Gráficos de controle para dados de contagem inflacionados e deflacionados de zeros

Abstract

A distribuição de Poisson é amplamente utilizada para modelar dados de contagem, especi- almente em estudos de qualidade na indústria, como no caso do número de defeitos ou não conformidades em uma unidade. No entanto, ao se aplicar o gráfico$-c$, baseado nessa distribuição, é comum a ocorrência de alarmes falsos, pois muitos pontos acabam fora dos limites de controle. Nesse sentido, fenômenos cada vez mais observados são a inflação de zeros (excesso de contagens iguais a zero) e, em menor escala, a deflação de zeros (escassez de zeros em relação ao esperado). Sendo assim, o presente trabalho objetiva estudar o desempenho dos gráficos de controle de Shewhart na detecção de mudanças nas médias do processo com inflação ou deflação de zeros através do modelo Geométrico Modificado com Zeros Generalizado (GZMG). Com isso, mostrou-se que o modelo GZMG consegue acomodar todos os tipos de dispersão possíveis, isto é, equidispersão, subdispersão e sobredispersão. No que se refere à dispersão, consideram-se três regimes: equidispersão (variância igual à média), subdispersão (variância menor que a média) e sobredispersão (variância maior que a média). Assim, com base nesse modelo, propõem-se novos gráficos de controle estatístico, capazes de monitorar diferentes padrões de dispersão. Dessa forma, trata-se de uma pesquisa quantitativa, axiomática normativa e descritiva. Foram realizadas simulações de Monte Carlo para diferentes cenários, considerando $X_i$ como variável aleatória discreta, em que a função de probabilidade de massa dado por $T=\sum_{i=1}^n X_i$ apresenta expressão fechada e conhecida. Com base na média do GZMG, foram construídos gráficos de controle de Shewhart voltados ao monitoramento da média do processo com inflação ou deflação de zeros. O desempenho dos gráficos foi avaliado pelo número médio de amostras até o sinal (ARL). Estudos com dados simulados e reais evidenciam a aplicabilidade dos métodos propostos e mostram a superioridade do gráfico GZMG em relação aos modelos concorrentes no monitoramento de processos com inflação/deflação de zeros e diferentes regimes de dispersão.

The Poisson distribution is widely used to model count data, especially in quality studies in industry, such as the number of defects or nonconformities in a unit. However, when applying the c-chart, based on this distribution, false alarms are common, as many points end up outside the control limits. In this context, increasingly observed phenomena are zero inflation (an excess of zero counts) and, to a lesser extent, zero deflation (a scarcity of zeros relative to expectations). Therefore, this study aims to evaluate the performance of Shewhart control charts in detecting shifts in process means with zero inflation or deflation using the Generalized ZeroModified Geometric (GZMG) model. The intention is to demonstrate that the GZMG model can accommodate all types of dispersion: equidispersion, underdispersion, and overdispersion. Regarding dispersion, three regimes are considered: equidispersion (variance equal to the mean), underdispersion (variance less than the mean), and overdispersion (variance greater than the mean). Based on this model, new statistical control charts are proposed, capable of monitoring different dispersion patterns. Thus, this is a quantitative, axiomatic-normative, and descriptive study. Monte Carlo simulations were performed for different scenarios, considering Xi as a discrete random variable, where the probability mass function of T = n i=1 Xi has a known closed-form expression. Based on the GZMG mean, Shewhart control charts were constructed to monitor the process mean under zero inflation or deflation. The performance of the charts was evaluated using the average run length (ARL). Studies with simulated and real data demonstrate the applicability of the proposed methods and show the superiority of the GZMG chart over competing models in monitoring processes with zero inflation/deflation and different dispersion regimes.