
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira

Prinćıpios da Supressão de Vibrações Mecânicas:
Amortecimento Quadrático, Atrito de Coulomb e Barra com

Memória de Forma

Natália Sayuri Masunaga

Trabalho de Graduação

Orientador: Douglas Domingues Bueno

Área de Pesquisa: Vibrações Mecânicas

UNESP

Ilha Solteira - SP

Junho 2021


CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

“Prinćıpios da Supressão de Vibrações Mecânicas:

Amortecimento Quadrático, Atrito de Coulomb e Barra com

Memória de Forma”

Natália Sayuri Masunaga

Orientador: Douglas Domingues Bueno

Trabalho de Graduação apresentado à Fa-

culdade de Engenharia - UNESP – Campus

de Ilha Solteira, para cumprimento de requi-

sito para obtenção do Grau de Engenheira

Mecânica.


Resumo

Diferentes ńıveis de vibrações e rúıdos podem ocorrer durante o funcionamento de siste-

mas mecânicos. Para garantir o desempenho requerido do sistema mecânico, para diversas

aplicações é necessário assegurar que ocorra a dissipação de energia vibratória. Para isso,

várias técnicas de controle passivo de vibrações têm sido propostas, por exemplo envolvendo

o uso de materiais viscoelásticos. Por outro lado, além dos clássicos efeitos de dissipação

por amortecimento e atrito, no contexto dos materiais inteligentes, as ligas com memória de

forma (LMF) vêm sendo investigadas em aplicações de diversos sistemas de engenharia. O

presente trabalho compreende uma investigação dos fundamentos da supressão de vibrações

mecânicas utilizando três diferentes formas de dissipar energia. São apresentadas as metodo-

logias utilizadas e as respostas no domı́nio do tempo para a realização de análises de sistemas

com amortecimento passivo. Considera-se o amortecimento viscoso quadrático, o atrito de

Coulomb e o uso de barra com liga com memória de forma. Os modelos propostos são repre-

sentados em espaço de estados e resolvidos utilizando o método Runge-Kutta 4ª ordem. São

apresentadas simulações computacionais para discutir os efeitos de cada uma das forças de

dissipação nas vibrações de um sistema massa mola de um grau de liberdade. Os resultados

obtidos ilustram os potenciais destes materiais para dissipação de vibração.

Palavras-chave: Supressão de vibrações. Amortecimento viscoso quadrático. Atrito de Cou-

lomb. Ligas com memória de forma.

Abstract

Different levels of vibrations and noise can occur when operating mechanical systems. To

guarantee the required performance of the mechanical system, for several applications it is

necessary to ensure that the dissipation of vibratory energy occurs. For this, several passive

vibration control techniques have been proposed, for example, using viscoelastic materials.

On the other hand, in addition to the classic damping and friction dissipation effects, in

the context of intelligent materials, shape memory alloys (SMA) have been investigated in

applications of various engineering systems. The present work comprises an investigation of

the fundamentals of mechanical vibration suppression using three different ways to dissipate

energy. The methodologies used and the answers in the time domain for performing analysis

of systems with passive damping are presented. Viscous damping is considered quadratic,

Coulomb friction, and the use of alloy bar with shape memory. The proposed models are

represented in state space and solved using the Runge-Kutta 4th order method. Computer

simulations are presented to discuss the effects of each of the dissipation forces on the vibrations

of a spring-mass system of one degree of freedom. The results obtained illustrate the potentials

of these materials for vibration dissipation.

Key words: Vibration suppression. Quadratic viscous damping. Coulomb friction. Shape

memory alloy.


Lista de Figuras

2.1 Sistema de um grau de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Correlação do histórico de tensão-deformação para condição adiabáticas e isotérmicas

com valores de tensão e deformação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Correlação do histórico de tensão-deformação para condição adiabáticas e isotérmicas

com nomenclatura nas regiões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Correlação do histórico de tensão-deformação para um ciclo incompleto de car-

regamento com “minor loop loading” representada pela linha vermelha com

flechas indicadas e “major loop loading” representada pela linha preta. . . . . . 8

2.5 Adaptado de de Sousa (2016). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6 Adaptado de de Sousa (2016). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.7 Adaptado de de Sousa (2016). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.8 Variação da fração volumétrica de fase martenśıtica em função da deformação. 13

2.9 Variação do módulo de elasticidade em função da fração volumétrica de fase

martenśıtica. A linha vermelha decresce de 70GPa para 30GPa, enquanto a

linha tracejada percorre o sentido oposto na mesma direção. . . . . . . . . . . 14

3.1 Sistema de um grau de liberdade com amortecedor, sendo k a rigidez da mola,

m a massa do sistema, c o amortecimento, x(t) o deslocamento da massa e x0(t)

o deslocamento da base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Deslocamento e velocidade de um sistema massa, mola e amortecedor corres-

pondente à atuação de uma função impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Deslocamento e velocidade de um sistema massa, mola e amortecedor corres-

pondente à atuação de uma força uc(t) = F0sen(ωt) enquanto t < 15s para F0

= 0,01 e f = 0,5Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Força de Amortecimento Quadrático em função do tempo para F0 = 0,01,

f = 1Hz, A = 0,01, C1 = 0,5 e C2 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5 Força de Amortecimento Quadrático em função do deslocamento para F0 =

0,01, f = 1, A = 0,01, C1 = 0,5 e C2 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.6 Força de Atrito de Coulomb em função do tempo para F0 = 0,01, f = 2Hz,

A = 0,01, µ1 = 0,5 e µ2 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.7 Força de Atrito de Coulomb em função do deslocamento para F0 = 0,01, f =

2Hz, A = 0,01, µ1 = 0,5 e µ2 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22


3.8 Sistema de um grau de liberdade com barra de liga com memória de forma

(LMF), sendo k a rigidez da mola, m a massa do sistema, x(t) o deslocamento

da massa e x0(t) o deslocamento da base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.9 Correlação do histórico de tensão-deformação para condição adiabáticas e isotérmicas,

considerando deformação positiva correspondente à cada valor do vetor de tem-

peratura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.10 Correlação do histórico de tensão-deformação para condição adiabáticas e isotérmicas,

considerando deformação positiva correspondente à T = As = 296K. . . . . . . 25

3.11 Correlação do histórico de tensão-deformação para condição adiabáticas e isotérmicas

correspondente à cada valor do vetor de temperatura. . . . . . . . . . . . . . . 26

3.12 Correlação do histórico de força-deformação para condição adiabáticas e isotérmicas

considerando cinética de transformação pelo método Tanaka e Nagaki corres-

pondente à cada valor do vetor de temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1 Deslocamento e Fnl de um sistema massa, mola e amortecedor considerando

Força de Atrito de Coulomb para c = 2
√
mk, f = 0,5Hz, fn = 1, A = 0,01,

xs(t) = Asin(ωt) e µ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Velocidade e Aceleração de um sistema massa, mola e amortecedor considerando

Força de Atrito de Coulomb para c = 2
√
mk, f = 0,5Hz, fn = 1, A = 0,01,

xs(t) = Asin(ωt) e µ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3 Deslocamento de um sistema massa, mola e amortecedor considerando Força

de Atrito de Coulomb e para F0 = 0,01, f = 0,5Hz, A = 0,01, c = 0, xs(t) =

Asin(ωt), µ1 = 1 e µ2 = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.4 Velocidade e Aceleração de um sistema massa, mola e amortecedor considerando

Força de Atrito de Coulomb e para F0 = 0,01, f = 0,5Hz, A = 0,01, c = 0,

xs(t) = Asin(ωt), e diferentes valores de µ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.5 Aceleração de um sistema massa, mola e amortecedor considerando Força de

Atrito de Coulomb e para F0 = 0,01, f = 0,5Hz, A = 0,01, c = 0, xs(t) =

Asin(ωt), e µ1 = 0,05, µ2 = 2µ1, µ3 = 2µ2, µ4 = 2µ3 e µ5 = 2µ4. . . . . . . . 30

4.6 Magnitude da variação da aceleração para diferentes valores de µ (representados

pela incógnita n). Os quadrados representam o pico máximo da aceleração e

as bolinhas a aceleração mı́nima durante a transição para um dado instante de

tempo t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.7 Plano fase considerando Força de Atrito de Coulomb para c = 0, f = 0,5Hz,

fn = 1Hz, A = 0,01, xs(t) = Asin(ωt), µ1 = 1 e µ2 = 2. . . . . . . . . . . . . . 31

4.8 Curva de Histerese da Força de Atrito de Coulomb para c = 0, f = 0,5Hz,

fn = 1Hz, A = 0,01, xs(t) = Asin(ωt), µ1 = 1 e µ2 = 2. . . . . . . . . . . . . . 32

4.9 Comportamento dinâmico da Força de Atrito de Coulomb para c = 0, f =

0,5Hz, fn = 1Hz, A = 0,01, xs(t) = Asin(ωt), µ1 = 1 e µ2 = 2. . . . . . . . . . 32

4.10 Deslocamento de um sistema massa, mola e amortecedor considerando Força

de Amortecimento Quadrático para f = 0,5Hz, fn = 1Hz, A = 0,01, xs(t) =

Asin(ωt) e C = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


4.11 Deslocamento, Velocidade e Aceleração de um sistema massa, mola e amor-

tecedor considerando Força de Amortecimento Quadrático para f = 0,5Hz,

fn = 1Hz, A = 0,01, xs(t) = Asin(ωt) e C = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.12 Deslocamento de um sistema massa, mola e amortecedor considerando Força

de Amortecimento Quadrático e para c = 0, f = 0,5Hz, fn = 1Hz, A = 0,1,

xs(t) = Asin(ωt), C1 = 10 e C2 = 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.13 Velocidade e Aceleração de um sistema massa, mola e amortecedor considerando

Força de Amortecimento Quadrático e para c = 0, f = 0,5Hz, fn = 1Hz,

A = 0,1, xs(t) = Asin(ωt), C1 = 10 e C2 = 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.14 Plano fase considerando Força de Amortecimento Quadrático para c = 0, f =

0,5, fn = 1, A = 0,1, xs(t) = Asin(ωt), C1 = 10 e C2 = 20. . . . . . . . . . . . 35

4.15 Deslocamento considerando Força de Amortecimento Quadrático e Força de

Atrito de Coulomb para c = 0, f = 0,5Hz, fn = 1Hz, A = 0,02 e xs(t) =

Asin(ωt). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.16 Velocidade considerando Força de Amortecimento Quadrático e Força de Atrito

de Coulomb para c = 0, f = 0,5Hz, fn = 1Hz, A = 0,02 e xs(t) = Asin(ωt). . . 36

4.17 Aceleração considerando Força de Amortecimento Quadrático e Força de Atrito

de Coulomb para c = 0, f = 0,5Hz, fn = 1Hz, A = 0,02 e xs(t) = Asin(ωt). . . 37

4.18 Aceleração e velocidade considerando Força de Amortecimento Quadrático e

Força de Atrito de Coulomb para c = 0, f = 0,5Hz, fn = 1Hz, A = 0,02 e

xs(t) = Asin(ωt). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.19 Curva de Histerese considerando Força de Amortecimento Quadrático e Força

de Atrito de Coulomb para c = 0, f = 0,5Hz, fn = 1Hz, A = 0,02 e xs(t) =

Asin(ωt). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.20 Força de Amortecimento Quadrático para C1 e diferentes sinais. . . . . . . . . . 38

4.21 Espectro da Força de Amortecimento Quadrático sem e com o método de jane-

lamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.22 Espectro da Força de Atrito de Coulomb sem e com o método de janelamento. 39

4.23 Espectro do deslocamento em função da frequência considerando Força de

Amortecimento Quadrático para C1, c = 0,5 e fn = 0,5Hz. . . . . . . . . . . . 40

4.24 Espectro do deslocamento em função da frequência considerando Força de

Atrito de Coulomb para C1, c = 0,5 e fn = 0,5Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.25 Forças externas apresentadas, sendo uc,1 = Asen(ωt) e uc,2 = A1sen(ω1t) +

A2sen(ω2t) +A3sen(ω3t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.26 Força externa apresentada, sendo uc,3 = N(µ, σ2). . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.27 Deslocamento do sistema considerando Força de Amortecimento Quadrático,

sendo uc,1 = Asen(ωt), uc,2 = A1sen(ω1t) + A2sen(ω2t) + A3sen(ω3t) e uc,3 =

random.gauss(µ, σ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.28 Plano fase sob Força de Amortecimento Quadrático considerando forças exter-

nas senoidais e randômica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.29 Curva de histerese da força de amortecimento quadrática considerando forças

externas senoidais e randômica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


4.30 Correlação do histórico de deformação-tempo para condição adiabáticas e isotérmicas

considerando cinética de transformação pelo método Tanaka e Nagaki. . . . . . 45

4.31 Correlação do histórico de força-tempo para condição adiabáticas e isotérmicas

considerando cinética de transformação pelo método Tanaka e Nagaki. . . . . . 46

4.32 Correlação do histórico de deslocamento-tempo para condição adiabáticas e

isotérmicas considerando cinética de transformação pelo método Tanaka e Na-

gaki. As linhas cinzas representam y(t) e as vermelhas, x(t). . . . . . . . . . . . 47

4.33 Correlação do histórico de deslocamento-tempo para condição adiabáticas e

isotérmicas considerando cinética de transformação pelo método Tanaka e Na-

gaki para caso 2, considerando f = 50Hz e m = 500kg. A linha vermelha de

menor magnitude representa o deslocamento da massa, e a linha cinza de maior

amplitude representa o deslocamento da base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.34 Correlação do histórico de força-deformação para condição adiabáticas e isotérmicas

considerando cinética de transformação pelo método Tanaka e Nagaki para caso

1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.35 Correlação do histórico de força-deformação para condição adiabáticas e isotérmicas

considerando cinética de transformação pelo método Tanaka e Nagaki para caso

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.36 Correlação do histórico de força-deformação para condição adiabáticas e isotérmicas

considerando cinética de transformação pelo método Tanaka e Nagaki para caso

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.37 Correlação do histórico de força-deformação para condição adiabáticas e isotérmicas

considerando cinética de transformação pelo método Tanaka e Nagaki para caso

4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.38 Correlação do histórico de deslocamento-tempo considerando sistema massa-

mola-amortecedor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51


Lista de Tabelas

3.1 Propriedades termodinâmicas da liga com memória de forma. . . . . . . . . . . 23

3.2 Propriedades termodinâmicas da liga com memória de forma. . . . . . . . . . . 23

3.3 Valores de tensão e deformação para os pontos de As, Ms, Mf e Af , sendo σ

dado em 108 Pa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1 Propriedades da liga com memória de forma de acordo com as referências en-

contradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Propriedades da liga com memória de forma conforme os casos analisados. . . . 44

A.1 Determinação das constantes de transformação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58


Sumário

1 Introdução 1

1.1 Objetivos do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Principais Contribuições Alcançadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Revisão Bibliográfica e Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Estrutura do Documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Forças Dissipativas 5

2.1 Amortecedores Quadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Atrito de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Ligas com Memória de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.1 Equacionamento da Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.2 Modelos com cinética de transformação de fase assumida . . . . . . . . 11

3 Supressão de Vibrações 17

3.1 Força de Amortecimento Quadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Força de Atrito de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Força da Barra de Liga com Memória de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Resultados e Discussões 28

4.1 Sub-Amortecimento da Força de Atrito de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Sub-Amortecimento da Força de Amortecimento Quadrático . . . . . . . . . . . 32

4.3 Atuação Simultânea das Forças de Atrito de Coulomb e Amortecimento Quadrático 35

4.4 Resposta do sistema aplicando forças internas distintas . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4.1 Determinação das forças internas a serem aplicadas no sistema . . . . . 38

4.5 Resposta do Sistema Aplicando Forças Externas Distintas . . . . . . . . . . . . 41

4.5.1 Determinação das forças externas a serem aplicadas no sistema . . . . . 41

4.6 Sistema de Um Grau de Liberdade Contendo Elemento de Liga com Memória

de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.7 Comparação Entre Amortecimento do Sistema Massa-mola e com Liga com

Memória de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Conclusão 52

5.1 Sugestões para Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Referências Bibliográficas 54


A Tensão durante a Transformação Direta e Reversa 57

A.1 Modelo simplificado para liga com memória de forma pseudo-elástica . . . . . . 57

B Definição das Matrizes para a Equação do Movimento 59


1

Introdução

Na busca por estruturas adaptativas mais eficientes para controle de rúıdo e vibrações

pode-se identificar a necessidade de aplicação de materiais inteligentes como os materiais pie-

zoelétricos, os fluidos magnetoreológicos e as ligas com memória de forma, ou Shape Memory

Alloys. No geral, as técnicas de controle podem ser passivas ou ativas. Sistemas de controle

ativo usam os materiais inteligentes como atuadores para produzir um sinal de atenuação

externo que reduza a vibração. Sistemas de controle passivo são favorecidos da dissipação da

energia de vibração sem que ocorra o aumento da energia total do sistema. Em técnicas de

controle passivo, alterações de rigidez mecânica e massa estrutural, frequência de operação

e temperatura de operação, impactam significativamente na resposta do sistema em estudo

(Ogata 2010). A principal desvantagem dos sistemas passivos é a falta de adaptação a al-

terações no comportamento dinâmico do sistema vibratório durante sua operação (Rodriguez

2014).

No contexto das técnicas de controle passivo, o presente trabalho apresenta uma inves-

tigação de estratégias que podem ser empregadas para supressão de vibrações, envolvendo o

uso dos amortecedores quadráticos, amortecedores de atrito seco, ou de Coulomb, e ligas com

memória de forma.

Amortecedores quadráticos, ou de fluido viscoso, têm sido utilizados para aumentar o

amortecimento passivo de sistemas estruturais, uma vez que este material é amplamente utili-

zado na prática da engenharia por ser robusto e eficaz no controle de vibrações. Seu prinćıpio

de funcionamento é baseado no escoamento de fluido por orif́ıcios que resultam na dissipação

da energia. Amortecedores viscoelásticos passaram a ser utilizados na indústria aeronáutica e

aeroespacial, tendo como um dos principais autores, Ferry (1961). Mahmoodi (1969) projetou

o amortecedor viscoelástico utilizado no World Trade Center em Nova Iorque. Em cada uma

das torres de 110 andares, foram projetados 10.000 dispositivos amortecedores viscoelásticos.

Amortecedores de atrito seco, ou atrito de Coulomb, são dispositivos constrúıdos para que

duas superf́ıcies de contato deslizem uma em relação a outra e dissipem a energia, através da

intensidade da força normal e fricção entre elas. Assim, os parâmetros básicos que governam

o comportamento do sistema são a força normal e o coeficiente de atrito entre as superf́ıcies

de contato (Federico 2008). Popp (2004) recomenda classificar os mecanismos por atrito

em função do tipo de contato entre as peças do dispositivo, a qual depende do: tamanho

da interface de contato, função do contato, tipo de força normal de contato, propriedades do


2

contato na direção normal e deslizamento em direção tangencial. Mecanismos de atrito podem

ser utilizados em osciladores dinâmicos com um grau de liberdade, ou até mesmo na indústria

aeroespacial.

O efeito pseudoelástico das ligas com memória de forma permite que o material apresente

recuperação das suas dimensões iniciais quando submetido à taxa de formação de até 8%,

caracteŕıstico de seu comportamento histerético, que resulta em uma alta capacidade de dis-

sipação de energia. Para analisar o comportamento dinâmico das ligas com memória de forma,

simulações numéricas e experimentos são realizados com sistemas compostos por fios, barras

e molas. A memória de forma permite ao elemento mudar de forma através de est́ımulos

externos como a temperatura (Buehler 1968), campo magnético (Kiefer 2005) e outras formas

de excitação (Meng 2013). Dentre os diferentes tipos de materiais que apresentam o com-

portamento de memória de forma, têm-se os poĺımeros de memória de forma e as ligas com

memória de forma (como CuAlBe, CuZnAl, CuAlZnMn e ligas de NiTi). As ligas de NiTi

apresentam propriedades atrativas e são amplamente utilizadas na indústria e na academia

(Ferry 1961).

As ligas com memória de forma possuem uma ramificação de aplicações industriais, dentre

elas a aplicação em absorvedores de vibração, onde seu comportamento histerético é utilizado

para reduzir ńıveis de rúıdo e vibrações em sistemas mecânico; aplicação médica, que pode

ser associada a sua biocompatibilidade em odontologia; e aeronáutica, com foco nos efeitos da

histerese pseudoelástica das molas com memória de forma nos comportamentos de fenômenos

aeroelástico, como flutter e pós-flutter da seção t́ıpica de asa (de Sousa 2016). A literatura

também inclui o uso de ligas com memória de forma para modificar o comportamento de

sistemas aeroelásticos. Tawfik & Ro (2002) apresenta o comportamento aeroelástico de painéis

reforçados com liga de memória de forma, e Yun (2006) apresenta o aumento de estabilidade em

pás de rotores de helicóptero através da empregabilidade de amortecimento passivo histerético

proveniente de molas de liga de memória de forma.

1.1 Objetivos do Trabalho

O principal objetivo deste trabalho é a investigação dos diferentes sistemas de amortecimento

para controle passivo de vibrações de um sistema de um grau de liberdade contendo amorte-

cimento quadrático, amortecimento por atrito de Coulomb, ou uma barra de liga de memória

de forma.

1.1.1 Principais Contribuições Alcançadas

• Estudo dos principais modelos de sistemas de amortecimento utilizados no controle

passivo de vibrações.

• Comparações da capacidade dissipativa dos amortecedores quadráticos, atrito de Cou-

lomb e barra de liga de memória de forma acoplados a um sistema massa mola de um grau de

liberdade.


3

1.2 Revisão Bibliográfica e Motivação

Nas últimas décadas, foi amplamente utilizado a combinação dos efeitos das ligas com

memória de forma com outros dispositivos sensoriais e ao controle de vibração e rúıdo de sis-

temas mecânicos. Desta forma, modelos constitutivos tem sido desenvolvidos para representar

o comportamento pseudoelástico destes materiais.

No trabalho de Aseka (2008) calcula-se a resposta de sistemas dinâmicos com amorteci-

mento viscoelástico. Usa-se a metodologia desenvolvida para resolver problemas dinâmicos

viscoelásticos com o uso da resposta impulso em sistemas concentrado e em um sistema dis-

tribúıdo como uma viga de Euler-Bernoulli.

No trabalho de Rodriguez (2014) é analisado o efeito de amortecedores de atrito seco sobre

o comportamento dinâmico de um sistema vibratório de um grau de liberdade e é desenvolvido

uma metodologia experimental para identificar as propriedades f́ısicas dos amortecedores de

atrito. São projetados dois dispositivos de atrito, onde no primeiro a força normal de contato

é constante e no segundo varia-se a intensidade da força normal. Em ambos são observados a

resposta do sistema dinâmico no domı́nio do tempo.

Paiva & Savi (2005) apresentam o equacionamento matemático de alguns importantes mo-

delos constitutivos, dentre eles o modelo tridimensional de Fremond (1987,1996), que repre-

sentam o comportamento termomecânico de ligas com memória de forma. O modelo utilizado

no estudo considera diferentes fases e diferentes parâmetros referentes a cada uma das fases.

As simulações numéricas para validar o modelo proposto submetem uma liga de Ni-Ti sob

diferentes cargas termo-mecânicas considerando um modelo constitutivo de uma dimensão. A

inclusão de uma constrição estabelece que a martensita reticulada não existe na ausência de

tensão, e que a transformação de fase ocorre devido ao fenômeno da expansão térmica.

Lagoudas & Khan (2001) introduzem elementos de liga de memória de forma em dispo-

sitivos dissipadores de energia e simula um dispositivo de um grau de liberdade utilizando o

modelo constitutivo simplificado para o efeito pseudoelástico. O modelo simplificado é um

conjunto de equações consitutivas lineares dependentes da deformação e histórico de carrega-

mento, e com ele é posśıvel predizer a resposta do material similar a um modelo polinomial

para carregamentos pseudoelásticos sob condições isotérmicas.

Liang & Rogers (1997) demonstraram numericamente e experimentalmente a eficiência de

uma mola composta por fios de Ni-Ti em controlar passivamente os ńıveis de vibração de

uma viga. Além disso, diferentes casos foram estudados para comprovar que o amortecimento

histerético resultante do comportamento pseudoelástico da liga de memória de forma pode

ser utilizado em controle de vibrações passivas ou adaptativas. No caso 1, explora-se a sua

alta capacidade de amortecimento uma vez que seu módulo de elasticidade pode alcançar

80GPa. No caso 2, demonstra-se que a liga de memória de forma difere de amortecedores

convencionais, como a borracha, que possui taxas de amortecimento altas quando submetida

a tensões de cisalhamento. As ligas possuem caracteŕısticas de amortecimento semelhantes

quando submetidas à compressão, tração ou cisalhamento. No caso 3, evidencia-se o uso

da mola de liga de memória de forma como um elemento de controle de rigidez variável

considerando duas constantes de mola, uma para austenita em alta temperatura e outra para

a martensita em baixa temperatura. No caso 4, a sua tensão de recuperação pode ser utilizado


4

em controle ativo de vibrações.

Além das referências apresentadas, são conhecidas as dissertações e teses defendidas porAguiar

(2001), Maesta (2012), de Carvalho (2014), de Oliveira (2008), Carvalho (2017) e Neto (2012),

Lima (2015) as quais também foram estudadas para elaborar o presente trabalho.

1.3 Estrutura do Documento

Além deste caṕıtulo introdutório, este trabalho de graduação compreende mais 4 caṕıtulos

organizados da seguinte forma:

O Caṕıtulo 2 é dedicado à modelagem matemática dos amortecedores quadráticos, de

atrito de Coulomb e por ligas com memória de forma, bem como a apresentação dos diferentes

equacionamento referentes à barra e liga de memória de forma. Também são apresentados os

métodos de transformação de fase na liga de memória de forma.

O Caṕıtulo 3 apresenta a metodologia utilizada para simular os equacionamentos propostos

no Caṕıtulo II. O espaço de estados é apresentados e o método de Runge-Kutta 4ª ordem é

utilizado para resolver as equações diferenciais numericamente. A força de amortecimento

quadrática, por atrito de Coulomb e por liga de memória de forma são avaliadas.

O Caṕıtulo 4 é dedicado aos resultados e discussões obtidos através de simulação numérica

para obter a resposta do sistema sob atuação da força de amortecimento quadrática, de atrito

de Coulomb e liga de memória de forma. Considera-se diferentes forças internas e externas

para avaliar a resposta do sistema sob diferentes amortecimentos e por fim, compara-se o

amortecimento em massa-mola-amortecedor e massa-mola-barra de liga de memória de forma.

O Caṕıtulo 5 apresenta as conclusões gerais do trabalho, e sugestões para trabalhos futuros.


2

Forças Dissipativas

Um dos resultados mais importantes obtido da 2ª lei de Newton é o teorema do trabalho-

energia, que estabelece a maneira pela qual o trabalho W realizado sobre uma part́ıcula é

convertido em energia cinética. A capacidade que uma força tem de realizar trabalho está

relacionada com os conceitos de forças conservativas e não-conservativas (Young & Freedman

2015). Uma força é conservativa se o trabalho realizado sobre uma part́ıcula, que se move

entre dois pontos distintos, depende somente desses pontos e não da trajetória percorrida. A

força gravitacional e a força elástica são exemplos de forças conservativas. Quando o trabalho

realizado depende da trajetória percorrida, tem-se a força não-conservativa, a qual está rela-

cionada à existência das forças dissipativas. Amortecedores quadráticos, atrito de coulomb e

as ligas com memória de forma são exemplos clássicos de força dissipativa (Inman 2001).

A Fig. 2.1 apresenta a ilustração de um sistema massa mola de um grau de liberdade,

sendo m a massa do sistema, k a rigidez da mola, x(t) o deslocamento do sistema, x0(t)

o deslocamento da base (que pode ser nulo ou fixo) e uc(t) a entrada de excitação (força

externa). Também, fnl(t) representa a força não linear que, neste trabalho, pode ser de: i)

amortecimento quadrático, ii) atrito de Coulomb ou iii) liga com memória de forma.

x(t)
u (t)c

nl
ck

m

x (t)
0

F  (t)

Figura 2.1: Sistema de um grau de liberdade.

Aplicando-se a Segunda Lei de newton no sistema da Fig. 2.1, obtém-se a Eq. 2.1.

mẍ(t) + c[ẋ(t)− ẋ0(t)] + k[x(t)− x0(t)] + Fnl(t) = uc(t) (2.1)

uma vez que a base possui massa despreźıvel.


6

2.1 Amortecedores Quadráticos

Amortecedores aquadráticos são do tipo fluido viscoso com dependência quadrática da velo-

cidade relativa entre a massa e a base do sistema,

Fq = C|ẋ− ẋ0|2sign(ẋ− ẋ0) (2.2)

sendo ẋ a velocidade da massa e ẋ0 a velocidade da base, conforme Fig. 2.1.

2.2 Atrito de Coulomb

Amortecedores de vibração por atrito de Coulomb dissipam a energia por meio do atrito entre

dois corpos sólidos de superf́ıcies planas deslizando um em relação ao outro.

Das leis clássicas de atrito, tem-se que quando o movimento tangencial ocorre, a força

de atrito atua na mesma direção da velocidade relativa, mas em sentido oposto sendo µ o

coeficiente de atrito de Coulomb, ẋ a velocidade tangencial, m a massa da estrutura e g a

aceleração da gravidade. De acordo com Rabinowicz (1965), pode ser escrita como,

Fa = −µmg ẋ|ẋ| (2.3)

ou mais precisamente conforme Eq. 2.4,

Fa = −µmgsign(ẋ) (2.4)

quando ẋ 6= 0 e sign() é a função sinal dada por:
sign(ẋ) = 1, se ẋ > 0

sign(ẋ) = 0, se ẋ = 0

sign(ẋ) = −1, se ẋ < 0

(2.5)

Em problemas dinâmicos, o sentido da velocidade de deslizamento é variável com o tempo,

i.e., quando ẋ inverte de sentido a força de atrito apresenta uma variação brusca de magnitude.

2.3 Ligas com Memória de Forma

O modelo constitutivo simplificado utilizado para a apresentação do efeito pseudoelástico de

uma liga com memória de forma é dependente da deformação e do histórico dos carregamentos

mecânicos para a determinação das transformações direta e reversa das fases do material.

Assume-se que a tensão mecânica σ e deformação de transformação εt variam linearmente

durante as transformações de fase. Assim, o modelo simplificado é representado por um

conjunto de equações lineares que permitem a determinação da resposta dinâmica de uma liga

com memória de forma submetido a carregamento externos em uma temperatura constante,

representado na Fig. 2.2 e Fig. 2.3.

O detalhamento das equações propostas por Lagoudas & Khan (2001) encontram-se no Anexo

A. A intersecção entre as linhas representam a transição entre o carregamento elástico ou linear,


7

transformação direta de fase, descarregamento elástico ou linear e transformação reversa de

fase.

0.00 0.02 0.04 0.06
ε

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

σ

×108

Figura 2.2: Correlação do histórico de tensão-deformação para condição adiabáticas e
isotérmicas com valores de tensão e deformação.

1

2

3

4

Λ

σ

ε

σ

σ

σ

σ

M

M

A

A

f

f

s

s

E

E

A

M

 ε  ε  ε  ε A f Ms As M f

Figura 2.3: Correlação do histórico de tensão-deformação para condição adiabáticas e
isotérmicas com nomenclatura nas regiões.

A região de carregamento linear ocorre a partir da tensão nula durante a fase austeńıtica

e é representada entre os pontos (σAf , εAf
) e (σMs, εMs), ou entre os pontos 4 e 1,

εt = 0, σ = EA(ε) (2.6)

onde verifica-se que o o aumento linear da tensão é diretamente proporcional à deformação

multiplicada pelo do módulo de elasticidade austeńıtico EA. Nesta região, a deformação de

transformação é nula.

Para a região de transformação direta de fase representada entre os pontos (σMs, εMs)


8

e (σMf , εMf ), ou entre os pontos 1 e 2, tem-se que a deformação de transformação varia

linearmente entre zero e o valor máximo da deformação de transformação Λ.

εt = Λ

(
ε− εMs

εMf
− εMs

)
, σ = σMs +

εt(σMf
− σMs)

Λ
(2.7)

Para a região de descarregamento linear representada entre os pontos (σMf , εMf ) e (σAs, εAs),

ou entre os pontos 2 e 3, tem-se que a deformação de transformação permanece igual à Λ e a

tensão se relaciona linearmente com a deformação.

εt = Λ, σ = σMf
+ EM (ε− εMf

) (2.8)

Para a região de transformação reversa de fase representada entre os pontos (σAs, εAs) e

(σAf , εAf ), ou entre os pontos 3 e 4, tem-se que a tensão de transformação varia linearmente

agora entre Λ e zero.

εt = Λ

(
1− εAs − ε

εAs − εAf

)
, σ = σAf

+
εt(σAs − σAf

)

Λ
(2.9)

onde EA e EM representam os módulos de elasticidade da liga com Memória de Forma na

fase puramente austeńıtica e martenśıtica, respectivamente. As, Af , Ms e Mf representam o

ińıcio e o fim das fases austeńıtica e martenśıtica.

Para ciclos incompletos de carregamento e descarregamento, as Eqs. 2.6 a 2.9 devem ser

modificadas para representar adequadamente o comportamento dinâmico da liga com memória

de forma, conforme ilustrado na Fig. 2.4.

�

ε

A
1

3
B

2

4

EEF R

Figura 2.4: Correlação do histórico de tensão-deformação para um ciclo incompleto de carre-
gamento com “minor loop loading” representada pela linha vermelha com flechas indicadas e
“major loop loading” representada pela linha preta.

O carregamento ocorre a partir da tensão nula durante a fase austeńıtica e é descrito

pelas mesmas equações do carregamento elástico inicial e transformações subsequentes, i.e.,

do ponto 4 até o ponto 1, onde se observa o aumento da tensão e da deformação. Porém,

nesta correlação de “minor loop loading”, o carregamento é revertido antes que se complete a

transformação direta de fase, representada pelo ponto 2.

Como o descarregamento se inicia no ponto A e percorre até o ponto 3, a transformação é

nula inicialmente e ocorre com uma rigidez que não é da austenita e nem da martensita.


9

O descarregamento ocorre linearmente a partir do ponto de transformação máxima, ponto A,

e sua inclinação é determinada pelo grau máximo de transformação obtido, representada pela

variável ER. Na intersecção com o ponto 3 se inicia a transformação reversa que ocorre até o

ponto B. Esta região coincide com a correlação do “major loop loading”.

O material continua a descarregar e tensão e deformação diminuem até que a deformação de

transformação seja próximo de zero no ponto 4. Porém, o descarregamento é revertido e o

material começa a carregar novamente, a partir do ponto B em direção e sentido ao ponto 1.

O carregamento ocorre linearmente a partir do ponto de transformação mı́nima, ponto B, e

sua inclinação é determinada pelo grau mı́nimo de transformação obtido, representada pela

variável EF .

Para a região de descarregamento linear parcial representada entre os pontos A e 3, tem-se:

ER =
EMEA(

εtmax
Λ (EA − EM ) + EM

) , σ = σmax + ER(ε− εmax) (2.10)

onde a tensão depende da rigidez de descarregamento ER e da deformação máxima que ocorre

no ponto A. Para a região de transformação reversa representada entre os pontos 3 e B, tem-se:

εt = Λ

(
1− εtp3 − ε

εtp3 − εAf

)
, σ = σAf +

εt(σtp3 − σAf )

Λ
(2.11)

sendo σtp3 e εtp3 a tensão e deformação no ponto 3. Para a região de carregamento elástico

parcial representada entre os pontos B e 1, tem-se:

EF =
EMEA(

εtmin
Λ (EA − EM ) + EM

) , σ = σmin + EF (ε− εmin) (2.12)

onde a tensão depende da rigidez de descarregamento EF e da deformação mı́nima que ocorre

no ponto B. Para a região de transformação direta de fase representada entre os pontos 1 e

A, tem-se:

εt = Λ

(
ε− εtp1

εMf − εtp1

)
, σ = σtp1 +

εt

Λ
(σMf − σtp1) (2.13)

sendo que σmax, εmax e εtmax representam, respectivamente, a tensão, a deformação e a de-

formação de transformação do ponto A, e σmin, εmin e εtmin representam, respectivamente, a

tensão, a deformação e a deformação de transformação do ponto B. σtp1 e εtp1 representam,

respectivamente, a tensão e deformação no ponto 1.

2.3.1 Equacionamento da Barra

As molas são componentes mecânicos de grande utilização nos mais variados dispositivos e

apresentam como caracteŕıstica principal a capacidade de apresentar grandes deslocamentos

recuperáveis. Outra aplicação importante é a possibilidade de aplicação controlada de força

ou torque e o armazenamento desta energia mecânica. Alguns autores exploram o uso de

ligas com memórias de forma em molas helicoidais, por exemplo, Baghani (2012) e Bucchi

(2014). Porém, as molas helicoidais de LMF são projetadas para que ocorra transformação de


10

fase ao longo do fio da mola durante o seu uso. Desta forma, as transformações de fase são

não lineares, por isso a distribuição de tensão de cisalhamento ao longo da seção transversal

do fio também é não linear. Desta forma, adota-se o uso de uma barra para representar o

comportamento linear da distribuição de tensões ao longo da seção transversal do componente.

Este modelo é o mais simples e é desenvolvido considerando que as distribuições de fase e de

tensão são constantes e homogêneas ao longo da seção transversal do componente.

A rigidez da barra de liga com memória de forma é dada em função do módulo de elasti-

cidade, área e comprimento total da barra.

klmf =
E(ξ)Almf
Llmf

(2.14)

sendo E(ξ) o módulo de elasticidade, a qual varia com a fração volumétrica de fase martenśıtica

ξ (Paiva & Savi 1999), e L é o comprimento da barra LMF. De acordo com Tanaka (1986), o

módulo de elasticidade é representado pela Eq.2.15.

E(ξ) = ξEM + (1− ξ)EA (2.15)

A força que atua na barra é dada pela Eq. 2.16.

− Flmf = σlmfAlmf (2.16)

sendo σlmf representado por,

σlmf = E(ξ)(ε− εLξ0) (2.17)

ou,

σlmf = E(ξ)(ε− εt) (2.18)

sendo ε a deformação total induzida ao material, exposta na Eq. 2.19, εL é a deformação

residual máxima, ξ0 a fração volumétrica de martensita quando se inicia a transformação e εt

é a deformação de transformação gerada durante as transformações de fase direta e reversa.

ε =
x(t)

Llmf
(2.19)

Como a força atuante sob uma barra de liga com memória de forma é representada pela

Eq. 2.16, a Eq. 2.1 pode ser reescrita na Eq. 2.20.

mẍ(t) + kẋ(t) + σlmfAlmf = Fext(t) (2.20)

Rearranjando as equações Eq. 2.17, Eq. 2.15, tem-se:

mẍ(t) + kẋ(t) + (ξEM + (1− ξ)EA)((ε− εt))Almf = Fext(t) (2.21)

A aplicação do prinćıpio de superposição de Boltzman para os materiais viscoelásticos

lineares conduz a lei do comportamento que relaciona as histórias de tensão e de deformação


11

através da Eq. 2.22, que é uma integral de convolução para um ensaio uniaxial.

σ(t) =

∫ t

−∞
E(t− τ)dε(t) (2.22)

onde σ(t) é a tensão e ε(t) é a deformação (normais ou de cisalhamento), e E(t) é a função

módulo do material.

2.3.2 Modelos com cinética de transformação de fase assumida

Os modelos com cinética de transformação de fase utilizam funções matemáticas (cossenoidais,

exponencias, entre outras) para descrever a cinética das transformações de fase. Em geral,

os modelos consideram além da deformação e da temperatura, a fração volumétrica de fase

martenśıtica (Paiva & Savi 1999). Diversos autores propuseram equações para representar

a cinética de transformação de fase, as quais serão apresentadas neste trabalho, como por

exemplo, o trabalho de Poorasadion (2014) que apresenta o modelo de Brinson aplicado a

um elemento de viga bidimensional com liga com memória de forma. Assim, Liang & Rogers

(1997) apresentam uma equação que representa a tensão atuante sobre um elemento de liga

com memória de forma carregado uniaxialmente.

σ − σ0 = D(ε− ε0) + Ω(ξ − ξ0) + Θ(T − T0) (2.23)

Tem-se que σ representa a tensão mecânica, D é o módulo de elasticidade, ε é a a deformação, Ω

é a o fator de transformação de fase, Θ é o coeficiente de expansão térmica e T é a temperatura

atuante.

dσ − dσ0 = D(ξ)dε+ Ω(ξ)dξS + ΘdT (2.24)

Na Fig. 2.5 tem-se a representação de um diagrama de transformação de fase para uma

tensão de compressão com comportamento assimétrico. De acordo com de Sousa (2016),

assume-se que os valores das propriedades da liga com memória de forma são arbitrários, e

que a temperatura tem ińıcio em Ms, i.e., T > Ms. No gráfico, o comportamento de tração

é representado na região acima da tensão de valor zero, e o comportamento de compressão

é representado abaixo da tensão de valor zero. A incógnita “+” representa a tração e “-”

representa a compressão. Assim, a transformação induzida por tensão mecânica é dada pela

região em azul limitada pelas linhas sólidas, e a transformação de austenita é dada pela região

amarela limitada pelas linhas tracejadas.

O comportamento da barra de liga com memória de forma é a descrito pela transição

entre a fase austenita e fase martenśıtica. Durante a transformação cada grão de martensita

assume uma orientação particular composta de duas fases representada pela variável MT , ou

composta de apenas uma fase, representada pela variável MD. Para incremento da tensão,

tem-se um comportamento de elástico linear da tensão, enquanto |σ| < |σM∗s |, onde σM
∗

s =

σmin
∗

s +C∗M (T −Ms), sendo CM o declive de tensão-temperatura na região de martensita. Se

|σ| > |σM∗s |, há uma transformação de fase induzida por tensão sem variação de temperatura,

até que σ = σM
∗

f , onde σM
∗

f = σmin
∗

f + C∗M (T −Mf ) e a liga com memória de forma seja


12

totalmente composta por martensita. Para decaimento da tensão, ocorre um descarregamento

linear enquanto |σ| > |σA∗s |, onde σA
∗

s = C∗A(T−As), sendo CA o declive de tensão-temperatura

na região de austenita (de Sousa 2016).

Temperatura

0
[A]

CA
+

CA
-

[A�
 M

  ]D
+

CM
+

CM
+

[M  ]
D
+

[M  ]
D
-

[M
  

A]

D
+

[M  �A]
D
-

T
en

sã
o

M  
S A  S

A  f

� f
min-

�s
min-

�s
min+

� f
min+

�f
M*

�s
M*

�f
A*

Figura 2.5: Adaptado de de Sousa (2016).

Note que a Fig. 2.5 representa o diagrama de transformação de fase considerando que os

declives de tensão-temperatura na região de martensita e austenita são iguais CA 6= CM e

comportamento assimétrico entre tração e compressão da liga com memória de forma. Já na

Fig. 2.6 tem-se a representação de um diagrama de transformação de fase para uma tensão

de compressão com comportamento simétrico, sendo CA = CM = C. E na Fig. 2.7 tem-se

a representação de um diagrama de transformação de fase para a temperatura com ińıcio

em T < Ms. Assim, abaixo da temperatura final da martensita Mf , tem-se a presença de

martensita reticulada que é caracterizada por comportamento constante da tensão em função

da variação da temperatura.

Temperatura

0
[A]

-

[M  ]+

[M  ]
D
-

T
en

sã
o

M  
S A  S

A  f

� f
min-

� f
min+

�f
M*

�f
A*

C

C

+

+

D

[M
  →

A]

D
+

D
+

C

[M  →A]
D
-

-C
[A→ M  ]D

-

�s
M*

�s
A*

� s
min+

� s
min-

[A
→

 M
  ]

Figura 2.6: Adaptado de de Sousa (2016).


13

0

[M  ]
D
+

[M  ]
D
-

T
en

sã
o

M  
S

� f
min-

� s
min+

A  S
M  

f Temperatura

[A]

C
-

C +

[M  →A]
D
-

A  f

�f
A*

C+

[M
  →

A]

D
+

�f
M*

[A
→

 M
  ]D
+

[A
→

 M  ]D
-

C
-

[M  ]
T
+

[M  ]
T
-

�s
M*

�s
A*

� f
min+

� s
min-

Figura 2.7: Adaptado de de Sousa (2016).

A Fig. 2.8 representa o comportamento da fração volumétrica de fase martenśıtica em

função da deformação da liga com memória de forma. Observa-se que durante a transformação

direta de fase (1 → 2), a função estabelece concavidade tal que d2ξ
dε2

< 0 e durante a trans-

formação reversa de fase (3 → 4), a função possui uma concavidade tal que d2ξ
dε2

> 0. Outro

fator interessante a ser evidenciado é com relação ao aumento de temperatura, a qual des-

loca as curvas no sentido do eixo positivo da deformação, o que pode ser traduzido como um

aumento do ciclo de histerese.

0.00 0.02 0.04 0.06
ε

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ξ

ξ1→2

ξ3→4

Figura 2.8: Variação da fração volumétrica de fase martenśıtica em função da deformação.

A Fig. 2.9 apresenta que o módulo de elasticidade E durante a transformação varia entre

30GPa e 70GPa, sendo o primeiro o valor resultante para ξ = 1, quando a fase é inteiramente

martenśıtica, e o último valor resultante para ξ = 0, quando a fase é predominantemente

austeńıtica. Observe que de 1 → 2, ou na região de transformação direta de fase, E(ξ)

diminui de 70GPa para 30GPa enquanto o valor de ξ aumenta de 0 para 1. Quando 3 → 4,

ou na região de transformação reversa de fase, E(ξ) aumenta de 30GPa para 70GPa enquanto

o valor de ξ diminui de 0 para 1.


14

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
ξ

3

4

5

6

7

E
(ξ

)

×1010

ξ1→2

ξ3→4

Figura 2.9: Variação do módulo de elasticidade em função da fração volumétrica de fase
martenśıtica. A linha vermelha decresce de 70GPa para 30GPa, enquanto a linha tracejada
percorre o sentido oposto na mesma direção.

Método Boyd & Lagoudas

De acordo com o método de Boyd e Lagoudas (Lagoudas & Khan 2001) e a referência de Paiva

& Savi (1999), tem-se que a transformação de austenita para martensita é definida por,

ξA→M = 1− e−aM (Ms−T )−bM σ̄ − ξ0 (2.25)

A transformação de martensita para austenita é definida por,

ξM→A = ξ0e
−aA(T−As)−bAσ̄ (2.26)

sendo as constantes definidas como,

aA = − 2ln(10)

(As −Af )
, bA =

aA
CA

(2.27)

aM =
2ln(10)

(Ms −Mf )
, bM =

aM
CM

(2.28)

e σ̄ definida por,

σ̄ = [(3/2)σ
′
ij : σ

′
ij ]

1/2 (2.29)

sendo σ′ij tensão deviatórica. Ms, T e ξ0 são, respectivamente, a temperatura de ińıcio da

transformação em martensita, a temperatura da LMF e a fração de martensita inicial.

Método de Tanaka & Nagaki

Apesar do modelo tridimensional ser aplicável em estruturas LMF, quando se reduz ao modelo

unidimensional, tem-se que ele é similar ao método de Tanaka (Tanaka (1986)), o que foi

comprovado por Brinson & Huang (1996) que trouxe resultados semelhantes em simulações.


15

Quando reduzida para unidimensional, a lei constitutiva de Tanaka pode ser escrita como

exposta na Eq. 2.30.

σ = E(ξ)(ε− εLξs) + Θ(T − T0) (2.30)

Substituindo a Eq.2.15 na Eq. 2.30, tem-se:

σ = [ξEM + (1− ξ)EA](ε− εLξs) (2.31)

sendo Θ o coeficiente de expansão térmica. Uma vez que, T0 é a temperatura onde a de-

formação térmica é definida como zero e pode ser negligenciada. Se a tensão térmica pode

ser também negligenciada (sendo que sua magnitude é muito menor que a deformação de

transformação), o termo Θ pode ser removido.

Sabe-se ε = εel+εtr, ou seja, a deformação total é a soma da deformação elástica com a de-

formação de transformação. Assim, tem-se que a transformação de austenita para martensita

é definida por,

ξA→M = 1− eaM (Ms−T )+bMσ (2.32)

quando,

T > Mf e CM (T −Ms) < σ < CM (T −Mf ) (2.33)

Ou seja, a fração volumétrica de martensita é expressa em função dos valores instantâneos de

tensão e temperatura, tal que β = β(σ, T ). E a transformação de martensita para austenita é

definida por,

ξM→A = eaA(As−T )+bAσ (2.34)

quando,

T > As e CA(T −Af ) < σ < CA(T −As) (2.35)

Sendo as constantes são definidas como,

aA =
ln(0,01)

(As −Af )
, bA =

aA
CA

(2.36)

aM =
ln(0,01)

(Ms −Mf )
, bM =

aM
CM

(2.37)

O método de Boyd & Lagoudas apresenta modificações em relação ao método de Tanaka &

Nagaki, apesar das funções matemáticas utilizadas para descrever a cinética de transformação

serem semelhantes. Assim, as constantes aA, bA, aM e bM são definidas de forma diferente.


16

Método de Ikuta

Assim como os demais métodos apresentados, o método de Ikuta & Hirose (1991) faz o uso de

funções exponencias para representar as transformações de fase no material. As equações que

representam as transformações de fase com relação à temperatura são dadas pela Eq. 2.38 e

Eq. 2.39.

ξA→M = ξM

1+e
6,2

Af−As

(
T−

As+Af
2

) (2.38)

ξM→A = 1−ξA

1+e

6,2
Ms−Mf

(
T−

Ms+Mf
2

)
(2.39)

Este método não considera as tensões e deformações instantâneas, sendo a cinética de

transformação representada por uma exponencial de valores constantes de temperatura.


3

Supressão de Vibrações

Considere um bloco com massa m preso a um referencial inercial por uma mola de rigidez k

e por um amortecedor de coeficiente de amortecimento viscoso c, conforme Fig. 3.1. A posição

x(t) do bloco é medida a partir de um referencial inercial e x0(t) representa o deslocamento

da base.

m

k

x(t)

c

x (t)
0

Figura 3.1: Sistema de um grau de liberdade com amortecedor, sendo k a rigidez da mola, m
a massa do sistema, c o amortecimento, x(t) o deslocamento da massa e x0(t) o deslocamento
da base.

Assumindo que x0(t) = 0, a equação do movimento é apresentada pela Eq. 3.1, sendo

M, B e K respectivamente as matrizes de massa, amortecimento e rigidez, já a variável Fnl

representa a força interna não linear do amortecedor e Uc, a força externa atuante sobre o

sistema.

Mü(t) + Bu̇(t) + Ku(t) + Fnl(t) = Uc(t) (3.1)

Emprega-se a notação no espaço de estados apresentada na Eq. 3.2, sendo A a matriz de

estado, Bu a matriz de entrada de controle, C a matriz de sáıda, D a matriz de transmissão

direta, ẋ(t) a equação dinâmica e y(t) a equação de observação.

ẋ(t) = Ax(t) + Buum(t)

y(t) = Cx(t) + Dum(t)
(3.2)

Quando o modelo matemático é obtido usando as leis da f́ısica, as variáveis de estado

são aquelas associadas às diversas formas de energia armazenadas no sistema. Por exemplo,

em um sistema mecânico, geralmente posição e velocidade, associadas à energia potencial e


18

cinética, respectivamente, são as variáveis de estado. Como o sistema é de segunda ordem,

contém duas variáveis de estado. Define-se os estados do sistema como sendo a posição e a

velocidade da massa, respectivamente,

ky(t)2

2 → x1(t)
mẏ(t)2

2 → x2(t) = ẋ1(t)
(3.3)

e a entrada,

um(t) = uc(t) (3.4)

no caso, a entrada é um escalar e não um vetor. Colocando na forma de espaço dos estados,

por substituição na Eq. 3.1, tem-se ẋ1(t) e ẋ2(t):

ẋ1(t) = x2(t)

ẋ2(t) = − k
mx1(t)− c

mx2(t) + uc(t)
m (t)− Fnl(t)

m

(3.5)

Portanto, define-se a equação de estado sob a forma matricial como:

{
ẋ1(t)

ẋ2(t)

}
=

[
0 1

− k
m − c

m

]{
x1(t)

x2(t)

}
+

{
0
1
m

}
uc(t) +

{
0

− 1
m

}
Fnl(t) (3.6)

A equação de sáıda na forma matricial é:

y(t) =
[

1 0
]{ ẋ1(t)

ẋ2(t)

}
(3.7)

Sendo, as matrizes identificadas por,

A =

[
0 1

− k
m − c

m

]
(3.8)

Bu =

{
0

− 1
m

}
(3.9)

C =
[

1 0
]

(3.10)

e D = 0. No anexo B apresenta-se A e Bu para um sistema com x0(t) 6= 0. Para este

exemplo, considera-se m = 1 kg; k = 1 N
m ; c = 1 Ns

m ; Como esperado, o sistema é amortecido

e sua amplitude de deslocamento e velocidade tendem a zero para um tempo suficientemente

grande, como mostrado na Fig. 3.2.


19

0 5 10
t

−0.50

−0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

A
m
pl
it
u
d
e

x(t)

ẋ(t)

Figura 3.2: Deslocamento e velocidade de um sistema massa, mola e amortecedor correspon-
dente à atuação de uma função impulso.

Por outro lado, para o exemplo a seguir, considera-sem = 2 kg; k = ω2
nm; c = 2

√
mk, a Fig. 3.3

representa o deslocamento e a velocidade resultantes da atuação da força uc(t) = F0sen(ω)t

sobre o sistema de um grau de liberdade, sendo ω = 2πf .

0 10 20 30 40
t

−0.0004

−0.0002

0.0000

0.0002

0.0004

0.0006

A
m
pl
it
u
d
e

x(t)

ẋ(t)

Figura 3.3: Deslocamento e velocidade de um sistema massa, mola e amortecedor correspon-
dente à atuação de uma força uc(t) = F0sen(ωt) enquanto t < 15s para F0 = 0,01 e f =
0,5Hz.

3.1 Força de Amortecimento Quadrático

Os amortecedores quadráticos, ou amortecimento da Lei do Quadrado (Thorby 2008), são

comuns em aplicações de engenharia. Este tipo de amortecimento é geralmente produzido ao

forçar o fluido hidráulico através de um pequeno orif́ıcio por alguma forma de êmbolo. O fluxo

turbulento resultante implica que a pressão atuando no pistão aumenta com o quadrado da

velocidade. Na prática, um amortecedor hidráulico geralmente produz uma força proporcional


20

ao quadrado da velocidade do pistão. Assim, considera-se a seguinte força atuando no sistema,

Fq = Cẋ2sign(ẋ) (3.11)

onde C é o coeficiente de amortecimento quadrático, ẋ é a velocidade relativa entre as duas

extremidades do amortecedor.

A Fig. 3.4 apresenta a força produzida por um amortecedor quando o fluido está sendo

comprimido por um movimento hipotético senoidal, dado por: x0(t) = Asen(ωt). E a Fig. 3.5

apresenta a força produzida em função do deslocamento, sendo Fnl = Fq nesta seção.

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
t

−0.010

−0.005

0.000

0.005

0.010

F
n
l(
t)

C1

C2

x(t)

Figura 3.4: Força de Amortecimento Quadrático em função do tempo para F0 = 0,01, f =
1Hz, A = 0,01, C1 = 0,5 e C2 = 1.

−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010

x(t)

−0.004

−0.002

0.000

0.002

0.004

F
n
l(
t)

C1

C2

Figura 3.5: Força de Amortecimento Quadrático em função do deslocamento para F0 = 0,01,
f = 1, A = 0,01, C1 = 0,5 e C2 = 1.

Nota-se o comportamento quadrático da força de amortecimento devido à variável ẋ2. A

oscilação provém da função sinal de ẋ conforme o seu valor varia entre 1,− 1. Nos pontos em

que x(t) é máximo e mı́nimo, a força de amortecimento quadrático é zero para qualquer valor


21

de C. Para maiores valores de C, maior é a amplitude da força de amortecimento quadrático.

Além disso, a força de amortecimento atinge seu valor máximo quando x(t) = 0. Já, nas

ráızes de Fq, ocorre a inversão de sinal da função, i.e., Fq(t = ti) > 0 → Fq(t = ti) < 0, ou

vice-versa.

3.2 Força de Atrito de Coulomb

Amortecedores de atrito seco são dispositivos constrúıdos para que duas superf́ıcies em contato

deslizem uma em relação a outra, dissipando energia. A magnitude desta força é constante

em intervalos de tempo e é o produto da força normal atuando entre as superf́ıcies em contato

e do coeficiente de atrito da interface. A força reativa é apresentada na Eq. 3.12,

Fa = −µsign (ẋ) (3.12)

onde µ é o coeficiente de atrito de Coulomb, o qual é suposto constante e sign(ẋ) é a função

sinal apresentada no amortecimento quadrático. É importante notar que sistemas com amor-

tecimento de Coulomb apresentam o decaimento linear de amplitude e que o movimento cessa

quando a amplitude do deslocamento é menor do que Fa/k, pois a força da mola já não é mais

suficiente para vencer a força de atrito.

A Fig. 3.6 apresenta a força produzida por um amortecedor de atrito seco submetido sob

o mesmo movimento hipotético senoidal x0(t). E a Fig. 3.7 apresenta a força produzida em

função da velocidade, sendo Fnl = Fa nesta seção.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

F
n
l(
t)

µ1

µ2

ẋ(t)

Figura 3.6: Força de Atrito de Coulomb em função do tempo para F0 = 0,01, f = 2Hz,
A = 0,01, µ1 = 0,5 e µ2 = 1.


22

−0.050 −0.025 0.000 0.025 0.050

ẋ(t)

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

F
n
l(
t)

µ1

µ2

Figura 3.7: Força de Atrito de Coulomb em função do deslocamento para F0 = 0,01, f = 2Hz,
A = 0,01, µ1 = 0,5 e µ2 = 1.

A função sinal agora é obtida pela velocidade do sistema e posteriormente multiplicada pela

constate representada pelo coeficiente de atrito. Desta forma, a força de atrito possui valor

constante para uma faixa de tempo onde a velocidade alcança seu valor máximo, ou mı́nimo,

sendo o seu sinal sempre contrário ao sentido de movimento do sistema, i.e., Fa(ti → tf ) = 1,

tal que dx
dt < 0 e Fa(ti → tf ) = −1, tal que dx

dt > 0. Conforme visto para a força de

amortecimento quadrático, para maiores valores de µ, maior a amplitude da força de atrito de

coulomb. Além disso, a força de amortecimento é positiva quando ẋ(t) < 0 e negativa quando

ẋ(t) > 0, ocorrendo uma inversão de sinal em ẋ(t) = 0.

3.3 Força da Barra de Liga com Memória de Forma

Na referência Lagoudas & Khan (2001), valida-se numericamente os procedimentos de mode-

lagem do comportamento pseudoelástico das Molas com Liga com Memória de Forma utili-

zando um dispositivo de absorção de vibração composto por uma massa m apoiada a uma base

através de um barra de comprimento L e seção transversal Almf . Assume-se que inicialmente

a barra esteja submetida a um carregamento de tração, sendo que x(t) > y(t) = Y0sin(ωt).

− Flmf = Elmf (εt)Almf

(
x(t)− y(t)

L
− εt

)
(3.13)

Para a realização das simulações numéricas são utilizados os mesmos parâmetros do modelo

de GAO & Brinson (2007), no qual as propriedades termomecânicas relevantes de uma liga

de Nı́quel-Titânio são apresentadas na Tab. 3.1.


23

Tabela 3.1: Propriedades termodinâmicas da liga com memória de forma.

Material Temperaturas Constantes de transformação

EA = 67GPa Mf = 9oC CM = 8MPaoC−1

EM = 26.3GPa Ms = 18,4oC CA = 13,8MPaoC−1

εL = 0,067 As = 34,5oC σs = 100MPa

Af = 49oC σf = 170MPa

Para a realização das simulações numéricas foram utilizados também os mesmos parâmetros

estruturais do modelo linearizado de Lagoudas & Khan (2001). A diferença deste modelo é

a presença da rigidez natural do sistema (Fig. 3.8), representada pela variável k, tal que

k = ω2
nm, sendo a frequência natural determinada de acordo com a faixa de operação da liga

com memória de forma, que é de fn = 23Hz, lembrando que fn = ωn
2π .

Tabela 3.2: Propriedades termodinâmicas da liga com memória de forma.

Parâmetros de Projeto Dados do Material

m = 500kg EA = 70GPa

L = 1m EM = 30GPa

Y0 = 0,01m CA = CM = 7MPaoC−1

r = 0,01m Mf = 274K

f = 50Hz Ms = 292K

Λ = 0,05 As = 296K

T = 315K Af = 315K

Observa-se do número de equações entre as Eq.s (2.6) a (2.9), que o comportamento dinâmico

do sistema se altera de acordo com a fase que atua em determinado limite de tensão e de-

formação. Assim, através da simulação do sistema pseudo-elástico, é esperado que mesmo

na condição de transformação de “minor loop”, ainda seja posśıvel alcançar o amortecimento

utilizando a liga com memória de forma.

m

k

x(t)

LMF

x (t)
0

Figura 3.8: Sistema de um grau de liberdade com barra de liga com memória de forma (LMF),
sendo k a rigidez da mola, m a massa do sistema, x(t) o deslocamento da massa e x0(t) o
deslocamento da base.

Na Fig. 3.9, pode-se avaliar o comportamento do ciclo de tensão por deformação para dife-

rentes temperaturas de trabalho, sendo elas componentes do vetor T = [315K 325K 335K 345K].


24

Assume-se que a liga está inicialmente em seu estado puramente austeńıtico e sem a presença

de qualquer deformação de transformação. O critério de temperatura foi adotado para que a

temperatura de operação escolhida fosse sempre maior que a temperatura de austenita inicial,

ou seja, T > Af . Uma vez que Paiva & Savi (1999) demonstram que temperaturas abaixo

de Af , ou ainda igual à As, resultam em pseudoelasticidade parcial, onde a transformação de

fase inversa não é totalmente conclúıda, o que também foi comprovado através de simulações

numéricas realizadas para o presente trabalho, como ilustrado na Fig. 3.10. Em Aguiar (2010),

pode-se avaliar a a representação do comportamento termoelástico da LMF. Na Fig. 3.9 (a)

tem-se um ciclo completo com Af = (0, 0). A Fig. 3.9 (b) mostra o fenômeno pseudoelástico

onde é posśıvel notar uma alteração da curva de tensão-deformação com ciclo completo em

σAf
> 0 e εAf

> 0. A diferença entre as duas consiste no deslocamento positivo do ciclo

de histerese em ∆σ = 0,7.108Pa e ∆ε = 0,001 em cada um dos 4 pontos evidenciados na

Fig. 3.9 (b), o que resulta em uma diminuição da área representativa do ciclo de histerese.

Este comportamento se repete para os itens (c) e (d), conforme demonstrado na Tab. 3.3.

0.00 0.02 0.04 0.06
ε

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

σ

×108

(a) T = 315K

0.00 0.02 0.04 0.06

ε

0

1

2

3

�

× 10
8

Af

Ms

As

Mf

(b) T = 325K

0.00 0.02 0.04 0.06
ε

0

1

2

3

4

σ

×108

(c) T = 335K

0.00 0.02 0.04 0.06
ε

0

1

2

3

4

5

σ

×108

(d) T = 345K

Figura 3.9: Correlação do histórico de tensão-deformação para condição adiabáticas e
isotérmicas, considerando deformação positiva correspondente à cada valor do vetor de tem-
peratura.


25

0.00 0.02 0.04
ε

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

σ

×108

Figura 3.10: Correlação do histórico de tensão-deformação para condição adiabáticas e
isotérmicas, considerando deformação positiva correspondente à T = As = 296K.

Para os casos apresentados, verifica-se que acréscimos de temperatura em ∆T = 10K

resultam em acréscimo de tensão, em ∆σ = 0,7.108Pa, e deformação, em ∆ε = 0,001. Por-

tanto, observa-se que maiores ı́ndices de temperatura, de tal forma que T > Af , resultam em

maiores magnitudes das tensões atuantes e deformações, assim como demonstrado por Neto

(2012). Portanto, mantendo-se as mesmas propriedades termodinâmicas da liga com memória

de forma e variando-se somente a temperatura de operação, conclui-se que a alteração nas

tensões e deformações de transição induz a barra a dissipar menor quantidade de energia do

sistema, devido à obteção de menores áreas representativas do ciclo de histerese.

Tabela 3.3: Valores de tensão e deformação para os pontos de As, Ms, Mf e Af , sendo σ dado
em 108 Pa.

T = 315K T = 325K T = 335K T = 345K

Pontos (σ, ε) (σ, ε) (σ, ε) (σ, ε)

Af (0; 0) (0,7; 0,001) (1,4; 0,002) (2,1; 0,003)

Ms (1,61; 0,0023) (2,31; 0,0033) (3,01; 0,0043) (3,71; 0,0053)

Mf (2,87; 0,05967) (3,57; 0,0619) (4,27; 0,06423) (4,97; 0,06657)

As (1,33; 0,05443) (2,03; 0,05677) (2,73; 0,0591) (3,43; 0,06143)

Na Fig. 3.11 tem-se o diagrama de tensão por deformação considerando um caso uniaxial,

onde há tensões e deformações positivas e negativas, i.e., quando a barra é submetida à tração

tem-se que σ > 0 e ε > 0, quando a barra é submetida à compressão tem-se que σ < 0 e

ε < 0. Conforme apresentado por Lagoudas & Khan (2001), assume-se que a deformação de

transformação e tensão/compressão variam linearmente durante as transformações e fase, e

nas regiões de carregamento e descarregamento da barra, onde não ocorre transformação de

fase, tem-se que a liga apresenta um comportamento elástico linear. Assume-se novamente

que a liga está inicialmente em seu estado puramente austeńıtico e sem a presença de qual-

quer deformação de transformação. Observa-se que o comportamento do ciclo completo de


26

transformação de fase é simétrico em relação à σ = 0, ε = 0 e as magnitudes de tensões e

deformações se mantêm iguais em módulo para tração e compressão da barra.

−0.050 −0.025 0.000 0.025 0.050
ε

−3

−2

−1

0

1

2

3

σ

×108

(a) T = 315K

− 0.050 − 0.025 0.000 0.025 0.050

ε

−

2

σ

×108

2

0

As

Ms

Mf

Af

-Af

-Ms

-Mf

-As

(b) T = 325K

−0.050 −0.025 0.000 0.025 0.050
ε

−4

−2

0

2

4

σ

×108

(c) T = 335K

−0.050−0.025 0.000 0.025 0.050
ε

−4

−2

0

2

4

σ

×108

(d) T = 345K

Figura 3.11: Correlação do histórico de tensão-deformação para condição adiabáticas e
isotérmicas correspondente à cada valor do vetor de temperatura.

Na Fig. 3.12 pode-se avaliar a força da liga com memória de forma por deformação para

as mesmas temperaturas de trabalho utilizadas na Fig. 3.9. Neste caso, assume-se que a

transformação entre fases é regida pelo Método de Tanaka e Nagaki (Eq. 2.32 e Eq. 2.34), ou

seja, a cinética de transformação de fase considera funções matemáticas conhecidas. Conforme

ilustrado por Paiva & Savi (1999), este método resulta em regiões de transformação de fase

não lineares e é capaz de descrever os fenômenos de memória de forma e pseudoelasticidade.

Diferente do modelo de Brinson & Huang (1996), o presente modelo leva em conta a fração

martenśıtica induzida por temperatura βT , uma vez que a transformação de fase é considerada

completa. Para maiores ı́ndices de temperatura, observa-se que as forças representadas por

FnlAs
, FnlMs

, FnlMf
e FnlAf

aumentam de magnitude para ε > 0. Como o comportamento do

ciclo completo de transformação de fase é simétrico em relação à σ = 0, ε = 0, as magnitudes

de tensões e deformações se mantêm iguais em módulo para tração e compressão da barra.


27

−0.05 0.00 0.05
ε

−100000

−50000

0

50000

100000

F
n
l

(a) T = 315K

− 0.05 0.00 0.05

ε

− 100000

− 500000  

50000

100000

F
n
l

As

Ms

Mf

Af

-Af

-Ms

-Mf

-As

(b) T = 325K

−0.05 0.00 0.05
ε

−100000

−50000

0

50000

100000

F
n
l

(c) T = 335K

−0.05 0.00 0.05
ε

−150000

−100000

−50000

0

50000

100000

150000

F
n
l

(d) T = 345K

Figura 3.12: Correlação do histórico de força-deformação para condição adiabáticas e
isotérmicas considerando cinética de transformação pelo método Tanaka e Nagaki correspon-
dente à cada valor do vetor de temperatura.

Outro ponto a ser identificado é com relação ao aumento de temperatura e a alteração da

cinética de transformação de fase. Com o aumento de temperatura, a parcela em exponencial

da Eq. 2.32 diminui, o que resulta em valores próximos de 1 para ξA→M e em menores valores

para ξM→A.


4

Resultados e Discussões

Neste caṕıtulo apresenta-se a resposta do sistema para cada força dissipativa através

da implementação de simulação numérica realizada em ambiente Python. Diferentemente

do Caṕıtulo 2, na qual avalia-se o comportamento da força dissipativa em função do tempo e

deslocamento, o presente caṕıtulo compara a resposta do sistema em deslocamento, velocidade,

aceleração, plano fase e comportamento dinâmico, sob diferentes condições de amortecimento,

rigidez e demais parâmetros.

4.1 Sub-Amortecimento da Força de Atrito de Coulomb

Da Eq. 3.1, assume-se que a força externa atuante sobre o sistema seja nula, ou uc = 0.

Considera-se m = 1kg, k = 2mωn e ccr = 2
√
mk, sendo ωn = 2πfn e ω = 2πf . A Fig. 4.1

representa o deslocamento e a velocidade do sistema exposto na Fig. 2.1 para uma base fixa,

ou x0(t) = 0.

0 2 4
t

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

x
(t

),
F
n
l(
t)

=
F
a
(t

)

x
Fnl = Fa

Figura 4.1: Deslocamento e Fnl de um sistema massa, mola e amortecedor considerando Força
de Atrito de Coulomb para c = 2

√
mk, f = 0,5Hz, fn = 1, A = 0,01, xs(t) = Asin(ωt) e

µ = 1.

Da Fig. 4.1, quando Fa > 0, tem-se um movimento uniformemente variado caracterizado


29

para um deslocamento em função do tempo semelhante a uma parábola decrescente, ocorrendo

a inversão no sentido de deslocamento para Fa = 0. À partir de t = 1s o deslocamento oscila

entre movimentos de mesmo sentido e direção e movimentos contrários para um valor bem

próximo de zero. Para um intervalo de tempo 0 < t < 1,75s tem-se um movimento acelerado

e retrógrado. de maior amplitude para compensar o deslocamento inicial do sistema.

0 2 4
t

−40

−30

−20

−10

0
ẋ

(t
),
ẍ

(t
),
F
n
l(
t)

=
F
a
(t

)

ẋ

ẍ
Fnl = Fa

Figura 4.2: Velocidade e Aceleração de um sistema massa, mola e amortecedor considerando
Força de Atrito de Coulomb para c = 2

√
mk, f = 0,5Hz, fn = 1, A = 0,01, xs(t) = Asin(ωt)

e µ = 1.

Na Fig. 4.2, para os intervalos de tempo onde (Fa < 0) → (Fa > 0) ocorrem os picos de

aceleração sempre contrário ao sentido de aplicação da força, tal que seu valor é dado por

max(ẍ) = 2Fa. Quando Fa = 1 tem-se um movimento retrógrado e retardado e para Fa = −1

tem-se um movimento progressivo e retardado. Na Fig.4.3, tem-se o deslocamento do sistema

para c = 0.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
t

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

x
(t

),
F
n
l(
t)

=
F
a
(t

)

x(µ1)

x(µ2)

Fa

Figura 4.3: Deslocamento de um sistema massa, mola e amortecedor considerando Força de
Atrito de Coulomb e para F0 = 0,01, f = 0,5Hz, A = 0,01, c = 0, xs(t) = Asin(ωt), µ1 = 1 e
µ2 = 2.


30

Em caso de sistema livre sem amortecimento tem-se que enquanto Fnl = −1, o valor do

deslocamento do sistema é máximo com valor igual à x(ti) = 1. Para valores de Fnl = 1, o

deslocamento decai em 11% para incrementos unitários do coeficiente de atrito. Na Fig.4.4,

tem-se a velocidade e aceleração do sistema para c = 0.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
t

−40

−20

0

20

40

ẋ
(t

),
ẍ

(t
),
F
n
l(
t)

=
F
a
(t

)

ẋ(µ1)

ẋ(µ2)

ẍ(µ1)

ẍ(µ2)

Fa

Figura 4.4: Velocidade e Aceleração de um sistema massa, mola e amortecedor considerando
Força de Atrito de Coulomb e para F0 = 0,01, f = 0,5Hz, A = 0,01, c = 0, xs(t) = Asin(ωt),
e diferentes valores de µ.

0.450 0.475 0.500 0.525 0.550
t

36

37

38

39

ẍ
(t

)

µ1

µ2

µ3

µ4

µ5

Figura 4.5: Aceleração de um sistema massa, mola e amortecedor considerando Força de Atrito
de Coulomb e para F0 = 0,01, f = 0,5Hz, A = 0,01, c = 0, xs(t) = Asin(ωt), e µ1 = 0,05, µ2

= 2µ1, µ3 = 2µ2, µ4 = 2µ3 e µ5 = 2µ4.

Da Fig.4.4, observa-se uma brusca variação da aceleração associado à transição da força

de atrito de Coulomb, tal que Fnl < 0 → Fnl > 0 e vice-versa. Neste ponto de transição

nota-se que ocorre também a inversão de movimento retrógrado e acelerado para movimento

progressivo e acelerado. A variação do coeficiente de atrito reduz a magnitude da aceleração

máxima, conforme ilustrado na Fig. 4.5, porém, aumenta a magnitude da brusca variação da

aceleração, uma vez que a força de atrito é diretamente proporcional à µ. Em uma análise


31

mais detalhada, conforme Fig. 4.6, nota-se que o aumento do coeficiente de atrito resulta no

aumento linear da queda da aceleração em t = 0,5s, conforme o pico de aceleração decai.

1 2 3 4 5
n

0

10

20

30

40

A
m
pl
it
u
d
e

∆ẍ

max(ẍ)

Figura 4.6: Magnitude da variação da aceleração para diferentes valores de µ (representados
pela incógnita n). Os quadrados representam o pico máximo da aceleração e as bolinhas a
aceleração mı́nima durante a transição para um dado instante de tempo t.

No plano de fase, apresentado na Fig. 4.7, nota-se que o deslocamento inicial é de x = 1m

para uma velocidade de ẋ = 0m/s. Quando o deslocamento é mı́nimo, a velocidade é máxima,

tal que |ẋ| = 6m/s. O aumento do coeficiente de atrito permite a redução do deslocamento

quando ẋ = 0m/s e |ẋ| = 6m/s.

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
x(t)

−6

−4

−2

0

2

4

6

ẋ
(t

) µ1

µ2

Figura 4.7: Plano fase considerando Força de Atrito de Coulomb para c = 0, f = 0,5Hz,
fn = 1Hz, A = 0,01, xs(t) = Asin(ωt), µ1 = 1 e µ2 = 2.

Na curva de histerese, representado na Fig. 4.8, é posśıvel observar a transição imediata da

força de atrito de Coulomb nos valores de deslocamento mı́nimo. Com o aumento do coeficiente

de atrito, a magnitude da força é equivalente ao seu valor, i.e, |Fnl| = µ. Além disso, evidencia-

se que o deslocamento apresenta um valor mı́nimo menor para valor de coeficiente de atrito


32

menor. No comportamento dinâmico, representado pela Fig. 4.9, nota-se que a velocidade

apresenta magnitudes semelhantes para µ1 e µ2, enquanto que a magnitude da força apresenta

o mesmo comportamento citado anteriormente.

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
x(t)

−2

−1

0

1

2

F
n
l(
t) µ1

µ2

Figura 4.8: Curva de Histerese da Força de Atrito de Coulomb para c = 0, f = 0,5Hz,
fn = 1Hz, A = 0,01, xs(t) = Asin(ωt), µ1 = 1 e µ2 = 2.

−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0
ẋ(t)

−2

−1

0

1

2

F
n
l(
t) µ1

µ2

Figura 4.9: Comportamento dinâmico da Força de Atrito de Coulomb para c = 0, f = 0,5Hz,
fn = 1Hz, A = 0,01, xs(t) = Asin(ωt), µ1 = 1 e µ2 = 2.

4.2 Sub-Amortecimento da Força de Amortecimento Quadrático

Considera-se um coeficiente de amortecimento c = 1 tal que ζ = c
ccr

< 1. Quando Fq → 0 tem-

se o deslocamento máximo de sentido contrário na direção de movimento, caracterizado pelos

picos de mı́nimos. Para valores constantes de tempo onde ocorre a inversão de sentido da força

de amortecimento quadrático, ou seja, Fq(ti) → −Fq(ti), tem-e o deslocamento máximo de

mesmo sentido na direção de movimento, caracterizado pelos picos de máximos. Em t1 = 1s,

x1, ou o deslocamento na Fig. 4.10 representa o pico, e a velocidade é nula na Fig. 4.11 (a),


33

ou ẋ1 = 0. Em t2 = 2s, x2 é o pico e a velocidade ẋ2 = 0. Como x1
x2

= e−τ , lembrando

que τ = t, tem-se que a energia dissipada por ciclo é constante quando o movimento é livre

e subamortecido, i.e., ζ < 1. Na Fig. 4.11 (b) tem-se a comparação entre a aceleração e

velocidade do sistema, o que evidencia que ẍ = 0 quando ẋ representa os picos de velocidade.

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0
t

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

x
(t

)

Figura 4.10: Deslocamento de um sistema massa, mola e amortecedor considerando Força de
Amortecimento Quadrático para f = 0,5Hz, fn = 1Hz, A = 0,01, xs(t) = Asin(ωt) e C = 1.

0 2 4 6 8 10
t

−3

−2

−1

0

1

2

A
m
pl
it
u
d
e

x(t)

ẋ(t)

(a) Deslocamento e velocidade

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0
t

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

A
m
pl
it
u
d
e

ẋ(t)

ẍ(t)

(b) Velocidade e aceleração

Figura 4.11: Deslocamento, Velocidade e Aceleração de um sistema massa, mola e amortecedor
considerando Força de Amortecimento Quadrático para f = 0,5Hz, fn = 1Hz, A = 0,01,
xs(t) = Asin(ωt) e C = 1.

Considera-se agora que c = 0 para avaliar o comportamento do sistema quando varia-se

o coeficiente de amortecimento quadrático C. Na Fig. 4.12, em caso de sistema livre sem

amortecimento, tem-se que quando Fnl = 0, a amplitude de deslocamento é máxima, de tal

forma que o deslocamento no sentido de movimento é maior que o deslocamento no sentido

contrário, i.e., xmax > xmin. Além disso, a amplitude do deslocamento positivo oscila entre

x(ti)max = x(ti+1)max = 2x(ti)max. A diminuição do valor de C resulta no decaimento do


34

deslocamento positivo em 25% e decaimento do deslocamento negativo em torno de 16%.

Lembrando que para intervalos de tempo pares à partir de t = 0s, o deslocamento não se

altera, i.e., se ti%2 = 0→ xC1(ti) = xC2(ti).

0 1 2 3 4
t

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

x
(t

),
F
n
l(
t)

=
F
q
(t

)

x(C1)

x(C2)

Fnl = Fq

Figura 4.12: Deslocamento de um sistema massa, mola e amortecedor considerando Força de
Amortecimento Quadrático e para c = 0, f = 0,5Hz, fn = 1Hz, A = 0,1, xs(t) = Asin(ωt),
C1 = 10 e C2 = 20.

Na Fig. 4.13, observa-se o sentido de aceleração não sofre uma variação brusca como

ocorre na força de atrito de Coulomb. Conforme visto no Caṕıtulo 1, a força de amorte-

cimento quadrático possui instantes de tempo onde ela permanece nula, mais precisamente

quando Fnl > 0 → Fnl < 0 e vice-versa, onde o deslocamento alcança sua maior amplitude,

a velocidade é nula e a aceleração atinge seu maior valor. Após este instante, inverte-se o

sentido de movimento e assim sucessivamente em todos os instantes de tempo em que Fnl = 0.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
t

−6

−4

−2

0

2

4

6

ẋ
(t

),
ẍ

(t
),
F
n
l(
t)

=
F
q
(t

)

ẋ(C1)

ẋ(C2)

ẍ(C1)

ẍ(C2)

Fnl = Fq

Figura 4.13: Velocidade e Aceleração de um sistema massa, mola e amortecedor considerando
Força de Amortecimento Quadrático e para c = 0, f = 0,5Hz, fn = 1Hz, A = 0,1, xs(t) =
Asin(ωt), C1 = 10 e C2 = 20.


35

A Fig. 4.14 apresenta o plano de fase. Nota-se dois valores distintos de deslocamento

quando ẋ = 0m/s. Quando o sistema é amortecido por C1, o deslocamento é predominado

pelo valor máximo de x = 0,15m e um segundo valor de x = 0,1m. Quando se aumenta o

coeficiente de amortecimento quadrático, i.e., C2 = 2C1, tem-se que o valor secundário do des-

locamento é incrementado em 25% do valor regido por C1. O valor primário do deslocamento

permanece constante em um dado instante de tempo. Para x(t) < 0, tem-se um único valor

de deslocamento quando ẋ = 0m/s, o qual tem um decaimento conforme se aumenta C.

−0.1 0.0 0.1 0.2
x(t)

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

ẋ
(t

) C1

C2

Figura 4.14: Plano fase considerando Força de Amortecimento Quadrático para c = 0, f = 0,5,
fn = 1, A = 0,1, xs(t) = Asin(ωt), C1 = 10 e C2 = 20.

4.3 Atuação Simultânea das Forças de Atrito de Coulomb e

Amortecimento Quadrático

Considera-se novamente que c = 0 para avaliar o comportamento do sistema quando varia-

se o valor de C e µ, sendo eles C = [3, 1] e µ = [1, 2]. A força de amortecimento agora

é o resultado do somatório da força de amortecimento quadrático e de atrito de Coulomb.

Portanto,na Fig. 4.15, nota-se que o deslocamento é zero quando C > µ e t = 1s, e quando

C < µ, para o mesmo instante de tempo, o deslocamento é mı́nimo e negativo de x = −0,1m.

Observa-se que em t = 0,5s, t = 1s e t = 1,5s ocorre a transição de deslocamento positivo para

negativo, uma vez que nestes pontos a velocidade ẋ é zero e ocorre a variação da aceleração

ẍ.

O comportamento da velocidade, evidenciado na Fig. 4.16, é caracterizado pelo fator

quadrático da força de amortecimento quadrática e a função sign(ẋ), presente nas duas forças.

Observa-se que ẋ = 0m/s em intervalos de tempo onde ∆t = 0,25s, sendo t0 = 0s. Quando

C < µ, tem-se que a velocidade permanece negativa, caracterizado pelo movimento retrógrado,

na primeira metade do intervalo de tempo, i.e. ∆ = 1s e permanece positiva na outra me-

tade, caracterizando um movimento progressivo. Quando C > µ, a velocidade apresenta um

movimento retrógrado no intervalo de tempo de 0,0s à 0,5s e de 1,0s à 1,5s, e um movimento

progressivo de 0,5s à 1,0s e de 1,5s à 2,0s.


36

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
t

−0.10

−0.05

0.00

0.05

0.10

x
(t

)

C1 > µ1

C2 < µ2

Figura 4.15: Deslocamento considerando Força de Amortecimento Quadrático e Força de
Atrito de Coulomb para c = 0, f = 0,5Hz, fn = 1Hz, A = 0,02 e xs(t) = Asin(ωt).

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
t

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

ẋ
(t

)

C1 > µ1

C2 < µ2

Figura 4.16: Velocidade considerando Força de Amortecimento Quadrático e Força de Atrito
de Coulomb para c = 0, f = 0,5Hz, fn = 1Hz, A = 0,02 e xs(t) = Asin(ωt).

Da Fig. 4.17, verifica-se que a amplitude da aceleração é maior quando C > µ e apresenta

um valor mı́nimo de −1m/s2 quando t = 1s. Quando C < µ, verifica-se que a aceleração

apresenta um pico de máximo de 2m/s2 para t = 1s. A semelhança entre as duas acelerações

consiste no intervalo de tempo de 0,5s à 1,5s, onde caracteriza-se o comportamento referente

ao amortecimento quadrático. Nas extremidades do intervalo de tempo, observa-se que há

a predominância da aceleração resultante do atrito de Coulomb, uma vez que a ordem da

grandeza é relativamente maior que os coeficientes de amortecimento quadrático. Na Fig. 4.18

(a) tem-se t = 0,5s à t = 1,0s um movimento progressivo (ẋ > 0) e acelerado (ẋ > 0 e ẍ > 0)

na primeira metade do intervalo e depois ocorre a mudança para progressivo e retardado (ẋ > 0

e ẍ < 0) . Na Fig. 4.18 (b) tem-se t = 0,5s à t = 1,0s um movimento retrógrado (ẋ < 0) e

acelerado (ẋ < 0 e ẍ < 0) na primeira metade do intervalo e depois ocorre a mudança para

retrógrado e retardado (ẋ < 0 e ẍ > 0).


37

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
t

−3

−2

−1

0

1

2

3

ẍ
(t

)
C1 > µ1

C2 < µ2

Figura 4.17: Aceleração considerando Força de Amortecimento Quadrático e Força de Atrito
de Coulomb para c = 0, f = 0,5Hz, fn = 1Hz, A = 0,02 e xs(t) = Asin(ωt).

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
t

−3

−2

−1

0

1

2

3

C
1
>
µ

1

ẋ(t)

ẍ(t)

(a) C1 > µ1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
t

−2

−1

0

1

2

C
2
<
µ

2

ẋ(t)

ẍ(t)

(b) C2 < µ2

Figura 4.18: Aceleração e velocidade considerando Força de Amortecimento Quadrático e
Força de Atrito de Coulomb para c = 0, f = 0,5Hz, fn = 1Hz, A = 0,02 e xs(t) = Asin(ωt).

Ainda na Fig. 4.18 (a) tem-se t = 1,0s à t = 1,5s um movimento retrógrado (ẋ < 0)

e acelerado (ẋ < 0 e ẍ < 0) na primeira metade do intervalo e depois ocorre a mudança

para retrógrado e retardado (ẋ < 0 e ẍ > 0) . Na Fig. 4.18 (b) tem-se t = 1,0s à t = 1,5s

um movimento progressivo (ẋ > 0) e acelerado (ẋ > 0 e ẍ > 0) na primeira metade do

intervalo e depois ocorre a mudança para progressivo e retardado (ẋ > 0 e ẍ < 0). Da

Fig. 4.19, a qual apresenta a curva de histerese, é posśıvel observar que para C < µ, a força

de amortecimento varia entre 2 e −2 ocorrendo sua inversão para x(t) = 0m. Quando C > µ,

a força de amortecimento varia entre 1 e −1 ocorrendo sua inversão para x(t) = −0,05m. Em

ambas as condições avalia-se que o atrito de Coulomb é predominante no resultado da atuação

simultânea deste em somatório com a força de amortecimento quadrático.


38

−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
x(t)

−2

−1

0

1

2

F
n
l(
t)

C1 > µ1

C2 < µ2

Figura 4.19: Curva de Histerese considerando Força de Amortecimento Quadrático e Força de
Atrito de Coulomb para c = 0, f = 0,5Hz, fn = 1Hz, A = 0,02 e xs(t) = Asin(ωt).

4.4 Resposta do sistema aplicando forças internas distintas

Na presente seção avalia-se a resposta para 3 diferentes forças internas.

4.4.1 Determinação das forças internas a serem aplicadas no sistema

A Fig. 4.20 apresenta a força de amortecimento quadrático para C1, f = 1, A = 0,01 e

diferentes valores de x(t), sendo eles x1(t) = A1sin(ω1t) + A2sin(ω2t) + A3sin(ω3t), x2(t) =

Asin(ωt) e um sinal senoidal com presença de rúıdos, representado por x3(t). Tem-se que

C1 = 10, A = 0,01, A2 = 0,03, A3 = 0,01, f1 = 0,5Hz, f2 = 0,7Hz e f3 = 0,9Hz. A Fig. 4.21

apresenta o espectro desta força em função da frequência.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
t

−0.5

0.0

0.5

1.0

F
n
l(
t)

x1(t)

x2(t)

x3(t)

Figura 4.20: Força de Amortecimento Quadrático para C1 e diferentes sinais.


39

0 20 40

f

10−17

10−14

10−11

10−8

10−5

10−2
A
m
pl
it
u
d
e

Fnl,1(f)

Fnl,2(f)

Fnl,3(f)

(a) Sem o método de janelamento

0 20 40

f

10−7

10−5

10−3

10−1

A
m
pl
it
u
d
e

Fnl,1(f)

Fnl,2(f)

Fnl,3(f)

(b) Com o método de janelamento

Figura 4.21: Espectro da Força de Amortecimento Quadrático sem e com o método de jane-
lamento.

Tem-se da Fig. 4.21 que o espectro da força de amortecimento quadrático decai conforme

ocorre o acréscimo da frequência. Tem-se um comportamento similar para Fnl,1(f) e Fnl,2(f) e

um decaimento menos acentuado para Fnl,3(f). Enquanto f < 10Hz, verifica-se que Fnl,1(f) >

Fnl,3(f), porém, para frequência maiores, esta função se inverte. Como a força de atrito de

Coulomb assemelha-se à um pulso quadrado no domı́nio do tempo, considera-se que µ1 = 1

para melhor avaliar o comportamento da força de atrito de Coulomb sob diferentes aspectos

de forças internas.

0 20 40 60 80

f

10−15

10−12

10−9

10−6

10−3

100

A
m
pl
it
u
d
e

Fnl,1(f)

Fnl,2(f)

Fnl,3(f)

(a) Sem o método de janelamento

0 20 40 60 80

f

10−3

10−2

10−1

A
m
pl
it
u
d
e

Fnl,1(f)

Fnl,2(f)

Fnl,3(f)

(b) Com o método de janelamento

Figura 4.22: Espectro da Força de Atrito de Coulomb sem e com o método de janelamento.

Tem-se da Fig. 4.22 que o espectro da força de atrito de Coulomb decai conforme ocorre o

acréscimo da frequência. Tem-se um comportamento similar entre Fnl,1(f), Fnl,2(f) e Fnl,3(f),

sendo a amplitude de Fnl,2 maior que os demais espectros. A Fig. 4.23 apresenta o correspon-

dente espectro de frequências do sinal do deslocamento. O decaimento das amplitudes pico


40

ao longo do tempo indica a presença de amortecimento no sistema c. A máxima amplitude

no espectro de frequências ocorre em 1 Hz que é a frequência natural do sistema. Durante o

intervalo de 0 à 50 Hz ocorrem picos de amplitudes significativamente menores, o que implica

que o sistema possui apenas um grau de liberdade. Enquanto f < 20Hz tem-se que a ordem

de amplitude mantém-se como x1(f) < x2(f) < x3(f). Para 20Hz < f < 50Hz ocorre a

inversão destes valores, sendo agora x2(f) > x1(f) > x3(f). O sinal aleatório x3(t) apresenta

atenuações em intervalos de frequência ∆f .

0 20 40

f

−200

−150

−100

−50

A
m
pl
it
u
d
e

x1(t)

x2(t)

x3(t)

Figura 4.23: Espectro do deslocamento em função da frequência considerando Força de Amor-
tecimento Quadrático para C1, c = 0,5 e fn = 0,5Hz.

A Fig. 4.24 apresenta o correspondente espectro de frequências do sinal do deslocamento

na direção de x. O decaimento das amplitudes não é tão ńıtido como seria em um sistema sob

a atuação da força de amortecimento quadrática.

0 100 200

f

−150

−100

−50

A
m
pl
it
u
d
e

x1(t)

x2(t)

x3(t)

Figura 4.24: Espectro do deslocamento em função da frequência considerando Força de Atrito
de Coulomb para C1, c = 0,5 e fn = 0,5Hz.


41

4.5 Resposta do Sistema Aplicando Forças Externas Distintas

Considerando que Fext, ou uc, é uma força externa atuante sobre o sistema, agora avalia-se a

resposta para 3 diferentes forças externas.

4.5.1 Determinação das forças externas a serem aplicadas no sistema

A Fig. 4.25 representa a força externa de origem senoidal e a Fig. 4.26 representa a de origem

randômica, e ambas serão aplicadas no sistema. Esta seção apresenta a força de amortecimento

quadrático para C1, f = 1,5, A = 8 e diferentes valores de uc(t), sendo eles uc,1(t) = Asin(ωt),

uc,2(t) = A1sin(ω1t)+A2sin(ω2t)+A3sin(ω3t), e um sinal randômico uc,3 com µ = 2 e σ = 5.

Tem-se que C1 = 2, A = 6, A2 = 4, A3 = 8, f1 = 0,3, f2 = 0,5 e f3 = 0,7. Observa-se que para

instantes de tempo, tais que t > 8s, a força externa é nula para melhora avaliar o impacto

desta variação no deslocamento do sistema. Considera-se que x0 = 0m e ẋ0 = 0,5m/s.

0 5 10 15
t

−10

−5

0

5

10

u
c(
t)

uc,1(t)

uc,2(t)

Figura 4.25: Forças externas apresentadas, sendo uc,1 = Asen(ωt) e uc,2 = A1sen(ω1t) +
A2sen(ω2t) +A3sen(ω3t).

0 5 10 15
t

−10

−5

0

5

10

15

u
c(
t)

uc,3(t)

Figura 4.26: Força externa apresentada, sendo uc,3 = N(µ, σ2).


42

Na Fig. 4.27 (a) tem-se que o deslocamento do sistema apresenta um valor máximo em

x(t = 1) = 0,13m e posteriormente, permanece constante até t = 8s, quando a força ex-

terna senoidal é removida e o sinal decai exponencialmente. Na Fig. 4.27 (b) tem-se que

o deslocamento do sistema apresenta um valor máximo acima de x = 0,075m e mı́nimo de

x = −0,075m. Na Fig. 4.27 (c) tem-se que o sistema atenua o comportamento randômico da

força externa.

0 5 10 15
t

−0.10

−0.05

0.00

0.05

0.10

x
(t

)

uc,1(t)

(a) uc,1(t) = Asin(ωt)

0 5 10 15
t

−0.075

−0.050

−0.025

0.000

0.025

0.050

0.075

x
(t

)

uc,2(t)

(b) uc,2(t) = A1sin(ω1t)+A2sin(ω2t)+A3sin(ω3t)

0 5 10 15
t

−0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

x
(t

)

uc,3(t)

(c) uc,3 = N(µ, σ2)

Figura 4.27: Deslocamento do sistema considerando Força de Amortecimento Quadrático,
sendo uc,1 = Asen(ωt), uc,2 = A1sen(ω1t) + A2sen(ω2t) + A3sen(ω3t) e uc,3 =
random.gauss(µ, σ).

Na Fig. 4.28 verifica-se que todos os sinais convergem para ẋ = 0 e x = 0, sendo o

deslocamento resultante da força externa senoidal 1 uc,1 aquele de maior amplitude em torno

de x = ±0,1 e portanto, o sinal que apresenta um decaimento menos acentuado. Observa-

se em valores que o deslocamento em t = 15s representa 20% do deslocamento máximo em

todos os casos apresentados, ou seja, min(x(t))
max(x(t)) = 0,2. A Fig. 4.29 ilustra um comportamento

semelhante ao que foi apresentado no Caṕıtulo 3 Seção 3.1, ou seja, nos pontos em que x(t) é


43

máximo e mı́nimo, a força de amortecimento quadrático é zero, atingindo seu valor máximo

quando x(t) = 0.

−0.1 0.0 0.1
x(t)

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

ẋ
(t

)

uc,1(t)

uc,2(t)

uc,3(t)

Figura 4.28: Plano fase sob Força de Amortecimento Quadrático considerando forças externas
senoidais e randômica.

−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
x(t)

−3

−2

−1

0

1

2

3

F
n
l(
t)

uc,1(t)

uc,2(t)

uc,3(t)

Figura 4.29: Curva de histerese da força de amortecimento quadrática considerando forças
externas senoidais e randômica.

4.6 Sistema de Um Grau de Liberdade Contendo Elemento de

Liga com Memória de Forma

Diferentes condições para as propriedades da liga com memória de forma estão dispostas na

Tab. 4.1. Os modelos escolhidos da literatura são representativos da liga metálica de ńıquel e

titânio. Há também a varição do tamanho do ciclo de histerese. constantes de transformação,

temperaturas de transformação e tensões cŕıticas. O ciclo de Savi (2008) é de maior área que

o de Aguiar (2013), porém sua transformação de fase de 1→ 2 não é retiĺınea. Para Lagoudas


44

& Khan (2001), as tensões inicias são nulas, enquanto que para os demais modelos, tem-se

valores representativos. As constantes de transformação de austenita e martensita são iguais

para o modelo de Lagoudas e para o modelo de Savi, enquanto que para o modelo de Aguiar

estes valores diferem. A transformação residual limite é de 7%.

Tabela 4.1: Propriedades da liga com memória de forma de acordo com as referências encon-
tradas.

Referência / Parâmetro Lagoudas Aguiar Savi Unidade

Liga NiTi NiTi NiTi -

Mf 274 302 282 K

Ms 292 315 290 K

As 296 316 298 K

Af 315 331 303 K

C∗A 7 6 5,6 MPa.K−1

C∗M 7 4 5,6 MPa.K−1

σmin∗s 0 100 100 MPa

σmin∗f 0 170 575 MPa

ε∗L 5 6,7 7 %

D∗M 30 29,9 22 GPa

D∗A 70 37,7 46 GPa

Conhecidos os modelos da literatura, as propriedades do sistema são expostas na Tab. 4.2,

os quais foram modificados em 3 situações a partir do modelo de Lagoudas, encontrado na

referência Lagoudas & Khan (2001). Os parâmetros originais se encontram na Tab. 3.2.

Tabela 4.2: Propriedades da liga com memória de forma conforme os casos analisados.

Parâmetros de Projeto Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

m[kg] 50 50 50 50

fn[Hz] 2 2 5 5

f [Hz] 100 20 10 10

r[m] 0,01 0,01 0,001 0,001

L[m] 1 1 0,1 0,1

fn[Hz] 2 2 5 5

T [K] 315 315 331 315

X0[m] 0 0 0,001 0,001

Y0[m] 0,04 0,05 0,0001 0,0001

εmin 0,059 0,058 0,010 0,01

εmax -0,058 -0,059 -0,009 -0,008

O caso 3 difere-se dos demais por usar os parâmetros propostos por Aguiar (2013), ou seja,

as temperaturas cŕıticas de transformação, constantes de transformação, deformação residual

e módulos de elasticidade diferem-se do modelo proposto por Lagoudas & Khan (2001). Para


45

todos os casos apresentados a massa estrutural é a mesma, há uma redução do raio e do

comprimento da barra estrutural da liga com memória de forma, e também uma redução da

frequência de excitação. Da Fig. 4.30, pode-se avaliar que mesmo para altas frequências de

excitação, como f = 100Hz e f = 20Hz, a tendência é que a deformação se reduza conforme

a constante de tempo aumente. No caso 1 esta redução é pouco expressiva, e no caso 2 esta

atenuação tende a ser zero a partir de t = 0,25s. Com a redução dos parâmetros estruturais,

os casos 3 e 4 mostram que a deformação apresenta um comportamento similar a um sistema

criticamente amortecido (ξ = 1) e que ε → 0. Entre o caso 3 e caso 4, a diferença entre

as propriedades da liga com memória de forma, resulta em um decaimento mais acentuado

quando T = 315K, fazendo-se com que a deformação seja zero em torno de t = 0,025s e seja

t = 0,050s para T = 331K.

0.0 0.2 0.4
t

−0.06

−0.04

−0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

ε

(a) Caso 1

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
t

−0.06

−0.04

−0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

ε

(b) Caso 2

0.000 0.025 0.050 0.075 0.100
t

−0.0075

−0.0050

−0.0025

0.0000

0.0025

0.0050

0.0075

0.0100

ε

(c) Caso 3

0.000 0.025 0.050 0.075 0.100
t

−0.005

0.000

0.005

0.010

ε

(d) Caso 4

Figura 4.30: Correlação do histórico de deformação-tempo para condição adiabáticas e
isotérmicas considerando cinética de transformação pelo método Tanaka e Nagaki.

Na Fig. 4.31 tem-se que a força da barra de liga com memória de forma possui um compor-

tamento geral similar à sua deformação, uma vez que Flmf é diretamente proporcional à ε e εt.

Para o caso 1 tem-se a atuação de uma força, tal que Flmf < 104, e no caso 2, com a redução

da frequência de excitação, tem-se Flmf < 75.103. Em comparação com o caso 3, o caso 4


46

resultou em uma força com amplitude próxima de Flmf = 75.103, para que a deformação fosse

reduzida em um intervalo de tempo menor, i.e., t,4(ε→0) = t,3(ε→0)/2, evidenciando-se que o

ciclo de histerese para o modelo de Aguiar (2013) é menor em área que o modelo de Lagoudas

& Khan (2001), e consequentemente dissipa menor quantidade de energia.

Nos casos 2, 3 e 4 a força apresenta uma brusca variação associada à transição de movi-

mento entre compressão e tração da barra, tal que ∆ε > 0→ ∆ε < 0. No caso 3 a magnitude

desta variação é mais acentuada.

0.0 0.2 0.4
t

−50000

0

50000

100000

F
n
l(
t)

(a) Caso 1

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
t

−75000

−50000

−25000

0

25000

50000

75000

F
n
l(
t)

(b) Caso 2

0.000 0.025 0.050 0.075 0.100
t

−20000

−10000

0

10000

20000

F
n
l(
t)

(c) Caso 3

0.000 0.025 0.050 0.075 0.100
t

−50000

−25000

0

25000

50000

75000

F
n
l(
t)

(d) Caso 4

Figura 4.31: Correlação do histórico de força-tempo para condição adiabáticas e isotérmicas
considerando cinética de transformação pelo método Tanaka e Nagaki.

Na Fig. 4.32 tem-se os resultados de deslocamento x(t) do sistema-massa-mola depois que

este recebe uma excitação externa senoidal y(t). O caso 1 resulta em decaimento do des-

locamento do sistema, de tal forma que para um instante t = 0s tem-se uma amplitude de

x = 0,02m e para t = 0,4s tem-se x = 0,01m. Para um frequência de excitação menor de

f = 20Hz, tem-se que o decaimento de x(t) permanece constante a partir de um dado instante

de tempo t = 0,25s com uma amplitude de x(t > 0,25) = 0,08m. Analisando os resultados

numéricos obtidos pode-se concluir a respeito da influência significativa da frequência de ex-

citação no carregamento pseudo-elástico das ligas de memória de forma. Pois, mesmo para


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baixas frequências próximas à frequência de ressonância do sistema, ainda assim observa-se

uma boa atenuação do deslocamento da massa.

Com a redução dos parâmetro estruturais, os casos 3 e 4 apresentam que o deslocamento

exibe um comportamento similar a um sistema criticamente amortecido. O sinal de x(t)

oscila com uma amplitude menor e frequência maior em torno do sinal y(t). A diferença entre

as propriedades da liga com memória de forma fazem com que haja um decaimento mais

acentuado para T = 315K (caso 4), uma vez que para t = 0s, x(t = 0) = 0,001m e para

t = 0,25s, x(t = 0,25s) = y(t = 0,25s) = 0,0001m. Enquanto que para T = 331K (caso 3),

tem-se que para t = 0,75s, x(t = 0,75s) = y(t = 0,75s) = |0,0001|m.

0.0 0.2 0.4
t

−0.04

−0.02

0.00

0.02

0.04

x
(t

)

(a) Caso 1

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
t

−0.10

−0.05

0.00

0.05

0.10

x
(t

)

(b) Caso 2

0.000 0.025 0.050 0.075 0.100
t

−0.00075

−0.00050

−0.00025

0.00000

0.00025

0.00050

0.00075

0.00100

x
(t

)

(c) Caso 3

0.000 0.025 0.050 0.075 0.100
t

−0.0005

0.0000

0.0005

0.0010

x
(t

)

(d) Caso 4

Figura 4.32: Correlação do histórico de deslocamento-tempo para condição adiabáticas e
isotérmicas considerando cinética de transformação pelo método Tanaka e Nagaki. As linhas
cinzas representam y(t) e as vermelhas, x(t).

Na Fig. 4.33 pode-se avaliar que a massa estrutural exerce influência significativa no sis-

tema, uma vez que o sinal de deslocamento tende a apresentar uma taxa de decaimento menor

em função do tempo, apesar da frequência de excitação ainda ser maior que no caso 1. Ainda

assim, tem-se que o primeiro pico do deslocamento é de x = 0,015m, que é menor que o valor

apresentado para o caso com massa estrutural de m = 50kg, o que pode ser atribúıdo à baixa


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compressão e tração da barra devido ao alto ńıvel de carga.

0.0 0.2 0.4
t

−0.04

−0.02

0.00

0.02

0.04

x
(t

)

Figura 4.33: Correlação do histórico de deslocamento-tempo para condição adiabáticas e
isotérmicas considerando cinética de transformação pelo método Tanaka e Nagaki para caso
2, considerando f = 50Hz e m = 500kg. A linha vermelha de menor magnitude representa
o deslocamento da massa, e a linha cinza de maior amplitude representa o deslocamento da
base.

A seguir tem-se as curvas de força-deformação que representam o ciclo de histerese. Com-

parando os casos 1 e 2, o sistema que recebeu a maior frequência de excitação resultou em

um ciclo de histerese com maiores magnitudes de tensões, sendo |Fnl| = 105N , enquanto que