Métodos geométricos para pertubações singulares - Silva, João Victor Rodrigues da [UNESP] (Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2024)
Neste trabalho estudamos retratos de fase de sistemas singularmente perturbados em torno de singularidades típicas. Um sistema singularmente perturbado possui a característica peculiar de ser governado por mais de uma escala de tempo, esse fenômeno será estudado nos primeiros capítulos do texto, que tem como objetivo apresentar a teoria de Fenichel para sistemas singularmente perturbados. A teoria de Fenichel aqui apresentada fornece uma boa compreensão de um sistema em torno de variedades normalmente hiperbólicas, no entanto, não explica o que acontece em variedades que não possuem hiperbolicidade normal. O último capítulo é dedicado ao estudo de variedades críticas que possuem pontos de dobra (singularidades da variedade crítica), isso é, pontos que não possuem hiperbolicidade normal, mais especificamente estudaremos singularidades do tipo cúspide em sistemas cuja variável lenta (governada por uma escala de tempo lento) possui dimensão menor ou igual a dois. Todos os sistemas aqui possuirão duas escalas de tempo.

In this work we study phase portraits of singularly perturbed systems around typical singularities. A singularly perturbed system has the peculiar characteristic of being governed by more than one time scale. This phenomenon will be studied in the first chapters of the text, which aims to present Fenichel's theory for singularly perturbed systems. Fenichel's theory presented here provides a good understanding of a system around normally hyperbolic manifolds, however, it does not explain what happens on manifolds that do not have normal hyperbolicity. The last chapter is dedicated to the study of critical manifolds that have bending points (singularities of the critical variety), that is, points that do not have normal hyperbolicity, more specifically we will study cusp-type singularities in systems whose slow variable (governed by a scale of slow time) has a dimension less than or equal to two. All systems here will have two time scales.
Geometric methods for singular pertubations
Keywords: Perturbações singulares; Variedades invariantes; Normal hiperbolicidade; Sistemas lento-rápido; Singular perturbation; Invariant manifolds; Normal hyperbolicity; System slow-fast