Mecânica quântica com comprimento mínimo

Abstract

Supor a existência de um comprimento mínimo para medidas de posição, a qual denotaremos por q, implica que as derivadas espaciais não poderão ser realizadas conforme o habitual, pois o limite de ∆x tendendo a zero, deixa de fazer sentido. A partir desta ideia, levantamos a hipótese que a existência do comprimento mínimo q, no espaço das posições x, perturba a natureza do momento canonicamente conjugado p, de modo que ele seja transformado em um novo momento ℘. E a relação de comutação entre ℘ e o operador de posição x, seja dada por [ˆx, ℘] = iM(℘), onde M(℘) é o operador de translações mínimas, que está intimamente ligado ao comprimento mínimo do espaço q. Contudo, podemos definir, um operador K(℘), tal que, [ˆx, K(℘)] = ih, e mostrar que para cada escolha de M(℘), existe um K(℘) diferente, onde identificamos K, como o operador de momento canônico na presença do comprimento mínimo. Mostraremos, que a mecânica quântica com comprimento mínimo, pode ser vista como uma transformação canônica, vamos visitar a literatura para ilustrar alguns modelos de mecânica quântica com comprimento mínimo. Faremos uma discussão sobre o oscilador harmônico, e por fim faremos uma estimativa para o valor de comprimento mínimo q, introduzido na hipótese.

Assuming the existence of a minimum length for position measurements, which we will denote by q, implies that the spatial derivatives cannot be performed as per usual, since the limit of ∆x tending to zero no longer makes sense. From this idea we hypothesize that the existence of the minimum length q in the space of positions x disturbs the nature of the canonically conjugated momentum p, so that it is transformed into a new momentum ℘, and the commutation relation between ℘ and the position operator x, is given by [x, ℘] = iM(℘), where M(℘) is the minimum translation operator, which is closely related to the minimum length of the space q. However, we can define an operator K(℘) such that [x, K(℘)] = ih and show that for each choice of M(℘) there is a different K(℘), where we identify K as the canonical momentum operator in the presence of the minimum length. We will show that quantum mechanics, with minimum length, can be seen as a canonical transformation, and we will visit the literature to illustrate some models of quantum mechanics with minimum length. We discuss the harmonic oscillator, and finally we will calculate the minimum length value q, introduced in the hypothesis.