Bilhares dependentes do tempo: um mecanismo para suprimir aceleração de Fermi - Oliveira, Diego Fregolente Mendes de [UNESP] (Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2009)
O problema de bilhar teve origem em 1927 quando G.D. Birkhoff considerou um sistema para descrever o movimento de uma partícula livre dentro de uma região fechada por uma fronteira com a qual sofre colisões. Ao atingir a fronteira a partícula é refletida e viaja com velocidade constante até a próxima colisão. Nesse trabalho consideramos um modelo bidimensional conhecido na literatura como Bilhar Elíptico-ovóide. O raio da fronteira em coordenadas polares é dado por R(θ, p, e, є) = (1−e2)/[1+e cos(θ)]+є cos(pθ). Este modelo comporta-se como uma combinação dos bilhares elíptico e ovóide. Se considerarmos o caso em que a excentricidade e = 0 recuperamos os resultados para o bilhar ovóide, por outro lado, se a deformação na fronteira for nula, є = 0, os resultados para o bilhar elíptico são recuperados. Tal modelo consiste em considerar o movimento de uma partícula clássica de massa m movendo-se livremente no interior de uma região fechada. Ao colidir com a fronteira a trajetória da partícula muda de direção sem sofrer perdas de energia. Encontramos as expressões que descrevem a dinâmica do modelo nas variáveis posição angular e ângulo que a trajetória faz com a reta tangente à curva no ponto de colisão e discutimos nossos resultados numéricos. Observamos que o espaço de fases é do tipo misto, contendo ilhas do tipo Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) geralmente envoltas por um mar de caos, caracterizado por um expoente de Lyapunov positivo, e curvas invariantes do tipo spanning separando diferente regiões do espaço de fases. Entretanto, à medida que os parâmetros de controle são variados, a forma da fronteira se altera, podendo ocorrer que algumas regiões da fronteira passam a ter curvatura negativa. Uma implicação imediata deste comportamento é a destruição das curvas invariantes spanning no espaço de fases....

The interest in understanding the dynamics of billiard problems becomes in earlies 1927 when Birkhoff introduced a system to describe the motion of a free particle inside a closed region with which the particle suffers elastic collisions. Inside the billiard, a point particle of mass m moves freely along a straight line until it hits the boundary. After the collision, it is assumed that the particle is specularly reflected. In our work we propose a special geometry for the boundary of a classical billiard, which we call as elliptical-oval boundary. The radius of the boundary in polar coordinates is given by R(θ, p, e, є) = (1−e2)/[1+e cos(θ)]+є cos(pθ). It is important to say that the shape of the boundary is controlled by three relevant control parameters, namely p=integer number, є = deformation of the boundary and e is the eccentricity. We obtain and discuss some numerical results considering different possibles combination of the control parameters. In our approach, we obtained a map that describe the particle’s dynamics and show that there are a critical value for the parameter є. We show that the phase space has different structures when є > єc and є < єc. Finaly, we obtained the positive Lyapunov Exponent reinforcing that the model has a chaotic behaviour. After studying the static version, we revisit the problem of a classical particle bouncing elastically inside a periodically time varying Oval billiard. The problem is described using a four dimensional mapping for the variables velocity of the particle; time immediately after a collision with the moving boundary; the angle that the trajectory of the particle does with the tangent at the position of the hit; and the angular position of the particle along the boundary. Our main goal is to understand and describe the behaviour of the particle’s average velocity (and hence its energy) as a function of the number of ...(Complete abstract click electronic access below)
Keywords: Fisica matematica; Bilhares; Acelerador de Fermi; Caos; Billiard problems