Estudo de pseudoinversas na teoria de duais espinoriais

Abstract

A definição de um espinor pode ser encontrada de várias formas na literatura e muito disso se deve ao seu desenvolvimento independente por parte de físicos e matemáticos. Dito isto, um espinor quando tratado como um objeto matemático que descreve um férmion, só fornece resultados observáveis físicos quando conjugado com seu dual. Para tanto, é necessária a construção desse mesmo correspondente dual. O presente trabalho descreve a construção do dual espinorial de um tipo de espinor, o autoespinor do operador de conjugação de carga ou ELKO (um acrônimo de sua tradução em alemão), explicitando todos os critérios de interesse físicos necessários para ser um invariante por transformações de Lorentz e tenha uma norma real. Consequentemente, algo que possa ser utilizado na composição do observável. Ainda no fim do trabalho é apresentado um problema envolvendo as somas de spin deste espinor que, devido ao aparecimento de uma matriz G(φ), tem uma quebra de simetria relativística, fazendo-se necessário redefinir o dual previamente encontrado, utilizando-se das definições de pseudoinversas.

The definition of a spinor can be found in many ways in the literature and much of this is due to its independent development by physicists and mathematicians. So, a spinor when treated as a mathematical object describing a fermion only get physical observable when associated to its dual. For this it is necessary the construction of such a dual. The present work describes the construction of the dual of a spinor type, the eigenspinors of the charge conjugation operator (ELKO), expliciting all the criteria of physical interests necessary to have a real norm and hence something useful in constructing an observable. At the end of the work a problem is presented involving the spin sums of the aforementioned spinor. When a given matrix G(φ) appears, the relativistic symmetry breaks and it is necessary to redefine the previously found dual using the pseudo-inverse definitions.