Gravitação escalar-tensorial na variedade de Lyra - Morais, Eduardo Messias de [UNESP] (Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022)
Apresentamos as propriedades geométricas da variedade de Lyra e estudamos sua aplicação na modelagem do espaço-tempo. Nesse cenário, os referenciais físicos ficam definidos pelo sistema de coordenadas x^{\mu} e uma função de escala de Lyra \phi. Construímos tensores com respeito às transformações simultâneas de \left(x^{\mu},\phi\right) e definimos suas leis de transformação. Equipamos a variedade com uma conexão afim e construímos o operador de derivação covariante de Lyra. Através das propriedades afins da variedade de Lyra, definimos o tensor de torção, o tensor de curvatura e suas contrações. Definimos também os equivalente em Lyra da Equação de Hamilton-Jacobi e o teorema da divergência. Sob as hipóteses de compatibilidade métrica e ausência de torção, formulamos uma teoria de gravitação escalar-tensorial chamada de teoria LyST (Lyra Scalar-Tensor), onde os campos fundamentais relacionados à geometria do espaço-tempo são a métrica g_{\mu\nu} e a função de escala de Lyra \phi. As equações de campo em LyST são obtidas via princípio variacional, considerando uma generalização em Lyra da ação de Einstein-Hilbert. Mostramos que ela apresenta um limite newtoniano bem definido e que suas previsões se equivalem às da Relatividade Geral nos fenômenos em escala de sistema sistema solar. Encontramos duas classes fisicamente coerentes de soluções esfericamente simétricas, que dependem do parâmetro m_{G}:=MG, que é a massa gravitacional da fonte; e o parâmetro r_{L} que tem unidades de distância e contabiliza a influência da escala de Lyra. No limite de r_{L}\to\infty, as soluções encontradas tendem à solução de Schwarzschild. Na classe de soluções onde r_{L}>0, encontramos uma singularidade aparente em r=1/\left(1/2m_{G}+1/r_{L}\right) e uma singularidade real em r=r_{L}, além da singularidade em r=0. Essa solução divide o espaço-tempo em duas regiões \left(r<r_{L}\text{\,\,\,e\,\,\,}r>r_{L}\right) que não tem contato causal. Outra solução de interesse é aquele em que r<-2m_{G} e, nesse caso, temos somente a singularidade em r=0 e a singularidade aparente em r=1/\left(1/2m_{G}+1/r_{L}\right). Por fim, fizemos um estudo aprofundado sobre as geodésicas no espaço-tempo esfericamente simétrico de LyST e caracterizamos os seus diversos tipos de trajetórias geodésicas.

We present the geometric properties of Lyra manifolds and study its application in space-time modeling. In this scenario, the physical frames are defined by the coordinate system x^{\mu} and a Lyra scale function \phi. We constructed tensors with respect to the simultaneous transformations of \left(x^{\mu},\phi\right) and defined their transformation laws. We equipped the manifold with an affine connection and constructed the Lyra covariant derivation operator. Through the affine properties of the Lyra manifold, we defined the torsion tensor, the curvature tensor and their contractions. We also defined the Lyra equivalents of the Hamilton-Jacobi equation and the divergence theorem. Under the assumptions of metric compatibility and torsion-free spacetime, we formulated a scalar-tensor theory of gravity called LyST theory (Lyra Scalar-Tensor), where the fundamental fields related to spacetime geometry are the metric g_{\mu\nu} and the Lyra scale function \phi. Field equations in LyST are obtained via the variational principle, considering a generalization in Lyra of the Einstein-Hilbert action. We proved that it has a well-defined Newtonian limit and that its predictions are equivalent to those of General Relativity in solar system scale phenomena. We found two physically interesting classes of spherically symmetric solutions, which depend on the parameter m_{G}:=MG, which is the gravitational mass of the source; and the parameter r_{L} which has units of distance and accounts for the influence of Lyra's scale. In the limit of r_{L}\to\infty, the solutions tend to the Schwarzschild solution. In the class of solutions where r_{L}>0, we found an apparent singularity at r=1/\left(1/2m_{G}+1/r_{L}\right) and a real singularity at r=r_{L}, in addition to the singularity at r=0. This solution splits spacetime into two regions \left(r<r_{L}\text{\,\,\,and\,\,\,}r>r_{L}\right) that have no causal contact. Another interesting solution is the one where r<-2m_{G} and, in this case, we only have the singularity at r=0 and the apparent singularity at r=1/\left(1/2m_{G}+1/r_{L}\right). Finally, we made an in-depth study of geodesics in LyST's spherically symmetric spacetime and characterized its different types of geodesic trajectories.
Scalar-tensor gravity on Lyra manifold
Keywords: Gravitação; Geometria diferencial; Partículas (Física nuclear)