Zeros de séries de Dirichlet e de funções na classe de Laguerre-Pólya - Oliveira, Willian Diego [UNESP] (Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2017)
Estudamos tópicos relacionados a zeros de séries de Dirichlet e de funções inteiras. Boa parte da tese é voltada à localização de zeros de séries de Dirichlet via critérios de densidade. Estabelecemos o critério de Nyman-Beurling para uma ampla classe de séries de Dirichlet e o critério de Báez-Duarte para L-funções de Dirichlet em semi-planos R(s)>1/2, para p ∈ (1,2], bem como para polinômios de Dirichlet em qualquer semi-plano R(s)>r. Um análogo de uma cota inferior de Burnol relativa ao critério de Báez-Duarte foi estabelecido para polinômios de Dirichlet. Uma das ferramentas principais na prova deste último resultado é a solução de um problema extremo natural para polinômios de Dirichlet inspirado no resultado de Báez-Duarte. Provamos que os sinais dos coeficientes de Maclaurin de uma vasta subclasse de funções inteiras da classe de Laguerre-Pólya possuem um comportamento regular.

We study topics related to zeros of Dirichlet series and entire functions. A large part of the thesis is devoted to the location of zeros of Dirichlet series via density criteria. We establish the Nyman-Beruling criterion for a wide class of Dirichlet series and the Báez-Duarte criterion for Dirichlet L-functions in the semi-plane R(s)>1/p, for p ∈ (1,2], as well as for zeros of Dirichlet polynomials in any semi-plane R(s)>r. An analog for the case of Dirichlet polynomials of a result of Burnol which is closely related to Báez-Duarte’s one is also established. A principal tool in the proof of the latter result is the solution of a natural extremal problem for Dirichlet polynomials inspired by Báez-Duarte’s result. We prove that the signs of the Maclaurin coefficients of a wide class of entire functions that belong to the Laguerre-Pólya class posses a regular behavior.
Zeros of Dirichlet series and of functions in the Laguerre-Pólya class
Keywords: Séries de Dirichlet; Polinômios de Dirichlet; Critério de Nyman-Beruling; Critério de Báez-Duarte; Funções Inteiras; Classe de Laguerre-Pólya; Dirichlet series; Dirichlet polynomials; Nyman-Beurling criterion; BáezDuarte's criterion; Entire functions; Laguerre-Pólya class