Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, v. 35, n. 4, 4307 (2013) www.sbfisica.org.br Cálculo K: Uma abordagem alternativa para a relatividade especial (K calculus: An alternative approach to special relativity) G. De Conto, A. Lima, P.H. Ortega1, E.R. Schmitz Instituto de F́ısica Teórica, Universidade Estadual Paulista “Júlio Mesquita Filho”, São Paulo, SP, Brasil Recebido em 18/3/2013; Aceito em 14/8/2013; Publicado em 30/10/2013 Neste artigo apresentamos a abordagem alternativa feita por Bondi para a teoria da relatividade especial. Durante o desenvolvimento, analisamos os diagramas de Bondi, recursos visuais dos quais podemos retirar al- gumas informações sobre os sistemas analisados, e discutimos o fator K da teoria de Bondi, que está no cerne deste trabalho. Posteriormente, discutimos alguns dos principais resultados obtidos pela relatividade especial de Einstein tais como a dilatação temporal, a contração espacial e a simultaneidade de eventos separados espacial- mente, além das transformações de Lorentz. Mostramos também dois outros resultados importantes na f́ısica a partir do cálculo K: o momento linear relativ́ıstico e a energia total relativ́ıstica. Palavras-chave: cálculo K, relatividade especial, Hermann Bondi, efeito Doppler. In this paper we present an alternative approach due to Bondi for the special theory of relativity. During the development, we analyse the Bondi diagrams, visual resources from which we can take some information about the analysed systems, and we discuss the K factor of Bondi’s theory, which is in the core of this work. We then discuss some of the main results obtained from Einstein’s special theory of relativity such as the time dilation, spatial contraction and simultaneity of spatially separated events, besides the Lorentz transformations. We also show other two important results in physics coming from K calculus: the relativistic linear momentum and the total relativistic energy. Keywords: K calculus, special relativity, Hermann Bondi, Doppler effect. 1. Introdução No final do século XIX e ińıcio do século XX surgiram inconsistências entre a mecânica clássica e o eletromag- netismo. As conhecidas transformações de Galileu, cor- roboradas pela mecânica da época, não se aplicavam às equações do eletromagnetismo de Maxwell. A solução deste problema, que fez prevalecer as equações do ele- tromagnetismo, foi proposta por Einstein em seu artigo seminal Zur Elektrodynamik bewegter Körper, ou Sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento, publicado em 1905 [1]. Com contribuições de Lorentz, Poincaré, Minkowski e outros, foi consolidada a relatividade es- pecial [2]. Esta permitia um acordo entre eletromag- netismo e mecânica, contudo, implicando importantes mudanças nesta última. Tais mudanças trouxeram novos resultados, muito distintos dos encontrados na mecânica clássica. Efei- tos como a contração espacial e a dilatação temporal vão contra a experiência cotidiana, pois só se tornam evidentes quando os fenômenos analisados estão a ve- locidades comparáveis à velocidade da luz. Por isso, podemos utilizar a mecânica clássica para situações do dia-a-dia. Desta forma, a teoria da relatividade espe- cial é comumente associada a tópicos de f́ısica moderna, tendo seu ensino presente em cursos de graduação da área de ciências exatas. Tradicionalmente, o ensino da relatividade especial é dado por meio das transformações de Lorentz, fo- cando na parte matemática da teoria. Tal metodologia nem sempre ressalta os conceitos f́ısicos por trás destas transformações. Uma alternativa às transformações de Lorentz foi desenvolvida por Hermann Bondi em seu li- vro Relatividade e Bom Senso: Um Novo Enfoque das Ideias de Einstein (originalmente, Relativity and Com- mon Sense: A New Approach to Einstein), de 1964 [3]. Partindo dos mesmos postulados utilizados por Eins- tein que são [1, 2]: (i) Postulado 1 (Prinćıpio da relatividade): As leis f́ısicas são as mesmas em todos os sistemas de re- ferência inerciais; (ii) Postulado 2 (Invariância da velocidade da luz ): A velocidade da luz no vácuo é a mesma para todos os sistemas de referência inerciais, independente- mente do movimento relativo de um dado sistema 1E-mail: ortega@ift.unesp.br. Copyright by the Sociedade Brasileira de F́ısica. Printed in Brazil. 4307-2 De Conto et al. com relação à fonte de luz; Bondi desenvolveu o cálculo K. Através do uso de dia- gramas do espaço-tempo e de experimentos mentais, o cálculoK é constrúıdo num formalismo matemático que se relaciona diretamente com os resultados das trans- formações de Lorentz. Neste trabalho, estudamos a abordagem feita por Bondi para a teoria da relatividade especial. Primei- ramente, discutimos os diagramas de Bondi, recursos visuais dos quais se podem retirar informações sobre os sistemas analisados. Em seguida, obtemos o fator K da teoria de Bondi. Posteriormente, discutimos so- bre alguns resultados obtidos pela relatividade espe- cial de Einstein, que são a dilatação temporal, a con- tração espacial, o conceito de simultaneidade de eventos e também as transformações de Lorentz. Por fim, obte- mos dois outros resultados importantes na f́ısica a partir do cálculo K, que são o momento linear relativ́ıstico e a energia total relativ́ıstica. 2. Diagramas de Bondi e o fator K Consideremos dois sistemas de referência inerciais2 A e B com velocidade relativa constante. Um observa- dor na origem do referencial A emite sinais luminosos em direção a um observador na origem de B em inter- valos regulares de 1 minuto. Porém, como B está se afastando de A, estes sinais chegam em um intervalo de tempo maior, digamos, 2 minutos. Podemos ilustrar esta situação com a Fig. (1). Figura 1 - Referencial A emitindo sinais luminosos para B con- forme este se afasta. Na Fig. (1) temos o tempo no eixo vertical e a distância no eixo horizontal (apenas uma dimensão es- pacial é relevante neste exemplo),3 ambos relativos ao referencial A. Pode-se ver que conforme o tempo passa, o referencial A (representado pela linha cont́ınua ver- tical, sobreposta ao eixo temporal) permanece na ori- gem do sistema de coordenadas, enquanto que o refe- rencial B (representado pela linha cont́ınua inclinada) se afasta. As linhas tracejadas representam os sinais luminosos se propagando no espaço. Como a inclinação das linhas está relacionada com a velocidade, temos que qualquer referencial terá uma inclinação no mı́nimo igual a inclinação das linhas tracejadas,4 já que a velo- cidade da luz não pode ser superada.5 Na Fig. (1) torna-se posśıvel ver a diferença de tempo entre os sinais luminosos medida pelos obser- vadores. Fisicamente falando, isto ocorre porque à me- dida que o referencial B se afasta, o segundo sinal (o que determina o intervalo de tempo) deve percorrer uma distância maior para atingir B, fazendo o intevalo de tempo ser diferente. Na Fig. (1), como as linhas tra- cejadas representam os sinais luminosos, a intersecção destas linhas com as linhas de cada referencial repre- senta a emissão (no caso do referencial A) ou a recepção (no caso do referencial B) do sinal luminoso. Compa- rando o espaço entre cada intersecção para cada um dos referenciais vemos que eles estão menos espaçadas na li- nha do referencial A do que na linha do referencial B, indicando que os intervalos de tempo entre cada sinal em A são menores do que os intervalos em B. Consideremos agora o caso em que haja um terceiro observador C, em repouso com relação ao referencial A. Isto pode ser representado pela Fig. (2). Figura 2 - Referencial A emitindo sinais luminosos para B e C. 2Denotaremos a partir de agora sistema de referência inercial apenas por referencial. 3Subentende-se aqui a hipótese de isotropia do espaço, que afirma que não há uma direção privilegiada no espaço-tempo. Isto garante que para referenciais se movendo com velocidade relativa constante, a análise pode ser feita considerando qualquer direção, e neste caso, consideramos apenas o eixo que une as origens dos referenciais. 4Definimos as escalas dos diagramas de modo que x/t = c, onde c é a velocidade da luz no vácuo, corresponda a uma reta com inclinação de 45◦ com relação ao eixo vertical (ou temporal). 5Isto é uma consequência dos postulados de Einstein. Cálculo K: Uma abordagem alternativa para a relatividade especial 4307-3 Do ponto de vista do referencial B os sinais passam a cada 2 minutos, enquanto ele vê o referencial C se aproximar. Desta forma, é como se B emitisse sinais a cada dois minutos na direção de C.6 Sabemos que C, por estar em repouso em relação a A, recebe estes sinais num intervalo de 1 minuto. Logo, podemos ver que para um referencial que se aproxima (C se apro- ximando de B) os intervalos de tempo diminuem em uma proporção inversa ao caso do afastamento (consi- derando a magnitude das velocidades de aproximação e afastamento iguais). Podemos então generalizar di- zendo que no caso em que B se afasta, se A mede um intervalo tA o intervalo medido por B será7 tB = KtA, (1) e no caso em que B se aproxima tB = 1 K tA. (2) O fator de proporcionalidade entre os tempos medi- dos em cada referencial é chamado de fator K, um parâmetro adimensional relacionado com a velocidade relativa dos referenciais. Podemos encontrar a relação entre K e a velocidade considerando um caso seme- lhante aos discutidos anteriormente. Suponha nova- mente que B esteja se afastando de A, e assim que B recebe um sinal ele envia outro de volta para A. Pode- mos ilustrar esta situação pela Fig. (3). Figura 3 - Troca de sinais entre A e B. Como já vimos antes, o tempo que B recebe um si- nal é igual ao tempo medido em A multiplicado pelo fator K. Quando B emite o sinal em resposta para A, partimos para o ponto de vista de B, onde A está se afastando de B (com a mesma velocidade que A via B se afastar). Assim, o tempo que A irá medir, do ponto de vista de B, é igual ao tempo em B multiplicando o mesmo fator K. Contudo, no instante que B emite sua resposta, nós já sabemos o seu tempo, que é igual a Kt. Multiplicando este tempo mais uma vez por K, chega- mos no resultado mostrado no diagrama: A recebendo a resposta no tempo K2t. O tempo medido por A entre a emissão do sinal e o recebimento da resposta de B é ∆t = K2t− t = t(K2 − 1). (3) Da Fig. (3) vemos que o tempo entre a emissão do sinal por A e o recebimento por B é igual a ∆t/2. Neste intervalo de tempo, a luz (cuja velocidade denotaremos por c) percorreu uma distância d = c∆t/2. Esta mesma distância foi percorrida por B num intervalo de tempo (K2 + 1)t/2, conforme vemos na Fig. (3). Ou seja, também temos que d = v(K2+1)t/2, onde v é a veloci- dade de B em relação a A. A partir das duas equações para d, chegamos em c∆t 2 = v(K2 + 1)t 2 , v c = ∆t (K2 + 1)t = K2 − 1 K2 + 1 . (4) Podemos isolar o fator K a partir da Eq. (4). De- notando v/c = β, encontramos K = √ 1 + β 1− β . (5) Da Eq. (5) podemos ver que utilizar K no caso em que os referenciais se afastam, e 1/K no caso em que se aproximam, faz sentido. No caso que se afastam, con- sideramos a velocidade positiva e obtemos K conforme a Eq. (5). Se tomarmos esta equação e invertermos o sinal da velocidade passamos para o caso em que os re- ferenciais se aproximam, e temos que ela se torna igual a 1/K. Explicitamente, K(β) = √ 1 + β 1− β → K(−β) = 1 K(β) . (6) Consideremos agora o caso de três referenciais, A, B e C. Sabendo que o fator K entre A e B é dado por KAB e que o fator K entre B e C é dado por KBC , qual será o fator K entre A e C? Se A enviar um si- nal para B no instante t, sabemos que B receberá este sinal num tempo igual a tB = KABt. Se B retransmi- tir este sinal para C no instante em que o recebeu de A, sabemos que C receberá o sinal de B no instante tC = tBKBC = tKABKBC . Mesmo não sabendo o va- lor de KAC , sabemos que um sinal enviado por A no instante t atingiria C no instante tC = tKAC . Já que B retransmitiu o sinal no instante que o recebeu de A, 6É neste ponto que aplicamos o Postulado 2, pois estamos supondo que a velocidade de B não interfere na velocidade da luz. 7A transformação de um referencial para outro deve ser linear para que os intervalos de tempo sejam independentes da origem do sistema de coordenada temporal para quaisquer referenciais. 4307-4 De Conto et al. podemos afirmar que tC = tKABKBC e tC = tKAC são idênticos. Logo, tKAC = tKABKBC , KAC = KABKBC . (7) A relação dos fatores K entre diversos referenciais é dada pelo produto dos fatores. Já sabemos escrever K em função da velocidade dos referenciais, e agora, a partir da Eq. (7), podemos ver como as velocidades em diferentes referenciais se relacionam. Escrevendo K em função das velocidades, encontramos√ 1 + βAC 1− βAC = √ 1 + βAB 1− βAB √ 1 + βBC 1− βBC . (8) Isolando βAC βAC = (KAB) 2(KBC) 2 − 1 (KAB)2(KBC)2 + 1 = βAB + βBC 1 + βABβBC . (9) Temos então a lei de composição de velocidades da relatividade restrita.8 Para detalhes da abordagem tra- dicional, veja as Refs. [5, 6]. 3. Dilatação temporal O caso onde A emite um sinal e B emite outro em resposta apresenta um fato de interesse. Vimos que quando A emite um sinal em tA = t, B recebe este si- nal em tB = Kt. Mas na Fig. (3) notamos que, no instante em que B recebe o sinal, o referencial A regis- tra o tempo tA = (K2+1)t/2. Escrevendo t em função de tB podemos relacionar o tempo dos referenciais num mesmo instante. Verificamos então que tA = K2 + 1 2K tB = 1√ 1− β2 tB = γtB , (10) onde γ = 1/ √ 1− β2 é o fator de Lorentz. Da Eq. (10) conclúımos que do ponto de vista de um observador parado na origem do referencial A, o tempo passa de maneira mais rápida, quando medido do referencial A, do que em um referencial em movimento (o referencial B neste caso). Uma descrição detalhada na abordagem tradicional é encontrada na Ref. [6]. Este efeito conduz a uma questão interessante. Se agora invertemos os papéis dos referenciais A e B,9 então o tempo em B passaria mais rápido do que em A. Isto nos leva a um “paradoxo”: como pode o tempo passar mais rápido em ambos referenciais? Isto é expli- cado analisando o chamado paradoxo dos gêmeos. Este “paradoxo” propõe o seguinte: dados dois irmãos gêmeos, cujo intervalo de tempo entre o nasci- mento deles é irrelevante, um deles é colocado em uma nave que viaja a velocidade constante para o espaço, enquanto que o outro fica na Terra. Após um intervalo de tempo, segundo a relatividade restrita, do ponto de vista da Terra, o irmão que ficou na Terra ficaria mais velho do que o irmão que foi colocado na nave. En- tretanto, do ponto de vista da nave, quem ficou mais velho foi o irmão que está dentro da nave, pois para ele quem viaja com velocidade constante é o irmão que ficou na Terra. Este é o “paradoxo”. Isto é resolvido propondo que, para se fazer a verificação é necessário que o irmão que se afastou (o que estava na nave) retor- nasse, indicando que em algum momento o referencial da nave sofreu alguma aceleração, portanto deixando de ser inercial. Devido a isto, pode-se mostrar que o irmão que estava na nave envelheceu menos do que o irmão que permaneceu na Terra. A demonstração deste resultado é longa e foge do escopo deste artigo. Uma discussão mais detalhada, utilizando a técnica do ra- dar (que é relacionada com o fator K), é encontrada na Ref. [7]. 4. Contração espacial Não só a medida dos tempos, mas também a medida de distâncias é afetada pelo movimento relativo entre os referenciais. Mais uma vez utilizando a emissão de sinais luminosos, podemos verificar este efeito. Consi- deremos dois eventos, P e Q, com coordenadas P (t, x1) e Q(t, x2) no referencial A (onde x1 < x2). Dois sinais luminosos são emitidos por A de maneira que cada um deles atinja os pontos x1 e x2 no mesmo instante t. Sa- bemos que para alcançar x1 um sinal leva um tempo t1 = x1/c e para alcançar x2 o tempo é t2 = x2/c. Por- tanto, A deve emitir um sinal no instante t− t1 e outro no instante t−t2. Cada um dos sinais, ao atingir o alvo, é refletido de volta para A, que receberá estas reflexões nos tempos t+ t1 e t+ t2. A distância entre os eventos pode ser calculada, já que conhecemos os intervalos de tempo e a velocidade da luz. LA = c [(t+ t2)− (t+ t1)] , = c [t2 − t1] = c [x2 c − x1 c ] , = x2 − x1, (11) onde obtemos o resultado esperado, já que as coorde- nadas espaciais de cada evento estavam definidas no referencial A. O referencial B pode utilizar a mesma estratégia para medir a distância entre os dois eventos, cujas coordenadas denotaremos por x′ 1 e x′ 2. Já vimos como relacionar os tempos medidos em cada referencial, e agora utilizaremos este resultado. De acordo com B, a distância seria LB = x′ 2 − x′ 1 = c [t′2 − t′1] . (12) 8Um exemplo semelhante de adição de velocidades pode ser encontrado em [4]. Neste artigo, a autora utiliza os fatores de velocidade, f , (velocity factors), que são bastante semelhantes ao fator K (onde f = K2). Também é apresentada uma relação entre o fator de velocidade e a rapidez, já tradicional na relatividade especial. 9Isto é, adotando o ponto de vista do referencial B, onde A passa a estar em movimento Cálculo K: Uma abordagem alternativa para a relatividade especial 4307-5 Aplicando a relação temporal entre os referenciais LB = c [t′2 − t′1] = c [ t2 γ − t1 γ ] , = 1 γ [x2 − x1] = 1 γ LA. (13) O fator γ é sempre maior ou igual a 1, já que β está sempre entre 0 e 1 (uma consequência do fato que nada pode ter uma velocidade maior do que a velocidade da luz). Então vemos que a distância medida em B por A será sempre menor ou igual à distância medida em A por A. Este resultado coincide com o obtido pela abordagem tradicional [6]. 5. Simultaneidade de eventos Consideremos agora a situação da Fig. (4), onde um observador no referencial A mede a distância entre os eventos P e Q. Figura 4 - Medida dos eventos P e Q por referenciais distintos. Na figura estão indicados os tempos de acordo com o referencial A. Com relação ao referencial A, estes eventos são si- multâneos, já um observador em B mede o seguinte tempo para o evento P t′P = Kt2 = t3 K = 1 2 ( Kt2 + t3 K ) (14) Para o observador em B, o tempo medido para o evento Q é o tempo inicial da contagem (Kt1) mais a metade do tempo que a luz leva para alcançar e retor- nar do evento Q. O sinal parte de B no ponto Kt1 e alcança o ponto t4/K, ou seja, t′Q = 1 2 ( t4 K −Kt1 ) +Kt1 = 1 2 ( t4 K +Kt1 ) . (15) Subtraindo a Eq. (15) da Eq. (14), obtemos t′P − t′Q = 1 2 ( Kt2 + t3 K ) − 1 2 ( t4 K +Kt1 ) , = 1 2 ( K − 1 K ) (t2 − t1) , (16) onde a última igualdade vem da simetria: (t2 − t1) = (t4−t3), de quando A emite os sinais e quando os recebe por reflexão dos mesmos nos eventos P e Q. Agora, a distância que A mede entre os eventos P e Q será exa- tamente xP − xQ = c (t2 − t1) , (17) pois (t2 − t1) é justamente a diferença de tempo en- tre a emissão do primeiro e do segundo sinal luminoso, de maneira que ambos cheguem ao mesmo tempo nos pontos Q e P , respectivamente. Assim, o primeiro feixe terá viajado uma distância xQ − xP a mais que o se- gundo. Substituimos a Eq. (17) na Eq. (16), obtendo t′P − t′Q = 1 2 ( K − 1 K ) (xP − xQ) c , = γv c2 (xP − xQ) . (18) Desta forma, vemos que a menos que os eventos P e Q sejam o mesmo evento, estes não serão simultâneos no referencial B, ao contrário do que acontece no refe- rencial A. Vemos assim que simultaneidade de eventos não é um conceito absoluto na teoria da relatividade especial de Einstein.10 6. As transformações de Lorentz Consideraremos mais uma vez dois referenciais A e B, desta vez medindo as coordenadas de um evento E com coordenadas (t, x) no referencial A. Supondo que A en- via um sinal para E no tempo tA = t − x/c e recebe sua reflexão no tempo tA = t + x/c, tal que o sinal al- cance E no tempo tA = t. A situação envolvendo os dois referenciais pode ser descrita pela Fig. (5). Na Fig. (5) estão as coordenadas temporais para cada um dos referenciais, onde as coordenadas de B estão denotadas por t′ e x′. Supondo que B emite um sinal luminoso no mesmo instante que o sinal de A passa por ele, a reflexão do sinal de B será recebida no mesmo instante que o sinal de A passa novamente por B. 10Para mais detalhes na abordagem tradicional, veja a Ref. [6]. 4307-6 De Conto et al. Figura 5 - O evento E dos pontos de vista dos referenciais A e B. A prinćıpio pode parecer estranho adotar as coorde- nadas (t′−x′/c) e (t′+x′/c) para os tempos de emissão e recepção do sinal de B. Eles implicam que o tempo que o sinal leva para alcançar o evento E, partindo de B, é o mesmo tempo que ele leva para ir de E até B. Como B está se aproximando do evento E, podeŕıamos pensar que o tempo que o sinal leva para ir do evento E até B deveria ser menor. Contudo, se analisarmos a situação do ponto de vista de B, temos que a posição do evento E está se aproximando de B. Uma vez que o sinal atinge esta posição e é refletido tal posição em relação a B não é mais relevante, já que a distância que deve ser percorrida pelo sinal refletido é a distância que separava B e E no instante da reflexão. A poste- rior aproximação da posição de E deixa de ser relevante para o sinal refletido. Da Fig. (5) podemos ver que t′ − x′ c = K ( t− x c ) , (19) t+ x c = K ( t′ + x′ c ) . (20) A Eq. (19) é análoga ao caso onde A emite um sinal para B, onde relacionamos o tempo em que A emite o sinal com o tempo em que B o recebe, de acordo com o que já vimos. Já a Eq. (20) é equivalente à emissão de um sinal de B para A no instante em que B recebe a reflexão do sinal que foi enviado a E. Isolando as coordenadas referentes a B t′ = 1 2K ( t+ x c ) + K 2 ( t− x c ) , = ( K2 + 1 2K ) t− ( K2 − 1 2K ) x c . (21) x′ c = 1 2K ( t+ x c ) − K 2 ( t− x c ) , = ( K2 + 1 2K ) x c − ( K2 − 1 2K ) t. (22) Escrevendo K em função de β t′ = 1√ 1− β2 ( t− β c x ) , = γ ( t− βx c ) . (23) x′ = 1√ 1− β2 (x− βct) , = γ (x− βct) . (24) Estas são as transformações de Lorentz. A dedução tradicional é encontrada na Ref. [6]. 7. Aplicações Duas grandezas relevantes na discussão de problemas em relatividade especial são o momento e a energia. Já sabemos da mecânica clássica que estas quantidades dependem da velocidade do sistema analisado. Isto su- gere que podemos expressar estas quantidades em ter- mos de fatores k. Por exemplo, se estamos analisando o movimento de uma part́ıcula, sempre podemos asso- ciar um fator k a ela e consequentemente sua energia e seu momento dependeriam deste fator k. Sendo assim, podemos agora considerá-las como funções do fator k do sistema. Analisaremos agora o caso de uma part́ıcula em movimento. Isto pode ser representado utilizando a Fig. (3). O referencial A é o referencial de repouso de um observador situado na origem do sistema de coor- denadas e o referencial B é o referencial de repouso da part́ıcula. Como B tem fator k = K, então T = T (K) e p = p(K), onde T e p são a energia cinética e o mo- mento da part́ıcula. Agora suponha que ao invés da part́ıcula se afastar, ela se aproxime do observador com fator k = K−1. Sendo assim, temos que T = T (K−1) e p = p(K−1). Como uma part́ıcula se afastando com fator k = K é equivalente a uma part́ıcula se aproxi- mando com fator k = K−1, pois trata-se apenas de uma inversão da direção da velocidade, temos então p ( 1 K ) = −p(K), (25) T ( 1 K ) = T (K). (26) Sendo assim, obteremos agora alguns resultados im- portantes da relatividade especial. 7.1. O efeito Doppler Consideraremos novamente o caso em que A envia si- nais luminosos para B em intervalos regulares conforme B se afasta de A. Desta vez, os sinais possuirão um Cálculo K: Uma abordagem alternativa para a relatividade especial 4307-7 único comprimento de onda λ (nos casos anteriores isto não era relevante), e o intervalo entre a emissão de cada sinal será o tempo necessário para a luz percor- rer um comprimento de onda, ou seja, o peŕıodo da onda. Como sempre, o intervalo de tempo medido por B será tB = KtA. (27) Em termos da frequência ν tB = K 1 νA . (28) Escrevendo também o tempo em B em função da fre- quência 1 νB = K 1 νA −→ νB = νA K . (29) Escrevendo K em função da velocidade entre os refe- renciais νB = √ 1− β 1 + β νA (30) que é a fórmula para o efeito Doppler relativ́ıstico. No caso em que os referenciais estejam se aproximando, basta trocar K por 1/K, o que é equivalente a trocar o sinal de β. A dedução completa deste efeito pode ser vista nas Refs. [6, 8]. 7.2. O momento relativ́ıstico Considere a colisão entre um fóton e um elétron no re- ferencial de repouso do elétron, que denotaremos por A. Figura 6 - Sistema no referencial de repouso do elétron antes da colisão (referencial A). As condições iniciais do elétron para este referencial são pIe(1) = 0, (31) TIe(1) = 0, (32) onde escrevemos pIe(1) em contraste com p(k), que virá logo a seguir. O momento inicial total pIT do sistema é escrito como pIT = pIf + pIe = νIh c , (33) onde pIf é o momento inicial do fóton, pIe o momento inicial do elétron, νI é a frequência inicial do fóton e h é a constante de Planck. Após a colisão, temos a situação descrita na Fig. (7). Figura 7 - Sistema após a colisão no referencial A. Neste caso, o momento final total pFT do sistema é pFT = pFf + pFe = −νFh c + p(k). (34) onde os ı́ndices subscritos F indicam os valores finais de cada termo. Para este caso, o fator k relaciona o re- ferencial de repouso do elétron antes da colisão com seu referencial de repouso após a colisão. Pela conservação de momento, temos νIh c = −νFh c + p(k), p(k) = h c (νI + νF ) . (35) Consideremos agora um referencial B, o referencial de repouso do elétron após a colisão. Esta situação é ilustrada na Fig. (8). Figura 8 - Na parte superior temos o sistema antes da colisão e na parte inferior após a colisão. O retângulo interno representa o referencial A e o retângulo externo o referencial B. As figuras no retângulo interno representam o ponto de vista do referencial A. Como a velocidade do fóton é superior à velocidade de B em relação à A, temos que antes da colisão o fóton está se aproximando de B e após a colisão ele está se 4307-8 De Conto et al. afastando. Podemos escrever os momentos em relação ao referencial B da seguinte maneira: p′IT = p′If + p′Ie = νIh kc + p ( 1 k ) , (36) p′FT = p′Ff + p′Fe = −νFhk c , (37) onde utilizamos as relações do efeito Doppler rela- tiv́ıstico para reescrever os momentos do fóton. Como no referencial A a velocidade do elétron era nula, antes da colisão, no referencial B ele possui uma velocidade que depende do inverso de k. Já após a colisão, sua velocidade no referencial B é nula, pois estamos no seu referencial de repouso. Utilizando mais uma vez a con- servação do momento − νFhk c = νIh ck + p ( 1 k ) , −p ( 1 k ) = h c (νI k + νF k ) . (38) Contudo, usando a Eq. (25) já que se trata apenas de uma inversão na direção da velocidade, encontramos então que p (k) = h c (νI k + νF k ) . (39) Usando a Eq. (35) podemos escrever h c (νI + νF ) = h c (νI k + νF k ) , νF = νI k . (40) Consideraremos agora um referencial C se afastando de A, tal que o fator de Bondi entre eles seja K. Neste referencial os momentos serão p̄IT = νIhK c + p (K) , (41) p̄FT = −νFh Kc + p (kK) . (42) No momento final do elétron o fator kK representa a dependência do momento em relação a velocidade do elétron em relação a C, o que implica que temos que utilizar a composição de velocidades (lembrando que k depende da velocidade do elétron com relação a A e K depende da velocidade de C com relação a A). Pela conservação do momento νIhK c + p (K) = −νFh Kc + p (kK) . (43) Utilizando as Eqs. (35), (40) e (43) podemos escre- ver p(kK)− p(K) p(k) = νIK + νI(kK)−1 νI + νI(k)−1 , = K2k + 1 K(k + 1) . (44) Se tomarmos o limite de k → 1 no primeiro termo da Eq. (44), encontramos 0/0. Sendo assim, podemos utilizar a regra de L’Hôpital para encontrar lim k→1 p(kK)− p(K) p(k) = lim k→1 p′(K)K p′(k) , = p′(K)K p′(1) , (45) onde p′(K) indica a derivada de p com relação a K. Tomando o mesmo limite para o último termo lim k→1 K2k + 1 K(k + 1) = K2 + 1 2K , (46) que nos leva a p′(K)K p′(1) = K2 + 1 2K , p′(K) = p′(1) K2 + 1 2K2 . (47) Temos que p′(1) é apenas uma constante com dimensão de momento. Agora podemos integrar a equação acima para encontrar p(K) p′(K) = p′(1) K2 + 1 2K2 , K∫ 1 p′(K ′)dK ′ = p′(1) K∫ 1 K ′2 + 1 2K ′2 dK ′, p(K) = p′(1) 2 ( K − 1 K ) . (48) Para o momento na mecânica clássica temos p = mv = mcβ = mc ( k2 − 1 k2 + 1 ) , (49) que não satisfaz as relações da relatividade especial, mas nos mostra que há uma parte dependente da ve- locidade multiplicada por uma constante (neste caso, mc). Como estamos tratando do caso k → 1, o que é equivalente a velocidade tendendo a zero, podemos con- siderar válida a mecânica não relativ́ıstica. Podemos então, supondo a relação da mecânica clássica, calcular p′(k). p′(k) = dp(k) dk = 4mck (k2 + 1) 2 . (50) Assim, lim k→1 dp(k) dk = lim k→1 4mck (k2 + 1) 2 = mc. (51) Substituindo a Eq. (51) na Eq. (48) p(K) = p′(1) 2 ( K − 1 K ) = mc 2 ( K − 1 K ) , = mv√ 1− β2 = γmv, (52) que é a mesma equação relativ́ıstica para o momento encontrada pela abordagem tradicional, sendo v a ve- locidade da part́ıcula. Veja também as Refs. [6] e [5]. Cálculo K: Uma abordagem alternativa para a relatividade especial 4307-9 7.3. A energia cinética relativ́ıstica Vimos que na colisão do fóton com o elétron a variação de energia do fóton foi ∆E = hνF − hνI (53) Como o elétron estava em repouso antes da colisão, conclúımos que −∆E é a energia cinética do elétron. Usando as Eqs. (39), (40) e (52) podemos escrever a energia cinética T (k) do elétron como T (k) = ( k − 1 k + 1 ) cp(k) = mc2 (k − 1) 2 2k , = mc2 ( k2 + 1 2k − 1 ) , = mc2 (γ − 1) . (54) Esta é a mesma expressão obtida pela maneira usual [9]. 7.4. A energia total relativ́ıstica Consideremos uma colisão entre duas part́ıculas de mesma massa no centro de momento destas (ou seja, velocidades v e −v), de modo que após a colisão as part́ıculas se mantenham unidas em uma única part́ıcula de massa M . Neste caso, podemos escrever os momentos como pIT = p (k) + p ( 1 k ) = 0, (55) onde k é o fator que relaciona o referencial de repouso de cada part́ıcula com o referencial do centro de mo- mento do sistema. Neste referencial, após a colisão, temos uma única part́ıcula parada, ou seja, pFT = p̄(1) = 0. (56) Considerando agora um novo referencial S′, com fa- tor K em relação ao referencial do centro de momento, podemos reescrever os momentos finais e iniciais da se- guinte maneira pIT = p (kK) + p ( K k ) , (57) pFT = p̄(K), (58) que é o momento de uma part́ıcula de massa M ′ = M ′(m). Utilizando a equação relativ́ıstica do momento, po- demos reescrever as Eqs. (57) e (58) como pIT = mc 2 ( k + 1 k )( K − 1 K ) , (59) pFT = M ′c 2 ( K − 1 K ) . (60) Como os momentos iniciais e finais são idênticos, podemos encontrar a relação M ′ = m ( k + 1 k ) (61) Vemos que a massa da part́ıcula formada depois da colisão depende das velocidades das part́ıculas ini- ciais e que é maior ou igual à soma das massas des- tas mesmas part́ıculas, algo não verificável na mecânica clássica. Notamos também que a energia total, quando apenas considerada a soma das energias cinéticas das part́ıculas, não é conservada, apesar de não considerar- mos dissipações de energia. Sendo assim, para manter- mos a conservação de energia total, consideraremos que a energia total seja a energia cinética relativ́ıstica acres- cida de um termo α, dependente das velocidades, isto é, α = α(k), por enquanto desconhecido. Para compreen- dermos este parâmetro, faremos algumas considerações sobre ele. Sabemos que a energia deve independer do sentido do movimento da part́ıcula, ou seja, ET (k) = ET ( 1 k ) . (62) Como ET (k) = T (k) + α(k) e T (k−1) = T (k) (Eq. (26)), então α (k) = α ( 1 k ) . (63) Agora podemos determinar a energia total. A ener- gia inicial é dada por EIT = T (kK) + α (kK) + T ( K k ) + α ( K k ) , = mc2 2 ( kK + 1 kK + k K + K k ) + α (kK) + α ( K k ) − 2mc2, (64) e a energia final fica EFT = T (K) + ᾱ (K) , EFT = mc2 2 ( kK + 1 kK + k K + K k ) − M ′c2 + ᾱ(K), (65) onde, na energia final, já utilizamos a relação entre m e M ′ (também note a diferença entre α e ᾱ). Como estas energias são iguais, vemos que M ′c2 − 2mc2 = ᾱ(K)− α (kK) − α ( K k ) . (66) Para entendermos melhor o comportamento destas funções α e ᾱ consideraremos o caso onde as part́ıculas estão paradas uma em relação à outra. Para isto, basta tomarmos o limite da Eq. (66) para k → 1. lim k→1 ( M ′c2 − 2mc2 ) = lim k→1 ( ᾱ(K)− α (kK) − α ( K k )) , 2α (K) = ᾱ (K) , (67) 4307-10 De Conto et al. pois, usando a Eq. (61) temos lim k→1 M ′c2 = 2mc2. (68) Vemos que ᾱ, a função correspondente à part́ıcula formada após a colisão, é sempre o dobro da função α correspondente a cada uma das part́ıculas iniciais. Agora, ao invés de considerarmos as part́ıculas para- das, retornaremos ao referencial do centro de momento. Neste caso, o limite a ser tomado é K → 1 lim K→1 ( M ′c2 − 2mc2 ) = lim K→1 ( ᾱ(K)− α (kK) − α ( K k )) , 2α(1) + 2mc2 = 2α (k) + mc2 ( k + 1 k ) , (69) onde usamos as Eqs. (61), (63) e (67). Pode-se verificar que a Eq. (69) é a equação de con- servação de energia para o referencial do centro de mo- mento (afinal, partimos da equação de conservação de energia do referencial S′ e levamos este referencial ao re- ferencial do centro de momento). A partir da Eq. (69), podemos considerar as seguintes possibilidades: (1) 2α(k) = −mc2 ( k + k−1 ) e 2α(1) = −2mc2. (2) 2α(1) = mc2 ( k + k−1 ) e 2α(k) = 2mc2. Contudo, ao considerarmos a primeira opção encon- tramos que ET (k) = 2 (T (k) + α(k)) = −2mc2, (70) isto é, obtemos uma energia total negativa, o que é fi- sicamente inaceitável para o nosso caso. Considerando a segunda opção temos que ET (k) = 2 (T (k) + α(k)) = mc2 ( k + 1 k ) . (71) Agora temos uma energia total positiva, o que é aceitável. Ainda podemos observar que α(k) = mc2 = cte. (72) Esta quantidade depende apenas da massa da part́ıcula, independendo do seu movimento com relação ao seu re- ferencial de repouso. Conclúımos então que se trata da energia de repouso da part́ıcula, isto porque, mesmo quando a energia cinética é nula, este termo ainda per- manece. Finalmente, podemos escrever a energia total de uma part́ıcula de massa m como ET (k) = T (k) + α(k) = mc2 (γ − 1) +mc2 = γmc2. (73) recuperando o resultado já conhecido da relatividade restrita. O mesmo pode ser visto na Ref. [9]. 8. Conclusão Neste artigo utilizamos apenas os postulados da rela- tividade especial e as relações entre as medidas de in- tervalos de tempo entre diferentes referenciais inerciais, por meio da troca de sinais luminosos. Estas consi- derações levaram-nos ao fator K e consequentemente aos mesmos resultados obtidos por Bondi, Hermann Bondi. Além dos resultados mais básicos, como di- latação temporal e contração espacial, tanto o momento relativ́ıstico quanto a energia total relativ́ıstica pude- ram ser deduzidos a partir de experimentos mentais. Apesar de termos deduzido estes resultados por meio do formalismo do cálculo K, mostramos suas relações com os resultados advindos da abordagem tradicional da relatividade restrita. Algumas vantagens do cálculo K são a sua simpli- cidade matemática e a maneira com que os conceitos f́ısicos se tornam expĺıcitos, facilitando a compreensão dos efeitos relativ́ısticos. Por estas vantagens, acredi- tamos que o cálculo K pode ser utilizado para um pri- meiro contato com a teoria da relatividade. Além do mais, este método não se restringe apenas ao entendi- mento da teoria, possuindo também aplicações [10]. Agradecimentos Os autores agradecem ao Prof. Dr. Bruto Max Pimen- tel Escobar por suas sugestões e à CAPES pelo apoio financeiro. Referências [1] J. Stachel, O Ano Miraculoso de Einstein: Cinco Ar- tigos que Mudaram a Face da F́ısica (Editora UFRJ, Rio de Janeiro, 2005), 2a ed. [2] A. Einstein, H.A. Lorentz e H. Minkowski, Textos Fun- damentais da F́ısica Moderna (Fundação Calouste Gul- benkian, Lisboa, 1972), v. 1. [3] H. Bondi, Relatividade e Bom Senso: Um Novo Enfo- que das Ideias de Einstein (Herder, São Paulo, 1971), 1a ed. [4] A.T. Wilson, America Journal of Physics 75, 799 (2007). [5] K.D. MAchado, Teoria do Eletromagnetismo (Editora UEPG, Ponta Grossa, 2002), v. 2. [6] H.M. Nussenzveig, Curso de F́ısica Básica (Editora Blucher, São Paulo, 1998), 1a ed., v. 4. [7] C.E. Dolby and S.F. Gull, America Journal of Physics 69, 1257 (2001). [8] J.D. Jackson, Classical Electrodynamics (John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, 1999), 3a ed. [9] S. Vieira, A. Barros, I. Araújo e J.C.T. Oliveira, Re- vista Brasileira de Ensino de F́ısica 26, 93 (2004). [10] A. Dasgupta, European Journal of Physics 28 , 817 (2007).