Complexidade no espaço dos parâmetros no mapa logístico - Silva, Evely Geise da [UNESP] (Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2024)
O estudo da ordem no espaço dos parâmetros de mapas caóticos impulsiona o entendimento da configuração de uma série de diferentes conjuntos de periodicidade. Atualmente, embora a complexa estrutura de um conjunto contínuo de periodicidade no espaço de parâmetros seja bem descrita pela teoria de bifurcações, há limitadas explicações sobre a organização de domínios de periodicidade observados em regiões caóticas. Como o cenário das regiões periódicas é completamente diferente de um sistema dinâmico para outro e sua organização no espaço dos parâmetros é um problema em aberto, o principal foco deste trabalho é estudar os conceitos de órbitas, curvas extremas e superestáveis, a fim de descrever globalmente a complexa organização das estruturas de periodicidade no espaço de parâmetros. Para isso, realizamos simulações numéricas, mapas de retorno e diagramas de bifurcação e Lyapunov no mapa logístico periodicamente perturbado. Ao analisar estes recursos é possível examinar as estruturas de periodicidade no espaço dos parâmetros, assim como seus pontos de equilíbrio. Além disso, podemos identificar as curvas extremas e superestáveis ao longo das quais as cascatas de periodicidade se alinham. As curvas extremas e superestáveis estão intimamente relacionadas, e o cruzamento delas indica a presença dos shrimp-like, que compõem as cascatas de periodicidade. Essas cascatas de periodicidade descrevem a forma dos domínios de periodicidade, cercados por caos. Com base nisso, sugerimos que a ordem e complexidade dessas estruturas no espaço dos parâmetros podem ser explicadas a partir da interação das curvas extremas e superestáveis.

Analyzing the parameter space order in chaotic mappings improves the understanding of the configuration in a series of different sets of periodicity. Although the complexity of a continuous set of periodic structure in the parameter space can be well described by bifurcation theory, there are limited explanations regarding the organization of the domains of periodicity observed in chaotic regions. The scenario of periodic regions is completely different from one dynamic system to another and, being its organization in the parameter spaces an open problem, the focus of this project is studing the concept of extreme orbits and curves, and superstable orbits and curves to describe the complex global organization of periodicity structures in the parameter space. We did that through the analysis of the logistic map periodically perturbed, in conjunction with numerical simulations, return maps, and bifurcation and Lyapunov diagrams carried out throughout the project. By analyzing these resources it is possible to examine the periodicity structure of the parameter spaces, as well as their equilibrium points. In addition, we can identify the extreme and superstable curves along which the periodic cascades align. The extreme and superstable curves are closely related, and the crossing of them indicates the presence of the Shrimp-like, which make up the periodic cascades. These periodicity cascades describe the form of the domains of periodicity, surrounded by chaos. Based on this, we suggest that the order and complexity of these structures in the parameter space can be explained from the interaction of extreme and superstable curves.
Complexity in the parameter space on the logistic map
Keywords: Espaço de parâmetros; Curvas extremas; Órbitas superestáveis; Periodicidade; Caos; Parameter space; Extreme curves; Superstable orbits; Periodicity; Chaos