Princípio de Pontrjagin e Formalismo de Dubovickij-Miljutin - Mussatto, Pedro Otávio de Souza [UNESP] (Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2024)
A primeira parte desta dissertação de Mestrado apresenta uma versão de mais alta ordem do Princípio de Pontrjagin, resultado de extrema importância na Teoria de Controle Ótimo e que marcou sua emergência como área de pesquisa distinta na Matemática, para problemas de controle espaço-temporais cujos lagrangianos crescem, sub linearmente, em relação às variáveis de controle. A principal consequência de tal crescimento é o possível aparecimento de impulsos no controle ótimo. A demonstração combina as clássicas variações de agulha, usadas na demonstração da versão de primeira ordem, com as recém-introduzidas variações de tipo-colchete construídas a partir de colchetes de Lie arbitrários de campos de vetores (em contraste com outros resultados similares, que requerem comutatividade) e com um argumento padrão de separação de conjuntos. Já a segunda parte apresenta o formalismo de Dubovickĳ-Miljutin sob uma nova abordagem. Trata-se de um resultado geral de Otimização em espaços vetoriais topológicos introduzido em 1962 e cuja versão clássica se vale de três tipos de cones: de direções de descida, de direções factíveis e de direções tangentes. Sua essência está no fato de que a disjunção entre o conjunto viável e o subnível do funcional objetivo com fronteira no nível ótimo causa uma separação dos cones apresentados. Uma desvantagem dessa abordagem clássica é a de que quase todos os cones, com exceção, possivelmente, dos de direções tangentes, são abertos, o que complica a aplicação do formalismo em problemas reais. Dito isso, a abordagem utilizada aqui se vale do cone tangente introduzido por Frank H. Clarke na década de 1970, que é um cone convexo e fechado por natureza e que satisfaz essa mesma separação sob a hipótese mais fraca de isolamento do minimizador.

The first part of this Master’s thesis outlays a higher-order version of Pontrjagin’s Principle, a landmark result in Optimal Control Theory that marked its rise as a one-of-a-kind research area in Mathematics, for space-time control problems whose Lagrangians grow sub-linearly with respect to the control variables. The main outcome of this growth is the possible appearance of impulses in the optimal control. The proof melds the classical needle variations, wielded in proving the first-order version, with the newly brought bracket-like variations crafted with arbitrary Lie brackets of vector fields (unlike other similar results, which need commutativity) and with a standard set separation argument. The second part brings a version of the Dubovickĳ-Miljutin formalism under a new approach. It’s a broad result of Optimization in topological vector spaces introduced in 1962 and whose classical version uses three kinds of cones: descent directions, feasible directions and tangent directions. Its proof’s core lies in the fact that the disjunction between the feasible set and the objective functional’s sublevel with boundary the optimal level causes a separation of the presented cones. A disadvantage of this classical approach is that almost all cones, with the exception perhaps of the tangent directions’ one, are open, which toughens the formalism’s application to real problems. That said, the approach taken here wields the tangent cone introduced by Frank H. Clarke in the 1970s, which is a convex and closed cone fulfilling the same separation under the weaker assumption of the minimizer’s isolation.
Pontrjagin Principle and Dubovickij-Miljutin Formalism
Keywords: Controle ótimo impulsivo; Colchetes de Lie; Princípio de Pontrjagin; Cone tangente; Princípio da Interseção; Formalismo de Dubovickĳ-Miljutin; Impulsive optimal control; Lie brackets; Pontrjagin’s Principle; Tangent cone; Intersection principle; Dubovickĳ-Miljutin formalism