Variedades singulares de impasse e fluxos em superfícies invariantes - Perez, Otavio Henrique [UNESP] (Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022)
O principal objeto de estudo desta Tese é uma classe especial de equações diferenciais chamadas de sistemas forçados (ou sistemas com impasses). Este trabalho é dividido em duas partes, e em cada parte nós abordamos dois problemas clássicos oriundos do estudo de equações diferenciais ordinárias. O primeiro deles é o estudo de singularidades de sistemas forçados e a classificação de seus retratos de fase. Um algoritmo de resolução de singularidades para esta classe de sistemas é apresentado, e aplicamos esta teoria na classificação topológica de suas singularidades. Resultados clássicos a respeito da classificação topológica de campos de vetores analíticos são estendidos para o contexto de sistemas forçados analíticos. A segunda parte diz respeito ao estudo do fluxo de um campo de vetores polinomial tridimensional em superfícies algébricas invariantes. Provamos que, para uma certa classe de superfícies, o fluxo pode ser descrito por um sistema forçado polinomial planar. Além disso, as singularidades dos sistemas forçados estão profundamente relacionadas com propriedades geométricas da superfície, assim como com o fluxo do campo de vetores. Sistemas famosos vindos das ciências aplicadas exemplificam nossos resultados.

The main object of study of this Thesis is a special class of differential equations called constrained differential systems (or impasse systems). This work is divided in two parts, and in each part we address two classical problems from ordinary differential equations. The first one concerns the study of singularities of constrained systems and the classification their of phase portraits. An algorithm of resolution of singularities for such class of systems is presented, and we use this theory in the topological classification of singularities. Classical results on topological classification of analytic vector fields are extended to the context of analytic constrained systems. The second part concerns the study of flows of three-dimensional polynomial vector fields on invariant algebraic surfaces. We prove that, for a certain class of surfaces, the flow can be described by a polynomial constrained system defined on the plane. Moreover, the singularities of the constrained system are deeply related to geometric properties of the surface, as well as the flow of the vector field. Well-known systems from applied sciences exemplify our results.
Singular impasse manifolds and flows on invariant surfaces
Keywords: Sistemas forçados; Blow-up; Classificação topológica; Superfícies invariantes; Constrained systems; Topological classification; Invariant surfaces