Propriedades dinâmicas e leis de escala em mapeamentos unidimensionais discretos: aplicações em circuitos - Ramos, Larissa Cristina Nascimento [UNESP] (Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2019)
In this work some dynamic properties will be investigated in the Smith and Slatkin map parameterized by the γ exponent and the control parameters α and r. This mapping belongs to a set of discrete one-dimensional maps used to describe the dynamics of biological populations. Nonlinear dynamic systems can be described by mappings that depend on control parameters. Thus, if the control parameters change, the system may exhibit different behaviors. Initially, the bifurcation diagram was numerically build to illustrate the behavior of the dynamic system, so the stability and the chaos could be observed. The Lyapunov exponents were used to characterize the chaos in the system. After that a small parametric perturbation defined by the control parameters ε and bn was introduced in the system and changes could be observed in the bifurcation diagram. Our studies was extended in the investigation of parameter space. The investigation of parameter space in one-dimensional maps is a current scientific theme, little known in the literature and requires a great computational effort. Using the calculation of Lyapunov exponents, we build the parameter spaces for the Smith and Slatkin map in order to explore the structures known as shrimps. This knowledge was applied to the study of the chaotic circuit of Chua.

Neste trabalho foram investigadas algumas propriedades dinâmicas no mapa Smith e Slatkin, parametrizado pelo expoente γ e pelos parâmetros de controle α e r. Esse mapeamento pertence a um conjunto de mapas unidimensionais discretos utilizados para descrever a dinâmica de populações biológicas. Sistemas dinâmicos não lineares podem ser descritos por mapeamentos que dependem de parâmetros de controle. Assim, se os parâmetros de controle sofrerem alterações, o sistema poderá apresentar comportamentos distintos. Em muitos mapeamentos unidimensionais, o diagrama de bifurcações é utilizado para descrever matematicamente o comportamento da dinâmica, de modo que a estabilidade e a ocorrência de caos podem ser observadas. Inicialmente, foi construído numericamente o diagrama de bifurcações para ilustrar o comportamento dinâmico do sistema. Para caracterizar numericamente o caos no sistema foram utilizados os expoentes de Lyapunov. Posteriormente, foi introduzida uma pequena perturbação paramétrica no sistema definida pelos parâmetros de controle ε e bn de modo que mudanças de bacia de atração puderam ser observadas no diagrama de bifurcações. Novamente o cálculo dos expoentes de Lyapunov foi utilizado para caracterizar o caos e permitindo a investigação do espaço de parâmetros. A investigação do espaço de parâmetros em mapas unidimensinais é um tema científico atual, pouco conhecido na literatura e exige um grande esforço computacional. Utilizando o cálculo dos expoentes de Lyapunov, construímos os espaços de parâmetros para o mapa Smith e Slatkin com o intuito de explorar as estruturas conhecidas como camarões. Depois, aplicou-se esses conhecimentos no estudo teórico do circuito caótico de Chua.
Dynamic properties and scaling laws in discrete one-dimensional mappings: applications in circuits
Keywords: Circuitos elétricos; Comportamento caótico nos sistemas; Sistemas não lineares; Telecomunicações