Um estudo da localização das últimas curvas invariantes e de tempos característicos em mapeamentos Hamiltonianos bidimensionais - Hermes, Joelson Dayvison Veloso [UNESP] (Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022)
O tempo de recorrência de Poincaré e o tempo de Lyapunov fornecem informações importantes sobre a complexidade do sistema e estão relacionados a medidas interessantes como a dimensão fractal e o expoente de difusão. Dessa forma, esses tempos característicos foram medidos para o mapa padrão e também para o modelo Fermi-Ulam e com isso confirmamos que o tempo de recorrência médio depende do tamanho do intervalo de recorrência escolhido e também da região onde foram tomadas as condições iniciais. Além disso, a dimensão fractal da região foi determinada através da inclinação da curva no gráfico do tempo de recorrência de Poincaré médio em função do tamanho do intervalo de recorrência, para diferentes regiões do espaço de fases. Uma vez que a dimensão fractal está relacionada ao expoente de difusão 𝜇, encontramos para ambos mapeamentos 𝜇= 1 para as regiões caóticas e longe das ilhas de estabilidade, condizendo com a difusão normal. O tempo de Lyapunov também foi medido para os diferentes domínios dos espaços de fases através de uma determinação direta do expoente de Lyapunov, já que ele é definido como seu inverso. Estudamos o teorema de Slater, o qual está relacionado aos tempos de recorrência. Através dele foi possível localizar a última curva invariante spanning do Mapa Padrão com alta precisão e também determinar o parâmetro crítico responsável pela destruição dessa curva. Investigamos, para o modelo Fermi-Ulam, a localização de curvas invariantes que separam áreas caóticas no espaço de fase. Aplicando o teorema de Slater verificamos que o mapeamento apresenta uma família de curvas invariantes spanning com número de rotação cuja expansão em frações contínuas possui uma cauda infinita de 1’s, atuando como barreiras locais de transporte. Determinamos a destruição de tais curvas e encontramos os parâmetros críticos para isso. A determinação do número de rotação na vizinhança de uma das curvas invariantes permitiu compreender a dinâmica nas proximidades da curva considerada, tanto antes como depois da criticidade. O perfil do número de rotação nos mostrou o caráter fractal da região próximo à curva, pois este perfil possui uma estrutura semelhante a uma “Escadaria do Diabo”.

Poincaré’s recurrence time and Lyapunov’s time give important information about the complexity of the system and are related to interesting measures such as the fractal dimension and the diffusion coefficient. Thus, these characteristic times were measured for the standard map and also for the Fermi-Ulam model and we confirm that thus the mean recurrence time depends on the size of the chosen recurrence interval and also on the region where the initial conditions were taken. In addition, the fractal dimension of the region was determined by the slope of the curve in the graph of the mean Poincaré recurrence time as a function of the size of the recurrence interval, for different regions of the phase space. Since the fractal dimension is related to the diffusion coefficient 𝜇, we find for both mappings 𝜇 = 1 for the chaotic regions and far from the islands of stability matching the normal diffusion. Lyapunov time was also measured for the different domains of the phase space through a direct determination of the Lyapunov exponent, since it is defined as its inverse. We studied Slater’s theorem, which is related to recurrence times. Through it, it was possible to locate the last invariant spanning curve of the Standard Map with high precision and also to determine the critical parameter responsible for the destruction of this curve. We investigate, for the Fermi-Ulam model, the location of invariant curves that separate chaotic areas in phase space. Applying Slater’s theorem, we verify that the mapping presents a family of invariant spanning curves with rotation number whose expansion in continued fractions has an infinite tail of 1’s, acting as local transport barriers. We determined the destruction of such curves and found the critical parameters for it. The determination of the rotation number in the vicinity of one of the invariant curves made it possible to understand the dynamics in the vicinity of the considered curve, both before and after criticality. The rotation number profile showed us the fractal character of the region close to the curve, as this profile has a structure similar to a “Devil’s Staircase”.
A study of the location of last invariant curves and characteristic times in two-dimensional Hamiltonian mappings
Keywords: Caos; Teorema de Slater; Difusão; Recorrência de Poincaré; Chaos; Slater’s Theorem; Diffusion; Poincaré Recurrence