Dinâmica não linear, caos e controle de um sistema de reação química

Abstract

Reações químicas frequentemente exibem características de sistemas dinâmicos não lineares devido à variabilidade das grandezas ao longo do tempo, com as taxas dos componentes variando de maneira irregular durante o processo. Partindo do modelo de Michaelis-Menten, que ilustra a não linearidade intrínseca nas reações enzimáticas, esta tese investiga a dinâmica não linear, o caos e o controle do comportamento caótico de um sistema de reações químicas com quatro componentes em um reator contínuo de tanque agitado (em Inglês, Continuous Stirred-Tank Reactor, CSTR). Foram aplicados dois controladores baseados na teoria de realimentação linear ótima, o LQR (Linear Quadratic Regulator) e o método proposto por Rafikov e Balthazar (CRL), ambos assegurando a estabilização assintótica do sistema não linear em malha fechada, conforme demonstrado por uma função de Lyapunov associada à solução da equação de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB), o que garante estabilidade e supressão do caos. Os resultados numéricos mostram que, sem controle, o sistema apresenta oscilações caóticas com amplitudes variando aproximadamente entre 70–140 para x1, 50–120 para x2, 0–80 para x3 e 10–30 para x4. Com o uso do controlador LQR e tolerância de 0,1, o tempo médio de convergência foi de 81,0 u.t., reduzindo as oscilações a um ponto estável, enquanto o CRL apresentou desempenho muito superior, estabilizando o sistema em apenas 2,4 u.t. para a mesma tolerância. Os experimentos confirmam a eficácia de ambos os métodos em estabilizar o comportamento caótico, direcionando as oscilações para estados estacionários estáveis, embora o CRL tenha se mostrado mais eficiente e rápido, inclusive na presença de incertezas paramétricas, para a matriz de entrada de controle B = [1 0 0 0]T . Esses resultados reforçam o potencial do uso combinado de técnicas de controle ótimo e robusto no tratamento de sistemas químicos multicomponentes com comportamento caótico.

Chemical reactions often exhibit characteristics of nonlinear dynamical systems due to the variability of quantities over time, with component rates fluctuating irregularly during the process. Starting from the Michaelis-Menten model, which illustrates the intrinsic nonlinearity in enzymatic reactions, this thesis investigates the nonlinear dynamics, chaos, and control of the chaotic behavior of a chemical reaction system with four components in a Continuous Stirred-Tank Reactor (CSTR). Two controllers based on optimal linear feedback theory were applied: the Linear Quadratic Regulator (LQR) and the method proposed by Rafikov and Balthazar (CRL). Both ensure the asymptotic stabilization of the nonlinear closed-loop system, as demonstrated by a Lyapunov function associated with the solution of the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation, thereby guaranteeing stability and chaos suppression. Numerical results show that, without control, the system exhibits chaotic oscillations with amplitudes varying approximately between 70–140 for x1, 50–120 for x2, 0–80 for x3, and 10–30 for x4. With the LQR controller and a tolerance of 0.1, the average convergence time was 81.0 t.u., reducing the oscillations to a stable point, while the CRL achieved far superior performance, stabilizing the system in only 2.4 t.u. for the same tolerance. The experiments confirm the effectiveness of both methods in stabilizing chaotic behavior, driving oscillations toward stable steady states, although the CRL proved to be more efficient and faster, even in the presence of parametric uncertainties, for the control input matrix B = [1 0 0 0]T . These results highlight the potential of combining optimal and robust control techniques to address multicomponent chemical systems with chaotic behavior.