Teorema das unidades de Dirichlet e o reticulado logarítmico

Abstract

Neste trabalho apresentamos resultados básicos da teoria algébrica dos números, entre eles traço, norma, discriminante e anel de inteiros algébricos. Estes serviram como base para encontrar as unidades (elementos invertíveis) de corpos de números, como o quadrático, cúbico e ciclotômico. Um artefato utilizado para encontrar as unidades dos corpos cúbicos foi o Teorema das Unidades de Dirichlet. Esse teorema representa o resultado mais significativo deste trabalho, fornecendo uma descrição quase completa em termos abstratos do grupo das unidades de um corpos de números, de modo a implicar que este grupo é finitamente gerado. Por fim, como aplicação deste teorema, apresentamos a construção dos reticulados logarítmicos, feitos a partir de um mergulho logarítmico restrito ao grupo das unidades do anel de inteiros algébricos de um corpo de números. Ainda, apresentamos uma cota superior para raio de cobertura deste reticulado através das unidades de um corpo ciclotômico.

In this work, we present basic results of the algebraic number theory, among them trace, norm, discriminant, and ring of algebraic integers. These served as the basis for finding the units (invertible elements) of a number field, such as the quadratic, cubic, and cyclotomic. We used Dirichlet’s Unit Theorem to find the cubic fields units. The mentioned theorem is the most significant result of this work, giving us an almost complete description of it in abstract terms of the group of units of a number field, implying that this group is finitely generated. Finally, as an application of this theorem, we have the construction of logarithmic lattices, made from a logarithmic homomorphism restricted to the group of units of the ring of algebraic integers of a number field. Also, we present an upper bound of the covering radius of this lattice through the units of a cyclotomic field.