-Graduação � Mestrado Pro�ssional em

Matemática Universitária como requisito par-

cial para a obtenção do grau de Mestre

Orientadora

Profa. Dra. Marta Cilene Gadotti

2012



517.38

E79t

Estevam, Loreane Aldrigui de Lima

Tópicos de Equações Diferenciais com Retardamento: uma abor-

dagem segundo o trabalho do Prof. Nelson Onuchic/ Loreane

Aldrigui de Lima Estevam- Rio Claro: [s.n.], 2012.

65 f., il.

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Insti-

tuto de Geociências e Ciências Exatas.

Orientadora: Marta Cilene Gadotti

1. equações diferenciais com retardamento. 2. solução. 3. esta-

bilidade. 4. funcional de Lyapuno�. 5. Prof. Nelson Onuchic. I.

Título

Ficha Catalográ�ca elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP

Campus de Rio Claro/SP



TERMO DE APROVAÇÃO

Loreane Aldrigui de Lima Estevam

Tópicos de Equações Diferenciais com Retardamento: uma

abordagem segundo o trabalho do Prof. Nelson Onuchic

Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de

Mestre no Curso de Pós-Graduação Mestrado Pro�ssional em Matemática

Universitária do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Universidade

Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho�, pela seguinte banca examina-

dora:

Profa. Dra. Marta Cilene Gadotti

Orientadora

Prof. Dra. Suzinei Aparecida Siqueira Marconato

Departamento de Matemática - IGCE - Unesp - Rio Claro - SP

Prof. Dr. Miguel Vinícius Santini Frasson

Departamento de Matemática Aplicada e Estatística - ICMC - USP - São Carlos - SP

Rio Claro, 17 de Agosto de 2012





Aos meus queridos pais José Roberto e Liliane,

com muito amor e carinho.





Agradecimentos

Primeiramente, agradeço a Deus por estar sempre presente, auxiliando e amparando

todos os momentos da minha vida.

Ao meu marido, Luís Felipe, meu amor. Por todo carinho, paciência, dedicação,

respeito, companheirismo, e por estar sempre ao meu lado me fazendo cada dia mais

feliz.

Aos meus pais amados, Beto e Liliane, meus maiores exemplos. Obrigada pela edu-

cação e princípios passados desde o meu nascimento e por serem sempre tão presentes.

Agradeço por me amarem e dedicarem o melhor de vocês para me dar sempre o melhor.

Ao meu querido irmão Terence pelo companheirismo de sempre, por dividir comigo

momentos e pessoas tão especiais, pelo apoio e por se alegrar e participar de todas as

minhas conquistas.

Aos meus avós queridos, Vô Gisto, Vó Quinha e Vó Nega, que foram participativos

e presentes em toda a minha vida. Obrigada pelo apoio e pelas orações.

À minha nova família, Célia, Pedro, Ana Virginia, João Guilherme e as minhas

sobrinhas Valentine e Bárbara que alegram tanto os meus dias. A todos os meus tios

e primos que de uma forma ou de outra, sempre contribuíram.

À minha orientadora Marta, pela compreensão, pelo auxílio, pela convivência, pelo

aprendizado e principalmente, pela amizade que criamos durante esse trabalho.

Às professoras Suzi e Renata pelas críticas, sugestões e contribuições enriquecedoras

ao trabalho.

Ao Prof. Miguel pelas ótimas sugestões sobre o uso do latex e pelas contribuições

que enriqueceram esse trabalho.

Aos colegas Ana Claudia Chinchio, Carolina Mesquita e Thiago Mota pelo apren-

dizado e pelos seminários realizados.

A todos os meus amigos de mestrado, graduação, de república e de coração pelos

momentos vividos de alegria e aprendizado.

Agradeço a UNESP por proporcionar momentos tão felizes e valiosos. Aos profes-

sores do departamento que com muita sabedoria garantem a qualidade do nosso curso

e nos dão segurança para a continuidade da vida acadêmica e pro�ssional. E todos os

funcionários do departamento que sempre nos auxiliam com boa vontade.

Agradeço a todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização desse

trabalho.





Resumo

Apresentamos um breve relato sobre a vida do Professor Nelson Onuchic e sua

trajetória acadêmica. Além disso, apresentamos um estudo sobre existência e unicidade

de soluções para problemas de valor inicial de equações diferenciais com retardamento

e estabelecemos resultados sobre estabilidade de pontos de equilíbrio, baseados no

trabalho �Equações Diferenciais com Retardamento� de Nelson Onuchic.

Palavras-chave: equações diferenciais com retardamento, solução, estabilidade, fun-

cional de Lyapuno�, Prof. Nelson Onuchic.





Abstract

In this work we presented a brief account of the life of Professor Nelson Onuchic

and his academic career. Furthermore, we presented a study about existence and

uniqueness of solution for di�erential equations with delay problems and stablished

results on stability of the equilibrium points based on the work �Equações Diferenciais

com Retardamento�, written by Nelson Onuchic.

Keywords: delay diferential equation, solution, stability, Lyapuno� functional, Prof.

Nelson Onuchic.





Sumário

1 Introdução 13

2 Aspectos Históricos sobre a Vida do Prof. Nelson 15

2.1 Biogra�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Trajetória Acadêmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Preliminares 23

3.1 Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Resultados Básicos de EDR 33

4.1 De�nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Existência e Unicidade de Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Extensão de Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4 Desigualdade Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Estabilidade e o Segundo Método de Lyapuno� 47

5.1 De�nições de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Segundo Método de Lyapuno� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 Conclusão 63

Referências 65





1 Introdução

Pretendemos com esse trabalho, apresentar um texto introdutório de fácil interpre-

tação e entendimento baseado no livro �Equações Diferenciais com Retardamento� do

Professor Nelson Onuchic, [8]. Há várias referências que tratam da teoria das equações

diferenciais com retardamento, porém esse texto aborda especi�camente esse trabalho,

sem comparações ou, contrastes com outras referências.

As Equações Diferenciais Funcionais com Retardamento constituem uma classe

das Equações Diferenciais Funcionais (EDF) que consideram problemas não gover-

nados por um princípio de causalidade, mas que apresentam um lapso de tempo entre

causa e efeito. Alguns problemas em Ecologia, Medicina, Economia, Física, entre ou-

tras áreas são modelados pelas equações diferenciais funcionais com retardamento. O

Prof. Nelson Onuchic colaborou de forma relevante no desenvolvimento deste tema,

especialmente formando pesquisadores que deram continuidade ao seu trabalho.

Os objetivos centrais deste texto são: destacar a importância acadêmica do Prof.

Nelson Onuchic e sua colaboração no desenvolvimento da Matemática, especi�camente

com respeito às equações diferenciais funcionais; e promover um estudo minucioso sobre

uma parte do seu trabalho �Equações Diferenciais com Retardamento�.

Este trabalho está organizado da seguinte forma: no capítulo 2 apresentamos as-

pectos relevantes sobre a vida acadêmica do professor Nelson Onuchic; no capítulo 3

introduzimos os resultados sobre espaços métricos e equações diferenciais ordinárias

para bom entendimento do texto; a de�nição de equações diferenciais com retarda-

mento, solução e resultados de existência constituem o capítulo 4; e �nalmente, no

capítulo 5 apresentamos o Segundo Método de Lyapuno� e exemplos.

13





2 Aspectos Históricos sobre a Vida do

Prof. Nelson

Esse capítulo traz um breve relato histórico sobre a vida pessoal e pro�ssional do

professor Nelson Onuchic. Todas as informações contidas nas seções 2.1 e 2.2 foram

baseadas no trabalho de Badin [1].

2.1 Biogra�a

Nelson Onuchic nasceu no dia 11 de março de 1926, na cidade de Brodósqui-SP,

Brasil. Porém, seu registro foi efetuado no dia 12 de março do mesmo ano, �cando

como data o�cial do seu nascimento. Filho de Francisco Onusic e Maria Doles, e irmão

de Olívia, José e Olga. A diferença entre o sobrenome do pai �Onusic� e o �Onuchic�

de seu registro ocorreu devido à pronúncia de seu pai, imigrante austríaco.

Nelson Onuchic fez o curso primário em Brodósqui e cursou a 1a série ginasial no

Ginásio Nossa Senhora Auxiliadora, em Jardinópolis, em 1940. Entre 1941 e 1943

cursou da 2a a 4a séries no Seminário Diocesano de Campinas. Em 1944 foi aprovado

no Exame de Madureza, do ginásio estadual de Ribeirão Preto. Mudando-se com a

família para São Paulo, Nelson fez o curso cientí�co noturno no Colégio Anglo Latino,

de 1945 a 1947 e, durante o dia, trabalhava em um banco, trabalho esse que conseguiu

graças à indicação de José Portinari (irmão do famoso pintor Cândido Portinari). Em

1948 prestou vestibular para Matemática na Universidade de São Paulo (USP), mas

não conseguiu ser aprovado. No mesmo ano foi aprovado em Física no Mackenzie.

Quando cursava o 4o ano do curso de Física, em 1951, foi contratado como professor

de Matemática no Colégio Estadual Presidente Roosevelt. Casou-se com Lourdes de

la Rosa e tiveram quatro �lhos.

Nelson e Lourdes moraram em São José dos Campos de 1955 a 1958. De 1959 a

1966 residiram em Rio Claro, e de 1967 a 1999 estabeleceram residência em São Carlos,

onde o casal foi membro do Movimento das Equipes de Nossa Senhora de São Carlos,

um movimento católico de espiritualidade conjugal e familiar, por 32 anos.

Em 1971 Nelson Onuchic começou a apresentar os primeiros sinais da doença de

Mal de Parkinson e faleceu no dia 3 de setembro de 1999, deixando Lourdes de la Rosa

15



16 Aspectos Históricos sobre a Vida do Prof. Nelson

Onuchic, os quatro �lhos e treze netos.

2.2 Trajetória Acadêmica

O trabalho de pesquisa desenvolvido por Nelson Onuchic na área de Matemática

foi muito signi�cativo. Foram quarenta e nove trabalhos publicados, sendo vinte no

Brasil, vinte e um nos Estados Unidos, três em Portugal, dois no México, um na Itália,

um na Holanda e um no Japão. Desenvolveu pesquisas importantes e pioneiras.

Licenciado em Física pela Faculdade de Filoso�a, Ciências e Letras do Instituto

Mackenzie em São Paulo (1951), foi convidado por seu professor Francisco Lacaz Neto

a iniciar carreira de professor universitário junto ao departamento de Matemática do

Instituto Tecnológico da Aeronáutica (ITA), exercendo a função de Auxiliar de En-

sino de 1951 a 1955. Posteriormente, foi contratado como Professor Assistente (1956-

1958). Durante todo esse período morou em São José dos Campos, onde aprofun-

dou seus estudos sob a orientação do professor Francis Dominic Murnaghan, par-

ticipou de cursos sobre �Teoria de Representação de Grupos�, �Equações Diferenci-

ais Ordinárias�, �Equações Diferenciais a Derivadas Parciais e Problemas de Valor de

Contorno�, �Equações Integrais�, �Funções de Variáveis Complexas�, �Transformadas

de Laplace�e �Integral de Lebesgue�. Participou também de seminários sobre Análise

Funcional, Integral de Lebesgue, Topologia Geral e Tópicos de Análise, entre 1952 a

1954.

Entre 1955 e 1956 foi bolsista do CNPq, viajava semanalmente a São Paulo para

estudar Análise Funcional, Topologia Geral e Estruturas Uniformes, sob a orientação

do professor Chaim Samuel Hönig. Nesse período produziu sua tese de doutorado in-

titulada Estruturas Uniformes sobre P-Espaços e Aplicações da Teoria destes Espaços

em Topologia Geral [6].

Nelson Onuchic teve participação de destaque no 1o Colóquio Brasileiro de Mate-

mática, realizado em Poços de Caldas em 1957. Escreveu o capítulo sobre �Espaços de

Banach e de Hilbert� da publicação Análise Funcional, 1o Colóquio Brasileiro de Mate-

mática. A publicação tinha caráter didático e serviu de texto para o curso ministrado

por ele no referido colóquio.

Em 1957, Onuchic teve seu primeiro trabalho publicado no exterior, On two pro-

perties of P-spaces (Portugaliae Mathematica). Em 1958, foi convidado pelo professor

João Dias da Silveira para criar o Curso de Matemática da Faculdade de Filoso�a, Ciên-

cias e Letras de Rio Claro (hoje Unesp - Rio Claro). Aceitou o convite e transferiu-se

para Rio Claro, em 1959, onde foi regente da cadeira de Análise Matemática até 1966,



Trajetória Acadêmica 17

acompanhado de sua mulher que trabalhava como professora no Instituto de Educação

de São José dos Campos, desde 1955. O trabalho e o empenho do Professor Nelson

foram importantes para a implementação e o sucesso do curso de Matemática de Rio

Claro. Nelson Onuchic continuou participando de reuniões cientí�cas, ministrando cur-

sos e publicando trabalhos.

De novembro de 1959 a fevereiro de 1960 foi professor visitante do Instituto de

Matemática e Estatística da Universidade de Montevidéo, Uruguai, onde ministrou

um curso sobre o Método Topológico de Wazewski e teve contatos proveitosos com

os matemáticos Juan Jorge Schä�er e José Luís Massera. O contato com Massera

foi um marco importante na sua carreira. Nelson tinha interesse em estudar Equações

Diferenciais e, seu conhecimento de Topologia foi usado para resolver alguns problemas

propostos por Massera.

Publicou On the Nachbin uniform structure (Proceedings of the American Mathe-

matical Society) [7], em abril de 1960. Em julho de 1961 ministrou o curso de �Equações

Diferenciais Ordinárias: Estabilidade em Sistemas Lineares, Equivalência Assintótica

e Método Topológico de T. Wazewski�, no 3o Colóquio Brasileiro de Matemática, em

Fortaleza.

Outro marco importante para mudança de foco de pesquisa do Professor Nelson

da área de Topologia para a área de Equações Diferenciais foi sua ida para os Estados

Unidos. De outubro de 1961 a outubro de 1962 foi bolsista da �John Simon Guggen-

hein Memorial Foundation�, no �Research Institute for Advanced Studies� (RIAS),

Baltimore, USA, onde aprofundou estudos sobre equações diferenciais. Nessa época,

a �guerra fria� entre os Estados Unidos e a União Soviética exarcebava a disputa en-

tre os dois grandes blocos ideológicos. O lançamento do Sputinik pelos russos pre-

ocupou os americanos, inconformados com a hipótese de os russos saberem mais que

eles. Descobriram que os russos conheciam muito mais do que eles em algumas áreas

da Matemática, como por exemplo a das equações diferenciais. Então, os Estados

Unidos se propuseram a montar um grupo de pesquisadores americanos e estrangeiros

para juntos trabalharem sobre Equações Diferenciais. Esse grupo era composto por

40 matemáticos, dentre eles, Nelson Onuchic. Nesse período sua produção foi muito

intensa.

Depois de retornar dos Estados Unidos, os estudos de Nelson enfocavam cada vez

mais a área de equações diferenciais. O ano de 1963 foi repleto de publicações rele-

vantes. Em parceria com Philip Hartman, Nelson Onuchic escreveu o artigo On the

Asymptotic Integration of Ordinary Di�erential Equations (Paci�c Journal of Mathe-

matics, vol 13, 1963). O principal resultado apresentado nesse trabalho �cou conhecido



18 Aspectos Históricos sobre a Vida do Prof. Nelson

como Teorema de Hartman-Onuchic, uma de suas grandes contribuições à Matemática.

Também, no mesmo ano, proferiu a conferência �Integração Assintótica de Sistemas de

Equações Diferenciais Ordinárias�, registrada na Separata das Atas do 4o Colóquio

Brasileiro de Matemática.

Em 1964, junto com Jack K. Hale, escreveu On the Assymptotic Integration of Or-

dinary Di�erential (Contributions to Di�erential Equations, Interscience, 1964). Pro-

duziu também o artigo Nonlinear Pertubation of a Linear System of Ordinary Di�eren-

tial Equations, publicado no Michigan Mathematical Journal. E, com Ayrton Badelucci

publicou Nonlinear pertubation of a linear system of ordinary di�erential equations of

order m (Anais da Academia Brasileira de Ciências, vol.37, no2).

Paralelamente à grande atividade de pesquisas, Nelson Onuchic continuou minis-

trando cursos e abrindo uma linha de pesquisa em equações diferenciais no Brasil.

Ministrou no Instituto de Pesquisas Matemáticas da Universidade de São Paulo os

seguintes cursos de pós-graduação: Equações Diferenciais Ordinárias, Análise Fun-

cional e Aplicações na Teoria das Equações Diferenciais Ordinárias e Equações Diferen-

ciais Ordinárias e Funcionais. Esses cursos e os trabalhos apresentados nos Colóquios de

1961 e 1963 foram fundamentais para se iniciarem, no Brasil, os estudos de Equações

Diferenciais com Retardamento. Essa foi uma das grandes contribuições de Nelson

Onuchic para o desenvolvimento da Matemática no Brasil.

Com a colaboração dos professores Odelar Leite Linhares e Lourdes de la Rosa

Onuchic, em 1965 escreveu o trabalho intitulado Equações Diferenciais Funcionais

(Instituto de Pesquisas Matemáticas da USP e F.F.C.L. de Rio Claro). Nesse mesmo

ano foi professor visitante no Instituto de Física e de Matemática da Livre-Docência

junto a Cadeira de cálculo in�nitesimal da F.F.C.L. da USP com a tese Comporta-

mento Assintótico das Soluções de um Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias ;

participou do 5o Colóquio Brasileiro de Matemática; e, voltou aos Estados Unidos para

participar do International Symposium on Di�erential Equations and Dynamical Sys-

tem, como invited speaker.

Em 1966 foi professor visitante no instituto de matemática e física da Universidade

de Pernambuco, onde ministrou o curso �Teoria da Estabilidade das Equações Diferen-

ciais�. No �nal desse ano, Onuchic pediu desligamento da F.F.C.L. de Rio Claro,

transferindo-se para o departamento de matemática da Escola de Engenharia de São

Carlos (EESC-USP).

No início de 1967, Nelson Onuchic mudou-se com a família para São Carlos e a pro-

fessora Lourdes foi contratada para dar aulas no EESC-USP. A chegada do Prof. Nelson



Trajetória Acadêmica 19

em São Carlos foi decisiva para consolidar um forte departamento de matemática na

EESC e, principalmente, para a criação de um curso de matemática em São Carlos.

Durante esse mesmo ano, Onuchic publicou On the Asymptotic Behavior of the Func-

tional Di�erential Equation, e participou do 6o Colóquio Brasileiro de Matemática.

No ano seguinte o professor Nelson retornou aos Estados Unidos para participar da

reunião anual da �American Mathematical Society� realizada em San Francisco, USA;

também foi professor visitante da �Georgetown University� em Washington, USA; es-

creveu On the uniform stability of a perturbed linear functional di�erential equations ; e,

apresentou como tese para o concurso de Professor Titular da Escola de Engenharia de

São Carlos - USP o trabalho Estabilidade de Sistemas Perturbados e Comportamento

no In�nito de Sistemas de Equações Diferenciais com Retardamento no Tempo.

Em 1969, Nelson Onuchic escreveu o artigo Stability Properties of a Second Order

Di�erential Equation. Em 1970 publicou On a Criterion of Instability for Di�erential

Equations with Time Delay - Periodic Orbits Stability and Resonances que tinha como

objetivo generalizar um critério de instabilidade de J. Hale para sistemas autônomos de

equações com retardamento, usando propriedades de invariança e fazer uma aplicação

do mesmo.

No ano de 1971 publicou Invariance properties in the theory of ordinary di�erential

equations with applications to stability problems ; começou a apresentar os primeiros sin-

tomas do Mal de Parkinson; e com a colaboração de Hildebrando Munhoz Rodrigues,

Lourdes de la Rosa Onuchic e Plácido Zoega Táboas escreveu Equações Diferenciais

com Retardamento, pela Escola de Engenharia de São Carlos.

Em 1975, publicou Invariance properties in the theory of stability for ordinary di�e-

rential systems and applications em parceria com Lourdes Onuchic e Plácido Táboas.

Escreveu, juntamente com Lourdes, Systems with repulsive forces e, em parceria com

Plácido Táboas os artigos Qualitative properties of nonlinear ordinary di�erential equa-

tions e On the conditional asymptotic stability for a nonlinear ordinary di�erential

equations.

Fez as últimas publicações individuais nos Estados Unidos, em 1978, Invariance

and stability for ordinary di�erential equations e Invariance properties for ordinary

di�erential equations: stability and instability. O último texto didático publicado foi

Teoria da Estabilidade: Invariança, Funções de Lyapunov.

Sua última publicação foi em 1984, em parceria com Hermínio Cassago Junior, em

que escreveu Asymptotic behavior at in�nity between the solutions of ordinary di�er-



20 Aspectos Históricos sobre a Vida do Prof. Nelson

ential equations.

Nelson foi colaborador de várias publicações, com destaque em revistas estrangeiras;

participou de diversas entidades cientí�cas; ocupou diversos cargos importantes na USP

de São Carlos; e, teve participação de destaque em diversas bancas.

Nelson Onuchic orientou catorze trabalhos de Mestrado:

Antonio Fernandes Izé (ITA), Método Topológico de Wazewski e suas Aplicações

ao Estudo do Comportamento Assintótico de Sistemas de Equações Diferenciais Or-

dinárias, 1965.

Natalino Adelmo de Molfetta (ITA), Fórmula Integral de Alekseev e Aplicações

em Problemas de Estabilidade, 1968.

Hildebrando Munhoz Rodrigues (EESC-USP), Invariança para Sistemas não

Autônomos de Equações Diferenciais com Retardamento e Aplicações, 11.11.1970.

Plácido Zoéga Táboas (EESC-USP), Sobre o Comportamento Assintótico para

uma Classe de Equações Diferenciais com Retardamento no Tempo, 10.12.1970.

Lourdes de la Rosa Onuchic (EESC-USP), Algumas Aplicações de um Critério

de Comparação de Hale para Sistemas de Equações Diferenciais com Retardamento,

13.04.1971.

José Geraldo dos Reis (FMRP-USP), Relações entre Diferentes De�nições de

Estabilidade no Sentido de Lyapuno�, 29.03.1972.

Cerino Ewerton de Avellar (UFSCar), Propriedades de Estabilidade das Soluções

de Sistemas de Equações Diferenciais de Segunda Ordem, 19.03.1973.

José Gaspar Ruas Filho (FFCL-Araraquara), Propriedades Assintóticas de Equações

Diferenciais de Segunda Ordem Perturbado de Equações Autônomas, 04.10.1973.

Luiz Carlos Pavlu (UFSCar), Comportamento Assintótico de Soluções de Sis-

temas de Equações Diferenciais Ordinárias, 13.12.1974.

Pedro Walter de Pretto (Fundação Educacional de Bauru), Estabilidade e Com-

portamento Assintótico das Soluções de Sistemas de Equações Diferenciais, 27.12.1975.



Trajetória Acadêmica 21

Adalberto Spezamiglio (ICMSC-USP), Certas Propriedades Topológicas de uma

Classe de Sistemas Lineares Periódicos Bidimensionais e Equações Diferenciais Or-

dinárias, 26.04.1976.

Arnaldo Simal do Nascimento (ICMSC-USP),O Método topológico de Wazewski

e algumas aplicações ao estudo do comportamento assintótico de sistemas lineares

de equações diferenciais ordinárias com perturbações não necessariamente lineares,

25.11.1977.

Maurício Silveira (UFSCar), Estabilidade Eventual e uma Aplicação, 21.11.1977.

Sandra Maria Semensato de Godoy (ICMSC-USP), Aplicações em Estabili-

dade do Teorema do Ponto Fixo de Schauder-Tychono�, 21.05.1980.

O Prof. Nelson também orientou nove teses de Doutorado:

Ayrton Badelucci (Escola Politécnica da USP), Comportamento Assintótico de

alguns Sistemas Lineares Perturbados de Equações Diferenciais Ordinárias, 1966.

Odelar Leite Linhares (EESC-USP), Sobre a Racionalização de Dois Algoritmos

Numéricos, 29.11.1968.

Antonio Fernandes Izé (EESC-USP), Sobre o Comportamento nas vizinhanças

do In�nito de Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias, 1968.

Hildebrando Munhoz Rodrigues (ICMSC-USP), Equivalência Assintótica Re-

lativa, com Peso tµ, entre Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias, 11.10.1973.

Plácido Zoéga Táboas (ICMSC-USP), Admissibilidade e Aplicações em Equações

Diferenciais Ordinárias, 1975.

Adalberto Spezamiglio (ICMSC-USP), Aplicações da Teoria de Admissibilidade

ao Estudo de Equivalência Assintótica relativa em Equações Diferenciais Ordinárias,

11.10.1978.

Luiz Carlos Pavlu (UFSCar), Funções de Liapunov e Propriedades de Invariança

para Sistemas Não Autônomos: Estabilidade e Instabilidade, 13.09.1978.

Lourdes de la Rosa Onuchic (ICMSC-USP), Estimativa e Invariança de Con-

juntos ω− limite das soluções de um Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias:



22 Aspectos Históricos sobre a Vida do Prof. Nelson

Estabilidade e Comportamento no In�nito, 15.12.1978.

Hermínio Cassago Júnior (ICMSC-USP), Comportamento Assintótico no In-

�nito entre as Soluções de Dois Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias, 26.06.1981.

Onuchic aposentou-se como Professor Titular do Instituto de Ciências Matemáticas

de São Carlos - USP em 11 de novembro de 1982 e, em 29 de abril de 1983 recebeu o

título de Professor Emérito do Instituto de Ciências Matemáticas de São Carlos - USP.



3 Preliminares

Neste capítulo apresentamos alguns resultados necessários para a boa interpretação

dos próximos capítulos. Todas as de�nições e resultados descritos nas seções 3.1 e 3.2

são baseados nas referências [5], [4], [3] e [2].

3.1 Espaços Métricos

Apresentamos de�nições, propriedades e resultados referentes aos espaços métricos.

De�nição 3.1. Dado um espaço vetorial M , dizemos que d : M ×M −→ R é uma

métrica em M se satisfaz:

i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈M e d(x, y) = 0 ⇔ x = y .

ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈M.

iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈M.

De�nição 3.2. Um espaço vetorial M munido de uma métrica d , é chamado de es-

paço métrico e denotado por (M,d).

Exemplo 3.1. De�na, para todo x = (x1, ..., xn) e y = (y1, ..., yn) em Rn a função

d(x, y) = max
1≤i≤n

{|(xi − yi)|}, então (Rn, d) é um espaço métrico.

De�nição 3.3. Uma sequência em um Espaço Métrico (M,d) é uma função

ϕ : N −→M

que associa a cada n ∈ N, um elemento xn ∈M .

Notação: (xn)n∈N ou simplesmente (xn)

De�nição 3.4. Seja (xn) uma sequência em M . Dizemos que (xn) converge para

x ∈M quando

∀ ε > 0, ∃n0 ∈ N / n > n0 ⇒ d(xn, x) < ε .

De�nição 3.5. Uma sequência (xn)n∈N em M é chamada de sequência de Cauchy

quando

∀ ε > 0, ∃n0 ∈ N /m > n > n0 ⇒ d(xm, xn) < ε.

23



24 Preliminares

Observação 3.1. Toda sequência convergente é de Cauchy. Porém a recíproca não é

sempre válida.

De�nição 3.6. Dizemos que um espaço métrico M é completo se toda sequência de

Cauchy em M , converge em M .

Observação 3.2. Todo espaço de dimensão �nita sobre R ou C é completo. A prova

desse reultado pode ser encontrada em [4].

Exemplo 3.2. O espaço de todas as funções contínuas f : [−h, 0] → Rn, denotado

por C([−h, 0],Rn) , onde h > 0, é completo com a norma do supremo. A norma do

supremo é dada por ‖f‖ = sup
−r≤θ≤0

|f(θ)|.

De�nição 3.7. Seja X ⊂ Rn. Um ponto a ∈ Rn chama-se ponto de acumulação do

conjunto X quando toda bola aberta de centro a contém algum ponto de X, diferente

do ponto a, ou seja, para todo ε > 0, deve existir x ∈ X tal que 0 < |x− a| < ε.

Para veri�carmos se um subespaço de um espaço métrico completo é completo

podemos utilizar os próximos resultados.

Lema 3.1. Sejam X um subconjunto não vazio de um espaço métrico (M,d) e X o

fecho de X. Então x ∈ X se, e somente se, existe uma sequência (xn)n∈N ∈ X tal que

xn → x.

Demonstração. Suponha x ∈ X então x ∈ X ou x ∈ X −X.
No caso x ∈ X, considere a sequência (xn) = (x, x, ...) constante, logo xn → x,

quando n→∞.
Se x ∈ X − X, x é ponto de acumulação de X, logo para cada n = 1, 2, ... a bola

aberta de centro em x e raio 1/n, denotada por B(x, 1/n) contém pelo menos um

elemento xn ∈ X − {x} , assim xn → x, quando n→∞, já que 1/n→ 0.

Reciprocamente, se existe uma sequência (xn)n∈N ⊂ X tal que xn → x, mostremos

que x ∈ X.
Se x ∈ X ⊂ X então x ∈ X.
Se acaso x /∈ X então toda vizinhança de x contém pontos xn 6= x, logo x é ponto

de acumulação de X, ou seja, x ∈ X.

Teorema 3.1. Um subespaço X de um espaço métrico completo M é completo se, e

somente se, X é fechado.

Demonstração. Para provar que X é fechado basta mostrar que X = X. Considere

então x ∈ X, logo pelo lema anterior existe uma sequência (xn) em X tal que xn → x

e, como X é completo segue que x ∈ X. Portanto X é fechado.

Reciprocamente, suponha que X é um subespaço fechado de um espaço métrico

completo, mostremos que toda sequência de Cauchy em X é convergente em X.



Espaços Métricos 25

Seja então (xn) uma sequência de Cauchy em X, logo (xn) é uma sequência de

Cauchy em M. Como M é completo, existe x ∈M tal que xn → x quando n→∞.
Pelo lema anterior x ∈ X, como X é fechado X = X e, portanto x ∈ X. Logo X é

completo.

De�nição 3.8. Um espaço normado (E, ‖.‖) completo com respeito à métrica induzida

pela norma, isto é d(x, y) = ‖x− y‖ , ∀x , y ∈ E , é chamado Espaço de Banach.

De�nição 3.9. Seja (X, d) um espaço métrico. Dizemos que f : X −→ X é uma

contração se existir β ∈ R , 0 ≤ β < 1 tal que d(f(x), f(y)) ≤ βd(x, y), ∀x, y ∈ X.

Teorema 3.2. (Teorema do Ponto Fixo de Banach) Seja X um Espaço Métrico

Completo com a métrica d. Seja f : X −→ X uma contração. Então, existe um único

ponto �xo x∗ ∈ X de f , isto é, f(x∗) = x∗.

Demonstração. i) Unicidade. Suponha que existam dois pontos �xos x, y ∈ X de f ,

ou seja, f(x) = x e f(y) = y.

Assim d(x, y) = d(f(x), f(y)) ≤ β · d(x, y). Logo d(x, y) ≤ β · d(x, y) < d(x, y),

segue que d(x, y)− d(x, y) < 0, o que é uma contradição. Logo d(x, y) = 0 o que

implica x = y.

ii) Existência. Escolha um ponto qualquer x0 ∈ X e construa a seguinte sequência.

x1 = f(x0);x2 = f(x1);x3 = f(x2); ...;xn = f(xn−1); .... Ou seja, xn+1 = f(xn),

n ≥ 1.

Mostremos que tal sequência é de Cauchy. Para tal, usando a desigualdade trian-

gular temos

d(xn+k, xn) ≤ d(xn+k, xn+k−1) + d(xn+k−1, xn+k−2) + ...+ d(xn+1, xn) =

k∑
j=1

d(xn+j, xn+j−1) (3.1)

Usando a hipótese que f é contração, segue que

d(xn+j, xn+j−1) = d(f(xn+j−1), f(xn+j−2)) ≤
β · d(xn+j−1, xn+j−2) = β · d(f(xn+j−2), f(xn+j−3)) ≤

β2 · d(xn+j−2, xn+j−3) ≤ ... ≤ βn+j−1 · d(x1, x0).

Usando (3.1) temos

d(xn+k, xn) ≤
k−1∑
j=1

d(xn+j, xn+j−1) ≤
k−1∑
j=1

βn+j−1 · d(x1, x0).

O que implica

d(xn+k, xn) ≤ βn · d(x1, x0)
k−1∑
j=1

βj−1.



26 Preliminares

Como 0 ≤ β < 1 temos 0 ≤ d(xn+k, xn) ≤ βn

1− β
d(x1, x0) o que implica

d(xn+k, xn) −→ 0, quando n→∞.

Portanto, ∀ ε > 0, ∃N > 0 tal que n > N , k ∈ N implica d(xn+k, xn) < ε.

Como (xn)n∈N é de Cauchy e X é completo, existe x∗ ∈ X tal que xn −→ x∗ quando

n → ∞ . Mostremos que x∗ é o ponto �xo de f(x). De fato, xn+1 = f(xn), como f é

contração, logo é contínua, temos

lim
n→∞

xn+1 = lim
n→∞

f(xn) = f( lim
n→∞

xn). Assim, f(x∗) = x∗.

Para enunciarmos o Teorema do Ponto Fixo de Schauder precisamos da de�nição

de conjunto compacto num Espaço de Banach. Neste caso, consideramos um conjunto

compacto K como aquele que satisfaz a propriedade que toda sequência em K admite

subsequência convergente em K.

Vamos enunciar um outro resultado de ponto �xo muito importante, omitiremos a

prova, mas ela pode ser encontrada na referência [3].

Teorema 3.3. (Teorema do Ponto Fixo de Schauder) Sejam A um conjunto

convexo e compacto no Espaço de Banach C = C([−h, 0],Rn) e f : A→ A uma função

contínua, então f tem um ponto �xo em A.

De�nição 3.10. Sejam A e B espaços de Banach. Uma aplicação f : A → B é

dita completamente contínua quando para todo conjunto limitado K ⊂ A tem-se

{f(x);x ∈ K} compacto em B.

Temos a seguinte consequência do Teorema de Schauder.

Corolário 3.1. Se A é um conjunto fechado, limitado e convexo do Espaço de Banach

C = C([−h, 0],Rn) e f : A→ A é completamente contínua, então f tem um ponto �xo

em A.

De�nição 3.11. Sejam M e N espaços métricos. Um homeomor�smo de M sobre

N é uma bijeção contínua f : M → N cuja inversa f−1 : N →M também é contínua.

Neste caso diz-se que M e N são homeomorfos.

De�nição 3.12. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Dizemos que a aplicação

φ : V → K é um funcional linear quando para todos u, v ∈ V e a, b ∈ K, temos

φ(au+ bv) = aφ(u) + bφ(v).

O conjunto de todos os funcionais φ : V → K é chamado espaço dual de V .

Exemplo 3.3. Se V é um espaço vetorial com produto interno 〈, 〉 e se v0 ∈ V , então

φ(v) = 〈v, v0〉 é um funcional linear.



Equações Diferenciais Ordinárias 27

3.2 Equações Diferenciais Ordinárias

Nesta seção introduzimos o Teorema de Existência e Unicidade para equações dife-

renciais ordinárias e os conceitos de estabilidade.

Primeiramente consideremos algumas de�nições.

De�nição 3.13. Seja f : X ⊂ R → R uma função. Um número real c chama-

se um valor de aderência em f no ponto a quando existir uma sequência de pontos

xn ∈ X − {a} tal que lim
n→∞

xn = a e lim
n→∞

f(xn) = c.

De�nição 3.14. Seja f uma função a valores reais limitada numa vizinhança de um

ponto a, chamaremos limite superior de f no ponto a ao maior valor de aderência

de f no ponto a e o limite inferior de f no ponto a ao menor valor de aderência de

f no ponto a. Escreveremos limx→af(x) = L para exprimir que L é o limite superior

de f no ponto a e limx→af(x) = M para exprimir que M é o limite inferior de f no

ponto a.

Exemplo 3.4. Considere f : R − {0} → R dada por f(x) = sen

(
1

x

)
. Note que

lim
x→0

f(x) não existe, basta tomar a sequência xn =
1

nπ
2

, pois xn → 0 mas (f(xn)) é

oscilante, logo diverge. E o conjunto dos valores de aderência de f no ponto 0 é o

intervalo [−1, 1] , portanto limx→0f(x) = 1 e limx→0f(x) = −1 .

De�nição 3.15. Uma função f : Ω ⊂ Rn → R é de classe C1 se as derivadas parciais

de primeira ordem existem e são contínuas. Neste caso escrevemos f ∈ C1(Ω).

De�nição 3.16. Sejam t ∈ R, x ∈ Rn e D um conjunto aberto de Rn+1 e f : D → Rn

contínua. Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma relação da forma

ẋ(t) = f(t, x(t)) , ou simplesmente , ẋ = f(t, x) . (3.2)

Dizemos que x(t) é uma solução de (3.2) num intervalo I ⊂ R se x é uma função

diferenciável em I, (t, x(t)) ∈ D , ∀ t ∈ I e x satisfaz (3.2) no intervalo I .

Dado (t0, x0) ∈ D, resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) para a equação

(3.2) consiste em encontrar um intervalo I contendo t0 e uma solução x(t) denotada

por x(t) = x(t; t0, x0) de (3.2) satisfazendo x(t0) = x0 . Escrevemos o problema de valor

inicial na forma {
ẋ = f(t, x)

x(t0) = x0

(3.3)

Dizemos que uma solução de (3.3) passa por (t0, x0) .

O resultado abaixo com respeito à existência e unicidade de soluções para equações

diferenciais ordinárias pode ser encontrado em [3].



28 Preliminares

Teorema 3.4. (Existência) Se f é contínua em D, então para cada (t0, x0) ∈ D existe

pelo menos uma solução de (3.2) passando por (t0, x0) .

Para garantir a unicidade, precisamos da de�nição de função localmente lipschitziana.

De�nição 3.17. Seja f : D ⊂ R×Rn → Rn uma função, dizemos que f é localmente

lipschitziana na segunda variável quando para todo (t, x) ∈ D, existe uma vizinhança

X ⊂ Rn tal que {t}×X ⊂ D e existe λ ≥ 0 tal que ‖f(t, y)− f(t, z)‖ ≤ λ‖y− z‖ para
todo y, z ∈ X.

Teorema 3.5. (Unicidade) Seja f : D ⊂ R× Rn → Rn uma função contínua que a

cada (t, x) ∈ D associa f(t, x) ∈ Rn e localmente lipschitziana com respeito à variável

x, então para cada (t0, x0) ∈ D existe uma única solução x(t; t0, x0) de (3.2) passando

por (t0, x0) .

Exemplo 3.5. Considere {
ẋ = 1 + x2

x(0) = 0.
(3.4)

A função f(t, x) = 1+x2 satisfaz as hipóteses do teorema anterior e portanto existe

uma única solução deste PVI, a saber x(t) = tg t com t ∈
[
0,
π

2

)
.

Para introduzirmos a de�nição abaixo com respeito à estabilidade vamos supor que

f(t, 0) = 0 , ∀ t ∈ R+.

Note que para qualquer solução x̃(t) de ẋ = f(t, x) , pela mudança de variáveis

x = y + x̃(t), e fazendo g(t, y) = f(t, y + x̃(t)) − f(t, x̃(t)), obtemos que a equação

diferencial ordinária associada ẏ = g(t, y) tem y = 0 como solução, e esta corresponde

à solução x(t) = x̃(t).

Logo, sem perda de generalidade, pode-se fazer as de�nições de estabilidade apenas

para a solução nula de uma EDO (3.2).

De�nição 3.18. Seja f : [0,∞)×Rn → Rn satisfazendo f(t, 0) = 0 para todo t ∈ [0,∞).

Então

i) a solução x = 0 de (3.2) é dita estável se ∀ ε > 0 , ∀ t0 ≥ 0 , ∃ δ = δ(ε, t0) tal

que |x0| < δ ⇒ |x(t; t0, x0)| < ε , para t ∈ [t0,∞) .

ii) a solução x = 0 de (3.2) é dita uniformemente estável se for estável e se δ

puder ser escolhido independentemente de t0.

iii) a solução x = 0 de (3.2) é dita assintoticamente estável se for estável e

existir b = b(t0) ∈ R tal que |x0| < b⇒ |x(t; t0, x0)| → 0 quando t→∞ .

iv) a solução x = 0 de (3.2) é dita uniformemente assintoticamente estável

se ela for uniformemente estável, se b na de�nição de assintoticamente estável puder

ser escolhido independentemente de t0 e se para todo η > 0 , ∃T (η) > 0 tal que

|x0| < b⇒ |x(t; t0, x0)| < η



Equações Diferenciais Ordinárias 29

se t ≥ t0 + T (η) .

v) a solução x = 0 de (3.2) é dita instável se ela não for estável.

Para estudar a estabilidade de um sistema não linear podemos utilizar uma técnica

descoberta por Lyapuno� no �m do século XIX. Esta técnica é muito utilizada até nos

dias atuais, também conhecida como método direto pois pode ser aplicada diretamente

à equação diferencial sem a necessidade de conhecer as soluções e permite efetuar a

análise de estabilidade de um sistema através de uma função escalar do estado desig-

nada de função de Lyapuno�. Essa função pode ser encarada como uma extensão

matemática do conceito de energia do sistema. Um sistema, quer que seja mecânico,

elétrico ou de outro tipo tem dissipação ou ampli�cação de energia. Sempre que a

dissipação for maior que a ampli�cação, a energia do sistema diminuirá e as variáveis

do sistema (amplitude de oscilação, velocidade, etc) terão tendência de convergir ao

equilíbrio.

A ampli�cação de energia só existe em sistemas com componentes ativos em que

existe uma transformação de energia contínua para um tipo de energia alternado ou

oscilante.

Por exemplo o sistema constituído por uma massa sujeita a ação de uma mola não

linear, com amortecimento proporcional ao quadrado da velocidade:

mẍ+ b|ẋ|ẋ+ k1x+ k2x
3 = 0 .

Note que k1x+ k2x
3 é a força de restituição da mola, a energia potencial associada

a esta força, quando a mola se encontra na posição x é dada por

Vp(x) =

∫ x

0

(k1t+ k2t
3)dt =

1

2
k1x

2 +
1

4
k2x

4

e a energia cinética do sistema é

Vc(x) =
1

2
mẋ2

então a energia total do sistema será

V (x) =
1

2
k1x

2 +
1

4
k2x

4 +
1

2
mẋ2 .

Observando V (x), conclui-se que

V (x) é positiva quando x 6= 0 ou ẋ 6= 0.

V (x) é nula quando x = 0 e ẋ = 0 .

Calcula-se a evolução de V (x) com o tempo e tem-se

V̇ (x) = k1xẋ+ k2x
3ẋ+mẋẍ = (k1x+ k2x

3 +mẍ)ẋ .

Como (k1x+ k2x
3 +mẍ) = −b|ẋ|ẋ temos V̇ (x) = −b|ẋ|ẋ2 = −b|ẋ|3 ⇒ V̇ (x) < 0 , isto

é, a energia do sistema sempre vai diminuindo.



30 Preliminares

De�nição 3.19. Consideremos um sistema autônomo

x′ = f(x), f : Ω→ Rn (3.5)

de classe C1, Ω ⊂ Rn aberto.

Seja V : Ω→ R uma função diferenciável satisfazendo, para cada x ∈ Ω,

V̇ (x) =
∂V

∂x

dx

dt
= ∇V · f(x),

ou seja, V̇ (x) =
d

dt
V (ϕx(t))

∣∣∣∣
t=0

.

Seja x0 um ponto de equilíbrio de (3.5). Uma função de Lyapuno� para x0 é

uma função V : U → R diferenciável de�nida em um aberto U 3 x0, satisfazendo

às seguintes condições:

i) V (x0) = 0 e V (x) > 0, ∀x 6= x0;

ii) V̇ ≤ 0 em Ω;

A função de Lyapuno� V diz-se estrita quando

iii) V̇ < 0 em Ω− {x0}.

Para as equações diferenciais ordinárias autônomas, do tipo ẋ = f(x), tem-se o

seguinte resultado sobre estabilidade.

Teorema 3.6. Seja Ω ⊂ Rn um aberto contendo x0. Suponha que f : Ω→ R é de classe

C1 e que f(x0) = 0. Suponha também que exista uma função V ∈ C1(Ω) satisfazendo

V (x0) = 0 e V (x0) > 0 se x 6= x0. Então:

a) se V̇ (x) ≤ 0∀ x ∈ Ω a solução x = x0 é estável;

b) se V̇ (x) < 0 ∀ x ∈ Ω− {x0} então x0 é assintoticamente estável;

c) se V̇ (x) > 0∀ x ∈ Ω− {x0} então x0 é instável.

A demonstração desse resultado pode ser encontrada em [9].

Aplicando esse resultado para o sistema massa-mola anterior, que pode ser escrito

na forma:  ẋ = v

v̇ = − b

m
|v|v − k1

m
x− k2

m
x3

Observe que esse sistema é da forma Ẋ = f(X), onde X = (x, v), Ẋ = (ẋ, v̇) e a

f(X) =

(
v,− b

m
|v|v − k1

m
x− k2

m
x3

)
.



Equações Diferenciais Ordinárias 31

Neste caso

V (x, v) =
1

2
k1x

2 +
1

4
k2x

4 +
1

2
mv2

é o Funcional de Lyapuno� que satisfaz

V̇ = (k1x+ k2x
3,mv)

(
v,− b

m
|v|v − k1

m
x− k2

m
x3

)
= −b|v|v2 ≤ 0,

se (x, v) 6= (0, 0).

Portanto o equilíbrio (0, 0) é estável.





4 Resultados Básicos de EDR

Diferentemente das equações diferenciais ordinárias, veremos que a determinação

das soluções das equações diferenciais com retardamento, depende não apenas do conhe-

cimento da mesma num instante t0, mas sim do conhecimento da solução em um certo

intervalo anterior a t0, ou seja, para determinar a solução de uma EDR é necessário

conhecermos uma dada função inicial.

4.1 De�nição

Sejam h,H com 0 ≤ h < ∞, 0 < H ≤ ∞, CH = {ϕ ∈ C ; ‖ϕ‖ < H}, onde
C = C([−h, 0],Rn) é o Espaço de Banach das aplicações contínuas de [−h, 0] no Rn

com a norma ‖ϕ‖ = sup{|ϕ(θ)|, −h ≤ θ ≤ 0}, | · | denotando uma norma do Rn. No

caso H =∞ temos CH = C∞ = C.

De�nição 4.1. Sejam A, 0 < A ≤ ∞, e x(t) contínua em [t0 − h, t0 +A) com valores

em Rn. Seja t tal que t0 ≤ t < t0 +A. De�nimos xt como o elemento de C dado por

xt(θ) = x(t+ θ) para −h ≤ θ ≤ 0.

Para estabelecermos um resultado de existência e unicidade precisamos do seguinte

lema.

Lema 4.1. Seja x ∈ C([t0−h, t0+A],Rn) . A aplicação F : [t0, t0+A]→ C([−h, 0],Rn)

com F (t) = xt é uma função contínua.

Demonstração. Como a solução x é uma função contínua em [t0 − h, t0 + A], que é

compacto, segue que x é uniformemente contínua, isto é, ∀ε > 0,∃ δ > 0 tal que para

t, s satisfazendo |t− s| < δ tem-se |x(t)− x(s)| < ε .

Para t , s ∈ [t0, t0 + A] tal que |t− s| < δ, (pensemos em s �xado), temos

|x(t+ θ)− x(s+ θ)| < ε , ∀ θ ∈ [−h, 0] . (4.1)

Como t0 ≤ t ≤ t0 + A então t0 + θ ≤ t+ θ ≤ t0 + A+ θ com θ ∈ [−h, 0], logo

t0 − h ≤ t0 + θ ≤ t+ θ ≤ t0 + A+ θ ≤ t0 + A .

Consequentemente de (4.1) temos

33



34 Resultados Básicos de EDR

sup
θ∈ [−h,0]

{|xt(θ)− xs(θ)|} = ‖xt − xs‖ ≤ ε . (4.2)

Portanto, ∀ ε > 0,∃ δ > 0 tal que |t − s| < δ ⇒ ‖F (t) − F (s)‖ = ‖xt − xs‖ ≤ ε.

Portanto, F é contínua em s, e como s é arbitrário, F é contínua em [t0, t0 + A].

De�nição 4.2. Seja f : [0,∞)× CH → Rn uma aplicação, a equação

ẋ(t) = f(t, xt) (4.3)

é chamada de Equação Diferencial Funcional com Retardamento e denotada

por EDR.

De�nição 4.3. Uma função x(t), contínua em [t0 − h, t0 + A), 0 < A ≤ ∞, t0 ≥ 0, é

dita uma solução de (4.3) em [t0, t0 +A) se existir a derivada de x(t) em [t0, t0 +A)

e satis�zer a equação (4.3) para t ∈ [t0, t0 + A) .

Observação 4.1. Não é exigido que x(t), de�nida em [t0−h, t0 +A), seja diferenciável

em t0. No instante t0 consideramos apenas a derivada lateral à direita. Notemos que

quando h = 0, uma equação diferencial com retardamento se reduz a uma equação

diferencial ordinária.

Exemplo 4.1. Consideremos a equação diferencial ordinária ẋ = x(t) , então a família

de soluções dessa equação é dada por x(t) = cet , onde c ∈ R e basta �xarmos um único

valor x0 ∈ R , por exemplo x(0) = x0 , para obtermos a única solução do problema de

valor inicial, a saber, x(t) = x0e
t .

Agora, consideremos equação diferencial com retardamento

ẋ(t) = x(t− 1)

e a condição inicial x0 = ϕ0 ∈ C([−1, 0],R) no instante t = 0 . Neste caso o retardo é

h = 1 . Note que f(t, xt) = f(xt) = xt(−1) , ou seja, f : C → R com f(ϕ) = ϕ(−1).

Pensemos em como determinar uma solução do problema acima para t ≥ 0, conhe-

cendo a função inicial ϕ0 . Para isto consideremos intervalos de tempo de comprimento

igual ao retardo para construirmos a solução em cada intervalo, procedemos da seguinte

forma:

Se t ∈ [0, 1] integramos a equação diferencial acima e obtemos

x(t) = x(0) +

∫ t

0

x(s− 1)ds = ϕ0(0) +

∫ t

0

ϕ0(s− 1)ds .

Portanto, sendo ϕ0 conhecida é possível obter x(t) com t ∈ [0, 1] .

Agora de�na ϕ1(t) := ϕ0(0) +

∫ t

0

ϕ0(s− 1)ds , t ∈ [0, 1] . Para t ∈ [1, 2] temos

x(t) = x(1) +

∫ t

1

x(s− 1)ds = ϕ1(1) +

∫ t

1

ϕ1(s− 1)ds .



Existência e Unicidade de Soluções 35

Ou seja, a solução do problema é conhecida no intervalo [1, 2] , repetindo o raciocínio

para t ∈ [2, 3] e assim sucessivamente, obtemos a solução deste problema no intervalo

[−1,∞) .

Fica claro nesse problema que precisamos ter como dado inicial o conhecimento da

solução no intervalo [−1, 0], não bastando conhecer o seu valor no instante t0 = 0, como

no caso da equação diferencial ordinária.

4.2 Existência e Unicidade de Soluções

Nesta seção vamos apresentar condições que garantam a existência de solução da

equação diferencial com retardamento (4.3), onde

f : [0,∞)× CH → Rn

com 0 < H ≤ ∞ e com condição inicial xt0 = ψ ; t0 ≥ 0 e ψ ∈ CH .

De�nição 4.4. A função x(t), contínua em [t0 − h, t0 + A), A > 0, diferenciável em

[t0, t0 + A), é chamada uma solução de (4.3) com função inicial ψ em t0 se:

i) xt ∈ CH para t0 ≤ t < t0 + A

ii) xt0 = ψ

iii) ẋ(t) = f(t, xt) para t0 ≤ t < t0 + A .

De�nição 4.5. Dizemos que f(t, ϕ) satisfaz a condição de Lipschitz ou é lipschitziana

relativamente a ϕ em [0, τ ]× CH1 , 0 < H1 < H, se existir L = L(τ,H1) tal que

|f(t, ϕ2)− f(t, ϕ1)| ≤ L‖ϕ2 − ϕ1‖ , para 0 ≤ t ≤ τ e ϕ1, ϕ2 em CH1 .

De�nição 4.6. Dizemos que f(t, ϕ) é localmente lipschitziana relativamente a ϕ

em [0,∞)×CH se f(t, ϕ) for lipschitziana relativamente a ϕ em [0, τ ]×CH1, para todo

τ , 0 < τ <∞ e para todo H1, 0 < H1 < H.

Lema 4.2. O conjunto dado por

F = {x ∈ C([t0 − h, t0 + A],Rn), ‖x‖ ≤ H1 e xt0 = x(t0 + θ) = ψ(θ) ; θ ∈ [−h, 0]}

é um espaço métrico completo.

Demonstração. É fácil ver que F é um espaço vetorial. Mostremos que F é um espaço

métrico, para isto de�na a seguinte função em F × F :

d(x, y) = ‖x − y‖ = sup
t∈ [t0−h,t0+A]

|x(t) − y(t)| = max
t∈ [t0−h,t0+A]

|x(t) − y(t)|.

Mostremos que d(x, y) é métrica. De fato,

i) Dados x, y ∈ F , provemos que ‖x− y‖ ≥ 0 e ‖x− y‖ = 0⇔ x = y.



36 Resultados Básicos de EDR

A a�rmação ‖x− y‖ ≥ 0 é válida por de�nição. E mais:

‖x− y‖ = max
t∈ [t0−h,t0+A]

{|x(t)− y(t)|} = 0⇔

|x(t)− y(t)| = 0⇔ x(t) = y(t), ∀ t ∈ [t0 − h, t0 + A].

ii) Dados x, y ∈ F , então

d(x, y) = max
t∈ [t0−h,t0+A]

{|x(t) − y(t)|} = max
t∈ [t0−h,t0+A]

{|y(t) − x(t)|} = d(y, x).

iii) Dados x, y, z ∈ F mostremos que d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

d(x, z) = max
t∈ [t0−h,t0+A]

{|x(t)− z(t)|} = max
t∈ [t0−h,t0+A]

{|x(t)− y(t) + y(t)− z(t)|} ≤

max
t∈ [t0−h,t0+A]

{|x(t)− y(t)|}+ max
t∈ [t0−h,t0+A]

{|y(t)− z(t)|} = d(x, y) + d(y, z).

Portanto F é um espaço métrico.

Provemos agora que F ⊂ C([t0 − h, t0 + A],Rn) é completo. Pelo Teorema 3.1

basta veri�car que F é fechado, pois C([t0−h, t0 +A],Rn) é Banach. Seja (xn)n∈N uma

sequência em F , isto é,

(xn)n∈N ∈ C([t0 − h, t0 + A],Rn); ‖xn‖ ≤ H1

e xn(t0 + θ) = ψ(θ); θ ∈ [−h, 0] e suponha que xn → f ∈ C([t0 − h, t0 + A],Rn)

(uniformemente). Mostremos que f ∈ F .
A�rmamos que ‖f‖ ≤ H1 . De fato, como (xn) é de�nida em F , ‖xn‖ ≤ H1, ∀n ∈ N.

Considere an = ‖xn‖ ∈ R e an −→ ‖f‖.

Vamos supor, por contradição, que ‖f‖ > H1 . Então para ε =
‖f‖ −H1

2
> 0 ,

∃ n0 ∈ N tal que |an − ‖f‖| < ε, ∀n ≥ n0 e assim,

|an − ‖f‖| <
‖f‖ −H1

2
⇔ −‖f‖+H1

2
≤ an − ‖f‖ ≤

‖f‖ −H1

2
⇔

‖f‖+H1

2
≤ an ≤

3‖f‖ −H1

2
.

Então,

‖xn‖ = an ≥
‖f‖+H1

2
=
‖f‖

2
+
H1

2
>
H1

2
+
H1

2
= H1, ∀n ≥ n0.

O que é uma contradição. Portanto, ‖f‖ ≤ H1 .

Mostremos que f(t0 + θ) = ψ(θ) , ∀ θ ∈ [−h, 0].

Sabemos que xn ∈ F , xn −→ f uniformemente, e que xn(t0+θ) = ψ(θ), θ ∈ [−h, 0].

Então lim
n→∞

xn(t0 + θ) = f(t0 + θ) . Portanto, f(t0 + θ) = ψ(θ) , ∀ θ ∈ [−h, 0]. Logo F

é fechado e portanto completo.



Existência e Unicidade de Soluções 37

Teorema 4.1. Seja f(t, ϕ) contínua e localmente Lipschitziana relativamente a ϕ em

[0,∞)× CH . Então, para qualquer t0 ≥ 0, ψ ∈ CH , existem A > 0 e uma função x(t)

de�nida em [t0 − h, t0 +A), que é solução de (4.3) com função inicial ψ em t0. Ainda

mais, esta solução é única.

Demonstração. Considerando o espaço F como no Lema 4.2 e

T : F −→ C([t0 − h, t0 + A],Rn)

que a cada x ∈ F associa uma função Tx onde Tx : [t0 − h, t0 + A] −→ Rn dada por: Tx(t0 + θ) = ψ(θ) , θ ∈ [−h, 0]

Tx(t) = ψ(0) +

∫ t

t0

f(s, xs)ds; t ∈ [t0, t0 + A].
(4.4)

Provemos que T tem ponto �xo, para isso utilizaremos o Teorema 3.2.

Primeiro vamos mostrar que T , para A conveniente, é uma aplicação de F em F ,

ou seja, ‖Tx‖ ≤ H1, ∀ x ∈ F .

Para um número A > 0 qualquer e t ∈ [t0, t0 + A] , temos

|Tx(t)| =
∣∣∣∣ψ(0) +

∫ t

t0

f(s, xs)ds

∣∣∣∣ ≤ |ψ(0)|+
∫ t

t0

|f(s, xs)|ds ≤

|ψ(0)|+
∫ t0+A

t0

|f(s, xs)|ds ≤ ‖ψ‖+

∫ t0+A

t0

|f(s, xs)|ds.

Fazendo a restrição A ≤ 1 e observando que ‖xs‖ ≤ H1 com t0 ≤ s ≤ t0 + A , segue

que para s ∈ [t0, t0 + A],

|f(s, xs)| = |f(s, xs) + f(s, 0)− f(s, 0)| ≤ |f(s, xs)− f(s, 0)|+ |f(s, 0)| ≤
L ‖xs − 0‖+ k ≤ LH1 + k,

onde k = sup
τ ∈ [t0,t0+A]

|f(τ, 0)| e L = L(t0 + 1, H1).

Então |Tx(t)| ≤ ‖ψ‖+ (LH1 + k)A, para t ∈ [t0, t0 + A] .

Por outro lado, como ‖ψ‖ < H1 , por hipótese, resulta que existe H2 tal que

‖ψ‖ < H2 < H1. Logo |(Tx)(t)| < H2 + A [H1 L + k] < H1, para A conveniente.

Consideremos A < min

{
1,
H1 −H2

H1 L + k

}
. Assim ‖Tx‖ ≤ H1.

Agora, para t ∈ [t0 − h, t0], Tx = ψ e ‖ψ‖ < H1.

Portanto, T é uma aplicação de F em F .

Provemos que T é uma contração, ou seja, existe β ∈ R , 0 ≤ β < 1 tal que

‖Tx− Ty‖ ≤ β‖x− y‖ , ∀x, y ∈ F .

Escolhemos agora A não só com a indicação anterior, mas também com a exigência

A <
1

L
.



38 Resultados Básicos de EDR

Dados x, y ∈ F , por de�nição (Tx)(t0 + θ) = ψ(θ) e (Ty)(t0 + θ) = ψ(θ), com

−h ≤ θ ≤ 0; (Tx)(t) = ψ(0) +

∫ t

t0

f(s, xs)ds e (Ty)(t) = ψ(0) +

∫ t

t0

f(s, ys)ds para

t0 ≤ t ≤ t0 + A. Então |Tx(t)− Ty(t)| = 0 para t0− h ≤ t ≤ t0, e para t ∈ [t0, t0 +A]

temos

|Tx(t)− Ty(t)| =
∣∣∣∣ψ(0) +

∫ t

t0

f(s, xs)ds− (ψ(0) +

∫ t

t0

f(s, ys)ds)

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ψ(0) +

∫ t

t0

f(s, xs)ds− ψ(0)−
∫ t

t0

f(s, ys)ds

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ t

t0

f(s, xs)− f(s, ys)ds

∣∣∣∣ ≤∫ t

t0

|f(s, xs)− f(s, ys)|ds ≤
∫ t

t0

L · ‖xs − ys‖ds.

Como ‖xs − ys‖ ≤ ‖x− y‖ para s ∈ [t0, t0 + A], pois −h ≤ θ ≤ 0 o que implica

t0 − h ≤ −h+ s ≤ θ + s ≤ s ≤ t0 + A. Assim,

‖xs − ys‖ = sup
θ∈[−h,0]

|xs(θ)− ys(θ)| =

sup
θ∈ [−h,0]

|x(s+ θ)− y(s+ θ)| ≤ sup
t∈ [t0−h,t0+A]

|x(t)− y(t)| = ‖x− y‖.

Logo |(Tx)(t)− (Ty)(t)| ≤ AL‖x− y‖ para t0 − h ≤ t ≤ t0 + A, com

A < min

{
1,

1

L
,
H2 −H1

H1L+ k

}
.

Portanto T é uma contração, pois AL < 1.

Note que para provar a existência de solução basta veri�car que T : F → F de�nido

em (4.4) tem ponto �xo, pois esse ponto �xo corresponderá a solução do problema de

valor inicial {
ẋ = f(t, xt)

x(t0) = ψ,

já que, se integrarmos a equação diferencial de t0 a t, obtemos

x(t) = x(t0) +

∫ t

t0

f(s, xs)ds = ψ(0) +

∫ t

t0

f(s, xs)ds = Tx(t), para t ∈ [t0, t0 + A].

Pelo Teorema 3.2 do Ponto Fixo de Banach existe uma e só uma função x ∈ F tal

que Tx = x. Em outras palavras, existe uma só função x ∈ F tal que x(t0 +θ) = ψ(θ),

−h ≤ θ ≤ 0 e x(t) = ψ(0) +

∫ t

t0

f(s, xs)ds para t0 ≤ t ≤ t0 + A.

Observação 4.2. No caso em que supomos f(t, ϕ) apenas contínua podemos provar

a existência, mas não a unicidade de uma solução da equação (4.3) com uma condição

inicial dada, em um intervalo [t0−h, t0 +A), com A su�cientemente pequeno. A prova,

neste caso, pode ser feita como uma aplicação natural do Teorema do Ponto Fixo de

Schauder.



Existência e Unicidade de Soluções 39

Exemplo 4.2. Considere o PVI


ẋ(t) = x

(
t− 3π

2

)
x0 = ψ = sen θ, θ ∈

[
−3π

2
, 0

]
.

Vamos construir de forma recursiva, a sua única solução.

(i) Para t ∈
[
0,

3π

2

]
,

x1(t) = x(0) +

∫ t

0

x

(
s− 3π

2

)
ds = − cos

(
t− 3π

2

)
= sen t.

(ii) Para t ∈
[

3π

2
, 3π

]
,

x2(t) = x1

(
3π

2

)
+

∫ t

3π
2

x

(
s− 3π

2

)
ds = −1 +

∫ t

3π
2

sen

(
s− 3π

2

)
ds =

− 1− cos

(
s− 3π

2

)∣∣∣∣t
3π
2

= − cos

(
t− 3π

2

)
= sen t.

(iii) E assim sucessivamente, temos

x(t) =

 sen t, t ∈
[
−3π

2
, 0

]
sen t, t ∈ [0,∞).

Se considerarmos outro PVI dado por


ẋ(t) = x

(
t− 3π

2

)
x0 = ψ = cos θ, θ ∈

[
−3π

2
, 0

]
.

Analogamente ao caso anterior a solução é obtida de forma recursiva e é dada por:

x(t) =


cos t, t ∈

[
−3π

2
, 0

]
cos t, t ∈ [0,∞).

Este exemplo ilustra um dos importantes contrastes entre EDOs e EDRs, pois para

equações ordinárias nas condições do Teorema de Existência e Unicidade, as soluções

de uma mesma equação, com condições iniciais diferentes nunca se interceptam, dife-

rentemente do que constatamos no exemplo acima, em que as funções sen t e cos t se

interceptam em in�nitos pontos.



40 Resultados Básicos de EDR

4.3 Extensão de Soluções

Daremos algumas propriedades relativamente ao problema de extensão de soluções

da equação (4.3). Indicamos por x(t; t0, ϕ) a solução da equação diferencial com retar-

damento (4.3) cuja função inicial em t0 é ϕ. Consideremos agora as seguintes hipóteses:

i)f(t, xt) é uma função contínua que leva conjuntos de [0, τ ] × CH1 em conjuntos

limitados do Rn, para ∀ τ,H1, 0 < τ <∞, 0 < H1 < H.

ii) Se x(t) e y(t) são duas soluções de�nidas em algum intervalo comum, digamos o

intervalo [t0−h, t0+δ), 0 < δ ≤ ∞, com xt0 = yt0 , então x(t) = y(t), ∀ t ∈ [t0−h, t0+δ).

Usamos xt(t0, ϕ) para indicar o elemento de C dado por xt(t0, ϕ)(θ) = x(t0+θ, t0, ϕ).

Observação 4.3. Poderíamos substituir a hipótese i) por:

i') a função f(t, xt) é completamente contínua.

As propriedades 1, 2 e 3 descritas abaixo são verdadeiras relativamente ao problema

de extensão de soluções de (4.3), supostas satisfeitas as condições (i) e (ii).

Propriedade 1: Se x(t) de�nida em [t0 − h, t0 + δ) com 0 < δ <∞, é solução de

(4.3) e se, neste intervalo, |x(t)| ≤ H̃ < H, então x(t) pode ser estendida a [t0−h, t0+δ].

Demonstração. Mostremos que podemos estender a solução de (4.3) em [t0−h, t0 + δ].

A demonstração segue do Critério de Cauchy, considerando

x(t) = x(t0) +

∫ t

t0

f(s, xs)ds

e usando a hipótese i).

Seja (tn)n∈N uma sequência arbitrária, onde tn ∈ [t0, t0 + δ), tal que tn → t0 + δ.

Mostraremos que existe lim
n→∞

x(tn) para de�nirmos x(t0 + δ) como sendo o valor do

limite.

Como (x(tn)) é uma sequência em Rn, basta provar que é de Cauchy, ou seja,

∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N tal que se m,n > n0 ⇒ |x(tn)− x(tm)| < ε.

Note que

|x(tn)− x(tm)| =
∣∣∣∣x(t0) +

∫ tn

t0

f(s, xs)ds− x(t0)−
∫ tm

t0

f(s, xs)ds

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫ tn

tm

f(s, xs)ds

∣∣∣∣ ≤ ∫ tn

tm

|f(s, xs)|ds.

Usando a hipótese (i), como [tm, tn] ⊂ [0, τ ], e ||xs|| ≤ H̃ < H, segue que

F = {f(s, xs), s ∈ [tm, tn], xs ∈ CH1}

é um conjunto limitado do Rn.



Extensão de Soluções 41

Logo existe M > 0, tal que |f(s, xs)| ≤M, ∀ s ∈ [tm, tn].

Assim

|x(tn)− x(tm)| ≤
∫ tm

tn

Mds = M |tn − tm|. (4.5)

Como tn ∈ R, e (tn) é convergente, segue que (tn) é de Cauchy. Logo existe N ∈ N
tal que ∀ m,n > N, tem-se |tm − tn| <

ε

M
. Dado ε > 0 , basta considerar n0 = N .

Utilizando essa última desigualdade em (4.5), temos

|x(tn)− x(tm)| ≤M |tn − tm| < M
ε

M
= ε .

Segue que (x(tn))n∈ N é de Cauchy, o que implica em ser convergente. Logo existe

x̄ tal que lim
n→∞

x(tn) = x̄. De�na x(t0 + δ) = x̄.

Note que x(t) é solução do PVI para t ∈ [t0−h, t0+δ) , por hipótese. Para t = t0+δ,

note que x(t) é contínua em t0 + δ, pois x(t0 + δ) = x̄ = lim
n→∞

x(tn).

x(tn) = x(t0) +

∫ tn

t0

f(s, xs)ds, para t ∈ [t0 − h, t0 + δ).

Mostremos agora
∫ tm

t0

f(s, xs)ds→
∫ t0+δ

t0

f(s, xs)ds, quando n→∞.

Com efeito F (t) =

∫ t

t0

f(s, xs)ds , com t ∈ [t0, t0 + δ] é contínua em t e mais, é

derivável em t. Portanto,

x(tn) = x0 +

∫ tn

t0

f(s, xs)ds→ x0 +

∫ t0+δ

t0

f(s, xs)ds = x̄ = x(t0 + δ)

o que implica x(t0 + δ) = x(t0) +

∫ t0+δ

t0

f(s, xs)ds .

Assim, x(t) = x(t0) +

∫ t

t0

f(s, xs)ds, ∀ t ∈ [t0, t0 + δ].

Observação 4.4. Necessitamos da hipótese i) para aplicar o Critério de Cauchy,

porque num espaço de Banach de dimensão in�nita, como é o caso de C([−h, 0],Rn)

com h > 0, uma bola fechada não é um conjunto compacto e portanto, não podemos

garantir que uma função contínua, seja limitada em uma bola fechada.

Propriedade 2: Suponhamos que x(t) seja solução de (4.3) tal que |x(t)| < H <∞
para t0 − h ≤ t < t+. Então t+ =∞.

Demonstração. Suponhamos t+ < +∞ . Então pela Propriedade 1 podemos estender

x(t) até t+ como solução de (4.3), isto é, x(t) é solução de (4.3) com t ∈ [t0 − h, t+), o

que é contradição. Segue que t+ = +∞.

Propriedade 3: Em geral, não podemos estender x(t, t0, ϕ) como solução à es-

querda de [t0 − h, t+), isto é, não podemos garantir a existência de δ > 0 e de uma



42 Resultados Básicos de EDR

função x(t) de�nida em [t0 − δ − h, t+), x(t) coincidindo com x(t, t0, ϕ) em [t0 − h, t+)

tal que ẋ(t) = f(t, xt) para t0 − δ ≤ t < t+.

Por exemplo, se ϕ ∈ C tal que ϕ(θ) não tenha derivada esquerda para θ = 0 ,

então x(t, t0, ϕ) não admite prolongamento à esquerda qualquer que seja t0 ≥ 0 . Mas

um prolongamento à esquerda não ocorre, em geral, mesmo que ϕ(θ) seja diferenciável.

4.4 Desigualdade Fundamental

Para estabelecermos uma importante desigualdade necessária no estudo de estabi-

lidade, precisamos provar o seguinte resultado.

Lema 4.3. Se t ∈ [t0, τ ] , então ||xt(t0, ϕ2) − xt(t0, ϕ1)|| ≤ eL(t−t0)||ϕ2 − ϕ1|| se, e
somente se, |x(t; t0, ϕ2)− x(t; t0, ϕ1)| ≤ eL(t−t0)||ϕ2 − ϕ1|| , onde L = L(τ,H1) .

Demonstração. Por hipótese, temos

||xt(t0, ϕ2)− xt(t0, ϕ1)|| = sup
θ∈[−h,0]

{|xt(t0, ϕ2)(θ)− xt(t0, ϕ1)(θ)|} ≤ eL(t−t0)||ϕ2 − ϕ1|| .

O que implica, para θ ∈ [−h, 0],

|x(t+ θ; t0, ϕ2)− x(t+ θ; t0, ϕ1)| ≤
sup

θ∈[−h,0]

{|x(t+ θ; t0, ϕ2)− x(t+ θ; t0, ϕ1)|} ≤ eL(t−t0)||ϕ2 − ϕ1||

para qualquer t ∈ [t0, τ ] , então |x(t+θ; t0, ϕ2)−x(t+θ; t0, ϕ1)| ≤ eL(t−t0)||ϕ2−ϕ1|| ,
∀ θ ∈ [−h, 0] . Em particular para θ = 0, temos

|x(t; t0, ϕ2)− x(t; t0, ϕ1)| ≤ eL(t−t0)||ϕ2 − ϕ1||, t0 ≤ t ≤ τ.

Reciprocamente, ||xt(t0, ϕ2) − xt(t0, ϕ1)|| ≤ eL(t−t0)||ϕ2 − ϕ1|| está satisfeita para

t = t0 e mais, vale a igualdade.

Vamos demonstrar o resultado, considerando a divisão de (t0, τ ]:

(i) t ∈ (t0, t0 + h)

(ii) t ∈ [t0 + h, τ ]

(i) Para t ∈ (t0, t0 + h) �xo, de�na:

xt(t0;ϕ1)(θ) =

{
ϕ1(θ), θ ∈ [−h, t0 − t]

x(t+ θ; t0, ϕ1), θ ∈ (t0 − t, 0]

xt(t0;ϕ2)(θ) =

{
ϕ2(θ), θ ∈ [−h, t0 − t]

x(t+ θ; t0, ϕ2), θ ∈ (t0 − t, 0]



Desigualdade Fundamental 43

Para θ ∈ [−h, 0] e observando que t > t0 ⇒ t− t0 > 0 ⇒ eL(t−t0) > e0 = 1, temos

|xt(t0, ϕ2)(θ)− xt(t0, ϕ1)(θ)| = |ϕ2(θ)− ϕ1(θ)| ≤ ||ϕ2 − ϕ1|| 1 ≤
eL(t−t0)||ϕ2 − ϕ1||, ∀ θ ∈ [−h, t0 − t].

Portanto

|x(t+ θ; t0, ϕ2)− x(t+ θ; t0, ϕ1)| ≤ eL(t+θ−t0)||ϕ2 − ϕ1|| ≤
eL(t−t0)||ϕ2 − ϕ1||, para todo θ ∈ [t0 − t, 0].

E como o supremo é a menor das cotas superiores, segue que

sup
θ∈[−h,0]

|xt(t0, ϕ2)(θ)− xt(t0, ϕ1)(θ)| = ||xt(t0, ϕ2)− xt(t0, ϕ1|| ≤ eL(t−t0)||ϕ2 − ϕ1|| o

que conclui a demonstração.

(ii) Para t ≥ t0 + h, vale a seguinte desigualdade

|x(t; t0, ϕ2)− x(t; t0, ϕ1)| ≤ eL(t−t0)||ϕ2 − ϕ1||.

Note que se θ ∈ [−h, 0] e t ≥ t0 + h ⇒ t+ θ ≥ t0 + h+ θ ≥ t0 + h− h = t0.

Portanto, t+ θ ≥ t0. Aplicando t+ θ em (4.4) temos

|x(t+ θ; t0, ϕ2)− x(t+ θ; t0, ϕ1)| ≤ eL(t+θ−t0)||ϕ2 − ϕ1||. (4.6)

Como f(t) = eL(t−t0) é crescente, então se

t+ θ − t0 ≤ t− t0 ⇒ eL(t+θ−t0) ≤ eL(t−t0).

Voltando em (4.6), e usando a observação anterior, temos

|x(t+ θ; t0, ϕ2)− x(t+ θ; t0, ϕ1)| ≤ sup
θ∈[−h,0]

|x(t+ θ; t0, ϕ2)− x(t+ θ; t0, ϕ1)| ≤

sup
θ∈[−h,0]

eL(t+θ−t0)||ϕ2 − ϕ1|| = eL(t−t0)||ϕ2 − ϕ1||.

Logo,

||xt(t0, ϕ2)− xt(t0, ϕ1)|| ≤ eL(t−t0)||ϕ2 − ϕ1||.

A desigualdade a seguir estabelece a continuidade de x(t, t0, ϕ) em relação a ϕ.

Teorema 4.2. Seja f : [0,∞)× CH → Rn contínua e localmente lipschitziana. Dados

t0 ≥ 0, ϕ1, ϕ2 ∈ CH , sejam x(t; t0, ϕ1) e x(t; t0, ϕ2) de�nidas em um intervalo comum

[t0 − h, τ ], t0 ≤ τ <∞, com ||xt(t0, ϕj)|| ≤ H1 < H, t0 ≤ t ≤ τ, j = 1, 2. Então,

||xt(t0, ϕ2)− xt(t0, ϕ1)|| ≤ eL(t−t0)||ϕ2 − ϕ1||, t0 ≤ t ≤ τ, onde L = L(τ,H1).



44 Resultados Básicos de EDR

Demonstração. Vamos supor, sem perda de generalidade, que

|f(t, ϕ2)− f(t, ϕ1)| < L||ϕ2 − ϕ1)||,

para ϕ1 , ϕ2 ∈ CH1 , ϕ2 6= ϕ1 e t ∈ [0, τ ] onde L = L(τ,H1) é a constante de Lipschitz.

Pelo Lema 4.3, basta demonstrar que

|x(t; t0, ϕ2)− x(t; t0, ϕ1)| ≤ eL(t−t0)||ϕ2 − ϕ1||, t0 ≤ t ≤ τ. (4.7)

A desigualdade (4.7) está satisfeita se ϕ2 = ϕ1 e também é verdadeira para t = t0 ,

com ϕ1 6= ϕ2 .

Para ϕ1 6= ϕ2 , suporemos que (4.7) não seja verdadeira. Então existem t̃ ∈ (t0, τ)

e uma sequência (tm)m∈ N, tm > t̃, e tm → t̃, de modo que

|x(t̃, t0, ϕ2)− x(t̃, t0, ϕ1)| = eL(t̃−t0)||ϕ2 − ϕ1|| (4.8)

e

|x(tm, t0, ϕ2)− x(tm, t0, ϕ1)| > eL(tm−t0)||ϕ2 − ϕ1||, (4.9)

pois se chamarmos M(t) = |x(t; t0, ϕ2)−x(t; t0, ϕ1)| e G(t) = eL(t−t0)‖ϕ2−ϕ1‖ , ambas

são contínuas em t e M(t0) ≤ G(t0) , como estamos supondo que existe t̄ tal que

M(t̄) > G(t̄) então deve existir t̃ ∈ (t0, t̄) tal que M(t̃) = G(t̃) e daí existe uma

sequência (tm) , que satisfaz tm > t̃ com tm → t̃ quando m→∞ .

Multiplicando (4.8) e (4.9) por
1

tm − t̃
> 0 e subtraindo (4.9) de (4.8) obtemos

1

tm − t̃
[|x(tm, t0, ϕ2)− x(tm, t0, ϕ1)| − |x(t̃; t0, ϕ2)− x(t̃; t0, ϕ1)|] >

1

tm − t̃
[eL(tm−t0) − eL(t̃−t0)]||ϕ2 − ϕ1|| =

eL(tm−t0) − eL(t̃−t0)

tm − t0 − (t̃− t0)
||ϕ2 − ϕ1||.

Chamando ∆t = tm−t̃, então fazerm→∞, é equivalente a fazer ∆t→ 0+ . Calculando

o limite obtemos

lim∆t→0+
1

∆t
[|x(t̃+ ∆t, t0, ϕ2)− x(t̃+ ∆t, t0, ϕ1)| − |x(t̃, t0, ϕ2)− x(t̃, t0, ϕ1)|] ≥

lim
m→∞

eL(tm−t0) − eL(t̃−t0)

(tm − t0)− (t̃− t0)
||ϕ2 − ϕ1|| = LeL(t̃−t0)||ϕ2 − ϕ1||, (4.10)

considerando f(tm) = eL(tm−t0), temos ḟ(t̃) = LeL(t̃−t0).

Agora sejam K > 0 e ε0 > 0 tais que

|ẋ(t̃, t0, ϕ2)−ẋ(t̃, t0, ϕ1)| < K < K+ε0 < L||xt̃(t0, ϕ2)−xt̃(t0, ϕ1)|| = LeL(t̃−t0)||ϕ2−ϕ1||.
(4.11)



Desigualdade Fundamental 45

Dado ∀ ε0 > 0, ∃ δ0 > 0, tal que

1

∆t
|[x(t̃+ ∆t, t0, ϕ2)− x(t̃+ ∆t, t0, ϕ1)]| − |[x(t̃, t0, ϕ2)− x(t̃, t0, ϕ1)]| ≤

|ẋ(t̃, t0, ϕ2)− ẋ(t̃, t0, ϕ1)|+ ε0,

para 0 < ∆t ≤ δ0. Usando (4.11), temos

1

∆t
[|x(t̃+ ∆t, t0, ϕ2)− x(t̃+ ∆t, t0, ϕ1)| − |x(t̃, t0, ϕ2)− x(t̃, t0, ϕ1)|] ≤

≤ |ẋ(t̃, t0, ϕ2)− ẋ(t̃, t0, ϕ1)|+ ε0 < K + ε0 < LeL(t̃−t0)||ϕ2 − ϕ1||,

para 0 < ∆t ≤ δ0.

Portanto,

lim∆t→0+
1

∆t
[|x(t̃+ ∆t, t0, ϕ2)− x(t̃+ ∆t, t0, ϕ1)| − |x(t̃, t0, ϕ2)− x(t̃, t0, ϕ1)|] <

LeL(t̃−t0)||ϕ2 − ϕ1||,

o que é uma contradição com (4.10).





5 Estabilidade e o Segundo Método

de Lyapuno�

Neste capítulo introduziremos os conceitos de estabilidade, e motivado pelo caso

ordinário apresentaremos um importante método para o estudo de estabilidade para

equações diferenciais com retardamento.

Durante todo o capítulo, assumiremos que as condições (i) e (ii) do início da seção

4.3 do Capítulo 4 estejam satisfeitas relativamente à equação (4.3) dada por

ẋ = f(t, xt) ,

em [0,∞)× CH .

5.1 De�nições de Estabilidade

As de�nições de estabilidade desta seção serão dadas em relação ao ponto de equi-

líbrio x = 0 da equação (4.3). Para isto, vamos supor que a origem seja um ponto de

equilíbrio de (4.3), isto é, f(t, 0) = 0, t ≥ 0.

Observação 5.1. Quando a equação ẏ = g(t, yt) tem um ponto de equilíbrio y∗ 6= 0,

consideramos a mudança de variável x = y − y∗ e dessa forma

ẋ(t) = ẏ(t) = g(t, yt) = g(t, xt + y∗t )− g(t, y∗t ).

Denotando f(t, xt) = g(t, xt + y∗t )− g(t, y∗t ) tem-se f(t, 0) = 0, ∀ t, ou seja, x = 0 é

equilíbrio da equação ẋ(t) = f(t, xt).

Portanto, basta que as de�nições sobre estabilidade sejam dadas com respeito ao

ponto de equilíbrio x = 0 de (4.3).

De�nição 5.1. Dizemos que x = 0 é estável se dados ε > 0 e t0 ≥ 0 existe

δ = δ(ε , t0) > 0 tal que ‖ϕ‖ < δ e t ≥ t0 implicam ‖xt(t0 , ϕ)‖ < ε.

47



48 Estabilidade e o Segundo Método de Lyapuno�

No caso de uma equação diferencial ordinária ẋ = f(t, x) , f(t , 0) = 0, se δ(ε , t0)

puder ser determinado de acordo com a de�nição acima para algum t0 = t̄0 , então

δ(ε , t0) poderá ser determinado para qualquer t0 ≥ 0 . Isto se deve ao fato de que

a aplicação que associa x0 7→ x(t0 , t̄0 , x0) induz um homeomor�smo entre duas vi-

zinhanças de x = 0 , desde que f(t , x) seja contínua e satisfaça alguma condição de

unicidade para o problema de valor inicial.

Para veri�car que a a�rmação acima é verdadeira para EDO, basta considerar o

resultado abaixo.

Teorema 5.1. Suponha que f(t, x) seja contínua para qualquer (t, x) ∈ A , A é aberto

do Rn+1 . Se x(t; t̄0, x0) (com x(t0; t̄0, x0) = x0) é a única solução da equação diferencial

ordinária ẋ = f(t, x) em [a, b] , então existe uma solução x(t; s, η) dessa mesma equação

de�nida em [a, b] , para quaisquer s , η su�cientemente próximos a t̄0, x0 , e é uma

função contínua de (t, s, η) em (t, t̄0, x0) .

Demonstração. A solução x(t, s, η) é uma função contínua de s, η e é uniformemente

contínua em t , com t ∈ [a, b] .

Assim, ∀ ε > 0, temos

1. ∃ δ1 > 0 tal que |x(t, s, η)− x(t, t̄0, x0)| < ε

2
, se ‖(s, η)− (t̄0, x0)‖ < δ1

2. ∃ δ2 > 0 tal que se t ∈ [a, b] , então |x(t, s, η) − x(τ, t̄0, x0)| < ε

2
, desde que

|t− τ | < δ2

Considere δ = min{δ1, δ2} , tem-se

|x(t; s, η)− x(τ ; t̄0, x0)| ≤

|x(t; s, η)− x(t; t̄0, x0)|+ |x(t; t̄0, x0)− x(τ ; t̄0, x0)| < ε

2
+
ε

2
= ε .

A conclusão da prova da existência do homeomor�smo entre vizinhanças de x = 0

para EDO está feita na referência [3].

Um tal homeomor�smo não existe para o caso de equações com retardamento posi-

tivo. Ilustremos essa observação através do seguinte exemplo que mostra a existência de

dois instantes iniciais de modo que para um deles a condição de estabilidade é satisfeita

e para o outro não.

Exemplo 5.1. Consideremos a seguinte equação diferencial com retardamento

ẋ = b(t) · x
(
t− 3π

2

)
,

onde



De�nições de Estabilidade 49


b(t) = 0, para 0 ≤ t ≤ 3π/2,

b(t) = − cos t, para 3π/2 ≤ t ≤ 3π,

b(t) = 1, para t > 3π.

Procedendo a construção da solução em intervalos de comprimento do retardo

temos:

Para t ∈
[
0,

3π

2

]
, observamos que

ẋ = 0 ⇒ x(t) é constante. Mas, 0 ≤ t ≤ 3π

2
⇒ −3π

2
≤ t− 3π

2
≤ 0. Logo,

x(t) = ϕ(0) nesse intervalo.

Para t ∈
[

3π

2
, 3π

]
, observamos que

ẋ(t) = − cos t x

(
t− 3π

2

)
=⇒ ẋ(t) = −ϕ(0) cos t.

Integrando os dois lados, temos:

x(t) − x

(
3π

2

)
=

∫ t

3π
2

−ϕ(0) cos s ds =⇒ x(t) = x

(
3π

2

)
− ϕ(0)

∫ t

3π
2

cos s ds =⇒

x(t) = ϕ(0)−ϕ(0) sen s

∣∣∣∣t
3π
2

= ϕ(0)−ϕ(0)

(
sen t − sen

3π

2

)
= ϕ(0)−ϕ(0) sen t −ϕ(0).

Logo, x(t) = −ϕ(0) sen t, para t ∈
[

3π

2
, 3π

]
.

Para t ∈
[
3π ,

9π

2

]
, observamos que

ẋ(t) = 1 · x
(
t− 3π

2

)
=⇒ ẋ(t) = x

(
t− 3π

2

)
=⇒ ẋ(t) = −ϕ(0) sen

(
t− 3π

2

)
.

Como 3π ≤ t ≤ 9π

2
=⇒ 3π

2
≤ t− 3π

2
≤ 3π .

Integrando os dois lados, temos:

x(t)− x(3π) =

∫ t

3π

−ϕ(0) sen

(
s− 3π

2

)
ds =⇒

x(t) = x(3π)− ϕ(0)

∫ t

3π

sen

(
s− 3π

2

)
ds =⇒

x(t) = −ϕ(0)

(
− cos s− 3π

2

)∣∣∣∣t
3π

=⇒ x(t) = ϕ(0) cos t− 3π

2
=

ϕ(0)

(
cos t cos

3π

2
+ sen t sen

3π

2

)
= ϕ(0)sen t .

Procedendo de forma análoga nos intervalos seguintes concluimos que

x(t) =

{
ϕ(0), 0 ≤ t ≤ 3π/2,

−ϕ(0) sen t, t ≥ 3π/2.



50 Estabilidade e o Segundo Método de Lyapuno�

Note que para t0 = 0 a condição de estabilidade é satisfeita, por outro lado se

t0 = 3π temos que nossa equação �ca na forma ẋ = x

(
t− 3

2
π

)
para t ≥ 3π, e assim

para a raiz lambda da equação λ = e3πλ/2, obtida pela intersecção dos grá�cos das

funções f(λ) = λ e g(λ) = e−3πλ/2 temos que x(t) = ceλt é solução para todo c ∈ R.
Como |ceλ t| → ∞ quando t → ∞ , qualquer vizinhança da função inicial zero existe

uma in�nidade de funções iniciais ϕ de modo que | x(t, 3π, ϕ) |→ ∞ com t → ∞ ;

assim, a condição de estabilidade não está satisfeita para t0 = 3π.

De�nição 5.2. Dizemos que x = 0 é uniformemente estável se dados ε > 0 e

t0 ≥ 0 existe δ = δ(ε) > 0 tal que ‖ϕ‖ < δ e t ≥ t0 implicam ‖xt(t0, ϕ)‖ < ε .

De�nição 5.3. Dizemos que x = 0 é assintoticamente estável se a De�nição 5.1

é satisfeita e a todo t0 ≥ 0 corresponde ρ = ρ(t0) > 0 tal que ‖ϕ‖ < ρ implica

x(t, t0, ϕ)→ 0 com t→∞ .

De�nição 5.4. Dizemos que x = 0 é equiassintoticamente estável se dados ε > 0

e t0 ≥ 0 existem ρ = ρ(t0) > 0 e T = T (ε) ≥ 0 de modo que ‖ϕ‖ < ρ e t ≥ t0 + T

implicam ‖xt(t0, ϕ)‖ < ε .

De�nição 5.5. Dizemos que x = 0 é uniformemente assintoticamente estável

se a De�nição 5.2 é satisfeita e existe ρ > 0 de modo que a todo ε > 0 corresponde

T (ε) ≥ 0 tal que se ‖ϕ‖ < ρ e t0 ≥ 0 , então ‖xt(t0, ϕ)‖ < ε para t ≥ t0 + T (ε) .

De�nição 5.6. Dizemos que x = 0 é exponencialmente estável se existem cons-

tantes positivas ρ , α e β de modo que se ‖ϕ‖ < ρ então ‖xt(t0, ϕ)‖ ≤ β · e−α·(t−t0)‖ϕ‖
para t ≥ t0 ≥ 0 .

De�nição 5.7. Dizemos que x = 0 é globalmente assintoticamente estável se

H =∞ e a De�nição 5.3 é satisfeita com ρ(t0) =∞ .

Entre as de�nições acima, as seguintes implicações podem ser veri�cadas:

(Def.5.6) =⇒ (Def.5.5) =⇒ (Def.5.2) =⇒ (Def.5.1)

(Def.5.6) =⇒ (Def.5.5) =⇒ (Def.5.4) =⇒ (Def.5.3) =⇒ (Def.5.1)

De fato:

(Def.5.6) =⇒ (Def.5.5) :

Por hipótese, temos que existem constantes positivas ρ0 , α0 e β0 com ‖ϕ‖ < ρ0 tal

que ‖xt(t0, ϕ)‖ ≤ β0 · e−α0(t−t0)‖ϕ‖ , com t ≥ t0 ≥ 0 .



De�nições de Estabilidade 51

Como e−α0(t−t0) → 0 quando t→∞ , então dado
ε

β0 · ρ0

, existe Tε > 0 tal que para

qualquer t > t0 + Tε tem-se e−α0(t−t0) <
ε

β0 · ρ0

.

Agora, mostremos que ∃ r > 0 tal que ∀ ε > 0 corresponde T (ε) > 0 tal que ‖ϕ‖ < r

e t0 ≥ 0 implicam ‖xt(t0, ϕ)‖ < ε , ∀ t ≥ t0 + T (ε) .

De fato, basta tomar r = ρ0 e dado ε, escolha T (ε) = Tε acima, pois

‖ϕ‖ < ρ0 = r =⇒ ‖xt(t0, ϕ)‖ ≤ β0 · e−α0(t−t0)‖ϕ‖ < β0·ρ0·e−α0(t−t0) < β0·ρ0·
ε

β0 · ρ0

= ε .

Agora, mostremos que x = 0 é uniformemente estável (Def. 5.2), isto é, ∀ η > 0 e

t0 ≥ 0 , ∃ δ > 0 tal que ‖ϕ‖ < δ e t ≥ t0 implicam ‖xt(t0, ϕ)‖ < η .

De fato, dado η > 0 escolha δ ≤ min{ρ0,
η

β0

} . Assim, se ‖ϕ‖ < δ e, como δ < ρ0 ,

tem-se ‖xt(t0, ϕ)‖ ≤ β0 · e−α0(t−t0)‖ϕ‖ ≤ β0 · ‖ϕ‖ < β0 · δ ≤ β0 ·
η

β0

= η .

As implicações (Def.5.5) =⇒ (Def.5.2) e (Def.5.2) =⇒ (Def.5.1) são imediatas.

(Def.5.5) =⇒ (Def.5.4) :

Devemos mostrar que ∀ ε > 0 e t0 ≥ 0 , ∃ ρ0 = ρ0(t0) > 0 e T = T (ε) ≥ 0 tal que

‖ϕ‖ < ρ0 e t ≥ t0 + T implicam ‖xt(t0, ϕ)‖ < ε .

Basta tomar ρ0 = ρ e T = T (ε) .

(Def.5.4) =⇒ (Def.5.3) :

Primeiramente devemos provar x = 0 é estável, isto é, ∀ ε > 0 , ∃Mε > 0 tal que se

t > Mε então |x(t; t0, ϕ)| < ε . Por hipótese, temos a validade de (Def. 5.4), ou seja,

dados ε > 0 e t0 , existe ρ = ρ(t0) e T (ε) > 0 tal que ‖ϕ‖ < ρ e t ≥ t0 + T (ε) + h =⇒
‖xt(t0, ϕ)‖ < ε . Ou seja,

‖xt(t0, ϕ)‖ = sup
θ∈[−h,0]

|x(t+ θ; t0, ϕ)| < ε =⇒ |x(t + θ; t0, ϕ)| < ε , ∀ θ ∈ [−h, 0].

Como −h ≤ θ ≤ 0 =⇒ t+ θ ≥ t− h =⇒ t− h ≥ t0 + T (ε) =⇒ t ≥ t0 + T (ε) + h .

Basta tomar Mε = t0 + T (ε) + h .

Agora, mostremos (Def. 5.1), ou seja, ∀ ε > 0 e t0 ≥ 0 , ∃ δ = δ(ε) > 0 tal que

‖ϕ‖ < δ e t ≥ t0 =⇒ ‖xt(t0, ϕ)‖ < ε .

Dado ε > 0 �xo e t0 ≥ 0 , ∃ ρ(t0) > 0 e T = T (ε) ≥ 0 tal que ‖ϕ‖ < ρ =⇒
‖xt(t0, ϕ)‖ < ε , ∀ t ≥ t0 + T (ε) .

Considere o intervalo [t0, T (ε)] , por hipótese a cada t̄ ∈ [t0, T (ε)] , ∃ ρ = ρt̄ de

modo que ‖ψ‖ < ρt̄ e assim temos ‖xt(t̄, ψ)‖ < ε e pelo Teorema 4.1 ‖xt̄(t0, ϕ)‖ < ε

para todo t ≥ t̄+ T (ε) .

Considere δ(ε, t0) = min{inf{ρt; t ∈ [0, T (ε)]}, ε} .
Note que inf{ρt; t ∈ [0, T (ε)]} existe pois a cada par (t0, ϕ) a solução x(t; t0, ϕ)

com t ∈ [t0, T (ε)] é limitada.

Então, dados ε > 0 , t0 ≥ 0 , ∃ δ̄(ε, t0) > 0 tal que ‖ϕ‖ < δ̄ implica ‖xt(t0, ϕ)‖ < ε

para todo t ≥ t0 .

A implicação (Def.5.3) =⇒ (Def.5.1) é imediata.



52 Estabilidade e o Segundo Método de Lyapuno�

Não é, em geral, verdade que (Def.5.5) =⇒ (Def.5.6) , como podemos observar no

exemplo ẋ = −x3, dada x(t) =
x0√

1 + 2x2
0(t− t0)

solução de ẋ = −x3 . É claro que

para toda condição inicial x0 ∈ R , tem-se∣∣∣∣ x0√
1 + 2x2

0(t− t0)

∣∣∣∣→ 0 quando t→∞

logo (Def. 5.5) está satisfeita. Porém (Def. 5.6) não está satisfeita, pois a função

e−α(t−t0)|x0| tende mais rapidamente a zero que x(t), independentemente da condição

inicial x0 .

Contudo, se f(t, ϕ) é linear em ϕ , então a estabilidade assintótica uniforme implica

a estabilidade exponencial. A prova desse fato pode ser encontrada em [2].

5.2 Segundo Método de Lyapuno�

Seja g(t) uma função escalar contínua de�nida em [a, b) , b ≤ ∞ . A expressão

limr→0+
g(t+ r)− g(t)

r

tem sempre signi�cado podendo ser ±∞ . Este limite é denotado por ġ(t) . No caso em

que g(t) é diferenciável, ġ(t) coincide com a derivada de g(t) no sentido usual.

Com relação à derivada de g(t), tomada no sentido acima, temos os seguintes lemas

que são fundamentais no Segundo Método de Lyapuno�.

Lema 5.1. Seja g(t) contínua com ġ(t) ≤ 0 (ġ(t) ≥ 0) para a ≤ t < b . Então g(t) é

não-crescente (não-decrescente) em [a, b) .

Demonstração. Consideremos o caso ġ(t) ≤ 0 . (Análogo para o caso ġ(t) ≥ 0).

Mostremos que se para quaisquer t1 , t2 ∈ [a, b) , com t1 ≤ t2 (a ≤ t1 ≤ t2 < b),

então g(t2) ≤ g(t1) . Basta provar que para todo ε > 0 vale g(t2)− g(t1) ≤ ε (t2 − t1).

Supomos que não seja verdade. Então existe ε0 > 0 tal que G(t2) > 0 , onde

G(t) = g(t)− g(t1)− ε0 (t− t1) . Como ġ(t) ≤ 0 , existe uma in�nidade de pontos t em

(t1, t2) de modo que
g(t)− g(t1)

t− t1
≤ ε0

o que implica g(t) − g(t1) ≤ ε0(t− t1) ou seja, g(t) − g(t1) − ε0(t − t1) ≤ 0 . Logo

G(t) ≤ 0 . Então o conjunto A = {t ∈ (t1, t2);G(t) = 0} 6= ∅ .
Para ξ = supA , temos t1 < ξ < t2 e G(ξ) = 0 .

De fato, suponha que supA 6∈ A . Se G(ξ) > 0 , como G é contínua existe uma

vizinhança Vr(ξ) , r > 0 , tal que G(t) > 0 , ∀ t ∈ Vr(ξ) . Logo, ξ não pode ser supA e

portanto G(ξ) = 0 .

Também temos G(t) > 0 para ξ < t ≤ t2, pois G é contínua e ξ = supA (se

∃ t′ ∈ (ξ, t2] tal que G(t′) = 0 então ∃ ξ̄ > ξ tal que G(ξ̄) = 0 o que é absurdo, pois

ξ = supA ). Por �m, Ġ(ξ) ≥ 0 pois Ġ(ξ) = lim
t→ξ+

G(t)−G(ξ)

t− ξ
≥ 0 .



Segundo Método de Lyapuno� 53

Como G(t) = g(t)− g(t1)− ε0(t− t1) segue que Ġ(ξ) = ġ(ξ)− ε0 ≥ 0 , logo

ġ(ξ) ≥ ε0 > 0 ,

o que contraria a hipótese.

Portanto, g(t) é não-crescente.

Lema 5.2. Seja g(t) contínua com ġ(t) ≤ −σ (ġ(t) ≥ σ) , σ > 0 em [a, b) . Então,

g(t) ≤ g(t0)− σ(t− t0) (g(t) ≥ g(t0) + σ(t− t0)) para a ≤ t0 ≤ t < b .

Demonstração. Seja h(t) = g(t) + σt , então ḣ(t) = ġ(t) + σ . Como ḣ(t) ≤ 0 ,

então h(t) é não-crescente. Pelo lema anterior, se t0 ≤ t então h(t0) ≥ h(t) , o

que implica g(t0) + σt0 ≥ g(t) + σt , ou seja, g(t0) + σ(t0 − t) ≥ g(t) , assim temos

g(t0) ≤ g(t0)− σ(t− t0) .

De�nição 5.8. Seja v(t, ϕ) um funcional de�nido para t ≥ 0 , ϕ ∈ CH , isto é,

v(t, ϕ) é uma aplicação contínua de�nida em [0,∞)×CH com valores em R e considere

v(t, 0) = 0, ∀ t ≥ 0. O funcional v(t, ϕ) é chamado de positivo-de�nido se existir

uma função escalar contínua w(r) , r ≥ 0 , tal que v(t, ϕ) ≥ w(‖ϕ‖) para t ≥ 0, para

ϕ ∈ CH e w(r) > 0 com r > 0 . O funcional v(t, ϕ) é chamado negativo-de�nido se

−v(t, ϕ) for positivo-de�nido.

Para todo funcional v(t, ϕ) , t0 ≥ 0 , ϕ ∈ CH , de�nimos

v̇(t0, ϕ) = v̇(t, xt(t0, ϕ)) = limr→0+
1

r
[v(t0 + r, xt0+r(t0, ϕ))− v(t0, ϕ)]

onde x(t, t0, ϕ) é solução de (4.3).

Teorema 5.2. Suponhamos que exista um funcional v(t, ϕ) positivo-de�nido satis-

fazendo v̇(t, ϕ) ≤ 0 . Então a solução x = 0 de (4.3) é estável.

Demonstração. Suponhamos, por absurdo, que x = 0 não seja estável. Ou seja,

suponha que existe ε > 0 tal que para todo δ > 0, existem ϕ e t1 tais que ‖ϕ‖ < δ,

t1 > t0 e ‖xt1(t0, ϕ)‖ = ε.

Note que v(t, ϕ) é um funcional linear contínuo em [0,∞) × CH , então v(t, ϕ) é

contínuo em (t0, ϕ ≡ 0) .

Assim, para ω(ε) > 0 , existe δ0 = δ0(t0, ε) tal que ‖(t0, 0) − (t0, ψ)‖ < δ0 , neste

caso então ‖ψ‖ < δ0 , implica

|v(t0, 0)− v(t0, ψ)| < ω(ε)⇒ v(t0, ψ) < ω(ε). (5.1)

O que implicaria

v(t1, xt1(t0, ϕ)) ≥ ω(‖xt1(t0, ϕ)‖) = ω(ε) > v(t0, ϕ) = v(t0, xt0(t0, ϕ))



54 Estabilidade e o Segundo Método de Lyapuno�

pela desigualdade (5.1). Ou seja,

v(t1, xt1(t0, ϕ)) > v(t0, xt0(t0, ϕ)). (5.2)

Como v(t, ϕ) é não-crescente, pelo Lema 5.2 segue que se t0 < t1 então

v(t0, xt0(t0, ϕ)) > v(t1, xt1(t1, ϕ)) ,

o que contraria (5.2).

De�nição 5.9. Dizemos que o funcional v(t, ϕ) tem extremo superior in�nitésimo

se existir uma função escalar contínua ξ(r) , com r > 0 , tal que |v(t, ϕ)| ≤ ξ(‖ϕ‖)
para t ≥ 0 , ϕ ∈ CH e ξ(0) = 0 .

Teorema 5.3. Suponhamos que exista um funcional v(t, ϕ) positivo-de�nido, tendo

extremo superior in�nitésimo, com v̇(t, ϕ) ≤ 0 . Então a solução x = 0 de (4.3) é

uniformemente estável.

Demonstração. Por hipótese v(t0, ϕ) ≤ ξ(‖ϕ‖) ,∀ t ≥ 0 . Como ξ(r) é contínua e

ξ(0) = 0 segue que para qualquer ε > 0 existe δ = δ(ε) > 0 tal que

‖ϕ‖ < δ ⇒ |ξ(‖ϕ‖)− ξ(0)| < ε ⇒ |ξ(‖ϕ‖)| < ε .

Assim, dado ε > 0 , existe δ = δ(ε) > 0 tal que v(t0, ϕ) ≤ ξ(‖ϕ‖) < ω(ε) = ε .

Segue o resultado da prova do Teorema anterior, com δ independente de t0.

De�nição 5.10. Seja a solução x = 0 de (4.3) assintoticamente estável. Dado t0 ≥ 0 ,

o conjunto:

Dt0 = {ϕ ∈ CH/x(t, t0, ϕ)→ 0 , com t→∞}

é chamado o centro de atração do ponto de equilíbrio x = 0 em t0 .

Observação 5.2. No caso de um sistema autônomo, isto é, f(t, ϕ) = h(ϕ) , o conjunto

Dt0 não depende de t0 e D = Dt0 é simplesmente chamado o centro de atração.

Observação 5.3. No caso em que a origem (x = 0) é globalmente assintoticamente

estável temos que Dt0 = C = C([−h, 0],Rn) para t0 ≥ 0 .

Teorema 5.4. Suponhamos que exista um funcional v(t, ϕ) positivo-de�nido, tendo

extremo superior in�nitésimo e com v̇(t, ϕ) negativo-de�nido. Então, a solução x = 0

de (4.3) é uniformemente assintoticamente estável.

Demonstração. Como v̇(t, ϕ) é negativo-de�nido, então existe ω(r) , r > 0 tal que

−v̇(t, ϕ) ≥ ω(‖ϕ‖) ≥ 0 . Logo, v̇(t, ϕ) ≤ 0 . Pelo teorema 5.3, temos a estabilidade

uniforme.



Segundo Método de Lyapuno� 55

Como v(t, ϕ) é positivo-de�nido e tem extremo superior in�nitésimo, segue que

existem funções escalares contínuas ω(r) e ξ(r), com ω(r) > 0 para r > 0 e ξ(0) = 0 ,

de modo que ω(‖ϕ‖) ≤ v(t, ϕ) ≤ ξ(‖ϕ‖) para t ≥ 0 e ϕ ∈ CH .

Sejam H1 e H2 com 0 < H1 < H2 < H escolhidos de modo que ξ(H1) < ω(H2)

pois, dado 0 < H2 < H , como ω é contínua em [H2, H] , existe min
r∈[H2,H]

ω(r) = α > 0 .

Agora ξ(r) → 0 quando r → 0 pois ξ é contínua, então dado H2 , sempre existe α .

Basta tomar H1 > 0 tal que ξ(H1) < α .

A�rmamos que t0 ≥ 0 e ϕ ∈ CH1 implicam xt(t0, ϕ) ∈ CH2 para t0 ≤ t < t+ .

Suponhamos que isto não seja verdade. Então, existem t1 , t2 tais que t0 < t1 < t2

com ‖xt1(t0, ϕ)‖ = H1 e ‖xt2(t0, ϕ)‖ = H2 . Assim,

v(t1, xt1(t0, ϕ)) ≤ ξ(‖xt1(t0, ϕ)‖) = ξ(H1) < ω(H2) = ω(‖xt2(t0,ϕ)‖) ≤ v(t2, xt2(t0, ϕ)) .

Pelo Lema 5.1 existe τ com t1 < τ < t2 tal que v̇(τ, xτ (t0, ϕ)) > 0 , o que nos leva

a uma contradição. Logo, t0 ≥ 0 e ϕ ∈ CH implicam xt(t0, ϕ) ∈ CH2 para t0 ≤ t < t+

e t+ = ∞ . Como x = 0 é uniformemente estável, dado ε > 0 com 0 < ε < H1 , existe

δ = δ(ε) tal que ϕ ∈ Cδ implica xt(t0, ϕ) ∈ Cε para t0 ≤ t <∞ .

Como v̇(t, ϕ) é negativo-de�nido, existe uma função escalar contínua σ(r) com

σ(r) > 0 para r > 0 , com v̇(t, ϕ) ≤ −σ(‖ϕ‖) .
Sejam

0 < γ = inf
δ≤r≤H2

σ(r) , M > sup
0≤r≤H1

ξ|r| e T =
M

γ
.

Note que T não depende de t0 .

A�rmamos queϕ ∈ CH1 implicaxt̃(t0, ϕ) ∈ Cδ para algum instante t̃ , t0 ≤ t̃ ≤ t0 + T .

Novamente provemos por contradição. Suponhamos que isto não seja verdade.

Então δ ≤ ‖xt(t0, ϕ)‖ ≤ H2 para t0 ≤ t ≤ t0 + T e, portanto,

v̇(t, xt(t0, ϕ)) ≤ −σ(‖xt(t0, ϕ)‖) ≤ − inf
δ≤r≤H2

(σ(r)) = −γ ,

para t0 ≤ t ≤ t0 + T .

Segue do Lema 5.2 que v(t, xt(t0, ϕ)) ≤ v(t0, ϕ)− γ(t− t0) para 0 ≤ t0 ≤ t ≤ t0 + T

e, consequentemente

v(t0 + T, xt0+T (t0, ϕ)) ≤ v(t0, ϕ)− γ(t0 + T − t0) ≤
ξ(‖ϕ‖)− γT < M − γT = 0

o que é impossível pois v(t, ϕ) é positivo-de�nido (v(t0 + T, ϕ) ≥ 0) .

Então, ϕ ∈ Cρ , com ρ = H1 implica xt̃(t0, ϕ) ∈ Cδ para algum t̃ , t̃ ∈ [t0, t0 + T ]

e pela estabilidade uniforme dado ε > 0 , 0 < ε < H1 , existe δ = δ(ε) tal que ϕ ∈ Cδ

implica xt(t0, ϕ) ∈ Cε para t ≥ t0 + T .



56 Estabilidade e o Segundo Método de Lyapuno�

Dados H1 , H2 como no Teorema 5.4, é possível veri�car que CH1 está contido no

centro de atração do ponto de equilíbrio x = 0 para todo t0 ≥ 0 .

De�nição 5.11. O funcional v(t, ϕ) de�nido em [0,∞) × C , é dito radialmente

ilimitado se existir uma função escalar contínua γ(r) tal que v(t, ϕ) ≥ γ(‖ϕ‖) e

γ(r)→∞ com r →∞ .

Teorema 5.5. Suponhamos que exista um funcional v(t, ϕ) positivo-de�nido, radial-

mente ilimitado, tendo extremo superior in�nitésimo e com v̇(t, ϕ) negativo-de�nido.

Então, a solução x = 0 de (4.3) é globalmente assintoticamente estável.

Demonstração. Como v(t, ϕ) é positivo-de�nido e tem extremo superior in�nitésimo,

existem funções escalares contínuas ω1(r) e ξ(r) com ω1(r) > 0 para r > 0 e ξ(0) = 0

de modo que ω1(‖ϕ‖) ≤ v(t, ϕ) ≤ ξ(‖ϕ‖) para t ≥ 0 , ϕ ∈ CH .

Como v(t, ϕ) é radialmente ilimitada, existe uma função escalar contínua γ(r) tal

que v(t, ϕ) ≥ γ(‖ϕ‖) e γ(r)→∞ com r →∞ .

De�nindo ω(r) = max{ω1(r) ; γ(r)} temos que ω(r) > 0 para r > 0 , ω(r) → ∞
com r → ∞ e ω(‖ϕ‖) ≤ v(t, ϕ) ≤ ξ(‖ϕ‖) . Então, dada qualquer constante positiva

H1 , podemos encontrar H2 tal que ξ(H1) < ω(H2) , já que ω(r)→∞ quando r →∞
e ω é uma função contínua.

Suponha que CH1 não esteja contido no centro de atração do ponto de equilíbrio

x = 0 para todo t0 ≥ 0, ou seja, que a solução xt(t0, ϕ) com ‖ϕ‖ < H1 �escape� da região

de atração, isto é, ∃ t1 , t2 com t1 < t2 tais que ‖xt1(t0, ϕ)‖ = H1 e ‖xt2(t0, ϕ)‖ = H2

com H1 < H2 , então v(t1, xt1) ≤ ξ(H1) < ω(H2) = ω(xt2) ≤ v(t2, xt2) . Logo, v é

crescente, o que é um absurdo pois v̇ é negativo-de�nido (v deveria ser não-crescente).

Assim, CH1 está contido no centro de atração do ponto de equilíbrio x = 0 para todo

t0 ≥ 0 . Portanto, x = 0 é globalmente assintoticamente estável.

Os Teoremas 5.6 , 5.7 e o Corolário 5.1 dados a seguir são bastante convenientes

nas aplicações como critérios de estabilidade.

Teorema 5.6. Suponhamos que exista um funcional v(t, ϕ) de�nido em [0,∞) × CH
e satisfazendo as seguintes condições:

1. γ(|ϕ(0)|) ≤ v(t, ϕ) ≤ ω(ϕ) , com t ≥ 0 e ϕ ∈ CH onde ω(ϕ) é funcional em CH ,

com ω(0) = 0 e γ(r) é uma função escalar contínua em [0, H) com γ(r) > 0 para

r > 0 ;

2. v̇(t, ϕ) ≤ 0 com t ≥ 0 e ϕ ∈ CH .

Então a solução x = 0 de (4.3) é uniformemente estável.



Segundo Método de Lyapuno� 57

Demonstração. Dado ε, com 0 < ε < H1 , seja δ = δ(ε), com 0 < δ < ε escolhido de

modo que ω(ϕ) < γ(ε) para ϕ ∈ Cδ . Essa desigualdade ocorre pela continuidade das

funções ω e γ e, além do mais, ω(0) = 0 , dado ε > 0 sempre conseguimos encontrar γ(ε)

de forma que essa desigualdade ocorra. Então t0 ≥ 0 e ϕ ∈ Cδ (‖ϕ‖ < δ) implicam

v(t0, ϕ) ≤ ω(ϕ) < γ(ε) . Do Lema 5.1 e hipótese (b), segue que v(t, xt(t0, ϕ)) é não

crescente, então v(t, xt(t0, ϕ)) ≤ v(t0, ϕ) < γ(ε) para t ≥ t0 .

A�rmamos que xt(t0, ϕ) ∈ Cε para t ≥ t0 , ou seja, ‖xt(t0, ϕ)‖ < ε , para t ≥ t0 .

Suponha que esta a�rmação não ocorra, isto é, existe um t̄ com t̄ ≥ t0 tal que

|xt̄(t0, ϕ)| = ε . Assim v(t̄, xt̄(t0, ϕ)) ≥ γ(|x(t̄, t0, ϕ)|) = γ(ε) , o que é uma contradição.

Logo, ϕ ∈ Cδ com t0 ≥ 0 implicam |x(t, t0, ϕ)| < ε para t ≥ t0 . Portanto x = 0 é

uniformemente estável.

Exemplo 5.2. A solução nula da equação ẋ = −x(t)g(t, xt) , onde g(t, ϕ) ≥ 0 , é

uniformemente estável.

Para isto considere o seguinte funcional:

v(t, ϕ) = [ϕ(0)]2 , com ϕ ∈ CH .

Devemos mostrar as hipóteses do Teorema 5.6:

1. A�rmamos que v̇(t, ϕ) ≤ 0

De fato, v(t, xt) = [xt(0)]2 = [x(t+ 0)]2 = [x(t)]2 .

Assim, v̇(t, xt) = 2.x(t).ẋ(t) = 2.x(t)[−x(t).g(t, xt)] = −2.[x(t)]2.g(t, xt) ≤ 0 .

Portanto, v̇(t, xt) ≤ 0 .

2. Provemos que ∃ γ : R∗+ → R∗+ onde γ(r) > 0 para r > 0 e ∃ ω(ϕ) ; ω : CH → R
onde ω(0) = 0 tal que γ(|ϕ(0)|) ≤ v(t, ϕ) ≤ ω(ϕ) .

Basta de�nir γ(r) = r2 , ∀ r . Mostremos que [ϕ(0)]2 ≤ ω(ϕ) . De fato, considere

ω(ϕ) = ‖ϕ‖2 . Como ‖ϕ‖ = sup
−h≤θ≤0

|ϕ(θ)| ≥ |ϕ(0)| , temos ‖ϕ‖2 ≤ |ϕ(0)|2 . Logo,

0 ≤ [ϕ(0)]2 ≤ ‖ϕ‖2 . Pelo Teorema 5.6 concluimos que x = 0 é uniformemente estável.

Teorema 5.7. Suponhamos que exista um funcional v(t, ϕ) de�nido em [0,∞) × CH
e satisfazendo a condição (1) do Teorema 5.6 . Suponhamos ainda que exista uma

função escalar Γ(r) , r ≥ 0, positiva e contínua para r > 0 tal que v̇(t, xt) ≤ −Γ(|x(t)|)
para toda solução x(t) de (4.3). Suponhamos que f(t, ϕ) seja limitada em [0,∞)×CH .
Então a solução x = 0 de (4.3) é assintoticamente estável.

Demonstração. Nesta prova vamos considerar por conveniência |x| = sup
1≤j≤n

|xj| .

Sejam H1 , H2 tais que 0 < H1 < H2 < H escolhidos de modo que se ϕ ∈ CH1

então ω(ϕ) < γ(H2) (pela continuidade de ω e γ).



58 Estabilidade e o Segundo Método de Lyapuno�

Do mesmo modo que na prova do teorema anterior, segue que se ϕ ∈ CH1 então

xt(t0, ϕ) ∈ CH2 para t ≥ t0 ≥ 0 . Assim, pelo Teorema 5.6, x é uniformemente estável.

Logo, x é estável.

Para completar a prova é su�ciente mostrar que se ϕ ∈ CH1 e t0 ≥ 0 então

x(t; t0, ϕ)→ 0 com t→∞ .

Vamos provar por contradição. Suponhamos que existam t0 ≥ 0 , ϕ ∈ CH1 de modo

que x(t; t0, ϕ) não tenda para zero com t→∞ . Então, existe uma sequência crescente

{tm} com tm+1 − tm > 2 e η > 0 de modo que |x(tm; t0, ϕ)| > η para todo m.

Garantimos que existe β > 0, não dependendo de m, tal que |x(t; t0, ϕ)| > η

2
para

|tm − t| ≤ β . Com efeito, seja σ > 0 satisfazendo |f(t, ϕ)| ≤ σ para todo t ≥ 0 e para

ϕ ∈ CH . Para cada tm, considere o intervalo (tm−1, tm+1) e vamos aplicar o Teorema

do Valor Médio em cada componente de x(t; t0, ϕ) , ou seja, para t ∈ (tm − 1, tm + 1)

temos

|xj(tm; t0, ϕ)− xj(t; t0, ϕ)| = |ẋ(ξ; t0, ϕ)(t− tm)| = |fj(ξ;xξ)|.|t− tm| ≤ σ|t− tm| ,

onde ξ é um número entre tm e t .

Usando |a− b| ≥ |a| − |b| , tem-se

|xj(tm; t0, ϕ)| − |xj(t; t0, ϕ)| ≤ σ|t− tm| ⇒ |xj(tm; t0, ϕ)| − σ|t− tm| ≤ |xj(t; t0, ϕ)| .

Assim,

|xj(t; t0, ϕ)| ≥ |xj(tm; t0, ϕ)| − σ|t− tm| > η − σ|t− tm| .

Agora, tomando β = min

{
η

3σ
, 1

}
, temos

|xj(t; t0, ϕ)| ≥ |xj(tm; t0, ϕ)| − σ|t− tm| > η − σ η

3σ
= η − η

3
=

2

3
η >

η

2
,

para |t− tm| ≤ β . Observamos que β não depende de m. Então,
η

2
≤ |x(t; t0, ϕ)| ≤ H2

para |t− tm| ≤ β e isto acarreta que para |t− tm| ≤ β temos

v̇(t, xt(t0, ϕ)) ≤ −Γ(|x(t; t0, ϕ)|) ≤ sup
tm−β≤s≤tm+β

({−Γ(|x(s; t0, ϕ)|)})

≤ sup
η
2
≤r≤H2

{−Γ(r)} = −q < 0.

Pelos Lemas 5.1 e 5.2, e o fato de que β ≤ 1 e tm+1− tm > 2 , segue que, para todo

natural N temos

v(tN + β, xtN+β(t0, ϕ))− v(t1 − β, xt1−β(t0, ϕ)) ≤
N∑
m=1

[v(tm + β, xtm+β(t0, ϕ))− v(tm − β, xtm−β(t0, ϕ))] ≤ −2βqN

e, por conseguinte, v(tN + β, xtN+β(t0, ϕ))→ −∞ com N →∞ , o que não é possível,

pois v(t, ϕ) ≥ 0 . Esta contradição prova o teorema.



Segundo Método de Lyapuno� 59

Observação 5.4. Da prova anterior segue que, nas condições do Teorema 5.7, se

H1 , H2 com 0 < H1 < H2 < H , são escolhidos de modo que ϕ ∈ CH1 implique

ω(ϕ) < γ(H2) , então CH1 está contido no centro de atração de x = 0 para todo t0 ≥ 0 .

O exemplo seguinte é uma aplicação do Teorema 5.7 .

Exemplo 5.3. Seja b(t) uma função escalar contínua de modo que

|b(θ)| ≤ σ e 0 ≤ τ = h <∞ com t ≥ 0 .

Sejam H e a escolhidos de modo que σH < a , com H e a sendo reais positivos. Então

a solução x = 0 da equação

ẋ(t) = −ax(t) + b(t)x(t− τ)x(t)

é assintoticamente estável e CH está contido no centro de atração para todo t0 ≥ 0 .

Note que ẋ(t) = −x(t).[a−b(t).xt(−τ)] (pelas hipóteses do Exemplo 5.2 ). Mostremos

que g(t, xt) = a− b(t)xt(−τ) > 0 .

De fato, | − b(t).xt(−τ)| < σH , note que |xt(−τ)| < H , ∀ t , pois se ‖ϕ‖ < H ,

então:

1. Se x(t) > 0⇒ ẋ(t) < 0 , então x(t) < H .

2. Se x(t) < 0⇒ ẋ(t) > 0 , então |x(t)| < H .

ẋ(t) = −ax(t) + b(t)x(t− τ)x(t) ⇒ ẋ(t) = −x(t)(a− b(t)xt(−τ))

I) x = 0 é uniformemente estável pelo Teorema 5.6, pois:

i) γ(|ϕ(0)|) ≤ v(t, ϕ) ≤ ω(ϕ)

Basta tomar γ(r) = r2 , ∀ r , v(t, ϕ) = [ϕ(0)]2 e ω(ϕ) = ‖ϕ‖2 .

Logo, [ϕ(0)]2 ≤ [ϕ(0)]2 ≤ ‖ϕ‖2 .

ii) v̇(t, ϕ) = 0 ≤ 0 com ϕ ∈ CH , ∀ t .
Assim, podemos concluir que ∀ ε > 0 , 0 < ε < H1 < H , ∃δ , 0 < δ < ε < H tal que

se ϕ ∈ Cδ então |x(t; t0, ϕ)| < ε < H , ∀ t ≥ t0 .

II) Note também que

|f(t, ϕ)| = | − ϕ(0)(a− b(t)ϕ(−τ))| = | − ϕ(0)||a− b(t)ϕ(−τ)| ≤
H(|a|+ | − b(t)||ϕ(−τ)|) ≤ H(a− σH) .

Portanto, f(t, ϕ) é limitada.

III) A�rmação: v̇(t, xt) ≤ −γ(|x(t)|) , ∀x(t) .

De�na γ(r) = 2r2(a − σH) (pois por hipótese a > σH e γ é contínua) e também

v̇(t, xt) = −2x(t)2(a− b(t).xt(−τ)) .



60 Estabilidade e o Segundo Método de Lyapuno�

Basta mostrar que |v̇| ≥ γ.

|v̇(t, xt)| = | − 2x(t)2(a− b(t).xt(−τ))| = | − 2x(t)2||a− b(t).xt(−τ)| ≥
| − 2x(t)2|(|a| − |b(t)||xt(−τ)|) ≥ |2x(t)2|.(a− σH) = γ(|x(t)|)

Concluimos que |v̇| ≥ γ . Logo, pode ocorrer v̇ ≥ γ ou v̇ ≤ −γ .
Mostremos que v̇(t, xt) ≤ 0 . Para isso, basta provar que a − b(t).xt(−τ) > 0 . De

fato, pois |b(t).xt(−τ)| ≤ σH < a , ∀ t ≥ 0 . Logo, o sinal de a− b(t).xt(−τ) é igual ao

sinal de a. Logo, x = 0 é assintoticamente estável.

Corolário 5.1. Suponhamos que exista um funcional v(t, ϕ) de�nido em [0,∞)×C e

satisfazendo as seguintes hipóteses:

1. γ(|ϕ(0)|) ≤ v(t, ϕ) ≤ ω(ϕ) , t ≥ 0 , ϕ ∈ C , onde ω(ϕ) é um funcional, limitado

sobre toda bola de C, com ω(0) = 0 e γ(r) é uma função escalar contínua para

r ≥ 0 , com γ(r) > 0 para r > 0 e γ(r)→∞, ;

2. Existe função escalar contínua Γ(r) , r ≥ 0 , positiva e contínua para r > 0 tal

que v̇(t, xt) ≤ −Γ(|x(t)|) para toda solução x(t) de (4.3);

3. f(t, ϕ) é limitada em [0,∞)× CH para todo H <∞ .

Então a solução x = 0 de (4.3) é globalmente assintoticamente estável.

Demonstração. Basta mostrar que

CH1 ⊂ Dt0 = {ϕ ∈ CH ;x(t; t0, ϕ)→ 0 com t→∞} , ∀ t0 ≥ 0, ∀H1 <∞.

Como γ(r) → ∞ com r → ∞ e ω : CH → R , com ω(ϕ) funcional limitado sobre

toda bola, segue que para todo H1 , existe H2 tal que ϕ ∈ CH1 ⇒ ω(ϕ) < γ(H2) .

Assim, pela observação após o Teorema 5.7, segue que CH1 está contido no centro de

atração da origem.

Exemplo 5.4. Seja b(t) função escalar contínua para t ≥ 0 e sejam a e σ constantes

positivas de modo que a ≥ |b(t)|+ σ para todo t ≥ 0 . Então, a solução x = 0 da

equação ẋ(t) = −ax(t) + b(t).x(t−h) , com 0 ≤ h <∞ é globalmente assintoticamente

estável.

Mostremos que as hipóteses do Corolário 5.1 estão satisfeitas:

Desde que f(t, ϕ) = −aϕ(0) + b(t).ϕ(−h) segue que o item (3) do corolário �ca

satisfeito, pois:

| − aϕ(0) + b(t)ϕ(−h)| ≤ | − aϕ(0)|+ |b(t)ϕ(−h)| = | − a||ϕ(0)|+ |b(t)||ϕ(−h)| ≤
aH + (a− σ)H = H(2a− σ)



Segundo Método de Lyapuno� 61

e H(2a− σ) > 0 pois a− σ ≥ 0⇒ 2a > a ≥ σ ⇒ 2a− σ > 0.

Considere v(ϕ) = ω(ϕ) = [ϕ(0)]2 + a

∫ 0

−h
ϕ2(θ)dθ e γ(r) = r2 então a condição (1)

do Corolário está satisfeita.

Mostremos que a condição (2) também está satisfeita.

Seja x(t) uma solução da equação acima, então

v(xt) = x2(t) +

∫ 0

−h
x2(t+ θ)dθ = x2(t) + a

∫ t

t−h
x2(s)ds .

Logo,

v̇(xt) = 2x(t).ẋ(t) + a[x2(t)− x2(t− h)] =

2x(t)[−ax(t) + b(t).x(t− h)] + a[x2(t)− x2(t− h)] =

− 2ax2(t) + 2b(t)x(t− h) + ax2(t)− ax2(t− h) =

− ax2(t)− ax2(t− h) + 2b(t).x(t)x(t− h)
(a)

≤
−ax2(t)− ax2(t− h) + |b(t)|[x2(t) + x2(t− h)] =

− a[x2(t) + x2(t− h)] + |b(t)|[x2(t) + x2(t− h)] =

(−a+ |b(t)|)(x2(t) + x2(t− h)) ≤
−σ[x2(t) + x2(t− h)]≤−σ.x2(t).

De fato a desigualdade (a) acontece pois:

i) Note que para t tal que b(t) ≥ 0⇒ |b(t)| = b(t) .

Temos

[x(t)− x(t− h)]2 ≥ 0⇒ x2(t)− 2x(t)x(t− h) + x2(t− h) ≥ 0⇒
x2(t) + x2(t− h) ≥ 2x(t)x(t− h) .

Assim 2b(t)x(t)x(t− h) = b(t)[2x(t)x(t− h)] ≤ |b(t)|[x2(t) + x2(t− h)] .

ii) E para t tal que b(t) < 0⇒ |b(t)| = −b(t) .
Temos

[x(t) + x(t− h)]2 ≥ 0⇒ x2(t) + 2x(t)x(t− h) + x2(t− h) ≥ 0⇒
x2(t) + x2(t− h) ≥ −2x(t)x(t− h) .

Assim 2b(t)x(t)x(t− h) = −b(t)[−2x(t)x(t− h)] ≤ |b(t)|[x2(t) + x2(t− h)] .

Agora, basta tomar Γ(r) = σr2 .

Portanto, x = 0 é globalmente assintoticamente estável.





6 Conclusão

Com este trabalho percebemos algumas diferenças entre as equações diferenciais or-

dinárias e as equações diferenciais com retardamento. Podemos citar o caso do espaço

das condições iniciais dado pelo C([−h, 0],Rn) no caso das EDRs, que é um espaço

de dimensão in�nita, enquanto das EDOs é Rn , espaço de dimensão �nita. Vimos

também que as soluções distintas de uma mesma EDR podem, diferentemente do caso

ordinário, se interceptarem em in�nitos pontos. Porém, pelo Teorema de Existência e

Unicidade para EDR, se elas se interceptarem em qualquer intervalo de comprimento

igual ao retardo elas serão as mesmas.

Embora não tenhamos realizado as aplicações das EDRs, foi observado durante as

discussões que o retardo é essencial para descrever fenômenos que levam em conta in-

formações do passado, como por exemplo, tempo de gestação no estudo de dinâmica

populacional.

No trabalho do Professor Nelson, também são abordados os sistemas autônomos

e sistemas lineares perturbados com respeito à estabilidade. Esses temas não foram

desenvolvidos neste trabalho, porém o leitor interessado em dar continuidade ao estudo

do trabalho do Prof. Nelson pode fazê-lo, consultando [8].

63





Referências

[1] Badin, M. G. Um olhar sobre as contribuições do professor nelson onuchic para o

desenvolvimento da matemática no brasil. Master's thesis, Instituto de Geociências

e Ciências Exatas, Rio Claro�SP, 2006.

[2] Halanay, A. Di�erential equations: Stability, oscillations, time lags. Academic

Press, New York, 1966.

[3] Hale, J. K. Ordinary di�erential equations, second ed. Robert E. Krieger Pub-

lishing Co. Inc., Huntington, N.Y., 1980.

[4] Lima, E. L. Espaços métricos, vol. 4 of Projeto Euclides [Euclid Project]. Instituto

de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 1977.

[5] Oliveira, C. G. Introdução à Análise Funcional, 2a ed. IMPA, 2009.

[6] Onuchic, N. Estruturas Uniformes sobre P-Espaços e Aplicaç oes da Teoria destes

Espaços em Topologia Geral. PhD thesis, FFCL � USP, 1957.

[7] Onuchic, N. On the Nachbin uniform structure. Proc. Amer. Math. Soc. 11

(1960), 177�179.

[8] Onuchic, N. Equações diferenciais com retardamento. Tech. rep., ICMSC-USP,

São Carlos, 1971.

[9] Perko, L. Di�erential equations and dynamical systems, second ed., vol. 7 of Texts

in Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1996.

65


	FOLHA DE ROSTO
	FICHA CATALOGRÁFICA
	COMISSÃO EXAMINADORA
	DEDICATÓRIA
	AGRADECIMENTOS
	RESUMO
	ABSTRACT
	SUMÁRIO
	1 INTRODUÇÃO
	2 ASPECTOS HISTÓRICOS SOBRE A VIDA DO PROF. NELSON
	3 PRELIMINARES
	4 RESULTADOS BÁSICOS DE EDR
	5 ESTABILIDADE E O SEGUNDO MÉTODO DE LYAPUNOFF
	CONCLUSÃO
	REFERÊNCIAS