Worldsheet complex structure in the bosonic string sigma model - Silva, Vinícius Bernardes da [UNESP] (Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022)
O sigma-model da corda bosônica é uma teoria de calibre -- é invariante sob reparametrizações da folha de mundo da corda --, portanto deve-se fixar o calibre para quantizá-lo. Uma das formas de se fazer isso é usando o formalismo BV, que permite a quantização de teorias com uma simetria fermiônica, como a simetria BRST. Define-se o espaço de fase BV, contendo os campos e seus anticampos. Para fixar um calibre, escolhemos uma subvariedade do espaço de fase BV. O calibre de Polyakov (ou calibre conforme) é definido ao fixar a estrutura complexa (ou métrica) na folha de mundo. No formalismo BV, esse procedimento define um número infinito de operadores bracket, que têm um papel nas deformações da teoria. Além disso, o operador BRST nesse calibre não é nilpotente, quando os campos estão off-shell, i.e. antes de usar equações de movimento. O anticampo da estrutura complexa surge neste calibre como o fantasma b, que é necessário para computar amplitudes, através de uma integração pelo espaço de moduli da folha de mundo. A transformação BRST do fantasma b é a expressão off-shell do tensor de energia-momento da teoria. Após ressomar os termos que dão origem ao operadores bracket, vemos que as deformações podem ser linearizadas, o que implica na fatorização holomórfica das amplitudes. O formalismo da supercorda de espinores puros é a generalização da corda bosôncia no calibre de Polyakov. Portanto, não há necessidade de fixar-se um calibre nesse formalismo. Diferentement da corda bosônica, o operador BRST é nilpotent mesmo off-shell. O fantasma b é definido de forma que a sua transformação BRST gera a expressão on-shell do tensor de energia-momento. Após a introdução no Capítulo 1, introduzimos fundamentos matemáticos no Capítulo 2. O formalismo BV é apresentado no Capítulo 3, e no Capítulo 4 o utilizamos para fixar fixar o calibre e quantizar o sigma-model da corda bosônica. Fazemos também comentários sobre os operadores bracket. No Capítulo 5 introduzimos a supercorda de espinores puros, e comparamos o formalismo com a corda bosônica.

The bosonic string sigma model is a gauge theory – it is invariant under worldsheet diffeomorphisms, so it must be gauge fixed to be quantized. One way to do it is using BV formalism, which allows one to quantize theories with a fermionic symmetry, such as the BRST symmetry. One defines a BV phase space, with fields and their antifields. The gauge fixing procedure consists in a choice of submanifold in the BV phase space, and it is well defined off-shell. The Polyakov gauge (or conformal gauge) is defined by fixing the worldsheet complex structure (or metric) of the bosonic string. In BV formalism, this procedure defines an infinite number of derived brackets that play a role in deformations of the theory. Moreover, the BRST operator in this gauge in not nilpotent off-shell. This condition is substituted by constraints among the brackets. The antifield of the complex structure arises as the b ghost, which is needed to compute amplitudes, by integrating over the moduli space of the worldsheet. The BRST transformation of the b ghost is the energy-momentum of the theory defined off-shell. After resumming the terms that give rise to the higher brackets, we see that the deformations are linearized, and give rise to the holomorphic factorization. The pure spinor superstring is a generalization of the bosonic string in Polyakov gauge, so there is no need to gauge fix. Different from the bosonic string, the BRST operator is nilpotent off-shell. The b ghost is defined in such a way that its BRST transformation yields the energy-momentum tensor only on-shell. After the introduction in Chapter 1, we introduce the mathematical foundations in Chapter 2. The BV formalism is presented in Chapter 3, and in Chapter 4 we use it to gauge fix and quantize the bosonic string sigma-model. We make comments about the derived brackets. In Chapter 5 we introduce the pure spinor superstrings, and compare it with the bosonic string.
Estrutura complexa da folha de mundo no sigma-model da corda bosôncia
Keywords: Modelos de corda; Física matemática; Teoria das supercordas