UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

"JÚLIO DE MESQUITA FILHO"
CAMPUS DE GUARATINGUETÁ

VANESSA MARIA FRANCISCO DE MOURA

Evolução de partículas de poeira ejetadas de Phoebe e Iapetus

Guaratinguetá
2022



Vanessa Maria Francisco de Moura

Evolução de partículas de poeira ejetadas de Phoebe e Iapetus

Dissertação apresentada ao Conselho de Curso de
Pós-Graduação em Física da Faculdade de Enge-
nharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade
Estatual Paulista, como parte dos requisitos para
obtenção do diploma de Mestre em Física .

Orientador: Profº Dr. Rafael Sfair

Guaratinguetá
2022





M929e
Moura, Vanessa Maria Francisco de

Evolução de partículas de poeira ejetadas de Phoebe e Iapetus  / Vanessa
Maria Francisco de Moura –  Guaratinguetá, 2022.

58 f : il.
Bibliografia: f. 55-56

Dissertação (Mestrado) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de
Engenharia de Guaratinguetá, 2022.

Orientador: Prof. Dr. Rafael Sfair de Oliveira

1. Satélites - Órbitas. 2. Astronomia. 3. Poeira cósmica. 4. Sistema solar.
I.   Título.

CDU 629.783(043)
Luciana Máximo
Bibliotecária/CRB-8 3595



unesp     UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 

                             CAMPUS DE GUARATINGUETÁ 
                                  
  

VANESSA MARIA FRANCISCO DE MOURA 
 

 

ESTA DISSERTAÇÃO FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE 

“MESTRE EM FÍSICA” 
 
 

PROGRAMA: FÍSICA 
 CURSO: MESTRADO 

 

APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO 
 
 
 

                                 Prof. Dr. Ernesto Vieira Neto 
                                                   Coordenador 

 

 

 
B A N C A     E X A M I N A D O R A: 
 

 
  
 Prof. Dr. RAFAEL SFAIR DE OLIVEIRA 
 Orientador - UNESP

 participou por videconferência 

  
  
  
 Prof. Dr. OTHON CABO WINTER 
 UNESP 

 participou por videconferência 

  
  

  
 Prof. Dr. FERNANDO VIRGILIO ROIG 
 Observatório Nacional 

 participou por videconferência 

  

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Março de 2022 



DADOS CURRICULARES

VANESSA MARIA FRANCISCO DE MOURA

NASCIMENTO 12/10/1996 - Guaratinguetá / SP

FILIAÇÃO Jefferson José Ribeiro de Moura
Lidia Maria Pereira Francisco de Moura

2014 / 2019 Bacharelado em Física
Faculdade de Engenharia de Guaratin-
guetá - UNESP



AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer e dedicar esta dissertação a algumas pessoas que me auxiliaram direta e
indiretamente para a realização deste trabalho:

Primeiramente aos meus pais, Lidia e Jefferson, por toda a educação que me proporcionaram, todo
o carinho, compreensão e apoio, desde o momento em que eu escolhi cursar Física. Sem vocês eu não
teria chegado até aqui.

À minha família, por me incentivar e por acreditarem na minha capacidade. Tenho muito orgulho
de ter vocês como minha família.

Aos meus amigos, que sempre me incentivaram e estiveram comigo em todos os momentos.
Ao meu orientador, Prof. Dr. Rafael Sfair, que me acompanha desde a graduação. Todo os

ensinamentos que me transmitiu foram essenciais para o desenvolvimento deste projeto.
À Patrícia Buzzatto, que me forneceu toda a ajuda necessária para a escrita do programa.
À CAPES, pelo apoio financeiro para a realização deste trabalho.



O presente trabalho foi realizado com o apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de
Nível Superior - Brasil (CAPES) - código de financiamento 001; e da Fundação de Amparo à Pesquisa
do Estado de São Paulo (FAPESP) - Processo nº 2016/24561-0.



“If you can dream it, you can do it.“

(Walt Disney)



RESUMO

Saturno possui um sistema de anéis bastante diverso e atualmente são conhecidos 82 satélites orbitando
o planeta. Em muitos casos a origem e evolução dos anéis estão intimamente ligadas à interação com
alguns satélites. Por exemplo, Verbiscer, Skrutskie e Hamilton (2009) estudaram a manutenção do anel
de Phoebe a partir da ejeção e posterior evolução orbital de partículas de poeira geradas por colisões
de corpos interplanetários com os satélites de Saturno; além disso, analisaram o transporte de algumas
partículas do tamanho de centímetros desse anel e possível colisão com Iapetus.
Neste trabalho, analisamos os mecanismos de transporte e destino de partículas ejetadas dos satélites
de Saturno. Para a geração e evolução da poeira serão levadas em conta as forças de Lorentz, pressão
de radiação solar, gravidade solar, gravidade dos satélites, arrasto de Poynting-Robertson, arrasto de
plasma e efeitos gravitacionais da não esfericidade de Saturno.
A fim de estudar a evolução orbital das partículas ejetadas pelos satélites, realizaremos simulações
numéricas utilizando o pacote REBOUND (REIN; SPIEGEL, 2015), do sistema envolvendo Saturno,
seus satélites e partículas micrométricas, levando em conta a influência de todas as forças citadas acima,
além das colisões mútuas entre partículas, colisões de partículas com os satélites e com o planeta. Com
isso podemos observar a evolução orbital das partículas e o transporte de material entre as famílias de
satélites.

PALAVRAS-CHAVE: Saturno. Transporte. Satélites.



ABSTRACT

Saturn has a very diverse ring system and there are 82 known satellites orbiting the planet. In many
cases the origin and evolution of rings are closely linked to interaction with some satellites. For
example, Verbiscer, Skrutskie e Hamilton (2009) studied the maintenance of Phoebe’s ring from
ejection and later orbital evolution of dust particles generated by body collisions interplanetary with
the Saturn’s satellites; besides, they analyzed the transport of some centimeter-sized particles from this
ring and possible collision with Iapetus.
In this work, we analyze the transport and fate mechanisms of particles ejected from Saturn’s satellites.
For the generation and evolution of the dust, Lorentz forces will be taken into consideration, solar radi-
ation pressure, solar gravity, satellite gravity, Poynting-Robertson’s drag, plasma drag and gravitational
effects of the non-sphericity of Saturn.
In order to study the orbital evolution of particles ejected by satellites, we will perform numerical
simulations using the REBOUND package (REIN; SPIEGEL, 2015), of the system involving Saturn,
its satellites and micrometric particles, considering the influence of all the forces mentioned above,
in addition to collisions mutuals between particles, collisions of particles with satellites and with the
planet. Thereby we can observe the orbital evolution of the particles and the transport of material
between the families of satellites.

KEYWORDS: Saturn. transport. satellites.



LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 2.1.1Distribuição dos satélites no sistema de Saturno. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Figura 2.2.1Desenho feito por Galileu Galilei do sistema de anéis de Saturno. . . . . . . . . 21
Figura 2.2.2Panorama dos anéis de Saturno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Figura 3.1.1Ilustração dos harmônicos zonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Figura 3.1.2Ilustração dos harmônicos tesserais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Figura 3.1.3Ilustração dos harmônicos setoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Figura 3.3.1Diagrama da reemissão da radiação eletromagnética (a) No referencial da partí-

cula; (b) No referencial da fonte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Figura 3.5.1Gráficos dos parâmetros de força adimensionais. O gráfico representa, em

função da distância, os valores numéricos dos parâmetros de perturbação: W
(achatamento planetário, J2), C (radiação solar) e L(força de Lorentz). A linha
horizontal representa os valores numérios dos parâmetros referente a cada força.
Já a linha vertical representa a localização dos satélites no qual as partículas
foram ejetadas. Assumimos densidade ρg = 1gcm−3 e carregada com Ωg = 5V . 35

Figura 5.1.1Variação dos elementos orbitais de uma partícula de 1µm, ejetada de Iapetus,
em um sistema envolvendo Saturno, 76 satélites e sem a influência das forças
perturbadoras, integrado por 1000 anos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Figura 5.1.2Variação dos elementos orbitais de uma partícula de 1µm, ejetada de Iapetus,
em um sistema envolvendo Saturno, 76 satélites e sob a influência da força do
achatamento planetário, integrado por 1000 anos. . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Figura 5.1.3Variação dos elementos orbitais de uma partícula de 1µm, ejetada de Iapetus,
em um sistema envolvendo Saturno, 76 satélites e sob a influência da força
eletromagnética, integrado por 1000 anos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Figura 5.1.4Variação dos elementos orbitais de uma partícula de 1µm, ejetada de Iapetus,
em um sistema envolvendo Saturno, 76 satélites e sob a influência da força de
radiação solar, integrado por 1000 anos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Figura 5.1.5Variação dos elementos orbitais de uma partícula de 1µm, ejetada de Iapetus,
em um sistema envolvendo Saturno, 76 satélites e sob a influência da força do
arrasto de plasma, integrado por ≈ 50 anos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Figura 5.1.6Variação dos elementos orbitais das partículas ejetadas de Iapetus, com raios de
1µm, segundo a força de achatamento planetário, eletromagnética, radiação solar
e arrasto de plasma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Figura 5.1.7Variação dos elementos orbitais das partículas ejetadas de Iapetus, com raios
de 10µm, segundo a força de achatamento planetário, eletromagnética, radiação
solar e arrasto de plasma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50



Figura 5.1.8Variação dos elementos orbitais das partículas ejetadas de Phoebe, com raios de
1µm, segundo a força de achatamento planetário, eletromagnética, radiação solar
e arrasto de plasma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Figura A.0.1Variação dos elementos orbitais das partículas ejetadas de Iapetus, com raios de
0.5µm, segundo a força de achatamento planetário, eletromagnética, radiação
solar e arrasto de plasma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura A.0.2Variação dos elementos orbitais das partículas ejetadas de Iapetus, com raios de
5µm, segundo a força de achatamento planetário, eletromagnética, radiação solar
e arrasto de plasma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58



LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1.1–Elementos orbitais dos satélites do grupo com raio maior a 100 km. Os valores
foram obtidos pelo sistema Horizons, referentes ao dia 16/07/2019. . . . . . . . . 17

Tabela 2.1.2–Elementos orbitais dos satélites do grupo Nórdico, descobertos antes de 2019. Os
valores foram obtidos pelo sistema Horizons, referentes ao dia 16/07/2019 e de
Sheppard (2019). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Tabela 2.1.3–Elementos orbitais dos satélites do grupo Inuíte, descobertos antes de 2019. Os
valores foram obtidos pelo sistema Horizons, referentes ao dia 16/07/2019 e de
Sheppard (2019). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Tabela 2.1.4–Elementos orbitais dos satélites do grupo Gaulês. Os valores foram obtidos pelo
sistema Horizons, referentes ao dia 16/07/2019 e de Sheppard (2019). . . . . . . 19

Tabela 2.1.5–Novas luas encontrada em Saturno. Os valores foram obtidos pelo sistema Horizons,
referentes ao dia 16/07/2019 e de Sheppard (2019). . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Tabela 2.1.6–Elementos orbitais dos satélites de Saturno que não estão nos grupos citados
anteriormente. Os valores foram obtidos pelo sistema Horizons, referentes ao dia
16/07/2019 e de Sheppard (2019). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Tabela 4.2.1–Valores dos coeficientes harmônicos esféricos de Saturno . . . . . . . . . . . . . 39
Tabela 4.2.2–Coeficiente Harmônico esférico do campo magnético de Saturno. . . . . . . . . . 39
Tabela 5.1.1–Variação dos elementos orbitais das partículas ejetadas de Iapetus referentes a cada

força perturbadora, ilustrados nos gráficos da Figura 5.1.2 a Figura 5.1.5. . . . . . 48
Tabela 5.1.2–Comparação dos dados obtidos nas simulações para o caso de partículas ejetadas

de Iapetus com raios 1 µm e 10 µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Tabela 5.1.3–Comparação dos dados obtidos nas simulações para o caso de partículas ejetadas

de Phoebe com raios 1 µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Tabela 5.1.4–Taxa de colisão das partículas de diferentes raios com Saturno e com os satélites

maiores. O número de partículas sobreviventes e as taxas de colisão são em relação
ao número total de partículas ejetadas. As partículas foram ejetadas de Iapetus e
em todos os casos foram incluídas todas as forças estudadas. . . . . . . . . . . . 53



SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 O SISTEMA DE SATURNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1 SATÉLITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 ANÉIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 FORÇAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 ACHATAMENTO PLANETÁRIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 FORÇA ELETROMAGNÉTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 Termos de dipolo e quadrupolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 RADIAÇÃO SOLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 ARRASTO DE PLASMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 PARÂMETROS DAS FORÇAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 MÉTODOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1 MODELO UTILIZADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 INTEGRADOR REBOUND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.1 Inclusão das forças perturbativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1 EJEÇÃO E TRANSPORTE DE PARTÍCULAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.1 Iapetus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.2 Combinação das forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.3 Phoebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1.4 Análise estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

APÊNDICE A – COMPORTAMENTO DAS PARTÍCULAS EJETADAS DE
IAPETUS COM RAIOS DE 0.5 µM E 5 µM . . . . . . . . 57



14

1 INTRODUÇÃO

Saturno é o sexto planeta do Sistema Solar e o segundo maior planeta com um raio de 60333
km. Ele possui um estrutura complexa de anéis, que se estende a uma distância de aproximadamente
140220 km do planeta, compostos em sua maioria por partículas de gelo e rocha. Após a descoberta
de 20 novas luas, em 2019, ultrapassou Júpiter e tornou-se o planeta com maior número de satélites
naturais conhecidos (GRESHKO, 2019), com um total de 82 satélites. O planeta possui uma velocidade
de rotação alta, que faz com que seus pólos sejam achatados.

Muitas observações tem sido realizadas do planeta desde a antiguidade, porém com a inferioridade
dos equipamentos observacionais, o estudo mais aprofundado desse gigante gasoso só pode ser iniciado
em 1610, com a primeira observação da estrutura de anéis feita por Galileu Galilei. Com a evolução da
ciência, o homem foi capaz de desenvolver missões espaciais capazes de estudar os corpos celestes
mais de perto, utilizando sondas com equipamentos de análise, fotografia, coleta de material, entre
outros. Algumas missões foram destinadas a explorar e estudar o planeta Saturno, dentre elas as
sondas Pioneer 1, Voyager 1 e 2 e a mais atual, Cassini-Huygens. A partir dessas missões os cientistas
conseguiram realizar um estudo mais avançado do planeta, sendo possível obter um panorama mais
detalhado dos anéis, além da descoberta de novas luas e um estudo mais aprimorado das luas já
conhecidas.

Ao estudar os anéis planetários e com a obtenção de imagens detalhadas, resultado das missões
espaciais, os cientistas descobriram que existem partículas de poeira imersas na complexa estrutura
de anéis de Saturno, e que a todo momento, essas partículas são incluídas e retiradas do sistema de
anéis. Para que estes se mantenham em um estado estacionário, é necessário um equilíbrio entre o
número de partículas ejetadas do sistema e o número de partículas geradas, caso contrário teríamos um
aumento ou diminuição significativos do anel ao longo dos anos. Muitas partículas interplanetárias
adentram aos anéis, ocasionando colisões com os satélites e com os grãos de poeira que populam essa
região. A partir dessas colisões, material é liberado do corpo e segundo a influência de algumas forças
perturbadoras, as órbitas desses materiais ejetados sofrem algumas variações e eles são espalhados na
região do anel. Dentre essas forças temos: achatamento planetário, eletromagnética, radiação solar, e
arrasto de plasma.

A equação de movimento das partículas, sob influência de todas as forças, é descrito pela seguinte
equação:

r̈ = r̈GS
+ r̈L + r̈RP + r̈PR + r̈PD + r̈Go (1.0.1)

sendo as acelerações devido a gravidade de Saturno, força de Lorentz, pressão de radiação solar, arrasto
de Poynting-Robertson, arrasto de plasma e gravidade dos outros corpos, respectivamente.

Como forma de analisar a evolução dessas partículas sob a influência das forças perturbadoras
citadas acima, desenvolvemos um programa em linguagem C, utilizando o integrador REBOUND.
Esse integrador permite a inclusão de forças não gravitacionais a partir de forças externas. Em Siqueira
(2019), foi desenvolvido um trabalho de inclusão e validação dessas forças, exceto a contribuição do



15

arrasto de plasma, no integrador REBOUND. A partir desse estudo e com o acréscimo da força do
arrasto de plasma, nós fomos capazes de executar nosso programa e realizar o projeto.

Iniciamos nosso estudo com uma introdução do tema (sistema de Saturno e forças perturbadoras),
para enfim, colocarmos em prática todo o aprendizado na montagem do programa e análise dos
resultados. Nos capítulos 2 e 3 serão apresentados os estudos bibliográficos envolvendo Saturno, seus
satélites e anéis, além das forças perturbativas responsáveis por influenciar as órbitas das partículas.
No capítulo 4, descrevemos os métodos utilizados para a realização do nosso trabalho: o sistema
em questão, a inserção das forças perturbativas no programa, detalhes sobre a ejeção de partículas
e o integrador REBOUND. No capítulo 5, demonstramos os resultados obtidos em nosso projeto,
analisando e comparamos a ejeção de partículas de dois satélites distintos: Iapetus e Phoebe e dois raios
distintos: 1 µm e 10 µm, além de fazer um estudo estatístico do transporte de poeira entre os satélites
de Saturno. Por fim, no capítulo 6, estão apresentadas as considerações finais do nosso trabalho.



16

2 O SISTEMA DE SATURNO

A estrutura de Saturno foi estudada pela primeira vez, em 1610 pelo astrônomo Galileu Galilei.
Pertencente ao grupo dos gigantes gasosos, o planeta é formado principalmente por hidrogênio e hélio,
possui uma massa de 5.688×1026 kg e um raio médio de 60330 km.

Muitos modelos de evolução planetária sugerem que Saturno surgiu do colapso gravitacional
de uma nuvem interestelar. Segundo o modelo de Nice, os planetas gigantes teriam se originado
mais próximos ao Sol, comparado a sua posição atual, mas devido a interação gravitacional entre os
planetas e planetesimais, os elementos orbitais dos planetas foram alterados, fazendo com que estes se
deslocassem para mais longe do Sol (TSIGANIS et al., 2005).

Seu campo magnético é produzido a partir da alta velocidade de rotação do planeta (≈10h35min) e
a presença de hidrogênio líquido (bom condutor de corrente elétrica) em seu interior. A rápida rotação
também faz com que o planeta seja o mais achatado do Sistema Solar.

Para ilustrar melhor a região na qual estamos trabalhando, neste capítulo iremos estudar mais a
fundo esse sistema, a estrutura e composição dos anéis, os grupos de satélites e curiosidades sobre os
mesmos. Os elementos orbitais dos satélites, apresentados nas seções subsequentes, foram os mesmos
implementados em nosso código.

2.1 SATÉLITES

Saturno possui 82 satélites naturais conhecidos orbitando ao seu redor. A maioria desses satélites
são corpos pequenos, com raio inferior a 100 km, exceto o grupo de satélites maiores (Tabela 2.1.1)
e Phoebe. Muitos desses satélites possuem características orbitais semelhantes e por isso podem ser
agrupados segundo seu tamanho e órbita. Alguns modelos sugerem que esses agrupamentos devem ter
se formado a partir de inúmeras colisões com corpos capturados por Saturno (cada grupo originaria
de um corpo diferente). Acredita-se que os satélites mais internos se formaram junto com o planeta,
devido as suas órbitas prógradas e baixa excentricidade. Já os satélites mais distantes, são menores
e possuem órbitas retrógradas, e por esse fato, acredita-se que foram capturados pela gravidade do
planeta.

Os satélites maiores são satélites regulares que orbitam as redondezas do anel E e possuem um raio
superior a 100 km de diâmetro (Tabela 2.1.1).

Já os satélites irregulares podem ser divididos em 3 grupos: Nórdico, Gaulês e Inuíte, sendo que os
nomes de todas as luas são baseadas nas respectivas mitologias.



17

Tabela 2.1.1 – Elementos orbitais dos satélites do grupo com raio maior a 100 km. Os valores foram
obtidos pelo sistema Horizons, referentes ao dia 16/07/2019.

Satélites
a (×105)

(km) e (×10−2) I (◦) Ω (◦) ω (◦) f (◦)
m (×1019)

(kg)
R

(km)
Mimas 1.8600 1.7041 1.5727 241.36 203.44 199.08 3.75 198.8
Enceladus 2.3841 0.6183 0.0128 259.30 154.66 331.29 10.80 252.3
Tethys 2.9497 0.0859 1.0932 288.00 193.35 353.80 61.76 536.3
Dione 3.7765 0.1914 0.0229 59.894 52.343 112.40 109.57 562.5
Rhea 5.2721 0.1082 0.3347 160.65 48.719 31.191 230.9 764.5
Titan 12.220 2.8738 0.4131 250.36 323.53 330.09 13455.3 2575.5
Hyperion 14.860 13.089 1.0350 229.79 355.84 195.38 1.08 133
Iapetus 35.600 2.8356 15.769 253.46 348.78 187.84 180.59 734.5

Fonte: Yeomans (2006)

• No grupo Nórdico (Tabela 2.1.2) estão os satélites irregulares de Saturno limitados pelos
seguintes parâmetros orbitais:

– Semi-eixo maior ≈ 12 ×106 km a 26 ×106 km;

– Inclinação ≈ 100° a 177°;

– Excentricidade ≈ 0.09 a 0.71.

• No grupo Inuíte (Tabela 2.1.3), estão os satélites irregulares prógradros, limitados pelos seguintes
parâmetros:

– Semi-eixo maior ≈ 11 ×106 km a 18 ×106 km;

– Inclinação ≈ 25° a 80°;

– Excentricidade ≈ 0.12 a 0.50.

• No grupo Gaulês (Tabela 2.1.4), estão os satélites irregulares prógrados, limitados pelos seguintes
parâmetros:

– Semi-eixo maior ≈ 16 ×106 km a 19 ×106 km;

– Inclinação ≈ 10° a 50°;

– Excentricidade ≈ 0.30 a 0.50.

Em 2019, um grupo do Instituto Carnegie em Washington, liderado por Scott Sheppard, fez a
descoberta de mais 20 luas orbitando Saturno, levando-o a ser o planeta com o maior número de
satélites conhecidos (GRESHKO, 2019). Essas luas possuem raios inferiores a 5 km, onde 17 possuem
órbitas retŕogradas e 3 possuem órbitas prógradas (Tabela 2.1.5).

Alguns satélites possuem parâmetros orbitais que não se encaixam em nenhum dos limites estabe-
lecidos nos grupos descritos acima, por isso não se enquadram em nenhum desses grupos. Estão eles
descritos na Tabela 2.1.6.



18

Tabela 2.1.2 – Elementos orbitais dos satélites do grupo Nórdico, descobertos antes de 2019. Os valores
foram obtidos pelo sistema Horizons, referentes ao dia 16/07/2019 e de Sheppard (2019).

Satélites
a (×107)

(km) e (×10−1) I (◦) Ω (◦) ω (◦) f (◦)
m (×1015)

(kg)
R

(km)
Phoebe 1.2902 1.5345 152.23 54.805 286.70 44.308 0.829 106.6
Skathi 1.5504 2.4876 153.80 109.72 166.83 46.314 0.35 4
Skoll 1.7573 4.0405 161.27 96.583 129.41 123.26 0.15 3
Greip 1.8179 3.6851 159.26 39.513 336.88 175.60 0.15 3
Hyrrokkin 1.8393 3.7348 148.64 346.92 338.06 181.03 0.35 4
Jarnsaxa 1.9507 2.1088 161.31 6.2383 349.89 217.14 0.15 3
Mundilfari 1.8572 1.7736 147.57 21.351 20.721 251.79 0.23 3.5
Narvi 1.9129 3.2052 109.35 56.407 180.16 164.61 0.23 3.5
Bergelmir 1.9429 1.3416 135.16 66.556 123.42 333.31 0.15 3
Suttungr 1.9338 1.1529 151.74 52.267 350.57 315.40 0.23 3.5
Hati 1.9737 3.1736 167.31 60.148 248.87 149.83 0.15 3
Bestla 2.0402 7.0590 166.56 158.25 73.478 156.88 0.23 3.5
Farbauti 2.0042 2.1707 128.84 34.257 5.1230 148.80 0.09 2.5
Thrymr 2.0368 4.7481 152.17 52.037 19.116 186.70 0.23 3.5
Aegir 2.0964 2.0725 140.98 52.840 247.21 167.24 0.15 3
Kari 2.2474 3.37.52 156.71 115.64 129.87 192.83 0.23 3.5
Fenrir 2.2604 1.2617 145.74 70.685 90.152 13.513 0.05 2
Surtur 2.2313 3.6722 151.56 69.505 273.61 278.60 0.15 3
Ymir 2.3187 3.5946 147.38 52.450 10.491 50.078 3.97 9
Loge 2.2796 1.6820 165.50 34.678 205.41 155.61 0.15 3
Fornjot 2.5067 1.5065 155.28 66.132 252.19 151.99 0.15 3
S/2007 S2 1.5952 2.4597 149.23 35.979 120.61 164.29 0.05 2
S/2004 S13 1.8351 2.9658 144.12 59.432 337.54 218.11 0.15 3
S/2004 S17 1.9327 2.0900 159.87 17.129 312.76 212.59 0.05 2
S/2006 S1 1.8842 0.9402 177.45 336.83 338.38 232.92 0.15 2.5
S/2004 S12 1.9876 3.7648 166.32 64.215 238.57 255.30 0.09 2.5
S/2004 S7 2.0221 4.9460 167.05 26.085 283.95 189.70 0.15 3
S/2007 S3 1.9079 1.9700 149.95 35.584 2.5247 55.991 0.09 2.5
S/2006 S3 2.1128 4.7821 132.05 71.619 177.71 165.68 0.15 2.5

Fontes: Yeomans (2006) e Sheppard (2019)

Dentre todos os satélites apresentados, alguns possuem características peculiares, que os fazem
destacar-se entre os corpos do Sistema Solar. Janus e Epimetheus, por exemplo, são satélites coorbitais,
que descrevem órbitas de ferradura (MURRAY; DERMOTT, 2000). No passado, acreditava-se que
esses satélites iriam se colidir devido a aproximação de ambos, porém essa ideia foi descartada quando
descobriram que eles trocam de órbita a cada 4 anos, ou seja, o satélite exterior torna-se interior, e
vice-versa, evitando a colisão.

Além desses satélites, temos Titan, a segunda maior lua do Sistema Solar, com uma atmosfera
densa e uma superfície com a presença de dunas e lagos, Enceladus, com a presença de gêiseres, que
expelem material na região do anel E (BARNETT, 2018) e Mimas, que possui uma grande cratera
formada por um impacto.



19

Tabela 2.1.3 – Elementos orbitais dos satélites do grupo Inuíte, descobertos antes de 2019. Os valores
foram obtidos pelo sistema Horizons, referentes ao dia 16/07/2019 e de Sheppard
(2019).

Satélites
a (×107)

(km) e (×10−1) I (◦) Ω (◦) ω (◦) f (◦)
m (×1015)

(kg)
R

(km)
Kiviuq 1.1297 1.5620 76.671 217.38 88.337 1.4857 2.79 8
Ijiraq 1.1344 3.7585 26.466 351.00 9.8593 2.9068 1.18 6
Paaliaq 1.4973 4.9926 70.721 208.48 241.70 14.015 7.25 11
Siarnaq 1.8024 5.0818 63.359 258.50 101.70 18.203 43.5 20
Tarqeq 1.7880 1.2300 53.427 293.34 103.35 15.813 0.23 3.5

Fonte: Yeomans (2006) e Sheppard (2019)

Tabela 2.1.4 – Elementos orbitais dos satélites do grupo Gaulês. Os valores foram obtidos pelo sistema
Horizons, referentes ao dia 16/07/2019 e de Sheppard (2019).

Satélites
a (×107)

(km) e (×10−1) I (◦) Ω (◦) ω (◦) f (◦)
m (×1015)

(kg)
R

(km)
Albiorix 1.6518 5.3490 39.643 28.202 122.30 1.2937 22.3 16
Bebhionn 1.7012 3.7195 13.833 7.9579 11.460 3.1857 0.15 3
Erriapus 1.7392 4.9185 32.231 31.015 5.6193 3.4492 0.68 5
Tarvos 1.7969 5.0019 50.793 27.206 344.07 1.6954 2.3 7.5

Fonte: Yeomans (2006) e Sheppard (2019)

Figura 2.1.1 – Distribuição dos satélites no sistema de Saturno.

Fonte: Próprio autor

2.2 ANÉIS

Ao observar Saturno, Galileu identificou uma estrutura ao seu redor. Segundo ele, tal estrutura se
parecia com "orelhas"no planeta (Figura 2.2.1), e após algumas observações, Galileu relatou que essas
estruturas tinham desaparecido. Com o avanço da astronomia observacional, em 1655, o astrônomo



20

Tabela 2.1.5 – Novas luas encontrada em Saturno. Os valores foram obtidos pelo sistema Horizons,
referentes ao dia 16/07/2019 e de Sheppard (2019).

Satélites
a (×107)

(km) e (×10−1) I (◦) Ω (◦) ω (◦) f (◦)
m (×1015)

(kg)
R

(km)
S/2004 S20 1.9243 2.0758 169.39 36.969 1.2642 161.04 0.05 2
S/2004 S21 2.2715 3.2203 130.37 22.311 243.75 267.55 0.15 1.5
S/2004 S22 2.0801 2.4111 152.75 45.541 346.67 235.17 0.15 1.5
S/2004 S23 2.1134 3.7071 150.06 44.847 82.481 95.571 0.05 1.5
S/2004 S24 2.2929 0.8366 62.966 209.87 36.672 194.45 0.05 1.5
S/2004 S25 2.0885 4.4178 153.19 55.068 235.52 237.19 0.03 1.5
S/2004 S26 2.6380 1.5271 160.52 37.782 322.35 302.82 0.05 2
S/2004 S27 2.0160 1.1143 145.50 19.924 205.91 190.90 0.05 2
S/2004 S28 2.1789 1.3636 142.51 36.118 235.87 48.464 0.03 2
S/2004 S29 1.6936 4.3862 23.900 342.27 13.071 45.472 0.05 2
S/2004 S30 2.0583 1.2632 148.89 86.193 208.83 135.03 0.05 1.5
S/2004 S31 1.7533 2.3800 57.012 282.95 281.49 0.1534 0.03 2
S/2004 S32 2.0973 2.6451 163.84 88.513 334.98 191.91 0.05 2
S/2004 S33 2.4288 3.9057 141.43 9.1273 19.535 188.50 0.03 2
S/2004 S34 2.4079 2.3005 161.13 66.959 263.01 40.680 0.03 1.5
S/2004 S35 2.2170 1.8530 155.07 42.075 46.279 224.36 0.05 2
S/2004 S36 2.3429 7.3964 135.65 72.670 191.73 197.71 0.03 1.5
S/2004 S37 1.6006 4.9686 134.97 38.897 115.70 293.68 0.03 2
S/2004 S38 2.2102 4.4195 127.46 26.519 26.802 335.16 0.05 2
S/2004 S39 2.3688 0.6937 139.56 49.131 202.61 230.30 0.03 1

Fonte: Yeomans (2006) e Sheppard (2019)

Tabela 2.1.6 – Elementos orbitais dos satélites de Saturno que não estão nos grupos citados anterior-
mente. Os valores foram obtidos pelo sistema Horizons, referentes ao dia 16/07/2019 e
de Sheppard (2019).

Satélites
a (×105)

(km) e (×10−3) I (◦) Ω (◦) ω (◦) f (◦)
m (×1015)

(kg)
R

(km)
Epimetheus 1.5201 8.8233 0.3527 356.93 151.88 270.59 0.055 55
Janus 1.5205 4.8386 0.1655 318.77 69.299 258.23 0.198 95
Aegaeon 1.6803 2.9829 0.0017 230.65 169.12 7.0607 0.0001 0.5
Methone 1.9467 3.4794 0.0163 10.881 101.02 15.653 0.02 1.6
Anthe 1.9809 0.8351 0.0177 347.08 205.07 14.813 0.0015 1
Pallene 2.1271 4.2209 0.1814 179.35 122.22 69.648 0.05 2
Calypso 2.9499 1.0001 1.4990 342.69 47.110 28.802 0.3597 8
Telesto 2.9497 0.8828 1.1819 257.50 282.55 354.19 9.41 12.4
Helene 3.7742 6.9322 0.2138 280.55 174.84 184.24 2.547 16
Polydeuces 3.7738 18.866 0.1817 186.78 79.936 233.13 0.03 2

Fonte: Yeomans (2006) e Sheppard (2019)

Christiaan Huygens, identifica essa estrutura como um disco sólido e plano. Por um tempo, essa era a
única explicação para as estruturas em volta do planeta, até que em 1675, Giovanni Cassini observou
uma falha, separando o disco rígido em dois anéis, nomeada como a divisão de Cassini. A ideia de



21

anéis sólidos só foi rebatida em 1857, por James Maxwell, que demonstrou que os anéis eram formados
por um aglomerado de pequenas massas.

Figura 2.2.1 – Desenho feito por Galileu Galilei do sistema de anéis de Saturno.

Fonte: Couper e Henbest (1986)

Muitas missões espaciais foram capazes de estudar mais a fundo esse complexo sistema de anéis.
A primeira missão destinada a Saturno foi a Pionner 11, que chegou ao planeta em 1979. Essa missão
foi capaz de estudar a magnetosfera, campo magnético, dentre outras estruturas do planeta, além de
fazer a descoberta do anel F (SIDDIQI, 2019). Com essa missão, foi possível comprovar que o anel
era composto por uma grande quantidade de fragmentos de rocha e gelo, além da descoberta de um
novo anel, o anel F. Já as sondas Voyager 1 e 2, ambas lançadas em 1977, foram capazes de obter belas
imagens mais detalhadas das finas estrutura de anéis.

O sistema de anéis de Saturno é composto de fragmentos de rocha e gelo, que acreditam-se ser
destroços de cometas, asteróides e luas. Do anel mais próximo do planeta até o mais distante temos:
D,C,B,A,F,E,G, e cada um possui uma velocidade orbital diferente, como esperado pela 3ª lei de
Kepler. Entre esses anéis existem algumas lacunas, separando-os entre si. Entre os anéis D e C, temos
a Divisão de Maxwell, entre B e A temos a Divisão de Cassini e separando o anel A de F, G e E temos
as divisões Encke e Keeler.

A divisão de Cassini é produzida pela ressonância 2:1 de Mimas (MURRAY; DERMOTT, 2000),
enquanto que os satélites Pã e Dafne são responsáveis pelas divisões Encke e Keeler, já que estes estão
orbitando dentro dessas lacunas, respectivamente, fazendo a "limpeza"do material que possivelmente
possa entrar essa região.

Mas como esses anéis se mantém orbitando Saturno? Alguns casos presumem que a origem
e posterior evolução dos anéis se dá por meio da interação destes com os satélites próximos. Foi
descoberto, em 2009, um disco de poeira tênue, interior a órbita do satélite Phoebe. Couper e Henbest
(1986) estudaram a manutenção do anel de Phoebe a partir da ejeção e posterior evolução orbital de
partículas de poeira geradas por colisões de corpos interplanetários com o satélite de Saturno, além
disso, analisaram o transporte de algumas partículas do tamanho de centímetros desse anel e possível
colisão com Iapetus.

O mesmo processo ocorre com o anel Janus/Epimetheus. Em 2006, imagens feitas pela sonda
Cassini mostraram um anel de poeira ao redor das órbitas de Janus e Epimetheus, e acredita-se que a



22

Figura 2.2.2 – Panorama dos anéis de Saturno.

Fonte: NASA/JPL-Caltech/SSI (2012)

manutenção desse anel é feita pela colisão de partículas micrométricas com esses satélites (WINTER
et al., 2017). Já outros anéis estão confinados devido a influência gravitacional de dois satéĺites, como
é o caso do anel F, que se mantém entre os satélites Prometheus e Pandora.

Conhecendo as características físicas da região em questão, podemos nos aprofundar no aspecto
perturbativo, que envolve as forças que influenciam as partículas imersas nesta região, ocasionando
uma variação em seus elementos orbitais, fazendo com que elas sejam transportados para dentro e para
fora de suas órbitas, que é o foco principal do nosso projeto.



23

3 FORÇAS

Neste capítulo, será apresentado o embasamento teórico utilizado para dedução das equações das
forças perturbadoras, utilizadas em nosso programa. Cada seção está direcionada para o estudo de uma
força, e no final de cada seção estão apresentadas as equações gerais das respectivas forças. Nosso
intuito é demonstrar a forma geral da equação, para que no capítulo 4, elas sejam apresentadas através
das componentes x,y e z.

3.1 ACHATAMENTO PLANETÁRIO

Um corpo orbitando um planeta perfeitamente esférico e homogêneo, descreve uma órbita elíptica.
Porém, conhecemos muitos casos em que a distribuição de massa do planeta não é homogênea, como
por exemplo, planetas com achatamento nos pólos. Essa não esfericidade do planeta afeta as órbitas
dos corpos que o estão orbitando, deformando a elipse. Em nosso caso estamos trabalhando com
Saturno, o planeta mais achatado do Sistema Solar.

Iniciaremos nossa seção deduzindo a equação do potencial utilizando os trabalhos de Kuga, Rao
e Carrara (2011), para depois obtermos as equações das forças para os coeficientes harmônicos J2,
J4 e J6. Por fim, mostraremos a influência da força do achatamento planetário nas partículas que
estão orbitando um corpo achatado e como esta força influencia nos elementos orbitais da partícula,
analisando as equações descritas em Hamilton (1993).

Quando estamos trabalhando com um corpo oblato, estamos considerando uma distribuição não
uniforme de massa, por isso levamos em consideração que uma partícula sob a influência da força de
achatamento planetário devido ao planeta achatado irá sofrer influência de um potencial gerado por
cada elemento de massa dM. Nesta configuração, temos que, em coordenadas esféricas, uma partícula
orbita o planeta no ponto P(r, θ, λ), enquanto que a posição do elemento de massa será P’(r’, θ’, λ’),
sendo θ a latitude e λ a longitude.

Partimos da expressão do potencial de um elemento de massa dM.

UdM = GM
r

∞∑
n=0

(
r′

r

)n
Pn(cos Ψ) (3.1.1)

onde Ψ é o ângulo entre os vetores posição de P e P’.
Utilizando o teorema de adição de Legendre:

Pn(cos Ψ) =
n∑

m=0

(2− δmn) (n−m)!
(n+m)!

Pm
n (cos θ)Pm

n (cos θ′) cosm(λ− λ′) (3.1.2)

e usando os ângulos complementares ϕ, ϕ′ de θ e θ′, temos:

UdM = GM
r

∞∑
n=0

n∑
m=0

(2− δnm (n−m)!
(n+m)!

(
r′

r

)n
Pm
n (sinϕ)Pm

n (sinϕ′) cosm(λ− λ′) (3.1.3)



24

onde G é a constante gravitacional universal, δmn representa o delta de Kronecker e Pm
n os polinômios

associados de Legendre.
Integrando em toda a distribuição de massa (KUGA; RAO; CARRARA, 2011):

U = GM
r

∞∑
n=m

n∑
m=0

(
ae
r

)n
(Cnm cosmλ+ Snm sinmλ)Pm

n (sinϕ) (3.1.4)

em que: [
Cnm

Snm

]
= (2−δmo)

aneM
(n−m)!
(n+m)!

∫
M
r′nP

m
n (sinϕ′)

[
cosmλ′

sinmλ

]
dM (3.1.5)

sendo Cnm e Snm os coeficientes harmônicos esféricos, ae o semi-eixo maior equatorial do elipsóide
do planeta e M a massa do planeta.

A partir da integração da equação (3.1.3) para a obtenção da expressão do potencial (3.1.4), vemos
que os coeficientes possuem algumas características (KUGA; RAO; CARRARA, 2011):

• Harmônicos zonais (m = 0): São polinômios de grau n, e por isso possuem n zeros (reais e
situados entre −1 ≤ t ≤ 1 ou 0 ≤ θ ≤ π). Mudam seu sinal n vezes no intervalo, independem
da longitude λ e dividem a esfera em zonas.

Figura 3.1.1 – Ilustração dos harmônicos zonais

Fonte: Kuga, Rao e Carrara (2011)

• Harmônicos tesserais (0 < m < n): Possuem 2m zeros (situados entre 0 ≤ λ ≤ 2π ou
0 ≤ θ ≤ 2π. As funções associadas mudam seu sinal nm vezes no intervalo 0 ≤ λ ≤ π. Divide
a esfera em compartimentos, de tal forma que a função alterna entre positivo e negativo.

• Harmônicos setoriais (m = n): Se degeneram em funções, dividindo a esfera em setores
positivos e negativos.

Os coeficientes C00 = 1 e S00 = 1 descrevem o potencial gravitacional principal, com n,m = 0.
Como a origem do sistema de coordenadas coincide com o centro de massa do planeta, temos que
C10 = C11 = S11 = S00 = Sn0 = 0. Os coeficiente C10, C11, S10, S11 são equivalente aos termos de
J1.



25

Figura 3.1.2 – Ilustração dos harmônicos tesserais

Fonte: Kuga, Rao e Carrara (2011)

Figura 3.1.3 – Ilustração dos harmônicos setoriais

Fonte: Kuga, Rao e Carrara (2011)

O efeito da distribuição não uniforme de massa devido ao achatamento dos pólos é refletido
no coeficiente zonal C20. Seu valor é negativo, já que o coeficiente possui valores positivos nos
pólos e negativo no equador (análogo a um achatamento do equador). Assume-se que C20 = −J2,
sendo J2 o coeficiente zonal devido ao achatamento. Analogamente, temos C30 = −J3, sendo J3 o
coeficiente responsável por atribuir o formato de pera ao planeta (KUGA; RAO; CARRARA, 2011).
Os coeficientes Jn são constantes e seus valores diferem para cada planeta.

O potencial de um esferóide, expandindo para termos de até 6a ordem pode ser escrito como:

U =
GMp

r

[
1−

6∑
n=2

Jn

(
Rp

r

)n
Pn(sinϕ)

]
(3.1.6)

=
GMp

r

[
1− J2

(
Rp

r

)2

P2(sinϕ)− J4
(
Rp

r

)4

P4(sinϕ)− J6
(
Rp

r

)6

P6(sinϕ)

]
(3.1.7)

onde Pn representam os polinômios de Legendre e Jn representam os harmônicos zonais. Neste
trabalho são utilizados somente os harmônicos de índices pares, porque estamos interessados em
coeficientes que possuem simetria com o plano equatorial.



26

Como sabemos, a força é igual à menos o gradiente do potencial, ou seja:

~F = −∇U (3.1.8)

Com isso podemos obter as equações da força, devido ao achatamento planetário para os coeficien-
tes J2,J4 e J6:

~FJ2 = −GMp∇

[
1

r

(
1− J2

(
Rp

r

)2

P2(sinϕ)

)]
(3.1.9)

~FJ4 = −GMp∇

[
1

r

(
−J4

(
Rp

r

)4

P4(sinϕ)

)]
(3.1.10)

~FJ6 = −GMp∇

[
1

r

(
−J6

(
Rp

r

)6

P6(sinϕ)

)]
(3.1.11)

Os polinômios de Legendre são dados por:

P2(x) =
1

2
(3x2 − 1) (3.1.12)

P4(x) =
1

8
(35x4 − 30x2 + 3) (3.1.13)

P6(x) =
1

16
(231x6 − 315x4 + 105x2 − 5) (3.1.14)

As componentes (x,y,z) das força para o coeficiente J2, derivadas da equação (3.1.9) são:

FxJ2 = −GMp

r3

[
1 +

3

2
J2
R2
p

r2

2

− 15

2
J2
R2
p

r4
z2

]
x (3.1.15)

FyJ2 = −GMp

r3

[
1 +

3

2
J2
R2
p

r2

2

− 15

2
J2
R2
p

r4
z2

]
y (3.1.16)

FzJ2 = −GMp

r3

[
1 +

9

2
J2
R2
p

r2

2

− 15

2
J2
R2
p

r4
z2

]
z (3.1.17)

As componentes para o coeficiente J4, derivadas da equação (3.1.10) são:

FxJ4 = −GMp

r3

[
−15

8
J4

(
Rp

r

)4

+
210

8
J4
R4
p

r6
z2 − 315

8
J4
R4
p

r8
z4

]
x (3.1.18)

FyJ4 = −GMp

r3

[
−15

8
J4

(
Rp

r

)4

+
210

8
J4
R4
p

r6
z2 − 315

8
J4
R4
p

r8
z4

]
y (3.1.19)

FzJ4 = −GMp

r3

[
−75

8
J4

(
Rp

r

)4

+
350

8
J4
R4
p

r6
z2 − 315

8
J4
R4
p

r8
z4

]
z (3.1.20)



27

As componentes para o coeficiente J6, derivadas da equação (3.1.11) são:

FxJ6 = −GMp

r3

[
−105

16
J6

(
Rp

r

)6

+

(
1

3
+ 9

(z
r

)2
− 33

(z
r

)4
+

143

5

(z
r

)6)]
x (3.1.21)

FyJ6 = −GMp

r3

[
−105

16
J6

(
Rp

r

)6

+

(
1

3
+ 9

(z
r

)2
− 33

(z
r

)4
+

143

5

(z
r

)6)]
y (3.1.22)

FzJ6 = −GMp

r3

[
−105

16
J6

(
Rp

r

)6

+

(
7

3
+ 21

(z
r

)2
− 231

5

(z
r

)4
+

143

5

(z
r

)6)]
z (3.1.23)

onde G é a constante gravitacional universal, Mp é a massa do planeta, r é a distância entre as duas
massas, J2, J4, J6 são os coeficientes adimensionais do achatamento planetário (Tabela 4.2.1) e (x, y, z)

são as coordenadas da partícula com relação ao centro de massa.
A expressão da força que é exercida em uma partícula, orbitando um corpo achatado, levando

em conta os coeficientes até a 6a ordem, é descrita pela soma de cada componente das forças dos
coeficientes esféricos, descritos nas equações (3.1.15) a (3.1.23). Essas foram as equações incluídas no
REBOUND a partir do trabalho de Siqueira (2019) (ilustradas na seção 4.2).

Os semi-eixo maiores, excentricidades e inclinações das partículas não são afetadas segundo a
influência do achatamento planetário. Já a longitude do pericentro e o nodo ascendente sofrem uma
variação constante no tempo. Para os casos de baixas excentricidade e inclinação, o nodo e pericentro
irão precessionar (HAMILTON, 1993).

3.2 FORÇA ELETROMAGNÉTICA

Nesta seção mostraremos a influência da força eletromagnética em uma partícula carregada sob
a ação de um campo magnético. Iniciamos nossa seção descrevendo a força eletromagnética em
função do campo magnético, para depois introduzir o potencial magnético descrito pelos coeficientes
da expansão dos harmônicos esféricos. No fim, descreveremos a variação dos elementos orbitais
ocasionados por essa força, utilizando as equações descritas em Hamilton (1993).

Um grão de poeira carregado orbitando um campo magnético de um planeta sofre a influência da
força de Lorentz. Em um referencial girante, próximo ao planeta, o campo magnético ~B gira com
uma velocidade de rotação Ωp e a força de Lorentz é dada por (BURNS; HAMILTON; SHOWALTER,
2001):

~FEM =
q

c
(~vrel × ~B) (3.2.1)

sendo q a carga do grão, c a velocidade da luz e ~vrel a velocidade relativa ao campo magnético, dada
pela expressão:

~vrel = ~v − (~Ωp × ~r) (3.2.2)

onde ~v é a velocidade da partícula em relação a um sistema de coordenadas inercial e ~r a posição
relativa do grão ao planeta.



28

Com essa suposição, a equação (3.2.1) se torna:

~FEM =
q

c
[~v − (~Ωp × ~r)]× ~B (3.2.3)

O campo magnético de Saturno pode ser descrito segundo o potencial (DOUGHERTY et al., 2018):

Vmag = Rp

∞∑
n=1

n∑
m=0

(
Rp

r

)n+1

[gmn cos(mφ) + hmn sin(mφ)]Pm
n (cos θ) (3.2.4)

onde gmn e hmn são os coeficientes harmônicos esféricos do campo magnético de Saturno.
Se estivermos tratando de um campo magnético em uma região livre de corrente, e sabendo que de

acordo com a equação de Maxwell (∇ · ~B = ~0), podemos tomar:

~B = −∇V (3.2.5)

Por fim, temos que as componentes do campo magnético interno de Saturno são dados pelas
expressões (DOUGHERTY et al., 2018):

Br =
∞∑
n=1

n∑
m=0

(n+ 1)

(
Rp

r

)n+2

[gmm cos(mφ) + hmm sin(mφ)]Pm
n (cos θ) (3.2.6)

Bθ = −
∞∑
n=1

n∑
m=0

(
Rp

r

)n+2

[gmm cos(mφ) + hmm sin(mφ)]
dPm

n (cos θ)

dθ
(3.2.7)

Bφ =
∞∑
n=1

n∑
m=0

(
Rp

r

)n+2
m

sin θ
[gmm cos(mφ) + hmm sin(mφ)]Pm

n (cos θ) (3.2.8)

Podemos ver que na expressão (3.2.8), a componente azimutal do campo magnético só vai existir
para o caso de um campo sem simetria axial (m 6= 0).

Podemos agrupar os termos adimensionais encontrados para derivar as expressões do campo
magnético em um unico parâmetro constante, que é a razão entre a força eletromagnética e a força
da gravidade. Para o caso de um dipolo alinhado em um grão estático (~v = 0) no plano equatorial
(θ = 90◦), o coeficiente independe da velocidade.

L =
FEM
FG

=
qg1,0R

3
pΩp

cGMpmg

(3.2.9)



29

Veja que o coeficiente depende apenas das propriedades do grão (razão carga-massa) e das proprie-
dades do meio (massa e raio do planeta, velocidade de rotação e força de dipolo).

O campo magnético pode ser descrito em termos de monopolo, dipolo, quadrupolo e octopolo
magnéticos e dependendo da situação a ser estudada podem ser levados em conta todos ou apenas
alguns deles. Em nosso trabalho, levamos em consideração apenas os termos de dipolo e quadrupolo.

3.2.1 Termos de dipolo e quadrupolo

Para ambos os termos, vamos analisar os casos onde a expansão do potencial magnético possui
simetria axial, ou seja, m = 0. Além disso, vamos assumir que a velocidade angular do planeta é
~Ω = Ωẑ.

No caso do dipolo alinhado, temos o campo magnético sendo produzido pelo coeficiente g1,0.
Esse dipolo é alinhado com o eixo de rotação do corpo e as componentes do campo magnético, em
coordenadas esféricas, são descritas pelas seguintes expressões (HAMILTON, 1993):

Br = 2g1,0

(
Rp

r

)3

cos θ (3.2.10)

Bθ = g1,0

(
Rp

r

)3

sin θ (3.2.11)

Bφ = 0 (3.2.12)

O dipolo alinhado não ocasiona variação no semi-eixo maior das partículas. Para o caso de I = 0

(órbitas planas), a excentricidade e a inclinação também não sofrerão nenhuma variação, e esse fato
leva a uma variação constante no argumento do pericentro e na longitude do nodo (já que estes
dependem da excentricidade e inclinação). Já para o caso se baixas inclinações e excentricidades, a
força eletromagnética causa precessões - a uma taxa dependente do semi-eixo maior, excentricidade e
inclinação - no pericentro e no nodo.

No caso do quadrupolo alinhado, o campo magnético é produzido pelo coeficiente g2,0. Analisando
o caso de baixas inclinações, a influência do quadrupolo é muito pequena comparada a contribuição do
dipolo. Porém, a componente radial do campo magnético é importante, porque o efeito do campo em
orbitas com inclinações baixas, gera uma força normal, que afeta a inclinação, nodo e pericentro da
partícula (HAMILTON, 1993).

Br =
3

2
g2,0

(
Rp

r

)4

(3 cos2 θ − 1) (3.2.13)

Transformando as equações do campo magnético (equações 3.2.10 - 3.2.12) para coordenadas
cartesianas, e substituindo na equação (3.2.1), obtemos as componentes da força de Lorentz atuante na



30

partícula em coordenadas cartesianas para o dipolo.

Fx =
(q
c

)
[(ẏg − xgΩp)Bz − żgBy] (3.2.14)

Fy =
(q
c

)
[(ẋg − ygΩp)Bz − żgBx] (3.2.15)

Fz =
(q
c

)
[(ẋg − ygΩp)By − (ẏg − xgΩp)By] (3.2.16)

Repetimos o mesmo processo, utilizando a equação (3.2.13) e obtemos as componentes da força
para o quadrupolo. Essas equações foram introduzidas no REBOUND, a partir do trabalho de Siqueira
(2019).

3.3 RADIAÇÃO SOLAR

Em 1903, J. H. Poynting estudou os efeitos da absorção e posterior reemissão da radiação solar por
pequenas partículas no sistema solar. Mais tarde, H. P. Robertson modificou seu trabalho, e obteve as
equações de movimento dessas partículas utilizando um tratamento relativístico, levando em conta
termos de primeira ordem na razão entre a velocidade da partícula e a velocidade da luz. Devido a isso,
o arrasto de Poynting-Robertson leva o nome de ambos.

Analisemos um corpo orbitando uma fonte de radiação eletromagnética. No referencial do corpo, o
fluxo de radiação é absorvido e reemitido de forma isotrópica, porém, esse fluxo incide no corpo com
um desvio, ocasionando uma força contrária ao movimento. Já no referencial da fonte, a reemissão
é feita preferencialmente na direção frontal, e devido a conservação de momento linear, o corpo é
impulsionado de forma contrária ao movimento (Figura 3.3.1). Essa força é conhecida como o arrasto
de Poynting-Roberston, que juntamente com a pressão de radiação, formam a força de radiação solar.

Essa força ocasiona uma diminuição lenta no semi-eixo maior da partícula, fazendo com que essa
espirá-le em direção ao planeta, e caso não colida com algum satélite encontrado pelo caminho, colidirá
com o próprio planeta.

Nesta seção, iremos estudar a influência da força de radiação solar nas partículas, demonstrando as
equações das forças para o arrasto de Poynting-Robertson e a pressão de radiação. Por fim, faremos
uma análise da variação dos elementos orbitais segundo essa força, utilizando as equações de Lagrange
ilustradas em Hamilton (1993).

Para uma partícula com raio r, densidade ρ e a uma distância R do Sol (MIGNARD, 1984):

FG = GM
4

3

πr3ρ

R2
(3.3.1)

FRP =
Φπr2

c
Qpr =

L

4πR2

πr2

c
Qpr (3.3.2)

sendo FG o módulo da força da gravidade e FRP o módulo da força de pressão de radiação. M é a
massa do Sol, L é a luminosidade do Sol e Φ é a densidade de fluxo de radiação. Qpr é coeficiente de
pressão de radiação solar, dado pela expressão Qpr = Qabs+Qsca(l−〈cosα〉). Nele estão introduzidos
os coeficientes de absorção (Qabs) e espalhamento (Qsca) da partícula. Caso ocorra uma transmissão



31

Figura 3.3.1 – Diagrama da reemissão da radiação eletromagnética (a) No referencial da partícula; (b)
No referencial da fonte.

Fonte: Burns, Lamy e Soter (1979)

perfeita, ou seja, sem partículas, o termoQpr = 0. Se houver uma absorção completa, como assumimos
neste trabalho, Qpr = Qab = 1.

Tomando a razão entre a força de pressão de radiação e a força da gravidade, temos o parâmetro β
(BURNS; LAMY; SOTER, 1979):

β =
FRP
FG

=

(
3L

16πGMc

)(
Qpr

ρs

)
= 5.7× 10−5

Qpr

ρgrg
(3.3.3)

Esse valor se restringe ao fato de que o Sol seja a fonte de radiação e depende apenas das
propriedades da partícula.

A força resultante sobre a partícula é dada por:

~F = m~̇V ∼= β

(
GMs

R2

)[(
1− ṙ

c

)
ŝ−

~V

c

]
(3.3.4)

onde a parte constante da força de radiação é referente a pressão de radiação:

FRP = β

(
GMs

R2

)
(3.3.5)

e a outra parte, dependente da velocidade, é referente ao arrasto de Poynting-Robertson:

~FPR =

[(
1− ṙ

c

)
ŝ−

~V

c

]
(3.3.6)

O arrasto de Poynting-Robertson ocasiona a perda de energia orbital quando estamos tratando de
uma órbita planetocêntrica, sendo medida em relação ao sistema planetário e não com relação ao Sol.
Em um movimento planetocêntrico, as pequenas variações na distância entre o Sol e o planeta são



32

negligenciadas (com isso o fluxo solar é constante e igual ao seu valor com relação ao planeta), a órbita
do planeta é considerada circular e não são consideradas as sombras planetárias.

Na equação (3.3.4), está a representação vetorial da equação da força de radiação solar. Feitas as
considerações para uma órbita planetocêntrica, adicionando na expressão o raio vetor do planeta e do
grão, e considerando que V é a velocidade relativa ao sol podemos obter uma forma mais geral da
força: (MIGNARD, 1984):

~F = β

(
GMs

r2sp

)
Qpr

[
1− ~rsp

rsp

(
~Vp
c

+
~V

c

)
~rsp
rsp
−
~Vp + ~V

c

]
(3.3.7)

onde ~Vp é a velocidade orbital do planeta, ~V é o vetor velocidade da partícula e rsp é o vetor Sol-planeta.
O semi-eixo maior das partículas não é afetado pela força de pressão de radiação. Isso se deve ao

fato de que para afetar o semi-eixo maior é necessária a realização de trabalho, mas caso da radiação
solar, o campo de força é constante, e não realiza trabalho desde que após completar uma órbita, a
partícula retorne a sua posição inicial. Já a excentricidade varia periodicamente com o seno do ângulo
entre a direção solar e a linha das absides. Isso faz com que ele seja periódico tanto com o movimento
orbital do planeta quanto com o movimento do pericentro em relação ao referencial inercial (BURNS;
LAMY; SOTER, 1979). Quanto maior forem as inclinações das partículas, maiores serão as variações
da mesma. Acredita-se que a maior parte das fontes de partículas encontram-se em baixas inclinações,
e por isso, as partículas vivem a maior parte da vida com inclinações baixas.

Em estudos de anéis planetários, foi analisado que partículas com até dezenas de micrômetros
são altamente influenciadas pela pressão de radiação solar, ocasionando uma grande variação da
excentricidade dos grãos, espalhando-os para dentro e para fora de maneira radial (VERBISCER;
SKRUTSKIE; HAMILTON, 2009).

3.4 ARRASTO DE PLASMA

Nesta seção estudaremos a influência da força devido ao arrasto de plasma nas partículas. Inici-
aremos com a familiarização dos tipos de arrasto trabalhados quando falamos em plasma e por fim,
faremos uma abordagem mais detalhada dos regimes possíveis e quais as equações das forças são
utilizadas em cada um dos casos.

Além das forças citadas acima, podemos ter outra força influenciando a órbita das partículas. As
partículas carregadas estão imersas em um ambiente que contém plasma e a interação entre essas
partículas e o ambiente de plasma origina uma força conhecida como arrasto de plasma. Essa interação
se dá por meio de colisões entre a partícula de poeira e as partículas de plasma e essas colisões geram
dois tipos de forças: o arrasto iônico e o arrasto de Coulomb. Cada uma dessas forças é adotada em
um regime diferente, definidos abaixo:

Se forem consideradas apenas as colisões diretas entre o ambiente de plasma e o grão de poeira,
estamos trabalhando com a força de arrasto devido a colisões iônicas (ionic drag) (MORFILL; GRUN;



33

JOHNSON, 1980):

Fd = −Nhπs
2miu

2

[
v

u

1√
π
e−( v

u)
2

+

(
v

u
+

1

2

)
erf

(v
u

)]
(3.4.1)

onde Nh é a densidade do plasma, mi é massa média dos íons de plasma, s é o raio do grão de poeira,
mg é a massa do grão, u é a velocidade do íon, v é a velocidade da partícula de poeira e erf é a função
de erro.

Se forem consideradas as colisões coulombianas, onde a partícula de poeira sofre uma perda de
momento, estamos trabalhando com a força de arrasto devido as colisões de Coulomb (Coulomb drag)
(MORFILL; GRUN; JOHNSON, 1980):

Fc = 2
√
πnimiα

2 1

u

∫ −∞
∞

dw
(w − v)

|w − v|3
e
−w2

u2
x log

1 +
(
λd
α

)2
(w − v)4

1 +
(
s
α

)2
(w − v)4

(3.4.2)

onde λd é o comprimento de Debye dado por:

λd =

(
kTe

4πnie2

) 1
2

(3.4.3)

onde Te é a temperatura do íon e e é a carga do íon de plasma.
Dependendo da velocidade do grão em relação ao plasma, as equações 3.4.1 e 3.4.2 podem ser

simplificadas para o caso de regime supersônico e subsônico.

• No regime supersônico apenas a contribuição das colisões diretas é importante e com isso, a
equação 3.4.1 se reduz a:

Fd = −πnis2miv
2 (3.4.4)

Nesse caso, v > u, ou seja v
u
>> 1.

• Já no regime subsônico, as colisões de Coulomb distantes são mais influentes, ocasionando a
perda de momento, e com isso, as equações (3.4.1) e (3.4.2), ficam:

Fd = −2
√
πnis

2miuv (3.4.5)

Fc = −2
√
πnimivus

2

∫ 0

∞
dx

1

x
e−x

2

log
1 +

(
2λd
s

)2
x4

1 + 4x4
(3.4.6)

Nesse caso, v < u, ou seja v
u
<< 1.

Comparando as equações 3.4.5 e 3.4.6, temos que:

Fc = FdI (3.4.7)



34

Onde I é a integral de 3.4.6 Analisando o logaritmo dentro de I , temos que se x = 0, I → 0, e
se x>1, o integrando cai rapidamente devido a exponencial. No caso para x=1 temos:

Ix=1 = e−1log
4

5

(
λd
s

)2

(3.4.8)

sendo o valor da integral I ≈ Ix=1

Conhecendo melhor as forças perturbadoras utilizadas neste trabalho, podemos agora analisar qual
é a contribuição de cada força em determinada região, ou seja, vamos ver agora qual força é mais
influente ao longo da distância do planeta.

3.5 PARÂMETROS DAS FORÇAS

A seguir, introduziremos brevemente os parâmetros referentes a cada uma dessas forças e através
desses parâmetros seremos capazes de estabelecer uma relação entre as forças perturbadoras e a região
estudada. Todos os parâmetros são adimensionais e dependem das propriedades físicas do planeta e da
partículas de poeira.

Primeiramente iremos definir o parâmetro referente a força de achatamento planetário (W). Se
levarmos em consideração somente o termo J2 da expansão multipolar, desprezando os termos de ordem
superior, obtemos o parâmetro W referente a força de achatamento planetário. (HAMILTON; KRIVOV,
1996). Lembrando que o termo J2 é o termo de maior influencia sob as partículas, comparando aos
termos de ordens superiores pares, para discutir o parâmetro referente a esta força eles podem ser
negligenciados.

W =
3

2
J2

(
R

a

)2
n

n�
(3.5.1)

Já o parâmetro de Lorentz é definido por:

L̃ = 2
n

n�
n

Ωp

L (3.5.2)

onde Ωp é a velocidade de rotação angular do planeta e L é o parâmetro definido em Hamilton
(1993), já descrito anteriormente em 3.2.9, dado por:

L =
qg1,0R

3
pΩp

cGMpmg

(3.5.3)

Como L independe da distância, é necessário inserir outro parâmetro, no caso L̃, que depende da
distância.



35

Para grãos de poeira esféricos, com densidade uniforme e propriedades de espalhamento ideais,
temos o parâmetro C, que descreve a força de radiação solar e é dado por (HAMILTON; KRIVOV,
1996):

C =
3

4

n�
n
σ (3.5.4)

em que |n| é o movimento médio da partícula, n� é o movimento médio do planeta ao redor do Sol
e σ é a razão entre a força de pressão de radiação e a força da gravidade. O parâmetro σ é:

σ =
FRP
FG

=
3

4
Qpr

Φa2

GMcρgrg
(3.5.5)

Tendo definido os parâmetros, podemos ilustrar em um gráfico os valores numéricos dos parâmetros
em função da distância do planeta.

Figura 3.5.1 – Gráficos dos parâmetros de força adimensionais. O gráfico representa, em função
da distância, os valores numéricos dos parâmetros de perturbação: W (achatamento
planetário, J2), C (radiação solar) e L(força de Lorentz). A linha horizontal representa
os valores numérios dos parâmetros referente a cada força. Já a linha vertical representa
a localização dos satélites no qual as partículas foram ejetadas. Assumimos densidade
ρg = 1gcm−3 e carregada com Ωg = 5V .

Fonte: Próprio autor

No gráfico da Figura 3.5.1, a linha azul representa o parâmetro referente a força de achatamento
planetário (W), descrito pela expressão 3.5.1. A linha vermelha e amarela representam o parâmetro
referente a força de radiação solar (C), dado pela expressão 3.5.4, para as partículas com raios de 1



36

µm e 10 µm, rescpetivamente. Já as linhas violeta e rosa representam o parâmetro referente a força de
Lorentz (L), dado pela expressão 3.2.9, para as partículas com raios de 1 µm e 10 µm, respectivamente.

Analisando o gráfico da Figura 3.5.1, vemos que para o caso de Saturno, as forças eletromagnética
e de achatamento planetário caem rapidamente a medida que a distância aumenta. Em contrapartida,
quanto mais distante uma partícula está do planeta, mais forte será a força de radiação solar sobre ela.
Além disso, vemos que as partículas com raios menores, 1 µm, sofrerão maior influência das forças do
que as partículas com raios de 10 µm. Em nosso caso, para partículas ejetadas de Iapetus e Phoebe, a
força de radiação solar afetará mais as órbitas das partículas, comparada as forças eletromagnética e de
achatamento.

Em nosso caso, todas as forças estão incluídas o tempo todo no programa. Como estamos
trabalhando com uma região extensa e a partícula é transportada por toda essa região, ela sofre
intensidades diferentes de cada força, ou seja, no momento que a partícula é ejetada de Iapetus sofre
maior influencia da força de radiação solar, entretanto quando a partícula é transportada para mais
próximo de Saturno a dinâmica das forças pode ser diferente.

Agora que já conhecemos um pouco melhor as forças utilizadas neste trabalho, como elas afetam
os elementos orbitais das partículas e qual é a influência de cada uma nas regiões, podemos partir para
o desenvolvimento do nosso código e obtenção dos resultados.



37

4 MÉTODOS

Neste capítulo, serão apresentadas as condições iniciais utilizadas em nosso programa. Além disso,
apresentaremos o pacote REBOUND utilizado para a realização das simulações numéricas do nosso
projeto. Na seção 4.2 estão apresentadas as componentes em coordenadas cartesianas de todas as
forças perturbadoras estudadas, juntamente com o algoritmo utilizado no programa para a adição das
forças na simulação.

4.1 MODELO UTILIZADO

Em nosso trabalho utilizamos um sistema considerando Saturno como corpo central e sendo
orbitado por 76 satélites. Retiramos os satélites Pan, Daphnis, Atlas, Prometheus e Pandora - situados
no sistema principal de anéis - da simulação, por estarem muito próximos do planeta e não ocasionarem
uma influência significativa nas partículas analisadas. Realizamos a ejeção de 500 partículas de dois
corpos distintos: Iapetus e Phoebe ( foi feito um estudo separado para a ejeção de cada satélite). A
escolha dos satélites foi feita afim de estudar a ejeção de partículas de duas famílias distintas, no caso
de Iapetus, um satélite prógrado mais próximo de Saturno e no caso de Phoebe, um satélite retŕogrado
e mais distante do planeta. As partículas foram ejetadas do equador dos satélites de maneira isotrópica
por toda a região, com raio de 1 µm a uma distância de 1.01 do raio do satélite, evitando colisões
iniciais e uma velocidade de 1.5 × velocidade de escape, descrita pela expressão:

Vesc =

√
2GM

R
(4.1.1)

onde G é a constante gravitacional, M e R são a massa e o raio do satélite do qual serão ejetadas as
partículas, respectivamente.

Também estudamos o caso da ejeção de partículas de Iapetus com raio de 10 µm, com as mesmas
condições iniciais, afim de analisar qual seria a diferença observada, em relação as partículas de 1 µm,
no comportamento das órbitas das partículas.

Com o intuito de realizar um estudo estatístico das colisões das partículas com os satélites e com o
planeta, também analisamos os casos de partículas ejetadas de Iapetus com raios de 0.5 µm e 5 µm.

Como estamos interessados na ejeção e evolução das partículas, levamos em consideração a
influência das seguintes forças perturbadoras: achatamento planetário, eletromagnética, radiação solar
e arrasto de plasma, já que cada umas delas atua diferentemente nas partículas, variando seus elementos
orbitais. Também levamos em conta as colisões entre as partículas e os satélites.

Inserimos como condição de contorno as colisões diretas entre os corpos e consideramos as colisões
inelásticas, ou seja, antes de colidirem cada partícula tem uma massa, raio e velocidade, e após a
colisão, os corpos tornam-se um só com a média da massa, raio e velocidade de ambos os corpos.

Para a realização das simulações numéricas fizemos uso do integrador IAS15, do pacote RE-
BOUND, que será explicado na seção 4.2. Os valores dos elementos orbitais de todos os satélites



38

utilizados na simulação foram retirados do sistema Horizons, referentes ao dia 16 de Julho de 2019 e
estão apresentados na seção 2.1. Todas as unidades do programa estão no SI.

O código desenvolvido estuda o comportamento de partículas sendo ejetadas de um satélite sob a
influência das forças perturbativas. Com esse código, é possível estudar corpos em outros regimes e
até mesmo outros planetas, mudando as condições iniciais.

4.2 INTEGRADOR REBOUND

O REBOUND é um integrador de N corpos, que pode integrar o movimento das partículas sob
a influência da gravidade. Esse integrador permite que forças adicionais não gravitacionais sejam
incluídas a partir de funções externas.

Exitem vários integradores implementados nesse software, entre eles o IAS15, WHFAST, MER-
CURIUS, EULER, SEI e JANUS, e para cada situação é necessária uma análise de qual o melhor a ser
utilizado na simulação. Em nossos estudos utilizamos o IAS15, um integrador de 15a ordem, baseado
em uma quadratura de Gauss–Radau. É um integrador não simplético, de alta precisão, com passos de
tempo adaptativos. Nele é possível trabalhar com encontros próximos, altas excentricidades, forças
conservativas e não conservativas, mantendo os erros sistemáticos abaixo da precisão da máquina
(REIN; SPIEGEL, 2015).

Primeiramente, é necessário inserir as forças em uma estrutra da simulação. Se a força incluída for
dependente da velocidade é necessário informar na rotina se a força depende ou não da velocidade.
Em nosso caso, as forças dependentes da velocidade são a força eletromagnética, a força de radiação
solar e a força do arrasto de plasma.

A seguir, vamos mostrar como as forças foram implementadas no programa. Para o caso das forças
de achatamento planetário, eletromagnética e radiação solar nós utilizamos o código já testado validado
em (SIQUEIRA, 2019). Além dessas três forças nós também trabalhamos com o arrasto de plasma.
Como parte do nosso trabalho, nós desenvolvemos e validamos um algoritmo com todas as equações e
parâmetros necessários para implementar o arrasto de plasma em nosso programa.

4.2.1 Inclusão das forças perturbativas

• Achatamento planetário

A força de achatamento planetário foi inserida segundo o script desenvolvido e validado em
(SIQUEIRA, 2019). Nele estão descritas todas as equações e parâmetros necessários para
incluí-la na simulação.

A biblioteca disponibiliza a função que aplica a força de achatamento no programa com expansão
do potencial ate a 6a ordem. Além disso, dentro da biblioteca possuem funções que calculam a
variação do nodo e no pericentro do corpo que orbita o planeta oblato. A função responsável por
inserir a força do achatamento planetário no programa exige a entrada do planeta oblato que está
sendo orbitado pelos outros corpos. Além disso, é necessário inserir no programa os coeficientes
J2, J4 e J6 (Tabela 4.2.1).



39

Nessa função encontramos as equações das componentes da força referente ao achatamento
planetário em coordenadas cartesianas, descrita pela soma das componentes das equações 3.1.15
a 3.1.23 ) (SIQUEIRA, 2019):

No algoritmo da força de achatamento, o cálculo dos coeficientes é feito de forma separada,
evitando cálculos desnecessários, ou seja, caso queira calcular somente a influência de J2, basta
colocar J4 = J6 = 0, e o mesmo para os outros fatores. Em nosso caso, utilizamos a expansão do
potencial até a 6a ordem.

Tabela 4.2.1 – Valores dos coeficientes harmônicos esféricos de Saturno

Coeficiente Valor
J2 16298×10−6

J4 -915×10−6

J6 103×10−6

Fonte: Campbell e Anderson (1989)

• Força eletromagnética

A força de eletromagnética também foi inserida segundo o script desenvolvido e validado em
(SIQUEIRA, 2019). Nele estão descritas todas as equações e parâmetros necessários para
incluí-la em nossa simulação.

A biblioteca utilizada para inserir a força eletromagnética na simulação disponibiliza uma função
para aplicar a força no programa, com efeitos de primeira ordem da força de Lorentz e carga
constante. A função responsável por inserir a força eletromagnética exige a entrada do planeta
ao qual se refere o campo magnético. Além disso, é necessária a declaração dos seguintes
parâmetros no programa: momentos de dipolo e quadrupolo magnéticos g1,0 e g2,0 (Tabela 4.2.2),
carga da partícula, velocidade da luz, velocidade de rotação do planeta, obliquidade do planeta e
densidade do planeta.

Nessa função encontramos as equações das componentes da força eletromagnética em coordena-
das cartesianas (3.2.14 a 3.2.16).

Tabela 4.2.2 – Coeficiente Harmônico esférico do campo magnético de Saturno.

Coeficiente Valor
g1,0 +0.2154
g2,0 +0.0164

Fonte: Schaffer e Burns (1992)

• Força de radiação solar

Assim como a força de achatamento e eletromagnética, o script utilizado para implementar
a força de radiação solar no programa foi retirado do trabalho de (SIQUEIRA, 2019). Nele



40

constam todas as equações e parâmetros necessários para incluir a influência da força de radiação
solar na simulação.

A biblioteca disponibiliza duas funções para a força de radiação solar, incluindo ou não o Sol
como um corpo a ser integrado pelo REBOUND. Por questões de tempo de procesamento não
incluímos o Sol nesse caso. A função responsável por inserir a força de radiação solar está
dividida em duas componentes, a do arrasto de Poynting-Robertson e a da pressão de radiação
solar, portanto dependendo do interesse podem ser inseridas ambas as componentes ou apenas
uma delas. Essa função exige a entrada da massa e distância do planeta até a fonte de radiação
(no nosso caso o Sol), se a pressão de radiação e o arrasto de Poynting-Robertson estão sendo
aplicados como variáveis booleanas (0 não inclui a componente e 1 inclui a componente na
equação). Além disso, é necessário inserir no programa os seguintes parâmetros: luminosidade
da fonte, densidade da partícula e o parâmetro de espalhamento Qpr.

Nessa função encontramos as equações das componentes da força de radiação solar em coorde-
nadas cartesianas (SFAIR R. & GIULIATTI WINTER, 2009):

Fx =
βGMs

r2sp
Qpr

[
cos(nst)−

(
xs
rsp

)2 (vxs
c

+
vx
c

)
−
(vxs
c

+
vx
c

)]
(4.2.1)

Fy =
βGMs

r2sp
Qpr

[
cos(γ) sin(nst)−

(
ys
rsp

)2 (vys
c

+
vy
c

)
−
(vys
c

+
vy
c

)]
(4.2.2)

Fz =
βGMs

r2sp
Qpr

[
sin(γ) sin(nst)−

(
zs
rsp

)2 (vzs
c

+
vz
c

)
−
(vzs
c

+
vz
c

)]
(4.2.3)

onde β é a razão entre a força de radiação solar e a força gravitacional, γ é a obliquidade do
planeta, (xs, ys, zs) são as componentes do vetor Sol-planeta (~rsp e rsp = |~rsp|), (vx, vy, vz) são
as componentes da velocidade da partícula e (vxs, vys, vzs) são as componentes da velocidade do
planeta em torno do Sol, em uma órbita circular.

Dentro da função principal temos outra função que realiza o cálculo do parâmetro β.

• Força de arrasto de plasma

Já para o arrasto de plasma, foi necessário o desenvolvimento e validação de um algoritmo com
todas as equações e parâmetros descritos pela força.

Inicialmente fizemos um estudo bibliográfico do plasma, para entender sua implicações e
influências sob a órbita das partículas. Por fim, nós desenvolvemos um algoritmo capaz de
analisar o comportamento de uma partícula sob a influência da força de plasma.A validação do
código foi feita a partir do exemplo ilustrado em (MORFILL; GRUN; JOHNSON, 1980).

A biblioteca desenvolvida para essa força disponibiliza uma função que aplica o arrasto na
plasma na simulação considerando a carga do grão constante. Nessa função temos descrito
somente as equações referentes ao caso supersônico, que foi o regime utilizado neste trabalho.



41

A função responsável por inserir o arrasto de plasma na simulação exige a entrada do planeta,
o regime a ser estudado (subsônico ou supersônico), como variáveis booleanas. Além disso, é
necessário inserir os seguintes parâmetros na simulação: a constante de Boltzman Kb, a massa
média dos íons de plasma, o raio do grão e a densidade do planeta.

Nessa função encontramos as equações das componentes do arrasto de plasma em coordenadas
cartesianas:

Fx = −πNhmis
2

mg

vvx (4.2.4)

Fy =
πNhmis

2

mg

vvy (4.2.5)

Fz =
πNhmis

2

mg

vvz (4.2.6)

onde Nh é a densidade númerica de íons pesados (O+, OH+, H2O+, H3O+ e N+) (RICHARD-
SON, 1995), mg é a massa do grão, u é a velocidade termal do íon, v é a velocidade da partícula
de poeira.

Todas as forças citadas atuam nas partículas de tal forma que estas podem ser transportadas para
dentro ou para fora de suas órbitas. No decorrer da evolução orbital, as partículas possivelmente
encontram satélites e podem eventualmente colidirir. Em nosso caso levamos em consideração as
colisões diretas entre as partículas, como já descrito na seção 4.1.

Ao realizar a inclusão das forças, detectamos que ao inserir o arrasto de plasma na simulação
as partículas começaram a ser ejetadas rapidamente do sistema. Para solucionar este problema foi
necessário a inserção de condições de contorno.

A partir dessa condição de contorno, toda vez que uma partícula ultrapassar o limite da caixa de
simulação, definido inicialmente, ela será removida do sistema.



42

5 RESULTADOS

Nesta seção vamos apresentar os resultados obtidos com esse projeto, através do programa desen-
volvido utilizando as condições iniciais descritas na seção 4.1 e as equações das forças perturbadoras
apresentadas na seção 4.2. Os elementos orbitais e parâmetros referentes aos corpos utilizados no
programa estão apresentados nas tabelas da seção 2.1. No fim da sessão será feito um estudo estatístico
do transporte de poeira entre os satélites de Saturno de partículas ejetadas de Iapetus.

5.1 EJEÇÃO E TRANSPORTE DE PARTÍCULAS

Como já foi dito na seção 4.1, as partículas foram ejetadas do equador dos satélites, a uma distância
de 1,01 do raio do satélite (para evitar colisões no lançamento) e com uma velocidade de 1.5 da
velocidade de escape (Equação (4.1.1)).

Como saída do programa temos os elementos orbitais de todos os corpos no decorrer do tempo.
Sobre as colisões, nós salvamos quais foram os objetos que colidiram, o momento em que a colisão
aconteceu, as massas e os raios dos corpos no momento da colisão.

Nosso objetivo foi estudar os satélites em duas regiões diversas e com tamanhos diferentes, para
analisarmos qual seria o comportamento das partículas com essas diferenças nas condições iniciais.

Dividimos nossas simulações em 2 grupos. Cada grupo se refere ao satélite fonte, do qual foram
ejetadas as partículas (Iapetus e Phoebe). No caso de Iapetus, as simulações foram realizadas para
partículas com raios de 1 µm e 10 µm, já para Phoebe, foram feitas somente simulações para raios de 1
µm.

5.1.1 Iapetus

Iapetus faz parte do grupo dos satélites maiores. Possui um raio de 734.5 km, está localizado a
3.5 ×109 km do centro do planeta, aproximadamente 59 raios de Saturno e sua órbita possui uma
inclinação de 15.77 ◦ (Tabela 2.1.1).

Iniciamos a aplicação do nosso código analisando como a partícula se comportava na região orbital
do satélite. Para isso, inserimos uma partícula sendo ejetada de Iapetus, com as condições de contorno
citadas na seção anterior, e com a presença de todos os satélites, exceto Pan, Daphnis, Atlas, Prometheu
e Pandora.

Como podemos ver pela variação dos elementos orbitais sem a inclusão das forças, a partícula
permanece na região próxima ao satélite (Figura 5.1.1). O semi-eixo maior e a excentricidade se
mostram bem comportadas, sem nenhuma variação significativa, já que os satélites não irão influenciar
na órbita das partículas. Nesse caso não foi detectada nenhuma colisão no decorrer dos 1000 anos.

Depois de analisar o comportamento da partícula sem a ação das forças perturbadoras e ver que a
nossa região estava se comportando de acordo com o esperado, começamos a inserir as perturbações
uma a uma, para estudar a influência dessas forças separadamente na órbita da partícula.



43

Figura 5.1.1 – Variação dos elementos orbitais de uma partícula de 1µm, ejetada de Iapetus, em um
sistema envolvendo Saturno, 76 satélites e sem a influência das forças perturbadoras,
integrado por 1000 anos.

(a) Semi-eixo maior

(b) Excentricidade

Fonte: Produção do próprio autor.

Nas Figuras 3(a) e 3(b) vemos que o semi-eixo maior e a excentricidade não possuem uma variação
significativa sob a influência do achatamento planetário, como já era de se esperar das equações de
Lagrange descritas em Hamilton (1993). Já nas Figuras 3(d) e 3(e), vemos que a força de achatamento
ocasiona a precessão do pericentro e da longitude do nodo. Como a variação desses dois elementos
dependem do semi-eixo maior, excentricidade e inclinação, temos uma comportamento constante.

Analisando o comportamento da partícula influenciada pela força eletromagnética (Figura 5.1.3),
podemos ver que o semi-eixo maior e a excentricidade da partícula não possuem uma variação
significativa. Já a inclinação sofre uma pequena variação devido a essa força, já esperada pela teoria
(HAMILTON, 1993). O argumento do pericentro e a longitude do nodo sofrem uma precessão.

Vemos na Figura 5.1.4 que o semi-eixo maior não sofre nenhuma variação significativa. Já a
excentricidade e inclinação da partícula sofrem uma variação ao longo da simulação.

Analisando a Figura 5.1.5, vemos que a partícula sofre bastante influência da força do arrasto de
plasma. O semi-eixo maior diminui consideravelmente em pouco tempo, levando a partícula a colidir
com o planeta, em aproximadamente 50 anos. Já a excentricidade aumenta com o passar do tempo,
podendo levar a a um cruzamento entre a órbita da partícula e a órbita de algum satélite podendo
também ocasionar uma possível colisão.

Em quase todos os casos não houve a detecção de colisões, exceto no caso sob a influência do
arrasto de plasma, onde a partícula colidiu com Saturno, em aproximadamente 50 anos após a ejeção.
Como já foi dito, e pode ser visto na Figura 6(a) , essa força ocasionou a diminuição do semi-eixo
maior da partícula, fazendo com que ela fosse em direção ao planeta e colidisse.



44

Figura 5.1.2 – Variação dos elementos orbitais de uma partícula de 1µm, ejetada de Iapetus, em um
sistema envolvendo Saturno, 76 satélites e sob a influência da força do achatamento
planetário, integrado por 1000 anos.

(a) Semi-eixo maior

(b) Excentricidade

(c) Inclinação

(d) Argumento do pericentro

(e) Longitude do nodo ascendente

Fonte: Produção do próprio autor.



45

Figura 5.1.3 – Variação dos elementos orbitais de uma partícula de 1µm, ejetada de Iapetus, em um
sistema envolvendo Saturno, 76 satélites e sob a influência da força eletromagnética,
integrado por 1000 anos.

(a) Semi-eixo maior

(b) Excentricidade

(c) Inclinação

(d) Argumento do pericentro

(e) Longitude do nodo ascendente

Fonte: Produção do próprio autor.



46

Figura 5.1.4 – Variação dos elementos orbitais de uma partícula de 1µm, ejetada de Iapetus, em um
sistema envolvendo Saturno, 76 satélites e sob a influência da força de radiação solar,
integrado por 1000 anos.

(a) Semi-eixo maior

(b) Excentricidade

(c) Inclinação

(d) Argumento do pericentro

(e) Longitude do nodo ascendente

Fonte: Produção do próprio autor.



47

Figura 5.1.5 – Variação dos elementos orbitais de uma partícula de 1µm, ejetada de Iapetus, em um
sistema envolvendo Saturno, 76 satélites e sob a influência da força do arrasto de plasma,
integrado por ≈ 50 anos.

(a) Semi-eixo maior

(b) Excentricidade

(c) Inclinação

(d) Argumento do pericentro

(e) Longitude do nodo ascendente

Fonte: Produção do próprio autor.



48

Na tabela a seguir, apresentamos um resumo dos dados referentes as partículas ejetadas de Iapetus,
obtidos através das simulações feitas separadamente para cada força.

Tabela 5.1.1 – Variação dos elementos orbitais das partículas ejetadas de Iapetus referentes a cada
força perturbadora, ilustrados nos gráficos da Figura 5.1.2 a Figura 5.1.5.

Força perturbadora
Tempo de vida

da partícula
(anos)

Colisão Variação dos elementos orbitais

a e I w Ω
Achatamento planetário 1000 Sem colisão Não Não Não Sim Sim
Força eletromagnética 1000 Sem colisão Não Não Não Sim Sim

Radiação solar 1000 Sem colisão Não Sim Sim Sim Sim
Arrasto de plasma 50 Saturno Sim Sim Sim Sim Sim

Fonte: Próprio autor



49

5.1.2 Combinação das forças

Após analisar cada caso separadamente, e comprovar que as forças estavam sendo inseridas da
forma correta, fizemos a análise com a combinação de todas as forças. Como versão final, e com o
intuito de analisar o transporte das partículas de poeira na região estudada, nós inserimos todas as
forças (já verificadas anteriormente) e 500 partículas com raios de 1µm e 10µm sendo ejetadas de
Iapetus.

Figura 5.1.6 – Variação dos elementos orbitais das partículas ejetadas de Iapetus, com raios de 1µm,
segundo a força de achatamento planetário, eletromagnética, radiação solar e arrasto de
plasma.

(a) Semi-eixo maior

(b) Excentricidade

(c) Inclinação

Fonte: Produção do próprio autor.

No gráfico da Figura 5.1.6, analisamos a variação dos elementos orbitais (a, e e I) de uma partícula
ejetada de Iapetus com raio de 1 µm. Vemos que há uma diminuição no semi-eixo maior da partícula,
ou seja, ela foi transportada para mais próximo do planeta, nesse caso até a órbita de Thetys, colidindo
então com o satélite em torno de 700 anos após a ejeção. Para as partículas com raio de 1 µm foram
detectadas aproximadamente 94 % das colisões com Saturno e as demais colisões aconteceram com os
satélites Enceladus, Thetys, Dione, Rhea, Titan, Janus e Telesto.

Analisamos também os elementos orbitais de partículas ejetadas de Iapetus com raio de 10 µm e
como podemos ver na Figura 5.1.7, o semi-eixo maior também sofre uma diminuição significativa, ou
seja, nesse caso a partícula também é transportada para mais próximo do planeta, só que nesse caso até
a órbita de Rhea, colidindo com o satélite em aproximadamente 995 anos. Já para as partículas com



50

Figura 5.1.7 – Variação dos elementos orbitais das partículas ejetadas de Iapetus, com raios de 10µm,
segundo a força de achatamento planetário, eletromagnética, radiação solar e arrasto de
plasma.

(a) Semi-eixo maior

(b) Excentricidade

(c) Inclinação

Fonte: Produção do próprio autor.

raio de 10 µm, aproximadamente 91% da colisões ocorreram com o planeta, o resto das colisões foram
com Enceladus, Thetys, Dione, Rhea e Titan.

Tabela 5.1.2 – Comparação dos dados obtidos nas simulações para o caso de partículas ejetadas de
Iapetus com raios 1 µm e 10 µm.

Tamanho
da

partícula

Satélite
fonte

Tempo
de vida

Número
de

colisões
1 µm Iapetus 700 247

10 µm Iapetus 995 270
Fonte: Próprio autor

Comparando os casos de partículas com raios diferentes ejetadas de Iapetus (1µm e 10µm), vemos
que as partículas com raios menores possuem um tempo de vida menor. Isso se deve ao fato de as
partículas menores sofrerem uma maior influência das forças perturbadoras, principalmente a força de
radiação solar, ocasionando uma colisão mais rápida com os satélites e com o planeta.



51

5.1.3 Phoebe

Realizamos o mesmo procedimento feito para Iapetus, com o satélite Phoebe. Procuramos seleci-
onar satélites com características diferentes para a ejeção, para identificar qual seria a mudança no
comportamento da partícula caso a condição inicial de ejeção fosse diferente. Nesse caso, Phoebe está
mais externo a Saturno, seu raio é menor, comparado a Iapetus e ele possui uma órbita retrógrada.

Phoebe faz parte do grupo Nórdico e possui um raio de 106.6 km. Está localizado a
1.2902 ×107 km, aproximadamente 214 raios de Saturno, e sua órbita possui uma inclinação de 152.23
◦ (Tabela 2.1.2).

Inserimos uma partícula sendo ejetada de Phoebe, com as condições de contorno citadas no capítulo
4, e com a presença de todos os satélites, exceto Pan, Daphnis, Atlas, Prometheus e Pandora.

Estudamos o comportamento de partículas com raio de 1 µm ejetadas de Phoebe e na Figura
Figura 5.1.8 podemos ver a variação do semi-eixo maior, excentricidade e inclinação da última
partícula sobrevivente em um tempo de 983 anos. Nesse caso vemos que houve uma diminuição do
semi-eixo maior, trasnportando a partícula até a órbita de Rhea e ocasionando a colisão da partícula
com o satélite. No caso das partículas com raios de 1 µm, a maior parte das colisões ocorreu com o
planeta ( 90%), e as demais colisões ocorreram com os satélites Thetys, Dione, Rhea e Titan.

Figura 5.1.8 – Variação dos elementos orbitais das partículas ejetadas de Phoebe, com raios de 1µm,
segundo a força de achatamento planetário, eletromagnética, radiação solar e arrasto de
plasma.

(a) Semi-eixo maior

(b) Excentricidade

(c) Inclinação

Fonte: Produção do próprio autor.



52

Tabela 5.1.3 – Comparação dos dados obtidos nas simulações para o caso de partículas ejetadas de
Phoebe com raios 1 µm.

Tamanho
da

partícula

Satélite
fonte

Tempo
de vida

Número
de

colisões
1 µm Iapetus 700 247
1 µm Phoebe 983 290

Fonte: Próprio autor

Nos gráficos ilustrados em Figura 5.1.6 e Figura 5.1.8 temos o comportamento das partículas de 1
µm ejetadas de Iapetus e Phoebe, respectivamente. Comparando ambos os comportamentos, vemos
que as partículas ejetadas de Phoebe sobreviveram por mais tempo, e isso vem do fato de Phoebe estar
mais distante dos satélites maiores e de Saturno do que Iapetus. Além disso, a amplitude de oscilação
da partícula ejetada por Phoebe é maior do que a ejetada por Iapetus.

5.1.4 Análise estatística

Através de diversas simulações realizamos um levantamento numérico das colisões das partículas
com o planeta e com os satélites. Além do estudo das partículas com raios de 1 e 10 µm, também
analisamos o comportamento das órbitas das partículas ejetadas de Iapetus com raios de 0.5 e 5 µm,
ilustradas nas Figura A.0.1 e Figura A.0.2.

Os gráficos das Figura A.0.1 e Figura A.0.2 apresentam o comportamento das últimas partículas
que colidiram no sistema em um tempo de 1000 anos. No caso da ejeção de partículas com raio de 0.5
µm, a última partícula colidiu em aproximadamente 194 anos com o satélite Tethys. Já no caso da
ejeção de partículas com raio de 5 µm, a última partícula colidiu em aproximadamento 958 anos com
Saturno.

O destino das partículas ejetadas de Iapetus estão ilustradas na Tabela 5.1.4. No caso das partículas
menores, incluindo os raios de 0.5 µm e 1 µm, a fração de partículas que colidiu com Saturno foi maior
(98% e 94% do total das colisões, respectivamente) , já que partículas com esses tamanhos sofrem
maior influência da pressão de radiação solar. A pressão de radiação solar causa uma grande variação
da excentricidade até que a partícula colida com Saturno. Para as partículas maiores, incluindo raios
de 5 µm e 10 µm, foram detectadas menos colisões com Saturno (92% e 88% do total das colisões,
respectivamente). Já o número de colisões com os satélites foi maior no caso das partículas com raios
maiores. Nesses dois grupos de simulações, nós também vimos que existiram partículas que não
colidiram e nem foram ejetadas do sistema, diferente do que aconteceu no caso dos raios de 0.5 µm
e 1 µm, onde no final da simulação não sobreviveu nenhuma partícula. Para partículas de raios de 5
µm sobreviveram 17 partículas (3.4% das partículas) e para as de raios de 10 µm sobreviveram 33
partículas (6.6% das partículas) .

Em todos os casos, Titan foi o satélite mais atingido por colisões nesse sistema, o que já era de se
esperar, já que ele possui uma maior área de contato e por ser mais massivo que os outros satélites,
possui uma maior força gravitacional.



53

Tabela 5.1.4 – Taxa de colisão das partículas de diferentes raios com Saturno e com os satélites maiores.
O número de partículas sobreviventes e as taxas de colisão são em relação ao número
total de partículas ejetadas. As partículas foram ejetadas de Iapetus e em todos os casos
foram incluídas todas as forças estudadas.

Raio
(µm)

Partículas
sobreviventes Taxa de colisão

Saturno Enceladus Tethys Dione Rhea Titan
0.5 0 53% 0 0.002% 0 0 0.006%
1 0 46.8% 0.002% 0.008% 0.002% 0.002% 0.008%
5 3.4% 49.4% 0 0.01% 0.008% 0.004% 0.018%

10 6.6% 47.6% 0.004% 0.004% 0.004% 0.014% 0.038%
Fonte: Próprio autor



54

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O intuito do nosso trabalho foi analisar o transporte das partículas de poeira ejetada de satélites de
diferentes famílias de Saturno e sob a influência das forças do achatamento planetário, eletromagnética,
radiação solar e arrasto de plasma.

Conseguimos desenvolver um código que analisa o comportamento de partículas, ejetadas de um
satélite, sob a influência das forças do achatamento planetário, eletromagnética, radiação solar e arrasto
de plasma. Esse código pode ser utilizado para estudar corpos em outros regimes e até mesmo para
outros planetas, fazendo a mudança nas condições iniciais do programa. Ele foi desenvolvido em
linguagem C e integrado utilizando o pacote REBOUND.

O estudo das forças separadamente foi muito importante para o entendimento do resultado final,
porque conseguimos identificar quais seriam as contribuições de cada uma no movimento da partícula e
quando inserimos todas as forças no programa foi possível identificar qual comportamento era referente
a determinada força.

Em nosso trabalho vimos que as forças perturbadoras afetam as órbitas das partículas variando seus
elementos orbitais. A ação que as forças causam nas partículas faz com que elas sejam transportadas
para mais próximo do planeta, ocasionando possíveis colisões com os satélites e com o próprio planeta.
Além disso, fomos capazes de comparar o comportamente das órbitas de partículas sendo ejetadas em
condições iniciais diferentes. Vimos que tanto o tamanho da partícula, quanto o corpo fonte de onde
ela é ejetada interferem na eficiência de transporte das partículas.

A partir da mudança de condições iniciais, conseguimos identificar a mudança no transporte das
partículas. Vimos que quanto mais distante do planeta a partícula é ejetada, mais tempo ela demora
para colidir com o mesmo ou com os satélites próximos a ele. Também vimos que partículas menores
sofrem maior influência das forças perturbadoras o que faz com que elas sejam transportadas mais
rapidamente para próximo do planeta do que as partículas maiores.

Por fim, observamos a existência de um grande fluxo de partículas micrométricas presentes
em regiões distintas de onde foram geradas. Temos como exemplo partículas ejetadas de Iapetus
transportadas para as órbitas de Tethys, Enceladus, Dione, Rhea e Titan.



55

REFERÊNCIAS

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APÊNDICE A – COMPORTAMENTO DAS PARTÍCULAS EJETADAS DE IAPETUS
COM RAIOS DE 0.5 µM E 5 µM

Figura A.0.1 – Variação dos elementos orbitais das partículas ejetadas de Iapetus, com raios de 0.5µm,
segundo a força de achatamento planetário, eletromagnética, radiação solar e arrasto de
plasma.

(a) Semi-eixo maior

(b) Excentricidade

(c) Inclinação

Fonte: Produção do próprio autor.



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Figura A.0.2 – Variação dos elementos orbitais das partículas ejetadas de Iapetus, com raios de 5µm,
segundo a força de achatamento planetário, eletromagnética, radiação solar e arrasto de
plasma.

(a) Semi-eixo maior

(b) Excentricidade

(c) Inclinação

Fonte: Produção do próprio autor.


	Folha de rosto
	Agradecimentos
	Epígrafe
	Resumo
	Abstract
	Introdução
	O sistema de Saturno
	SATÉLITES
	ANÉIS

	Forças
	ACHATAMENTO PLANETÁRIO
	FORÇA ELETROMAGNÉTICA
	Termos de dipolo e quadrupolo

	RADIAÇÃO SOLAR
	ARRASTO DE PLASMA
	PARÂMETROS DAS FORÇAS

	Métodos
	MODELO UTILIZADO
	INTEGRADOR REBOUND
	Inclusão das forças perturbativas


	Resultados
	EJEÇÃO E TRANSPORTE DE PARTÍCULAS
	Iapetus
	Combinação das forças
	Phoebe
	Análise estatística


	Considerações Finais
	Referências
	Comportamento das partículas ejetadas de Iapetus com raios de 0.5 m e 5 m