unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Instituto de Biociencias, Letras e Ciencias Exatas DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE COMPUTACAO E ESTATISTICA ANALITICIDADE E EFEITO GRÁFICO DA DILATAÇÃO EM FUNÇÕES OCTONIÔNICAS QUASECONFORMES DO TIPO F (Z) = Zn Luiz Fernando Landucci Benzatti Dissertação de Mestrado Pós-Graduação em Matemática Rua Cristovão Colombo, 2265 15054-000 - Sao José do Rio Preto - SP - Brasil Telefone: (017) 3221-2444 Fax: (017) 3221-2445 Analiticidade e Efeito Gráfico da Dilatação em Funções Octoniônicas Quaseconformes do tipo f(z) = zn Luiz Fernando L. Benzatti1 Dissertação apresentada ao Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus de São José do Rio Preto, São Paulo, para a obtenção do t́ıtulo de Mestre em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto São José do Rio Preto 23 de outubro de 2008 1contato:benzatti@yahoo.com Benzatti, Luiz Fernando Landucci. Analiticidade e efeito gráfico da dilatação em funções octoniônicas quaseconformes do tipo f(z) = zn / Luiz Fernando Landucci Benzatti. - São José do Rio Preto : [s.n.], 2008. 59f. ; 30 cm. Orientador: Manoel Ferreira Borges Neto Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas 1. F́ısica matemática. 2. Octônios. 3. Quasiconformidade. 4. Hipercomplexos. 5. Funções octoniônicas - Dilatação. 6. Funções hipercomplexas. I. Borges Neto, Manoel Ferreira. II. Universidade Estadual Paulista, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. III. T́ıtulo. CDU- 53:51 Dissertação apresentada para obtenção do t́ıtulo de Mestre em Matemática do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universi- dade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus de São José do Rio Preto. BANCA EXAMINADORA Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto Prof. Titular UNESP - São José do Rio Preto Prof. Dr. Masayoshi Tsuchida Prof. Assistente Doutor UNESP - São José do Rio Preto Prof. Dr. Siovani Felipussi Prof. Assistente Doutor UFSCAR - Universidade Federal de São Carlos São José do Rio Preto, 23 de Outubro de 2008. “The mistakes are there, waiting to be made.” (Savielly Tartakower) iv À minha famı́lia. v v Agradecimentos A Deus, pela saúde e pelas oportunidades. Agradeço aos meus pais Luiz e Sandra, e ao meu querido irmão Danilo, pelo amor, carinho, e pelo apoio incondicional que sempre me dedicaram. À minha namorada Amanda, agradeço o carinho, a compreensão e os conselhos. Em especial, agradeço ao Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto, pela amizade, orientação e paciência na elaboração deste trabalho. À todos os amigos presentes em minha vida durante a realização do mestrado, em especial ao Nilton, que me acompanhou em grande parte dessa caminhada. vi vi Resumo Neste trabalho estudamos transformações quaseconformes no contexto dos octônios, que são hipercomplexos de oito dimensões. Por não preservar a magnitude dos ângulos, mapeamentos quaseconformes causam uma dilatação linear. A partir da definição métrica de quaseconformidade, utilizamos a forma binomial para mostrar que a distância |f(y) − f(x)| pode ser escrita como um polinômio em r. Com isso, pudemos desenvolver não só um conjunto de fórmulas como também um método computacional simplificado para o cálculo anaĺıtico da dilatação. Posteriormente, utilizamos ferramentas gráficas para vizualizar as consequências da dilatação. Palavras-chave: Octônios, transformações quaseconformes, dilatação, hipercomplexos, mapea- mentos, quasiconformidade. vii vii Abstract In this work we study quasiconformal mappings related to octonionic algebra. Since quasicon- formal mappings do not preserve the magnitude of the angles they cause a linear dilatation. We show that it also happens to 8-dimensional hipercomplex. Based on the metric definition of quasiconformal mapping we show that the distance |f(y)−f(x)| is a polynomial of variable r. Then it´s possible to make not only a set of formulas but also a computacional method to calculate the dilatation. We also use some graphical tools to visualize the consequences of dilatation. Keywords: Octonions, quasiconformal, dilatation, hipercomplex, mappings. viii viii SUMÁRIO SUMÁRIO Sumário 1 Introdução 1 1.1 Breve História dos Octônios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Nota Histórica: Transformação Quaseconforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Construção dos Octônios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Octônios: Definição e Operações Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Funções Octoniônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Não-associatividade dos Octônios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Dilatação 8 2.1 Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Desenvolvimento de f(x) = xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.1 Desenvolvendo |f(y)− f(x)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.2 Fórmula para h2k y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.3 Substituindo h2k y em F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.4 Escrevendo F como um polinômio em r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.5 Substituindo h2k y em Fi, Fj, ..., Flk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.6 Escrevendo Fi, Fj, ..., Flk como polinômios em r . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.7 Resultado: |f(y)− f(x)| = √∑ P (n) s rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Calculando a dilatação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Método computacional para o cálculo da dilatação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.2 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.3 Implementação computacional do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.4 Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5.5 Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3 Análise Gráfica 42 3.1 Mapeamento do R8 para o R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Mapeamento para f(z) = z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 Mapeamento para f(z) = z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4 Variação do Raio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5 Translação da Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ix ix 3.6 Uso da interface para gerar imagem no R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.7 Desempenho da Interface Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4 Conclusão 58 5 Bibliografia 59 1 INTRODUÇÃO 1 Introdução Neste trabalho são utilizados dois resultados principais. Em primeiro lugar, a teoria dos octônios, que é, de certo modo, uma extensão não-associativa dos quatérnios. Sua álgebra de divisão nor- mada em 8 dimensões sobre os reais é a mais vasta posśıvel que pode ser obtida a partir da construção de Cayley-Dickson. Em segundo, utilizamos o conceito de funções quaseconformes, ou seja, funções que não preservam ângulos. Mais formalmente, uma função w = f(z) é quasecon- forme em z0 se não preserva os ângulos entre as curvas através de z0 e z. Com esses conceitos, desenvolveremos um estudo sobre a dilatação em funções octoniônicas quase conforme do tipo f(z) = zn. A dilatação é uma consequência da transformação quaseconforme. Ao longo deste caṕıtulo, introduziremos alguns conceitos e definições necessárias para execução desse trabalho. 1.1 Breve História dos Octônios Muitos matemáticos conhecem a história de como Hamilton descobriu os quatérnios. Em 1835, com 30 anos de idade, ele havia descoberto como tratar números complexos como pares de números reais. Fascinado pela relação entre complexos e a geometria 2-dimensional, ele tentou por muitos anos descobrir uma álgebra maior, que tivesse o mesmo papel em uma geometria 3-dimensional. Na linguagem moderna, ele estava procurando por uma álgebra de divisão normada 3-dimensional. O problema, claro, era que não existe uma álgebra de divisão normada 3-dimensional. Em outubro de 1843 ele chegou a um resultado importante. Enquanto caminhava com sua esposa em volta do Canal Real, indo para uma reunião na Academia Real Irlandesa, fez sua descoberta histórica. ”Senti o circuito galvânico do meu pensamento se fechar; e a fáısca que resultou foram as equações fundamentais entre i,j e k. Exatamente da maneira que eu sempre as usei.” E em um famoso ato de vandalismo, ele riscou estas equações em uma pedra da ponte de Brougham: i2 = j2 = k2 = ijk = −1 Uma razão para que essa história seja tão conhecida é que Hamilton passou o resto de sua vida obscecado pelos quatérnios e suas aplicações na geometria. E por um tempo, quatérnios se tornaram um assunto de destaque. Eles eram tópico obrigatório em Dublin e em algumas univer- sidades americanas. Muito do que fazemos hoje com escalares e vetores no R3 foi feito utilizando quatérnios reais e imaginários. Uma escola de ”quaternionistas”foi desenvolvida e liderada, após 1 1 1.1 Breve História dos Octônios 1 INTRODUÇÃO a morte de Hamilton, por Peter Tait de Edinburgh e Benjamin Peirce de Harvard. Tait escreveu 8 livros sobre quatérnios, enfatizando suas aplicações na f́ısica. Quando Gibbs desenvolveu uma notação moderna para produto pontual e produto cruzado, Tait condenou isso como uma ”mon- struosidade hermafrodita”. Uma guerra de polêmicas surgiu desde então, tendo os quatérnios como perdedores. Menos conhecida é a descoberta dos octônios por um colega de faculdade de Hamilton, John T. Graves. Foi o interesse de Graves em álgebra que fez Hamilton começar a pensar sobre números complexos e sua expansão. No dia seguinte à descoberta dos quatérnios, Hamilton enviou uma carta de 8 páginas descrevendo os quatérnios para Graves. Graves respondeu ainda em outubro para Hamilton, parabenizando-o por sua descoberta e também complementando: Ainda há algo que me intriga nesse sistema. Eu não tenho ainda uma visão clara da nossa liberdade arbitrária em criar números imaginários. E então perguntou: Se com sua alquimia você pode criar 3 kg de ouro, por que não continuar? Em dezembro do mesmo ano, Graves escreveu para Hamilton descrevendo uma nova álgebra 8- dimensional, que ele denominou de ”octavos”. Ele demonstrou que sua nova descoberta era uma álgebra de divisão normada, e usou-a para expressar o produto de duas somas de oito quadrados perfeitos como uma outra soma de oito quadrados perfeitos. Em janeiro de 1844, Graves escreveu 3 vezes para Hamilton, expandindo sua descoberta. Ele considerou a idéia de uma teoria generalizada, e tentou construir uma álgebra de divisão nor- mada 16-dimensional. Encontrou certas dificuldades e passou a duvidar que isso fosse posśıvel. Hamilton se ofereceu para publicar as descobertas de Graves, mas, estando ocupado com suas pesquisas sobre quatérnios, adiou diversas vezes a publicação. Em julho Hamilton escreveu para Graves, mostrando que os octônios eram não-associativos: ”A.BC=AB.C=ABC, se A,B e C são quatérnios. Mas não vale para seus octavos.” De fato, Hamilton criou o termo ”associativo”e os octônios tiveram importante papel em mostrar a importância desse conceito. Enquanto isso, o jovem Arthur Cayley de Cambridge, vinha pensando nos quatérnios desde que Hamilton anunciou sua existência. Ele parecia procurar relações entre quatérnios e funções hipereĺıpticas. Em março de 1845, ele publicou um artigo sobre funções hipereĺıpticas e adicionou no final um breve comentário sobre octônios. O artigo estava cheio de erros em relação as funções eĺıpticas. No entanto, ele foi o primeiro a publicar algum comentário sobre os octônios. Graves anexou um breve comentário a um artigo comentando que tinha conhecimento sobre octônios desde dezembro de 1843. Em junho de 1847, Hamilton escreveu para Academia Real Irlandesa confirmando a história de Graves. Mas era tarde demais: os octônios ficaram conheci- dos como números de Cayley [4]. 2 2 1.2 Nota Histórica: Transformação Quaseconforme 1 INTRODUÇÃO Uma razão para os octônios terem, inicialmente, menos destaque que os quatérnios foi a falta de um defensor como Hamilton. Outro motivo, foi a falta de uma aplicação clara na geometria e na f́ısica. Os quatérnios se encaixam perfeitamente no estudo de rotações e momento angular, particularmente no contexto da mecânica quântica. Hoje em dia, tal fenômeno é conhecido como teoria de Clifford. Apesar disso, muitos dizem que Hamilton exagerou na importância atribúıda aos quatérnios. Mas sabemos que os quatérnios se encaixam muito bem no nosso entendimento de vários esquemas. Com os octônios foi diferente. Sua relevância na geometria ficou obscura até 1925, quando Élie Cartan descreveu a ’trialidade’ - a simetria entre vetores ’spinors’ em espaços Euclidianos de 8 dimensões. Sua relevância na f́ısica foi notada em 1934, em um artigo de Jordan, von Neumann e Wigner [2]. No entanto, as tentativas em aplicar a teoria octoniônica à f́ısica obteve pouco sucesso até os anos 80, quando descobriram que octônios explicavam ferramentas interessantes da Teoria das Cordas. 1.2 Nota Histórica: Transformação Quaseconforme O desenvolvimento moderno dessa teoria teve ińıcio em meados dos anos 50 e, desde então, vem crescendo enormemente. Parte disso, deve-se ao grande número de aplicações e conexões com outros campos da matemática. Os trabalhos de Ahlfors tiveram grande impacto em mapeamentos quaseconformes, principalmente na área de Espaços de Teichmuller [6]. Por volta de 1920, Grotzsch foi o primeiro a considerar mapeamentos quaseconformes para di- mensão 2, em seus estudos sobre domı́nios de planos simples [1]. Porém, os estudos para dimensões maiores, foram desenvolvidos por Lavrentev, com registros de 1938. O passo mais importante foi dado por Teichmüler com mapeamentos quaseconformes em su- perf́ıcies de Riemann [9], levando a uma conexão com diferenciais holomorfas. 1.3 Construção dos Octônios A maneira elementar de se contruir um octônio é utilizando sua tabela de multiplicação [5]. Os octônios são uma álgebra 8-dimensional com base 1, i, j, k, l, li, lj e lk, e sua multiplicação é dada pela seguinte tabela, que descreve o resultado da multiplicação de um elemento na i-ésima linha por outro na j-ésima coluna. Infelizmente, a tabela não esclarece muitas coisas. No entanto, podemos apontar alguns fatos 3 3 1.3 Construção dos Octônios 1 INTRODUÇÃO Figura 1: Tabela da multiplicação dos octônios interessantes: • i, j,..., lk são ráızes de -1 • se ei e ej são dois elementos da tabela, com i 6= j, então eiej = −ejei. Além disso: • eiej = ek ⇒ ei+1ej+1 = ek+1. E também • eiej = ek ⇒ e2ie2j = e2k Porém, precisamos de uma maneira mais prática para lembrar o produto dos octônios. Para tanto, apresentamos o Plano Fano. Plano Fano Os quatérnios são uma álgebra 4-dimensional com bases 1, i, j e k. Para descrever seu pro- duto, podeŕıamos utilizar a tabela de multiplicação, mas é bem mais fácil notar que: • 1 é a identidade de multiplicação; • i, j e k são as ráızes de -1; 4 4 1.3 Construção dos Octônios 1 INTRODUÇÃO • temos que ij=k, ji=-k e todas as identidades são obtidas a partir de permutações ćıclicas de (i, j,k). Podemos resumir tais fatos na seguinte figura: Figura 2: Diagrama da multiplicação dos quatérnios Quando multiplicamos dois elementos no sentido horário, obtemos o próximo elemento: por exemplo, ij = k. Mas, quando multiplicamos no sentido anti-horário, obtemos o sinal de menos: ji = −k. Podemos utilizar o mesmo tipo de figura para multiplicar octônios. Figura 3: Diagrama da multiplicação dos octônios Esse é o Plano Fano, um dispositivo com 7 pontos e 7 linhas. As linhas são os lados do triângulo, suas altitudes, e o ćırculo contendo todos os pontos intermediários dos lados. Cada par de pontos distintos está em uma única linha. Cada linha contém 3 pontos, e cada tripla possui uma ordem ćıclica definida pelas flechas. 5 5 1.4 Octônios: Definição e Operações Elementares 1 INTRODUÇÃO 1.4 Octônios: Definição e Operações Elementares Definimos o conjunto dos octônios como O={(x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8): x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 ∈ R} sendo que, dado x ∈ O, podemos escrever: x=(x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8)=x1 + ix2 + jx3 + kx4 + lx5 + lix6 + ljx7 + lkx8 onde i, j, k, l, li, lj, lk são unidades imaginárias i2 = j2 = k2 = l2 = (li)2 = (lj)2 = (lk)2 = −1 que respeitam a tabela de multiplicação introduzida no tópico anterior[4,5]. A seguir, vamos definir as operações elementares dos octônios: Definição 1. A norma |x| de um octônio x=(x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) é o número real |x| = √ x2 1 + x2 2 + x2 3 + x2 4 + x2 5 + x2 6 + x2 7 + x2 8 Definição 2. O octônio conjugado x de x=(x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) é dado por x=(x1,−x2,−x3,−x4,−x5,−x6,−x7,−x8) Definição 3. Dado x, y ∈O, tais que x=(x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) e y=(y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8), enunciamos as operações: • Adição: x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4, x5 + y5, x6 + y6, x7 + y7, x8 + y8) = (x1 +y1)+ i(x2 +y2)+j(x3 +y3)+k(x4 +y4)+ l(x5 +y5)+ li(x6 +y6)+ lj(x7 +y7)+ lk(x8 +y8) • Multiplicação: 6 6 1.5 Funções Octoniônicas 1 INTRODUÇÃO xy = (x1y1 − x2y2 − x3y3 − x4y4 − x5y5 − x6y6 − x7y7 − x8y8, x1y2 + x2y1 + x3y4 − x4y3 − x5y6 + x6y5 + x7y8 + x8y7, x1y3 − x2y4 + x3y1 + x4y2 − x5y7 + x6y8 + x7y5 − x8y6, x1y4 + x2y3 − x3y2 + x4y1 − x5y8 − x6y7 + x7y6 + x8y5, x1y5 + x2y6 + x3y7 + x4y6 + x5y1 − x6y2 − x7y3 − x8y4, x1y6 − x2y5 − x3y8 + x4y7 + x5y2 + x6y1 − x7y4 + x8y3, x1y7 + x2y8 − x3y5 − x4y6 + x5y3 + x6y4 + x7y1 − x8y2, x1y8 − x2y7 + x3y6 − x4y5 + x5y4 − x6y3 + x7y2 + x8y1) 1.5 Funções Octoniônicas Sejam D e D′ domı́nios no espaço euclidiano 8-dimensional R8, D ⊂O, D′ ⊂ O. Uma função f : D→ D′ é uma função octoniônica se f é um mapeamento que faz corresponder a cada x = (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) ∈ O um y = f(x), D′ ∈ O, ou seja f : (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) → (y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8) Sendo f uma função octoniônica, podemos decompô-la em parte escalar f1(x) = φ(x) e parte vetorial if2(x) + jf3(x) + kf4(x) + lf5(x) + lif6(x) + ljf7(x) + lkf8(x) = ϕ(x), ou seja f(x) = f1(x) + if2(x) + jf3(x) + kf4(x) + lf5(x) + lif6(x) + ljf7(x) + lkf8(x) = φ(x) + ϕ(x), onde fi : R8 → R são funções coordenadas de valores reais para i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Consequentemente, |f(x)| = √ f1(x)2 + f2(x)2 + f3(x)2 + f4(x)2 + f5(x)2 + f6(x)2 + f7(x)2 + f8(x)2, é sua norma. 7 7 1.6 Não-associatividade dos Octônios 2 DILATAÇÃO 1.6 Não-associatividade dos Octônios Sabemos que os octônios são uma álgebra 8-dimensional não-associativa, ou seja, dados a = (y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8), b = (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) e c = (z1, z2, z3, z4, z5, z6, z7, z8), temos que (a.b).c 6= a.(b.c). No entanto, quando a = b = c, temos que (a.b).c = a.(b.c), conforme mostramos abaixo: a.b = b.c = (y2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8, 2y1y2, 2y1y3, 2y1y4, 2y1y5, 2y1y6, 2y1y7, 2y1y8) (a.b).c = (−2y1y 2 2−2y1y 2 3−2y1y 2 4−2y1y 2 5−2y1y 2 6−2y1y 2 7−2y1y 2 8+y1(y 2 1−y2 2−y2 3−y2 4−y2 5−y2 6−y2 7−y2 8, 2y2 1y2 + y2(y 2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8), 2y2 1y3 + y3(y 2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8), 2y2 1y4 + y4(y 2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8), 2y2 1y5 + y5(y 2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8), 2y2 1y6 + y6(y 2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8), 2y2 1y7 + y7(y 2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8), 2y2 1y8 + y8(y 2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8)) = a.(b.c) Esse fato tem grande importância neste trabalho, já que trabalharemos com funções do tipo f(z) = zn, com z ∈ O. 2 Dilatação Já foi dito anteriormente que a dilatação é uma consequência de transformações quaseconformes. Sabendo que o objetivo principal deste trabalho é o cálculo da dilatação em funções octoniônicas do tipo f(z) = zn, vamos definir transformação quaseconforme. Definição Métrica Sejam D e D′ domı́nios no n-espaço Euclidiano Rn com n ≥ 2 e seja f : D → D′ um homeo- morfismo(cont́ınua, bijetora e preserva topologia). Para x ∈ D e r > 0, considere B(x, r) a bola fechada (com centro em x) em D. Seja L(x, r) = max |x−y|=r |f(y)− f(x)|, l(x, r) = min |x−y|=r |f(y)− f(x)|, 8 8 2.1 Coordenadas Esféricas 2 DILATAÇÃO H(x, r) = L(x, r) l(x, r) e H(x) = lim sup r→0 H(x, r), então dizemos que a função f é quaseconforme se a dilatação H(x) é uniformemente limitada em D. Por conveniência, definimos f sendo K-quaseconforme com 1 ≤ K < ∞ se f é quasecon- forme e H(x) ≤ K. Nos tópicos seguintes, desenvolveremos os ajustes necessários para calcular a dilatação dada na definição acima. 2.1 Coordenadas Esféricas Neste tópico explicitamos o processo que nos leva a escrever bolas de oito dimensões, com a fi- nalidade de calcular a distância |f(y) − f(x)|, onde x é o centro da hiperesfera de raio r e y um ponto de sua fronteira. Considerando as notações: cos(ti) = ci e sin(ti) = si, escrevemos as coordenadas de um ponto na fronteira da hiperesfera como:    y1 = rc1c2...cn−2cn−1, 0 ≤ tn−1 ≤ 2π; y2 = rc1c2...cn−2sn−1, −1 2 π ≤ tn−2 ≤ 1 2 π; y3 = rc1c2...sn−2, −1 2 π ≤ tn−3 ≤ 1 2 π; ............, ...; yj = rc1...cn−jsn−j+1, ...; ............, ...; yn = rs1, −1 2 π ≤ t1 ≤ 1 2 π. Para n = 3, temos uma esfera no R3 definida por:    y1 = rc1c2, 0 ≤ t2 ≤ 2π; y2 = rc1s2, −1 2 π ≤ t1 ≤ 1 2 π; y3 = rs1, 0 ≤ r < ∞ Para n = 8, que é o caso de nosso interesse nesse trabalho, temos: 9 9 2.2 Desenvolvimento de f(x) = xn 2 DILATAÇÃO    y1 = rc1c2c3c4c5c6c7, 0 ≤ t7 ≤ 2π; y2 = rc1c2c3c4c5c6s7, −1 2 π ≤ t6 ≤ 1 2 π; y3 = rc1c2c3c4c5s6, −1 2 π ≤ t5 ≤ 1 2 π; y4 = rc1c2c3c4s5, −1 2 π ≤ t4 ≤ 1 2 π; y5 = rc1c2c3s4, −1 2 π ≤ t3 ≤ 1 2 π; y6 = rc1c2s3, −1 2 π ≤ t2 ≤ 1 2 π; y7 = rc1s2, −1 2 π ≤ t1 ≤ 1 2 π; y8 = rs1, 0 ≤ r < ∞ 2.2 Desenvolvimento de f(x) = xn Tendo como objetivo calcular a dilatação, através do quociente entre o máximo e o mı́nimo da distância |f(y)− f(x)|, precisamos estudar o desenvolvimento das funções hipercomplexas f(x) = xn. Seja x = x1 + ix2 + jx3 + kx4 + lx5 + lix6 + ljx7 + lkx8 = x1 + hx, onde hx é a parte vetorial dada por hx = ix2 + jx3 + kx4 + lx5 + lix6 + ljx7 + lkx8 Pelas leis da multiplicação, temos que h2 x = −x2 2 − x2 3 − x2 4 − x2 5 − x2 6 − x2 7 − x2 8 é um número real. Para n ∈ N, h2 x é real e h2n+1 x = hxh 2n x = h2n x hx imaginário da forma h2n x (ix2 + jx3 + kx4 + lx5 + lix6 + ljx7 + lkx8)=ix2h 2n x + jx3h 2n x + kx4h 2n x + lx5h 2n x + lix6h 2n x + ljx7h 2n x + lkx8h 2n x Assim h2n+1 x = ix2h 2n x + jx3h 2n x + kx4h 2n x + lx5h 2n x + lix6h 2n x + ljx7h 2n x + lkx8h 2n x Então, segue-se que xn = (x1 + hx) n = n∑ k=0 ( n k ) xn−k 1 hk x = 10 10 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r 2 DILATAÇÃO ( n 0 ) xn 1h 0 x + ( n 2 ) xn−2 1 h2 x+...+ ( n 2k ) xn−2k 1 h2k x + ( n 1 ) xn−1 1 h1 x + ( n 3 ) xn−3 1 h3 x+...+ ( n 2k + 1 ) x n−(2k+1) 1 h2k+1 x = 2k≤n∑ k=0 ( n 2k ) xn−2k 1 h2k x + 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) x n−(2k+1) 1 h2k+1 x = 2k≤n∑ k=0 ( n 2k ) xn−2k 1 h2k x + ︸ ︷︷ ︸ Re(xn) 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) x n−(2k+1) 1 h2k x hx ︸ ︷︷ ︸ I(xn) = Re(xn) + I(xn) 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r Neste tópico, desenvolveremos uma idéia central desse trabalho. Vamos mostrar que a expressão |f(y)−f(x)|, quando x ε O e y ε O são escritos em coordenadas esféricas, é a raiz de um polinômio na variável r e de grau 2n da forma √ P (n) 2 r2 + P (n) 3 r3 + ... + P (n) 2n r2n (2.1) Tal resultado já foi demonstrado válido para os quatérnios [3]. Antes de demonstrar que isso é posśıvel, devemos discutir sua finalidade. Dada a definição de dilatação e a distância |f(y)− f(x)| definida como (2.1), segue-se que H(x) = lim sup r→0 H(x, r) = lim sup r→0 L(x, r) l(x, r) = lim sup r→0 max |f(y)− f(x)| min |f(y)− f(x)| = = lim sup r→0 max √ P2r2 + P3r3 + ... + P2nr2n min √ P2r2 + P3r3 + ... + P2nr2n = lim sup r→0 max r √ P2 + P3r + ... + P2nr2n−2 min r √ P2 + P3r + ... + P2nr2n−2 = = max √ P2 min √ P2 = √ max P2 min P2 Com isso, chegamos a duas conclusões importantes. Em primeiro, a dilatação não depende do raio r da hiperesfera. Em segundo, a dilatação só depende dos termos multiplicados por r2 de |f(y) − f(x)|. Logo, nosso próximo passo será extrair o termo P2 de |f(y) − f(x)|. Contudo, precisamos mostrar que a distância |f(y)− f(x)| é realmente um polinômio em r. 11 11 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r 2 DILATAÇÃO 2.3.1 Desenvolvendo |f(y)− f(x)| Consideremos x = (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) o centro da bola 8-dimensional de raio r e y = (y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8) um ponto de sua fronteira, parametrizado por    y1 = x1 + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)cos(t5)cos(t6)cos(t7) y2 = x2 + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)cos(t5)cos(t6)sen(t7) y3 = x3 + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)cos(t5)sen(t6) y4 = x4 + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)sen(t5) y5 = x5 + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)sen(t4) y6 = x6 + rcos(t1)cos(t2)sen(t3) y7 = x7 + rcos(t1)sen(t2) y8 = x8 + rsen(t1), com a forma abreviada    y1 = x1 + rc1c2c3c4c5c6c7 y2 = x2 + rc1c2c3c4c5c6s7 y3 = x3 + rc1c2c3c4c5s6 y4 = x4 + rc1c2c3c4s5 y5 = x5 + rc1c2c3s4 y6 = x6 + rc1c2s3 y7 = x7 + rc1s2 y8 = x8 + rs1, e queremos calcular |f(y)− f(x)| para f(z) = zn. Temos |f(y)− f(x)| = |Re(yn)−Re(xn) + I(yn)− I(xn)| = ∣∣∣ 2k≤n∑ k=0 ( n 2k ) (yn−2k 1 h2k y − xn−2k 1 h2k x ) 12 12 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r 2 DILATAÇÃO +i {[ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) y n−(2k+1) 1 h2k y ] y2 − [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) x n−(2k+1) 1 h2k x ] x2 } +j {[ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) y n−(2k+1) 1 h2k y ] y3 − [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) x n−(2k+1) 1 h2k x ] x3 } +k {[ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) y n−(2k+1) 1 h2k y ] y4 − [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) x n−(2k+1) 1 h2k x ] x4 } +l {[ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) y n−(2k+1) 1 h2k y ] y5 − [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) x n−(2k+1) 1 h2k x ] x5 } +li {[ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) y n−(2k+1) 1 h2k y ] y6 − [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) x n−(2k+1) 1 h2k x ] x6 } +lj {[ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) y n−(2k+1) 1 h2k y ] y7 − [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) x n−(2k+1) 1 h2k x ] x7 } +lk {[ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) y n−(2k+1) 1 h2k y ] y8 − [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) x n−(2k+1) 1 h2k x ] x8 }∣∣∣ = ∣∣∣ 2k≤n∑ k=0 ( n 2k ) (yn−2k 1 h2k y − xn−2k 1 h2k x ) +i [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) y2y n−(2k+1) 1 h2k y − x2x n−(2k+1) 1 h2k x ] +j [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) y3y n−(2k+1) 1 h2k y − x3x n−(2k+1) 1 h2k x ] +k [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) y4y n−(2k+1) 1 h2k y − x4x n−(2k+1) 1 h2k x ] +l [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) y5y n−(2k+1) 1 h2k y − x5x n−(2k+1) 1 h2k x ] +li [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) y6y n−(2k+1) 1 h2k y − x6x n−(2k+1) 1 h2k x ] +lj [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) y7y n−(2k+1) 1 h2k y − x7x n−(2k+1) 1 h2k x ] 13 13 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r 2 DILATAÇÃO +lk [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) y8y n−(2k+1) 1 h2k y − x8x n−(2k+1) 1 h2k x ]∣∣∣ = = |F + iFi + jFj + kFk + lFl + liFli + ljFlj + lkFlk| = = √ F 2 + F 2 i + F 2 j + F 2 k + F 2 l + F 2 li + F 2 lj + F 2 lk, onde F = ∣∣∣ 2k≤n∑ k=0 ( n 2k ) (yn−2k 1 h2k y − xn−2k 1 h2k x ), Fi = 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) (y2y n−(2k+1) 1 h2k y − x2x n−(2k+1) 1 h2k x ), Fj = 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) (y3y n−(2k+1) 1 h2k y − x3x n−(2k+1) 1 h2k x ), Fk = 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) (y4y n−(2k+1) 1 h2k y − x4x n−(2k+1) 1 h2k x ), Fl = 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) (y5y n−(2k+1) 1 h2k y − x5x n−(2k+1) 1 h2k x ), Fli = 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) (y6y n−(2k+1) 1 h2k y − x6x n−(2k+1) 1 h2k x ), Flj = 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) (y7y n−(2k+1) 1 h2k y − x7x n−(2k+1) 1 h2k x ), Flk = 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) (y8y n−(2k+1) 1 h2k y − x8x n−(2k+1) 1 h2k x ), Precisamos mostrar agora que todos os elementos de F , Fi, Fj, Fk, Fl, Fli, Flj, Flk estão multiplicados por algum rn, com n ∈ I. Em outras palavras, se F, Fi, ..., Flk são polinômios em r, então |f(y)− f(x)|2 também o será. 14 14 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r 2 DILATAÇÃO 2.3.2 Fórmula para h2k y Buscamos agora uma fórmula para o fator h2k y , que aparece em F, Fi, ..., Flk. h2 y = −y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8 Substituindo pela forma parametrizada h2 y = −[x2 2 + x2 3 + x2 4 + x2 5 + x2 6 + x2 7 + x2 8 + 2x2rc1c2c3c4c5c6s7 + 2x3rc1c2c3c4c5s6 + 2x4rc1c2c3c4s5 + 2x5rc1c2c3s4 + 2x6rc1c2s3 + 2x7rc1s2 + 2x8rs1 + r2(c2 1c 2 2c 2 3c 2 4c 2 5c 2 6c 2 7 − 1)] e denominando −c2 1c 2 2c 2 3c 2 4c 2 5c 2 6c 2 7 + 1 = −c2 + 1 = s2 e ∏ = x2c1c2c3c4c5c6s7 + x3c1c2c3c4c5s6 + x4c1c2c3c4s5 + x5c1c2c3s4 + x6c1c2s3 + x7c1s2 + x8s1 Temos h2 y = h2 x − 2r ∏ +r2s2 Como h2k y = (h2 y) k, onde 0 ≤ 2k ≤ n, então h2k y = (h2 x(−2r ∏ +(rs)2))k = ( k 0 ) (h2 x) k(−2r ∏ +(rs)2)0+ + ( k 1 ) (h2 x) k−1(−2r ∏ +(rs)2)1+ 15 15 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r 2 DILATAÇÃO + ( k 2 ) (h2 x) k−2(−2r ∏ +(rs)2)2+ ....... + ( k m ) (h2 x) k−m(−2r ∏ +(rs)2)m+ ....... + ( k k ) (h2 x) k−k(−2r ∏ +(rs)2)k, (0 ≤ m ≤ k) Logo, h2k y = ( k 0 ) (h2 x) k+ ( k 1 ) (h2 x) k−1 [(1 0 ) (−2r ∏ )1−0(r2s2)0 + ( 1 1 ) (−2r ∏ )1−1(r2s2)1 ] + ( k 2 ) (h2 x) k−2 [(2 0 ) (−2r ∏ )2−0(r2s2)0 + ( 2 1 ) (−2r ∏ )2−1(r2s2)1 + ( 2 2 ) (−2r ∏ )2−2(r2s2)2 ] + ...... ( k m ) (h2 x) k−m [(m 0 ) (−2r ∏ )m−0(r2s2)0 + ( m 1 ) (−2r ∏ )m−1(r2s2)1 + ( 2 2 ) (−2r ∏ )m−2(r2s2)2 + ... + ( m q ) (−2r ∏ )m−q(r2s2)q + ... + ( m m ) (−2r ∏ )m−m(r2s2)m ] + ...... ( k k ) (h2 x) k−k [(k 0 ) (−2r ∏ )k−0(r2s2)0 + ( k 1 ) (−2r ∏ )k−1(r2s2)1 + ( k 2 ) (−2r ∏ )k−2(r2s2)2 + ... + ( k k ) (−2r ∏ )k−k(r2s2)k ] , Agora podemos separar r de cada termo h2k y = [(k 0 ) (h2 x) k ] r0+ [(k 1 ) (h2 x) k−1 ( 1 0 ) (−2 ∏ )1−0(s2)0 ] r1+ [(k 1 ) (h2 x) k−1 ( 1 1 ) (−2 ∏ )1−1(s2)1 + ( k 1 ) (h2 x) k−1 ( 2 0 ) (−2 ∏ )2−0(s2)0 ] r2+ [(k 2 ) (h2 x) k−2 ( 2 1 ) (−2 ∏ )2−1(s2)1 + ( k 3 ) (h2 x) k−3 ( 3 0 ) (−2 ∏ )3−0(s2)0 ] r3+ 16 16 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r 2 DILATAÇÃO [(k 2 ) (h2 x) k−2 ( 2 2 ) (−2 ∏ )2−2(s2)2 + ( k 3 ) (h2 x) k−3 ( 3 1 ) (−2 ∏ )3−1(s2)1 + ( k 4 ) (h2 x) k−4 ( 4 0 ) (−2 ∏ )4−0(s2)0 ] r4+ ...........+ [ fm+q= ] rm+q+ ........... + (s2)kr2k, O elemento genérico dessa sequência, será definido como fm+q= = [( k m )( m q ) (h2 x) k−m(−2 ∏ )m−q(s2)q+ ( k m + 1 )( m + 1 q − 1 ) (h2 x) k−(m+1)(−2 ∏ )m−q+2(s2)q−1+... ( k m + q )( m + q 0 ) (h2 x) k−(m+q)(−2 ∏ )m+q(s2)0 ] , onde 0 ≤ m + q ≤ 2k, 0 ≤ q ≤ m ≤ k e fm+q= = 0 se m > k. Por fim, definimos a fórmula para h2k y h2k y = 2k∑ m+q=0 fm+q=rm+q (2.2) 2.3.3 Substituindo h2k y em F Nosso objetivo é obter F, Fi, ..., Flk como polinômios em r. Para tanto, vamos começar calculando F . Anteriormente, obtivemos que F = 2k≤n∑ k=0 ( n 2k ) (yn−2k 1 h2k y − xn−2k 1 h2k x ) Vamos definir então fn 2k = ( n 2k ) (yn−2k 1 h2k y − xn−2k 1 h2k x ) Substituindo y1 pela forma parametrizada e h2k y pela fórmula definida fn 2k = ( n 2k ){ (x1 + rc)n−2k( 2k∑ m+q=0 fm+q=rm+q)− xn−2k 1 h2k x } = 17 17 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r 2 DILATAÇÃO ( n 2k ){[(n− 2k 0 ) xn−2k 1 (rc)0 + ( n− 2k 1 ) xn−2k−1 1 (rc)1 + ......+ ( n− 2k p ) xn−2k−p 1 (rc)p + ..... + ( n− 2k n− 2k ) x0 1(rc) n−2k ] . [ fm+q=0r 0 + fm+q=1r 1 + ..... + fm+q=2kr 2k ] − xn−2k 1 h2k x } = Separando em função de r ( n 2k ){[(n− 2k 0 ) xn−2k 1 c0fm+q=0 ] r0+ [(n− 2k 0 ) xn−2k 1 c0fm+q=1 + ( n− 2k 1 ) xn−2k−1 1 c1fm+q=0 ] r1+ [(n− 2k 0 ) xn−2k 1 c0fm+q=2 + ( n− 2k 1 ) xn−2k−1 1 c1fm+q=1 + ( n− 2k 2 ) xn−2k−3 1 c3fm+q=0 ] r2+ +............+ [(n− 2k 0 ) xn−2k 1 c0fm+q=t + ... + ( n− 2k p ) xn−2k−p 1 cpfm+q=t−p + ... + ( n− 2k t ) x0 1c tfm+q=0 ] rt+ +............+ [(n− 2k 0 ) xn−2k 1 c0fm+q=n + ... + ( n− 2k n− 2k ) x0 1c n−2kfm+q=2k ] rn− −xn−2k 1 h2k x } O primeiro e o último termo se anulam. Logo f (n) 2k = ( n 2k )[(n− 2k 0 ) xn−2k 1 c0fm+q=1 + ( n− 2k 1 ) xn−2k−1 1 c1fm+q=0 ] r1+ ( n 2k )[(n− 2k 0 ) xn−2k 1 c0fm+q=2 + ( n− 2k 1 ) xn−2k−1 1 c1fm+q=1 + ( n− 2k 2 ) xn−2k−2 1 c2fm+q=2 ] r2+ +..............+ ( n 2k )[(n− 2k 0 ) xn−2k 1 c0fm+q=n + ... + ( n− 2k n− 2k ) x0 1c n−2kfm+q=2k ] rn+ Para facilitar a visualização de fn 2k, definimos f(2k,t) = ( n 2k )[ t∑ p=0 ( n− 2k p ) xn−2k−p 1 cpfm+q=t−p ] Portanto f (n) 2k = n∑ t=1 f(2k,t)r t (2.3) 18 18 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r 2 DILATAÇÃO 2.3.4 Escrevendo F como um polinômio em r Temos que F = 2k≤n∑ k=0 ( n 2k ) (yn−2k 1 h2k y − xn−2k 1 h2k x ) Portanto F = 2k≤n∑ k=0 f (n) 2k = 2k≤n∑ k=0 [ n∑ t=1 f(2k,t)r t ] = = f(0,1)r 1 + f(0,2)r 2 + ... + f(0,t)r t+ f(2,1)r 1 + f(2,2)r 2 + ... + f(2,t)r t+ +........+ f(2k,1)r 1 + f(2k,2)r 2 + ... + f(2k,t)r t = = 2k≤n∑ k=0 f(2k,1)r 1 + 2k≤n∑ k=0 f(2k,2)r 2 + ..... + 2k≤n∑ k=0 f(2k,t)r t Por fim, denominamos ft = 2k≤n∑ k=0 f(2k,t) e obtemos F como um polinômio em r F = n∑ t=1 ftr t (2.4) 2.3.5 Substituindo h2k y em Fi, Fj, ..., Flk Nesse tópico, vamos escrever Fi como um polinômio em r. Seja Fi = 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) (y2y n−(2k+1) 1 h2k y − x2x n−(2k+1) 1 h2k x ), e, separamos f (n) i2k como f (n) i2k = ( n 2k + 1 ) (y2y n−(2k+1) 1 h2k y − x2x n−(2k+1) 1 h2k x ) 19 19 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r 2 DILATAÇÃO Note que o desenvolvimento de f (n) i2k será semelhante para Fj, ...Flk. Substituindo y1 pela forma parametrizada, temos f (n) i2k = ( n 2k + 1 ){ y2(x1 + rc)n−(2k+1)( 2k∑ m+q=0 fm+q=rm+q)− x2x n−(2k+1) 1 h2k x } Desenvolvendo (x1 + rc)n−(2k+1) pela forma binomial f (n) i2k = ( n 2k + 1 ){ y2 [(n− (2k + 1) 0 ) x n−(2k+1) 1 (rc)0 + ( n− (2k + 1) 1 ) x n−(2k) 1 (rc)1 + ... + ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 (rc)p + ... + ( n− (2k + 1) n− (2k + 1) ) x 0) 1 (rc)n−(2k+1) ] . [ fm+q=0r 0 + fm+q=1r 1 + ... + fm+q=2kr 2k ] − x2x n−(2k+1) 1 h2k x Substituindo y2 pela forma parametrizada e separando em função de r, temos f (n) i2k = ( n 2k + 1 ){ (x2 + rc1c2c3c4c5c6s7) {[(n− (2k + 1) 0 ) x n−(2k+1) 1 c0fm+q=0 ] r0+ [(n− (2k + 1) 0 ) x n−(2k+1) 1 c0fm+q=1 + ( n− (2k + 1) 1 ) x n−(2k) 1 c1fm+q=0 ] r1+ +...................+ + [ t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−(p+1) ] rt−1+ + [ t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p ] rt+ +...................+ + ( n− (2k + 1) n− (2k + 1) ) x0 1c n−(2k+1)fm+q=2kr n−1 } − x2x n−(2k+1) 1 h2k x } Sabendo que fm+q=0 = ( k 0 )( 0 0 ) (h2 x) k−0(−2 ∏ )0−0(s2)0 = h2k x , temos f (n) i2k = ( n 2k + 1 ){[ x2 1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=1−p + c1c2c3c4c5c6s7x n−(2k+1) 1 h2k x ] r1+ + [ x2 2∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=2−p+ 20 20 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r 2 DILATAÇÃO c1c2c3c4c5c6s7 1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=2−p ] r2+ +.........+ + [ x2 t∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p+ c1c2c3c4c5c6s7 t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p−1 ] rt + .... + [ c1c2c3c4c5c6s7 ( n− (2k + 1) n− (2k + 1) ) x0 1c n−(2k+1)fm+q=2k ] rn } Podemos então, definir um termo genérico de f (n) i2k como fi(2k,t) = ( n 2k + 1 )[ x2 t∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p+ + [ c1c2c3c4c5c6s7 t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k−1)−p 1 cpfm+q=t−p−1 ] Logo f (n) i2k = n∑ t=1 fi(2k,t)r t Os cálculos da substituição de h2k y em Fj, ..., Flk segue de maneira similar a Fi. Desse modo, definimos também a) fj(2k,t) = ( n 2k + 1 )[ x3 t∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p+ + [ c1c2c3c4c5s6 t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k−1)−p 1 cpfm+q=t−p−1 ] ⇒ f (n) j2k = n∑ t=1 fj(2k,t)r t ; b) fk(2k,t) = ( n 2k + 1 )[ x4 t∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p+ 21 21 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r 2 DILATAÇÃO + [ c1c2c3c4s5 t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k−1)−p 1 cpfm+q=t−p−1 ] ⇒ f (n) k2k = n∑ t=1 fk(2k,t)r t ; c) fl(2k,t) = ( n 2k + 1 )[ x5 t∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p+ + [ c1c2c3s4 t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k−1)−p 1 cpfm+q=t−p−1 ] ⇒ f (n) l2k = n∑ t=1 fl(2k,t)r tc) ; d) fli(2k,t) = ( n 2k + 1 )[ x6 t∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p+ + [ c1c2s3 t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k−1)−p 1 cpfm+q=t−p−1 ] ⇒ f (n) li2k = n∑ t=1 fli(2k,t)r t e) flj(2k,t) = ( n 2k + 1 )[ x7 t∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p+ + [ c1s2 t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k−1)−p 1 cpfm+q=t−p−1 ] ⇒ f (n) lj2k = n∑ t=1 flj(2k,t)r t ; 22 22 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r 2 DILATAÇÃO f) flk(2k,t) = ( n 2k + 1 )[ x8 t∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p+ + [ s1 t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k−1)−p 1 cpfm+q=t−p−1 ] ⇒ f (n) lk2k = n∑ t=1 flk(2k,t)r t ; 2.3.6 Escrevendo Fi, Fj, ..., Flk como polinômios em r Seja Fi = 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) (y2y n−(2k+1) 1 h2k y − x2x n−(2k+1) 1 h2k x ), dado f (n) i2k = n∑ t=1 fi(2k,t)r t Temos Fi = 2k+1≤n∑ k=0 ( n∑ t=1 fi(2k,t)r t ) = = fi(0,1)r 1 + fi(0,2)r 2 + ... + fi(0,t)r t+ +fi(2,1)r 1 + fi(2,2)r 2 + ... + fi(2,t)r t+ +............+ +fi(2k,1)r 1 + fi(2k,2)r 2 + ... + fi(2k,t)r t = 2k+1≤n∑ k=0 fi(2k,1)r 1 + 2k+1≤n∑ k=0 fi(2k,2)r 2 + ... + 2k+1≤n∑ k=0 fi(2k,t)r t Definimos então fit = 2k+1≤n∑ k=0 fi(2k,t) 23 23 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r 2 DILATAÇÃO com 1 ≤ t ≤ n. Por fim, escrevemos Fi em sua forma polinomial Fi = n∑ t=1 fitr t (2.5) Analogamente Fj = 2k+1≤n∑ k=0 ( n∑ t=1 fj(2k,t)r t ) =⇒ fjt = 2k+1≤n∑ k=0 fj(2k,t) =⇒ Fj = n∑ t=1 fjtr t (2.6) e ainda: a) Fk = 2k+1≤n∑ k=0 ( n∑ t=1 fk(2k,t)r t ) =⇒ fkt = 2k+1≤n∑ k=0 fk(2k,t) =⇒ Fk = n∑ t=1 fktr t ; (2.7) b) Fl = 2k+1≤n∑ k=0 ( n∑ t=1 fl(2k,t)r t ) =⇒ flt = 2k+1≤n∑ k=0 fl(2k,t) =⇒ Fl = n∑ t=1 fltr t ; (2.8) c) Fli = 2k+1≤n∑ k=0 ( n∑ t=1 fli(2k,t)r t ) =⇒ flit = 2k+1≤n∑ k=0 fli(2k,t) =⇒ Fli = n∑ t=1 flitr t ; (2.9) d) Flj = 2k+1≤n∑ k=0 ( n∑ t=1 flj(2k,t)r t ) =⇒ fljt = 2k+1≤n∑ k=0 flj(2k,t) 24 24 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r 2 DILATAÇÃO =⇒ Flj = n∑ t=1 fljtr t ; (2.10) e) Flk = 2k+1≤n∑ k=0 ( n∑ t=1 flk(2k,t)r t ) =⇒ flkt = 2k+1≤n∑ k=0 flk(2k,t) =⇒ Flk = n∑ t=1 flktr t (2.11) Por fim, escrevemos toda a parte vetorial Fj, ...Flk como polinômios em r. 2.3.7 Resultado: |f(y)− f(x)| = √∑ P (n) s rs Vimos até aqui que |f(y)− f(x)| = √ F 2 + F 2 i + F 2 j + F 2 k + F 2 l + F 2 li + F 2 lj + F 2 lk, onde, F = n∑ t=1 ftr t, Fi = n∑ t=1 fitr t, Fj = n∑ t=1 fjtr t, Fk = n∑ t=1 fktr t Fl = n∑ t=1 fltr t, Fli = n∑ t=1 flitr t, Flj = n∑ t=1 fljtr t, Flk = n∑ t=1 flktr t Por isso F 2 = ( n∑ t=1 ftr t )2 = (f1r 1 + f2r 2 + ... + fnrn)2 = = n∑ v=1 (fvr v)2 + 2 n∑ w=1 n∑ z=1 fwrwfzr z = p2r 2 + p3r 3 + .... + p2nr2n = 2n∑ s=2 psr s ,onde ps fica definido como ps =    s−1∑ p=1 fpfs−p, para 2 ≤ s ≤ n + 1; n−p∑ k=0 fp+kfn−k, para s = n + p, p > 1 25 25 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r 2 DILATAÇÃO De maneira análoga, temos Fi = 2n∑ s=2 pisr s onde, pis =    s−1∑ p=1 fipfi(s−p), para 2 ≤ s ≤ n + 1; n−p∑ k=0 fi(p+k)fi(n−k), para s = n + p, p > 1 e também: a) Fj = 2n∑ s=2 pjsr s onde pjs =    s−1∑ p=1 fjpfj(s−p), para 2 ≤ s ≤ n + 1; n−p∑ k=0 fj(p+k)fj(n−k), para s = n + p, p > 1 b) Fk = 2n∑ s=2 pksr s onde pks =    s−1∑ p=1 fkpfk(s−p), para 2 ≤ s ≤ n + 1; n−p∑ k=0 fk(p+k)fk(n−k), para s = n + p, p > 1 c) Fl = 2n∑ s=2 plsr s onde pls =    s−1∑ p=1 flpfl(s−p), para 2 ≤ s ≤ n + 1; n−p∑ k=0 fl(p+k)fl(n−k), para s = n + p, p > 1 26 26 2.3 Escrevendo |f(y)− f(x)| como um polinômio em r 2 DILATAÇÃO d) Fli = 2n∑ s=2 plisr s onde plis =    s−1∑ p=1 flipfli(s−p), para 2 ≤ s ≤ n + 1; n−p∑ k=0 fli(p+k)fli(n−k), para s = n + p, p > 1 e) Flj = 2n∑ s=2 pljsr s onde pljs =    s−1∑ p=1 fljpflj(s−p), para 2 ≤ s ≤ n + 1; n−p∑ k=0 flj(p+k)flj(n−k), para s = n + p, p > 1 f) Flk = 2n∑ s=2 plksr s onde plks =    s−1∑ p=1 flkpflk(s−p), para 2 ≤ s ≤ n + 1; n−p∑ k=0 flk(p+k)flk(n−k), para s = n + p, p > 1 Logo, F 2 + F 2 i + F 2 j + F 2 k + F 2 l + F 2 li + F 2 lj + F 2 lk = 2n∑ s=2 psr s + 2n∑ s=2 pisr s + 2n∑ s=2 pjsr s + 2n∑ s=2 pksr s + 2n∑ s=2 plsr s + 2n∑ s=2 plisr s 2n∑ s=2 pljsr s + 2n∑ s=2 plksr s = 2n∑ s=2 (ps + pis + pjs + pks + pls + plis + pljs + plks)r s = 2n∑ s=2 P (n) s rs Portanto |f(y)− f(x)| = √√√√ 2n∑ s=2 P (n) s rs (2.12) 27 27 2.4 Calculando a dilatação 2 DILATAÇÃO 2.4 Calculando a dilatação Exemplo 1: Calculando a dilatação na hiperesfera 8-dimensional causada pela transformação quaseconforme f(z) = z2, onde z ∈ O. Seja x = (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) o centro da hiperesfera 8-dimensional de raio r e y = (y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8) um ponto em sua fronteira. Sabemos que o fator de expansão será P (2) 2 . |f(y)− f(x)| = √√√√ 2n∑ s=2 P (n) s rs = = √ F 2 + F 2 i + F 2 j + F 2 k + F 2 l + F 2 li + F 2 lj + F 2 lk Como n = 2, temos P (2) 2 = p2 + pi2 + pj2 + pk2 + pl2 + pli2 + plj2 + plk2 e p2 = f1f1 = f 2 1 , pi2 = f 2 i1, pj2 = f 2 j1, pk2 = f 2 k1, pl2 = f 2 l1, pli2 = f 2 li1, plj2 = f 2 lj1 e plk2 = f 2 lk1 Por isso P (2) 2 = f 2 1 + f 2 i1 + f 2 j1 + f 2 k1 + f 2 l1+ f 2 li1 + f 2 lj1 + f 2 lk1 Temos ft = 2k≤n∑ k=0 f(2k,t) =⇒ f1 = f(0,1) + f(2,1), fit = 2k+1≤n∑ k=0 fi(2k,t) =⇒ fi1 = fi(0,1), fjt = 2k+1≤n∑ k=0 fj(2k,t) =⇒ fj1 = fj(0,1), fkt = 2k+1≤n∑ k=0 fk(2k,t) =⇒ fk1 = fk(0,1), 28 28 2.4 Calculando a dilatação 2 DILATAÇÃO flt = 2k+1≤n∑ k=0 fl(2k,t) =⇒ fl1 = fl(0,1), flit = 2k+1≤n∑ k=0 fli(2k,t) =⇒ fli1 = fli(0,1), fljt = 2k+1≤n∑ k=0 flj(2k,t) =⇒ flj1 = flj(0,1), flkt = 2k+1≤n∑ k=0 flk(2k,t) =⇒ flk1 = flk(0,1), Dada a fórmula f(2k,t) = ( n 2k )[ t∑ p=0 ( n− 2k p ) xn−2k−p 1 cpfm+q=t−p ] , calculemos f1 = f(0,1) + f(2,1). Então, f(0,1) = ( 2 0 )[ 1∑ p=0 ( 2 p ) x2−p 1 cpfm+q=1−p ] = 2x1c, e f(2,1) = ( 2 2 )[ 1∑ p=0 ( 0 p ) x−p 1 cpfm+q=1−p ] = −2 ∏ , Por isso f1 = 2x1c− 2 ∏ Agora, lembramos que fi(2k,t) = ( n 2k + 1 )[ x2 t∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p+ + [ c1c2c3c4c5c6s7 t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k−1)−p 1 cpfm+q=t−p−1 ] , por isso, fi(0,1) = ( 2 1 )[ x2 1∑ p=0 ( 1 p ) x1−p 1 cpfm+q=1−p + c1c2c3c4c5c6s7 ( 1 0 ) x1 1c 0fm+q=0 ] Logo 29 29 2.4 Calculando a dilatação 2 DILATAÇÃO fi(0,1) = 2(x1c1c2c3c4c5c6s7 + x2c) De maneira análoga, encontramos fj(0,1) = 2(x1c1c2c3c4c5s6 + x3c), fk(0,1) = 2(x1c1c2c3c4s5 + x4c), fl(0,1) = 2(x1c1c2c3s4 + x5c), fli(0,1) = 2(x1c1c2s3 + x6c), flj(0,1) = 2(x1c1s2 + x7c) e flk(0,1) = 2(x1s1 + x8c) Como P (2) 2 = f 2 1 + f 2 i1 + f 2 j1 + f 2 k1 + f 2 l1+ f 2 li1 + f 2 lj1 + f 2 lk1 temos P (2) 2 = [2x1c− 2 ∏ ]2 + [2(x1c1c2c3c4c5c6s7 + x2c)] 2 + [2(x1c1c2c3c4c5s6 + x3c)] 2 + [2(x1c1c2c3c4s5 + x4c)] 2 + [2(x1c1c2c3s4 + x5c)] 2 + [2(x1c1c2s3 + x6c)] 2 + [2(x1c1s2 + x7c)] 2 + [2(x1s1 + x8c)] 2 Agora, lembrando que a dilatação é dada por H(x) = √ max P2 min P2 , segue a tabela com a dilatação H(x) para diferentes centros da hiperesfera x = (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) Max(P (2) 2 ) Min(P (2) 2 ) H(x) x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 32 4 2 √ 2 x = (12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12) 4608 576 2 √ 2 x = (1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0) 16 4 2 x = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 4 4 1 30 30 2.4 Calculando a dilatação 2 DILATAÇÃO Com o resultado da primeira e segunda linha, vemos que a translação não causou alteração no valor da dilatação. Com a quarta linha, vemos que a função f(z) = z2 é conforme para os reais. Obs: Para encontrar o máximo e o mı́nimo de P (2) 2 , foi utilizado o software Mathemática 5.2. Os comandos necessários são ”NMaximize”e ”NMinimize”. Exemplo 2: Calcular a dilatação na hiperesfera 8-dimensional causada pela transformação quaseconforme f(z) = z3, onde z ∈ O. Sabemos que |f(y)− f(x)| = √√√√ 6∑ s=2 P (3) s rs = = √ P (3) 2 r2 + P (3) 3 r3 + P (3) 4 r4 + P (3) 5 r5 + P (3) 6 r6 Precisamos encontrar P (3) 2 . Logo P (3) 2 = p2 + pi2 + pj2 + pk2 + pl2 + pli2 + plj2 + plk e p2 = f1f1 = f 2 1 , pi2 = f 2 i1, pj2 = f 2 j1, pk2 = f 2 k1, pl2 = f 2 l1, pli2 = f 2 li1, plj2 = f 2 lj1 e plk2 = f 2 lk1 Por isso P (3) 2 = f 2 1 + f 2 i1 + f 2 j1 + f 2 k1 + f 2 l1+ f 2 li1 + f 2 lj1 + f 2 lk1 Temos ft = 2k≤n∑ k=0 f(2k,t) =⇒ f1 = f(0,1) + f(2,1), 31 31 2.4 Calculando a dilatação 2 DILATAÇÃO fit = 2k+1≤n∑ k=0 fi(2k,t) =⇒ fi1 = fi(0,1) + fi(2,1), fjt = 2k+1≤n∑ k=0 fj(2k,t) =⇒ fj1 = fj(0,1) + +fj(2,1), fkt = 2k+1≤n∑ k=0 fk(2k,t) =⇒ fk1 = fk(0,1) + fk(2,1), flt = 2k+1≤n∑ k=0 fl(2k,t) =⇒ fl1 = fl(0,1) + fl(2,1), flit = 2k+1≤n∑ k=0 fli(2k,t) =⇒ fli1 = fli(0,1) + fli(2,1), fljt = 2k+1≤n∑ k=0 flj(2k,t) =⇒ flj1 = flj(0,1) + flj(2,1), flkt = 2k+1≤n∑ k=0 flk(2k,t) =⇒ flk1 = flk(0,1) + flk(2,1), Dada a fórmula f(2k,t) = ( n 2k )[ t∑ p=0 ( n− 2k p ) xn−2k−p 1 cpfm+q=t−p ] , calculemos f1 = f(0,1) + f(2,1). f(0,1) = ( 3 0 )[ 1∑ p=0 ( 3 p ) x3−p 1 cpfm+q=1−p ] = [(3 0 ) x3 1c 0fm+q=1 + ( 3 1 ) x2 1c 1fm+q=0 ] = 3x1c f(2,1) = ( 3 2 )[ 1∑ p=0 ( 1 p ) x1−p 1 cpfm+q=1−p ] = 3 [(1 0 ) x1 1c 0fm+q=1 + ( 1 1 ) x0 1c 1fm+q=0 ] = 3 [ x1 ( 1 1 )( 1 0 ) (hx) 0(−2 ∏ )1(s2)0 + c ( 1 0 ) (h2 x) 1 ] = 3h2 xc− 6x1 ∏ Portanto f1 = 3x2 1c + 3h2 xc− 6x1 ∏ Agora, lembramos que 32 32 2.4 Calculando a dilatação 2 DILATAÇÃO fi(2k,t) = ( n 2k + 1 )[ x2 t∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p+ + [ c1c2c3c4c5c6s7 t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k−1)−p 1 cpfm+q=t−p−1 ] , Então fi(0,1) = ( 3 1 )[ x2 1∑ p=0 ( 2 p ) x2−p 1 cpfm+q=1−p + c1c2c3c4c5c6s7 ( 2 0 ) x2 1c 0fm+q=0 ] = 3x2 [(2 0 ) x2 1fm+q=1 + ( 2 1 ) x1 1c 1fm+q=0 ] + x2 1c1c2c3c4c5c6s7 = 3x2 [ 0 + 2x1c ] + x2 1c1c2c3c4c5c6s7 Logo fi(0,1) = 6x1x2c + 3x2 1c1c2c3c4c5c6s7 Agora fi(2,1) = ( 3 3 )[ x2 1∑ p=0 ( 0 p ) x−p 1 cpfm+q=1−p + c1c2c3c4c5c6s7 0∑ p=0 ( 0 p ) x−p 1 cpfm+q=−p ] = = x2 [ fm+q=1 ] + c1c2c3c4c5c6s7fm+q=0 = { x2 [(1 1 )( 1 0 ) (h2 x) 0(−2 ∏ )1 ] + c1c2c3c4c5c6s7(h 2 x) 1 } = −2x2 ∏ +h2 xc1c2c3c4c5c6s7 Por fim fi1 = (3x2 1 + h2 x)c1c2c3c4c5c6s7 + 2x2(3x1c− ∏ ) E, de maneira análoga, temos fj1 = (3x2 1 + h2 x)c1c2c3c4c5s6 + 2x3(3x1c− ∏ ), fk1 = (3x2 1 + h2 x)c1c2c3c4s5 + 2x4(3x1c− ∏ ), fl1 = (3x2 1 + h2 x)c1c2c3s4 + 2x5(3x1c− ∏ ), fli1 = (3x2 1 + h2 x)c1c2s3 + 2x6(3x1c− ∏ ), 33 33 2.4 Calculando a dilatação 2 DILATAÇÃO flj1 = (3x2 1 + h2 x)c1s2 + 2x7(3x1c− ∏ ) e flk1 = (3x2 1 + h2 x)s1 + 2x8(3x1c− ∏ ) Como P (3) 2 = f 2 1 + f 2 i1 + f 2 j1 + f 2 k1 + f 2 l1+ f 2 li1 + f 2 lj1 + f 2 lk1 temos P (3) 2 = [3x2 1c + 3h2 xc− 6x1 ∏ ]2 + [(3x2 1 + h2 x)c1c2c3c4c5c6s7 + 2x2(3x1c− ∏ )]2+ +[(3x2 1 + h2 x)c1c2c3c4c5s6 + 2x3(3x1c− ∏ )]2 + [(3x2 1 + h2 x)c1c2c3c4s5 + 2x4(3x1c− ∏ )]2 +[(3x2 1 + h2 x)c1c2c3s4 + 2x5(3x1c− ∏ )]2 + [(3x2 1 + h2 x)c1c2s3 + 2x6(3x1c− ∏ )]2 +[(3x2 1 + h2 x)c1s2 + 2x7(3x1c− ∏ )]2 + [(3x2 1 + h2 x)s1 + 2x8(3x1c− ∏ )]2 Agora, sabendo que a dilatação será dada por H(x) = √ max P (3) 2 min P (3) 2 temos x = (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) Max(P (3) 2 ) Min(P (3) 2 ) H(x) x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 1, 19.107 331776 6 x = (12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12) 576 16 6 x = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 9 9 1 x = (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 441 49 3 Exemplo 3: Calcular a dilatação na hiperesfera 8-dimensional causada pela transformação quasec- onforme f(z) = z4, onde z ∈ O. Seguindo os mesmos passos dos dois exemplos anteriores, concluimos que o termo P (4) 2 do nosso polinômio será: 34 34 2.5 Método computacional para o cálculo da dilatação 2 DILATAÇÃO P (4) 2 = [4(x3 1c− 3x2 1 ∏ +3x1h 2 xc− h2 x ∏ )]2+ (4(x3 1c1c2c3c4c5c6s7 + 3x2 1x2c + (h2 xc1c2c3c4c5c6s7 − 2x2 ∏ )x1 + x2h 2 xc)) 2+ (4(x3 1c1c2c3c4c5s6 + 3x2 1x3c + (h2 xc1c2c3c4c5s6 − 2x3 ∏ )x1 + x3h 2 xc)) 2+ (4(x3 1c1c2c3c4s5 + 3x2 1x4c + (h2 xc1c2c3c4s5 − 2x4 ∏ )x1 + x4h 2 xc)) 2+ (4(x3 1c1c2c3s4 + 3x2 1x5c + (h2 xc1c2c3s4 − 2x5 ∏ )x1 + x5h 2 xc)) 2+ (4(x3 1c1c2s3 + 3x2 1x6c + (h2 xc1c2s3 − 2x6 ∏ )x1 + x6h 2 xc)) 2+ (4(x3 1c1s2 + 3x2 1x7c + (h2 xc1s2 − 2x7 ∏ )x1 + x7h 2 xc)) 2+ (4(x3 1s1 + 3x2 1x8c + (h2 xs1 − 2x8 ∏ )x1 + x8h 2 xc)) 2 Agora, sabendo que a dilatação será dada por H(x) = √ max P (4) 2 min P (4) 2 temos x = (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) Max(P (4) 2 ) Min(P (4) 2 ) H(x) x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 8192 576 3.77124 x = (12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12) 1, 28.108 9, 0.106 3.77124 x = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 16 16 1 x = (1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) 1024 64 4 2.5 Método computacional para o cálculo da dilatação 2.5.1 Introdução Como vimos, o cálculo da dilatação requer o uso de um grande número de fórmulas. Conforme aumentamos o valor de n em f(z) = zn, os cálculos ficam ainda mais extensos. Logo, o cálculo manual é bastante demorado e ainda está sujeito a erros. Por isso, buscamos o uso de computa- dores, que garantem um resultado confiável em tempo reduzido. 35 35 2.5 Método computacional para o cálculo da dilatação 2 DILATAÇÃO 2.5.2 Algoritmo Tendo mostrado que o desenvolvimento de |f(x) − f(y)| resulta em um polinômio em r, pode- mos adotar um método mais simples para calcular a dilatação. Sabendo que todos os termos de |f(x) − f(y)| estarão multiplicados por rs, com s = 2, 3, ...n, e que, o fator de expansão é dado pelos termos multiplicados por r2, seguiremos o seguinte método para o cálculo da dilatação k. 1. Desenvolver f(y) = yn, com y escrito em coordenadas esféricas; 2. Desenvolver f(x) = xn; 3. Calcular a diferença f(y)− f(x) 4. Calcular a norma do resultado anterior, ou seja, |f(y)− f(x)|. No entanto, não extráımos a raiz ainda; 5. Expandir o polinômio resultante; 6. Dividir o resultado anterior por r2, tornando somente o fator de expansão constante(independente de r); 7. Fazer r = 0, eliminando toda parte do polinômio que não influencia na dilatação; 8. Calcular o máximo e o mı́nimo do resultado, em função de t1, t2, ...t7; 9. Extrair a raiz do máximo sobre o mı́nimo. 2.5.3 Implementação computacional do método Para desenvolver o método computacional descrito, foi desenvolvida uma interface em Java, que utiliza o software Mathematica para resolver operações matemáticas. Podemos destacar as seguintes vantagens do método computacional e do uso da interface: 1. A implementação computacional do método descrito acima é mais simples do que a imple- mentação das fórmulas deduzidas para o cálculo da dilatação; 2. Esse método computacional é mais rápido; 36 36 2.5 Método computacional para o cálculo da dilatação 2 DILATAÇÃO 3. A interface permite que uma pessoa sem conhecimentos avançados do software Mathematica calcule a dilatação e produza cortes no R3; Os passos do algoritmo serão todos desenvolvidos pelo Mathemática, no entanto, o usuário não perceberá esse processo, já que a entrada e sáıda de dados será feita na interface. Por isso, podemos discutir a implementação do método computacional na linguagem do Mathematica, e posteriormente, mostrar o desenvolvimento da interface em Java. 1o Passo: Desenvolvimento de f(y) = yn Para calcular f(y) = yn, basta multiplicarmos y n-vezes seguidas a3=y1; b3=y2; c3=y3; d3=y4; e3=y5; f3=y6; g3=y7; h3=y8; a1=a3; b1=b3; c1=c3; d1=d3; e1=e3; f1=f3; g1=g3; h1=h3; For [i=1 , i< n , i++; var1=a3*a1-b3*b1-c3*c1-d3*d1-e3*e1-f3*f1-g3*g1-h3*h1; var2=a3*b1+b3*a1+c3*d1-d3*c1-e3*f1+f3*e1-g3*h1+h3*g1; var3=a3*c1-b3*d1+c3*a1+d3*b1-e3*g1+f3*h1+g3*e1-h3*f1; var4=a3*d1+b3*c1-c3*b1+d3*a1-e3*h1-f3*g1+g3*f1+h3*e1; var5=a3*e1+b3*f1+c3*g1+d3*h1+e3*a1-f3*b1-g3*c1-h3*d1; var6=a3*f1-b3*e1-c3*h1+d3*g1+e3*b1+f3*a1-g3*d1+h3*c1; var7=a3*g1+b3*h1-c3*e1-d3*f1+e3*c1+f3*d1+g3*a1-h3*b1; var8=a3*h1-b3*g1+c3*f1-d3*e1+e3*d1-f3*c1+g3*b1+h3*a1; a3=var1; b3=var2; c3=var3; d3=var4; e3=var5; f3=var6; g3=var7; h3=var8; ]; Agora, basta substituir os valores de y = (y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8) em coordenadas esféricas: 37 37 2.5 Método computacional para o cálculo da dilatação 2 DILATAÇÃO y1 = a + r ∗ Cos[t1] ∗ Cos[t2] ∗ Cos[t3] ∗ Cos[t4] ∗ Cos[t5] ∗ Cos[t6] ∗ Cos[t7]; y2 = b + r ∗ Cos[t1] ∗ Cos[t2] ∗ Cos[t3] ∗ Cos[t4] ∗ Cos[t5] ∗ Cos[t6] ∗ Sin[t7]; y3 = c + r ∗ Cos[t1] ∗ Cos[t2] ∗ Cos[t3] ∗ Cos[t4] ∗ Cos[t5] ∗ Sin[t6]; y4 = d + r ∗ Cos[t1] ∗ Cos[t2] ∗ Cos[t3] ∗ Cos[t4] ∗ Sin[t5]; y5 = e + r ∗ Cos[t1] ∗ Cos[t2] ∗ Cos[t3] ∗ Sin[t4]; y6 = f + r ∗ Cos[t1] ∗ Cos[t2] ∗ Sin[t3]; y7 = g + r ∗ Cos[t1] ∗ Sin[t2]; y8 = h + r ∗ Sin[t1]; 2o Passo: Desenvolvimento de f(x) = xn a3=a; b3=b; c3=c; d3=d; e3=e; f3=f; g3=g; h3=h; a1=a3; b1=b3; c1=c3; d1=d3; e1=e3; f1=f3; g1=g3; h1=h3; For [i=1 , i< n , i++; cen1=a3*a1-b3*b1-c3*c1-d3*d1-e3*e1-f3*f1-g3*g1-h3*h1; cen2=a3*b1+b3*a1+c3*d1-d3*c1-e3*f1+f3*e1-g3*h1+h3*g1; cen3=a3*c1-b3*d1+c3*a1+d3*b1-e3*g1+f3*h1+g3*e1-h3*f1; cen4=a3*d1+b3*c1-c3*b1+d3*a1-e3*h1-f3*g1+g3*f1+h3*e1; cen5=a3*e1+b3*f1+c3*g1+d3*h1+e3*a1-f3*b1-g3*c1-h3*d1; cen6=a3*f1-b3*e1-c3*h1+d3*g1+e3*b1+f3*a1-g3*d1+h3*c1; cen7=a3*g1+b3*h1-c3*e1-d3*f1+e3*c1+f3*d1+g3*a1-h3*b1; cen8=a3*h1-b3*g1+c3*f1-d3*e1+e3*d1-f3*c1+g3*b1+h3*a1; a3=cen1; b3=cen2; c3=cen3; d3=cen4; e3=cen5; f3=cen6; g3=cen7; h3=cen8; ]; 3o Passo: Calcular a diferença f(y)− f(x) dif1=var1-cen1; dif2=var2-cen2; dif3=var3-cen3; dif4=var4-cen4; dif5=var5-cen5; dif6=var6-cen6; dif7=var7-cen7; dif8=var8-cen8; 38 38 2.5 Método computacional para o cálculo da dilatação 2 DILATAÇÃO Agora, o octônio (dif1,dif2,...,dif8) contém o resultado de f(y)− f(x) 4o Passo: Calculando |f(y)− f(x)|, sem extrair a raiz p1=dif12; p2=dif22; p3=dif32; p4=dif42; p5=dif52; p6=dif62; p7=dif72; p8=dif82; raizp = p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 + p7 + p8; Temos agora √ raizp = |f(y)− f(x)| 5o Passo: Pegar os elementos multiplicados por r2 temp=ExpandAll[raizp]; Expandimos o polinômio temp1=temp/r2; Dividimos por r2 temp2=ExpandAll[temp1]; Expandimos o resultado r=0; Anulamos o raio, para manter somente o fator de expansão final=temp2; Atribuimos à variável final os termos denominados anteriormente por P2. 6o Passo: Calcular a máximo e o mı́nimo e encontrar o valor de k maior=NMaximize[{final, −Pi/2 < t1 < Pi/2 && −Pi/2 < t2 < Pi/2 && −Pi/2 < t3 < Pi/2 && −Pi/2 < t4 < Pi/2 && −Pi/2 < t5 < Pi/2 && −Pi/2 < t6 < Pi/2 && 0 < t7 < 2 ∗ Pi}, {t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7}]; menor=NMinimize[{final, −Pi/2 < t1 < Pi/2 && −Pi/2 < t2 < Pi/2 && −Pi/2 < t3 < Pi/2 && −Pi/2 < t4 < Pi/2 && −Pi/2 < t5 < Pi/2 && −Pi/2 < t6 < Pi/2 && 0 < t7 < 2 ∗ Pi}, {t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7}]; k=Sqrt[maior/menor]; 39 39 2.5 Método computacional para o cálculo da dilatação 2 DILATAÇÃO 2.5.4 Interface O funcionamento da inferface baseia-se no envio de informações para o sotware Mathematica e no recebimento de respostas para as operações requisitadas. Segue como exemplo, a implementação em Java de uma operação simples para ilustrar o funcionamento da interface: • A interface cria uma conexão com o Mathematica; • Envia-se uma operação matemática; • O Mathematica resolve a operação e envia o resultado para interface; • Interface imprime na tela o resultado KernelLink ml = null; String[] argv1 = { -linkmode”, ”launch”, -linkname”, ”c:/program files/wolfram research//mathematica//5.2//mathkernel.exe”}; try { ml = MathLinkFactory.createKernelLink(argv1); } catch (MathLinkException e) { System.out.println(”Erro criando conexão: ”+ e.getMessage()); return; } ml.evaluate(”2+2”); ml.waitForAnswer(); int resultado = ml.getInteger(); System.out.println(”2 + 2 = ”+ resultado); 40 40 2.5 Método computacional para o cálculo da dilatação 2 DILATAÇÃO 2.5.5 Testes Veremos o funcionamento da interface e os resultados gerados por ela. Também será útil comparar seus resultados com aqueles obtidos anteriormente por meio das fórmulas. Exemplo: Calculando a dilatação para f(z) = z2 e centro x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) Figura 4: Exemplo da Interface Segue uma tabela com os valores obtidos pelo método computacional. Tais resultados coinci- dem com aqueles obtidos anteriormente. Tabela da dilatação para n = 2 x = (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) H(x) x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 2.82843 x = (12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12) 2.82843 x = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 1 x = (1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) 2 41 41 3 ANÁLISE GRÁFICA x = (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) H(x) x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 6 x = (12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12) 6 x = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 1 x = (1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) 3, 35.1012 Tabela da dilatação para n = 3 x = (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) H(x) x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 3.77124 x = (4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4) 3.77124 x = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 1 x = (1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) 4 Tabela da dilatação para n = 4 3 Análise Gráfica Neste tópico, utilizaremos ferramentas gráficas para visualizar e discutir as consequências da dilatação. 3.1 Mapeamento do R8 para o R3 Como não é posśıvel visualizarmos a dilatação numa hiperesfera 8-dimensional, temos de fazer um mapeamento para o R3. Para que fique claro como funciona esse procedimento, basta trabalharmos com um exemplo no R3. Seja a esfera B(y1, y2, y3) definida por:    y1 = rcos(t1)cos(t2) − π 2 ≤ t1 ≤ π 2 y2 = rcos(t1)sen(t2) 0 ≤ t2 ≤ 2π y3 = rsen(t1) 42 42 3.1 Mapeamento do R8 para o R3 3 ANÁLISE GRÁFICA Fazendo t1 = 0, anula-se a terceira coordenada e resulta uma projeção da esfera no R2 dada por B(y1, y2)    y1 = rcos(t2) 0 ≤ t2 ≤ 2π y2 = rsen(t2) Figura 5: Mapeamento do R3 para R2 43 43 3.1 Mapeamento do R8 para o R3 3 ANÁLISE GRÁFICA O mesmo esquema deve ser feito para obtermos uma projeção do R8 para o R3. Seja então a bola B(x, r) 8-dimensional com centro x = (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) e raio r = |y − x| onde y = (y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8) é um ponto na hipersuperf́ıcie da bola. Podemos escrever então    y1 = x1 + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)cos(t5)cos(t6)cos(t7) y2 = x2 + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)cos(t5)cos(t6)sen(t7) y3 = x3 + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)cos(t5)sen(t6) y4 = x4 + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)sen(t5) y5 = x5 + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)sen(t4) y6 = x6 + rcos(t1)cos(t2)sen(t3) y7 = x7 + rcos(t1)sen(t2) y8 = x8 + rsen(t1) Fazendo t1 = t2 = t3 = t4 = t5 = 0 e x4 = x5 = x6 = x7 = x8 = 0 obtemos uma projeção do R8 no R3: B(y1, y2, y3) :    y1 = x1 + rcos(t6)cos(t7) y2 = x2 + rcos(t6)sin(t7) y3 = x3 + rsin(t6) É interessante observar que a projeção da hiperesfera 8-dimensional no R3 é exatamente uma esfera. No entanto, nosso objetivo é visualizar as consequências da dilatação. Para isso, devemos submeter a bola B(x, r) 8-dimensional a uma transformação quaseconforme. No caso do nosso estudo, essa transformação será dada por alguma f(z) = zn. Com isso, devemos esperar que nossa projeção no R3 passe a ser uma esfera distorcida. 44 44 3.2 Mapeamento para f(z) = z2 3 ANÁLISE GRÁFICA Figura 6: Projeção do R8 para R3 3.2 Mapeamento para f(z) = z2 Seja z ε O um ponto na hipersuperf́ıcie da bola B(x, r), com x = (a, b, c, d, e, f, g, h). Temos: f(z) = z2 = (y1 + iy2 + jy3 + ky4 + ly5 + liy6 + ljy7 + lky8) 2 e então obtemos B′(x, r) :    y′1 = y2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8 y′2 = 2y1y2 y′3 = 2y1y3 y′4 = 2y1y4 y′5 = 2y1y5 y′6 = 2y1y6 y′7 = 2y1y7 y′8 = 2y1y8 Substituindo pela forma parametrizada, segue uma hiperesfera 8-dimensional dilatada, devido à transformação quaseconforme f(z) = z2. 45 45 3.2 Mapeamento para f(z) = z2 3 ANÁLISE GRÁFICA    y′1 = (a + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)cos(t5)cos(t6)cos(t7)) 2 − (b + rcos(t1) cos(t2)cos(t3)cos(t4)cos(t5)cos(t6)sin(t7)) 2 − (c + rcos(t1)cos(t2)cos(t3) cos(t4)cos(t5)sin(t6)) 2 − (d + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)sin(t5)) 2− (e + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)sin(t4)) 2 − (f + rcos(t1)cos(t2)sin(t3)) 2− (g + rcos(t1)sin(t2)) 2 − (h + rsin(t1)) 2 y′2 = 2(a + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)cos(t5)cos(t6)cos(t7))(b+ rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)cos(t5)cos(t6)sin(t7)) y′3 = 2(a + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)cos(t5)cos(t6)cos(t7))(c+ rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)cos(t5)sin(t6)) y′4 = 2(a + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)cos(t5)cos(t6)cos(t7))(d+ rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)sin(t5)) y′5 = 2(a + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)cos(t5)cos(t6)cos(t7))(e+ rcos(t1)cos(t2)cos(t3)sin(t4)) y′6 = 2(a + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)cos(t5)cos(t6)cos(t7))(f + rcos(t1)cos(t2)sin(t3)) y′7 = 2(a + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)cos(t5)cos(t6)cos(t7))(g + rcos(t1)sin(t2)) y′8 = 2(a + rcos(t1)cos(t2)cos(t3)cos(t4)cos(t5)cos(t6)cos(t7))(h + rsin(t1)) Fazendo t1 = t2 = t3 = t4 = t5 = 0 e d = e = f = g = h = 0, obtemos uma projeção de B′(x, r) no R3, dada por: B(y′1, y ′ 2, y ′ 3) :    y′1 = (a + rcos(t6)cos(t7)) 2 − (b + rcos(t6)sen(t7)) 2 − (c + rsen(t6)) 2 y′2 = 2(a + rcos(t6)cos(t7))(b + rcos(t6)sen(t7)) y′3 = 2(a + rcos(t6)cos(t7))(c + rsen(t6)) e satisfazendo: −π 2 ≤ t6 ≤ π 2 e 0 ≤ t7 ≤ 2π. Podemos agora observar as consequências da dilatação causada pela transformação f(z) = z2 na hiperesfera 8-dimensional. 46 46 3.2 Mapeamento para f(z) = z2 3 ANÁLISE GRÁFICA Figura 7: Projeção de B(y′1, y ′ 2, y ′ 3) Podemos encontrar outras projeções de B′(x, r), como por exemplo, fazendo t1 = t2 = t3 = t5 = t6 = 0 e c = d = f = g = h = 0: B(y′1, y ′ 2, y ′ 5) :    y′1 = (a + rcos(t4)cos(t7)) 2 − (b + rcos(t4)sin(t7)) 2 − (e + rsin(t4)) 2 y′2 = 2(a + rcos(t4)cos(t7))(b + rcos(t4)sin(t7)) y′5 = 2(a + rcos(t4)cos(t7))(e + rsin(t4)) Podemos novamente observar as consequências da dilatação na esfera B(y′1, y ′ 2, y ′ 5) projetada. 47 47 3.3 Mapeamento para f(z) = z3 3 ANÁLISE GRÁFICA Figura 8: Projeção de B(y′1, y ′ 2, y ′ 3) 3.3 Mapeamento para f(z) = z3 Seja novamente z ∈ O um ponto na hipersuperf́ıcie da bola B(x, r), com x = (a, b, c, d, e, f, g, h). Temos: f(z) = z3 = (y1 + iy2 + jy3 + ky4 + ly5 + liy6 + ljy7 + lky8) 3 e cada y′i será representado como segue abaixo:    y′1 = (y2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8)y1 − 2y1y 2 2 − 2y1y 2 3 − 2y1y 2 4 − 2y1y 2 5− 2y1y 2 6 − 2y1y 2 7 − 2y1y 2 8 y′2 = (y2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8)y2 + 2y2 1y2 y′3 = (y2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8)y3 + 2y2 1y3 y′4 = (y2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8)y4 + 2y2 1y4 y′5 = (y2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8)y5 + 2y2 1y5 y′6 = (y2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8)y6 + 2y2 1y6 y′7 = (y2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8)y7 + 2y2 1y7 y′8 = (y2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4 − y2 5 − y2 6 − y2 7 − y2 8)y8 + 2y2 1y8 48 48 3.3 Mapeamento para f(z) = z3 3 ANÁLISE GRÁFICA Substituindo os yi’s pela forma parametrizada e fazendo t1 = t2 = t3 = t4 = t5 = 0, com d = e = f = g = h = 0, obtemos a seguinte projeção: B(y′1, y ′ 2, y ′ 3) :    y′1 = ((a + rcos(t6)cos(t7)) 2 − (b + rcos(t6)sin(t7)) 2 − (c + rsin(t6)) 2)(a+ rcos(t6)cos(t7))− 2(a + rcos(t6)cos(t7))(b + rcos(t6)sin(t7)) 2− 2(a + rcos(t6)cos(t7))(c + rsin(t6)) 2 y′2 = ((a + rcos(t6)cos(t7)) 2 − (b + rcos(t6)sin(t7)) 2 − (c + rsin(t6)) 2)(b+ rcos(t6)sin(t7)) + 2(a + rcos(t6)cos(t7)) 2(b + rcos(t6)sin(t7)) y′3 = ((a + rcos(t6)cos(t7)) 2 − (b + rcos(t6)sin(t7)) 2 − (c + rsin(t6)) 2)(c+ rsin(t6)) + 2(a + rcos(t6)cos(t7)) 2(c + rsin(t6)) Podemos então visualizar a dilatação causada por f(z) = z3: Figura 9: Projeção de B(y′1, y ′ 2, y ′ 3) 49 49 3.3 Mapeamento para f(z) = z3 3 ANÁLISE GRÁFICA Uma outra projeção pode ser obtida de B′(x, r) fazendo t2 = t3 = t4 = t5 = t7 = 0 e b = c = d = e = f = g = 0 B(y′1, y ′ 3, y ′ 8) :    y′1 = ((a + rcos(t1)cos(t6)) 2 − r2cos(t1) 2sin(t6) 2 − (h + rsin(t1)) 2)(a+ rcos(t1)cos(t6))− 2(a + rcos(t1)cos(t6))r 2cos(t1) 2sin(t6) 2 − 2(a+ rcos(t1)cos(t6))(h + rsin(t1)) 2 y′3 = ((a + rcos(t1)cos(t6)) 2 − r2cos(t1) 2sin(t6) 2 − (h + rsin(t1)) 2)rcos(t1)sin(t6)+ 2(a + rcos(t1)cos(t6)) 2rcos(t1)sin(t6) y′8 = ((a + rcos(t1)cos(t6)) 2 − r2cos(t1) 2sin(t6) 2 − (h + rsin(t1)) 2)(h + rsin(t1))+ 2(a + rcos(t1)cos(t6)) 2(h + rsin(t1)) E visualizamos a projeção no R3: Figura 10: Projeção de B(y′1, y ′ 3, y ′ 8) 50 50 3.4 Variação do Raio 3 ANÁLISE GRÁFICA 3.4 Variação do Raio Como vimos anteriormente no tópico (2.3), a dilatação independe do raio da hiperesfera. Também vimos que a transformação quaseconforme, por não preservar ângulos, deforma a imagem que rep- resenta. Nosso objetivo agora é visualizar as consequências da variação do raio de uma hiperesfera. Para isso, veremos um mesmo tipo de corte no R3, originados de hiperesferas de mesmo centro e raios diferentes. Exemplo 1: Seja B(x, r) e B(x, r) duas hiperesferas definidas no R8, ambas com centro definido em x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1). Submetendo ambas a uma mesma transformação quasecon- forme, f(z) = z2, teremos uma dilatação H(x) = 2, 82843 para B(x, r) e B(x, r). Fazendo r = 1 e r = 12, e criando uma mesma projeção, obtemos Figura 11: Projeções com mesmo valor de dilatação Devemos observar que apesar da dilatação, que causa a deformação, ser a mesma, as imagens no R3 possuem uma distorção diferente, causada pela variação do raio [11]. Exemplo 2: Seja B(x, r) e B(x, r) duas hiperesferas definidas no R8, ambas com centro definido em x = (1,−3, 1, 1, 1, 7, 1, 1). Submetendo ambas a uma mesma transformação quasec- onforme, f(z) = z3, teremos uma dilatação H(x) = 3, 2 para B(x, r) e B(x, r). Fazendo r = 2 e r = 13, e criando uma mesma projeção, obtemos 51 51 3.4 Variação do Raio 3 ANÁLISE GRÁFICA Figura 12: Projeções com mesmo valor de dilatação Da mesma maneira, podemos observar que, apesar da dilatação ser a mesma, a distorção nas imagens no R3 é diferente. 52 52 3.5 Translação da Imagem 3 ANÁLISE GRÁFICA 3.5 Translação da Imagem Vimos nos exemplos anteriores que a variação do centro da hiperesfera não alterou o valor da dilatação. Agora, vamos observar graficamente as consequências da translação da imagem no espaço. Seja então a hiperesfera B(x, r) com centro em x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) e B(x, r) com centro em x = (4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4). Calculando a dilatação para ambas, com f(z) = z2, obtemos o mesmo valor H(x) = 2, 82843. Observando a projeção de ambas, temos: Ou seja, diferentemente do raio, a variação da posição da imagem no espaço, para alguns casos, não altera a distorção da esfera projetada no R3. 53 53 3.6 Uso da interface para gerar imagem no R3 3 ANÁLISE GRÁFICA 3.6 Uso da interface para gerar imagem no R3 Podemos utilizar a interface gráfica para calcular cortes no R3. No entanto, foi definido somente um tipo de corte, com t1 = t2 = t3 = t4 = t5 = 0. O objetivo principal do uso dessa ferra- menta é analisar as consequências da variação do raio para um dado n e centro fixos. Também pode ser destacada a praticidade com que a interface gera as imagens comparado com o software Mathemática. Algumas imagens seguem como exemplo. Exemplo de mapeamento através da interface Figura 13: Projeção no R3 54 54 3.6 Uso da interface para gerar imagem no R3 3 ANÁLISE GRÁFICA Figura 14: Projeção no R3 55 55 3.6 Uso da interface para gerar imagem no R3 3 ANÁLISE GRÁFICA Figura 15: Variação do raio e mesmo valor da dilatação 56 56 3.7 Desempenho da Interface Gráfica 3 ANÁLISE GRÁFICA 3.7 Desempenho da Interface Gráfica Conforme dito anteriormente, quanto maior o valor de n nas funções f(z) = zn, maior será o grau do polinômio resultante da distância |f(y)− f(x)|. Consequentemente, o tempo para o cálculo da dilatação através do algoritmo definido pela interface será aumentado. Espera-se que para valores de n muito grandes, o cálculo da dilatação seja inviável. Segue abaixo uma tabela com valores do tempo de execução médio para cada valor de n. n tempo(seg) 2 2 3 4 4 11 5 70 Foi observado um aumento exponencial no tempo de execução. Não pudemos calcular a com- plexidade do algoritmo, já que utilizamos comandos do software Mathematica. 57 57 4 CONCLUSÃO 4 Conclusão Nosso objetivo principal nesse trabalho foi o cálculo da dilatação no contexto dos hipercomplexos de oito dimensões. Seguindo a definição métrica de quaseconformidade, utilizamos o caso partic- ular de transformações do tipo f(z) = zn. A álgebra octoniônica possui aplicações em diversas áreas [8]. Os octônios já foram utilizados para explicar as bases da mecânica quântica, porém sem sucesso. Atualmente, os octônios tem sido utilizados como base para a Teoria das Cordas [10], podendo provar seu valor na descrição do uni- verso. Tantos os octônios quanto os quatérnios podem ser utilizados em computação gráfica para produzir rotações em imagens. Ainda podemos citar a relevância dos octônios em outras áreas da f́ısica como relatividade especial e lógica quântica. No entanto, a discussão dessas aplicações não fizeram parte do objetivo desse trabalho. Mapeamentos quaseconformes e mapeamentos relacionados formam a mais vasta classe de ma- peamentos que pode ser estudada por métodos anaĺıticos. Suas teorias e aplicações se encontram na intersecção da geometria e da análise, além de possuir conexões com muitas outras áreas da matemática e da f́ısica. Enquanto questões fundamentais da teoria quaseconforme permanecem em aberto, recentes avanços em espaços métricos aumentaram o campo das aplicabilidades desses mapeamentos [7]. Esperamos que a união da álgebra octoniônica e de mapeamentos quaseconformes sejam úteis fu- turamente não só para matemática como também para outras áreas como a f́ısica e a computação. Para trabalhos futuros, podemos sugerir a busca de uma relação entre o valor da dilatação e a deformação causada em suas projeções, uma notação mais simplificada para o cálculo anaĺıtico da dilatação e também um aprimoramento na interface gráfica. 58 58 5 BIBLIOGRAFIA 5 Bibliografia [1]Rickman, S. - Quasiconformal Mappings - Annales Ac. Scientiarum Fennicae, Séries A, I. Math, Volume 13, 1988 [2]Baez, J.C. - The Octonions - Departamento de Matemática da Universidade da Califórnia, 2001 [3]Maricato, J.B.J. - Funções Quaseconformes - Dissertação de Mestrado, UNESP, 2005. [4]Marão, J.A.P. - Hipercomplexos: um estudo da analiticidade e da hiperperiodicidade de funções octoniônicas - Dissertação de Mestrado, UNESP, 2007. [5]Pendeza, C.A. - Álgebras não associativas octoniônicas e relações extensivas do tipo ”De Moivre” - Dissertação de Mestrado, UNESP, 2006. [6]Heinonen, J. - What is ...a Quasiconformal Mapping? - Notices of the AMS, Volume 53, 2006. [7]Bonk, M. - Quasiconformal Mappings in Geometry and Analysis - National Science Founda- tion, 2006. [8]Conway, J.H. - On Quarternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry - 2004. [9]Teichmuller, O. - Extremale quasiconforme Abbildungen and quadratische Differentiale - Abh. Preuss. Akad. Iss. 22, 1940, 1-197 [10]Baez, J. - My Favorite Numbers - The Ranking Lectures - 2008 [11]Benzatti, L.F.;Borges, M.F. - Estudo Gráfico da Dilatação em Funções Octoniônicas Quase Conforme - XXVI Colóquio de Matemática - IMPA, 2007. 59 59 CAPA FOLHA DE ROSTO FICHA CATALOGRÁFICA BANCA EXAMINADORA AGRADECIMENTOS RESUMO ABSTRACT SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 1.1 Breve História dos Octônios 1.2 Nota Histórica: Transformação Quaseconforme 1.3 Construção dos Octônios 1.4 Octônios: Definição e Operações Elementares 1.5 Funções Octoniônicas 1.6 Não-associatividade dos Octônios 2 Dilatação 2.1 Coordenadas Esféricas 2.3 Escrevendo /f(y) - f(x)j como um polinômio em r 2.4 Calculando a dilatação 2.5 Método computacional para o cálculo da dilatação 3 Análise Gráfica 3.1 Mapeamento do R8 para o R3 3.2 Mapeamento para f(z) = z2 3.3 Mapeamento para f(z) = z3 3.4 Variação do Raio 3.5 Translação da Imagem 3.6 Uso da interface para gerar imagem no R3 3.7 Desempenho da Interface Gráfica 4 Conclusão 5 Bibliografia