Projetos de controladores robustos, modelo reduzido e identificação com condições iniciais não nulas para sistemas dinâmicos de ordem fracionária - Kuzminskas, Hadamez [UNESP] (Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2023)
Esse trabalho aborda os seguintes tópicos em sistemas lineares de ordem fracionária: análise de estabilidade, projetos de controladores robustos, modelo reduzido e identificação com condições iniciais não nulas. Os objetivos do primeiro tópico foram: 01) Apresentar quatro critérios de análise de estabilidade para sistemas de ordem α ∈ (0,1) via LMIs (Linear Matrix Inequalities), levando-se em conta que a região de estabilidade desses sistemas contém setores no semiplano complexo direito. Um dos critérios é baseado em GLMIs (Generalized Linear Matrix Inequalities) e fornece uma condição necessária e suficiente em LMIs para atestar a estabilidade assintótica. Esse critério fundamenta parte das pesquisas existentes em síntese de controle para sistemas fracionários; 02) Apresentar um critério de análise de estabilidade para sistemas de ordem α ∈ (1,2) via LMIs, observando que sua região de estabilidade é um setor no semiplano complexo esquerdo. Os objetivos do segundo tópico foram: 01) Apresentar resultados de síntese de controle robusto por realimentação de pseudo-estados via LMIs para sistemas de ordem α ∈ (0,1), bem como uma proposta de controle robusto por realimentação α-derivativa via LMIs, utilizando o critério das GLMIs; 02) O mesmo para os sistemas de ordem α ∈ (1,2), utilizando o critério pertinente. As propostas deste tópico são corroboradas por exemplos numéricos. O objetivo do próximo tópico foi propor um método de controle com realimentação de saída para sistemas de ordem α ∈ (0,2) via LMIs, lançando-se mão das equações do sistema, de um observador de pseudo-estados do tipo Luenberger, de uma malha externa e de dois leaky integrators, a fim de fornecer uma descrição aumentada em espaço de pseudo-estados e uma equação adequada para a saída controlada do sistema. As LMIs calculam ganhos tais que os autovalores dos blocos da matriz do sistema aumentado estejam localizados na região de estabilidade, incluindo alocação regional dos autovalores. A análise de robustez proposta contém as matrizes incertas consideradas diretamente na matriz do sistema aumentado. O análogo elétrico de ordem fracionária de um modelo vigente para o sistema respiratório humano é utilizado como aplicação, fornecendo adequadamente uma pressão de ar de entrada capaz de gerar um fluxo de ar de entrada em um perfil de tempo desejado, o que pode ser integrado, portanto, ao projeto de um respirador mecânico. O próximo tópico propõe um método para a obtenção de um modelo com número reduzido de variáveis de pseudo-estados. A motivação elementar é reduzir o tempo computacional. Em exemplos numéricos, a comparação das funções de transferência e respostas no tempo mostram a efetividade da proposta. O último tópico propõe um método de identificação de funções de transferência fracionárias com condições iniciais não nulas, descritas pela derivada de Caputo, com base em resultados estabelecidos para o caso de condições iniciais nulas, generalizando-os. A efetividade é demonstrada em exemplos numéricos.

This work addresses the following topics in linear systems of fractional order: stability analysis, robust controller designs, reduced model and identification with non-zero initial conditions. The objectives of the first topic were: 01) Present four stability analysis criteria for systems of order α ∈ (0,1) via LMIs (Linear Matrix Inequalities), taking into account that the stability region of these systems contains sectors in the right complex half-plane. One of the criteria is based on GLMIs (Generalized Linear Matrix Inequalities) and provides a necessary and sufficient condition on LMIs to attest the asymptotic stability. This criterion underpins part of the existing research on control synthesis for fractional systems; 02) Present a stability analysis criterion for systems of order α ∈ (1,2) via LMIs, noting that the stability region is a sector in the left complex half-plane. The objectives of the second topic were: 01) Present synthesis results of robust pseudo-state feedback control via LMIs for systems of order α ∈ (0,1), as well as a proposal for robust α-derivative feedback control via LMIs, using the GLMIs criteria; 02) The same for systems with order α ∈ (1,2), using the presented criteria. The proposals in this topic are corroborated by numerical examples. The objective of the next topic was to propose a control method with output feedback for systems of order α ∈ (0,2) via LMIs, based on the system equations, a Luenberger type pseudo-state observer, an outer loop and two leaky integrators, in order to provide an augmented description in pseudo-state space and a suitable equation for the controlled output of the system. LMIs calculate gains such that the eigenvalues of the blocks of the augmented system matrix are located in the stability region, including regional allocation of the eigenvalues. The proposed robustness analysis contains the uncertain matrices synthesized directly into the augmented system matrix. The fractional order electrical analogue of a current model for the human respiratory system is used as an application, adequately providing an inlet air pressure capable of generating an inlet airflow at a desired time profile, which can be integrated, therefore, for the design of a mechanical respirator. The next topic proposes a method for obtaining a model with a reduced number of pseudo-state variables. The elementary motivation is to reduce computational time. In numerical examples, the comparison of transfer functions and responses over time shows the effectiveness of the proposal. The last topic proposes a method for identifying fractional transfer functions with non-zero initial conditions, described by the Caputo derivative, based on results established for the case of zero initial conditions, generalizing them. The effectiveness was demonstrated in numerical examples.
Robust controller design, reduced model, and identification with non-zero initial conditions for fractional-order dynamic systems
Keywords: Sistemas de ordem fracionária; Desigualdades matriciais lineares; Controle robusto; Realimentação de saída; Modelo reduzido de ordem fracionária; Identificação com condições iniciais não nulas; Fractional order systems; Linear matrix inequalities; Robust control; Output feedback; Reduced fractional order model; Identification with nonzero initial conditions