Métodos variacionais e aplicações em equações elípticas semilineares - Cassio, Isabela Mendes [UNESP] (Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2019)
Neste trabalho vamos falar do poder e elegância do método variacional para equações diferenciais. Nosso problema modelo é uma equação elíptica semilinear com não linearidade homogênea de grau p em um domínio limitado. Vamos utilizar a teoria dos espaços de Sobolev, cujas características geométricas e topológicas facilitam os argumentos variacionais. Para isso, é necessário recuperar conceitos básicos do Cálculo Diferencial, como diferenciabilidade e regra dos multiplicadores de Lagangre que são estendidos a espaços de dimensão inﬁnita. Foi estudado também a teoria “minima´x”, uma técnica complexa e soﬁsticada, que fornece meios de provar existência de pontos críticos de funcionais mesmo quando eles deixam de ser limitados inferiormente e superiormente. Como aplicação, estudamos o problema de Dirichlet subcrítico e com o teorema do passo da montanha, temos o resultado de existência de solução não trivial. Finalmente estudamos o caso crítico e concluímos através de exemplos, que para este caso em particular, a topologia do domínio escolhido inﬂuência fortemente no resultado de existência de solução não trivial.

In this work we will talk about the power and elegance of the variational method for diﬀerential equations. Our model problem is a semilinear elliptical equation with homogeneous nonlinearity of degree p in a limited domain. For this, we will use the theory of the spaces of Sobolev, whose geometric and topological characteristics facilitate variational arguments. To study semilinearity, it is necessary to retrieve basic concepts of diﬀerential calculus, as diﬀerentiability and Lagangre’s rule multimers that are extended to inﬁnite dimension spaces. The ”Minimax”theory was also studied, a complex and sophisticated technique, which provides means to prove the existence of critical functional points even when they cease to be limited inferiorly and superiorly. As an application, we study the problem of subcritical Dirichlet and with the mountain pass theorem, we have the result of existence of a non-trivial solution. Finally we study the critical case and conclude through examples, which for this particular case, the topology of the chosen domain, strongly inﬂuences the result of the existence of a non-trivial solution.
Variational methods and applications in semilinear elliptic equations
Keywords: Métodos variacionais; Equações elípticas semilineares; Espaços de Sobolev; Métodos minimáx; Variational methods; Semilinear elliptical equations; Spaces of Sobolev; Minimax methods