UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica Daniel Celso Daltin CONTROLE ÓTIMO E SUB-ÓTIMO DE ESTRUTURA FLEXÍVEL ROTACIONAL NÃO LINEAR DE ORDEM FRACIONÁRIA Bauru 2021 Daniel Celso Daltin CONTROLE ÓTIMO E SUB-ÓTIMO DE ESTRUTURA FLEXÍVEL ROTACIONAL NÃO LINEAR DE ORDEM FRACIONÁRIA Tese apresentada à Faculdade de Engenharia de Bauru, programa de Pós-Graduação em Engenha- ria Elétrica na Área de Concentração: Automação, Linha de Pesquisa: Mecatrônica, como parte dos re- quisitos necessários à obtenção do Título de Doutor em Engenharia Elétrica. Orientador: Prof. Dr. Átila Madureira Bueno Co-Orientador: Prof. Dr. José Manoel Balthazar Bauru 2021 Daltin, Daniel Celso. Controle ótimo e sub-ótimo de estrutura flexível rotacional não linear de ordem fracionária / Daniel Celso Daltin, 2021 129 f. : il. Orientador: Prof. Dr. Átila Madureira Bueno Co-Orientador: Prof. Dr. José Manoel Balthazar Tese (Doutorado)– Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia, Bauru, 2021 1. Cálculo fracionário. 2. Controle de vibração. 3. Equações de riccati dependente do estado. 4. Estruturas flexíveis. I. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia. II Título. Dedicatória... Dedico esse trabalho à minha mãe Augusta Ferreira Daltin, aos meus irmãos e amigos, que sempre me apoiaram desde o início até o término do Doutorado. Dedico também esse trabalho a todos os Professores do Curso de Pós-Graduação Engenharia Elétrica, pelo incentivo, dedicação e profissionalismo. "Tudo quanto te vier à mão para fazer, faze-o conforme as tuas forças, porque na sepultura, para onde tu vais, não há obra, nem indústria, nem ciência, nem sabedoria alguma". Eclesiastes 9:10 Agradecimentos Primeiramente agradeço a Deus pela minha existência, por me dar saúde, sabedoria, discernimento e muita força para superar todas as dificuldades, e por tudo que ele me proporcionou na minha vida pessoal e profissional, pois sem ele não conseguiria realizar meus sonhos. Ao meu Orientador Professor Doutor Átila Madureira Bueno pela oportunidade em realizar este estudo. Pelo apoio em todas horas, pelos conselhos técnicos e pessoais e pelo grande apoio e companheirismo durante o decorrer do curso e no desenvolvimento deste trabalho e meu Co-Orientador Professor Doutor José Manoel Balthazar pela pa- ciência, amizade e oportunidade por confiar e ter implantado em mim a semente pelo gosto à pesquisa e por toda atenção para que este trabalho se concretizasse. Em especial à minha querida Mãe que me acompanhou durante o curso, que em todos os momentos esteve presente nas dificuldades, obstáculos e desafios, que enfrentei durante essa nova trajetória acadêmica em minha vida. Aos meus Professores, Prof. Dr. André Luiz Andreoli, Prof. Dr. Angelo Marcelo Tusset, Prof. Dr. Clivaldo de Oliveira, Prof. Dr. Maurício Aparecido Ribeiro, Prof. Dr. Paulo José Amaral Serni e o Prof. Dr. Wesley Angelino de Souza. Aos meus amigos, Rodolfo Galati Machado e Cilene de Oliveira, e aos colegas de laboratório Unesp-Sorocaba que me acompanharam até a conclusão do Doutorado. À Universidade Estadual Paulista - UNESP, em especial à Faculdade de Engenharia de Bauru - FEB e ao Instituto de Ciência e Tecnologia de Sorocaba - ICTS, que propor- cionaram os meios necessários para a realização e término do Doutorado. Agradeço a todos que de alguma forma colaboraram para a elaboração, execução e finalização desse trabalho e também na conclusão do Doutorado. Àquelas pessoas que aqui não foram citadas, mas que de alguma forma, colaboraram para o sucesso da conclusão do Doutorado, meus sinceros agradecimentos. Encerro fazendo um agradecimento especial à banca examinadora pela revisão e sugestões de melhorias para este trabalho. Resumo DALTIN, D. C., CONTROLE ÓTIMO E SUB-ÓTIMO DE ESTRUTURA FLEXÍVEL ROTACIONAL NÃO LINEAR DE ORDEM FRACIONÁRIA, Bauru: Faculdade de Engenharia, UNESP - Universidade Estadual Paulista, 2021, 129 p., Tese de Doutorado. Esta pesquisa propõe o estudo de sistema de controle em viga flexível rotacional, uti- lizando os métodos LQR, SDRE, Cálculo Fracionário, LQT, SDRE-TC e LCTF, para sistemas não lineares de vibração, e respectivamente o controle das vibrações, buscando realizar o detalhamento do comportamento dinâmico, identificando os impactos na es- trutura flexível. As principais motivações para os estudos propostos vêm das recentes discussões em relação aos problemas que precisam ser mitigados e controlados para tornar os sistemas estáveis e robustos e, com isso, proporcionar maior desempenho es- trutural. Analisar essas situações expostas visa, dentro das diversas áreas da engenharia, proporcionar maior margem de segurança e estabilidade do equipamento, da carga e dos usuários. Dessa forma, os objetivos da pesquisa são estudar o comportamento dinâmico não linear de estruturas flexíveis, utilizando os métodos acima supracitado, e o controle das vibrações aplicados em viga flexível rotacional delgada. A metodologia baseou-se no desenvolvimento de modelos matemáticos aplicados em sistemas não lineares de sistema de quarta ordem, que para tanto será utilizado a equação de movimento Euler-Lagrange, as Equações de Riccati Dependente do Estado (SDRE) e o Cálculo Fracionário. Os mo- delos foram verificados e validados por meio dos resultados simulados numericamente. Os resultados da simulação numérica com os controladores propostos mostraram eficácia para controlar sistemas não lineares e foi possível observar o comportamento dinâmico da viga flexível. Palavras-chave: Cálculo Fracionário. Controle de vibração. Equações de Riccati Dependente do Estado (SDRE). Estruturas flexíveis. Abstract DALTIN, D. C., OPTIMAL AND SUB-OPTIMAL CONTROL OF FLEXIBLE RO- TATIONAL FRACTIONAL FRAMEWORK OF FRACTIONARY ORDER, Bauru: Faculty of Engineering, UNESP - São Paulo State University, 2021, 129 p., PhD.Thesis. This research proposes the study of a rotational flexible beam control system, using the LQR, SDRE, Fractional Calculus, LQT, SDRE-TC and LCTF methods, for non- linear vibration systems, and respectively the vibration control, seeking to carry out the details dynamic behavior, identifying the impacts on the flexible structure. The main motivations for the proposed studies come from recent discussions regarding the problems that need to be mitigated and controlled in order to make the systems stable and robust and, therefore, provide greater structural performance. Analyzing these exposed situations aims, within the various areas of engineering, to provide a greater margin of safety and stability for the equipment, charge and users. Thus, the objectives of the research are to study the non-linear dynamic behavior of flexible structures, using the methods mentioned above, and the control of vibrations applied to a thin rotational flexible beam. The methodology was based on the development of mathematical models applied to non-linear fourth-order systems, which will use the Euler-Lagrange equation of motion, the State-Dependent Riccati Equations (SDRE) and the Fractional Calculus. The models were verified and validated through numerically simulated results. The results of the numerical simulation with the proposed controllers showed efficiency to control nonlinear systems and it was possible to observe the dynamic behavior of the flexible beam. Keywords: Fractional Calculation. Vibration Control. State-Dependent Riccati Equa- tion (SDRE). Flexible Structures. Lista de Figuras 2.1 Diagrama de Blocos representado Espaço dos Estados. . . . . . . . . . . 11 2.2 Fluxograma de cálculo do SDRE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Diagrama de Blocos da Equação Diferencial de Ordem Fracionária (2.29). 28 2.4 Diagrama de Blocos em Tempo Discreto (2.30). . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1 Sistema Rotary Flexible Link. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Representação do movimento da viga flexível. . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Circuito da armadura do motor CC e caixa de engrenagens. . . . . . . . 36 3.4 Modelo físico da viga flexível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.5 Representação da curva de resposta de um sistema com não-linearidade cúbica na rigidez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1 Diagrama de Blocos (LQT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2 Diagrama de Blocos (SDRE-TC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.3 Diagrama de Blocos (LCTF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4 Lugares das Raízes (Root Locus). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.5 Diagrama de Bode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.6 Resposta ao Degrau Unitário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.1 Deslocamento angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.2 Velocidade angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.3 Deslocamento flexível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.4 Velocidade de deslocamento flexível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.5 Deslocamento angular / Referência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.6 Comportamento da entrada de controle à referência aplicada (LQR). . . 76 5.7 Deslocamento angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.8 Velocidade angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.9 Deslocamento flexível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.10 Velocidade de deslocamento flexível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.11 Deslocamento angular / Referência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.12 Comportamento da entrada de controle à referência aplicada (SDRE). . . 83 5.13 Deslocamento angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.14 Velocidade angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.15 Deslocamento flexível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.16 Velocidade de deslocamento flexível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.17 Deslocamento angular / Referência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.18 Comportamento da entrada de controle à referência aplicada (Cálculo Fracionário). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.19 Comportamento da entrada de controle com a realimentação de veloci- dade angular θ̇. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.20 Comparação de Ordem Inteira com Fracionária (ordens das derivadas: 0.9 e 1.1) sem controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.21 Comparação de Ordem Inteira com Fracionária (ordens das derivadas: 1 e 1) sem controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.22 Código para cálculo de coeficientes binomiais. . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.23 Código para realizar a soma da memória. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.24 Código da simulação do Controlador LCFT. . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.25 Resultados da simulação do Controlador LCFT, z(t), x1(t) e x2(t). . . . . 92 5.26 Resultados da simulação do Controlador LCFT, x3(t) e x4(t). . . . . . . 92 5.27 Resultados da simulação do Controlador LCFT, sinal de controle u(t). . . 93 5.28 Código da simulação do Controlador LQT. . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.29 Simulação de Validação do Projeto do Controlador LQT. Sinal de refe- rência z(t), posição angular do eixo do motor x1(t) e velocidade angular x2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.30 Simulação de Validação do Projeto do Controlador LQT. Ângulo de flexão x3(t) e derivada do ângulo de flexão x4(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.31 Simulação de Validação do Projeto do Controlador LQT. Sinal de controle. 96 5.32 Código da simulação do controlador SDRE-TC. . . . . . . . . . . . . . . 97 5.33 Simulação de Validação do Projeto do Controlador SDRE-TC. Sinal de referência z(t), posição angular do eixo do motor x1(t) e velocidade an- gular x2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.34 Simulação de Validação do Projeto do Controlador SDRE-TC. Ângulo de flexão x3(t) e derivada do ângulo de flexão x4(t). . . . . . . . . . . . . . . 98 5.35 Simulação de Validação do Projeto do Controlador SDRE-TC. Sinal de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.36 Simulação do Controlador LQT, x1(t), x2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.37 Simulação do Controlador LQT, x3(t), x4(t). . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.38 Simulação do Controlador LQT, sinal de controle. . . . . . . . . . . . . . 101 5.39 Simulação SDRE-TC, x1(t), x2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.40 Simulação SDRE-TC, x3(t), x4(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.41 Simulação SDRE-TC, sinal de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Lista de Tabelas 3.1 Parâmetros físicos do sistema Rotary Flexible Link . . . . . . . . . . . . . 33 Sumário 1 INTRODUÇÃO 1 1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Estrutura da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 8 2.1 Vibrações Mecânicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Representação no Espaço dos Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1 Observador de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Regulador Linear Quadrático (LQR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Método da Equação de Riccati Dependente do Estado (SDRE) . . . . . . 16 2.4.1 Formulação SDRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.2 Coeficiente Dependente do Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.3 Características do SDRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.4 Aplicações do SDRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Método do Cálculo Fracionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5.1 Definição da Derivada de Ordem Fracionária . . . . . . . . . . . . 23 2.5.2 Aplicações do Cálculo Fracionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.3 Simulação Numérica de Sistema de Ordem Fracionária . . . . . . 27 3 MODELO MATEMÁTICO 32 3.1 Descrição do sistema Rotary Flexible Link . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Modelo Matemático de Parâmetros Concentrados . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1 Modelo do Motor de Corrente Contínua . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.2 Modelo Matemático da Viga Flexível Rotacional com o método SDRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 Modelo Matemático do Cálculo Fracionário . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.1 Modelo Matemático da Viga Flexível Rotacional com o método do Cálculo Fracionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4 PROJETO DO SISTEMA DE CONTROLE DA VIGA FLEXÍVEL ROTACIONAL COM OS MÉTODOS LQT, SDRE-TC E O LCTF 53 4.1 Projeto do Sistema de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.1.1 Controlador (LQT) Linear Quadratic Tracking . . . . . . . . . . . 59 4.1.2 Controlador (SDRE-TC) State Dependent Riccati Equation Tracking 63 4.1.3 Controlador (LCTF) Lead Compensator with Tachometer Feedback 66 5 RESULTADOS DA SIMULAÇÃO NUMÉRICA 69 5.1 Simulação com Regulador Quadrático Linear (LQR) . . . . . . . . . . . . 69 5.2 Simulação com a Equação de Riccati Dependente do Estado (SDRE) . . 76 5.3 Simulação com Cálculo Fracionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.4 Simulação com Lead Compensator with Tachometer Feedback (LCTF) . . 89 5.5 Validação do Projeto do Sistema de Controle LQT . . . . . . . . . . . . . 93 5.6 Validação do Projeto do Sistema de Controle SDRE-TC . . . . . . . . . . 96 5.7 Controle da Viga Flexível Rotacional com o Cálculo Fracionário . . . . . 99 6 CONCLUSÃO 104 7 TRABALHOS FUTUROS 105 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 106 Capítulo 1 INTRODUÇÃO Neste capítulo é apresentada a introdução geral sobre vibração, controle e o mé- todo da Equação de Riccati Dependente do Estado (State-Dependent Riccati Equation, SDRE) e também o método do Cálculo Fracionário. O objetivo dessa introdução é tornar familiar as teorias que explicam a abordagem utilizada na realização do projeto, assim como apresenta as principais aplicações do estudo. Há também uma breve descrição de aplicação do que consiste o método do Regulador Linear Quadrático (Linear Quadratic Regulator, LQR). O estudo de vibração corresponde aos movimentos oscilatórios de corpos e às forças que estão associadas. Todos os corpos dotados de massa e elasticidade são capazes de vibrar. Desta maneira, a maior parte das máquinas, equipamentos e estruturas estão sujeitas a certos graus de vibração, sendo assim, é importante determinar estratégias de controle para alcançar movimentos periódicos. Na maioria dos casos, é desejado que estes sistemas mecânicos que são excitados por forças dinâmicas, apresentem respostas com níveis de vibração os mais baixos possíveis, a fim de manter a integridade física de máquinas, equipamentos, estruturas e componentes eletrônicos (TUSSET; MOLTER, 2009). O controle automático desempenha um papel vital no avanço da engenharia e do desenvolvimento científico. Além de ser extremamente importante para espaçonaves, sistemas de orientação de mísseis e sistemas robóticos, o controle automático tornou-se uma parte importante dos processos modernos da indústria e de fabricação. Levando em consideração os avanços nos aspectos teóricos e práticos do controle automático, 1 fornece os meios para alcançar o melhor desempenho de sistemas dinâmicos e aumentar a produtividade, engenheiros e cientistas devem, na maioria dos casos, ter um vasto conhecimento nesta área. O primeiro trabalho importante de controle automático foi James Watt, que construiu um Controlador centrífugo no século XVIII para controlar a velocidade do motor a vapor. A partir de 1960, a disponibilidade de computadores digitais tornou possível a análise no domínio do tempo em sistemas complexos, o que levou ao desenvolvimento da moderna teoria de controle baseada na análise de variáveis de estado e tecnologia integrada. A teoria foi desenvolvida para abordar a crescente complexidade dos sistemas modernos e atender a requisitos rigorosos em relação ao peso, precisão e custo de aplicações militares, espaciais e industriais. No intervalo entre 1960 a 1980, o controle ótimo de sistemas determinísticos e estocásticos foi amplamente pesquisado, bem como o controle adaptativo e o controle de aprendizagem de sistemas complexos. De 1980 até o presente, o desenvolvimento da teoria moderna de controle se concentrou no controle robusto, no controle H∞ e em tópicos relacionados (OGATA, 2003). Sistemas de estrutura flexível rotacional são comumente encontrados em Engenharia e Ciências Físicas, em aplicações como geradores de turbinas eólicas, guindastes de lança, sistemas aeroespaciais, sistemas micro e nano eletromecânicos, microscopia de força atômica e assim por diante. O movimento vibratório em estruturas flexíveis deve ser controlado e bem amortecido, proporcionando estabilidade e robustez à operação do sistema (BUENO; BALTHAZAR; PIQUEIRA, 2012; ABDEL-RAHMAN; NAYFEH; MASOUD, 2003; LARSEN, 2005). Na microscopia de força atômica, um micro-cantilever é deliberadamente vibrado em uma amplitude e frequência predefinidas, o sistema de controle é usado para controlar a amplitude e a frequência do micro-cantilever e para demodular o sinal usado para gerar as imagens topográficas (BUENO; BALTHAZAR; PIQUEIRA, 2011). Em robótica e sistemas aeroespaciais, uma série de aplicações envolve estruturas flexíveis rotacionais. Neste caso, as estruturas são delgadas, pois os sistemas são geral- mente projetados para otimizar o peso (KOMATSU et al., 1991). A geração de energia elétrica por aerogeradores eólicos depende do comprimento da asa, consequentemente, o comprimento das asas dos aerogeradores estão se tornando 2 maiores e otimizados em relação à estrutura, sem um aumento proporcional na rigidez da asa. Como resultado, as asas estão se tornando mais flexíveis e dinamicamente sensíveis, resultando no aumento de fenômenos de vibrações indesejáveis na estrutura (LARSEN, 2005). Diversas técnicas têm sido usadas para controle de vibração de estruturas flexíveis, incluindo controle ótimo e robusto, controle linear clássico e malha de captura de fase (Phase-Locked Loop, PLL) (LOPES; BUENO; BALTHAZAR, 2014; KARKOUB et al., 2000; SETO; K, 2000; YANG; SEDAGHATI, 2014). Os sistemas de controle de veículos espaciais, satélites artificiais, manipuladores ro- bóticos, guindastes rotativos, entre outros, mesmo se considerados rígidos, apresentam comportamento não linear. Dessa forma, o Projeto de Sistemas de Controle de es- truturas flexíveis confronta dificuldades adicionais (BUENO; FERREIRA; PIQUEIRA, 2010). Çimen (2008) explica que, durante as décadas de 1950 e 1960, as aplicações de en- genharia aeroespacial estimularam muito o desenvolvimento da teoria de controle ideal, onde o objetivo era conduzir os estados do sistema para minimizar algumas funções de custo definidas fossem minimizadas. Com isso, tornou possível ter aplicações muito úteis no Projeto dos Reguladores (no qual algum estado estacionário deve ser mantido) e no rastreamento de estratégias de controle (no qual alguma trajetória predeterminada de estado deve ser seguida). Por exemplo, aplicações como o problema das rotas de voo, ideal para aeronaves e veículos espaciais. Um dos métodos populares na comunidade de controle é a estratégia da Equação de Riccati Dependente do Estado (SDRE), que for- nece um algoritmo muito eficaz para sintetizar controles de realimentação não lineares, permitindo não linearidades nos estados do sistema e, ao mesmo tempo, oferecendo ex- celente design de flexibilidade através de matrizes de ponderação dependentes do estado. Este método foi proposto inicialmente por Pearson (1962) e posteriormente expandido por (WERNLI; COOK, 1975), (MRACEK; CLOUTIER, 1998) e (FRIEDLAND, 1996). Desde a década de 1990, as estratégias da Equação de Riccati Dependentes do Estado (SDRE) surgiram como métodos gerais de projeto que fornecem um meio sistemático e eficaz de projetar Controladores, Observadores e filtros não lineares. Esses métodos superam muitas das dificuldades e deficiências das metodologias existentes no controle 3 de sistemas e fornecem algoritmos computacionalmente simples que foram altamente eficazes em uma variedade de aplicações práticas e significativas (ÇIMEN, 2008). Erdem e Alleyne (2004) expõe que, até a publicação do trabalho de Cloutier, D’Souza e Mracek (1996), não se dispunha de um bom método de projeto que permitisse esta- belecer um compromisso entre erro de estado e o esforço do controle para sistemas não lineares, como o método do Regulador Linear Quadrático (LQR) ((ANDERSON; MO- ORE, 1989; ZHOU; DOYLE; GLOVER, 1996)). Desde a sua concepção, na década de 1960, o método LQR tem sido muito pesquisado por Lublin e Athans (1996). O LQR nada mais é do que a solução de um problema convexo de otimização por mínimos quadrados que tem algumas propriedades muito interessantes. Em outras palavras, o controle ótimo automaticamente assegura um sistema em malha fechada estável e é sim- ples de ser calculado. O objetivo do controle ótimo pode essencialmente ser visto como a escolha de um controle que traga o sistema à sua posição de equilíbrio tão rápido quanto possível minimizando o erro de estado e sem usar esforço de controle excessivo. Este mé- todo tem sido usado com sucesso em diversas aplicações, entretanto sua aplicabilidade é praticamente restrita a sistemas lineares ou linearizados. Cloutier, D’Souza e Mracek (1996), dentro do Regulador LQR, aplicou a Equação de Riccati a sistemas não lineares desenvolvendo a metodologia da Equação de Riccati Dependente do Estado (State Dependent Riccati Equation – SDRE). O nome SDRE vem da construção da lei de controle, esta construção utiliza a solução da Equação Algébrica de Riccati, que depende do estado. A maioria das técnicas de controle mencionadas são apenas para sistemas lineares. Para sistemas não lineares, a Equação de Ricatti Dependente de Estado (SDRE) foi usada com sucesso (LIMA et al., 2016). Souza, Bigot e Souza (2017) concluíram que o Controlador SDRE permite obter um desempenho melhor que o Regulador LQR. No desenvolvimento de Projeto de Sistemas de Controle utilizando (SDRE) para que haja uma interface entre a planta e o sistema é comum a aplicação de softwares, sendo que o mais utilizado é o MATLAB® / SIMULINK®. O desafio de controlar vibrações em estruturas flexíveis rotacionais, foi abordado com métodos muito diferentes, desde esquemas clássicos proposto por Cannon e Schmitz 4 (1984), a métodos não lineares, como controle deslizante, apresentado por Chen e Hsu (2001) ou redes neurais, conforme Su e Khorasani (2001). Para implementar Projetos de Controladores podem ser também por meio do Cál- culo Fracionário, onde o mesmo é aplicado em várias áreas da ciência e da engenharia. Controladores de Ordem Fracionária são a generalização dos Controladores de Ordem Inteira em que as funções derivada e / ou integral são de ordem não uniforme que pode ser um número real ou complexo (AL-SAGGAF et al., 2017). O Controle de Ordem Fracionária (FOC), ou seja, o uso de derivados e integrais de Ordem Fracionária no campo de controle, foi reconhecido como uma estratégia al- ternativa para resolver problemas de Controle Robustos. Verificou-se que em campos interdisciplinares, muitos sistemas podem ser descritos por equações diferenciais fracio- nárias (DELAVARI; LANUSSE; SABATIER, 2013). Um exemplo de aplicação com o Cálculo Fracionário em estruturas flexíveis, foi pesquisado por Monje et al. (2007), no qual resultou em um Projeto de Controlador de Cálculos Fracionários, onde o sinal de controle foi menos ruidoso do que com um Controlador Proporcional-Derivativo (PD) padrão, pois o integrador fracionário age como um filtro passa-baixo e reduz os efeitos do ruído introduzido no circuito de controle. Além disso, com essa estratégia de controle, alterações na carga útil implicam apenas pequenas variações no valor máximo do sinal de controle, evitando possíveis problemas de saturação. Nos últimos anos, várias aplicações de sistemas de Ordem Fracionária tornaram-se interessantes em muitas áreas. As derivadas de Ordem Fracionária permitem modelar fenômenos complexos com maior exatidão, melhorando os modelos de parâmetros con- centrados ou distribuídos (PETRÁŠ, 2011a; FREUNDLICH, 2016; TRZASKA, 2011). 1.1 Objetivo Diante desse contexto, este trabalho tem como objetivo desenvolver um modelo matemático para sistemas rotacionais em estrutura flexíveis e projetar Controladores para atenuar as vibrações através dos métodos LQR, SDRE, Cálculo Fracionário, LQT, SDRE-TC e LCTF. Além disso, objetiva-se realizar simulação numérica no sistema Ro- 5 tary Flexible Link para validar o Projeto dos Controladores, de modo a controlar a posição angular da viga e atenuar as vibrações oriundas da flexão. 1.2 Estrutura da Tese Esta pesquisa encontra-se dividido e organizado de acordo com a numeração nos capítulos e seções exibidos no sumário. No Capítulo 1 encontra-se a Introdução, no qual explica e contextualiza o problema a ser tratado, assim como apresenta as principais aplicações do estudo. Há também uma breve descrição do que consiste o método LQR, SDRE e também o método do Cálculo Fracionário e o objetivo da pesquisa. Já o Capítulo 2, apresenta a Revisão Bibliográfica que contém as teorias envolvidas no estudo da viga flexível rotacional, e as técnicas de controle de vibração utilizados em diversos métodos aplicados em sistemas dinâmicos. O Capítulo 3 consta o desenvolvimento do Modelo Matemático, e está exposta a descrição do equipamento experimental, incluindo parâmetros do Rotary Flexible Link necessários para a modelagem do sistema. Nesse capítulo também está contido os pro- cedimentos tomados para alcançar um modelo matemático para uma viga flexível rota- cional. Para a obtenção desse modelo foram utilizadas as equações de Euler-Lagrange e as equações do movimento, assim como a matriz de espaço de estados que governam o comportamento do sistema. Capítulo 4 é demonstrado o Projeto do Sistema de Controle de uma viga flexível rotacional, utilizando os modelos matemáticos baseadas nas três estratégias de controle, que são: o Linear Quadratic Tracking (LQT), o State Dependent Riccati Equation Trac- king Controller (SDRE-TC) e o Classical Lead Compensator with Tachometer Feedback (LCTF). No Capítulo 5 é apresentado os resultados da Simulação Numérica utilizando os métodos LQR, SDRE, Cálculo Fracionário, LQT, SDRE-TC e LCTF, por meio dos gráficos plotados no software MATLAB® / SIMULINK®, analisando as variáveis de deslocamento angular e deslocamento flexível na viga e o comportamento da entrada de controle. 6 O Capítulo 6 é exposta a conclusão sobre os resultados obtidos com as simulações numéricas e o desenvolvimento da modelagem do sistema em uma viga rotacional flexível, utilizando os Controladores LQR, SDRE, Cálculo Fracionário, LQT, SDRE-TC e LCTF. Por último, no Capítulo 7 é descrita a sugestão para trabalhos futuros, propõe-se a obtenção de dados experimentais aplicando os LQR, SDRE, Cálculo Fracionário, LQT, SDRE-TC e LCTF no sistema Rotary Flexible Link. 7 Capítulo 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Na Revisão Bibliográfica é apresentada as teorias envolvidas no estudo da viga flexível rotacional, e as técnicas de controle de vibração, sendo respectivamente, o Regulador Linear Quadrático (LQR), a Equação de Riccati Dependente do Estado (SDRE) e o Cálculo Fracionário, aplicados em sistemas dinâmicos. 2.1 Vibrações Mecânicas O estudo de vibrações surgiu a partir de Galileu Galilei (1564-1642) em sua obra Dis- corsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze, publicado em 1638, no qual Galileu discutiu corpos vibratórios, com enfoque científico. Isaac Newton (1642- 1727) publicou sua obra Philosophiae naturalis principia mathematica em 1686, na qual descreveu a lei da gravitação universal, bem como as três leis do movimento. A segunda lei do movimento de Newton é usada em vibrações para derivar as equações de movi- mento de um corpo em vibração. Brook Taylor (1685-1731) em 1713 apresentou o famoso teorema de Taylor para séries infinitas. A frequência natural de vibrações obtida pela equação de movimento derivada por Taylor concordava com os experimentos de Galileu e Mersenne. Daniel Bernoulli (1700-1782) por meio das equações dinâmicas em suas memórias publicadas pela Berlin Academy em 1755 definiu o princípio da coexistência de pequenas oscilações, no qual é conhecido como princípio da superposição, onde esse princípio é importante para o desenvolvimento da teoria das vibrações. D’Alembert (1717-1783) e Leonard Euler (1707-1783) duvidaram da validade desse princípio, entre- 8 tanto, J.B.J. Fourier (1768-1830) em sua obra Analytical theory of heat (Teoria analítica do calor) em 1822, validou sua expansão sendo provada por ele. Joseph Lagrange (1736- 1813) encontrou uma solução analítica da corda vibratória. Tal método para estabelecer a equação diferencial do movimento de uma corda (denominada equação de onda) sobre a teoria da vibração foi desenvolvida primeiro por D’Alembert em suas memórias pu- blicadas pela Academia de Berlim em 1750. Sendo que as vibrações de vigas delgadas apoiadas e engastadas foram estudadas primeiramente por Euler em 1744 e Bernoulli em 1751. Essa abordagem ficou conhecida como a teoria de Euler-Bernoulli ou de viga delgada. Nas abordagens mecânicas muitos problemas básicos incluindo os de vibrações, são não lineares. Lord Baron Rayleigh (1842-1919) publicou um livro sobre a teoria do som, no qual é considerado um clássico tanto no assunto do som quanto na vibração. Rayleigh determinou a frequência fundamental de vibração de um sistema conservativo utilizando o princípio da conservação de energia, conhecido atualmente como método de Rayleigh. Esse método apresentou ser extremamente útil para soluções de difíceis problemas de vibrações. Observa-se que a teoria matemática de vibrações não lineares começou com o trabalho de Poincaré (1854-1912) e Lyapunov (1857-1918). Poincaré de- senvolveu o método das perturbações em 1892 em conexão com a solução de problemas de mecânica celeste não lineares. Lyapunov lançou as bases da teoria de estabilidade em 1892, que é aplicável a todos os tipos de sistemas dinâmicos. No século XX, os trabalhos de Duffing e Van der Pol (1889-1959) resultaram nas primeiras soluções defi- nidas da teoria de vibrações não lineares e apresentaram sua importância para a área de engenharia, sendo que qualquer movimento que se repete em um intervalo de tempo é denominado de vibração ou oscilação (RAO, 2008). Um sistema mecânico de movimento oscilatório é geralmente referido como vibração, a questão básica da vibração é como o sistema responde a vários estímulos ou excitações. A derivação da equação do movimento pode ser realizada por meio de métodos da me- cânica Newtoniana ou por métodos de dinâmica analítica, também conhecida mecânica Lagrangiana (MEIROVITCH, 1970). 9 2.2 Representação no Espaço dos Estados O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de valores de variáveis de modo que o conhecimento destes valores em t = t0, e os valores do sinal de entrada para t ≥ t0, determina o comportamento do sistema em qualquer instante t ≥ t0. Sendo que as variáveis de estado de um sistema dinâmico são as grandezas destes conjuntos de valores que determinam o estado do sistema, onde as variáveis de estado não precisam ser grandezas fisicamente mensuráveis ou observáveis. Variáveis que não representam grandezas físicas e aquelas que não são nem mensuráveis e nem observáveis podem ser escolhidas como variáveis de estados. Se n variáveis de estado são necessárias para descrever o comportamento de um dado sistema, então estas n variáveis de estado podem ser consideradas as n componentes de um vetor x, este vetor é chamado de vetor de estado. O espaço n-dimensional cujos eixos coordenados consistem nos eixos x1, x2, ..xn é chamado Espaço de Estados. As equações no Espaço de Estados são representadas por três tipos de variáveis na modelagem de sistemas dinâmicos: variáveis de entrada, variáveis de saída e variáveis de estado (OGATA, 2003). Utilizando-se a notação vetorial-matricial, uma equação de ordem n pode ser repre- sentada por uma equação diferencial vetorial-matricial, de primeira ordem. A represen- tação de um sistema físico no Espaço dos Estados é dada por: ẋ = Ax(t) +Bu(t) (2.1) y = Cx(t) +Du(t) (2.2) Na qual A é a matriz de estado, B a matriz de entrada, C a matriz de saída ou de observação e D matriz de transmissão direta. Na abordagem por alocação de pólos no Projeto de Sistemas de Controle, nem to- das as variáveis estão disponíveis para realimentação, e por isso, precisa-se estimar as variáveis de estado não disponíveis, sendo que a estimativa de variáveis de estado que não são mensuráveis é denominada observação. Nesse contexto, é necessário que um dispositivo ou programa de computador que estime ou observe as variáveis de estado, 10 no qual é denominado Observador de Estado (OGATA, 2003). A Equação (2.1) é chamada de equação de estado e a Equação (2.2) é a equação de saída, ambas as equações são representados em forma de Diagramas de Blocos conforme Figura 2.1. Figura 2.1: Diagrama de Blocos representado Espaço dos Estados. Fonte: (OGATA, 2003) Geralmente em sistemas de controle, o MATLAB® é uma ferramenta utilizada para realizar os cálculos, devido a grande probabilidade de ocorrência de erro quando re- alizados de forma manual, o MATLAB® também tem uma excelente interface gráfica que auxilia o engenheiro de controle a verificar se o sistema compensado com o Con- trolador projetado satisfaz as especificações de projeto. Aliado ao programa têm-se o SIMULINK®, que faz simulações de sistemas lineares e não-lineares, discretos e contínuos no tempo. Ao projetar um Controlador, pode-se inseri-lo no sistema e realizar a simu- lação numérica, no qual é possível verificar se tal Controlador satisfaz as especificações de desempenho do sistema (BASILIO, 2004). Um Projeto de Controle para estimar as variáveis de estado que não são disponíveis por medição direta e uma aplicação do Projeto de Controle em que estima um do vetor de estado para um sistema com Observador de Estado e substituiu um vetor de estado real em modelos de realimentação linear ou não linear sem perder a estabilidade, e concluiu que os Observadores podem efetivamente superar as dificuldades associadas com Projeto de Controle quando o vetor de estado não é mensurável (LUENBERGER, 11 1966). A aplicação do Observador de Estado é amplamente utilizado na realimentação de estados em malhas de controle projetadas e representada em Espaço de Estados. 2.2.1 Observador de Estados A maior parte dos Projetos de Sistemas de Controle está baseada na suposição de que o vetor de estado está disponível por medição direta, mas nem sempre as variáveis de estado estão disponíveis, necessitando assim, estimar as variáveis que não são disponíveis por medição direta, a estimativa de variáveis de estado não mensuráveis é comumente denominada observação, através de um dispositivo (ou programa de computador) que estima ou observa essas variáveis de estado (OGATA, 2003). No Projeto de Sistemas de Controle utilizando Observadores de Estado, os mesmos podem reconstruir os estados não medidos ou os valores provenientes de pontos de difícil acesso no sistema a partir das variáveis de estado disponíveis (MEIROVITCH, 1990). O projeto de um sistema que produz uma aproximação para o vetor de estado é chamado de Observador de Estado ou Observador de Luenberger (LUENBERGER, 1966; LUENBERGER, 1964; LUENBERGER, 1971). Observadores de Estados podem ser projetados se, e somente se, a condição de Observabilidade for satisfeita. Os Observadores de Estados será utilizada a notação x̃ para representar o vetor de estado observado. Considere a planta definida por: ẋ = Ax+Bu (2.3) y = Cx (2.4) Onde: x = vetor de estados (vetor n) u = vetor de controle (escalar) y = sinal de saída (escalar) A = matriz constante n x n B = matriz constante n x 1 12 C = matriz constante 1 x n O Observador é um subsistema para reconstruir o vetor de estado da planta. O modelo matemático do Observador é basicamente o mesmo que o da planta, exceto por um termo adicional, que inclui o erro de estimação para compensar imprecisões nas matrizes A e B e a falta do erro inicial. O erro de estimativa ou erro de observação é a diferença entre as saídas medida e estimada. O erro inicial é a diferença entre o estado inicial e o estado inicial estimado. Assim, define-se o modelo matemático do Observador como: ˙̃x = Ax̃+Bu+Ke(y − Cx̃) = (A−KeC)x̃+Bu+Key (2.5) O estado x é aproximado pelo estado x̃ que é o estado estimado e Cx̃ é a saída esti- mada, as entradas do Observador são a saída y e a entrada de controle u. A matriz Ke, que é denominada de matriz de ganho de Observador, é uma matriz de ponderação para o termo de correção envolvendo a diferença entre a saída medida y e a saída estimada Cx̃. Este termo corrige continuamente a saída do modelo e melhora o desempenho do Observador (OGATA, 2003). O Observador de Estados pode ser projetado e implementado um modelo de controle de modo de deslocamento com base em um Observador de atraso inercial, onde o Obser- vador estima os estados, bem como as incertezas e perturbações de forma integrada.Para avaliar o desempenho do Observador e do Controlador, a experimentação foi realizada sem incertezas e perturbações e em seguida, adicionado 20% de incertezas e distúrbios no sistema. As incertezas de modelagem e as perturbações presentes no sistema propor- cionam melhores resultados em comparação com o Observador proporcional clássico. A metodologia foi validada através da experimentação do servomecanismo da Quanser® e os resultados mostraram a eficácia da combinação entre Controlador-Observador (GI- NOYA et al., 2011). Normalmente os modos flexíveis presentes nos manipuladores com vigas flexíveis (Flexible Link Manipulator - FLM ) causam vibrações que limitam o desempenho do FLM, sendo necessário controlar e atenuar essas vibrações. Desta forma o controle do 13 manipulador flexível utilizando os Modos Discretos de Deslocamento (Discrete Sliding Mode - DSM ) e o Observador de Modo Discreto de Deslocamento (Discrete Sliding Mode Observer - DSMO) foram projetados para a estimar os estados onde o erro de estimativa de saída tende a zero em tempo finito. O DSMC com DSMO foi implemen- tado experimentalmente para posicionar a ponta da viga flexível, onde o deslocamento angular almejado foi mantido em θ = 25 ◦. Os autores validaram o método por meio de simulações numéricas (KURODE; MERCHANT, 2013). Daltin (2017) aplicou-se os conceitos de Observador de Estados em uma viga flexível rotacional, e com isso estimou-se em tempo real as variáveis de estado, e determinou a velocidade angular de corpo rígido, no eixo do motor de Corrente Contínua (CC), bem como a amplitude de flexão da viga. Dessa forma, foi eliminada a necessidade de utilização do tacômetro e do strain gauge, na malha de controle. Os principais resultados experimentais nesta pesquisa podem ser visualizada por meio do canal do YouTube, Modelagem e Controle de Sistemas Dinâmicos ModCon", . 2.3 Regulador Linear Quadrático (LQR) O método LQR é baseado na teoria de Controle Ótimo, e permite modelar a razão de retorno do compensador na saída ou na entrada da planta, para atingir requisitos de desempenho e/ou robustez pré-especificados. A estabilidade da planta compensada é obtida naturalmente, sendo desnecessárias atenções às características de mudança de fase do sistema (MACIEJOWSKI, 1989). Bosgra, Kwakernaak e Meinsma (2001) apresentam sistemas lineares com critérios de desempenho quadrático e considera um sistema linear invariante no tempo, representado na forma de Espaço de Estados como: ẋ(t) =Ax(t) +Bu(t) t ≥ 0 z(t) =Dx(t) (2.6) Para controlar o sistema a partir de qualquer estado inicial x(0) de modo que a saída z de um sistema seja o mais próximo possível de um valor de referência (normalmente 14 https://www.youtube.com/watch?v=8LGhPWKB-lY https://www.youtube.com/watch?v=8LGhPWKB-lY zero) sem tornar a entrada u indevidamente grande. Com isso, define-se então um funcional de custo quadrático dado por J = ∫ ∞ 0 [zT (t)Qz(t) + uT (t)Ru(t)]dt (2.7) Q e R são matrizes simétricas, isto é, Q = QT e R = RT . Muitas vezes, é adequado permitir que as duas matrizes sejam simplesmente diagonais. Os dois termos zT (t)Qz(t) e uT (t)Ru(t) são formas quadráticas nas componentes da saída z, e da entrada u, respectivamente. O primeiro termo da integral da Equação (2.7) mede o desvio acumulado da saída para zero. O segundo termo mede a amplitude acumulada da entrada de controle. Se as matrizes são diagonais, então isso significa que suas entradas diagonais não podem ser negativas. É mais prático escolher as matrizes Q e R de tal forma que os dois termos não sejam negativos, onde Q é uma matriz semi- definida positiva (Q ≥ 0) que penaliza os estados e R é uma matriz definida positiva (R > 0) que penaliza as entradas de controle. Utilizando as seguintes condições: • O vetor de estados x(t) está disponível para a realimentação; • [AB] controlável e [AC] é observável (MACIEJOWSKI, 1989). então existe um controle linear quadrático único e ótimo dado por: u(t) = −KLQRx(t) (2.8) que minimiza o funcional J , sujeito ao vínculo dinâmico imposto pela Equação (2.7), onde KLQR é o ganho do Controlador, dado por: KLQR = R−1BTS (2.9) A matriz S de solução única, simétrica e semi-definida positiva, equação algébrica de Riccati dada por: SA+ ATS + CTQC − SBR−1BTS = 0 (2.10) 15 Substituindo a Equação (2.8) na Equação (2.6), o controle da dinâmica do sistema em malha fechada resulta em: ẋ(t) = (A−BKLQR)x(t) t ≥ 0 (2.11) É estável, isto é, todos os autovalores da matriz A−BK têm partes reais negativas. O valor mínimo do custo J na Equação (2.7) é: J = xT0 Sx0 (2.12) Um estudo detalhado sobre o Regulador Linear Quadrático LQR pode ser encontrado em (ANDERSON; MOORE, 1989) e (KWAKERNAAK; SIVAN, 1972). 2.4 Método da Equação de Riccati Dependente do Estado (SDRE) Çimen (2008) explana que durante as décadas de 1950 e 1960, as aplicações de en- genharia aeroespacial estimularam muito o desenvolvimento da teoria de controle ideal, onde o objetivo era conduzir os estados do sistema de forma que algumas funções de custo definidas fossem minimizadas. Com isso, possibilitou ter aplicações muito úteis no projetar Reguladores (onde algum estado estacionário deve ser mantido) e no ras- treamento de estratégias de controle (onde alguma trajetória predeterminada de estado deve ser seguida). Por exemplo, aplicações tais como, problema de trajetórias de voos ideais para aeronaves e veículos espaciais. Um dos métodos populares na comunidade de controle é a estratégia da Equação de Riccati Dependente do Estado (SDRE), que fornece um algoritmo muito eficaz para sintetizar controles de realimentação não linea- res, permitindo não linearidades nos estados do sistema e, ao mesmo tempo, oferecendo excelente design de flexibilidade por meio de matrizes de ponderação dependentes do estado. Esse método foi proposto inicialmente por Pearson (1962) e posteriormente expandido por Wernli e Cook (1975), Mracek e Cloutier (1998) e Friedland (1996). Segundo Cloutier (1997), as técnicas da Equação de Riccati Dependente do Estado 16 (SDRE) são utilizados como métodos gerais de projeto, que fornecem um meio sistemá- tico e eficaz de projetar Controladores, Observadores e filtros não lineares. Dessa forma, o método SDRE é uma abordagem que é aplicada em plantas não lineares; no qual lineariza a planta em torno do ponto instantâneo de operação e com isso, resulta em um modelo de Espaço de Estado constante do sistema equivalente à técnica de controle LQR (SOUZA, 2006) e (SOUZA; GONZALES, 2012). 2.4.1 Formulação SDRE Considere o problema geral do Regulador não linear autônomo de horizonte infinito da forma: Minimizar J = 1 2 ∫ ∞ t0 xTQ(x)x+ uTR(x)u dt (2.13) Em relação ao estado x e controle u sujeito à restrição diferencial não linear, têm-se ẋ = fx+ g(x)u (2.14) onde x ∈ Rn, u ∈ Rm, f(x) ∈ Ck, Q(x) ∈ Ck, R(x) ∈ Ck, k ≥ 1, e onde Q(x) = CT (x) C(x) ≥ 0, e R(x) > 0 para todo x. Assume-se que f(0) = 0 e g(x) 6= 0 para todo x. Também pode ser desejável selecionar Q(x) e R(x) tal que o índice de desempenho J(x, u) no (1) é globalmente convexo. Busca-se estabilizar soluções aproximadas de problemas. (1)-(2) da forma u = φ(x) onde φ é um função não linear de x (CLOUTIER, 1997). 2.4.2 Coeficiente Dependente do Estado A dinâmica não linear conforme a Equação (2.14), pode ser representada pela se- guinte estrutura linear com coeficientes dependentes do estado: ẋ = A(x) +B(x)u (2.15) 17 fx = A(x)x B(x)g = (x) (2.16) Segundo Cloutier, D’Souza e Mracek (1996) no caso multivariável, há um número infinito de possibilidade de levar o sistema não linear à forma SDC (State Dependent Coefficient). Associado ao formulário SDC, têm-se as seguintes definições: A (x) é uma parametrização observável (detectável) do sistema não linear [em uma região Ω] se o par C (x), A (x) for observável em sentido horário (detectável) no sentido linear para todos os x [εΩ]. A (x) é uma parametrização controlável (estabilizável) do sistema não linear [em uma região Ω] se o par A (x), B (x) é controlável por pontos (estabilizável) no sentido linear para todos os x [εΩ]. A abordagem SDRE é utilizada para obter uma solução subótimo dos problemas (2.13) ; (2.14) é: • Uso direto da parametrização para trazer a dinâmica não linear para o SDC (2.15). • Resolver a Equação de Riccati Dependente do Estado (SDRE) AT (x)P + PA(x)− PB(x)R−1(x)BT (x)P +Q(x) = 0 (2.17) Para obter P > 0. Observe que P é uma função de x. • Construção de um Controlador não linear via realimentação. u = −R−1(x)BT (x)P (x)x (2.18) De acordo com Menon et al. (2002) um fluxograma que ilustra as etapas envolvidas no cálculo das leis de controle do SDRE é apresentado na Figura 2.2, em cada amostra, o vetor de estado obtido do sensores ou estimadores de feedback é usado para calcular as matrizes SDC, que são usadas para encontrar o estado dependente dos ganhos. O produto do ganho dependente do estado e o vetor de estado produz as variáveis de controle. 18 Figura 2.2: Fluxograma de cálculo do SDRE. Fonte: Adaptado de (MENON et al., 2002) Portanto, as duas principais etapas no método de Projeto do Sistema de Controle não linear SDRE são o cálculo das matrizes SDC, A(x) e B(x) e a solução da Equação de Riccati da matriz algébrica para P (x). As etapas restantes envolvem inversão e multiplicação de matrizes. 2.4.3 Características do SDRE O controle SDRE é considerado uma abordagem sistemática, sendo utilizado em sis- temas dinâmicos não lineares. Existem infinitas opções para a parametrização (A(x), B(x)) entre as quais um par estabilizável ponto a ponto deve ser escolhido. Portanto, é uma ta- refa acessível para sistemas de ordem inferior, e em casos de sistemas de ordem superior torna-se complexo. Por outro lado, os graus extras de liberdade de projeto decorrentes da não exclusividade da parametrização do coeficiente dependente do estado podem ser utilizados para aprimorar o desempenho do Controlador (ERDEM, 2001). O controle SDRE exibe maior estabilidade e melhor desempenho do que as leis de controle linear (por exemplo, LQR), e a experiência empírica geralmente mostra que, em muitos casos, o domínio de atração é tão grande quanto o domínio de interesse (CLOUTIER; D’SOUZA; MRACEK, 1996; BOGDANOV, 2010). 19 2.4.4 Aplicações do SDRE Desde os anos 90, as estratégias da Equação de Riccati Dependente do Estado (SDRE) surgiram como métodos gerais de design que fornecem um meio sistemático e eficaz de projetar Controladores, Observadores e filtros não lineares. Esses métodos superam muitas das dificuldades e deficiências das metodologias existentes no controle de sistemas e fornecem algoritmos computacionalmente simples que foram altamente eficazes em uma variedade de aplicações práticas e significativas (ÇIMEN, 2008). Parrish e Ridgely (1997) mostraram o uso da Equação de Riccati Dependente do Estado no uso efetivo do controle para orientação estável de um satélite. Os resultados do Controlador implementado apresentou uma frequência suficientemente alta, e esse método de regulação não-linear forneceu mais uma alternativa para o controle de satélites estabilizados internamente. Um outro exemplo é apresentado nos casos em que naves espaciais são necessárias para remover detritos espaciais ou coletar satélites desativados, pois os mesmos devem ser capazes de atingir a atitude do alvo enquanto está posicionado a uma distância desejada do alvo. Uma nave espacial possui o movimento de seis graus de liberdade e realiza manobras de rotação e translação utilizando equações de movimento não lineares. Dessa forma, o método de regulação não linear da Equação de Riccati Dependente do Estado (SDRE) foi usado para controlar a posição e a altitude de uma espaçonave na proximidade de um alvo em queda. Uma simulação de seis graus de liberdade da espa- çonave e do alvo foi utilizada para demonstrar a eficácia do Controlador (STANSBERY; CLOUTIER, 2000). Erdem e Alleyne (2001) realizaram uma pesquisa em que o controle não-linear da Equação de Riccati Dependente do Estado (SDRE) foi usado para regular um Pen- dubot, um robô subativado de dois elos. E os autores afirmaram que o SDRE pode ter um desempenho melhor que o LQR para a mesma escolha de matrizes Q e R, e o desempenho do SDRE pode ser melhorado ainda mais, ajustando Q e R como certas funções dos estados. Observaram também as vantagens oferecidas pelo controle SDRE que superaram a complexidade computacional. O método de controle não-linear SDRE ofereceu uma excelente flexibilidade de projeto e que pode ser explorada para atender 20 às características de desempenho desejadas. Menon et al. (2002) discutem o desenvolvimento de algoritmos numéricos para a implementação prática da tecnologia de controle SDRE em problemas de controle de vôo de mísseis e utilizando o MATLAB® / SIMULINK®, e também o software baseado no algoritmo Schur e no método Kleinman, onde a pesquisa mostrou que as leis de controle SDRE podem ser implementadas em determinadas velocidades em problemas de controle de voo de mísseis. Bogdanov e Wan (2007) detalharam o desenvolvimento de um Controlador utilizando a Equação de Riccati Dependente do Estado (SDRE) para pequenos helicópteros. As simulações demonstraram um desempenho aprimorado do controle SDRE em compara- ção com o projeto baseado em um Regulador Quadrático Linear (LQR). Os resultados da robustez também mostraram que o SDRE supera o LQR em trajetórias mais agressi- vas, mesmo quando os parâmetros do modelo não são conhecidos exatamente. O SDRE exige mais recursos computacionais e a viabilidade de uma implementação em tempo real foi demonstrada com testes de voo nos helicópteros XCell-90 e Yamaha R-MAX (GT- MAX), e concluíram que as equações desenvolvidas podem ser facilmente generalizadas para uma ampla gama de modelos de helicóptero. Jadlovská e Sarnovskỳ (2013) apresentaram a aplicação da técnica de Projeto de Controle não linear baseada na Equação de Riccati Dependente do Estado (SDRE) em um sistema de pêndulo invertido generalizado (n-link) acoplado a um braço rotativo, os autores construíram um modelo matemático em duas equações diferenciais não lineares de segunda ordem que descrevem tais movimentos, onde as simulações foram realizadas usando blocos adequados na biblioteca do software MATLAB® GUI / SIMULINK®. Os resultados apresentados foram comparados com os obtidos pelo Projeto de Controle LQR padrão, e foi mostrado que o Controlador baseado em SDRE, preserva a dinâmica não linear do sistema original, e supera gradualmente o algoritmo LQR convencional em tempo discreto sempre que a distância de o ponto de equilíbrio aumenta. Bigot e Souza (2013) estudaram uma viga flexível rotacional no qual foi modelado pela hipótese de Euler-Bernoulli e sua posição angular foi controlada. Os autores afir- mam que esse tipo de modelo é, na maioria das vezes, altamente não linear, tendo como resultado, o Controlador projetado pela técnica de controle linear pode ter seu desempe- 21 nho e robustez prejudicados, e dessa forma, para lidar com esse problema, eles utilizaram o método da Equação de Riccati Dependente do Estado (SDRE), para projetar e testar um algoritmo de controle de posição para o modelo não linear rígido-flexível. O modelo foi simulado no MATLAB® / SIMULINK®, baseado nas características de um equipa- mento real. A estratégia de controle utilizou um motor elétrico de corrente continua. O trabalho serviu para validar o modelo do simulador numérico, e essa técnica permitiu projetar e testar um algoritmo de controle de posição para o modelo não linear para o sistema e com isso estabeleceram uma relação direta entre os parâmetros de ajuste do método SDRE e os estados do sistema como posição angular, velocidade angular e deslocamento flexível. Cabral e Chavarette (2015) propuseram dois Projetos de Controle: linear e não linear, onde aplicaram o Regulador Quadrático Linear (LQR) para projetar o Controla- dor linear e a Equação de Riccati Dependente do Estado (SDRE) usada para projetar o Controlador não linear. Sendo aplicado em trens Maglev (transporte de levitação mag- nética). Os resultados demonstraram que na simulação computacional o Controlador SDRE teve melhor desempenho geral do que o Controlador LQR. Souza, Bigot e Souza (2017) estudaram um Regulador da Equação de Riccati De- pendente do Estado (SDRE), sendo que um Regulador Quadrático Linear adaptativo (LQR) permite lidar com as não linearidades do sistema a ser controlado. O Controlador SDRE foi aplicado a um modelo não linear de um braço robótico rotativo rígido-flexível formado por uma haste flexível acoplada a um servomotor. O modelo elaborado con- siderou uma viga do tipo Euler-Bernoulli, e utilizou o método dos Modos Assumidos com dois modos de vibração, consideraram as não linearidades de primeira ordem e amortecimento estrutural do tipo Rayleigh, onde o modelo poderia ser adaptado para permitir a simulação de satélites com apêndices flexíveis, como antenas ou painéis sola- res. O modelo matemático foi validado comparando os resultados de malha aberta com os resultados reais do sistema. Os autores concluíram que o Controlador SDRE permite obter um desempenho melhor que o regulador LQR. 22 2.5 Método do Cálculo Fracionário O estudo dos sistemas dinâmicos de Ordem Fracionária têm sido um tópico de pes- quisa intensa na última década. Diversos sistemas de controle têm sido modelados considerando relações constitutivas que envolvem derivadas de Ordem Fracionária, es- tratégias de controle também têm sido desenvolvidas utilizando derivadas de Ordem Fracionária. O Cálculo Fracionário se deu praticamente com o início do cálculo integral e dife- rencial, em uma carta escrita por L’hôspital a Leibniz em 1695. Nela, o autor indaga ao pai da notação moderna do cálculo qual seria o significado de Dny = dny dxn quando n for 1 2 (PODLUBNY, 1999). De acordo com Oldham e Spanier (1974), Abel foi o primeiro a apresentar uma aplicação de operações fracionárias em 1823, quando aplicou o Cálculo Fracionário à resolução de uma equação integral que aparece na formulação do chamado problema tautocrônico, que busca determinar a equação da trajetória percorrida por uma partícula que desliza sob a ação da gravidade ao longo de uma curva sem atrito, para que o tempo de descida seja independente do ponto de partida. 2.5.1 Definição da Derivada de Ordem Fracionária Existem muitas definições de derivadas de Ordem Fracionária, como as definições de Riemann-Liouville, Caputo e Grünwald-Letnikov. Em geral, essas definições são compatíveis para uma ampla classe de funções. Nesta pesquisa, a definição de Grünwald- Letnikov é considerada uma vez que pode ser facilmente usada para desenvolver uma técnica de simulação numérica. Textos abrangentes sobre as definições de derivadas e integrais de Ordem Fracionária podem ser vistas detalhadamente em (PETRÁŠ, 2011a; PODLUBNY, 1999). A derivada fracionária de Grünwald-Letnikov foi proposta por Anton Karl Grünwald, em 1867, e Aleksey Vasilievich Letnikov, em 1868. A ideia da derivada de Ordem Fracionária consiste em estender o conceito de derivada de ordem n ∈ I para uma derivada de ordem α ∈ R. Assim, considera-se uma função f(t) contínua em um intervalo I ∈ R. A primeira derivada de f(t) é dada por: 23 d dt f(t) = ḟ(t) = lim h→0 f(t)− f(t− h) h , (2.19) a segunda derivada de f(t) é d2 dt2 f(t) = f̈(t) = lim h→0 ḟ(t)− ḟ(t− h) h = = lim h→0 f(t)− 2f(t− h) + f(t− 2h) h2 . (2.20) Seguindo o mesmo procedimento, a derivada de terceira ordem é dada por: d3 dt3 f(t) = ... f (t) = lim h→0 f̈(t)− f̈(t− h) h = = lim h→0 f(t)− 3f(t− h) + 3f(t− 2h)− f(t− 3h) h3 . (2.21) Generalizado esse procedimento tem-se: dn dtn f(t) = f (n)(t) = lim h→0 1 hn n∑ j=0 (−1)j n j  f(t− jh), (2.22) sendo que os coeficientes binomiais são dados por: n j  = n(n− 1)(n− 2) · · · (n− j + 1) j! = n! j!(n− j)! , n, j ∈ I. (2.23) Pode-se notar na Equação (2.23) que todos os coeficientes do numerador serão nulos a partir de n n , ou seja, para j ≥ n Podlubny (1999). Dessa forma, a Equação (2.22) pode ser reescrita de uma forma mais geral na Equação (2.24). dn dtn f(t) = f (n)(t) = lim h→0 1 hn ∞∑ j=0 (−1)j n j  f(t− jh), (2.24) Considerando as Equações (2.19) e (2.24), o conceito de derivada é generalizada para o conceito de derivada de Ordem Fracionária, de ordem α ∈ R, com relação a t, dada 24 pela notação utilizada com a de Leibniz verifica-se que: Dα t f(t) = dα dtα f(t): Dα t f(t) = dα dtα f(t) = f (α)(t) = lim h→0 1 hn ∞∑ j=0 (−1)j α j  f(t− jh), (2.25) com os coeficientes binomiais Spiegel (1992) e Petráš (2011a) definidos pela Equação (2.26), α j  = α! j!(α− j)! = Γ(α + 1) Γ(j + 1)Γ(α− j + 1) , (2.26) sendo α 0  = 1, e a função Gama Γ(n) definida na Equação (2.27). Γ(n) = ∫ ∞ 0 tn−1e−tdt. (2.27) Considerando o intervalo I = (a, t) ∈ R, e definindo n = [ t−a h ] , a derivada de Ordem Fracionária de Grünwald-Letnikov é definida de acordo com a Equação (2.28), aD α t f(t) = lim h→0 1 hα [ t−ah ]∑ j=0 (−1)j α j  f(t− jh), (2.28) sendo α ∈ R, e [x] definida como a parte inteira de x. A função Gama, Γ(n), pode ser considerada a mais importante função utilizada pelo cálculo diferencial fracionário, pois permite a generalização do fatorial de um número, ou seja, Γ(η) = (η − 1)! para η ∈ R, logo, η! = ηΓ(η) = Γ(η + 1) (SPIEGEL, 1992). As diversas outras definições de derivadas de Ordem Fracionária, tais como as defini- ções de Riemann-Liouville e a de Caputo são compatíveis com a definição de Grünwald- Letnikov para uma ampla classe de funções (PETRÁŠ, 2011a; PODLUBNY, 1999). 2.5.2 Aplicações do Cálculo Fracionário A aplicação do Cálculo Fracionário foi estudado por Caputo e Mainardi (1971) e é fundamentada fisicamente por Bagley e Torvik (1983). Os modelos fracionários são facilmente analisados usando a transformada de Fourier ou Laplace. 25 O Cálculo Fracionário têm sido amplamente utilizado na aplicação moderna de equa- ções diferenciais e integrais para modelar vários tipos de problemas em ciências e enge- nharia, como: • Processamento de sinais (Barbosa, Machado e Silva (2006); Bultheel, Martínez- Sulbaran et al. (2007)); • Redes elétricas (Yifei et al. (2005)); • Mecânica dos fluidos (Amaral (2003)); • Viscoelasticidade (Bagley e Torvik (1983); Gloeckle e Nonnenmacher (1991); Maia, Silva e Ribeiro (1998); Adolfsson, Enelund e Olsson (2005); Bagley (2007) e Jia, Shen e Hua (2007)); • Biologia matemática (Anastasio (1994)); • Eletroquímica (Goto e Ishii (1975)); • Reologia (Cavazos et al. (2007)); • Transferência de calor (Agrawal (2004)); • Economia (Meerschaert (2006)); • Eletromagnetismo (Engheta (1996); Machado et al. (2006)); • Problemas de difusão (Pedron (2003); Gonçalves et al. (2005)); (Andrade (2006)); • Teoria de controle (Hartley e Lorenzo (2002); Valério e Costa (2006)). A principal motivação para a aplicação prática do Cálculo Fracionário é a possibili- dade de obter uma modelagem mais precisa de alguns fenômenos físicos à custa de uma maior complexidade analítica e numérica em comparação com as ferramentas tradicio- nais de cálculo. No Brasil, os trabalhos de pesquisa relacionados ao Cálculo Fracionário aplicado a problemas de Engenharia e Controle de Vibração com o uso de modelos fracionários aplicados a absorvedores dinâmicos de vibrações viscoelásticos (Mendez (2004); Espın- dola, Silva e Lopes (2005); Espíndola, Bavastri e Oliveira (2008)) , as implementações de 26 modelos viscoelásticos fracionários associados a modelos de elementos finitos, realizadas por Lima (2003), além do estudo preliminar de Avila et al. (2009), voltado ao uso de Controladores ativos de Ordem Fracionária. O uso de materiais viscoelásticos está aumentando quando se trata de controlar vibrações e ruídos em várias áreas de engenharia, especialmente no espaço aéreo e marí- timo. Equipamentos feitos de materiais viscoelásticos, como isoladores, neutralizadores dinâmicos, painéis sanduíche e conexões estruturais, podem ser projetados para um controle altamente eficaz (MENDEZ, 2004). Para um projeto eficaz, é necessário conhecer o comportamento dinâmico ou as características dinâmicas dos materiais viscoelásticos. A determinação desse compor- tamento é o principal objetivo de vários métodos (método da viga vibrante, método de rigidez direta, método caracterizado por transmissão etc.), e cada método tem suas vantagens e limitações. Portanto, é conveniente usar módulos complexos para descrever seu comportamento (ESPINDOLA; SILVA; LOPES, 2005); (ESPÍNDOLA; BAVASTRI; OLIVEIRA, 2008). O material, nos modelos viscoelásticos, se comporta como se tivesse uma memória; os princípios elementares e o comportamento desses modelos em função do tempo foram apresentados por (CHRISTENSEN, 2012). 2.5.3 Simulação Numérica de Sistema de Ordem Fracionária O procedimento para a simulação numérica de sistemas de Ordem Fracionária de- pende da discretização das equações diferenciais de Ordem Fracionária. Para entender esse procedimento considera-se a equação diferencial de Ordem Fracionária da Equação (2.29) e sua representação na forma de Diagrama de Blocos na Figura 2.3. aD α t x(t) = X(x(t), u(t)) (2.29) onde X : Rn → Rn é um campo vetorial conforme Guckenheimer e Holmes (1983), x = x(t) ∈ Rn é uma função com valor vetorial chamada vetor de estado, u = u(t) ∈ Rm é uma função com valor vetorial chamada vetor de entrada, e α ∈ Rn é o vetor que indica a ordem das derivadas. 27 O Diagrama de Blocos na Figura 2.3 descreve a solução, ou integração, da Equação (2.29). Figura 2.3: Diagrama de Blocos da Equação Diferencial de Ordem Fracionária (2.29). u(t) // X(x(t),u(t)) x(r) // aI α t // x(t) OO Fonte: (AUTOR, 2021) Observa-se que na Figura 2.3, o símbolo aI α t , representa a integração de Ordem Fra- cionária, ou seja, para alguma função f(t) tem-se: f(t) = aI α t [aDα t f(t)] = aDα t [aIαt f(t)]. Tanto no caso de sistemas amostrados como no caso de equações diferenciais discretas pode-se supor a existência de um amostrador impulsivo e de um circuito segurador (OGATA, 1995). De forma geral, pode-se considerar que o amostrador impulsivo é o dispositivo que discretiza o sinal (variáveis) contínuo a cada instante kT , k = 0, 1, 2, · · · . O circuito segurador pode ser considerado como uma memória que mantém os valores das variáveis lidas pelo amostrador disponível por algum tempo, para que o computador possa realizar os cálculos necessários, até o próximo período (k + 1)T . No Diagrama de Blocos da Figura 2.4 foi incluído um bloco representando o acesso a memória necessário para a simulação de sistemas discretos, gerando o atraso de um período T no cálculo de X se comparado com a Figura 2.3. A equação de diferenças de Ordem Fracionária do Diagrama de Blocos da Figura 2.4, ou seja, do sistema discretizado, pode ser vista na Equação (2.30), que tem a forma usual de sistemas de controle discretos (DZIELIŃSKI; SIEROCIUK, 2006). aD α kTx(kT ) = X(x((k − 1)T ), u((k − 1)T )) (2.30) O procedimento para resolver numericamente a Equação (2.29) requer uma discre- tização de tempo. Para isso, sempre pode ser considerado a inclusão de um circuito de amostra e retenção conforme Diagrama de Blocos da Figura 2.3, que consiste em um 28 amostrador impulsivo e de um circuito de suporte (OGATA, 1995). O sinal é amostrado a uma taxa constante kT , k = 0, 1, 2, 3, · · · , e os valores amos- trados mantém disponíveis por algum tempo, até que o computador finalize os cálculos do período kT , e o ciclo é repetido por (k + 1)T , e assim por diante. O Diagrama de Blocos apresentado na Figura 2.4 mostra a representação em tempo discreto da Figura 2.3, onde z−1 é o z que é operador de atraso de transformação, repre- sentando o atraso de período da unidade causado pelo circuito. Consequentemente, a Equação Diferencial de Ordem Fracionária em (2.29), agora é representado pela Equação de diferença de Ordem Fracionária em (2.30). Figura 2.4: Diagrama de Blocos em Tempo Discreto (2.30). u(k) �� z−1 // X(x(k − 1),u(k − 1)) x(r) // aI α t x(k) // OO Fonte: (AUTOR, 2021) Para a simulação numérica das derivadas de Ordem Fracionária utiliza-se uma aproxi- mação discretizada, apropriada para implementação computacional, mostrada na Equa- ção (2.31), que é obtida a partir da definição da derivada de Ordem Fracionária de Grünwald-Letnikov, Equação (2.28) (PETRÁŠ, 2011a; TRZASKA, 2011; VINAGRE; CHEN; PETRÁŠ, 2003). Um algoritmo para a solução numérica aproximada da Equação (2.30) é derivado da definição de Grünwald-Letnikov conforme Vinagre, Chen e Petráš (2003), Petráš (2011a), consistindo em aproximar a definição em (2.28) para a relação na Equação (2.31). (k−L)D α kTx(kT ) ≈ 1 Tα L∑ j=0 (−1)j α j x((k − j)T ) (2.31) 29 sendo T o passo de integração dado em segundos, ou o período de amostragem no caso de sistemas amostrados. L é o tamanho da memória, sendo calculado pela relação, L ≤ [ ST T ] , (2.32) onde ST é o tempo total de simulação dado em segundos (TRZASKA, 2011). Em sistemas amostrados ST pode ser considerado o tempo de execução ou operação do sistema. Os coeficientes binomiais b(α) j = (−1)j α j , j = 0, 1, 2, · · · , k, são calculados de acordo com as fórmulas de Vinagre, Chen e Petráš (2003) dada pela Equação (2.33). b (α) 0 = 1, b (α) j = ( 1− 1+α j ) b (α) j−1 (2.33) Considerando as substituições das Equações (2.31), (2.32) e (2.33), a Equação da diferença de Ordem Fracionária em (2.30) pode ser resolvido numericamente com o método fornecido pela Equação (2.34). x(kT ) = TαX(x((k − 1)T ), u((k − 1)T ))− L∑ j=1 b (α) j x((k − j)T ) (2.34) para k = 0, 1, 2, · · · , e b (r) j = [ b (r1) j · · · b(rn) j ] (2.35) T (r) =  T r1 0 . . . 0 T rn  (2.36) As Equações (2.32), (2.33) e (2.34) são utilizadas para a implementação computaci- onal de simulações numéricas de sistemas de controle de Ordem Fracionária. O método apresentado para a discretização e solução numérica de equações diferenci- ais de Ordem Fracionária, considera a inclusão de uma amostra fictícia e retém circuitos, permitindo obter uma solução explícita para x(kT ), diferente da solução implícita usual 30 mostrada em (PETRÁŠ, 2011a; TRZASKA, 2011). É importante ressaltar que a escolha da etapa de integração T e o tamanho da me- mória, que está relacionado pela Equação (2.32), com impactos na eficiência da solução numérica. Consequentemente, valores maiores de T requer menos tamanho de memória L e potência computacional, no entanto, a precisão da solução pode ser insuficiente. Em contrapartida, pequenos valores de T implica em uma solução de alto consumo de energia computacional. Uma característica importante da formulação apresentada consiste na escolha das variáveis T , ST e L. A desigualdade na relação da Equação (2.32) para a determinação de L deve analisada tendo em conta as questões conflitantes relacionadas ao desempenho computacional e limitação física de memória do computador, e as incertezas numéricas geradas pelas aproximações do método. Com isso, a Revisão Bibliográfica é uma contribuição teórica para o desenvolvimento do Modelo Matemático, no qual é abordado no próximo Capítulo, onde também está descrito os parâmetros físicos do equipamento Rotary Flexible Link, necessários para a modelagem do sistema, assim como, está contido os procedimentos tomados para alcançar um modelo matemático para uma viga flexível rotacional. Para a obtenção desse modelo foram utilizadas as equações de Euler-Lagrange, as equações do movimento e a matriz de espaço de estados que governam o comportamento do sistema. 31 Capítulo 3 MODELO MATEMÁTICO O material utilizado nessa pesquisa foi o sistema Rotary Flexible Link, fabricado pela empresa Canadense Quanser, utilizado para realizar os testes experimentais, assim como o software MATLAB® / SIMULINK®, para demonstrar os cálculos e os gráficos resultantes do experimento, para posterior análise dos dados do modelo matemático e simulações numéricas para controle de vibrações em estruturas flexíveis com interface em tempo real usando o software QUARC®. 3.1 Descrição do sistema Rotary Flexible Link O equipamento utilizado na pesquisa foi o sistema Rotary Flexible Link do fabricante Quanser, mostrado na Figura 3.1, obtido através do auxílio regular a pesquisa FAPESP, (processo: 2013/04101-6). Figura 3.1: Sistema Rotary Flexible Link. Fonte: (AUTOR, 2021) 32 O equipamento pode ser dividido em dois módulos principais, sendo um servomeca- nismo e um link flexível. O servomecanismo é composto por um motor CC equipado com um conjunto de engrenagens, o qual é acoplado a uma estrutura sólida de alumí- nio. São acoplados três sensores no servomecanismo, um potenciômetro para medir a posição angular da saída, o tacômetro para medida de velocidade, e um encoder para uma medida com maior exatidão do ângulo de deslocamento. O link flexível consiste em uma viga de aço inoxidável fixo em uma extremidade, contendo um sensor do tipo strain gauge, o qual tem a função de gerar um sinal de saída proporcional a flexão da viga. Os parâmetros do sistema com seus valores são mencionados na Tabela 3.1, conforme (QUANSER, 2011). Tabela 3.1: Parâmetros físicos do sistema Rotary Flexible Link Parâmetro Descrição Valor Unidade Beq Coeficiente de fricção do motor 0.015 N.m/(rad/s) Jeq Momento de inércia (eixo do motor) 2.08 x 10−3 kg.m2 m Massa da viga 0.065 kg l Comprimento da viga 0.419 m Jl Momento de inércia (centro de massa) 0.0038 kg.m2 Ks Constante de rigidez 1.3 N.m/rad Kg Relação das engrenagens 70 ηm Rendimento do motor 0.69 ηg Rendimento da caixa de engrenagem 0.90 kb Coeficiente de amortecimento da viga 1 x 10−3 N.m/(rad/s) km Constante da força contra-eletromotriz 7.68 x 10−3 V/(rad/s) kt Constante de torque do motor 7.68 x 10−3 N.m/A Vnom Tensão de entrada nominal no motor 6.0 V Rm Resistência da armadura 2.6 Ω Lm Indutância da armadura 0.18 mH ωn Frequência natural 18.5 rad/s ρ Densidade linear da viga 0.1333 kg/m EI Rigidez à flexão da viga 0.1621 N.m2 Knl Constante de rigidez não linear 0.5 N.m/rad Fonte: (QUANSER, 2011) O encoder é utilizado para medir o deslocamento angular da viga (carga) é do tipo óptico, com uma resolução de 4096 contagens em quadratura e mede o ângulo relativo da viga (carga). O strain gauge é utilizado para medir a flexão da viga, é montado na base do apêndice, ou haste, e calibrado de tal modo que gere um sinal de aproximadamente 1 volt para 33 cada polegada deslocada em um sentido ou em outro. O conjunto do link flexível e o servomecanismo resultam em uma viga flexível com rotação horizontal, essa montagem se torna ideal para experimentos de sistemas de es- truturas flexíveis, onde constata-se problemas ocasionados por vibrações, no qual podem ser atenuadas através de técnicas de controle. O software utilizado na coleta de dados e análise dos gráficos para a interface do sistema Rotary Flexible Link foi o MATLAB® / SIMULINK® versão 2011, sendo popular em computação técnica e científica, sua popu- laridade deve-se a facilidade de utilização desse programa. Geralmente em sistemas de controle, o MATLAB® é uma ferramenta utilizada para realizar os cálculos, devido a grande probabilidade de ocorrência de erro quando reali- zados de forma manual, aliado ao programa têm-se o SIMULINK® que faz simulações de sistemas lineares e não-lineares, discretos e contínuos no tempo (BASILIO, 2004). 3.2 Modelo Matemático de Parâmetros Concen- trados O propósito da modelagem matemática é representar todos os aspectos importantes do sistema com objetivo de obter as equações matemáticas que governam o comporta- mento do sistema. O modelo matemático pode ser linear ou não linear, dependendo do comportamento dos componentes do sistema. Modelos lineares permitem soluções rápi- das e são simples de simular. Modelos não lineares às vezes revelam certas características do sistema que não podem ser previstas usando modelos lineares (RAO, 2008). O modelo matemático considera a viga como um sistema a parâmetros concentrados bastante simples. Esse sistema consiste de uma viga metálica flexível acoplada a um servomecanismo que permite o movimento rotacional no plano horizontal. O sistema é instrumentado com um strain gauge que pode medir a flexão na ponta da viga. Esse sistema é similar a estruturas flexíveis de grandes estruturas espaciais, como os painéis em satélites artificiais ou estações espaciais, ou mesmo uma estrutura flexível como um manipulador robótico, um guindaste giratório, ou até mesmo ser utilizado para estudar o sistema de controle do Microscópio de Força Atômica. O sistema Rotary Flexible Link 34 permite o estudo e análise de vibrações mecânicas em estruturas flexíveis. Na Figura 3.2 são descritas as posições angulares da viga. A posição da viga rígida é dada pelo ângulo α, equivalente ao ângulo do servomotor, sendo representada pela linha reta. A posição da viga flexível, representada pela curva, é dada pela soma do ângulo do eixo do motor θ com a posição angular devido à flexão α. Figura 3.2: Representação do movimento da viga flexível. Fonte: (LOPES; BUENO; BALTHAZAR, 2014) 3.2.1 Modelo do Motor de Corrente Contínua Ummotor de corrente continua de imã permanente é utilizado no sistema de controle. O circuito da armadura do motor é composto por uma tensão de entrada Vm, resistência da armadura Rm, indutância da armadura Lm, e a corrente Im do circuito da armatura. O motor de CC é usado para gerar o torque necessário. O circuito da armatura do motor e a caixa de engrenagens são mostrados na Figura 3.3. A força contra-eletromotriz back-emf, depende da velocidade do eixo do motor ωm e da constante de back-emf do motor km. Ele se opõe ao fluxo da corrente. A força contra-eletromotriz é dada por: eb(t) = kmωm(t) (3.1) Usando a lei de tensão de Kirchhoff, pode-se escrever a seguinte equação: Vm(t)−RmIm(t)− Lm dIm(t) dt − kmωm(t) = 0 (3.2) 35 Figura 3.3: Circuito da armadura do motor CC e caixa de engrenagens. Fonte: Adaptado de (QUANSER, 2011) No motor CC a indutância Lm da armadura é muito pequena conforme Castrucci (2006) e Ogata (2003), de modo que: Lm dIm(t) dt << RmIm(t) (3.3) assim a Equação (3.2) pode ser simplificada para: Vm(t)−RmIm(t)− kmωm(t) = 0 (3.4) A corrente do motor Im(t) pode ser escrita conforme a equação abaixo: Im(t) = Vm(t)− kmωm(t) Rm (3.5) Lembrando que ωm = θ̇m, e a força contra-eletromotriz gerada pelo motor é propor- cional à velocidade do motor. O torque do motor τm varia proporcionalmente com a corrente Im aplicada em sua armadura da seguinte maneira: 36 τm(t) = ηmktIm(t) (3.6) Onde kt é a constante da relação corrente-torque em (N.m/A), ηm é o rendimento do motor e Im é a corrente da armadura. O torque τl que é aplicado na base da viga flexível é: τl(t) = ηgKgτm(t) (3.7) Onde Kg é a relação das engrenagens e ηg é o rendimento da caixa de engrenagens. O conjunto da engrenagem planetária é montada diretamente no servomecanismo do sistema Rotary Flexible Link é representada pelas engrenagens N1, N2, N3 e N4 conforme a Figura 3.3 tem uma relação de engrenagem de: Kg = N2N4 N1N3 (3.8) Da mesma forma a velocidade angular de corpo rígido (θ) da viga, é proporcional à velocidade angular do eixo do motor (θ̇m = ωm), ou seja: θ̇m = Kgθ̇l (3.9) A partir das Equações (3.5), (3.6), (3.7) e (3.9), obtém-se: τl = ηgKgηmkt(Vm −Kgkmθ̇) Rm (3.10) que é o torque aplicado na base da viga flexível. 3.2.2 Modelo Matemático da Viga Flexível Rotacional com o método SDRE O sinal de entrada do servomotor Vm gera um torque na engrenagem de carga, rota- cionando a viga flexível. O atrito viscoso e o momento de inércia do eixo do servomotor são Beq e Jeq respectivamente. O modelo físico da viga em rotação é descrito na Figura 3.4. 37 Figura 3.4: Modelo físico da viga flexível. Fonte: Adaptado de (QUANSER, 2011) Conforme as equações para o deslocamento devido à flexão da viga, deve-se encontrar as equações que representam a dinâmica do sistema. Para isso, utilizando a formulação de Euler-Lagrange (JUNKINS; KIM, 1993). Segundo Bronkhorst (2017) a não linearidade do sistema pode ser representada de diferentes formas, sendo que alguns deles são geometria de construção, materiais uti- lizados e tipo de excitação. Para incluí-los em análises e simulações, os termos são frequentemente adicionados à equação de movimento do sistema de interesse para mo- delagem. Um exemplo é a rigidez cúbica, representado pelo termo K3 (Figura 3.5), que é o termo não linear, sendo que k3 pode ser positivo ou negativo. Quando k3 > 0, tem-se que quanto maior o nível de excitação, maior a rigidez no sistema, com o consequente aumento em sistemas com um grau de liberdade da frequência de ressonância. Essa propriedade pode ser observada em vigas e placas engastadas. Se k3 < 0, a rigidez diminui e a frequência de ressonância decai à medida que a força de excitação aumenta. Para maior aprofundamento da rigidez cúbica por ser vista em (BRENNAN; KOVACIC, 2011). 38 Figura 3.5: Representação da curva de resposta de um sistema com não-linearidade cúbica na rigidez. Fonte: (BRONKHORST, 2017) A partir das Figuras 3.2 e 3.4, a energia potencial V é adicionado um termo não linear conforme Equação Fk = ksx + Knlx 3 do trabalho Balthazar et al. (2013), onde a rigidez da mola é composta por partes lineares ks e não lineares Knl, desta forma a energia potencial e dada por: V = 1 2Klα 2 + 1 4Klnα 4 (3.11) A energia cinética total T é dada pela soma da energia cinética devido ao desloca- mento do corpo rígido com a energia cinética devido ao deslocamento flexível da viga: T = 1 2Jeqθ̇ 2 + 1 2Jl(θ̇ + α̇)2 (3.12) Onde Jeq é o momento de inercia do eixo do motor, e Jl e o momento de inércia de corpo rígido da viga. O Lagrangeano é dado por: L = T − V (3.13) e com isso: L = 1 2Jeqθ̇ 2 + 1 2Jl(θ̇ + α̇)2 − 1 2Klα 2 − 1 4Klnα 4 (3.14) 39 As coordenadas generalizadas do sistema são o ângulo de corpo rígido θ e o ângulo da flexão α. Com isso, aplicando a equação de Lagrange para cada coordenada generalizada tem-se: d dt ( ∂L ∂θ̇ ) − ∂L ∂θ = τl −Beqθ̇ (3.15) e d dt ( ∂L ∂α̇ ) − ∂L ∂α = 0 (3.16) Fazendo as derivadas de acordo com a Equação (3.15): d dt [ Jeqθ̇ + Jl(θ̇ + α̇) ] = τl −Beqθ̇ (Jeq + Jl)θ̈ + Jlα̈ +Beqθ̇ = τl (3.17) Fazendo as derivadas de acordo com a Equação (3.16): d dt [ Jl(θ̇ + α̇) ] +Ksα +Knlα 3 = 0 Jlα̈ + Jlθ̈ +Ksα +Knlα 3 = 0 (3.18) Substituindo a Equação (3.10) na Equação (3.17)têm-se: (Jeq + Jl)θ̈ + Jlα̈ +Beqθ̇ = K1Vm −K2θ̇ (3.19) onde K1 e K2 são: K1 = ηgKgηmkt Rm K2 = K1KgKm (3.20) Dessa forma, a dinâmica de corpo rígido é dada por: (Jeq + Jl)θ̈ + Jlα̈ + (Beq +K2)θ̇ = K1Vm (3.21) 40 A dinâmica da flexão é dada pela equação: Jlα̈ + Jlθ̈ +Ksα +Knlα 3 = 0 (3.22) Resumindo, as equações do movimento do sistema são: (Jeq + Jl)θ̈ + Jlα̈ + (Beq +K2)θ̇ = K1Vm Jlα̈ + Jlθ̈ +Ksα +Knlα 3 = 0 (3.23) Dessa forma as Equações (3.23) representam o comportamento dinâmico do sistema Rotary Flexible Link, relacionando a tensão de entrada Vm com as variáveis θ e α, ângulo de corpo rígido e ângulo de flexão, respectivamente. Definindo o vetor de estados de acordo com a Equação (3.24) xT = [ θ α θ̇ α̇ ] (3.24) uma realização das Equações (3.23) no Espaço de Estados é dada por: ẋ = Ax+Bu (3.25) y = Cx+Du (3.26) (Jeq + Jl) Jl Jl Jl   θ̈ α̈ + (Beq +K2) 0 0 0   θ̇ α̇ + 0 0 0 (Ks +Knlα 2)  θ α  = K1Vm 0  (3.27) (Jeq + Jl) Jl Jl Jl   θ̈ α̈  = −(Beq +K2)θ̇ +K1Vm −(Ksα +Knlα 3)  (3.28) Aplicando a Regra de Cramer, têm-se: 41 θ̈ = det  −(Beq +K2)θ̇ +K1Vm Jl −(Ksα +Knlα 3) Jl   det  (Jeq + Jl) Jl Jl Jl   (3.29) θ̈ = Jl [ K1Vm − (Beq +K2)θ̇ + Jl(Ksα +Knlα 3) ] Jl(Jeq + Jl)− J2 l (3.30) θ̈ = K1Vm − (Beq +K2)θ̇ + (Ksα +Knlα 3) Jeq (3.31) θ̈ = K1 Jeq Vm − (Beq +K2) Jeq θ̇ + Ks Jeq α + Knl Jeq α3 (3.32) Aplicando a Regra de Cramer na Equação (3.28), têm-se: α̈ = det  (Jeq + Jl) −(Beq +K2)θ̇ +K1Vm Jl −(Ksα +Knlα 3)   det  (Jeq + Jl) Jl Jl Jl   (3.33) α̈ = −(Jeq + Jl)(Ksα +Knlα 3) + Jl [ (Beq +K2)θ̇ −K1Vm ] JlJeq (3.34) α̈ = −(Jeq + Jl)Ksα JeqJl − (Jeq + Jl)Knlα 3 JeqJl + (Beq +K2) Jeq θ̇ − K1 JeqJl Vm (3.35) Definindo os vetores em:  x1 = θ x2 = θ̇ x3 = α x4 = α̇ (3.36) 42 Fazendo as substituições utilizando as Equações (3.32) e (3.35) têm-se:  ẋ1 = x2 ẋ2 = K1 Jeq Vm − (Beq+K2) Jeq x2 + Ks Jeq x3 + Knl Jeq x3 3 ẋ3 = x4 ẋ4 = − K1 JeqJl Vm − (Jeq+Jl)Ks JeqJl x3 + Beq+K2 Jeq x2 − (Jeq+Jl)Knlx3 3 JeqJl (3.37) Transformando as Equações (3.37) em matrizes têm-se:  ẋ1 ẋ2 ẋ3 ẋ4  =  0 1 0 0 0 −(Beq+K2) Jeq Ks Jeq 0 0 0 0 1 0 Beq+K2 Jeq −(Jeq+Jl)Ks JeqJl 0   x1 x2 x3 x4  +  0 K1 Jeq 0 −K1 JeqJl  Vm+  0 0 0 0 0 0 Knl Jeq x2 3 0 0 0 0 0 0 0 −(Jeq+Jl)Knl JeqJl x2 3 0   x1 x2 x3 x4  (3.38) A representação no Espaço dos Estados é dada por:  ẋ1 ẋ2 ẋ3 ẋ4  =  0 1 0 0 0 −(Beq+K2) Jeq Ks Jeq + Knl Jeq x2 3 0 0 0 0 1 0 Beq+K2 Jeq −(Jeq+Jl) JeqJl [ Ks +Knlx 2 3 ] 0   x1 x2 x3 x4  +  0 K1 Jeq 0 −K1 JeqJl  Vm (3.39) Através da forma de Espaço de Estados apresentada em (3.39) será utilizada para o Projeto do Controlador SDRE e será comparado os resultados das simulações com os experimentais. Portanto, para o Projeto LQR será utilizado conforme as matrizes abaixo:  ẋ1 ẋ2 ẋ3 ẋ4  =  0 1 0 0 0 0 0 0 0 Ks Jeq −ηgηmktkmK2 g+BeqRm JeqRm 1 0 −Ks(Jl+Jeq) JlJeq ηgηmktkmK2 g+BeqRm JeqRm 0   x1 x2 x3 x4  +  0 0 ηgηmktKg JeqRm −ηgηmktKg JeqRm  Vm (3.40) 43 3.3 Modelo Matemático do Cálculo Fracionário O Cálculo Fracionário é uma generalização da integração e diferenciação para o operador de ordem não inteira aDα t , em que a e t denotam os limites da operação e denotam a Ordem Fracionária de modo que: aD α t  dα dtα <(α) > 0, 1 <(α) = 0,∫ t a(dt)−α <(α) < 0, (3.41) Onde geralmente assume que α ∈ R, mas também pode ser um número complexo conforme (CHEN; PETRAS; XUE, 2009). Entre as definições propostas neste estudo, o foco está nas definições de Riemann- Liouville, Caputo e Grünwald-Letnikov, que são descritas a seguir. Primeiro, define-se o operador diferencial-integral fracionário de acordo com Riemann- Liouville, que é a definição mais amplamente usada no Cálculo Fracionário como mostra (OLDHAM; SPANIER, 1974) e (PODLUBNY, 1999). • Definição (Riemann-Liouville): aD α t f(t) = 1 Γ(m− α) ( d dt )m ∫ t a f(τ) (t− τ)α−m+1dτ (3.42) Onde m− 1 < α < m, m ∈ R+ e Γ(.) é a função gama de Euler. Em seguida, considere uma definição alternativa de acordo com Caputo. • Definição (Caputo): 0D α t f(t) = 1 Γ(m− α) ∫ t a f (m) (t− τ)α−m+1dτ (3.43) Onde m− 1 < α < m, m ∈ N. Existem várias definições do operador fracionário de acordo com Monje et al. (2010). Outra definição é a de Grünwald-Letnikov. Essa definição é especialmente útil devido à sua importância nas aplicações. 44 Considera-se a definição de Grünwald-Letnikov, usada ao longo deste trabalho com o objetivo de soluções numéricas para equações diferenciais de Ordem Fracionária con- forme (PODLUBNY, 1999) e (PETRÁŠ, 2011a). Se atribuir que n = t−a h , onde a é uma constante real, que expressa um valor limite, pode-se escrever a definição de Grünwald-Letnikov: aD α t f(t) = lim h→0 1 hα [ t−a h ]∑ k=0 (−1)k ( α k ) f(t− kh) (3.44) Onde [.] significa a parte inteira e h é o tamanho do passo (step). Segundo Podlubny (1999), Monje et al. (2010) e Xue, Chen e Atherton (2007) a diferenciação de Ordem Fracionária possui as seguintes propriedades: 1. Se f(t) é uma função analítica, a diferenciação de Ordem Fracionária 0Dα t f(t) também é analítica em relação a t. 2. A diferença de Ordem Fracionária é exatamente a mesma da ordem de número inteiro, quando α = n é um número inteiro. Portanto 0Dα t f(t) = f(t). 3. A diferenciação de Ordem Fracionária é linear; se a, b são constantes, então têm-se: 0D α t [af(t) + bg(t)] = a0D αf(t) + b0D α t g(t) (3.45) 4. Para os operadores de Ordem Fracionária com <(α) > 0, <(β) > 0, e com restrições razoáveis à função f(t), possui a lei aditiva dos expoentes: 0D α t [ 0D β t f(t) ] =0 Dβ t [ 0D β t f(t) ] =0 Dα+β t f(t) (3.46) 5. A integral de Laplace se transforma em uma ferramenta essencial para sistema dinâmico e no controle de vários sistemas na engenharia. Uma função F (s) da variável complexa s é chamada de transformada de Laplace da função original f(t) é definida como: L [ 0Dα t f(t) ] = sα[L f(t)]− n−1∑ k=1 sk [ 0D α−k−1 t f(t) ] t=0 (3.47) Assumindo zero nas condições iniciais, a transformação de Laplace utilizando a Equa- 45 ção (3.44) é definida da seguinte forma: L [ 0Dαf(t) ] = sαL [ f(t) ] (3.48) Sendo a Transformada de Laplace do operador fracionário de Grünwald-Letnikov. 3.3.1 Modelo Matemático da Viga Flexível Rotacional com o método do Cálculo Fracionário Esse sistema é similar a estruturas flexíveis de grandes estruturas espaciais, como os painéis em satélites artificiais ou estações espaciais, ou mesmo uma estrutura flexível como um manipulador robótico, um guindaste giratório, ou até mesmo ser utilizado para estudar o sistema de controle do Microscópio de Força Atômica. O sistema Rotary Flexible Link permite o estudo e análise de vibrações mecânicas em estruturas flexíveis. Na Figura 3.2 são descritas as posições angulares da viga. A posição da viga rígida é dada pelo ângulo α, equivalente ao ângulo do servomotor, sendo representada pela linha reta. A posição da viga flexível, representada pela curva, é dada pela soma do ângulo do eixo do motor θ com a posição angular devido à flexão α. O sinal de entrada do servomotor Vm gera um torque na engrenagem de carga, rota- cionando a viga flexível. O atrito viscoso e o momento de inércia do eixo do servomotor são (Beq) e (Jeq) respectivamente. A constante de rigidez (Ks = Kl). A Tabela 3.1 apresenta os parâmentros físicos do sistema Rotary Flexible Link. O modelo físico da viga em rotação é descrito na Figura 3.4. Conforme as equações para o deslocamento devido à flexão da viga, deve-se encontrar as equações que representam a dinâmica do sistema. Para isso, utilizando a formulação de Euler-Lagrange (JUNKINS; KIM, 1993). A partir das Figuras 3.2 e 3.4, a energia potencial V e adicionando um termo não linear conforme Equação Fk = klx+knlx3 dos trabalhos Balthazar et al. (2013) e Ribeiro et al. (2020), onde a rigidez da mola é composta por partes lineares kl e não lineares knl, desta forma a energia potencial e dada por: V = 1 2Klα 2 + 1 4Knlα 4 (3.49) 46 A energia cinética total T é dada pela soma da energia cinética devido ao desloca- mento do corpo rígido com a energia cinética devido ao deslocamento flexível da viga: T = 1 2Jeqθ̇ 2 + 1 2Jl(θ̇ + α̇)2 (3.50) Onde Jeq é o momento de inercia do eixo do motor, e Jl e o momento de inércia de corpo rígido da viga. O Lagrangeano é dado por: L = T − V (3.51) e com isso: L = 1 2Jeqθ̇ 2 + 1 2Jl(θ̇ + α̇)2 − 1 2Klα 2 − 1 4Klnα 4 (3.52) As coordenadas generalizadas do sistema são o ângulo de corpo rígido θ e o ângulo da flexão α. Com isso, aplicando a equação de Lagrange para cada coordenada generalizada tem-se: d dt ( ∂L ∂θ̇ ) − ∂L ∂θ = τ −Beqθ̇ (3.53) e d dt ( ∂L ∂α̇ ) − ∂L ∂α = −Kbα̇ (3.54) Fazendo as derivadas de acordo com a Equação (3.53): d dt [ Jeqθ̇ + Jl(θ̇ + α̇) ] = τ −Beqθ̇ (Jeq + Jl)θ̈ + Jlα̈ +Beqθ̇ = τ (3.55) Fazendo as derivadas de acordo com a Equação (3.54): d dt [ Jl(θ̇ + α̇) ] +Klα +Knlα 3 = 0 Jlα̈ + Jlθ̈ +Kbα̇ +Klα +Knlα 3 = 0 (3.56) 47 Lembrando que o torque aplicado na base da viga flexível é: τl = ηgKgηmkt(Vm −Kgkmθ̇) Rm (3.57) Substituindo a Equação (3.57) na Equação (3.55) têm-se: (Jeq + Jl)θ̈ + Jlα̈ +Beqθ̇ = GVm −K2θ̇ (3.58) onde G e K2 são: G = ηgKgηmkt Rm K2 = GKgKm (3.59) Dessa forma, a dinâmica de corpo rígido é dada por: (Jeq + Jl)θ̈ + Jlα̈ + (Beq +K2)θ̇ = GVm (3.60) A dinâmica da flexão é dada pela equação: Jlα̈ + Jlθ̈ +Kbα̇ +Klα +Knlα 3 = 0 (3.61) Resumindo, as equações do movimento do sistema são: (Jeq + Jl)θ̈ + Jlα̈ + (Beq +K2)θ̇ = GVm (3.62) Jlα̈ + Jlθ̈ +Kbα̇ +Klα +Knlα 3 = 0 (3.63) Dessa forma as Equações (3.62)(3.63) representam o comportamento dinâmico do sistema Rotary Flexible Link, relacionando a tensão de entrada Vm com as variáveis θ e α, ângulo de corpo rígido e ângulo de flexão, respectivamente. Definindo o vetor de estados de acordo com a Equação (3.64) xT = [ θ θ̇ α α̇ ] (3.64) 48 uma realização das equações no Espaço de Estados é dada por: ẋ = Ax+Bu (3.65) y = Cx+Du (3.66) (Jeq + Jl) Jl Jl Jl   θ̈ α̈ + (Beq +K2) 0 0 Kb   θ̇ α̇ + 0 0 0 (Kl +Knlα 2)  θ α  = GVm 0  (3.67) (Jeq + Jl) Jl Jl Jl   θ̈ α̈  =  −(Beq +K2)θ̇ +GVm −Kbα̇− (Klα +Knlα 3)  (3.68) Aplicando a Regra de Cramer, têm-se: θ̈ = det   −(Beq +K2)θ̇ +GVm Jl −Kbα̇− (Klα +Knlα 3) Jl   det  (Jeq + Jl) Jl Jl Jl   (3.69) θ̈ = Jl ( GVm − (Beq +K2)θ̇ ) + Jl(Kbα̇ +Klα +Knlα 3) Jl(Jeq + Jl)− J2 l (3.70) θ̈ = GVm − (Beq +K2)θ̇ + (Kbα̇ +Klα +Knlα 3) Jeq (3.71) θ̈ = G Jeq Vm − (Beq +K2) Jeq θ̇ + Kb Jeq α̇ + Kl Jeq α + Knl Jeq α3 (3.72) Aplicando a Regra de Cramer na Equação (3.68), têm-se: α̈ = det  (Jeq + Jl) −(Beq +K2)θ̇ +GVm Jl −Kbα̇− (Klα +Knlα 3)   det  (Jeq + Jl) Jl Jl Jl   (3.73) 49 α̈ = −(Jeq + Jl)(Kbα̇ +Klα +Knlα 3) + Jl [ (Beq +K2)θ̇ −GVm ] JlJeq (3.74) α̈ = −(Jeq + Jl)Klα JeqJl − (Jeq + Jl)Kbα̇ JeqJl − (Jeq + Jl)Knlα 3 JeqJl + (Beq +K2) Jeq θ̇− G Jeq Vm (3.75) Definindo os vetores em:  x1 = θ x2 = θ̇ x3 = α x4 = α̇ (3.76) Fazendo as substituições utilizando as Equações (3.72) e (3.75) têm-se:  ẋ1 = x2 ẋ2 = G Jeq Vm − (Beq+K2) Jeq x2 + Kb Jeq x4 + Kl Jeq x3 + Knl Jeq x3 3 ẋ3 = x4 ẋ4 = − (Jeq+Jl)Kl JeqJl x3 − (Jeq+Jl)Kb JeqJl x4 − (Jeq+Jl)Knl JeqJl x3 3 + (Beq+K2) Jeq x2 − G Jeq Vm (3.77) A partir das Equações (3.62) e (3.63), faz-se a substituição deKbα̇(t) porKbα (r)(t) = KbD r tα(t) na Equação (3.79), resultando no sistema de equações diferenciais de Ordem Fracionária das Equações (3.78) e (3.79). (Jeq + Jl)θ̈ + Jlα̈ + (Beq +K2)θ̇ = GVm (3.78) Jlα̈ + Jlθ̈ +Kbα (r) +Klα +Knlα 3 = 0 (3.79) xT = [ θ θ̇ α α(r) ] (3.80) 50 (Jeq + Jl) Jl Jl Jl   θ̈ α̈ + (Beq +K2) 0 0 Kb   θ̇ α(r) + 0 0 0 (Kl +Knlα 2)  θ α  = GVm 0  (3.81) (Jeq + Jl) Jl Jl Jl   θ̈ α̈  =  −(Beq +K2)θ̇ +GVm −Kbα (r) − (Klα +Knlα 3)  (3.82) Aplicando a Regra de Cramer, têm-se: θ̈ = det   −(Beq +K2)θ̇ +GVm Jl −Kbα (r) − (Klα +Knlα 3) Jl   det  (Jeq + Jl) Jl Jl Jl   (3.83) θ̈ = Jl ( GVm − (Beq +K2)θ̇ ) + Jl(Kbα (r) +Klα +Knlα 3) Jl(Jeq + Jl)− J2 l (3.84) θ̈ = GVm − (Beq +K2)θ̇ + (Kbα (r) +Klα +Knlα 3) Jeq (3.85) θ̈ = G Jeq Vm − (Beq +K2) Jeq θ̇ + Kb Jeq α(r) + Kl Jeq α + Knl Jeq α3 (3.86) Aplicando a Regra de Cramer na Equação (3.82), têm-se: α̈ = det  (Jeq + Jl) −(Beq +K2)θ̇ +GVm Jl −Kbα (r) − (Klα +Knlα 3)   det  (Jeq + Jl) Jl Jl Jl   (3.87) α̈ = −(Jeq + Jl)(Kbα (r) +Klα +Knlα 3) + Jl [ (Beq +K2)θ̇ −GVm ] JlJeq (3.88) 51 α̈ = −(Jeq + Jl)Klα JeqJl − (Jeq + Jl)Kbα (r) JeqJl − (Jeq + Jl)Knlα 3 JeqJl +(Beq +K2) Jeq θ̇− G Jeq Vm (3.89) Definindo os vetores em:  x1 = θ x2 = θ̇ x3 = α x4 = α(r) (3.90) Fazendo as substituições utilizando as Equações (3.86) e (3.89) têm-se:  ẋ1 = x2 ẋ2 = G Jeq Vm − (Beq+K2) Jeq x2 + Kb Jeq x4 + Kl Jeq x3 + Knl Jeq x3 3 x (r) 3 = x4 x (2−r) 4 = − (Jeq+Jl)Kl JeqJl x3 − (Jeq+Jl)Kb JeqJl x4 − (Jeq+Jl)Knl JeqJl x3 3 + (Beq+K2) Jeq x2 − G Jeq Vm (3.91) Definindo o vetor de estados x =  x1 x2 x3 x4  =  θ θ̇ α α(r)  (3.92) Dessa forma a representação do sistema na forma de Espaço de Estados é dada por: ẋ1 = x2 (3.93) ẋ2 = G Jeq Vm − Beq +GKmKg Jeq x2 + Kb Jeq x4 + Ks Jeq x3 + Knl Jeq x3 3 (3.94) x (r) 3 = x4 (3.95) x (2−r) 4 = Jeq + Jl JeqJl ( −Kbx4 −Ksx3 −Knlx 3 3 ) + Beq +GKmKg Jeq x2 − G Jeq Vm (3.96) 52 Capítulo 4 PROJETO DO SISTEMA DE CONTROLE DA VIGA FLEXÍVEL ROTACIONAL COM OS MÉTODOS LQT, SDRE-TC E O LCTF Nesta Seção é apresentado o desenvolvimento do projeto do sistema de controle para a viga flexível do sistema Rotary Flexible Link fixada no eixo do rotor do motor CC. O amortecimento viscoso atuando na flexão da viga é considerado de Ordem Fracionária. O desempenho de três estratégias de controle; o Linear Quadratic Tracking (LQT), o State Dependent Riccati Equation Tracking Controller (SDRE-TC) e o Classical Lead Compensator with Tachometer Feedback (LCTF), é apresentado conforme encontrados em (SINHA, 2007; KIRK, 2004; OGATA, 2003; ÇIMEN, 2008). As Estruturas flexíveis rotacionais são dispositivos eletromecânicos comumente en- contrados em painéis solares de satélites artificiais, guindastes rotativos e braços robóti- cos. O sistema Rotary Flexible Link permite o estudo e análise de vibrações mecânicas em estruturas flexíveis. A estrutura geral do sistema é mostrada na Figura 3.2, onde θ se refere ao ângulo de movimento do corpo rígido da viga, a flexão da viga é denotada por α. O torque τ é aplicado na extremidade fixa da viga. 53 Na Figura 3.3 o servomecanismo que controla o movimento da viga flexível é apre- sentado. É composto por um motor CC com redução de engrenagem onde é fixada a extremidade da viga flexível. No circuito do motor CC controlado por armadura da Figura 3.3, Vm é a tensão de entrada da armadura, Im é a corrente da armadura, Rm e Lm são, respectivamente, a resistência e a indutância, e eb é a força contra-eletromotriz (back-EMF). Aplicando a regra de malha de Kirchhoff aos resultados do circuito da armadura do motor CC conforme Equação (4.1). Vm(t)−RmIm(t)− Lmİm(t)− eb(t) = 0 (4.1) A A força contra-eletromotriz (back-EMF) eb(t), dado por (4.2), é proporcional à velocidade do motor ωm. eb(t) = kmωm(t) (4.2) Em motores CC controlados por armadura, a indutância é geralmente muito pequena do que a resistência, L