Teoria de Chebyshev e aplicações à ciclicidade de campos de vetores lineares por partes - Gusson, Vitor Henrique Lopes [UNESP] (Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022)
O objetivo deste trabalho é apresentar a Teoria de Sistemas de Chebyshev clássica e atual, com acurácia, e sua potencial aplicação na Teoria Qualitativa de Equações Diferenciais Ordinárias (TQEDO). Para isto, reunimos as principais definições e resultados acerca da Teoria de Chebyshev, transitando entre sistemas de Chebyshev estendidos, completos, completos estendidos, e estendidos com acurácia. Caracterizamos cada uma destas classes de sistemas de Chebyshev a partir do número máximo de zeros que uma combinação linear não trivial de suas funções possui. Um dos principais resultados sobre sistemas de Chebyshev com acurácia, encontrado na literatura, relaciona a existência de uma cota superior para o número máximo de zeros isolados de uma combinação linear de funções de um conjunto com os zeros dos Wronskianos das funções deste conjunto. Aqui, exibimos uma melhora nesta cota superior. Com a finalidade de mostrar uma aplicação da Teoria de Chebyshev na TQEDO, consideramos uma classe de sistemas lineares por partes, maior que a do artigo original, tendo um laço homoclínico formado por um ponto de sela e por um centro, limitado por um anel de órbitas periódicas, e estudamos, com auxílio de semi-aplicações de Poincaré, o número máximo de ciclos limites que bifurcam (isto é, a ciclicidade) deste anel por perturbações lineares. Por fim, aplicando os sistemas de Chebyshev com acurácia em um dos resultados de ciclicidade, mostramos como eles podem ser úteis para melhorar cotas do número máximo de ciclos limites.

We aim to present the classic and current, with accuracy, Chebyshev Systems Theory and to show one of its application possibilities in the Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations (QTODE). For this, we collected the main definitions and results about Chebyshev Theory, moving on between extended, complete, extended complete, and extended Chebyshev systems with accuracy. We characterize each of these classes of Chebyshev systems from the maximum number of zeros that a non-trivial linear combination of its functions has. One of the main results about Chebyshev systems with accuracy, found at literature, relates the existence of an upper bound to the maximum number of isolated zeros of a linear combination of functions of a set to the simple zeros of the wronskians of the functions of this set. Here, we exhibit an improvement in this upper bound. In order to show an application of Chebyshev Theory in the QTODE, we consider a class of piecewise linear system, larger than the original article class, having a homoclinic loop formed by a saddle point and a center, limited by a annulus of periodic orbits, and with the aid of the Poincaré half-return maps, we study the maximum number of limit cycles that bifurcate (ciclicity) from this annulus by linear perturbartions . Finally, applying the Chebyshev systems with accuracy to one of the results about ciclicity, we show how its can be useful for to improve the quotas for the maximum number of limit cycles.
Chebyshev Theory and applications to the ciclicity of piecewise linear vector fields
Keywords: Teoria de Chebyshev; Teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias; Ciclos limites; Ciclicidade; Campos de vetores por partes; Chebyshev theory; Qualitative theory of ordinary differential equations; Limit cycles; Ciclicity; Piecewise vector fields