Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT) APLICAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA NO ESTUDO DE FUNÇÕES: UMA PROPOSTA DE ATIVIDADE PARA AS ESCOLAS DE TEMPO INTEGRAL (ETI) MARINALDO ZAGO Orientador Prof. Dr. Suetônio de Almeida Meira 2016 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Presidente Prudente-SP UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Presidente Prudente-SP Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT) APLICAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA NO ESTUDO DE FUNÇÕES: UMA PROPOSTA DE ATIVIDADE PARA AS ESCOLAS DE TEMPO INTEGRAL (ETI) MARINALDO ZAGO Dissertação apresentada como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre, junto ao programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus de Presidente Prudente-SP. Orientador Prof. Dr. Suetônio de Almeida Meira 2016 TERMO DE APROVAÇÃO MARINALDO ZAGO APLICAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA NO ESTUDO DE FUNÇÕES: UMA PROPOSTA DE ATIVIDADE PARA AS ESCOLAS DE TEMPO INTEGRAL (ETI) Dissertação APRESENTADA como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre no Curso de Pós-Graduação Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, pela seguinte banca examinadora: Orientador: Prof. Dr. Suetônio de Almeida Meira UNESP – Presidente Prudente Prof. Dr. Enio Garbelini UNIFADRA – Dracena Prof. Dr. José Roberto Nogueira UNESP – Presidente Prudente Presidente Prudente, 29 de janeiro de 2016 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus por todas as bênçãos que recebi em minha vida. À minha esposa Joelina que sempre me deu apoio cada dia da minha vida, alimentando minha alma e coração com todo seu amor e dedicação. Aos meus filhos Tiago e Taísa que sempre me deram incentivo para continuar batalhando em prol dos meus objetivos. Deixo meu muito obrigado ao orientador, Prof. Dr. Suetônio de Almeida Meira, que auxiliou durante toda a pesquisa e elaboração deste trabalho. Aos meus pais, Antônio e Ilde e às minhas irmãs Marlene, Meire e Marinês (in memoriam) por sempre estarem comigo, e a todos professores e amigos que me incentivaram todos esses anos, proporcionando novos conhecimentos a cada dia. “A matemática é o alfabeto que Deus usou para escrever o Universo” (Galileu Galilei). RESUMO O ensino de Matemática vem passando por um grande conjunto de dificuldades. Isto pode ser comprovado com os resultados de alunos nas avaliações aplicadas em diferentes níveis e escalas, como o Saresp e o Enem.Um dos motivos que levaram a este quadro é o ensino de Matemática pautado por práticas tradicionais, pois, acaba sendo fator desmotivador para o ensino da disciplina. Uma metodologia alternativa, a Modelagem Matemática, pode ajudar a reverter este quadro, uma vez que trabalha com problemas reais, elencados do contexto dos próprios alunos, potencializando, deste modo, a motivação e o interesse, aguçando nos discentes a busca por soluções, mostrando as aplicações da Matemática no cotidiano. Neste trabalho foi realizada uma breve síntese das etapas envolvidas no processo de Modelagem Matemática, aplicada ao ensino de funções, seguido de seis propostas de atividades resolvidas para subsidiar o trabalho de professores pouco familiarizados com esta metodologia. Ainda, como forma de contribuir para uma importante atividade econômica do Município de Osvaldo Cruz-SP, foi realizada uma modelagem matemática com base em dados do setor de transportes, mais precisamente caminhões bitrens. Neste caso, trata-se da simulação de um exemplo mais complexo envolvendo o conceito de modelagem. Espera-se, por meio da divulgação desta pesquisa, contribuir para melhorar a qualidade do ensino de Matemática nas escolas públicas, tanto por meio de subsídio aos docentes, como pela proposição de metodologia com potencial de geração de envolvimento de alunos. Palavras-chave: Ensino de Matemática; Modelagem Matemática; Motivação. ABSTRACT The teaching of mathematics has been experiencing a large set of difficulties. This can be proven by student results in assessments applied at different levels and scales, such as Saresp and Enem. One of the reasons that led to this situation is the teaching Mathematics guided by traditional practices, because it ends up being a demotivating factor to teach the subject. An alternative methodology, the Mathematical Modeling, may help change this situation, as it works with real problems, presented within students’ context, therefore increasing their motivation and interest, sharpening them in the search for solutions, showing the mathematics’ applications in everyday life. This work carried out a brief summary of the steps involved in the process of Mathematical Modeling, applied to teaching functions, followed by six proposals of solved activities to subsidize the work of teachers unfamiliar with this methodology. Also, in order to contribute to animportant economic activity in Osvaldo Cruz-SP, mathematical modeling was carried out based on the transport industry data, more precisely b-train trucks. In this case, it was the simulation of a more complex example involving the concept of modeling. By this research we expect to help improve the quality of mathematics teaching in public schools, not only through subsidies to teachers, but also with the methodology proposition generating potential engagement of students. Keywords: Teaching of Mathematics; Mathematical Modeling; Motivation. LISTA DE GRÁFICOS GRÁFICO 4.1: FUNÇÃO F(X) = - 2X + 1 ........................................................................... 28 GRÁFICO 4.2: FUNÇÃO F(X) = 3X - 1 .............................................................................. 29 GRÁFICO 4.3: FUNÇÃO F(X) = 2X ................................................................................... 32 GRÁFICO 4.4: FUNÇÃO F(X) = (1/2)X .............................................................................. 33 GRÁFICO 4.5: FUNÇÃO F(X) = LOG2 X ............................................................................ 36 GRÁFICO 4.6: FUNÇÃO F(X) = LOG1/2 X .......................................................................... 37 GRÁFICO 4.7: MONTANTES EM JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS .............................. 39 GRÁFICO 5.1: CUSTO (EM R$) X TEMPO (EM MIN) DOS PLANOS A E B .............................. 45 GRÁFICO 5.2: COMPARATIVO DOS MONTANTES DAS APLICAÇÕES EM POUPANÇA E CDB .... 51 GRÁFICO 5.3: FATURA DE ENERGIA ELÉTRICA POR FAIXA DE CONSUMO ............................ 60 GRÁFICO 5.4: AMORTIZAÇÃO DE UMA DÍVIDA DO CARTÃO DE CRÉDITO .............................. 75 GRÁFICO 5.5: AMORTIZAÇÃO DE UMA DÍVIDA DO CRÉDITO PESSOAL CONSIGNADO ............. 76 GRÁFICO 5.6: COMPARATIVOS DE AMORTIZAÇÕES .......................................................... 77 LISTA DE TABELAS TABELA 4.1: TEMPO (EM DIAS) X QUANTIDADE DE ARROZ (EM KG) .................................... 23 TABELA 4.2: TEMPO (EM MIN) X VOLUME (EM L) .............................................................. 24 TABELA 4.3: TEMPO GASTO (EM H) X DISTÂNCIA PERCORRIDA (EM KM) ............................. 24 TABELA 4.4: COMPRIMENTO (EM M) X ÁREA (EM M²) ....................................................... 25 TABELA 4.5: BOLAS DE SORVETE X VALOR (EM R$) ........................................................ 27 TABELA 4.6: CÁLCULO DOS PARES ORDENADOS DA FUNÇÃO F(X) = - 2X + 1 ...................... 28 TABELA 4.7: CÁLCULO DOS PARES ORDENADOS DA FUNÇÃO F(X) = 3X - 1 ......................... 29 TABELA 4.8: CRESCIMENTO DA POPULAÇÃO DE BACTÉRIAS ............................................. 30 TABELA 4.9: CÁLCULO DOS PARES ORDENADOS DA FUNÇÃO F(X) = 2X .............................. 31 TABELA 4.10: CÁLCULO DOS PARES ORDENADOS DA FUNÇÃO F(X) = (1/2)X ....................... 32 TABELA 4.11: CÁLCULO DOS PARES ORDENADOS DA FUNÇÃO F(X) = LOG2 X ..................... 36 TABELA 4.12: CÁLCULO DOS PARES ORDENADOS DA FUNÇÃO F(X) =LOG1/2 X .................... 36 TABELA 4.13: CÁLCULO DOS MONTANTES EM JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS ......... 39 TABELA 5.1: CÁLCULOS DE CUSTO DOS PLANOS A E B .................................................... 45 TABELA 5.2: CÁLCULOS DO RENDIMENTO DA CADERNETA DE POUPANÇA .......................... 49 TABELA 5.3: CÁLCULOS DO RENDIMENTO DO CDB ......................................................... 50 TABELA 5.4: ALÍQUOTAS DO I. R. INCIDENTE SOBRE OS RENDIMENTOS DO CDB ................ 50 TABELA 5.5: CÁLCULOS DO MONTANTE EM UMA APLICAÇÃO FINANCEIRA ........................... 53 TABELA 5.6: ALÍQUOTAS DO ICMS POR FAIXA DE CONSUMO ............................................ 57 TABELA 5.7: CÁLCULOS DA FATURA DE ENERGIA ELÉTRICA POR FAIXA DE CONSUMO .......... 58 TABELA 5.8: CONSUMO DE ÁGUA DO CHUVEIRO DURANTE O BANHO.................................. 64 TABELA 5.9: CONSUMO DE ÁGUA DAS DESCARGAS DO VASO SANITÁRIO ............................ 65 TABELA 5.10: PREÇOS DOS MATERIAIS PARA A CONSTRUÇÃO DE UMA CISTERNA ............... 66 TABELA 5.11: QUANTIDADE DE ÁGUA COLETADA DA CHUVA ............................................. 68 TABELA 5.12: AMORTIZAÇÃO DE UMA DÍVIDA DO CARTÃO DE CRÉDITO .............................. 73 TABELA 5.13: AMORTIZAÇÃO DE UMA DÍVIDA DO CRÉDITO PESSOAL CONSIGNADO .............. 74 TABELA 6.1: INCIDÊNCIA DO IRPF: A PARTIR DE ABRIL DO ANO-CALENDÁRIO DE 2015 ....... 81 TABELA 6.2: CONTRIBUIÇÃO MENSAL DO INSS ............................................................... 81 TABELA 6.3: CÁLCULO DO SALÁRIO LÍQUIDO DO MOTORISTA ............................................ 82 LISTA DE QUADROS QUADRO 5.1: BANDEIRAS TARIFÁRIAS (OUTUBRO DE 2015) ............................................ 56 QUADRO 5.2: CONSUMO DE ÁGUA ................................................................................. 63 QUADRO 5.3: ÍNDICES PLUVIOMÉTRICOS DA CIDADE DE ADAMANTINA ............................... 67 QUADRO 5.4: PESSOAL OCUPADO ASSALARIADO, SALÁRIOS E OUTRAS REMUNERAÇÕES E SALÁRIO MÉDIO MENSAL, SEGUNDO O SEXO E O NÍVEL DE ESCOLARIDADE – BRASIL – 2009 .................................................................................................................... 70 QUADRO 5.5: ORÇAMENTO DOMÉSTICO ......................................................................... 71 QUADRO 6.1: RESULTADOS DO CAMINHÃO I, PARA O MÊS DE JUNHO DE 2015 ................... 80 QUADRO 6.2 ENCARGOS SOCIAIS E TRABALHISTAS PAGO PELA EMPRESA ......................... 82 QUADRO 6.3: APROPRIAÇÃO MENSAL (PROVISÕES) ........................................................ 82 QUADRO 6.4: CUSTOS OPERACIONAIS MENSAIS .............................................................. 88 SUMÁRIO 2 UM POUCO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA .................................................... 15 3 MODELAGEM MATEMÁTICA ............................................................................... 19 3.1 A MODELAGEM MATEMÁTICA ......................................................................... 19 3.2 A ESCOLA DE TEMPO INTEGRAL NO ESTADO DE SÃO PAULO .................. 20 4 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................................... 22 4.1 O CONCEITO DE FUNÇÃO REAL ..................................................................... 22 4.2 FUNÇÃOINVERSA ............................................................................................. 25 4.3 FUNÇÃO AFIM ................................................................................................... 26 4.3.1 Gráfico de uma função afim .......................................................................... 27 4.4 FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................... 30 4.4.1 Gráfico de uma função exponencial ............................................................. 31 4.5 LOGARITMO ....................................................................................................... 34 4.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA .................................................................................... 35 4.6.1Gráfico de uma função logarítmica ............................................................... 35 4.7 MATEMÁTICA FINANCEIRA .............................................................................. 37 4.7.1 Capitalização simples .................................................................................... 38 4.7.2 Capitalização composta ................................................................................. 38 4.7.3 Desconto em regime de capitalização composta ........................................ 40 4.7.4 Séries ou anuidades....................................................................................... 40 5 PROPOSTA DE ATIVIDADES ............................................................................... 43 5.1 PROPOSTA DE ATIVIDADE Nº 1 ....................................................................... 43 5.2 PROPOSTA DE ATIVIDADE Nº2 ........................................................................ 47 5.3 PROPOSTA DE ATIVIDADE Nº3 ........................................................................ 55 5.4 PROPOSTA DE ATIVIDADE Nº4 ........................................................................ 61 5.5 PROPOSTA DE ATIVIDADE Nº5 ........................................................................ 68 6 APLICAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA NO SETOR DE TRANSPORTE RODOVIÁRIO ........................................................................................................... 78 7 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 90 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 92 11 1 INTRODUÇÃO O ensino-aprendizagem de Matemática nas escolas públicas no Estado de São Paulo está passando por grandes dificuldades. Verifica-se que os alunos que terminam o Ensino Médio estão aquém do esperado no desenvolvimento de competências para esta disciplina. De acordo com o Relatório Pedagógico do Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (2014, p.26) 53,8% dos alunos das escolas estaduais que terminam o Ensino Médio estão no Nível de Proficiência “Abaixo do Básico” (não demonstram domínio suficiente dos conteúdos, competências e habilidades desejáveis para o ano/série escolar em que se encontram), 42,5% estão no “Básico” (demonstram domínio mínimo dos conteúdos, competências e habilidades, mas possuem as estruturas necessárias para interagir com a proposta curricular no ano/série subsequente), apenas 3,5% no “Adequado” (demonstram domínio pleno dos conteúdos, competências e habilidades desejáveis para o ano/série escolar em que se encontram) e 0,2% no nível “Avançado” (demonstram conhecimentos e domínio dos conteúdos, competências e habilidades acima do requerido no ano/série em que se encontram). Este dado crítico, mostra que é preciso um esforço significativo de professores, governantes, profissionais da educação em geral, família, sociedade, para que esse quadro seja revertido. São muitos os motivos que levaram o ensino de matemática a essa situação insatisfatória. Dentre eles, está a desmotivação dos alunos em estudar matemática, pois, muitas vezes, este é seletivo a aprender o que é de seu interesse. Os professores, de modo geral, não estão conseguindo motivar os alunos a estudarem matemática, dada a sua complexidade, exigindo muito esforço e concentração. Ainda, destaca-se o fato de muitas teorias não serem aplicadas no cotidiano, dificultando ao aluno o relacionamento entre a prática do dia-a-dia e o que é ensinado na escola. Em grande parte das escolas públicas o ensino de matemática se dá de forma tradicional, onde o professor é o detentor de todo o saber matemático, e a aula transcorre sempre com os mesmos procedimentos, iniciando com exposições teóricas, deduções de fórmulas e teoremas, seguida da resolução de exemplos e 12 posteriormente, de lista de exercícios de fixação. O aluno acaba sendo passivo, memorizando repetições e estabelecendo pouco significado ao que foi ensinado e supostamente compreendido. Ainda, tem grande dificuldade em encontrar aplicações práticas para o que memorizou. Uma metodologia que pode ajudar a mudar esse panorama é a modelagem matemática aplicada no ensino, em razão de seu viés alternativo, que estuda um problema real do cotidiano do aluno. O assunto pode ser escolhido pelos próprios discentes ou sugerido pelo professor, e, a partir deste, serão feitas pesquisas para a familiarização com os temas que farão parte da resolução do problema. Na sequência, é feita a matematização do problema, buscando a formulação e a resolução por meio de um modelo matemático. Finalmente será feita uma interpretação dos resultados encontrados e validação desses resultados. Essa metodologia objetiva potencializar a motivação dos discentes, uma vez que trabalha com a matemática tangível no dia-a-dia, ressalta sua importância na resolução dos problemas e motiva os alunos a se envolverem com os temas. Segundo Bassanezi (2013, p.15), “esse gosto se desenvolve com mais facilidade quando é movido por interesses e estímulos externos à Matemática, vindos do ”mundo real”. A matemática aplicada é o caminho”. Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática do Ensino Médio na seção Rumos e Desafios estabelece que: [...] em Matemática..., a resolução de problemas é uma importante estratégia de ensino. Os alunos, confrontados com situações- problema, novas mas compatíveis com os instrumentos que já possuem ou que possam adquirir no processo, aprendem a desenvolver estratégia de enfrentamento, planejando etapas, estabelecendo relações, verificando regularidades, fazendo uso dos próprios erros cometidos para buscar novas alternativas; adquirem espírito de pesquisa, aprendendo a consultar, a experimentar, a organizar dados, a sistematizar resultados, a validar soluções; desenvolvem sua capacidade de raciocínio, adquirem autoconfiança e sentido de responsabilidade; e, finalmente, ampliam sua autonomia e capacidade de comunicação e de argumentação (PCN,1997). Nessa busca pela motivação, o caminho a ser seguido é aquele que considera o conhecimento matemático prévio do aluno, mesmo sem as devidas formalidades. A partir deste, o aluno é motivado a ampliar esse conhecimento movido pelo prazer em aprender. Essa aprendizagem deve ir ao encontro de uma 13 matemática cada vez mais formal, uma matemática que seja útil na resolução dos problemas com todo o rigor necessário e beleza das suas propriedades. O que nos motivou a realizar este trabalho foi a busca por uma metodologia que possa motivar o aluno a estudar matemática, tirando-o da passividade que lhe é característica em sala de aula e levando-o a ação, a procura da solução dos problemas que ocorrem em seu dia-dia, seja em casa, no trabalho, mostrando que as soluções destes problemas reais passam por ferramentas da matemática, e que este conhecimento matemático vai ajudá-lo em toda sua vida. Iniciando as abordagens teóricas que respaldarão este trabalho, no capítulo 2, serão elencados aspectos que versam sobre a história da matemática, dos primeiros conceitos e registros, das principais civilizações da antiguidade que contribuíram para sua construção, como os egípcios, babilônios, gregos e árabes com enfoque para avanços da álgebra e seus principais criadores. Sequencialmente, no capítulo 3, serão apresentadas de maneira breve uma síntese das etapas envolvidas no processo da modelagem matemática, destacando as características dessa metodologia de ensino-aprendizagem, e sugerindo sua utilização nas Escolas de Tempo Integral, pois, as propostas pedagógicas dessas escolas veem de encontro com as metodologias de ensino-aprendizagem da modelagem matemática. Já no capítulo 4, serão elencados aspectos que fundamentam teoricamente os conteúdos envolvidos nos problemas propostos neste trabalho, fazendo a apresentação das definições e das características das funções envolvidas nos problemas. Ainda, serão construídas tabelas e gráficos para cada tipo de função mostrando geometricamente as propriedades específicas de cada uma. Na sequência, no capítulo 5, serão apresentadas algumas propostas de atividades resolvidas, mostrando como esse trabalho pode ser feito com a utilização da modelagem matemática aplicada ao estudo de funções, deixando claro que essa sequência de atividades depende do envolvimento de cada turma e, naturalmente, seguirá por caminhos distintos e contemplarão igualmente problemas distintos, dependendo de variáveis como interesse, visão e participação de cada turma e do direcionamento que o professor desejar para conseguir atingir o objetivo proposto para a atividade. 14 Por fim, no capítulo 6, será apresentado um trabalho de modelagem em uma empresa de transporte rodoviário do Município de Osvaldo Cruz-SP, considerada a capital estadual do caminhão bitrem graneleiro, uma atividade econômica de grande importância para a cidade. Serão calculados os custos fixos, como, por exemplo, os impostos, os seguros do “cavalo” e da carreta, a reposição do veículo e o licenciamento. Ainda, serão calculados, os custos variáveis envolvidos, como combustíveis, pneus, lubrificantes e manutenção geral do veículo, que dependem da quilometragem do caminhão. Outrossim, também serão calculados valores dispostos com remunerações do motorista, diretamente relacionadas ao valor da receita obtida pelos fretes. Com todas essas informações, é possível o cálculo do lucro obtido no mês considerado. 15 2 UM POUCO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA Acredita-se que a matemática tenha surgido das necessidades práticas do homem no dia-a-dia em busca da sobrevivência. No desenvolvimento da raça humana, foram agregados ao longo dos anos alguns conceitos matemáticos que no princípio tinham a ver com a capacidade de distinguir quantidades pequenas, ordem, tamanho e forma de objetos. [...] as noções primitivas de número, grandeza e forma podiam estar relacionadas com contrastes mais do que com semelhanças – a diferença entre um lobo e muitos, a desigualdade entre uma sardinha e uma baleia, a dessemelhança entre a forma redonda da Lua e a retilínea de um pinheiro. Gradualmente deve ter surgido, da massa de experiências caóticas, a percepção de que há analogias: e dessa percepção de semelhanças em número e forma nasceram a ciência e a matemática (BOYER, 2010, p. 1). De acordo com Boyer (2010) a ideia de número surgiu de um processo cultural longo e gradual, antes mesmo da escrita e do surgimento das civilizações o homem já utilizava os dedos das mãos e dos pés, pedras, riscos em madeiras e em ossos para contar, os sinais para números precederam as palavras e somente nos últimos seis milênios é que o homem conseguiu registrar seus pensamentos. Dentre as civilizações antigas, algumas se destacaram pelo avanço na matemática, uma delas é a civilização egípcia, que tinha um bom conhecimento em astronomia e com isso estabeleceram um calendário solar com 12 meses de trinta dias e mais cinco dias de festa, também tinham um bom conhecimento em geometria que foi usada pelos egípcios nas construções de pirâmides, diques, canais de irrigação. Segundo Boyer (2010) no Papiro Rhind (ou Papiro Ahmes) datado de 1650 a.C., há inscrições que mostram que os egípcios também tinham conhecimento sobre frações unitárias, operações aritméticas com frações, problemas algébricos, problemas geométricos com cálculo da área do círculo comparado a área de quadrados com aproximações bem interessantes, tinham também conhecimento sobre semelhança de triângulos e rudimentos de trigonometria. 16 Dentre tantas coisas, o Papiro Rhind continha a inscrição de problemas de característica algébrica, pois buscavam a solução de problemas que poderiam ser escritos na forma de equações. A incógnita é chamada ”aha”. O prob. 24, por exemplo, pede o valor de aha sabendo que aha mais um sétimo de aha dá 19. A solução de Ahmes não é a dos livros modernos, mas é característica de um processo conhecido como “método de falsa posição” (BOYER, 2010, p. 11). Outra civilização da antiguidade que também tinha uma Matemática avançada para a época é a civilização babilônica, foram encontradas em Uruk, hoje cidade de Warka no Iraque, tabletas de barro, datadas de 3000 a. C., com a escrita cuneiforme mostrando o avanço desta civilização, com registros de um sistema de numeração sexagesimal, com operações fundamentais, frações sexagesimais, problemas algébricos, equações quadráticas e tinham também conhecimento sobre geometria. Uma tableta muito importante desta época, a tableta Plimpton 322, traz ternas numéricas que representam os lados de triângulos retângulos, isto quer dizer que os babilônios já conheciam o “teorema de Pitágoras”, eles também tinham um bom conhecimento sobre equações, sua álgebra era mais avançada do que a dos egípcios, eles resolviam equações lineares, equações quadráticas e até cúbicas e biquadradas, mas assim como os egípcios não usavam nenhuma representação simbólica nas resoluções destes problemas. A civilização grega também teve um papel muito importante no desenvolvimento da Matemática. [...] como invasores iletrados vindos do Norte, abriram caminho até o mar. Não trouxeram tradição matemática ou literária consigo; no entanto, tiveram desejo ansioso de aprender, e não demoraram a melhorar o que lhes ensinaram (BOYER, 2010, p. 30). Os gregos antigos se apropriaram de muitos conceitos dos povos conquistados e aprimoraram e desenvolveram esses conceitos matemáticos, principalmente na Geometria e Astronomia, alguns matemáticos gregos se destacaram e deixaram importantes trabalhos: (Tales de Mileto 625 a.C. – 545 a.C., Pitágoras de Samos 570 a.C. – 495 a.C., Euclides 295 a.C., Arquimedes 287 a.C. – 212 a.C.) dentre outros. 17 Na álgebra, um dos primeiros matemáticos a utilizar alguns símbolos e abreviações foi Diofante de Alexandria (325 -409), considerado para muitos como “o pai da álgebra”, escreveu o tratado Arithmetica, com 13 livros dos quais apenas os 6 primeiros restaram. [...] era um tratado caracterizado por um alto grau de habilidade matemática e de engenho: quanto a isto, o livro pode ser comparado aos grandes clássicos da Idade Alexandrina anterior; no entanto, quase nada tem em comum com esses ou, na verdade, com qualquer matemática grega tradicional (BOYER, 2010, p. 122). Os árabes também deram sua contribuição para o desenvolvimento da Matemática, porém, no início do império muçulmano, por volta de 650 a 750, as ciências ficaram de lado devido as guerras, só mais tarde com a prosperidade do comércio e das viagens marítimas e depois da tradução de algumas obras científicas indianas e gregas para o árabe é que o interesse árabe pelo conhecimento científico veio a despertar, o então califa al-Mamum mandou traduzir todas as obras gregas que eles tinham em mãos, inclusive, Os Elementos de Euclides, e também estabeleceu em Bagdá uma “Casa da Sabedoria”, onde se destacou o matemático e astrônomo Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi, que escreveu várias obras de astronomia e matemática, dentre as quais, uma tratava dos numerais hindus e foi muito difundida na época a ponto de alguns leitores atribuírem a ele este sistema de numeração de forma errônea, já que ele mesmo deixava claro a origem sendo hindu. A obra mais importante de al-Khowarizmi foi Al-jabr, este título provavelmente deu origem a palavra álgebra, na introdução desta obra al-Khowarizmi cita o apoio recebido do califa e faz algumas referências da obra: [...] que o califa al-Mamum o encorajou a escrever um pequeno trabalho sobre o cálculo pelas regras de completação e redução, confinando-o ao que é mais simples e mais útil na aritmética, tais como as que os homens constantemente necessitam no caso das heranças, partilhas, processos judiciais, e comércio, [...] (SOMATEMATICA, 2015) Na sua obra, Al-jabr, al-Khowarizmi não utiliza nenhum símbolo, mas relata de forma simples e sistemática os passos que envolvem a resolução de equações lineares e quadráticas, tendo assim grande relevância para a evolução da álgebra. Muitas descobertas ocorreram, mas foi com o matemático francês François Viète (1540 – 1603) que a álgebra teve um grande avanço, foi ele que conseguiu 18 escrever as equações de forma geral e não apenas de forma específica como era escrita até então, possibilitando um grande progresso na teoria algébrica. Viète introduziu uma convenção tão simples quanto fecunda. Usou uma vogal para representar, em álgebra, uma quantidade suposta desconhecida, ou indeterminada, e uma consoante para representar uma grandeza ou números supostos conhecidos ou dados. Aqui encontramos, pela primeira vez na álgebra, uma distinção clara entre o importante conceito de parâmetro e a ideia de uma quantidade desconhecida (BOYER, 2010, p. 208). Mas apesar deste grande avanço, Viète era antigo em outros aspectos, pois sua álgebra não era totalmente simbólica, quem finalizou a passagem das notações sincopadas para álgebra totalmente simbólica foi o grande matemático e filósofo francês René Descartes (1596 – 1650), que o possibilitou organizar suas ideias envolvendo geometria e álgebra e transformar problemas algébricos em linguagem geométrica, dando origem ao que chamamos hoje de geometria analítica. A Matemática continua a se desenvolver e, atualmente, esta ciência está presente em várias áreas da sociedade como, por exemplo, arquitetura, informática, medicina, física, química, etc. Pode-se dizer que em tudo que se encontra ao redor das pessoas existe a matemática. Como visto, a Matemática está presente no dia-a-dia e é ensinada nas escolas como uma importante e indispensável ferramenta para o desenvolvimento de todas as ciências. Contudo, o ensino-aprendizagem da Matemática no Brasil está cercado por grandes dificuldades, destacando a desmotivação dos alunos e professores, a pouca aplicabilidade das teorias no mundo real dos conteúdos ensinados na escola entre outros. 19 3 MODELAGEM MATEMÁTICA 3.1 A MODELAGEM MATEMÁTICA É preciso dar significado àquilo que é ensinado na escola, tornar a matemática agradável para alunos e professores, uma metodologia alternativa que pode ajudar nesse sentido é a modelagem matemática. Segundo Bassanezi (2013, p.31): “A modelagem eficiente permite fazer previsões, tomar decisões, explicar e entender, enfim, participar do mundo real com capacidade de influenciar em suas mudanças”. A modelagem matemática como processo de ensino-aprendizagem é uma opção na tentativa de melhorar os índices de aprendizagem em Matemática no Ensino Fundamental e Ensino Médio, pois tem como princípio o trabalho com problemas reais do cotidiano dos alunos, buscando assim um maior interesse em estudar e aprender matemática, além de proporcionar o desenvolvimento de várias habilidades que muitas vezes são deixadas de lado pelo método tradicional, como a tomada de decisão: na escolha do tema a ser trabalhado e na escolha dos problemas que deverão ser resolvidos, o trabalho com pesquisa: para o conhecimento sobre o assunto em questão, levantamento de hipóteses: no momento do questionamento e obtenção dos problemas que deverão ser levantados, desenvolvimento da criatividade: na resolução desses problemas propostos, que poderão ser resolvidos de maneiras diversas, sem um método específico, crítica dos resultados: que deverá ser feita após a resolução dos problemas de modo a verificar se a solução encontrada é adequada, o trabalho em grupo: pois o trabalho de modelagem é feito em pequenos grupos, o respeito à opinião dos outros e a colaboração entre os colegas: pois só dessa forma o trabalho em grupo dá resultados, a habilidade de comunicação oral e escrita: no grupo e perante toda a turma, pois, é necessário se fazer entender durante as discussões e explicações do que foi realizado e como foi realizado e como objetivo principal a formação do cidadão crítico e atuante na sociedade em que vive. No trabalho com modelagem vão aparecer alguns problemas, dentre eles, o tempo para a realização das atividades e a adequação ao currículo oficial. 20 [...] devem ser feitas algumas adaptações que tornem possível a utilização da modelagem matemática como metodologia de ensino- aprendizagem sem, contudo, perder a linha mestra que é o favorecimento à pesquisa e posterior criação de modelos pelos alunos, e sem desrespeitar as regras educacionais vigentes (BIEMBENGUT E HEIN, 2011, p.29). A modelagem matemática pode ser aplicada de maneira simplificada, o professor escolhe o tema e leva todas as informações necessárias para o início do trabalho encaixando um tema com o programa já estabelecido pela Secretaria da Educação, neste caso, o professor trabalha ocasionalmente alguns problemas durante o bimestre, de forma a adaptar esta metodologia ao sistema de ensino vigente. 3.2 A ESCOLA DE TEMPO INTEGRAL NO ESTADO DE SÃO PAULO Para esse trabalho é necessário que tenhamos um período grande de tempo para a realização de todas as etapas adequadamente, mas, geralmente o tempo não é suficiente sequer para o cumprimento do currículo determinado pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. Diante disso, sugere-se que esta metodologia seja aplicada de forma especial nas Escolas de Tempo Integral (ETI), onde o professor trabalha em regime de dedicação plena e integral à unidade escolar, com carga horária de 8 horas diárias e 40 horas semanais, ou seja, esse tempo maior na escola contribuirá para o aprimoramento da sua formação, para a organização e desenvolvimento de metodologias e estratégias de ensino. Segundo a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo (2012, p.15), o principal objetivo da ETI é a formação de jovens autônomos, competentes e solidários: Para formar o jovem idealizado (autônomo, solidário e competente) a prática pedagógica dos educadores deve ser modificada de modo que o jovem seja tratado como fonte de iniciativa, porque desenvolve capacidade de agir, não sendo passivo no processo pedagógico; como fonte de liberdade, porque a ele devem ser oferecidos cursos e alternativas para aprender a avaliar e tomar decisões e, fonte de 21 compromisso, porque deverá aprender a responder pelos seus atos, sendo consequente nas suas ações. Na concepção do Programa de Ensino Integral a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, levou em consideração a necessidade de repensar o atual modelo de escola, o que implica em ajustes e mudanças na abordagem pedagógica e na organização dos conteúdos, dando ênfase a novas metodologias de ensino. O estimulo para que o jovem seja um protagonista é uma das especificidades que deverão ser atendidas nas Escolas de Tempo Integral: “V – Protagonismo juvenil – processo pedagógico no qual o aluno é estimulado a atuar criativa, construtiva e solidariamente na solução de problemas reais na escola, na comunidade e na vida social” (SEE, 2014, p.2). A matriz curricular da ETI é composta pela Base Nacional Comum, pela Parte Diversificada, e pelas Atividades Complementares. Na Parte Diversificada estão inclusas duas aulas semanais nos quatro anos do Ensino Fundamental-II, e nos três anos do Ensino Médio, de Disciplinas Eletivas, que deverão ser trabalhadas através de projetos desenvolvidos por pelo menos dois professores de disciplinas distintas da Base Nacional Comum, e também foi introduzida nas Atividades Complementares a Orientação de Estudo, presentes em todos os anos do Ensino Fundamental e Ensino Médio, com o objetivo de desenvolver o hábito de estudo, levando o aluno a aprender a estudar de diferentes formas. Mediante essas informações sobre a ETI, fica evidente que a modelagem matemática pode colaborar de forma decisiva para a conquista dos objetivos propostos pela ETI, e a falta de tempo para o desenvolvimento das atividades de modelagem não seria mais um problema, pois, é possível elaborar projetos para as disciplinas eletivas e/ou utilizar as aulas de Orientação de Estudo. Por esses motivos acredita-se que essa parceria entre Modelagem Matemática e ETI seria um passo importante para a melhoria do ensino- aprendizagem em Matemática. 22 4 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 4.1 O CONCEITO DE FUNÇÃO REAL Um dos conceitos mais importantes em Matemática é o conceito de funções, além de ser destaque em Matemática é destaque também em outras áreas do conhecimento como a Física, a Química, a Biologia, a Economia dentre outras, pois, é conveniente expressar fenômenos destas áreas por meio de funções. Quando relacionamos duas grandezas variáveis, sendo uma dependente da outra, estamos formando intuitivamente a ideia de função, que consiste nessa relação de dependência, que formalmente definiremos a seguir: Sejam os conjuntos A e B, de números reais, não vazios, uma relação 𝑓 de A em B é uma função quando associa a cada elemento x, pertencente ao conjunto A, um único elemento y, pertencente ao conjunto B, 𝑥 ∈ 𝐴 é chamado “variável independente” e 𝑦 ∈ 𝐵 é chamado “variável dependente”. Essa função pode ser representada por: 𝑓: 𝐴 → 𝐵 ou 𝐴 𝑓 → 𝐵 (lê-se: função f de A em B) O conjunto A é chamado de domínio D(f) e o conjunto B, é chamado de contradomínio CD(f) da função f. Cada elemento y, pertencente ao conjunto B, que possui um correspondente x, pertencente ao conjunto A, é chamado de imagem de x pela função f, e o conjunto desses valores de y é chamado de conjunto imagem da função f e é indicado por Im(f). Simbolicamente temos: 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ 𝐵/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑥 ∈ 𝐴} O gráfico de uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵, com 𝐴 ⊂ ℝ 𝑒 𝐵 ⊂ ℝ é o conjunto de todos os pontos do plano cujas coordenadas são (𝑥, 𝑓(𝑥)), com 𝑥 ∈ 𝐴. Simbolicamente: 𝐺𝑟(𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵/𝑦 = 𝑓(𝑥)} O gráfico de um a função permite visualizar melhor o seu comportamento, seu crescimento, decrescimento, seus máximos e mínimos, facilitando assim, fazermos algumas estimativas e previsões. Eis alguns exemplos de situações que envolvem a ideia de função. 23 Exemplo 1 – Carlos comprou um pacote de arroz de 5kg. A família de Carlos é composta por 4 pessoas que consomem em média 220 gramas de arroz por dia, qual a quantidade de arroz que restará no pacote após 15 dias? Tabela 4.1: Tempo (em dias) x Quantidade de arroz (em kg) Tempo (em dias) Quantidade de arroz (em kg) 1 0,4780 2 0,4560 3 0,4340 4 0,4120 5 0,3900 ... ... X 5 – 0,22x A quantidade de arroz depende do tempo de consumo, isto é, a quantidade de arroz é dada em função do tempo. Chamando a quantidade de arroz de q e o tempo de x, temos: 𝑞 = 5 − 0,22. 𝑥 → fórmula matemática da função q, que determina a quantidade (q) de arroz função do tempo (x). Logo: 𝑞 = 5 − 0,22.15 𝑞 = 1,7 Então a quantidade de arroz após 15 dias será de 1,7kg. Exemplo 2- Uma caixa d’água com capacidade de 1000 litros está completamente vazia, abre-se uma torneira que despeja na caixa 25 litros de água por minuto. Qual a quantidade de água na caixa após t minutos da abertura da torneira? A tabela 4.2 relaciona o volume de água contido na caixa e o tempo a partir do momento em que a torneira foi aberta: 24 Tabela 4.2: Tempo (em min) x Volume (em l) Tempo (em minutos) Volume (em litros) 1 25 2 50 3 75 4 100 10 250 t 25.t O volume da caixa depende do tempo em que a torneira ficar aberta, isto é, o volume da caixa é dado em função do tempo em que a torneira ficar aberta. Chamando o volume de V e o tempo de t, temos: 𝑉 = 25. 𝑡 → fórmula matemática da função que determina o volume (V) da caixa em função do tempo (t) em minutos após a abertura da torneira. Exemplo 3- Um carro percorre uma estrada com velocidade constante de 80 quilômetros por hora. Qual a distância percorrida pelo carro após t horas de viagem? Observe a tabela 4.3 que relaciona a distância percorrida e o tempo gasto: Tabela 4.3: Tempo gasto (em h) x Distância percorrida (em km) Tempo gasto (em horas) Distância percorrida (em km) 0,5 40 1 80 1,5 120 2 160 3 240 t 80.t Chamando a distância percorrida de D e o tempo de viagem de t, temos: 𝐷 = 80. 𝑡 → fórmula matemática da função que determina a distância (D) percorrida em função do tempo (t) de viagem. 25 Exemplo 4 – José quer construir em seu sítio um galinheiro de formato retangular, para cercá-lo comprou 40 m de tela que deverão ser totalmente usados. Qual será a área desse galinheiro? Qual a área máxima? Observe a tabela 4.4: Tabela 4.4: Comprimento (em m) x Área (em m²) Comprimento (m) Largura (m) Área (m²) 4 20 - 4=16 64 5 20 - 5= 15 75 6 20 - 6 =14 84 7 20 - 7 = 13 91 8 20 - 8 =12 96 x 20 –x x . (20 – x) Chamando a medida da área do galinheiro de A e a medida do comprimento de x, temos: 𝐴(𝑥) = 𝑥. (20 − 𝑥) 𝐴(𝑥) = −𝑥² + 20𝑥 → fórmula matemática da função que determina a área (A) do galinheiro em função da medida (x) do comprimento do galinheiro. 4.2 FUNÇÃOINVERSA Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é injetiva se, e somente se, para todo 𝑥1 e 𝑥2 pertencentes a A com 𝑥1 ≠ 𝑥2 tivermos 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2). Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é sobrejetiva se, e somente se, para todo y pertencente a B existe x pertencente a A tal que 𝑓(𝑥) = 𝑦. Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é bijetiva se ela for injetiva e sobrejetiva simultaneamente, ou seja, para todo 𝑥1 e 𝑥2 ∈ 𝐷(𝑓), com 𝑥1 ≠ 𝑥2, tivermos 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2) e 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐶𝐷(𝑓). 26 Dada uma função bijetiva 𝑓: 𝐴 → 𝐵, dizemos que uma função 𝑔: 𝐵 → 𝐴 é a função inversa de 𝒇 se, para todo 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑏 ∈ 𝐵 tem-se 𝑓(𝑎) = 𝑏 e 𝑔(𝑏) = 𝑎. Indicamos a função inversa por 𝑓−1. 4.3 FUNÇÃO AFIM Definição: Uma função 𝑓:ℝ → ℝ , que a todo número 𝑥 ∈ ℝ associa o número 𝑎𝑥 + 𝑏 , com 𝑎 e 𝑏 reais é chamada função afim. 𝒙 → 𝒂𝒙 + 𝒃 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 Exemplo de aplicação: Márcio trabalha como vendedor em uma loja de eletrodomésticos e seu salário mensal é composto de uma parte fixa no valor de R$ 1.260,00 e outra variável que corresponde a 3% do valor das vendas que ele realiza no mês, portanto seu salário pode ser calculado através de uma sentença matemática dada por: 𝑆(𝑥) = 0,03𝑥 + 1260 , em que S representa o salário e x o valor das vendas no mês. Neste caso o salário de Márcio é calculado em função do valor das vendas. Assim como esse exemplo existem muitas situações do dia-a-dia que podem ser escritas na forma de uma função denominada função afim.  Casos particulares de função afim Dependendo dos valores dos coeficientes de uma função afim ela recebe nomenclaturas especiais:  Uma função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ∈ ℝ e 𝑏 = 0, é chamada de função linear. 𝒇(𝒙) = 𝒂. 𝒙 27 Utilizam-se funções lineares para representar grandezas diretamente proporcionais, veja o exemplo a seguir: Exemplo de aplicação: Na sorveteria Pingo de Mel o preço de uma bola de sorvete é de R$1,50, Val, o proprietário da sorveteria, resolveu fazer uma tabela de preços para facilitar na hora das vendas, observe a tabela abaixo: Tabela 4.5: Bolas de sorvete x Valor (em R$) Nº de bolas Valor (R$) 1 1,50 2 3,00 3 4,50 4 6,00 As grandezas envolvidas nessa tabela são diretamente proporcionais, então podemos escrevê-las na forma de uma função linear dada por: 𝑓(𝑥) = 1,5. 𝑥 , onde f(x) representa o valor a ser pago pelo cliente e x a quantidade de bolas de sorvetes compradas.  Uma função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 , com 𝑎 = 1 e 𝑏 = 0, é chamada de função identidade. 𝒇(𝒙) = 𝒙  Uma função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 , com 𝑎 = 0 e 𝑏 ∈ ℝ, é chamada de função constante. 𝒇(𝒙) = 𝒃 4.3.1 Gráfico de uma função afim No dia-a-dia, observam-se constantemente gráficos de vários tipos em jornais, revistas, nos noticiários de televisão, etc., que são utilizados para facilitar a exposição de informações e a compreensão dessas informações pelos leitores, muitos desses gráficos representam funções. 28 Para construir o gráfico de uma função afim 𝑓, dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥), com 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), utiliza-se a representação de par ordenado (𝑥, 𝑦) de números reais em um plano cartesiano. Atribuem-se valores a 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) e calculamos os valores correspondentes de 𝑦 = 𝑓(𝑥), obtendo os pares ordenados (𝑥, 𝑦), depois associamos a cada par ordenado (𝑥, 𝑦) um ponto no plano cartesiano. Veja os exemplos a seguir: Exemplo 1: Construa, no plano cartesiano, o gráfico da função 𝑓: ℝ → ℝ, dada por 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1. Tabela 4.6: Cálculo dos pares ordenados da função f(x) = - 2x + 1 𝑥 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1 (𝑥, 𝑦), -1 𝑓(𝑥) = −2. (−1) + 1 = 3 (-1,3) 0 𝑓(𝑥) = −2.0 + 1 = 1 (0,1) 1 𝑓(𝑥) = −2.1 + 1 = −1 (1,-1) 2 𝑓(𝑥) = −2.2 + 1 = −3 (2,-3) Sendo o domínio da função f, o conjunto dos números reais, existem infinitos valores que podemos atribuir a x, e consequentemente, teremos infinitos pares ordenados (x,y), cuja representação no plano cartesiano formarão o gráfico da função f. Gráfico 4.1: Função f(x) = - 2x + 1 29 Exemplo 2: Construa no plano cartesiano o gráfico da função 𝑓:ℝ → ℝ, dada por 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1. Tabela 4.7: Cálculo dos pares ordenados da função f(x) = 3x - 1 𝑥 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1 (𝑥, 𝑦), -1 𝑓(𝑥) = 3. (−1) − 1 = −4 (-1,-4) 0 𝑓(𝑥) = 3.0 − 1 = −1 (0,-1) 1 𝑓(𝑥) = 3.1 − 1 = 2 (1,2) 2 𝑓(𝑥) = 3.2 − 1 = 5 (2,5) Gráfico 4.2: Função f(x) = 3x - 1 De modo geral, em uma função afim, dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 , temos que: Se 𝑎 > 0 a função é crescente, pois, para 𝑥1 > 𝑥2 ⇔ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) Se 𝑎 < 0 a função é decrescente, pois, para 𝑥1 > 𝑥2 ⇔ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) O gráfico da função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com a ≠ 0, intersecta o eixo y no ponto de coordenadas ( 0,b) e o eixo x, no ponto ( −𝑏 𝑎⁄ , 0). 30 4.4 FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição: Uma função 𝑓:ℝ → ℝ+ ∗ , definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ou 𝑦 = 𝑎𝑥, com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 , é denominada função exponencial. Um caso especial de função exponencial é a função exponencial natural, 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥,cuja base é o numero irracional e, cujo valor aproximado é 2,718281828, conhecido como número neperiano, a função exponencial natural é indicada para a modelagem de fenômenos que expressam crescimento ou decrescimento de populações, juros compostos, desintegração radioativa, dentre outros, e também no cálculo diferencial e integral devido a uma característica importante de ser idêntica à sua própria derivada. Veja um exemplo de situação que envolve a ideia de função exponencial. A população de uma colônia de certa bactéria duplica a cada hora. Em um experimento, colocou-se, inicialmente, em um recipiente, 200 bactérias. Qual a quantidade de bactérias nesse recipiente após 3 h? E após 4 h? E após t horas? Observe a tabela 4.8: Tabela 4.8: Crescimento da população de bactérias Tempo (em horas) Quantidade de bactérias 0 200 1 2 . 200 = 400 2 2 . 2. 200 = 800 3 2 . 2 . 2 . 200 = 1600 4 2 . 2 . 2 . 2 . 200 = 3200 Observando a tabela, percebe-se que a quantidade de bactérias pode ser expressa por uma potência de base 2, então, pode-se escrever, 𝑞(𝑡) = 200. 2𝑡 , onde, q(t) representa a quantidade de bactérias após t horas do início do experimento. As restrições, 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, dadas na definição são necessárias, pois, caso contrário, não seria possível caracterizar uma função exponencial. 31 Se 𝑎 = 1, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 seria uma função constante. 𝑓(𝑥) = 1𝑥 = 1, para todo 𝑥 ∈ ℝ. Se 𝑎 = 0, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 não é definida em ℝ. 𝑓(−5) = 0−5, 0−5não é definido em ℝ. Se 𝑎 < 0, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 não é definida para todo 𝑥 ∈ ℝ. Para 𝑎 = −4 e 𝑥 = 1 2 , temos: 𝑓 ( 1 2 ) = (−4) 1 2 = √−4 ∉ ℝ 4.4.1 Gráfico de uma função exponencial Para o estudo gráfico da função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ, constroem-se os gráficos de duas funções, uma com a base maior que 1 (𝑎 > 1) e a outra com a base maior que zero e menor que 1 (0 < 𝑎 < 1). Exemplo 1: Construa o gráfico da função exponencial dada por: 𝑓(𝑥) = 2𝑥. Tabela 4.9: Cálculo dos pares ordenados da função f(x) = 2x X 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 -3 1 8⁄ -2 1 4⁄ -1 1 2⁄ 0 1 1 2 2 4 . 32 Gráfico 4.3: Função f(x) = 2x O gráfico de f é crescente e intersecta o eixo y no ponto (0,1). Exemplo 2: Construa o gráfico da função exponencial dada por: 𝑓(𝑥) = ( 1 2 ) 𝑥 . Tabela 4.10: Cálculo dos pares ordenados da função f(x) = (1/2)x X 𝑦 = 𝑓(𝑥) = ( 1 2 ) 𝑥 -3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 1 2⁄ 2 1 4⁄ 3 1 8⁄ 33 Gráfico 4.4: Função f(x) = (1/2)x O gráfico de f é decrescente e intersecta o eixo y no ponto (0,1) De modo geral, em uma função exponencial, temos que: Se 𝑎 > 1 a função é crescente, pois, se 𝑥1 > 𝑥2 ⇔ 𝑎𝑥1 > 𝑎𝑥2. Se 0 < 𝑎 < 1 a função é decrescente, pois, se 𝑥1 > 𝑥2 ⇔ 𝑎𝑥1 < 𝑎𝑥2. O gráfico é denominado curva exponencial, intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, 1) e assintota o eixo x, ficando sempre acima do eixo x, pois, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 > 0, para todo 𝑥 ∈ ℝ.. A função exponencial é sobrejetiva, pois, para todo número real 𝑏 > 0 existe algum 𝑥 ∈ ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 = 𝑏, 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐶𝐷(𝑓) = ℝ+ ∗ . A função exponencial é injetiva, pois, para todo 𝑥1 e 𝑥2 ∈ ℝ, com 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒ 𝑎𝑥1 ≠ 𝑎𝑥2. A função exponencial é bijetiva, pois, ela é sobrejetiva e injetiva, logo admite função inversa. 34 4.5 LOGARITMO Definição: Dados os números reais positivos 𝑎 e 𝑏 , com 𝑎 ≠ 1 . Denomina-se logaritmo de 𝑏 na base 𝑎 o expoente 𝑐, tal que 𝑎𝑐 = 𝑏 , ou seja: log𝑎 𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎𝑐 = 𝑏 Nessa equivalência temos: Forma exponencial Forma logarítmica 𝑎𝑐 = 𝑏 { 𝑎: 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑏: 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐: 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 log𝑎 𝑏 = 𝑐 { 𝑎: 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑏: 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐: 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜  Propriedades operatórias dos logaritmos 1ª) Logaritmo de um produto Em uma mesma base, o logaritmo do produto de dois ou mais números reais e positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses números. log𝑎(𝑏. 𝑐) = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐 2ª) Logaritmo de um quociente Em uma mesma base, o logaritmo do quociente de dois números reais e positivos é igual a diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor. log𝑎 ( 𝑏 𝑐 ) = log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐 3ª) Logaritmo de uma potência O logaritmo de uma potência de base real e positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. log𝑎 𝑏 𝑛 = 𝑛. log𝑎 𝑏  Mudança de base do logaritmo 35 Como vimos, as propriedades operatórias dos logaritmos são válidas para logaritmos de mesma base, quando as bases forem diferentes temos que fazer a mudança de base do logaritmo. Para mudarmos a base do log𝑎 𝑏 para a base 𝑐 utilizamos a seguinte igualdade: log𝑎 𝑏 = log𝑐 𝑏 log𝑐 𝑎 , com b > 0, 0 < a ≠ 1 e 0 < c ≠ 1 . 4.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA Sabemos que a função exponencial 𝑓:ℝ → ℝ+ ∗ , definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 é bijetiva , logo admite função inversa. A função inversa da função exponencial é a função logarítmica que associa a cada número real positivo 𝑥 o número real log𝑎 𝑥, com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. Uma função 𝑓:ℝ+ ∗ → ℝ , definida por 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥, com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, é denominada função logarítmica. A função inversa da função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 é a função logarítmica 𝑔(𝑥) = log𝑒 𝑥 que costuma ser representada por 𝑔(𝑥) = ln 𝑥 e é chamada de logaritmo natural de x. 4.6.1Gráfico de uma função logarítmica Vamos construir os gráficos das funções logarítmicas 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 e 𝑓(𝑥) = log1 2 𝑥 e observar algumas características desses gráficos. 36 Tabela 4.11: Cálculo dos pares ordenados da função f(x) = log2 x X 𝑦 = 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 1 4⁄ -2 1 2⁄ -1 1 0 2 1 4 2 8 3 Gráfico 4.5: Função f(x) = log2 x O gráfico de f é crescente e intersecta o eixo x no ponto (1,0). Tabela 4.12: Cálculo dos pares ordenados da função f(x) =log1/2 x x 𝑦 = 𝑓(𝑥) = log1 2 𝑥 1 8⁄ 3 1 4⁄ 2 1 2⁄ 1 1 0 2 -1 4 -2 37 Gráfico 4.6: Função f(x) = log1/2 x O gráfico de f é decrescente e intersecta o eixo x no ponto (1,0). De modo geral, em uma função logarítmica, temos que:  Se 𝑎 > 1 a função é crescente: 𝑥1 > 𝑥2 ⇔ log𝑎 𝑥1 > log𝑎 𝑥2  Se 0 < 𝑎 < 1 a função é decrescente: 𝑥1 > 𝑥2 ⇔ log𝑎 𝑥1 < log𝑎 𝑥2  O gráfico intersecta o eixo x no ponto de coordenadas (1, 0) e assintota o eixo y, ficando todo a direita do eixo y, pois, log𝑎 𝑥 é definido para todo 𝑥 ∈ ℝ+ ∗ . 4.7 MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Financeira faz parte do cotidiano e auxilia no controle dos orçamentos doméstico, de empresas e respalda decisões, como: comprarmos à vista ou prazo, o quanto se paga de juros, o tempo de amortização de uma dívida e em outras situações que envolvem pagamentos, financiamentos etc. Quando se busca um capital emprestado e promete devolvê-lo depois de algum tempo, remuneram-se os investidores com um valor a mais por este tempo em que ficou com o capital, como se fosse o pagamento de um aluguel, que deve 38 ser combinado antecipadamente e sobre o qual será cobrada uma taxa, com diferentes regimes, basicamente se simples ou composto. 4.7.1 Capitalização simples No regime de juro simples, o juro é calculado sobre o capital inicial e o juro é diretamente proporcional ao período de aplicação e à taxa de juro, podendo ser calculado pela fórmula: 𝑗 = 𝐶. 𝑖. 𝑛 , em que j é o valor dos juros do capital C, no período n a uma taxa unitária i. O montante M (valor futuro VF) é a soma dos juros j obtidos no período considerado com o capital inicial C (valor presente VP), logo: 𝑀 = 𝐶 + 𝑗 ⟹ 𝑀𝑛 = 𝐶. (1 + 𝑖. 𝑛). 4.7.2 Capitalização composta No regime de juro composto o juro é calculado, a partir do segundo período, sobre o montante do período anterior, ou seja, os juros do primeiro período passam a fazer parte do capital e a render juros no próximo período, ou seja, os juros são capitalizados, é o que popularmente chamamos de juros sobre juros. 𝑗1 = 𝐶. 𝑖. 1 ⟹ 𝑀1 = 𝐶 + 𝐶. 𝑖 ⟹ 𝑀1 = 𝐶(1 + 𝑖) 𝑗2 = 𝑀1. 𝑖. 1 ⟹ 𝑗2 = 𝐶(1 + 𝑖). 𝑖 ⟹ 𝑀2 = 𝑀1 + 𝑗2 ⟹𝑀2 = 𝐶(1 + 𝑖) + 𝐶(1 + 𝑖). 𝑖 ⟹ 𝑀2 = 𝐶(1 + 𝑖)(1 + 𝑖) ⟹ 𝑀2 = 𝐶(1 + 𝑖)2 𝑗3 = 𝑀2. 𝑖. 1 ⟹ 𝑗3 = 𝐶(1 + 𝑖)2. 𝑖 ⟹ 𝑀3 = 𝑀2 + 𝑗3 ⟹𝑀3 = 𝐶(1 + 𝑖)2 + 𝐶(1 + 𝑖)2. 𝑖 ⟹ 39 𝑀3 = 𝐶(1 + 𝑖)2(1 + 𝑖) ⟹ 𝑀3 = 𝐶(1 + 𝑖)3 Então, tem-se que: 𝑀𝑛 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 é a fórmula para o cálculo do montante M, em regime de juro composto, onde, C representa o capital inicial, i é a taxa unitária de juros por período e n é o número de períodos em que o capital ficou aplicado. Na tabela a seguir temos os valores dos montantes em regime de juro simples e juro composto a partir de um capital inicial (C) de R$ 2.000,00 e considerando uma taxa de juros (i) de 3% ao mês, durante um período (n) de 4 meses. Tabela 4.13: Cálculo dos montantes em juros simples e juros compostos Juro simples (𝑴𝒏 = 𝑪. (𝟏 + 𝒊. 𝒏)) Juro composto (𝑴𝒏 = 𝑪. (𝟏 + 𝒊) 𝒏) N Montante n Montante 1 𝑀1 = 2000. (1 + 0,03.1) = 2060,00 1 𝑀1 = 2000. (1 + 0,03) 1 = 2060,00 2 𝑀2 = 2000. (1 + 0,03.2) = 2120,00 2 𝑀2 = 2000. (1 + 0,03) 2 = 2121,80 3 𝑀3 = 2000. (1 + 0,03.3) = 2180,00 3 𝑀3 = 2000. (1 + 0,03) 3 = 2185,45 4 𝑀4 = 2000. (1 + 0,03.4) = 2240,00 4 𝑀4 = 2000. (1 + 0,03) 4 = 2251,02 No gráfico 4.7, temos a representação da evolução dos montantes num período maior, fica evidente que o crescimento do montante em juro composto é mais rápido, ele cresce de forma exponencial enquanto o montante em juro simples cresce de forma linear. Gráfico 4.7: Montantes em juros simples e juros compostos 40 4.7.3 Desconto em regime de capitalização composta O desconto é uma operação financeira muito utilizada, que calcula o valor atual, ou valor presente (VP), de uma dívida saldada antes do seu vencimento, ou seja, no valor desta dívida com vencimento futuro estão inclusos os juros, se essa dívida for paga antecipadamente, é justo que sejam retirados os juros desse período de antecipação. O valor presente (VP) é o valor do capital que aplicado em regime de capitalização composta a uma taxa de juros i, durante um período n, produz um montante VF. Observe o exemplo: Milton pagou uma dívida de R$ 2.400,00 três meses antes do vencimento, sabendo que a taxa de juros cobrada foi de 5% ao mês em regime de capitalização composta, qual o valor pago por Milton? Da definição tem-se que: 2400 = 𝑉𝑃. (1,05)3 ⟹ 𝑉𝑃 = 2400 (1,05)3 ⟹ 𝑉𝑃 = 2400 1,1576 𝑉𝑃 = 2073,26, Isto é, o valor pago foi de R$ 2.073,26. Com base no exemplo, podemos escrever: 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃. (1 + 𝑖)𝑛 ⟹ 𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 (1 + 𝑖)𝑛 𝑉𝑃 = 𝑉𝐹. (1 + 𝑖)−𝑛 Daí, podemos calcular o valor do desconto dessa dívida por: 𝑑 = 𝑉𝐹 − 𝑉𝑃 4.7.4 Séries ou anuidades Uma sequência de depósitos ou pagamentos com o objetivo de amortizar uma dívida ou formar um montante é denominada série ou anuidade. Uma série em 41 que os pagamentos se iniciam após o final do primeiro período é denominada série postecipada, e são as mais comuns no mercado financeiro. Vamos observar um exemplo para constituir um determinado montante através de depósitos periódicos e iguais em regime de capitalização composta. José faz 5 depósitos mensais de R$ 200,00 numa financeira que paga 5% de juros ao mês. Qual o montante final? 𝑀 = 200(1,05)4 + 200(1,05)3 + 200(1,05)2 + 200(1,05)1 + 200 𝑀 = 200[ (1,05)4 + (1,05)3 + (1,05)2 + 1,05 + 1)] A expressão que está dentro dos colchetes é a soma dos temos de uma P.G., logo o montante será: 𝑀 = 200. [ 1. ((1,05)5 − 1) 1,05 − 1 ] 𝑀 = 200 [ 1,27628 − 1 0,05 ] 𝑀 = 200 . 5,5256 𝑀 = 1105,13 Logo, o montante final foi de R$ 1.105,13. Com base neste exemplo podemos escrever uma fórmula para o cálculo do montante de uma série ou anuidade: 𝑀 = 𝑝. [ (1+𝑖) 𝑛 −1 𝑖 ], onde, M representa o montante no final da aplicação, p é o valor do depósito periódico, i é a taxa unitária de juros contratada e n é o número de períodos desta aplicação. Segue um exemplo de amortização de uma dívida. Carlos pagou uma dívida em 5 prestações de R$ 200,00, sendo a primeira prestação paga no final do primeiro período, sabendo que a taxa de juros cobrada foi de 5% ao período, qual o valor da dívida amortizada? Neste problema, o valor da dívida será a soma dos valores presentes das prestações, chamando o valor presente da dívida de VP, temos: 𝑉𝑃 = 200(1,05)−5 + 200(1,05)−4 + 200(1,05)−3 + 200(1,05)−2 + 200(1,05)−1 𝑉𝑃 = 200[ ((1,05)−5 + (1,05)−4 + (1,05)−3 + (1,05)−2 + (1,05)−1)] 42 A expressão que está dentro dos colchetes é a soma dos temos de uma P.G., então, temos: 𝑉𝑃 = 200. [ 1,05−5. (1,055 − 1) 1,05 − 1 ] 𝑉𝑃 = 200. [ 1 − (1,05)−5) 0,05 ] 𝑉𝑃 = 200. [ 1 − 0,7835 0,05 ] 𝑉𝑃 = 200. [ 0,2165 0,05 ] 𝑉𝑃 = 200. [4,33] 𝑉𝑃 = 866 Logo, a dívida amortizada foi de R$ 866,00. Com base neste exemplo podemos escrever uma fórmula para o cálculo do valor presente na amortização de uma dívida com pagamentos periódicos e iguais, e uma taxa de juros constante. 𝑉𝑃 = 𝑝. [ 1−(1+𝑖) −𝑛 𝑖 ], onde VP representa o valor presente da dívida, p é o valor da prestação, i é a taxa unitária de juros contratada e n é o número de prestações pagas periodicamente. 43 5 PROPOSTA DE ATIVIDADES Neste capítulo serão apresentadas algumas propostas de atividades resolvidas com a intenção de subsidiar o trabalho dos professores que ainda não conhecem esta metodologia de ensino-aprendizagem e que manifestem interesse pelo aprofundamento no tema. Estes problemas são exemplos e não necessariamente devem ser seguidos na íntegra, uma vez que cada professor deve encontrar a melhor maneira para trabalhar com cada turma, seguindo as etapas da Modelagem Matemática. 5.1 PROPOSTA DE ATIVIDADE Nº 1 Qual é o melhor plano? Constantemente temos que tomar uma decisão entre adquirir o produto A ou o produto B, como decidir de maneira correta, escolhendo o “melhor” ou o “ mais vantajoso financeiramente”? Ou será que dá para ser o melhor e o mais vantajoso financeiramente? Público alvo:  9º ano do Ensino Fundamental. Conteúdos matemáticos necessários como pré-requisito: Função afim Objetivos:  Identificar as variáveis envolvidas na situação problema.  Levantar hipóteses e elaborar propostas para solucionar o problema.  Compartilhar conhecimentos e responsabilidades.  Realizar pesquisas sobre do tema.  Identificar as vantagens e desvantagens de cada plano.  Aplicar a ideia de função afim, para encontrar o modelo desejado.  Desenvolver a criatividade do aluno por meio de uma situação real. Procedimentos didáticos: 44  Roda de conversa.  Trabalho em grupo.  Pesquisas. Desenvolvimento da atividade proposta: Esta atividade deve ser iniciada com uma conversa com os alunos sobre as escolhas que temos que fazer constantemente, desde a escolha de uma roupa para vir à escola, do meio de transporte a ser utilizado, dentre tantas outras que fazemos diariamente. Neste momento devem ser levantadas situações do cotidiano em que são necessários alguns cuidados na hora de decidir, como por exemplo, no custo financeiro de uma escolha. Para esta atividade será apresentada aos alunos a situação-problema a seguir: Taísa resolveu ir morar sozinha e quer contratar um plano de telefonia fixa, para isto, fez uma pesquisa de preços para escolher o plano que melhor se encaixa para ela neste momento. Ela está indecisa entre os planos A e B, veja as condições dos planos abaixo: Plano A:  Taxa fixa mensal de R$ 29,90  Ligações de fixo para fixo na cidade R$ 0,00  Ligações de fixo para móvel da mesma operadora R$ 0,60 Plano B:  Taxa fixa mensal de R$ 49,90  Ligações de fixo para fixo na cidade R$ 0,00  Ligações de fixo para móvel da mesma operadora R$ 0,20 Como ela pode decidir qual deverá ser contratado? Depois de apresentar o problema é feita uma discussão sobre o que deve ser levado em consideração para a contratação do plano, neste momento surgem as hipóteses: o que tem a taxa fixa mais barata, aquele que posso falar mais tempo e pagar menos, aquele que cobra o menor valor da ligação por minuto, o tempo de uso de telefone fixo para fixo, o tempo de uso de telefone fixo para móvel. 45 Espera-se que os alunos tenham a iniciativa de calcular o custo para alguns valores e comparar os resultados e verificar que o custo total depende do valor fixo e do tempo de ligação de fixo para móvel. Tabela 5.1: Cálculos de custo dos planos A e B Tempo de ligação de fixo para móvel (em min) Plano A (R$) Plano B (R$) 10 29,90 + 10 . 0,60 = 35,90 49,90 + 10 . 0,20 = 51,90 20 29,90 + 20 . 0,60 = 41,90 49,90 + 20 . 0,20 = 53,90 30 29,90 + 30 . 0,60 = 47,90 49,90 + 30 . 0,20 = 55,90 40 29,90 + 40 . 0,60 = 53,90 49,90 + 40 . 0,20 = 57,90 Com tais dados somos instigados a dispô-los de modo a construir uma representação gráfica que possa estabelecer a relação entre tempo de ligação e o custo total do plano. Gráfico 5.1: Custo (em R$) x Tempo (em min) dos planos A e B 46 Observando o gráfico 5.1, temos a impressão que os pontos de cada plano (A ou B) estão alinhados, então esses dados podem ser escritos na forma de uma função afim. Neste momento, provavelmente os alunos já tiveram o contato com funções e poderão determinar as funções que regem cada plano por meio de sistemas de equações lineares, caso seja necessário o professor deverá fazer uma revisão desse conteúdo. A expressão geral de uma função afim é 𝐶(𝑡) = 𝑎𝑡 + 𝑏. Sendo assim, tomaremos dois pontos quaisquer de cada uma das retas que representam os planos A e B, para construirmos um sistema de equações lineares de modo a encontrar os valores de 𝑎 e 𝑏 para cada caso. Plano A Considere os pontos (10; 35,9) e (20; 41,9), substituindo seus valores em 𝐶(𝑡) teremos: { 35,9 = 10𝑎 + 𝑏 41,9 = 20𝑎 + 𝑏 Resolvendo o sistema encontraremos: { 𝑎 = 0,6 𝑏 = 29,9 e portanto, a função procurada é dada por 𝐶𝐴(𝑡) = 0,6𝑡 + 29,9, onde 𝑡 representa o tempo (em minutos) e 𝐶 o custo total (em reais). Plano B Considere os pontos (10; 51,9) e (20; 53,9), substituindo seus valores em 𝐶(𝑡) teremos: { 51,9 = 10𝑎 + 𝑏 53,9 = 20𝑎 + 𝑏 Resolvendo o sistema encontraremos: { 𝑎 = 0,2 𝑏 = 49,9 eportanto, a função procurada é dada por 𝐶𝐵(𝑡) = 0,2𝑡 + 49,9, onde 𝑡 representa o tempo (em minutos) e 𝐶 o custo total (em reais). Para responder a pergunta inicial do problema (Qual é o melhor plano?), devemos levar em conta o tempo de utilização de fixo para móvel, isto depende de cada consumidor, então podemos inicialmente determinar o tempo (em minutos) no qual 47 os dois planos sejam indiferentes, ou seja, tenham o mesmo custo total, para isto devemos resolver esta equação: 𝐶𝐴 = 𝐶𝐵 0,6𝑡 + 29,9 = 0,2𝑡 + 49,9 0,4𝑡 = 20 𝑡 = 50 Logo, o tempo em que os dois planos têm o mesmo custo total é de 50 minutos, portanto para uma pessoa que for realizar ligações de fixo para móvel por um tempo inferior a 50 minutos o plano A é mais vantajoso e para a pessoa que for realizar ligações de fixo para móvel por um tempo superior a 50 minutos o plano B é mais vantajoso. 5.2 PROPOSTA DE ATIVIDADE Nº2 É melhor poupar ou financiar? Este tema é de extrema importância e interesse para os alunos do Ensino Médio, pois muitos já estão pensando em comprar um carro ou uma moto assim que completarem 18 anos e tirarem suas habilitações, em guardar dinheiro para cursar uma faculdade, e tantos outros projetos futuros. Público alvo:  1º ano do Ensino Médio Conteúdos matemáticos necessários como pré-requisito:  Matemática financeira.  Função exponencial. Objetivos:  Identificar as variáveis envolvidas na situação problema.  Levantar hipóteses e elaborar propostas para solucionar o problema.  Compartilhar conhecimentos e responsabilidades.  Realizar pesquisas sobre do tema. 48  Identificar as vantagens e desvantagens de cada tipo de investimento comparando os prazos e as taxas.  Aplicar a ideia de função para encontrar o modelo desejado.  Desenvolver a criatividade e o senso crítico do educando por meio de uma situação real. Procedimentos didáticos:  Roda de conversa.  Trabalho em grupo.  Pesquisas. Desenvolvimento da atividade proposta: A partir do tema, os alunos são convidados a pensar em coisas que gostariam de comprar, de uma viagem que gostariam de fazer, de um sonho de consumo, que no momento não podem realizar por vários motivos, como não ter o dinheiro suficiente, não ter um emprego fixo para poder pagar uma prestação mensal, ter outros objetivos prioritários (pagar uma faculdade), não ter idade suficiente para comprar o objeto de desejo (carro ou moto não tendo ainda 18 anos) entre outros, e depois dessa primeira discussão fazer um levantamento desses objetos de desejo e pensar qual seria a melhor maneira para atingirem seus objetivos. Várias situações serão levantadas e a maioria delas esbarra quase sempre, na falta de dinheiro, para a maioria deles, então podem surgir questões como por exemplo: Como conseguir um determinado montante? É melhor poupar ou financiar? Quanto devo poupar mensalmente para obter certo montante? Quando devo começar a poupar? É melhor pagar à vista ou a prazo? Qual o melhor tipo de investimento? E o mais seguro? Estas e outras perguntas podem surgir desse debate e agora é hora de fazer uma pesquisa em bancos, em financiadoras e na internet sobre o assunto, onde deverão ser levantados prazos, taxas de juros, tipos de financiamentos, taxas de administração cobradas pelos bancos, impostos, etc. Provavelmente aparecerão diversas taxas de financiamento, de investimento, e apareça também a ideia de fazer um consórcio, dentre outras maneiras de levantar 49 esse montante. Cabe ao professor nesse momento estabelecer como vai continuar a atividade, seria interessante concentrar as atenções em alguma pergunta em especial para facilitar o trabalho que pode ser iniciado comparando a caderneta de poupança, cuja taxa de rendimento é em média de 0,58% ao mês com outra modalidade de investimento, por exemplo, o CDB (Certificado de Depósito Bancário) que rende em média 1% ao mês, no entanto, na poupança não é cobrada nenhuma taxa e você pode sacar o dinheiro quando quiser, enquanto no CDB tem a cobrança do Imposto de Renda sobre os rendimentos, a taxa cobrada depende do tempo de aplicação, quanto maior o tempo menor o imposto. Problema 1) Tiago quer investir R$ 250,00 por mês durante um ano, qual o montante no final desse período se ele optar em depositar na caderneta de poupança? E se ele optar pelo CDB? Cada depósito mensal renderá um montante até o final da aplicação onde esses montantes deverão ser somados para obter o montante total dessa aplicação. Vamos considerar que a Caderneta de Poupança esteja rendendo 0,58% de juros ao mês, observe a tabela 5.2: Tabela 5.2: Cálculos do rendimento da caderneta de poupança Data do depósito Valor depositado Rendimentos Montante (em 10/12) 10/01 250 250. (1,0058)11 266,42 10/02 250 250. (1,0058)10 264,88 10/03 250 250. (1,0058)9 263,36 10/04 250 250. (1,0058)8 261,84 10/05 250 250. (1,0058)7 260,33 10/06 250 250. (1,0058)6 258,83 10/07 250 250. (1,0058)5 257,33 10/08 250 250. (1,0058)4 255,85 10/09 250 250. (1,0058)3 254,38 10/10 250 250. (1,0058)2 252,91 10/11 250 250. (1,0058)1 251,45 10/12 250 250 250 Total 3000 - 3.097,58 50 Vamos considerar que o rendimento do CDB é de 1% ao mês, observe a tabela 5.3: Tabela 5.3: Cálculos do rendimento do CDB Data do depósito Valor depositado Rendimentos Montante (em 10/12) 10/01 250 250. (1,01)11 278,92 10/02 250 250. (1,01)10 276,16 10/03 250 250. (1,01)9 273,42 10/04 250 250. (1,01)8 270,71 10/05 250 250. (1,01)7 268,03 10/06 250 250. (1,01)6 265,38 10/07 250 250. (1,01)5 262,75 10/08 250 250. (1,01)4 260,15 10/09 250 250. (1,01)3 257,58 10/10 250 250. (1,01)2 255,03 10/11 250 250. (1,01)1 252,5 10/12 250 250 250 Total 3000 - 3.170,63 Sobre o rendimento do CDB incide o Imposto de Renda da seguinte forma: Tabela 5.4: Alíquotas do I. R. incidente sobre os rendimentos do CDB Tempo de permanência Alíquotas regressivas Até 180 dias 22,5% De 181 a 360 dias 20% De 361 a 720 dias 17,5% Superior a 720 dias 15% Fonte: Banco do Brasil. Como no nosso exemplo algumas aplicações mensais ficaram abaixo de 180 dias, logo o rendimento deve ser tributado em 22,5%. Soma dos rendimentos (abaixo de 180 dias) = 38,01 Tributos devidos = 8,55 51 As demais ficaram entre 181 e 360 dias, então o rendimento será tributado em 20% Soma dos rendimentos (entre 181 e 360 dias) = 132,62 Tributos devidos = 26,52 O total de tributos devidos então será de R$ 35,07 e o montante final será de R$ 3.135,56. Depois dessa primeira fase de pesquisa e entendimento da situação problema, da montagem das tabelas, dos cálculos iniciais, é interessante que o professor retome os conteúdos de matemática financeira, como capitalização composta e amortização para a sequência desse trabalho. A partir das fórmulas é conveniente resolver várias situações mudando a taxa de juros, o tempo de aplicação, o valor do montante, de acordo com a necessidade (ou objeto de desejo) de cada um. É interessante observar que aumentando o prazo de aplicação a diferença entre os montantes das duas aplicações vai aumentando consideravelmente apesar da diferença entre as taxas de juros ser pequena, isto pode ser visto com mais facilidade no gráfico 5.2: Gráfico 5.2: Comparativo dos montantes das aplicações em Poupança e CDB 52 Outras questões que também podem ser trabalhadas: Problema 2) Mateus quer financiar R$ 8.000,00 para comprar uma moto, qual o valor da prestação mensal? Neste problema podemos pesquisar as taxas de juros cobradas pelos bancos da cidade para fazer os cálculos em sala de aula e depois pedir aos alunos que façam a pesquisa nos bancos e comparem os resultados encontrados, provavelmente as prestações encontradas nas pesquisas serão maiores que as encontradas em sala de aula, por que aconteceu essa diferença agora? Onde foi que erramos? Neste caso não houve erro, mas a diferença é causada pelas taxas cobradas pelo banco em transações desse tipo, numa transação financeira a taxa que corresponde a todos os encargos e despesas incidentes nas operações de crédito e de arrendamento mercantil financeiro, contratadas ou ofertadas a pessoas físicas, microempresas ou empresas de pequeno porte é chamada de Custo Efetivo Total (CET), que inclui o Imposto sobre Operações Financeiras (IOF) além das taxas cobradas pelo banco. Problema 3) Jô planeja comprar um bem no valor de R$ 3.800,00. Para isto irá depositar mensalmente R$ 300,00 em uma aplicação financeira que está rendendo 1% ao mês. Em quanto tempo terá dinheiro suficiente para comprar o bem? Para iniciar a discussão pode-se pensar em construir uma tabela com os cálculos mês a mês até atingir a quantia desejada. Neste momento é interessante deixar que os alunos montem o cabeçalho da tabela e façam suas anotações e depois poderá ser feita uma discussão de como cada um organizou a tabela e quais foram as dificuldades encontradas. Veja tabela 5.5: 53 Tabela 5.5: Cálculos do montante em uma aplicação financeira Data do depósito Valor depositado Rendimentos Montante 10/01 300,00 - 300,00 10/02 300,00 300. (1,01) = 303 603,00 10/03 300,00 603. (1,01) = 609,03 909,03 10/04 300,00 909,03. (1,01) = 918,12 1218,12 10/05 300,00 1218,12. (1,01) = 1230,30 1530,30 10/06 300,00 1530,30. (1,01) = 1545,60 1845,60 10/07 300,00 1845,60. (1,01) = 1864,06 2164,06 10/08 300,00 2164,06. (1,01) = 2185,70 2485,70 10/09 300,00 2485,70. (1,01) = 2510,56 2810,56 10/10 300,00 2810,56. (1,01) = 2838,66 3138,66 10/11 300,00 3138,66. (1,01) = 3170,05 3470,05 10/12 300,00 3470,05. (1,01) = 3504,75 3804,75 Pela tabela chegamos ao resultado de 11 meses, aproximadamente, com 12 depósitos iguais a R$ 300,00, mas será que tem uma maneira mais prática para resolver este problema? Que tipo de função se caracteriza pelos resultados obtidos? Pelos exemplos anteriores, é possível verificar que este problema está relacionado com capitalização composta, ou seja, para obter o resultado de uma forma mais rápida podemos aplicar a fórmula: 𝑉𝐹 = 𝑝. ( (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑖 ) Onde VF será o valor desejado no final das aplicações, p será o valor depositado mensalmente, i a taxa de juros contratada e n o número de depósitos necessário para conseguir o montante, substituindo os valores na fórmula temos: 3800 = 300. ( (1 + 0,01)𝑛 − 1 0,01 ) 3800 30000 + 1 = 1,01𝑛 1,1266667 = 1,01𝑛 Aplicando logaritmo em ambos os lados da equação, temos: log 1,01𝑛 = log 1,1266667 ⟹ 𝑛. log 1,01 = log 1,1266667 54 𝑛 .0,004321373 = 0,051795458 𝑛 = 11,98 meses. Como o último depósito coincide com a data da retirada, isto é, serão necessários 11 meses aproximadamente e 12 depósitos iguais a R$ 300,00. Podemos, a partir do exemplo, chegar a uma função exponencial que nos dá a quantidade de meses necessários de uma aplicação para obtermos um determinado montante, mantendo a taxa de juros e o depósito mensal fixos. Chamando o montante de y e o tempo de n temos: 𝑦 = 300. ( 1,01𝑛 − 1 0,01 ) 𝑦 = 30000. (1,01𝑛 − 1) Podemos também encontrar outras funções que atendam aos questionamentos em cada caso, por exemplo, mantendo o valor da taxa de juros e do tempo fixos, podemos escrever uma função que relaciona o montante com o depósito mensal, neste caso, variando o valor depositado mensalmente qual será o montante? Chamando o montante de y, o depósito mensal de x, considerando uma taxa mensal de 1% ao mês e o tempo de 10 meses temos: 𝑦 = 𝑥. 1,0110 − 1 0,01 ⟹ 𝑦 = 𝑥. 10,4622 𝑦 = 10,4622 . 𝑥 Com esta função afim podemos determinar o valor do montante (y) em função do valor depositado mensalmente (x) durante um período de 10 meses. Problema 4) Uma loja de eletrônicos e eletrodomésticos oferece a seus clientes duas formas de pagamento: I) Pagamento de uma só vez, um mês após a compra. II) Pagamento em três prestações mensais iguais, vencendo a primeira no ato da compra. Se você fosse cliente dessa loja, qual seria sua opção? Estas e outras questões são bem propícias para discussões envolvendo o tema que é muito relevante em qualquer idade, para todas as classes sociais, dentre outras coisas trabalha também a cidadania, a importância de poupar para o futuro, a educação financeira, o orçamento doméstico, etc. 55 No site do Banco Central do Brasil tem uma ferramenta chamada “calculadora do cidadão”1, onde é possível fazer os cálculos de capitalização ou financiamento e comparar com os resultados encontrados pelos alunos em sala, mostrando que eles conseguiram resolver os problemas propostos e chegaram aos mesmos resultados, muitas vezes por caminhos bem diferentes, sem uso de fórmulas específicas. 5.3 PROPOSTA DE ATIVIDADE Nº3 A nova conta da energia elétrica. A conta de energia elétrica é um assunto bastante recorrente no ensino médio, muitos livros didáticos trazem este assunto, alguns não mencionam as tarifas que são cobradas, como o ICMS, e agora temos também a cobrança de uma nova tarifa, a bandeira tarifária, que depende das condições de geração de energia. Público alvo:  9º ano do Ensino Fundamental Conteúdos matemáticos necessários como pré-requisito:  Função afim.  Porcentagem. Objetivos:  Identificar as variáveis envolvidas na situação problema.  Levantar hipóteses e elaborar propostas para solucionar o problema.  Compartilhar conhecimentos e responsabilidades.  Aplicar a ideia de função para encontrar o modelo desejado.  Desenvolver a criatividade e o senso crítico do aluno por meio de uma situação real.  Identificar as faixas de consumo de energia e suas respectivas taxas de ICMS  Representar por meio de gráficos as funções encontradas. Procedimentos didáticos: 1 56  Roda de conversa.  Trabalho em grupo.  Pesquisas. Desenvolvimento da atividade proposta: Essa atividade pode ser iniciada com uma roda de conversa e, posteriormente, uma pesquisa, sobre as causas da escassez de água que muitas cidades brasileiras estão passando e as possíveis consequências que essa escassez de água pode causar, dentre elas a falta de energia elétrica. Os alunos poderão fazer uma pesquisa sobre a matriz da energia elétrica no Brasil, discutindo sobre as vantagens e desvantagens dessa matriz, relacionando com a crise de energia elétrica atual e possíveis consequências caso ocorra um racionamento de energia. Esse assunto está em destaque nos últimos meses, na mídia em geral, em muitas cidades brasileiras falta água até mesmo para o consumo humano, algumas destas cidades estão com o racionamento de água em pleno funcionamento decretado pelas concessionárias, como se isso não bastasse ainda corremos o risco da falta de energia elétrica, que também é resultado da escassez de água, já que cerca de 75% da energia elétrica brasileira é produzida em usinas hidrelétricas. Com o risco de racionamento iminente, o governo federal estabeleceu uma nova tarifa a ser cobrada a partir de janeiro de 2015, de acordo com as condições de geração de eletricidade, são as Bandeiras Tarifárias. Veja o quadro 5.1: Quadro 5.1: Bandeiras Tarifárias (outubro de 2015) Bandeira verde Condições favoráveis de geração de energia. A tarifa não sofre nenhum acréscimo Bandeira amarela Condições de geração menos favoráveis. A tarifa sofre acréscimo de R$ 2,50 para cada 100 quilowatt-hora (kWh) consumidos Bandeira vermelha Condições mais custosas de geração. A tarifa sobre acréscimo de R$ 4,50 para cada 100 kWh consumidos Fonte: ANEEL. A Agencia Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) divulga no final de cada mês qual será a bandeira do próximo mês, assim o consumidor poderá adaptar seu 57 consumo, se assim desejar. Depois das pesquisas realizadas e das discussões em sala, podemos resolver o seguinte problema Problema 1) Como fica o cálculo da nova conta da energia elétrica? Após esta primeira fase do trabalho, da pesquisa e obtenção dos dados, os alunos deverão trazer uma conta de energia elétrica para a sala de aula para verificar o que é cobrado nesta fatura, por exemplo: os tributos e suas alíquotas, os serviços prestados, etc., e como são feitos os cálculos para esta cobrança, veja algumas informações a este respeito a seguir. Os consumidores de energia elétrica pagam por meio da conta recebida da sua empresa distribuidora de energia elétrica, um valor correspondente a quantidade de energia elétrica consumida, no mês anterior, estabelecida em kWh (quilowatt- hora) multiplicada por um valor unitário, denominado tarifa, medida em R$/kWh (reais por quilowatt-hora), que corresponde ao preço de um quilowatt consumido em uma hora, sobre este valor incide a alíquota do ICMS, Imposto sobre Circulação de Mercadorias e Serviços, que varia de acordo com a faixa de consumo e é calculado “por dentro”, ou seja, no preço de compra ou de venda do bem ou do serviço já está embutido o valor do ICMS destacado, assim, a sua alíquota efetiva é superior à alíquota nominal. Observe a tabela 5.6 com as alíquotas do ICMS e suas respectivas faixas de consumo: Tabela 5.6: Alíquotas do ICMS por faixa de consumo Classe Faixa de consumo -kWh Alíquota nominal Alíquota efetiva Residencial De 0 a 90 kWh Isento Isento Residencial De 91 a 200 kWh 12% 13,636% Residencial Acima de 200 kWh 25% 33,333% Rural Todas 18% 21,951% Demais Classes Todas 18% 21,951% Fonte: Energisa A partir de janeiro de 2015 foram cobradas, também, nas contas de energia elétrica as Bandeiras Tarifárias, e o mês de novembro a ANEEL divulgou a bandeira vermelha, ou seja, haverá um aumento de R$ 4,50 para cada 100 kWh consumidos. 58 Com estas informações é possível calcular a conta de energia elétrica de um consumidor residencial, com ligação bifásica e tarifa convencional, através de uma função com quatro sentenças, de acordo com o consumo em kWh e suas respectivas alíquotas de ICMS, e tomando como base a tarifa da empresa distribuidora de energia elétrica da cidade de Osvaldo Cruz, cujo valor é de R$ 0,447360 por kWh consumido. Neste momento os alunos poderão fazer algumas estimativas e alguns cálculos com valores arbitrários para entenderem a dinâmica da conta de energia e perceberem as mudanças das alíquotas de acordo com o consumo e chegarem a um modelo adequado para esta conta. Veja a tabela 5.7 com os cálculos descritos. Tabela 5.7: Cálculos da fatura de energia elétrica por faixa de consumo Consumo (Kwh) Cálculos Valor da fatura (R$) 30 22,37 + 0,045 .30 23,72 50 22,37 + 0,045 . 50 24,62 55 0,44736 . 55 + 0,045 . 55 = 0,49236 . 55 27,08 78 0,44736 . 78 + 0,045 . 78 = 0,49236 . 78 38,40 90 0,44736 . 90 + 0,045 . 90 = 0,49236 . 90 44,31 100 0,49236 . 100 + 0,49236 . 100 . 12/88 = 0,49236 . 100 . ( 1 +12/88 ) 55,95 150 0,49236 . 150 + 0,49236 . 150 . 12/88 = 0,49236 . 150 . ( 1 + 12/88) 83,93 200 0,49236 . 200 + 0,49236 . 200 . 12/88 = 0,49236 . 200 . (1 + 12/88 ) 111,90 210 0,49236 . 210 + 0,49236 . 210 . 25/75 = 0,49236 . 210 . (1 + 25/75 ) 137,86 350 0,49236 . 350 + 0,49236 . 350 . 25/75 = 0,49236 . 350 . (1 + 25/75 ) 229,77 Observando a tabela é possível perceber que esta conta de energia deve ser dividida em quatro partes, de acordo com a faixa de consumo e suas respectivas alíquotas de ICMS, e que cada uma delas pode ser escrita na forma de uma função afim. Chamando de C(x) o custo total da conta (em R$) e de x a quantidade de kWh consumidos no mês, temos: 59 (I) Para um consumo de até 50 kWh o consumidor paga a tarifa denominada mínima, que consiste em um valor fixo de R$ 22,37 acrescida da bandeira tarifária vigente no mês. Obs.: Na tabela foi usada a tarifa da bandeira vermelha do mês de novembro que foi de R$ 4,50 para cada 100 kWh consumidos 𝐶(𝑥) = 22,37 + 0,045. 𝑥 (II) Para um consumo de 51 kWh até 90 kWh 𝐶(𝑥) = 0,44736 . 𝑥 + 0,045. 𝑥 𝐶(𝑥) = 0,49236. 𝑥 (III) Para um consumo de 91 kWh até 200 kWh: 𝐶(𝑥) = 0,49236. 𝑥 + 0,49236 . 𝑥 . 12 88 𝐶(𝑥) = 𝑥. (0,49236 + 0,49236.12 88 ) 𝐶(𝑥) = 0,5595. 𝑥 (IV) Para um consumo acima de 200 kWh: 𝐶(𝑥) = 0,49236. 𝑥 + 0,49236. 𝑥. 25 75 𝐶(𝑥) = 𝑥. (0,49236 + 0,49236.25 75 ) 𝐶(𝑥) = 0,6565. 𝑥 De (I), (II), (III) e (IV) temos: 𝐶(𝑥) = { 22,37 + 0,045. 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 50 0,49236. 𝑥, 𝑝𝑎𝑟𝑎 50 < 𝑥 ≤ 90 0,5595. 𝑥, 𝑝𝑎𝑟𝑎 90 < 𝑥 ≤ 200 0,6565. 𝑥, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 200 Observe a representação gráfica desta função no gráfico 5.3: 60 Gráfico 5.3: Fatura de energia elétrica por faixa de consumo É possível também realizar um trabalho de conscientização para a necessidade de economia de energia elétrica, os alunos podem fazer uma pesquisa do consumo de cada aparelho elétrico que cada um tem em sua casa e depois escrever uma função afim que relaciona o consumo mensal e o tempo de uso diário do aparelho. Por exemplo, uma TV de led de 32” consome 106 w por hora, se ela ficar ligada x horas por dia durante 30 dias temos: 𝐶 = 0,106 . 𝑥. 30 𝐶 = 3,18 . 𝑥 𝑘𝑤/𝑚ê𝑠, onde, C é o consumo mensal e x o tempo médio de uso diário do aparelho, ou seja, o consumo mensal desta TV pode ser calculado substituindo a variável x pela quantidade de horas que essa TV fica ligada em média por dia. Podemos fazer uma estimativa de consumo de cada aparelho elétrico da casa e o cálculo do valor da conta de energia segundo essas informações, para depois podermos analisar quais aparelhos consomem mais e se é possível diminuir o 61 consumo em alguns desses aparelhos com a mudança de alguns hábitos e possível troca por aparelhos mais econômicos. 5.4 PROPOSTA DE ATIVIDADE Nº4 Como contribuir com a economia de água A escassez de água potável é um problema enfrentado por uma grande parte da população mundial e também por nós brasileiros, principalmente da região nordeste e nos últimos anos do sudeste do Brasil. No último ano a crise hídrica teve um aumento considerável devido aos baixos índices pluviométricos que ficaram sempre abaixo das médias históricas mensais, juntando-se a isso, temos os desperdícios que ocorrem desde a distribuição da água com vazamentos na rede até o desperdício causado pelo mau uso da água por parte da população, e não é só isso, tem também, para piorar a situação, a poluição dos rios e nascentes e a falta de investimento no setor. Público alvo:  9º ano do Ensino Fundamental. Conteúdos matemáticos necessários como pré-requisito:  Razão e proporção.  Porcentagem.  Função afim. Objetivos:  Conscientizar o aluno da importância do uso racional da água.  Encontrar alternativas para economizar água.  Identificar as variáveis envolvidas na situação problema.  Levantar hipóteses e elaborar propostas para solucionar o problema.  Compartilhar conhecimentos e responsabilidades.  Aplicar a ideia de função para encontrar o modelo desejado. 62  Desenvolver a criatividade e o senso crítico do aluno por meio de uma situação real. Procedimentos didáticos:  Roda de conversa.  Trabalho em grupo.  Pesquisas. Desenvolvimento da atividade proposta. Para iniciar esta atividade poderemos fazer uma pesquisa para responder a algumas perguntas pré-estabelecidas, para que os alunos tenham uma visão geral do assunto, como por exemplo: Qual a porcentagem de água doce do planeta? Qual a distribuição da água doce no planeta? Quais países têm as maiores reservas de água doce? E quais países têm as menores reservas? Qual a quantidade ideal de água potável para o bem-estar e a higiene de uma pessoa diariamente? Quais países têm o maior e o menor consumo de água doce por pessoa/dia? Após a pesquisa poderemos promover um debate com as informações trazidas pelos alunos e levantar alguns problemas que serão resolvidos nas próximas aulas, dentre os problemas propostos podem aparecer alguns relacionados a necessidade de economia de água, como por exemplo: Qual a quantidade de água pode ser economizada por mês se trocarmos o vedante da torneira para eliminar o gotejamento? Isso representa que porcentagem do consumo mensal? Se diminuirmos o tempo em que o registro do chuveiro fica aberto durante o banho, qual será a economia mensal? Suponhamos uma família de 4 pessoas e a duração do banho passando de 15 minutos por pessoa para 8 minutos por pessoa. Qual a quantidade de água usada nas descargas do vaso sanitário durante um mês? Suponhamos quatro descargas por pessoa numa família de quatro pessoas. Isto representa que porcentagem do consumo mensal? Quanto custa a construção de uma cisterna? Quais as vantagens de construirmos uma? 63 Muitas outras perguntas podem ser formuladas e respondidas, ficaremos apenas com estas a título de exemplos. Para dar continuidade as aulas, poderemos apresentar um quadro com algumas informações relacionadas ao desperdício de água e resolver os problemas propostos. Quadro 5.2: Consumo de água Torneira gotejando 46 litros/dia Registro do chuveiro meio aberto 9 litros/min Torneira meio aberta 9 litros/min Torneira aberta totalmente 21 litros/min Válvula de descarga 12 litros/descarga Consumo médio de água potável por pessoa no Brasil 200 litros/pessoa Fonte:Sabesp. Resolução dos problemas propostos. Problema 1) Qual a quantidade de água pode ser economizada por mês se trocarmos o vedante da torneira para eliminar o gotejamento? Isso representa que porcentagem do consumo mensal? Considerando um mês de 30 dias temos: 46 × 30 = 1.380 litros. Sendo o consumo diário de 200 litros por pessoa e uma família de quatro pessoas, o consumo mensal será de: 4 × 200 × 30 = 24.000litros. Utilizando a regra de três simples temos: 24000 1380 = 100% 𝑥 ⟹ 24000𝑥 = 138000 ⟹ 𝑥 = 138000 24000 𝑥 = 5,75% Esta simples manutenção pode representar uma economia de 5,75% no consumo mensal. Problema 2) Se diminuirmos o tempo em que o registro do chuveiro fica aberto durante o banho, qual será a economia mensal? Suponhamos uma família de 4 64 pessoas e a duração do banho passando de 15 minutos por pessoa para 8 minutos por pessoa. Primeiramente podemos montar uma tabela com alguns valores. Tabela 5.8: Consumo de água do chuveiro durante o banho Tempo em minutos Quantidade em litros 1 1 . 9 = 9 2 2 . 9 = 18 3 3 . 9 = 27 4 4 . 9 = 39 X x . 9 = 9.x Observando a tabela percebemos que as duas grandezas são diretamente proporcionais, então podemos escrever a função: 𝑄(𝑥) = 9. 𝑥 , onde, Q é a quantidade de água gasta num banho de x minutos de duração. Para calcular o gasto de água de um banho, basta substituir o x pelo tempo de duração do banho. Considerando uma família de 4 pessoas, durante 30 dias e sendo o tempo de duração do banho de 15 minutos, temos: 4 × 30 × 15 = 1.800 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 Portanto, o gasto de água será de: 𝑄(1880) = 9 . 1800 𝑄(1800) = 16.200 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 Agora vamos considerar o tempo de duração do banho de 8 minutos: 4 × 30 × 8 = 960 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 Portanto, o gasto de água será de: 𝑄(960) = 9 . 960 𝑄(960) = 8.640 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 Nesta situação a economia mensal de água será de: 16.200 − 8.640 = 7.560 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 65 Problema 3) Qual a quantidade de água usada nas descargas do vaso sanitário durante um mês? Supondo quatro descargas por pessoa por dia numa família de quatro pessoas. Isto representa que porcentagem do consumo mensal? Primeiramente podemos montar uma tabela com alguns valores. Tabela 5.9: Consumo de água das descargas do vaso sanitário Número de descargas Quantidade em litros 1 1 . 12 = 12 2 2 . 12 = 24 3 3 . 12 = 36 4 4 . 12 = 48 X x . 12 = 12.x Observando a tabela podemos escrever a função: 𝑄(𝑥) = 12. 𝑥 que relaciona a quantidade Q de água gasta e função do número x de descargas. Para uma família de 4 pessoas, supondo 4 descargas por pessoa, por dia durante 30 dias temos: 4 × 4 × 30 = 480 descargas num mês. Substituindo o valor de x na função por 480, temos: 𝑄(480) = 12 . 480 𝑄(480) = 5.760 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 Considerando um consumo de 24.000 litros por mês, temos: 24000 5760 = 100% 𝑥 ⟹ 24000𝑥 = 576000 ⟹ 𝑥 = 576000 24000 𝑥 = 24% Portanto, o gasto de água com as descargas corresponde a 24% do consumo mensal. Problema 4) Quanto custa a construção de uma cisterna? Quais as vantagens de construir uma? 66 Este problema é um pouco mais complexo, pois, deveremos fazer uma pesquisa dos tipos de cisternas para verificar qual deles seria a melhor opção para cada caso, fazermos o levantamento do material necessário e cotarmos os preços. Para a realização desse trabalho consideraremos uma cisterna construída de concreto, totalmente enterrada no solo, no quintal da casa, será no formato de um cubo de 2 metros de aresta e a lista de todo o material e os preços estão na tabela 5.10: Tabela 5.10: Preços dos materiais para a construção de uma cisterna Material Preço (em R$) 2 m³ de concreto 600,00 17 barras de ferro ¼ 64,00 4 m² de laje k12 84,00 1 bomba hidráulica com motor de 1/2CV 188,00 1 caixa d’água de 500 litros completa 200,00 50 m tubo polietileno ¾ 115,00 50 m fio de cobre 6 mm² 80,00 20 m de calha 260,00 12 m tubo de esgoto 4” 96,00 Mão de obra 3.000,00 Total 4.687,00 A água da chuva pode ser aproveitada para as descargas, para lavar o quintal e regar as plantas. Levando em conta estas atividades, a economia mensal de água desta família pode ser considerável. Para saber se é viável este projeto precisamos saber como se distribuem as chuvas durante o ano e qual a quantidade de chuva de cada mês do ano, para isto precisamos pesquisar estes dados. No Centro integrado de informações agrometeorológicas (CIIAGRO), podemos encontrar o histórico dos índices pluviométricos das principais cidades do Estado de São Paulo, no quadro 5.3 temos as informações sobre a cidade de Adamantina que usaremos como referência. 67 Quadro 5.3: Índices pluviométricos da cidade de Adamantina Monitoramento Climatológico: Início da Estação de 24/08/1992 a 12/03/2015 Município: Adamantina-SP - Última atualização: 12/03/2015 Ano Jan Fe Ma Abr Mai Ju Jul Ag Set Ou No Dez Total 1992 - - - - - - - 13,0 207,7 107,6 53,2 54,0 435,5 1993 197,2 280,1 193,4 34,2 38,2 58,0 3,2 49,4 52,4 34,9 141,0 156,7 1.238,7 1994 259,3 84,1 76,0 49,7 53,3 40,4 21,4 - 41,1 32,2 93,7 268,5 1.019,7 1995 263,8 237,6 182,9 35,4 49,2 22,2 19,6 - 44,6 138,0 150,2 334,8 1.478,3 1996 240,4 237,5 110,6 63,6 73,9 13,8 2,4 17,2 107,9 80,2 187,5 99,4 1.234,4 1997 304,7 141,6 97,8 40,4 88,2 240,8 28,0 1,5 127,6 104,8 235,2 79,3 1.489,9 1998 88,3 106,3 306,3 141,1 73,4 13,0 2,6 134,0 103,6 89,6 74,7 180,7 1.313,6 1999 316,1 137,8 139,3 63,4 42,8 55,2 12,3 - 36,3 12,0 50,4 244,1 1.109,7 2000 89,8 196,0 277,4 34,1 24,3 13,7 40,8 70,5 170,5 41,0 85,9 143,2 1.187,2 2001 205,8 318,4 55,6 125,1 99,5 35,0 35,9 25,3 66,2 60,4 191,2 220,3 1.438,7 2002 145,6 144,9 52,2 - 151,1 - 80,7 59,4 72,2 26,9 137,1 112,0 982,1 2003 399,0 175,0 109,0 52,0 49,0 26,0 15,0 19,0 32,0 133,0 150,0 81,2 1.240,2 2004 257,4 58,0 91,0 24,5 199,7 59,6 102,5 - 15,0 142,0 178,9 249,0 1.377,6 2005 311,0 70,5 67,5 135,0 49,0 49,3 5,0 21,0 102,7 127,2 36,0 181,8 1.156,0 2006 124,4 303,4 198,1 41,3 47,5 7,9 29,8 18,5 118,4 75,1 33,8 232,1 1.230,3 2007 369,0 126,9 138,6 29,9 59,3 - 204,7 - 1,4 21,8 141,8 40,6 1.134,0 2008 94,8 77,9 80,8 94,0 11,2 70,0 0,2 56,0 29,9 46,6 71,4 62,4 695,2 2009 364,0 115,2 162,0 7,4 57,7 27,3 75,5 125,8 117,4 141,1 117,9 391,7 1.703,0 2010 374,1 160,9 77,4 50,4 25,7 14,8 48,3 0,8 202,5 78,0 69,9 136,6 1.239,4 2011 215,3 232,5 152,3 59,5 4,4 39,3 4,1 31,6 16,9 125,4 96,5 49,7 1.027,5 2012 241,2 94,3 68,4 70,6 127,2 225,3 8,8 1,0 124,9 23,3 80,8 218,4 1.284,2 2013 343,6 197,1 208,7 76,5 100,8 107,3 44,2 - 50,2 168,4 96,9 106,4 1.500,1 2014 126,5 190,0 82,9 72,2 50,0 7,8 51,4 3,1 131,3 89,6 146,3 146,4 1.097,5